Derivadas De Funciones Logaritmo.docx

Derivadas de Funciones Logaritmo Aunque la derivada de una función algebraica es siempre algebraica, la derivada de una función transcendental no tiene por que ser transcendental. A. Reglas para la derivada de funciones logaritmo natural

Ejemplos para discusión: Halla la derivada de: 1) y = ln (3x) 2) y = ln (5x3 + 3x2 - 4) 3) f(x) = ln (x2 + 6)

Ejercicio de práctica: Halla la derivada de f(x) = ln (2x2 + 4).

B. Reglas para la derivada de funciones logaritmo común

Ejemplos para discusión: Halla la derivada de: 1) y = log10 (3x + 1) 2) y = log2 (x2 + 1) 3) y = log10 (x4 + 13)

Ejercicio de práctica: Halla la derivada de f(x) = log2 (x3 + 1).

C. Derivación logarítmica A veces resulta favorable utilizar logaritmos para derivar otras funciones mediante el proceso de derivación logarítmica. La derivación logarítmica consiste de cuatro pasos, estos son: 1) Tomar los logaritmos naturales a ambos lados de la ecuación y simplificar. 2) Usar derivación implícita. 3) Resolver para la derivada de y respecto a x. 4) Sustituir para y. Ejemplos para discusión: Halla la derivada de:

La derivación logarítmica se usa para derivar: una función con muchos factores, como se ilustra en el primer ejemplo, y para una función con base y exponente ambas funciones de x, como se ilustra en el segundo ejemplo. Ejercicio de práctica: Usa la derivación logarítmica para hallar la derivada de:

1) y 

(5 x  4) 3

2) y  x

2x  1 x

Ejercicios: Halla la derivada de las siguientes funciones: 1) 2) 3) 4) 5)

g(x) = ln x2 h(x) = ln (x2 + 3) y = ln x4 y = (ln x)4 y = x ln x

6) y  ln



x2  4

7) y  ln x x 2  1



 x  8) y  ln  2   x  1 ln x 9) g ( x)  2 x x 1 10) y  ln x 1

 

11) y  ln e x

2

12) y = ln (1 + e 2x) 13) y = log3 x 14) y = log10 2x

 x2   15) f ( x)  log 2   x 1 16) y  log 5 x 2  1  x2 1  17) y  log 10   x 

Halla

dy dx por derivación logarítmica:

18) y  x x 2  1 19) y 

x 2 3x  2 ( x  1) 2 2 x

20) y  x 21) y = x x - 1

Respuestas:

2 x 2x 2) h ' ( x )  2 x 3 4 3) y '  x 4(ln x) 3 4) y '  x

1) g ' ( x) 

5) y’ = 1 + ln x

x x 4 2x 2  1 7) y '  x( x 2  1)

6) y ' 

2

1 x2 x( x 2  1) 1  2 ln x 9) g ' ( x )  x3 1 10) y '  1 x2 8) y ' 

11) y’ = 2x

2e 2 x 1  e2x 1 y'  x(ln 3) 2 y'  2 x(ln 10) x2 y'  (ln 2) x ( x  1) x y'  (ln 5)( x 2  1)

12) y '  13) 14) 15) 16)

Logaritmo De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda

Representación gráfica de logaritmos en varias bases: el rojo representa el logaritmo en base e, el verde corresponde a la base 10, y el púrpura al de la base 1,7. En matemática, el logaritmo es una función matemática inversa de la función exponencial. El logaritmo (con base b) de un número x es el exponente n al que hay que elevar la base dada b, para que nos de dicho número x.

La base b tiene que ser positiva y distinta de 1

Contenido [ocultar]     

1 Introducción 2 Historia o 2.1 Etimología 3 Definición analítica o 3.1 Propiedades 4 Uso de logaritmos 5 Logaritmo neperiano o 5.1 Números reales o 5.2 Números complejos

.

o

   

5.3 Matrices 6 Identidades logarítmicas 7 Logaritmo en base b (cambio de base) o 7.1 Logaritmo en base imaginaria 8 Véase también 9 Enlaces externos

[editar] Introducción Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo (base b) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de la exponencial x = bn. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n. Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2. Por ejemplo: Se denomina logaritmo neperiano (ln) o logaritmo natural al logaritmo en base e de un número o resutado dado por el exponente.

[editar] Historia El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por vez primera los logaritmos, sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por Kepler, por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban. Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegación y otras ramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647. Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban de manera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar la relación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier escogió r = 1 - 10−7 = 0,999999 (Bürgi eligió r = 1 + 10−4 = 1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenían log 1 = 0, sino log 107 = 0. Así, si N es un número y L es el logaritmo, Napier calcula: N = 107(1 − 10−7)L. Donde (1 − 10−7)107 es aproximadamente 1/e, haciendo L/107 equivalente a log1/e N/107.

La definición moderna y su explicación aparece en 1866, en un diccionario de Ciencia, Literatura, y Arte: Comprende las definiciones y derivaciones de la Ciencia en términos de uso general, junto con la Historia y descripción de los principios científicos de casi todos los sectores del conocimiento humano.

[editar] Etimología Inicialmente, Napier llama "números artificiales" a los logaritmos y "números naturales" a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción: λόγος (logos) el sentido de proporción, y ἀριθμός (arithmos) significado número, y se define, literalmente, como un número que indica una relación o proporción. Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier en su "teorema fundamental", que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, de manera que una serie aritmética de logaritmos corresponde a una serie geométrica de números. El término antilogaritmo fue introducido a finales de siglo XVII y, aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas, perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso.

[editar] Definición analítica

En la imagen se puede ver la representación gráfica del logaritmo neperiano, como también la representación de las rectas tangentes a la función en x = e (Te) y en x = 1 (T1). Podemos introducir la función logarítmica como una función analítica que es de hecho la función primitiva de otra función analítica bien conocida. Para definir de esa manera el logaritmo empezamos con algunas observaciones: 1. La derivada de la función es . Al dividir ambos lados de la expresión entre "n" y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de

es

(con

).

2. Este cálculo obviamente no es válido cuando m = − 1, porque no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia". 3. Sin embargo, la función es continua sobre el rango lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre . A la función analítica cuya existencia se deduce de las observaciones anteriores la llamaremos función logaritmo, y la definiremos convencionalmente como:

[editar] Propiedades     

La función definida anteriormente es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva Tiene límites infinitos en y en . La tangente Te que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen. La tangente T1 que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: y = x − 1. La derivada de segundo orden es , siempre negativa., por lo tanto la función es cóncava, hacia abajo, como la forma que tiene la letra "n", es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con T1 y Te.

[editar] Uso de logaritmos La función logb(x) = a está definida donde quiera que x es un número real positivo y b es un número real positivo diferente a 1. Véase identidades logarítmicas para diversas reglas relacionadas a las funciones logarítmicas. También es posible definir logaritmos para argumentos complejos. Para enteros b y x, el número logb(x) es irracional (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si b o x tiene un factor primo que el otro no tiene.

[editar] Logaritmo neperiano Artículo principal: Logaritmo neperiano

En análisis matemático se llama logaritmo neperiano o logaritmo natural a la primitiva de la función: que toma el valor 1 cuando la variable x es igual a 1, es decir:

para x > 0. También se llama así al logaritmo obtenido tomando como base el valor del número trascendental "e" (aproximadamente igual a 2,718.281.828...). La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial:

.

[editar] Números reales El logaritmo natural de un número real positivo está bien definido y es un número real. Sin embargo, generalizar el logaritmo natural a números reales negativos sólo puede hacerse introduciendo números complejos. Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de números complejos la elección de logaritmo de un número negativo no es única, aunque la elección hecha es la más frecuentemente usada para extender el logaritmo a números reales negativos.

[editar] Números complejos El logaritmo natural de un número complejo z es otro número complejo b = ln(z) que sea solución de la ecuación: (*) Sin embargo trabajando con números complejos aparece una dificultad que no aparecía con los números reales positivos, y es que la ecuación anterior no tiene solución única. De hecho, tiene un número infinito de soluciones, aunque todas ellas son fáciles de encontrar. Dado un número complejo z escrito en forma polar una solución posible de la ecuación (*) es b0:

Puede comprobarse que esta no es la única solución, sino que para cualquier valor resulta que el número complejo bk, definido a continuación, también es solución:

De hecho cada valor particular de k define una superficie de Riemann.

[editar] Matrices Artículo principal: Logaritmo de una matriz

Una matriz B es logaritmo de una matriz dada A si la exponenciación de B es A:

A diferencia de la exponenciación de matrices, el logaritmo de una matriz real puede no estar definido siempre. En el caso de una matriz diagonalizable es necesario que logaritmo esté definido para todos y cada uno de los autovalores o valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de la matriz está definido y es una matriz real. Para una matriz real, tal que el logaritmo no está definido sobre el espectro o conjunto de autovalores entonces al igual que sucedía con los números reales negativos y los complejos aun así es posible definir una matriz logaritmo aunque esta no está definida unívocamente. En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es más complicado, ya que requiere encontrar la forma canónica de Jordan de la matriz.

[editar] Identidades logarítmicas Artículo principal: Identidades logarítmicas

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos: 

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.



El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.



El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.



El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

[editar] Logaritmo en base b (cambio de base) Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):

en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces. Las propiedades de los logaritmos son una base que facilita aún más su resolución.

[editar] Logaritmo en base imaginaria Artículo principal: Logaritmo en base imaginaria

Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidad imaginaria). Este tipo de logaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:

Dónde z es cualquier número complejo excepto 0.

Derivada de un logaritmo

Como

, también se puede expresar así:

Derivada de un logaritmo neperiano

Ejemplos de derivadas logarítmicas

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:

Derivadas de funciones trigonométricas

A. Derivadas de funciones trigonométricas básicas

Ejemplos para discusión: Halla la derivada de: 1) y = 3 sen x 2) y = x + cos x

4) y = x - tan x 5) y = x sec x

Ejercicio de práctica: Halla la derivada de: 1) y = 2 cos x 2) y = x2 - sen x 3) y = sec x tan x

B. Derivadas de funciones trigonométricas

Ejemplos para discusión: Halla la derivada de: 1) y = sen 2x 2) y = cos (x - 1) 3) y = x2 tan x2 4) y = tan3 4x 5) y = cos5 5x 6) Halla la derivada de y respecto a x de sen y = x.

Ejercicio de práctica: Halla la derivada de: 1) y = cos 3x2 2) y = sen (3x2 + 5x - 7) 3) y = tan (2x2 + 3)

Ejercicios: Halla la derivada de cada una de las siguientes funciones y evaluarlas en los casos indicados:

  f '  2 1) f(x) = sen x; 2) f(x) = x2 – cos x; f’(½π) 3) y = 1 + 7 sen x – tan x   f '  2 4) y = -10x + 3 cos x; 5) y = tan x – x  3  f '   2  6) y = 4 sen x – x; 7) y = tan x – csc x 8) y = x + sen x 9) y = x sen x 10) y = x2 sen x 11) y = x cos x 12) y = x5 cos x 13) y = x2 cos x sen x 14) y  x sen x 15) f ( x)  ; f ' 2  1  cos x

cot x x 1 17) y = cos x3 16) y 

  f '  18) f(x) = cos 3x;  4  19) y = sen (2x2 + 3) 20) y = sen (πx + 1) 21) y = x2 sen 4x 22) y = 3 sen 2x 23) y = sen (3x2 + 5x – 7) 24) y = x3 cos x3 sen 5 x 25) y  cos 6 x 26) y = (1 – x2) sen x2 27) y = tan2 x 28) y = sen3 x 29) y = sen2 4x 30) y = csc2 2x

Respuestas: 1) f ' ( x)  cos x;

  f '   0 2

2) f’(x) = 2x + sen x; f’(½π) = π + 1

25) y ' 

5 cos 6 x cos 5 x  6 sen 5 x sen 6 x cos 2 6 x

26) y’ = 2x(cos x2 – x2 cos x2 – sen x2)

3) y’ = 7 cos x – sec2 x

27) y’ = 2 tan x sec2 x   f    13  '2 

4) f ' ( x)  10  3sen x;

5) y’ = sec2 x – 1

29) y’ = 8 sen 4x cos 4x

6) f ' ( x)  4 cos x  1;

 3  f '    1  2 

7) y’ = sec2 x + csc x cot x 8) y’ = 1 + cos x 9) y’ = x cos x + sen x 10) y’ = x2 cos x + 2x sen x 11) y’ = cos x – x sen x 12) y’ = 5x4 cos x – x5 sen x 13) y’ = -x2 sen x + 2x cos x x cos x  sen x 14) y '  x2 1 1 15) f ' ( x)  ; f ' 2   1  cos x 2

16) y '  

28) y’ = 3 sen2 x cos x

csc 2 x  x csc 2 x  cot x

x  12

17) y’ = -3x2 sen x3

3 2   f '    2 4 2 19) y’ = 4x cos (2x + 3) 20) y’ = π cos (πx + 1) 21) y’ = 2x sen 4x + 4x2 cos 4x 22) y’ = 6 cos 2x 23) y’ = (6x + 5) cos (3x2 + 5x – 7) 24) y’ = -3x5 sen x3 + 3x2 cos x3 18) f ' ( x)  3 sen 3x;

30) y’ = -4 csc2 2x cot 2x

Derivación de Funciones Exponenciales

30

Sabemos que e es un número irracional, pues e = 2.718281828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).

25 20 15 10 5 0 -5

0

5

La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a la izquierda.

Como e > 1, la función f(x) = e x es una función creciente. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos. Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = e x. Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = ex en cualquier punto (x,ex) es igual a la coordenada y de ese punto. Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = ex en el punto (0,1) la pendiente es 1. Reglas para la derivación de funciones exponenciales:

Ejemplos para discusión: Halla la derivada de: 1) y = e 2x - 1

3) y = x3ex

Ejercicio de práctica: Deriva:

Ejercicios: Deriva cada una de las siguientes funciones: 1)

f(x) = e2x

2) y  e 2 x x 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

2

ye x g(x) = (e –x + e x)3 y = x2 e-x y = x2 ex – 2x ex + 2 ex f(x) = 4x g(x) = 5 x – 2 h(x) = 2e x + 1

10) f(x) = 4 –x + !

Respuestas: 1) f’(x) = 2e2x 2 2) y'  2( x  1)e 2 x x

y' 

3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

e

x

2 x g’(x) = 3(ex – e-x)(e-x + ex)2 y’ = -xe-x(x – 2) y’ = x2 ex f’(x) = (ln 4) 4x y’ = (ln 5) 5x – 2 h’(x) = 2e x+1

10) f’(x) = -(ln 4) 4 –x + 1

CÁLCULO DE DERIVADAS ( I ) Derivada de una función constante Sea una función constante f(x) = C. Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de la función lineal mx + b Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x, lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta. Derivada de una constante por una función, k · f(x) Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:

Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k. Derivada de la función potencia xm (m un número natural) Para calcular la derivada de la función f(x) = xm, m > 0, hay que evaluar el cociente

Tomando límites cuando h --> 0,

sumandos tiende a cero (su límite es cero).

Se concluye que

Ejercicio: cálculo de derivadas Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto de abscisa - 1. Resolución: f '(x) = 2 · x2 - 1 = 2 x f '(- 1) = 2 · (- 1) = - 2 Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x 2 en x = - 1 es - 2.

Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x Si necesitas las demostraciones dímelo. Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x| Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x. Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0: a) Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero. En estas condiciones

Por tanto, si x > 0

b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x.

Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma idéntica.

Derivadas de las funciónes exponenciales ax y ex Sea la función y = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

y se toman logaritmos neperianos:

Luego:

En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función e x es (ex )' = ex · ln e = ex · 1 = ex

Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.

Operaciones con funciones Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estas operaciones podría no estar definida),

Función suma de f y g como la nueva función f + g: [a,b] ---> R, (f + g) (x) = f(x) + g(x) Función producto de f y g como la función f ·g: [a,b] ---> R, (f · g) (x) = f(x) · g(x)

siempre que g(x) distinto de 0 para todo x del intervalo. Derivada de una suma de funciones Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando

La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas. [f(x) + g(x)] ' = f '(x) + g '(x) Derivada de una diferencia de funciones f - g = f + (- g), por lo que [f(x) + (- g(x))]' = f'(x) + (- g(x))' Pero - g(x) = (- 1) · g(x) y la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función: [- g(x)]' = [(- 1) · g(x)]' = (- 1) · g'(x) = - g'(x)

En consecuencia, [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)

Ejercicio: cálculo de derivadas Calcular la derivada de la función f(x) = x - cos x Resolución:

Calcular la derivada de f(x) = x3 - sen x + ln|x| en el punto x = -p/3. Resolución:

Derivada de un producto de funciones Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.

Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía, Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos,

Si ahora se toman límites cuando h tiende a cero,

Ejercicio: cálculo de derivadas Hallar la derivada de h(x) = x · ln x para cualquier x positivo. Resolución:

Resolución:

CÁLCULO DE DERIVADAS (II) Derivada de un cociente de funciones Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.

Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador f(x) · g(x), se obtiene:

Sacando factor común g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fracción, y f(x) en los dos últimos,

Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que:

En definitiva,

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Derivada de la función tg x

si f(x) = sen x, f ' (x) = cos x si g(x) = cos x, g ' (x) = - sen x Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,

Por tanto,

Derivada de la función sec x

Si f(x) = 1, f ' (x) = 0 Si g(x) = cos x, g ' (x) = - sen x Por la fórmula de la derivada de un cociente,

(sec x)' = sec x · tg x Derivada de la función cosec x

Si f(x) = 1, f ' (x) = 0 Si g(x) = sen x, g ' (x) = cos x

Por la derivada de un cociente,

(cosec x)' = - cosec x · cotg x Derivada de la función cotg x

Si f(x) = cos x, f ' (x) = - sen x Si g(x) = sen x, g ' (x) = cos x

Por tanto,

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución: Llamando f(x) = x cos x - 2, f ' (x) = 1 · cos x + x · (- sen x) = cos x - x sen x (la derivada de 2 es cero por ser una constante) Si g(x) = x2, g ' (x) = 2 x

Resolución: Si f(x) = x tg x - cos x, f ' (x) = 1 · tg x + x (1 + tg2x) - (- sen x) = = tg x + x (1 + tg2x) + sen x

A pesar de contar ya con un número estimable de propiedades para el cálculo de derivadas, hay funciones elementales, como , para las que no se conoce ningún procedimiento para la obtención de su derivada. Para seguir avanzando por este camino se hace imprescindible conocer una de las propiedades más fundamentales y útiles de la derivación, aunque no se hará su demostración. Se la conoce como derivada de una función compuesta o regla de la cadena. REGLA DE LA CADENA Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

entonces la función compuesta definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene Ejemplo: cálculo de derivadas

Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2. Resolución: La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x 2 y g(x) = sen x.

Al ser g(x) = sen x, g ' (x) = cos x, por tanto g ' [ f(x) ] = cos f(x) = cos x2

Por la regla de la cadena, h ' (x) = g ' [ f(x) ] · f ' (x) = 2x cos x2

Resolución:

De g(x) = x3, se deduce g ' (x) = 3x2. En consecuencia,

Por la regla de la cadena,

Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = x m es f'(x) = m · xm - 1. Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x) m aplicando la regla de la cadena, será: [u(x)m] ' = m · u(x)m - 1 · u'(x) Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x). Así, Ejercicio: cálculo de derivadas Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3. Resolución: Si u = x2 + 1, u' = 2x

En este caso m = 3 f '(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2

Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

Se aplica la regla de la cadena:

2.- Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x | Resolución: u = sen x; u' = cos x

Regla de la cadena para las funciones exponenciales Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = au y para otra g(x) = eu, f'(x) = (au ) ' = u' · au · ln a g'(x) = (eu ) ' = u' · eu Ejercicio: cálculo de derivadas 1 Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x Resolución: Llamando u = x · sen x,

u' = 1 · sen x + x cos x

f '(x) = (4x sen x ) ' = (sen x + x cos x) · 4x sen x · ln 4

Resolución:

Regla de la cadena para las funciones trigonométricas

Ejercicio: cálcular la derivada Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x) Resolución: Si u = sen x, u' = cos x f '(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x) Hallar la derivada de g(x) = sec (x2 - 1) Resolución: u = x2 - 1; u' = 2x g '(x) = (sec(x2 - 1))' = u' · sec u · tg u = 2x · sec(x2 - 1) · tg(x2 - 1) Calcular la derivada de h(x) = sen3x2 Resolución: Llamando u = sen x2, hay que derivar sen3x2 = u3. Por la regla de la cadena, la derivada de u3 es (u3 )' = 3 · u2 · u' Llamando v = x2; u = sen v. u' = v' · cos v = 2x · cos x2 Finalmente, h'(x) = (sen3x2)' = 3u2 · u' =

3 · sen2x2 · 2x · cos x2 = = 6x · sen2x2 · cos x2 Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración. Derivada de la función inversa Si una función y = f(x) admite una función inversa ƒ- 1 y la función f(x) es derivable en un punto x0, entonces la función ƒ- 1 es derivable en el punto f(x0). En virtud de este teorema, la función x1/n es derivable por ser la función inversa de xn:

Como consecuencia, al ser la función xm derivable para cualquier número entero m, como ya se ha visto, la función xm/n es derivable por ser composición de dos funciones derivables:

Derivada de la función x1/n Sea u = x1/n; elevando a n, un = x. Derivando ambos miembros se observa que

Despejando u',

Derivada de la función xm/n Sea f(x) = xm/n Se eleva a n, f(x)n = xm Se deriva:

Pero f(x)n - 1 = (xm/n )n - 1

Regla de la cadena para las funciones u1/n y um/n Si en las dos funciones anteriores se tiene una función dependiente de la variable x, u(x), en lugar de la función x, se obtienen las siguientes derivadas:

Para obtener estas igualdades, basta aplicar la regla de la cadena. Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Se trata de calcular una derivada de la forma u1/2. Si u = x2 + sen x, u' = 2x + cos x Obsérvese que en este caso n = 2

Resolución:

FUNCIONES TRIGONOM. INVERSAS

distintos en [- 1, 1].

la función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa de f(x) = sen x, llamada «arco-seno» y que se simboliza por arc sen x.

x ---> f (x) = sen x ---> f-1 [f (x)] = f-1 (sen x) = arc sen (sen x) = x Derivada de la función arc sen x Si y = arc sen x = f - 1(x), aplicando f, f(y) = f ( f - 1(x)) = x, es decir, sen y = x.

De la conocida fórmula sen2 y + cos2 y = 1, cos2 y = 1 - sen2 y --->

Derivada de la función arc cos x Análogamente, la función cos x tiene una función inversa llamada «arco-coseno» y se simboliza por arc cos x. De y = arc cos x se deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena,

Derivada de la función arc tg x La inversa de la función tg x se llama «arco-tangente» y se simboliza por arc tg x. y = arc tg x, x = tg y. Derivando por la regla de la cadena,

Derivada de la función arc cotg x La inversa de la función cotg x se llama «arco-cotangente» y se simboliza por arc cotg x. Si y = arc cotg x, x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla de la cadena,

Derivada de la función arc sec x Análogamente a los casos anteriores, sec x tiene una función inversa llamada «arco secante» y simbolizada por arc sec x. y = arc sec x, x = sec y. Derivando por la regla de la cadena,

1 = y' · sec y · tg y = y' · x · tg y (1)

Derivada de la función arc cosec x Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior, y = arc cosec x, x = cosec y Derivando: 1 = - y' · cosec y · cotg y = - y' · x · cotg y (1)

REGL. CADENA TRIG. INVERSAS Si en cada una de las funciones anteriores se tuviese una función de x, u(x), en lugar de la función x, las derivadas de las nuevas funciones compuestas se convierten, por la regla de la cadena en:

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h. Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.

Diferencial de una función en un punto

Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) · h. Por tanto, dy = df(x) = f'(x) · h Propiedades de la diferencial Primera propiedad: La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado. Segunda propiedad: Al ser dy = f ' (x)·h = , la diferencia de una función en un punto es el incremento (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x. Tercera propiedad: Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) · h = 1 · h = h. Así, dx = h y

Cuarta propiedad:

cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a

cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.

Ejercicio: cálculos aproximados utilizando la diferencial Un móvil se mueve según la relación s = 5t2 + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos. Se quiere saber los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre

Resolución: Diferenciando la expresión s = 5t2 + t, ds = (10t + 1) · dt

Sustituyendo en la expresión de ds,

En la figura se observa que en realidad recorre algo más de 23,66 metros:

Se ha cometido un error de 24,18 m - 23,66 m = 52 cm Calcular 3,052. Resolución: Para encontrar un resultado aproximado de 3,052 se considera la función y = x2. Diferenciando esta función, dy = 2x dx. Por la proximidad de 3,05 a 3 (5 centésimas) se calculará la diferencial en el punto de abscisa x = 3 y se llevará a la expresión de dy. En este caso dx = 3,05 - 3 = 0,05 dyx = 3 = 2 · 3 · 0,05 = 0,30 Por tanto, aproximadamente, 3,052 = 9 + 0,30 = 9,30. Si se calcula con exactitud el valor de 3,052 se obtiene 9,3025. Se observa que se ha cometido un error de 9,3025 9,30 = 0,0025, ¡ 25 diezmilésimas !