Denk Normlar

Genel olarak bakılırsa, teorem 7 ve sonucu, B(X,Y) ile X* hakkında bilmek istediklerimizin çoğunu verir. Bununla beraber, eğer X normlu uzayı c , ya da

C[0,1]

∞

şeklinde somut olarak verilmişse, bu takdirde X* dual uzayının

belirgin bir karekterizasyonunu vermek özellikle ilgi çekicidir. Bunu verdiğimiz teoriyle her zaman yapmak gerçekten kolay değildir, yukarıda bahsedilen örneklerden birisi olan c için yapmak mümkündür.

∞

un dualini karekterize

etmek için biraz ölçüm teorisi bilmek gerekir( aşağıda dual uzay tablosundan sonraki uyarılara bakınız.).

in duali Hahn-Banach genişletme

C[0,1]

teoreminin ispatından sonra incelenecektir. (aşağıda kesim 5 e bakınız.).

c*

ı karekterize etmeden önce genel olarak dual karekterizasyonu için

faydalı olan denk norm kavramını tanıtacağız. Denk Normlu uzaylar Eğer X ile Y normlu uzayları izometrik olarak izomorf ise X ile Y ye denk normlar denir. Bu bir T : X → Y

lineer izmometrisinin var olması demektir.

Uyarı. Eğer T bir izometri ise bu takdirde üzerinde

T ( x) = x

T ( x) = x

T (θ) = θ

olduğundan, X

dir. Karşıt olarak, eğre T lineer ise ve X

üzerinde

ise bu takdirde

T ( x ) −T ( y ) = T ( x −y ) = x −y

olur ve böylece birebir ve örten olması kaydıyla T bir izometridir. Böylec X ile Y nin denk olması için gerek ve yeter koşul lineer, birebir, örten, normu koruyan bir T : X → Y dönüşümünün var olmasıdır. Eğer

X ile Y denk normlu uzaylar ise X ≈ Y

yazarsak, ≈ nın

bütün normlu uzaylar sınıfı üzerinde bir denklik bağıntısı olduğu açıktır, dolayısı ile, X ile Y normlu uzaylar teorisi açısından bakıldığında farklı düşünülmezler. X ≈ Y olduğu zaman

X ile Y yi özdeşleştirmeyi serbestçe

yapabiliriz ve bazen aklımızda neyi kastettiğimizi biliyorsak X e Y dir dememiz bizi rahatsız etmeyecektir. Bütün normlu uzaylar kümesi üzerinde ≈ bir denklik bağıntısıdır:

(D1) Yansıma Özelliği: X normlu uzayı verildiğinde

I:X →X

, I(x)=x

ile tanımlanan I özdeşlik fonksiyonu lineer bir izometridir: Her λ , µ skalerleri ve her x , y∈X için I(λ x+µ y)= λ x+µ y=λ I(x)+µ I(y) Olduğundan, I lineerdir. I örtendir ve I ( x ) −I ( y ) = x −y

dir. Dolayısı ile X kendisine denktir, yani X≈ X dir. (D2) Simetri Özelliği: X≈ Y ise bir T:X→Y lineer izometrisi vardır. T birebir, örten, lineer ve izometridir. T birebir ve örten olduğundan T-1 tersi vardır. T-1:Y→X dönüşümü birebir, örten ve izometridir. Birebir ve örtenliği açık. T nin izometri olduğu ise T −1 ( y1 ) −T −1 ( y2 ) = x1 −x2 = T ( x1 ) −T ( x2 ) = y1 −y2

olduğundan, T-1 lineer izometridir. (D3) X≈ Y ve Y≈ Z olsun. Bu takdirde T1:X→Y ve T2:Y→Z şeklinde T1 ve T2 lineer izometrik izomorfizmdir. Bu durumda T2oT1 :X→Z izometrik izomorfizmdir. Şimdi bir önceki paragrafın ışığında aşağıdaki teoremde olduğunu göstereceğiz ve c nin duali Teorem 8. (i) Eğer

f ∈ c*

dir diyeceğiz.

1

ise bu takdirde her x ∈ c için ∞

f ( x) = a (lim n →∞ xn ) + ∑an xn

(4)

n =1

olacak şekilde bir in

c*

(an ) ∈ 1

c* ≈ 1

dizisi ve bir a sayısı vardır. Aynı zamanda

normu ∞

f = a + ∑an n =1

f

(an ) ∈ 1

dir. Karşıt olarak, eğer

c* (ii)

ve a verilmişse bu takdirde (4) ün sağ tarafı

ın bir elemanını tanımlar.

c*

ile

denktir.

1

f ∈ c*

İspat. Karşıt durum aşikardır. Öyleyse

kümesi c için bir bazdır:

{e, e1 , e2 ,..., en ,... }

e1 = (1,0,0,..., 0,0,...)

e =(1,1,..., 1,...)

inci yerde bulunduğuna göre,

,

kabul edelim. Bölüm 3 den x = ( xn ) ∈ c

e2 = (0,1,0,0,..., 0,0,...))

en = (0,0,..., 0,1,0,0,...)

l = lim n →∞ xn

,

,..., 1 sayısı n

olmak üzere,

∞

x = l.e + ∑( xn − l )en

(5)

n =1

dir.

,

in sürekliliği ve lineerliğinden, her x ∈ c için

f m

l.e + ∑( xn − l )en → x

olmasından

n =1

m

f (l.e + ∑( xn − l )en ) → f ( x ) n =1

olur. Dolayısı

ile, ∞

f ( x ) = l. f (e) + ∑( xn −l ) f (en ) n =1

elde ederiz. Şimdi herhangi bir r ≥ 1 alalım ve 1 ≤ n ≤ r için

xn = sgn f (en )

ve n > r için

ve

xn = 0

yazalım.Bu takdirde

dolayısıyla c üzerinde

f ( x) ≤ f

x

x ∈c0

,

x =1

olduğunu da dikkate aldığımız

zaman, r

f ( x) = ∑ f (en ) ≤ f n =1

elde ederiz. Bu takdirde (6) dan ∞

∑ f (en )

n =1

= sup r

r

∑ f (en )

≤ f <∞

n =1

elde edilir. Şimdi a = f (e) −∑f (en )

∞

∑f (en ) serisi mutlak yakınsak olduğuna göre,

n =1

,

an = f (en )

olmak üzere (5) i

∞

f ( x ) = al + ∑an xn

(7)

n =1

olarak yazalım.

olduğundan, (7) den,

lim xn ≤ x

∞

∞

∞

∞

∞

n =1

n =1

n =1

n =1

n =1

f ( x) = al + ∑an xn ≤ al + ∑an xn ≤ a l + ∑ an xn = a l + ∑ an xn ≤ a x + ∑ an x = ∞

= ( a + ∑ an ) x n =1

elde ederiz ki buradan ∞

f ( x) ≤ ( a + ∑ an ) x n =1

f ( x)

elde ederiz ki buradan da ∀ x ∈ X , x ≠ θ için,

x

∞

≤ a + ∑ an n =1

bulunur ki buradan da ∞

f ≤ a + ∑an n =1

bulunur.

x =1

için

f ( x) ≤ f

elde ederiz. Böylece herhangi bir r ≥ 1

için 1≤ n ≤ r

takdirde x ∈ c , r

x =1

f ( x) = a + ∑an + n =1

olur.

ve n > r için

xn = sgn an

için

(an ) ∈ 1

,

lim xn = sgn a

∞

∑an sgn a

xn = sgn a

olarak tanımlayalım. Bu

dır ve böylece

≤ f

n =r +1

olduğundan r → ∞

iken

∞

∑an →0 elde ederiz, ve buradan

n =r +1

son eşitsizlikte r → ∞ yaparak, ∞

a + ∑an ≤ f n =1

elde edilir. Sonuçları birleştirdiğimizde in ispatını verir. ∞

f ( x) = a (lim n →∞ xn ) + ∑an xn n =1

∞

f = a + ∑an n =1

elde ederiz. Bu (1)

gösteriminin bir tek olduğunu göstermek kolaydır. Bu teklik (ii) inci kısımda gerekecektir. (ii) a ve üzere

T ( f ) = ( a, a1, a2 ,..., an ,...)

şeklinde tanımlanan norm

(i) deki gösterimde karşımıza çıktığı şekilde olmak

an

1

T : c* → 1

dönüşümünü tanımlayalım.

deki norm olmak üzere (i) den

elde ederiz. O halde T

T( f )

deki

T ( f ) = a + a1 + a2 +... + an +...

normu korur. (i) in karşıt kısmından dolayı, örtendir.

Son olarak, T lineerdir, yani

f ∈ c*

ise

T (λf ) = (λa, λa1, λa2 ,..., λan ,...) = λ( a, a1, a2 ,..., an ,...) = T ( f )

ve T Eğer

nin toplamsallığı benzerdir. Toplamsallığı şu şekilde gösterebiliriz:

f , g∈ c*

ise bu takdirde her x ∈ c için ∞

f ( x) = a (lim n →∞ xn ) + ∑an xn n =1

∞

g ( x ) = b(lim n →∞ yn ) + ∑bn yn n =1

( an ) , (b n ) ∈1

olacak şekilde bir zamanda g in

c*

dizileri ve a ile b

normu

∞

g = b + ∑bn n =1

dir. Buna göre ∞

d = ( f + g )( e) − ∑( f + g )( en ) n =1

d n = ( f + g )( en )

l = lim xn

ve

olmak üzere

∞

( f + g )( x) = dl + ∑d n xn n =1

a = f (e) −∑f (en )

,

an = f (en )

olmak üzere

(4*)

sayıları vardır. Aynı

∞

f ( x) = al + ∑an xn n =1

ve

b = g (e) −∑g (en )

,

bn = g (en )

olmak üzere

∞

g ( x ) = bl + ∑bn xn n =1

dir. Buna göre ∞

∞

n =1 ∞

n =1

( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) = al + ∑an xn +bl + ∑bn xn = ∞

∞

∞

n =1

n =1 ∞

= [ f (e) − ∑f (en )]l + ∑( f (en )) xn +[ g (e) − ∑g (en )]l + ∑( g (en )) xn n =1

n =1

∞

∞

∞

= [ f (e) + g (e)] −l ∑f (en ) −l ∑g (en ) + ∑( f (en )) xn + ∑( g (en )) xn n =1 ∞

n =1

n =1

n =1

∞

= ( f + g )( e) −l ∑( f (en ) + g (en )) + ∑( f (en )) xn + ( g (en )) xn n =1 ∞

∞

n =1

n =1

n =1

= ( f + g )( e) −l ∑( f + g )( en ) + ∑(( f + g )( en )) xn ∞

T ( f + g ) = (( f + g )( e) − ∑( f + g )( en ),.( f + g )( e1) , ( f + g )( e2 ), ..., ( f + g )( en ),...) = n =1

= (a + b, a1 +b1, a2 +b2 ,..., an +bn ,...) = (a, a1, a2 ,..., an ,...) + (b, b1, b2 ,..., bn ,...) = T ( f ) +T ( g )

bulunur.