Derivacie
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Derivacie as PDF for free.
More details
- Words: 16,210
- Pages: 162
Derivace Robert Mařík 23. června 2006
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Obsah x . . . x2 + 1 1 − x3 y= . . . x2 y = x ln2 x . . . . y=s (x 2 + 3x)e−2x y=
1 + x3 . 1 − x3 2 x −1 y= . x +1 y = x ln(x 2 − 1) 1 x2 − 1 y = ln 2 4 x +1 y=
⊳⊳
⊳
⊲
3
⊲⊲
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
c
Robert Mařík, 2006 ×
y y y y y y y y y y y y ⊳⊳
⊳
√ √ = px + 1 − ln(1 + x + 1) . . . . . √ = 1 − x. arcsin x . . . . . . . . = (x 2 + 1) sin x + x cos x . . . . . . = (x 2 + 1) cos(2x) . . . . . . . . . . (x 2 + 1)3 = . . . . . . . . . . . . . x4 2 3 (x + 1) . . . . . . . . . . . . . = x4 √ = ln x + arcsin(2 x) . . . . . . . r x . . . . . . . . . . = arcsin x +1 = (x 3 + 2x)e−2x . . . . . . . . . . . 2 = (x p − 1) sin(2x) − (3x − 1) cos(2x) 2 + cos(2x) . . . . . . . . . . . = r 1 = ln . . . . . . . . . . . . . sin x ⊲
⊲⊲
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
56 61 66 72
. . . . . . . . . . . .
77
. . . . . . . . . . . .
83
. . . . . . . . . . . .
89
. . . . . . . . . . . .
94
. . . . . . . . . . . . 100 . . . . . . . . . . . . 106 . . . . . . . . . . . . 111 . . . . . . . . . . . . 115 c
Robert Mařík, 2006 ×
1 . . . . . . . sin x 3x = ln psin e . . . . . . . . = x + ln(9 − x) . . . . x2 = . . . . . . . . (x + 1)3 x2 = x ln . . . . . . . x +1 2 = 2x arctg x − ln(1 p +x ) 3 = xparcsin x + 1 − x 2 1 − x2 = . . . . . . . √arcsin x √ = x + 1 arctg x + 1 .
y = ln y y y y y y y y
⊳⊳
⊳
r
⊲
⊲⊲
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x . x2 + 1 (x)′ · (x 2 + 1) − x · (x 2 + 1)′ (x 2 + 1)2 2 1 · (x + 1) − x · (2x + 0) = (x 2 + 1)2 2 1−x = (1 + x 2 )2
y′ =
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x . x2 + 1 (x)′ · (x 2 + 1) − x · (x 2 + 1)′ (x 2 + 1)2 2 1 · (x + 1) − x · (2x + 0) = (x 2 + 1)2 2 1−x = (1 + x 2 )2
y′ =
• Funkce je ve tvaru podílu. • Užijeme pravidlo ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
u ′ v
=
u′ v − uv ′ . v2 c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x . x2 + 1 (x)′ · (x 2 + 1) − x · (x 2 + 1)′ (x 2 + 1)2 2 1 · (x + 1) − x · (2x + 0) = (x 2 + 1)2 2 1−x = (1 + x 2 )2
y′ =
• x ′ = 1 podle derivace mocninné funkce. • (x 2 + 1)′ = (x 2 )′ + (1)′ = 2x + 0 = 2x podle derivace součtu a derivace mocninné funkce. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x . x2 + 1 (x)′ · (x 2 + 1) − x · (x 2 + 1)′ (x 2 + 1)2 2 1 · (x + 1) − x · (2x + 0) = (x 2 + 1)2 2 1−x = (1 + x 2 )2
y′ =
Roznásobíme závorky a upravíme čitatele. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 − x3 x2
(1 − x 3 )′ · x 2 − (1 − x 3 ) · (x 2 )′ (x 2 )2 (0 − 3x 2 ) · x 2 − (1 − x 3 ) · 2x = (x 2 )2 2 + x3 −3x 4 − 2x + 2x 4 =− 3 = 4 x x
y′ =
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 − x3 x2
(1 − x 3 )′ · x 2 − (1 − x 3 ) · (x 2 )′ (x 2 )2 (0 − 3x 2 ) · x 2 − (1 − x 3 ) · 2x = (x 2 )2 2 + x3 −3x 4 − 2x + 2x 4 =− 3 = 4 x x
y′ =
• Funkce je ve tvaru podílu. • Užijeme pravidlo ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
u ′ v
=
u′ v − uv ′ . v2 c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 − x3 x2
(1 − x 3 )′ · x 2 − (1 − x 3 ) · (x 2 )′ (x 2 )2 (0 − 3x 2 ) · x 2 − (1 − x 3 ) · 2x = (x 2 )2 2 + x3 −3x 4 − 2x + 2x 4 =− 3 = 4 x x
y′ =
• Výraz (1 − x 3 )′ derivujeme jako součet.
• Výrazy x 2 a x 3 derivujeme jako mocninné funkce. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 − x3 x2
(1 − x 3 )′ · x 2 − (1 − x 3 ) · (x 2 )′ (x 2 )2 (0 − 3x 2 ) · x 2 − (1 − x 3 ) · 2x = (x 2 )2 −3x 4 − 2x + 2x 4 2 + x3 = =− 3 4 x x
y′ =
Roznásobíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 − x3 x2
(1 − x 3 )′ · x 2 − (1 − x 3 ) · (x 2 )′ (x 2 )2 (0 − 3x 2 ) · x 2 − (1 − x 3 ) · 2x = (x 2 )2 2 + x3 −3x 4 − 2x + 2x 4 =− 3 = 4 x x
y′ =
Upravíme (sečteme v čitateli, vytkneme (−x) a zkrátíme). Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln2 x. y′ = ( x ln2 x )′ = (x)′ · ln2 x + x · (ln2 x)′ = 1 · ln2 x + x · 2 ln x · (ln x)′ = ln2 x + x 2 ln x
1 x
= (2 + ln x) ln x
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln2 x. y′ = ( x ln2 x )′ = (x)′ · ln2 x + x · (ln2 x)′ = 1 · ln2 x + x · 2 ln x · (ln x)′ = ln2 x + x 2 ln x
1 x
= (2 + ln x) ln x Derivujeme jako součin (uv)′ , kde u = x a v = ln2 x. (uv)′ = u′ v + uv ′ ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln2 x. y′ = ( x ln2 x )′ = (x)′ · ln2 x + x · (ln2 x)′ = 1 · ln2 x + x · 2 ln x · (ln x)′
= ln2 x + x 2 ln x
1 x
= (2 + ln x) ln x
Derivace funkce x je vzorec. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln2 x. y′ = ( x ln2 x )′ = (x)′ · ln2 x + x · (ln2 x)′ = 1 · ln2 x + x · 2 ln x · (ln x)′
1 = ln2 x + x 2 ln x x • Funkce ln2 x je složená, jedná se o funkci (ln x)2 . = (2 + ln x) ln x • Vnější složka je druhá mocnina, vnitřní je logaritmus. • Pro derivaci složené funkce užijeme řetězové pravidlo [f (g(x))]′ = f ′ (g(x))g′ (x) ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
(g2 (x))′ = 2g(x)g′ (x) . c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln2 x. y′ = ( x ln2 x )′ = (x)′ · ln2 x + x · (ln2 x)′ = 1 · ln2 x + x · 2 ln x · (ln x)′ = ln2 x + x 2 ln x
1 x
= (2 + ln x) ln x
Derivace logaritmu je tabelována. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln2 x. y′ = ( x ln2 x )′ = (x)′ · ln2 x + x · (ln2 x)′ = 1 · ln2 x + x · 2 ln x · (ln x)′ = ln2 x + x 2 ln x
1 x
= (2 + ln x) ln x
x ⊳⊳
1 = 1 a vytkneme ln x. Hotovo! x ⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x 2 = −2x 2 − 4x + 3 e−2x − 3 e−2x −2x 2 = − 2x + 4x . Derivujeme součin funkce u = x + 3x a v = e (uv)′ = u′ v + uv ′ ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x Derivujeme součet. Užijeme pravidlo pro derivaci součtu a pravidlo pro derivaci násobku konstantou. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 složenou funkci e−2x. • Derivujeme = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x a ta se při derivaci • Vnější složka je exponenciální funkce nemění. = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x • (ef (x) )′ = ef (x) f ′ (x) • Vnitřní složka je −2x.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x Derivace funkcí x 2 a x jsou tabelovány.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x Derivace funkce (−2x) může být vypočítána podle derivace násobku ... ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x . . . a derivace mocninné funkce (x = x 1 a tedy x ′ = 1x 0 = 1).
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x Vytkneme e−2x . ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x Upravíme uvnitř závorky. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x Vytkneme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
s 3
1 + x3 . 1 − x3
−2/3 ′ 1 + x3 1 + x3 1 − x3 1 − x3 2/3 1 1 − x3 (1 + x 3 )′ (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(1 − x 3 )′ = · · 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 2/3 3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) 1 1 − x3 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 1 3
y′ =
1 3
y′ =
⊳⊳
⊳
⊲
= ⊲⊲
1
1 − x3 1 + x3 1 − x3 3
2/3 2/3
3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) (1 − x 3 )2 6x 2
3 2
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
s 3
1 + x3 . 1 − x3
−2/3 ′ 1 + x3 1 + x3 1 − x3 1 − x3 2/3 1 1 − x3 (1 + x 3 )′ (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(1 − x 3 )′ = · · 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 2/3 3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) 1 1 − x3 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2
y′ =
1 3
2/3 2 1 1 − x3 3x (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) 1 y′ = 3 . Třetí odmocninu exponentem 3 1bereme + x jako mocninu(1s − x 3 )2 3 jako mocninnou 3 2/3 2funkci. Derivujeme tedy 1 1−x 6x = c
Robert Mařík, 2006 × 3 3 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲
Derivujte y =
s 3
1 + x3 . 1 − x3
−2/3 ′ 1 + x3 1 + x3 1 − x3 1 − x3 2/3 1 1 − x3 (1 + x 3 )′ (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(1 − x 3 )′ = · · 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 2/3 3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) 1 1 − x3 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 Výraz pod odmocninou je vnitřní funkce. Podle řetězového pravidla násobíme derivací vnitřní složky. 2/3 2 3 3 2 1 1− x 3p 3x ′ (1 1− x1 ) − (1 + x )(−3x ) y′ = 3 −1 ′3 2 3 3 3 1 + x f (x) = f (1(x)f − x(x) ) 3 3 2/3 2 1 1−x 6x = c
Robert Mařík, 2006 × 3 3 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ y′ =
1 3
Derivujte y =
s 3
1 + x3 . 1 − x3
−2/3 ′ 1 + x3 1 + x3 1 − x3 1 − x3 2/3 1 1 − x3 (1 + x 3 )′ (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(1 − x 3 )′ = · · 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 2/3 3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) 1 1 − x3 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2
y′ =
1 3
2/3 2 1 1 − x3 3x (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) y′ = xu3)2′ 3 u′ v − uv ′ 3 1+x (1 − Vnitřní složka je podíl. Užijeme pravidlo . = 2/3 v v2 1 1 − x3 6x 2 = c
Robert Mařík, 2006 × 3 3 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲
Derivujte y =
s 3
1 + x3 . 1 − x3
−2/3 ′ 1 + x3 1 + x3 1 − x3 1 − x3 2/3 1 1 − x3 (1 + x 3 )′ (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(1 − x 3 )′ = · · 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 2/3 3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) 1 1 − x3 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2
y′ =
1 3
2/3 2 3x (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) 1 1 − x3 y′ = 3 3 1 a+jmenovateli x (1 −vypočítat x 3 )2 Derivace v čitateli je možno jako derivace 3 2/3 funkce. 2 součtu (rozdílu) a mocninné 1 1−x 6x = c
Robert Mařík, 2006 × 3 3 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲
Derivujte y =
y′ =
1 3
s 3
1 + x3 . 1 − x3
1 − x3 1 + x3
2/3
3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) (1 − x 3 )2
2/3 1 1 − x3 6x 2 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 s s 2 3 1 − x3 3 2x 2 2x 1 + x 3 1 + x 3 · · = = 1 − x 3 1 + x 3 (1 − x 3 )2 1 − x3 1 − x6
Tohle zatím máme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
y′ =
1 3
s 3
1 + x3 . 1 − x3
1 − x3 1 + x3
2/3
3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) (1 − x 3 )2
2/3 1 1 − x3 6x 2 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 s s 2 3 1 − x3 3 2x 2 2x 1 + x 3 1 + x 3 · · = = 1 − x 3 1 + x 3 (1 − x 3 )2 1 − x3 1 − x6
Upravíme čitatel . . . ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
y′ =
1 3
s 3
1 + x3 . 1 − x3
1 − x3 1 + x3
2/3
3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) (1 − x 3 )2
2/3 1 1 − x3 6x 2 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 s s 2 3 1 − x3 3 2x 2 2x 1 + x 3 3 1 + x · · = = 1 − x 3 1 + x 3 (1 − x 3 )2 1 − x3 1 − x6
. . . a ještě více upravíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
y′ =
1 3
s 3
1 + x3 . 1 − x3
1 − x3 1 + x3
2/3
3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) (1 − x 3 )2
2/3 1 1 − x3 6x 2 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 s s 2 3 1 − x3 3 2x 2 2x 1 + x 3 1 + x 3 · · = = 1 − x 3 1 + x 3 (1 − x 3 )2 1 − x3 1 − x6
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x −1 x +1
2
x −1 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1
y′ = 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
.
x−1 ′ x+1 (x − 1)′ (x + 1) − (x − 1)(x + 1)′ · (x + 1)2 1.(x + 1) − (x − 1).1 · (x + 1)2 x −1 2 =4 · (x + 1)2 (x + 1)3
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x −1 x +1
2
.
x −1 x −1 ′ x +1 x +1 x − 1 (x − 1)′ (x + 1) − (x − 1)(x + 1)′ =2 · x +1 (x + 1)2 x − 1 1.(x + 1) − (x − 1).1 · =2 x + 1 mocninu (x zlomku. + 1)2 Vnější složka, druhá moc• Jedná se o druhou x −1 2 x − 1jako mocninná nina, se = derivuje = 4 funkce.3 · 2 x + 1 (x + 1)2 (x + 1) • Derivace vnitřní složky následuje (podle řetězového pravidla). y′ = 2
(f 2 (x))′ = 2f (x)f ′(x) ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x −1 x +1
2
x −1 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1
y′ = 2
Derivace podílu:
.
x−1 ′ x+1 (x − 1)′ (x + 1) − (x − 1)(x + 1)′ · (x + 1)2 1.(x + 1) − (x − 1).1 · (x + 1)2 x −1 2 =4 · (x + 1)2 (x + 1)3 u ′ v
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
=
u′ v − uv ′ . v2
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x −1 x +1
2
x −1 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1
y′ = 2
.
x−1 ′ x+1 (x − 1)′ (x + 1) − (x − 1)(x + 1)′ · (x + 1)2 1.(x + 1) − (x − 1).1 · (x + 1)2 x −1 2 =4 · (x + 1)2 (x + 1)3
Derivace čitatele a jmenovatele jsou již lehké. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x −1 x +1
2
x −1 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1
y′ = 2
.
x−1 ′ x+1 (x − 1)′ (x + 1) − (x − 1)(x + 1)′ · (x + 1)2 1.(x + 1) − (x − 1).1 · (x + 1)2 2 x −1 · =4 (x + 1)2 (x + 1)3
Upravíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x −1 x +1
2
x −1 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1
y′ = 2
.
x−1 ′ x+1 (x − 1)′ (x + 1) − (x − 1)(x + 1)′ · (x + 1)2 1.(x + 1) − (x − 1).1 · (x + 1)2 2 x −1 · =4 (x + 1)2 (x + 1)3
Vynásobíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln(x 2 − 1).
′ y′ = x ′ ln(x 2 − 1) + x ln(x 2 − 1) = 1 ln(x 2 − 1) + x
x2
1 (x 2 − 1)′ −1
1 2x x2 − 1 2x 2 = ln(x 2 − 1) + 2 x −1 = ln(x 2 − 1) + x
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln(x 2 − 1).
′ y′ = x ′ ln(x 2 − 1) + x ln(x 2 − 1) = 1 ln(x 2 − 1) + x
x2
1 (x 2 − 1)′ −1
1 2x x2 − 1 2x 2 = ln(x 2 − 1) + 2 x −1 = ln(x 2 − 1) + x
Derivace součinu (uv)′ = u′ v + uv ′
kde u = x a v = ln(x 2 − 1).
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln(x 2 − 1).
′ y′ = x ′ ln(x 2 − 1) + x ln(x 2 − 1) = 1 ln(x 2 − 1) + x
x2
1 (x 2 − 1)′ −1
1 2x x2 − 1 2x 2 = ln(x 2 − 1) + 2 x −1 = ln(x 2 − 1) + x
• Derivace u = x je lehká. • Funkce ln(x 2 − 1) je složená s vnější složkou ln(·) a vnitřní složkou x 2 − 1. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln(x 2 − 1).
′ y′ = x ′ ln(x 2 − 1) + x ln(x 2 − 1) = 1 ln(x 2 − 1) + x
x2
1 (x 2 − 1)′ −1
1 2x x2 − 1 2x 2 = ln(x 2 − 1) + 2 x −1 = ln(x 2 − 1) + x
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
(x 2 − 1)′ = 2x − 0 = 2x
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln(x 2 − 1).
′ y′ = x ′ ln(x 2 − 1) + x ln(x 2 − 1) = 1 ln(x 2 − 1) + x
x2
1 (x 2 − 1)′ −1
1 2x x2 − 1 2x 2 = ln(x 2 − 1) + 2 x −1 = ln(x 2 − 1) + x
Upravíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 x2 − 1 ln . 4 x2 + 1 x 2 + 1 2x(x 2 + 1) − (x 2 − 1)2x · x2 − 1 (x 2 + 1)2 x2 + 1 4x · 2 · x − 1 (x 2 + 1)2 x = 2 (x − 1)(x 2 + 1)
1 4 1 = 4
y′ =
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
·
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 x2 − 1 ln . 4 x2 + 1 x 2 + 1 2x(x 2 + 1) − (x 2 − 1)2x · x2 − 1 (x 2 + 1)2 x2 + 1 4x · 2 · x − 1 (x 2 + 1)2 x = 2 (x − 1)(x 2 + 1)
1 4 1 = 4
y′ =
·
Funkce je konstantní násobek logaritmické funkce. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 x2 − 1 ln . 4 x2 + 1
x 2 + 1 2x(x 2 + 1) − (x 2 − 1)2x · x2 − 1 (x 2 + 1)2 x2 + 1 4x · 2 · x − 1 (x 2 + 1)2 x • Logaritmus=je(xpouze vnější funkce. Vnitřní funkcí je zlomek. 2 − 1)(x 2 + 1) 1 • Derivujeme vnější složku podle pravidla (ln(x))′ = a podle x řetězového pravidla. 1 4 1 = 4
y′ =
·
• Platí (ln f (x))′ = ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 ′ f (x) f (x)
a
1 x 2 −1 x 2 +1
=
x2 + 1 . x2 − 1 c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 x2 − 1 ln . 4 x2 + 1 x 2 + 1 2x(x 2 + 1) − (x 2 − 1)2x · x2 − 1 (x 2 + 1)2 x2 + 1 4x · 2 · x − 1 (x 2 + 1)2 x = 2 (x − 1)(x 2 + 1)
1 4 1 = 4
y′ =
·
Pokračujeme derivací vnitřní složky. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 x2 − 1 ln . 4 x2 + 1 x 2 + 1 2x(x 2 + 1) − (x 2 − 1)2x · x2 − 1 (x 2 + 1)2 x2 + 1 4x · 2 · x − 1 (x 2 + 1)2 x = 2 (x − 1)(x 2 + 1) 1 4 1 = 4
y′ =
·
Upravíme čitatel druhého zlomku. Členy s x 3 se ruší a zůstane 4x.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 x2 − 1 ln . 4 x2 + 1 x 2 + 1 2x(x 2 + 1) − (x 2 − 1)2x · x2 − 1 (x 2 + 1)2 x2 + 1 4x · 2 · x − 1 (x 2 + 1)2 x = 2 (x − 1)(x 2 + 1) 1 4 1 = 4
y′ =
·
Vynásobíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
x + 1 − ln(1 +
√
x + 1).
1 1 1 √ y′ = √ 0+ √ ·1− 2 x +1 1+ x +1 2 x +1 1 1 √ 1− = √ 2 x +1 1+ x +1 √ 1 x +1 √ = √ · 2 x +1 1+ x +1 1 √ = 2(1 + x + 1)
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
x + 1 − ln(1 +
√
x + 1).
1 1 1 √ y′ = √ 0+ √ ·1− 2 x +1 1+ x +1 2 x +1 1 1 √ = √ 1− 2 x +1 1+ x +1 √ 1 x +1 √ = √ · 2 x +1 1+ x +1 1 1 =(√x)′ =√ x 12 ′ = 1 x 21 −1 = 1 x − 12 = √ 2(1 + x + 1) 2 2 2 x
podle derivace mocninné funkce. Toto musíme spojit s řetězovým pravidlem √ 1 1 ( x + 1)′ = √ ·1 = √ 2 x +1 2 x +1 ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
x + 1 − ln(1 +
√
x + 1).
1 1 1 √ y′ = √ 0+ √ ·1− 2 x +1 1+ x +1 2 x +1 1 1 √ = √ 1− 2 x +1 1+ x +1 √ 1 x +1 √ = √ · 2 x +1 1+ x +1 1 √ = 2(1 + x + 1)
1 Vytkneme √ . 2 x +1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
x + 1 − ln(1 +
√
x + 1).
1 1 1 √ y′ = √ 0+ √ ·1− 2 x +1 1+ x +1 2 x +1 1 1 √ 1− = √ 2 x +1 1+ x +1 √ 1 x +1 √ = √ · 2 x +1 1+ x +1 1 √ = 2(1 + x + 1)
Převedeme na společného jmenovatele a sečteme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
x + 1 − ln(1 +
√
x + 1).
1 1 1 √ y′ = √ 0+ √ ·1− 2 x +1 1+ x +1 2 x +1 1 1 √ 1− = √ 2 x +1 1+ x +1 √ 1 x +1 √ = √ · 2 x +1 1+ x +1 1 √ = 2(1 + x + 1)
Zkrátíme ⊳⊳
⊳
⊲
√ x + 1. Hotovo!
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p √ 1 − x arcsin x
p p √ √ 1 − x)′ · arcsin x + 1 − x · (arcsin x)′ √ 1 · (1 − x)′ · arcsin x = √ 2 1−x p √ ′ 1 + 1−x · p √ 2 · ( x) 1 − ( x) p √ 1 1 1 =− √ · arcsin x + 1 − x · √ · √ 1−x 2 x 2 1−x √ 1 arcsin x + √ =− √ 2 x 2 1−x
y′ = (
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p √ 1 − x arcsin x
p p √ √ 1 − x)′ · arcsin x + 1 − x · (arcsin x)′ √ 1 · (1 − x)′ · arcsin x = √ 2 1−x p √ ′ 1 + 1−x · p √ 2 · ( x) 1 − ( x) p √ 1 1 1 =− √ · arcsin x + 1 − x · √ · √ 1−x 2 x 2 1−x √ 1 arcsin x + √ =− √ 2 x 2 1−x
y′ = (
Derivace součinu. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p √ 1 − x arcsin x
p p √ √ 1 − x)′ · arcsin x + 1 − x · (arcsin x)′ √ 1 · (1 − x)′ · arcsin x = √ 2 1−x p √ ′ 1 + 1−x · p √ 2 · ( x) 1 − ( x) p √ 1 1 1 =− √ · arcsin x + 1 − x · √ · √ 1−x 2 x 2 1−x √ 1 arcsin x + √ =− √ 2 x 2 1−x
y′ = (
Řetězové pravidlo pro ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
p √ 1 − x a pro arcsin( x)
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p √ 1 − x arcsin x
p p √ √ 1 − x)′ · arcsin x + 1 − x · (arcsin x)′ √ 1 · (1 − x)′ · arcsin x = √ 2 1−x p √ ′ 1 + 1−x · p √ 2 · ( x) 1 − ( x) p √ 1 1 1 =− √ · arcsin x + 1 − x · √ · √ 1−x 2 x 2 1−x √ 1 arcsin x + √ =− √ 2 x 2 1−x
y′ = (
Derivace vnitřní složky. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p √ 1 − x arcsin x
p p √ √ 1 − x)′ · arcsin x + 1 − x · (arcsin x)′ √ 1 · (1 − x)′ · arcsin x = √ 2 1−x p √ ′ 1 + 1−x · p √ 2 · ( x) 1 − ( x) p √ 1 1 1 =− √ · arcsin x + 1 − x · √ · √ 1−x 2 x 2 1−x √ 1 arcsin x + √ =− √ 2 x 2 1−x
y′ = (
Výraz ⊳⊳
⊳
p 1 − x se zkrátí. Hotovo!
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) sin x + x cos x ′ y′ = (x 2 + 1) sin x + (x cos x)′
= (x 2 + 1)′ sin x + (x 2 + 1)(sin x)′ + x ′ cos x + x(cos x)′
= 2x sin x + (x 2 + 1)cos x + 1 · cos x + x(− sin x) = (2x − x) sin(x) + (x 2 + 1 + 1) cos x
= x sin x + (x 2 + 2) cos x
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) sin x + x cos x ′ y′ = (x 2 + 1) sin x + (x cos x)′
= (x 2 + 1)′ sin x + (x 2 + 1)(sin x)′ + x ′ cos x + x(cos x)′
= 2x sin x + (x 2 + 1)cos x + 1 · cos x + x(− sin x) = (2x − x) sin(x) + (x 2 + 1 + 1) cos x
= x sin x + (x 2 + 2) cos x
Derivace součtu. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) sin x + x cos x ′ y′ = (x 2 + 1) sin x + (x cos x)′
= (x 2 + 1)′ sin x + (x 2 + 1)(sin x)′ + x ′ cos x + x(cos x)′ = 2x sin x + (x 2 + 1)cos x + 1 · cos x + x(− sin x) = (2x − x) sin(x) + (x 2 + 1 + 1) cos x
= x sin x + (x 2 + 2) cos x
Dvakrát derivace součinu. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) sin x + x cos x ′ y′ = (x 2 + 1) sin x + (x cos x)′
= (x 2 + 1)′ sin x + (x 2 + 1)(sin x)′ + x ′ cos x + x(cos x)′ = 2x sin x + (x 2 + 1)cos x + 1 · cos x + x(− sin x) = (2x − x) sin(x) + (x 2 + 1 + 1) cos x
= x sin x + (x 2 + 2) cos x Aplikace vzorců. (x 2 )′ = 2x ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = − sin x c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) sin x + x cos x ′ y′ = (x 2 + 1) sin x + (x cos x)′
= (x 2 + 1)′ sin x + (x 2 + 1)(sin x)′ + x ′ cos x + x(cos x)′
= 2x sin x + (x 2 + 1)cos x + 1 · cos x + x(− sin x) = (2x − x) sin(x) + (x 2 + 1 + 1) cos x = x sin x + (x 2 + 2) cos x
Vytkneme goniometrické funkce ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) sin x + x cos x ′ y′ = (x 2 + 1) sin x + (x cos x)′
= (x 2 + 1)′ sin x + (x 2 + 1)(sin x)′ + x ′ cos x + x(cos x)′
= 2x sin x + (x 2 + 1)cos x + 1 · cos x + x(− sin x) = (2x − x) sin(x) + (x 2 + 1 + 1) cos x = x sin x + (x 2 + 2) cos x
Upravíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) cos(2x)
′ y′ = (x 2 + 1)′ cos(2x) + (x 2 + 1) cos(2x) = 2x cos(2x) + (x 2 + 1) − sin(2x) (2x)′ = 2x cos(2x) − (x 2 + 1) sin(2x)2 = 2x cos(2x) − 2(x 2 + 1) sin(2x)
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) cos(2x)
′ y′ = (x 2 + 1)′ cos(2x) + (x 2 + 1) cos(2x) = 2x cos(2x) + (x 2 + 1) − sin(2x) (2x)′ = 2x cos(2x) − (x 2 + 1) sin(2x)2 = 2x cos(2x) − 2(x 2 + 1) sin(2x)
Derivace součinu. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) cos(2x)
′ y′ = (x 2 + 1)′ cos(2x) + (x 2 + 1) cos(2x) = 2x cos(2x) + (x 2 + 1) − sin(2x) (2x)′ = 2x cos(2x) − (x 2 + 1) sin(2x)2 = 2x cos(2x) − 2(x 2 + 1) sin(2x)
Vypočteme derivace. Derivujeme složenou funkci. (cos x)′ = − sin x ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
[cos(f (x))]′ = − sin(f (x)) · f ′ (x) c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) cos(2x)
′ y′ = (x 2 + 1)′ cos(2x) + (x 2 + 1) cos(2x) = 2x cos(2x) + (x 2 + 1) − sin(2x) (2x)′ = 2x cos(2x) − (x 2 + 1) sin(2x)2 = 2x cos(2x) − 2(x 2 + 1) sin(2x)
Dopočítáme derivaci. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) cos(2x)
′ y′ = (x 2 + 1)′ cos(2x) + (x 2 + 1) cos(2x) = 2x cos(2x) + (x 2 + 1) − sin(2x) (2x)′ = 2x cos(2x) − (x 2 + 1) sin(2x)2 = 2x cos(2x) − 2(x 2 + 1) sin(2x)
Upravíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 x4
y′ =
i′ h (x 2 + 1)3 x 4 − (x 2 + 1)3 (x 4 )′
(x 4 )2 3(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)′ x 4 − (x 2 + 1)3 4x 3 = x 2·4 2 2 4 3(x + 1) (2x)x − (x 2 + 1)3 4x 3 = x8 2 2 3 2(x + 1) x [3x 2 − 2(x 2 + 1)] = x8 2 2 2 (x + 1) (x − 2) =2 x5
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 x4
y′ =
Derivace podílu. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
i′ h (x 2 + 1)3 x 4 − (x 2 + 1)3 (x 4 )′
(x 4 )2 3(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)′ x 4 − (x 2 + 1)3 4x 3 = x 2·4 2 2 4 3(x + 1) (2x)x − (x 2 + 1)3 4x 3 = x8 2 2 3 2(x + 1) x [3x 2 − 2(x 2 + 1)] = x8 2 2 2 (x + 1) (x − 2) =2 x5 c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 x4
y′ =
h i′ (x 2 + 1)3 x 4 − (x 2 + 1)3 (x 4 )′
(x 4 )2 3(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)′ x 4 − (x 2 + 1)3 4x 3 = x 2·4 2 2 4 3(x + 1) (2x)x − (x 2 + 1)3 4x 3 = x8 2 2 3 2(x + 1) x [3x 2 − 2(x 2 + 1)] = x8 Derivujeme složenou funkci. 2 2 2 (x + 1) (x − 2) =2 h 2 3 i′ x5 (x 3 )′ = 3x 2 f (x) = 3 f (x) f ′ (x) ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 x4
y′ =
i′ h (x 2 + 1)3 x 4 − (x 2 + 1)3 (x 4 )′
(x 4 )2 3(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)′ x 4 − (x 2 + 1)3 4x 3 = x 2·4 2 2 4 3(x + 1) (2x)x − (x 2 + 1)3 4x 3 = x8 2 2 3 2(x + 1) x [3x 2 − 2(x 2 + 1)] = x8 2 2 2 (x + 1) (x − 2) =2 x5
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 x4
y′ =
i′ h (x 2 + 1)3 x 4 − (x 2 + 1)3 (x 4 )′
(x 4 )2 3(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)′ x 4 − (x 2 + 1)3 4x 3 = x 2·4 2 2 4 3(x + 1) (2x)x − (x 2 + 1)3 4x 3 = x8 2 2 3 2(x + 1) x [3x 2 − 2(x 2 + 1)] = x8 2 2 2 (x + 1) (x − 2) =2 x5
Vytkneme v čitateli. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 x4
y′ =
(x 4 )2 3(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)′ x 4 − (x 2 + 1)3 4x 3 = x 2·4 2 2 4 3(x + 1) (2x)x − (x 2 + 1)3 4x 3 = x8 2 2 3 2(x + 1) x [3x 2 − 2(x 2 + 1)] = x8 2 2 2 (x + 1) (x − 2) =2 x5
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
i′ h (x 2 + 1)3 x 4 − (x 2 + 1)3 (x 4 )′
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 tak, že nejprve upravíte. x4
′ x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1 y = x4 i′ h = x 2 + 3 + 3x −2 + x −4 ′
= 2x + 0 + 3(−2)x −3 + (−4)x −5
= 2x −
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
6 4 2x 6 − 6x 2 − 4 − = x3 x5 x5
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 tak, že nejprve upravíte. x4
′ x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1 y = x4 i′ h = x 2 + 3 + 3x −2 + x −4 ′
= 2x + 0 + 3(−2)x −3 + (−4)x −5
= 2x −
4 2x 6 − 6x 2 − 4 6 − = x3 x5 x5
Umocníme podle vzorce (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 . ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 tak, že nejprve upravíte. x4
′ x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1 y = x4 i′ h = x 2 + 3 + 3x −2 + x −4 ′
= 2x + 0 + 3(−2)x −3 + (−4)x −5
= 2x −
4 2x 6 − 6x 2 − 4 6 − = x3 x5 x5
Vydělíme každý člen čitatele. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 tak, že nejprve upravíte. x4
′ x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1 y = x4 i′ h = x 2 + 3 + 3x −2 + x −4 ′
= 2x + 0 + 3(−2)x −3 + (−4)x −5 = 2x −
4 2x 6 − 6x 2 − 4 6 − = x3 x5 x5
Derivujeme součet (přesněji lineární kombinaci) čtyř mocninných funkcí. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 tak, že nejprve upravíte. x4
′ x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1 y = x4 i′ h = x 2 + 3 + 3x −2 + x −4 ′
= 2x + 0 + 3(−2)x −3 + (−4)x −5
= 2x −
4 6 2x 6 − 6x 2 − 4 − = x3 x5 x5
Přepíšeme záporné mocniny na zlomky. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 tak, že nejprve upravíte. x4
′ x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1 y = x4 i′ h = x 2 + 3 + 3x −2 + x −4 ′
= 2x + 0 + 3(−2)x −3 + (−4)x −5
= 2x −
6 4 2x 6 − 6x 2 − 4 − = x3 x5 x5
Upravíme. Derivování bylo jednodušší než v předchozím postupu, ale hůř se bude řešit rovnice y′ = 0. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
√ Derivujte y = ln x + arcsin(2 x) √ ′ 1 √ x + arcsin(2 x) x + arcsin(2 x) √ ′ 1 1 √ = 1+ p √ 2 (2 x) x + arcsin(2 x) 1 − (2 x) 1 1 1 √ 1+ √ = · 2 · · x −1/2 2 x + arcsin(2 x) 1 − 4x 1 1 √ 1+ √ √ = x + arcsin(2 x) x 1 − 4x
y′ =
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
√ Derivujte y = ln x + arcsin(2 x) √ ′ 1 √ x + arcsin(2 x) x + arcsin(2 x) √ ′ 1 1 √ = 1+ p √ 2 (2 x) x + arcsin(2 x) 1 − (2 x) 1 1 1 √ 1+ √ = · 2 · · x −1/2 2 x + arcsin(2 x) 1 − 4x 1 1 √ 1+ √ √ = x + arcsin(2 x) x 1 − 4x Derivujeme složenou funkci y′ =
(ln x)′ = ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 x
′ 1 ′ f (x) ln f (x) = f (x) c
Robert Mařík, 2006 ×
√ Derivujte y = ln x + arcsin(2 x) √ ′ 1 √ x + arcsin(2 x) x + arcsin(2 x) √ ′ 1 1 √ = 1+ p √ 2 (2 x) x + arcsin(2 x) 1 − (2 x) 1 1 1 √ 1+ √ = · 2 · · x −1/2 2 x + arcsin(2 x) 1 − 4x 1 1 √ 1+ √ √ = x + arcsin(2 x) x 1 − 4x Derivace součtu a derivace složené funkce. y′ =
′ 1 arcsin f (x) = p f ′ (x) 1 − f 2 (x) ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
√ Derivujte y = ln x + arcsin(2 x) √ ′ 1 √ x + arcsin(2 x) x + arcsin(2 x) √ ′ 1 1 √ = 1+ p √ 2 (2 x) x + arcsin(2 x) 1 − (2 x) 1 1 1 √ 1+ √ = · 2 · · x −1/2 2 x + arcsin(2 x) 1 − 4x 1 1 √ 1+ √ √ = x + arcsin(2 x) x 1 − 4x Derivujeme složenou funkci y′ =
√ 1 x = x2 ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
√ 1 1 ( x)′ = x 2 −1 2 c
Robert Mařík, 2006 ×
√ Derivujte y = ln x + arcsin(2 x) √ ′ 1 √ x + arcsin(2 x) x + arcsin(2 x) √ ′ 1 1 √ = 1+ p √ 2 (2 x) x + arcsin(2 x) 1 − (2 x) 1 1 1 √ 1+ √ = · 2 · · x −1/2 2 x + arcsin(2 x) 1 − 4x 1 1 √ 1+ √ √ = x + arcsin(2 x) x 1 − 4x
y′ =
Upravíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = arcsin
y′ = r
1−
= q
r
1 q
x . x +1
x x+1
1 = q
1 x+1
− ·
x x+1
1 · 2
√ 1 = x +1· · 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 · · 2
1 x+1 x+1
2 ·
r
x +1 x
√
x x +1
x x +1
21
·
′
− 12 ′ x · x +1
1 · (x + 1) − x · (1 + 0) (x + 1)2
1 x +1 1 √ √ = x (x + 1)2 2(x + 1) x
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = arcsin
y′ = r
1−
= q
x+1 x+1
1 x+1
⊳
1 q
x . x +1
x x+1
− ·
x x+1
1 · 2
√ 11 x+ = p1 · 2 · (arcsin x)′ = 1 − x2 ⊲
⊲⊲
2 ·
1 · · 2
1
1 = q
⊳⊳
r
r
x +1 x
√
x x +1
x x +1
21
·
′
− 12 ′ x · x +1
1 · (x + 1) − x · (1 + 0) (x + 1)2
11 x +1 1 √ (arcsin f (x)) ′= p + 1)√x · f ′ (x) x (x + 1)2 = 2(x 1 − [f (x)]2
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = arcsin
y′ = r
1−
= q
r
1 q
x . x +1
x x+1
1 x+1 x+1
1 = q
1 x+1
− ·
x x+1
1 · 2
2 ·
1 · · 2
r
x +1 x
x x +1
x x +1
21
·
′
− 12 ′ x · x +1
1 · (x + 1) − x · (1 + 0) (x + 1)2
√ √ 1 1 x + 1 1 p ′ =1 √ −1/2 √ =′ x + 1 ′ 1 · 1 ·− 1 √ 2 2 2 2 (x + 1) x 2(x + ( x) = (x ) = x f (x) = f (x) 1) ·xf ′ (x) 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
2
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = arcsin
y′ = r
1−
= q
r
1 q
x . x +1
x x+1
1 = q
1 x+1
− ·
x x+1
1 · 2
√ 1 = x +1· · 2 ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 · · 2
1 x+1 x+1
2 ·
r
x +1 x
√
x x +1
x x +1
21
·
′
− 12 ′ x · x +1
1 · (x + 1) − x · (1 + 0) (x + 1)2
1 x +1 1 √ √ = x (x + 1)2 2(x + 1) x
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = arcsin
y′ = r
1−
= q
r
1 q
x . x +1
x x+1
1 = q
1 x+1
− ·
x x+1
1 · 2
√ 1 = x +1· · 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 · · 2
1 x+1 x+1
2 ·
r
x +1 x
√
x x +1
x x +1
21
·
′
− 12 ′ x · x +1
1 · (x + 1) − x · (1 + 0) (x + 1)2
1 x +1 1 √ √ = x (x + 1)2 2(x + 1) x
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = arcsin
y′ = r
1−
= q
r
1 q
x . x +1
x x+1
1 = q
1 x+1
− ·
x x+1
1 · 2
√ 1 = x +1· · 2
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 · · 2
1 x+1 x+1
2 ·
r
x +1 x
√
x x +1
x x +1
21
·
′
− 12 ′ x · x +1
1 · (x + 1) − x · (1 + 0) (x + 1)2
1 x +1 1 √ √ = x (x + 1)2 2(x + 1) x
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 3 + 2x)e−2x . y′ = (x 3 + 2x)′ e−2x + (x 3 + 2x) e−2x
′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2x)′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2) = e−2x 3x 2 + 2 − 2(x 3 + 2x) = e−2x −2x 3 + 3x 2 − 4x + 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 3 + 2x)e−2x . y′ = (x 3 + 2x)′ e−2x + (x 3 + 2x) e−2x
′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2x)′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2) = e−2x 3x 2 + 2 − 2(x 3 + 2x) = e−2x −2x 3 + 3x 2 − 4x + 2
Derivujeme součin funkcí (uv)′ = u′ v + uv ′ ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 3 + 2x)e−2x . y′ = (x 3 + 2x)′ e−2x + (x 3 + 2x) e−2x
′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2x)′ = (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2) = e−2x 3x 2 + 2 − 2(x 3 + 2x) = e−2x −2x 3 + 3x 2 − 4x + 2
Derivujeme složenou funkci (ex )′ = ex ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
ef (x)
′
= ef (x) · f ′ (x) c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 3 + 2x)e−2x . y′ = (x 3 + 2x)′ e−2x + (x 3 + 2x) e−2x
′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2x)′ = (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2) = e−2x 3x 2 + 2 − 2(x 3 + 2x) = e−2x −2x 3 + 3x 2 − 4x + 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 3 + 2x)e−2x . y′ = (x 3 + 2x)′ e−2x + (x 3 + 2x) e−2x
′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2x)′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2) = e−2x 3x 2 + 2 − 2(x 3 + 2x) = e−2x −2x 3 + 3x 2 − 4x + 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 3 + 2x)e−2x . y′ = (x 3 + 2x)′ e−2x + (x 3 + 2x) e−2x
′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2x)′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2) = e−2x 3x 2 + 2 − 2(x 3 + 2x) = e−2x −2x 3 + 3x 2 − 4x + 2
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte funkci y = (x 2 − 1) sin(2x) − (3x − 1) cos(2x). ′ y = (x 2 − 1)′ sin(2x) + (x 2 − 1) sin(2x) # " ′ ′ − (3x − 1) cos(2x) + (3x − 1) cos(2x)
= 2xsin(2x) + (x 2 − 1)cos(2x)2 h i − 3cos(2x) + (3x − 1) −sin(2x) 2 h i h i = sin(2x) 2x + 2(3x − 1) + cos(2x) 2(x 2 − 1) − 3 h i h i = sin(2x) 8x − 2 + cos(2x) 2x 2 − 5
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte funkci y = (x 2 − 1) sin(2x) − (3x − 1) cos(2x). ′ y = (x 2 − 1)′ sin(2x) + (x 2 − 1) sin(2x) # " ′ ′ − (3x − 1) cos(2x) + (3x − 1) cos(2x)
= 2xsin(2x) + (x 2 − 1)cos(2x)2 h i − 3cos(2x) + (3x − 1) −sin(2x) 2 h i h i = sin(2x) 2x + 2(3x − 1) + cos(2x) 2(x 2 − 1) − 3 h i h i = sin(2x) 8x − 2 + cos(2x) 2x 2 − 5
Derivujeme dvakrát součin (barevně odlišeno). ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte funkci y = (x 2 − 1) sin(2x) − (3x − 1) cos(2x). ′ y = (x 2 − 1)′ sin(2x) + (x 2 − 1) sin(2x) # " ′ ′ − (3x − 1) cos(2x) + (3x − 1) cos(2x)
= 2xsin(2x) + (x 2 − 1)cos(2x)2 h i − 3cos(2x) + (3x − 1) −sin(2x) 2 h i h i = sin(2x) 2x + 2(3x − 1) + cos(2x) 2(x 2 − 1) − 3 h i h i = sin(2x) 8x − 2 + cos(2x) 2x 2 − 5
Argumentem sinu a kosinu není x ale funkce 2x, užijeme tedy pravidlo pro derivaci složené funkce (řetězové pravidlo). ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte funkci y = (x 2 − 1) sin(2x) − (3x − 1) cos(2x). ′ y = (x 2 − 1)′ sin(2x) + (x 2 − 1) sin(2x) # " ′ ′ − (3x − 1) cos(2x) + (3x − 1) cos(2x)
= 2xsin(2x) + (x 2 − 1)cos(2x)2 h i − 3cos(2x) + (3x − 1) −sin(2x) 2 h i h i = sin(2x) 2x + 2(3x − 1) + cos(2x) 2(x 2 − 1) − 3 h i h i = sin(2x) 8x − 2 + cos(2x) 2x 2 − 5
Vytkneme sinus a kosinus ze členů, kde se tyto výrazy vyskytují. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte funkci y = (x 2 − 1) sin(2x) − (3x − 1) cos(2x). ′ y = (x 2 − 1)′ sin(2x) + (x 2 − 1) sin(2x) # " ′ ′ − (3x − 1) cos(2x) + (3x − 1) cos(2x)
= 2xsin(2x) + (x 2 − 1)cos(2x)2 h i − 3cos(2x) + (3x − 1) −sin(2x) 2 h i h i = sin(2x) 2x + 2(3x − 1) + cos(2x) 2(x 2 − 1) − 3 h i h i = sin(2x) 8x − 2 + cos(2x) 2x 2 − 5
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p 2 + cos(2x)
h i 1 ′ y′ = (2 + cos(2x)) 2
1 1 · [2 + cos(2x)]− 2 · [2 + cos(2x)]′ 2 1 = p · [0 − sin(2x) · 2] 2 2 + cos(2x) sin(2x) = −p 2 + cos(2x)
=
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p 2 + cos(2x)
h i 1 ′ y′ = (2 + cos(2x)) 2
1 1 · [2 + cos(2x)]− 2 · [2 + cos(2x)]′ 2 1 = p · [0 − sin(2x) · 2] 2 2 + cos(2x) sin(2x) = −p 2 + cos(2x) • Odmocninu derivujeme jako mocninnou funkci s exponentem 1 . 2
=
• Pod odmocninou není x, ale vnitřní složka. Musíme proto násobit derivací vnitřní složky. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p 2 + cos(2x)
i h 1 ′ y′ = (2 + cos(2x)) 2
1 1 · [2 + cos(2x)]− 2 · [2 + cos(2x)]′ 2 1 = p · [0 − sin(2x) · 2] 2 2 + cos(2x) sin(2x) = −p 2 + cos(2x)
=
• Derivujeme součet.
• Při derivaci funkce cos(2x) opět užíváme pravidlo pro derivaci složené funkce, protože argumentem není x, ale (2x). ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p 2 + cos(2x)
i h 1 ′ y′ = (2 + cos(2x)) 2
1 1 · [2 + cos(2x)]− 2 · [2 + cos(2x)]′ 2 1 = p · [0 − sin(2x) · 2] 2 2 + cos(2x) sin(2x) = −p 2 + cos(2x)
=
Upravíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
y′ = q =
√
1 sin x
1 1 sin x
·
sin x ·
1 2
1 sin x
− 21
· (−1)(sin x)−2 · cos x
1 1 √ · sin x · (−1) 2 cos x 2 sin x
1 = − cotg x 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
y′ = q =
√
1 sin x
1 1 sin x
·
sin x ·
1 2
1 sin x
− 21
· (−1)(sin x)−2 · cos x
1 1 √ · sin x · (−1) 2 cos x 2 sin x
1 = − cotg x 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
y′ = q =
√
1 sin x
1 1 sin x
·
sin x ·
1 2
1 sin x
− 21
· (−1)(sin x)−2 · cos x
1 1 √ · sin x · (−1) 2 cos x 2 sin x
1 = − cotg x 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
y′ = q =
√
1 sin x
1 1 sin x
·
sin x ·
1 2
1 sin x
− 21
· (−1)(sin x)−2 · cos x
1 1 √ · sin x · (−1) 2 cos x 2 sin x
1 = − cotg x 2
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
1 . sin x 1 y′ = − · (ln sin x)′ 2 1 1 =− · · cos x 2 sin x 1 = − · cotg x 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
1 . sin x 1 y′ = − · (ln sin x)′ 2 1 1 · cos x =− · 2 sin x 1 = − · cotg x 2
Nejprve upravíme. y = ln ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
p 1 1 sin−1 x = ln sin− 2 x = − · ln sin x 2 c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
1 . sin x 1 y′ = − · (ln sin x)′ 2 1 1 · cos x =− · 2 sin x 1 = − · cotg x 2
Derivujeme složenou funkci. Vnější složka je ln(·) a vnitřní složka je sin(x). ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
1 . sin x 1 y′ = − · (ln sin x)′ 2 1 1 =− · · cos x 2 sin x 1 = − · cotg x 2
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln sin e3x . ′ 1 · sin e3x 3x sin e ′ 1 = · cos e3x · e3x 3x sin e = cotg e3x · e3x (3x)′ = cotg e3x · e3x · 3
y′ =
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln sin e3x . ′ 1 · sin e3x 3x sin e ′ 1 = · cos e3x · e3x 3x sin e = cotg e3x · e3x (3x)′ = cotg e3x · e3x · 3
y′ =
Derivujeme logaritmus, vnitřní složka je sin e3x . (ln x)′ = ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 x c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln sin e3x . ′ 1 · sin e3x 3x sin e ′ 1 = · cos e3x · e3x 3x sin e = cotg e3x · e3x (3x)′ = cotg e3x · e3x · 3
y′ =
Derivujeme sinus, vnitřní složka je e3x . (sin x)′ = cos x ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln sin e3x . ′ 1 · sin e3x 3x sin e ′ 1 = · cos e3x · e3x 3x sin e = cotg e3x · e3x (3x)′ = cotg e3x · e3x · 3
y′ =
Derivujeme exponencielu, vnitřní složka je 3x. (ex )′ = ex ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln sin e3x . ′ 1 · sin e3x 3x sin e ′ 1 = · cos e3x · e3x 3x sin e = cotg e3x · e3x (3x)′ = cotg e3x · e3x · 3
y′ =
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p x + ln(9 − x)
− 12 ′ 1 · x + ln(9 − x) · x + ln (9 − x) 2 1 1 1 1+ = ·p · (0 − 1) 2 9−x x + ln(9 − x) 8−x p = 2(9 − x) x + ln(9 − x)
y′ =
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p x + ln(9 − x)
− 12 ′ 1 · x + ln(9 − x) · x + ln (9 − x) 2 1 1 1 1+ = ·p · (0 − 1) 2 9−x x + ln(9 − x) 8−x p = 2(9 − x) x + ln(9 − x)
y′ =
Derivujeme odmocninu. p − 12 ′ 1 f (x) = f (x) f ′ (x) 2 ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p x + ln(9 − x)
− 12 ′ 1 · x + ln (9 − x) · x + ln(9 − x) 2 1 1 1 1+ = ·p · (0 − 1) 2 9−x x + ln(9 − x) 8−x p = 2(9 − x) x + ln(9 − x)
y′ =
Upravíme zápornou mocninu a doderivujeme vnitřní složku původní odmocniny. U logaritmu se jedná se opět o složenou funkci a derivujeme i vnitřní složku. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p x + ln(9 − x)
− 12 ′ 1 · x + ln(9 − x) · x + ln (9 − x) 2 1 1 1 1+ = ·p · (0 − 1) 2 9−x x + ln(9 − x) 8−x p = 2(9 − x) x + ln(9 − x)
y′ =
Sečteme výraz v závorce a upravíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x2 . (x + 1)3
y′ =
i′ h (x 2 )′ (x + 1)3 − x 2 (x + 1)3
(x + 1)3·2 2x(x + 1) − x 2 3(x + 1)2 · 1 = (x + 1)6 h i x(x + 1)2 2(x + 1) − 3x = (x + 1)6 x(2 − x) = (x + 1)4 3
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x2 . (x + 1)3
y′ =
i′ h (x 2 )′ (x + 1)3 − x 2 (x + 1)3
(x + 1)3·2 2x(x + 1) − x 2 3(x + 1)2 · 1 = (x + 1)6 h i x(x + 1)2 2(x + 1) − 3x = (x + 1)6 x(2 − x) = (x + 1)4 3
Derivujeme podíl.
u ′ v
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
=
u′ v − uv ′ v2 c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x2 . (x + 1)3
y′ =
i′ h (x 2 )′ (x + 1)3 − x 2 (x + 1)3
(x + 1)3·2 2x(x + 1) − x 2 3(x + 1)2 · 1 = (x + 1)6 h i x(x + 1)2 2(x + 1) − 3x = (x + 1)6 x(2 − x) = (x + 1)4 3
Vypočteme jednotlivé derivace. Funkci (x + 1)3 derivujeme jako funkci složenou. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x2 . (x + 1)3
y′ =
i′ h (x 2 )′ (x + 1)3 − x 2 (x + 1)3
(x + 1)3·2 2x(x + 1) − x 2 3(x + 1)2 · 1 = (x + 1)6 h i x(x + 1)2 2(x + 1) − 3x = (x + 1)6 x(2 − x) = (x + 1)4 3
Vytkneme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x2 . (x + 1)3
y′ =
i′ h (x 2 )′ (x + 1)3 − x 2 (x + 1)3
(x + 1)3·2 2x(x + 1) − x 2 3(x + 1)2 · 1 = (x + 1)6 h i x(x + 1)2 2(x + 1) − 3x = (x + 1)6 x(2 − x) = (x + 1)4 3
Zkrátíme (x + 1)2 a upravíme v hranaté závorce. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln
x2 . x +1
′ x2 x2 y = (x) · ln + x · ln x +1 x +1 2 ′ x2 x +1 x = 1 · ln +x · 2 · x +1 x x +1 ′
′
x + 1 2x · (x + 1) − x 2 · (1 + 0) x2 +1· · x +1 x (x + 1)2 x2 1 x 2 + 2x x2 x +2 = ln + · = ln + x +1 x x +1 x +1 x +1 = 1 · ln
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln
x2 . x +1
′ x2 x2 y = (x) · ln + x · ln x +1 x +1 2 ′ x2 x +1 x = 1 · ln +x · 2 · x +1 x x +1 ′
′
x + 1 2x · (x + 1) − x 2 · (1 + 0) x2 +1· · x +1 x (x + 1)2 x2 1 x 2 + 2x x2 x +2 = ln + · = ln + x +1 x x +1 x +1 x +1 = 1 · ln
Derivujeme součin. (uv)′ = u′ v + uv ′ ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln
x2 . x +1
′ x2 x2 y = (x) · ln + x · ln x +1 x +1 2 ′ x2 x x +1 = 1 · ln +x · 2 · x +1 x x +1 ′
′
x + 1 2x · (x + 1) − x 2 · (1 + 0) x2 +1· · x +1 x (x + 1)2 x2 1 x 2 + 2x x2 x +2 = ln + · = ln + x +1 x x +1 x +1 x +1 = 1 · ln
Derivujeme jednotlivé členy. Logaritmus derivujeme jako složenou funkci. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln
x2 . x +1
′ x2 x2 y = (x) · ln + x · ln x +1 x +1 2 ′ x2 x +1 x = 1 · ln +x · 2 · x +1 x x +1 ′
′
x + 1 2x · (x + 1) − x 2 · (1 + 0) x2 +1· · x +1 x (x + 1)2 x2 1 x 2 + 2x x2 x +2 = ln + · = ln + x +1 x x +1 x +1 x +1 Vnitřní složka logaritmu je podíl, použijeme tedy pravidlo pro derivaci podílu. u ′ u′ v − uv ′ = v v2 = 1 · ln
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln
x2 . x +1
′ x2 x2 y = (x) · ln + x · ln x +1 x +1 2 ′ x2 x +1 x = 1 · ln +x · 2 · x +1 x x +1 ′
′
x2 x + 1 2x · (x + 1) − x 2 · (1 + 0) +1· · x +1 x (x + 1)2 x2 x2 1 x 2 + 2x x +2 = ln = ln + · + x +1 x x +1 x +1 x +1
= 1 · ln
Zkrátíme (x + 1) a upravíme čitatel posledního zlomku. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln
x2 . x +1
′ x2 x2 y = (x) · ln + x · ln x +1 x +1 2 ′ x2 x +1 x = 1 · ln +x · 2 · x +1 x x +1 ′
′
x + 1 2x · (x + 1) − x 2 · (1 + 0) x2 +1· · x +1 x (x + 1)2 x2 x2 1 x 2 + 2x x +2 = ln = ln + · + x +1 x x +1 x +1 x +1 = 1 · ln
Upravíme do finálního tvaru. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = 2x arctg x − ln(1 + x 2 ). y′ = (2x)′ · arctg x + 2x · (arctg x)′ − = 2 · arctg x + 2x · = 2 arctg x
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 · (1 + x 2 )′ 1 + x2
1 1 − · 2x 1 + x2 1 + x2
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = 2x arctg x − ln(1 + x 2 ). y′ = (2x)′ · arctg x + 2x · (arctg x)′ − = 2 · arctg x + 2x · = 2 arctg x
1 · (1 + x 2 )′ 1 + x2
1 1 − · 2x 1 + x2 1 + x2
Derivujeme součin a složenou funkci. (uv)′ = u′ v + uv ′ ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
u(v(x))
′
= u′ (v(x)) · v ′ (x) c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = 2x arctg x − ln(1 + x 2 ). y′ = (2x)′ · arctg x + 2x · (arctg x)′ − = 2 · arctg x + 2x · = 2 arctg x
1 · (1 + x 2 )′ 1 + x2
1 1 − · 2x 1 + x2 1 + x2
Dokončíme derivování. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = 2x arctg x − ln(1 + x 2 ). y′ = (2x)′ · arctg x + 2x · (arctg x)′ − = 2 · arctg x + 2x · = 2 arctg x
1 · (1 + x 2 )′ 1 + x2
1 1 − · 2x 1 + x2 1 + x2
Poslední dva členy se odečtou. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x 3 arcsin x +
p 1 − x2.
1 1 · (1 − x 2 )− 2 · (1 − x 2 )′ 2 x3 1 = 3x 2 · arcsin x + p + p · (−2x) 1 − x2 2 1 − x2 x3 − x = 3x 2 arcsin x + p 1 − x2 1 − x2 = 3x 2 arcsin x − x · p 1 − x2 p = 3x 2 arcsin x − x · 1 − x 2
y′ = (x 3 )′ · arcsin x + x 3 · (arcsin x)′ +
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x 3 arcsin x +
p 1 − x2.
1 1 · (1 − x 2 )− 2 · (1 − x 2 )′ 2 1 x3 + p · (−2x) = 3x 2 · arcsin x + p 1 − x2 2 1 − x2 x3 − x = 3x 2 arcsin x + p 1 − x2 1 − x2 = 3x 2 arcsin x − x · p 1 − x2 p Derivujeme složenou funkci. x2 = 3x 2 součin arcsin xa − x · 1−
y′ = (x 3 )′ · arcsin x + x 3 · (arcsin x)′ +
(uv)′ = u′ v + uv ′
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
u(v(x))
′
= u′ (v(x)) · v ′ (x)
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x 3 arcsin x +
p 1 − x2.
1 1 · (1 − x 2 )− 2 · (1 − x 2 )′ 2 x3 1 · (−2x) = 3x 2 · arcsin x + p + p 1 − x2 2 1 − x2 x3 − x = 3x 2 arcsin x + p 1 − x2 1 − x2 = 3x 2 arcsin x − x · p 1 − x2 p = 3x 2 arcsin x − x · 1 − x 2
y′ = (x 3 )′ · arcsin x + x 3 · (arcsin x)′ +
Dokončíme derivování. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x 3 arcsin x +
p 1 − x2.
1 1 · (1 − x 2 )− 2 · (1 − x 2 )′ 2 x3 1 = 3x 2 · arcsin x + p + p · (−2x) 1 − x2 2 1 − x2 x3 − x = 3x 2 arcsin x + p 1 − x2 1 − x2 = 3x 2 arcsin x − x · p 1 − x2 p = 3x 2 arcsin x − x · 1 − x 2
y′ = (x 3 )′ · arcsin x + x 3 · (arcsin x)′ +
Zkrátíme dvojku a sečteme zlomky. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x 3 arcsin x +
p 1 − x2.
1 1 · (1 − x 2 )− 2 · (1 − x 2 )′ 2 x3 1 = 3x 2 · arcsin x + p + p · (−2x) 1 − x2 2 1 − x2 x3 − x = 3x 2 arcsin x + p 1 − x2 1 − x2 = 3x 2 arcsin x − x · p 1 − x2 p = 3x 2 arcsin x − x · 1 − x 2
y′ = (x 3 )′ · arcsin x + x 3 · (arcsin x)′ +
Vytkneme (−x). ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x 3 arcsin x +
p 1 − x2.
1 1 · (1 − x 2 )− 2 · (1 − x 2 )′ 2 x3 1 = 3x 2 · arcsin x + p + p · (−2x) 1 − x2 2 1 − x2 x3 − x = 3x 2 arcsin x + p 1 − x2 1 − x2 = 3x 2 arcsin x − x · p 1 − x2 p = 3x 2 arcsin x − x · 1 − x 2
y′ = (x 3 )′ · arcsin x + x 3 · (arcsin x)′ +
Zkrátíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
p 1 − x2 Derivujte y = . arcsin x y′ = =
′ p p 1 − x 2 · arcsin x − 1 − x 2 · (arcsin x)′ √1
2
1−x 2
arcsin2 x p · (−2x) · arcsin x − 1 − x 2 · √ 1 2
arcsin x · (−2x)arcsin x 1 2 1−x 2 − = arcsin2 x arcsin2 x √ 1 · (−x) 1 1−x 2 − = arcsin x arcsin2 x −x 1 = p − arcsin2 x 1 − x 2 · arcsin x
1−x 2
√1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
p 1 − x2 Derivujte y = . arcsin x y′ = =
p ′ p 1 − x 2 · arcsin x − 1 − x 2 · (arcsin x)′ √1
2
1−x 2
arcsin2 x p · (−2x) · arcsin x − 1 − x 2 · √ 1 2
1−x 2
arcsin x · (−2x)arcsin x 1 2 1−x 2 − = arcsin2 x arcsin2 x √ 1 · (−x) 2 1 tedy pravidlo pro derivaci 1−xpodílu, Funkce je ve tvaru použijeme − = 2 arcsin x podílu. x arcsin ′ ′ −x u ′ = u v − uv 1 = p − 2 2 v v arcsin x 1 − x 2 · arcsin x √1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
p 1 − x2 Derivujte y = . arcsin x y′ = =
p ′ p 1 − x 2 · arcsin x − 1 − x 2 · (arcsin x)′ √1
2
1−x 2
arcsin2 x p · (−2x) · arcsin x − 1 − x 2 · √ 1 2
1−x 2
arcsin x · (−2x)arcsin x 1 2 1−x 2 − = arcsin2 x arcsin2 x √ 1 · (−x) 2 1 • Dopočítáme1−xderivace. − = arcsin x arcsin2 x • Pod odmocninou−xje vnitřní složka 1a užijeme pravidlo pro deri= p funkce. − vace složené arcsin2 x 1 − x 2 · arcsin x √1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
p 1 − x2 Derivujte y = . arcsin x y′ = =
p ′ p 1 − x 2 · arcsin x − 1 − x 2 · (arcsin x)′ √1
2
1−x 2
arcsin2 x p · (−2x) · arcsin x − 1 − x 2 · √ 1 2
1−x 2
arcsin x · (−2x)arcsin x 1 2 1−x 2 − = arcsin2 x arcsin2 x √ 1 · (−x) 1 1−x 2 − = arcsin x arcsin2 x −x 1 = p − 2 arcsin x druhého zlomku. − x 2 · arcsin x Rozdělíme na dva1 zlomky a zkrátíme v čitateli √1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
p 1 − x2 Derivujte y = . arcsin x y′ = =
p ′ p 1 − x 2 · arcsin x − 1 − x 2 · (arcsin x)′ √1
2
1−x 2
arcsin2 x p · (−2x) · arcsin x − 1 − x 2 · √ 1 2
arcsin x · (−2x)arcsin x 1 2 1−x 2 − = arcsin2 x arcsin2 x √ 1 · (−x) 1 1−x 2 = − arcsin x arcsin2 x −x 1 = p − arcsin2 x 1 − x 2 · arcsin x Provedeme krácení.
1−x 2
√1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
p 1 − x2 Derivujte y = . arcsin x y′ = =
p ′ p 1 − x 2 · arcsin x − 1 − x 2 · (arcsin x)′ √1
2
1−x 2
arcsin2 x p · (−2x) · arcsin x − 1 − x 2 · √ 1 2
arcsin x · (−2x)arcsin x 1 2 1−x 2 − = arcsin2 x arcsin2 x √ 1 · (−x) 1 1−x 2 − = arcsin x arcsin2 x −x 1 = p − arcsin2 x 1 − x 2 · arcsin x
1−x 2
√1
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
√ x + 1 arctg x + 1.
√ 1 y′ = √ · (1 + 0) · arctg x + 1+ 2 x +1 √ 1 1 · (1 + 0) + x +1· 2 · √ √ 2 x +1 x +1 1+ √ 1 arctg x + 1 1 √ = + · 2 x +2 2 x +1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
√ x + 1 arctg x + 1.
√ 1 y′ = √ · (1 + 0) · arctg x + 1+ 2 x +1 √ 1 1 · (1 + 0) + x +1· √ 2 · √ 2 x +1 x +1 1+ √ 1 arctg x + 1 1 √ = + · 2 x +2 2 x +1 Derivujeme součin a složenou funkci podle pravidel (uv)′ = u′ v + uv ′ ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
u(v(x))
′
= u′ (v(x)) · v ′ (x) c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
√ x + 1 arctg x + 1.
√ 1 · (1 + 0) · arctg x + 1+ y′ = √ 2 x +1 √ 1 1 + x +1· · (1 + 0) 2 · √ √ 2 x +1 x +1 1+ √ 1 arctg x + 1 1 √ = + · 2 x +2 2 x +1
Upravíme a zkrátíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Konec
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Obsah x . . . x2 + 1 1 − x3 y= . . . x2 y = x ln2 x . . . . y=s (x 2 + 3x)e−2x y=
1 + x3 . 1 − x3 2 x −1 y= . x +1 y = x ln(x 2 − 1) 1 x2 − 1 y = ln 2 4 x +1 y=
⊳⊳
⊳
⊲
3
⊲⊲
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
c
Robert Mařík, 2006 ×
y y y y y y y y y y y y ⊳⊳
⊳
√ √ = px + 1 − ln(1 + x + 1) . . . . . √ = 1 − x. arcsin x . . . . . . . . = (x 2 + 1) sin x + x cos x . . . . . . = (x 2 + 1) cos(2x) . . . . . . . . . . (x 2 + 1)3 = . . . . . . . . . . . . . x4 2 3 (x + 1) . . . . . . . . . . . . . = x4 √ = ln x + arcsin(2 x) . . . . . . . r x . . . . . . . . . . = arcsin x +1 = (x 3 + 2x)e−2x . . . . . . . . . . . 2 = (x p − 1) sin(2x) − (3x − 1) cos(2x) 2 + cos(2x) . . . . . . . . . . . = r 1 = ln . . . . . . . . . . . . . sin x ⊲
⊲⊲
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
56 61 66 72
. . . . . . . . . . . .
77
. . . . . . . . . . . .
83
. . . . . . . . . . . .
89
. . . . . . . . . . . .
94
. . . . . . . . . . . . 100 . . . . . . . . . . . . 106 . . . . . . . . . . . . 111 . . . . . . . . . . . . 115 c
Robert Mařík, 2006 ×
1 . . . . . . . sin x 3x = ln psin e . . . . . . . . = x + ln(9 − x) . . . . x2 = . . . . . . . . (x + 1)3 x2 = x ln . . . . . . . x +1 2 = 2x arctg x − ln(1 p +x ) 3 = xparcsin x + 1 − x 2 1 − x2 = . . . . . . . √arcsin x √ = x + 1 arctg x + 1 .
y = ln y y y y y y y y
⊳⊳
⊳
r
⊲
⊲⊲
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x . x2 + 1 (x)′ · (x 2 + 1) − x · (x 2 + 1)′ (x 2 + 1)2 2 1 · (x + 1) − x · (2x + 0) = (x 2 + 1)2 2 1−x = (1 + x 2 )2
y′ =
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x . x2 + 1 (x)′ · (x 2 + 1) − x · (x 2 + 1)′ (x 2 + 1)2 2 1 · (x + 1) − x · (2x + 0) = (x 2 + 1)2 2 1−x = (1 + x 2 )2
y′ =
• Funkce je ve tvaru podílu. • Užijeme pravidlo ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
u ′ v
=
u′ v − uv ′ . v2 c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x . x2 + 1 (x)′ · (x 2 + 1) − x · (x 2 + 1)′ (x 2 + 1)2 2 1 · (x + 1) − x · (2x + 0) = (x 2 + 1)2 2 1−x = (1 + x 2 )2
y′ =
• x ′ = 1 podle derivace mocninné funkce. • (x 2 + 1)′ = (x 2 )′ + (1)′ = 2x + 0 = 2x podle derivace součtu a derivace mocninné funkce. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x . x2 + 1 (x)′ · (x 2 + 1) − x · (x 2 + 1)′ (x 2 + 1)2 2 1 · (x + 1) − x · (2x + 0) = (x 2 + 1)2 2 1−x = (1 + x 2 )2
y′ =
Roznásobíme závorky a upravíme čitatele. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 − x3 x2
(1 − x 3 )′ · x 2 − (1 − x 3 ) · (x 2 )′ (x 2 )2 (0 − 3x 2 ) · x 2 − (1 − x 3 ) · 2x = (x 2 )2 2 + x3 −3x 4 − 2x + 2x 4 =− 3 = 4 x x
y′ =
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 − x3 x2
(1 − x 3 )′ · x 2 − (1 − x 3 ) · (x 2 )′ (x 2 )2 (0 − 3x 2 ) · x 2 − (1 − x 3 ) · 2x = (x 2 )2 2 + x3 −3x 4 − 2x + 2x 4 =− 3 = 4 x x
y′ =
• Funkce je ve tvaru podílu. • Užijeme pravidlo ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
u ′ v
=
u′ v − uv ′ . v2 c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 − x3 x2
(1 − x 3 )′ · x 2 − (1 − x 3 ) · (x 2 )′ (x 2 )2 (0 − 3x 2 ) · x 2 − (1 − x 3 ) · 2x = (x 2 )2 2 + x3 −3x 4 − 2x + 2x 4 =− 3 = 4 x x
y′ =
• Výraz (1 − x 3 )′ derivujeme jako součet.
• Výrazy x 2 a x 3 derivujeme jako mocninné funkce. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 − x3 x2
(1 − x 3 )′ · x 2 − (1 − x 3 ) · (x 2 )′ (x 2 )2 (0 − 3x 2 ) · x 2 − (1 − x 3 ) · 2x = (x 2 )2 −3x 4 − 2x + 2x 4 2 + x3 = =− 3 4 x x
y′ =
Roznásobíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 − x3 x2
(1 − x 3 )′ · x 2 − (1 − x 3 ) · (x 2 )′ (x 2 )2 (0 − 3x 2 ) · x 2 − (1 − x 3 ) · 2x = (x 2 )2 2 + x3 −3x 4 − 2x + 2x 4 =− 3 = 4 x x
y′ =
Upravíme (sečteme v čitateli, vytkneme (−x) a zkrátíme). Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln2 x. y′ = ( x ln2 x )′ = (x)′ · ln2 x + x · (ln2 x)′ = 1 · ln2 x + x · 2 ln x · (ln x)′ = ln2 x + x 2 ln x
1 x
= (2 + ln x) ln x
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln2 x. y′ = ( x ln2 x )′ = (x)′ · ln2 x + x · (ln2 x)′ = 1 · ln2 x + x · 2 ln x · (ln x)′ = ln2 x + x 2 ln x
1 x
= (2 + ln x) ln x Derivujeme jako součin (uv)′ , kde u = x a v = ln2 x. (uv)′ = u′ v + uv ′ ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln2 x. y′ = ( x ln2 x )′ = (x)′ · ln2 x + x · (ln2 x)′ = 1 · ln2 x + x · 2 ln x · (ln x)′
= ln2 x + x 2 ln x
1 x
= (2 + ln x) ln x
Derivace funkce x je vzorec. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln2 x. y′ = ( x ln2 x )′ = (x)′ · ln2 x + x · (ln2 x)′ = 1 · ln2 x + x · 2 ln x · (ln x)′
1 = ln2 x + x 2 ln x x • Funkce ln2 x je složená, jedná se o funkci (ln x)2 . = (2 + ln x) ln x • Vnější složka je druhá mocnina, vnitřní je logaritmus. • Pro derivaci složené funkce užijeme řetězové pravidlo [f (g(x))]′ = f ′ (g(x))g′ (x) ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
(g2 (x))′ = 2g(x)g′ (x) . c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln2 x. y′ = ( x ln2 x )′ = (x)′ · ln2 x + x · (ln2 x)′ = 1 · ln2 x + x · 2 ln x · (ln x)′ = ln2 x + x 2 ln x
1 x
= (2 + ln x) ln x
Derivace logaritmu je tabelována. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln2 x. y′ = ( x ln2 x )′ = (x)′ · ln2 x + x · (ln2 x)′ = 1 · ln2 x + x · 2 ln x · (ln x)′ = ln2 x + x 2 ln x
1 x
= (2 + ln x) ln x
x ⊳⊳
1 = 1 a vytkneme ln x. Hotovo! x ⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x 2 = −2x 2 − 4x + 3 e−2x − 3 e−2x −2x 2 = − 2x + 4x . Derivujeme součin funkce u = x + 3x a v = e (uv)′ = u′ v + uv ′ ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x Derivujeme součet. Užijeme pravidlo pro derivaci součtu a pravidlo pro derivaci násobku konstantou. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 složenou funkci e−2x. • Derivujeme = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x a ta se při derivaci • Vnější složka je exponenciální funkce nemění. = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x • (ef (x) )′ = ef (x) f ′ (x) • Vnitřní složka je −2x.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x Derivace funkcí x 2 a x jsou tabelovány.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x Derivace funkce (−2x) může být vypočítána podle derivace násobku ... ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x . . . a derivace mocninné funkce (x = x 1 a tedy x ′ = 1x 0 = 1).
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x Vytkneme e−2x . ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x Upravíme uvnitř závorky. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 3x)e−2x ′ ′ y′ = x 2 + 3x · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x = (x 2 )′ + 3(x)′ · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x (−2x)′ = 2x + 3 · 1 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · (x)′ = 2x + 3 · e−2x + (x 2 + 3x) · e−2x · (−2) · 1 = 2x + 3 + (−2)(x 2 + 3x) e−2x = −2x 2 − 4x + 3 e−2x = − 2x 2 + 4x − 3 e−2x Vytkneme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
s 3
1 + x3 . 1 − x3
−2/3 ′ 1 + x3 1 + x3 1 − x3 1 − x3 2/3 1 1 − x3 (1 + x 3 )′ (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(1 − x 3 )′ = · · 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 2/3 3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) 1 1 − x3 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 1 3
y′ =
1 3
y′ =
⊳⊳
⊳
⊲
= ⊲⊲
1
1 − x3 1 + x3 1 − x3 3
2/3 2/3
3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) (1 − x 3 )2 6x 2
3 2
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
s 3
1 + x3 . 1 − x3
−2/3 ′ 1 + x3 1 + x3 1 − x3 1 − x3 2/3 1 1 − x3 (1 + x 3 )′ (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(1 − x 3 )′ = · · 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 2/3 3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) 1 1 − x3 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2
y′ =
1 3
2/3 2 1 1 − x3 3x (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) 1 y′ = 3 . Třetí odmocninu exponentem 3 1bereme + x jako mocninu(1s − x 3 )2 3 jako mocninnou 3 2/3 2funkci. Derivujeme tedy 1 1−x 6x = c
Robert Mařík, 2006 × 3 3 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲
Derivujte y =
s 3
1 + x3 . 1 − x3
−2/3 ′ 1 + x3 1 + x3 1 − x3 1 − x3 2/3 1 1 − x3 (1 + x 3 )′ (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(1 − x 3 )′ = · · 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 2/3 3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) 1 1 − x3 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 Výraz pod odmocninou je vnitřní funkce. Podle řetězového pravidla násobíme derivací vnitřní složky. 2/3 2 3 3 2 1 1− x 3p 3x ′ (1 1− x1 ) − (1 + x )(−3x ) y′ = 3 −1 ′3 2 3 3 3 1 + x f (x) = f (1(x)f − x(x) ) 3 3 2/3 2 1 1−x 6x = c
Robert Mařík, 2006 × 3 3 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ y′ =
1 3
Derivujte y =
s 3
1 + x3 . 1 − x3
−2/3 ′ 1 + x3 1 + x3 1 − x3 1 − x3 2/3 1 1 − x3 (1 + x 3 )′ (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(1 − x 3 )′ = · · 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 2/3 3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) 1 1 − x3 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2
y′ =
1 3
2/3 2 1 1 − x3 3x (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) y′ = xu3)2′ 3 u′ v − uv ′ 3 1+x (1 − Vnitřní složka je podíl. Užijeme pravidlo . = 2/3 v v2 1 1 − x3 6x 2 = c
Robert Mařík, 2006 × 3 3 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲
Derivujte y =
s 3
1 + x3 . 1 − x3
−2/3 ′ 1 + x3 1 + x3 1 − x3 1 − x3 2/3 1 1 − x3 (1 + x 3 )′ (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(1 − x 3 )′ = · · 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 2/3 3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) 1 1 − x3 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2
y′ =
1 3
2/3 2 3x (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) 1 1 − x3 y′ = 3 3 1 a+jmenovateli x (1 −vypočítat x 3 )2 Derivace v čitateli je možno jako derivace 3 2/3 funkce. 2 součtu (rozdílu) a mocninné 1 1−x 6x = c
Robert Mařík, 2006 × 3 3 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲
Derivujte y =
y′ =
1 3
s 3
1 + x3 . 1 − x3
1 − x3 1 + x3
2/3
3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) (1 − x 3 )2
2/3 1 1 − x3 6x 2 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 s s 2 3 1 − x3 3 2x 2 2x 1 + x 3 1 + x 3 · · = = 1 − x 3 1 + x 3 (1 − x 3 )2 1 − x3 1 − x6
Tohle zatím máme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
y′ =
1 3
s 3
1 + x3 . 1 − x3
1 − x3 1 + x3
2/3
3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) (1 − x 3 )2
2/3 1 1 − x3 6x 2 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 s s 2 3 1 − x3 3 2x 2 2x 1 + x 3 1 + x 3 · · = = 1 − x 3 1 + x 3 (1 − x 3 )2 1 − x3 1 − x6
Upravíme čitatel . . . ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
y′ =
1 3
s 3
1 + x3 . 1 − x3
1 − x3 1 + x3
2/3
3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) (1 − x 3 )2
2/3 1 1 − x3 6x 2 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 s s 2 3 1 − x3 3 2x 2 2x 1 + x 3 3 1 + x · · = = 1 − x 3 1 + x 3 (1 − x 3 )2 1 − x3 1 − x6
. . . a ještě více upravíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
y′ =
1 3
s 3
1 + x3 . 1 − x3
1 − x3 1 + x3
2/3
3x 2 (1 − x 3 ) − (1 + x 3 )(−3x 2 ) (1 − x 3 )2
2/3 1 1 − x3 6x 2 = 3 1 + x3 (1 − x 3 )2 s s 2 3 1 − x3 3 2x 2 2x 1 + x 3 1 + x 3 · · = = 1 − x 3 1 + x 3 (1 − x 3 )2 1 − x3 1 − x6
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x −1 x +1
2
x −1 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1
y′ = 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
.
x−1 ′ x+1 (x − 1)′ (x + 1) − (x − 1)(x + 1)′ · (x + 1)2 1.(x + 1) − (x − 1).1 · (x + 1)2 x −1 2 =4 · (x + 1)2 (x + 1)3
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x −1 x +1
2
.
x −1 x −1 ′ x +1 x +1 x − 1 (x − 1)′ (x + 1) − (x − 1)(x + 1)′ =2 · x +1 (x + 1)2 x − 1 1.(x + 1) − (x − 1).1 · =2 x + 1 mocninu (x zlomku. + 1)2 Vnější složka, druhá moc• Jedná se o druhou x −1 2 x − 1jako mocninná nina, se = derivuje = 4 funkce.3 · 2 x + 1 (x + 1)2 (x + 1) • Derivace vnitřní složky následuje (podle řetězového pravidla). y′ = 2
(f 2 (x))′ = 2f (x)f ′(x) ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x −1 x +1
2
x −1 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1
y′ = 2
Derivace podílu:
.
x−1 ′ x+1 (x − 1)′ (x + 1) − (x − 1)(x + 1)′ · (x + 1)2 1.(x + 1) − (x − 1).1 · (x + 1)2 x −1 2 =4 · (x + 1)2 (x + 1)3 u ′ v
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
=
u′ v − uv ′ . v2
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x −1 x +1
2
x −1 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1
y′ = 2
.
x−1 ′ x+1 (x − 1)′ (x + 1) − (x − 1)(x + 1)′ · (x + 1)2 1.(x + 1) − (x − 1).1 · (x + 1)2 x −1 2 =4 · (x + 1)2 (x + 1)3
Derivace čitatele a jmenovatele jsou již lehké. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x −1 x +1
2
x −1 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1
y′ = 2
.
x−1 ′ x+1 (x − 1)′ (x + 1) − (x − 1)(x + 1)′ · (x + 1)2 1.(x + 1) − (x − 1).1 · (x + 1)2 2 x −1 · =4 (x + 1)2 (x + 1)3
Upravíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x −1 x +1
2
x −1 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1 x −1 =2 x +1
y′ = 2
.
x−1 ′ x+1 (x − 1)′ (x + 1) − (x − 1)(x + 1)′ · (x + 1)2 1.(x + 1) − (x − 1).1 · (x + 1)2 2 x −1 · =4 (x + 1)2 (x + 1)3
Vynásobíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln(x 2 − 1).
′ y′ = x ′ ln(x 2 − 1) + x ln(x 2 − 1) = 1 ln(x 2 − 1) + x
x2
1 (x 2 − 1)′ −1
1 2x x2 − 1 2x 2 = ln(x 2 − 1) + 2 x −1 = ln(x 2 − 1) + x
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln(x 2 − 1).
′ y′ = x ′ ln(x 2 − 1) + x ln(x 2 − 1) = 1 ln(x 2 − 1) + x
x2
1 (x 2 − 1)′ −1
1 2x x2 − 1 2x 2 = ln(x 2 − 1) + 2 x −1 = ln(x 2 − 1) + x
Derivace součinu (uv)′ = u′ v + uv ′
kde u = x a v = ln(x 2 − 1).
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln(x 2 − 1).
′ y′ = x ′ ln(x 2 − 1) + x ln(x 2 − 1) = 1 ln(x 2 − 1) + x
x2
1 (x 2 − 1)′ −1
1 2x x2 − 1 2x 2 = ln(x 2 − 1) + 2 x −1 = ln(x 2 − 1) + x
• Derivace u = x je lehká. • Funkce ln(x 2 − 1) je složená s vnější složkou ln(·) a vnitřní složkou x 2 − 1. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln(x 2 − 1).
′ y′ = x ′ ln(x 2 − 1) + x ln(x 2 − 1) = 1 ln(x 2 − 1) + x
x2
1 (x 2 − 1)′ −1
1 2x x2 − 1 2x 2 = ln(x 2 − 1) + 2 x −1 = ln(x 2 − 1) + x
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
(x 2 − 1)′ = 2x − 0 = 2x
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln(x 2 − 1).
′ y′ = x ′ ln(x 2 − 1) + x ln(x 2 − 1) = 1 ln(x 2 − 1) + x
x2
1 (x 2 − 1)′ −1
1 2x x2 − 1 2x 2 = ln(x 2 − 1) + 2 x −1 = ln(x 2 − 1) + x
Upravíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 x2 − 1 ln . 4 x2 + 1 x 2 + 1 2x(x 2 + 1) − (x 2 − 1)2x · x2 − 1 (x 2 + 1)2 x2 + 1 4x · 2 · x − 1 (x 2 + 1)2 x = 2 (x − 1)(x 2 + 1)
1 4 1 = 4
y′ =
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
·
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 x2 − 1 ln . 4 x2 + 1 x 2 + 1 2x(x 2 + 1) − (x 2 − 1)2x · x2 − 1 (x 2 + 1)2 x2 + 1 4x · 2 · x − 1 (x 2 + 1)2 x = 2 (x − 1)(x 2 + 1)
1 4 1 = 4
y′ =
·
Funkce je konstantní násobek logaritmické funkce. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 x2 − 1 ln . 4 x2 + 1
x 2 + 1 2x(x 2 + 1) − (x 2 − 1)2x · x2 − 1 (x 2 + 1)2 x2 + 1 4x · 2 · x − 1 (x 2 + 1)2 x • Logaritmus=je(xpouze vnější funkce. Vnitřní funkcí je zlomek. 2 − 1)(x 2 + 1) 1 • Derivujeme vnější složku podle pravidla (ln(x))′ = a podle x řetězového pravidla. 1 4 1 = 4
y′ =
·
• Platí (ln f (x))′ = ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 ′ f (x) f (x)
a
1 x 2 −1 x 2 +1
=
x2 + 1 . x2 − 1 c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 x2 − 1 ln . 4 x2 + 1 x 2 + 1 2x(x 2 + 1) − (x 2 − 1)2x · x2 − 1 (x 2 + 1)2 x2 + 1 4x · 2 · x − 1 (x 2 + 1)2 x = 2 (x − 1)(x 2 + 1)
1 4 1 = 4
y′ =
·
Pokračujeme derivací vnitřní složky. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 x2 − 1 ln . 4 x2 + 1 x 2 + 1 2x(x 2 + 1) − (x 2 − 1)2x · x2 − 1 (x 2 + 1)2 x2 + 1 4x · 2 · x − 1 (x 2 + 1)2 x = 2 (x − 1)(x 2 + 1) 1 4 1 = 4
y′ =
·
Upravíme čitatel druhého zlomku. Členy s x 3 se ruší a zůstane 4x.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
1 x2 − 1 ln . 4 x2 + 1 x 2 + 1 2x(x 2 + 1) − (x 2 − 1)2x · x2 − 1 (x 2 + 1)2 x2 + 1 4x · 2 · x − 1 (x 2 + 1)2 x = 2 (x − 1)(x 2 + 1) 1 4 1 = 4
y′ =
·
Vynásobíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
x + 1 − ln(1 +
√
x + 1).
1 1 1 √ y′ = √ 0+ √ ·1− 2 x +1 1+ x +1 2 x +1 1 1 √ 1− = √ 2 x +1 1+ x +1 √ 1 x +1 √ = √ · 2 x +1 1+ x +1 1 √ = 2(1 + x + 1)
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
x + 1 − ln(1 +
√
x + 1).
1 1 1 √ y′ = √ 0+ √ ·1− 2 x +1 1+ x +1 2 x +1 1 1 √ = √ 1− 2 x +1 1+ x +1 √ 1 x +1 √ = √ · 2 x +1 1+ x +1 1 1 =(√x)′ =√ x 12 ′ = 1 x 21 −1 = 1 x − 12 = √ 2(1 + x + 1) 2 2 2 x
podle derivace mocninné funkce. Toto musíme spojit s řetězovým pravidlem √ 1 1 ( x + 1)′ = √ ·1 = √ 2 x +1 2 x +1 ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
x + 1 − ln(1 +
√
x + 1).
1 1 1 √ y′ = √ 0+ √ ·1− 2 x +1 1+ x +1 2 x +1 1 1 √ = √ 1− 2 x +1 1+ x +1 √ 1 x +1 √ = √ · 2 x +1 1+ x +1 1 √ = 2(1 + x + 1)
1 Vytkneme √ . 2 x +1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
x + 1 − ln(1 +
√
x + 1).
1 1 1 √ y′ = √ 0+ √ ·1− 2 x +1 1+ x +1 2 x +1 1 1 √ 1− = √ 2 x +1 1+ x +1 √ 1 x +1 √ = √ · 2 x +1 1+ x +1 1 √ = 2(1 + x + 1)
Převedeme na společného jmenovatele a sečteme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
x + 1 − ln(1 +
√
x + 1).
1 1 1 √ y′ = √ 0+ √ ·1− 2 x +1 1+ x +1 2 x +1 1 1 √ 1− = √ 2 x +1 1+ x +1 √ 1 x +1 √ = √ · 2 x +1 1+ x +1 1 √ = 2(1 + x + 1)
Zkrátíme ⊳⊳
⊳
⊲
√ x + 1. Hotovo!
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p √ 1 − x arcsin x
p p √ √ 1 − x)′ · arcsin x + 1 − x · (arcsin x)′ √ 1 · (1 − x)′ · arcsin x = √ 2 1−x p √ ′ 1 + 1−x · p √ 2 · ( x) 1 − ( x) p √ 1 1 1 =− √ · arcsin x + 1 − x · √ · √ 1−x 2 x 2 1−x √ 1 arcsin x + √ =− √ 2 x 2 1−x
y′ = (
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p √ 1 − x arcsin x
p p √ √ 1 − x)′ · arcsin x + 1 − x · (arcsin x)′ √ 1 · (1 − x)′ · arcsin x = √ 2 1−x p √ ′ 1 + 1−x · p √ 2 · ( x) 1 − ( x) p √ 1 1 1 =− √ · arcsin x + 1 − x · √ · √ 1−x 2 x 2 1−x √ 1 arcsin x + √ =− √ 2 x 2 1−x
y′ = (
Derivace součinu. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p √ 1 − x arcsin x
p p √ √ 1 − x)′ · arcsin x + 1 − x · (arcsin x)′ √ 1 · (1 − x)′ · arcsin x = √ 2 1−x p √ ′ 1 + 1−x · p √ 2 · ( x) 1 − ( x) p √ 1 1 1 =− √ · arcsin x + 1 − x · √ · √ 1−x 2 x 2 1−x √ 1 arcsin x + √ =− √ 2 x 2 1−x
y′ = (
Řetězové pravidlo pro ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
p √ 1 − x a pro arcsin( x)
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p √ 1 − x arcsin x
p p √ √ 1 − x)′ · arcsin x + 1 − x · (arcsin x)′ √ 1 · (1 − x)′ · arcsin x = √ 2 1−x p √ ′ 1 + 1−x · p √ 2 · ( x) 1 − ( x) p √ 1 1 1 =− √ · arcsin x + 1 − x · √ · √ 1−x 2 x 2 1−x √ 1 arcsin x + √ =− √ 2 x 2 1−x
y′ = (
Derivace vnitřní složky. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p √ 1 − x arcsin x
p p √ √ 1 − x)′ · arcsin x + 1 − x · (arcsin x)′ √ 1 · (1 − x)′ · arcsin x = √ 2 1−x p √ ′ 1 + 1−x · p √ 2 · ( x) 1 − ( x) p √ 1 1 1 =− √ · arcsin x + 1 − x · √ · √ 1−x 2 x 2 1−x √ 1 arcsin x + √ =− √ 2 x 2 1−x
y′ = (
Výraz ⊳⊳
⊳
p 1 − x se zkrátí. Hotovo!
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) sin x + x cos x ′ y′ = (x 2 + 1) sin x + (x cos x)′
= (x 2 + 1)′ sin x + (x 2 + 1)(sin x)′ + x ′ cos x + x(cos x)′
= 2x sin x + (x 2 + 1)cos x + 1 · cos x + x(− sin x) = (2x − x) sin(x) + (x 2 + 1 + 1) cos x
= x sin x + (x 2 + 2) cos x
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) sin x + x cos x ′ y′ = (x 2 + 1) sin x + (x cos x)′
= (x 2 + 1)′ sin x + (x 2 + 1)(sin x)′ + x ′ cos x + x(cos x)′
= 2x sin x + (x 2 + 1)cos x + 1 · cos x + x(− sin x) = (2x − x) sin(x) + (x 2 + 1 + 1) cos x
= x sin x + (x 2 + 2) cos x
Derivace součtu. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) sin x + x cos x ′ y′ = (x 2 + 1) sin x + (x cos x)′
= (x 2 + 1)′ sin x + (x 2 + 1)(sin x)′ + x ′ cos x + x(cos x)′ = 2x sin x + (x 2 + 1)cos x + 1 · cos x + x(− sin x) = (2x − x) sin(x) + (x 2 + 1 + 1) cos x
= x sin x + (x 2 + 2) cos x
Dvakrát derivace součinu. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) sin x + x cos x ′ y′ = (x 2 + 1) sin x + (x cos x)′
= (x 2 + 1)′ sin x + (x 2 + 1)(sin x)′ + x ′ cos x + x(cos x)′ = 2x sin x + (x 2 + 1)cos x + 1 · cos x + x(− sin x) = (2x − x) sin(x) + (x 2 + 1 + 1) cos x
= x sin x + (x 2 + 2) cos x Aplikace vzorců. (x 2 )′ = 2x ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = − sin x c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) sin x + x cos x ′ y′ = (x 2 + 1) sin x + (x cos x)′
= (x 2 + 1)′ sin x + (x 2 + 1)(sin x)′ + x ′ cos x + x(cos x)′
= 2x sin x + (x 2 + 1)cos x + 1 · cos x + x(− sin x) = (2x − x) sin(x) + (x 2 + 1 + 1) cos x = x sin x + (x 2 + 2) cos x
Vytkneme goniometrické funkce ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) sin x + x cos x ′ y′ = (x 2 + 1) sin x + (x cos x)′
= (x 2 + 1)′ sin x + (x 2 + 1)(sin x)′ + x ′ cos x + x(cos x)′
= 2x sin x + (x 2 + 1)cos x + 1 · cos x + x(− sin x) = (2x − x) sin(x) + (x 2 + 1 + 1) cos x = x sin x + (x 2 + 2) cos x
Upravíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) cos(2x)
′ y′ = (x 2 + 1)′ cos(2x) + (x 2 + 1) cos(2x) = 2x cos(2x) + (x 2 + 1) − sin(2x) (2x)′ = 2x cos(2x) − (x 2 + 1) sin(2x)2 = 2x cos(2x) − 2(x 2 + 1) sin(2x)
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) cos(2x)
′ y′ = (x 2 + 1)′ cos(2x) + (x 2 + 1) cos(2x) = 2x cos(2x) + (x 2 + 1) − sin(2x) (2x)′ = 2x cos(2x) − (x 2 + 1) sin(2x)2 = 2x cos(2x) − 2(x 2 + 1) sin(2x)
Derivace součinu. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) cos(2x)
′ y′ = (x 2 + 1)′ cos(2x) + (x 2 + 1) cos(2x) = 2x cos(2x) + (x 2 + 1) − sin(2x) (2x)′ = 2x cos(2x) − (x 2 + 1) sin(2x)2 = 2x cos(2x) − 2(x 2 + 1) sin(2x)
Vypočteme derivace. Derivujeme složenou funkci. (cos x)′ = − sin x ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
[cos(f (x))]′ = − sin(f (x)) · f ′ (x) c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) cos(2x)
′ y′ = (x 2 + 1)′ cos(2x) + (x 2 + 1) cos(2x) = 2x cos(2x) + (x 2 + 1) − sin(2x) (2x)′ = 2x cos(2x) − (x 2 + 1) sin(2x)2 = 2x cos(2x) − 2(x 2 + 1) sin(2x)
Dopočítáme derivaci. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 2 + 1) cos(2x)
′ y′ = (x 2 + 1)′ cos(2x) + (x 2 + 1) cos(2x) = 2x cos(2x) + (x 2 + 1) − sin(2x) (2x)′ = 2x cos(2x) − (x 2 + 1) sin(2x)2 = 2x cos(2x) − 2(x 2 + 1) sin(2x)
Upravíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 x4
y′ =
i′ h (x 2 + 1)3 x 4 − (x 2 + 1)3 (x 4 )′
(x 4 )2 3(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)′ x 4 − (x 2 + 1)3 4x 3 = x 2·4 2 2 4 3(x + 1) (2x)x − (x 2 + 1)3 4x 3 = x8 2 2 3 2(x + 1) x [3x 2 − 2(x 2 + 1)] = x8 2 2 2 (x + 1) (x − 2) =2 x5
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 x4
y′ =
Derivace podílu. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
i′ h (x 2 + 1)3 x 4 − (x 2 + 1)3 (x 4 )′
(x 4 )2 3(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)′ x 4 − (x 2 + 1)3 4x 3 = x 2·4 2 2 4 3(x + 1) (2x)x − (x 2 + 1)3 4x 3 = x8 2 2 3 2(x + 1) x [3x 2 − 2(x 2 + 1)] = x8 2 2 2 (x + 1) (x − 2) =2 x5 c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 x4
y′ =
h i′ (x 2 + 1)3 x 4 − (x 2 + 1)3 (x 4 )′
(x 4 )2 3(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)′ x 4 − (x 2 + 1)3 4x 3 = x 2·4 2 2 4 3(x + 1) (2x)x − (x 2 + 1)3 4x 3 = x8 2 2 3 2(x + 1) x [3x 2 − 2(x 2 + 1)] = x8 Derivujeme složenou funkci. 2 2 2 (x + 1) (x − 2) =2 h 2 3 i′ x5 (x 3 )′ = 3x 2 f (x) = 3 f (x) f ′ (x) ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 x4
y′ =
i′ h (x 2 + 1)3 x 4 − (x 2 + 1)3 (x 4 )′
(x 4 )2 3(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)′ x 4 − (x 2 + 1)3 4x 3 = x 2·4 2 2 4 3(x + 1) (2x)x − (x 2 + 1)3 4x 3 = x8 2 2 3 2(x + 1) x [3x 2 − 2(x 2 + 1)] = x8 2 2 2 (x + 1) (x − 2) =2 x5
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 x4
y′ =
i′ h (x 2 + 1)3 x 4 − (x 2 + 1)3 (x 4 )′
(x 4 )2 3(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)′ x 4 − (x 2 + 1)3 4x 3 = x 2·4 2 2 4 3(x + 1) (2x)x − (x 2 + 1)3 4x 3 = x8 2 2 3 2(x + 1) x [3x 2 − 2(x 2 + 1)] = x8 2 2 2 (x + 1) (x − 2) =2 x5
Vytkneme v čitateli. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 x4
y′ =
(x 4 )2 3(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)′ x 4 − (x 2 + 1)3 4x 3 = x 2·4 2 2 4 3(x + 1) (2x)x − (x 2 + 1)3 4x 3 = x8 2 2 3 2(x + 1) x [3x 2 − 2(x 2 + 1)] = x8 2 2 2 (x + 1) (x − 2) =2 x5
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
i′ h (x 2 + 1)3 x 4 − (x 2 + 1)3 (x 4 )′
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 tak, že nejprve upravíte. x4
′ x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1 y = x4 i′ h = x 2 + 3 + 3x −2 + x −4 ′
= 2x + 0 + 3(−2)x −3 + (−4)x −5
= 2x −
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
6 4 2x 6 − 6x 2 − 4 − = x3 x5 x5
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 tak, že nejprve upravíte. x4
′ x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1 y = x4 i′ h = x 2 + 3 + 3x −2 + x −4 ′
= 2x + 0 + 3(−2)x −3 + (−4)x −5
= 2x −
4 2x 6 − 6x 2 − 4 6 − = x3 x5 x5
Umocníme podle vzorce (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 . ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 tak, že nejprve upravíte. x4
′ x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1 y = x4 i′ h = x 2 + 3 + 3x −2 + x −4 ′
= 2x + 0 + 3(−2)x −3 + (−4)x −5
= 2x −
4 2x 6 − 6x 2 − 4 6 − = x3 x5 x5
Vydělíme každý člen čitatele. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 tak, že nejprve upravíte. x4
′ x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1 y = x4 i′ h = x 2 + 3 + 3x −2 + x −4 ′
= 2x + 0 + 3(−2)x −3 + (−4)x −5 = 2x −
4 2x 6 − 6x 2 − 4 6 − = x3 x5 x5
Derivujeme součet (přesněji lineární kombinaci) čtyř mocninných funkcí. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 tak, že nejprve upravíte. x4
′ x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1 y = x4 i′ h = x 2 + 3 + 3x −2 + x −4 ′
= 2x + 0 + 3(−2)x −3 + (−4)x −5
= 2x −
4 6 2x 6 − 6x 2 − 4 − = x3 x5 x5
Přepíšeme záporné mocniny na zlomky. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
(x 2 + 1)3 tak, že nejprve upravíte. x4
′ x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1 y = x4 i′ h = x 2 + 3 + 3x −2 + x −4 ′
= 2x + 0 + 3(−2)x −3 + (−4)x −5
= 2x −
6 4 2x 6 − 6x 2 − 4 − = x3 x5 x5
Upravíme. Derivování bylo jednodušší než v předchozím postupu, ale hůř se bude řešit rovnice y′ = 0. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
√ Derivujte y = ln x + arcsin(2 x) √ ′ 1 √ x + arcsin(2 x) x + arcsin(2 x) √ ′ 1 1 √ = 1+ p √ 2 (2 x) x + arcsin(2 x) 1 − (2 x) 1 1 1 √ 1+ √ = · 2 · · x −1/2 2 x + arcsin(2 x) 1 − 4x 1 1 √ 1+ √ √ = x + arcsin(2 x) x 1 − 4x
y′ =
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
√ Derivujte y = ln x + arcsin(2 x) √ ′ 1 √ x + arcsin(2 x) x + arcsin(2 x) √ ′ 1 1 √ = 1+ p √ 2 (2 x) x + arcsin(2 x) 1 − (2 x) 1 1 1 √ 1+ √ = · 2 · · x −1/2 2 x + arcsin(2 x) 1 − 4x 1 1 √ 1+ √ √ = x + arcsin(2 x) x 1 − 4x Derivujeme složenou funkci y′ =
(ln x)′ = ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 x
′ 1 ′ f (x) ln f (x) = f (x) c
Robert Mařík, 2006 ×
√ Derivujte y = ln x + arcsin(2 x) √ ′ 1 √ x + arcsin(2 x) x + arcsin(2 x) √ ′ 1 1 √ = 1+ p √ 2 (2 x) x + arcsin(2 x) 1 − (2 x) 1 1 1 √ 1+ √ = · 2 · · x −1/2 2 x + arcsin(2 x) 1 − 4x 1 1 √ 1+ √ √ = x + arcsin(2 x) x 1 − 4x Derivace součtu a derivace složené funkce. y′ =
′ 1 arcsin f (x) = p f ′ (x) 1 − f 2 (x) ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
√ Derivujte y = ln x + arcsin(2 x) √ ′ 1 √ x + arcsin(2 x) x + arcsin(2 x) √ ′ 1 1 √ = 1+ p √ 2 (2 x) x + arcsin(2 x) 1 − (2 x) 1 1 1 √ 1+ √ = · 2 · · x −1/2 2 x + arcsin(2 x) 1 − 4x 1 1 √ 1+ √ √ = x + arcsin(2 x) x 1 − 4x Derivujeme složenou funkci y′ =
√ 1 x = x2 ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
√ 1 1 ( x)′ = x 2 −1 2 c
Robert Mařík, 2006 ×
√ Derivujte y = ln x + arcsin(2 x) √ ′ 1 √ x + arcsin(2 x) x + arcsin(2 x) √ ′ 1 1 √ = 1+ p √ 2 (2 x) x + arcsin(2 x) 1 − (2 x) 1 1 1 √ 1+ √ = · 2 · · x −1/2 2 x + arcsin(2 x) 1 − 4x 1 1 √ 1+ √ √ = x + arcsin(2 x) x 1 − 4x
y′ =
Upravíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = arcsin
y′ = r
1−
= q
r
1 q
x . x +1
x x+1
1 = q
1 x+1
− ·
x x+1
1 · 2
√ 1 = x +1· · 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 · · 2
1 x+1 x+1
2 ·
r
x +1 x
√
x x +1
x x +1
21
·
′
− 12 ′ x · x +1
1 · (x + 1) − x · (1 + 0) (x + 1)2
1 x +1 1 √ √ = x (x + 1)2 2(x + 1) x
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = arcsin
y′ = r
1−
= q
x+1 x+1
1 x+1
⊳
1 q
x . x +1
x x+1
− ·
x x+1
1 · 2
√ 11 x+ = p1 · 2 · (arcsin x)′ = 1 − x2 ⊲
⊲⊲
2 ·
1 · · 2
1
1 = q
⊳⊳
r
r
x +1 x
√
x x +1
x x +1
21
·
′
− 12 ′ x · x +1
1 · (x + 1) − x · (1 + 0) (x + 1)2
11 x +1 1 √ (arcsin f (x)) ′= p + 1)√x · f ′ (x) x (x + 1)2 = 2(x 1 − [f (x)]2
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = arcsin
y′ = r
1−
= q
r
1 q
x . x +1
x x+1
1 x+1 x+1
1 = q
1 x+1
− ·
x x+1
1 · 2
2 ·
1 · · 2
r
x +1 x
x x +1
x x +1
21
·
′
− 12 ′ x · x +1
1 · (x + 1) − x · (1 + 0) (x + 1)2
√ √ 1 1 x + 1 1 p ′ =1 √ −1/2 √ =′ x + 1 ′ 1 · 1 ·− 1 √ 2 2 2 2 (x + 1) x 2(x + ( x) = (x ) = x f (x) = f (x) 1) ·xf ′ (x) 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
2
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = arcsin
y′ = r
1−
= q
r
1 q
x . x +1
x x+1
1 = q
1 x+1
− ·
x x+1
1 · 2
√ 1 = x +1· · 2 ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 · · 2
1 x+1 x+1
2 ·
r
x +1 x
√
x x +1
x x +1
21
·
′
− 12 ′ x · x +1
1 · (x + 1) − x · (1 + 0) (x + 1)2
1 x +1 1 √ √ = x (x + 1)2 2(x + 1) x
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = arcsin
y′ = r
1−
= q
r
1 q
x . x +1
x x+1
1 = q
1 x+1
− ·
x x+1
1 · 2
√ 1 = x +1· · 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 · · 2
1 x+1 x+1
2 ·
r
x +1 x
√
x x +1
x x +1
21
·
′
− 12 ′ x · x +1
1 · (x + 1) − x · (1 + 0) (x + 1)2
1 x +1 1 √ √ = x (x + 1)2 2(x + 1) x
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = arcsin
y′ = r
1−
= q
r
1 q
x . x +1
x x+1
1 = q
1 x+1
− ·
x x+1
1 · 2
√ 1 = x +1· · 2
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 · · 2
1 x+1 x+1
2 ·
r
x +1 x
√
x x +1
x x +1
21
·
′
− 12 ′ x · x +1
1 · (x + 1) − x · (1 + 0) (x + 1)2
1 x +1 1 √ √ = x (x + 1)2 2(x + 1) x
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 3 + 2x)e−2x . y′ = (x 3 + 2x)′ e−2x + (x 3 + 2x) e−2x
′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2x)′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2) = e−2x 3x 2 + 2 − 2(x 3 + 2x) = e−2x −2x 3 + 3x 2 − 4x + 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 3 + 2x)e−2x . y′ = (x 3 + 2x)′ e−2x + (x 3 + 2x) e−2x
′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2x)′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2) = e−2x 3x 2 + 2 − 2(x 3 + 2x) = e−2x −2x 3 + 3x 2 − 4x + 2
Derivujeme součin funkcí (uv)′ = u′ v + uv ′ ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 3 + 2x)e−2x . y′ = (x 3 + 2x)′ e−2x + (x 3 + 2x) e−2x
′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2x)′ = (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2) = e−2x 3x 2 + 2 − 2(x 3 + 2x) = e−2x −2x 3 + 3x 2 − 4x + 2
Derivujeme složenou funkci (ex )′ = ex ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
ef (x)
′
= ef (x) · f ′ (x) c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 3 + 2x)e−2x . y′ = (x 3 + 2x)′ e−2x + (x 3 + 2x) e−2x
′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2x)′ = (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2) = e−2x 3x 2 + 2 − 2(x 3 + 2x) = e−2x −2x 3 + 3x 2 − 4x + 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 3 + 2x)e−2x . y′ = (x 3 + 2x)′ e−2x + (x 3 + 2x) e−2x
′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2x)′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2) = e−2x 3x 2 + 2 − 2(x 3 + 2x) = e−2x −2x 3 + 3x 2 − 4x + 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = (x 3 + 2x)e−2x . y′ = (x 3 + 2x)′ e−2x + (x 3 + 2x) e−2x
′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2x)′
= (3x 2 + 2)e−2x + (x 3 + 2x)e−2x (−2) = e−2x 3x 2 + 2 − 2(x 3 + 2x) = e−2x −2x 3 + 3x 2 − 4x + 2
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte funkci y = (x 2 − 1) sin(2x) − (3x − 1) cos(2x). ′ y = (x 2 − 1)′ sin(2x) + (x 2 − 1) sin(2x) # " ′ ′ − (3x − 1) cos(2x) + (3x − 1) cos(2x)
= 2xsin(2x) + (x 2 − 1)cos(2x)2 h i − 3cos(2x) + (3x − 1) −sin(2x) 2 h i h i = sin(2x) 2x + 2(3x − 1) + cos(2x) 2(x 2 − 1) − 3 h i h i = sin(2x) 8x − 2 + cos(2x) 2x 2 − 5
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte funkci y = (x 2 − 1) sin(2x) − (3x − 1) cos(2x). ′ y = (x 2 − 1)′ sin(2x) + (x 2 − 1) sin(2x) # " ′ ′ − (3x − 1) cos(2x) + (3x − 1) cos(2x)
= 2xsin(2x) + (x 2 − 1)cos(2x)2 h i − 3cos(2x) + (3x − 1) −sin(2x) 2 h i h i = sin(2x) 2x + 2(3x − 1) + cos(2x) 2(x 2 − 1) − 3 h i h i = sin(2x) 8x − 2 + cos(2x) 2x 2 − 5
Derivujeme dvakrát součin (barevně odlišeno). ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte funkci y = (x 2 − 1) sin(2x) − (3x − 1) cos(2x). ′ y = (x 2 − 1)′ sin(2x) + (x 2 − 1) sin(2x) # " ′ ′ − (3x − 1) cos(2x) + (3x − 1) cos(2x)
= 2xsin(2x) + (x 2 − 1)cos(2x)2 h i − 3cos(2x) + (3x − 1) −sin(2x) 2 h i h i = sin(2x) 2x + 2(3x − 1) + cos(2x) 2(x 2 − 1) − 3 h i h i = sin(2x) 8x − 2 + cos(2x) 2x 2 − 5
Argumentem sinu a kosinu není x ale funkce 2x, užijeme tedy pravidlo pro derivaci složené funkce (řetězové pravidlo). ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte funkci y = (x 2 − 1) sin(2x) − (3x − 1) cos(2x). ′ y = (x 2 − 1)′ sin(2x) + (x 2 − 1) sin(2x) # " ′ ′ − (3x − 1) cos(2x) + (3x − 1) cos(2x)
= 2xsin(2x) + (x 2 − 1)cos(2x)2 h i − 3cos(2x) + (3x − 1) −sin(2x) 2 h i h i = sin(2x) 2x + 2(3x − 1) + cos(2x) 2(x 2 − 1) − 3 h i h i = sin(2x) 8x − 2 + cos(2x) 2x 2 − 5
Vytkneme sinus a kosinus ze členů, kde se tyto výrazy vyskytují. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte funkci y = (x 2 − 1) sin(2x) − (3x − 1) cos(2x). ′ y = (x 2 − 1)′ sin(2x) + (x 2 − 1) sin(2x) # " ′ ′ − (3x − 1) cos(2x) + (3x − 1) cos(2x)
= 2xsin(2x) + (x 2 − 1)cos(2x)2 h i − 3cos(2x) + (3x − 1) −sin(2x) 2 h i h i = sin(2x) 2x + 2(3x − 1) + cos(2x) 2(x 2 − 1) − 3 h i h i = sin(2x) 8x − 2 + cos(2x) 2x 2 − 5
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p 2 + cos(2x)
h i 1 ′ y′ = (2 + cos(2x)) 2
1 1 · [2 + cos(2x)]− 2 · [2 + cos(2x)]′ 2 1 = p · [0 − sin(2x) · 2] 2 2 + cos(2x) sin(2x) = −p 2 + cos(2x)
=
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p 2 + cos(2x)
h i 1 ′ y′ = (2 + cos(2x)) 2
1 1 · [2 + cos(2x)]− 2 · [2 + cos(2x)]′ 2 1 = p · [0 − sin(2x) · 2] 2 2 + cos(2x) sin(2x) = −p 2 + cos(2x) • Odmocninu derivujeme jako mocninnou funkci s exponentem 1 . 2
=
• Pod odmocninou není x, ale vnitřní složka. Musíme proto násobit derivací vnitřní složky. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p 2 + cos(2x)
i h 1 ′ y′ = (2 + cos(2x)) 2
1 1 · [2 + cos(2x)]− 2 · [2 + cos(2x)]′ 2 1 = p · [0 − sin(2x) · 2] 2 2 + cos(2x) sin(2x) = −p 2 + cos(2x)
=
• Derivujeme součet.
• Při derivaci funkce cos(2x) opět užíváme pravidlo pro derivaci složené funkce, protože argumentem není x, ale (2x). ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p 2 + cos(2x)
i h 1 ′ y′ = (2 + cos(2x)) 2
1 1 · [2 + cos(2x)]− 2 · [2 + cos(2x)]′ 2 1 = p · [0 − sin(2x) · 2] 2 2 + cos(2x) sin(2x) = −p 2 + cos(2x)
=
Upravíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
y′ = q =
√
1 sin x
1 1 sin x
·
sin x ·
1 2
1 sin x
− 21
· (−1)(sin x)−2 · cos x
1 1 √ · sin x · (−1) 2 cos x 2 sin x
1 = − cotg x 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
y′ = q =
√
1 sin x
1 1 sin x
·
sin x ·
1 2
1 sin x
− 21
· (−1)(sin x)−2 · cos x
1 1 √ · sin x · (−1) 2 cos x 2 sin x
1 = − cotg x 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
y′ = q =
√
1 sin x
1 1 sin x
·
sin x ·
1 2
1 sin x
− 21
· (−1)(sin x)−2 · cos x
1 1 √ · sin x · (−1) 2 cos x 2 sin x
1 = − cotg x 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
y′ = q =
√
1 sin x
1 1 sin x
·
sin x ·
1 2
1 sin x
− 21
· (−1)(sin x)−2 · cos x
1 1 √ · sin x · (−1) 2 cos x 2 sin x
1 = − cotg x 2
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
1 . sin x 1 y′ = − · (ln sin x)′ 2 1 1 =− · · cos x 2 sin x 1 = − · cotg x 2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
1 . sin x 1 y′ = − · (ln sin x)′ 2 1 1 · cos x =− · 2 sin x 1 = − · cotg x 2
Nejprve upravíme. y = ln ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
p 1 1 sin−1 x = ln sin− 2 x = − · ln sin x 2 c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
1 . sin x 1 y′ = − · (ln sin x)′ 2 1 1 · cos x =− · 2 sin x 1 = − · cotg x 2
Derivujeme složenou funkci. Vnější složka je ln(·) a vnitřní složka je sin(x). ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln
r
1 . sin x 1 y′ = − · (ln sin x)′ 2 1 1 =− · · cos x 2 sin x 1 = − · cotg x 2
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln sin e3x . ′ 1 · sin e3x 3x sin e ′ 1 = · cos e3x · e3x 3x sin e = cotg e3x · e3x (3x)′ = cotg e3x · e3x · 3
y′ =
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln sin e3x . ′ 1 · sin e3x 3x sin e ′ 1 = · cos e3x · e3x 3x sin e = cotg e3x · e3x (3x)′ = cotg e3x · e3x · 3
y′ =
Derivujeme logaritmus, vnitřní složka je sin e3x . (ln x)′ = ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 x c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln sin e3x . ′ 1 · sin e3x 3x sin e ′ 1 = · cos e3x · e3x 3x sin e = cotg e3x · e3x (3x)′ = cotg e3x · e3x · 3
y′ =
Derivujeme sinus, vnitřní složka je e3x . (sin x)′ = cos x ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln sin e3x . ′ 1 · sin e3x 3x sin e ′ 1 = · cos e3x · e3x 3x sin e = cotg e3x · e3x (3x)′ = cotg e3x · e3x · 3
y′ =
Derivujeme exponencielu, vnitřní složka je 3x. (ex )′ = ex ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = ln sin e3x . ′ 1 · sin e3x 3x sin e ′ 1 = · cos e3x · e3x 3x sin e = cotg e3x · e3x (3x)′ = cotg e3x · e3x · 3
y′ =
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p x + ln(9 − x)
− 12 ′ 1 · x + ln(9 − x) · x + ln (9 − x) 2 1 1 1 1+ = ·p · (0 − 1) 2 9−x x + ln(9 − x) 8−x p = 2(9 − x) x + ln(9 − x)
y′ =
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p x + ln(9 − x)
− 12 ′ 1 · x + ln(9 − x) · x + ln (9 − x) 2 1 1 1 1+ = ·p · (0 − 1) 2 9−x x + ln(9 − x) 8−x p = 2(9 − x) x + ln(9 − x)
y′ =
Derivujeme odmocninu. p − 12 ′ 1 f (x) = f (x) f ′ (x) 2 ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p x + ln(9 − x)
− 12 ′ 1 · x + ln (9 − x) · x + ln(9 − x) 2 1 1 1 1+ = ·p · (0 − 1) 2 9−x x + ln(9 − x) 8−x p = 2(9 − x) x + ln(9 − x)
y′ =
Upravíme zápornou mocninu a doderivujeme vnitřní složku původní odmocniny. U logaritmu se jedná se opět o složenou funkci a derivujeme i vnitřní složku. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
p x + ln(9 − x)
− 12 ′ 1 · x + ln(9 − x) · x + ln (9 − x) 2 1 1 1 1+ = ·p · (0 − 1) 2 9−x x + ln(9 − x) 8−x p = 2(9 − x) x + ln(9 − x)
y′ =
Sečteme výraz v závorce a upravíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x2 . (x + 1)3
y′ =
i′ h (x 2 )′ (x + 1)3 − x 2 (x + 1)3
(x + 1)3·2 2x(x + 1) − x 2 3(x + 1)2 · 1 = (x + 1)6 h i x(x + 1)2 2(x + 1) − 3x = (x + 1)6 x(2 − x) = (x + 1)4 3
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x2 . (x + 1)3
y′ =
i′ h (x 2 )′ (x + 1)3 − x 2 (x + 1)3
(x + 1)3·2 2x(x + 1) − x 2 3(x + 1)2 · 1 = (x + 1)6 h i x(x + 1)2 2(x + 1) − 3x = (x + 1)6 x(2 − x) = (x + 1)4 3
Derivujeme podíl.
u ′ v
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
=
u′ v − uv ′ v2 c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x2 . (x + 1)3
y′ =
i′ h (x 2 )′ (x + 1)3 − x 2 (x + 1)3
(x + 1)3·2 2x(x + 1) − x 2 3(x + 1)2 · 1 = (x + 1)6 h i x(x + 1)2 2(x + 1) − 3x = (x + 1)6 x(2 − x) = (x + 1)4 3
Vypočteme jednotlivé derivace. Funkci (x + 1)3 derivujeme jako funkci složenou. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x2 . (x + 1)3
y′ =
i′ h (x 2 )′ (x + 1)3 − x 2 (x + 1)3
(x + 1)3·2 2x(x + 1) − x 2 3(x + 1)2 · 1 = (x + 1)6 h i x(x + 1)2 2(x + 1) − 3x = (x + 1)6 x(2 − x) = (x + 1)4 3
Vytkneme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
x2 . (x + 1)3
y′ =
i′ h (x 2 )′ (x + 1)3 − x 2 (x + 1)3
(x + 1)3·2 2x(x + 1) − x 2 3(x + 1)2 · 1 = (x + 1)6 h i x(x + 1)2 2(x + 1) − 3x = (x + 1)6 x(2 − x) = (x + 1)4 3
Zkrátíme (x + 1)2 a upravíme v hranaté závorce. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln
x2 . x +1
′ x2 x2 y = (x) · ln + x · ln x +1 x +1 2 ′ x2 x +1 x = 1 · ln +x · 2 · x +1 x x +1 ′
′
x + 1 2x · (x + 1) − x 2 · (1 + 0) x2 +1· · x +1 x (x + 1)2 x2 1 x 2 + 2x x2 x +2 = ln + · = ln + x +1 x x +1 x +1 x +1 = 1 · ln
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln
x2 . x +1
′ x2 x2 y = (x) · ln + x · ln x +1 x +1 2 ′ x2 x +1 x = 1 · ln +x · 2 · x +1 x x +1 ′
′
x + 1 2x · (x + 1) − x 2 · (1 + 0) x2 +1· · x +1 x (x + 1)2 x2 1 x 2 + 2x x2 x +2 = ln + · = ln + x +1 x x +1 x +1 x +1 = 1 · ln
Derivujeme součin. (uv)′ = u′ v + uv ′ ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln
x2 . x +1
′ x2 x2 y = (x) · ln + x · ln x +1 x +1 2 ′ x2 x x +1 = 1 · ln +x · 2 · x +1 x x +1 ′
′
x + 1 2x · (x + 1) − x 2 · (1 + 0) x2 +1· · x +1 x (x + 1)2 x2 1 x 2 + 2x x2 x +2 = ln + · = ln + x +1 x x +1 x +1 x +1 = 1 · ln
Derivujeme jednotlivé členy. Logaritmus derivujeme jako složenou funkci. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln
x2 . x +1
′ x2 x2 y = (x) · ln + x · ln x +1 x +1 2 ′ x2 x +1 x = 1 · ln +x · 2 · x +1 x x +1 ′
′
x + 1 2x · (x + 1) − x 2 · (1 + 0) x2 +1· · x +1 x (x + 1)2 x2 1 x 2 + 2x x2 x +2 = ln + · = ln + x +1 x x +1 x +1 x +1 Vnitřní složka logaritmu je podíl, použijeme tedy pravidlo pro derivaci podílu. u ′ u′ v − uv ′ = v v2 = 1 · ln
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln
x2 . x +1
′ x2 x2 y = (x) · ln + x · ln x +1 x +1 2 ′ x2 x +1 x = 1 · ln +x · 2 · x +1 x x +1 ′
′
x2 x + 1 2x · (x + 1) − x 2 · (1 + 0) +1· · x +1 x (x + 1)2 x2 x2 1 x 2 + 2x x +2 = ln = ln + · + x +1 x x +1 x +1 x +1
= 1 · ln
Zkrátíme (x + 1) a upravíme čitatel posledního zlomku. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x ln
x2 . x +1
′ x2 x2 y = (x) · ln + x · ln x +1 x +1 2 ′ x2 x +1 x = 1 · ln +x · 2 · x +1 x x +1 ′
′
x + 1 2x · (x + 1) − x 2 · (1 + 0) x2 +1· · x +1 x (x + 1)2 x2 x2 1 x 2 + 2x x +2 = ln = ln + · + x +1 x x +1 x +1 x +1 = 1 · ln
Upravíme do finálního tvaru. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = 2x arctg x − ln(1 + x 2 ). y′ = (2x)′ · arctg x + 2x · (arctg x)′ − = 2 · arctg x + 2x · = 2 arctg x
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 · (1 + x 2 )′ 1 + x2
1 1 − · 2x 1 + x2 1 + x2
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = 2x arctg x − ln(1 + x 2 ). y′ = (2x)′ · arctg x + 2x · (arctg x)′ − = 2 · arctg x + 2x · = 2 arctg x
1 · (1 + x 2 )′ 1 + x2
1 1 − · 2x 1 + x2 1 + x2
Derivujeme součin a složenou funkci. (uv)′ = u′ v + uv ′ ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
u(v(x))
′
= u′ (v(x)) · v ′ (x) c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = 2x arctg x − ln(1 + x 2 ). y′ = (2x)′ · arctg x + 2x · (arctg x)′ − = 2 · arctg x + 2x · = 2 arctg x
1 · (1 + x 2 )′ 1 + x2
1 1 − · 2x 1 + x2 1 + x2
Dokončíme derivování. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = 2x arctg x − ln(1 + x 2 ). y′ = (2x)′ · arctg x + 2x · (arctg x)′ − = 2 · arctg x + 2x · = 2 arctg x
1 · (1 + x 2 )′ 1 + x2
1 1 − · 2x 1 + x2 1 + x2
Poslední dva členy se odečtou. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x 3 arcsin x +
p 1 − x2.
1 1 · (1 − x 2 )− 2 · (1 − x 2 )′ 2 x3 1 = 3x 2 · arcsin x + p + p · (−2x) 1 − x2 2 1 − x2 x3 − x = 3x 2 arcsin x + p 1 − x2 1 − x2 = 3x 2 arcsin x − x · p 1 − x2 p = 3x 2 arcsin x − x · 1 − x 2
y′ = (x 3 )′ · arcsin x + x 3 · (arcsin x)′ +
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x 3 arcsin x +
p 1 − x2.
1 1 · (1 − x 2 )− 2 · (1 − x 2 )′ 2 1 x3 + p · (−2x) = 3x 2 · arcsin x + p 1 − x2 2 1 − x2 x3 − x = 3x 2 arcsin x + p 1 − x2 1 − x2 = 3x 2 arcsin x − x · p 1 − x2 p Derivujeme složenou funkci. x2 = 3x 2 součin arcsin xa − x · 1−
y′ = (x 3 )′ · arcsin x + x 3 · (arcsin x)′ +
(uv)′ = u′ v + uv ′
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
u(v(x))
′
= u′ (v(x)) · v ′ (x)
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x 3 arcsin x +
p 1 − x2.
1 1 · (1 − x 2 )− 2 · (1 − x 2 )′ 2 x3 1 · (−2x) = 3x 2 · arcsin x + p + p 1 − x2 2 1 − x2 x3 − x = 3x 2 arcsin x + p 1 − x2 1 − x2 = 3x 2 arcsin x − x · p 1 − x2 p = 3x 2 arcsin x − x · 1 − x 2
y′ = (x 3 )′ · arcsin x + x 3 · (arcsin x)′ +
Dokončíme derivování. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x 3 arcsin x +
p 1 − x2.
1 1 · (1 − x 2 )− 2 · (1 − x 2 )′ 2 x3 1 = 3x 2 · arcsin x + p + p · (−2x) 1 − x2 2 1 − x2 x3 − x = 3x 2 arcsin x + p 1 − x2 1 − x2 = 3x 2 arcsin x − x · p 1 − x2 p = 3x 2 arcsin x − x · 1 − x 2
y′ = (x 3 )′ · arcsin x + x 3 · (arcsin x)′ +
Zkrátíme dvojku a sečteme zlomky. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x 3 arcsin x +
p 1 − x2.
1 1 · (1 − x 2 )− 2 · (1 − x 2 )′ 2 x3 1 = 3x 2 · arcsin x + p + p · (−2x) 1 − x2 2 1 − x2 x3 − x = 3x 2 arcsin x + p 1 − x2 1 − x2 = 3x 2 arcsin x − x · p 1 − x2 p = 3x 2 arcsin x − x · 1 − x 2
y′ = (x 3 )′ · arcsin x + x 3 · (arcsin x)′ +
Vytkneme (−x). ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y = x 3 arcsin x +
p 1 − x2.
1 1 · (1 − x 2 )− 2 · (1 − x 2 )′ 2 x3 1 = 3x 2 · arcsin x + p + p · (−2x) 1 − x2 2 1 − x2 x3 − x = 3x 2 arcsin x + p 1 − x2 1 − x2 = 3x 2 arcsin x − x · p 1 − x2 p = 3x 2 arcsin x − x · 1 − x 2
y′ = (x 3 )′ · arcsin x + x 3 · (arcsin x)′ +
Zkrátíme. Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
p 1 − x2 Derivujte y = . arcsin x y′ = =
′ p p 1 − x 2 · arcsin x − 1 − x 2 · (arcsin x)′ √1
2
1−x 2
arcsin2 x p · (−2x) · arcsin x − 1 − x 2 · √ 1 2
arcsin x · (−2x)arcsin x 1 2 1−x 2 − = arcsin2 x arcsin2 x √ 1 · (−x) 1 1−x 2 − = arcsin x arcsin2 x −x 1 = p − arcsin2 x 1 − x 2 · arcsin x
1−x 2
√1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
p 1 − x2 Derivujte y = . arcsin x y′ = =
p ′ p 1 − x 2 · arcsin x − 1 − x 2 · (arcsin x)′ √1
2
1−x 2
arcsin2 x p · (−2x) · arcsin x − 1 − x 2 · √ 1 2
1−x 2
arcsin x · (−2x)arcsin x 1 2 1−x 2 − = arcsin2 x arcsin2 x √ 1 · (−x) 2 1 tedy pravidlo pro derivaci 1−xpodílu, Funkce je ve tvaru použijeme − = 2 arcsin x podílu. x arcsin ′ ′ −x u ′ = u v − uv 1 = p − 2 2 v v arcsin x 1 − x 2 · arcsin x √1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
p 1 − x2 Derivujte y = . arcsin x y′ = =
p ′ p 1 − x 2 · arcsin x − 1 − x 2 · (arcsin x)′ √1
2
1−x 2
arcsin2 x p · (−2x) · arcsin x − 1 − x 2 · √ 1 2
1−x 2
arcsin x · (−2x)arcsin x 1 2 1−x 2 − = arcsin2 x arcsin2 x √ 1 · (−x) 2 1 • Dopočítáme1−xderivace. − = arcsin x arcsin2 x • Pod odmocninou−xje vnitřní složka 1a užijeme pravidlo pro deri= p funkce. − vace složené arcsin2 x 1 − x 2 · arcsin x √1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
p 1 − x2 Derivujte y = . arcsin x y′ = =
p ′ p 1 − x 2 · arcsin x − 1 − x 2 · (arcsin x)′ √1
2
1−x 2
arcsin2 x p · (−2x) · arcsin x − 1 − x 2 · √ 1 2
1−x 2
arcsin x · (−2x)arcsin x 1 2 1−x 2 − = arcsin2 x arcsin2 x √ 1 · (−x) 1 1−x 2 − = arcsin x arcsin2 x −x 1 = p − 2 arcsin x druhého zlomku. − x 2 · arcsin x Rozdělíme na dva1 zlomky a zkrátíme v čitateli √1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
p 1 − x2 Derivujte y = . arcsin x y′ = =
p ′ p 1 − x 2 · arcsin x − 1 − x 2 · (arcsin x)′ √1
2
1−x 2
arcsin2 x p · (−2x) · arcsin x − 1 − x 2 · √ 1 2
arcsin x · (−2x)arcsin x 1 2 1−x 2 − = arcsin2 x arcsin2 x √ 1 · (−x) 1 1−x 2 = − arcsin x arcsin2 x −x 1 = p − arcsin2 x 1 − x 2 · arcsin x Provedeme krácení.
1−x 2
√1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
p 1 − x2 Derivujte y = . arcsin x y′ = =
p ′ p 1 − x 2 · arcsin x − 1 − x 2 · (arcsin x)′ √1
2
1−x 2
arcsin2 x p · (−2x) · arcsin x − 1 − x 2 · √ 1 2
arcsin x · (−2x)arcsin x 1 2 1−x 2 − = arcsin2 x arcsin2 x √ 1 · (−x) 1 1−x 2 − = arcsin x arcsin2 x −x 1 = p − arcsin2 x 1 − x 2 · arcsin x
1−x 2
√1
Hotovo! ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
√ x + 1 arctg x + 1.
√ 1 y′ = √ · (1 + 0) · arctg x + 1+ 2 x +1 √ 1 1 · (1 + 0) + x +1· 2 · √ √ 2 x +1 x +1 1+ √ 1 arctg x + 1 1 √ = + · 2 x +2 2 x +1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
√ x + 1 arctg x + 1.
√ 1 y′ = √ · (1 + 0) · arctg x + 1+ 2 x +1 √ 1 1 · (1 + 0) + x +1· √ 2 · √ 2 x +1 x +1 1+ √ 1 arctg x + 1 1 √ = + · 2 x +2 2 x +1 Derivujeme součin a složenou funkci podle pravidel (uv)′ = u′ v + uv ′ ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
u(v(x))
′
= u′ (v(x)) · v ′ (x) c
Robert Mařík, 2006 ×
Derivujte y =
√
√ x + 1 arctg x + 1.
√ 1 · (1 + 0) · arctg x + 1+ y′ = √ 2 x +1 √ 1 1 + x +1· · (1 + 0) 2 · √ √ 2 x +1 x +1 1+ √ 1 arctg x + 1 1 √ = + · 2 x +2 2 x +1
Upravíme a zkrátíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Konec
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2006 ×
Related Documents
Derivacie
November 2019 9
Ma1-derivacie
April 2020 2
Derivacie Elementarnych Funkcii
November 2019 7