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DEFINICIONES DE LA PROBABLIDAD Hugo Saavedra Saavedra Es de interés el cálculo de las probabilidades de los eventos asociados a un experimento aleatorio ξ y su espacio muestral Ω. A través de la historia del desarrollo de la teoría de la probabilidad se han considerado diferentes formas de asignar probabilidades respecto a la ocurrencia de un evento. A estas diferentes formas empleadas que se emplean para calcular la probabilidad de un evento algunos autores las denominan Enfoques, otros en cambio los llaman métodos. Nosotros los consideraremos como las definiciones que nos permiten calcular la probabilidad de los eventos aleatorios. Empezaremos con la definición clásica, luego la definición frecuentista, la definición subjetiva y, finalmente la definición Axiomática. 1. DEFINICIÓN CLASICA DE LA PROBABILIDAD 1.1. Definición. Sea ξ un experimento aleatorio cuyo espacio muestral Ω es un conjunto finito, es decir,

  1 ,2 ,3 ,...,n , en donde los n resultados son igualmente posibles,

equiprobables. La probabilidad de ocurrencia de un evento A   se define como:

P( A) 

# A Número elementos de A Número reultados favorables a A   #  Número elementos de  Número total de resultados posibles

El símbolo # representa la cardinalidad de un conjunto, #A es la cardinalidad del evento A (el número    de elementos del evento o suceso A. Esta definición o regla para calcular la probabilidad de un evento fue dada por el astrónomo y matemático francés Pierre-Simon Laplace. 1.2. Ejemplos. Ejemplo 1. Se lanzan un dado y una moneda para observar el número de puntos en el dado y el lado que muestra la moneda. Si usamos c = cara y s sello, para simbolizar los resultados de la moneda, el espacio muestral de este experimento es: Ω = { (1,c), (2,c), (3,c), (4,c), (5,c), (6,c), (1,s), (2,s), (3,s), (4,s), (5,s), (6,s) }, con #Ω = 12. Calcular las probabilidades de los eventos: 1) 2) 3) 4)

A: un número par en el dado. B: cara en la moneda y un número mayor o igual que cuatro en la moneda. C: cara en la moneda y cuatro en el dado D: sello en la moneda y un número menor o igual a cuatro en el dado.

Solución

1) A = { (2,c), (4,c), (6,c), (2,s), (4,s), (6,s) }.

P( A) 

#A = 6

#A 6   0.5 #  12

2) B = { (4,c), (5,c), (6,c) }, #B = 3

P( B) 

#B 3   0.25 #  12

3) C = { (c,4) },

P(C ) 

#C = 1

#C 1   0.083333 #  12

4) D = { (1,s), (2,s), (3,s), (s,4) },

P( D) 

#D = 4

#D 4   0.333333 #  12

Ejemplo 2. En una feria un juego consiste en lanzar 4 monedas indistinguibles de un sol. Cada moneda que caiga cara es recogida por el jugador y se le entrega una moneda adicional de un sol como premio. Por otro lado el jugador pierde toda moneda que caiga sello. 1) Determinar el espacio muestral. Todos los resultados de los montos de ganancias y pérdidas para el juego. 2) Calcular las probabilidades de los siguientes sucesos: a) A: gana por lo menos dos soles b) B: las ganancias son iguales a las pérdidas c) C: Las pérdidas superan a las ganancias d) D: pierde a lo más un sol Solución 1) Sea x=ganancia, y=pérdida, entonces Ω = { (x,y)/ x,y = 0, 1, 2, 3, 4 }, escrito por extensión es Ω = { (4,0), (3,1), (2,2), (1, 3), (0,4) }. 2) a)

A = { (2,2), (3,1), (4,0) }, #A = 3.

b)

B = { (2,2) },

#B = 1.

c)

C = { (1, 3), (0,4) },

#C = 2.

d)

D = { (4,0), (3,1) },

#D = 2.

#A 3   0.6 # 5 #B 1 P( B)    0.2 # 5 #C 2 P(C )    0.4 # 5 #D 2 P( D)    0.4 # 5 P( A) 

Como se observa en los ejemplos, el cálculo de la probabilidad de un suceso mediante la definición clásica requiere hacer el conteo del número de elementos del suceso y del espacio muestral, es decir

las cardinalidades del suceso y del espacio muestral. En los casos como los de los ejemplos es posible escribir el listado de los elementos del espacio muestral y de los eventos; sin embargo hay casos en los que resulta muy engorroso, impracticable o innecesario un procedimiento similar. En estos casos cardinalidades se pueden determinar usando las técnicas de enumeración (técnicas de contar) o el análisis combinatorio. 1.3. Propiedades de la Probabilidad Clásica La probabilidad clásica cumple con las propiedades siguientes: 1)

P ()  1

2)

P( A)  0

3) Si A y B son sucesos incompatibles, P( A  B)  P( A)  P( B) Esta propiedad se puede extender a un conjunto infinito de sucesos incompatibles.





Si A1, A2,…, An,… son eventos incompatibles dos a dos, entonces P   Ai   i 1 



 P( A ) . Dado i 1

i

que Ω es finito, el conjunto formado por todas sus partes, PΩ, o el conjunto potencia de Ω, (2 Ω ), tendrá un número finito de eventos, de modo que para tener la unión de infinitos sucesos será preciso considerar sucesos imposibles, Ai = Φ. 2. DEFINICIÓN FRECUENTISTA DE LA PROBABILIDAD 2.1. Definición. Si un experimento aleatorio ξ se repite n veces y un evento A y en nA de las veces ha ocurrido un determinado evento A, entonces la frecuencia relativa del evento A es

fA 

nA , en estas condiciones se define la probabilidad del evento A como n

P( A)  lim

n 

nA n

En la práctica no es posible calcular la probabilidad exacta de un evento aplicando esta definición, pues no es posible repetir un experimento infinitas veces. La idea valiosa es que al repetir el experimento un gran número de veces, la frecuencia relativa tiene a estabilizarse alrededor un número que vendría a ser la probabilidad del evento. La probabilidad frecuentista también se denomina probabilidad estadística o probabilidad experimental, pues permite estimar la probabilidad en lugar de calcular el valor exacto de la probabilidad de un evento. 2.2.

Ejemplo.

Sea ξ el experimento que consiste en lanzar una moneda, sea el evento A: se obtiene una cara. La siguiente tabla contiene las frecuencias absolutas, nA y las frecuencias relativas, fA, para diferentes números de repeticiones del experimento, la gráfica respectiva nos permite observar que al aumentar el número de repeticiones surge una regularidad, pues la frecuencia relativa oscila alrededor de 0.5, valor que se asume como la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda. Tabla de frecuencias relativas del evento A: se obtiene cara n 1 2 4 6 10 15 20 30 40 50 75 100 125 150 200 250 300 400 500

nA 0 1 3 2 8 8 12 13 17 22 40 50 57 78 93 133 166 216 233

fA 0.0000 0.5000 0.7500 0.3333 0.8000 0.5333 0.6000 0.4333 0.4250 0.4400 0.5333 0.5000 0.4560 0.5200 0.4650 0.5320 0.5533 0.5400 0.4660

n 600 700 800 900 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2700 3200 3700 4200 4700 5200 5500 10000

nA 283 338 397 460 506 622 703 762 916 987 1097 1325 1629 1810 2145 2358 2587 2738 5060

fA 0.4717 0.4829 0.4963 0.5111 0.5060 0.5183 0.5021 0.4763 0.5089 0.4935 0.4986 0.4907 0.5091 0.4892 0.5107 0.5017 0.4975 0.4978 0.5060

Gráfica de las frecuencias relativas de la ocurrencia de una cara al lanzar una moneda.

0.8 0.6 0.4 0.2 0

1 2 4 6 10 15 20 30 40 50 75 100 125 150 200 250 300 400 500 600 700 800 900 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2700 3200 3700 4200 4700 5200 5500 10000

Frecuencia relativa

1

Número de repeticiones del experimento

2.3. Propiedades de la Probabilidad Frecuentista La probabilidad frecuentista cumple las propiedades siguientes: 1) P(Ω) = 1 2) P(A) > 0 3) Si A y B son sucesos incompatibles, P( A  B)  P( A)  P( B)

3. PROBABILIDAD SUBJETIVA Existen muchos eventos cuya probabilidad no se puede calcular de acuerdo a las definiciones ya apuntadas, esto es, de acuerdo a los métodos convencionales. Por ejemplo, no se puede calcular la probabilidad de que en los próximos cinco años se pueda curar el SIDA, o que un niño determinado vaya a destacar como conductor de autos fórmula uno cuando sea adulto, o que el equipo de nuestra escuela gane el campeonato nacional de basquetbol el próximo año, u otros sucesos similares. Aquí no existe un espacio muestral finito, ni los elementos son igualmente posibles, ni se puede calcular la frecuencia relativa, ni hay forma de hacer intervenir los enunciados de la probabilidad axiomática. En estos casos la probabilidad dependerá del grado de credibilidad que una persona asigne subjetivamente a una opinión o creencia. Bajo este enfoque, dos personas pueden asignar valores diferentes para la ocurrencia de un mismo evento. También la probabilidad subjetiva cumple las propiedades: 1) P(A) = 0, probabilidad de que el evento no ocurrirá 2) P(A) = 1, probabilidad de que un evento ocurrirá con toda seguridad 3) 0 < P(A) < 1, grado de certeza de la ocurrencia de un evento Ejemplo. La probabilidad de que se produzca un sismo de más de 7 grados en la región Lambayeque es 0.50 (50%). Aunque parezca poco interesante, esta forma de asignar probabilidades a priori a los eventos se emplea en la estadística Bayesiana, para mejorar el cálculo de sus probabilidades basados en cierta información. 4. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LA PROBABILIDAD El matemático ruso Andrei Nikolaevich Kolmogorov, formuló la definición axiomática de la probabilidad en 1933. 4.1.

Definición

Sea (Ω, A ) un espacio medible asociado a un experimento aleatorio ξ, se define probabilidad o función de probabilidad a cualquier función P: A → R, esto es, para todo evento A ԑ A , P(A) → x ԑ R, si verifica los tres axiomas siguientes: Axioma 1. P(A) > 0 Axioma de no negatividad Axioma 2. P(Ω) = 1 Axioma de normatividad Axioma 3. Si A1, A2,… son elementos de A , eventos mutuamente incompatibles, esto es, Ai  A j  , para i  j

   P   Ai    P( Ai ) Axioma de aditividad. i 1  i 1 Espacio de probabilidad Definición. Un espacio de probabilidad es una terna (Ω, A , P) , en donde Ω es un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio ξ, A es un σ-álgebra de subconjuntos de Ω y P es una medida de probabilidad sobre A . Como puede verse, la definición axiomática no proporciona una regla diferente para asignar la probabilidad de ocurrencia de un evento, sino formaliza las propiedades que satisfacen tanto la probabilidad clásica como la frecuentista. PROBABILIDADES DE EVENTOS EN ESPACIOS MUESTRALES FINITOS. Sea ξ un experimento aleatorio cuyo espacio muestral Ω es un conjunto finito, es decir,

  1 ,2 ,3 ,..., I ,...,n , a cada uno de los sucesos simples le corresponde su

probabilidad Pi   pi , tal que satisface las siguientes condiciones: Pi > 0, para i = 1, 2, … , n

1) p i  0, n

2)

p i 1

i

para i  1, 2, ... , n

1

Si A es un evento con r resultados posibles del experimento, 1 < r < n, esto es,



A   j1 ,  j2 ,  j3 ,...,  jr

, donde j , j , j , …, j es un conjunto de r subíndices, que 1

2

3

r

pueden tomar valores 1, 2, 3, … , n, entonces r

P A   p ji  p j1  p j2  ...  p jr i 1

La probabilidad de ocurrencia de un evento A   se define como: NOTA. La probabilidad clásica es un caso particular de probabilidades en espacios muestrales finitos. Ejemplo. Supongamos que un experimento tiene 4 resultados posibles, cuyo espacio muestral sería

  1 ,2 ,3 ,4 , donde P1  p1 , P2   p2 , P3   p3 y P4   p4 siendo,

además p2 = 2p1, P3 = 4p2 y p4 = 5p1. 1) Calcular las probabilidades pi, i = 1, 2, 3, 4.

2) Calcular la probabilidad del evento A  1 ,4  3) Calcular la probabilidad de B  2 ,3 , 4  4)

P( A  B), P( A  B), P( A' ), P( A  B), P( A' B' )