Dcin_u3_ea.docx

Actividad de Evaluación de la Unidad Tres. Descripción general del método numérico de integración por el método de trapecios.

La suma de Riemman como una aproximación numérica para la solución de integrales. I.1 Suponga que la ecuación de la demanda (p) para el producto de una empresa está dada por:

𝒑 = 𝟏𝟎(𝒙 + 𝟐𝟎)𝒆−(𝟎.𝟏𝒙+𝟏) Donde p, es el precio unitario en dólares cuando se demanda x unidades. Si el equilibrio del mercado ocurre cuando x=20 unidades. Utilice la integración por partes para determinar el excedente de los consumidores bajo el equilibrio del mercado. 𝑓(𝑥) = 10(𝑥 + 20)𝑒 −(0.1𝑥+1) = ∫ 10(𝑥 + 20)𝑒 −(0.1𝑥+1) 𝑑𝑥 Se observa que es una integral de forma udv, asi que se analiza e identifica cada una de las partes para hacer la formula de la integral ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 Integral de: 𝑒 −(0.1𝑥+1) ∫ 𝑒−(0.1𝑥+1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑢 Se sustituye de acuerdo a

𝑢 = (𝑥 + 20), 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒−(0.1𝑥+1) 𝑑𝑥, 𝑣 = 10𝑒−(0.1𝑥+1)

𝑑𝑢 1 = ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = − 10(𝑒 𝑢 ) = 10𝑒−(0.1𝑥+1) 0.1 0.1

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ∫ 10(𝑥 + 20)𝑒 −(0.1𝑥+1) 𝑑𝑥 = 10 [−10𝑒 −(0.1𝑥+1) (𝑥 + 20) − (10) ∫ 𝑒 −(0.1𝑥+1) 𝑑𝑥] Se simplifica u*v = 10 [−10𝑥𝑒 −(0.1𝑥+1) − 200𝑒 −(0.1𝑥+1) − 10 ∫ 𝑒 −(0.1𝑥+1) 𝑑𝑥] Se integra ∫ 𝑣𝑑𝑢 10 ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢] 0.1 = 10[−10𝑥𝑒 −(0.1𝑥+1) − 200𝑒 −(0.1𝑥+1) − 100𝑒 𝑢 ]

= 10 [−10𝑥𝑒 −(0.1𝑥+1) − 200𝑒 −(0.1𝑥+1) −

Se sustituye u por su valor y se evalua = 10[−10𝑥𝑒 −(0.1𝑥+1) − 200𝑒 −(0.1𝑥+1) − 100𝑒 −(0.1𝑥+1) ] = 10[−10𝑥𝑒 −(0.1𝑥+1) − 300𝑒 −(0.1𝑥+1) ] = [−100(20)𝑒 −(0.1(20)+1) − 3000𝑒 −(0.1(20)+1) ] − [−100(0)𝑒 −(0.1(0)+1) − 3000𝑒 −(0.1(0)+1) ] = −

2000 3000 100 3000 2000 3000 100 3000 − 3 − [− − + ]=− 3 − 3 + 3 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 = −99.5741 − 149.36 + 36.7879 + 1103.6383 = 854.702981

I.2 Reporta en la siguiente tabla una aproximación numérica de la suma de Riemann con diez intervalos. Solución: Paso I: análisis e identificación. Limites: [𝑏 = 20 & 𝑎 = 0] Ancho de los n subintervalos:

∆𝑥 =

𝑏−𝑎 𝑛

=

20−0 10

20

= 10 = 2

Subintervalos de los puntos extremos de la derecha: 20 10

𝒙𝒊 = 𝑎 + 𝑖(∆𝑥) = 0 + 𝑖 ( ) = 𝑎 + 2𝑖 La suma de Riemann es la siguiente 𝑛

𝑛

∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥 = ∑(10(𝑥 + 20)𝑒 −(0.1𝑥+1) )∆𝑥 𝑖=1

𝑖=1

Usamos la regla de los puntos medios y recordamos que el Areai = 2*f(xi)

Intervalo i=0 i=1

𝑿𝒊 (𝑓(0) + 𝑓(2)) = 𝑓(1) 2 (𝑓(2) + 𝑓(4)) = 𝑓(3) 2

𝒇(𝑿𝒊)

∆𝑿𝒊 2

10(1 + 20)𝑒 −(0.1(1)+1) = 69.9029

139.8058

2

10(3 + 20)𝑒 −(0.1(3)+1) = 62.6823

121.3646

Área i

i=2 i=3 i=4 i=5 i=6 i=7 i=8 i=9

(𝑓(4) + 𝑓(6)) = 𝑓(5) 2 (𝑓(6) + 𝑓(8)) = 𝑓(7) 2 (𝑓(8) + 𝑓(10)) = 𝑓(9) 2 (𝑓(10) + 𝑓(12)) = 𝑓(11) 2 (𝑓(12) + 𝑓(14)) = 𝑓(13) 2 (𝑓(14) + 𝑓(16)) = 𝑓(15) 2 (𝑓(16) + 𝑓(18)) = 𝑓(17) 2 (𝑓(18) + 𝑓(20)) = 𝑓(19) 2

2

10(5 + 20)𝑒 −(0.1(5)+1) =55.7825

111.6550

2

10(7 + 20)𝑒 −(0.1(7)+1) = 49.3245

98.6490

2

10(9 + 20)𝑒 −(0.1(9)+1) = 43.3748

86.7490

2

10(11 + 20)𝑒 −(0.1(11)+1) = 37.9614

75.9228

2

10(13 + 20)𝑒 −(0.1(13)+1) = 33.0854

66.1708

2

10(15 + 20)𝑒 −(0.1(15)+1) = 28.7297

57.4594

2

10(17 + 20)𝑒 −(0.1(17)+1) = 24.8660

49.7320

2

10(19 + 20)𝑒 −(0.1(19)+1) = 21.4590

42.9180

Suma

854.3390

I.3 Reporta la gráfica de la función 𝒑 = 𝟏𝟎(𝒙 + 𝟐𝟎)𝒆−(𝟎.𝟏𝒙+𝟏) y debajo de ella representar los diez rectángulos, a escala.

I.4Reportar el error relativo entre el resultado numérico y el resultado exacto (analítico).

𝟐𝟎

∫ 𝟏𝟎(𝒙 + 𝟐𝟎)𝒆−(𝟎.𝟏𝒙+𝟏) 𝒅𝒙 = 𝟖𝟓𝟒. 𝟕𝟎𝟐𝟗𝟖𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒐 𝟎 𝟐𝟎

∫ 𝟏𝟎(𝒙 + 𝟐𝟎)𝒆−(𝟎.𝟏𝒙+𝟏) 𝒅𝒙 𝟎

= 𝟖𝟓𝟒. 𝟑𝟑𝟗𝟎 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒎𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑹𝒊𝒆𝒎𝒂𝒏𝒏 Se calcula el porcentaje de error con la siguiente formula 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =

𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 ∗ 100 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙

Entonces, el valor real es la integral y el valor calculado es la aproximación numérica de suma de Riemann 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =

I.

854.702981 − 854.3390 ∗ 100 = 0.0425% 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 854.702981

Método de trapecios. II.1 Describir de forma general en qué consiste el método de trapecios.

II.2 Reporta en la siguiente tabla una aproximación numérica del método de trapecios para diez intervalos, de la integral del apartado I.1. 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 𝑎

ℎ [𝑓(𝑥0 ) + 2𝑓(𝑥1 ) + 2𝑓(𝑥2 ) + ⋯ 2𝑓(𝑥𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )] 2 𝑛−1

𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 = [𝑓(𝑎) + 2 ∑ 𝑓 (𝑎 + 𝑖 ) + 𝑓(𝑏)] 2𝑛 𝑛 𝑖=1

Intervalo i=0 i=1 i=2 i=3 i=4 i=5 i=6 i=7 i=8 i=9

𝑿𝒊 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

𝑿𝒊 + 𝟏 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

∆𝑿𝒊 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

𝒇(𝑿𝒊) 73.57588823 66.26272662 59.18327135 52.49309468 46.2836887 40.60058497 35.45701068 30.84410412 26.73848816 23.1078238

𝒇(𝑿𝒊 + 𝟏) 66.26272662 59.18327135 52.49309468 46.2836887 40.60058497 35.45701068 30.84410412 26.73848816 23.1078238 19.91482735 Suma

Área i 139.8386149 125.445998 111.676366 98.77678338 86.88427367 76.05759565 66.30111479 57.58259228 49.84631195 43.02265114 855.4323017

II.3 Reporta la gráfica de la función 𝟏𝟎(𝒙 + 𝟐𝟎)𝒆−(𝟎.𝟏𝒙+𝟏) y debajo de ella representar los diez trapecios, a escala.

II.4 Reportar el error relativo entre el resultado numérico y el resultado exacto (analítico). 𝟐𝟎

∫ 𝟏𝟎(𝒙 + 𝟐𝟎)𝒆−(𝟎.𝟏𝒙+𝟏) 𝒅𝒙 = 𝟖𝟓𝟒. 𝟕𝟎𝟐𝟗𝟖𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒐 𝟎 𝟐𝟎

∫ 𝟏𝟎(𝒙 + 𝟐𝟎)𝒆−(𝟎.𝟏𝒙+𝟏) 𝒅𝒙 𝟎

= 𝟖𝟓𝟓. 𝟒𝟑𝟐𝟑𝟎𝟏𝟕 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒎𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒑𝒆𝒄𝒊𝒐𝒔 Se calcula el porcentaje de error con la siguiente formula 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =

𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 ∗ 100 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙

Por lo tanto, el valor real es la integral y el valor calculado es la aproximación numérica de suma de trapecios. 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =

854.702981 − 855.4323017 ∗ 100 = 0.085% 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 854.702981

II.

Diagrama de bloques del método de trapecios. III.1 Generar un diagrama de bloques o pseudocódigo del método de trapecios. (Usa editor de ecuaciones y un editor de gráficos para generar aquí el reporte)

III.

Referencias (Reportar en formato APA y EVITAR referencias no formales como el rincón de vago, buenas tareas, yahoo respuestas, el profe…; SÍ usar fuentes como libros, revistas, sitios de universidades públicas o de centros de investigación, etc.)

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Catremo14. (2014). Integración Numérica - Regla del trapecio. 06/03/2019, de youtube.com Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=v0iIhdP9oxE&t=455s Stewart, James (2012): "Cálculo de una variable. Transcendentes tempranas". 7ª edición. Thomson Utfsm.cl. (2019). REPRESENTACIONES GRÁFICAS. 07/03/2019, de utfsm.cl Sitio web: http://www2.elo.utfsm.cl/~elo104/informacion/resumenes/11_Diagrama%20de%20 Bloques.pdfn