De Thi Giai Toan Tren May Tinh Cam Tay Casio

Phßng GD & §T Bè tr¹ch

K× thi chän häc sinh giái líp 9 Kho¸ ngµy: 4 /7/2008 M· ®Ò: 01 M«n thi: Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh cÇm tay Thêi gian 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) C¸c quy ®Þnh vµ lu ý: - §Ò thi gåm 10 bµi, ThÝ sinh lµm bµi vµo tê giÊy thi. - ThÝ sinh ®îc sö dông c¸c lo¹i m¸y tÝnh sau: Casio fx220; fx500A; fx500MS; fx570MS; fx500ES; fx570ES; - NÕu kh«ng cã chØ ®Þnh g× kh¸c th× víi c¸c sè gÇn ®óng ®îc quy ®Þnh chÝnh x¸c ®Õn 5 ch÷ sè thËp ph©n. §Ò bµi Bµi 1: (5 ®iÓm) Tính giá trị của biểu thức(chØ ghi kÕt qu¶): A  321930  291945  2171954  3041975 B

(x  5y)(x  5y)  5x  y 5x  y   2   2 2 2 x y  x  5xy x  5xy 

Với

x

=

0,987654321;

y

=

0,123456789 Bµi 2: (5 ®iÓm) T×m UCLN cña 40096920, 9474372 vµ 51135438 Bµi 3: (5 ®iÓm) (chØ ghi kÕt qu¶): 5584 1 a  1 1051 b 1 a) Tìm các số tự nhiên a, b, c, d, e biết: c 1 d e b) Tính giá trị của x từ phương trình sau  3 4   4 1  0,5  1  x  1, 25  1,8 :   3  7 5 2 3     7  5,2 :  2,5   3  1 3  4  15, 2  3,15  :  2  4  1,5  0,8  4  2 4  Bµi 4: (5 ®iÓm) a) Một người vay vốn ở một ngân hàng với số vốn là 50 triệu đồng, thời hạn 48 tháng, lãi suất 1,15% trên tháng, tính theo dư nợ, trả đúng ngày qui định. Hỏi hàng tháng, người đó phải đều đặn trả vào ngân hàng một khoản tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu để đến tháng thứ 48 thì người đó trả hết cả gốc lẫn lãi cho ngân hàng? b) Nếu người đó vay 50 triệu đồng tiền vốn ở một ngân hàng khác với thời hạn 48 tháng, lãi suất 0,75% trên tháng, trên tổng số tiền vay thì so với việc vay vốn ở ngân hàng trên, việc vay vốn ở ngân hàng này có lợi gì cho người vay không? Bµi 5: (5 ®iÓm) Cho ña thöùc P(x) = x3 + ax2 + bx + c a) Tìm a , b , c bieát raèng khi x laàn löôït nhaän caùc giaù trò 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) coù giaù trò töông öùng laø 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653 b) Tìm soá dö r cuûa pheùp chia ña thöùc P(x) cho 12x – 1

c) Tìm giaù trò cuûa x khi P(x) coù giaù trò laø 1989 Bµi 6: (5 ®iÓm) Cho daõy soá saép xeáp thöù töï U1 , U2 , U3 ,……… ,Un ,Un+1,…… bieát U5 = 588 ; U6 = 1084 ; Un+1 = 3Un - 2 Un-1 . Tính U1 ; U2 ; U25 Bµi 7: (5 ®iÓm) Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – 7 )64. Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị. Bµi 8: (5 ®iÓm) Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244 Tính A = x3000 + y3000 Bµi 9: (5 ®iÓmCho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho  ABD =  CBE = 200. Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trên cạnh BC sao BN = BM. Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và tam giác BEN. 1  1 1  1 1 1  1 1 1 1  Bµi 10:(5 ®iÓm) Tính S =  1   1    1    ...  1     ...   chính 2 2 3 2 3 4 2 3 4 10 

 

 

xác đến 4 chữ số thập phân. ----------Hết---------







Phßng GD & §T Bè tr¹ch M· ®Ò 01

®¸p ¸n vµ híng dÉn chÊm K× thi chän häc sinh giái líp 9 Kho¸ ngµy: 4 /7/2008 M«n thi: Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh cÇm tay

Bµi 1: (5 ®iÓm; mçi ý cho 2,5 ®iÓm) Tính giá trị của biểu thức(chØ ®iÒn kÕt qu¶): A  567,86590 B = 10,125 Bµi 2: (5 ®iÓm) (Nªu ®îc c¬ së lý thuyÕt vµ c¸ch gi¶i 2 ®iÓm; KÕt qu¶ 3 ®iÓm) Do maùy caøi saün chöông trình ñôn giaûn phaân soá neân ta duøng chöông trình naøy ñeå tìm Öôùc soá chung lôùn nhaát (ÖSCLN) Ta có :

A a = B b

(

a toái giaûn) b

ÖSCLN(A;B) = A ÷ a AÁn 9474372 40096920 = Ta ñöôïc : 6987 29570 ÖSCLN cuûa 9474372 vaø 40096920 laø 9474372 ÷ 6987 = 1356 Ta ñaõ bieát : ÖSCLN(a ; b ; c ) = ÖSCLN(ÖSCLN( a ; b ) ; c ) Do ñoù chæ caàn tìm ÖSCLN(1356 ; 51135438 ) AÁn 1356 51135438 = Ta ñöôïc : 2 75421 Keát luaän : ÖSCLN cuûa 9474372 ; 40096920 vaø 51135438 laø : 1356 ÷ 2 = 678 ÑS : 678 5584 1 5 1 1051 3 1 Bµi 3: (5 ®iÓm) a) Ta có 5 1 7 9 a=5 b=3 c=5 d=7 e=9 b) x = −903,4765135 Bµi 4: (5 ®iÓm) a) Gọi số tiền vay của người đó là N đồng, lãi suất m% trên tháng, số tháng vay là n, số tiền phải đều đặn trả vào ngân hàng hàng tháng là A đồng.

 - Sau tháng thứ nhất số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là: N  1  

m   – A đồng. 100 

- Sau tháng thứ hai số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là:  [N  1  

2 m  m  m    m   1  1  – A ] – A = N – A[  1     +1]đồng.   100  100  100    100  

- Sau tháng thứ ba số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là: 2 3 2 m  m  m     m  m  m    1  1  {N  1  – A[  1  +  1 +1]}  – A = N  1  +1]  – A[    100  100  100    100  100  100    



đồng Tương tự : Số tiền gốc còn lại trong ngân hàng sau tháng thứ n là : n 1

n

n 2

m   m  m  m    N  1  – A[  1   +  1  +...+  1  100 +1] đồng.   100  100  100     m   Đặt y =  1  , thi ta có số tiền gốc còn lại trong ngân hàng sau tháng thứ n sẽ là: 100   

Nyn – A (yn-1 +yn-2 +...+y+1). Vì lúc này số tiền cả gốc lẫn lãi đã trả hết nên ta có : n

Ny = A (y

n-1

+y

n-2

Ny n Ny n ( y  1) +...+y+1)  A = n 1 n  2 = y  y  ...  y  1 yn 1

Thay bằng số với N = 50 000 000 đồng, n = 48 tháng, y = 1,0115 ta có : A = 1.361.312,807 đồng. b) Nếu vay 50 triệu đồng ở ngân hàng khác với thời hạn như trên, lãi suất 0,75% trên tháng trên tổng số tiền vay thì sau 48 tháng người đó phải trả cho ngân hàng một khoản tiền là: 50000000 + 50000000 x 0,75% x 48 = 68 000 000 đồng. Trong khi đó vay ở ngân hàng ban đầu thì sau 48 tháng người đó phải trả cho ngân hàng một khoản tiền là: 1.361.312,807 x 48 = 65 343 014,74 đồng. Như thế việc vay vốn ở ngân hàng thứ hai thực sự không có lợi cho người vay trong việc thực trả cho ngân hàng. Bµi 5: (5 ®iÓm) 5.a: Thay lần lượt các giá trị x = 1,2 ; x =2,5 ; x=3,7 vào đa thức P(x) = x3+ax2 + c ta được hệ  1,44a  1,2b  c  1993   6,25a  2,5b  c  2045 Giải hệ phương trình ta được  13,69a  3,7b  c  2123 

a=10 ; b=3 ; c = 1975 5.b: Số dư của phép chia P(x) =x3+10x2+3x+1975 cho 2x+5 chính là giá trị P(-2,5) của đa thức P(x) tại x=-2,5. ĐS ; 2014,375 5.c: Giải phương trình P(x) =x3+10x2+3x+1975= 1989 hay x3+10x2+3x-14 =0 a) x=1 ; x= -9,531128874 ; x= -1,468871126 Bµi 6: (5 ®iÓm) Ta có U n 1 

3U n  U n 1 nên U4 = 340 2

= 123 ; Và từ U5 = 588 ; U6 = 1084 ; 520093788

;

U3 = 216

; U2 = 154

Un+1 = 3Un - 2 Un-1 ta có U25 =

; U1

Bµi 7: (5 ®iÓm) Tổng các hệ số của đa thức Q(x) là giá trị của đa thức tại x = 1. Gọi tổng các hệ số của 2 đa thức là A, ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7) 64 = 264. Để ý rằng : 264 =  232  = 42949672962 . Đặt 42949 = X, 67296 = Y, ta có : A = ( X.105 +Y)2 = X2.1010 + 2XY.105 + Y2 . Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: X2.1010 = 1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2XY.105 = 5 7 8 0 5 9 1 8 0 8 0 0 0 0 0 2 Y = 4 5 2 8 7 5 1 6 1 6 A = 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 6 Bµi 8: (5 ®iÓm) Ñaët a = x 1000 , b = y 1000 .Ta coù : a + b = 6,912 ; a 2 + b2 = 33,76244 . K hi ñoù : a 3 + 3

3

3

b = (a + b) - 3ab(a + b) = (a + b) - 3.

( a + b)

2

− ( a 2 + b2 ) 2

⋅ ( a + b)

Ñaùp soá : A = 184,9360067 Bµi 9: (5 ®iÓm) Kẻ BI ⊥ AC ⇒ I là trung điểm AC. Ta có: ∠ ABD = ∠ CBE = 200 ⇒ ∠ DBE = 200 (1) ∆ ADB = ∆ CEB (g–c–g) ⇒ BD = BE ⇒ ∆ BDE cân tại B ⇒ I là trung điểm DE. mà BM = BN và ∠ MBN = 200 ⇒ ∆ BMN và ∆ BDE đồng dạng.

A

D I E M

2

S  BM  1 ⇒ BMN =   = S BED  BE  4 1 ⇒ SBNE = 2SBMN = S BDE = SBIE 2

B

Vậy SBCE + SBNE = SBCE + SBIE = SBIC =  

1 

C

N

1 3 S ABC = . 2 8 1

1 

1

1

1   

1

1

1

1 

Bµi 10:(5 ®iÓm) Tính S = 1 + 1 + + 1 + + +  ... 1 + + + + ... +  chính 2 2 3 2 3 4 2 3 4 10 



xác đến 4 chữ số thập phân. Sử dụng máy tính Casio 570 MS, Gán số 1 cho các biến X,B,C. Viết vào màn hình của máy dãy lệnh: X=X+1: A = 1 X : B = B + A : C = CB rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến khi X = 10, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ số thập phân của S là: 1871,4353 ----------Hết---------