Curvas De Lissajous.docx

La figura de Lissajous es la curva descrita por un punto que es sometido a un doble movimiento armónico en dos direcciones perpendiculares cuyas ecuaciones paramétricas son:  

x=Asin(ωxt+α) y= Asin(ωyt+β)

De manera gráfica, esta curva puede ser vista como la proyección de la sombra de una figura tridimensional sobre un plano. Dicho punto oscilará en el cuadrado de longitud A con centro en el origen. La apariencia de la figura es muy sensible a la relación ωx/ωy, esto es, la relación entre las frecuencias de los movimientos en x, así como en y. Si el resultado de este cociente resulta ser un número racional, obtendremos una trayectoria cerrada. En caso de que no lo fuese, se podrá observar una trayectoria abierta, es decir, el punto inicial es diferente al final. Por otro lado, la “perspectiva” o el “punto de vista” con el cual será observada la figura tridimensional hipotética dependerá del desface entre ambos movimientos. De forma matemática esto se puede expresar como: δ=|α- β|; esta variable toma valores entre 0 y 360 grados.

Obtención de una figura de Lissajous en un osciloscopio Para poder observar una curva de Lissajous en un dispositivo en el cual podamos visualizar de forma gráfica las señales que se le suministran como lo es el osciloscopio, es necesario cambiar la base de tiempo horizontal para que despliegue un canal o entrada en el eje X y otro en el eje Y. En el osciloscopio marca Agilent serie 1000 en particular, para poder hacer esto último, necesitamos realizar el siguiente procedimiento: 1. Suministrar ambas funciones a los canales del dispositivo. 2. Presionar el botón Menú/Zoom que se encuentra en los controles horizontales. 3. En el menú, con las teclas programables, seleccionar la configuración Base de tiempo. 4. Con la perilla de entrada o las teclas programables, seleccionar la opción Formato X-Y. Cabe destacar que, en este dispositivo en específico, el canal 1 se muestra en el eje horizontal y el canal 2 en el eje vertical. También es necesario recalcar que en este modo varias funciones no están disponibles. Algunas de ellas son: mediciones automáticas de tiempo o tensión, mediciones de

cursores y la perilla de posición horizontal, entre otras. Dadas estas limitaciones, podemos utilizar la escala vertical y horizontal mostradas en la pantalla para hacer mediciones.

Aplicaciones En general, las figuras de Lissajous se utilizan para determinar los parámetros (frecuencia y fase) de una señal oscilantes con respecto a otra. Si la figura muestra una recta diagonal con pendiente positiva, ambas frecuencias son iguales y están en fase. Si la pendiente es negativa, las frecuencias son las mismas, pero existe un desfase de 180º. Para determinar la relación entre frecuencias, podemos contar la cantidad de “puntas” en cada eje. Para elaborar este punto, se propone un ejemplo. Supóngase una que en el horizontal se muestra el canal 1, y en el eje vertical se muestra el canal 2 de un osciloscopio, obteniéndose la siguiente figura.

Figura 1. Curva de Lissajous con ωx=5, ωy=3 y δ=30º. Como en el eje horizontal se observan 5 puntas y en el vertical 3, la relación 5/3≈1.667 es la misma relación que existe entre las frecuencias de los canales, es decir, f1≈1.667f2.

En específico, estas curvas son utilizadas en varios dispositivos y aplicaciones, como lo son los lectores ópticos, el encriptado de datos transmitidos por fibras ópticas, el análisis de circuitos, entre otros.

Fuentes de información  

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Figura 1 generada en https://www.geogebra.org/m/b5xwSFXv. Diseñado por Ignacio Larrosa Cañestro. Botijo Antiguo. (2010). ¿Gráficas de lissajous? Sitio web: https://www.todoexpertos.com/categorias/ciencias-e-ingenieria/ingenieriaelectronica/respuestas/2519362/graficas-de-lissajous Universidad Industrial de Santander (2016). Aplicaciones al crear las figuras de Lissajous. Sitio web: https://www.coursehero.com/file/p7ptftp/Aplicaciones-Al-crear-las-figuras-deLissajous-se-busc%C3%B3-dar-a-conocer-un-m%C3%A9todo/ Manual de usuario del osciloscopio marca Agilent serie 1000 págs. 42,43. (2019). Lissajous curve. Sitio web: https://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve