Desarrollo De Trabaj R2 Parte 2.docx

PREGUNTA 1 La columna mostrada es de concreto de sección rectangular 0.3 x 0.6m, armada con 6 barras, cada una de diámetro 2.54cm. Recibe la carga axial de compresión P=180 ton y el momento Mz = 18 ton-m. Usando el criterio de la sección transformada y superposición, calcular y dibujar la distribución de esfuerzos normales en el concreto y en las barras de acero. 𝒇´𝒄 = 𝟐𝟖𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 𝑬𝒄 = 𝟐. 𝟓𝒙𝟏𝟎𝟓 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐

CONCRETO: ACERO:

𝒇´𝒚 = 𝟒𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐

SOLUCION: 0,30𝑋0,60 6∅1¨ 𝑀𝑍 = 18 𝑡𝑜𝑛. 𝑚 𝑛=

𝐸𝑎 2. 106 20 = = =8 5 𝐸𝑐 2,5. 10 2,5

𝑺𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒏𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏:

𝑬𝒂 = 𝟐𝒙𝟏𝟎𝟔 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒓𝒐: 𝜋(1¨)2 𝐴 = 2[ ] = 10.134𝑐𝑚2 4 𝐴=𝐴∗𝑛 𝐴 = (10.134)(8) 𝐴 = 81.072𝑐𝑚2 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒏𝒆𝒖𝒕𝒓𝒐: 𝑃𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑦 = 25𝑐𝑚 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂: 𝐼 = 𝐼𝑥 + ∆𝑑 2 𝐼=(

(30)(25)3 + (30)(25)(12.5)2 ) . 2 + 2. (81.072. 252 ) 12

𝐼 = 413840 𝑐𝑚4 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒔𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒐𝒔: 𝜎1 =

−𝑀𝑌 𝐼

𝑌1 = 𝑌2 = 25𝑐𝑚 𝑀 = 18 𝑇𝑜𝑛. 𝑚 𝐼 = 413840 𝑐𝑚4 𝜎1 = 𝜎2 =

−(18 𝑇𝑜𝑛. 𝑚)(25𝑐𝑚) 413840𝑐𝑚4

−(18 𝑇𝑜𝑛. 102 )(25𝑐𝑚) 𝜎1 = 𝜎2 = 413840𝑐𝑚4 𝜎1 = 𝜎2 = 0,108737 𝜎1 = 𝜎2 = 108,737

𝑇𝑜𝑛 𝑐𝑚2

𝐾𝑔 𝑐𝑚2

PREGUNTA 2: La columna de concreto armado tiene una sección 0.30x0.50m y tiene 6 barras de refuerzo de área de 2 cm2 cada una. La distancia entre el centro de cada barra y el borde libre más próximo es de 6 cm en todos los casos. Usar superposición de carga axial (P de compresión) y Momentos (My, Mz) para las situaciones que se plantean. a) Si P=300 ton, My=0, Mz = 8ton-m, dibujar la distribución de esfuerzos resultante en el concreto y hallar el esfuerzo normal actuante en cada barra (en kg/cm2). b) Si P=220 ton, My=?, Mz=0, hallar My de modo que el esfuerzo máximo en el concreto es de 110 kg/cm2 E conc = 2x𝟏𝟎𝟓 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 E alb = 30000 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐

SOLUCION: 0,30𝑋0,50 6∅1¨ 𝑐/𝑢 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑏𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 6𝑐𝑚 E conc = 2x105 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 E alb = 30000 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

Para a) 𝑆𝑖 𝑃 = 300 𝑡𝑜𝑛

𝑀𝑦 = 0 𝑀𝑧 = 8 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚 𝑛=

𝐸𝑎 2. 106 20 = = = 10 𝐸𝑐 2. 105 2

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒓𝒐: 𝐴 = 2[2] = 4𝑐𝑚2 𝐴=𝐴∗𝑛 𝐴 = (4)(10) 𝐴 = 40𝑐𝑚2 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒏𝒆𝒖𝒕𝒓𝒐: 𝑃𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 ℎ1 = ℎ2 = (

50 ) − 6 = 𝑦 = 19𝑐𝑚 2

𝑺𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒏𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏:

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂: 𝐼 = 𝐼𝑥 + ∆𝑑 2 𝐼=(

(30)(19)3 (30)(19)2 ∗2+2∗ ) + (2 ∗ 40 ∗ 192 ) 12 2

𝐼 = 74005 𝑐𝑚4

𝒂) 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝑨:

𝑌1 = 𝑌2 = 19𝑐𝑚 𝑀 = 8 𝑇𝑜𝑛. 𝑚 𝐼 = 74005 𝑐𝑚4

𝜎1 =

𝑀𝑌 𝐼

𝜎1 = 𝜎2 =

−(8 𝑇𝑜𝑛. 𝑚)(19𝑐𝑚 ∗ 102 𝑐𝑚) ∗ (103 𝑘𝑔) 74005𝑐𝑚4

𝜎1 = 𝜎2 = 205,392

𝐾𝑔 𝑐𝑚2

𝒃) 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝑩:

Si n=10

𝒍𝒂 𝒏𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒂:

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒓𝒐: 𝐴´ = 3[2] = 6𝑐𝑚2 𝐴´ = 𝐴 ∗ 𝑛 𝐴´ = (6)(10) 𝐴´ = 60𝑐𝑚2 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒏𝒆𝒖𝒕𝒓𝒐: 𝑃𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 ℎ1 = ℎ2 = (

18 ) = 𝑦 = 9𝑐𝑚 2

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂: 𝐼 = 𝐼𝑥 + ∆𝑑 2 (50)(9)3 9 𝐼 =2∗( + 2 ∗ (9)(50)( )2 ) + (2 ∗ 60 ∗ 92 ) 12 2 𝐼 = 34020 𝑐𝑚4

𝑠𝑖 𝜎 = 110 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 = (110)(𝐼) =𝑀 𝑦 (110)(34020) =𝑀 9 𝑀 = 415800 𝑘𝑔 − 𝑐𝑚 𝑀 = 4,158 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚

𝑀𝑌 𝐼

PREGUNTA 3: Hallar los esfuerzos en el concreto y acero de la columna circular debido a la carga P mostrada. Se debe considerar que el concreto resiste tracción (Método de la sección transformada). Las 4 varillas de refuerzo de acero (ᴓ 1¨) están ubicadas simétricamente con respecto al centroide de la sección. Además, la carga axial de 50000 kg es aplicada excéntricamente sobre el eje Y como se muestra (Cy= 4cm). Considerar que la relación de módulos de elasticidad es դ=10

𝑛=

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒓𝒐: 𝜋(1¨)2 𝐴 = 2[ ] = 10.134𝑐𝑚2 4 𝐴=𝐴∗𝑛 𝐴 = (10.134)(10) 𝐴 = 101,34𝑐𝑚2 𝒍𝒂 𝒏𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒂:

𝐸𝑎𝑐 = 10 𝐸𝑐

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒏𝒆𝒖𝒕𝒓𝒐: 𝑃𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 ℎ1 = ℎ2 = (

38 ) = 𝑦 = 19𝑐𝑚 2

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂: 𝐼 = 𝐼𝑥 + ∆𝑑 2 𝐼=(

𝜋(20)4 + 0) + 2 ∗ (101,34 ∗ 192 ) 4

𝐼 = 198831 𝑐𝑚4 𝑽𝒆𝒓𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒂𝒙𝒊𝒂𝒍 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂 𝒖𝒏 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐: 𝑀 =𝐹∗𝑑

= 214000 𝑘𝑔 − 𝑐𝑚 = 2,14 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚

𝜎1 =

𝑀𝑌 𝐼

𝜎1 = 𝜎2 =

(214000 𝑘𝑔/𝑐𝑚)(19𝑐𝑚) 198831𝑐𝑚4

𝜎1 = 𝜎2 = 20,450

𝐾𝑔 𝑐𝑚2

PREGUNTA 4: La viga de madera soporta una carga de W=2.5 KN/m ya incluido su peso propio. La sección es rectangular con b=100 mm, h=300mm, con un esfuerzo admisible por flexión de 10 N/mm2. Para reforzarla en la parte inferior, se depone de una plancha de acero de 100mm de ancho y de espesor t=6mm. Determinar: a) La longitud de la viga que se requiere para reforzar, dibujar un esquema donde se requiere la plancha de acero. b) Los esfuerzos máximos en la madera y el acero (en MPa).

SOLUCION:

𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑛=

𝐸𝑎 200 𝐺𝑃𝑎 = = 36,4 𝐸𝑐 2.5 𝐺𝑃𝑎

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒆𝒍 𝒂𝒏𝒄𝒉𝒐 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆: =𝐴∗𝑛 𝐴 = (36,4)(100) 𝐴 = 3640𝑐𝑚2 𝒍𝒂 𝒏𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒂:

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒏𝒆𝒖𝒕𝒓𝒐: ℎ1 =

∑ 𝐴 ∗ 𝑦 (300)(100)(150) + (6)(3640)(303) = = 214,458 ∑𝐴 (300)(100) + (6)(3640)

ℎ2 = 3060 − ℎ1 = 91,542

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂: 𝐼 = ∑(𝐼 + 𝐴 ∗ 𝑑 2 ) 𝐼=(

(100)(300)3 (3640)(6)3 + 100 ∗ 300 ∗ 64,4582 ) + ( + 3640 ∗ 6 ∗ 88,5422 ) 12 12

𝐼 = 520929270,006 𝑚𝑚4

𝑺𝒆 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐:

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒐𝒔:

𝜎1 =

𝑀𝑌 𝐼

𝑀𝐴𝐷𝐸𝑅𝐴 𝜎1 =

−(40 𝑘𝑁/𝑚) ∗ (214,458𝑚𝑚) 520929270,006 𝑚𝑚4

𝑀𝐴𝐷𝐸𝑅𝐴 𝜎1 = −1.647 ∗ 10−3 𝑘𝑁/𝑚𝑚2 𝑀𝐴𝐷𝐸𝑅𝐴 𝜎1 = −1646,73 𝑘𝑁/𝑚2

𝜎1 =

𝑀𝑌 𝐼

𝑀𝐴𝐷𝐸𝑅𝐴 𝜎1 =

−(40 𝑘𝑁/𝑚) ∗ (91,542𝑚𝑚) ∗ 36.4 520929270,006 𝑚𝑚4

𝑀𝐴𝐷𝐸𝑅𝐴 𝜎1 = −2.558 ∗ 10−2 𝑘𝑁/𝑚𝑚2 𝑀𝐴𝐷𝐸𝑅𝐴 𝜎1 = −25586,036 𝑘𝑁/𝑚2

PREGUNTA 5: La viga que se muestra es de madera, la sección transversal es de 10 cm de ancho por 30 cm de peralte. Si se sabe que 𝑹𝑨 = 𝟗, 𝟖𝑲𝑵 , se pide: a) Hallar las reacciones en B y trazar los diagramas acotados de fuerzas cortantes y de momentos flectores. b) Determinar la necesidad de reforzar la viga con una platina de acero de 10cm de ancho y 2cm de espesor. Si se requiere este refuerzo, definir los tramos de la viga donde se le debe colocar. c) Hallar los máximos esfuerzos que se presentan en la madera y el acero en la sección de máximo momento flector.

E GPa 𝝈𝒂𝒅𝒎 MPa

MADERA 12,5 12

ACERO 200 200

SOLUCION: a) Si 𝑅𝐴 = 9,8𝐾𝑁 ∑ 𝐹𝑥 = 0 𝐵𝑋 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 −10 + 9.8 − 20 − 20 + 𝐵𝑌 = 0 𝐵𝑌 = 40.2 ∑ 𝑀𝐵 = 0 10(7) − 9.8(5) + 20(3) + 20(2) + 𝑀𝐵 = 0 𝑀𝐵 = −121 𝐾𝑁 − 𝑚 DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR