Derivation

Dérivabilité Exercice 1

Sur quelles parties de ℝ , les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables ? : a) x ֏ x 2 − x 3

b) x ֏ x x

d) x ֏ (x 2 −1) arccos x 2

x 2 sin(1 x ) f) x ֏   0 Exercice 2

{x0 sin(1 x )

x x +1

si x ≠ 0 sinon

si x ≠ 0 . sinon

Après avoir déterminer le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes : arctan x 1 a) x ֏ 2 b) x ֏ x x c) x ֏ x +1 (x + 1) 2 d) x ֏

Exercice 3

e) x ֏

c) x ֏

sin x (cos x + 2) 4

e) x ֏ (ch x )x

f) x ֏ ln x

x +λ . x 2 +1 a) Montrer que les tangentes en 0 aux fonctions fλ sont parallèles. b) Observer que les tangentes en 1 sont concourantes. Pour λ ∈ ℝ , on considère les fonctions fλ : x ֏

Exercice 4

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I qui n’en soit pas une 1 extrémité. Si le rapport ( f (a + h ) − f (a − h )) admet une limite finie quand h tend vers 0, celle2h ci est appelée dérivée symétrique de f en a . Montrer que, si f est dérivable à droite et à gauche en a , elle admet une dérivée symétrique en a . Que dire de la réciproque ?

Exercice 5

Soit f : ℝ → ℝ une fonction dérivable en a ∈ ℝ . Etudier lim

Exercice 6

Soit f : [ 0,1] → ℝ une fonction dérivable.

x →a

xf (a ) −af (x ) . x −a

 f (2x ) si x ∈ [0,1 2] On définit une fonction g : [0,1] → ℝ par : g (x ) =  .   f (2x −1) sinon A quelle condition(s) la fonction g est-elle dérivable ? Exercice 7

Soit f : I → ℂ une fonction dérivable. Montrer que f : I → ℝ est dérivable en tout point où f ne s’annule pas et exprimer sa dérivée.

Dérivée d’ordre n Exercice 8

Calculer la dérivée n

ème

de x ֏

Exercice 9

Calculer la dérivée n a) x ֏ sin x ex

ème

de :

c) x ֏ x 2 (1 + x )n

1 1 1 ,x֏ puis x ֏ 1− x 1+ x 1− x 2

b) x ֏ cos3 x d) x ֏ (x 2 + 1)ex .

.

sin x . Montrer que f (n ) (x ) = 2n ex

Exercice 10 Soit f : ℝ → ℝ définie par f (x ) =ex

3

Exercice 11 Calculer de deux façons la dérivée n

ème

n

de x ֏ x 2n . En déduire

3

 nπ  sin x +  .  6 

2

n    . ∑ k  k =0  

Applications de la dérivation Exercice 12 Déterminer toutes les applications f : ℝ → ℝ dérivables telles que : ∀ (x , y ) ∈ ℝ 2 , f (x + y ) = f (x ) + f (y ) . Exercice 13 Soit f : [0, +∞[ → ℝ de classe C 1 telle que f (0) = −1 et lim f = +∞ . +∞

Montrer que si f s’annule au moins deux fois alors f ′ aussi. Exercice 14 Soit f : [0, π 2] → ℝ définie par f (x ) = sin x + x . Justifier que f réalise une bijection vers un intervalle à préciser, puis que f −1 est continue et dérivable sur cet intervalle. Exercice 15 Soit f : ℝ + → ℝ de classe C 2 telle que f ′(0) = 0 . Montrer qu’il existe g : ℝ + → ℝ de classe C 1 telle que ∀x ∈ ℝ + , f (x ) = g (x 2 ) . Exercice 16 Soit α un paramètre réel. On désire résoudre l’équation différentielle E : xy ′ = αy sur ℝ , pour cela on va considérer x ֏ y (x ) une solution de E sur ℝ +∗ et ℝ−∗ puis étudier à quelles conditions on peut former à partir de celle-ci une solution de E sur ℝ . a) Donner l’expression de y (x ) sur ℝ +∗ et sur ℝ−∗ . On notera C + et C − les constantes réelles permettant d’exprimer y (x ) sur ℝ +∗ et ℝ−∗ . b) A quelles conditions sur les constantes C + et C − , est-il possible de définir par continuité y (0) ? On distinguera trois cas, selon que α < 0 , α = 0 ou α > 0 . c) Pour α > 0 , à quelles conditions sur les constantes C + et C − la fonction y est-elle dérivable en 0 ? On distinguera trois cas, selon que 0 < α < 1 , α = 1 ou α > 1 . d) Résumer l’étude précédente en donnant la solution générale de E sur ℝ en fonction de α .

Théorème de Rolle Exercice 17 Soit f : ℝ → ℝ dérivable. On suppose que f ′ ne s’annule pas. Montrer que f ne peut être périodique. Exercice 18 Soit a ,b , c ∈ ℝ . Montrer qu’il existe x ∈ ]0,1[ tel que 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx = a + b + c . Exercice 19 Soit n ∈ ℕ et f : I → ℝ une application de classe C n s’annulant en n + 1 points distincts de I . a) Montrer que la dérivée n ème de f s’annule au moins une fois sur I . b) Soit α un réel. Montrer que la dérivée (n −1) ème de f ′ + α f s’annule au moins une fois sur I. (indice : on pourra introduire une fonction auxiliaire.) Exercice 20 Soit f : ℝ → ℝ dérivable telle que lim f = lim f = +∞ . −∞

+∞

Montrer qu’il existe c ∈ ℝ tel que f ′(c ) = 0 .

Exercice 21 Soit f : [0, +∞[ → ℝ une fonction dérivable telle que lim f = f (0) . +∞

Montrer qu’il existe c > 0 tel que f ′(c ) = 0 . Exercice 22 Soit f : [a ,b ] → ℝ dérivable telle que f (a ) = f (b ) = 0 et f ′(a ) > 0, f ′(b ) > 0 . Montrer qu’il existe c1 ,c 2 , c3 ∈ ]a ,b[ tels que c1 < c2 < c3 et f ′(c1 ) = f (c 2 ) = f ′(c3 ) = 0 . Exercice 23 Soit n ∈ ℕ , a < b ∈ ℝ et f : [a ,b ] → ℝ une fonction n fois dérivable. Montrer que si f (a ) = f ′(a ) = ... = f (n −1) (a ) = 0 et f (b ) = 0 alors ∃c ∈ ]a ,b[ tel que f (n ) (c ) = 0 . Exercice 24 Soit a > 0 et f une fonction réelle continue sur [0,a ] et dérivable sur ]0,a ] . On suppose que f (0) = 0 et f (a ) f ′(a ) < 0 . Montrer qu’il existe c ∈ ]0,a [ tel que f ′(c ) = 0 . Exercice 25 Soit f , g : [a ,b ] → ℝ deux fonctions dérivables. On suppose que ∀x ∈ [a ,b ], g ′(x ) ≠ 0 . a) Montrer que g (a ) ≠ g (b ) . b) Montrer qu’il existe c ∈ ]a ,b[ tel que

f (b ) − f (a ) f ′(c ) = . g (b ) − g (a ) g ′(c )

Exercice 26 Soit n ∈ ℕ , f : I → ℝ une fonction de classe C n et a1 < a 2 < ⋯ < an des valeurs d’annulation de f. Montrer : ∀x ∈ I , ∃c ∈ I tel que : f (x ) =

f (n ) (c ) n ∏ (x −ai ) . n ! i =1

Pour cela on pourra dans le cas où x ∉ {a1 ,…,an } introduire ϕ : I → ℝ définie par

ϕ (t ) = f (t ) −

K n ∏ (t −ai ) avec la constante K choisie de sorte que ϕ(x ) = 0 . n ! i =1

Exercice 27 Soit a > 0 et f : [0,a ] → ℝ une fonction dérivable telle que f (0) = f (a ) = 0 et f ′(0) = 0 .

f (x ) s’annule sur ]0,a[ . x b) En déduire qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente à f passe par l’origine. a) Montrer que la dérivée de x ֏

Théorème des accroissements finis Exercice 28 Soit f : ℝ → ℝ une fonction dérivable. Montrer que ∀x > 0, ∃c > 0, f (x ) − f (−x ) = x ( f ′(c ) + f ′(−c )) .

Exercice 29 Soit f une fonction de classe C 2 sur [a , a + 2h ] (avec a ∈ ℝ et h > 0 ). Montrer que : ∃c ∈ ]a , a + 2h[ tel que f (a + 2h ) − 2 f (a + h ) + f (a ) = h 2 f ′′(c ) . (indice : introduire ϕ (x ) = f (x + h ) − f (x ) .)

Exercice 30 Etablir les inégalités suivantes : x a) ∀x ∈ ]−1, +∞[ , ≤ ln (1 + x ) ≤ x 1+ x x2 b) ∀x ∈ ℝ + , ex ≥ 1 + x + . 2

1 1  Exercice 31 A l’aide du théorème des accroissements finis déterminer lim (x + 1)e x +1 − x e x  . x →+∞   

Exercice 32 Montrer que ∀x > 0,

kn 1 1 1 < ln(1 + x ) − ln(x ) < . En déduire, pour k ∈ ℕ \ {0,1} , lim ∑ . n ∞ 1+ x x p =n +1 p

Exercice 33 Soit f : I → ℝ dérivable. Montrer que f est lipschitzienne ssi sa dérivée est bornée.

Classe d’une fonction Exercice 34 Soit f : [a ,b ] → ℝ de classe C 1 . Montrer que f est lipschitzienne. Exercice 35 Soit f : ℝ → ℂ C 1 et périodique. Montrer que f est lipschitzienne.

x 2 ln x si x ≠ 0 Exercice 36 Montrer que la fonction f : ℝ + → ℝ définie par : f (x ) =  est de classe C 1 sur  si x = 0 0 ℝ+ .

x n +1 Exercice 37 Soit n ∈ ℕ , montrer que fn : x ֏   0

si x ≥ 0 est C n sur ℝ . sinon

Convexité Exercice 38 Soit f et g : ℝ → ℝ deux applications telles que f soit convexe et g soit à la fois convexe et croissante. Montrer que g  f est convexe. Exercice 39 Soit f : I → ℝ une application continue strictement décroissante et convexe. Etudier la convexité de la fonction f −1 : f (I ) → I . Exercice 40 Soit f : ℝ → ℝ une fonction convexe strictement croissante. Montrer que f tend vers +∞ en +∞ . Exercice 41 Soit f : ℝ → ℝ une fonction convexe et bornée. Montrer que f est constante. Exercice 42 Soit f : ℝ → ℝ une application convexe et majorée. Montrer que f est constante. La conclusion subsiste-t-elle pour f : [0, +∞[ → ℝ ? Exercice 43 Soit f : ℝ → ℝ une fonction convexe. Montrer que f est continue. Exercice 44 Soit f : ℝ → ℝ une fonction convexe. a) On suppose f → 0 . Montrer que f est positive. +∞

b) On suppose que f présente une asymptote en +∞ . Etudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

Inégalités de convexité Exercice 45 Observer les inégalités suivantes par un argument de convexité. 2 a) ∀x ∈ [ 0, π 2] , x ≤ sin x ≤ x b) ∀n ∈ ℕ, ∀x ≥ 0 , x n +1 − (n + 1)x + n ≥ 0 π Exercice 46 Montrer que f : ]1, +∞[ → ℝ définie par f (x ) = ln(ln x ) est concave. 2

En déduire ∀ (x , y ) ∈ ]1, +∞[ on a : ln

Exercice 47 Montrer que ∀x1 ,…, x n > 0 on a

x +y ≥ ln x .ln y . 2

x +⋯+ xn n . ≤ 1 1 1 n +⋯+ x1 xn

1 1 + =1 . p q

Exercice 48 Soit p ,q > 0 tels que

Montrer que ∀a ,b > 0 on a

a p bq + ≥ ab . p q

Exercice 49 Soit p ∈ ]0,1] . a) Etablir que pour tout t ≥ 0 , on a (1 + t ) p ≤ 1 + t p . b) En déduire que pour tout x , y ≥ 0 , (x + y ) p ≤ x p + y p .

Exercice 50 a) Montrer que x ֏ ln(1 +ex ) est convexe sur ℝ 1n

n  b) Etablir : ∀n ∈ ℕ ∗ , ∀x1 , x 2 ,…, x n ∈ ℝ +∗ ,1 + ∏ x k   k =1 

1n

n  ≤ ∏1 + x k   k =1 

c) En déduire, pour tout n ∈ ℕ∗ ,a1 , a 2 , …, an ,b1 ,b2 ,…,bn ∈ ℝ +∗ , l’inégalité : 1n

1n

1n

 n  n   a  +  b  ∏ ∏k k  k =1   k =1 

n  ≤ ∏ (ak + bk ) .  k =1 

Exercice 51 [Inégalité de Hölder] Soit p ,q > 0 tels que

1 1 + =1 . p q

a) En exploitant la concavité de x ֏ ln x , établir que pour tout a ,b ∈ ℝ + , on a b) Soit a1 , a 2 ,b1 ,b2 ∈ ℝ + , déduire de ce qui précède :

a1b1 p

a1p + a 2p q b1q + b2q

≤

p

q

a b≤

1 a1p 1 bq + q 1 q . p p p a1 + a 2 q b1 + b2

c) Conclure que a1b1 + a 2b2 ≤ p a1p + a 2p q b1q + b2q . d) Plus généralement, établir que pour tout n ∈ ℕ et tout a1 , …, an ,b1 ,…,bn on a : n

∑ aibi ≤ p i =1

n

n

∑ aip q i =1

∑b

q i

a b + . p q

.

i =1

Etude graphique d’une fonction Exercice 52 Etudier la fonction f : x ֏ x 1− x 2 en vu d’en réaliser la représentation graphique.

Exercice 53 Etudier la fonction f : x ֏ x 2 e−x en vu d’en réaliser la représentation graphique. Exercice 54 Etudier la fonction f : x ֏

2 ln x + 3 en vu d’en réaliser la représentation graphique. x

Exercice 55 Etudier la fonction f : x ֏

x 2 +x en vu d’en réaliser la représentation graphique. x +1

ln x . Montrer que f admet un point d’inflexion. x Etudier les branches infinies de la courbe représentative de f et en donner l’allure.

Exercice 56 Soit f : ]0, +∞[ → ℝ définie par f (x ) =

david Delaunay http://mpsiddl.free.fr