Descartes 4 Y La Gestalt - Clase 5

APRENDIENDO DESCARTES CON LA GESTALT CLASE 5. Las uniones imposibles y pensamiento rotacional en Descartes La existencia de las imágenes mentales de un objeto geométrico de tres dimensiones es algo que aún está en discusión. El movimiento mental de estos objetos presenta mayor escepticismo. En esta clase haremos una pequeña introducción a este tipo de discusión, luego utilizaremos las llamadas uniones imposibles como ejemplo de nuestras limitaciones mentales y finalmente construiremos algunos applets en Descartes, que representen parte de lo discutido en esta clase, tales como el reto del filósofo mental Daniel Dennett, así como una unión imposible sencilla. Nuestro objetivo desde la percepción es comprender las limitaciones que tenemos para crear imágenes mentales, que justifica en gran medida la existencia de herramientas computacionales como Descartes para ayudarnos a percibir aquellos objetos que nuestro cerebro se niega a representar. Nuestro objetivo desde el proyecto Descartes es profundizar en las representaciones 3D, que nos permita crear y recrear escenas que involucren familias de objetos geométricos, así como sus rotaciones espaciales. 5.1 ¿Rotaciones mentales? Como docentes hacemos supuestos en nuestras actividades de enseñanza. Suponemos que nuestros estudiantes perciben y representan las imágenes tal como se las presentamos; igualmente creemos que tienen la capacidad espacial para rotar algunas de esas imágenes. Por ejemplo, cuando representamos superficies de revolución, les decimos que roten mentalmente la imagen para que la observen en otras posiciones (ver imagen de la derecha construida a partir de una escena de la clase 12 de www.descartes3D.blogspot.com). Sin embargo, ignoramos que tal capacidad de abstracción tiene sus limitaciones. En las ciencias cognitivas existen aún dudas acerca de la existencia de las imágenes mentales y, en consecuencia, de sus rotaciones. Los científicos indagan sobre los procesos mentales que permiten este tipo de abstracción1, apoyados en las nuevas tecnologías o en 1

Véase Richter et al (1997) y Kosslyn (2005) sobre el uso de neuro-imágenes para estudiar las áreas de la corteza cerebral que se activan durante las actividades de generación de rotaciones mentales. No obstante: “Las imágenes mentales tienen una realidad controvertida, y han sido objeto de intensos debates. Filósofos como Nelson Goodman niegan su existencia y neuro-psicólogos como Roger Shepard señalan que la actividad nerviosa detectable, captada por instrumentos que recogen el flujo eléctrico en un cerebro de alguien que contempla una imagen determinada se parece bastante a la que se produce cuando recuerda dicha imagen y de esa prueba experimental deduce la existencia de las imágenes mentales” (Carra, 2008, pág. 5).

una variada gama de test como los desarrollados por Shepard (1971), Tversky (Tversky, 2004), entre otros. Los filósofos, por su parte, se enfrascan en fuertes debates sobre la existencia o no de las imágenes mentales2. Dada su complejidad, una de las aptitudes espaciales más evaluadas son las rotaciones espaciales que generan, a su vez, posibles rotaciones mentales.

Tarea de rotación mental de Shepard y Metzler Fuente: (Tversky, 2004, pág. 213)

En las rotaciones mentales no sólo se trata de transformar un objeto posicionalmente. Los test de Shepard & Metzler (1971) mostraban objetos 3D que variaban en tamaño y forma (ver imagen anterior). Su objetivo era determinar el tiempo de reacción para comparar dos objetos 3D formados por una serie de 10 cubos unidos (ver imagen anterior), cada uno de igual tamaño cuya disposición y dirección variaba3. Los dos últimos objetos, diseñados con Descartes, tienen 11 cubos de igual tamaño cada uno en igual disposición y dirección; sin embargo, los colores los diferencian. Haremos una breve descripción del test y de sus resultados para confrontarlos con nuestra afirmación de la existencia de un “pensamiento planar” o, al menos, limitado en representaciones tridimensionales. El ejercicio de Shepard & Metzler consistía en la presentación de 1600 parejas de objetos 3D, unas congruentes al rotar la primera, otras no. El evaluado debía determinar la congruencia en el menor tiempo posible (tiempo de reacción). Las rotaciones variaban entre 0º y 360º con pasos de 20º. Lo interesante del 2

En el supuesto de superar la existencia de las imágenes mentales, las discusiones entre filósofos y psicólogos cognitivos se han centrado en la pregunta: ¿una imagen mental es una representación o una experiencia? Una posible respuesta en el debate es la llamada “representación subyacente”, al respecto Nigel Thomas expresa: “From this perspective, some recent authors have recommended that the term ‘imagery’ should not be understood as referring to a form of subjective experience, but, rather, to a certain type of ‘underlying representation’ […] Such representations are ‘mental’ in the sense now commonplace in cognitive science: i.e., they are conceived of as being embodied as brain states, but as individuated by their functional (and computational) role in cognition.” http://www.science.uva.nl/~seop/entries/mental-imagery/#ExpRep. 3

Objetos diseñados por Jih-Jie Chang en la Bell Laboratories (Shepard & Metzler, 1971, pág. 703).

ejercicio era la presencia de rotaciones bidimensionales o planares (alrededor de un eje perpendicular al plano) y las rotaciones tridimensionales (alrededor de un eje sobre el plano). Los resultados obtenidos mostraban una sorprendente relación lineal entre los grados de rotación y el tiempo de reacción (ver figura siguiente), pero lo más sorprendente era la similitud entre ambos tipos de rotación. Relación tiempo de respuesta y rotación Relación tiempo de respuesta y rotación angular bidimensional. angular tridimensional.

Resultados de Shepard y Metzler Fuente: (Shepard & Metzler, 1992, pág. 220)

El pensamiento planar, en el test de Shepard & Metzler, se evidencia en la dificultad para identificar la congruencia entre una pareja de objetos a mayor grado de rotación. Sin embargo, sería fundamental realizar otras pruebas que involucren otros ejes de rotación, en tanto que cada uno de nosotros desarrollamos los movimientos mentales en forma distinta. Por ejemplo, en la imagen siguiente hemos diseñado con Descartes un objeto rotado alrededor de un eje (vertical y horizontal) sobre el plano. Cada observador tiene sus propios patrones para realizar las rotaciones, así como diferentes niveles de abstracción que se evidencian en los tiempos de reacción y en las respuestas acertadas. Durante el desarrollo de los test de Sherpad emerge un concepto que ha generado fuertes discusiones. Al preguntársele a uno de los encuestados cómo realizaba las rotaciones, éste contestó: “con el ojo de la mente”. Las rotaciones son acciones reales que ejecuta o se ejecutan sobre un objeto, el cuestionamiento es si su representación es o no una imagen mental dinámica. Así como existe debate frente a las imágenes mentales, igual o un mayor debate generará la posibilidad de imágenes mentales en movimiento. A continuación veremos sucintamente parte de la discuión.

Objeto Original

Rotación de 180º con respecto a Rotación de 270º con respecto un eje sobre el plano. a un eje sobre el plano.

eje vertical

eje vertical

Eje horizontal

Eje horizontal

Rotaciones tridimensionales sobre ejes distintos Construcción con Descartes

Los escépticos encuentran fuertes argumentos para dudar sobre la existencia de las rotaciones mentales, uno de ellos es el reto planteado por Dennett (1991, pág. 289), quien critica el llamado “ojo de la mente” en los experimentos de Shepard, The subjects in the original experiment were shown such pairs of line drawings and asked whether or not the pair are different views of the same shape. In this case, as you can quickly determine, the answer is yes. How did you do it? A typical answer is "I rotated one of the images in my mind's eye, and superimposed it on the other.

El reto es un ejemplo sencillo que se ilustra a continuación (ver imagen siguiente)4, We can satisfy ourselves that this limit on our brains is real by considering a slightly different Shepard-style problem that would be quite easy to solve with the aid of such a CAD system: Would the "red" X on one face of this object be visible to someone looking through the square hole in its front wall? […] Now, can you perform the same experiment in your mind's eye? Can you simply rotate the object shown and peer through the hole? If you can, you can do something I can't do, and all the people I have asked are also unable to do it with any confidence. Even those who have an answer to the question are quite sure that they didn't just get it by rotating and looking”

4

La imagen fue construida con Descartes. La “x” roja de Dennett se representa por un triángulo. Sin embargo, el modelo es el mismo y el cuestionamiento de Dennett igualmente aplica.

Reto de Dennet

La verdad es que nosotros tampoco pudimos rotar el objeto y observar a través del agujero. Dennett da un certero golpe a los defensores de las rotaciones mentales. No obstante, queremos proponer un ejercicio que pueda validar la existencia de las rotaciones mentales o, al menos, un modelo que explique el cómo obtenemos las representaciones de imágenes en movimiento. El ejercicio pretende evidenciar evocaciones de rotaciones mentales de un menor a mayor grado de complejidad, así como la construcción mental de imágenes rotadas. Iniciamos con esta pregunta ¿podemos imaginar un cubo rotando en el espacio? Trata de visualizar un cubo en el espacio rotando alrededor de un eje vertical. Imagina, además, que sus caras laterales son de color amarillo. No tienes que cerrar los ojos, basta con observar la figura del lado derecho ¿puedes hacerla rotar? Una pregunta más simple te dará más claridad ¿puedes imaginar cómo sería la figura con una cara lateral de frente a ti? Si tu respuesta es afirmativa, entonces rotaste la imagen. Hagamos más complejo el ejercicio. El cubo de la derecha ahora tiene caras laterales de colores en el siguiente orden de izquierda a derecha: amarillo, rojo, azul y verde. El cubo comienza a rotar lentamente en el sentido indicado por la flecha. Una vez se oculte la cara roja ¿puedes visualizar los colores de las dos caras que quedan en dirección a tus ojos? Seguramente tu respuesta será afirmativa; sin embargo, estamos seguros que tuviste que recurrir a leer de nuevo el orden de los colores o, al menos, tuviste que tratar de recordarlos ¿puedes seguir rotando el cubo? Quizá sí, pero con dificultades en la ubicación de los colores. Nuestra hipótesis es que no construimos un objeto rotando, sino imágenes del objeto rotado. Es decir, recurrimos a diferentes procesos mentales para construir una nueva imagen del objeto, algo similar al modelo que el mismo Dennet denominó de los “borradores múltiples”5. Siguiendo este modelo, un primer borrador sería 5

La forma, color y posición son fijadas en diferentes lugares y tiempos en el cerebro. Para Dennett tanto la memoria como la consciencia se dan en forma paralela, en una revisión o edición permanente de los estímulos de las experiencias vividas.

la imagen que se presenta con forma, color y posición iníciales. El siguiente borrador extrae los nuevos colores de la memoria, cambiándolos por los iníciales. Se obtiene finalmente una imagen rotada de la anterior. ¿Hubo movimiento de rotación? La respuesta es ¡no!, generamos una imagen rotada, más no realizamos movimiento alguno. Pero, ¿cómo es posible que podemos determinar con certeza que una imagen es equivalente a otra, sin rotarlas?

Imágenes rotadas equivalentes

Un modelo que puede dar respuesta es el de los “borradores múltiples”. En la imagen anterior, construimos varios borradores que contrastamos con la imagen anterior. Por ejemplo, un primer borrador serían los bloques rojos y el bloque blanco “rotados” 180º alrededor de un eje vertical, un segundo borrador se daría con el resto de bloques. No obstante, es posible que se requieran más borradores, lo cual dependa de las habilidades “espaciales” de cada uno de nosotros. El reto de Dennet refleja nuestras limitaciones en la creación de imágenes mentales en movimiento a partir de un objeto real. Quizá podamos recrear imágenes mentales de objetos en movimiento, algunos desde nuestra experiencia (un caballo al trote), otros desde nuestra fantasía (un minotauro al trote). Sin embargo, los detalles de estos movimientos son limitados. Trata de rotar mentalmente el caballo o el minotauro o, para facilitar el problema, rota la imagen invertida del ex mandatario soviético Boris Yeltsin que se observa en esta página. Ahora gira la imagen manualmente (rotando la página impresa). Estamos seguros que te sorprenderás de la imagen obtenida y evidenciarás la limitación de nuestras rotaciones mentales. Este tipo de limitaciones ya lo había advertido Wittgenstein como una imposibilidad de distinguir los gestos de una cara al ser rotada, Hold the drawing of a face upside down and you can't recognize he expression of the face. Perhaps you can see that it is smiling, but not exactly what kind of smile it is. You cannot imitate the smile or describe it more exactly. And yet the picture which you have turned round may be a most exact representation of a person's face. (Wittgenstein, 1986 (1953), pág. 198)

Además de los problemas de tipo cognitivo, se presentan otros que obedecen a nuestros hábitos en el momento de percibir. Hemos acostumbrado a nuestro sistema visual a capturar imágenes según un patrón. Vemos las imágenes siguiendo ese patrón establecido y nos confundimos si la imagen se presenta rompiendo el esquema; una foto, por ejemplo, la vemos de arriba hacia abajo. La sonrisa de Yeltsin difícilmente podemos percibirla como la mueca que se observa al rotar la imagen. Nuevamente Wittgenstein se atreve a dar una explicación fisiológica, When we look at the figure, our eyes scan it repeatedly, always following a particular path. The path corresponds to a particular pattern of oscillation of the eyeballs in the act of looking. It is possible to jump from one such pattern to another and for the two to alternate. Certain patterns of movement are physiologically impossible; hence, for example, I cannot see the schematic cube as two interpenetrating prisms. And so on. Let this be the explanation. (Wittgenstein, 1986 (1953), pág. 212)

Si bien los hábitos perceptivos son una explicación aceptable, los últimos estudios neurocientíficos ofrecen una mirada científica que explican el porqué nuestro cerebro opta por el camino fácil en la percepción (de arriba hacia abajo). Neurocientíficos como Martínez-Conde (2005, págs. 110-115) sostienen, Tenemos alrededor de 1012 neuronas, que se comunican por medio de impulsos eléctricos. Cada uno de estos impulsos nos cuesta 2,49 moléculas de ATP, la moneda energética de nuestro organismo. Sabiendo que de cada molécula de glucosa se obtienen 30 moléculas de ATP, podemos calcular que, para que una de nuestras neuronas dispare un impulso eléctrico por segundo, necesita emplear unos 0,020 gramos de azúcar.

Según esta afirmación, sí la millonésima parte de nuestras neuronas están activas, el costo de ello serían 20 kilos de azúcar. Ahora es comprensible, neurológicamente, porque nuestro cerebro rehúye los más mínimos detalles como la sonrisa invertida de Yeltsin. El problema de percibir y construir una imagen a partir de lo percibido incrementa el número de impulsos neuronales, En realidad, sólo podemos permitirnos que entre un 1 y un 10% de nuestras neuronas disparen impulsos en un momento dado. Así, para usar menos azúcar hay que poner en acción el menor número de neuronas posibles. Por añadidura, los diferentes circuitos de neuronas que procesan la información sensorial se encuentran en partes muy diversas del cerebro, a veces separados por grandes distancias. La comunicación de un circuito a otro requiere tiempo. La información visual sobre cualquier objeto –por ejemplo, una cara– tarda unas 50 milésimas de segundo en alcanzar la primera etapa de procesamiento en la corteza cerebral. A partir de ahí, todavía se necesitan unas 150 milésimas de segundo para que seamos capaces de reconocer esa cara, y eso sin contar el tiempo que nos llevaría el producir cualquier tipo de respuesta motora (por ejemplo, saludar con la mano o decir ‘hola’).

Rotar la cara de Yeltsin, entonces, demanda de un alto consumo de azúcar. La estrategia de nuestro cerebro es ahorrar este preciado combustible usando el mínimo de neuronas, extrayendo de una imagen visual la información más relevante. Si se intenta rotar mentalmente al minotauro se escaparán detalles como colores, sombras, tamaño, proporciones, expresiones de la cara, forma de las pezuñas, entre otros cientos de detalles.

En ese sentido, rotar la imagen de Dennet es una tarea que nuestro cerebro no quiere emprender. 5.2 Uniones imposibles La geometría espacial también presenta imágenes que generan ilusiones. La forma como se nos presentan pueden hacernos pensar que el objeto que vemos es real. Podemos creer que vemos una torre de base circular cuando en realidad es de base octogonal. Otros objetos reales se configuran de tal forma que se asemejan a figuras imposibles. Una primera figura imposible es el “Triángulo de Penrose”, también llamado tribar. Este objeto imposible fue creado en 1934 por el artista sueco Oscar Reutersvärd. Posteriormente el físico Roger Penrose6, en forma independiente, presenta su propio modelo (ver imágenes siguientes).

Tribar de Reutersvärd

Tribar de Penrose

El tribar tiene apariencia de un objeto sólido, está formado por tres hileras de cubos que se que se cruzan en ángulos rectos en los extremos del triángulo que conforman. Un objeto como éste es imposible que exista en la realidad. Sin embargo, algunos objetos tridimensionales observados desde una perspectiva determinada, aparentan ser un tribar. El holandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972) nos presenta, en sus obras, otros objetos imposibles. Sus sorprendentes construcciones como la cascada o el Belvedere (ver imagen siguiente en la que se resalta el detalle del hombre que observa otro objeto imposible) son 6

Penrose ha generado gran polémica con su modelo cuántico de la mente, tratando de explicar el complejo fenómeno de la consciencia a través de conceptos que se entrelazan entre la física, las matemáticas y la biología. Presenta nuevas entidades neuronales tales como las que denomina tubulinas compuestas de microtúbulos formados por un tipo de proteína. Asegura que estas entidades existen en todo tipo de células, que para el caso de las neuronas contiene una cantidad exorbitante, del orden de 103 microtúbulos, incrementando el poder de computación del cerebro. Este modelo, aún especulativo, explicaría nuestra capacidad espacial a pesar del poco combustible (azucar) que nuestro cerebro permite consumir.

diseños que muestran la imposibilidad en sus edificaciones; por ejemplo, escaleras que salen de dentro del edificio y que se apoyan en la fachada7.

El Belvedere de Escher

5.3 Uniones imposibles en Descartes

Uniones imposibles con cubos

En este apartado crearemos uniones imposibles como las que se observan en la imagen anterior, diseñadas con la inserción de cubos. 7

Véase http://www.ilusionario.es/CLASICOS/obr_escher.htm para una descripción más amplia de la obra de Escher o la página oficial en http://www.mcescher.com/. Un applet con el objeto imposible que observa el hombre del Belvedere fue diseñado por José Ireno Fernández en http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/ilusiones_opticas/ilu_opt2.htm

El diseño de uniones imposibles en Descartes presenta dos problemas. El primero está referido al uso de los sólidos en general y el segundo a los cubos en particular. En la imagen de la derecha se observa el tribar de Reutersvärd diseñado con Descartes. Puedes notar que el tamaño de los cubos es diferente. Ello obedece a la profundidad que tienen algunos de ellos; por ejemplo, los cubos en la hilera vertical se encuentran más cercanos al observador. Una solución sería asignarle, gradualmente, un tamaño mayor a los cubos del fondo. El segundo problema es la ubicación de los cubos en el espacio 3D de Descartes. Una de las propiedades del cubo que trae por defecto Descartes es su ancho (ver imagen siguiente).

Si no sabemos lo que significa este ancho, difícilmente podremos construir escenas como los tribares o las mostradas al inicio de este apartado. 5.3.1 Construcción de escenas con cubos Cuando insertamos un cubo, éste se dibuja con el origen de coordenadas en el centro del cubo (ver imagen derecha). Esto quiere decir que las intersecciones de las caras del cubo con los ejes x, y y z se encuentra a una distancia igual a la mita del lado del cubo (L/2). Si queremos adosar otros cubos al primero (ver imagen siguiente), tenemos que conocer el valor del lado del cubo (L). El lado del cubo se puede determinar a partir del ancho definido en Descartes: Ancho = Diagonal del cubo

Cubos adosados

Supongamos que el ancho es a. Entonces, recurriendo a nuestro amigo Pitágoras, podemos deducir fácilmente que,

L=


√ 

Si las coordenadas del cubo rojo están en la posición: posini = (0, 0, 0). Las coordenadas del cubo verde debería ser: posini = (0, L, 0). Recuerda que las coordenadas de cada cubo referencian su centro (ver imagen siguiente)

Distancia entre los centros de dos cubos adosados Ahora podemos construir una tabla con las coordenadas de los cinco cubos adosados:

Cubo Rojo Verde Azul Amarillo Gris

posini (0, 0, 0) (0, L, 0) (L, 0, 0) (L, L, 0) (0, 0, 2L)

Con esta aclaración, construiremos nuestra primera unión imposible. 5.3.2 El peldaño imposible Esta ilusión se genera a partir de 13 cubos dispuestos como se oberva en la imagen siguiente (extreme derecho).

Escena. Crea un archive con el nombre que quieras (imposible1, por ejemplo). Inserta una escena Descartes 4. Borra el espacio que aparece por defecto e inserta un espacio 3D de color negro. Auxiliares. Crea dos constantes. La primera es el ancho (a) con un valor de 2. La segunda es el lado del cubo (L) con un valor igual al que se observa en la imagen. Gráficos 3D. Debemos insertar 13 cubos verdes como lo indica la imagen anterior. Para ello iniciemos con la hilera de cuatro cubos insertándolos con las siguientes posiciones (posini): (0, 0, 0), (L, 0, 0), (2*L, 0, 0), (3*L, 0, 0).

Hasta este punto, la imagen que se genera es la siguiente:

Ahora insertemos cuatro cubos más con las siguientes posiciones: (3*L, -L, 0), (3*L, -2*L, 0), (3*L, -3*L, 0), (3*L, -4*L, 0).

Sólo nos restan los cuatro cubos que se encuentran en el nivel superior (z = L). Sus coordenadas están dadas por: (2*L, -4*L, L), (L,-4*L, L), (L, -3*L, L), (L, -2*L, L). Rotaciones. Para generar la ilusión, necesitamos rotar la figura. Inserta las siguientes constantes: E1.rot.y y E1.rot.z. Un truco consiste en insertar un texto con los valores de

estas constantes, luego rotas la figura hasta obtener los valores de la ilusión. Para nuestro caso serían E1.rot.y = 20 y E1.rot.z = 45.

Una recomendación final. Usa para los cubos el modelo “luz” en lugar de “metal” que trae por defecto. 5.3.3 Los tribares. Como tarea te dejamos las siguientes actividades: • • •

Diseñar el tribar de Reutersvärd Analizar el tribar de Penrose y su posibilidad de diseño en 3D. Intentar el diseño del tribar de Penrose en 2D. Una interesante escena de José Ireno Fernández, la puedes observar en: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/ilusiones_opticas/ilu_opt2.htm

Otra alternativa es usar algunas figuras adicionales para cubrir aquellos elementos que distorsionan la ilusión. Observa un ejemplo en los applets de la clase 5 publicados en: http://descartesv4.blogspot.com/.

Bibliografía Dennett, D. (1991). Consciousness explained. New York: Hachette Book Group USA. Llinás, R. R. (2002). El cerebro y el mito del yo: el papel de las neuronas en el pensamiento y el comportamiento humanos. (E. Guzmán, Trad.) Bogotá: Editorial Norma. Martínez-Conde, S., Pérez, M., & Martínez, L. (2005). Flipar en colores. Quo , 118, 110115. Shepard, R., & Metzler, J. (1971). Mental Rotation of Three-Dimensional Objects. Science , 171 (3972), 701-703. Shepard, R., & Metzler, J. (1992). mental rotation of three-dimensional objects. En B. Beakley, & P. Ludlow, The Philosophy of Mind: Classical Problems/contemporary Issues (págs. 217-221). MIT Press. Tversky, B. (2004). Visuospatial reasoning. En The cambridge handbook of thinking and reasoning (págs. 209-240). Wittgenstein, L. (1986 (1953)). Philosophical investigations. (G. E. Anscombe, Trad.) Oxford: Basil Blackwell Ltd. Hasta la próxima, Juan Guillermo Rivera Berrío