Der Akin Ay 012006

TẠP CHÍ KVANT SỐ 01-2006 Nhóm dịch thuật Kvant - Cộng đồng MathVn http://mathvn.org

M1981: Cho bảng 11x11 điền các số tự nhiên từ 1 đến 121. Dima nhân các số của bảng theo từng hàng ngang, còn Sasha nhân các số của bảng theo hàng dọc. Tồn tại hay không bộ số của Dima và Sasha giống nhau hoàn toàn. M1982: Viết 1 số tự nhiên bất kì trên giấy, sau mỗi giây thì ta viết số là tích các chữ số số đã cho. Chứng tỏ rằng sau hữu hạn lần thì số nhận được không thay đổi. M1983: Tồn tại bao nhiêu trường hợp phân tích số 2006 ra các số hạng xấp xỉ. Số hạng được gọi là xấp xỉ nếu chúng bằng nhau hoặc hơn kém nhau 1 đơn vị. M1984: Cho 1000 điểm trong mặt phẳng sao cho không tồn tại bất kì bộ 3 điểm thẳng hàng. Chứng minh rằng: có ít hơn 1000.000 tam giác cân được xác định từ 1000 điểm đã cho. M1985: Cho tứ giác ABCD sao cho không có bất kì 2 cạnh song song, và ngoại tiếp đường tròn tâm O, trung điểm của các cạnh AB,BC, CD,DA lần lượt là K,L,M,N. Chứng minh rằng : O,K,M thẳng hàng thì O,L,N cũng thẳng hàng. M1986: Chứng tỏ rằng với 2n số thực thỏa mãn: x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ …  ≤ xn ≤ y1 ≤ y2 ≤ …  ≤ yn , thì ta n

có bất đẳng thức: (

n

∑ x + (∑ y ) i =1

i

j =1

j

n

2

≥ 4n∑ xi yi .  i =1

M1987: Cho 10-diện và 12-diện đều và khoảng cách từ tâm đến cạnh bên bằng nhau. Thể tích của n-diện nào lớn hơn? Hãy chứng minh. M1988: Với các số tự nhiên a nào sao cho tồn tại các số nguyên không âm k , m, n thỏa mãn đẳng thức: a m10 x + a n = a k , với x là số chữ số của a n trong hệ thập phân. M1989: Trong vương quốc nọ có N thành phố và n con đường, mỗi con đường nối kiền 2 thành phố và từ bất kì thành phố nào có thể đi đến thành phố khác bằng những con đường. Mỗi thành phố có các người đưa thư, và đầu năm mới 1 trong các thành phố gửi người đưa thư đến các thành phố láng giềng bởi 1 người đưa thư( thành phố láng giềng là thành phố được nối trực tiếp với thành phố đầu bởi 1 con đường và không qua thành phố trung gian). Qúa trình gửi người đưa thư sẽ dừng lại nếu như thành phố có lượng người đưa thư ít hơn so với số thành phố láng giềng của thành phố đó. a) Sau 1 vài năm thì, quá trình gửi người đưa thư dừng lại. Chứng tỏ rằng các thành phố gửi người đưa thư nếu như được chọn cách khác thì quá trình vẫn dừng lại, dưới điều kiện số lượng người đưa thư hữu hạn trong mỗi thành phố không phụ thuộc vào cách chọn thành phố. b) Sau 1 vài năm thì số lượng người đưa thư của từng thành phố quay trở lại như cũ. Hỏi vương quốc có ít nhất là bao nhiêu người đưa thư.

M1990: Cho tam giác ABC trên đường kéo dài của BC về phía C lấy điểm X. Đường tròn nội tiếp tam giác ABX và ACX cắt nhau tại P,Q. Chứng minh rằng đường thẳng P,Q luôn đi qua điểm cố định không phụ thuộc vị trí chọn điểm X.