Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
CHƯƠNG V : KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG I.
Lý thuyết:
1. Định nghĩa đạo hàm : a. Đạo hàm của hàm số tại 1 điểm : Cho hàm số y = f ( x) xác định trên tập D, x0 ∈ D . Khi đó giới hạn (nếu có ) :
lim
x → x0
f ( x) − f ( x0 ) được gọi là đạo hàm của hàm số tại x0 x − x0
Kí hiệu :y’(x0) hoặc f’(x0) Vậy :
f’(x0)= lim
x → x0
f ( x) − f ( x0 ) (1) x − x0
* Nếu đặt : ∆x = x − x0 ( ∆x là giá trị sao cho ∆x + x0 ∈ D ).Khi x → x0 thì ∆x → 0
⇒ ∆y = f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) . f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) ∆y = lim (2) ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x
Vậy : f '( x0 ) = lim
∆x : Gọi là số gia của đối số ( biến số x ) ∆y : Gọi là số gia của hàm số. Như vậy : (1) và (2) đều là những công thức để tính đạo hàm của hàm số tại 1 điểm. b.Đạo hàm của hàm số trên một khoảng : Đ/n : • Hàm số y = f ( x) được gọi là có đạo hàm trên (a.b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khỏang đó. • Hàm số y = f ( x) được gọi là có đạo hàm trên [ a, b ] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khỏang (a,b) và có đạo hàm phải tại a ,đạo hàm trái tại b. Lưu ý : Khi làm bài tập,nếu đề nói : Hàm số y = f ( x) có đạo hàm,mà không chỉ rõ trên khoảng nào,thì ta phải hiểu là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đó. c. Mối liện hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số. *Định lý: Nếu hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó. ( Điều ngược lại không đúng,nghĩa là : Nếu hàm số y = f ( x) liên tục tại điểm x0 có thể không có đạo hàm tại điểm đó!) *Phát biểu tương đương của định lý :
Wiki 1 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
Nếu hàm số y = f ( x) không liên tục tại điểm x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. d. Ý nghĩa hình học của đạo hàm : Định lý 1 : Đạo hàm của hàm số y = f ( x) tại x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với phần đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ x0 Vậy : k=f’(x0)= lim
x → x0
f ( x) − f ( x0 ) x − x0
Định lý 2 :Phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f ( x) tại điểm
M ( x0 , f ( x0 )) là : y − y0 = k ( x − x0 ) Với k =f’(x0) , và y0=f(x0)
II. Các dạng toán : Dạng 1 : Tính đạo hàm của hàm số y = f ( x)
tại x0
Phương pháp : Pp1: ( Sử dụng f’(x0)= lim
x → x0
f ( x) − f ( x0 ) ) x − x0
Bước 1 : Tìm D ( TXĐ ), chỉ ra x0 ∈ D ( nếu thỏa mãn thì có thể không cần chỉ ra bước 1.Nếu không, nhất thiết phải chỉ ra và dừng lại)
f ( x) − f ( x0 ) 0 .Giới hạn dạng đã biết cách giải ( đọc lại ) x − x0 0 f ( x) − f ( x0 ) Bước 3 : Kết luận f’(x0)= lim x → x0 x − x0 Bước 2 : Tính lim
x → x0
Ví dụ :Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm x0 đã cho. 1. y=f(x)=2x2-3x+1 tại x0=1 2. y=f(x)= 5 − 2x tại x0=2
3. y=f(x)= x x 2 tại x0=0 Giải : 1. Có : lim x →1
f ( x) − f (1) (2 x 2 − 3 x + 1) − 0 ( x − 1)(2 x − 1) = lim = lim = lim(2 x − 1) = 1 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 x −1
Vậy f’(1)=1 2. Có : lim x→2
f ( x) − f (2) 5 − 2 x − 5 − 2.2 5 − 2x −1 = lim = lim x →2 x→2 x−2 x−2 x−2
( 5 − 2 x − 1)( 5 − 2 x + 1) 5 − 2x −1 −2( x − 2) = lim = lim x→2 x → 2 ( x − 2)( 5 − 2 x + 1) x → 2 ( x − 2)( 5 − 2 x + 1) ( x − 2)( 5 − 2 x + 1) −2 = lim = −1 x→2 5 − 2x + 1
= lim
Wiki 2 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
Vậy f’(2)=-1
xx f ( x) − f (0) x x2 3. Có : lim = lim = lim = lim x = 0 x →0 x→0 x →0 x x →0 x−0 x Vậy : f’(0)=0 Pp2 : Sử dụng số gia đối số và số gia hàm số ( Ta chỉ sử dụng pp này khi đề yêu cầu “ công khai” hoặc “ ngầm “ nói tới ∆x , ∆y ).Nói chung,phải nắm chắc pp này,vì đa phần về sau đều sử dụng pp này,tuy hơi rắc rối với những bạn còn “ chưa thạo HĐT “????? Và đưa ra giá trị của hàm số ứng với các đối số có giá trị khác nhau!) Bước 1 : G/s ∆x là số gia của đối số tại x0 ( lưu ý : ∆x +x0 ∈ D )
⇒ ∆y = f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) ∆y Bước 2 : Lập tỷ số : và rút gọn ( mục đích làm xuất hiện nhân tử ∆x ∆x để rút gọn khi tìm giới hạn ở bước 3 ) Bước 3 : Tính : lim
∆x → 0
f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) =L ∆x
KL : f’(x0)=L Ví dụ : Sử dụng số gia đối số và hàm số tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm tương ứng. 1. y=f(x)=2x2 tại x0=1 2. y=f(x)= 2 x + 7 tại x0=1 3. y=f(x)= 3 x + 8 tại x0=1 Giải : 1. * G/s ∆x là số gia của đối số tại x0=1
⇒ ∆y = f (∆x + 1) − f (1) = 2(∆x + 1)2 − 2.12 = 2[(∆x + 1)2 − 1] = 2.∆x(∆x + 2) ∆y 2.∆x(∆x + 2) = = 2.(∆x + 2) * Tỷ số : ∆x ∆x * Tính lim 2( ∆x + 2) = 4 ∆x → 0
Vậy f’(1)=4 2. * G/s ∆x là số gia của đối số tại x0=1
⇒ ∆y = f (∆x + 1) − f (1) = 2(∆x + 1) + 7 − 9 = 2∆x + 9 − 3 * Tỷ số :
∆y 2∆x + 9 − 3 ( 2∆x + 9 − 3)( 2∆x + 9 + 3) = = ∆x ∆x ∆x( 2∆x + 9 + 3) 2∆x 2 = = ∆x( 2∆x + 9 + 3) 2∆x + 9 + 3
Wiki 3 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
∆y 2 2 1 = lim = = ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 2∆x + 9 + 3 6 3 1 Vậy f’(1)= 3
* Tính : lim
3. Tương tự… Chú ý : Ngoài việc nhóm các hạng tử một cách khéo léo khi biểu thức là những đa thức để sử dụng hằng đẳng thức “ hiệu của 2 bình phương ,lập phương “ ( Mục đích là làm giảm mức độ rắc dối của bài toán.) Thì ta còn phải nhớ rằng : phải sử dụng lượng liên hợp hoặc sử dụng các cách đã biết để khử dạng vô định
0 0
Ta sẽ thấy rõ điều này khi làm các bài tập sau : Bài tập :Tính đạo hàm của các hàm số sau : 1. y=f(x)=2x3-3x2+x-1 tại x0=2 2. y=f(x)= 3 2 x + 6 tại x0=1 3. y=f(x)= x 2 − 5 x + 6 tại x0=2
1 5 2 x + 1 tại x0=-1 3 2 Dạng 2 : Tính đạo hàm của hàm số y = f ( x) tại x0 4. y=f(x)= x3 −
Trong đó :
g ( x) khi x ≠ x0 h( x) khi x = x0
y=f(x)= PP: 1/Tính : lim
x → x0
f ( x) − f ( x0 ) g ( x) − h( x) = lim =L x → x 0 x − x0 x − x0
2/ Kl : f’(x0)= L ( Lưu ý sự lựa chọn hàm số g(x) và h(x) ở đây!!!) Ví dụ : Cho hàm số :
x+4 −2 x Y=f(x)= 1 4
khi khi
x≠0 x=0
a. Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục tại x=0 b. Tìm đạo hàm ( nếu có) của f(x) tại x=0
Giải :
Wiki 4 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
a. Có :
x+4 −2 ( x + 4 − 2)( x + 4 + 2) = lim x →0 x→0 x →0 x x( x + 4 − 2) x 1 1 = lim = lim = x → 0 x ( x + 4 + 2) x →0 x+4 +2 4 1 ⇒ lim f ( x) = f (0) = x →0 4 lim f ( x) = lim
Vậy hàm số liên tục tại x=0 b. Có : f’(0)=
lim x →0
f ( x) − f (0) = lim x →0 x−0
= lim x →0
x+4 −2 1 4( x + 4 − 2) − x − x 4 = lim 4x x →0 x x
4( x + 4 − 2) − x 4 x + 4 − ( x + 8) [4 x + 4 − ( x + 8)][4 x + 4 + ( x + 8)] = lim = lim 2 2 x → 0 x → 0 4x 4x 4 x 2 [4 x + 4 + ( x + 8)]
16( x + 4) − ( x + 8)2 −1 −1 − x2 lim = lim = = x → 0 4 x 2 [4 x + 4 + ( x + 8)] x → 0 4 x 2 [4 x + 4 + ( x + 8)] x →0 4[4 x + 4 + ( x + 8)] 64
= lim
Vậy f '(0) =
−1 64
Warning : Nhắc lại khi x → x0 nghĩa là x ≠ x0 nên việc lựa hàm nào phụ thuộc vào yếu tố này.
Dạng 3 : Tính đạo hàm của hàm số y = f ( x)
trên một khoảng
PP: Sử dụng số gia đối số và số gia hàm số! Để tính đạo hàm trên khoảng (a,b) ( tại mọi điểm thuộc khoảng này ),bằng định nghĩa , ta thực hiện theo các bước sau : B1: Gs ∆x là số gia của đối số x : ∆x +x ∈ ( a, b) Tính : ∆y = f ( ∆x + x) − f ( x) B2: Lập tỷ số : B3: Tìm lim
∆x → 0
∆y và rút gọn làm xuất hiện nhân tử ∆x ∆x
∆y = L. ∆x
KL : f’(x)=L Lưu ý : Dạng 3 này sẽ là chìa khóa cho chúng ta đi đến việc xây dựng các công thức tính đạo hàm trong bài kế tiếp.Chính vì vậy chúng ta cần nắm vững phần này để hiểu rõ bản chất các công thức phần sau,hoặc có thể tự xây dựng lại ( nếu quên!)
Wiki 5 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
Ví dụ : Tính đạo hàm của hàm số sau : y=f(x)= x Giải : * Gs ∆x là số gia của đối số x ,sao cho : ∆x +x ∈ [0, +∞ ) (Hãy giải thích tại sao???)
⇒ ∆y = f ( ∆x + x ) − f ( x ) = ∆x + x − x * Tỷ số :
∆y ∆x + x − x ( ∆x + x − x )( ∆x + x + x ) ∆x = = = ∆x ∆x ∆x( ∆x + x + x ) ∆x ( ∆x + x + x ) 1 = ∆x + x + x ∆y 1 1 * lim = lim = ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x + x + x 2 x 1 Vậy f’(x)= 2 x
Dạng 4 : Ý nghĩa hình học của đạo hàm Một số bài toán tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong y=f(x). Bài toán 1 : Tìm phương trình tiếp tuyến biết hoành độ tiếp điểm x0 PP: * Gọi M(x0;f(x0)) * Tính k=f’(x0)
* pt : y-y0=k(x-x0) ,với y0=f(x0) và k=f’(x0) Bài toán 2 : Tìm pttt biết tung độ của tiếp điểm y0 PP : * Giải pt : f(x)=y0 tìm hoành độ tiếp điểm => tọa độ Mi(xi;yi) * Tính ki=f’(xi) * Pttt : y-y0=f’(xi)(x-xi) Bài toán 3 : Tìm pttt khi biết hệ số góc k PP: *Gpt : f’(x)=k ,tìm xi là hoành độ các tiếp điểm => tọa độ Mi(xi;yi) * Pttt : y-yi=k(x-xi) Riêng bài toán này cần lưu ý thêm :Cho: (d1): y=k1x+c (d2): y=k2x+c’ .Nếu d1 ⊥ d2 k1.k2=-1 Nếu d1 d2 k1=k2 Bài toán 4 :Tìm pttt biết tt này đi qua điểm M(a,b) không thuộc đồ thị hàm số. PP: * Gọi hoành độ tiếp điểm là x0 => pttt có dạng : y-f(x0)=f’(x0)(x-x0).Qua M(a,b) => toạ độ thỏa mãn * Gpt : b-f(x0)=f’(x0)(a-x0) .Pt này chỉ chứa x0 => x0 * Quay lại BT1 sau khi tìm ra x0 Bài tập : 1. Cho h/s y= x2-2x+3 © .Viết pttt với © biết rằng nó vuông góc với đt :
Wiki 6 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
2x-y+1=0 2. Cho h/s y =
x−2 © x+2
a. Viết pttt với © biết nó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ I tạo bởi các truc tọa độ. b. Viết pttt với đồ thị tại điểm có hoành độ x=1 3. Cho h/s y=x3-3x+1 © Viết pttt với © biết nó đi qua A(
2 ;-1) 3
4. Cho y=x2(x2-2) ©.Viết pttt với © biết nó đi qua gốc tọa độ 5. Cho © : y=x3 Viết pttt với đồ thị tại giao điểm của © với 0x 6. Cho h/s y=-x3+3x2-4x+2 ( C). Viết pttt với ( C ) biết tt vuông góc với đường thẳng y =
1 x+3 4
7. Cho h/s y= x3-kx+k-1.Viết pttt tại giao của đồ thị với trục Oy , tìm k để tt đó chắn trên các trục tọa độ 1 tam giác có S=4.
x3 + 1 ©.Tìm pptt của ©, biết tt đó tạo với 2 trục tọa độ 1 x 1 tam giác có diện tích = . 2 2 x + (1 − 2m) x − m 9. Cho h/s (m ≠ 0)(C ) .Xác định các giá trị của m để đồ thị x +1
8. Cho h/s y=
cắt Ox tại 2 điểm phân biệt A va B sao cho tt với (C ) tại 2 điểm đó vuông góc với nhau. 10. Cho h/s y=-x3+3x+1 viết pttt với đồ thị , biết tt song song với đt y=9x+1. 4 2 11.Cho hàm số y = x − 4 x + 3 có đồ thị là (C) a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1. b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng - 8 3 2 12.Cho hàm số y = − x + 3 x − 4 x + 2 có đồ thị là (C) a, Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc bằng -1 b, Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết nó vuông góc với đường thẳng y=
1 x+3 4 2
13. Cho hàm số y = x − 2 x có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết nó đi qua điểm N(1; -2)? ĐS: y = 2x; y = 2x -4 3 2 14.Cho hàm số y = x − 3 x + 2 có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm ĐS: y = -2; y= 9xA(
23 ;− 2 ) 9
25
Wiki 7 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
y=
−5 61 x+ 3 27
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
15. Cho hàm số y =
x2 − 5x + 4 có đồ thị là (C). x−2
Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 3x + 2008. 3
ĐS: y = 3 x − 3 và y = 3 x − 11 2
16.[HVBCVT. 2000] Cho hàm số y = − x + 3 x − 2 (*) Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ được một tiếp tuyến với đồ thị hàm số (*) 4 2 17*. Cho hàm số y = x + mx − ( m + 1) có đồ thị (Cm). Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm) Gọi A là điểm cố định với hoành độ dương của (Cm). Hãy tìm các giá trị của m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x.
ĐS: A(1; 0) ĐS: A1,2( ± 1;0) ĐS: m =1
2
18.Cho hàm số y =
x − x+m có đồ thị là (Cm) (m là tham số khác 0) x −1
Tìm m để (Cm) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại A, B vuông góc với nhau. 19 (BT ĐS & GT 11).Viết pttt của đồ thị các hàm số sau :
x2 + 4x + 5 a, y = tại điểm có hoành độ x=0 x+2 b, y=x3-3x2+2 tại điểm (-1;-2)
c, y = 2 x + 1 , biết hệ số góc của tt là k=
1 3
Lưu ý : Tất cả các bài trên đây đều có thể giải bằng cách sử dụng đạo hàm bằng định nghĩa.Chúng ta có thể làm bằng pp này hoặc sử dụng trực tiếp công thức tính đạo hàm ở bài kế sau.Nói chung là không thừa nếu chúng ta chịu khó bắt tay vào làm. 2. Qui tắc tính đạo hàm : 1.Đạo hàm của 1 số hàm thường gặp : Định lý 1 : Hàm số y= xn ( n ∈ N , n > 1 ) có đạo hàm với ∀ x và y’=nxn-1 Hệ quả : * y= c ( c là hằng số ) có : y’ =0 * y= x có : y’ =1 Định lý 2 : Với ∀x ∈ R+* ,ta có : ( x ) =
1 2 x
.
2. Đạo hàm của tổng , hiệu , tích ,thương các hàm số : Cho u=u(x) và v=v(x) là những hàm số có đạo hàm tại x .Khi đó ta có:
1. (u ± v)’=u’ ± v’
Wiki 8 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
2. (u.v)’=u’v+uv’
u v
3. ( ) ' =
u ' v − uv ' , (v = v( x) ≠ 0) v2
Hệ quả : * (k.u)’=k.u’ (k : là hằng số )
−v ' v2 Tổng quát : (u1 ± u2 ± ….. ± un)’=u1’ ± u2’ ± …. ± un’ 1 v
* ( )' =
(uvw)’=u’.v.w+u.v’.w+u.v.w’ Lưu ý : Tất cả các công thức trên đều được chứng minh dựa vào đ/n của đạo hàm của hàm số trên 1 khoảng.Xem thêm : Chứng minh Định lý 3. Đạo hàm của hàm của hàm số hợp: 1.Định nghĩa hàm hợp : Cho y là hàm số của u , u là hàm số của x thì y là hàm số hợp của x qua ham trung gian u. 2.Định lý : Nếu hàm số u=g(x) có đạo hàm theo x kí hiệu u’x và y=f(u) có đạo hàm theo u kí hiệu y’u thì hàm hợp y=f(g(x)) có đạo hàm theo x là : y’x=y’u.u’x
Bài tập : Trắc nghiệm:
Wiki 9 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
Wiki 10 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
Tự luận : 1/ Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 1, y=(4x3-2x2-5x)(x2-7x)
2 x
2, y = ( + 3 x)( x − 1)
3, y =
9, y = ( x 5 −
− x2 + 2 x + 3 x3 − 2 2 4 5 6 6, y = − 2 + 3 − 4 x x x 7x
4, y =
5, y = ( x − 2) x 2 + 1 7, y = −6 x +
x3 − 2 x2 + 1
3 x
8,y=(x2+1)(x3+1)2(x4+1)3
3 3 ) x
2/ Cho hàm số y=x5+x3-2x-3 .chứng minh : f’(1)+f’(-1)=-4f(0) 3/ Cho f ( x ) = 2 x 3 + x − 2, g ( x ) = 3 x 2 + x + 2 .Giải bpt: f’(x)>g’(x)
1 2 3 + + x x 2 x3 1 1 5/ Tính : g’(1) biết : g(x)= + + x2 x x 4/ Tính : f’(-1) biết : f(x)=
Một số ví dụ chi tiết và bài tập thêm: VD1. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè 1/ 2/ 3/
1 2 x +1 2 1 4 1 y= x4- x3+ x2+3x-2 2 3 4 y=2x5-3x4+x3-
y=2x2 (x-3)
Wiki 11 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
4/
y=
mx + 2 m +1
víi m lµ tham sè kh¸c -1
Gi¶i 1/ Ta cã:
y ' = 10x4-12x3+3x2 –x 2/ Ta cã:
1 y ' = 2x3- 4x2+ x+3 2 3/ Ta cã: y= 2x3- 6x2 ⇒ y ' = 6x2-12x 4/ Ta cã:
m 2 x+ Do m lµ tham sè kh¸c (-1), nªn m +1 m +1 m y' = m +1
y=
VD2. TÝnh ®¹o hµm c¸c hµm sè 1/ 2/
1 x +1 x−2 y= x +1
y=
3x 2 + x + 1 4x − 1
3/
y=
4/
y=(3x-2)(x2+1)
Gi¶i: 1/ Ta cã:
y' = 2/
( x + 1)' 1 =2 ( x + 1) ( x + 1) 2
∀ x ≠ -1
Ta cã:
( x − 2)'.( x + 1) − ( x − 2).( x + 1)' ( x + 1) − ( x − 2) = 2 ( x + 1) ( x + 1) 2
y' = ∀ x ≠ -1 3/
Ta cã:
y' =
4/
(3 x 2 + x + 1)' (4 x − 1) − (3 x 2 + x + 1)(4 x − 1)' (4 x − 1) 2
=
(6 x + 1)(4 x − 1) − (3 x 2 + x + 1).4 (4 x − 1) 2
=
12 x 2 − 6 x − 5 (4 x − 1) 2
∀x≠
1 4
Ta cã: y ' = (3 x − 2)' (x2+1) - (3x-2) ( x 2 + 1)' = 3(x2+1)-(3x-2).2x = 3x2+3- 6x2+4x = -3x2+4x+3
Wiki 12 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
=
3 ( x + 1) 2
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
VD3. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè 1/
y= x 1 + x 2
2/
y=
3/
y=
Gi¶i: 1/
x (x2- x +1) 1+ x 1− x
Ta cã:
(
y ' = ( x)′ . 1 + x 2 +x 1 + x 2 = 2/
1+ x2 +
x2 1+ x2
=
)′
1 + 2x2 1+ x2
Ta cã: y ' = ( x )′ (x2- x +1) + x ( x 2 − 2
= =
x − x +1 2 x 2 x − x +1 2 x
+
1
x (2x-
2 x 1 + 2x x 2
x + 1)′
)
∀x > 0
3/ Ta cã:
(
(1 + x)′ 1 − x − (1 + x) 1 − x y' = 1− x 1+ x 1− x + 2 1− x = 1− x 2(1 − x) + 1 + x − x+3 =
2(1 − x) 1 − x
=
)′
2(1 − x) 1 − x
∀ x <1
VD4. TÝnh ®¹o hµm hµm sè 1/ y= (2x+3)10 2/ y= (x2+3x-2)20 3/ y=
x2 x2 + a2
(a lµ h»ng sè)
Gi¶i: 1/ Ta cã:
y ' = 10(2x+3)9. (2 x + 3)' 2/
3/
= 20(2x+3)9 Ta cã: y ' = 20(x2+3x-2)19. ( x 2 + 3 x − 2)′ = 20(x2+3x-2)19.(2x+3) Ta cã:
( x 2 )' x 2 + a 2 − x 2 ( x 2 + a 2 )′ y' = x2 + a2
Wiki 13 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
2
x3
2
2x x + a − =
x2 + a2
=
x2 + a2
x 3 − 2 xa 2 (x 2 + a 2 )3
VD5. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C ): y=x3-3x+7 1/ T¹i ®iÓm A(1;5) 2/ Song song víi ®−êng y=6x+1 Gi¶i: Ta cã: y ' = 3x2-3 1/ HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i A lµ k = y ' (1) = 0 ⇒ Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn viÕt lµ: y = 5. 2/ Gäi tiÕp ®iÓm lµ M(x0;y0) y0= x03-3x0+7 Ta cã hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn lµ k = 6 ⇒ y ' (x0) = 6 ⇔ 3x02-3 = 6
⇔ x0 = ± Víi x0 =
3 3 ⇒ y0=7.
⇒ Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: y=6x+7- 6 3 Víi x0 =-
3 ⇒ y0=7
⇒ Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: y=6x+7+6 3 x2 + x +1 VD6. Cho hµm sè y= x +1 Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh khi y ' ≥ 0 Gi¶i: Ta cã: +
y' =
( x 2 + x + 1)' ( x + 1) − ( x 2 + x + 1)( x + 1)' ( x + 1)2
(2 x + 1)( x + 1) − ( x 2 + x + 1) = ( x + 1) 2 x 2 + 2x = ( x + 1) 2 Do ®ã:
y' ≥ 0 ⇔
∀ x ≠ -1 x 2 + 2x ≥0 ( x + 1) 2
x ≠ −1 ⇔ 2 x + 2x ≥ 0
x ≤ −2 ⇔ x ≥ 0
Wiki 14 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
B. VÝ dô tr¾c nghiÖm Chän nh÷ng ph−¬ng ¸n ®óng trong vÝ dô sau:
1 , khi ®ã y ' ( 2) b»ng 2x + 1 1 −1 1 B. C. A. 5 5 25 VD8: Cho hµm sè y= 2 x , khi ®ã y ' ( 4) b»ng VD7. Cho hµm sè y=
A. 2 2
B.
1
2 2
C.
2 2
D. −
1 25
2 4
D.
5
VD9. Cho hµm sè y=(x+1) , khi ®ã y ' ( −2) b»ng A.-5 B.5 C.-1 VD10. Cho hµm sè y=2x- x , khi ®ã y' (1) b»ng A. t¹i
1 2
B.
VD11. Cho hµm sè y= A.0
3 2
C. 1
x +1 , khi ®ã y' ( −1) x−2 B.-1
D.1
D. Kh«ng tån
b»ng C.-
1 2
D.-
1 3
VD12. Cho hµm sè y=2x3-3x2+3, khi ®ã ph−¬ng tr×nh y' =0 cã nghiÖm A. x=0 vµ x=1 B. x=0 vµ x=-1 C. x=1 vµ x=3 D. x=-1 vµ x=3 VD13. Cho hµm sè y=
−4 (2 x + 3)4 −4 D. (2 x + 3)3
A.
VD14. Cho hµm sè y= A.
D.
7
(2 x + 1)
2
1 . §¹o hµm y' b»ng (2 x + 3)2 −1 B. C. (2 x + 3)3
−2 (2 x + 3)3
x+4 , ®¹o hµm y' 2x + 1 −7 B. (2 x + 1)2
5 (2 x + 1)2
b»ng C.
−5 (2 x + 1)2
x2 + 1 VD15. Cho hµm sè y= , khi ®ã tËp nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh y' >0 lµ x Wiki 15 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
A. S =(- ∞;−1 ] ∪ [1;+ ∞ )
C. S =(- ∞;−1) ∪ (1;+∞)
B. S =(- ∞;0) ) ∪ [1;+ ∞ )
D. S = ( − ∞;−1) ∪ ( 0;+∞)
VD16. Cho hµm sè y= A. S =(
−1 ;+∞ ) 4
x−3 , khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh y'< 0 4x + 1 −1 B. S =[ ;+∞ ) C. S =[3;+ ∞ ) 4
cã tËp nghiÖm lµ: D. S ≠ φ
§¸p ¸n: VD7 VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 VD15 VD16 C D A B D A D B C D . Bµi tËp. A. Bµi tËp tù luËn. Bµi1. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè: 1/ y=x3 -2x2+x-
x +1
x+3+ 4−x
7/ y=
x +1 2x − 3 x2 + 2 x + 2 3/ y= x+2 1+ x 4/ y= 1− x
2/ y=
8/ y=
x
6/ y=
2
− 3)
7
9/ y=(x-2)
2 x 2 + 3x + 4
5/ y=
(x
10/ y=
(x
11/ y=
(x + 1)
12/ y=
9 − x2
x2 + 1
2
− 2) + x 2 + 4 2
x2 + x + 1
x2 + x + 3 2x + 1
H−íng dÉn: 1/
y' = 3 x 2 − 4 x + 1 −
1 2 x
,
∀x > 0
1 1 − 2 x+3 4−x
7/
y' =
8/
y' = 14 x( x 2 − 3) 6
víi-
3<x<4
−5 3 ∀x ≠ 2 2 (2 x − 3) 2 x + 4x + 2 3/ y' = ∀x ≠ −2 (x + 2 )2 2 4/ Ta cã: y=1, x≥ 0 1− x 1 ⇒ y' = − ∀x > 0 2 x 1− x − 11 y' = 2(2 x + 1) 2 x 2 + x + 3 2/
y' =
(
)
9/
10/
y' =
2x2 − 2x + 1 x2 + 1
y ' = 4 x( x 2 − 2 ) +
12/
Wiki 16 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
x 2
x +4
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
5/
y' =
6/ y ' =
4x + 3 2 2 x 2 + 3x + 4 9 − 2x 2
(9 − x )
2 3
Bµi 2. Cho hµm sè: y= 1/ 2/ 3/
víi -3< x <3
1 3 x − 3 x 2 + 2 mx − 1 t×m m ®Ó 3
y' lµ b×nh ph−¬ng cña mét nhÞ thøc y'≥ 0 ∀x ∈ R y' <0 ∀x ∈ (0;1) y' >0 ∀x >0
4/ H−íng dÉn:
Ta cã: y ′ = x 1/ Ta ph¶i cã:
2
− 6 x + 2 m = g(x).
∆′ =0
2/ Ta ph¶i cã:
3/ Ta ph¶i cã:
⇔ 9 − 2m = 0 9 ⇔ m= 2
∆′ ≤ 0 ⇔ 9-2m ≤ 0 9 ⇔ m≥ 2
g ( 0) < 0 2 m < 0 ⇔ ⇔ m<0 g ( 1 ) < 0 − 5 + 2 m < 0 4/ Ta ph¶i cã: + HoÆc
∆′ <0 ⇔ m >
∆ ′ > 0 + HoÆc g (0) > 0 S <0 2
9 2
HÖ v« nghiÖm
Bµi 3. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (c ) y=x3-3x2 biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng y=
1 x 3 H−íng dÉn: + Ta cã y ′ = 3x2-6x + Gäi (x0;y0) lµ tiÕp ®iÓm, y0=x03 -3x02 Ta ph¶i cã: 3x02-6x0=-3 ⇔ x0=1 =>y0=-2
Wiki 17 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
=> ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: y=-3x+1 Bµi 4. Cho ®−êng cong (c)): y=
x +1 . T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña c¸c tiÕp tuyÕn cña (c) víi trôc x−3
ox. BiÕt tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®−êng th¼ng y =-x+1 H−íng dÉn: + Ta cã
y′ =
−4 ( x − 3) 2
+ HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = -1 + Gäi (x0; y0) lµ tiÕp ®iÓm, y0=
x0 + 1 x0 − 3
Ta ph¶i cã:
x0 = 1 −4 = − 1 <=> x = 5 ( x0 − 3) 2 0 + Ta cã 2 tiÕp tuyÕn lµ y = -x vµ y = -x+8 + Tõ ®ã suy ra kÕt qu¶ B. Bµi tËp tr¾c nghiÖm Chän ph−¬ng ¸n ®óng trong c¸c bµi tËp sau: Bµi 4. Cho hµm sè y = A.
1 , y ′(1) 2x
1 2
b»ng
B.
−1 2
C. 1
2x + 1 , y ′(−1) x −1 3 B. 4 x + 1 , y ′(2) b»ng
Bµi 5. Cho biÕt hµm sè y = A.
−3 4
Bµi 6. Cho hµm sè y = A.
3
B. -
Bµi 7. Cho hµm sè y =(1-3x)6, A. 1
D. - 1
b»ng C.
C.
3
1 2
D.
1
−1 2
D. -
2 3
1 2 3
y ′(0) b»ng B. -1
C. 18
D. - 18
2
2 x + 1 , Khi ®ã tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh y ′ ≥ 0 lµ: B. S =[0; + ∞) C. S =(0; + ∞) D. S = φ A. S =IR 2 Bµi 9. Cho hµm sè f(x)= x +3x-1 vµ g(x) = 2x-3. BÊt ph−¬ng tr×nh f ′( x) ≥ g ′( x ) cã tËp nghiÖm
Bµi 8. Cho hµm sè y =
lµ: A. S =
φ
B. S =
(
−1 ;+∞) 2
C. S =
[
−1 ;+∞) 2
Wiki 18 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
D. –S = φ
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
2x − 3 x+4 11 y′ = ( x + 4) 2
Bµi 10. Hµm sè y= A.
y′ =
− 11 ( x + 4) 2
C.
y′ =
y′ = 1 + x
C.
y′ =
B. y ′ =
5 ( x + 4) 2
D.
y′ =
−5 ( x + 4) 2
D.
y′ =
3 x 2
x x cã
Bµi 11. Hµm sè y = A.
cã
1
B.
2 x 3
3 2 x
2
Bµi 12. Hµm sè y = x +2x -mx+1 cã y ′ > 0∀x ∈ IR, khi ®ã tËp c¸c gi¸ trÞ cña m lµ:
−4 ] 3 mx Bµi 13. Hµm sè y = x−2 −1 A. T= ( ;+∞) 2 A. T= ( −∞;
B. T= ( − ∞; cã
B.
y′ =
y′ =
B. T= ( − ∞;
−1 ) 2
y ′ = 10(2 x + 3)10
C. T = ( − ∞;0 )
C.
y ′ = 20(2 x + 3) 9
D. T= ( − ∞;0]
D.
y ′ = 20(2 x + 3)10
x 2 − 3x + 5 2x − 3 2 x 2 − 3x + 5
C. y ′ = − D.
D. T= ( − ∞;1 )
x 2 − 3 x + 5 cã 2x
Bµi 15. Hµm sè y =
y′ =
C. T = ( − ∞;1]
y ′ < 0∀x ∈ IR \ {2} Khi ®ã tËp c¸c gi¸ trÞ cña m lµ:
Bµi 14. Hµm sè y = (2x+3)10 cã 9 A. y ′ = 10(2 x + 3) B.
A.
−4 ) 3
x x 2 − 3x + 5
2x − 3 x 2 − 3x + 5
§¸p ¸n: B4. B
B5. A
B6. C
B7. D
B8. B
B9. C
B10. A
B11. D
B12. B
B13. A
Wiki 19 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”
B14. C
B15. B
Trên bước đi của thành công ,không có dấu chân của kẻ lười biếng!
Wiki 20 “Cái học quan trọng nhất là học làm người”