Demostraciones

2) Det A.b = Det A . Det B Demostración: Caso 1: Det A = DetB = 0. B no es invertible, existe un N-Vector X ≠ 0 tal que BX = 0. Entonces (A B)X = A(B X)= A 0 = 0. Por lo tanto, A.B no es invertible. Por el teorema 2 0 = Det A.B = 0 . 0 = Det A Det B Caso 2: Det A = 0 y Det B ≠ 0 y del B ≠ 0. A es no invertible, Por lo que existe un vector únicoX ≠ 0 Tal que BX = y. Entonces ABX = A(BX) = Ay = 0. Asi, AB es no invertible, esto es Det AB = 0 = 0 Det B = Det A Det B Caso 3: Det A ≠ 0. A es invertible y se puede escribir como un producto de matrices elementales: A = E1 E 2… Em Entonces AB = E1 E2… Emb Usando los resultados del lema 2 repetidas veces, se ve que Det AB = Det (E1 E2… EnB) = Det E1 Det E2… Det Em Det B = Det (E1 E2… Em) Det B = Det A Det B

5) Si B no obtiene determinante de A intercambiado filas si Det B = -Det A Demostración Supongamos que B se obtiene a partir de A, al intercambiar las filas r y s y supongamos que r < s. Entonces tenemos brj 0 asj, bsj = arj y bij = aij para i ≠ r, i ≠ s. Ahora Det (B) = ∑ (¥) b1j1 b2j2 … brjr … bsjs … bnjn = ∑ (¥) a1j1 a2j2 … asjr … arjs … anjn = ∑ (¥) a1j1 a2j2 … arjs … asjr … anjn La puntuación j1 j2 … js … jr … jn se obtiene de la puntuación ji j2 … jr … js … jnmediante el intercambio de dos números; el numero de inversiones en la primera define en un numero impar del numero impar del inversiones en la segunda. Esto significa que el signo de cada término en Det (B) es el negativo del signo del término correspondiente en Det (A). Por lo tanto, Det (B) = -Det (a). Supongamos ahora que B se obtiene a partir de aT. De esta manera Det (Bt) = Det (AT), pero Det (Bt) = Det (B) y Det (At). Por lo tanto, Det = -Det (A).

6) B se obtiene multiplicando una fila por un escalar α ≠ 0 si Det B = α Det A Demostración: Supongamos que r-esima fila de A = [aij] se multiplica por α para obtener B = [bij] Entonces, bij = aij si i ≠ r y brj = carj obtenemos Det (B). Det B = ∑ (¥) b1j1 b2j2 … brjr … bnjn = ∑ (¥) a1j1 b2j2 … (carjr) … anjn α = (∑ (¥) a1j1 a2j2 … arjr … anjn) = α Det(A)