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INTRODUCCIÓN Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Este trata de diseñar métodos para aproximar de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc. En el presente proyecto aplicaremos la interpolación polinomial, utilizando dos métodos: Interpolación de Lagrange y diferencia dividida de Newton, para hallar un polinomio que nos indique la productividad deseada en los años 2017 y 2018 de la pollería.

Ingeniería Industrial FASE I: DESCRIPCIÓN GENERAL DEL PROYECTO

Área enfocada: Ingeniería industrial

1.1.- Nombre del proyecto “APLICACIÓN DE LA INTERPOLACIÓN POLINIMIAL EN ESTADISTICAS DE PRODUCTIVIDAD DE UNA EMPRESA DE POLLERIA”

1.2.- Comunidad beneficiada: Pollería FASE II: DESCRIPCIÓN SITUACIONAL

2.1.- Situación actual y deseada 

Actualmente la pollería vende en promedio 700 pollos (+papas+ensalda+cremas+gaseosa) mensuales a un costo de $50 dólares, teniendo un ingreso de $35,000 dólares.



La situación que los dueños desean alcanzar es vender 1120 pollos (+papas+ensalda+cremas+gaseosa) mensuales al mismo costo. Aumentando su productividad y utilidades en los años 2017 y 2018.

2.2.- Objetivo general del proyecto 

Hallar un polinomio que nos indique la productividad deseada en los años 2017 y 2018.

2.3.- Objetivos específicos del proyecto 

Hallar el punto de equilibrio de la pollería.



Encontrar las variables que nos permitan hallar la productividad de la pollería.



Utilizando el polinomio, dar como respuesta la productividad de la pollería en los años 2017 y 2018 pedidos. DEIZI

Para alcanzar los objetivos, los dueños de la pollería dieron datos necesarios e importantes para realizar el proceso de nuestro estudio. Este estudio puede ser útil para que los dueños de la pollería se encuentren informados acerca de sus futuras utilidades y productividad. 2

Ingeniería Industrial FASE III: DISEÑO Y FORMULACIÓN DEL PROYECTO

3.1.- Árbol del problema

Hallar el punto de equilibrio de la pollería

Encontrar la manera de aumentar la producción sin aumentar los costo

¿Cuál es la productividad de la pollería? Los dueños no estan satisfechos con sus ganacias

Se encuentran afectados por la competencia

Se cree que las costos son muy elevados

TALES COMO: 

Interpolación polinomial de Lagrange: Es una forma de presentar el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado. Es el polinomio de interpolación de Lagrange que pasa por estos puntos. Diferencias divididas de Newton:

Proporcionan una manera muy sencilla de escribir el polinomio de interpolación. Dado n puntos, el resultado será un polinomio con un grado máximo de n – 1, igual que en el caso de Lagrange.

.

3

Ingeniería Industrial

RUBEN 3.4.- Plan de acción En la pollería se presentan los siguientes costos: Costos Fijos (alquiler, empleados, ayudante, pollero, agua, luz, etc.)=6545 Costos Variables (pollo, papas, lechuga, zanahoria, pepinillo, etc.) =16.8 Además, se sabe que venden en promedio 700 pollos mensuales y los venden a 50 dólares cada uno. Hallar el punto de equilibro, productividad actual y productividad en los años 2017 y 2018. Punto de equilibrio Es un indicador que nos muestra cuanto es la cantidad que tienes que vender para no ganar ni perder. Se utiliza para ver cuando es rentable un negocio; si vendes más es ganancia, si vendes menos es perdida. Usamos la siguiente fórmula: IT=CT Dónde: IT = ingresos totales que están dados por la cantidad producida por el precio CT = costos totales que están dados por costos fijos más costos medios variables por la cantidad producida. Entonces: IT = CT P*Q=CF+CMevQ 50Q=6545+16.8Q 33.2Q=6545 4

Ingeniería Industrial

Q=197.14 IT=P*Q IT=50*197.14= 9857 CT=CF+CMevQ CT=6545+16.8(197.14) CT=9.856.95 Gráfica1. Punto de equilibrio

Pollería

CT=9.856.95; IT= 9.857

Punto de equilibrio CT

IT

30000 25000 20000 15000 10000 5000 0

1 19 37 55 73 91 09 27 45 63 81 99 17 35 53 71 89 07 25 43 61 79 97 15 33 51 69 87 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4

Utilidades (actual) IT = P*Q IT = 50*700 IT = 35 000 CT = CF + CmedV*Q CT = 6 545 + 16.8*700 CT = 18 305

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Ingeniería Industrial

U = IT – CT U = 35 000 – 18 305 U = 16 695 Productividad anual Año 2014 (3meses)

PRODUCTIVIDAD 2015 = 1.7857

Costos totales: 33 747

Año 2016

PRODUCTIVIDAD 2014 = 1,2446

Costos totales: 219 660

Año 2015

PRODUCTIVIDAD 2016 = 1.9120

Costos totales: 169 346,4

6

Gráfica2. Productividad por año Pollería

PRODUCTIVIDAD 2.5

2

1.5

1

0.5

0 2013.5

2014

2014.5

2015

2015.5

2016

2016.5

Para hallar la productividad en los años 2017 y 2018, aplicaremos la interpolación polinomial: Antes de hallar los polinomios vamos a estandarizar los valores del eje x: 2010 = 0 2011 = 1 2012 = 2 2013 = 3 2014 = 4 2015 = 5 2016 = 6 2017 = 7 Entonces tenemos tres puntos: (4; 1,2446) (5; 1,7857) (6; 1,9120)

Interpolación polinomial de Lagrange: P2 ( x )=1,2446

( x−5)(x−6) (x−4 )(x−6) ( x−4)( x−5) +1,7857 +1,9120 (4−5)(4−6) (5−4 )(5−6) ( 6−4)(6−5) x 2−9 x +20

P2 ( x ) =

1,2446 ( 2 1,9120 x −11 x +30 ) −1,7857(x 2−10 x +24)+ ¿ 2 2

P2 ( x )=0,6223 ( x 2−11 x +30 ) −1,7857(x 2−10 x +24)+0,956( x 2−9 x +20) P2 ( x )=0,6223 x 2−6,8453 x +18,669−1,7857 x 2+ 17,857 x −42,8568+0,956 x 2−8,604 x +19,12 2

P2 ( x )=−0,2074 x +2,4077 x−5,0678

El polinomio interpolante es: 2

P2 ( x )=−0,2074 x +2,4077 x−5,0678

Interpolación polinomial por diferencias divididas de newton: i

xi

f(xi)

1

4

1,2446

2

5

1,7857

3

6

1,9120

f ( x 1 , x 2 )=

f ( x 2 ) −f ( x 1 ) 1,7857−1,2446 0,5411 = = =0,5411 x2 −x1 5−4 1

f ( x2 , x3)=

f ( x3 ) −f ( x 2 ) 1,9120−1,7857 0,1263 = = =0,1263 x 3−x 2 6−5 1

f ( x1 , x2 , x3 )=

f ( x2 , x3 ) −f ( x 1 , x 2 ) 0,1263−0,5411 −0,4148 = = =−0,2074 x 3−x 1 6−4 2

El polinomio: P2 ( x )=f ( x 1) + f ( x 1 , x 2 )( x−x 1) + f (x 1 , x 2 , x 3 )( x−x 1)( x−x 2 )

P2 ( x )=1,2446+ 0,5411 ( x−4 )−0,2074 (x−4)(x−5) P2 ( x )=1,2446+ 0,5411 ( x−4 )−0,2074 (x 2−9 x +20) 2

P2 ( x )=1,2446+ 0,5411 x−2,1644−0,2074 x +1,8666 x−4,148 2

P2 ( x )=−0,2074 x +2,4077 x−5,0678 Como podemos notar el polinomio tanto por el método lagrange y el método de las diferencias divididas de newton es: 2

P2 ( x )=−0,2074 x +2,4077 x−5,0678

Entonces, ahora, hallamos la productividad en los años 2017 y 2018: P2 ( 7 )=−0,2074 ¿ 72 +2,4077∗7−5,0678 P2 ( 201 7 ) =1,6235 2

P2 ( 8 )=−0,2074∗8 +2,4077∗8−5,0678

P2 ( 201 8 ) =0,9202

FASE IV: EVALUACIÓN Resultados obtenidos -Productividad en 2017 P2 ( 201 7 ) =−0,2074 ( 72 ) +2,4077 ( 7 ) −5,0678 P2 ( 201 7 ) =1,6235 -Productividad en 2018 P2 ( 2018 )=−0,2074 ( 82 ) +2,4077 ( 8 )−5,0678 P2 ( 2018 )=0,9202 Si la pollería, para producir más, no reduce los costos totales, la productividad tendrá una caída considerable.

RECOMENDACIONES 

La productividad de la empresa de los años 2017 y 2018 no fue la esperada por los dueños. Se recomienda disminuir sus costos y aumentar sus ingresos. Por ejemplo, podrían trazarse la meta de vender más pollos diarios y disminuir sus costos fijos.



Se recomienda a la empresa hallar el punto de equilibrio mensual para que sobrepasen esa meta de producción.



Con respecto a los métodos de interpolación polinomial se recomienda usar Lagrange ya que, desde nuestro punto de vista, es un método más simple y rápido.

CONCLUSIONES 

Hallamos el punto de equilibrio de la pollería el cual nos dios como resultado que se deben vender 197 pollos para que la empresa no gane ni pierda.



Las variables que nos permitieron hallar la productividad de la pollería fueron los ingresos anuales y los costos anuales, pues al dividirlos nos daba como resultado la productividad anual.



Utilizamos la interpolación polinomial de tal manera que mediante el método de Lagrange y el método de diferencias divididas de newton nos resultó un mismo polinomio que nos permitió hallar la productividad de los años 2017 y 2018 de la pollería.



El método de Lagrange fue el método más corto para poder hallar el polinomio, sin embargo, el método de diferencias divididas de newton también es una buena opción por escoger.