Deter Min Ante

DETERMINANTE n

Svakoj kvadratnoj matrici An

i+ j pridružen je broj : ∑ (−1) aij Aij . j =1

je poddeterminanta ili minor elementa aij . Formula razvoja determinante po elementima i – tog reda, Laplace-ov razvoj. Aij

Determinanta 2. reda: A =

a11 a 21

a12 = a11 a 22 − a12 a 21 . a 22

Determinanta 3. reda: a11

a12

A = a 21 a31

a 22 a32

Primjer 1:

Primjer 2:

Primjer3:

a13

a a 23 = a11 22 a32 a33

2

5

−6

7

2 2 3

a 23 a33

− a12

= 2 ⋅ 7 −5 ⋅ ( −6) = 44

−4 3 −5

a 21

a 23

a31

a33

+ a13

a 21

a 22

a31

a32

=…….

.

5 −1 =? −1

6 5

3 2

5 3

9 6

0

1

2

3

2

1

1

1

= −2

Svojstva determinanti: a) b) c) d) e)

Determinanta kojoj su svi elementi jednog reda (stupca) nule, ima vrijednost 0. Zamijene li se u detrminanti retci kako dolaze sa stupcima kako dolaze, vrijednost se determinante ne mijenja. Zamijene li se u determinanti dva retka (stupca), mijenja se predznak determinante. Broj se množi s determinantom tako da se tim brojem pomnože elementi bilo kojeg retka (stupca). Determinanta ne mijenja vrijednost ako se elementi jednog njezinog retka (stupca) pomnože nekim brojem i dodaju elementima nekog drugog retka (stupca).

Zadatak: Izračunajte vrijednost determinante

Zadatak 2:

6

−5

8

4

9

7

5

2

7

5

3

−7

−4

8

−8

3

Izračunajte vrijednost determinante koristeći svojstva.

246 1014 −342

Zadatak 3:

427 543 721

327 443 621

Riješite jednadžbu: x +2 x −1 x −3

x −4 x +4 x +2

x x −5 = 0 . x −1

Zadatak 4: Izračunajte vrijednost determinante 1 z2 z

z2 z 1

z 1 z2

1 2

gdje je z = − − i

3 . 2

Zadatak 5: Riješite jednadžbu: 1

1

2

3

1

2 − x2

2

3

2

3

1

5

2

3

1

9 − x2

=0.

Zadatak 6: Provjerite: det( A ⋅ B ) = det( A) ⋅ det( B )

ako je

3 A = 6  0

5 1 2

− 2 1  8 ; B =  2  1   3

Zadatak 7: Izračunajte vrijednost determinante 1 4

4 9

9 16

16 25

9

16

25

36

16

25

36

49

.

1 1 1

1 2 . 3 