Des De Las Relaciones Teoria

Propiedades de las Relaciones Reflexiva: se dice que una relación es reflexiva cuando x R x para cualquier x € A. También se puede definir. R es una relación reflexiva en un conjunto A no vacío si y solo si cada elemento de el esta relacionado consigo mismo. Si

a € A, a R a

Ejemplo: A= {a, b, c, d,} R= {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d)} Irreflexiva: se dice que una relación R es irreflexiva, cuando ningún elemento en A esta relacionado consigo mismo. Si

a € A, ¬ (a R a)

Ejemplo: A= {a, b, c, d, e} R= {(a, c), (a, e), (e, c), (b, c)} Simétrica: se define una relación R simétrica, cuando un elemento de A esta relacionado con un segundo elemento de A y el segundo también se relaciona con el primero. Si

a, b € A, a R b → b R a

Ejemplo: A= {a, b} R= {(a, b), (b, a)} Antisimétrica: se define una relación R como Antisimétrica, cuando un elemento de A esta relacionado con un segundo elemento diferente de A, el segundo no se relaciona con el primero. Si Ejemplo:

a, b € A, (a R b ^ b R a) → a = b

A= {a, b, c} R= {(a, b), (b, c)} Transitiva: una relación R es transitiva cuando un elemento de A esta relacionado con un segundo elemento y el segundo elemento esta relacionado con un tercero, entonces el primero esta relacionado con el tercero. Si

a, b, c € A, (a R b ^ b R c) → a R c

Ejemplo: A= {a, b, c, d, e} R= {(a, b), (b, c), (a, c), (c, d), (a, d)}

Tabla Resumen

Reflexiva

Para toda x € A, existe aRa

a € A, a R a

Irreflexiva

Para toda x € A, no existe aRa

a € A, ¬ (a R a)

Simétrica

Para toda aRb, existe bRa

a, b € A, a R b → b R a

Antisimétrica

Para cada aRb, no existe bRa, pero si aRa

a, b € A, (a R b ^ b R a) → a = b

Transitiva

Siempre que exista aRb, y bRc, existe aRc

a, b, c € A, (a R b ^ b R c) → a R c