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- Words: 944
- Pages: 4
D´emonstration 1 octobre 2007
Actuariat II ACT3122
Notes Ces quelques exercices contiennent de la mati`ere que vous n’avez possiblement pas encore vue au cours. Je pense notamment aux contrats futures ou aux contrats swap. J’ai d´ecid´e n´eanmoins de traiter de cette mati`ere cette d´emonstration-ci, parce que nous perdons une p´eriode de d´emonstration `a cause d’une journ´ee f´eri´ee. En d’autres mots, je ne pense pas que j’aurais eu le temps d’aborder cette mati`ere avant votre examen. Sans pr´etendre vous offrir toute la mati`ere n´ecessaire `a la compl`ete compr´ehension des exercices, voici une esquisse de d´efinition pour les produits susmentionn´es.
Futures Un contrat de type future est un contrat forward, o` u les paiements sont faits `a une fr´equence plus grande que le contrat forward (qui ne requiert un paiement qu’`a l’´ech´eance). Par exemple, sur une p´eriode de deux semaines, on pourrait faire des paiements quotidiennement. Voici un simple exemple : Vous achetez un contrat future d’une semaine sur une once d’or, dont le prix d’exercice est de 400$ / once. Voici un tableau repr´esentant la transaction sur la semaine : Jour 1 2 3 4 5 6 7 TOTAL
Prix Payoff 401 +1 398 -3 355 -43 377 +22 384 +7 390 +6 393 +3 — -7
On remarquera que, sans prendre en consid´ eration le taux d’int´ erˆ et, le r´esultat final est le mˆeme entre un contrat future et un contrat forward.
Compil´e le 28 septembre 2007
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D´emonstration 1 octobre 2007
Actuariat II ACT3122
Swap Un swap repr´esente plusieurs contrats forward en un seul contrat. Par exemple, on pourrait d´ecider d’acheter 2 ´echiquiers en or : un dans un an, et un autre dans deux ans. Le prix d’un contrat forward 1 an est de 1 050$, celui de 2 ans est de 1 200$. Les taux spots 1 an et 2 ans sont respectivement de 7% et 8,4%, respectivement. La valeur du contrat sera donc de P =
1 050$ 1 200$ + ≈ 2 002, 54$. 1, 07 1, 0842
De plus, on peut choisir de payer ce montant en deux fois, c’est-`a-dire seulement `a la r´eception de chacun des ´echiquiers. Le paiement (payable deux fois) sera alors : 2 002, 54$ =
R R + 1, 07 1, 0842
⇒
R ≈ 1 121, 49$.
Exercices 1. Je d´ecide de jouer `a la bourse sur une action dont le prix est pr´esentement de S0 = 50$. J’ach`ete deux puts de prix d’exercice de 50$ et 55$, dont les primes somment `a 6,44$. Trouvant que je paie trop de primes, je d´ecide de vendre un put et un call ayant des prix d’exercice de 45$ et 50$, respectivement. Les primes per¸cues somment `a 3,21$. Tous les calls viennent `a ´echeance dans 1 an, tandis que les puts viennent `a ´echeance dans deux ans. Les options peuvent ˆetre exerc´ees seulement `a l’expiration. On donne les informations suivantes : t St 0 50$ 1 54$ 2 48$ De plus, on sait que δ = 0, 06 pendant deux ans. a) Quel est mon profit net `a la fin de toutes les transactions ?
Compil´e le 28 septembre 2007
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D´emonstration 1 octobre 2007
Actuariat II ACT3122
b) Apr`es v´erification, vous vous apercevez que les prix aux temps 1 et 2 ont ´et´e invers´es. Quelle est la variation (en %) de votre profit net par rapport `a la premi`ere situation ? 2. Vous d´esirez plaire `a votre entourage en leur achetant des cadeaux, mais malheureusement n’arrivez pas `a vous d´eprendre de votre d´ependance `a l’h´ero¨ıne. Vous d´ecidez de payer un swap portant sur l’h´ero¨ıne pour une dur´ee de trois ans o` u il y aura une transaction `a chaque ann´ee. De cette mani`ere, vous pouvez ad´equatement pr´evoir vos d´epenses, et ainsi mieux g´erer vos avoirs. Le poste de police local vous fournit les informations suivantes : t Quantit´e Prix (forward t) Taux spot 0 125 mL 4 000$ 0% 1 100 mL 4 300$ 5% 2 75 mL 4 500$ 6% 3 60 mL 4 900$ 7,5% Vous consommez g´en´eralement 50 mL par mois, et pr´evoyez continuer ainsi jusqu`a ce que l’Ange Noir vienne vous chercher. Or, avec vos dons de voyant, vous savez que vous ne serez pas mort d’ici 3 ans, et proc´edez donc `a la cr´eation de ce fameux swap. a) Quel est le prix du swap `a payer imm´ediatement pour ces trois ans ? b) Quel prix devriez-vous payer `a chaque ann´ee pour obtenir le mˆeme produit (plutˆot qu’un seul versement initial) ? 3. Vous d´ecidez d’acheter un contrat future sur le prix de l’or, ayant un prix de 500$ / once. Le contrat dure 2 semaines, et un paiement est fait quotidiennement. Vous signer un contrat portant sur 400 onces, et mettez 6% de ce montant en marge (pour faire les paiements) dans un compte rapportant de l’int´erˆet `a un force d’int´erˆet δ = 0, 06. Un appel de marge 1 est fait d`es que la marge descend sous la barre des 7 000$. a) Remplir le tableau suivant : 1
Un appel de marge signifie que l’on doit remettre la marge `a son niveau initial.
Compil´e le 28 septembre 2007
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D´emonstration 1 octobre 2007
Actuariat II ACT3122 t Prix ($) / once 1 501,02 2 502,43 3 504,42 4 498,31 5 492,19 6 7 476,99 8 459,32 9 10 455,42 11 463,45 12 458,54 13 14 463,17
Paiement ($) Marge ($) Appel de marge ($)
-2 624
-2 860
-232
b) Calculez le rendement annuel simple de la position.
Solutionnaire # R´eponse 1. a) 1,11$ 1. b) -337,82% 2. a) 96 054,37$ 2. b) 36 283,38$ 3. b) -1 937,65%
Compil´e le 28 septembre 2007
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Actuariat II ACT3122
Notes Ces quelques exercices contiennent de la mati`ere que vous n’avez possiblement pas encore vue au cours. Je pense notamment aux contrats futures ou aux contrats swap. J’ai d´ecid´e n´eanmoins de traiter de cette mati`ere cette d´emonstration-ci, parce que nous perdons une p´eriode de d´emonstration `a cause d’une journ´ee f´eri´ee. En d’autres mots, je ne pense pas que j’aurais eu le temps d’aborder cette mati`ere avant votre examen. Sans pr´etendre vous offrir toute la mati`ere n´ecessaire `a la compl`ete compr´ehension des exercices, voici une esquisse de d´efinition pour les produits susmentionn´es.
Futures Un contrat de type future est un contrat forward, o` u les paiements sont faits `a une fr´equence plus grande que le contrat forward (qui ne requiert un paiement qu’`a l’´ech´eance). Par exemple, sur une p´eriode de deux semaines, on pourrait faire des paiements quotidiennement. Voici un simple exemple : Vous achetez un contrat future d’une semaine sur une once d’or, dont le prix d’exercice est de 400$ / once. Voici un tableau repr´esentant la transaction sur la semaine : Jour 1 2 3 4 5 6 7 TOTAL
Prix Payoff 401 +1 398 -3 355 -43 377 +22 384 +7 390 +6 393 +3 — -7
On remarquera que, sans prendre en consid´ eration le taux d’int´ erˆ et, le r´esultat final est le mˆeme entre un contrat future et un contrat forward.
Compil´e le 28 septembre 2007
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D´emonstration 1 octobre 2007
Actuariat II ACT3122
Swap Un swap repr´esente plusieurs contrats forward en un seul contrat. Par exemple, on pourrait d´ecider d’acheter 2 ´echiquiers en or : un dans un an, et un autre dans deux ans. Le prix d’un contrat forward 1 an est de 1 050$, celui de 2 ans est de 1 200$. Les taux spots 1 an et 2 ans sont respectivement de 7% et 8,4%, respectivement. La valeur du contrat sera donc de P =
1 050$ 1 200$ + ≈ 2 002, 54$. 1, 07 1, 0842
De plus, on peut choisir de payer ce montant en deux fois, c’est-`a-dire seulement `a la r´eception de chacun des ´echiquiers. Le paiement (payable deux fois) sera alors : 2 002, 54$ =
R R + 1, 07 1, 0842
⇒
R ≈ 1 121, 49$.
Exercices 1. Je d´ecide de jouer `a la bourse sur une action dont le prix est pr´esentement de S0 = 50$. J’ach`ete deux puts de prix d’exercice de 50$ et 55$, dont les primes somment `a 6,44$. Trouvant que je paie trop de primes, je d´ecide de vendre un put et un call ayant des prix d’exercice de 45$ et 50$, respectivement. Les primes per¸cues somment `a 3,21$. Tous les calls viennent `a ´echeance dans 1 an, tandis que les puts viennent `a ´echeance dans deux ans. Les options peuvent ˆetre exerc´ees seulement `a l’expiration. On donne les informations suivantes : t St 0 50$ 1 54$ 2 48$ De plus, on sait que δ = 0, 06 pendant deux ans. a) Quel est mon profit net `a la fin de toutes les transactions ?
Compil´e le 28 septembre 2007
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D´emonstration 1 octobre 2007
Actuariat II ACT3122
b) Apr`es v´erification, vous vous apercevez que les prix aux temps 1 et 2 ont ´et´e invers´es. Quelle est la variation (en %) de votre profit net par rapport `a la premi`ere situation ? 2. Vous d´esirez plaire `a votre entourage en leur achetant des cadeaux, mais malheureusement n’arrivez pas `a vous d´eprendre de votre d´ependance `a l’h´ero¨ıne. Vous d´ecidez de payer un swap portant sur l’h´ero¨ıne pour une dur´ee de trois ans o` u il y aura une transaction `a chaque ann´ee. De cette mani`ere, vous pouvez ad´equatement pr´evoir vos d´epenses, et ainsi mieux g´erer vos avoirs. Le poste de police local vous fournit les informations suivantes : t Quantit´e Prix (forward t) Taux spot 0 125 mL 4 000$ 0% 1 100 mL 4 300$ 5% 2 75 mL 4 500$ 6% 3 60 mL 4 900$ 7,5% Vous consommez g´en´eralement 50 mL par mois, et pr´evoyez continuer ainsi jusqu`a ce que l’Ange Noir vienne vous chercher. Or, avec vos dons de voyant, vous savez que vous ne serez pas mort d’ici 3 ans, et proc´edez donc `a la cr´eation de ce fameux swap. a) Quel est le prix du swap `a payer imm´ediatement pour ces trois ans ? b) Quel prix devriez-vous payer `a chaque ann´ee pour obtenir le mˆeme produit (plutˆot qu’un seul versement initial) ? 3. Vous d´ecidez d’acheter un contrat future sur le prix de l’or, ayant un prix de 500$ / once. Le contrat dure 2 semaines, et un paiement est fait quotidiennement. Vous signer un contrat portant sur 400 onces, et mettez 6% de ce montant en marge (pour faire les paiements) dans un compte rapportant de l’int´erˆet `a un force d’int´erˆet δ = 0, 06. Un appel de marge 1 est fait d`es que la marge descend sous la barre des 7 000$. a) Remplir le tableau suivant : 1
Un appel de marge signifie que l’on doit remettre la marge `a son niveau initial.
Compil´e le 28 septembre 2007
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D´emonstration 1 octobre 2007
Actuariat II ACT3122 t Prix ($) / once 1 501,02 2 502,43 3 504,42 4 498,31 5 492,19 6 7 476,99 8 459,32 9 10 455,42 11 463,45 12 458,54 13 14 463,17
Paiement ($) Marge ($) Appel de marge ($)
-2 624
-2 860
-232
b) Calculez le rendement annuel simple de la position.
Solutionnaire # R´eponse 1. a) 1,11$ 1. b) -337,82% 2. a) 96 054,37$ 2. b) 36 283,38$ 3. b) -1 937,65%
Compil´e le 28 septembre 2007
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