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Deber 5 ´ Algebra Lineal Prof. Dr. Joseph P´aez Ch´avez II T´ermino 2009–2010

Problema 1. Encuentre n´ ucleo, recorrido, rango y nulidad de las siguientes matrices: µ ¶ −1 3 2 (i) . 2 −6 −4   1 0 1  −1 1 0   (ii)   2 4 6 . 3 3 6

Problema 2. Sean B1 = {v1 , v2 , v3 , v4 } y B2 = {u1 , u2 , u3 , u4 } bases de un espacio vectorial V , tales que:

Sean v, w ∈ V , tales que [v]B1

u1 = 3v1 + 5v2 + 2v4 , u2 = 3v1 + 6v2 + 4v3 + 3v4 , u3 = −4v1 + v2 + 2v3 + 3v4 , u4 = −3v1 + v2 + v3 + 2v4 .     1 0  0   4     =  1  y [w]B2 =  2 . Encuentre [2v + 3w]B2 . −1 1

Problema 3. Sea V = C[0, 1]. Sea H un subespacio de V con bases B1 = {−2 cos(2x), 1} y B2 = {cos2 (x), cos(2x)}. Encuentre AB1 B2 . Mediante AB1 B2 calcule [sin2 (x)−4]B2 y verifique que las coordenadas obtenidas son correctas. Problema 4. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: (i) Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n. Sea B una base de V . Entonces: 1

(a) ∀v1 , v2 ∈ V : [v1 + v2 ]B = [v1 ]B + [v2 ]B . (b) ∀α ∈ R, ∀v ∈ V : [αv]B = α[v]B . (ii) Sea V un espacio vectorial de dimensi´on 2. Sean B1 , B2 bases de V . Entonces, la matriz de cambio de base AB1 B2 ∈ M2×2 es la u ´ nica matriz en M2×2 que cumple: ∀v ∈ V : [v]B2 = AB1 B2 [v]B1 . Ayuda: Asuma que existe otra matriz P ∈ M2×2 que cumple que ∀v ∈ V : [v]B2 = P [v]B1 . Manipulando estas relaciones, concluya que necesariamente P = AB1 B2 . (iii) Sea S = {v1 , v2 , . . . , vk }, k ≥ 1, un subconjunto de un espacio vectorial V . Entonces, S es una base de V , si y s´olo si cada vector de V es expresado de manera u ´nica como una combinaci´on lineal de los vectores de S. (iv) Sean H, U subespacios de un espacio vectorial V , con bases BH de H y BU de U . Entonces, BH ∩ BU es una base de H ∩ U . (v) Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n con bases B1 , B2 y B3 . Entonces, AB1 B3 = AB1 B2 AB2 B3 .

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