Deber Resis Segundo Parcial.docx

Universidad Politécnica Salesiana

Facultad de Ingeniería

Carrera de Ingeniería Mecánica

Resistencia de materiales

Esfuerzos Combinados

Integrantes: Diego Ortega Eduardo Condor Andrés Acuña Richard Orta Jonny Condolo

Nivel: 6

Grupo: 1

Docente: Nancy Moreno

Introducción Para la realización de este informe, con el tema principal de esfuerzos combinados tomando en cuenta los diferentes aspecto que tiene este tipo de método para calcular las diferentes fuerzas aplicadas a un elemento de construcción, en las cuales para visualizar el caso general de los esfuerzos combinados, es útil considerar un elemento pequeño del miembro donde está sometida una carga que por ende nos dice que está aplicando hay una fuerza, donde con actúan fuerzas como esfuerzos simples en las que puede estar emergido ese cuerpo son: axial, cortante, torsor, y en flector donde la combinación de estos esfuerzos crea los estados de solicitación compuesta, como una flexión plana, combinación de flexión y cortadura, los cuales crean una tracción o una comprensión.

Métodos de energía 1. Energía de deformación La energía de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por la fuerzas que provocan la deformación. La energía de deformación es igual al trabajo realizado por una carga la cual se incrementa realizado por una carga, la cual se incrementa lentamente aplicada al elemento. (Oroz, 2018)

Esfuerzo normal elástico El valor de la energía de deformación U de un cuerpo sometido a esfuerzos normales uniaxiales es:

Esta expresión es válida solo para deformaciones elásticas y se conoce como energía de deformación elástica de un cuerpo En la figura se observa una barra de longitud L y sección transversal A, empotrada en B y sometida en C a una carga axial P que se incrementa lentamente.

Graficando la magnitud P de la carga contra la deformación x de la barra se obtiene un diagrama carga-deformación que es característico de la barra BC

El trabajo elemental du realizado por la carga P cuando la barra sea larga una pequeña cantidad dx es igual al producto de la magnitud de la carga y del pequeño alargamiento. Se tiene du = P * dx

El trabajo se transforma parcial o totalmente en energía potencial de deformación

Densidad de energía de deformación Se define como la energía de deformación por unidad de volumen y es igual al área bajo la curva esfuerzo-deformación 𝜖

𝑢 = ∫ 𝜎𝑥𝑑𝜖𝑥 0 𝜖1

𝑢 = ∫ 𝐸𝜖𝑥𝑑𝜖𝑥 0

Módulo de tenacidad Es la densidad de energía del material cuando llega a la rotura, nos da la idea de la ductilidad de un material. (Beer, 2010)

Módulo de resiliencia Es la densidad de energía de deformación que el material puede absorber sin fluir. La capacidad de una estructura para soportar una carga de impacto sin deformase en forma permanente depende de la tenacidad y de la resiliencia del material utilizado. (Beer, 2010)

Esfuerzos cortantes Cuando un material está sometido a un esfuerzo cortante plano

Flexión Si el elemento se encuentra bajo un momento flector, el esfuerzo normal viene dado.

La flexión de la viga debe ser mínima. Conforme la magnitud de los pares de flexión se incrementa de cero a sus valores máximos, ellos efectúan el trabajo W Este trabajo es igual a la energía de trabajo W. Este trabajo es igual a la energía de deformación almacenada en la viga (área bajo la curva) Ejemplo 1 Determine la energía de deformación elástica debido a la flexión de la viga esta sometida a la carga w distribuida de forma uniforme

Objetivo Se calculará la energía de deformación debido a la flexión de la viga respecto al grafico dado Datos Carga distribuida = W

Longitud= L Análisis El momento interno de la viga se determina estableciendo la coordenada x con con origen en el extremo izquierdo. El segmento izquierdo de la viga se muestra en la siguiente figura

Por consiguiente, tenemos: Sumatoria de momentos ∑ 𝑀𝑁𝐴 = 0 𝑀 + 𝑤𝑥

𝑥 =0 2

𝑥2 𝑀 = −𝑤 =0 2 Aplicando nuestra ecuación antes planteada se obtiene 𝐿

𝐿 𝑀2 (−𝑤(𝑥 2 ))2 𝑤2 𝐿 4 𝑈=∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 2𝐸𝐼 8𝐸𝐼 0 0 2𝐸𝐼 0

𝑤 2 𝐿5 𝑈= 40𝐸𝐼 Podemos también obtener la energía de deformación usando una coordenada x que tenga su origen en el extremo derecho de la viga y con dirección positiva hacia la izquierda como en este caso

Aplicando sumatoria de momentos ∑ 𝑀𝑁𝐴 = 0 𝑥 𝑤𝐿2 −𝑀 − 𝑤𝑥 + 𝑤𝐿(𝑥) − =0 2 2 𝑤𝐿2 𝑥 𝑀= + 𝑤𝐿(𝑥) − 𝑤𝑥 2 2 Y aplicando nuestra ecuación de energía de deformación obtenemos el mismo resultado 𝑈=

𝑤 2 𝐿5 40𝐸𝐼

6.23 Energía de deformación La energía de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación. La energía de deformación es igual al trabajo realizado por una carga la cual se incrementa realizada por una carga, la cual se incrementa lentamente aplicada al elemento.

Esfuerzo normal elástico El valor de la energía de deformación U de un cuerpo sometido a esfuerzos normales p Uniaxiales es:

Esta expresión es válida solo para deformaciones elásticas y se conoce como energía de deformación elástica de un cuerpo. FLEXION

Si el elemento se encuentra bajo un momento flector, el esfuerzo normal viene dado. La flexión de la viga debe ser mínima. Conforme la magnitud de los pares de flexión se incrementa de cero a sus valores máximos, ellos efectúan el trabajo W Este trabajo es igual a la energía de trabajo W. Este trabajo es igual a la energía de deformación almacenada en la viga (área bajo la curva).

EJERCICIO Objetivos 

Determinar el esfuerzo normal en el bronce.



Determinar el esfuerzo normal en el aluminio.

 Un tubo de aluminio está rígidamente sujeto entre una barra de bronce y una de acero, tal como se muestra en la Figura 1. Las cargas axiales se aplican en las posiciones indicadas. Determinar el esfuerzo normal en cada material. Las áreas de cada sección transversal se especifican en la Figura 1.

Para calcular el esfuerzo normal en cada sección, se debe determinar primero la fuerza interna en cada una de estas. Los DCL adecuados se muestran en la Figura 2

6.3 Energía de deformación elástica para esfuerzo cortante La energía de deformación almacenada de un cuerpo es 𝑈𝑖 = ∫ 𝑉

𝜏γ 𝑑𝑉 2𝐺

Al igual que en la energía de deformación normal, la energía de deformación cortante siempre es positiva puesto que τ 𝑦 𝛾 siempre tiene la misma dirección. Si el material es elástico y lineal, entonces ala aplicar la ley de Hooke, 𝛾 = 𝜏/𝐺, puede expresarse la energía de deformación en términos del esfuerzo cortante como: 𝜏2 𝑈𝑖 = ∫ 𝑑𝑉 (1) 𝑉 2𝐺

Aquí se considera que la viga es prismática y tiene un eje de simetría alrededor del eje y, como se muestra en la figura. Si la fuerza cortante interna en la sección de x es V, entonces el esfuerzo cortante que actúa sobre el elemento de volumen del material, que tiene un área dA y una longitud dx, es 𝜏 = 𝑉𝑄/𝐼𝑡 Al sustituir en la ecuación 1, la energía de deformación para la fuerza cortante se convierte en: 𝐿 𝜏2 1 𝑉𝑄 2 𝑈𝑖 = ∫ 𝑑𝑉 = ∫ ( ) 𝑑𝐴 𝑑𝑥 𝑉 2𝐺 𝑉 2𝐺 𝐼𝑡 𝐿

𝐿

𝑈𝑖 = ∫ 0

𝐿 2 𝑉2 𝑄 (∫ 𝑑𝐴) 𝑑𝑥 2 2 2𝐺𝐼 𝐴 𝑡

La integral entre paréntesis puede simplificarse si se define el factor de forma para la cortante como: 𝑓𝑠 =

𝐴 𝐿 𝑄2 ∫ 𝑑𝐴 (2) 𝐼2 𝐴 𝑡 2

Al sustituir en la ecuación anterior, se obtiene 𝐿

𝑈𝑖 = ∫ 0

𝑓𝑠 𝑉 2 𝑑𝑥 (3) 2𝐺𝐴

El factor de forma definido por la ecuación 2 es un número adimensional que es único para cada área específica de sección transversal. Por ejemplo, si la viga tiene una sección rectangular de ancho b y altura h, como se muestra en la siguiente figura, t = b 𝑑𝐴 = 𝑏𝑑𝑦 𝐼=

1 𝑏ℎ3 12

ℎ (2) − 𝑦 ℎ 𝑏 ℎ2 𝑄 = ȳ′𝐴′ = (𝑦 + ) 𝑏 ( − 𝑦) = ( − 𝑦 2 ) 2 2 2 4 Si se sustituyen estos términos en la ecuación 2, resulta 𝑓𝑠 =

𝑏ℎ 1 (12 𝑏ℎ3 )

ℎ 2

2

𝑏 2 ℎ2 6 ( − 𝑦 2 ) 𝑏𝑑𝑦 = (4) 2 ∫ℎ 2 4 5 − 4𝑏 2

El factor de forma para otras secciones puede determinarse de una manera similar. Una vez obtenido, este factor se sustituye en la ecuación 3 y así puede evaluarse la energía de deformación para una cortante. Pero existen ejercicios que debido a un par de torsión generan esfuerzo cortante, entonces para determinar la energía de deformación interna en un eje circular o tubo, es necesario aplicar también la ecuación 1. Considere el eje ligeramente ahusado que se muestra. Una sección del eje tomada una distancia x de un extremo se somete a un par de torsión interno Ƭ. La distribución del esfuerzo cortante que ocasiona este par varía linealmente desde el centro del eje. En el elemento arbitrario de área dA y longitud dx, el esfuerzo𝜏 = 𝑇𝜌/𝐽. Por lo tanto, la energía de deformación almacenada en el eje es 𝜏2 1 𝑇𝜌 2 𝑈𝑖 = ∫ 𝑑𝑉 = ∫ ( ) 𝑑𝐴𝑑𝑥 𝐽 𝑉 2𝐺 𝑉 2𝐺 = ∫ 𝑉

𝑇2 (∫ 𝜌2 𝑑𝐴) 𝑑𝑥 2𝐺𝐽2 𝐴

Como la integral del área representa el momento polar de inercia J para el eje en la sección, el resultado final puede escribirse como 𝐿

𝑇2 𝑈𝑖 = ∫ 𝑑𝑥 (5) 0 2𝐺𝐽 El caso más común se produce cuando el eje (o tubo) tiene un área transversal constante y el par de torsión aplicado es constante. En ese caso, al integrar la ecuación 5 resulta 𝑇 2𝐿 (6) 𝑈𝑖 = 2𝐺𝐽 Ejercicio Determine la energía de deformación cortante para la viga rectangular en voladizo cuando se somete a la carga P=50N; L=3m mostrada en la figura de b=0,10m; h=0,15m. G es constante

Objetivo: Calcular la energía de deformación cortante para la viga rectangular en voladizo cuando se somete a la carga. Datos: Viga rectangular Carga P= 50N Longitud L= 3m Cálculos y datos generales 6

Para una sección rectangular el factor de forma es 𝑓𝑠 = 5 Altura (h): 0,15m Base (b):0,10m Área (A): b(h)= 0,015m2 Análisis: Para la solución de este ejercicio se procederá a: 

Analizar la sección de la viga



Determinar el valor la fuerza cortante.

Resultados:  Diagrama de cuerpo libre

 Se procede a calcular el valor de V y la energía de deformación cortante. Ʃ𝐹𝑦 = 0 −𝑃 − 𝑉 = 0 → 𝑉 = −50𝑁

Reemplazando todos los cálculos obtenidos en la ecuación 3 se tiene: 6 𝐿 (−𝑃)2 𝑑𝑥 𝑓𝑠 𝑉 2 𝑑𝑥 𝑈𝑖 = ∫ = ∫ 5 2𝐺𝐴 2𝐺(𝑏ℎ) 0 0 𝐿

3𝑃2 𝐿 𝑈𝑖 = ∫ 𝑑𝑥 5𝑏ℎ𝐺 0 L

3𝑃2 𝑈𝑖 = ( 𝑥)| 5𝑏ℎ𝐺 0 𝑈𝑖 =

3𝑃2 𝐿 5𝑏ℎ𝐺

𝑈𝑖 =

3(50)2 3 5(0,015)𝐺

𝑈𝑖 =

22500 0,075𝐺

6.4 Trabajo y energía bajo una carga única La energía de deformación al integrar la densidad de energía sobre el volumen. .

Para una barra uniforme

La energía de deformación de la barra para una elongación x1 se definió como el trabajo de la carga P cuando se incrementó lentamente desde 0 hasta el valor P1 correspondiente a x1. Entonces

En el caso de deformación elástica, el trabajo de la carga P y, por tanto, la energía de deformación de la barra era

cuando una estructura o elemento se somete a una carga única concentrada, es posible usar la ecuación

para evaluar la energía de deformación elástica, siempre que se

conozca la relación carga-deformación.

La energía de deformacio puede ser enontrada del trabajo de otro tipo de cargas individuales Carga transversal de una viga

Momento flexionante

En forma análoga, la energía de deformación elástica de un eje uniforme circular AB de longitud L, sometido en su extremo B a un par de torsión T1 será:

Ejemplo Un bloque de masa m que se mueve con velocidad v0 golpea el elemento prismático AB en un punto medio C. Determine a) la carga estática equivalente Pm, b) el máximo esfuerzo sm en el elemento, c) la deflexión máxima xm en el punto C.

a) Carga estática equivalente. La máxima energía de deformación del elemento es igual a la energía cinética del bloque antes del impacto. Entonces

Por otra parte, expresando Um como el trabajo de la carga estática horizontal equivalente cuando se la aplica lentamente en el punto medio C del elemento, se tiene

donde xm es la deflexión de C correspondiente a la estática Pm. En la tabla de Deflexiones y pendientes de vigas del apéndice D, se halla que

Sustituyendo xm de en la ecuación

Resolviendo para Pm y retomando la ecuación, se encuentra que la carga estática equivalente a la carga de impacto es

b) Esfuerzo máximo. Dibujando el diagrama de cuerpo libre del elemento (figura 11.32), se observa que el momento ocurre en C y es Mmáx PmL/4. El máximo esfuerzo se produce en la sección transversal a través de C y es igual a

Sustituyendo Pm de la ecuación

c) Deflexión máxima. Reemplazando en la ecuación la expresión obtenida para Pm

6.5 Diseños bajo carga de impacto

Cuando una carga se aplica en un período relativamente corto recibe el nombre de “carga dinámica”, la misma puede tomar muchas formas, algunas cargas se aplican y suprimen de modo repentino, son las cargas de impacto, otras actúan por períodos más prolongados de tiempo y varían de intensidad, son las denominadas cargas fluctuantes. Las cargas de impacto se producen cuando dos objetos colisionan, o cuando un objeto cae sobre otro. Las cargas fluctuantes en general son producidas por maquinaria rotatoria, tránsito pedestre o vehicular, ráfagas de viento, olas marinas, sismos

Análisis Consideremos una viga simplemente apoyada de luz L, que recibe en la mitad de su luz el impacto de una carga concentrada Q que cae desde una altura h.

P: carga estática equivalente

 = coeficiente de impacto

En este caso se llega a una expresión para el coeficiente de impacto

Supongamos que la sección transversal es rectangular de base b y altura d.

Entonces:

Ejemplo Sean las dos vigas (planchuelas) de igual longitud y material, solicitadas por la misma carga Q. La viga (1) posee sección constante de base “b” y altura “h” y la viga (2) es un sólido de igual resistencia a flexión cuya sección empotrada también posee base “b” y altura “h”, siendo el ancho variable linealmente:

La tensión máxima es:

En la viga (1) dicha tensión máxima se produce solamente en el empotramiento y en la viga (2) ocurre esa misma tensión en cualquier sección, por ser de igual resistencia a flexión. Por lo tanto, con carga estática ambas tienen la misma capacidad de carga por experimentar las mismas tensiones máx. Con carga dinámica la viga (1) almacena energía en la cantidad:

y siendo: M  Q z resulta:

La viga (2) posee un momento de inercia I(z) que está relacionado linealmente con el momento de inercia “I” de la sección empotrada del siguiente modo:

La energía elástica almacenada resulta:

queda:

y la relación entre las energías resulta:

6.6 Trabajo y energía bajo varias cargas. la deflexión de una viga elástica sometida a dos cargas concentradas se da por

Calculado la energía de deformación en la viga al evaluar el trabajo realizado al aplicar la carga P1 y a continuación la carga P2, Se tiene:

Aplicando las cargas en diferente orden se tiene

Las expresiones de la energía de deformación deben ser equivalentes, se tiene que (Teorema reciproco de Maxwell)

Teorema de Castigliano Para una estructura elástica sometida a n cargas, la deflexión xj del punto de aplicación de Pj puede ser expresado como:

y Deflexión por el teorema de Castigliano La aplicación del teorema de Castigliano se simplifica si la diferenciación con respecto a la carga Pj se realiza antes de la integración para obtener la energía de deformación U. En el caso de una viga

y

Ejemplo: La viga en voladizo AB soporta una carga distribuida uniformemente w y una carga concentrada P, como se muestra en la figura. Si L = 2 m, w=4 kN/m, P=6 kN y EI = 5 MNm2 , halle la deflexión en A.

La deflexión yA del punto A, donde se aplica la carga P, se obtiene usando la ecuación de Castigliano. Como P es vertical y dirigida hacia abajo, yA representa una de la deflexión vertical y es positiva hacia abajo. Entonces:

(z) El momento flector M a una distancia X de A es:

y su derivada con respecto a P es

Sustituyendo M y ∂M/∂P en la ecuación (z), se escribe

Sustituyendo los datos dados, resulta

Conclusión 

A medida que la viga se hace más larga, la energía de deformación debida a la flexión se vuelve mucho mayor que la energía de deformación debida al cortante. Por esta razón, la energía de deformación cortante en vigas puede pasarse por alto en la mayor parte de los casos.

 



La energía de deformación es causada por el trabajo interno de los esfuerzos normal y cortante. Siempre es una cantidad positiva. A medida que la viga es más larga, la energía de deformación debida a la flexión de hace mucho mayor que la energía de deformación debida a cortante. Por esta razón. La energía de deformación cortante en las vigas en general se puede despreciar. Según el tipo de carga que se le aplica se puede calcular la energía de deformación para de esta manera obtener un resultado óptimo y poderlo aplicar en la vida real.



Las fuerzas internas de un elemento están ubicadas dentro del material por lo que se distribuyen en toda el área; justamente se denomina esfuerzo a la fuerza por unidad de área. La resistencia del material no es el único parámetro que debe utilizarse al diseñar o analizar una estructura; controlar las deformaciones para que la estructura cumpla con el propósito para el cual se diseñó tiene la misma o mayor importancia

Recomendación 

Obtener el valor de la tabla de Deflexiones y pendientes de vigas según como este aplicada la carga.



Para tener una mayor seguridad sobre el resultado de un ejercicio, hay que tomar en cuenta que la energía de deformación siempre va a ser una cantidad positiva.



Tenemos que indagar correctamente acerca del material que queramos utilizar de acuerdo con el trabajo que se vaya a realizar ya que no todos cumplen con la función que deseamos y podemos tener fallas muy grandes en un futuro.

Bibliografía Beer, F. P. (2010). Mecánica de materiales . McGraw-Hill Interamericana. Oroz, A. S. (2018). Resistencia de materiales y teoría de estructuras. Editorial Universidad de Burgos.

R. Hibbeler. Mecánica de Materiales. México: Editorial Prentice Hall, 2002