Curso_electromagnetismo_i

Curso de Electromagnetismo I Universidad Autonoma Metropolitana Dr. Jose Eduardo Torres

Clase # 1: Electrostatica • Ley de Coulomb

⎛→⎞ ⎜E⎟ ⎝ ⎠

• Intensidad de Campo Electrico • E para distribuciones de carga lineal.

Lecturas • Seccion 4.3 (texto), paginas: 111-119 • Ejercicios: 4.1 pag. 107, 4.2 pag. 109 y 4.4 pag 119.

Ley de Coulomb:

kQ1 Q 2 F = 2 R • Q = carga • R = distancia • k = constante de proporcionalidad

Forma vectorial Q1

F21

Q2 →

r1 O

→

r2

F12

Varias Cargas Puntuales Q1

•

•

Q4

Q2

•

Q5

•

X

•

Q3

Intensidad de Campo Electrico • Conceptos e ideas:

E = limQ →0

F Q

Ejercicio 4.3 • Diagrama para x > abs(y)

Tips • Segunda de Newton F = ma • Ecs. Mov. Uniformemente Acelerado:

v(t ) = at + vo 1 2 x(t ) = at + vot + xo 2

Clase # 2 • Objetivo: campos electricos para dist. carga lineal superficial y volumetrica. • Solucion al ejercicio 4.3

Estudio y lecturas asignadas • Seccion 4.4, 4.5 y 4.6 del libro de texto • Ejercicio 4.7 y 4.9 • Graficar en MATLAB el campo E para la dist. De carga lineal finita e infinita

E para Dist. De Carga • • • •

Dist. de carga lineal, superficial y vol. Ley de Coulomb es para cargas puntuales Carga puntual = diferencial de carga (dQ) Aplicando las ideas del calculo integral se suman las contribuciones dQ para obtener E

Definiciones Previas • Densidad de carga lineal:

Q ρA = A

Densidad de Carga Superficial • Se define como:

Q ρs = As

Densidad de Carga Volumetrica • Se define como:

Q ρv = V

E para dist de carga lineales z (0,0,z) T B

ρ

α2

α

dEz

α1

G dE

dEρ

(x,y,z)

R

dl A y x

α

Ecuaciones: • Resolver la integral:

G ρl 1 dl G E=∫ u 2 R 4π ε o R

Resolviendo la integral: • De la figura anterior tenemos: dl = dz′ G R = ( x , y , z ) − ( 0 , 0 , z ′) = ( x , y , z − z ′) G G G R = ρ u ρ + ( z − z ′) u z R = ρ 2 + ( z − z ′) 2 G R G ur = G R

Tambien observamos: • De la fig. anterior: G ρ = R cos α G R =

ρ

= ρ sec α

cos α z ′ = O T − R s e n α = O T − ρ ta n α dz′ = − ρ sec 2 α dα dz ′ = − ρ sec 2 α d α

Substituyendo en la integral: • Tenemos:

G G G ρl 1 ( cosαuρ + senαuz ) 2 E =− ρ α d α sec ∫ 2 2 4π εo ρ sec α

(

)

Para unaarga lineal finita: • La carga esta dist en z de A a B: G ρl 1 G G ⎡⎣−( senα2 − senα1 ) uρ + ( cosα2 − cosα1 ) uz ⎤⎦ E= 4π εo ρ

Finalmente para carga linealmente infinita: • El campo electrico esta dado por:

G E =

ρ l 1 G u ρ 2π ε oρ

Recordatorio: • Graficar E para la dist. De carga lineal finita e infinita.

E caso infinito

Carga superficial

P(0,0,h) h

2

ρs R

1

φ

Logica • De las ideas del calculo integral:

G dQ 1 G dE = u 2 R 4π ε o R G G E = ∫ dE S

Relaciones utiles: • De la figura anterior:

G G G R = − ρ uρ + hu z G 2 2 R = ρ +h G R G uR = G R dQ = ρ s dS = ρ s ρ dφ d ρ

Por lo tanto: • La diferencial dE esta dada por: G dE =

(

G G ρ S ρ dφ d ρ ⎡⎣ − ρ uρ + hu z ⎤⎦

( 4π )

)

1

εo ( ρ + h 2

2

)

3/ 2

Para una lamina infinita: • Tenemos:

G G ρS G E = ∫ dE = uz 2ε o

Observaciones: • E es una constante • E tiene la misma direccion y sentido que el vector unitario en z. • E no depende de la distancia h al plano xy

Actividad: • Dibuje el campo E para el caso anterior:

Carga Volumetrica z

ρv

G dE

dEz α

θ

φ x

R

r′

y

Aplicamos la misma logica: • La diferencial de E esta dada por:

G ρv 1 G dE = dvu R 2 4π ε o R G G E = ∫ dE

De la figura anterior: • El vector unitario en R se escribe como:

G G G uR = cos α u z + senα uρ

Por la simetria de la figura: • Tenemos que las contribuciones del campo electrico E en las direcciones x y y, se anulan. • Por lo tanto:

G ρv 1 dv cos α E = Ez = ∫ dEz = 2 ∫ 4π ε o R

De la figura se deducen: • La diferencia de volumen es:

dv = r ′ senθ ′dr ′dθ ′dφ ′ 2

Relaciones utiles • Ley del coseno:

c = a + b − 2ab cos γ 2

a

2

2

γ

b

c

Aplicando la ley coseno • Tenemos:

R = z + r ′ − 2 zr ′ cos θ ′ 2

2

2

r ′ = z + R − 2 zR cos α 2

2

2

La inegral de E se expresa: • Usando R y r’:

z + R − r′ cos α = 2 zR 2 2 2 z + r′ − R cos θ ′ = 2 zr ′ 2

2

2

Derivando la ultima ecuacion: • Respecto de teta prima:

RdR senθ ′dθ ′ = zr ′

Substituyendo en la integral: Se obtiene:

G Q 1 G E= u 2 z 4π ε o z

Clase #3 • Objetivos: E debido a carga volumetrica, densidad de campo electrico y ley de Gauss • Estudiar sec. 4.4 y 4.5 del libro de texto.

Densidad de Flujo Electrico • Definicion:

D = εoE • D es indepediente del medio de propagacion

Flujo Electrico: • Definimos flujo electrico como:

G G Ψ = ∫ D • dS

Ley de Gauss • El flujo electrico atraves de una superficie cerrada = a la carga encerrada x dicha superficie:

G G Ψ = v∫ d Ψ = v∫ D • dS = Q = ∫ ρv dv S

Usando el teorema de la Div. • Tenemos:

G G G D • dS = ∇ • Ddv v∫ ∫ v

S

Ley de Maxwell • Comparando con la ec. de la laminilla de la ley de Gauss, tenemos la primera ec. De Maxwell:

G ρv = ∇ • D

Observaciones: • La ley de Gauss y la ec. de Maxwell son basicamente lo mismo (integral y puntual) • Ley de Gauss es una formoluacion alterna de la ley de Coulomb. • Al aplicar el teorema de la div a la ley de Coulomb resulta en la ley de Gauss. • La ley de Gauss aparta un medio simple para hallar E para distintas dist. de Q

Aplicaciones de la ley de Gauss • Carga puntual: z

P r Q x

G D y

Aplicando la ley de Gauss • Observamos que:

G G D = Dr ur

Entonces tenemos: • Que D esta dada por: G G G G Q = v∫ D • dS = Dr v∫ ur • dS = Dr v∫ dS = Dr 4π r 2 donde : dS = r 2 senθ dθ dφ

D para carga puntual: • Despejando D de la ultima ec.:

G Q G D= u 2 r 4π r

Carga Lineal Infinita z

G D

P l

y x

ρl

Aplicando la ley de Gauss

G G En _ este _ caso : D = Dρ uρ Entonces :

G G ρl l = Q = v∫ D • dS = Dρ v∫ dS = Dρ 2π l donde : dS = 2π l ρ Despejando : G ρl G D= uρ π 2ρ

Lamina Infinita de Carga z

G D P

ρS y

x

G D

AplicandoG la GLey de Gauss Observamos : D = Dz u z Entonces : ⎡ ⎤ G G ρ S ∫ dS = Q = v∫ D • dS = DS ⎢ ∫ dS + ∫ dS ⎥ ⎢⎣ sup ⎥⎦ i::nf Ahora : ρ S A = Dz ( A + A) Despejando : G ρS G D= uz 2

G ρS G Equivalentemente : E = uz 2ε o

Clase #4 • Objetivos: aplicacion de la ley de Gauss para esfera copn carga uniforme, potencial electrico (V) y, relacion entre V y E. • Estudio: Leer secciones 4.7 y 4.8 • Ejercicios: 4.8 pag. 131, 4.9 pag 132 y 4.10 pag. 136

Esfera con Carga Uniforme

α

r

α (a)

r (b)

Caso (a) a )0 ≤ r ≤ α Qenc = ∫ ρv dv = ρv ∫ dv = ρv ∫

2π

π

∫ ∫

r

φ =0 θ =0 r =0

Qenc

r 2 senθ drdθ dφ

4 3 = ρv π r 3

y,

G G 2π Ψ = v∫ D • dS = Dr v∫ dS = Dr ∫

∫

π

φ =0 θ =0

Ψ = Dr 4π r 2 Dado _ que : Ψ = Qenc : 3 G r G π 4 r 2 ρ v ⇒ D = ρ v ur Dr 4π r = 3 3

r 2 senθ dθ dφ

Caso b) r¥α Qenc = ∫ ρv dv = ρv ∫ dv = ρv ∫

2π

φ =0

Qenc

4 3 = ρ vπ α 3

y,

G G Ψ = v∫ D • dS = Dr 4π r 2 4 3 Ψ = Q ⇒ Dr 4π r = α ρvπ 3 2

π

∫θ ∫

α

=0 r =0

r senθ drdθ dφ 2

Potencial Electrico E A dl

rA

r

B

rB O

Trabajo:

G G Coulomb : F = QE G G G G dW = − F • dl = −QE • dl G B G W = ∫ dW = −Q ∫ E • dl A

Energia Potencia / Carga:

W /Q: W = −Q ∫

B A

G G E • dl

Dif _ de _ potencial : G B G W VAB = = − ∫ E • dl A Q

Observaciones: • • • • •

A es el pto inicial y B el pto final Si Vab < 0 hay perdida de Energia potencial Si Vab > 0 hay ganacia de Energia potencial Vab es indep. De la trayectoria Vab [Joules/Coulomb] = [Volt]

Potencial Electrico (carga puntual) E=

Q 4ε oπ r

G u 2 r

V _ esta _ dado _ por : rB Q G G VAB = − ∫ ur • drur 2 rA 4ε π r o VAB VAB

Q ⎡1 1⎤ = ⎢ − ⎥ 4ε oπ ⎣ rB rA ⎦ = VB − VA

Tomando la ref en ¶ V=

Q 4ε oπ r

vectorialmente : Q G V (r ) = G G 4ε oπ r − r ′ Varias _ Qs _ puntuales : G V (r ) =

1

n

o

k =1

∑ 4ε π

Qk G G r − rk

V para dist. de carga: Q _ lineal :

G ρl (r ′)dl ′ 1 G V (r ) = G G ∫ 4ε oπ l r − r ′ Q _ sup :

G ρ S (r ′)dS ′ 1 G V (r ) = G G ∫ 4ε oπ S r − r ′ Q _ vol :

G ρv (r ′)dv′ 1 G V (r ) = G G ∫ 4ε oπ v r − r ′

Relacion entre E y V

G E

A

B

Potencial en un “loop”

VBA + VBA

G G = v∫ E • dl = 0

Aplicando Stokes: G G G G v∫ E • dl = ∫ ∇ × E • dS = 0

(

)

Equivalentemente : G ∇ × E = 0 (Ec. Maxwell)

Relacion entre E y V: G G

V = − ∫ E • dl G G ∴⇒ dV = − E • dl = − Ex dx − E y dy − Ez dz tambien : dV = comparando : ∂V Ex = − , ∂x ∂V Ey = − , ∂y ∂V Ez = − ∂z G ∴ E = −∇V

∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

Dipolo Electrico (DE) • Formado x 2 Q’s de igual magnitud y signo contrario separadas por una dist. reducida. z P

θ +Q

r1 r

r2 y

d -Q x

d cos θ

Q ⎡1 1 ⎤ Q ⎡ r2 − r1 ⎤ V= ⎢ − ⎥= ⎢ ⎥ 4ε oπ ⎣ r1 r2 ⎦ 4ε oπ ⎣ r1r2 ⎦ Si : r  d ⇒ r2 − r1  d cos θ , y : r1r2  r 2 ⇒ Q d cos θ V= 4ε oπ r 2 G G Definamos : p = Qd G G donde : d = du z G G p • ur ⇒V = 4ε oπ r 2

Si el centro del dipolo no pasa por el origen: G G G p • ( r − r′) G V (r ) = G G3 4ε oπ r − r ′ G donde : r ′ = vect _ pos _ orig _ dipolo

Campo Electrico del dipolo • Se aplica la Ec.:

G ⎡ ∂V G 1 ∂V G ⎤ E = −∇V = − ⎢ ur + uθ ⎥ r ∂θ ⎦ ⎣ dr G p G G E= 2 cos θ ur + senθ uθ ) 3 ( 4ε oπ r G donde : p = p

Lineas de Flujo Electrico (LFE) • LFE: linea imaginaria cuya direccion en cualquier punto es igual a la direccion de E • LFEs son perpendiculares a las superficies equipotenciales. • Sup. Equipotencial: ∇V = 0 ∇V = 0

Linea de flujo

Superficie equipotencial

Densidad de Energia en Campos Electrostaticos Q1

P1

Q2

∞

P2

Q3

P3

WE = W1 + W2 + W3

WE = 0 + Q2V21 + Q3 (V31 + V32 ) pero _ tambien : WE = W3 + W2 + W1

WE = 0 + Q2V23 + Q1 (V12 + V13 ) Sumando : 2WE = Q1 (V12 + V13 ) + Q2 (V21 + V23 ) + Q3 (V31 + V32 ) 1 WE = ( Q1V1 + Q2V2 + Q3V3 ) 2

Generalizando a n cargas:

1 WE = ∑ QkVk 2 k =1 n

Para cargas no puntuales: 1 WE = ∫ ρlVdl 2 1 WE = ∫ ρ SVdS 2 1 WE = ∫ ρvVdv 2 G como : ρv = ∇ • D G 1 WE = ∫ ∇ • D Vdv 2

(

)

(

Utilizando la identidad:

G G G ∇ • A V = ∇ • VA − A • ∇V

)

tenemos : G 1 1 G WE = ∫ ∇ • VD dv − ∫ D • ∇V dv 2 2v

(

)

(

)

Aplicando _ teo _ div : G 1 G G 1 WE = v∫ VD • dS − ∫ D • ∇V dv 2S 2v

( )

(

)

La primera integral tiende a cero al crecer la superficie 1 G 1 G G WE = − ∫ D • ∇V dv = ∫ D • E dv 2v 2v G como : E = −∇V G Tambien : D = ε o E :

(

1 WE = ∫ ε o E 2 dv 2

)

(

)

Densidad de Energia Electrostatica: 2 G G dWE 1 1 D 2 = D • E = εoE = wE = 2 2 2ε o dv

WE = ∫ wE dv

Campos Electricos en Materiales • Objetivo: Corrientes de conveccion y de conduccion y conductores. • Lecturas y problemas asignados: seccion 5.3 y 5.4, ejercicios: 5.1 pag. 168, 5.2 pag. 169, 5.3 pag. 170 y 5.4 pag. 170

Corriente • Corriente es la Q por unidad de tiempo: I=dQ/dt • Densidade de corriente (J): ΔI Jn = ΔS G G ΔI = J • ΔS G G I = ∫ J • dS S

Tipos de Densidad de Corriente: • J de conveccion, conduccion y de desplazamiento. • Notemos que I es el flujo de J atraves de S • I de conveccion: no implica conductores y, no obedece la ley de Ohm. • I de conveccion: I en aisladores

ΔS

ρv

G u Δl

ΔQ Δl ΔI = = ρv ΔS = ρv ΔSu y Δt Δt

La J en un punto es la I a traves de un area unitaria normal • En general:

G G J = ρvu

Corriente de Conduccion • Requiere de un conductor: e libres G G F = −eE G G mu = −eE

τ

donde : τ = int ervalo _ prom _ colisiones G y, _ u = vel _ de _ deriva eτ G G u =− E m Si _ hay _ n _ electrones _ por _ unidad _ de _ vol : G G G ne 2τ G E =σE ρv = −ne ⇒ J = ρv u = m G G J =σE

Conductores: -

G Ei G Ei

+ + + + + +

G Ee G Ee G Ee

+

G Ee

-G G+

G Ee

+

G Ee

ρv = 0 E=0

-

G G E = 0 , ρ v = 0 , V ab = 0

I

+ V -

y

G E

-

l

x

-

l

l

0

o

V = − ∫ − E y dy = E y ∫ dy = E y l V ⇒ V = El ⇒ E = l

G G E≠0

xque E es diferente de 0 en el conductor???

I J= S donde : S = sec cion _ transversal G G pero : J = σ E

σV I =σE = S l ⇒ V l R= = I σS ρcl ⇒R= S donde _ la _ resistividad : ρc = 1/ σ

En el caso general: G G G G E • dl V ∫ E • dl ∫ R= = G G = G G I ∫ J • dS ∫ σ E • dS El _ signo _ negativo _ fue _ e lim inado _ de : G G V = − ∫ E • dl debido _ a : G G ∫ E • dl < 0 _ para _ I > 0

Ley de Joule • La potencia P [W] es la rapidez de cambio de la energia [J] o fuerza por velocidad: G G G G ρ dvE • u = E • ρ udv ∫ v ∫ v G G P = ∫ E • Jdv

La _ densidad _ de _ potencia : dP G G 2 wP = = E•J =σ E dv Para _ conductores _ de _ sec cion _ transversal _ uniforme : dv = dSdl P = ∫ Edl ∫ JdS = VI L

P = I 2R

S

Polarizacion en Dielectricos • Al aplicar E a un dielectrico: la Q+ se desplaza en la direccion de E • La Q- se deplaza en la direccion de –E • Se forma un diplo electrico • El dielectrico sigue siendo neutral pues la Q+ = Q-

G E -++ - + -

- -- + - + -- +

G E

G G p = Qd

G donde : d = vect _ dist Para : N _ dipolos _ en _ un _ vol _ Δ : N G G G G Q1d1 + Q2 d 2 + ... + QN d N = ∑ Qk d k G La _ polarizcion _ P : N G Q d ∑ k k G P = lim k =1 Δv Δv →0

k =1

Observaciones • Un campo E crea dipolos en un dielectrico • Los dipolos estan alineados en la direccion de E • Este tipo de dielectricos es no polar • Los dipolos cesan de existir si se remueve E • Otros materiales si poseen dipolos: orientados aleatoriamente en ausencia de E

Mas observaciones • Los materiales con dipolos permanentes se conocen como polares • Al aplicar E a un material polar se genera un torque que alinea los dipolos en la direccion de E

z

( x′, y′, z ′)

G uR

G R

O(x,y,z)

dv′ y

x

De _ 4.80 : G G p • ur V= 4ε oπ r 2 tenemos : G G P • u R dv′ dV = 2 4ε oπ R donde : R = ( x − x′) + ( y − y′) + ( z − z ′) 2

2

2

2

∂ ⎛1⎞G ∂ ⎛1⎞G ⎞ ⎛1⎞ ⎛ ∂ ⎛1⎞G ∇⎜ ⎟ = ⎜ u x′ + u y′ + u z′ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂y′ ⎝ R ⎠ ∂z ′ ⎝ R ⎠ ⎠ ⎝ R ⎠ ⎝ ∂x′ ⎝ R ⎠ ⎛1⎞ ∇′  ∇ ⎜ ⎟ ⎝R⎠ G u ∇′ = R2 R asi : G G P • uR G = P • ∇′ 2 R Aplicando _ la _ identidad : G G G ∇′ • fA = f ∇′ • A + A • ∇f G G G A • ∇f = ∇′ • fA − f ∇′ • A G G con : A = P _ y _ f = 1 R G G G G P • uR P ∇′ • P ′ = ∇ • − 2 R R R

Susttituyendo _ en _ dV : G G P ∇′ • − ∇′ • P / R R dV = dv′ 2 4ε oπ R

(

)

Integrando :

G G 1 ⎡ P ∇′ • P ⎤ V =∫ ⎢ ∇′ • − ⎥dv′ 4ε oπ ⎣ R R ⎦ v′ Aplicando _ teo _ de _ la _ divergencia : G G G P • un′ −∇′ • P V =∫ dS ′ + ∫ dv′ 4ε oπ R 4ε oπ R S′ v′ Re cordando _ las _ int_ de _ voltaje : G G ρ ρ s = P • un′ G ρ ρ v = −∇ • P

Q[+] _ latente _ sup : G G Qb = v∫ P • dS = ∫ ρ ρ s dS Q _ dentro _ de _ S :

G −Qb = ∫ ρ ρ v dv = − ∫ ∇ • Pdv v

S

Q _ total : Qtotal = v∫ ρ ρ s dS + ∫ ρ ρ v dv = Qb − Qb = 0 S

v

Si hay Q libre en el dielectrico: Densidad _ de _ Q _ total : G G ρt = ρv + ρ ρ v = ∇ • ε o E = ∇ • ε o E − ρ ρ v donde : ρv = densidad _ de _ Q _ libre G pero : ρ ρ v = −∇ • P G G ρv = ∇ • ε o E − ∇ • P factorizando : G G ρv = ∇ • ε o E + P G ρv = ∇ • D

(

donde : G G G D = εoE + P

)

G G P = χ eε o E _(materiales _ isotropi cos_ y _ lineales ) donde : χ e = susceptibilidad _ electrica G G G G G D = ε o E + χ eε o E = ε o (1 + χ e ) E = ε oε r E _(mat _ iso _ lin) G G D = ε E _(mat _ iso _ lin) donde : ε = ε oε r y:

ε ε r = 1 + χe = εo donde : ε r = cte _ dielectrica _( permitividad _ rel )

Observaciones: • La permitividad relativa es adimensional • La susceptibilidad electrica es adimensional • La resistencia dielectrica es la E max que un dielectrico puede soportar sin disrupcion (se conv. Enconductor)

Dielectricos lineales, isotropicos y homogeneos • Lineal si D varia linealmente con E • Homogeneo si ε no depende de (x,y,z) • Isotropico si E y D tienen la misma direccion

Materiales _ ansisotropi cos : ⎡ Dx ⎤ ⎡ε xx ⎢ D ⎥ = ⎢ε ⎢ y ⎥ ⎢ yx ⎢⎣ Dz ⎥⎦ ⎢⎣ε zx

ε xy ε xz ⎤ ⎡ Ex ⎤ ⎥⎢ ⎥ ε yy ε yz ⎥ ⎢ E y ⎥ ε zy ε zz ⎥⎦ ⎢⎣ Ez ⎥⎦

Ec. de continuidad y tiempo de relajacion reduccion _ de _ Q : G G − dQent I fue = v∫ J • dS = dt donde : Qent = Q _ dentro _ de _ S Aplicando _ teo _ div : G G G v∫ J • dS = ∫ ∇ • Jdv v

pero : − dQent ∂ρ d = − ∫ ρv dv = − ∫ v dv dt dt v ∂t v G ∂ρ ∴⇒ ∫ ∇ • Jdv = − ∫ v dv ∂t v v G ∂ρv ⇒ ∇• J = − (ec. _ cont _ I ) ∂t

Observaciones: • • • •

La ecuacion de continuidad de corriente: Desarollada: de la conservacion de Q Si la carga es estacionaria, la div de J = 0 La Q que entra a un volumen es igual a la Q que sale de el. • Lo mismo que la ley de I’s de Kirchhoff

G G Re cordemos : J = σ E G ρv ademas : ∇ • E =

ε

G G ∂ρv ρvσ ∇ • J = ∇ •σ E = − = ∂t ε o _ bien : ∂ρv ρvσ − = ∂t ε ∂ρv ρvσ + = 0( Ec. _ dif ) ∂t ε

En materiales conductores y/o dielectricos: Met _ sep _ var : ∂ρv

σ = − ∂t ρv ε

int :

σt ln ρv = − + ln ρvo ε donde : ln ρvo = cte _ de _ int ρv = ρvo e −t / T donde : Tr = ε / σ r

Observaciones: • La intro de Q al interior de un material provoca un decremento en la densidad de Q vol. • Tiempo de relajacion: tiempo que tarda una Q colocada en el interior de un material para descender un 36.8% (1/e) de su valor inicial.

Mas observaciones: • El tiempo de relajacion es corto para conductores • La t de relajacion es larga para dielectricos

Condiciones en la Frontera • Dielectrico y dielectrico • Conductor y dielectrico • Conductor y vacio

G G v∫ E • dl = 0 G G v∫G D •GdS G= Qenc E = E t + En

Frontera dielectrico-dielectrico G E1

1

G E2t

E2n

G E2

ε1

E1n G E1t

2

ε2

a

b

d

c

Δw

Δh

ε 1 = ε oε r1 ε 2 = ε oε r 2

G G G E1 = Eit + E1n G G G E2 = E2t + E2 n

G G Se _ aplica : v∫ E • dl

G G Δh G Δh G G Δh G Δh − E2 n − E2t Δw + E2 n + E1n 0 = E 1t Δw − E1n 2 2 2 2 Cuando : Δh → 0 : G G E1t = E2t La comp. tangencial de E es cont. de un lado a oto de la frontera

G G Usando : D = ε E G G D1t D2t =

ε1

ε2

G G ∴ D1t ≠ D2t ⇒ ∃ _ discont. _ en _ la _ frontera

G D1

1

G D2t

D2n

G D2

ε1

D1n

Δh

G D1t

2

ΔS

ε2

G G Aplicando : v∫ D • dS y _ haciendo : Δh → 0 Δh Δh ΔQ = D1n ΔS − D2 n ΔS + Dit 2π r + D2t 2π r 2 2 ΔQ = D1n ΔS − D2 n ΔS = ρ S ΔS D1n − D2 n = ρ S D1n = D2 n ∴ Dn _ es _ cont _ en _ la _ frontera G G Usando : D = ε E G G ε1 E1n = ε 2 E2 n G ∴ En _ es _ discont. _ en _ la _ frontera

Observaciones: • Las condiciones de frontera se usan para • Determinar E de un lado de la fontera dado E en el otro lado • Determinar la refraccion de E

θ1 G E2

G E1

E1n E1t

θ2

E2t

E2 n

E1senθ1 = E1t = E2t = E2 senθ 2 E1senθ1 = E2 senθ 2 Aplicando : ε1 E1n = ε 2 E2 n

ε1 E1 cos θ 1 = D1n = D2 n = ε 2 E2 cos θ 2 ε1 E1 cos θ 1 = ε 2 E2 cos θ Dividiendo _ ecs : tan θ1

=

tan θ 2

ε1 ε2 tan θ1 ε r1 = tan θ 2 ε r 2

G ley _ de _ refraccion _ de _ E

Condiciones DielectricoConductor 1

G E

ε1

En G Et

Cond. E = 0 2

ε2

a

b

d

c

Δw

Δh

G G Aplicando : v∫ E • dl : Δh Δh ⎛ Δh ⎞ ⎛ Δh ⎞ − Et ( Δw ) − En − 0⎜ 0 = 0(Δw) + 0 ⎜ ⎟ + En ⎟ 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ haciendo : Δh → 0 Et = 0

1

G D

ε1

Dn

ΔS Δh

G Dt

2

ε2

Cond. E = 0

G G Aplicando : v∫ D • dS

ΔQ = Dn ΔS − 0 ( ΔS )

dado : E = 0 _ en _ el _ conductor ΔQ Dn = = ρS ΔS Dn = ρ S

Observaciones: • E=0 en el conductor • La densidad vol =0 en el conductor • La differencia de potencial = 0 en e conductor • E es externo al conductor y normal a la superficie de este

Condiciones conductor-vacio Dt = ε o Et = 0 Dn = ε o En = ρ s

Problemas de Electrostatica con Valor en la frontera

G G ∇ • D = ∇ • ε E = ρv G E = −∇V Sutituyendo : ∇ • ε ( −∇V ) = ρv

ρv ∇ V = − ( Ec _ Poisson ) ε Cuando : ρv = 0 2

∇ V = 0 ( Ec _ Laplace ) 2

Operador Laplaciano

∂V ∂V ∂V ∇V= 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z 2

2

2

2

Teorema de Unicidad • Lasolucion de la ecuacion de Laplace para un conjunto dado de condiciones en la frontera es unica. • La comprobacion del teorema se realiza por contradiccion.

∇ 2V1 = 0 ∇ 2V2 = 0 con : V1 = V2 (en _ la _ frontera ) Vd = V2 − V1 Aplicando _ el _ laplaciano : ∇ 2Vd = ∇ 2V2 − ∇ 2V1 = 0

Vd = 0 ( frontera )

Aplicando _ teo _ div : G G G ∫ ∇ • Adv = v∫ A • dS v

S

G con : A = Vd ∇Vd y _ usando _ la _ identidad : G ∇ • A = ∇ • (Vd ∇Vd ) = Vd ∇ 2Vd + ∇Vd • ∇Vd como : Vd = 0 G ∇ • A = ∇Vd • ∇Vd Aplicando _ teo _ div :

G ∫ ∇Vd • ∇Vd dv = v∫ Vd ∇Vd • dS v

S

como : V1 _ y _ V2 _ son _ solucion

∫ ∇V

d

• ∇Vd dv = 0

v

∫ ∇V

d

2

dv = 0

v

⇒ ∇Vd = 0 ⇒ Vd = constate _ en _ Vol

como : V1 = V2 ⇒ Vd = 0 ⇒ V1 = V2 ( en _ cualquier _ parte )

∴V1 _ y _ V2 _ son _ identicas

Problemas con Valor en la Frontera: • • • •

Se describe a dichos problemas mediante: Ecuacion diferencial La region de solucion Las condiciones en la frontera

Procedimiento • Para solucionar la ec. De Poisson o Laplace: integracion directa (una variable), sino usar separacion de variables. • Aplicar las condiciones en la frontera • Al obtener el potencial V, calcular E y D • La Q inducida en un conductor se calcula como la integral de la densidad superficial de Q

Q = ∫ ρ s dS donde : ρ s = Dn

Resistencia y Capacitancia G G E • dl V ∫ R= = G G I v∫ σ E • dS

Conductores de Seccion Transversal No Uniforme • 1) 2) 3) 4)

El calculo de la resistencia es un problema con valor en la frontera. Procedimiento: Elegir sist. de coordenadas Vo = dif. De potencial en las terminales del conductor. Resolver la ec. De Laplace. Se obtiene V=y E. De ahi se calcula I como el flujo de J Calcular R como Vo/I

Calculo de la Capacitancia • Un capacitor consta de 2 o mas conductores con Q’s iguales pero de signos contrarios. V

+ + + + +Q + +

- -Q -- - E

G G V = V1 − V2 = −∫ E • dl 2

1

G G G G Q v∫ D • dS ε v∫ E • dS C= = G G = G G V ∫ E • dl ∫ E • dl Supresion _ del _ signo _ menos → magnitud _ de _ V

Metodos para Obtener C 1) Se presupone Q y se calcula V (ley de Gauss) 2) Se presupone V y se `calcula Q (ec. De Laplace)

Primer Metodo (fijar Q) 1) Elegir sist. De coordenadas 2) Se asume que las placas conductoras portan +Q y –Q 3) Determinar E (ley de Culomb o de Gauss). Hallar el valor absoluto de V. 4) C = Q/V

Conductor de Placas Paralelas

+Q

1

ε

E 2

-Q

d

0

Q ρS = S Para : d << las _ dim del _ capacitor y _ en _ el _ caso _ de _ un _ cap _ ideal : G ρS G Q G E= ( −ux ) = − u x ε εS 2 G G d⎡ Q G ⎤ G Qd u x ⎥ • dxu x = ∴V = − ∫ E • dl = − ∫ ⎢ − 0 εS ⎣ εS ⎦ 1 Q εS ⇒C = = V d

Medicion de la constante dielectrica • Se utiliza un capacitor de placas paralelas • Se mide la capacitancia con un dielectrico y con el vacio.

C εr = Co donde : Co = cap _ con _ vacio

Energia Almacenada por un Capacitor: 2 1 1 Q WE = ∫ ε E 2 dv = S ∫ dx = 2 2 2 2ε S 1 Q2 1 Q2d 1 Q2 WE = Sd = = 2 2 2ε S 2 εS 2 C o: 2

1 1 1Q 2 WE = CV = QV = 2 2 2 C

Capacitor Coaxial

G G Q = v∫ ε E • dS ley _ de _ gauss (sup_ cilindica _ a < ρ < b) Q = ε Eρ 2π L ρ G Q G E= uρ ε 2π L ρ b G G ⎡ Q G ⎤ G V = − ∫ E • dl = − ∫ ⎢ uρ ⎥ • d ρ uρ ε 2π L ρ ⎦ a ⎣ Q b V= ln 2π Lε a Q 2π Lε C= = b V ln a

Capacitor Esferico +

+ -

a

+ -

b

-

+ -

ley _ Gauss : G G Q = ε v∫ E • dS = ε Er 4π r 2 despejando : G Q G E= ur 2 4ε r π 1 a G G G ⎡ Q G⎤ V = − ∫ E • dl = − ∫ ⎢ u • drur 2 r⎥ π 4ε r ⎦ 2 b ⎣ Q V= π 4ε Q C= = V

⎡1 1⎤ ⎢⎣ a − b ⎥⎦ π 4ε ⎡1 1⎤ ⎢⎣ a − b ⎥⎦

Metodo de Imagenes • Como hallar V, E, D y densidad sup de Q debidas a Q en presencia de conductores • No utiliza la ec. de poisson o de Laplace • Supone que existe una superficie conductora equipotencial • No es aplicable a cualquier problema de electrostatica pero simplifica problemas complejos

Teoria de la Imagenes •

Una distribucion de Q sobre un plano conductor perfecto e infinito conectado a tierra puede reemplazarse con: 1) La dist. de Q 2) La imagen de la dist. de Q 3) Una sup equipotencial que sustituye al plano conductor

Condiciones de Aplicacion: 1) Las Q’s y sus imagenes se situan en la region conductora. 2) Las Q’s y sus imagenes se situan de tal forma que V=0 o cte. en la superficie conductora (cond frontera).

Q puntual sobre un plano conductor a tierra z z

+Q

Q h -Q

G r1

P(x,y,z)

G r2

V=0

0

G G G E = E+ + E− =

G G Qr1 Qr2 + 3 4ε oπ r1 4ε oπ r23

G r1 = ( x, y, z ) − (0, 0, h) = ( x, y, z − h) G r2 = ( x, y, z ) − (0, 0, −h) = ( x, y, z + h) G Sustituyendo _ las _ r ' s _ en _ E : G G G G G G ⎤ ⎡ G xu x + yu y + ( z + h)u z Q ⎢ xu x + yu y + ( z − h)u z ⎥ − E= 3/ 2 3/ 2 2 2 2 ⎥ 4ε oπ ⎢ ⎡ x 2 + y 2 + ( z − h) 2 ⎤ ⎡ ⎤ π ( ) + + + x y z h ⎦ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣⎣

G G V = − ∫ E • dl V = V+ + V− V=

Q 4ε oπ r1

+

−Q 4ε oπ r2

⎡ ⎤ Q ⎢ 1 1 ⎥ V= − 4ε oπ ⎢ ⎡ x 2 + y 2 + ( z − h) 2 ⎤ 12 ⎡ x 2 + y 2 + ( z + h) 2 ⎤ 12 ⎥ ⎢⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥⎦ la _ densidad _ de _ Q :

ρ s = Dn = ε o En ρs =

z =0

−Qh 2π ⎡⎣ x 2 + y 2 + h 2 ⎤⎦ 3

2

Q inducida en el plano:

Qi = ∫ ρ s dS = ∫∫

−Qhdxdy 2π ⎡⎣ x + y + h ⎤⎦ 3 2 2

2

2

= −Q

Q lineal sobre un plano conductor a tierra G G G E = E+ + E− = G

ρL G −ρL G uρ + uρ π 4ε o ρ1 π 4ε o ρ 2 1

ρ1 = ( x, y, z ) − (0, y, h) = ( x, 0, z − h) G ρ 2 = ( x, y, z ) − (0, y, −h) = ( x, 0, z + h)

2

G Sustituyendo _ las _ r ' s _ en _ E : G G G G ⎤ ⎡ G ρ L xu x + ( z − h)u z xu x + ( z + h)u z ⎢ 2 ⎥ E= − 2 2 2 2ε oπ ⎢ ⎡⎣ x + ( z − h) ⎤⎦ ⎡⎣ x + ( z + h) ⎤⎦ ⎥ ⎣ ⎦

G G V = − ∫ E • dl V = V+ + V− −ρL ρL V= ln ρ1 − ln ρ 2 2ε oπ 2ε oπ ρL ρ1 V= ln 2ε oπ ρ 2 2 1/ 2

⎡⎣ x + ( z − h) ⎤⎦ ρL V =− ln 2ε oπ ⎡ x 2 + ( z + h) 2 ⎤1/ 2 ⎣ ⎦ 2

la _ densidad _ de _ Q :

ρ s = Dn = ε o Ez

z =0

−ρLh ρs = π ⎡⎣ x 2 + h 2 ⎤⎦

Q inducida x longitud en el plano conductor: ρLh dx ρi = ∫ ρ s dx = − = −ρL 2 2 ∫ π x +h