De Thi Thu Dai Hoc 2009 - Dhkhtn (co Dap An)

TRƯỜNG ĐHKHTN

ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 12 NĂM HỌC 2008-2009

KHỐI CHUYÊN TOÁN-TIN

Ngày thi: 12/04/2009( thời gian: 180 phút)

-------------------------------

-------------------------------------------

Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = x4 – 8x2 + 7 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). 2) Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx – 9 tiếp xúc với đồ thị hàm số (1). Câu II (2 điểm). tan 2 x + tan x 2 π = sin( x + ) . 2 tan x + 1 2 4

1) Giải phương trình:   2) Giải hệ:    

1 1 + 2− = 2 y x 1 1 + 2− = 2 x y

Câu III (3 điểm). 1) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình;  x = −1 + 2t x +1 y +1 z − 3 d1:  y = 1 d2: và điểm I(0;3; - 1). Đường thẳn d đi qua I cắt d1 = = − − 2 1 1 z = t 

tại A và cắt d2 tại . Tính tỉ số

IA . IB

2) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 , DA = DB = DC.Biết rằng DBC là tam giác vuông. a) Tính thể tích tứ diện ABCD b) Gọi ϕ là góc phẳng nhị diện [B,AD,C]. Tính cos ϕ . Câu IV (2 điểm). π 2

1) Tính tích phân: I =

sin 2 x

∫ 3 + 4 sin x − cos 2 x dx 0

2) Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm thực 3log ( x +1) + 3log ( x −1) = 2 x . Câu V (1 điểm). Giải phương trình 16

2

cos(

16

11π −x) 4

= tanx.

Hướng dẫn: Câu I.  x 4 − 8 x 2 + 7 = mx − 9(1) 3) Đường thẳng tiếp xúc đồ thị ⇔ Hệ  3 có nghiệm. 4 x − 16 x = m(2) Thay (2) vào (1) được: 3x4 – 8x2 – 16 = 0 ⇔ x2 =4 ⇔ x= ± 2. Thay x = ± 2 vào (2) được m=0.

Câu II. 1) ĐK: cosx ≠ 0.Phương trình được biến đổi thành: 1 1 cos2x. tanx.(tanx+1) = 2 ( sinx+cosx) ⇔ sinx(sinx+cosx) = 2 (sinx+cosx) π   x = − 4 + kπ  sin x + cos x = 0  π ⇔ x = + k .2π . ⇔  6 sin x = 1 / 2  5π x = + k .2π 6 

2) ĐK: x;y ≥ ½. Từ hệ suy ra: . Nếu x>y thì

1 1 1 1 + 2− = + 2 − (1). y x x y

1 1 1 1 < và < suy ra VT(1) < VP(1). Không thỏa mãn! x y x y

. Nếu x< y tương tự cũng không thỏa mãn.Từ đó x=y.Thế vào một phương trình của hệ được:

1 1 + 2 − = 2 ⇔ x=1. Hệ cho nghiệm: (x;y)=(1;1). x x

Câu III. 1) A thuộc d1 ⇔ A( - 1+2t; 1; t); B thuộc d2 ⇔ B( -1 -2s; -1 + s; 3 – s). → → IA=( -1+2t; - 2; 1+t) ; IB =( -1-2s; -4+s; 4-s) là hai véc tơ cùng phương nên → → IA= k. IB từ đó giải ra được t = 1; s= -2 ; k= 1/3. Vậy: IA/IB= 1/3. 2) a) Gọi O là hình chiếu vuông góc của D lên mp(ABC) → O là trung điểm BC. 1 1 a3 3 ∆ DBC vuông cân tại D nên DO = BC = a.Vậy: VDABC = .DO.dt (ABC)= . 2 3 6 b) Kéo dài CD cắt đường thẳng vuông góc với (ABC) tại B ở S. Ta có BS = 2a; DC = a 2 ; AD = a 2 và là trung tuyến của tam giác SAC.Gọi ϕ = [B,AD,C]. Kẻ ∃ BH ⊥ SA → BH ⊥ (SAC). Kẻ HE ⊥ AD → BE ⊥ AD. Khi đó ϕ = 1800 - BEH.Tính ∃ ∃ 4 6 3 ; cos 2 BEH = 3/15. Vậy: cos ϕ = . được : tan BEH = 3

1 . 2) ĐK: x>1. 2 Phương trình ⇔ ( x + 1) log16 3 + ( x − 1) log16 3 = 2 ( x + 1) + ( x − 1) log16 3 VT(*) ≤ 2 [ ] = 2. x log16 3 < 2 2

15

Câu IV. 1) I = ln2 –

x (*). Vì 0< log16 3 <1/2 nên x =VP(*). V ậy phương trình vô nghiệm.

Câu V. ĐK: cosx ≠ 0. pt ⇔ 2

1 (sin x − cos x ) 2

=

sin x (1). Do vế trái (1) dương nên sinx và cosx cùng thuộc ( -1;0) cos x 1

hoặc (0;1).Xét hàm số f(t) =

2

2 t

t

có đạo hàm f’(t) =

Từ đó phương trình ⇔ sinx = cosx ⇔ x =

π 4

+ kπ .

2

1 t 2

2t 2

(t ln t − 2 ) < 0 .