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CAMPO ELECTROMAGNETICOS II

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CONTENIDOS 1: ECUACIONES DE MAXWELL 2: PROPAGACION DE ONDAS 3: ECUACIONES DE HELMHOLTZ 4: CAMPOS RADIADOS 5: PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN UN MEDIO DIELÉCTRICO 6: ONDA ELECTROMAGNETICA , NATURALEZA DE LA LUZ 7: PROPAGACIÓN Y REFLEXION DE ONDAS 8: GUIAS DE ONDAS

BIBLIOGRAFIA 1.Sadiku,Matthew,(1998),Elementos de Electromagnétismo,Mexico,Limusa. 2.Cheng,David,(1998),Fundamentos de Electromagnetismo para ingeniería,Mexico,Pearson.

3.Hayt,Wylliam, (2004),Teoría Electromagnética,Mexico,MCgraw Hill 4. PDF (WEB) recomendados por el profesor 2

OBJETIVOS 1. Entender la propagación de las ondas electromagnéticas planas en el espacio y en un medio dieléctrico a partir de las ecuaciones de Maxwell. Analizar el concepto del vector Poyngting. 2. Estudiar el comportamiento de una onda plana que incide en forma oblicua sobre un plano límite. Examinar las reglas que rigen la reflexión refracción de las ondas planas, así como las condiciones de no reflexión y la reflexión total. 3. Conocer las características de las ondas electromagnéticas que se propagan en tubos metálicos huecos conocidos como guías de ondas. Estudiar los modos de propagación de las ondas.

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ECUACIONES DE MAXWELL

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ECUACIONES DE MAXWELL: LEY DE GAUSS Establece que el flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a 1/ε0 la carga neta encerrada dentro de la misma. .E 

  .D   0

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ECUACIONES DE MAXWELL: LEY DE GAUSS DEL MAGNETISMO

En ella se establece que el flujo del vector de campo magnético B es cero a través de cualquier superficie cerrada; describe la observación de que las líneas de campo magnético comienzan y terminan en el mismo lugar, esto conlleva a la no existencia de monopolos magnéticos.

.B  0

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INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

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AUTOINDUCCION - INDUCTANCIA Autoinducción: Es la capacidad de una bobina de oponerse a cualquier cambio en la corriente. Es la relación de la tensión inducida en una bobina debido al cambio de corriente que atraviesa la bobina

 LN i d d i d i por _ Faraday :    N  N  ( N )  dt dt i i t i   L t

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INDUCCIÓN MÚTUA

Esta ecuación nos dice que la variación de la corriente i1 en el primario, nos genera una tensión en el secundario, que depende del coeficiente de inducción mutua M12.

d12 dI1     M 12 dt dt 12  M 12 I1

LEY DE LENZ: Las corrientes inducidas, tienen un sentido tal que con sus efectos tienden a oponerse a las causas que la producen 9

REALIZAR EL SIGUIENTE EXPERIMENTO DE INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

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EJERCICIO1: INDUCTANCIA Determinar la fuerza electromotriz auto inducida en un solenoide perteneciente a un circuito por el que circula una corriente de 15 A durante un tiempo de 0,004 s. El coeficiente de autoinducción del solenoide es de 0,4 henrios.

d dI 15 A     L  0.4  1500Volts dt dt 0.004s

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EJERCICIO2: INDUCTANCIA Tenemos un circuito en el que se produce una fuerza electromotriz autoinducida de 10 V cuando, y de forma uniforme, pasamos de una intensidad de 0 a 5 A en un tiempo de 0,15 s. Determinar el coeficiente de autoinducción del circuito.

d dI    L  dt dt dt 0.15s L    10  0.3Henrios dI 0  5A

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INDUCTANCIA MUTUA Si el flujo de la bobina del primario enlaza a la bobina del Secundario, se producirá un voltaje inducido, siendo Ǿ12, el flujo del primario que enlaza al secundario

1 12 Vp  N p  Vs  N s t t

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INDUCTANCIA MUTUA El análisis es considerando el efecto de la corriente i1:

Vp  N p

11 i1 11 i1 i  Np  Lp 1 t i1 i1 t t

Lp  N p

11 i1

Vs  N s

12 i1 12 i1 i  Ns  M 12 1 t i1 i1 t t

M 12  N s

12 i1

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INDUCTANCIA MUTUA El mismo análisis si consideramos que ahora circula corriente por el secundario i2 i2 t 2 Ls  N s i2

Vs  Ls

i2 t 21  Ns i2

V p  M 21 M 21

Por principio de la conservación de la energía las Inductancias mutuas deben ser iguales: M 12  M 21  M 15

INDUCTANCIA MUTUA M12  M 21  M

Definimos como coeficiente de acoplamiento magnético “k” entre dos bobinas mediante la relación : 12 21   0  k  1 1 2 12  k1  21  k2 k

M 12  N p

12 K1  Np i1 i1

M 21  N S

21 K2  NS i2 i2

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INDUCTANCIA MUTUA M 12  N p k

1 i1

M 21  N s k

2 i2

multiplicando_miembro_a_miembro   M 12 xM 21  M 2  k 2 ( N p 1 )( N s 2 )  k 2 L1 L2  i1 i2 M  k L1 L2

Si k=1 se dice que las bobinas están perfectamente acopladas Si k es menor 1 se dice que las bobinas están débilmente acopladas.

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EJERCICIO DE :INDUCTANCIA MUTUA Dos bobinas de 500 y 1000 espiras se sitúan muy cerca la una de la otra, de forma que entre ellas existe una inducción mutua. Por el primario circula una corriente de 5A originando en el secundario un flujo de 0,0003 Wb. Calcular: 1.El valor de M 2.El valor medio de la fuerza electromotriz que se induce en el secundario cuando se interrumpe la corriente durante 0,1 s 3. Calcular la inductancia del secundario Ls

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SOLUCION Para obtener el valor de M, lo único que tenemos que hacer es sustituir en la fórmula de la autoinducción mutua. con k=1

M  M 12  N p k Vs  M 12

Lp  N p

1 0.0003  1000  0.06 Henrios i1 5

i1 i 5  M 1  0.06  3V t t 0.1

11 0.0003  500  0.03H  i1 5

M2 0.06 2 M  k L p xLs  Ls    0.0012 H Lp 0.03

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INDUCTANCIA MUTUA ENTRE DOS ESPIRAS Demostrar que la inductancia mutua entre dos espiras una de radios R Y otra mas pequeña “r”. separadas una distancia “a” mucho Mayor que el radio “R” esta dado por la ecuación:

si _ a  R :

0R 2 r 2 1 1 M ( ) 3 k 3 2 a a

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SOLUCION Se ha demostrado que el campo magnético que genera la corriente I al circular por la espira circular , esta dado por la siguiente ecuación:

0 IR 2 BR  2( R 2  a 2 )3 / 2 I  IR

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El flujo a través de la espira de radio “r” debido a la corriente I =IR Es:

Rr  BR Ar  BR (r 2 ) BR 

0 I R R 2

2( R  a ) 2

2 3/ 2



Rr  BR Ar  BR (r )  2

0 I R R 2

(r 2 )

2( R 2  a 2 ) 3 / 2 Por definición de inductancia mutua:

Rr  MI R  0 R 2 Rr 2 M  (  r ) 2 2 3/ 2 I R 2( R  a ) como _ a  R : 0R 2 r 2 1 1 M ( ) 3 k 3 2 a a

Al disminuir la separación “a” Aumenta la inductancia mutua 22

INDUCTANCIA MUTUA: BOBINA DE TESLA Las bobinas de Tesla de mayor tamaño pueden provocar chispas eléctricas a una longitud de varios metros. Una bobina Tesla grande de diseño actual puede operar con potencia de picos muy altos, hasta muchos mega voltios ​. Debe por tanto ser operada cuidadosamente.

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INDUCTANCIA MUTUA: BOBINA DE TESLA En la bobina de Tesla se tiene que determinar el campo magnético producido por la corriente que circula por la bobina interior que tiene N1 espiras, y el efecto en el secundario.

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INDUCTANCIA MUTUA: BOBINA DE TESLA Una espira produce un campo magnético en el punto P dado por:

0 IR 2 BR  2( R 2  x 2 )3 / 2 Sea L la longitud y N es el Numero de espiras por unidad de Longitud, definimos la relación: n= N/L en una bobina con muchas espiras podemos considerar unas Cuantas espiras como diferencial de longitud “dx” :. ndx=(N/L)dx :. el campo producido por las espiras de longitud dx es: BR 

 0 IR 2

2( R 2  x 2 ) 3 / 2

N   x   l  25

INDUCTANCIA MUTUA: BOBINA DE TESLA BR 

 0 IR 2

2( R 2  x 2 ) 3 / 2

N   x   l 

Haciendo cambio de variables x cot g   x   R cos ec 2  

R x 2  R 2  r 2  r 2  R 2 cos ec 2  

 0 IN

 0 IN  R cos ec 2  x B  x 2  x 2 2 3/ 2 2L (R  x ) 2l ( R cos ec 2  ) 3 / 2 B  B B

 0 IN

 R cos ec 2    0 IN   x  x  3 ( R cos ec  ) 2l cos ec

2l

 0 IN 2L

2

 ( sen ) 

1

 0 IN  2l

al

 0 IN 2l

  2 2  R  (a  l )

(cos  2  cos 1 )

  2 2 R  a  a

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INDUCTANCIA MUTUA: BOBINA DE TESLA

B

 0 IN 

aL

  2 2 2 L  R  (a  L)

  2 2 R  a  a

Si consideramos que la longitud “L” de la bobina es mucho mayor que “R”, el campo para puntos en el centro de la bobina (a=0) es: 2   2  0  0 IN  0 IN B (cos  2  cos 1 )  2 2L  IN B 0  ec(1) L

2L

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INDUCTANCIA MUTUA: BOBINA DE TESLA La inductancia mutua en la bobina de tesla, el cual es un solenoide de longitud l y área de sección transversal A tiene un devanado compacto de N1espiras de alambre. Y una bobina de N2 espiras que lo rodea a la altura de su centro. B1 

 0i1 N1 l

 B 

 0 N1 l

i1 

B  0 N1  i1 l

Se_ha_demostrado_que: i V2  M 12 1  aplicando : ec(1) t  B1  N 12 B1 A   N 2 A 0 1  M 12  N 2  N2  N 2 A i1 i1 l  i1  la_inductancia_mutua_de_la_Bobina_de_Tesla : NN M 12   0 A 1 2 l

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EJERCICIO: BOBINA DE TESLA En una bobina de tesla, un solenoide de longitud l y área de sección transversal A tiene un devanado compacto de N1espiras de alambre. Una bobina de N2 espiras lo rodea a la altura de su centro. Halle la inductancia mutua. Suponga l=50 cm., A =10 cm2, N1=1000espiras y N2 10 espiras

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SOLUCION En una bobina de tesla, un solenoide de longitud l y área de sección transversal A tiene un devanado compacto de N1espiras de alambre. Una bobina de N2 espiras lo rodea a la altura de su centro. Halle la inductancia mutua. Suponga l=50 cm., A =10 cm2, N1=1000 espiras y N2 10 espiras

10 4 10 x 10 x1000 2  0 AN 2 N1 (100) M   2.51x10  2 mH 50 l 100 7

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EJERCICIO Hallar la inductancia de una bobina que tiene 200 espiras en la longitud De 50 cm, con una sección transversal de 10 cm2

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SOLUCION Hallar la inductancia de una bobina que tiene 200 espiras en la longitud De 50 cm, con una sección transversal de 10 cm2 B BA   NA N i i i Se _ ha _ demostrado _ que : B  0 N   l i1 LN

0 N B N 4  7  200   N 0   A  200 x 4 10   NA L  NA  x10 H l i  0.5   l  L  0.1mH

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EJERCICIO Construir una bobina de 10mH con un alambre de diámetro igual a 1mm Con espiras juntas sobre un núcleo de 5 cm de diámetro. Determinar el Numero de espiras.

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SOLUCION Construir una bobina de 10mH con un alambre de diámetro igual a 1mm Con espiras juntas sobre un núcleo de 5 cm de diámetro. Determinar el Numero de espiras. 0 N 2 N L  N 0   A  A l  l  se _ ha _ definido _ que : l  Nd  0 N 2  N N L  N 0   A  A  0 A Nd d  l  d d 10 3 3 N  Lx  Lx  10 x10  1014espiras 2 7 2 2 0 A  0r 4 10 x (5 x10 )

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ENERGIA MAGNETICA ALMACENADA En un sistema magnético la energía magnética almacenada es igual A la integral de la potencia instantánea, la cual es el producto de la Tensión por la corriente, U   Pt i  i  P  V1 I1   L1 1 i1  U  L1  1 i1t  t  t  o I

i1 I2 U  L1  i1t  L1 t 2 o I

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EJERCICIO: ENERGIA MAGNETICA Una bobina almacena una energía de 0.1 mJ, cuando circula Una corriente de 0.2 A . a) Calcular la inductancia b) Si la corriente se triplica ¿Qué valor de la energía se almacena ?

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SOLUCION Una bobina almacena una energía de 0.1 mJ, cuando circula Una corriente de 0.2 A . a) Calcular la inductancia b) Si la corriente se triplica ¿Qué valor de la energía se almacena ? I2 U 2 x0.1x10 3 U L L2 2   5mH 2 2 I 0.2 si _ i _ se _ triplica : I2 (3I ) 2 9 L 2 U3  L L  I  9U  9 x0.1  0.9mJ 2 2 2

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DEMOSTRAR QUE LA DENSIDAD DE ENERGIA DEL CAMPO MAGNÉTICO Densidad de energía magnética = Energía por unidad de volumen. 2

1B U  2 o

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DENSIDAD DE ENERGIA MAGNETICA ALMACENADA EN UNA BOBINA La densidad de energía almacenada en una bobina, es la energía Almacenada en el volumen de una bobina de sección A y longitud l  0i1 N1

B1 

l

 i1 

Bl  la_energia_es: 0 N

Bl 2 ) 2  N i L Bl 2 U L L 0  ( ) 2 2 2 0 N (

La_inductancia_de_una_bobina_es: L

0 N 2 l

A

Bl 2 ) 2 0 N i L Bl 2 N 2 1 l 2 B2 U L L  ( )  Ax ( )  lA 2 2 2 0 N l 2 N 20 (

Vvolumen _ bobina  lA  la_densidad_de_energia_ρU :

U 

U energia _ magnetica Vvolumen _ bobina

U B2   lA 2  0

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EJERCICIO: DENSIDAD DE ENERGIA Una bobina de 0.02 mH de longitud 45 cm y sección transversal 5 cm2 Almacena en su interior una densidad de energía de campo magnético De 5/10**3 J/m3. ¿Qué corriente circula por la bobina?

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SOLUCION Una bobina de 0.02 mH de longitud 45 cm y sección transversal 5 cm2 Almacena en su interior una densidad de energía de campo magnético De 5/10**3 J/m3. ¿Qué corriente circula por la bobina? La_inductancia_de_una_bobina_es: L

0 N 2 l

A  N 

lL 0 A

la_densidad_de_energia_ρU : B2 U   B  2  0 U 20 la_inductancia_en_funcion_del_flujo: LN i

 i

N

BA BA i  N  i L

2lU A  L

lL A x 2  0 U x  0 A L

2 x0.45 x(5 x10 3 )(5 x10  4 )  0.34 A 3 0.02 x10 41

EJERCICIO: DENSIDAD DE ENERGIA Una bobina circular, que esta formada por 100 espiras de 2 cm de radio y 2 Ω de resistencia eléctrica, se encuentra en un campo magnético de 0,8 T. Si el campo magnético se activa por 1 mSeg, calcular la f.e.m inducida, la corriente, y la densidad de energía magnética almacenada.

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Una bobina circular, que esta formada por 100 espiras de 2 cm de radio y 2 Ω de resistencia eléctrica, se encuentra en un campo magnético de 0,8 T. Si el campo magnético se activa por 1 mSeg, calcular la f.e.m inducida, la corriente, y la densidad de energía magnética almacenada.  BA B N  NA i i i   NBS  100 x0.8 x (0.02) 2  0.100Wb aplicando _ la _ ley : Lenz _ Faraday :  0.100     3  10V t 10 10 I  5 Amper 2  0.100 LN  100  0.2 H  i 5 1 2 1 B2 0.82 2 3 3 U L  Li  0.2(5)  2.5 j  U    254 . 6 x 10 j / m 2 2 2  0 2(4 10 7 ) LN

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APLICACIONES: INVESTIGAR LA LEVITACION MAGNETICA

https://www.youtube.com/watch?v=8cQ0HB-1iXs

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ANILLO DE ROWLAND: CALCULO DE B Y H El anillo de Rowland permite determinar B en función de H. la corriente i que circula por la bobina N1 en el anillo crea un campo H que podemos calcular por la ley de Ampere : Ni C H.dL  i  H  2r

La inducción magnética B se calcula usando la ley de Faraday: midiendo La f.e.m. inducida en la bobina 2, cuando hay variación de la corriente:  B f .e.m.     N2S t t Ni B  0 ( H  M )  0 ( M) 2r 45

SUSCEPTIBILIDAD Y PERMEABILIDAD MAGNÉTICAS Las propiedades magnéticas de un material homogéneo se definen en función de la susceptibilidad magnética χm, que es un coeficiente adimensional, representa la proporcionalidad entre la magnetización o imanación M y la intensidad de campo magnético H, según la ecuación:

M  m H La inducción magnética B está relacionada con estas dos variables:

B  0 ( H  M )  0 (1   m ) H  0  r H

 r  (1   m ) siendo µ la permeabilidad magnética del medio, µ0 la permeabilidad magnética del vacío y µr la permeabilidad relativa (µr = 1 + χm). 46

OBTENCION DE LA CURVA B=F(H) ANILLO DE ANILLO ROWLAND En la curva se muestra una curva típica de magnetización para un material ferromagnético.

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PERMEABILIDAD RELATIVA Conociendo B y H medimos la permeabilidad relativa del material,

B 5 B r   7.96 x10 0 H H

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SUSCEPTIBILIDAD Y PERMEABILIDAD MAGNÉTICAS Dependiendo del valor de µr, los materiales pueden clasificarse en los siguientes grupos:

Los materiales ferromagnéticos presentan imanaciones grandes aún en presencia de campos magnéticos muy débiles y son los más usuales en las aplicaciones tecnológicas industriales

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SUSCEPTIBILIDAD Y PERMEABILIDAD MAGNÉTICAS

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MATERIALES MAGNETICOS µr Construcción de sensores magnéticos y cabezales de grabación. Transformadores y núcleos alta frecuencia (Audio, Vídeo, Radiofrecuencias).

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MATERIALES MAGNETICOS µr

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TAREA: OBTENER CURVA DE MAGNETIZACIÓN PROCEDIMIENTO: Al anillo de Rowland se aplica Vp (alterna) , se usa una resistencia en serie con la bobina, y así determinamos H. Ni Ni  L 2r VP Ni  N  VP I  H    R L  2r  R

H

H es proporcional a Vp, y mientras exista un flujo variable este inducirá una fem en las terminales de la bobina secundaria VS   N

 B 1  NA B Vs .t  t t NA 53

MATERIALES FERROMAGNETICOS

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APLICACIÓN DE MATERIALES FERROMAGNETICOS

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EJERCICIO: DENSIDAD DE ENERGIA El anillo de Rowland de circunferencia media de 50 cm de longitud Y 500 espiras, conduce una corriente de 0.3A, su permeabilidad Relativa es 600. calcular la densidad de flujo, la intensidad magnética. Ubicar B y H en la curva de Histéresis.

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El anillo de Rowland de circunferencia media de 50 cm de longitud Y 500 espiras, conduce una corriente de 0.3A, su permeabilidad Relativa es 600. calcular la densidad de flujo, la intensidad magnética. Ubicar B y H en la curva de Histéresis. Ni

 r  0 Ni

600(4 10 7 )(500)(0.3) B    0.226Weber / m 2 l l 0.5 H B 0.226 B H    300 A / m 7   r  0 (600)(4x10 )

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EJERCICIO:

ANILLO DE ROWLAND

En el interior de un solenoide toroidal de 1500 espiras, se introduce un núcleo magnético y se hace pasar una corriente eléctrica de 4 A de intensidad. Si la longitud de la circunferencia media del toroide es de 80 cm y la inducción magnética en el núcleo es de 1 T, calcular las permeabilidades absoluta y relativa y su susceptibilidad magnética.

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En el interior de un solenoide toroidal de 1500 espiras, se introduce un núcleo magnético y se hace pasar una corriente eléctrica de 4 A de intensidad. Si la longitud de la circunferencia media del toroide es de 80 cm y la inducción magnética en el núcleo es de 1 T, calcular las permeabilidades absoluta y relativa y su susceptibilidad magnética. 0.7496 B   0 H  4 10 7 x75 x10 2  9.42 x10 5 B  B0  BM  BM  B  B0  1  9.42 x10 5  0.9905T BM   0 M B   r  106.15 B0 B   m  105.14 BM

   r  0  106.4 x 4x10 7  1.33x10  4 (T .m / A) 59

FERRITAS El nombre ferrita se aplica a toda una serie de materiales cerámicos que pueden considerarse como óxidos mixtos, resultado de combinar Fe2O3. Se usa en muchas Aplicaciones la Ferrita suave que tiene una alta permeabilidad magnética inicial µi y es constante en un intervalo grande de frecuencias. Hay una frecuencia crítica (fo) que indica la frecuencia máxima a la que el material es capaz de magnetizarse con el campo alterno aplicado y se obtiene de manera aproximada, por la relación

1000 f0  MHz r

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APLICACIÓN DE LOS ANILLOS DE FERRITAS: COMO MEMORIA

Si el anillo está en el estado "1", al pasar al "0" su magnetización cambia bruscamente. Este cambio induce una corriente eléctrica en el hilo de lectura. Su intensidad es apreciable, aunque menor que la necesaria para producir la conmutación.

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LEY DE HOPKINSON Para el cálculo de un circuito magnético existe la Ley general del circuito magnético o Ley de Hopkinson:

Ni Fm   l Rm S • Fm: Fuerza magnetomotriz (Av). • Ф : Flujo magnético, : (Wb/m2). • Rm: Reluctancia magnética, (H-1). • B: Inducción magnética, : (T). • µ: Permeabilidad, (Wb/A*m). µ=µr*µ0.

RELUCTANCIA : CIRCUITO MAGNÉTICO SERIE Un circuito magnético serie esta formado por varios tramos heterogéneos acoplados uno a continuación del otro, por ejemplo la existencia del material magnetico mas entrehierro. Cada parte del circuito magnético tiene una reluctancia :. La reluctancia total será la suma de las partes

Fm  Rm Rm  Rm1  Rm 2 ....  Rmn

ln l1 l2    ...  1S1  2 S 2 n Sn

CIRCUITO MAGNÉTICO PARALELO La Reluctancia equivalente de las ramas en paralelo es la inversa de la suma de las inversas:

Debido a la construcción geométrica (laminas E-I) de las chapas magnéticas en los transformadores, en estos circuitos se pueden hacer combinaciones serie-derivación

CARACTERISTICAS DE LOS CIRCUITOS MAGNÉTICOS Generalizando esta ley para varios medios magnéticos se tiene:

 H .dl  Ni  H

l  H g l g  Ni

m m

c

Donde Hm es la intensidad de campo magnético del núcleo: Hg es la intensidad del campo magnético en el entrehierro Lm, Lk las longitudes del núcleo y el entrehierro

EJERCICIO1: EN CLASE Dado el circuito magnético de la figura, determine la corriente continua necesaria para obtener un flujo magnético de 0,049 Wb.

Dado el circuito magnético de la figura, determine la corriente continua necesaria para obtener un flujo magnético de 0,049 Wb.

La longitud media: 4(170-60)= : 4(110)= 440 mm:. L FE =0.44m, la sección transversal del núcleo es: 60 x60 =3600 mm2 :.SFE=0.036m2 BFE 

 S FE



0.049  1.36T 0.036

De _ la _ tabla _ de _ magnetizacion : BFE  1.36 A / m  H FE  1200 I

H FE xLFE 1200 x0.44   13.2 A N 50

EJERCICIO2: EN CLASE Para el circuito magnético anterior recalcular la corriente si se le agrega un entrehierro de 3 mm

Para el circuito magnético anterior recalcular la corriente si se le agrega un entrehierro de 3 mm

Longitud media : 4 (170 – 60) = 440 mm LFe = 0,44 – 0,003 = 0,437 m Sección transversal del núcleo: 60. 60 = 3600 mm2 SFe = 0,0036 m2 Sección aparente del entrehierro: Sa =( 60 + 3) . (60 + 3) = 3.969 mm2 :.Sa = 0,003969 m2

BFE 

 S FE



0.005  1.36T 0.0036

De _ la _ curva _ de _ magnetizacion H FE  1.467 BAIRE 

 S AIRE



0.05 B  1.26T  H AIRE  AIRE7  1.002.676 A / m 0.003939 4 10

 H .dl  NI  H

l  H g l g  Ni 

m m

c

i

H m lm  H g l g N

1.467 x0.437  1002.676 x3 x10 3   12.88 A 50

APLICACIÓN DE LA LEY DE HOPKINSON El circuito magnético de la figura tiene una sección transversal es de 4 cm2 y una longitud de entrehierro 0.87 cm. La corriente aplicada a la bobina es 1 A y el número de espiras 700. La permeabilidad relativa es 5000. Calcular el flujo magnético en el entrehierro.

71

Circuito magnético es: lh  2 x7  5  (5  g )  24  g Ah  4cm 2  0.0004m 2  Reluctancia_hierro  Rh 

lh (24  g ) (24  g ) 5   10  92031A / Wb 4  h S h 5000 0 4 x10 8

el_entrehierro:l g  0.0087 m  S g  (2  g )(2  g ) x10  4  0.00082369m 2 reluctancia_entrehierro:Rg 



lg

0 S g



g  8405152 A / Wb 2 4  0 (2  g ) x10

Ni 700   8.238 x10 5Wb Rh  Rg 92301  8405152 72

TAREA : ENTREHIERRO

En el circuito magnético hay un flujo de (núcleo-culata)=10-4 Wb. Y en el armadura y entrehierro el flujo es de 0,9 veces, del núcleo. Factor de apilamiento = 1. calcular NI. DATOS Permeabilidad relativa de la Armadura µr =400 Permeabilidad relativa de Culatas y núcleos µr =300

73

SOLUCION Las longitudes de las líneas medias son: Lculata = 60 – 5 - 5=50 cm = 0.5m Lnucleo = 2(55 - 5) = 100 cm = 1m Larmadura = 60-5-5 = 50 cm = 0.5m Lentrehierro =2x1 = 2cm=0.02m Sección = 10 x10 = 100 = 0.01 m 2 Calculo de inducción magnética B



10 4 B nucleo  Bculata    10  2 Wb / m  10  2 T S 0.01  0.9 x10  4 B entrehierro    9 x10 3Wb / m  0.009T S 0.01  0.9 x10  4 B armadura    9 x10 3Wb / m  0.009T S 0.01

74

Campo _ magnetico _ en _ el _ entrehierro : H entrehierro H nucleo

9 x10 3 Av    7161 7  0 4 10 m B

9 x10 3 Av    23 . 87  H culata 7  r  0 300 x 4 10 m Bnucleo

H armadura 

Barmadura

 r 0 Ley _ de _ amper :

9 x10 3 Av   17 . 90 400 x 4 10 7 m

n

NI   H i li  H entrehierrolentrehierro  H nucleolnucleo  H armadura Larmadura  H culata lculata i 1

NI  7161x0.02  23.87 x1  17.90 x0.5  23.87 x0.5  188 Av

75

TRANSFORMADORES

76

TRANSFORMADORES

Si al primario se aplica una tensión, Vp se originara un campo magnético de flujo variable φ que, dada la permeabilidad del núcleo, quedará encauzado en el mismo, una pequeña parte de flujo se dispersa, generando Vs:. Un transformador es una máquina electromagnética que utiliza el flujo magnético para convertir la energía eléctrica alterna

77

TRANSFORMADORES El transformador monofásico se puede representar por medio de su Circuito Equivalente. Representando con R y X la resistencia equivalente de los devanados y la reactancia equivalente del flujo de dispersión referidas ambas al secundario. gc representa la conductancia de pérdidas en el hierro y bm la susceptancia magnetizante, ambas también referidas al secundario

78

NÚCLEO El núcleo está diseñado para transportar el flujo creado por la corriente del devanado primario al secundario. Suele estar fabricado con materiales ferromagnéticos que tienen una permeabilidad mucho más alta que el aire o el espacio y por tanto, el campo magnético tiende a quedarse dentro del material. Suele fabricarse con “chapas” para reducir las pérdidas por Foucault.

79

RELUCTANCIA DEL NUCLEO DE TRANSFORMADOR

El transformador a analizar tiene las características geométricas que se pueden apreciar en la figura, el contacto entre ambas chapas no es perfecto y que existe un pequeño entrehierro o ‘Airgap’ igual a 0.5mm

80

RELUCTANCIA DEL NUCLEO DE TRANSFORMADOR Se puede observar que los tramos de la izquierda y de la derecha están en paralelo ya que tienen el mismo valor de caída de tensión magnética y que además son idénticos:

Rizquierda  Rderecha  2 Rm 2  Rm1  Rm3  R paralelo 

Rizquierda xRderecha Rizquierda  Rderecha

R 2 izquierda 1   Rizquierda  2 Rizquierda 2

Rm1  Rm3 R paralelo  Rm 2  2 En cuanto a la suma de las reluctancias de la columna central, queda de la siguiente manera:

Rnucleo _ central  Rm 4  Rm5

81

RELUCTANCIA DEL NUCLEO DE TRANSFORMADOR Con esta simplificación el circuito equivalente formado esta constituido por la sumar Rnucleo y Rp en serie :. La reluctancia toral es : RmTotal  R paralelo  Rnucleo _ central  RmTotal  Rm 2 

Rm1  Rm3  Rm 4  Rm5 2

Por lo que el cálculo de la expresión del flujo ( Φ ) se obtendrá de una manera muy sencilla:



Fmm RmTotal 82

EJERCICIO CALCULO DE LA RELUCTANCIA: TRANSFORMADOR Un transformador tiene una bobina con 100 espiras por el cual circula una intensidad de 2 A. La permeabilidad relativa del material es 4800. Calcular las reluctancia y la fuerza magnetomotriz Fmm.

83

Un transformador tiene una bobina con 100 espiras por el cual circula una intensidad de 2 A. La permeabilidad relativa del material es 4800. Calcular las reluctancia y la fuerza magnetomotriz Fmm.

la_Fuerza_Magnetomotriz: Fmm  Ni  200 x 2  200 Amper _ vuelta

84

La permeabilidad relativa del material utilizado es de 4800, el espesor del transformador es de 1 cm y las longitudes y áreas de los tramos a calcular, son los siguientes:

L1= 7 cm=0.07m A1= 0.0002 m2 L2= 4 cm=0.04m A2= 0.0004 m2 L3= 0,5mm=0.0005m Rm1  Rm 2 

l1



0.07  105105 Av / Wb 4 10 7 x 4000 x0.0002

l2



0.04  60060 Av / Wb 4 10 7 x 4000 x0.0002

 0  r A1  0  r A1

Rm 3 _ entrehierro  Rm 4 

l1

 0  r A2

Rm 5 _ entrehierro 

l3 0.0005   1989436 Av / Wb  0 A1 4 10 7 x0.0002 

0.07  52552 Av / Wb 4 10 7 x 4000 x0.0004

l3 0.0005   994718 Av / Wb  0 A2 4 10 7 x0.0004

85

Con todas las reluctancias calculadas, se puede calcular ahora la reluctancia total equivalente propuesta anteriormente Rm1  Rm 3  Rm 4  Rm 5 2 105105  1989436  60060   52552  994718  2154600.5 Av / Wb 2

RmTotal  Rm 2  RmTotal

Como se observa en los valores obtenidos, pueden despreciarse las reluctancias del hierro ( Rm1, Rm2, Rm4) debido a su bajo valor en comparación con las del entrehierro. Por lo tanto la expresión de la reluctancia total queda de la siguiente forma. Rm 3  Rm 5 2 1989436   994718  1989436 Av / Wb 2

RmTotal  RmTotal

86

RmTotal  1989436 Av / Wb De este valor, se puede observar la importancia del valor del entrehierro en el transformador, ya que un entrehierro de apenas medio milímetro, es capaz de marcar prácticamente la totalidad de la caída de tensión magnética en todo el transformador de baja potencia. También es cierto, que esta caída de tensión magnética en los entrehierros, en ocasiones, es deseada para que la inducción no alcance valores de saturación y poder trabajar así en la zona lineal de la chapa evitando saturaciones y disminuyendo las pérdidas. Con el valor de Reluctancia calculado, ahora es inmediato calcular el flujo que circula a través del transformador la_Fuerza_Magnetomotriz: Fmm  Ni  200 x 2  200 Amper_vuelta  e_Flujo_Magnetico:



Fmm Rm _ TOTAL



200  1.05 x10  4 Wb  0.105mWb 1989436 87

TAREA 1: CALCULAR DE LA RELUCTANCIA : TRANSFORMADOR Un transformador tiene una bobina con 733 espiras y un núcleo de 40 x 40 mm con un entre hierro 0.5 mm, por el cual circula una intensidad de 0.67A. El material es ferromagnético acero dulce. Calcular las reluctancia y la fuerza magnetomotriz Fmm. DATOS:

88

TRANSFORMADOR RELACION DE ESPIRAS Dispositivo utilizado para elevar o disminuir la tensión en un circuito sin perdida aparente de potencia.

d1 V1  N1 dt d 2 V2  N 2 dt

primario

secundario

Si consideramos que no existe perdida de flujo magnético, se cumple muy aproximadamente la relación de transformación, esto es:

N2 V2  V1 N1

y

V1ef I1ef  V2ef I 2ef 89

TRANSFORMADORES: DEMOSTRAR LA RELACION DE ESPIRAS

El voltaje rms producido en cada devanado por la ley de inducción de Faraday equivale a

Vp

N1  Vs N 2

Np

Is a Ns Ip

90

TRANSFORMADORES: DEMOSTRAR LA RELACION DE ESPIRAS

   N  NB.Ssent t La _ tension _ eficaz : Vrms 

 max

V primario

N

B.S

2  fmax  4.44 Nfmax 2 2

2  4.44 N P fmax

Vsec undario  4.44 N S fmax  dividiendo_ambas_relaciones Vp

NP  Vs N S

91

TRANSFORMADORES: FLUJO MAGNETICO

V primario  4.44 N P fmax  N P 

V primario 4.44 fmax



V primario B 4.44 fS

El flujo esta dado en Gauss:. Se tiene que convertir a Teslas el cual se define como una inducción magnética sobre una superficie de un metro cuadrado, produce a través de esta superficie un flujo magnético total de un Weber

Weber 4 4 1Tesla   10 Gauss  Gauss  10 T 2 m se agrega un factor de corrección 0.9 por perdidas magnéticas :. 4

V .10 N B (4 x 44 xfx0.9 xS ) 92

TRANSFORMADORES: LA RELACION DE ESPIRAS Un transformador ideal sin perdidas la potencia del primario y la del secundario son iguales por lo tanto. De aquí podemos sacar una relación para la corriente

Pin  Pout Vp

Is N p V p I p  Vs I s     Vs I p N s Is N p  I p Ns

93

EJERCICIO EN CLASE El circuito primario de un transformador esta formado por 1200 espiras y el secundario por 20. Si el circuito primario se conecta a una diferencia de potencial de 220 V, calcular la diferencia de potencial a la salida del circuito secundario. ¿Cuál es el valor de la intensidad de la corriente en el secundario cuando la intensidad en el primario es 0,5 A?

94

95

EFICIENCIA DE: TRANSFORMADORES Un transformador es un dispositivo que convierte la potencia eléctrica del primario P1 de una tensión determinada a otra potencia P2 en el secundario , idealmente ambas potencias son iguales por la acción de un campo magnético. La potencia en el transformador se ve afectadas Por la perdida magnéticas. P1  P2  V1rms I1rms  V2 rms I 2 rms

96

PÉRDIDAS MAGNÉTICAS POR CORRIENTES DE FOUCAULT

Estas pérdidas son debidas a las corrientes inducidas en el material ferromagnético por estar sometido a un campo magnético variable. Estas corrientes por efecto Joule producen calor en el núcleo del transformador.

97

PÉRDIDAS MAGNÉTICAS POR CORRIENTES DE FOUCAULT

las pérdidas por corrientes parásitas son proporcionales al cuadrado de la inducción máxima y de la frecuencia, depende de la conductividad del mismo, densidad. De manera simplificada se puede expresar que esta corriente de Foucault produce una perdida de potencia según la ecuación siguiente: 2 2.2 f 2 Bmax d2 pF  1011 f  frecuencia_en_Hz Bmax  induccion_maxima_en_Gauss

d  espesor_de_la_chapa_en_mm 98

PÉRDIDAS MAGNÉTICAS POR CORRIENTES DE FOUCAULT Si el núcleo fuera de fierro macizo la perdida de potencia seria mu alta

2 2.2 f 2 Bmax d2 pF  1011 f  frecuencia_en_Hz Bmax  induccion_ maxima_en_Gauss

d  espesor_de _la_chapa_en_mm

99

EFICIENCIA : TRANSFORMADORES Considerando las perdidas en el núcleo, y otros efectos como la corriente de Foucault; el rendimiento se define como el cociente entre la potencia que el transformador transfiere a la carga conectada en el secundario y la que se suministra al transformador, siendo esta última la suma de la potencia suministrada a la carga más la potencia perdida en el transformador. Así, se puede escribir:



Pen _ c arg a Pen _ c arg a  PF

donde la potencia de pérdidas en un transformador es la suma de las pérdidas en el cobre y en el hierro.

100

EJERCICIO

Un transformador de 300 W de potencia se va a conectar en su primario a 220 V y en su secundario entregara 22 V. Si el primario tiene 1500 vueltas de alambre de cobre hallar: a) el numero de vueltas del bobinado secundario b) la intensidad de corriente en el primario para la carga máxima (300W) c) la intensidad de corriente en el secundario para las condiciones de b) d) Inductancia del primario y el secundario, inductancia mutua

Slide 101

Un transformador de 300 W de potencia se va a conectar en su primario a 220 V y en su secundario entregara 22 V. Si el primario tiene 1500 vueltas de alambre de cobre hallar: a) el numero de vueltas del bobinado secundario b) la intensidad de corriente en el primario para la carga maxima (300W) c) la intensidad de corriente en el secundario para las condiciones de b)

a) Ns = Np .(Vs/Vp) = 1500. (22V/220V) = 1500 . 1/10 = 150 vueltas b) P = Vp . Ip → Ip = P / Vp = 300W / 220V = 1,36 A

c) P = Vs . Is → Is = P / Vs = 300W / 22V = 13,6 A

Slide 102

Inductancia del primario y el secundario, inductancia mutua

0 N 2

4 10 7 x1500 2 L1  A 0.039 2  .....x l 0.06 0 N 2 4 10 7 x150 2 L2  A 0.039 2  ....t l 0.06

10 4 10 x 1500 x150 2  AN N (0.039) M 0 2 1  xx..mH 6 l 100 7

103

EJERCICIO: CALCULO DE LA POTENCIA CONSIDERANDO LAS PERDIDAS Si la eficiencia del transformador es 90% calcular la potencia del Primario Y las perdidas de potencia del hierro, si el espesor de las chapas es 1.5 mm, la Inducción magnética B =1.15 Weber/m2.

Si la eficiencia del transformador es 90% calcular la potencia del primario

500v x 200 mA 5v x 3ª 6,3 x3 Total potencia

= 100.0 watts = 15.0 = 18.9 133.9

Adoptamos una potencia de 140 w



Psec undario P 130  Pprimario  sec undario   144.44W Pprimario  90%

Se adopta 150 Watts

eficiencia = 90% espesor de las chapas = es 1.5 mm. Inducción magnética B =1.15 Weber/m2 1 Wb/m2 = 1 T=104 .Gauss:. B=1.15x 104

2 4 2 2 2 2.2 f 2 Bmax d 2 2.2 x(60) (1x10 ) (1) 3 pF    7200 x 10  7.20W 11 11 10 10

considerando _ que _ en _ el _ Cu _ se _ pierda _ igual  Pen _ c arg a 150    91.2% Pen _ c arg a  PF 150  2(7.2) adoptamos _ una _ eficiencia _ de _   90%

106

CONSTRUCCIÓN DE LOS TRANFORMADORES • Los devanados primarios y secundarios se pueden enrollar en lados opuestos del núcleo como la figura de arriba. Esta configuración recibe el nombre de core. • Otra forma enrollar los devanados es en forma concéntrica. El secundario se enrolla encima del primario. Esta configuración recibe el nombre de shell y tiene la ventaja sobre la primera que tiene menos “leake flux” , que como se verá mas adelante reduce la inductancia en serie y por tanto mejora la regulación de voltaje. Slide 107

TAREA: CONSTRUIR UN TRANSFORMADOR

Información: 1. Explicación en clase del profesor 2. Los cálculos pueden ser grupales, pero cada uno de los miembros hace su transformador

108

LABORATORIO REALIZAR CURVA DE HISTERESIS DEL TRANSFORMADOR CONSTRUIDO

109

ECUACIÓN DE MAXWELL _FARADAY.

110

ECUACIÓN DE MAXWELL _FARADAY.

dm B CE  dl   dt  xE   t

111

GENERACION DE CORRIENTE ALTERNA LEY DE FARADAY Y LEY DE LENZ Una bobina de N espiras y de lados L , h al girar por efecto de una fuerza Mecánica exterior en un campo magnético uniforme B, genera un fuerza electromotriz inducida en los terminales de la bobina.

   B.A   B.A cos  B cos   A  BLh cos  112

GENERACION DE CORRIENTE ALTERNA    B.A   B.A cos  B cos   A  BLh cos 

El flujo Ǿ que atraviesa las N espiras es ǾN :. Al girar la espira en el campo magnético “B” el flujo Ǿ varia :   NBLh cos   por _ Faraday :   cos   cos t     NBLh   NBLh  t t t    NBLhsent  max  NBLh  NBA 

   max sen(2ft ) Siendo A la sección transversal de la espira. 113

GENERACION DE CORRIENTE ALTERNA TRIFASICA Para generar tensiones trifásicas es necesario un alternador con tres devanados iguales pero desfasados 120º en el espacio fijos ubicados en el ESTATOR. La variación de flujo magnético para generar Fem, se consigue al circular corriente continua VDC por un devanado inductor situado en la parte móvil llamada ROTOR, que se acopla a una fuerza motriz mecánica exterior (ejemplo turbina). De esta forma, el campo magnético creado por el devanado rotórico es constante, pero los devanados del estator “ven” variable debido a que el rotor está girando. Las Fems inducidas en cada bobina estatórica son iguales en valor eficaz pero están desfasadas 120º.

114

GENERACION DE CORRIENTE ALTERNA TRIFASICA

El flujo magnético constante se consigue mediante una bobina En el rotor , en la que se inyecta corriente continua

CIRCUITOS TRIFÁSICOS YY E YD la forma de conexión de los devanados admite dos posibles configuraciones: Y (estrella) y  (Delta ).

a

Va

Va

a’

b’

Vb b

b’ V b

a’

n c’

a

b

Vc

Vc c

Estrella

El voltaje entre cada línea viene dado por:

c’

c

Delta

Vab  Va  Vb

FASORIALES TRIFÁSICOS YY E YD Vectorialmente los voltajes de línea trifásicos se expresa como: Va  V 0 Vb  V   120 Vc  V   240  V   120

TENSION DE FASE Y TENSION DE LINEA

VL / 2 3 0 cos 30   VL  2Va cos 30  2Va  Va 2 0

VL  3Va  3 x 220  380 118

TENSION DE FASE Y TENSION DE LINEA Vlínea  3 V fase

; I línea  I fase

VL  3 220V  380V

TIPOS DE TURBINAS

• • • • • • • •

PELTON 1.-Rodete 2.-Cuchara 3.-Aguja 4.-Tobera 5.-Conducto de entrada 6.-Mecanismo de regulación 7.-Cámara de salida

120

PARTES DE UN GENERADOR DE AC HIDROELECTRICA

121

122

CORRIENTE ALTERNA GENERADA POR UNA HIDROELECTRICA

123

CORRIENTE ALTERNA GENERADA POR UNA HIDROELECTRICA

124

CORRIENTE ALTERNA GENERADA POR REFLEXION SOLAR

125

CORRIENTE ALTERNA GENERADA POR UNA CENTRAL ATOMICA

126

TURBINA DE UNA CENTRAL ATOMICA

127

Motivación: Descripción del sector eléctrico: estructura y organización PARTES DE UNA básica RED DE DISTRIBUCION DE CORRIENTE ALTERNA

128

TAREA CONSTRUIR UN GENERADOR DE TENSION TRIFASICA

https://www.youtube.com/watch?v=NvTjvXhSW0M Una manera sencilla de mostrar la generación trifásica de energía. 129

GENERACION DE CORRIENTE ALTERNA

La fem inducida alcanza su valor máximo en t=π/2

130

CORRIENTE ALTERNA

La fem inducida alcanza su valor máximo en t=π/2

131

CORRIENTE ALTERNA: TENSION EFICAZ Se llama valor eficaz de una corriente alterna, al valor que tendría una corriente continua que produjera la misma potencia que dicha corriente alterna, al aplicarla sobre una misma resistencia.

Tension _ Eficaz  Veficaz  I rcm  I ef 

1 T

T

I 0

2 m



T

0

cos t dt  I m 2

f (t ) 2 dt 1 T

T

1 0 2 (1  cos 2t ) dt

132

EJERCICIO

Determinar los valores eficaces de tensión y corriente de la onda inducida    max sen(2ft )

133

SOLUCION T

I rcm

T

1 2 1 1 2  I ef  I m cos t dt  I m (1  cos 2t ) dt   T0 T 02

134

CORRIENTE ALTERNA: TENSION MEDIA

Se llama valor medio de una tensión (o corriente) alterna a la media aritmética de todos los valores instantáneos de tensión ( o corriente), medidos en un cierto intervalo de tiempo. En una corriente alterna sinusoidal, el valor medio durante un período es nulo: en efecto, los valores positivos se compensan con los negativos. Vm = 0

Tension _ Media Vmed

1  T



T

0

f (t )dt

135

EJERCICIO

Determinar la tensión media de un semiperiodo

136

EJERCICIO

Determinar la tensión media de un semiperiodo Vm 

2V



siendo V0 el valor máximo.

137

POTENCIA EFICAZ la potencia eficaz resultará ser: Prms  Vrms .I rms 

Vmax I max Vmax I max x  2 2 2

Es decir que es la mitad de la potencia máxima (o potencia de pico) La tensión o la potencia eficaz, se nombran muchas veces por las letras RMS. O sea, el decir 10 VRMS ó 15 WRMS significarán 10 Volts eficaces ó 15 Watts eficaces, respectivamente.

138

EJERCICIO EN CLASE Una bobina de 300 espiras, de sección transversal 10 cm2, gira Alrededor de un eje perpendicular al campo magnético de 0.6T Si el periodo de rotación es 0.1s .Calcular la f.e.m. máxima.

139

SOLUCION La amplitud máxima de La onda generada como se analizó en la Parte teórica esta dado por:

   max sen(2ft )  max  max

1  NBA  NBA2f  NBA2  T 1 1 4  NBA2  300(0.6)(10 x10 )2  11Volts. T 0.1

α

140

EJERCICIO EN CLASE Una bobina de 10 espiras, de sección transversal 100 cm2, gira Con una velocidad angular constante de 600rpm, en una región Donde existe un campo magnético de 0.5T. El eje de giro, forma un Angulo de 37° con la dirección de las líneas de campo. Calcular la f.e.m. máxima.

141

SOLUCION La componente del campo magnético esta dado por: Bx  B cos   B cos(90  37)  B cos(53) 

 max  max

600 x 2  NB cos(53) A  NB cos(53) A( ) 60  4 600 x 2  10(0.5 cos(53)(100 x10 )( )  1.89V 60

142

LEY DE FARADAY: F.E.M GENERADA POR UN CONDUCTOR La ley de Faraday también nos dice que: cualquier conductor que se mueva en un campo Magnético generara una diferencia de potencial en sus extremos proporcional a la velocidad De desplazamiento.

  BLv

143

EJERCICIO EN CLASE Un conductor de 20 cm se desplaza en un campo magnético B Con una velocidad de 10 m/s, generando una f.e.m. de 2Volts. Calcular la intensidad del campo magnético en Tesla y Gauss. Nota el f.e.m. inducida en una espira es: ε=BLv

144

SOLUCION La espira se mueve linealmente :. La velocidad es lineal



2   BLv  B    1T Lv (0.2m)(10m / s ) TTesla  10 4 Gauss

145

EJERCICIO EN CLASE Una varilla conductora, de 20 cm de longitud y 10 Ω, se desplaza con una velocidad de 5 cm/s, sobre un conductor en forma de U, en un campo magnético de 0,1 T. Calcula la fuerza magnética que actúa sobre los electrones de la barra y el campo eléctrico en su interior. Calcular la f.e.m. en los extremos de la varilla y la intensidad de la corriente . ¿Que fuerza externa hay que aplicar para mantener el movimiento de la varilla? Calcula la potencia necesaria para mantener el movimiento de la varilla.

146

147

148

149

Motivación: Descripción del sector eléctrico: CENTRALESbásica GENERADORAS DE FUERZA ELECTROMOTRIZ estructura y organización

• Centrales generadoras: transformación de la energía térmica, hidráulica, eólica, en energía eléctrica. Niveles de tensión: 13,2 kV, 10,5 kV. • Redes de Transmisión: transporte de la energía eléctrica desde las centrales generadoras a las zonas donde se ubican los consumos. Está constituido por subestaciones y líneas de transmisión. Niveles de tensión: 110 kV, 154 kV, 220 kV, 500 kV • Redes de Distribución: alimentación directa a los consumos (reparto al detalle). Niveles de tensión: 23 kV, 12 kV, 380 V. 150

TAREA CALIFICADA1: INVESTIGAR CARACTERISTICAS TECNICAS DE UNA HIDROELECTRICA DEL PERU DE LA LISTA

151

TAREA CALIFICADA1 : INVESTIGAR CARACTERISTICAS TECNICAS DE UNA HIDROELECTRICA DEL PERU DE LA LISTA

152

TAREA CALIFICADA2 : CONSTRUIR UN PEQUEÑO GENERADOR DE FUERZA ELECTROMOTRIZ CON ENERGIA EOLICA

153

MOTORES

154

PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DEL MOTOR ESPIRA EN CORTO

155

PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DEL MOTOR ESPIRA EN CORTO

Cuando se alimenta la bobina polar con una tensión alterna, produce un flujo 1 alterno. El flujo 1 induce en la espira una corriente alterna I2 opuesta a la corriente I1. La corriente alterna I2 produce el flujo 2, el cual es opuesto al flujo 1, por lo tanto el flujo 2 repele al flujo 1 y lo desvía. El flujo 1 induce en las barras del rotor (en celeste) una corriente alterna I3 la cual también es opuesta a la corriente I1.

156

PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DEL MOTOR ESPIRA EN CORTO

El flujo 2 y 3 están en fase y desfasados con respecto al flujo 1 por lo tanto cuando el flujo 1 es mínimo, los flujos 2 y 3 son máximos. Y se da en ese momento la atracción entre el flujo 2 y el flujo 3, ocasionando que el rotor gire.

157

PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DEL MOTOR ESPIRA EN CORTO

Cuando el flujo 1 se anula, los flujos 2 y 3 son máximos, de ahí que el norte del flujo 3 es atraído por el sur del flujo 2, iniciándose el giro del rotor por efecto de un campo deslizante.

158

EJERCICIO3: EN CLASE Dado el circuito magnético de la figura, determine la corriente alterna necesaria para obtener en el entrehierro un flujo magnético de 0,015 Wb.

La longitud del núcleo de hierro es: Lfe = 2x200+180+ 2x49=578mm=.578mm Longitud del rotor :Lr=80mm=0.080 Sección del hierro :Sfe=60x150=9000=0.009m2 Seccion del rotor: Srotor=150x60=9000=0.009m2 BFE 

 S FE l FE



0.015  2.88T 0.009 x0.578

CALCULO DEL AREA SEGMENTO CIRCULAR En geometría un segmento circular es la porción de un circulo Limitada por una cuerda y el arco correspondiente :. R  hd cuerda : s  R longitud _ cuerda : c  2 Rsen

 2

 R 2(1  cos  )

  altura : h  R1  cos  2  d    2 cos 1    R Area _ entrehierro  ( Longitud ) x(cuerda) S aire  lR 2(1  cos  )  lR 2(1  cos(2 cos 1 S aire  150 x31 2(1  cos(2 cos 1

d ) R

16 )  4800 x10 6  0.0048m 2 31 Bentrehierro  Baire  Brotor 

 S

l



 S airelaire



0.015 0.0048 x0.001

0.015 161  0.027 0.009 x60

BFE 

 S FE



0.015  6.840T 0.003794 x0.578

MOTOR DC

163

MOTOR DC

FUERZA MAGNÉTICA EN EL MOTOR DC Cuando una corriente eléctrica pasa a través de un cable conductor inmerso en un campo magnético, la fuerza magnética produce un par el cual provoca el giro del motor

165

Fuerza Magnética

Cuando una corriente eléctrica pasa a través de un cable conductor inmerso en un campo magnético, la fuerza magnética produce un par el cual provoca el giro del motor

166

PAR EN EL MOTOR DC Cuando una corriente eléctrica pasa a través de un cable conductor inmerso en un campo magnético, la fuerza magnética produce un par el cual provoca el giro del motor

167

ECUACIONES DE MAXWELL: LEY DE AMPER-MAXWELL Es la ley de Amper con la modificación de la corriente de desplazamiento, describe como rodean las líneas de campo magnético a una superficie a través de la cual está pasando una corriente o bien existe un flujo eléctrico variable.

E xB   0 j   0 0 t Ley _ de _ amper _ max well

168

MOTOR ASÍNCRONO O DE INDUCCIÓN:

169

Motor Asíncrono o de Inducción:

Motor Asincrónico tipo Jaula de Ardilla

El motor de rotor de jaula de ardilla, también llamado de rotor en cortocircuito, es el más utilizado . En núcleo del rotor esta construido de chapas de acero al silicio en el interior de las cuales se disponen unas barras, generalmente de aluminio moldeado a presión.

170

Motor Asíncrono o de Inducción:

171

Motor Asíncrono o de Inducción: Un inconveniente de los motores con rotor de jaula de ardilla es que en el arranque absorbe una corriente muy intensa de 4 a 7 veces la nominal

172

CAMPO ROTANTE

173

https://www.youtube.com/watch?v=Rq11n8xjSBs

174

CAMPO MAGNETICO ROTANTE La velocidad del campo rotante se denomina velocidad sincrónica, y su valor en revoluciones por minuto está dada por la siguiente expresión:

175

MOTOR ASÍNCRONO O DE INDUCCIÓN: 3 devanados en el estator desfasados 2/(3P) siendo P nº pares de polos

El Nº de fases del rotor no tiene porqué ser el mismo que el del estator, sí será igual el número de polos. Los devanados del rotor están conectados a anillos colectores montados sobre el mismo eje

Los conductores del rotor están igualmente distribuidos por la periferia del rotor. Los extremos de estos conductores están cortocircuitados, no habiendo conexión con el exterior. La posición inclinada de las ranuras mejora el arranque y disminuye el ruido

176

•Hz (Hertzi). frecuencia de operación •KW (Kilowatios). Potencia del motor usualmente en HP. •A (Amperaje). consumo de corriente. •rpm (revoluciones por minuto). •V (Tensión). Tensión de trabajo que puede ser 230V o 420V.

•cosφ (factor de potencia). 177

TAREA : CALCULO DE CONTACTOR Calcular el contactor para el motor cuyos datos son:

Hp = 4 V = 415 V_delta Cos0=0.76

178

TAREA CONSTRUIR UN MOTOR DE INDUCCION MAGNETICA

https://www.youtube.com/watch?v=Rq11n8xjSBs 179

ECUACIONES DE MAXWELL : ONDAS

180

RESUMEN DE LAS 4 ECUACIONES DE MAXWELL

Ley _ de _ Gauss  D   Ley _ de _ Gauss  B  0 B Ley _ de _ Faraday  xE   t D Ley _ de _ Amper  xH  j  t

181

RESUMEN DE LAS 4 ECUACIONES DE MAXWELL El campo eléctrico tridimensional E, es una magnitud vectorial propia definida por tres componentes espaciales y eventualmente por una temporal .

 B E  E  xE   0 t

El campo magnético tridimensional B es una magnitud vectorial impropia definida por tres componentes espaciales y eventualmente por una temporal adicional.

E B  B  0 xB   0 j   0 t 182

ECUACIONES DE HELMHOLTZ La ecuación de Helmholtz, nombrada así por Hermann Von Helmholtz, viene dada por:

(  k )  0 2

donde  es el Laplaciano, ”k” es un número real positivo y Ǿ un campo escalar. La ecuación aparece en varios contextos de la física donde se interpreta como el numero de onda. La ecuación es utilizada en electromagnetismo En efecto, el Teorema de Helmholtz sostiene precisamente que un campo vectorial, con la condición de ser finito, uniforme y continuo y que además se anule en el infinito, puede ser expresado como la suma del gradiente de una función potencial y el rotor de un campo de potencial vectorial K de divergencia nula. 183

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HELMHOLTZ Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales de primer orden para los campos E y B. Podemos combinarlas para producir una ecuación de segundo orden conteniendo únicamente E o B. para un medios conductores no lineales (J=0, ρ=0) :.

E xH   0 t H  E  2 ( E) xE    0  xxE    0 ( 0 )    0 0 t t t t 2 xxE  (.E)   2 E

  2 ( E) 2 .E   0  xxE   E    0 0  2 0 t  2 ( E)  E   0 0 t 2 2

184

VELOCIDAD DE FASE Y PROPAGACION La velocidad de fase de una onda es la tasa a la cual la fase de la misma se propaga en el espacio. Ésta es la velocidad a la cual la fase de cualquier componente en frecuencia de una onda se propaga (que puede ser diferente para cada frecuencia). Si tomamos una fase en particular de la onda (por ejemplo un máximo), ésta parecerá estar viajando a dicha velocidad. La velocidad de fase está dada en términos de la frecuencia de la onda ω y del vector de onda kλ por la relación:

vp 

 K



1

 0 0

y por lo tanto, sustituyendo, tenemos: 2 2  ( E ) 1  ( E) 2  2 E   0 0   E  0 2 2 2 t v p t 185

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HELMHOLTZ

1  2E  E 2 0 2 v p t 2

ana log amente _ para _ el _ campo _ magnetico : 2 1  H 2  H 2 0 2 v p t

Estas son las ecuaciones de onda vectoriales homogéneas. Descomponiendo en coordenadas cartesianas x,y,z obtenemos tres ecuaciones de ondas escalares, homogéneas y unidimensionales. Cada componente del campo eléctrico y magnético debe satisfacer una ecuación cuya solución representa la ecuación de una onda 186

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HELMHOLTZ La velocidad “vp” de propagación de las ondas dependen del medio 2 1  E 2  E 2 0 2 v p t

ana log amente _ para _ el _ campo _ magnetico : 2 1  H 2  H 2 0 2 v p t

187

CAMPOS TRANSVERSAL ELECTROMAGNETICO : TEM

Los campos eléctrico y magnético son perpendiculares Entre si y se denominan ondas electromagnéticas Transversales TEM

Su demostración se debe determinar las componentes de los campos según los ejes x,y,z empezando por la Ley de Faraday

188

CAMPOS TRANSVERSAL ELECTROMAGNETICO : TEM

Haciendo uso del operador Laplaciano

La

  ecuacion   E   B t

  ˆ  ˆ    iˆ  j  k  y z   x

se puede escribir   E 

iˆ

ˆj

kˆ

 x

 y

 z

Ex

Ey

Ez 189

LEY DE FARADAY EN FORMA DIFERENCIAL

  B E   t





E z y

E x z



E y x



E y z



E z x



E x y

              Bx t

Hx t

B y t

H y t

Bz t

H z t

  (

)  ( 

(7)

(8)

(9)

)

1) Un simple análisis de estas ecuaciones nos dicen que los campos son perpendiculares entre si

2) Que una variación de “Campo magnético H” produce un “Campo eléctrico E”.

190

LEY DE AMPER - MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL La ley de Amper-Maxwell también se la conoce como primera ley de Maxwell definida como:       B  J   0 0 E t Al considerar que la radiación de las ondas es en el espacio libre, el termino de densidad de corriente J se anula, y aplicando las identidades:   B  0H   D  oE

queda finalmente una ecuación que es de nuestro interés de descomponerla según los ejes x,y,z H 

D t 191

LEY DE AMPER - MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL de la ecuación Amper – Maxwell dado por se forma el siguiente determinante H 

D t

H 

iˆ

ˆj

kˆ

 x

 y

 z

Hx

Hy

Hz

Resolviendo el determinante el rotacional del campo de induccion magnetica H se obtiene la siguiente igualdad:

H 



H z y



H y z

  iˆ 

H z x



H x z

  ˆj 

H y x



 Hyx kˆ

Asi mismo descompongamos el segundo parte de la igualdad, de la derivada de D D y D DX DZ  i j k t t t t

Igualando según los versores i,j,k 192

LEY DE AMPER - MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL



H z y

H 

D t



H x z



H y x







H y z

H z x





H x y

Dx t

D y t







Dz t

Ex t

E y t

10

11

12

  Ezt

Una variación de “Campo Eléctrico E” produce un “Campo Magnético H”

193

DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDA EH De la ecuacion 7 si hacemos Ez=0



E z y



E y z

  

Bx t

   Hxt 





 E y     Bx   z  t    2E   2 Bx y     Bx   z 2   z t zt    





De la ecuacion 11 hacemos Hz=0



H x z



H z x

   H x z



D y t



(13)

E y t

E y t

 Bx  2 Ey   o  o t zx t 2

(14)

De las ecuaciones (13) y (14) Finalmente se tiene la ecuacion de Onda TEM

EY EY   2 2 z t

194

DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDA EH De la ecuacion 7 si hacemos Ez=0



E z y



E y z

  

Bx t

   Hxt 





 E y     Bx   z  t    2E   2 Bx y     Bx   z 2   z t zt    





De la ecuacion 11 hacemos Hz=0



H x z



H z x

   H x z



Dy t



(13)

E y t

E y t

 Bx  2 Ey  o o t zx t 2

(14)

De las ecuaciones (13) y (14) Finalmente se tiene la ecuacion de Onda TEM

2E 2E  o o 2 2 x t

195

SOLUCION DE LA ECUACIÓN DE ONDA EH

vp 

 k



 2 EY 1  2 EY  2  2 z v p t 2  0 0 1

E  EY cos( z  t )  E 2E  EY sen( z  t )  2  EY cos( z  t ) z z E 2E   EY sen( z  t ).  2  EY cos( z  t ). 2 t t 1 2E 2E 1 2E  EY cos( z  t )  2  2 2 2 2  t z  t  1 2E 1 2E vp      v p .k  2  k z (v p .k ) 2 t 2  0 0 196

ONDAS TEM  E  E0 y coskz  t 

H  H 0 x coskz  t 

Esta ecuaciones describe las ondas electromagneticas que se propagan en el espacio libre a la velocidad de la Luz vEM wave  

1

 0 0

x zz

(4  9.0 10 Nm /C ) (4 107 N/A 2 ) 9

2

2

 3.0 108 m/s

197

PROPIEDADES ONDAS TEM Los campos eléctricos y magnéticos son perpendiculares uno respecto del otro (campos ortogonales) y dirección de Propagación perpendicular a los dos campos  E  E0 y coskz  t 

Varia según el eje y , pero se propaga según el eje z H  H 0 x coskz  t 

Varia según el eje x , pero se propaga según el eje z

198

EJERCICIO 1 Una onda TEM se propaga en el vacío de modo tal que la amplitud del campo eléctrico es de 240V/m y oscila en la dirección Y, se propaga en la dirección Z si la frecuencia es 10 GHZ. Calcular: a) el periodo, b) la longitud de onda, c) la magnitud del campo magnético y eléctrico

199

SOLUCION Una onda TEM se propaga en el vacío de modo tal que la amplitud del campo eléctrico es de 240V/m y oscila en la dirección Y, se propaga en la dirección Z si la frecuencia es 10 GHZ. Calcular: a) el periodo, b) la longitud de onda, c) la magnitud del campo magnético

1 1 10 T   10 seg 9 f 10 x10 c 3 x108    3cm 9 f 10 x10 E 240 7 B   8 x 10  80 T 8 c 3 x10 200

EJERCICIO 2 Sea el campo dado por la ecuación

E  2 x10 sen( (3z  4 x10 t )) 3

3

Obtener: a) Dirección de propagación, b) longitud de onda, c) frecuencia, d) vector campo magnético

201

SOLUCION Sea el campo dado por la ecuación

E  2 x10 sen( (3 z  4 x10 t )) 3

3

Obtener: a) Dirección de propagación,

en _ direccion _ Z _ con _ k  3 b) frecuencia   2f  4 103 (rad / s)  f  2 Khz

a) Longitud de onda c 3 x108 5    1 . 5 x 10 m f 2 x103

a) vector campo magnético 2 x103 sen( (3 z  4 x103 t )) 8 3 B  666 . 66 x 10 sen (  ( 3 z  4 x 10 t )) 8 3 x10

202

CAMPOS RADIADOS

203

ONDAS TEM Por lo anterior en una antena La corriente es la variación de carga en el conductor que produce una variación oscilante de campo eléctrico.  E  E 0 y coskz  t  y

E I Z

204

ONDAS TEM Creación de un campo magnético variante en el tiempo la corriente sinusoidal, que circula por el conductor crea el campo magnético resultante H  H 0 x coskz  t 

o

H

X

o

Z

I

205

DIPOLO: ECUACION HELMHOLTZ

Los campos radiados, cambian con la distancia, el espacio Alrededor de la antena puede ser dividido en tres regiones: 1. Región reactiva de campo cercano: en esta región se dan las condiciones de borde necesarias para adaptar los campos entre la antena y el espacio libre. 206

ESTUDIO DEL DIPOLO ECUACION HELMHOLTZ 2. Región de radiación de campo Cercano: también llamado De Fresnel el campo reactivo se atenúa rápidamente en Función de la distancia. 3. Región de Campo Lejano: también llamado región de Fraunhofer en esta región los campos reactivos han Desaparecido y solo quedan los campos de radiación

207

Radiación de un Dipolo infinitesimal

E

r Región Reactiva Campo cercano Región de radiación De campo cercano (Fresnel)

Región de campo lejano (Fraunhofer)

208

ANÁLISIS DE ANTENA DIPOLO INFINITESIMAL

209

ANTENA DE LONGITUD INFINITESIMAL ∆Z (DIPOLO DE HERTZ) z Angulo polar

P Punto lejano De observación r

ϴ

z

ϕ Angulo

y

Azimuthal

x

I

Un elemento infinitesimal de antena tiene una longitud mucho menor que la longitud de onda a radiar

z  

210

RADIACIÓN DE UN DIPOLO INFINITESIMAL Al circular una corriente de radiofrecuencia, este genera campos magnético y eléctrico alternos a una distancia “r” distante del origen

E z

ϴ

z

r

 x

I

P

H y

j | I | ze  jr H  i sen 4r  j | I | ze  jr Ε  i sen    4r  j | I | ze  jr Ε max   / 2   4r

dV '  zS

211 Medidor de campo

ANÁLISIS DE LAS ECUACIONES E

z Angulo polar

r

ϴ

z

ϕ Angulo

Azimuthal

x

P

H y

j | I | ze  jr H  i sen 4r  j | I | ze  jr Ε  i sen    4r

I

Estos campos infinetesimales H y E se propagan radialmente, formando frentes de onda esferica , se atenuan a medida que se desplazan. (variable r) La intensidad de los campos en cualquier punto sigue la direccion segun el angulo polar ϴ ( variable senϴ) y el angulo azimuthal ϕ La intensidad de los campos dependen de la corriente de RF que circula 2 por la antena (variable I) y la variable   

212

POTENCIA DE RADIACION Los dos campos anteriores forman las ondas TEM por consiguiente una antena tiene la capacidad de radiar energía electromagnética, con una cierta direccionalidad. Para cuantificar la potencia radiada se utiliza el sistema de “Coordenadas Esféricas”. Power Density:

P  r, ,   

1 2

Re  E s  H*s 

P

P H E H

E

213

PRINCIPIO BASICO DE FUNCIONAMIENTO El principio basico de operacion de una antena es facil de comprender si empezamos considerando como una linea de transmision de circuito abierto Rg Vg

Zeq  

214

PRINCIPIO BASICO DE FUNCIONAMIENTO En el extremo abierto formemos una terminancion de conductores 90 grados hacia arriba y abajo al cual le denominamos “Dipolo” Como la geometria cambia, habra un cambio abruto en la impedancia caracteristica en el punto de quiebre donde la corriente todavia permanece.

215

DEFINICION DE ANTENA (IEEE Std. 145-1983) la Antenas es un transductor entre el medio guiado y el medio radiado. Region de transicion entre una zona donde existe una onda electromagnetica guiada y una onda en el espacio libre, a la que puede asignar un caracter direccional. Aquella parte de un sistema transmisor o receptor diseñada especificamenete para radiar o recibir ondas electromagneticas

Standing Wave

Tx

Linea de transmision antena

Medio de propagación

216

FUNDAMENTOS DE LA RADIACION En el espacio que rodea al dipolo se establece el campo Eléctrico, a frecuencia zero las líneas del campo eléctrico Serán como se muestra en la figura

217

FUNDAMENTOS DE LA RADIACION En frecuencias altas la corriente oscila produciendo campos Eléctricos de líneas cerradas alrededor del dipolo

218

Power

LA POTENCIA DE IRRADIACION DISMINUYE CON LA DISTANCIA

Distance IEEE Symp./ IISc -2001

IIT Madras

219

Tamaño de las Antenas Está relacionado con la longitud de onda de la señal de RF a transmitir, en general, un múltiplo o submúltiplo exacto de esta longitud de onda.

 l  n 2 f 

n = 1,2,3,....

c



c = 3. 108 m/s

150 l  n en metros f ( MHz ) A mayor frecuencia menor es el tamaño de la antena 220

EJERCICIO ANTENA DIPOLO Diseñar una antena dipolo para operar en la banda de HF a la frecuencia de 28,9 MHz,

221

ANTENA DIPOLO

SOLUCION

C 3x108 300  l      10.38m   5.19m 6 f f 28.9 x10 28.9 2 Longitud teórica del dipolo = 5,19 m se considera el 95%(5.19) = 4.93 Separación aisladores 3.5%(5.19)=18 cm Nueva longitud Dipolo =4.93-0.18=4,75m. Dividimos en dos partes: 4.75/2= 2.375 m

Z0=73 ohms 222

VSWR: ANTENA DIPOLO Diseñada la antena se debe determinar su VSWR que indica la adaptación de la antena Mientras menor sea el grado de desadaptación, mayor potencia será irradiada al espacio libre. Pr Vr 1 Pi |1  | Vi VSWR    Vr |1  | Pr 1 1 Vi Pi 1

Un valor de VSWR=1, indica que el 100% de la potencia está siendo radiada . En la práctica, un buen nivel de adaptación es un VSWR=2, que significa que un 90% de la potencia transmitida está siendo irradiada :. se debe tener valores de VSWR< 2 .

VSWR: ANTENA DIPOLO

El VSWR se mide con vatímetro direccional, como relación de 1

Pr Pi

1

Pr Pi

VSWR 

RF

CAMPOS RADIADOS GUIADOS: FIBRA OPTICA

225

NATURALEZA DE LA LUZ

La Luz Siglo XVII

Newton Teoría corpuscular

Huygens Teoría Ondulatoria

226

NATURALEZA DE LA LUZ

La luz se puede estudiar desde diferentes perspectivas: • Como rayo. Explica propagación, reflexión y parcialmente refracción

• Como onda electromagnética. Explica polarización, interferencia, scattering, y otros fenómenos ondulatorios • Como partícula (fotones). Explica efecto fotoeléctrico, absorción, emisión y otros

fenómenos cuánticos 227

NATURALEZA DE LA LUZ ¿Qué es la luz? Actualmente se describe como partícula-onda

Óptica de fotones Óptica ondulatoria

Óptica de rayos 228

PRIMERAS TEORIAS SOBRE LA NATURALEZA DE LA LUZ

La luz es de naturaleza corpuscular Newton: Argumentaría su posición al describir el fenómeno de reflexión de la luz, así como una pelota rebota contra un muro.

229

PRIMERAS TEORIAS SOBRE LA NATURALEZA DE LA LUZ

La luz, es una onda: Christian Huygens: basó su teoría argumentando que todo frente de onda formaba a su vez más ondas las cuales eran propagadas.

230

PRIMERAS TEORIAS SOBRE LA NATURALEZA DE LA LUZ

La luz, onda y partícula. Siglo XX. Einstein: Analizaría el efecto fotoeléctrico, deduciendo que la luz portaba pequeñas partículas que poseían energía la cual variaba con la frecuencia de la luz emitida.

231

NATURALEZA DE LA LUZ

El sonido es una onda longitudinal La luz es una onda transversal  Longitudinales: La dirección de propagación coincide con la dirección de vibración  Transversales: La dirección de propagación y la dirección de vibración son perpendiculares

232

La rapidez de la luz: una constante fundamental DE de laLA física VELOCIDAD LUZ

233

NATURALEZA DE LA LUZ

La luz como onda electromagnética E x  E0 x exp j (kz  t ) k 

Relaciones de Maxwell

f 

2

 c

   2f c v n

1

 0 0 1  ' ' c     v

234

LA LUZ COMO ONDA ELECTROMAGNETICA En un medio material

' 

v c     n n

longitud de onda varia en función del índice refracción Relación entre energía y longitud de onda 1.24  ( m)  E fotón (eV )

235

DISPERSION DE LA LUZ BLANCA

236

LA LUZ SON ONDAS ELECTROMAGNETICAS Los dos campos, eléctrico y magnético, periódicamente variables, están constantemente perpendiculares entre sí y a la dirección común de su propagación. Son, pues, ondas transversales semejantes a las de la luz. Por otra parte, las ondas electromagnéticas se transmiten con la misma velocidad que la luz. De esta doble analogía, Maxwell concluyó que la luz era una perturbación electromagnética.

237

LA LUZ COMO ONDA ELECTROMAGNÉTICA EN EL VACÍO TIENEN UN VELOCIDAD :

  c  = longitud de onda

 = frecuencia c = velocidad de la luz

238

VELOCIDAD DE LA LUZ EN DIFERENTES MEDIOS MATERIALES

Sustancia Aire

Velocidad de la luz 299.912 km/s

Agua

224.900 km/s

Hielo

229.182 km/s

Vidrio

189.873 km/s

Diamante

124.018 km/s

239

LA LUZ : ES PARTICULA La luz tiene dos naturalezas: particula y Onda, La luz como particula es un conjunto de fotones (Campton’s experiment). Este foton tiene una enregia E.

E  hf donde h  6.626 1034 (joule-sec) es la constante de Planck y f es la frecuencia de la luz . este foton tiene una masa que se obtiene de relacionar las siguientes ecucaciones f c E  mc  hf 2

mc 2 f  h

hf m 2 c 240

LA LUZ : ES PARTICULA Einstein consistió en considerar que la luz está formada por partículas sin masa o pequeños paquetes de energía, a los que llamó fotones (nuevamente aparecía un modelo corpuscular). Los fotones pueden tener diferente energía dependiendo de su frecuencia. Así una radiación de frecuencia elevada está compuesta de fotones de alta energía.

241

ESPECTROS Newton al pasar un haz de luz por un prisma de cristal hizo visible el espectro de colores que componen la luz, demostrando que cada color representaba una frecuencia de onda diferente. Cada onda al pasar por el prisma sufría una desviación, ésta variaba según su color, siendo la más pronunciada la correspondiente al violeta; y en el lado opuesto la del rojo

242

ESPECTRO ELECTROMAGNETICO Las comunicaciones ópticas utilizan Ciertas porciones del espectro Electromagnético, las cuales se Denominan ventanas

243

RAYOS INFRARROJOS

Fuera del espectro visible (hacia el rojo), se encuentran los rayos infrarrojos, con longitudes de onda de 700 a 2000 nanómetros (nm). Nuestros ojos no responden a dichas frecuencias electromagnéticas y por lo tanto no las percibimos.

244

ESPECTRO ELECTROMAGNETICO

245

ESPECTRO ELECTROMAGNETICO: LUZ VISIBLE Longitudes de onda de luz típicas en sistemas de comunicaciones opticas 850 nm 1300 nm 1550 nm

1ª ventana 2ª ventana 3ª ventana

Unidades de potencia relativa (dB) y absoluta (dBm) P [dBm]=10 log [P(mW)/1mW] medida absoluta de potencia atenuación =  =10 log[Pin/Pout]

246

PROPIEDADES DE LA LUZ La luz como onda electromagnética tiene las propiedades de:

• • • • • • •

Reflexión Refracción Difracción Interferencia Polarización Fading loss

247

REFRACCION La refracción es el cambio de dirección de una onda debido al Cambio de velocidad. Esto ocurre cuando las ondas pasan de un Medio rápido a otro de densidad óptica mas lenta, el haz de luz Se quiebra acercándose a la normal

248

LEY DE SNELL La ley Snell explica la refracción de la luz cuando se propaga por diferentes medios: aire, agua, o vidrio, La luz viaja a diferentes velocidades, se determina por la relación: Índice de refracción= Velocidad de la luz en el vacio / Velocidad de la luz en un medio : nmedio 

c Vmedio

3 x108  Vmedio

Índice de refracción del aire , y el vidrio es: naire  1 nvidrio  1.5 249

LEY DE SNELL Por ejemplo la velocidad de la luz al atravesar el vidrio es:

vmedio 

c nmedio

3x108 8   2 x10 m / s 1.5

250

LEY DE SNELL Cuando un rayo de luz se transmite a un nuevo medio óptico La relación entre el ángulo incidente y el ángulo de refracción Esta dado por la relación

n1 sen1  n2 sen 2 n1: es el índice de refracción del primer medio refractivo n2: es el índice del segundo medio refractivo Θ1: es el ángulo de incidencia Θ2: es el ángulo de refracción

251

LEY DE SNELL

7.252

LEY DE SNELL EJERCICIO 1 La luz proviene del aire con un Angulo de incidencia de θ1=20 y penetra un cubo de vidrio, Cual es el ángulo de refracción θ2 del rayo de luz, respecto de la normal?

253

LEY DE SNELL SOLUCION

n1 , 1

Aire vidrio

n2 ,  2

n1sen1  n2 sen 2  n1sen1 1sen(20) sen 2    n2 1.5

 2  13.18 254

LEY DE SNELL EJERCICIO 2 Calcular el Angulo incidencia si se produce en la interface aire-vidrio Un ángulo critico.

1

255

LEY DE SNELL El Angulo critico es, cuando θ2=90 :.

n1sen1  n2 sen 2  1sen 2 sen1   0.66  1.5 1  41.8

Θ2=90

256

FUENTES LUMINOSAS ELECTROMAGNETICAS

257

GENERADORES DE ONDAS DE LUZ

• • • •

LEDs SLEDs – Surface Emitting LEDs ELEDs – Edge Emitting LEDs LDs – LASER DIODES light Amplification by Stimulated Emission of Radiation • TUNABLE LASERS

258

FUENTES OPTICAS .Coherencia ·Linealidad en la característica de conversión electro - óptica. ·Características de emisión compatible con las características de transmisión de la fibra óptica. .Gran capacidad de modulación. ·Suficiente potencia óptica de salida y eficiencia de acoplamiento. ·Funcionamiento estable con la temperatura. ·Bajo consumo de energía.

259

FUENTES OPTICAS: ESPECIFICACIONES

·Longitud de Onda de emision (λ) ·Anchura espectral o ventana (Δλ) ·Lóbulo de Emisión. ·Potencia Óptica de Emisión. ·Corriente Umbral (ITh) ·Ancho de Banda o Velocidad de Modulación. ·Confiabilidad (tiempo de vida útil).

260

DIODO LASER El proceso de generación de luz en un LED se basa en el efecto de electroluminiscencia: recombinación de electrones y huecos en una unión PN, que provoca la emisión de fotones.

261

LEDs – Light Emitting Diode una estructura de uniones de material semiconductor del tipo p-n, que al ser polarizada directamente da origen a la emisión espontánea de radiación.

262

BANDAS DE VALENCIA Y DE CONDUCCION DIODOD LED En un sólido, el espectro de energía forma bandas tanto permitidas como prohibidas de tal manera cuando un electrón pasa de la banda de conducción a la banda de valencia, superando una separación de energía Eg (gap) se produce la Liberación de fotones

263

LED:LIGHT EMITTING DIODE longitud de onda emitida por los fotones depende de la diferencia de energía Eg entre los dos niveles energéticos de la banda de conducción y la banda de valencia, y esta dado por: Longitud de onda: λ = (h c)/Eg donde h es la constante de Planck y c la velocidad de la luz, reemplazando las constantes se tiene:

 ( m) 

1.24 E fotón (eV )

264

LED:LIGHT EMITTING DIODE Un LED no emite una longitud de onda única (luz coherente) sino que su emisión suele ocupar un ancho de entre 20 y 50 nm. Como se muestra en la figura, a este conjunto de longitudes de onda se le denomina espectro de emisión y corresponde a la curva que representa la potencia de luz emitida en función de la longitud de onda.

Espectro de emisión de un LED a 850 nm.

265

LED: ESPECTRO DE EMISION El ancho de banda a mitad de la altura del espectro depende mucho de la temperatura y se expresa Mediante la ecuación:  2     1.8 KT   ch 

266

LED:LIGHT EMITTING DIODE Los espectros de emisión de un LED tienen un máximo de emisión de luz a una frecuencia central y un descenso de la potencia emitida para frecuencias alejadas de la central. Cuando se dice que un LED emite a 850 nm se está haciendo referencia a la longitud de onda cuya potencia emitida es máxima. Por supuesto este mismo LED también estará emitiendo a 820 o 880 nm, pero lo hará con una potencia inferior. El ancho de banda típico de un LED es de 200 MHz, con rendimientos de 50 μW/mA. Los LED presentan un espectro de emisión más ancho que el láser. Su ancho de banda esta dado por la ecuación ya demostrada:

f  c



2 267

LEDs – Light Emitting Diode EJERCICIO 1 Un LED de Ga(1-x)ALxAS posee un gap energético de 1.540 eV y otro 0.015 eV determinar la longitud de onda de emisión y la fracción molar de aluminio y el ancho del gap de energía como la longitud de onda de emisión del segundo

268

EJERCICIO 1 LEDs – Light Emitting Diode SOLUCION a) El LED1 de GA(1-x)xALxAS tiene un gap de 1.540 eV por consiguiente Su longitud de onda emitida es: 

1.24 1.24   805nm Eg (eV ) 1.540

269

LED:LIGHT EMITTING DIODE EJERCICIO 2 Un LED emite entre 840 o 880 nm , su máxima emisión es a la longitud de onda λ=850 nm determinar su ancho de banda

270

LED:LIGHT EMITTING DIODE SOLUCION



40 f  c 2  3 x10  830GHZ 2  850 8

271

LEDs : ELEMENTOS QUIMICOS UTILIZADOS Y LONGITUD DE ONDA EMITIDA

COMPUESTO COLOR LONG. ONDA Arseniuro de galio (GaAs) Infrarrojo 940nm Arseniuro de galio,aluminio (AlGaAs) Rojo e infrarrojo 890nm Arseniuro fosfuro de galio (GaAsP) naranja amarillo 630nm Fosfuro de galio (GaP) Verde 555nm Nitruro de galio (GaN) Verde 525nm Nitruro de galio e indio (InGaN) Azul 450nm Carburo de silicio (SiC) Azul 480nm

272

LEDs : ELEMENTOS QUIMICOS UTILIZADOS Y LONGITUD DE ONDA EMITIDA

De tabla anterior se observa que la longitud de onda y color del rayo que emite el LED depende de los compuestos químicos, que se expresan según la ley de VERGARD

In1 x Ga x As y P1 y

Según esta ley para los cuatro elementos o compuestos cuaternarios Tiene la forma generalizada:

A1 x Bx C y D1 y

Donde A y B son elementos del grupo III (Al, In, Ga….) , C y D son Elementos del grupo V (As, P, Sb…) la constante de red viene dada por: a( X , Y )  X .Y .a( BC )  X (1  y )a( BD)  (1  X )Ya( AC )  (1  X )(1  Y )a( AD)

a(BC), …A(IJ) representa la constante de red del compuesto binario I,J La aplicación del análisis de redes químicas permite determinar la longitud de onda emitida por el LED 273

LEDs : MODULADORES

274

LEDs : MODULADORES

275

LEDs : MODULADOR EJERCICIO 3 El circuito funciona según el concepto de corte y saturación los niveles de corriente máxima de los LED es de 35 mA. Una corriente adecuada es 20 mA . Calcular la resistencia de polarización Rc para que opere en forma optima el LED

276

LEDs : MODULADOR BASICO SOLUCION

277

LEDs : RESPUESTA DE FRECUENCIA LOS LED FUNCIONAN POR DEBAJO DE UN 1 GHZ

278

LEDs : POTENCIA VS CORRIENTE Los LED emiten radiación electromagnética, La potencia emitida en función de la corriente de polarización es una curva creciente pero que tiende aun nivel máximo de emisión o nivel de saturación como se muestra en la fig

279

LEDs : POTENCIA VS CORRIENTE La potencia en función de la corriente debe ser lineal, se observa Que hay una saturación en altas corrientes

280

LEDs : APLICACIONES EJERCICIO 4 Para un enlace de comunicaciones ópticas multimodo se desea emplear Un LED como fuente óptica. Por consideraciones de diseño del enlace La anchura espectral de la fuente empleada no puede sobrepasar los 30nm. a)Calcúlese el valor máximo de la longitud de onda de emisión que Puede tener la fuente si el sistema ha de trabajar a 25 grados centígrados b) Por razones de filtros ópticos que se van a usar se desea saber cual será el color que emita este LED?

281

LEDs : APLICACIONES SOLUCION El ancho del espectro a mitad del máximo esta dad por la ecuacion  2     1.8 KT   ch 

Se exige que Δλ sea menor que 30 nm por consiguiente:  2        1.8 KT   ch 



ch  1.8 KT

30 x10 9 ch  897 nm 1.8 KT

COMPUESTO COLOR LONG. ONDA Arseniuro de galio, aluminio (AlGaAs) Rojo e infrarrojo 890nm 282

PRINCIPIOS DEL LASER

283

BREVE HISTORIA DEL LASER • • • • • •

1917 Se desarrolla la teoria de: stimulated emission 1928 experimentalmente se verifica :stimulated emission 1950 se hace trabajos de generacion y emision 1960 laser (Ruby) 1961 laser (gas Helium Neon ) 1962 laser (semiconductor)

284

ONDAS LUMINOSAS COHERENTE E INCOHERENTE En 1916, Albert Einstein estableció los fundamentos para el desarrollo de los láser , utilizando la ley de radiación de Max Planck basada en los conceptos de emisión espontánea e radiación inducida.

285

COHERENCIA Y MONOCROMATICIDAD Una fuente monocromática es aquella que emite luz con una única frecuencia. Dos fuentes monocromáticas se dicen coherentes cuando emiten luz con la misma frecuencia y longitud de onda. Deben tener una relación de fase definida y constante.

286

PROPIEDADES DEL LASER Arthur Shawlow y Charles Townes desarrollaron el laser, sus trabajos Fueron publicados en la sociedad americana de física: con el titulo de: LIGHT AMPLIFICATION BY STIMULATED EMISSION OF RADIATION (LASER) • Radiación electromagnética • Emisión estimulada • Monocromaticidad • Coherencia espacial

287

PROPIEDADES DEL HAZ LÁSER MONOCROMÁTICO De una sola longitud de onda. En realidad, de un ancho espectral bastante estrecho.

DIRECCIONAL Radiación altamente direccional y concentrado en una ventana Δλ pequeña, lo cual permite un acople eficiente con fibras monomodo

288

Propiedades del haz láser COHERENTE Todas las ondas individuales están en fase una con otra en cada punto. La coherencia es el término usado para describir la propiedad de fase de las ondas de radiación óptica del haz.

289

PRINCIPIOS BASICOS DEL LASER Hay cuatro procesos básicos que se producen en la generación del láser, denominados

bombeo, emisión espontánea de radiación, emisión estimulada de radiación y absorción.

290

PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS GUIADAS EN UN MEDIO DIELÉCTRICO

291

VENTAJAS DE LAS FIBRAS OPTICAS Baja potencia Las señales que se transmite se hacen con transmisores de poca potencia, comparativamente con los sistemas eléctricos No inflamable Al no pasar electricidad a través de las fibras ópticas, no hay riesgos de corto circuito que pueden causar incendios, esta ventaja hace que se use en muchas industrias, ejem: La industria aeronáutica Diámetro Reducido Las fibras ópticas permiten obtener diámetros mas pequeños que el cable de cobre

292

VENTAJAS DE LAS FIBRAS OPTICAS Señales digitales Las fibras ópticas son ideales para transportar información digital, Por lo que son especialmente útiles en las redes de computadoras Liviano Pesa mucho menos que el cable de cobre Muy alta capacidad de transporte Como tienen un diámetro mucho menor que el conductor de cobre Esto hace que puede haber mucho fibras que los cables de cobre Permitiendo mas líneas telefónicas, mas Canales de TV

293

TIPOS DE FIBRA Las fibras ópticas se fabrican en tres tipos principales: 1. Multimodo de salto (step index) y de índice gradual (gradex index) 2. Monomodo

294

COMO TRANSMITE LUZ UNA FIBRA OPTICA Dados dos medios con índices n1, n2 si el haz de luz incide con un Angulo mayor que un cierto limite, el haz siempre se reflejara En la superficie de separación entre ambos medios, de esta forma Se puede guiar la luz de forma controlada

n1 n2

295

REFLEXION DE FRESNEL

La reflexión de Fresnel ocurre en las interfaces “Aire-Vidrio” En los extremos de la entrada y salida de una fibra óptica Produciéndose perdidas de transmisión del orden del 4%

296

Modos de Propagación

7.297

Fibra Óptica de Índice Escalonado La fibra óptica multimodo de salto de índice es de gran diámetro su núcleo es del orden 50 a 1500 micrones. es demasiada lenta para la mayoría de las Aplicaciones y prácticamente ha desaparecido de los sistemas modernos, de comunicaciones, debido a su gran diámetro solo se usa como guías de luz (ejemplo: aplicaciones odontológicas)

298

FIBRA OPTICA MULTIMODO DE INDICE GRADUAL Esta fibra se construye de modo tal que el índice de refracción entre el núcleo y el revestimiento varia gradualmente, esto hace que los rayos de luz se curven, se reflejen gradualmente. El ancho de banda de este tipo de fibra es mucho Mas amplio que las de salto de índice, el núcleo es también grande (50-100 micrones) En esta fibras los rayos se propagan a distinta velocidad

299

FIBRA MONOMODO De los tres tipos de fibra es la que mejor rendimiento tiene, se fabrica usando una fibra de diámetro de 8 micrones cuando se propaga la luz en la fibra, no hay reflexiones , la luz viaja casi en trayectoria recta a través del núcleo Típicamente las fibras monomodo transportan señales de longitud de onda de 1320nm a 1550 nm, es mas difícil el empalme ,debido al alineamiento del núcleo, de pequeño diámetro (5-10 micrones )

Transmission over single-mode fiber-optic cable 300

ATENUACION EN FIBRAS OPTICAS Las principales causas de la atenuación son La Absorción (Absorption) La dispersión (Scattering) Curvaturas (microbend losses )

301

CAUSAS DE LA ATENUACION Causas Intrinsecas: Dispersion (Rayleigh), absorcion. Causas Extrinsecas: Microcurvaturas. La atenuación, reduce la amplitud del pulso, es decir la potencia recibida, mientras que la dispersión causa overlap de pulsos

302

ABSORCION DE LA LUZ Cada material absorbe una cierta energía de luz. La cantidad de Absorción depende de la longitud de onda y del material. Ejemplo la luz se refleja en una hoja de papel blanca, pero si es Negra, la luz es absorbida por completo, no hay reflexión

303

CONEXIÓN DE DOS COMPUTADORES POR UNA FIBRA ÓPTICA MULTIMODO DE INDICE ESCALONADO A TRAVES DE LA INTERFAZ RS El transmisor consiste de un transistor 2N3904 configurado como interruptor y encargado de modular la fuente de luz. La interfaz RS-232 acopla tanto el transmisor como el receptor a cada computador. Los niveles de voltaje de la interfaz se convierten a niveles TTL (0 y 5 v) se usa el circuito integrado MAX 232 cuya salida es la entrada del transmisor. Como fuente de luz se utiliza un diodo láser (apuntador comercial) con una longitud de onda de 630 nm. y una potencia de salida máxima de 5 mW.

304

PROYECTO UNFV: TRANSMISON DE DATOS CON F.O. 1. TRANSMISION DE DATOS POR F.O. HIPERTERMINAL

305

PROYECTO 1: TRANSMISON DE DATOS CON F.O.

306

ONDAS ELECTROMAGNETICAS GUIADAS

307

308

Cable Coaxial

309

CABLE COAXIAL • Gran rechazo a las señales de ruido • Hay una variedad de cables y especificaciones por aplicacion. Conductor central debe ser de acuerdo a laAmerican Wire Gauge (AWG) size • Usados en Data networks – RG-6 – RG-8 – RG-58 • Usados en Tv – RG-59

310

RG-58 COAXIAL CABLE

Baseband Aplicacion digital data solo transporta un solo tipo de informacion

Broadband A broadband transmission transportar muchas señales simultaneamente.

311

CABLE COAXIAL Fue desarrollado en 1929 y usado comercialmente desde 1941 Siendo la aplicación mas importante de esa época, la transmisión Coaxial intercontinental realizada por AT&T. desde la década del 80 encuentra competencia con la fibra óptica, Sin embargo sus características conductivas, ancho de banda, potencia a transmitir hacen que estén vigentes y sean muy utilizados.

D

Int. Conductor.

d d dielectric

312

CABLE COAXIAL

Partes del cable coaxial Conductor central el eje,(core) Conductor externo es un cilindro separado por medio de un material dieléctrico (PVC, teflon). El conductor externo, además de conductor de retorno, cumple la función de blindaje, (shielding) con la consiguiente estabilización de los parámetros eléctricos. Gran rechazo a las señales de ruido 313

CALCULO DE LA CAPACIDAD DEL CABLE COAXIAL Los dos conductores forman un condensador cilíndrico, al aplicar un potencial se desarrolla un campo eléctrico E entre los conductores. Para calcular esta capacidad consideremos el cilindro de radio interior a, radio exterior b, y longitud L, cargado con cargas +Q y –Q, respectivamente, se calcula aplicando la ley de Gauss a la región a




  E  dS  4  k  Q

S

314

CALCULAR LA CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR CILINDRICO Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es paralelo al vector superficie dS, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie lateral, por lo que,

   E.dS E  dS E.2rL S

S

El flujo total es por tanto; E·2p rL Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada La carga en el interior de la superficie cerrada vale +Q, que es la carga de la armadura cilíndrica interior

315

CALCULAR LA CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR CILINDRICO Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

E

1 4 o

LdV 

Q

dV  rxL dr 1

Q

4 o r

dr

b Q Q Q 1 LV  dr  ( Lnb  Lna )  Ln b  r 2 2 2 a a 1 Q 2 C  L V Ln b a

Capacidad (F/m) : Medida entre el conductor central y el conductor externo, dividida por la longitud del cable, se expresa en pico farad /metro. 316

EJEMPLO DE CAPACITANCIA TIPICA DEL CABLE COAXIAL

317

CALCULO DE LA INDUCTANCIA Para calcular la inductancia usamos la ecuación B  H  

I 2r

Campo E Campo H

Consideremos un área con base dr , altura (longitud unitario) el flujo que concatena es :   BA  Bldr   b

b

a

a

I 2r

dr

    2I r dr  I   21r dr I 21 ( Lnb  Lna )



 b L  ln H/m I 2 a 318

CALCULO DE LA RESISTENCIA Y CONDUCTANCIA Así mismo se demuestra que R, y G están dados por las ecuaciones.

1 R (1 / a  1 / b) 2l

G

 ln(b / a )

319

EFECTO SKIN Penetración El efecto Skin es la penetración de la corriente en el conductor, la profundidad Pelicular “lskin” se define como la distancia desde la superficie hasta el punto donde la intensidad de la corriente tiende a concentrarse usualmente muy cerca de la superficie externa del conductor conforme aumente la frecuencia, la profundidad de penetración se expresa según la siguiente relación:

lskin 

2



Donde ω=2πf es la frecuencia, la permeabilidad magnética μ la conductividad del material σ 320

CONSTANTES MAGNÉTICAS Y DIELÉCTRICAS DE UN CABLE COAXIAL

Dielectrico

Conductor

(d ,  ,  )

(c ) c

a b

Constantes para el cobre   ro r  1 o  4x10 7 H / m Constantes dieléctricas   ro r  2.1(teflon) o  8.8542 x10 12 F / m

321

TANGENTE DE PERDIDA     H    jE  j (  j /  )E

De las ec de Maxwell Se obtiene una permitividad compleja, de esta ecuación obtenemos un parámetro que muchos fabricantes de líneas dan como especificaciones, denominado “tangente de perdida” de la línea que relaciona la permitividad real con y la conductividad del dieléctrico.   tan    j /  

322

RESISTIVIDAD DEL CABLE COAXIAL CONSIDERANDO EL EFECTO SKIN El valor de la resistencia eléctrica de los conductores depende de la resistividad del material y su geometría. L L R   metal ( )  S S

Siendo L longitud del conducto y S su sección. En el caso del cable Coaxial esta resistencia esta dada por la formula: R

1 1 1 (  ) 2aLsk a b

Lskin  2 /( )  2 /(2f )

Reemplazando L=Lskin se demuestra que la resistencia en un cable Coaxial depende directamente de la frecuencia Rcoaxial 

1 1 1 1 (  ) 2Lskin a b 2

2f 1 1 (  ) 2 a b

f 1 1 (  ) 4 a b

Para el cobre μ=1 y   5.8 x10 7 S / m 323

EJEMPLOS DE CALCULO R,L,C (CABLE COAXIAL) Se tiene un cable coaxial diseñado para funcionar a altas Temperaturas Por ejemplo cohetes, misiles, satélites. El dieléctrico es teflón, el conductor interno tiene un revestimiento de plata. Calcular L,C,R,G de esta línea a 100 MHz, y 1 GHz a=1.5mm, conductor externo cubierto con Plata b=4mm, a-b es el dieléctrico teflón c=5mm, conductor externo cubierto con plata.

c

a

b

324

EJEMPLOS DE CALCULO R,L,C (CABLE COAXIAL) SOLUCION Se debe determinar la profundidad de penetración de la corriente por Efecto skin lskin

  2 2   (2f ) plata  (2f )(4x10 7 )(6.17 x107 ) 

1/ 2

 1  107    f  (4 2 )(6.17 x107 ) 

1/ 2



0.064 f

f  100 Mhz  ls  0.064 / 100  0.0064mm f  1Ghz  ls  0.064 / 1000  0.0020mm

c

a

b 325

CALCULO DE LA CONDUCTIVIDA DEL DIELECTRICO Para el teflón

  2.1 tan   0.3 x10 3

Luego la conductividad del dieléctrico es

c

a b

d  2f tan   2fro tan   2f (2.1)(8.8542 x10 12 )(0.3x10 3 )  35 fx10 15 f  100Mhz  d  35 x10 7 s / m f  1Ghz  d  35 x10 6 s / m

326

CALCULO DE L,C,R (CABLE COAXIAL) Calculo de L,C  b ro b (1)(4x10 7 ) 4 L ln  ln  ln  0.196 H/m (100Mhz - 1Ghz) 2 a 2 a 2 1.5 2 2ro 2 ( 2.1)(8.8542 x10 12 ) C    119 pF/m (100Mhz - 1Ghz) b b 4 ln ln ln a a 1.5

Calculo de R 1 1 1 1 1 1 23.65 x10 7 R (  ) (  ) 2lsc a b ls 2ls (6.17 x10 7 ) 1.5 4 23.65 R100 MHZ   0.37ohm / m 64 23.65 R1Ghz   1.18ohm / m 20

Calculo de G G 

d ln(b / a )



d 0.9808

 6.4d

G100 Mhz  6.4(35 x10  7 )  22.4 mhos / m G1Ghz  6.4(35 x10  6 )  224 mhos / m 327

Coax Cable Signal Loss (Attenuation) in dB per 100ft Loss

RG174

RG-58

RG-8X

RG213

RG-6

RG-11

9913

LMR-400

1MHz

1.9dB

0.4dB

0.5dB

0.2dB

0.2dB

0.2dB

0.2dB

0.3dB

10MHz

3.3dB

1.4dB

1.0dB

0.6dB

0.6dB

0.4dB

0.4dB

0.5dB

50MHz

6.6dB

3.3dB

2.5dB

1.6dB

1.4dB

1.0dB

0.9dB

0.9dB

100MHz

8.9dB

4.9dB

3.6dB

2.2dB

2.0dB

1.6dB

1.4dB

1.4dB

200MHz

11.9dB

7.3dB

5.4dB

3.3dB

2.8dB

2.3dB

1.8dB

1.8dB

400MHz

17.3dB

11.2dB

7.9dB

4.8dB

4.3dB

3.5dB

2.6dB

2.6dB

700MHz

26.0dB

16.9dB

11.0dB

6.6dB

5.6dB

4.7dB

3.6dB

3.5dB

900MHz

27.9dB

20.1dB

12.6dB

7.7dB

6.0dB

5.4dB

4.2dB

3.9dB

1GHz

32.0dB

21.5dB

13.5dB

8.3dB

6.1dB

5.6dB

4.5dB

4.1dB

Imped

50ohm

50ohm

50ohm

50ohm

75ohm 75ohm 50ohm

50ohm

328

ECUACION DEL TELEGRAFISTA ANALISIS DE LINEA DE TRANSMISION

329

Ecuacion del telegrafista Oliver Heaviside desarrolló un modelo matemático de línea de transmisión, conocido como ecuaciones del telégrafo, que describe la variación instantánea de la tensión y corriente eléctricas a lo largo de un conductor. En las bandas HF, VHF, UHF , la línea de transmisión es un circuito constituido por resistencias, conductancias, inductancias , capacitancias, por unidad de longitud distribuidas a lo largo de la línea. Ldx

I(x)

V(x)

gdx

Rdx

Cdx

330

Ecuación del telegrafista El análisis de las líneas transmisión es valido para conductores paralelos, bifilares, trenzados o cables del tipo coaxial, de tal manera un elemento de longitud de cable Δx se puede representar como un circuito LC serie y GC paralelo. Δx

Ldx

I(x)

V(x)

gdx

Rdx

Cdx

Modelo equivalente de una línea de longitud Δx

331

Ecuación del telegrafista Las ecuaciones para el circuito esta en función de la diferencia de Potencial, entre ambos extremos de línea, y la diferencia de corrientes que circula por el circuito paralelo. r

 / m  



H / m   Vs

V    Am 

   Am 

g

S / m  

c

F / m   As 

A    Vm 

 Vm 

La diferencia de potencial entre 1 y 2 es:

V(X)-[V(x)+dV(x)]=[(I(x)+dI(x))(jwldx+rdx)]

(1)

-dV(x)=(jwldx+rdx)I= Z(x)dxI(X) Por el circuito paralelo circula una corriente: I(x)-[I(x)+dI(x)]=(jwcdx+gdx)V(x)=y(X)dxV(x) -dI(x)=(jwcdx+gdx)V(x)=y(X)dxV(x) (2)

332

Deducción de la ecuación del telegrafista -dV(x)=(jwldx+rdx)I= Z(x)dxI(X)

(1)

-dI(x)=(jwcdx+gdx)V=y(X)dxV(x)

(2)

Siendo Z(x) y Y(x) la impedancia y admitancia por unidad de longitud, de estas ecuaciones despejando dx se obtiene (3)

v ( x )   Z ( x) I ( x)  x I ( x )   Y ( x )V ( x )  x

(4)

Derivando por segunda vez la ec(3)  2 v( x) I ( x )   Z ( x) 2 x x

Reemplazando ec(4) se obtiene :  2 v( x)  Z ( x )Y ( x )V ( x )  x2  2 I ( x)  Z ( x )Y ( x ) I ( x )  x2

(5) (6)

Analogamente

333

Deducción de la ecuación del telegrafista V(x) I(X) Ambas son funciones en realidad que dependen de la posición o distancia (x) y del tiempo (t). considerando esta variable tiempo t, se tiene:  2 v ( x, t )  Z ( x )Y ( x )V ( x, t ) 2 x  2 I ( x, t )  Z ( x )Y ( x ) I ( x, t ) 2 x

La solución de estas ecuaciones , para el caso de la tensión V(x) es de la forma V ( x)  Ae x  Be x  Ei  Er (7)

Se define como constante de propagación

  Z ( x)Y ( x)  ( R  jwl )(G  jwC ) 334

Standing-Wave Ratio

V ( x)  Ae x  Be x  Ei  Er Estos dos conjuntos de “ondas viajeras” que se propagan en sentidos opuestos, establecen un modelo de interferencias conocido como “Ondas Estacionarias” tal como se muestra en la siguiente figura:.

335

Ecuación de la corriente I(x) Para obtener las ecuaciones de la corriente I(x) derivamos, la ecuación (7) Con respecto a x, usando la ec(3),

dV ( x) / dx   Ae x  Be x   Z ( x) I ( x)  I ( x)   A

 x  x e B e  I ( x)i  I ( x)r Z ( x) Z ( x)

Sustituyendo la constante de propagación

(8)

 Z ( x)



I ( x)  

Z ( x )Y ( x )  Z ( x)

Y ( x) 1  Z ( x) Zo

A x B x e  e  I ( x)i  I ( x)r Zo Zo

La corriente tiene dos componentes, corriente incidente y reflejada Siendo Zo la impedancia característica compleja de la línea. 336

Ecuaciónes del telegrafista Finalmente queda las ecuaciónes como: V ( x)  Ae x  Be x  Ei  Er

I ( x)  ( A / Zo)e x  ( B / Zo)e x  Ii  Ir Zo 

Ei  Z ( x) / Y ( x)  ( R  jwL) /( g  jwC ) Ii

Si consideramos que la línea no tiene perdidas, R=0, g=0 queda Finalmente Zo como: Zo 

Ei  ( jwL) /( jwC )  L / C Ii

La impedancia característica (Zo) de una línea de transmisión es una cantidad compleja que se expresa en ohms, que idealmente es independiente de la longitud de la línea 337

Ondas progresivas

Estas ecuaciones determinan la distribución de tensión y de corriente a lo largo de la línea y se denominan ondas progresivas, también se les dice ondas viajeras, estas dan lugar a la onda estacionaria V(x)

V ( x)  Ae x  Be x  Ei  Er

I ( x)  ( A / Zo)e x  ( B / Zo)e x  Ii  Ir Ei Zo   L / C Ii

338

4) Factor de propagación



El factor de propagación es una igualdad compleja la cual se ha Definido como:

  Z ( x)Y ( x)  ( R  jwl )(G  jwC )    j Esta constante de propagación por ser un numero complejo esta constituido por una parte real y otra compleja, las cuales se denominan

 se denomina factor de atenuación que se mide en (Neper/metro)  Es el factor de Fase (Radianes/metro)

339

5) Velocidad de Fase vp  w /  La constante de propagación expresa que la onda progresiva Al propagarse sufre una atenuación “α” conforme se desplaza del generador hacia la carga

    j

V 1e  (  j ) x

La ondas progresivas se desplazan con una velocidad de “fase” dada Por vp  w /  De donde se tiene que La constante de fase depende de la longitud de onda  2f 2 2



vp



vp



vp / f





340

VELOCIDAD DE FASE Una consideración importante en aplicaciones de líneas de transmisión es que la velocidad de la señal en la línea de transmisión es más lenta que la velocidad de una señal en el espacio libre. La velocidad de propagación de una señal en un cable es dependiente de su constante dieléctrica ε, idem la longitud de onda .

vp  Cluz /(  )

  o / r

341

STRIPLINES Y MICROSTRIP

342

STRIPLINES Y MICROSTRIP

Stripline y Microstrip son lineas de transmision utilizadas especificamente en la banda de microondas , Hay una variedad de estructuras planares:

343

MATERIALES USADOS

CONDUCTORES

DIELECTRICOS:

- Oro - Plata - Cobre - ceramica - alumina - thick-film

344

LINEA STRIPLINE

La linea “strip line” fue desarrollada a partir del cable coaxial y llevada a una seccion rectangular.

coaxial

rectangular line

square coaxial

flat stripline

Tiene solamente un dielectrico y soporta ondas TEM.

345

STRIPLINE Un circuito con stripline está constituido por una tira plana. El material aislante del sustrato forma un dieléctrico. El ancho de la tira, el espesor del sustrato y la permitividad relativa del sustrato determinan la impedancia característica de la tira, la cual constituye la línea de transmisión.

B

C

A

B

346

Stripline

La distribución de los campos de modo fundamental es como se muestra en la figura r

w t

h2

h1

H2=10 mils

W=1, 2, 5, 10, 20 mils T=1.5 mils

H1=10 mils

Er=4.0 Tand=.025

347

Microstrip: Resistencia dependiente de la Frecuencia

Por efecto Skin la corriente tiende a fluir por una parte de todala seccion del conductor, su resistencia se hace dependiente de la frecuencia 

RAC 

w t

L Acurrent _ flow

E-fields

L    w

L f  w  w f L

348

Microstrip: Resistencia dependiente de la Frecuencia

La resistencia total es la correspondiente para frecuencia cero (dc) mas la resistencia dependiente de la frecuencia

40

B

Resistance, Ohms

35

20

A

B

30 25

C

R tot R DC  R AC Frequency

15 10 5 0 0.E+00 1.E+09 2.E+09 3.E+09 4.E+09 5.E+09 6.E+09 Frequency, Hz 349

f

IMPEDANCIACARACTERISTICA Zo DE UN CABLE COAXIAL r

Z0, u, length , length v, Z

R

0

r r = 1

140

C 

120

r = 2 r = 2.5 r = 3 r = 3.5 r = 4

Z 0 [ ]

100 80 60

L

2 R ln   r 

 R ln  2  r 

40 20 2

3

4

5

6 R/r

7

8

9

10

Z0 

1 2

 R ln   r 350

IMPEDANCIA CARACTERISTICA Zo UNA LINEA “STRIPLINE” r

w t

h2

h1

 4h2 Z0  ln  r  0.67w 0.8  t w 

60

50 45

Z 0 [ ]





   

h2

40

0.070 0.060 0.050 0.040 0.030 0.025 0.020

35 30

25 20 15 10 0.003

60

t= 0.0007” r = 4.0

55

0.005

0.007

0.009

0.011

0.013

w  0.35 h2  t

t

h2

 0.25

0.015

w [in]

351

Lineas Microcinta

352

DIFERENCIAS : STRIPLINE -MICROSTRIP

Cuando se habla de comparar la tecnología microstrip con la tecnología stripline, no debemos asegurar que una tecnología sea mejor que la otra como caso general.

Stripline

Microstrip

Los microstrip son estructuras abiertas de forma que las lineas de campo no estan confinadas como en el stripline 353

LINEAS MICROSTRIP

Es la linea mas popular de las lineas de transmision planares es fabricado por tecnicas denominadas “Photolithographic techniques” y tiene la gran ventaja de ser integrada con componentes discretos activos, Fet, Transistores, diodos, etc. líneas trans. planar

integración con semiconductores

Microwave Integrated Circuits Tecnología MIC dispositivos de estado sólido

354

STRIPLINES Y MICROSTRIP

Tambien pueden ambas tecnologias tambien coexistir (hibridos). Integrated Circuit Stripline T

Microstrip PCB substrate

Cross section view taken here

W

Via

Signal Frequency (f) is approaching 10 GHz

Wavelength () is 1.5 cm ( 0.6 inches)

355

DISTRIBUCION DE LOS CAMPOS MICROSTRIP

Una linea microstrip como la figura no soporta ondas TEM, Los campos que soportan es hybrido del tipo TM-TE

Signal path Y Z (into the page) X Electric field Magnetic field

Ground return path

Cuando el dielectrico tiende a ser bien delgado las lineas del campo electrico es atrapada entre tal como se muestra en la figura , a este tipo de campo se denomina “quasi-static” tambien se conoce como “quasi TEM”. 356

IMPEDANCIA DE UNA LINEA “SURFACE MICROSTRIP” Suponiendo que las placas son perfectamente paralelas y que La placa de tierra sea mucho mas grande en area, En estas condiciones la impedancia caracteristica puede calcularse ,considerando la constante dielectrica con la siguiente formula:  5.98h  Z0  ln  r  1.41  0.8W  t  87

w  

t

h 357

IMPEDANCIA DE UNA LINEA “SURFACE MICROSTRIP” En la practica existen curvas de impedancia en función del ancho W de la placa delgada superior espesor t y el Espesor del dieléctrico h 160

t = 0.0007”

r = 4.0

140 120

h

Z 0 [ ]

100

0.025” 0.020”

80

0.015” 60

0.012” 0.009”

40

0.006” 0.004”

20 0.003

0.005

0.007

0.009

0.011

0.013

w [in]

 5.98h  Z0  ln   r  1.41  0.8W  t  87

0.015

w



t h 358

Calculo de la impedancia de una linea Microstrip Usando las formulas anteriores se hace difícil los cálculos por Lo que se debe usar software desarrollados para estos propósitos Un software recomendable es el desarrollado por Brian C. Wadell Que se encuentra en la siguiente dirección:

http://chemandy.com/calculators/ microstrip_transmission_line_calculator.htm

359

Ejemplo de Calculo de Impedancia de una linea Microstrip En el laboratorio se deberá determinar la impedancia característica De una línea microstrip, en base a sus dimensiones por ejemplo Si los datos son: Ancho de la línea W=1.83mm Espesor de la línea t=0.035mm Espesor del dieléctrico h=0.76mm Constante dieléctrica εr=3.2 Introduciendo estos datos en el calculador se tiene que la linea microstrip tiene una impedancia caracteristica de Z0=49.61 ohms

360

Ejemplo de Calculo de Impedancia de una linea Microstrip Usar el siguiente calculador: http://chemandy.com/calculators/microstrip_transmission_line_calculator.htm

361

Coeficiente de Reflexión en una red de dos ports

362

Coeficiente de reflexion Linea Microstrip Una linea microstrip consideremos como una línea finita de longitud L de carga esta ubicada en Z=0, y generador la izquierda a una distancia Z=-L Zi Z=-L

Zo

z

ZL z Z=0

Las ecuaciones que describen el comportamiento de las ondas de voltaje y corriente de las ondas progresivas son:

V ( x)  Ae z  Be z I ( z)  (

A z B )e  ( )e z Zo Zo

La impedancia vista desde z=-L, hacia la dirección de la carga es: V ( z) Ae z  Be z Z ( z)   Zo I ( z) Ae z  Be z

363

Coeficiente de reflexion Linea Microstrip V ( z) Ae z  Be z Z ( z)   Zo I ( z) Ae z  Be z

En Z=-L, la impedancia de entrada Zi vista por el generador hacia la derecha será entonces: Ae L  Be  L Zi  Zo Ae L  Be L Esta ecuación si nos vamos hacia la carga Z=0 se convierte en:

v(0) A B 1 B / A ZL   Zo  Zo I (0) A B 1 B / A ZL (1  B / A)  Zo(1  B / A)

Se obtiene finalmente B ZL  Zo   A ZL  Zo

ZL  Zo  ZL  Zo

364

Coeficiente de Reflexión

a) Si la línea esta terminada con una impedancia ZL=Zo este coeficiente ρ=0 significa que no hay reflexión. b) Si no hay carga ZL=Infinito este coeficiente es ρ=1 hay onda reflejada, la onda incidente y la reflejada tienen la misma amplitud y están en fase. c) Si la línea esta en corto circuito ZL=0 el coeficiente es ρ=-1 significa que las ondas incidente y reflejada tienen la misma amplitud y están oposición de fase

365

Coeficiente de Reflexión La impedancia de entrada en el port 1 es

V1 Z1  I1

Considerando el índice de reflexión , se demuestra que: Z 1  Zo b1 1  S 11    S 11  Z 1  Zo Z 1  Zo a1 1  S 11

366

CAMPOS RADIADOS GUIADOS: GUIAS DE ONDA

367

Características de los sistemas de microondas

MW

Frequencia 50 Hz - 10 KHz 10 kHz - 30 kHz 30 kHz - 300 kHz

Banda Audiofrecuencia Very Low Frequency Low Frequency

Audio (VLF) (LF)

300 kHz - 3 MHz 3 MHz-30 MHz 30 MHz-300 MHz 300 MHz-3 GHz

Medium Frequency High Frequency Very High Frequency Ultra High Frequency

(MF) (HF) (VHF) (UHF)

3 GHz - 30 GHz Super High Frequency (SHF) 30 GHz- 300 Extremely High Frequency (EHF) …. …. Banda 10**14-10**15 Luz Infrarojo

368

Características de los sistemas de microondas La banda de microondas abarca desde : 3 Ghz

300Ghz

Se describe como microondas a aquellas ondas electromagnéticas cuyas frecuencias van desde los 3GHZ hasta los 300 GHz. Las señales de microondas, a causa de sus altas frecuencias, tienen longitudes de onda relativamente pequeñas, de ahí el nombre de “micro” ondas 𝑪 𝝀= 𝒇 369

TECNOLOGIAS DE MICROONDAS

Cable bifilar

Cable coaxial

Guias de Onda

Fibra Optica

370

Bandas de los sistemas de microondas

371

SISTEMA DE MICROONDAS – VIA SATELITE

En telecomunicaciones, las microondas son usadas en radiodifusión, ya que estas pasan fácilmente a través de la atmósfera con menos interferencia que otras longitudes de onda.

372

SISTEMA DE MICROONDAS – VIA SATELITE

APLICACIÓN COMUNICACIONES MASIVAS TELEFONIA CELULAR

373

RADAR

374

DISTRIBUCION DE TV DIGITAL Televisión digital terrestre (TDTes la transmisión de imágenes en imagen y sonido mediante codificación binaria a través de una red de repetidores terrestres.

La codificación digital permite que en el ancho de banda un canal UHF se puedan transmitir 375 varios programas con la calidad similar a la de un DVD o uno o dos con calidad HD.

SISTEMA DE MICROONDAS – EQUIPOS DE LABORATORIO Par el estudio de los sistemas de microondas disponemos el Entrenador DTR-14 cuyas especificaciones técnicas son: Frecuencia de operación Potencia de transmisión Antenas de transmisión recepción Goniómetro Generador de tonos

: : : : :

10 GHZ 10.15mW tipo Bocinas 0-360 grados 1 Khz

376

LABORATORIO 1 ATENUACIÓN ONDAS DE MICROONDAS Para calcular la atenuación causada por los gases y vapores atmosféricos se debe acudir a la Recomendación UIT-R P.676. indica que la atenuación de la señal radioeléctrica, A(dB), puede calcularse como:

A = γr = (γo + γw)r, donde γo y γw son las atenuaciones específicas en dB/km para el oxígeno y el vapor de agua, obtenidas de una gráfica como la mostrada en la figura , y r es la longitud del trayecto radioeléctrico en km

377

LABORATORIO 1 ATENUACIÓN ONDAS DE MICROONDAS donde γo y γw son las atenuaciones específicas en dB/km para el oxígeno y el vapor de agua, obtenidas de una gráfica como la mostrada en la figura , y r es la longitud del trayecto radioeléctrico en km

378

LABORATORIO 1 ATENUACIÓN ONDAS DE MICROONDAS

Para frecuencias por debajo de 10 GHz, la atenuación es despreciable. Sin embargo, a frecuencias 60 GHz, la molécula de oxígeno presenta un pico de absorción (atenuación específica de unos 15 dB/km). Esta atenuación se puede compensar con antenas de alta ganancia mayor ancho de banda, reduciendo las interferencias.

379

Tecnología no integradas de microonda Guias de onda de sección rectangular circular

Aplicaciones : el RADAR (1940) Tecnología “no integrada”

Características de estas guías •alta potencia •bajas pérdidas •dispositivos complejos •ancho-banda limitado •Voluminosidad •rigidez; no integrable 380

Tecnología antigua no integrada

Propiedades de la banda de microondas •Sistemas de gran tamaño E.M. •Antenas de alta ganancia •Señales de alta directividad, no desviadas por la ionosfera: •Enlaces vía satélite y terrestes punto a punto •Sistemas con gran ancho de Banda •Canales de información con alta capacidad

381

Tecnología Moderna Guias de onda : Strip Line, Microstrip configuración planar strip—line estructuras no dispersivas mínimas pérdidas dispositivos complejos versatilidad de diseño Propiedades MPC: miniaturizables; poco peso fácil fabricación; bajo coste sustratos PTFE (Teflón) disp. activos no integrados

382

Waveguides

383

Tipos de Guias de Onda

Rectangular waveguide

Waveguide bends

Waveguide to coax adapter

E-tee 384

Ondas TEM En lo cables coaxiales los campos eléctricos y magnéticos son Perpendiculares uno respecto del otro y tiene una dirección de Propagación perpendicular a los dos campos  E  E 0 y coskz  t  y  0 x  0 zˆ y

Varia según el eje y , pero se propaga según el eje z H  H 0 x coskz  t x  0 y  0 zˆ

Varia según el eje x , pero se propaga según el eje z

y xy

z

385

Waveguides Rectangular

El objetivo es analizar como se propagan los campos en las guías rectangulares, circulares y elípticas usados en equipos de microondas para Comunicaciones terrestres y satelitales.

386

Waveguides Rectangulares

La guía de onda rectangular es un conductor hueco, dentro de la guía no hay otro conductor, :. No puede haber ondas TEM, así mismo no hay componente Ez Solamente es posible ondas TE o TM

387

Guias de onda La propagación en las guías de onda es en función de los modos” Del campo eléctrico y magnético. Al interior de la guía de onda se produce PATTERNS de campos E y H que están en función de la frecuencia de operación, dieléctrico, permeabilidad magnética y la uniformidad del material Y Ey Z X

Hx

388

Modos de Propagacion TEM (modo transversal electromagnético): en este modo, tanto el campo eléctrico como el campo magnético de la onda son transversales a la dirección de propagación. TE (modo transversal eléctrico): en este modo no existe campo eléctrico en la dirección de propagación, más si campo magnético, por lo que todos los componentes del campo se derivan del campo magnético. TM (modo transversal magnético): en este modo no existe campo magnético en la dirección de propagación, más si campo eléctrico, por lo que todos los componentes del campo se derivan del campo eléctrico.

389

Teoria General de los modos TE Los conductores con dos cables tipo Bifilar , Coaxial conducen Ondas TEM por que se desarrollan normalmente los dos campos Pero en el caso de un solo conductor hueco no pude desarrollar los dos campos en estas solo se propaga ondas TE o TM. MODOS TE Los modos TE tienen su campo electrico transversal a la direccion Axial , por consiguiente la componente Ez=0

390

Propagation en las guias de Onda

391

GUIAS DE ONDA: PLACAS PARALELAS

Para estudiar la propagación de una onda plana consideremos el Frente de onda incidente y reflejada g



o

a 

o



a

 o 

De las figuras se obtiene Sen 

o  a  o a Sen

Considerando los diferentes frentes de onda incidente, podemos expresar esta separación en funcion de nλ/2 : Sen 

1 no ( ) a 2

n  a  ( o )  n  1,2,3... mod os  de  propagacion 2 Sen

(2) 392

GUIAS DE ONDA: PLACAS PARALELAS

Las ondas reflejadas se mueven según el eje Z , por consiguiente Definimos una nueva longitud de onda  g a lo largo de la guía. esta longitud es la distancia entre puntos de la Onda con igual fase en la dirección Z, se denomina “longitud de Onda en la guía” de la figura se deduce que: g

  Cos  o   g  o g Cos



o (3)

 393

Waveguides placas paralelas Como el seno debe ser menor o igual que la unidad la ec(2) : n  a ( o ) 2 Sen

n a  o 2

la separación mínima requerida para que haya propagación: (4)

n a  o 2

o

a 

En la practica la separación entre las dos placas es fija y lo que se cambia es la frecuencia. Por lo tanto se debe definir una longitud de onda de corte 2a (5) c  n Por consiguiente la frecuencia de corte es definida como: (6)

c cn fc    c 2a

394

GUIAS RECTANGULARES: FRECUENCIAS DE CORTE Aplicando la propiedad trigonométrica: sen 2  cos 2   1 De las ecuaciones 1 y 2: 2 2 n o    no   o  Sen  ( )     1 2 a  2a    g   Cos 

o

g

Sustituyendo la ecuación (6) 2

2  1  o   o        1    c    g   g

2

c cn fc    c 2a

  1   1 2            c    o 2

se tiene:  1    g

2

1 n   c 2a

   12 f o 2  f c 2   c  c g  2 2 fo  fc





La longitud de onda en la guía finalmente se calcula en Términos de la frecuencia de trabajo “fo” y la frecuencia de corte fc: 395

GUIAS RECTANGULARES: FRECUENCIAS DE CORTE g 

c f 2  f c2

Si la frecuencia de operación es menor que la frecuencia de corte fc, no se produce propagación , para que se produzca la propagación debe ser entonces f>fc una guía de ondas solo puede operar por encima de la frecuencia de corte y, por lo tanto, actúa como un filtro pasa-alto

f  fc 396

GUIAS RECTANGULARES: FRECUENCIAS DE CORTE Las guías de onda no pueden transmitir energía electromagnética A frecuencias bajas por consiguiente hay frecuencia cuyo valor depende de la geometría y dimensiones, a esta frecuencia mínima A partir dela cual es posible la transmisión se denomina : “frecuencia de corte” Se propaga el modo dominante Y el primer modo superior cuya frecuencia de corte es fc2

Se propaga el Modo dominante A partir de fc1

En esta región no hay propagación Frecuencias bajas

fc1

fc2

fc3

f

397

Waveguides placas paralelas EJERCICIO 1 Una onda electromagnética se propaga entre dos placas paralelas Separadas 5 cm entre si , la frecuencia de la onda es de 8 Ghz a) Cuantos modos distintos hay en la guía ? b) Cuanto mide la longitud de onda en la guía para cada modo?

398

SOLUCION Si la frecuencia de Corte de algún modo superior es menor o igual que 8 Ghz, (frecuencia de operación) entonces ese modo también existe. Calculemos para modo n=1

c cn (3x10 8 )(1) f c1     3Ghz  c 2a 2(0.05) Calculemos para modo n=2

f c2

c cn (3x10 8 )(2)     6Ghz  c 2a 2(0.05)

Calculemos para modo n=3

c cn (3x108 )(3) f c3     9Ghz c 2a 2(0.05) 399

SOLUCION

Realizando el grafico: Se propaga el primer modo superior Se propaga el Modo dominante

En esta región no hay propagación Frecuencias bajas

TE2 TM2

TE1 TM1 TEM

3Ghz

6Ghz 8Ghz 9Ghz

frecuencia de operación CONCLUCION De acuerdo al grafico se concluye que están presentes los modos de propagación TE1,TM1 TE2,TM2 EL modo TEM esta presente por debajo de 3Ghz :.Hay en total 5 modos de propagación, pero solo se propaga por esta guía de onda de placas paralelas partir de 3 Ghz 400

MODOS DE PROPAGACION EN GUIAS DE ONDA RECTANGULARES

401

GUIAS RECTANGULARES

Las guias de onda al estar constituida por un conductor hueco solo soportan Modos de propagación TE y TM. No puede guiar las ondas TEM esta solo se propagan en el espacio Libre Y conductores de dos conductores.

402

TEORIA GENERAL DE LOS MODOS TE y TM En general son posibles dos modos, de propagación que se denominan en consideración al campo que sea siempre transversal a la dirección de propagación: Transversal Eléctrico (TE) Transversal Magnético (TM).

403

MODOS GENERALIZADOS DE PROPAGACION DE LAS ONDAS EN LA GUIA DE ONDAS Los fenómenos electromagnéticos de radiación se explican a partir de las ecuaciones de Maxwell

404

FUNDAMENTOS DE LA RADIACION

Según las ley fe Gauss si hay densidad de carga eléctrica hay campo eléctrico

E

E

E  y x  z   x y z 

405

Waveguides Rectangular

En la guía de ondas hueca en primer lugar no hay cargas libres Por consiguiente ρ=0

E

E

E y x  z 0  x y z

En segundo lugar el campo eléctrico tiene que satisfacer las ecuaciones de Maxwell, tal que usando la ecuación anterior, Se obtenga las componentes de los campos eléctricos siguiente:  2 Ex z 2



 2 Ex y 2



 2 Ez x 2

 

 2 Ex t 2

La deducción de esta ecuación es como sigue: 406

Waveguides Rectangular De la ley de Faraday Para ondas TEM se demostró que la campo eléctrico y magnético  esta dado por las  B E  



(8) E x z (9)



E y x



E z x



E x y

t

       

  (

B y t

Bz t

H y t

)  ( 

H z t

 2 Ex z



)

2

 2 Ez zx



2Ey xy



   

 2 Ex y

2

  (

2H y zt

2H z yt

)

Al sumar ambos miembros se obtiene:  2 Ex z 2



 2 Ex y 2



 2 Ez zx



2Ey xy



2H z zt



2H y zt

407

Waveguides Rectangular De la ley de Amper



H z y



H y z



Dx t

H 



D t



Ex t

2H z ty



2H y tz

 

 2 Ex t 2

sustituyendo en la anterior ecuación  2 Ex z 2



 2 Ex y 2



 2 Ez zx



2Ey xy

 

 2 Ex t 2

Que también se puede escribir como  2 Ex z

2



 2 Ex y

2



 E z ( x z



E y y

)  

 2 Ex t

2

(10)

(11) 408

Waveguides Rectangular

Reemplazando la condición de la ecuación de carga espacial nula dentro de la guía y reemplazando en la ec 11 se obtiene: E x x

 2 Ex z 2



E y y



 2 Ex y 2



E z z



0

E x  (  x x

E x x

 (

)  

 2 Ex t 2

E y y





E z z

 2 Ex z 2

) 

 2 Ex y 2



 2 Ex x 2

 

 2 Ex t 2 409

Waveguides Rectangular Se ha determinado para el eje X en forma idéntica se deduce las demás ecuaciones para los Campos según los ejes Y, Z 2E

2E

2E

2E

x  x  x   x z 2 y 2 x 2 t 2 2E 2E 2E 2E y y y y     z 2 y 2 x 2 t 2 2E

2E

2E

2E

z  z  z   z z 2 y 2 x 2 t 2

x

y

410

Waveguides Rectangular Las soluciones de las ecuaciones anteriores representan ondas que se desplazan Armónicamente dependientes del tiempo, en en la dirección “Z” , la solución de estas ecuaciones diferenciales es:

Ex ( x, y, z , t )  Ex ( x, y )e jt z Ey ( x, y, z , t )  Ey ( x, y )e

jt z

(Ec1)

Ez ( x, y, z , t )  Ez ( x, y )e jt z

El campo magnético según z

2H z 2H z 2 2    (     ) H z 2 2 x x 411

modos TE Guia rectangular La solution general resulta una funcion producto de tres funciones: Siendo las funciones producto de cosenos de argumento m y n Que da origen a los diferentes modos de propagación y la función exponencial con el factor de propagación γ

Hz

 m n      A cos( x )  C cos( y )  e z a b   

m 2 n 2   ( )  ( )   2  a b

Ec(1)

Ec(2)

412

MODOS DE PROPAGACION m n    H z   A cos( x )  C cos( y )  e z a b   

Las ondas electromagnéticas viajan a través de las guías con diversas configuraciones a los que llamamos: MODOS DE PROPAGACION, EXPRESADAS POR LO SUB INDICES m,n. en teoría existe infinito modos de Propagación, y cada uno tiene su frecuencia de corte a partir del cual Existe.

413

TEORIA GENERAL DE LOS MODOS En una GUIA DE ONDA según lo demostrado se propagan, infinitas ondas electromagnéticas. Cada uno son denominados modos que presenta una configuración distinta de campos eléctrico y magnético. Cada modo tiene una frecuencia crítica, debajo de la cual no se propagará.

414

TEORIA GENERAL DE LOS MODOS TE GUIA RECTANGULAR El modo dominante en una guía es aquel que tiene la frecuencia de corte mas baja Los modos de orden superior son aquellas formas en que la energía Se propaga por arriba de la frecuencia de corte del modo Dominante.

415

modos TE Guia rectangular la onda TE es una onda compleja progresiva , por consiguiente  debe ser imaginaria es decir : m 2 n  2   ( )  ( )2 a

b

Si  es real la operación de la guía se encontrara en una región Evanescente y no habrá propagación. El punto de transición o Frecuencia de corte para que se inicie la propagación se obtiene al ser igual la anterior desigualdad. 1 m 2 n  cmn 2  (2f cmn ) 2  ( )  ( )2  a b De donde la frecuencia de corte para el modo TEmn esta dado por: f cmn

1  2

m 2 n 2 v m 2 n 2 ( ) ( )  ( ) ( )  a b 2 a b 1

(Ec3)

v

1

 416

FRECUENCIA DE CORTE: MODOS TE GUIA RECTANGULAR

f cmn

v  2

m 2 n 2 ( ) ( ) a b

Las diversas configuraciones de Campo eléctrico que se dan en la guía se representa por TEmn y THmn. El subfijo ¨m¨ corresponde al numero de medias longitudes de onda, de las variaciones del campo eléctrico en la dirección de ¨x¨ . Y el subfijo ¨n¨ al numero de variaciones según el eje ¨y¨

417

Otros modos de propagacion

Otros modos de propagación se hace mediante la combinación de los índices m y n, que son números enteros. Así se tienen, por ejemplo: Modo TE01, Modo TE11 m n    z

H z   A cos( a 

x )  C cos( y ) e b  

418

RESUMEN DE PATTERN MODO TE Los “patterns” de campos para los modos TE10, TE01, TE20… en una guia rectangular de ondas es como se muestra en la siguiente figura. f cmn

v m 2 n 2  ( ) ( ) 2 a b

f c10

v 1 2 0 2 v  ( ) ( )  2 a b 2a

419

RESUMEN DE PATTERN MODO TE01

420

RESUMEN DE PATTERN MODO TE01

421

Analisis de los modos de Propagacion TEmn Guia rectangular f cmn

v m 2 n 2  ( ) ( ) 2 a b

x

y

Para una propagación “mono-modo” (o simple modo) esta es caracterizada por TE10. f c10

v 1 2 0 2 v  ( ) ( )  2 a b 2a v 2 2 0 v ( )  ( )2  2 a b a  2 f c10

f c 20  f c 20

422

Ancho de Banda de los modos de Propagacion TEmn Guia rectangular si, b  f c 01 

f c 20

a 2

x

v 0 1 v 0 1 2 v ( )2  ( )2  ( )2  ( )  2 a b 2 a a/2 a

v 2 2 0 2 v  ( )  ( )   f c 20  f c 01  2 fc10 2 a b a

y

Mono-mode Bandwidth

0

fc10

f c 20

El “mono-mode bandwidth” depende de la frecuencia de corte del segundo modo de propagacion. 423

Ancho de Banda de los modos de Propagacion TEmn Guia rectangular

Tenemos que considerar dos posibles modos TE01 y TE20. El primer caso cuando el ancho de la guia a es: x

f c 20  f c 01  fc10

a si, a.  b  2

y Mono-mode Bandwidth

0

fc10

fc 01

f c 20

Se observa que la frecuencia de corte fc20>fc01 424

Ancho de Banda de los modos de Propagacion TEmn Guia rectangular

El segundo caso cuando la mitad del ancho de la guía de onda sea: x

f c 20  f c 01

a b 2

y Mono-mode Bandwidth

0

fc10

f c 20

fc 01

Se observa que la frecuencia de corte fc20
Ancho de Banda de los modos de Propagacion TEmn Guia rectangular

En la practica un margen de seguridad es del orden del 20% menor Que el máximo mono modo frecuencia de corte para establecer La banda. Debemos asegurarnos de determinar la frecuencia de Corte para el modo TE10 y la Frecuencia de corte para el modo TE20, el resto de modos, serán Considerados como “evanescentes” caso del modo TE01 (fig.) Mono-mode Bandwidth

0

fc10

f c 20

fc 01

426

Ancho de Banda de los modos de Propagacion TEmn Guia rectangular si, b  a

f c10  f c 01

f c10  f c 01 

v 1 2 0 v ( )  ( )2  2 a b 2a

v 0 1 v ( )2  ( )2  2 a a 2a

En este caso donde la guia de onda es perfectamente cuadrada los modos generalizando TEm0 and TE0n con m=n son “modos en que se degenera la propagacion con la misma frecuencia de corte” Mono-mode Bandwidth

0

f c10  f c10

Estos análisis nos permite fundamentar que es recomendable Que las guías sean de sección rectangular.

427

Resumen de Frecuencias de corte para guías de ondas rectangular

Como se observa el modo TE10 es el modo dominante se ha analizado hasta el modo TE20 el resto de modos, son considerados como “evanescentes” 428

EJERCICIO Diseñar una guia de seccion rectangular para la frecuencia de 10 GHz , la frecuencia debe ser la frecuencia central de la banda de operacion (middle frequency band - single mode operation) si b=a/2 SOLUCION El primer modo fundamental esta dado por la frecuencia de corte de TE10 y el segundo por el modo TE01: aplicando la formula : f cmn 

v m 2 n ( )  ( )2 2 a b

TE10  f c10

v 1 2 0 2 v  ( ) ( )  2 a b 2a

TE 01  f c 01 

v 0 2 1 v ( )  ( )2  2 a b 2b

f c10  f c 01 1  v v  1 v v         10Ghz  2 2  2a 2b  2  2a 2a / 2 

429

f c10  f c 01 1  3 x10 8 3 x10 8  f       10Ghz 2 2  2a a  a a  2.25cm  b   1.125cm 2 x

a b   1.125cm 2

a  2.25cm

y

430

Longitud de onda en la guia rectangular (TE) Para propagar solamente el modo principal (TE10), las dimensiones de la guía deben cumplir: 2a>λ, λ >a, y λ>2b. La primera condición permite el modo principal, la segunda evita el modo TE20, y la tercera evita el modo TE01. En general, para las guías rectangulares la longitud de onda de corte está dada por: v 2 c 

fc



(

m 2 n )  ( )2 a b



g

431

RESUMEN La frecuencia de corte fc (o longitud onda de corte λc) para un modo de guía rectangular están dados por sus ecuaciones Ya demostradas v m n 1 m n f cmn  ( ) 2  ( ) 2  ( )2  ( )2 2 a b b 2  a

c 

v  fc

2 (

m 2 n )  ( )2 a b

Donde: a= ancho interior de la guía b= altura interior de la guía m=numero de ½ longitudes de onda variando el campo en la dirección “a” n= numero de ½ longitudes de onda variando el campo en la dirección “b” ε=permitividad μ=permeabilidad 432

VELOCIDAD DE FASE Cuando se estudio en líneas de transmisión la propagación de una Onda plana en un medio sin perdidas , se definió como velocidad de Fase a la relación:  vp  

Vp Es la velocidad a lo largo de la guía , se demuestra que esta velocidad en función de la frecuencia de corte de la guía Esta dado por: vp 

c 1  ( fc / f )2

433

Velocidad de Grupo Lo que se transmite por las guías son señales moduladas , por consiguiente se puede considerar como la superposición de Fourier de un espectro, una gran cantidad de ondas senoidales Con distintas frecuencia

Esta situación lleva a la definición del concepto de Velocidad de grupo 1 vg  d / d (ec8) Se demuestra que esta velocidad de grupo esta dado por la ecuación:

vg  c 1  ( f c / f )2 434

VELOCIDAD DE FASE GRUPO Si se multiplican , las ecuaciones anteriores se comprueba que el producto de la velocidad de fase por la velocidad de grupo es igual al cuadrado de la velocidad en un medio limitado.

vg  c 1  ( f c / f )  2

c

vp 

1  ( fc / f )2



vg c

vp c

 1  ( fc / f )2 

1 1  ( fc / f )2

v  v p vg 2

435

Velocidad de Fase y grupo

vg c

 1  ( fc / f )2

vp c



1 1  ( fc / f )2

De estas ecuaciones se observa conforme aumenta la frecuencia, así por ejemplo para ω →∞, ambas velocidades tienden a la velocidad de la luz, usualmente esto ocurre en guías (air filled) c  3x10 8 m / seg

436

Impedancia Z TEmn

 1   120 2  1 ( f / f ) Cmn 

  1    2   1 ( f / f ) Cmn  

   

Conforme aumenta la frecuencia la impedancia tiende al valor de Z/η=1, valor que corresponde al modo TEM

Z TEmn



 1  2  1 ( f / f ) Cmn 

   

437

Problema Una guía rectangular tiene dimensiones de 10 x5cm por el cual se Propaga una señal de 4.5 Ghz. Determinar los diferentes modos TE de propagación y la impedancia x

SOLUCION f cmn

v m 2 n 2  ( ) ( ) 2 a b

y

En teoria dentro de la guia rectangular puede haber un numero infinito de distribuciones de campo, o modos de acuerdo con Todas las combinaciones posibles para los valores discretos m y n (m=0,1,2,3…; n=0,1,2,3..) sustituidos en las ecuaciones se muestran las distribuciones o patrones de los campos en la seccion transversal de la guia 438

x

SOLUCION Aplicando la ecuación f cmn

v m 2 n 2  ( ) ( ) 2 a b

Para el modo m=1, n=0:

Para el modo m=1, n=1: Para el modo m=2, n=1: Para el modo m=2, n=0:

y

f c10

3 x10 8  2

(

f c11

3 x10 8  2

1 2 1 2 ( )  ( )  3.35  Ghz 0.1 0.5

f c 21

3 x10 8  2

f c 20

3 x10 8  2

(

1 2 0 )  ( ) 2  1.5  Ghz 0.1 0.5

2 2 1 )  ( ) 2  4.24  Ghz 0.1 0.5

2 2 0 2 ( )  ( )  3  Ghz 0.1 0.5 439

4.5 1.5 0

fc10

3

f c 20

3.35

fc11

4

fc 21

Para que se propague la señal de 4.5Ghz Esta debe ser mayor que cualquier frecuencia de corte. Los modos TE que se propagan son entonces TE10, TE11, TE20 pero para el modo TE12 Ya no se propaga: 4.5 Ghz<6.18Ghz

Para el modo m=1, n=2: f c12

3 x10 8  2

6.18

fc12 x

y

1 2 2 2 ( )  ( )  6.18  Ghz 0.1 0.5 440

Z TEmn

 1  120  2  1 ( f / f ) Cmn 

  1    2   1 ( f / f ) Cmn  

Z TE10

 1   120 2  1 ( f / f ) Cmn 

  1   120   1  (1.5 / 4.5) 2   

       

. . .

441

La propagaciones es eficiente entre la frecuencia de corte para el modo TE10 y frecuencia de corte proximas a la portadora, mayores frecuencias es el caso del modo TE12. que superiores a esta frecuencia se producira una propagacion evanesciente.

442

Ejemplos de Guias de Onda Hay guias rectangulares (standard air-filled ) con dimensiones interiores en pulgadas (a, b in inches) la frecuencia de corte en GHz, frecuencias de operacion minimas y maximas recomendadas en GHz, (power ratings) y atenuacion en dB/m , tal como se muestra en el siguiente cuadro:

443

Ejemplos de Guias de Onda

Waveguide Designation

a (in)

b (in)

t (in)

fc10 (GHz)

freq range (GHz)

WR975

9.750

4.875

.125

.605

.75 – 1.12

WR650

6.500

3.250

.080

.908

1.12 – 1.70

WR430

4.300

2.150

.080

1.375

1.70 – 2.60

WR284

2.84

1.34

.080

2.08

2.60 – 3.95

WR187

1.872

.872

.064

3.16

3.95 – 5.85

WR137

1.372

.622

.064

4.29

5.85 – 8.20

WR90

.900

.450

.050

6.56

8.2 – 12.4

WR62

.622

.311

.040

9.49

12.4 - 18

444

Rectangular Waveguide Calcular las frecuencias de corte, y los diferentes modos de operación de la guia de onda WR284. De la tabla se tiene que las dimensiones de: a = 2.840 pulgadas mils and b = 1.340 pulgadas. Al convertir a unidades metricas se tiene : a = 7.214 cm y b = 3.404 cm. (1 pulgada=2.54 cm). 2

fcmn

TE10:

f c10

c m n      2  a  b

2

where c  3 108 m/s

3 x108 m

c

s 100cm  2.08 GHz   2a 2  7.214cm  1m

TE01: f c 01 

3 x108 m

c

TE10

3.95 TE20

TE01

TE11

2.08 GHz 4.16 GHz 4.41 GHz 4.87 GHz

s 100cm  4.41 GHz  2b 2  3.404cm  1m

TE20: f c 20  c  4.16 GHz a

TE11: fc11 

3 x108 m 2

2

s

2

1 1     100cm  4.87 GHz      7.214cm   3.404cm  1m

La max frecuencia de operación de esta guia es según tabla: 3.95 445

LINEAS DE CAMPO EN UNA GUIA CIRCULAR – PRIMEROS MODOS

Los diagramas ilustran los campos en las guias circulares, se observa Que ondas estacionarias dentro de la guia de ondas

446

LINEAS DE CAMPO EN UNA GUIA CIRCULAR – PRIMEROS MODOS

En la designación de los modos, m indica el número de ciclos completos de variación de campo alrededor de la circunferencia; n indica el número de medios ciclos de variación que existen a lo largo del diámetro.

447

Frecuencias de corte en una guia deondas circular Las frecuencias de corte para los primeros TE y TM modos de una guiade ondas circular, comparadas con la frecuencia de corte dominante del modo TE11 .

448

Aplicaciones de las guias de onda Dependiendo de la frecuencia, Las guías de onda pueden tener dimensiones de pocos centímetros. Un ejemplo puede ser aquellas utilizadas por los satélites de EHF y por los radares.

449

Aplicaciones de las guias de Onda: Oscilador con Klistron

450

Bocinas De la ecuación general se tiene que el modo TE10 es: m   n  z  1   H z   A cos( x) C cos( y ) e   A cos( x)1e z a b a     

451

Aplicaciones de las guías de onda: Radiotelescopio

Un radiotelescopio es básicamente muy similar a un receptor de radio usado en otras bandas de frecuencia de uso diario, con la salvedad que opera, en general, a frecuencias mucho más elevadas 1420 MHz El esquema más común de receptor utilizado es el llamado receptor superheterodino.

452

Aplicaciones de las guías de onda: Radiotelescopio

453

GUIAS DE ONDA CIRCULAR

454

GUIAS DE ONDA CIRCULAR Las leyes que rigen la propagación en las guías de onda son Independientes de la forma de la sección transversal de la guía Y de sus dimensiones, debido a esto el concepto de campos eléctricos Y magnéticos, así como la frecuencia de corte y en general todos los Parámetros presentados en las guías de onda rectangulares se cumplen También para guías de ondas circulares, exceptuando que el problema de los modos de transmisión para guías circulares se presentan en Coordenadas cilíndricas.

455

GUIAS DE ONDA CIRCULAR

456

GUIAS DE ONDA CIRCULAR Para determinar las frecuencias de corte se usan las funciones de Bessel

457

GUIAS DE ONDA CIRCULAR

458

GUIAS DE ONDA CIRCULAR

459

GUIAS DE ONDA CIRCULAR

460

GUIAS DE ONDA CIRCULAR

461

CAMPOS ELECTROMAGNETICOS EN EL VACIO

462

DISPOSITIVOS DE MICROONDAS TUBOS DE VACIO •TWT Traveling Wave Tube Microwave 1.0 To 18 GHz For Satellite Communications • KLYSTRON • MAGNETRON

DISPOSITIVOS SOLIDOS • DIODOS PIN • TUNNEL • GUNN EFECT •TRANSISTOR MICROWAVE •FET MICROWAVE

463

DISPOSITIVOS DE VACIO DE MICROONDAS A pesar de los avances en dispositivos de estado sólido, cuando se requiere la generación de potencias elevadas a frecuencias de microondas, los tubos de vacío resultan imprescindibles

Existen dos clases de tubos Linear Beam : el haz de electrones fluye en una dirección paralela a los campos eléctricos y magnéticos, atravesando toda la longitud del tubo Crossed Field: o tipo «m» los campos eléctricos y magnéticos son perpendiculares a la dirección del haz de electrones.

464

DISPOSITIVOS DE VACIO DE MICROONDAS El haz de electrones se origina a partir de un cañón de electrones Constituido por el cátodo que es la fuente de emisión, y luego pasan Por el electrodo de enfoque , un electrodo modulador, y el ánodo Los electrones se generan por emisión termoiónica , al ser el Cátodo calentado por los filamentos y polarizado a una alta tensión negativa respecto del ánodo

465

DISPOSITIVOS DE VACIO DE MICROONDAS La velocidad con la que el haz de electrones sale del ánodo viene dada por la ecuación: 1 2 2eV mv  eV  v   5.93x105 V 2 m

466

Traveling-Wave Tube (TWT) La invención del TWT se debe a Rudolf Kompfner (1943), se uso En equipos de radares en la segunda guerra mundial, pero en1962 se utiliza por primera vez en comunicaciones, vía satélite en el proyecto (TELSTAR-I), operando como parte del transponder de RF con una potencia de 2 watts y 4 GHz, diseñado por RCA. En la actualidad TWT sigue siendo muy usado en los “Trasnponder” satelitales, y en radares para ayuda de aterrizajes de aviones. Sus principales ventajas son: Es un dispositivo de alta ganancia, Buena linealidad y alta eficiencia.

467

TWT Sus principales ventajas son: Es un dispositivo de alta ganancia, Buena linealidad y alta eficiencia, recordemos que cuando un Sistema amplificador no es lineal amplifica la frecuencia f y a su vez genera armónicas 2f, 3f

468

TWT Su funcionamiento se basa en que el cátodo emite electrones por Efecto termoiónico, los cuales atraviesan un campo magnético Alrededor del tubo, que hace que los electrones formen un haz el cual pasa por medio de la hélice, que se comporta como una guía de Ondas alcanzando el colector o placa. La hélice actúa “Delay Line” .

469

TWT Como se el TWT esta polarizado con la batería DC, produce un campo Eléctrico E en la dirección axial, los electrones se mueve en ausencia de RF con una velocidad 1 2 2eV mv  eV  v  2 m

470

TWT Cuando se aplica una señal de RF a la entrada del TWT los electrones que ingresan a la hélice modifican su velocidad produciéndose Regiones de aceleración y desaceleración, esto causa concentraciones de electrones (bunches) que se propagan a lo largo del tubo interactuando con la señal de RF que se encuentra en la hélice, lo cual causa un efecto de transferencia de Energía a la onda EM de RF que se traduce en un aumento de su amplitud en forma exponencial

471

TWT después los electrones pierden energía desacelerándose, reduciéndose la amplitud de la onda EM Formando una región de saturación la máxima amplificación de salida, se tomara si se ubica una salida justamente antes de la región de saturación en la figura se observa varias salidas experimentales para censar la máxima amplitud

472

TWT

473

TWT

474

TWT

TWT requiere altos voltajes aplicados a sus electrodos, para producir Altos niveles de RF de salida, por ejemplo para la banda X para obtener 8-KW se debe usar 14 KV, para 100KW de potencia de salida se requiere 45 KV. 475

TWT Aplicaciones del TWT en Radares

476

TWT Aplicaciones en comunicaciones

477

APLICACIONES DEL TWTA • • • •

Point to Point Communication Satellite communication and Rader Appz Missile tracking application for military Television live broadcasting – LIVE news vans with satellite dishes on the roof carry TWTA inside

478

TWT

479

480

PRODUCTS of ETM Electromatic Inc. www.etm-inc.com

Interchangeable module-type Power Supply

Left: 600W Tri-band CW TWTA Right: Power Supply 481

HIGH VOLTAGE FILTERS READY TO BE TESTED

Right: High-Voltage Filters after assembly ready to be tested Left: Potted filters to be retested (*Potting materials = High-Voltage Insulation) 482

KLYSTRON

483

Klystron El Klystron tiene dos cavidades denominadas “buncher” y “catcher,” ambas rejilladas. El haz de electrones es acelerado por el potencial V que hace que el electron se desplaze con una velocidad uo, atravezando la primera cavidad, donde esta presente la señal de entrada de RF: V1sint, las rejillas producen una modulacion en la velocidad del haz de electrones V1sint

1 mu02  eV0 2 ut  u0  ue j (t  z ) it  i0  ie j (t  z ) 

 t   0   e j (  t  z )

484

KLYSTRON

La energia del electron es modificada por la señal de RF , que hace que varie su velocidad segun la señal de RF: V1sint

(2)

1 2 1 2 mu  mu0  eMV1 sin t 2 2

u  u0 1 

MV1 sin t V0

(3)

485

Klystron Por la ecuación anterior en el KLYSTRON se ha producido una modulación de velocidad, a través de las rejillas muy próximas entre sí, localizadas en el centro de una cavidad reentrante

MV1 u  u0 1  sin t V0

La ecuación nos dice La energía cinética del haz de electrones es Convertida en energía electromagnética modulada 486

KLYSTRON

Si asumimos que la amplitud de la señal de RF es V1<
(4)

487

KLYSTRON Consideremos la distancia entre primera cavidad, el electron entra y deja el primer gap en el tiempo t1, recorre la distancia “L” y llega al centro del gap de la segunda cavidad en un tiempo t2

l t2  t1   t1  u

lMV1  t1   sin t1 u0 2u0V0  MV1  u0 1  sin t1   2V0  l

l

488

KLYSTRON

Io es la corriente devido al haz a la entrada al buncher. Esta carga al entrar al catcher demora un tiempo t2 a t2+dt2. Sea It (corriente total, DC y RF) debido al Haz a la entrada del catcher, entonces por ley de la conservacion de la carga

I o dt1  I t dt2 t2  t1  X sin t1  t2  t1  ( X /  ) sin t1 dt2  1  X cos t1 dt1

(7)

(9)

de ec (8)

I t  I o /(dt2 / dt1 ) reemplazando dt2/dt1 , ec(9)

(10)

It 

Io (1  X cos  t1 )

489

Klystron La corriente en el buncher es:   1 1 It  I0    ....  1  X cos t11 1  X cos t12  (11)

La onda de corriente es pulsada en el buncher tal como se muestra en la Fig

Fig 3

490

Esta corriente pulsada hace que el circuito resonante de salida genere una onda senoidal perfecta

491

Klystron Un klystron de dos cavidades con carga espacial y con modulacion sinusoidal, la maxima eficiencia es del orden de 58%. Mediante analisis matematicos mas complejos se demuestra que la eficiencia de un Klystron de 3 cavidades o mas solo se llega a una eficiencia del orden de 74%

Pout 

1.16 Io Vo x  0.58I 0V0  0.58Pin 2 2

492

Klystron El circuito equivalente del Klystron esta constituido por una conductancia que esta relacionada con el haz de electrones y una susceptancia B como se muestra en la fig las cavidades se representan por los circuitos sintonizados

493

KLYSTRON REFLEX

494

KLYSTRON REFLEX En el klystron reflex como 'klystron Sutton‘ por su inventor), El haz de electrones pasa a través de una única cavidad resonante. Los electrones son emitidos por el catodo , pasan por la cavidad resonante, y se encuentran con el electrodo espejo Polarizado negativamente, lo que hace que retornen y vuelvan a Pasar por la cavidad, La tensión en el reflector debe ajustarse de forma que el agrupamiento sea máxima y ahce producir una energia de RF De buena amplitud

495

APLICACIONES DEL kLYSTRON

Desde UHF hasta 10, 30, 40 GHz 1. Radares 2. Comunicación Satelital 3. Difusión de TV 4. Procesamiento de materiales

496

APLICACIONES DEL kLYSTRON

497

APLICACIONES DEL kLYSTRON

498

Magnetron

499

GUIAS DE ONDA CIRCULAR

500

GUIAS DE ONDAS

Capítulo

II

2.2 Guías de Ondas Circulares. z a

r

 Solución de la ecuación de onda en coordenadas cilíndricas, para los campos:

 E Er , E , EZ   H H r , H , H Z  y x

501

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES i) ii ) iii )

Capítulo

II

   xH  jE    xE   jH   2  H  H   2 E   2 E 2

donde:

   

   r,  , z 

2

2

Ecuación escalar de Helmholtz 502

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo Capítulo

II II

 La ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas, está dada por:

(*)

1     1  2  2 2 r        2 2 2 r r  r  r  z

 Usando el método de S.V. La solución se asume de la forma:

 R(r) () Z(z)  Sustituyendo en (*) y dividiendo por  se tiene: 503

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

II

1 d  dR  1 d  1d Z 2 r       rR dr  dr  r 2 d 2 Z dz 2 2

(**)

Capítulo

2

(a) Dado que el lado derecho de (**) es una cte., entonces, la suma de los términos del lado izquierdo debe también serlo. En particular el término (a) es una cte.

1)

1 d 2Z 2 g 2 Z dz



d 2Z 2 g z 2 dz

Constante de propagación en la guía

504

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 La solución general de (1) es:

Z z   A e

 g z

 Be

 gz

 Reemplazando (1) en (**), arreglando y multiplicando por r2 obtenemos:





r d  dR  1 d 2 2 2 2    g r  0 r  2 R dr  dr   d (b) Con el mismo raciocinio anterior, ahora (b) debe ser una cte. (n2) 505

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 2 2   n  2   Cuya solución es:



   An sen n  Bn cos n Hay una onda estacionaria en el sentido azimutal (). 506

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 Análogamente al caso anterior, reemplazando -n2 en (**) y multiplicando por R, se obtiene:





d  dR  2 2   r r  k r  n R0  C dr  dr  Ecuación de Bessel de orden n donde

k c2   2   g2

Ecuación característica de Bessel 507

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 Para el caso de las GG.OO. sin pérdidas, la ecuación anterior, se reduce a:

 g    2   k c2

;

g = g+jg

 La solución a la ecuación de Bessel es de la forma:

R (r ) = Cn Jn ( kC r ) + Dn Nn ( kC r )

función de Bessel de orden n del primer tipo que representa una onda estacionaria (r < a).

función de Bessel de orden n del 2º tipo que representa una onda estacionaria (r > a). 508

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

La solución total para la ecuación de Helmholtz

RZ  = [Cn Jn (kC r) + Dn Nn (kC r)  An sen n  Bn cos n e

 j g z

509

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

2.2.1 Aplicando las condiciones de borde en la guía de ondas. En

r = 0, kc r = 0





Nn  

Dn = 0

Sobre el eje z, en r = 0 el campo debe ser

finito

  Cn Jn (kCr) An sen n  Bn cos n e

 j g z

510

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

Además,

  1  An  An sen n  Bn cos n  An  Bn cos n  tg     Fn cos n  Bn    2

2



  0 Jn (kCr) cos n e

 j g z

511

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

2.2.2 Modos TEnp n:

número de ciclos de  en dirección , en 2 radianes.

p:

número de ceros del campo E en dirección radial, excluyendo el origen.

Obs: Para los modos TEnp Ez =0



existe Hz 0

512

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo



II

La ecuación de onda es solución para Hz

Hz= Hoz Jn (kcr)

cos n e

 j g z

Solución a la cual se aplica condiciones de borde en el interior de la guía.

E =0

: campo tangencial

Hr =0

: campo radial

r=a 513

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 Considerando las ecuaciones de Maxwell

   xE   j   H

   xH  j   E

 Desarrolladas en coordenadas cilíndricas:

1 Ez E    j w  Hr r  z

1 H z H   j w  Er r  z

Er E z    j w  H z r

H z  j g Hr   j w  E r

1  rE  1 Er   j w  H z r r r 

1  1 H r rH   j w  Ez r r r  514

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES  Considerando EZ= 0 y

j w  1 H z Er   2 kC r 

Capítulo

II

  j g z

Hr   j

 g H z

kC r  g 1 H z H   j 2 kC r 

j w  H z E  2 r kC Ez  0

2

H z  conocido 

kC  w     g 2

2

2 515

Capítulo

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

II

 Las condiciones de borde implican:

E = 0

en r = a



Hr = 0

en r = a



H z r H z r

ra

ra

0

0

 Forzando esta condición en la expresión para Hz

H Z r

ra

 H OZ J’n (kca) cos n e



 j g z

0

J’n (kca) = 0. 516

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

Obs: J’n (kca) = J’n (kcr)

ra

 Esto se satisface para la secuencia infinita de J’(kca), es decir, los máximos y mínimos de las curvas J(kca).  Así, los valores permisibles de kc pueden ser escritos como:

kc 

X 'np a

X'np = kC a Ceros de J’n (kca) para los modos TEnp (Tabla 4-2-1 de Liao)

517

Capítulo

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

II

Ceros de J’n(kca) para los modos TEnp n

0

1

2

3

4

5

1

3.832

1.841

3.054

4.201

5.317

6.416

2

7.016

5.331

6.706

8.015

9.282

10.520

3

10.173

8.536

9.696

11.346

12.682

13.987

4

13.324

11.706

13.170

-----

-----

-----

p

(Tabla 4-2-1 de Liao) 518

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES



Capítulo

II

 Reemplazando adecuadamente, las expresiones para el campo E.M. son:

 X 'np Er  Eor J n   a

  j g z r  sen n e 

 X 'np E  Eo J 'n   a

  j g z r  cos n e 

Ez = 0 519

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 X 'np   j g z H r  H or J 'n  r  cos n e  a  Eo  X 'np   j g z  J 'n  r  cos n e Zg  a 

Eor  X 'np H  J n  Zg  a

  j g z  r  sen n e 

 X 'np H z  H oz J n   a

  j g z r  cos n e  520

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

donde

E Er Zg   H Hr

Impedancia de onda

Obs:  Con kc se puede calcular fc del modo de propagación.  Con el valor más pequeño de la tabla se obtiene fc del modo de dominante, que en este caso es el modo TE11.  Por lo general, se opera en el modo de dominante.

521

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

En el rango de frecuencia de corte del modo dominante y la frecuencia de corte del modo inmediatamente superior. En este caso:

TE11

TE21

f

 Si se trabaja con una frecuencia menor a la indicada por el modo dominante ( fc ), no existe transmisión.

Modo evanescente 522

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 Parámetros de importancia para los Modos TEnp a) Constante de fase:

 X 'np    g  w      a 

2

2

b) Frecuencia de corte:

fC 

X 'np 2a   523

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

c) Velocidad de fase:

V pg 

w

g



V pd  fC   1    f 

2

donde

V pd 

1



d) Longitud de onda:

g 

0  f  1   C   f 

2

524

Capítulo

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

II

e) Impedancia de onda en la guía:

Zg 

w

g



0  fC 1    f

  

2

donde

c 0  f

0 0   120  0

Obs.: 0 sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío.

525

Capítulo

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

II

2.2.3 Modos TMnp Obs:  El análisis es equivalente al caso anterior.  Debido a que en los modos TMnp no existe componente de campo magnético en dirección de propagación

Hz =0

 Ez   Ez 2

2



EZ  0

Ez  Eoz J n kC r cos n e

 j g z

526

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 Aplicando condiciones de borde, se obtiene:

Ez

ra

0

Xnp = kC a

 

Jn (kC a) = 0

kC 

X np a

Ceros de Jn (kCa) para los modos TMnp (Tabla 4-2-2 de Liao)

Las raices de Jn (Xnp) son infinitas.

527

Capítulo

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

II

Ceros de Jn(kca) para los modos TMnp n

0

1

2

3

4

5

1

2.405

3.832

5.136

6.380

7.588

8.771

2

5.520

7.106

8.417

9.761

11.065

12.339

3

8.645

10.173

11.620

13.015

14.372

-----

4

11.792

13.324

14.796

-----

-----

-----

p

(Tabla 4-2-2 de Liao) 528

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 De las ecuaciones de Maxwell y considerando

Hz = 0

y

   j g z

 X np Er  Eor J 'n   a

  j g z  r  cos n e 

 X np E  Eo J n   a

  j g z r  sen n e  529

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES  X np Ez  Eoz J n   a

Capítulo

II

  j g z r  cos n e 

 X np Hr  J 'n  Zg  a

  j g z r  sen n e 

 X np Eor H  J 'n  Zg  a

  j g z  r  cos n e 

Eo

Hz = 0 530

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

donde

E Er Zg   H Hr

Impedancia de onda

Obs:  Para estos modos, el modo dominante es el modo TM01.  Pero como TE11 es menor que TM01,.

El modo dominante para guías de onda circulares es el modo TE11. 531

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 Parámetros de importancia para los Modos TMnp a) Constante de fase:

 X np    g  w      a 

2

2

b) Frecuencia de corte:

fC 

X np 2 a   532

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

c) Velocidad de fase:

V pg 

V pd  fC 1   f 

   

2

donde

V pd 

1



533

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES d) Longitud de onda:

g 

Capítulo

II

0  fC  1     f 

2

e) Impedancia de onda en la guía:

g  fC  Zg   0 1    w  f 

2

Obs.: 0 sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío. 534

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

2.2.4 Potencia Transmitida en GG.OO. circulares.

1 Ptr  2Z g

Ptr 

Zg 2

2

a

  0

2

r

 E

2

 r dr d

 H

2

 r dr d

0

a

  0

E

2

H

2 r

0

Obs:  Con respecto a pérdidas de potencia. Idem a GG.OO. Rectangulares. 535

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

2.2.5 Analogía entre GG.OO. y Líneas de Tx. TEM. Existe una analogía entre las intensidades de campo E y H de las ondas TE-TM y los voltajes y corrientes de líneas de Tx., adecuadamente terminados (sin reflexión).

 Recordando las ecuaciones de Maxwell, en coordenadas rectangulares:

   xH  j w  E

   xE   j w  H 536

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II



 H z H y   j w  Ex y z

Ez E y    j w Hx y z





H x H z   j w Ey z x

E x E z    j w Hy z x





H y H x   j w  Ez x y

E y

Ex    j w Hz x y 537

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 Para las ondas TM Hz= 0



Existe Ez

H z H y   j w  Ex  0 y z



O bien,

(x E)z = 0 Es decir:  En el plano xy el campo eléctrico no tiene rotacional. 538

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 El voltaje a lo largo de un circuito cerrado es cero.

El campo eléctrico en este plano puede expresarse como el gradiente de algún potencial V.

V  Ex   x

V  Ey   y

Potencial

539

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 Ahora, si tomamos la ecuación  y se considera Hz = 0, queda:

H y z

  j w  Ex

y como

jw Ez Hy   2 kC x



V Ex   x

queda

  jw  E z  V  2    jw  z  kC x  x 540

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 Intercambiando el orden de derivación

    jw     2 E z    jw V    x x  z  kC    jw   2 E z    jw V  z  kC 

 dx

donde

jw Ez : 1 : 2 kC

Densidad de corriente longitudinal de desplazamiento [A/m2] [m2] 541

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

I z   j w V z

Capítulo

II

()

Corriente en la dirección z.  Esta ecuación es similar a la ecuación de la línea de Tx.

I   YV z

; Y : Admitancia paralela.

542

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 Ahora, si consideramos la ecuación  y se reemplaza nuevamente Hy, se obtiene:

 jw  E z  E x E z     j w    2  z x  x k C  

E x E z w2   E z   2 z x x kC  Arreglando se logra:

E x E z  w2        1 2  z x  kC  543

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 Esto se reemplaza en 

  V  E z   z  x  x

 w2       1 2  k  C  

 Cambiando el orden de derivación

 V   w2     Ez   1 2 x z x  kC 

 dx

 w2    V E  1  2  z z kC   544

Capítulo

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

II

 Arreglando 2    j w  Ez  V k C      jw  2   k z j w    C 

2  kC  V  Iz    jw   z j w   

( )

V  Z I z z 545

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

donde

Z  R  jwL

Z  jw 

1 jw

Impedancia

 /kc2



kC

:

2

Obs:

 Las ecuaciones ( ) y ( ) son las ecuaciones diferenciales de una línea de Tx. sin pérdidas. 546

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

2.2.6 Circuito equivalente a una línea de Tx. sin pérdidas para modo TM.

 /kc2

 /kc2 

 /kc2 

547

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

a) Modos TE ( Ez= 0):

 En este caso



H y x



H y y

 j w  Ez  0

(x H)z = 0

 Por tanto:  No existe rotacional para H en el plano xy.  El voltaje magnético a través de un camino cerrado es nulo. 548

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

Es posible definir en el plano xy un potencial escalar magnético U.



U Hx   x



U Hy   y

 Tomando la ecuación  y considerando Ez = 0



E y z

  j w Hx 549

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 sabiendo que:

j w  H z Ey  2 x kC

U Hx   x

  j w  H z  U     j w 2   z  kC x  x

550

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 Cambiando el orden de derivación se logra:

      j w     j w  U    H z   x x  z  kC 2     j w    j wU H z 2  z  kC 

 dx

Dimensión de corriente.

Tiene dimensiones de voltaje

V  j wU z

V  Z I z

551

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 

Capítulo

II

Considerando la ecuación  y reemplazando:

j w  H z Ex   2 y kC H z H y w2   H z   2 y z Y kC H y

H z   z y

 w2       1 2  k   C  552

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

 Reemplazando en  y cambiando el orden de derivación :

 w2      U    1    H z  2 y  z  y  kC 

 dx

U  w2       1 H z 2 z  kC   Se obtiene: 2    j w  k U C     jw    H z  2 z  j w   kC 

I  Y V z 553

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

2.2.7 Circuito equivalente a una línea de Tx. sin pérdidas para modo TE.



   /kc2

   /kc2

554

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

2.2.8 Configuración de campos EM y métodos de excitación de modos en GG.OO. Circulares.

555

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

556

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo

II

557

GUÍAS RECTANGULARES Modo dominante  La frecuencia de corte más baja para una guía rectangular en donde a > b, siempre es la frecuencia de corte del modo TE10.  Después sigue la de los modos TE20 o TE01 o TE11 y TM11, dependiendo de las magnitudes de a y b.  Por lo tanto, siempre hay un rango de frecuencias en el que solamente se propaga el modo TE10. Por esta razón se le llama modo dominante. 558

GUÍAS CIRCULARES

 Para analizar la propagación de los modos en una guía de ondas circular, es conveniente emplear un sistema de coordenadas cilíndricas. Modos TE  Al transformar la ecuación diferencial que se debe resolver para los modos TE a coordenadas cilíndricas se obtiene 2 1   H z  1  H z 2 2 r   (     )H z  0   2 2 r r  r  r  559

GUÍAS CIRCULARES Modos TE  La solución general de esta ecuación es de la forma H z  [A J m (hr)  B Ym (hr)][C cos m  D sen m ]e

 

z

donde A, B, C y D son constantes, Jm(hr) y Ym(hr) son las funciones de Bessel de primera y segunda clase respectivamente, y de orden m. B debe ser cero porque Ym(hr) → -∞ cuando r → 0. Sólo es necesario utilizar alguna de las funciones cosm o senm, según la referencia para  = 0. 560

GUÍAS CIRCULARES Modos TE  Utilizando cosm, la solución final es H z  A 0 J m (hr ) cos m  Además se obtiene la relación h 2   2   2  .  Las demás componentes se determinan con H z  1   H z  1  E r  2  j E  2  j   r r  h  H z  1  H r  2  j r  h 

h 

1 H  2 h

r 

  H z   j r     561

GUÍAS CIRCULARES Modos TE  Aplicando las condiciones de frontera tenemos que E = 0 en r = a. Esto conduce a que se debe cumplir con ' J m (ha)  0

 Si designamos a las raíces de la ecuación anterior como smn, entonces ha = smn, es decir, h = smn/a.

562

GUÍAS CIRCULARES Modos TE  Por lo tanto, la constante de propagación se obtiene con 2  smn  2 2 2 2   h           a 

 Habrá propagación en la guía a partir de la

frecuencia en la que  sea imaginaria pura, es decir,   smn smnv f cmn  cmn a  2a 563

GUÍAS CIRCULARES Modos TE '  Raíces de J m (ha)  0 n=1 n=2 n=3 m = 0 3.832 7.016 10.173 m = 1 1.841 5.331 8.536 m=2

3.054 6.706

9.969

 El primer modo TE que se propaga es el TE11. 564

GUÍAS CIRCULARES Modos TM  Al transformar la ecuación diferencial que se debe resolver para los modos TM a coordenadas cilíndricas se obtiene

1   E z  1  2 E z 2 2 r   (     )E z  0   2 2 r r  r  r 

565

GUÍAS CIRCULARES Modos TM  La solución general es de la forma E z  [A J m (hr)  B Ym (hr)][C cos m  D sen m ]e z

 Nuevamente B debe ser cero porque Ym(hr) → -∞



cuando r → 0. De la misma manera, sólo es necesario utilizar alguna de las funciones cosm o senm, según la referencia para  = 0. 566

GUÍAS CIRCULARES Modos TM  Utilizando cosm, la solución final es E z  A 0 J m (hr ) cos m  Las demás componentes se determinan con E z  1  E r  2  j r  h 

1 Hr  2 h

  E z   j r    

1   E z  E  2  j  r   h   1 H  2 h

E z    j r    567

GUÍAS CIRCULARES Modos TM  Aplicando las condiciones de frontera tenemos que Ez = 0 en r = a. Esto conduce a que se debe cumplir con J m (ha )  0

 Si designamos a las raíces de la ecuación anterior como tmn, entonces ha = tmn, es decir, h = tmn/a.

568

GUÍAS CIRCULARES Modos TM  Por lo tanto, la constante de propagación se obtiene con 2  t mn  2 2 2   h         2   a   Habrá propagación en la guía a partir de la frecuencia en la que  sea imaginaria pura, es decir,   t mn t mnv f cmn  cmn a  2a 569

GUÍAS CIRCULARES Modos TM  Raíces de J m (ha )  0 n=1 n=2 n=3 m = 0 2.405 5.520 8.654 m = 1 3.832 7.016 10.173 m=2

5.136 8.417 11.620

 El primer modo TM que se propaga es el TM01. ¿Cuál es el modo dominante en una guía circular? 570

LABORATORIO: FERRITAS: SINTONIA CON ANTENAS Arme el circuito de la figura el primario con una antena de ferrita como transmisor y una antena ferrita, las dos antenas están paralelas y los más cercanas posible. La antena emisora, que opera con una señal senoidal 5 Vpp/1 Mhz. La antena sensor tiene un varistor o trimmer de 50 pfd de en paralelo para sintonizarla.

571

572