Deber%2b1

Deber 1 ´ Algebra Lineal Prof. Dr. Joseph P´aez Ch´avez II T´ermino 2009–2010

Problema 1. Determine cu´ales de los siguientes conjuntos, con las operaciones definidas, constituyen un espacio vectorial:  (i) V = (x, y) ∈ 2 : x2 + y 2 ≤ 1 1 .

R

(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ), α · (x, y) = (αx, αy), α ∈ .

R

Ilustre los axiomas S1 , S5 y M1 mediante un gr´afico.  (ii) V = (x, y, z) : x ∈ , y ∈ + , z ∈ .

R

R

R

(x1 , y1, z1 ) + (x2 , y2 , z2 ) = (x1 + x2 , y1 y2 , z1 + z2 + 1), α · (x, y, z) = (αx, y α, αz + α − 1), α ∈

R.

Problema 2. Sea V un espacio vectorial. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta indicando qu´e axiomas o teoremas utiliza en su an´alisis: (i) ∀u, v ∈ V, ∀α ∈ (ii) ∀r, s ∈

R : α · u = α · v ⇒ u = v.

R, ∀v ∈ V, v 6= 0V : r · v = s · v ⇒ r = s.

(iii) Sean x, y dos vectores cualquiera de V . Entonces existe un vector z tal que x + z = y. Adem´as, z es el u ´ nico vector en V que satisface (1). (iv) El vector nulo es u ´ nico. (v) ∃(−v) ∈ V, ∀v ∈ V : v + (−v) = 0V . 1

Puntos dentro de la circunferencia de radio 1, incluyendo los puntos de la circunferencia.

1

(1)