Demostracion De Poliedros Regulares.docx

Instituto Superior del Profesorado Nº 6 “Dr. Leopoldo Chizzini Melo” -2015Profesorado de Tercer ciclo y educación Polimodal en Matemática Cátedra: Tópicos de Geometría Prof. Patricia Cavatorta

En clases anteriores hemos conjeturado que solo existen 5 poliedros regulares. Ahora demostraremos algebraicamente esta conjetura. En un poliedro regular, llamamos 𝐶 a su número de caras, 𝑛 al número de lados de cada cara, 𝑉 a su número de vértices, 𝐴 el de aristas y 𝑚 al número de aristas concurrentes en un mismo vértice. Se verificarán, por tanto, las igualdades: 𝑛. 𝐶 = 2𝐴 y 𝑚. 𝑉 = 2𝐴 . Por tanto: 𝑚. 𝑉 = 𝑛. 𝐶 𝑛.𝐶

De las igualdades anteriores se deduce que: 𝐴 = (Al hacer n.C estamos contando dos veces las aristas) y 𝑉 = 2 hago m.V estoy contando dos veces cada arista porque cada arista concurre en dos vértices)

𝑛.𝐶 𝑚

(cuando

Los poliedros regulares son poliedros convexos, por lo tanto sabemos que cumple con la fórmula de Euler 𝐶+𝑉 =𝐴+2 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑛. 𝐶 𝑛. 𝐶 𝐶+ = +2 𝑚 2 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑎 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑟 2𝑚 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 2𝑚𝐶 + 2𝑛𝐶 = 𝑚𝑛𝐶 + 4𝑚 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐶 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 2𝑚𝐶 + 2𝑛𝐶 − 𝑚𝑛𝐶 = 4𝑚 𝐶. (2𝑚 + 2𝑛 − 𝑚𝑛) = 4𝑚 4𝑚 𝐶= 2. (𝑚 + 𝑛) − 𝑚𝑛 Se sabe que el mínimo número de lados de un polígono es tres (n) y el mínimo número de aristas que concurren en un vértice de un poliedro es tres (m). Por lo tanto se pueden presentar los siguientes casos: 1. Si n = 3 y: a) m = 3, entonces C = 4 y obtenemos el tetraedro regular.

b) m = 4, entonces C = 8 y obtenemos el octaedro regular.

c) m = 5, entonces C = 20 y obtenemos el icosaedro regular. d) m = 6, entonces C = 24/0 y no se obtiene ningún poliedro. 2. Si n = 4 y: a) m = 3, entonces C = 6 y obtenemos el hexaedro regular o cubo. b) m = 4, entonces C = 16/0 y no se obtiene ningún poliedro. 3. Si n = 5 y: a)m = 3, entonces C = 12 y obtenemos el dodecaedro regular. b) m = 4, entonces C = -8 y no obtenemos ningún poliedro.

4. Si n = 6 y:

Instituto Superior del Profesorado Nº 6 “Dr. Leopoldo Chizzini Melo” -2015Profesorado de Tercer ciclo y educación Polimodal en Matemática Cátedra: Tópicos de Geometría Prof. Patricia Cavatorta

a) m = 3, entonces C = 12/0 y no obtenemos ningún poliedro.

No existe pues siempre que 2(𝑚 − 3) ≤ 3 porque no se va a poder construir el poliedro. 2(𝑚 − 3) ≤ 3 ∴ 6 ≤ 𝑚 Si 2(𝑚 + 4) − 𝑚. 4 ≤ 0 no se puede construir un poliedro.