De Thi Quoc Gia Mon Toan 2009 Book.vnmath

Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo - Việt Nam 2009 _________________________________________________

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2008-2009 ____________________________________________________________________________ Bài 1. (4điểm) Giải hệ phương trình: 1 1 2     2 2 1  2xy  1  2x 1 2y  2   x  1  2x   y  1  2 y   9 Bài 2. (5điểm) Cho dãy số xn xác định như sau: 1   x1  2   2  x  xn 1  4xn 1  xn 1  n 2 n 1 Xét dãy số yn   2 . Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. i 1 xi

Bài 3. (5 điểm) Cho 2 điểm

cố

định

A,B

và

điểm

C

di

động

trên

mặt

phẳng

sao

cho

 ACB  a  0  a  180 o  không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp I của

tam giác ABC xuống ba cạnh AB,BC,CA lần lượt là D,E,F . AI và BI cắt EF lần lượt tại M và N. a) Chứng minh độ dài MN không đổi . b) CM đường tròn ( DMN ) luôn đi qua một điểm cố định . Bài 4. (3điểm) Cho a , b , c là các số thực. Với mỗi n nguyên dương, a n  b n  c n là số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại 3 số nguyên p , q , r sao cho a , b , c là các nghiệm của pt bậc ba x 3  px 2  qx  r  0 . Bài 5. (3 điểm) Cho tập hợp S gồm 2n số nguyên dương đầu tiên. Tìm số tập hợp T sao cho trong T không có 2 phần tử a,b nào thỏa mãn a  b  1;n (chú ý tập rỗng thỏa mãn ĐK trên) .

____________________________________________________________________________ Copyright by Ly Tu Trong official website -- http://chuyenlytutrongct.com

H

NG D N GI I

THI H C SINH GI I QUÔC GIA MÔN TOÁN N M 2009

GV: Ph m V n Quý Tr ng THPT chuyên Quang Trung T nh Bình Ph c

Bài 1 Gi i h ph

+

+

ng trình:

−

=

+ +

+

−

=

Gi i +

> − −

+) K:

≤ ≤

≥ ⇔ ≥

≤ ≤ ≤

+) V i i u ki n trên ta có +) M t khác ∀

∈

Theo b t ⇔

+

+) Vì

−

+

+ ≤ ≤

+

+

,

+ +

≤ ≤

Áp d ng B T (*) cho

+

+ +

+

+

+

+

ng th c sau: +

−

+

≥ +

+

≥

+

+

+

>

≤

+

+

−

+

+

và =

+

+ −

+

−

=

+ ≤

+

− +

≤

+

≤ , vì

+

luôn úng ∀

+

∈

∈

và

và < .

< .

=

ta có:

+

+

≤

+

=

ng trình ban

+) Gi i h này và

+

≤

+

ng th c x y ra ⇔ = +) V y h ph

<

≤

+

+

=

+

ta luôn có b t

ng th c B.C.S ta có

M t khác ta có: Do ó

<

và

ng th c (*) ⇔

Th t v y b t

≤

và

u⇔

−

+

−

=

⇔

= −

+ =

i chi u v i các i u ki n ta có hai c p nghi m (x; y) nh sau:

< .

.

+

+

−

;

−

.

+

+) K t lu n: H có hai nghi m là

+

=

Bài 2 Cho dãy s

: =

=

>

+) T gi thi t ta có −

Khi ó

−

−

+

−

( )=

→ ∞ và tìm gi i h n ó.

Gi i −

+

−

=

−

−

−

−

=

+

=

và ta có

+

> ,∀ ≥ .

− −

>

.

−

∀ ≥ .

+

−

=

−

, ∀ ≥ . Ch ng minh r ng dãy ( ) v i

+

( ) là dãy s t ng

+) Gi s V y

−

có gi i h n h u h n khi

=

Do ó

+

−

−

và

+

−

+

−

⇔ = , (vô lí).

→ ∞.

→ ∞ khi

−

=

+) M t khác ta có

+

−

+

−

,∀ ≥

=

+

−

−

=

∀ ≥

−

Do ó

=

=

+

−

+

−

+

+

=

<

+) T trên ta có

∀ ≥ , (vì

t ng và b ch n trên hay +) Ta có :

=

→∞

+) K t lu n :

−

=

+

−

= −

,∀ ≥ .

−

→∞

→∞

>

∀ ≥ ). M t khác

( ) có gi i h n h u h n khi −

= , (vì

→ ∞ khi

=

−

+

>

−

. Do ó

( ) là dãy

→ ∞.

→ ∞ ).

= .

Bài 3 Trong m t ph ng cho hai i m c sao cho = α không i ( < α <

nh A, B (A ≠ B). M t i m C di ng trên m t ph ng ) . ng tròn tâm I n i ti p tam giác ABC và ti p

xúc v i AB, BC, CA l n l t t i D, E, F. Các ng th ng AI, BI c!t ng th ng EF l n l t i M và N. a) Ch ng minh r ng o n th ng MN có dài không i. b) Ch ng minh r ng ng tròn ngo i ti p tam giác DMN luôn i qua m t i m c nh. Gi i a) Ch ng minh r ng o n th ng MN có +) Ta có

=

=

−

=

+

dài không =

i. ANFI là t giác n i ti p

t

=

=

=

và

+) M t khác ta có ∆

∆ −α

=

= =

, (g-g)

không

=

=

−α

, (vì

=

).

i, ( pcm).

i khi C thay

C

α E

N F

M

I

A Chú ý : Bài toán có m t s tr minh không có gì thay i.

D

B

ng h p khác nhau v hình v , các b n t v hình nhé. Tuy nhiên cách ch ng

b) Ch ng minh r ng ng tròn ngo i ti p tam giác DMN luôn i qua m t i m c Cách 1: +) G i K là trung i m c a AB ta ã có = = = = + = = , (1). +) M t khác t ∆ ∆ câu (a) ta có = = , (2). IMEB là t giác n i ti p =

nh.

=

IMBD c ng là t giác n i ti p vì + = . = , (3). +) T (2) và (3) = + = + = , (4). +) T (1) và (4) = t giác NKDM n i ti p hay DMN luôn i qua i m K c nh, ( pcm).

ng tròn ngo i ti p tam giác

Cách 2 Theo trên ta có = = D, M, N l n l !t là chân ng cao k" t các #nh c a tam giác ABI nên (DMN) chính là ng tròn Euler c a tam giác ABI. Do ó ng tròn này ph i i qua trung i m c a K c a AB. Vì AB c nh nên K c nh. ( pcm).

Bài 4 Cho ba s th"c a, b, c tho mãn i#u ki n: v i m$i s nguyên d ng n, + + là m t s nguyên. Ch ng minh r ng t%n t i các s nguyên p, q, r sao cho a, b, c là ba + + = . nghi m c&a ph ng trình + Gi i

+ + =−

+) Gi s t$n t i các s p, q, r tho mãn bài toán. Theo

+) Nh v y

+

=

− +

+

+

+ + ∈

+

+

+

+

−

=

∈

∈ ∀ . ∈ , + + ∈

+

thi t

+ + =−

+ + ∈

ch ng minh bài toán ta ch# c n ch ng minh

+) Hi n nhiên + + ∈ , (1). Vì theo gi +) Vì + + ∈ ∀ + + ∈ +) Ta s% i ch ng minh ∈ . Th t v y: Ta có + + = + + − + Ta có + + = + + Ta có + + − = + + + +

nh lí Viet ta có :

+

+

+

−

−

+

+

+

∈

∈ +

+

∈

−

=

+ +

+

+

−

+

+

−

+ +

+

+

−

+

+

∈ +

Ta có +

+

+

−

=

−

=

+

+

+

+

+

+

−

−

−

=

+

+

+

+

−

+

+

−

+

+

+

+

−

+

+

∈

T các d ki n ∈ và +) Ta s% i ch ng minh + + Ta có ( + + ) = +

( (

+

+

+

+

) )

=

+

∈

∈ , (2).

∈ . Th t v y: + +

+ +

+ + + +

∈

T các d ki n + + ∈ và ( + + +) T (1), (2) và (3) ta có bài toán !c ch ng minh.

)

∈

+

+

∈ , (3).

Bài 5 Cho s nguyên d ng n. Kí hi u T là t'p h p g%m 2n s nguyên d ng u tiên. H(i có bao nhiêu t'p con S c&a T có tính ch)t : trong S không t%n t i các s a, b mà − ∈{ } . L u ý T p r ng c coi là t p con có tính ch t nêu trên.

Gi i c tham kh o t i http://forum.mathscope.org)

(L i gi i bài 5

+) Tr c h t ta xét bài toán sau : trên và Cho 2 hàng i m !c n i v i nhau, ngoài ra và c ng có hai i m nào !c n i v i nhau.

d i. Các i m c p i m − , !c n i v i nhau. Tính s cách ch n ra m t s

−

, i m mà không

và . G i là s cách ch n +) G i là s cách ch n th&a mãn i u ki n trên, nh ng có th ch a c . G i là s cách ch n th&a mãn nh ng th&a mãn nh ng không ch a i m nào trong 4 i m ho c ch a úng 1 i m trong 4 i m trên. G i là s cách ch n th&a mãn nh ng ch a úng 2 i m . G i là s cách ch n nh ng ch a úng 2 i m ho c . =

Khi ó ta có

+

+

+

và s cách ch n th&a mãn bài toán là

−

.

−

, (5).

= +) D' dàng l p công th c truy h$i cho

=

là :

.

=

+

+

−

+) M t khác ta có: = − , (1) = , (2) − − −

và

=

T (1) và (2) suy ra

+

=

−

+

T (3) suy ra

−

−

T (4) và (5) ta có

=

=−

=

+

−

− −

− −

!c k t qu

−

+ −

( là

−

.T

−

V y ta có s dãy th&a mãn là

Cu i cùng thu

, (3).

−

−

−

=

−

−

ây d' dàng suy ra

, (4). −

=

−

. −

+

−

=

)(

+) Tr l i bài toán ang xét n u ta coi i m c a bài toán s 5.

+

−

)

+ − −

+

(

−

−

)(

−

)

!c g(n s n + i và i m H t

−

+

−

−

!c g(n s i thì ta có k t qu