Decimo - Semana Del 7 Al 11 De Abril

´ DE POLINOMIOS 1.4. FACTORIZACION

1.4.

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Factorizaci´ on de Polinomios

Objetivo. Efectuar la factorizaci´ on de polinomios en forma completa, mediante la combinaci´ on de m´etodos. Este a˜ no continuaremos con el tema de factorizaci´ on que iniciamos el a˜ no anterior, esta vez estudiaremos tres m´etodos de factorizaci´ on: Inspecci´ on F´ ormulas o Productos Notables F´ ormula General (o Calculadora)

1.4.1.

Factorizaci´ on por Inspecci´ on

El m´etodo de factorizaci´ on por inspecci´ on tambi´en recibe el nombre de prueba y error, pues para llegar al resultado debemos hacer justamente eso, probar una y otra vez hasta que lleguemos al resultado correcto. A continuaci´ on analizamos el m´etodo con algunos ejemplos: Se nos pide factorizar el polinomio x2 + 3x + 2, entonces debido a las caracter´ısticas del polinomio podemos usar el m´etodo de inspecci´ on. Es importante notar que para poder factorizar un polinomio por el m´etodo de inspecci´ on este debe ser un trinomio. El m´etodo consiste en encontrar dos n´ umeros que multiplicados den como reumeros que sultado el primer t´ermino (el que tiene x2 ), luego encontrar dos n´ ´ ltimo t´ermino (el que no tiene variable). multiplicados den como resultado el u ´ ltimo, para saber si los n´ Por u umeros escogidos en los dos pasos anteriores son los correctos, la combinaci´ on de ellos debe dar como resultado el t´ermino del centro. Continuemos con el ejemplo, x2 + 3x + 2 dos n´ umeros que multiplicados den como resultado x2 son sin duda, x y x x2 + 3x + 2 x x

P ○

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

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dos n´ umeros que multiplicados den como resultado 2, no necesariamente deben ser iguales, es f´ acil ver que son 1 y 2, positivos. x2 x x

+3x

+2 +1 +2

ahora, para poder asegurarnos si los n´ umeros escogidos son los correctos multiplicamos en equis y luego los sumamos. x2 x x

+3x

+2 +1 +2

x · 2 + x · 1 = 2x + 1x = 3x como resultado es igual al t´ermino del centro entonces los n´ umeros escogidos son los correctos. Escribimos la respuesta entonces, x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) El ejemplo anterior es muy sencillo, veamos otro de mayor nivel, factoricemos el polinomio x2 − x − 12. Comenzamos con la b´ usqueda de dos n´ umeros que multiplicados den como resultado x2 , x2 x x

−x

−12

ahora buscamos dos n´ umeros que multiplicados den como resultado −12, empecemos por los m´ as l´ ogicos 2 y 6. Uno de ellos debe ser negativo, como el t´ermino del centro es negativo entonces el mas grande de ellos debe ser el negativo x2 x x

−x

−12 +2 −6

para asegurarnos de que los n´ umeros escogidos son los correctos, multiplicamos en equis y luego los sumamos x2 x x

−x

−12 +2 −6

´ DE POLINOMIOS 1.4. FACTORIZACION

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−6 · x + 2 · x = −6x + 2x = −4x el resultado no es igual que el t´ermino del centro, por tanto lo n´ umeros escogidos no son los correctos, as´ı volvemos al segundo paso (prueba y error). Pensando un poco m´ as vemos que otros dos n´ umeros que multiplicados den como resultado −12 son 3 y 4, el 4 debe ser negativo, pues el t´ermino del centro es negativo. x2 x x

−x

−12 +3 −4

multiplicamos en equis y luego los sumamos x2 x x

−x

−12 +3 −4

−4 · x + 3 · x = −4x + 3x = −1x el resultado es igual al t´ermino del centro, por tanto los n´ umeros escogidos son los correctos, escribimos la respuesta de la factorizaci´ on x2 − x − 12 = (x + 3)(x − 4) ´ ltimo, vamos a examinar un ejemplo de mayor nivel que los anteriores. Por u Factoricemos el polinomio 6x2 − 31xy + 18y 2 . Comenzamos buscando dos n´ umeros que multiplicados den como resultado 6x2 . Existen varios casos, 3x y 2x es uno de ellos, pero tambi´en podr´ıamos usar 6x y 1x. Usemos 3x y 2x. 6x2 3x 2x

−31xy

+18y 2

ahora buscamos dos n´ umeros que multiplicados den como resultado 18y 2 , exis´ 1y y 18y. Usaremos la primera opci´ ten varias opciones: 2y y 9y, 3y y 6y o on. ´ ltimo es Aqu´ı debemos notar que como el t´ermino del centro es negativo, y el u positivo entonces los n´ umeros deben llevar signo negativo, como se ve a continuaci´ on 6x2 3x 2x

−31xy

+18y 2 −9y −2y

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

38 multiplicamos en equis y sumamos 6x2 3x 2x

−31xy

+18y 2 −9y −2y

3x · −2y + 2x · −9y = −6xy + −18xy = −24xy el resultado es diferente, por tanto la escogencia no es la correcta. Antes de volver al paso dos y probar otras opciones, invirtamos el orden de uno de los pares de n´ umeros, 6x2 3x 2x

−31xy

+18y 2 −2y −9y

3x · −9y + 2x · −2y = −27xy + −4xy = −31xy en este caso dio resultado, y ya estamos listos para poder dar una respuesta 6x2 − 31xy + 18y 2 = (3x − 2y)(2x − 9y) Para entender mejor el m´etodo debemos practicar. A continuaci´ on.

Pr´ actica # 12

Factorice los siguientes polinomios por inspecci´ on. 1. x2 + 7x + 10

11. y 2 − 12y + 11

2. x2 − 5x + 6

12. x2 − 7x − 30

3. a2 + 4a + 3

13. n2 + 6n − 16

4. y 2 − 9y + 20

14. 20 + a2 − 21a

5. x2 − 6 − x

15. −30 + y + y 2

6. x2 − 9x + 8

16. 28 + a2 − 11a

7. c2 + 5c − 25

17. n2 − 6n − 40

8. a2 + 7a + 6

18. x2 − 5x − 36

9. 12 − 8n + n2

19. a2 − 2a − 35

10. a2 + 10x + 21

20. x2 + 15x + 56

´ DE POLINOMIOS 1.4. FACTORIZACION

Tarea # 12

Factorice los siguientes polinomios por inspecci´ on. 1. a2 + 33 − 14a

11. m2 − 41m + 400

2. c2 − 13c − 14

12. a2 + a − 380

3. x2 − 15x + 54

13. x2 + 12x − 364

4. a2 + 7a − 60

14. a2 + 42a + 432

5. x2 − 17x − 60

15. m2 − 30m − 675

6. x2 + 8x − 180

16. y 2 + 50y + 336

7. m2 − 20m − 300

17. x2 − 2x − 528

8. x2 + x − 132

18. n2 + 43n + 432

9. m2 − 2m − 168

19. c2 − 4c − 320

10. c2 + 24c + 135

20. m2 − 8m − 1008

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