De Thi Hoc Sinh Gioi 12 Thanh Hoa (toanhoccapba.wordpress.com)

Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o thanh ho¸

Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH Năm học: 2008-2009 Môn thi: To¸n LỚP : 12 THPT Ngày thi: 28/03/2009 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC Số báo danh …………………….

Bµi 1(5,0 ®iÓm) Cho hµm sè y = x 3 − 3 x 2 + 2 cã ®å thÞ (C) 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. 2. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: x 3 − 3 x 2 + 2 = m 3 − 3m 2 + 2 3. Víi mçi ®iÓm M thuéc (C) kÎ ®−îc bao nhiªu tiÕp tuyÕn víi (C)? Bµi 2(4,0 ®iÓm) 1 e2 x2 dx 1. TÝnh tÝch ph©n: I = ∫ 2 x x + 4 + 4 0 2. Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau mµ trong ®ã chØ cã mét ch÷ sè lÎ ? Bµi 3 (5,0 ®iÓm) π π 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin(3x − ) = sin 2 x. sin( x + ) 4

4

2. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau nghiÖm ®óng víi mäi x m m m ) x 2 − 2(1 + log 2 ) x − 2(1 + log 2 ) < 0. m +1 m +1 m +1 x − log y x+log2 y 2 , u = 5y theo thø , u2 = 2 3. Víi gi¸ trÞ nµo cña x, y th× 3 sè u1 = 8 3 ( 2 − log 2

tù ®ã, ®ång thêi lËp thµnh mét cÊp sè céng vµ mét cÊp sè nh©n. Bµi 4 (5,0 ®iÓm) 1.Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh: 2 x 2 + ( y − 1) = 1 Chøng minh r»ng víi mçi ®iÓm M(m; 3) trªn ®−êng th¼ng y = 3 ta lu«n t×m ®−îc hai ®iÓm T1 , T2 trªn trôc hoµnh, sao cho c¸c ®−êng th¼ng MT1`, MT2 lµ tiÕp tuyÕn cña (C). Khi ®ã hWy viÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MT1T2. 2. Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n (AB = BC =1) vµ c¸c c¹nh bªn SA = SB = SC = 3. Gäi K, L lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AC vµ BC. Trªn c¹nh SA, SB lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm M, N sao cho SM = BN = 1. TÝnh thÓ tÝch cña tø diÖn LMNK. Bµi 5 (1,0 ®iÓm) Cho n lµ sè nguyªn lÎ vµ n >2. Chøng minh r»ng víi mäi a kh¸c 0 lu«n cã: a2 a3 an a2 a3 a n −1 an (1 + a + + + ... + )(1 − a + − + ... + − ) <1 2! 3! n! 2! 3! (n − 1)! n! HÕt

Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o thanh ho¸

Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH Năm học: 2008-2009 Môn thi: To¸n LỚP : 12 THPT Ngày thi: 28/03/2009

§¸p ¸n ®Ò chÝnh thøc §¸p ¸n nµy gåm cã 5 trang Bµi Bµi1 1(3®) 5® 1. TËp x¸c ®Þnh: R

§¸p ¸n vµ híng dÉn chÊm y , = 3x 2 − 6 x ;

§iÓm 0,5

y ,, = 6 x − 6

x = 0 y, = 0 ⇔  x = 2 ,, y = 0 ⇔ x =1

2 Sù biÕn thiªn

0,5

B¶ng biÕn thiªn x

y

0 0

−∞ +

,

1 -

2 0

y,,

-

0

y

2

U (1;0)

+∞ +

+

+∞

1,0

-2

−∞

3 §å thÞ : y 2

−1

2

1+ 3 O

1

1,0 1+ 3 3

x

−2

2. (1®) §Æt

f (m) = m 3 − 3m 2 + 2 3

2

3

2

Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x − 3 x + 2 = m − 3m + 2 lµ sè giao ®iÓm cña 3

2

®êng th¼ng y = f (m) = m − 3m + 2 víi ®å thÞ (C) Tõ ®å thÞ (C) ta cã -1 < m < 0; 0 < m <2; 2 < m < 3 th× -2 < f (m ) <2

f (m ) = -2 m = 3 hoÆc m = 0 th× f (m ) = 2 m < -1 th× f (m ) < -2 m > 3 th× f (m ) > 2 m = -1 hoÆc m = 2 th×

VËy * *

m > 3  m < −1 

ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm

m =∈ {− 1; 0; 2; 3} ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm

0,5

*

− 1 < m < 0; 0 < m < 3

ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm 0,5

3.(1®) 3

2

M thuéc ®å thÞ (C) suy ra M (a; a − 3a + 2) .®êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (C) t¹i T(x0;y0) th× (d) cã ph¬ng tr×nh: y = (3 x 02 − 6 x 0 )( x − x 0 ) + x 03 − 3 x 02 + 2 3

2

2 0

3 0

0,25

2 0

M ∈ (d ) ⇒ a − 3a + 2 = (3 x − 6 x0 )(a − x0 ) + x − 3x + 2 ⇔ (a 3 − x03 ) − 3(a 2 − x02 ) − (3x02 − 6 x0 )(a − x0 )

[

]

⇔ (a − x0 ) 2 x02 − (a + 3) x0 + 3a − a 2 = 0  x0 = a a −3 ⇔ (a − x0 )( x0 − )=0⇔  x0 = 3 − a 2 2 

0,25

3−a ⇔ a = 1 ⇒ M ≡ I (1 ; 0) cã 1 tiÕp tuyÕn duy nhÊt 2 3−a ⇔ a ≠ 1 ⇒ M ≠ I (1 ; 0) cã 2 tiÕp tuyÕn TH2 a ≠ 2

TH1

a=

Bµi2 4® 1.(2®)

I=

1

e2 ∫ 0

x2 dx x + 4x + 4

TÝnh

x2 dx J= ∫ 2 x + 4 x + 4 0 1

u = x 2 du = 2 xdx   §Æt  dx ⇒  1 dv = ( x + 2) 2 v = − x + 2 

1

0,25 0,25

2

1

0,25

1

0,5

1

1 dx x2 x ⇒J =− + 2∫ dx = − + 2 ∫ dx − 4∫ 3 x+2 x+2 0 x+2 0 0 0 1 1 5 3 1 1 + 2 x 0 − 4 ln x + 2 0 = − + 2 − 4(ln 3 − ln 2) = − 4 ln 3 3 3 2 5 3 ⇒ I = e 2 − 4e 2 ln 3 2 2.(2®) −

0,5 0,5 0,25

− − −− − − −− − − −− − − −

Ta kÝ hiÖu sè A lµ a1a2 a3a4 a5 a6 • Cã 5 kh¶ n¨ng chän mét ch÷ sè lÎ • Mçi c¸ch chän 1 ch÷ sè lÎ vµ 5 ch÷ sè ch½n cã P6=6! C¸ch s¾p xÕp 6 ch÷ sè ®W cho vµo 6 vÞ trÝ tõ a1®Õn a6 Nh vËy cã 5.P6 =5.6! c¸ch s¾p xÕp 10 ch÷ sè tõ 0 ®Õn 9 vµo 6 vÞ trÝ tõ a1 ®Õn a6 mµ mçi c¸ch chØ cã mét ch÷ sè lÎ. *Trong tÊt c¶ c¸c c¸ch s¾p xÕp ®ã th× nh÷ng c¸ch xÕp cã ch÷ sè 0 ®øng ë vÞ trÝ a1 kh«ng ph¶i lµ mét sè cã 6 ch÷ sè

1 * Do tÝnh b×nh ®¼ng cña c¸c ch÷ sè ®W chän cã sè c¸ch s¾p xÕp kh«ng ph¶i 6 lµ sè cã 6 ch÷ sè vµ b»ng

5.6! = 5.5! 6

VËy sè c¸c sè cã 6 ch÷ sè mµ trong nã chØ cã mét sè lÎ lµ 5.6! - 5.5! = 5!(30 - 5) = 25.5! = 3000 sè Bµi3 π khi ®ã ph¬ng tr×nh ®W cho trë thµnh 5® 1.(2®) §Æt t = x +

4

0,5

0,5

0,5 0,5

sin(3t − π ) = sin( 2t +

π

§Æt z = sin t §K z ≤ 1

2

) sin t ⇔ − sin 3t = cos 2t sin t (*) ph¬ng tr×nh (*) trë thµnh

z = 0 3x − 4 z 3 + (1 − 2 z 2 ) z = 0 ⇔ 6 z 3 − 4 z = 0 ⇔  2 2 z = 3 

*

0,5

z = 0 ⇒ sin t = 0 ⇔ t = kπ ⇒ x = −

π 4

0,5

+ kπ ; k ∈ Z

1 − cos 2t 2 1 2 2 = ⇔ cos 2t = − = cosα ⇒ sin 2 t = ⇔ 2 3 3 3 3 α π α   t = 2 + lπ  x = − 4 + 2 + lπ 2t = α + l 2π ⇔ ,l ∈ Z ⇔ ⇒ 2t = −α + l 2π t = − α + lπ  x = − π − α + lπ   2 4 2 π π α VËy PT cã nghiÖm lµ x = − + kπ , x = − ± + lπ . k , l ∈ Z

0,25

* z2 =

2.(2®)

4 4 2 m §Æt a = 1 + log 2 , bÊt ph¬ng tr×nh ®W cho trë thµnh: m +1 (3 − a) x 2 − 2ax − 2a < 0 (1)

VÕ tr¸i cña (1) lµ mét tam thøc b©c hai Èn x cã hÖ sè cña x lµ 3 − a . 2

TH1: 3 - a = 0 ⇔ a = 3 Khi ®ã (1) lµ 6 x− 6 < 0 ⇔ x < 1 suy ra (1) kh«ng nghiÖm ®óng mäi x

TH2

a > 3 3 − a < 0 a > 3  ⇔ 2 ⇔  a < 3 ⇔ a > 6  , ∆ < 0 a + 2a(3 − a) < 0  a > 6  Víi a > 6 ta cã 1 + log 2

⇔

0,5 0,25

0,5

0,5

0,5

m m >6⇔ > 32 m +1 m +1

31m + 32 31 <0⇔− < m < −1 . m +1 32

0,5

3.(1®)

a + c = 2b NÕu c¸c sè a, b, c ®ång thêi lµ cÊp sè céng vµ cÊp sè nh©n th×  2 ac = b suy ra a, c lµ nghiÖm cña pt: x 2 − 2bx + b 2 = 0 ⇔ x = b tõ ®ã a = b = c.  x + log y x − log y 2 (1) 2 =2 Theo bµi ra ta cã hÖ: 8  x − log2 y = 5y (2) 2 Tõ (1) 3x + 3 log 2 y = x − log 2 y ⇔ x = −2 log 2 y , thay vµo (2) ta ®−îc: 1 2 −3 log 2 y = 5 y ⇔ 5 y 4 = 1 ⇔ y = 4 5 ⇔ x = 2 log 2 4 5 = log 2 5 2 Bµi4 1.(3®) §−êng trßn (C) cã t©m I ( 0 ; 1 ) b¸n kÝnh R = 1 §iÓm T thuéc trôc hoµnh th× T( t ; 0) 5® §iÓm M( m; 3) thuéc ®−êng th¼ng y = 3 , ta cã: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng MT: x −m y −3 = ⇔ 3x + (t − m) y − 3t = 0 t −m −3 Do MT lµ tiÕp tuyÕn cña (C) nªn kho¶ng c¸ch tõ t©m I cña (C) ®Õn MT b»ng 1, hay t − m − 3t = 1 ⇔ (m + 2t ) 2 = 9 + (t − m) 2 2 2 3 + (t − m )

0,25 0,25

0,5

0,5 0,5

⇔ t 2 + 2mt − 3 = 0 (*) Do ph−¬ng tr×nh (*) lu«n cã hai nghiÖm t1 , t2 víi mäi m nªn lu«n tån t¹i hai ®iÓm T1(t1;0) vµ T2(t2;0) ®Ó MT1vµ MT2 lµ tiÕp tuyÕn cña (C). * Theo ®Þnh lý Vi Ðt cã t1 + t2 = -2m. Ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (C1) ngo¹i tiÕp tam gi¸c MT1T2 cã d¹ng:

0,5

x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 V× M, T1, T2 thuéc ®−êng trßn (C1) nªn cã hÖ m 2 + 9 + 2ma + 6b + c = 0 (1)  2 t1 + 2at1 + c = 0 (2)  2 t 2 + 2at 2 + c = 0 (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra 2

0,5

2

t1 − t 2 + 2a (t1 − t 2 ) = 0 (do t1 ≠ t 2 ) ⇔ t1 + t 2 + 2a = 0 ⇔ −2m + 2a = 0 ⇔ a = m. Thay vµo (2) ta cã

2

t1 + 2mt1 + c = 0 2

Do t1 lµ nghiÖm cña(*) nªn t1 + 2mt1 − 3 = 0 ⇒ c = −3 Thay c = -3 vµo (1) ta ®−îc: m2 + 2 2 2 m + 9 + 2m + 6b − 3 = 0 ⇔ b = − 2 m2 + 2 2 2 y −3 = 0 VËy ph−¬ng tr×nh cña (C1) lµ: x + y + 2mx − 2

0,5

0,5

2.(2®)

LÊy ®iÓm E thuéc SA sao cho AN=1 suy ra NE// AB // KL ⇒ S ∆NKL = S ∆EKL ⇒ VMNKL = VMEKL ; S ∆EKM = 1 S SKC 6 MÆt kh¸c kho¶ng c¸ch tõ L ®Ðn mÆt ph¼ng (MKE) b»ng BK

0,5 0,5

2

VËy VKLME

1 = VSABC mµ 12

0,5

1 1 17 1 17 1 17 34 (®vtt) ⇒ VKLMN = . = . = VSABC = SK .S ABC = 3 3 2 2 6 2 12 6 2 144

0,5

S

M

E

N K

A

C L

B

Bµi5 Coi a lµ Èn , ®iÒu kiÖn a kh¸c 0 1® a 2 a3 an a2 a n −1 , = + + + + + ⇒ u a u a 1 ... = 1 + + + ... + §Æt

2!

2

v = 1− a +

3

3!

n!

n −1

2!

(n − 1)!

n

a a a a − + ... + − 2! 3! (n − 1)! n!

⇒ v , = −1 + a −

a2 a3 a4 a n−2 a n −1 + − + ... + − 2! 3! 4! (n − 2)! (n − 1)!

0,25

an an , , v = −v − Khi ®ã u = u + n! n! ,

u + v = 2(1 +

a2 a4 a n −1 + + ..... + ) > 0 víi mäi a vµ n lÎ n > 2 2! 4! (n − 1)!

0,25

§Æt vÕ tr¸i cña bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh lµ f(a)

an an an ) + v(u − ) = − (u + v) n! n! n! ,  f (a ) > 0 khi a < 0 Do u + v > 0 , a ≠ 0 ⇒  ,  f (a ) < 0 khi a > 0

, , , Ta cã f (a ) = uv + vu = u (−v −

0,25

Ta cã b¶ng biÕn thiªn a

0

−∞ ,

f (a) f (a )

+

+∞ -

1

do a kh¸c 0 nªn f(a) <1 ( ®iÒu ph¶i chøng minh)

0,25