De Thi Hsg Qg 2003

THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam

Phương Phương Thảo

Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2002-2003 Môn toán (bảng A) Ngày thi : 12/03/2003 Bài 1: Cho hàm số f xác định trtrên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện: f(cotgx) = sin2x + cos2x với mọi x thuộc khoảng ( 0; π). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: g(x) = f(x).f(1 – x) trên đoạn [-1;1] Bài 2: trong mặt phẳng, cho hai đường tròn cố định (O1) và (O2) tiếp xúc với nhau tại điểm M, và bán kính của đường tròn (O2) lớn hơn bán kính của đường tròn (O1). Xét điểm A nằm trên đường tròn (O2) sao cho ba điểm O1, O2, A không thẳng hàng. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O1) (B và C là các tiếp điểm). Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O2) tương ứng, tại E và F. Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O2). Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định, khi A di động trên đường tròn (O2), sao cho ba điểm O1, O2, A không thẳng hang. ( (O) ký hiệu đường tròn tâm O) Bài 3: Với mỗi số nguyên n > 1, ký hiệu sn là số các hoán vị ( a1, a2,…, an) của n số nguyên dương đầu tiên, mà mỗi hoán vị (a1, a2,…, an) đều có tính chất 1 ≤ |ak - k| ≤ 2với mọi k = 1, 2, 3,…, n. Chứng minh rằng 1,75.sn – 1 < sn < 2sn + 1 với mọi số nguyên n > 6 Bài 4: Hãy tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho hệ phương trình: (x + 1) 2 + y12 = (x + 2)2 + y 22 = ... = (x + k)2 + y 2k = ... = (x + n)2 + y 2n Có nghiệm nguyên (x, y1, y2,…, yn) Bài 5: Cho hai đa thức:

P(x) = 4x3 – 2x2 – 15x + 9 và Q(x) = 12x3 + 6x2 – 7x + 1 1/Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có ba nghiệm phân biệt

1

THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam

Phương Phương Thảo

2/Ký hiệu α và β tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x) và Q(x). Chứng minh rằng α2 + 3β2 = 4 Bài 6: Cho tập hợp F gồm tất cả các hàm số f: R+ → R+ thoả mãn điều kiện: f(3x) ≥ f(f(2x)) + x với mọi số thực dương x. Hãy tìm số thực α lớn nhất sao cho với mọi hàm sồ f thuộc tập họp F ta đều có : f(x) ≥ α với mọi số thực dương x. (R+ kí hiệu tập hợp các số thực dương).

2