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Sumário da Aula • Determinantes - Sistemas de equações lineares. Regra de Cramer. • Espaços Vectoriais - Definição de espaço vectorial - Propriedades dos espaços vectoriais

Determinantes

Sistemas de Equações Lineares. Regra de Cramer Sistemas de Equações Lineares. Regra de Cramer – No capítulo de Matrizes viu-se como efectuar a resolução de sistemas de equações lineares. Neste capítulo vai-se fazer uma nova abordagem a esse assunto. – Considere-se, sem perda de generalidade, os sistemas da forma A x = b, em que m é o número de equações, n o número de incógnitas e r a característica da matriz A.

Determinantes

Sistemas de Equações Lineares. Regra de Cramer – Definição • Designa-se por determinante principal o menor de maior ordem possível, não-nulo formado por elementos de A. Usa-se o símbolo ∆p (delta) para o identificar. – Definição • Designam-se por equações principais as equações envolvidas no determinante principal. – Definição • Designam-se por incógnitas principais as incógnitas envolvidas no determinante principal.

Determinantes

Sistemas de Equações Lineares. Regra de Cramer Regra de Cramer Todo o sistema de n equações lineares e n incógnitas, cujo determinante (da matriz dos coeficientes) é diferente de zero, é Possível e Determinado. O valor de cada incógnita obtém-se dividindo pelo determinante do sistema, o determinante que dele resulta substituindo os coeficientes dessa incógnita pelos termos independentes.

Ana Paula Jerónimo

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Determinantes

Sistemas de Equações Lineares. Regra de Cramer Exemplo: r=m=n Suponha-se que r = m = n = 3. Como r =3, tem-se det A=0. Pela regra de Cramer conclui-se que o sistema é possível e determinado e o valor de cada uma das incógnitas é o seguinte:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a11 a12 a13 x b1   a a a y = b  + + = ⇔ a x a x a x b  21 1 22 2 23 3 2  21 22 23   2  a x + a x + a x = b  31 1 32 2 33 3 3 a31 a32 a33z b3 

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Determinantes

Sistemas de Equações Lineares. Regra de Cramer - valores de x, y e z

x=

Ana Pa

b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 detA

y=

a11 b1 a13

a11 a12 b1

a21 b2 a23

a21 a22 b2 a31 a32 b3

a31 b3 a33 detA

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z=

det A

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Espaços Vectoriais Definição Definição Um conjunto E, não vazio, diz-se espaço linear sobre um corpo K se e só se em E está definida uma adição e, além disso, está definida uma multiplicação dos elementos de K pelos elementos de E, verificando-se os axiomas que se seguem:

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Espaços Vectoriais Definição

(E, + ) é grupo comutativo. Para isso têm de se verificar as seguintes propriedades: A1) Fecho (para a adição de vectores)

∀x, y ∈ E : x + y ∈ E A2) Associatividade

∀x, y, z ∈ E : ( x + y ) + z = x + ( y + z ) A3) Existência de elemento neutro

∃O ∈ E : x + O = O + x = x, ∀x ∈ E Ana Paula Jerónimo

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Espaços Vectoriais Definição

A4) Existência de elemento simétrico

∀x ∈ E , ∃x'∈ E : x + x' = x'+ x = O A5) Comutatividade

∀x, y ∈ E : x + y = y + x Propriedades da multiplicação M1) Fecho (para a multiplicação de um escalar por um vector)

∀λ ∈ K , ∀x ∈ E : λ × x ∈ E Ana Paula Jerónimo

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Espaços Vectoriais Definição

M2) Associatividade da multiplicação escalar

∀λ , u ∈ K , ∀x ∈ E : (λ × u ) × x = λ × (u × x) M3) 1I é a unidade de K

∀x ∈ E : 1 × x = x Distributividade AM1) Distributividade em relação à adição de E

∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E : λ × ( x + y ) = (λ × x) + (λ × y ) AM2) Distributividade em relação à adição de IK ∀λ , u ∈ K , ∀x ∈ E : (λ + u ) × x = (λ × x) + (u × y ) Ana Paula Jerónimo

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Espaços Vectoriais Definição

Designação § Aos elementos de E chamam-se vectores; Aos elementos de K chamam-se escalares.

Casos particulares § Se o corpo K for R, o espaço diz-se real; § Se o corpo K for C, o espaço diz-se complexo.

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Espaços Vectoriais

Propriedades dos Espaços Vectoriais Seja E um espaço vectorial sobre IK: 1) –(-x)=x 2) -(x+y)=-x-y 3) α(x-y)= α x- α y 4) (α -β)x=αx- βx 5) Ox=O 6) αO= O 7) -(α)x=-(αx)= α(-x)=- αx 8) (-α)(-x)=αx 9) αx = O⇔ α=O∨ x=O

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∀x, y, z ∈ E , ∀α , β ∈ K

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Espaços Vectoriais

Propriedades dos Espaços Vectoriais 10) 11) 12) 13)

α ≠O ∧ αx = αy ⇒x=y x ≠ O ∧ αx = βy ⇒ α = β x+y = x+z ⇒ y = z x+y = z + y ⇒x=z

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