Decimo

Matem´ atica de D´ecimo Mauricio Ram´ırez Herrera

2

Cap´ıtulo 1

´ Algebra ´lgebra es la base de concepto mas avanzados de la matem´ El a atica como las ´lgebra lineal, ecuaciones difunciones y las matem´ aticas superiores (c´ alculo, a ferenciales o m´etodos num´ericos). ´lgebra para Es por eso que es necesario un manejo adecuado y preciso del a lograr el manejo adecuado de los contenidos de D´ecimo y Und´ecimo. ´lgebra comenz´ El estudio del a o en octavo y es por eso que es necesario revisar algunos conocimientos previos para luego introducir los conceptos nuevos.

1.1. 1.1.1.

Conocimientos previos Monomios, binomios, trinomios y polinomios

Recordemos que una expresi´ on algebraica es aquella que esta formada por n´ umeros, letras y signos de operaci´ on y agrupaci´ on. Por ejemplo, 3x x √ −5 x+3 5(x2 − 7) son expresiones algebraicas. La m´ as simple de ellas es el monomio, que pasamos a definir ahora. 3

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

4 Monomios

Los monomios son expresiones algebraicas formadas por letras y numeros que se estan multiplicando. Debemos, aclarar que es necesario que las letras est´en todas en el numerador. Los n´ umeros si pueden aparecer tanto en el numerador como en el denominador. As´ı, 3x es un monomio, pero pero

5m3 no lo es. 2n7

3 5 no lo es. De igual forma, m3 n7 es un monomio, x 2

Binomios Los monomios son expresiones algebraicas formadas por dos monomios unidos por la suma o la resta. Por ejemplo, 3x − 4y es un binomio. Lo mismo sucede para 5m + 7n2 m4 . Es importante notar que

7 7 1 2 7 1 x − y es un binomio, pero x7 − 2 no lo es. 9 6 9 6y

¿Sabe por qu´e?1

Trinomios Es la expresi´ on algebraica formada por tres monomios, unidos por suma o resta. Los trinomios puede ser de la forma, 2x − 4y + 7 2 + 5m − 8n 6y + 9z + 7a 3 − 8p − 10w

Polinomios Por definici´ on, los polinomios son cuatro o mas monomios que estan unidos por suma o resta. Ejemplos de polinomios son, 3x2 + 5x3 − 6y + 7x 9x − 4y + 7p − 5 1

1 no es un monomio, y los binomios son dos monomios unidos por suma o resta. 6y 2

1.1. CONOCIMIENTOS PREVIOS

5

Por convenci´ on de ahora en adelante, cuando se utilice el t´ermino polinomios nos referiremos a los monomios, binomios y trinomios tambi´en.

Pr´ actica # 1 Si la expresi´ on dada es un polinomio, clasifiquela seg´ un el n´ umero de t´ermino que la componen. 1. 5n2 + n + 6 2. −6xy 2 − 2x + 3xy + 1 4x + y 3 b 4. 4a2 − 2 3.

10. 12−5 u2 w5

5. 5c−3 + 13c3 + 9 6.

11x · y 4 8

1.1.2.

−2 + n · y3 + 4 3a−1 √ 8. a 9 + 6b + 13ab √ 9. −7 x + a3 ÷ 5 + 11 7.

x2 3 − 2x3 + + 15x + x5 2 5 √ 12. x3 − 7x4 + 2x − 1 11. −

T´ erminos semejantes

Cuando se solicita encontrar t´erminos semejantes debemos fijarnos en las letras 1 y sus exponentes, deben ser iguales ambos. Por ejemplo, 3m y m son dos 7 t´erminos semejantes. Por otro lado, 12m y 14m3 no son t´erminos semejantes, pues aunque ambos tienen la letra m, los exponentes son diferentes. 2 3 2 n m , aunque el orden de 8 las letras no es el mismo, son las mismas letras y los mismos exponentes.

Otro ejemplo de t´erminos semejantes es 5m2 n3 y

No obstante, debemos tener cuidado con expresiones como 4a7 b5 y 9a5 b7 , por que aunque las letras son las mismas y est´ an en el mismo orden, los exponentes est´ an invertidos.

1.1.3.

Suma y resta algebraica

Para sumar o restar expresiones algebraicas debemos tener claro que solo pueden sumarse los t´erminos semejantes. Veamos un ejemplo, 2x + 5y 2 − 3x2 + 6x3 + 12y 2 − 9x + −18x2 + 7x3

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

6 se identifican los t´erminos semejantes y se juntan

2x − 9x + 5y 2 + 12y 2 − 3x2 + −18x2 + 6x3 + 7x3 ahora realizamos las operaciones como ya conocemos, respetando las operaciones de signos opuestos −7x + 17y 2 − 21x2 + 13x3 As´ı se termina la operaci´ on pues los t´erminos que resultan no son semejantes.

Pr´ actica # 2 Realice las siguientes sumas y restas. 1. 4x + 5x

11. 5a + 7a + 4a

2. −11x2 + 7x2

12. 4x + 5x − 2x + x

3. hn − 6hn

13. −12a − 8a + 4a + a

4. 4y 3 +

17y 3

3

14. 9x − 8y + 5y − 2x

5. 8ab − 9ab

15. 14x − x − 17y + 4x − y + 23x − 16y

6. 4z + 12z + 7z

16. 7x + 4x2 + 5x + 9x2

7.

2x x − 2x − 2 3

17. 2, 5a − 0, 4a − 3, 6a + 4a

8. 3a + 3a2 + a2

18. −a + 7, 1a + 2a − 3, 5a

9. 7ab + 3ab − ab2 + 10ab2

19.

10.

1 1 y − x − 2y − 4x 2 3

2 3 1 2 a+ b−a−b+ a− b 3 4 6 5

20. a3 − a2 + 4a3 − a2 + a2 b − 2a2 b

Tarea # 1 Realice las siguientes sumas y restas. 1. m + 2m

6. a2 + b2 − 2b2 − 3a2 − a2 + b2

2. a + 2a + 9a

7. x2 yz + 3xy 2 z − 2xyz 2 − 3xy 2 + xyz 2 − x2 yz

3. m2 − 2m2 − 7m2 2 2

2 2

8. 2pq + 3p − 12q − 15q + 7pq − 13p 2 2

4. 6x y − 12x y + x y 5. 3a − 2b − 5b + 9a

9. 2x − 6y − 3x − 3y − 5y 10. 15a + 13a − 12b − 11a − 4b − b

1.1. CONOCIMIENTOS PREVIOS

1.1.4.

7

Multiplicaci´ on algebraica

Para multiplicar polinomios no es necesario que estos tengan t´erminos semejantes. Es importante recordar una propiedad que se aprendi´ o en octavo. La propiedad dice Multiplicaci´ on de potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. ab · ac = ab+c Adem´ as de la propiedad es necesario recordar que al multiplicar dos polinomios los n´ umeros se multiplican entre si y las variables entre si. Un ejemplo nos ayudar´ a a entenderlo 5x · 6m (5 · 6)(x · m) 30mx En este caso las variables son diferentes, ahora veremos un ejemplo donde las variables son las mismas. 12m3 n2 · 5a2 m7 (12 · 5)(m3 n2 · a2 m7 ) (60)(m3 · m7 )(a2 n2 ) 60a2 n2 m3+7 60a2 m10 n2 Ahora, conforme aumentamos la cantidad de t´erminos que forman uno o ambos polinomios, debemos agregar una propiedad estudiada en octavo llamada la propiedad distributiva, Toda expresi´ on algebraica frente a un par´entesis lo multiplica y a su vez multiplica cada uno de los t´erminos que se encuentran dentro del par´entesis. a(b + c) a · (b + c)

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

8 a·b+a·c ab + ac Veamos un ejemplo, 3x(x + 5) 3x · (x + 5) 3x · x + 3x · 5 3x2 + 15x

Otro ejemplo de este tipo de operaci´ on es el siguiente, 5a2 b3 (4a5 + 6b5 − 10) 5a2 b3 · 4a5 + 5a2 b3 · 6b5 − 5a2 b3 · 10 20a7 b3 + 30a2 b8 − 50a2 b3 En ocasiones los dos polinomios a multiplicar son mas complejas, como lo muestra el ejemplo siguiente: (x + 4)(x − 3) usamos la propiedad distributiva, (x + 4) · x − (x + 4) · 3 x(x + 4) − 3(x + 4) aplicamos nuevamente la propiedad distributiva, x · x + x · 4 − 3 · x + −3 · 4 x2 + 4x − 3x − 12 ahora restamos los t´erminos semejantes, x2 + x − 12

1.1. CONOCIMIENTOS PREVIOS

9

Un segundo ejemplo antes de pasar a la pr´ actica, (2x + 3)(5x + 4) aplicamos la propiedad distributiva por primer vez, (2x + 3) · 5x + (2x + 3) · 4 5x(2x + 3) + 4(2x + 3) aplicamos por segunda vez la propiedad distributiva, 5x · 2x + 5x · 3 + 2x · 4 + 3 · 4 10x2 + 15x + 8x + 12 ahora simplificamos la expresi´ on obtenida, 10x2 + 23x + 12 y este es el resultado de la operaci´ on.

Pr´ actica # 3 Realice las siguientes multiplicaciones. 1. (a − 1)(a + 7) 2. (2x + 4)(5x + 3)

12.

x 2

+ 4n



7n 4x + 6



3. (6y − 5)(2y − 3)

13. (a2 b + 5)(a2 b − 10)

4. (5m − 4)(5m + 4)

14. (3yx − 4x2 )(yx − x2 )

5. (3n2 + 7)(3n2 + 7)

15. (8xy 3 + x4 )(5x3 y − y 4 )

6. (−3w2 − 4)(w2 + 1)

16. (x + 6)(2x2 + 5x + 7)

7. (4h − p)(2h − 5p) 8. (−2a4 + c)(3a4 − 5c) 9. (5kh3 − kh)(5h2 − 1)  3  3  k 1 3k 10. − + 10 5 3 2    2 1 11. x − 2a 14x − a 7 2

17. (5a3 − 2a)(5a2 − 4 + 7a)    2x x 18. − 1 2x2 − − 6 3 2    5x 3x 19. y + − xy 4y − 2 10 20. (5m2 + 2n)(3m + 7n3 − 2)

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

10

Tarea # 2 Realice las siguientes multiplicaciones. 1. (x4 − 4c2 )(2x2 − 3 − 4c)

6. (m2 + mn + n2 )(m − n)

2. (3p − k)(3p − k + 1)

7. (q 2 − q + 3)(q 2 − 3)

3. (5m2 + m + 6)(2m − 3) 4. (5p − 3m + 1)(2p − 3m) 5. (y 2 − 5y + 25)(y + 5)

8. (5ac2 + 4a + 2c)(5ac2 − 1) 9. (w2 n − 6wn − 4n)(2w2 + 5)    w2 9 w 10. −5w − − − w2 2 2 3

Tarea # 3 Halle los productos indicados. 1. (2m2 + 5m − 1)(2m2 − 5m − 1)

6. 2kc(k + 3c)(k 2 − c)

2. (7h2 − 5h + 6)(h2 + 2h − 4)

7. (a − 1)(a + 1)(2a − 3)

3. (2m2 n + n − 3mn)(4m2 + 1 − 3m)

8. (2b − 5a)(3a + b)(a − 2b)

4. x4 (4w2 + 7w + 5)(3w − 2)

9. (3k 2 + 2)(3k 2 + 2)(k − 1)

5. −2x(5x2 − x + 3)(2x − 3)

1.1.5.

10. (y + 1)(y 3 + y 2 − y + 1)

Productos notables

Tambi´en se les conoce como f´ ormulas notables. Hasta ahora conocemos solo tres. Repasaremos cada uno de estos productos notables, durante este a˜ no aprenderemos cinco f´ ormulas notables m´ as.

Primer Producto Notable Se identifica por su forma caracter´ıstica ´ (a + b)(a + b) (a + b)2 o Para poder desarrollarla debemos aprendernos la siguiente f´ ormula: Primer t´ermino elevado al cuadrado m´ as dos veces el primer t´ermino por el segundo t´ermino m´ as el segundo t´ermino elevado al cuadrado

1.1. CONOCIMIENTOS PREVIOS

11

Simb´ olicamente, esto se representa de la siguiente forma (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Veamos un ejemplo de c´ omo desarrollar el primer producto notable. (x + 1)2 ac´ a podemos ver que el primer t´ermino es x y el segundo t´ermino es 1, sigamos entonces la f´ ormula primer t´ermino elevado al cuadrado, x2 m´ as dos veces el primer t´ermino por el segundo t´ermino, x2 + 2 · x · 1 m´ as el segundo t´ermino elevado al cuadrado, x2 + 2 · x · 1 + 12 finalmente el resultado simplificado seria x2 + 2x + 1 Antes de pasar a la pr´ actica veamos un segundo ejemplo. Analicemos el producto notable (2x + 7y)2 el primer t´ermino es 2x y el segundo t´ermino es 7y, siguiendo la f´ ormula tenemos primer t´ermino elevado al cuadrado2 , (2x)2 m´ as dos veces el primer t´ermino por el segundo t´ermino, 2 Cuando

el t´ ermino tiene dos elementos debe encerrarse entre par´ entesis.

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

12 (2x)2 + 2 · 2x · 7y m´ as el segundo t´ermino elevado al cuadrado,

(2x)2 + 2 · 2x · 7y + (7y)2 finalmente el resultado simplificado seria 4x2 + 28xy + 49y 2

Pr´ actica # 4 Desarrolle los siguientes productos notables. 2 2 6. + 12k 5 2  2 2x +1 7. 7  3 2 y 4 8. + 2 5

1. (m + 5)2



2. (2n + 3)2 3. (7 + 5m3 )2 4. (a5 + 9)2 5. (8b2 + 6)2

Tarea # 4 Desarrolle los siguientes productos notables. 1. (3y 2 + x)2

5. (p2 + 4q)2  2 1 1 2 6. n+ k 6 13  3 2 2 3m n 7. + 5m4 8

2. (z 2 a + 2)2 3. (4q + 3h4 )2 4. (3u3 + t)2

Segundo Producto Notable Aunque es muy similar al primer producto notable, ´este se identifica por que los t´erminos no est´ an unidos por suma, m´ as bien los une el s´ımbolo de resta ´ (a − b)(a − b) (a − b)2 o

1.1. CONOCIMIENTOS PREVIOS

13

Para poder desarrollarla debemos aprendernos la siguiente f´ ormula: Primer t´ermino elevado al cuadrado menos dos veces el primer t´ermino por el segundo t´ermino m´ as el segundo t´ermino elevado al cuadrado Simb´ olicamente, esto se representa de la siguiente forma (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 Veamos un ejemplo de c´ omo desarrollar el primer producto notable. (x − 5)2 es sencillo ver que el primer t´ermino es x y el segundo t´ermino es 5, sigamos entonces la f´ ormula3 primer t´ermino elevado al cuadrado, x2 menos dos veces el primer t´ermino por el segundo t´ermino, x2 − 2 · x · 5 m´ as el segundo t´ermino elevado al cuadrado, x2 − 2 · x · 5 + 5 2 finalmente el resultado simplificado seria x2 − 10x + 25 ´ ltimo, analicemos otro ejemplo. Para el producto notable Por u (3m − 4n)2 el primer t´ermino es 3m y el segundo t´ermino es 4n, siguiendo la f´ ormula tenemos 3 El

segundo t´ ermino no incluye el (-), solo el 5.

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

14 primer t´ermino elevado al cuadrado4 , (3m)2

menos dos veces el primer t´ermino por el segundo t´ermino, (3m)2 − 2 · 3m · 4n m´ as el segundo t´ermino elevado al cuadrado, (3m)2 − 2 · 3m · 4n + (4n)2 finalmente el resultado simplificado seria 9m2 − 24mn + 16n2

Pr´ actica # 5 Desarrolle los siguientes productos notables. 1. (a − 6)2 2. (x3 − 5)2 3. (2u − 13)2 4. (k 6 − 4)2 5. (1 − 9h4 )2

 2 1 6. 4u − 3  2 5 x 7. − 2 3 2  a2 3 8. 7z − 5

Tarea # 5 Desarrolle los siguientes productos notables. 1. (3c − y 2 )2 2. (m − 12y 4 )2 3. (h3 − 14)2 4. (11 − np)2 4 Recuerde,

5. (2xm2 − 5)2  2 15 y 6. − 4 2  2 3 2 m n 1 7. − 3 5

cuando el t´ ermino tiene dos elementos debe encerrarse entre par´ entesis.

1.1. CONOCIMIENTOS PREVIOS

15

Tercer Producto Notable Es el m´ as f´ acil de identificar y la m´ as f´ acil de desarrollar, se identifica por dos binomios encerrados entre par´entesis, en uno de ellos los t´erminos est´ an unidos por el s´ımbolo de suma y en el otro los t´erminos est´ a unidos por el s´ımbolo de resta (a + b)(a − b) tambien puede ser (a − b)(a + b) Para poder desarrollarla debemos aprendernos la siguiente f´ ormula: Primer t´ermino elevado al cuadrado menos el segundo t´ermino elevado al cuadrado Simb´ olicamente, esto se representa de la siguiente forma (a − b)(a + b) = a2 − b2 Veamos un ejemplo de c´ omo desarrollar el primer producto notable. (x − 13)(x + 13) es sencillo ver que el primer t´ermino es x y el segundo t´ermino es 13, sigamos entonces la f´ ormula, primer t´ermino elevado al cuadrado, x2 menos el segundo t´ermino elevado al cuadrado, x2 − 132 finalmente el resultado simplificado seria x2 − 169 Analicemos un segundo ejemplo, para el producto notable (5x + 7y)(5x − 7y)

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

16

el primer t´ermino es 5x y el segundo t´ermino es 7y, siguiendo la f´ ormula tenemos primer t´ermino elevado al cuadrado5 , (5x)2 menos el segundo t´ermino elevado al cuadrado, (5x)2 − (7y)2 finalmente el resultado simplificado seria 25x2 − 49y 2

Pr´ actica # 6 Desarrolle los siguientes productos notables. 1. (5w + 1)(5w − 1)

6. (17 + y 2 )(y 2 − 17)

2. (2a + 4)(2a − 4)

7. (1 − k 4 )(k 4 + 1)

3. (11b − 7)(11b + 7)

8. (−3m + 12)(12 + 3m)

4. (3y 2 + 1)(3y 2 − 1)

9. (−5n + 2)(5n + 2) 10. (y 3 − 8)(y 3 + 8)

5. (4n + 3)(3 − 4n)

Tarea # 6 Desarrolle los siguientes productos notables. 1. (3m3 − 5h)(3m3 + 5h)



1 6c3 − 9 5



a3 − 13n 6

6.

2. (4x − 10h2 )(4x + 10h2 ) 3. (2xy 2 + 3y 4 )(2xy 2 − 3y 4 ) 5

3

5

4. (4z + zp )(4z − zp ) w  w  5. + 3b6 − 3b6 8 8

5 Recuerde,

7.

3

 8.

5−



1 6c3 + 9 5



2wx2 11



a3 + 13n 6



  2wx2 5+ 11

cuando el t´ ermino tiene dos elementos debe encerrarse entre par´ entesis.

1.1. CONOCIMIENTOS PREVIOS

1.1.6.

17

Factorizaci´ on

En noveno se introdujo el tema de factorizaci´ on de polinomios. Fue en este a˜ no que se inicia su estudio, m´ as en d´ecimo continuaremos estudiando otras t´ecnicas de factorizaci´ on m´ as avanzadas. A continuaci´ on repasaremos la factorizaci´ on por factor com´ un.

Factorizaci´ on por el m´ etodo de factor com´ un Como su nombre lo indica debemos encontrar los elementos que tienen en com´ un los t´erminos involucrados en el polinomio. Por ejemplo, 5x − 5y es f´ acil ver que los dos t´erminos comparten un elemento en com´ un por tanto su “factor com´ un” es el 5. Otro ejemplo, para el polinomio 3xy − 4xy 2 + 5x2 y el elemento que tienen en com´ un los t´erminos del polinomio no es num´erico, m´ as bien es literal6 , como vemos todos los t´erminos tienen la letra x y la letra y. Hasta ahora no hemos hecho m´ as que reconocer o identificar el “factor com´ un” de los polinomios estudiados, pero no hemos factorizado ninguno de ellos. A continuaci´ on detallaremos el m´etodo, paso a paso. Paso 1. Encontrar el factor comun. Debemos cumplir con dos criterios: (1) Se ´ N DIVISOR de los coeficientes de cada t´ermino del policalcula el M´INIMO COM U nomio. (2) Se toman las letras que aparecen en todos los t´erminos del polinomio, si tienen exponentes diferentes se debe tomar la letra de menor exponente. El resultado de (1) y (2) es nuestro factor com´ un. Paso 2. Se divide el polinomio original entre el factor com´ un obtenido en el paso 1. Paso 3. El resultado del paso 2 se coloca entre par´entesis, y frente a ´el el resultado del paso 1. Veamos algunos ejemplos. 6 Literal

se refiere a las letras o variables que tiene el polinomio.

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

18

Factorice 5x2 y 3 − 15m7 y 6 . Sigamos uno a uno los pasos del m´etodo Paso 1. Encontrar el factor com´ un. Debemos cumplir con dos criterios: (1) Se ´ N DIVISOR de los coeficientes de cada t´ermino del policalcula el M´INIMO COM U nomio. Los coeficientes del polinomio son 5 y 15, encontramos el m.c.d. de la siguiente forma: 5 1

15 3 m.c.d.

5 5

Entonces el m.c.d. de los coeficiente es 5. Ahora, (2) Se toman las letras que aparecen en todos los t´erminos del polinomio, si tienen exponentes diferentes se debe tomar la letra de menor exponente. Aunque en el polinomio aparecen tres letras x, y y m, es importante ver que la ´ nica que aparece en ambos t´erminos es la y, por tanto para el factor com´ u un debe considerarse solo a esta. Ahora en el primer t´ermino aparece y 3 y en el segundo t´ermino y 6 , ¿Cu´ al se escoge? El de menor exponente: y 3 Al juntar los resultados de (1) y (2) obtenemos nuestro factor com´ un 5y 3 Paso 2. Se divide el polinomio original entre el factor com´ un obtenido en el paso 1. 5x2 y 3 15m7 y 6 − 5y 3 5y 3 6 5x2 6 y 3 6 153 m7 6 y 6 − 3 6 51 6 y 6 51 6 y 3

3

x2 − 3m7 y 3 Paso 3. El resultado del paso 2 se coloca entre par´entesis, (x2 − 3m7 y 3 ) y frente a ´el el resultado del paso 1. 5y 3 (x2 − 3m7 y 3 )

1.1. CONOCIMIENTOS PREVIOS

19

Ahora factoricemos el polinomio 12a2 b7 − 18a8 b5 + 24a3 b10 . Volvamos a repasar uno a uno los pasos del m´etodo ´ N DIVISOR de Paso 1. Encontrar el factor com´ un. (1) Se calcula el M´INIMO COM U los coeficientes de cada t´ermino del polinomio. Esta vez los coeficientes del polinomio son 12, 18 y 24, encontramos el m.c.d. de la siguiente forma: 12 6 2 m.

18 9 3 c.

24 12 4 d.

2 3 2·3=6

Entonces el m.c.d. de los coeficiente es 6. Ahora, (2) Se toman las letras que aparecen en todos los t´erminos del polinomio, si tienen exponentes diferentes se debe tomar la letra de menor exponente. En este polinomio aparecen las letras a y b, en ambos t´erminos, pero con diferentes exponentes, para el factor com´ un debe considerarse solo los de menor exponente: a2 b5 Al juntar los resultados de (1) y (2) obtenemos nuestro factor com´ un 6a2 b5 Paso 2. Se divide el polinomio original entre el factor com´ un obtenido en el paso 1. 12a2 b7 18a8 b5 24a3 b10 − + 6a2 b5 6a2 b5 6a2 b5 2b2 − 3a6 + 4ab5 Paso 3. El resultado del paso 2 se coloca entre par´entesis, (2b2 − 3a6 + 4ab5 ) y frente a ´el el resultado del paso 1. 6a2 b5 (2b2 − 3a6 + 4ab5 )

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

20 ´ ltimo factoricemos Por u

14 5 21 2 2 ab + a b . Una vez m´ as seguimos los pasos del 5 5

m´etodo Paso 1. Encontrar el factor com´ un. Debemos cumplir con dos criterios: (1) Se ´ N DIVISOR de los coeficientes de cada t´ermino del policalcula el M´INIMO COM U nomio. 14 21 y . Al ser fracciones encontraremos el 5 5 m.c.d. para el denominador y el numerador de cada fracci´ on por separado, as´ı: Los coeficientes del polinomio son

14 2

5 1

21 3 m.c.d.

7

5 1 m.c.d.

5

Entonces el m.c.d. de los coeficiente es

7

5

7 . 5

Ahora, (2) Se toman las letras que aparecen en todos los t´erminos del polinomio, si tienen exponentes diferentes se debe tomar la letra de menor exponente. En el polinomio aparecen las letras a y b, en ambos t´erminos, por tanto para el factor com´ un se consideran las dos letras, con el menor exponente: ab2 Al juntar los resultados de (1) y (2) obtenemos nuestro factor com´ un 7 2 ab 5 Paso 2. Se divide el polinomio original entre el factor com´ un obtenido en el paso 1. 14 5 5 ab 7 2 5 ab

+

21 2 2 5 a b 7 2 5 ab

14 · 5ab5 21 · 5a2 b2 + 2 5 · 7ab 5 · 7ab2 70ab5 105a2 b2 + 2 35ab 35ab2 2b3 + 3a

1.1. CONOCIMIENTOS PREVIOS

21

Paso 3. El resultado del paso 2 se coloca entre par´entesis, (2b3 + 3a) y frente a ´el el resultado del paso 1. 7 2 3 ab (2b + 3a) 5

Pr´ actica # 7 Desarrolle los siguientes productos notables. 1. 4x + 4y

7. 24xy 2 − 27x2 y

2. 11c2 − 4c5

8. 14u3 + 27u3 n

3. 10a + 35b3

9. 35xz − 50xz 2 −48kh3 32k 3 h − 7 21

4. 2n − 10m4

10.

5. 3z 2 + 6z 3

11. 2x3 − 4x2 − 5x

6. 24m3 + 12m

12. n2 + 4n − 16n4

Tarea # 7 Desarrolle los siguientes productos notables. 1. 6z 3 + 12z 2 + 15

6. 25a2 b3 + 5a2 b − 30a3 b2

2. −33m + 121n + 66n2

7. 5m3 c4 − 55m3 c3 − 10mc

3. 15x2 − 45xy + 65y 2 4. 3y 3 − 6y 2 + 9y 5. 4w3 z − 2w2 z − 14w2 z 3

8.

4 7 1 5 a − a2 b2 + a5 b2 66 21 9

9. 0, 9u3 k 2 +

2u2 k 2 + 0, 3uk 3 10