De Manera An.docx

De manera an´aloga a la definici´on 2.1, la pareja (U, ϕ) es una parametrizaci ´on alrededor de p y si ψ = φ−1, entonces (U, ψ) es una carta para la superficie S alrededor del punto p, y un conjunto de cartas {(Ui, ψi)} es un atlas para la superficie cuando S = ∪iUi. Ejemplo 2.5. En el ejemplo 2.2 vimos que la esfera S2

es una superficie topol´ogica. Las transformaciones que utilizamos en ese ejemplo son tambi´en diferenciables, por lo que la esfera es una superficie diferenciable. _ R

M´as adelante veremos que el cono del ejemplo 2.3 no es una superficie diferenciable, pero antes veamos algunas consecuencias de la definici´on 2.4. Sean p un punto de una superficie diferenciable y (U, ϕ) una parametrizaci´on en p. Entonces ϕ tiene una inversa ψ diferenciable, de modo que existe una transformaci´on diferenciable Ψ definida en una vecindad ordinaria de p en R3 tal que Ψ ◦ ϕ = Id. Por la regla de la cadena, tenemos que dΨp ◦ dϕq = Id. donde q = ϕ−1(p). Esto dice que la transformaci´on dϕq es inyectiva. Para traducir este hecho a una forma matricial, sean (u, v) las coordenadas en R2 y (x, y, z) las coordenadas en R3, de modo que ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). La matriz asociada a dϕq tiene entonces la forma Dϕq = ⎛ ⎝

xu xv yu yv zu zv ⎞ ⎠, donde, por ejemplo, xu denota la parcial de x con respecto de u. Sabemos tambi´en que los vectores columna de esta matriz son las im´agenes de los vectores {e1, e2} de la base can´onica de R2. Denotamos estos vectores como ϕu, ϕv: dϕq(e1) = (xu, yu, zu) = ϕu, dϕq (e2) = (xv, yv, zv) = ϕv. El ´algebra lineal nos proporciona el siguiente resultado. Lema 2.6. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: