Dao Ham Mot Bien

TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN http://maths3.wordpress.com 25/10/2009

1

Tính đạo hàm bằng áp dụng trực tiếp công thức Ta cần chú ý: 0 y = f [ϕ(x)] → y 0 = f(ϕ) .ϕ0 (x); y = F [f (ϕ(x)) → y 0 =

Ff0 .fϕ0 .ϕ0 (x)]. Ví dụ 1.1. y = sin(lnx) y 0 = cos(lnx)(lnx)0 =

cos(lnx) . x

x2 sinx x > 0, x 6= 1 lnx (x2 sinx)0 .lnx − x2 sinx(lnx)0 x(sinx + cosx) y0 = = . (lnx)2 ln2 x

Ví dụ 1.2. y =

Ví dụ 1.3. y = (2x3 + 5)4 Ta kí hiệu 2x3 + 5 = u, khi đó y = u4 . Theo qui tắc lấy đạo hàm của hàm hợp ta có y 0 = (u4 )0 .(2x2 + 5)0x = 4u3 6x2 = 24x2 (2x3 + 5)3 .

http://maths3.wordpress.com

2

2

Tính đạo hàm bằng biến đổi, logarit hai vế Khi tính đạo hàm các hàm có dạng phức tạp ta có thể biến

đổi sơ bộ biểu thức của hàm. - Nếu biểu thức của hàm dưới dấu logarit thì sử dụng các tính chất của logarit để đơn giản biểu thức của hàm. - Nếu biểu thức của hàm chứa nhiều thừa số thì có thể lấy logarit và sau khi tính đạo hàm cần thực hiện phép mũ hóa. sinx 1 + sinx + ln cos2 x cosx sinx Ta biến đổi hàm đã cho: y = + ln(1 + sinx) − lncosx. cos2 x 2 Khi đó y 0 = cosx Ví dụ 2.1. y =

Ví dụ 2.2. y = xx

2

Ở đây cơ số và số mũ đều phụ thuộc x. Lấy logarit ta được lny = x2 lnx. Lấy đạo hàm cả hai vế của đẳng thức này theo x. Vì y là hàm 1 của x nên ln y là hàm hợp của x và (lny)0 = .y 0 . y 1 y0 = x2 + 2x.lnx = x(1 + 2lnx) Do đó y x 2 0 y = xy(1 + 2lnx) = xx +1 1 + lnx. Ví dụ 2.3. y = (sinx)tgx Ta có ln y = tgx. ln sin x, 1 1 1 y0 = tgx. .cosx + .lnsinx = 1 + . ln sinx y sinx cos2 x cos2 x

http://maths3.wordpress.com

y 0 = (sinx)tgx (1 +

3

3

1 .lnsinx) cos2 x

Lấy đạo hàm các hàm ẩn Giả sử phương trình F (x, y) = 0 xác ịnh y là hàm ẩn của x. Lấy đạo hàm theo x cả hai vế ương trình F (x, y) = 0, ta được

phương trình bậc nhất đối với y 0 . Từ phương trình này dễ dàng tìm được y 0 , tức là được đạo hàm của hàm ẩn. Ví dụ 3.1. Tìm đạo hàm yx0 từ phương trình x2 + y 2 = 4. Vì y là hàm của x nên y 2 được xem như hàm hợp của x. Do đó (y 2 )0 = 2yy 0 . Lấy đạo hàm theo x cả hai vế của phương trình x đã cho ta được 2x + 3yy 0 = 0, nghĩa là y 0 = − y Ví dụ 3.2. Tìm đạo hàm yx0 từ phương trình x3 + lny − x2 ey . Lấy đạo hàm theo x cả hai vế của phương trình ta được y0 3x + − x2 ey y 0 − 2xey y 2

(2xyey − 3x2 )y từ đó y = 1 − x62yey . 0

http://maths3.wordpress.com

4

4

Lấy các đạo hàm được cho bằng tham số Nếu hàm y của đối số x được cho bởi các phương trình x =

ϕ(t), y = ψ(t) thì dy

dy y0 dt = dx = t0 hay xt dx dt   x = t3 + 3t + 1 dy 0 Ví dụ 4.1. Tìm y = nếu  dx y = 3t5 + 5t3 + 1 dx dy Ta tìm được = 3t2 + 3, = 15t4 + 15t2 dt dt dy Do đó = 5t2 . dx   x = acos3 t 00 0 Ví dụ 4.2. Tìm yx , yx nếu  y = asin3 t yx0

dy

dy 3asin2 t.cost dt = dx = = −tgx. 2 tsinx dx −3coss dt d2 y d d(−tgx)/dt 1 = (−tgt) = = . dx2 dx dx/dt 3acos4 tsint