Desigualdad

Instituto Nacional Jos´e Miguel Carrera Problema. Demuestre que si a, b, c son reales no negativos, entonces √ √ √ (a + b + c)2 ≥ a bc + b ca + c ab 3 Lema 1. ∀x, y ∈ R+ , ∀n ∈ N, x ≥ y ⇒ xn ≥ y n Demostraci´ on: • Hip´ otesis Inductiva: 1. n = 1 x ≥ y ⇒ x1 ≥ y 1 2. n = k x ≥ y ⇒ xk ≥ y k • Paso Inductivo: Por demostrar que x ≥ y ≥ 0 ⇒ xk+1 ≥ y k+1 . Si x ≥ y, entonces, por Hip´otesis Inductiva, xk ≥ y k . Pero como x, y ≥ 0, entonces xk , y k ≥ 0. Luego x · xk ≥ y · y k xk+1 ≥ y k+1 Lema 2. ∀x, y ∈ R, x ≥ y ≥ 0 ⇒

√ n

x≥

√ n

y

Demostraci´ on: Supongamos que

√ n

x<

√ n

√ √ y. Como n x, n y ≥ 0, entonces, por Lema 1: n √ √ n x < ( n y)n x < y →←

Luego

√ n

x≥

√ n

y.

Felipe Contreras Salinas

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Yag Oldaw

Instituto Nacional Jos´e Miguel Carrera Lema 3. Sean x, y, z reales no negativos. Entonces x+y+z √ ≥ 3 xyz 3 Demostraci´ on: Si x, y son reales no negativos, entonces √ √ 2 x− y ≥0 √ x − 2 xy + y ≥ 0 √ x + y ≥ 2 xy x+y √ ≥ xy (i) 2 Aplicando (i) a x, y, z, w ≥ 0, tenemos: x+y √ z+w √ ≥ xy ∧ ≥ zw 2  2 √ x+y √ z+w ≥ 4 xy ∧ ≥ 4 zw 2 2    z+w √ x+y ≥ 4 xyzw (ii) 2 2 x+y 2

y w+z 2 , obtenemos    x+y w+z z+w x+y 2 + 2 ≥ 2 2 2    z+w x+y x+y+w+z ≥ (iii) 4 2 2

Por otro lado, aplicando (i) a

De (ii) y (iii), tenemos que: x+y+z+w √ ≥ 4 xyzw (iv) 4 x+y+z : Aplicando (iv) a x, y, z, 3    x + y + z + x+y+z x+y+z 3 ≥ 4 xyz 4 3    x+y+z 3(x + y + z) + x + y + z 4 ≥ xyz 12 3 4    x+y+z 4(x + y + z) (Por Lema 1) ≥ xyz 12 3     x+y+z x+y+z 4 ≥ xyz 3 3 3  x+y+z ≥ xyz 3 x+y+z √ ≥ 3 xyz (Por Lema 2) 3 Felipe Contreras Salinas

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Yag Oldaw

Instituto Nacional Jos´e Miguel Carrera Lema 4. Sean x , y, z reales no negativos. Entonces:  x+y+z x2 + y 2 + z 2 ≥ 3 3 Demostraci´ on: Como x, y, z ∈ R, entonces: (x − y)2 ≥ 0

∧

x2 − 2xy + y 2 ≥ 0 x2 + y 2 ≥ 2xy

∧ ∧

(y − z)2 ≥ 0 y 2 − 2yx + z 2 ≥ 0 y 2 + z 2 ≥ 2yx

(z − x)2 ≥ 0

∧ ∧

z 2 − 2zx + x2 ≥ 0

∧

z 2 + x2 ≥ 2zx

2(x2 + y 2 + z 2 ) ≥ 2(xy + yz + zx) 3(x2 + y 2 + z 2 ) ≥ x2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx) (x + y + z)2 x2 + y 2 + z 2 ≥ 3  9  2 2 2 x +y +z (x + y + z)2 ≥ (Por Lema 2) 3 9  x+y+z x2 + y 2 + z 2 ≥ 3 3 Soluci´ on: Aplicando Lema 3 a a, b, c, obtenemos √ a+b+c 3 ≥ abc 3   a+b+c 3 ≥ abc (Por Lema 1) 3   a+b+c 3 √ ≥ abc (i) 3 √ √ √ Por otra parte, aplicando Lema 4 a a, b, c :  √ √ √ √ √ 2 √ (( a)2 + ( b)2 + ( c ) a+ b+ c ≥ 3 3  √ √ √ a+b+c a+ b+ c ≥ (ii) 3 3

Felipe Contreras Salinas

3

Yag Oldaw

Instituto Nacional Jos´e Miguel Carrera Como todo los t´erminos de (i) y (ii) son positivos, entonces:  √   √ √ a+b+c √ a+ b+ c a+b+c 3 · ≥ abc · 3 3 3 √ 2 √  √ √ abc · ( a + b + c) a+b+c ≥ 3 3 √ √ √ a bc + b ca + c ab (a + b + c)2 ≥ 9 3 2 √ √ √ (a + b + c) ≥ a bc + b ca + c ab 3

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Yag Oldaw