Derivada-producto-cociente-2019.docx

Instrucciones  Realizar una investigación individual sobre los temas de producto y cociente de una derivada, consideren sólo fuentes confiables de información.  Posteriormente elaboren una presentación grupal donde expliquen en qué consisten los métodos de producto y cociente para resolver una derivada.  En la misma presentación respondan los ejercicios que aparecen a continuación:

1.

La función de demanda de un productor de maletas deportivas es 𝑞 = 2𝑥 3 + 8𝑥; la función que determina el precio es 𝑝 = 8𝑥 + 4 Con esta información determine el ingreso marginal del productor. Recuerden de sus clases de teoría económica que el ingreso de un productor está determinado por la fórmula: Y = p*q 𝜕 𝜕 𝜕 𝑌 = 𝑝 ∗ ( 𝑞) + ( 𝑝) ∗ 𝑞 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕 𝜕 𝜕 𝑌 = (8𝑥 + 4) ∗ [ (2𝑥 3 + 8𝑥)] + [ (8𝑥 + 4)] ∗ (2𝑥 3 + 8𝑥) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕 𝑌 = (8𝑥 + 4) ∗ (6𝑥 2 + 8) + (8) ∗ (2𝑥 3 + 8𝑥) 𝜕𝑥 𝜕 𝑌 = (48𝑥 3 + 64𝑥 + 24𝑥 2 + 32) + (16𝑥 3 + 64𝑥) 𝜕𝑥 𝜕 𝑌 = 64𝑥 3 + 24𝑥 2 + 128𝑥 + 32 𝜕𝑥

2. Un fabricante tiene un costo fijo de $100,000 cuando se producen (x) cantidad de autos por día; el costo promedio total de la producción está dado por la función: 𝐴𝑇𝐶(𝑥) = 1,500 + 0.2𝑥 +

100,000 𝑥

El costo promedio de producir 100 autos es de $2,520.00 dólares. Con esta información encuentren el costo marginal, es decir, cuando se produce 1 auto adicional. Recuerden de sus clases de teoría económica que el costo promedio se obtiene a partir de 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑇𝐶) la siguiente fórmula: 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 (𝐴𝑇𝐶) = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑞)

𝐴𝑇𝐶(𝑥) = 1,500 + 0.2𝑥 +

100,000 𝑥

𝜕 100,000 𝜕 𝐶 = 0.2 − ∴ 𝐶=0 2 𝜕𝑥 𝑥 𝜕𝑥 0.2 = 𝑥2 =

100,000 𝑥2

100,000 ⇒ 𝑥 2 = 500,000 ⇒ 𝑥 = 707.106 0.2

𝐴𝑇𝐶(𝑥) = 1,500 + 0.2(707.106) +

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =

100,000 = 1,782.8427 707.106

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑇𝐶) 1,782.8427 = = 2.5213 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑥) 707.106

3. La función de ingreso total de un agricultor está dada por la función: 𝐼𝑇 =

80𝑥 3 + 20𝑥 2 + 500 𝑥2 − 1

¿Cuál será la función de ingreso marginal? 𝜕 𝜕 (𝑥 2 − 1) (80𝑥 3 + 20𝑥 2 + 500) − (80𝑥 3 + 20𝑥 2 + 500) (𝑥 2 − 1) 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝐼𝑇 = (𝑥 2 − 1)2 𝜕𝑥 (𝑥 2 − 1)(240𝑥 2 + 40𝑥) − (80𝑥 3 + 20𝑥 2 + 500)(2𝑥) 𝜕 𝐼𝑇 = (𝑥 2 − 1)2 𝜕𝑥 (240𝑥 4 + 40𝑥 3 − 240𝑥 2 − 40𝑥) − (160𝑥 4 + 40𝑥 3 + 1000𝑥) 𝜕 𝐼𝑇 = (𝑥 2 − 1)2 𝜕𝑥 𝜕 80𝑥 4 − 240𝑥 2 − 1040𝑥 𝐼𝑇 = (𝑥 2 − 1)2 𝜕𝑥

4. La función de producción total de un fabricante de autopartes está dada por la función: 𝐼𝑇 =

2𝐿2 +𝐿−13 ; 𝐿3 −9𝐿−5

donde L representa el trabajo

¿Cuál será la función de producción marginal del trabajo?

𝜕 𝜕 (𝐿3 − 9𝐿 − 5) (2𝐿2 + 𝐿 − 13) − (2𝐿2 + 𝐿 − 13) (𝐿3 − 9𝐿 − 5) 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝐼𝑇 = (𝐿3 − 9𝐿 − 5)2 𝜕𝑥 (𝐿3 − 9𝐿 − 5)(4𝐿 + 1) − (2𝐿2 + 𝐿 − 13)(3𝐿2 − 9) 𝜕 𝐼𝑇 = (𝐿3 − 9𝐿 − 5)2 𝜕𝑥 (4𝐿4 − 36𝐿2 − 20𝐿 + 𝐿3 − 9𝐿 − 5) − (6𝐿4 + 3𝐿3 − 39𝐿2 − 18𝐿2 − 9𝐿 − 117) 𝜕 𝐼𝑇 = (𝐿3 − 9𝐿 − 5)2 𝜕𝑥 𝜕 4𝐿4 − 36𝐿2 − 20𝐿 + 𝐿3 − 9𝐿 − 5 − 6𝐿4 − 3𝐿3 + 39𝐿2 + 18𝐿2 + 9𝐿 + 117 𝐼𝑇 = (𝐿3 − 9𝐿 − 5)2 𝜕𝑥 𝜕 −2𝐿4 − 2𝐿3 + 21𝐿2 − 20𝐿 + 112 𝐼𝑇 = (𝐿3 − 9𝐿 − 5)2 𝜕𝑥