Desigualdades

Desigualdades Francisco J. Garc´ıa Capit´an, 2002

Contenido 1 Desigualdades entre medias 1.1 Las medias b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Desigualdad entre las medias aritm´etica y geom´etrica . . . . 1.3 Desigualdad entre las medias geom´etrica y arm´onica . . . . . 1.4 Desigualdad entre las medias aritm´etica y la ra´ız de la media aritm´etica de los cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

2 2 2 4

. .

4 6

2 La desigualdad de Cauchy-Schwarz 2.1 La desigualdad de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8 9

3 Desigualdad de Jensen 10 3.1 Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Desigualdad de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4 Ejercicios propuestos

13

1

1

Desigualdades entre medias

1.1

Las medias b´ asicas

Dados n n´ umeros no negativos x1 , x2 , · · · , xn vamos a considerar cuatro formas de conseguir un valor promedio de todos ellos: n + + ··· + que los n´ umeros son todos positivos). √ • La media geom´etrica: G = n x1 x2 · · · xn . • La media arm´onica: H =

1 x1

• La media aritm´etica: M =

1 x2

1 xn

. (Suponemos en este caso

x1 + x2 + · · · + xn . n

• La ra´ız cuadrada de la media aritm´etica de los cuadrados: r x21 + x22 + · · · + x2n R= . n Ejemplo. Consideremos n = 3 y los n´ umeros√x = 1, y = 2, z = 4. Es 7 f´acil comprobar que H = 12 , G = 2, A = , R = 7 y que entonces, en este 7 3 caso, se cumple que H ≤ G ≤ M ≤ R. En los apartados siguientes, veremos que esta relaci´on se cumple siempre y que todas las medias son iguales si y solo si todos los n´ umeros son iguales.

1.2

Desigualdad entre las medias aritm´ etica y geom´ etrica

Comenzamos con una demostraci´on elemental de la desigualdad M ≥ G y de que la igualdad M = G se cumple si y solo si x1 = x2 = · · · = xn . Demostraci´ on por inducci´ on La demostraci´on consta de dos partes: 1. La desigualdad es cierta si n es un entero de la forma 2k . Para k = 1, es decir, para n = 2, la desigualdad se convierte en √ x+y √ √ √ ≥ xy ⇔ x + y − 2 xy ≥ 0 ⇔ ( x − y)2 ≥ 0. 2 2

que es cierta y que se convierte en igualdad si y solo si x = y. Supongamos que la desigualdad es cierta para n = 2k n´ umeros y demostremos que tambi´en lo es para 2n = 2k+1 n´ umeros x1 , x2 , · · · , x2n . Para ello consideramos los n´ umeros x1 + x2 x3 + x4 x2n−1 + x2n y1 = , y2 = , · · · , yn = . 2 2 2 √ Sabemos que yi ≥ x2i−1 x2i con igualdad si y solo si x2i−1 = x2i . Entonces: x1 + x2 + · · · + x2n y1 + y2 + · · · + yn = 2n n (1) √ ≥ n y1 y2 · · · yn (2) √ ≥ 2n x1 x2 · · · x2n . por lo que hemos demostrado la desigualdad. Para que (1) se convierta en igualdad, todos los yi deben ser iguales y para que (2) tambi´en sea igualdad, x2i−1 y x2i deben siempre coincidir. Por tanto, los xi deben ser todos iguales. 2. Si la desigualdad es cierta para un cierto n, tambi´en lo es para n − 1. Para ello, sean x1 , . . . , xn−1 n´ umeros no negativos y sean x1 + · · · + xn−1 y1 = x1 , . . . , yn−1 = xn−1 , yn = . n−1 Entonces, √ y1 + · · · + yn ≥ n y1 y2 · · · yn n x1 + · · · + xn−1 r x1 + · · · + xn−1 + x1 + · · · + xn−1 n−1 ≥ n x1 · · · xn−1 n n−1 q x1 + · · · + xn−1 √ ≥ n x1 · · · xn−1 n−1 x1 · · · xn−1 n x1 + · · · + xn−1 √ ≥ n−1 x1 · · · xn−1 . n En el u ´ltimo paso hemos usado que q ³ ´ n1 ³ n−1+1 ´ n1 1 n 1 1 √ √ n n−1 n−1 p( p) = p · p = p n−1 = p n−1 · n = p n−1 = n−1 p. 3

Demostraci´ on por sustituciones Vamos a demostrar la desigualdad √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x2 · · · xn n mediante sustituciones de los n´ umeros xi por otros de manera que la parte izquierda no var´ıa y la derecha va aumentando. Al final, los xi tendr´an todos el mismo valor y la parte izquierda ser´a igual a la parte derecha. De aqu´ı se concluir´a la validez de la desigualdad. Si los xi no son ya todos iguales a su media aritm´etica, que por conveniencia llamamos a, deben existir dos ´ındices i y j, tale que xi < a < xj (todos los n´ umeros no pueden a la vez ser ni mayores ni menores que su media aritm´etica). Entonces sustituimos los n´ umeros xi y xj por xi 0 = a y xj 0 = xi + xj − a. De esta manera, la suma total no cambia y el producto aumenta. En efecto, xi 0 xj 0 = a(xi + xj − a) = xi xj + (xj − a)(a − xi ) > xi xj , justific´andose la desigualdad por la relaci´on xi < a < xj . Despu´es de repetir el proceso, conseguiremos una igualdad a base de incrementar el lado derecho y mantener igual el izquierdo.

1.3

Desigualdad entre las medias geom´ etrica y arm´ onica

Aplicando la desigualdad A − G a los n´ umeros x11 , ..., x1n , obtenemos: r 1 + · · · + x1n √ 1 1 n x1 n x1 . . . xn ⇒ H ≤ G. ≥ n ... ⇒ 1 1 ≤ n x1 xn + · · · + x1 xn Nota: Seg´ un lo visto en 1.2, tenemos que H ≤ G ≤ M . Es evidente que la igualdad se cumple si y solo si los n´ umeros x1 , x2 , · · · , xn son todos iguales.

1.4

Desigualdad entre las medias aritm´ etica y la ra´ız de la media aritm´ etica de los cuadrados

Comprobemos aqu´ı que dados n n´ umeros no negativos x1 , x2 , · · · , xn , µ ¶2 x1 + x2 + · · · + xn x2 + x22 + · · · + x2n ≤ 1 n n 4

y que la igualdad se cumple si y solo si los n´ umeros x1 , x2 , · · · , xn son todos iguales. En realidad demostraremos otra desigualdad de la que ´esta es un caso particular. Demostremos que si t1 , t2 , . . . , tn son n´ umeros de (0, 1) tales que t1 + t2 + · · · + tn = 1, se cumple que (t1 x1 + t2 x2 + · · · tn xn )2 ≤ t1 x21 + t2 x22 + · · · + tn x2n . y la igualdad es cierta si y solo si todos los xi son iguales. La demostraci´on es, como antes, por inducci´on. Para n = 2, la desigualdad toma la forma: (tx + (1 − t)y)2 ≤ tx2 + (1 − t)y 2

(x, y ∈ R, t ∈ [0, 1]).

Observando que tx2 + (1 − t)y 2 − (tx + (1 − t)y)2 = = tx2 + (1 − t)y 2 − t2 x2 − (1 − t)2 y 2 − 2t(1 − t)xy = = t(1 − t)x2 + t(1 − t)y 2 − 2t(1 − t)xy = = t(1 − t)(x − y)2 ≥ 0 vemos que la desigualdad es cierta y que la igualdad se cumple si y solo si x = y. Ahora, supongamos que la desigualdad es cierta para n − 1 y veamos que es cierta para n.

= = (1)

≤

(2)

≤ =

(t1 x1 + t2 x2 + · · · tn xn )2 = µ ¶2 t2 x2 + · · · tn xn t1 x1 + (1 − t1 ) = 1 − t1 µ µ ¶¶2 t2 tn t1 x1 + (1 − t1 ) x2 + · · · + xn ≤ 1 − t1 1 − t1 µ ¶2 t2 tn 2 t1 x1 + (1 − t1 ) x2 + · · · + xn ≤ 1 − t1 1 − t1 µ ¶ tn t2 2 2 2 x + ··· + x = t1 x1 + (1 − t1 ) 1 − t1 2 1 − t1 n t1 x21 + t2 x22 + · · · + tn x2n .

La desigualdad (1) se ha obtenido usando el caso n = 2 y la desigualdad (2) se ha obtenido usando la hip´otesis de inducci´on, quedando claro que la igualdad s´olo se cumplir´a cuando todos los xi sean iguales. 5

1.5

Ejercicios resueltos

1. (I OIM, 1985) Hallar las ra´ıces r1 , r2 , r3 y r4 de la ecuaci´on 4x4 − ax3 + bx2 − cx + 5 = 0 sabiendo que son reales, positivas y que r1 r2 r3 r4 + + + = 1. 2 4 5 8 Soluci´on. En primer lugar, r1 r2 r3 r4 = 54 . Entonces aplicando la desigualdad de las medias aritm´etica y geom´etrica a los n´ umeros r21 , r42 , r53 r4 y 8 , obtenemos que 1 = 4

r1 2

+

r2 4

+ 4

r3 5

+

r4 8

r ≥

4

r1 r2 r3 r4 · · · = 2 4 5 8

r 4

1 1 1 1 5 1 · · · · = . 2 4 5 8 4 4

Esto nos dice que la media aritm´etica y la media geom´etrica coinciden y por tanto que los n´ umeros son iguales: r1 r2 r3 r4 1 1 5 = = = = ⇒ r1 = ; r2 = 1; r3 = ; r4 = 2. 2 4 5 8 4 2 4 2. Demostrar que si a, b, c > 0, entonces (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc y determinar cuando se cumple la igualdad. Soluci´on. Dividiendo por abc el primer miembro de la desigualdad propuesta y usando la desigualdad A − G obtenemos que a+b b+c c+a (a + b)(b + c)(c + a) = · · = abc b¶ µc ¶aµ a b b c ³c a´ ≥ = + + + c c a a b b r r r ab bc ca ≥ 2 ·2 ·2 = 8. 2 2 c a b2 La igualdad se produce claramente si y solo si a = b = c. 3. Demostrar que si a,b y c son n´ umeros positivos y a+b+c = 1, entonces, µ ¶µ ¶µ ¶ 1 1 1 1+ 1+ 1+ ≥ 64. a b c 6

Soluci´on. Desarrollando, µ ¶µ ¶µ ¶ 1 1 1 1+ 1+ 1+ = a b c µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + + + + + + = a b c bc ac ab abc ¶ µ a+b+c+1 1 1 1 + = 1+ + + . a b c abc Expresando las desigualdades entre las medias arm´onica, aritm´etica y geom´etrica los n´ umeros a,b y c, deducimos que 3 1 a

+ 1b +

Entonces, µ

≤

1 c

1 1+ a

√ 3

¶µ

≥ 1+9+

2 1 27

a+b+c 1 abc ≤ = ⇒ 3 3

1 1+ b

¶µ

1 1+ c

¶

½

µ =1+

+ 1b + 1c ≥ 9 . 1 abc ≤ 27 1 a

1 1 1 + + a b c

¶ +

2 ≥ abc

= 10 + 54 = 64.

4. Sean a ≥ 0, b ≥ 0 n´ umeros reales y p ≥ 2 un n´ umero natural. Llamando p q al n´ umero tal que p1 + 1q = 1, es decir q = p−1 , se cumple que a p bq + ≥ ab. p q Soluci´on. Sean los n´ umeros x1 , x2 , . . . , xp de forma que x1 = ap y x2 = · · · = xp = bq . Aplicando la desigualdad A ≥ G obtenemos: a p bq + p q

ap (p − 1)bq x1 + x2 + · · · + xp + = p p p √ √ √ √ p p p ≥ p x1 x2 · · · xp = ap bq · · · bq = ap bq(p−1) = ap bp = ab. =

5. Si n es un n´ umero natural, demostrar que µ ¶n µ ¶n+1 1 1 ≤ 1+ . 1+ n n+1 7

Soluci´on. Aplicamos la desigualdad A ≥ G a los n´ umeros x1 = · · · = 1 xn = 1 + n , xn+1 = 1: sµ ¡ ¢ ¶n n 1 + n1 + 1 1 n+1 ≥ 1+ ·1 n+1 n sµ ¶n 1 1 n+1 1+ ≥ 1+ n+1 n µ ¶n µ ¶n 1 1 1+ ≥ 1+ n+1 n

2

La desigualdad de Cauchy-Schwarz

2.1

La desigualdad de Cauchy-Schwarz

Bunyakovskii (1804-1889) public´o esta desigualdad en una monograf´ıa sobre desigualdades entre integrales en 1859, veinticinco a˜ nos antes que Schwarz (1843-1921), pero es m´as conocida como desigualdad de Cauchy-Schwarz. La desigualdad de Cauchy-Schwarz nos dice que si x1 , . . . , xn e y1 , . . . , yn son n´ umeros reales cualesquiera se cumple: (x1 y1 + · · · xn yn )2 ≤ (x21 + · · · + x2n )(y12 + · · · + yn2 ). Para demostrarla, usaremos que si ax2 + bx + c ≥ 0 para cualquier x, el discriminante ∆ = b2 − 4ac no puede ser positivo. Para ello, tengamos en cuenta que para cualquier λ ∈ R se cumple que (λx1 + y1 )2 + · · · + (λxn + yn )2 ≥ 0. Desarrollando los cuadrados, 0 ≤ (λx1 + y1 )2 + · · · + (λxn + yn )2 = = (x21 + · · · + x2n )λ2 + 2(x1 y1 + · · · xn yn )λ + (y12 + · · · + yn2 ) de donde 4(x1 y1 + · · · xn yn )2 − 4(x21 + · · · + x2n )(y12 + · · · + yn2 ) ≤ 0, apareciendo la desigualdad buscada. Adem´as, vemos que la igualdad se cumplir´a si y solo si los n´ umeros si x1 , . . . , xn e y1 , . . . , yn son proporcionales. 8

2.2

Ejercicios resueltos

1. Sean a, b, c, d, e n´ umeros reales tales que a + b + c + d + e = 8 y 2 2 2 2 a + b + c + d + e2 = 16. Hallar el valor m´aximo de e. Soluci´on. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, (a + b + c + d)2 ≤ (12 + 12 + 12 + 12 )(a2 + b2 + c2 + d2 ). Entonces (8 − e)2 ≤ 4(16 − e2 ), que desarrollando y simplificando nos da e(5e − 16) ≤ 0. Esto nos dice que 0 ≤ e ≤ 16 y por tanto el valor 5 6 m´aximo pedido es 16 , que ocurre si a = b = c = d = . 5 5 2. Sean x, y, z ≥ − 14 tales que x + y + z = 1. Calcular el m´aximo valor de √ √ √ 4x + 1 + 4y + 1 + 4z + 1. Soluci´on. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, p √ √ 4x + 1 + 4y + 1 + 4z + 1 = p √ √ = 1 · 4x + 1 + 1 · 4y + 1 + 1 · 4z + 1 ≤ p √ ≤ 12 + 12 + 12 (4x + 1) + (4y + 1) + (4z + 1) = √ √ p 3 4(x + y + z) + 3 = 21. = 3. Demostrar que un tri´angulo y, z es p semejante a un tri´angulo √ x,√ √ de lados de lados a, b, c si y solo si ax+ by + cz = (a + b + c)(x + y + z). Soluci´on. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz con las ra´ıces cuadradas de los lados, obtenemos que p p √ √ ax + by + cz ≤ (a + b + c)(x + y + z), cumpli´endose la igualdad si y solo si los n´ umeros x, y, z son proporcionales a a, b, c, y esa es la condici´on que determina a dos tri´angulos semejantes. 4. Demostrar que si a + b + c ≥ 3, entonces a2 + b2 + c2 ≥ 3. Soluci´on. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, 9 ≤ (a + b + c)2 ≤ (1 + 1 + 1)(a2 + b2 + c2 ), de donde a2 + b2 + c2 ≥ 3. 9

5. Siendo a y b n´ umeros reales, hallar el valor m´aximo y m´ınimo de la expresi´on a cos θ + b sen θ. Soluci´on. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, (a cos θ + b sen θ)2 ≤ (a2 + b2 )(cos2 θ + sen2 θ) = a2 + b2 . La igualdad se cumple cuando a sen θ = b sen θ, es decir cuando tgθ = ab . Habr´a dos valores entre 0 y 2π que consigan este valor. Uno √ corresponder´a al m´ınimo y otro al m´aximo, que ser´an entonces − a2 + b2 y √ a2 + b2 , respectivamente. Estas f´ormulas sirven para el caso a = 0, pues entonces la expresi´on se reduce a b sen θ.

3 3.1

Desigualdad de Jensen Funciones convexas

La desigualdad A − R vista en el apartado 1.4 es s´olo un caso particular de una situaci´on mucho m´as general: se debe a que la funci´on f (x) = x2 es una funci´on convexa. Diremos que una funci´on f es convexa en un intervalo I cuando cualesquiera que sean x, y ∈ I y cualesquiera que sea t ∈ [0, 1], se cumple que f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y). En la figura siguiente, z representa un punto intermedio entre x e y y se observa que el valor de f en z, siendo f convexa, es menor que el de la recta secante por los puntos (x, f (x)) y (y, f (y)).

t f(x)+(1-t) f(y) f(z)

x 10

z

y

Diremos que una funci´on f es c´ oncava en un intervalo I cuando cualesquiera que sean x, y ∈ I y cualesquiera que sea t ∈ [0, 1], se cumple que f (tx + (1 − t)y) ≥ tf (x) + (1 − t)f (y). La derivada segunda de una funci´on f nos permite calcular los intervalos en los que dicha funci´on es convexa y aquellos en los que es c´oncava: 1. Si f 00 (x) ≥ 0 en un intervalo I entonces f (x) es convexa en I. 2. Si f 00 (x) ≤ 0 en un intervalo I entonces f (x) es c´oncava en I.

3.2

Desigualdad de Jensen

La desigualdad de Jensen afirma que si una funci´on es convexa en un intervalo I, x1 , x2 , . . . , xn son n´ umeros de I y t1 , t2 , . . . , tn son n´ umeros de (0,1) tales que t1 + t2 + · · · + tn = 1 se cumple que f (t1 x1 + t2 x2 + · · · tn xn ) ≤ t1 f (x1 ) + t2 f (x2 ) + · · · + tn f (xn ). Hacemos la demostraci´on por inducci´on copi´andola de la demostraci´on mostrada en el apartado 1.4. Para n = 2 la desigualdad se deduce de la definici´on de funci´on convexa. Supongamos que la desigualdad es cierta para n − 1. Entonces:

= = (1)

≤

(2)

≤ =

f (t1 x1 + t2 x2 + · · · tn xn ) = ¶ µ t 2 x2 + · · · t n xn = f t1 x1 + (1 − t1 ) 1 − t1 µ µ ¶¶ t2 tn f t1 x1 + (1 − t1 ) x2 + · · · + xn ≤ 1 − t1 1 − t1 µ ¶ t2 tn x2 + · · · + xn ≤ t1 f (x1 ) + (1 − t1 )f 1 − t1 1 − t1 ¶ µ tn t2 f (x2 ) + · · · + f (xn ) = t1 f (x1 ) + (1 − t1 ) 1 − t1 1 − t1 t1 f (x1 ) + t2 f (x2 ) + · · · + tn f (xn ).

Esta demostraci´on no permite determinar cu´ando ocurre la igualdad. Puede demostrarse que la desigualdad es estricta a menos que los n´ umeros x1 , . . . , xn sean todos iguales o la funci´on sea lineal en un intervalo que contenga a todos los xi . 11

3.3

Ejercicios resueltos

Las cuatro desigualdades siguientes figuran entre las llamadas Las siete maravillas del mundo en el art´ıculo La otra cara de las desigualdades, Cuarta Parte de Richard Hoshino. Algunas se demuestran usando la desigualdad de Jensen para funciones c´oncavas de tres variables: ¶ µ f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) x1 + x2 + x3 . ≤f 3 3 En todos los casos, α, β y γ son los ´angulos de un tri´angulo, por lo que suman π radianes. Las otras tres maravillas est´an propuestas como ejercicio 3 en la p´agina 13. 1. sen α + sen β + sen γ ≤

√ 3 3 . 2

Soluci´on. Como la funci´on seno es c´oncava en el intervalo (0, π), aplicando la desigualdad de Jensen, √ α+β+γ π 3 3 sen α + sen β + sen γ ≤ 3 sen = 3 sen = . 3 3 2 √ 2. csc α + csc β + csc γ ≥ 2 3. Soluci´on. Como la funci´on cosecante es convexa en (0, π), aplicando la desigualdad de Jensen, csc α + csc β + csc γ ≥ 3 csc

√ α+β+γ π 2 = 3 csc = 3 √ = 2 3. 3 3 3

3. 1 < cos α + cos β + cos γ ≤ 32 . Soluci´on. Aqu´ı, la desigualdad de Jensen s´olo ayuda si todos los ´angulos del tri´angulo son agudos. En ese caso, usando que la funci´on coseno es c´oncava en (0, π2 ), obtenemos que cos α + cos β + cos γ ≤ 3 cos 4. cot α cot β cot γ ≤

α+β+γ π 3 = 3 cos = . 3 3 2

√

3 . 9

Soluci´on. Si uno de los ´angulos del tri´angulo es obtuso, su cotangente es negativa, por lo que tambi´en lo ser´a el producto de las tres cotangentes y 12

se satisfar´a la desigualdad. Si uno de los ´angulos es recto, la el producto de las tres cotangentes es nulo y tambi´en se cumple la desigualdad. Supongamos ahora que los tres ´angulos son agudos. Entonces, usamos que la funci´on tangente es convexa en (0, π2 ) para obtener que √ π tg α tg β tg γ = tg α + tg β + tg γ ≥ 3tg( ) = 3 3. 3 Basta invertir para obtener la desigualdad deseada.

4

Ejercicios propuestos 1. Supongamos que a + b + c = 1, siendo a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0. Demostrar que √ √ √ 9a + 1 + 9b + 1 + 9c + 1 ≤ 6. 2. Sean a, b, c n´ umeros positivos. Demostrar que a+b+c 1 1 1 ≤ 2 + 2 + 2. abc a b c 3. Se supone que α, β y γ son los tres ´angulos de un tri´angulo. Demostrar que √ (a) cot α + cot β + cot γ ≥ 3. (b) sen2 α + sen2 β + sen2 γ ≤ 94 . (c) cot2 α + cot2 β + cot2 γ ≥ 1.

13