Deriv
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Deriv as PDF for free.
More details
- Words: 778
- Pages: 3
ﻣﻠﺨﺺ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق -Iاﻻﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ -اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ -1اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ أ -ﺕﻌﺮﻳﻒ ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻓﻲ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ﻣﺮآﺰﻩ x0 ) f(x ) − f(x 0 ﻧﻘﻮل إن اﻟﺪاﻟﺔ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ x0اذا آﺎﻧﺖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ x − x0
ﺑـ ) . f ' ( x0اﻟﻌﺪد lﻳﺴﻤﻰ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ل fﻓﻲ . x0ﻧﻜﺘﺐ
→ xﻧﻬﺎﻳﺔ lﻓﻲ x0وﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ
) f ( x) − f ( x0 x − x0
f ' ( x0 ) = lim x → x0
ب -ﺥﺎﺻﻴﺔ آﻞ داﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ x0ﺕﻜﻮن ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ x0
– 2اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ -اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر أ -ﺕﻌﺮﻳﻒ *
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻦ ﺷﻜﻞ [ [ x0; x0 +αﺣﻴﺚ α ;0 ) f(x ) − f(x 0 ﻧﻘﻮل إن fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ x0إذا آﺎﻧﺖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ x − x0
→ xﻧﻬﺎﻳﺔ lﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ
x0و ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑـ ) . f d' ( x0 اﻟﻌﺪد lﻳﺴﻤﻰ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ل fﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ x0
* ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻦ ﺷﻜﻞ ﻧﻘﻮل إن f
ﻧﻜﺘﺐ
) f ( x) − f ( x0 x − x0
x→x0
] ] xx − α ; x0ﺣﻴﺚ α ;0
) f(x ) − f(x0 ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ x0إذا آﺎﻧﺖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ x − x0
x0ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ب
f 'd ( x0 ) = lim+
→ xﻧﻬﺎﻳﺔ lﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ
) . f g' ( x0
اﻟﻌﺪد lﻳﺴﻤﻰ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ل f
ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ x0
ﻧﻜﺘﺐ
) f ( x) − f ( x0 x − x0
f 'g ( x0 ) = lim− x→x0
ب – ﺥﺎﺻﻴﺔ ﺕﻜﻮن fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ x0إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ وﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ x0
واﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻳﺴﺎوي اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر. -3اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﻬﻨﺪﺱﻲ – ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ أ -اﻟﻤﻤﺎس ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ﻣﺮآﺰﻩ x0و C fﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق fﻓﻲ x0ﺕﺆول هﻨﺪﺱﻴﺎ
) y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0
ﺑﻮﺝﻮد ﻣﻤﺎس ﻟـ C fﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل x0ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ
ب -ﻧﺼﻒ اﻟﻤﻤﺎس إذا آﺎﻧﺖ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ ) x0أو ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ ( x0ﻓﺎن C fﻳﻘﺒﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ
ذات اﻻﻓﺼﻮل x0ﻣﻌﺎﻣﻠﻪ اﻟﻤﻮﺝﻪ ) ) fd' (x0أو)( fg' (x0 -4اﻟﺪ اﻟـــــﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ أ -ﺕﻌﺮﻳﻒ ﻧﻘﻮل إن fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل Iإذا آﺎﻧﺖ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ آﻞ ﻧـﻘﻄﺔ ﻣﻦ . I اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﺕﺮﺑﻂ آﻞ ﻋﻨﺼﺮ xﻣﻦ Iﺑﺎﻟﻌﺪد ) f ' ( xﺕﺴﻤﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑـ ' . f ب -ﻋﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ * -ﻟﺘﻜﻦ fو gداﻟﺘﻴﻦ ﻗﺎﺑﻠﺘﻴﻦ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو
\∈ λ
(f
∀x ∈ I
) + g ) '( x ) = f '( x ) + g '( x
) ( f × g ) '( x ) = f '( x ) g ( x ) + f ( x) g '( x ) (λ f ) ' = λ f '( x )g '( x 1 = − x ( ) )g 2 ( x g '
)f '( x) g ( x) − f ( x) g '( x f = ) ( x )g2 ( x g '
∀x∈Iﺑﺤﻴﺚ gﻻ ﺕﻨﻌﺪم ﻋﻠﻰ I
* -ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو }n ∈ `* − {1 ) × f '( x
n −1
)) ( f ) ( x ) = n ( f ( x ' n
∀x ∈ I
*
-ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو n ∈] −و fﻻ ﺕﻨﻌﺪم ﻋﻠﻰ I
) × f '( x
n −1
)) ( f ) ( x ) = n ( f ( x ' n
∀x ∈ I
ﺝﺪول ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال Df '
f ' ( x)
f (x )
\
0
a
\
1
x
\*
−
1 x2
1 x
\
nx n −1
n ∈ `* − {1} x n
\*
nx n −1
\*+
1 2 x
n ∈ ]* −
xn x
\
− sin x
cos x
\
cos x
sin x
π \ − + kπ / k ∈ ] 2
1 + tan 2 x
tan x
\
−a sin ( ax + b )
cos ( ax + b )
\
a cos ( ax + b )
sin ( ax + b )
ﺑـ ) . f ' ( x0اﻟﻌﺪد lﻳﺴﻤﻰ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ل fﻓﻲ . x0ﻧﻜﺘﺐ
→ xﻧﻬﺎﻳﺔ lﻓﻲ x0وﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ
) f ( x) − f ( x0 x − x0
f ' ( x0 ) = lim x → x0
ب -ﺥﺎﺻﻴﺔ آﻞ داﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ x0ﺕﻜﻮن ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ x0
– 2اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ -اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر أ -ﺕﻌﺮﻳﻒ *
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻦ ﺷﻜﻞ [ [ x0; x0 +αﺣﻴﺚ α ;0 ) f(x ) − f(x 0 ﻧﻘﻮل إن fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ x0إذا آﺎﻧﺖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ x − x0
→ xﻧﻬﺎﻳﺔ lﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ
x0و ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑـ ) . f d' ( x0 اﻟﻌﺪد lﻳﺴﻤﻰ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ل fﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ x0
* ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻦ ﺷﻜﻞ ﻧﻘﻮل إن f
ﻧﻜﺘﺐ
) f ( x) − f ( x0 x − x0
x→x0
] ] xx − α ; x0ﺣﻴﺚ α ;0
) f(x ) − f(x0 ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ x0إذا آﺎﻧﺖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ x − x0
x0ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ب
f 'd ( x0 ) = lim+
→ xﻧﻬﺎﻳﺔ lﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ
) . f g' ( x0
اﻟﻌﺪد lﻳﺴﻤﻰ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ل f
ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ x0
ﻧﻜﺘﺐ
) f ( x) − f ( x0 x − x0
f 'g ( x0 ) = lim− x→x0
ب – ﺥﺎﺻﻴﺔ ﺕﻜﻮن fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ x0إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ وﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ x0
واﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻳﺴﺎوي اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر. -3اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﻬﻨﺪﺱﻲ – ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ أ -اﻟﻤﻤﺎس ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ﻣﺮآﺰﻩ x0و C fﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق fﻓﻲ x0ﺕﺆول هﻨﺪﺱﻴﺎ
) y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0
ﺑﻮﺝﻮد ﻣﻤﺎس ﻟـ C fﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل x0ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ
ب -ﻧﺼﻒ اﻟﻤﻤﺎس إذا آﺎﻧﺖ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ ) x0أو ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ ( x0ﻓﺎن C fﻳﻘﺒﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ
ذات اﻻﻓﺼﻮل x0ﻣﻌﺎﻣﻠﻪ اﻟﻤﻮﺝﻪ ) ) fd' (x0أو)( fg' (x0 -4اﻟﺪ اﻟـــــﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ أ -ﺕﻌﺮﻳﻒ ﻧﻘﻮل إن fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل Iإذا آﺎﻧﺖ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ آﻞ ﻧـﻘﻄﺔ ﻣﻦ . I اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﺕﺮﺑﻂ آﻞ ﻋﻨﺼﺮ xﻣﻦ Iﺑﺎﻟﻌﺪد ) f ' ( xﺕﺴﻤﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑـ ' . f ب -ﻋﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ * -ﻟﺘﻜﻦ fو gداﻟﺘﻴﻦ ﻗﺎﺑﻠﺘﻴﻦ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو
\∈ λ
(f
∀x ∈ I
) + g ) '( x ) = f '( x ) + g '( x
) ( f × g ) '( x ) = f '( x ) g ( x ) + f ( x) g '( x ) (λ f ) ' = λ f '( x )g '( x 1 = − x ( ) )g 2 ( x g '
)f '( x) g ( x) − f ( x) g '( x f = ) ( x )g2 ( x g '
∀x∈Iﺑﺤﻴﺚ gﻻ ﺕﻨﻌﺪم ﻋﻠﻰ I
* -ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو }n ∈ `* − {1 ) × f '( x
n −1
)) ( f ) ( x ) = n ( f ( x ' n
∀x ∈ I
*
-ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو n ∈] −و fﻻ ﺕﻨﻌﺪم ﻋﻠﻰ I
) × f '( x
n −1
)) ( f ) ( x ) = n ( f ( x ' n
∀x ∈ I
ﺝﺪول ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال Df '
f ' ( x)
f (x )
\
0
a
\
1
x
\*
−
1 x2
1 x
\
nx n −1
n ∈ `* − {1} x n
\*
nx n −1
\*+
1 2 x
n ∈ ]* −
xn x
\
− sin x
cos x
\
cos x
sin x
π \ − + kπ / k ∈ ] 2
1 + tan 2 x
tan x
\
−a sin ( ax + b )
cos ( ax + b )
\
a cos ( ax + b )
sin ( ax + b )
Related Documents
Deriv
December 2019 6
Deriv. Iim Cal.
July 2020 4
Soluciones Cont Deriv
November 2019 6
