De Thi Hsg Nam Dinh Cac Nam

§Ò thi Häc sinh giái líp 12 N¨m häc 95-96 C©u 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :

 x 2 + 1 = 2 y  2  y + 1 = 2 x

C©u 2: Cho bÊt ph¬ng tr×nh : m x 2 − 2 x + 17 − (2m + 1)4 x 2 − 2 x + 17 + m + 1 > 0 (1) 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = 1 2.Víi gi¸ trÞ nµo th× bÊt ph¬ng tr×nh (1) : a.NghiÖm ®óng víi mäi gi¸ trÞ x ? b.Cã nghiÖm ? C©u 3: Cho parabol y = 0,5x2 vµ mét ®iÓm M(x0 ,y0) víi y0 < 0,5 x02. C¸c tiÕp tuyÕn kÎ tõ M tíi parabol tiÕp xóc víi parabol t¹i N1(x1,y1 ) vµ N2(x12,y2 ) 1. Chøng minh : y0 + y1 = x0x1 ; y0 + y2 = x0x2 2. Gi¶ sö r»ng M ch¹y trªn ®êng th¼ng y = - 0,5 . Chøng minh khi ®ã ®êng th¼ng N1N2 ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . T×m to¹ ®é cña ®iÓm cè ®Þnh ®ã . C©u 4: Cho ®êng trßn cã pt: x2 + y2 = R2 ( R. 0 ) , ABCD lµ mét h×nh thoi ngo¹i tiÕp ®g trßn . M ( Rcosa ; Rsina) ; N (Rcosb; Rsinb) (víi sin( a – b ) kh¸c 0) lÇn lît lµ tiÕp ®iÓm cña c¸c c¹nh AB vµ BC víi ®êng trßn . 1 . ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña h×nh thoi ABCD. TÝnh diÖn tÝch h×nh thoi theo R ; a ; b C©u 5: Cho Sn

=

2(n  1) 2(n  2) 2(n  n)   ......  (n  1) 2  1 (n  2) 2  1 ( n  n) 2  1

Víi n = 1,2,3.... T×m giíi h¹n nÕu cã cña S n khi n → +∞ N¨m häc 96-97 C©u 1: 1. LËp b¶ng biÕn thiªn ( kh«ng vÏ ®å thÞ ) cña hµm sè y=2x4+(1 – 2x )4 1 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x4 +( 1- 2x)4= 27 2 x y2 C©u 2: Cho elip (E) cã ph¬ng tr×nh + =1 9 4 1. LËp ph¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn kÎ tõ M ( 0; 13 ) tíi (E) . X¸c ®Þnh gãc cña 2 tiÕp tuyÕn ®ã 2. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N sao cho c¸c tiÕp tuyÕn kÎ tõ N tíi (E) vu«ng gãc víi nhau C©u 3: ABC lµ mét tam gi¸c bÊt k× cã 3 gãc nhän . Chøng minh ∆ABC lµ tam gi¸c ®Òu khi vµ chØ khi :

 A + 2B   B + 2C   C + 2A  cos A + cos B + cos C = cos  + cos  + cos   3   3   3 

C©u 4: 1. Chøng minh víi mäi m ≠ 0 hµm sè f(t) = m3 mt − 2 ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh cña nã  x 3 + 2 = m.3 my − 2  3 3 1. Cho hÖ ph¬ng tr×nh :  y + 2 = m. mz − 2  3 3  z + 2 = m. mx − 2 a. Gi¶i hÖ khi m = 0 b. Gi¶i hÖ khi m = 3 N¨m häc 97-98 C©u 1: Cho hµm sè : f(x) = x3 –12x-20 (1) 1. Kh¶o s¸t , lËp b¶ng biÕn thiªn ( kh«ng vÏ ®å thÞ ) cña hµm sè (1) 2. TÝnh f 3 4 + 3 16 3. Chøng minh: 3 69  3 4  3 16  3 70

(

)

-1-

C©u 2: Cho hÖ ph¬ng tr×nh : 1. Gi¶i hÖ víi m =1

 x 2 − 2 x ≤ m − 1  2  x − 4 x ≤ 1 − 4m 2. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m

Häc sinh ®îc chän mét trong hai c©u 3a , 3b sau:

C©u 3a: Cho A(x0,y0) lµ mét ®iÓm bÊt k× thuéc ®êng trßn x2+y2=25 (E) lµ elÝp cã ph¬ng x2 y2 tr×nh : + =1 16 9 1. Chøng tá r»ng A n»m ngoµi (E) 2. Chøng minh tõ A ta cã thÓ kÎ ®îc haitiÕp tuyÕn cña (E) vµ hai tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc . Gäi tiÕp ®iÓm cña 2 tiÕp tuyÕn ®ã víi (E) lµ B vµ C 3. Gi¶ sö h lµ kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn ®êng th¼ng BC . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña h C©u 3b: Cho ABCDlµ mét tø diÖn ®Òu víi c¸c c¹nh b»ng 1 . Hai ®iÓm M vµ N chuyÓn ®éng trªn c¸c c¹nh AB vµ AC sao cho tnp(DMN) ⊥ mp ( ABC ) 1. Chøng minh tnp(DMN)lu«n ®i qua mét ®êng th¼ng cè ®Þnh 2. §Æt AM=x vµ AN=y . TÝnh theo x,y diÖn tÝch ∆AMN vµ chøng minh : x + y = 3xy 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt thÓ tÝch V cña tø diÖn ADMN C©u 4:Cho c¸c sè a,b,c tho¶ m·n : 0 ≤ a, b, c ≤ 2 vµ a + b + c =3 1. Chøng minh : a4+ b4 + c4 ≤ 17 2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : a1997+ b1997 + c1997 N¨m häc 98-99 C©u 1: Cho hµm sè : y = - 4x3 + 3x (1) 1. T×m kho¶ng ®ång biÕn , nghÞch biÕn cña hµm sè (1) vµ t×m ®iÓm cùc ®¹i , cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè ®ã 1 26 2. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : < sin 20 0 < 3 75 π  2 C©u 2: Cho ph¬ng tr×nh cos   3 x − 9 x + 160 x + 800  = 1(2)  8  1. Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) 2. T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm nguyªn cña (2)

Häc sinh ®îc chän 1 trong 2 c©u 3a hoÆc 3b díi ®©y x2 y2 + = 1 vµ hai ®iÓm M (4cos α ; 3sin α ) ; N(4cos 16 9 β ;3 sin β )trong ®ã α ; β thay ®æi tho¶ m·n hÖ thøc : 9 cos α cos β + 16 sin α sin β = 0 1. Chøng minh c¸c ®iÓm MvµN ®Òu thuéc (E) 2. Chøng minh c¸c tiÕp tuyÕn cña (E) t¹i Nvµ M vu«ng gãc víi nhau 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña ®o¹n th¼ng MN C©u 3b: H×nh chãp S.ABCcã 3 mÆt SAB,SBC vµ SCA lµ c¸c tam gi¸c vu«ng t¹i S . KÎ SH ⊥ mp ( ABC ) víi H ∈ mp( ABC ) 1. Chøng minh H lµ trùc t©m cña ∆ABC 1 1 1 1 = + + 2. Chøng minh hÖ thøc : 2 2 2 SH SA SB SC 2 3. Gi¶ sö SA = a , SB = b , SC = c thay ®æi sao cho ab + bc + ca kh«ng ®æi . T×m GTLN cña ®o¹n th¼ng SH C©u 4: A,B,C lµ 3 gãc cña mét tam gi¸c bÊt k× .T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : C©u 3a: Cho elip (E) cã ph¬ng tr×nh

-2-

1 P = cos A + cos B + cos C +

sin

A B C + sin + sin 2 2 2

n¨m 1999-2000 C©u1(6®): Cho hµm sè : y=xlnx (1) 1. T×m tËp x¸c ®Þnh vµ kho¶ng ®ång biÕn nghÞch biÕn vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè. x 1 2. CMR : x lnx khi x > 0 ln x ≥ − 2 e 3. TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè f(x)= 0 khi x=0. C©u2( 4®): Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh sau: log3(x2+1)+ log5(x4+1) ≤ 0 C©u3a(6®): Gi¶ sö A (x0; y0 ) lµ mét ®iÓm bÊt kú thuéc ®êng trßn x2 + y2 =25; (E) lµ elip cã ph¬ng tr×nh x2 y2 : + = 1. 16 9 a. Chøng minh tõ A cã thÓ kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn tíi (E) vµ hai tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi nhau. Gäi tiÕp ®iÓm cña chóng lµ B vµ C. b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña diÖn tÝch tam gi¸c ABC. C©u 3b(6®):Tø diÖn ABCD chØ cã c¹nh AD lín h¬n 1 . ®Æt BC =x . dùng DH vµ AK vu«ng gãc víi BC ( H ,K ®Òu thuéc c¹nh BC ). 1 1. Gäi V lµ thÓ tÝch cña tø diÖn ABCD chøng minh V ≤ AK .BC.DH . 6 x2 . 4 3. T×m x ®Ó thÓ tÝch V cña tø diÖn ABCD lµ lín nhÊt . C©u 4(4®): Cho ph¬ng tr×nh : x4 = 4 4 4 x + 1 + 1 (2) 1. Gi¶ sö x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) chøng minh x0 > 1 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh (2). N¨m häc 2000-2001  ( x − 1)3 khi x ≠ 1  C©u1. Cho hµm sè : F(x) =  x − 1 . Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hµm sè cã ®¹o hµm a khi x=1  t¹i x=1 ? v¬Ý gi¸ trÞ cña a t×m ®îc t×m F’(1). C©u 2 : Cho tam gi¸c ABC . biÕt r»ng trªn mÆt ph¼ng (ABC) cã ®iÓm M sao cho MA=1 ;MB=MC=6. gäi S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC . Chøng minh r»ng : S ≤ 10 5 dÊu b»ng x¼y ra khi nµo ? x2 y2 C©u3: Cho A’(-a;0); A(a;0)vµ elip cã ph¬ng tr×nh (E): 2 + 2 = 1 . Víi a > b > 0 . Trªn (E) lÊy a b ®iÓm M bÊt kú . t×m quü tÝch trùc t©m H cña tam gi¸c MA A’ khi ®iÓm M di chuyÓn trªn (E) . 2. Chøng minh : DH ≤ 1 −

C©u 4 : i¶i hÖ sau : sinx +

1 = sin y

siny +

1 = sin 2000

sin 2000 +

1 . sin x

C©u 5 : Cho hai ph¬ng tr×nh sau : 3 (x2+a2 ) =1 - (9a2- 2)x (1); x +(3a -2 )2 . 3x =(8a -4) log3(3a - 1/2) - 3 x3 (2). T×m a ®Ó sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) kh«ng vît qu¸ sè nghiÖm cña (2) -3-

N¨m häc 2001-2002 C©u1 :Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau

x.2x-y+1 + 3y 22x+y =2

2x . 22x+y + 3y. 8x+y =1 . C©u2 : T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm (4m-3) x + 3 + (3m -4) C©u 3 :Gäi A,B,C lµ ba gãc cña tam gi¸c ABC A B C A B B a.CMR : (1+ tg )(1+tg )(1+ tg )=2+2 tg tg tg . 2 2 2 4 4 4

1 − x =1-m.

b. X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña A,B,C ®Ó biÓu thøc sau ®¹t gi¸ lín nhÊt T=(1+ tg )(1+ tg

A B )(1+tg 2 2

C ) 2

(m − 1)(3 + m) 2(1 − m) x + víi m >0. (1 + m) 2 1+ m T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm mµ qua mçi ®iÓm ®ã cã ®óng hai ®êng th¼ng cña hä ®i qua vµ hai ®êng th¼ng nµy vu«ng gãc víi nhau C©u5: kh«ng dïng m¸ytÝnh so s¸nh hai sè sau A =log20002001 vµ B= log 20012002 C©u 4 :Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é cho hä ®êng th¼ng : y=

N¨m häc 2002-2003 C©u1: Cho hµm sè : f(x) = x3 – 3x2 –7x + 6 (1)vµ M(x0;y0)lµ ®iÓm thuéc ®å thÞ hµm sè(1) . TiÕp tuyÕn t¹i M cña ®å thÞ hµm sè (1) c¾t trôc hoµnh t¹i A vµ c¾t trôc tung t¹i B . T×m to¹ ®é cña M sao cho c¸c ®iÒu kiÖn sau ®ång thêi ®îc tho¶ m·n : 1. Hoµng ®é cña A lµ sè d¬ng 2. Tung ®é cña B lµ sè ©m 3. OB = 2OA ( O lµ gèc to¹ ®é C©u2: 1. T×m nghiÖm d¬ng nhá nhÊt cña ph¬ng tr×nh : cos  x 2  cos  ( x 2  2 x  1) 2. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh :

82

3 x 1

4

3 x

2

3 x 1

5

C©u3: Cho 2 hä ®êng trßn cã ph¬ng tr×nh : (Cm): x +y -2mx+2(m+1)y-1=0; (Km): x2+ y2x+(m-1)y+3=0 1. T×m trôc ®¼ng ph¬ng cña ®êng trßn 2. Chøng minh r»ng khi m thay ®æi , trôc ®¼ng ph¬ng lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh .  C©u4 : Gi¶ sö tham sè a thuéc ®o¹n [ 0; ] vµ hµm sè ; f(x) = 3x4 + 4x3 (cosa – sina)-3x2 4 sin2a x¸c ®Þnh trªn [-sina ; cosa]. T×m a ®Ó gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt . 2

2

N¨m häc 2003-2004 C©u1 (5®):Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh sau : (3x -2x-1)( x  3  2) >0. C©u 2(6®): 1. Cho ph¬ng tr×nh : x6 +3x5 -6x4 + a x3 - 6x2 +3x+1 =0 t×m a ®Ó ph¬ng tr×nh cã ®óng hai nghiÖm ph©n biÖt. 2. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m hÖ lu«n cã nghiÖm (x ; y): mx -2y >m 2 2 x + y -2mx + y =0 C©u3 (6®): Trong kh«ng gian cho hai ®êng th¼ng d1,d2 sao cho 0x ,d1,d 2 ®«i mét chÐo nhau vµ vu«ng gãc víi nhau 1. XÐt ®êng th¼ng d bÊt kú ®i qua 0 . gäi α , β , δ thø tù lµ gãc gi÷a d víi c¸c ®êng 0x ,d1,d. Chøng minh tg2 α tg2 β tg2 δ - (tg2 α +tg2 β +g2 δ ) =2. -4-

2. BiÕt r»ng kho¶ng c¸ch gi÷a ba ®êng th¼ng bÊt kú trong ba ®êng 0x ,d1,d 2 cïng b»ng 2 ®¬n vÞ ®é dµi . mét h×nh hép ABCD.A’B’C’D’ tho¶ m·n : B’ vµ d thuéc 0x ; A’ vµ C’ thuéc d1;A vµ D’ thuéc d2 . TÝnh thÓ tÝch h×nh hép ABCD,A’B’C’D’. C©u 4(3®):Cho a,b d¬ng chøng minh r»ng : (a + 1)ln(a+1) + eb ≥ (a +1) (b+1) N¨m häc 2004 - 2005 C©u I ( 6 ®iÓm) Cho hµm sè f(x) = −2mx − x 2 + 2 x + 2m , víi m lµ tham sè. 3 2

1) Khi m =  ; h·y t×m kho¶ng ®ång biÕn, kho¶ng nghÞch biÕn cña hµm sè. 2) X¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè nghÞch biÕn trªn R .

x2  1 C©u II ( 4 ®iÓm) TÝnh tÝch ph©n I =  dx 4 2 x 1 ( x  x  1)(e  1) 1

C©u III (7 ®iÓm)Trªn mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é vu«ng gãc Oxy; cho ®êng parabol (P) cã ph¬ng tr×nh: y = x2 vµ ®êng trßn (C) cã ph¬ng tr×nh: x2 + y2 – 2x – 6y + 1=0 1) Chøng minh r»ng (P) vµ (C) cã ®óng 4 giao ®iÓm ph©n biÖt. 2) Cho ®iÓm A(1, 6) thuéc ®êng trßn (C) . H·y lËp ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®i qua ®iÓm M( 2, - 1) vµ tiÕp xóc víi ®êng trßn (C) t¹i ®iÓm A. 3) Gi¶ sö ®êng th¼ng (d) thay ®æi ®i qua ®iÓm A sao cho (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt T1 , T2 . Gäi (d1) , (d2) thø tù lµ tiÕp tuyÕn cña (P) t¹i tiÕp ®iÓm T1 , T2 . BiÕt r»ng (d1) c¾t (d2) ë ®iÓm N; h·y chøng minh ®iÓm N n»m trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh.  C©u IV (3 ®iÓm) Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc x thuéc kho¶ng ( 0 ;  1 ) , 2 3 ta ®Òu cã: cos x .sin( x  1)  3 cos( x  1).sin x  3 cos x.cos( x  1)

-5-