Curs - Analiza Numerica
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Curs - Analiza Numerica as PDF for free.
More details
- Words: 88,483
- Pages: 288
Cuprins I
INTERPOLARE S ¸ I APLICAT ¸ II
7
1 Diferent¸e finite 1.1 Diferent¸e finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ecuat¸ia cu diferent¸e liniar˘a . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Sistem fundamental de solut¸ii . . . . . . . . . . . 1.2.2 Determinarea unui sistem fundamental de solut¸ii 1.2.3 Solut¸ia ecuat¸iei cu diferent¸e neomogen˘a . . . . . 1.3 Transformarea z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Elemente din teoria interpol˘ arii 2.1 Sisteme Cebˆı¸sev . . . . . . . . . 2.2 Interpolare Lagrange . . . . . . 2.3 Interpolarea Lagrange-Hermite 2.4 Diferent¸e divizate . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
8 8 11 11 14 17 18
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
24 24 29 30 35
3 Convergent¸a procedeelor de interpolare 3.1 Spat¸ii liniar ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Interpolare ¸si aproximare . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Divergent¸a interpol˘arii Lagrange . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Stat¸iu topologic Baire . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Principiul condens˘arii singularit˘a¸tilor . . . . . . . 3.3.3 Norma operatorilor integrali . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Norma operatorului Fourier . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Divergent¸a polinoamelor de interpolare Lagrange
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
47 47 50 51 51 54 55 56 58
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
4 Formule de derivare numeric˘ a 64 4.1 Aproximarea derivatei prin diferent¸e . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2 Aproximarea derivatei prin interpolare . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5 Formule de integrare numeric˘ a 68 5.1 Natura aproxim˘arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2 Formule de tip Newton - Cˆotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2
3
CUPRINS
5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
Formula trapezului . . . . . . . . . . . . . . . . Formula lui Simpson . . . . . . . . . . . . . . . Formule de tip Gauss . . . . . . . . . . . . . . . Formula dreptunghiului (n = 1). . . . . . . . . Cazuri speciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Formula de integrare numeric˘a Lobatto 5.7.2 Formula de integrare numeric˘a Radau .
6 Rezolvarea problemelor Cauchy 6.1 Metode de discretizare . . . . . . . . . 6.2 Scheme de calcul de tip Runge - Kutta 6.3 Scheme de calcul de tip Adams . . . . 6.4 Schema de calcul predictor - corector . 6.5 A-stabilitatea schemelor de calcul . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
72 75 77 82 83 83 85
. . . . .
89 89 96 100 103 106
7 Metoda celor mai mici p˘ atrate 114 7.1 Determinarea unui polinom de aproximare . . . . . . . . . . . . . . 114 7.2 Polinom trigonometric de aproximare . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 8 Polinoame trigonometrice 119 8.1 O problem˘a de interpolare trigonometric˘a . . . . . . . . . . . . . . 119 8.2 Calculul coeficient¸ilor Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9 Transformarea Fourier discret˘ a 9.1 Transformata Fourier discret˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Algoritmul transform˘arii Fourier discret˘a rapid˘a . . . . . . . . 9.3 Aplicat¸ii ale transformatei Fourier discret˘a . . . . . . . . . . . 9.3.1 Calculul coeficient¸ilor Fourier . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Calculul coeficient¸ilor Laurent . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Determinarea funct¸iei analitice cunoscˆand partea real˘a 9.3.4 Calculul integralei Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
126 . 126 . 129 . 130 . 130 . 131 . 132 . 133
10 Funct¸ii spline cubice 136 10.1 Interpolare cu funct¸ii spline cubice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
II
˘ METODE NUMERICE ˆIN ALGEBRA LINIARA
144
11 Elemente de analiz˘ a matriceal˘ a 145 11.1 Definit¸ii, notat¸ii, propriet˘a¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4
CUPRINS
12 Rezolvarea sistem. algebrice liniare 12.1 Metoda Gauss - Jordan . . . . . . . . . 12.2 Inversarea unei matrice . . . . . . . . . 12.3 Metoda lui Gauss – Factorizarea LU . . 12.4 Factorizarea Cholesky . . . . . . . . . . 12.5 Rezolvarea sistemelor tridiagonale . . . 12.6 Metode iterative . . . . . . . . . . . . . 12.7 Num˘arul de condit¸ionare al unei matrice 13 Transformarea Householder 13.1 Transformata Householder . . . 13.2 Descompunerea QR . . . . . . 13.3 Cea mai bun˘a aproximat¸ie . . . 13.4 Metoda celor mai mici p˘atrate 13.5 Bidiagonalizarea unei matrice . 13.6 Reducerea la forma Hessenberg
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
152 . 153 . 156 . 157 . 167 . 169 . 170 . 175
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
178 . 178 . 180 . 182 . 187 . 188 . 190
14 Valori ¸si vectori proprii 14.1 Forma normal˘a Schur . . . . . . 14.2 Diagonalizarea unei matrice . . . 14.3 Descompunerea valorii singulare 14.4 Raza spectral˘a a unei matrice . . 14.5 Metoda puterii . . . . . . . . . . 14.6 Algoritmul QR . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
191 191 194 196 197 201 201
15 Descompunerea valorii singulare 206 15.1 Descompunerea valorii singulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 15.2 Metoda celor mai mici p˘atrate prin DVS . . . . . . . . . . . . . . . 209 16 Spat¸ii Krylov 16.1 Definit¸ia spat¸iului Krylov . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Descompunerea Arnoldi . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Rezolvarea sistemelor algebrice de ecuat¸ii liniare . 16.3.1 Varianta Ritz-Galerkin . . . . . . . . . . . . 16.3.2 Varianta reziduului minimal . . . . . . . . . 16.4 Calculul valorilor ¸si vectorilor propri . . . . . . . . 16.5 Calculul elementului de cea mai bun˘a aproximat¸ie
III
. . . . . . .
REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
211 . 211 . 211 . 213 . 214 . 215 . 215 . 216
217
17 Rezolvarea ecuat¸iilor neliniare 218 17.1 Preliminarii de analiz˘a funct¸ional˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5
CUPRINS
17.2 17.3 17.4 17.5 17.6
IV
Metoda liniariz˘arii . . . . . . . . . . . . Metoda liniariz˘arii modificat˘a . . . . . . Rezolvarea sistemelor algebrice neliniare Rezolvarea ecuat¸iilor algebrice . . . . . . Rezolvarea ecuat¸iilor polinomiale . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR PRIN OPTIMIZARE
18 Elemente din teoria optimiz˘ arii 18.1 Funct¸ionale diferent¸iabile . . . . . . . . 18.2 Funct¸ionale convexe . . . . . . . . . . . 18.3 Propriet˘a¸ti ale problemei de optimizare 18.4 Metode de descre¸stere . . . . . . . . . . 18.5 Metoda gradientului . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
222 227 228 230 236
242
. . . . .
. . . . .
243 243 245 248 249 250
19 Rezolvarea ecuat¸iilor prin optimizare 253 19.1 Rezolvarea unui sistem neliniar printr-o metod˘a de optimizare . . . 253 19.2 Sisteme algebrice liniare ˆın sensul celor mai mici p˘atrate . . . . . . 254 19.3 Rezolvarea unei ecuat¸ii liniare prin metode de optimizare . . . . . 255
V
ANEXE
A Not¸iuni de teoria erorilor A.1 Eroare absolut˘a ¸si eroare relativ˘a . . . . . . A.2 Reprezentarea numerelor ˆın virgul˘a mobil˘a . A.3 Aritmetica numerelor ˆın virgul˘a mobil˘a . . A.4 Protocolul IEEE 754 . . . . . . . . . . . . . A.5 Controlul erorii . . . . . . . . . . . . . . . .
256
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
257 . 257 . 258 . 259 . 260 . 262
B Implementarea metodelor iterative
266
C Determinarea unor parametri numerici
268
D Ordinul de convergent¸˘ a al unui ¸sir
271
E Determinarea ordinelor de convergent¸˘ a
272
F Scheme Runge-Kutta deduse prin calcul simbolic 277 F.1 Schema de calcul explicit˘a de tip Runge – Kutta ˆın 4 trepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6
CUPRINS
F.2 Schema de calcul implicit˘a de tip Runge – Kutta ˆın 2 trepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 G Reprezentarea mult¸imii de A-stabilitate
285
Bibliografie
287
Partea I
INTERPOLARE S ¸I APLICAT ¸ II
7
Capitolul 1
Diferent¸e finite 1.1
Diferent¸e finite
Diferent¸ele finite stau la baza multor metode de calcul numeric privind integrarea ¸si derivarea numeric˘a, integrarea ecuat¸iilor diferent¸iale ordinare ¸si cu derivate part¸iale. Funct¸iile care intervin ˆın acest capitol sunt funct¸ii reale de o variabil˘a real˘a. Printr-o diferent¸˘a finit˘a de ˆınt¸elege un operator de forma Γh f (x) = Af (x + ah) − Bf (x + bh)
(1.1)
unde A, B, a, b sunt constante reale. Se observ˘a caracterul liniar al operatorului Γh (λf + µg) = λΓh f + µΓh g. Diferent¸ele finite de ordin superior se introduc recursiv Γ0h f
= f
Γnh f
= Γh (Γn−1 h f ),
n > 1.
Diferent¸ele finite uzuale sunt: • diferent¸a finit˘a progresiv˘a 4h f (x) = f (x + h) − f (x); • diferent¸a finit˘a regresiv˘a ∇h f (x) = f (x) − f (x − h); • diferent¸a finit˘a centrat˘a δh f (x) = f (x + 8
h h ) − f (x − ). 2 2
9
1.1. DIFERENT ¸ E FINITE
ˆIn cele ce urmeaz˘a vom studia doar diferent¸ele finite uzuale. Formulele explicite de calcul ale unei diferent¸e finite de ordin superior sunt Teorema 1.1.1 Au loc egalit˘ a¸tile: n (−1)n−k f (x + kh); k=0 k Pn n n (ii) ∇h f (x) = k=0 (−1)k f (x − kh); k Pn n (iii) f (x + nh) = k=0 4kh f (x); k Pn n (−1)k ∇kh f (x). (iv) f (x − nh) = k=0 k (i)
4nh f (x) =
Pn
(1.2)
Demonstrat¸ie. 4nh f (x) se exprim˘a ca o combinat¸ie liniar˘a a valorilor lui f ˆın x, x + h, . . . , x + nh, adic˘a are loc o formul˘a de forma 4nh f (x) =
n X
Ak f (x + kh).
k=0
Pentru determinarea coeficient¸ilor (Ak )0≤k≤n , alegem f (x) = ex ¸si atunci ex (eh − 1)n =
n X
Ak ex+kh .
k=0
Dezvoltˆand binomul din membrul stˆang g˘asim n n X X n Ak ex+kh . (−1)n−k ex+kh = k k=0
k=0
n Identificˆand coeficient¸ii lui g˘asim Ak = (−1)n−k , adic˘a relat¸ia (i). k ˆIn mod asem˘an˘ator se pot justifica ¸si celelelte relat¸ii. Stabilim o serie de propriet˘a¸ti ale diferent¸ei finit˘a progresiv˘a. Rezultate asem˘an˘atoare se pot deduce ¸si pentru celelalte diferent¸e finite. ex+kh
Teorema 1.1.2 (Teorema de medie) Dac˘ a funct¸ia f este derivabil˘ a de ordin n atunci exist˘ a c ∈ (x, x + nh) astfel ˆıncˆ at 4nh f (x) = hn f (n) (c).
(1.3)
10
CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE
Demonstrat¸ie. Prin indut¸ie matematic˘a dup˘a n, pentru n = 1, utilizˆand teorema de medie a lui Lagrange avem succesiv 4h f (x) = f (x + h) − f (x) = hf 0 (c)
x < c < x + h.
Presupunem relat¸ia (1.3) adev˘arat˘a pentru diferent¸ele de ordin n−1. Dac˘a g(x) = f (x) 4n−1 n hn−1
atunci 4h (4hn−1 f (x)) 4nh f (x) = = hn hn
n−1 4h f (x+h) hn−1
− h
n−1 4h f (x) hn−1
=
f (x) d 4n−1 g(x + h) − g(x) = g 0 (˜ c) = [ h n−1 ]|x=˜c h dx h unde x < c˜ < x + h. Deoarece operatorul de derivare comut˘a cu operatorul de diferent¸˘a finit˘a, rezult˘a c˘a =
0 4n−1 4nh f (x) d 4hn−1 f (x) h f (x) = [ ]| = |x=˜c . x=˜ c hn dx hn−1 hn−1 Utilizˆand ipoteza induct¸iei,
4hn−1 f 0 (x) 4nh f (x) = |x=˜c = (f 0 )(n−1) (c) = f (n) (c), hn hn−1 unde x < c˜ < c < c˜ + (n − 1)h < x + nh. Observat¸ie 1.1.1 Presupunˆand c˘a funct¸ia f are derivata de ordinul n continu˘a, pentru h → 0, din (1.3) rezult˘a 4n f (x) lim h n = f (n) (x). (1.4) h→0 h Diferent¸a finit˘a progresiv˘a de ordin superior pentru produsul a dou˘a funct¸ii generalizeaz˘a formula lui Leibniz Teorema 1.1.3 (Formula lui Leibniz) Are loc formula: n X n n 4kh f (x)4hn−k g(x + kh) 4h f (x)g(x) = k
(1.5)
k=0
Demonstrat¸ia teoremei se face prin induct¸ie matematic˘a dup˘a n. Observat¸ie 1.1.2 S˘a presupunem c˘a funct¸iile f, g au derivata de ordinul n continu˘a. ˆImp˘art¸ind (1.5) la hn ¸si utilizˆand Observat¸ia 1.1.1, pentru h → 0, obt¸inem n X n (n) (1.6) (f (x)g(x)) = f (k) (x)g (n−k) (x). k k=0
11
˘ 1.2. ECUAT ¸ IA CU DIFERENT ¸ E LINIARA
1.2
Ecuat¸ia cu diferent¸e liniar˘ a ¸si cu coeficient¸i constant¸i
Consider˘am ecuat¸ia cu diferent¸e (h = 1) αp 4p u(n) + αp−1 4p−1 u(n) + . . . + α1 4u(n) + α0 u(n) = fn+p
∀n ∈ N.
unde necunoscut˘a este funct¸ia u : N → R, iar coeficient¸ii α0 , . . . , αp sunt constante reale. Explicitˆand diferent¸ele finite progresive ˆın funct¸ie de valorile funct¸iei (1.2) obt¸inem ap un+p + ap−1 un+p−1 + . . . + a1 un+1 + a0 un = fn+p
n ∈ N,
(1.7)
unde un = u(n). Presupunem c˘a a0 · ap 6= 0. ˆIn cele ce urmeaz˘a, numim (1.7) ecuat¸ie cu diferent¸e liniar˘a ¸si cu coeficient¸i constant¸i, de ordin p ¸si se cere solut¸ia care verific˘a ˆın plus condit¸iile init¸iale u0 = v0 u1 = v1 ... up−1 = vp−1
(1.8)
Teorema 1.2.1 Exist˘ a cel mult o solut¸ie a ecuat¸iei cu diferent¸e (1.7) care verific˘ a condit¸iile (1.8). ˆIn prealabil studiem ecuat¸ia cu diferent¸e omogen˘a, liniar˘a ¸si cu coeficient¸i constant¸i ap un+p + ap−1 un+p−1 + . . . + a1 un+1 + a0 un = 0
n ∈ N,
(1.9)
Teorema 1.2.2 Mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei cu diferent¸e omogen˘ a, liniar˘ a ¸si cu coeficient¸i constant¸i formeaz˘ a un spat¸iu liniar.
1.2.1
Sistem fundamental de solut¸ii
Teoria ecuat¸iei cu diferent¸e omogen˘a, liniar˘a ¸si cu coeficient¸i constant¸i este asem˘an˘atoare cu cea a ecuat¸iei diferent¸iale liniar˘a, omogen˘a ¸si cu coeficient¸i constant¸i. Definit¸ie 1.2.1 S ¸ irurile (u1n )n∈N , . . . , (upn )n∈N sunt liniar independente dac˘ a rela¸tiile λ1 u1n + . . . + λp upn = 0, ∀n ∈ N implic˘ a λ1 = . . . = λp = 0.
12
CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE
Teorema 1.2.3 S ¸ irurile (u1n )n∈N , . . . , (upn )n∈N , solut¸ii ale ecuat¸iei (1.9) sunt liniar independene dac˘ a ¸si numai dac˘ a au loc relat¸iile u1n ... upn u1n+1 . . . upn+1 6= 0, 4n = ∀n ∈ N. (1.10) ... . . . ... p u1 n+p−1 . . . un+p−1 Demonstrat¸ie. Presupunem prin absurd c˘a exist˘a n ∈ N astfel ˆıncˆat 4n = 0. Atunci sistemul algebric de ecuat¸ii liniare ¸si omogene λ1 u1n + ... + λp upn =0 p 1 λ1 un+1 + . . . + λp un+1 = 0 ... ... ... ... λ1 u1n+p−1 + . . . + λp upn+p−1 = 0
(1.11)
ˆın necunoscutele λ1 , . . . , λp , admite o solut¸ie nebanal˘a notat˘a la fel. ˆInmult¸ind ecuat¸iile sistemului, respectiv cu − a0 , . . . , − ap−1 ¸si sumˆand egalit˘ a¸tile ap ap astfel obt¸inute, rezult˘a λ1 (−
p−1 p−1 1 X 1 X ai u1n+i ) + . . . λp (− ai upn+i ) = 0. ap ap i=0
Deoarece potrivit ipotezei, ¸sirurile (ujk )k∈N , cu diferent¸e (1.9), ultima egalitate devine
i=0
j = 1, . . . , p sunt solut¸ii ale ecuat¸iei
λ1 u1n+p + . . . + λp upn+p = 0. Observ˘am c˘a aceast˘a egalitate completeaz˘a relat¸iile sistemului (1.11). Reluˆand a ˆınmult¸irea ultimelor p egalit˘a¸ti, respectiv prin − aap0 , . . . , − p−1 si adunarea lor ap ¸ deducem λ1 u1m + . . . + λp upm = 0 ∀m ≥ n. Procedˆand asem˘an˘ator, ˆınmult¸im ecuat¸iile sistemului (1.11), respectiv cu a − aa01 , . . . , − ap0 ¸si sumˆand egalit˘a¸tile astfel obt¸inute, g˘asim p p 1 X 1 X 1 λ1 (− ai un+i−1 ) + . . . λp (− ai upn+i−1 ) = 0, a0 a0 i=1
i=1
sau λ1 u1n−1 + . . . + λp upn−1 = 0. Repetˆand, deducem λ1 u1m + . . . + λp upm = 0 ∀m ≤ n.
13
˘ 1.2. ECUAT ¸ IA CU DIFERENT ¸ E LINIARA
ˆIn felul acesta contrazicem liniar independen¸aa ¸sirurilor. Reciproc, presupunem prin absurd c˘a ¸sirurile (ujk )k∈N , j = 1, . . . , p nu sunt liniar independente, existˆand constantele λ1 , . . . , λp , nu toate nule astfel ˆıncˆat λ1 u1n + . . . + λp upn = 0,
∀n ∈ N.
Pentru orice n ∈ N, sistemul (1.11) are o solut¸ie nebanal˘a, deci 4n = 0, ceea ce nu se poate. Definit¸ie 1.2.2 p ¸siruri solut¸ii ale ecuat¸iei (1.9) ¸si liniar independente formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii. Important¸a unui sistem fundamental este reliefat˘a ˆın a un sistem fundamental Teorema 1.2.4 Dac˘ a (ujk )k∈N , j = 1, . . . , p formeaz˘ de solut¸ii pentru ecuat¸ia cu diferent¸e (1.9) atunci pentru orice alt˘ a solut¸ie (uk )k∈N a ei, exist˘ a constantele c1 , . . . , cp astfel ˆıncˆ at un = c1 u1n + . . . + cp upn ,
∀n ∈ N.
Demonstrat¸ie. Consider˘am sistemul algebric de ecuat¸ii liniare ˆın necunoscutele c1 , . . . , cp = u0 c1 u10 + . . . + cp up0 1 = u1 c1 u1 + . . . + cp up1 (1.12) ... ... ... ... c1 u1p−1 + . . . + cp upp−1 = up−1 Determinantul sistemului fiind diferit de 0, sistemul (1.12) admite o solut¸ie unic˘a notat˘a tot c1 , . . . , cp . ˆInmult¸ind ecuat¸iile sistemului (1.12) respectiv cu − a0 , − a1 , . . . , − ap−1 ¸si sumˆand ap ap ap egalit˘a¸tile astfel obt¸inute deducem c1 (−
p−1 p−1 p−1 1 X 1 X 1 X ak u1k ) + . . . + cp (− ak upk ) = − ak uk , ap ap ap k=0
k=0
k=0
sau c1 u1p + . . . + cp upp = up . Repetˆand rat¸ionamentul, din aproape ˆın aproape obt¸inem un = c1 u1n + . . . + cp upn ,
∀n ∈ N.
(1.13)
14
CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE
1.2.2
Determinarea unui sistem fundamental de solut¸ii
C˘aut˘am solut¸ii ale ecuat¸iei cu diferent¸e omogene (1.9) sub forma unei progresii geometrice uk = xk , k ∈ N. Rezult˘a c˘a x trebuie s˘a fie r˘ad˘acina polinomului caracteristic f (x) = ap xp + ap−1 xp−1 + . . . + a1 x + a0 . Not˘am prin x1 , . . . , xp r˘ad˘acinile acestui polinom. Cazul r˘ ad˘ acinilor distincte dou˘ a cˆ ate dou˘ a. Teorema 1.2.5 Dac˘ a x1 , . . . , xp sunt r˘ ad˘ acini distincte dou˘ a cˆ ate dou˘ a ale polinomului caracteristic atunci ¸sirurile (xn1 )n∈N , . . . , (xnp )n∈N formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii pentru ecuat¸ia cu diferent¸e omogem˘ a (1.9). Demonstrat¸ie. Verific˘am condit¸ia de liniar independent¸˘a, dat˘a ˆın Teorema 1.2.3, a celor p ¸siruri. n x1 . . . xnp n+1 n+1 x1 . . . x p = 4n = . ... ... . .n+p−1 n+p−1 x . . . x p 1 Y = (x1 · . . . · xp )n V (x1 , . . . , xp ) = (x1 · . . . · xp )n (xi − xj ) 6= 0. 1≤j
Cazul r˘ ad˘ acinilor multiple. Stabilim un rezultat ajut˘ator Teorema 1.2.6 Dac˘ a f (x) este polinomul caracteristic ¸si ϕ : N → R este o funct¸ie oarecare atunci ap xn+p ϕ(n + p) + ap−1 xn+p−1 ϕ(n + p − 1) + . . . + a0 xn ϕ(n) = = xn [f (x)ϕ(n) +
1 0 1 xf (x)4ϕ(n) + . . . xp f (p) 4p ϕ(n)]. 1! p!
Demonstrat¸ie. Utilizˆand relat¸ia (iii) de la (1.2) au loc egalit˘a¸tile ϕ(n) = ϕ(n) 1 ϕ(n + 1) = ϕ(n) + 0 2 ϕ(n + 2) = ϕ(n) + 0 .. . p ϕ(n + p) = ϕ(n) + 0
1 1
2 1
p 1
4ϕ(n)
2 2
p 2
4ϕ(n) +
4ϕ(n) + ... +
42 ϕ(n)
42 ϕ(n) + . . . p 4p ϕ(n) p
15
˘ 1.2. ECUAT ¸ IA CU DIFERENT ¸ E LINIARA
pe care le ˆınmult¸im respectiv cu a0 xn , a1 xn+1 , a2 xn+2 , . . . , ap xn+p ¸si le ˆınsum˘am, obt¸inˆand p p X X n+k n ak x ϕ(n + k) = x bk (x)4k ϕ(n), k=0
k=0
unde p p X xk X xk (k) j j aj x = j(j − 1) · . . . · (j − k + 1)xj−k = bk (x) = f (x). k k! k! j=k
j=k
ˆIn consecint¸˘a, dac˘a x este o r˘ad˘acin˘a a polinomului caracteristic, avˆand ordinul de multiplicitate r atunci ¸sirul (xn ϕ(n))n∈N , cu ϕ(n) polinom de grad cel mult r − 1, este solut¸ie a ecuat¸iei cu diferent¸e (1.9). Mai mult, Teorema 1.2.7 Dac˘ a x1 , x2 , . . . , xk sunt r˘ ad˘ acinile polinomului caracteristic, avˆ and respectiv ordinele de multiplicitate r1 , r2 , . . . , rk , (r1 + r2 + . . . + rk = p), atunci ¸sirurile (xn1 )n∈N (nxn1 )n∈N . . . (nr1 −1 xn1 )n∈N (xn2 )n∈N (nxn2 )n∈N . . . (nr2 −1 xn2 )n∈N ... ... ... ... (xnk )n∈N (nxnk )n∈N . . . (nrk −1 xnk )n∈N formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii pentru ecuat¸ia cu diferent¸e omogen˘ a (1.9). Demonstrat¸ie. Presupunem prin absurd c˘a ¸sirurile (xni )n∈N , (nxni )n∈N , . . . , (nri −1 xni )n∈N ,
1≤i≤k
sunt liniar dependente. Atunci exist˘a constantele Ci,0 , Ci,1 , . . . , Ci,ri −1 , 1 ≤ i ≤ k nu toate nule, astfel ˆıncˆat k X
(Ci,0 xni + Ci,1 nxni + . . . + Ci,ri −1 nri −1 xni ) = 0,
∀n ∈ N,
i=1
sau
k X
xni Pi (n) = 0,
∀n ∈ N,
(1.14)
i=1
unde Pi (n) = Ci,0 + Ci,1 n + . . . + Ci,ri −1 nri −1 . Potrivit presupunerii f˘acute, polinoamele Pi (n), i = 1, . . . , k nu sunt toate identic nule. Putem presupune c˘a toate polinoamele care apar ˆın relat¸ia (1.14) sunt neidentic nule.
16
CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE
ˆImp˘art¸ind (1.14) prin xn rezut˘a 1 P1 (n) +
x n 2
x1
P2 (n) + . . . +
x n k
x1
∀n ∈ N.
Pk (n) = 0,
(1.15)
Aplicˆand relat¸iei (1.15) diferent¸a1 4n deducem x n 2
x1
P2,1 (n) + . . . +
x n k
x1
∀n ∈ N,
Pk,1 (n) = 0,
unde polinoamele Pi,1 i = 2, . . . , k au gradele respectiv egale cu ale polinoamelor Pi i = 2, . . . , k. Repetˆand rat¸ionamentul de mai sus de k − 1 ori deducem egalitatea x n k Pk,k−1 (n) = 0 ∀n ∈ N. xk−1 Pe de-o parte rezult˘a c˘a polinomul Pk,k−1 este identic nul, iar pe de alt˘a parte este neidentic nul. Contradict¸ia ap˘arut˘a justific˘a afirmat¸ia teoremei. Exemplul 1.2.1 S ¸ irul lui Fibonacci este definit prin ecuat¸ia cu diferent¸e un+2 − un+1 − un = 0,
∀n ∈ N.
(1.16)
Polinomul caracteristic este f (x) = x2 − x − 1 ¸si are r˘ad˘acinile termenului general al ¸sirului definit de (1.16) este
√ 1± 5 2 .
Formula
√ √ 1− 5 n 1+ 5 n ) + C2 ( ) . un = C1 ( 2 2 Dac˘a impunem condit¸iile init¸iale u0 = u1 = 1 atunci coeficient¸ii C1 , C2 rezult˘ a din sistemul u0 = C1 + C2 = 1 √ √ 1− 5 1+ 5 u1 = C1 + C2 = 1. 2 2 Rezolvˆand sistemul de mai sus, se obt¸ine C1 =
√ 1+√ 5 , 2 5
C2 =
√ 1−√ 5 . 2 5
# " √ √ 1 1 + 5 n+1 1 − 5 n+1 ) −( ) . un = √ ( 2 2 5 1
Prin urmare
(1.17)
Pentru a 6= 1 ¸si ϕ polinom are loc 4an ϕ(n) = an (aϕ(n + 1) − ϕ(n)) unde aϕ(n + 1) − ϕ(n) este un polinom de acela¸si grad cu ϕ.
17
˘ 1.2. ECUAT ¸ IA CU DIFERENT ¸ E LINIARA
1.2.3
Solut¸ia ecuat¸iei cu diferent¸e neomogen˘ a
Suntem ˆın m˘asur˘a s˘a solut¸ion˘am problema determinat˘a de ecuat¸ia cu diferent¸e neomogen˘a, liniar˘a ¸si cu coeficoent¸i constant¸i (1.7) cu condit¸iile init¸iale (1.8). Teorema 1.2.8 Dac˘ a (ukn )n∈N , k = 0, 1, . . . , p−1 formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii pentru ecuat¸ia cu diferent¸e omogen˘ a care satisfac condit¸iile init¸iale ukn = δk,n , k, n ∈ {0, 1, . . . , p − 1} atunci solut¸ia problemei (1.7)-(1.8) este p−1 X
un =
vi uin
i=0
n−p 1 X p−1 fk+p un−k−1 , + ap
∀n ∈ N.
(1.18)
k=0
Se presupune c˘ a fk = 0 pentru k < p; ukn = 0 pentru n < 0, k = 0, 1, . . . , p − 1.
(1.19)
Pp−1 i Demonstrat¸ie. S¸irul (zn )n∈N definit prin zn = ¸ie a i=0 vi un este o solut ecuat¸iei cu diferent¸e omogen˘a care verific˘a condit¸iile init ¸iale (1.8). P n−p Verific˘am c˘a ¸sirul (wn )n∈N definit prin wn = a1p k=0 fk+p up−1 n−k−1 este o solut¸ie a ecuat¸iei cu diferent¸e neomogen˘a (1.7) care satisface condit¸iile init¸iale omogene wn = 0, pentru n = 0, 1, . . . , p − 1. Dac˘a n ∈ {0, 1, . . . , p−1} atunci pentru k = −1, −2, . . . , n−p au loc egalitatea fk+p = 0 ¸si ˆın consecint¸˘a 1 wn = fp up−1 n−1 = 0, ap datorit˘a condit¸iilor init¸iale verificate de ¸sirul (up−1 n )n∈Z . Utilizˆand (1.19), au loc egalit˘a¸tile n−p ∞ 1 X 1 X fk+p up−1 = fk+p up−1 n−k−1 n−k−1 . ap ap
wn =
k=0
Atunci
p X
aj wn+j
j=0
1 = ap
p X j=0
aj
k=−∞
p ∞ X 1 X = aj fk+p up−1 n+j−k−1 = ap j=0
n X
fk+p up−1 n+j−k−1
k=0
k=−∞
p n X 1 X = fk+p aj up−1 n+j−k−1 . ap k=0
j=0
Pentru k = 0, 1, . . . , n − 1, deoarece ¸sirul (up−1 ¸ie a ecuat¸iei cu n )n∈Z este solut diferent¸e omogen˘a (1.9), au loc egalit˘a¸tile p X j=0
p−1 aj un+j−k−1 =0
18
CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE
iar pentru k = n, din condit¸iile init¸iale verificate de acela¸si ¸sir, are loc p X
p−1 aj uj−1 = ap .
j=0
ˆIn consecint¸˘a Pp aj wn+j = j=0
1.3
1 ap fn+p ap
= fn+p .
Transformarea z
Fie S mult¸imea ¸sirurilor de numere complexe x = (xn )n∈Z . Dac˘a xn = 0, ∀n < 0 atunci ¸sirul x se nume¸ste cu suport pozitiv. Mult¸imea acestor ¸siruri se noteaz˘ a cu S + . 0 n<0 Exemplul 1.3.1 u = (un )n∈Z , cu un = . 1 n≥0 0 n 6= k . Exemplul 1.3.2 δk = (δk,n )n∈Z , cu δk,n = 1 n=k P Definit¸ie 1.3.1 Fie x, y ∈ S + astfel ˆıncˆ at, pentru orice n ∈ Z, seria k∈Z xn−k yk este convergent˘ a. S ¸ irul z = (zn )n∈Z definit prin X zn = xn−k yk k∈Z
se nume¸ste produsul de convolut¸ie al ¸sirurilor x ¸si y ¸si se noteaz˘ a cu z = x ∗ y. Evident x ∗ y = y ∗ x. Exemplul 1.3.3 Dac˘ a x = (xn )n∈Z , atunci ¸sirul z = x ∗ δk , z = (zn )n∈Z este X zn = xn−s δk,s = xn−k ∀n ∈ Z. s∈Z
P a ˆın domeDefinit¸ie 1.3.2 Fie x = (xn )n∈Z ¸si funct¸ia X(z) = n∈Z xz nn , definit˘ niul de convergent¸˘ a al seriei Laurent. Operatorul ce ata¸seaz˘ a ¸sirului x funct¸ia X(z) se nume¸ste transformata z a ¸sirului x L(x) = X. Exemplul 1.3.4 Transformata z a ¸sirului u este L(u)(z) =
∞ X 1 z , = n z z−1
n=0
definit˘ a ˆın coroana {z ∈ C : |z| > 1}.
19
1.3. TRANSFORMAREA Z
Exemplul 1.3.5 L(δk )(z) =
1 . zk
Exemplul 1.3.6 Dac˘ a x = (xn )n∈Z ¸si y = (yn )n∈Z cu yn = xn−k , ∀n ∈ Z atunci X xn−k X yn = = z −k L(x)(z). L(y)(z) = n z zn n∈Z
n∈Z
Transformarea z se bucur˘a de urm˘atoarele propriet˘a¸ti: Teorema 1.3.1 Operatorul L este liniar. Teorema 1.3.2 Dac˘ a x ∈ S atunci L(x ∗ δk )(z) =
1 L(x)(z). zk
Demonstrat¸ie. S¸irul x ∗ δk este (xn−k )n∈Z . ˆIn consecint¸˘a L(x ∗ δk )(z) =
X xn−k n∈Z
zn
=
1 X xn−k 1 = k L(x)(z). k n−k z z z n∈Z
Teorema 1.3.3 Are loc egalitatea L(x ∗ y) = L(x)L(y)
∀x, y ∈ S.
P Demonstrat¸ie. Dac˘a u = x ∗ y = ( k∈Z xn−k yk )n∈Z atunci P X X yk X xn−k k∈Z xn−k yk L(u)(z) = = = L(y)(z)L(x)(z). zn zk z n−k n∈Z
k∈Z
n∈Z
P Teorema 1.3.4 Dac˘ a x = (xn )n∈Z ¸si X(z) = n∈Z coroana {z ∈ C : r < |z| < R} atunci are loc egalitatea Z 1 xn = z n−1 X(z)dz, 2πi |z|=ρ
xn zn
este convergent˘ a ˆın
(1.20)
unde discul delimitat de cercul |z| = ρ cont¸ine toate singularit˘ a¸tile funct¸iei X(z). Demonstrat¸ie. Calcul˘am integrala din (1.20) Z X Z n−1 z X(z)dz = xk z n−1−k dz = 2πixn . |z|=ρ
k∈Z
|z|=ρ
O aplicat¸ie a transform˘arii z este rezolvarea ecuat¸iilor cu diferent¸e liniare ¸si cu coeficient¸i constant¸i. Consider˘am ecuat¸ia cu diferent¸e (1.7) ¸si extindem mult¸imea indicilor la Z, definind un = 0, ∀n < 0
20
CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE
¸si ∀n < 0.
fn+p = ap un+p + ap−1 un+p−1 + . . . + a1 un+1 + a0 un , Atunci ecut¸ia cu diferent¸e (1.7) se poate scrie ap un + ap−1 un−1 + . . . + a1 un−p+1 + a0 un−p = fn ,
∀n ∈ Z,
sau ap (u ∗ δ0 )n + ap−1 (u ∗ δ1 )n + . . . + a1 (u ∗ δp−1 )n + a0 (u ∗ δp )n = fn .
(1.21)
Not˘am u = (un )n∈Z , U (z) = L(u)(z), f = (fn )n∈Z ¸si F (z) = L(f )(z). ˆIn urma aplic˘arii transform˘arii z asupra ecuat¸iei (1.21) ¸si utilizˆand Teorema 1.3.2 obt¸inem ecuat¸ia U (z)(ap +
ap−1 a1 a0 + . . . + p−1 + p ) = F (z). z z z
Explicitˆand funct¸ia necunoscut˘a, g˘asim U (z) =
z p F (z) . ap z p + ap−1 z p−1 + . . . + a1 z + a0
Potrivit formulei (1.20), termenii ¸sirului u se calculeaz˘a cu un =
1 2πi
Z |z|=ρ
z n+p−1 F (z) dz. ap z p + ap−1 z p−1 + . . . + a1 z + a0
Exemplul 1.3.7 S ¸ irul lui Fibonacci, se poate scrie un − un−1 − un−2 = 0,
∀n ≥ 2.
Extinzˆand mult¸imea indicilor la Z, obt¸inem 0 u1 − u0 un − un−1 − un−2 = u0
n ∈ Z\{0, 1} n=1 n=0
Ecuat¸ia transformatei z a ¸sirului u = (un )n∈Z este U (z)(1 −
1 1 u1 − u0 − 2 ) = u0 + , z z z
de unde U (z) =
u0 z 2 + (u1 − u0 )z . z2 − z − 1
21
1.3. TRANSFORMAREA Z
Dac˘a ρ >
√ 1+ 5 2
atunci 1 un = 2πi
Z |z|=ρ
[u0 z 2 + (u1 − u0 )z]z n−1 . z2 − z − 1
Calculˆand integrala prin reziduuri obt¸inem " # √ √ 1 1 + 5 n+1 1+ 5 n un = √ u0 ( ) + (u1 − u0 )( ) − 2 2 5 " # √ √ 1 − 5 n+1 1− 5 n 1 ) + (u1 − u0 )( ) = − √ u0 ( 2 2 5 √ √ √ √ ( 5 − 1)u0 + 2u1 1 + 5 n ( 5 + 1)u0 − 2u1 1 − 5 n √ √ = ( ( ) + ) . 2 2 2 5 2 5 Dac˘a u0 = u1 = 1 atunci se reg˘ase¸ste (1.17).
Probleme ¸si teme de seminar P 1.1 S˘ a se calculeze 1. 4nh x1 2. 4nh sin(ax + b) 3. 4nh cos(ax + b) P 1.2 S˘ a se arate c˘ a dac˘ a 4F (x) = f (x) atunci Pn 1 P 1.3 S˘ a se calculeze k=1 k(k+1)...(k+p) .
Pn
k=1 f (k)
= F (n + 1) − F (1).
P 1.4 S˘ a se demonstreze formula de ˆınsumare prin p˘ art¸i n X
u(k)4v(k) = u(n + 1)v(n + 1) − u(1)v(1) −
k=1
n X
v(k + 1)4u(k).
k=1
P 1.5 S˘ a se calculeze
Pn
k k=1 k2 .
P 1.6 S˘ a se arate c˘ a
0 0 1 0 2 0 .. . n 0
0 1 1 2 1 .. . n 1
0
...
0 2 2 .. . n 2
...
... ..
.
...
0
−1
0 0 .. . n n
=
22
CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE
=
0 0 1 − 0 2 0 .. . n n (−1) 0
0
0
1 1 2 − 1 .. . n n−1 (−1) 1
...
0
...
2 2 .. .
... .. n 2
(−1)n−2
Indicat¸ie. Se scriu matriceal relat¸iile s X s s s x = ((x − 1) + 1) = (x − 1)i , i
.
...
0
0 . 0 .. . n n
s = 0, 1, . . . , n,
i=0
¸si s
(x − 1) =
s X
s−i
(−1)
i=0
s i
xi ,
s = 0, 1, . . . , n.
P 1.7 S˘ a se rezolve ¸si s˘ a se discute ˆın funct¸ie de parametrul p ecuat¸ia cu diferent¸e un+2 − 2pun+1 + un = 0. P 1.8 S˘ a se rezolve ecuat¸ia cu diferent¸e un+2 − un+1 − 6un = 2n+2 . P 1.9 S˘ a se rezolve sistemul 2x1 −x2 =1 −xi−1 +2xi −xi+1 = i −xn−1 +2xn =n
2≤i≤n−1
Indicat¸ie. 1. Sistemul are solut¸ie unic˘a. Determinantul sistemului este 2 −1 0 0 ... 0 0 0 −1 2 −1 0 . . . 0 0 0 0 −1 2 −1 . . . 0 0 0 ∆n = . .. .. .. . . 0 0 0 0 . . . −1 2 −1 0 0 0 0 . . . 0 −1 2 care dezvoltat dup˘a prima linie conduce la formula de recurent¸˘a ∆n = 2∆n−1 − δn−2 . Solut¸ia ecuat¸iei cu diferent¸e este ∆n = C1 + C2 n. Deoarece ∆2 = 3, ∆3 = 4 se obt¸ine ∆n = n + 1. 2. Se rezolv˘a ecuat¸ia cu diferent¸e xk+1 − 2xk + xk−1 = −k, k ∈ N. Determin˘am sistemul fundamental al ecuat¸iei cu diferent¸e omogene corespunz˘atoare: (u0k )k∈N , (u1k )k∈N care satisface condit¸iile init¸iale u00 = 1 u10 = 0
u01 = 0 u11 = 1
23
1.3. TRANSFORMAREA Z
Se obt¸ine u0k = 1 − k
u1k = k. 3
Utilizˆand formula (1.18) rezult˘a uk = v0 (1 − k) + v1 k − k 6−1 . 3. Impunˆand condit¸iile x0 = 0 ¸si xn+1 = 0 g˘asim v0 = 0, v1 = avem xk = k6 ((n + 1)2 − k 2 ).
n2 +2n 6 .
ˆIn final
Capitolul 2
Elemente din teoria interpol˘ arii Fie X o mult¸ime ¸si funct¸ia f : X → R cunoscut˘a numai prin valorile ei ˆıntr-un num˘ar finit de puncte x1 , x2 , . . . , xn din mult¸imea X: yi = f (xi ), i ∈ {1, 2, . . . , n}. O mult¸ime F de funct¸ii reale definite ˆın X este interpolatoare de ordin n dac˘a pentru orice sistem de n puncte distincte x1 , x2 , . . . , xn din X ¸si oricare ar fi numerele reale y1 , y2 , . . . , yn exist˘a ˆın F o singur˘a funct¸ie care ˆın punctele xi ia respectiv valorile yi , pentru orice i ∈ {1, 2, . . . , n}. ˆIn acest cadru problema de interpolare are urm˘atorul enunt¸: Dˆandu-se mult¸imea interpolatoare F de ordinul n ˆın X ¸si perechile (xi , yi ) ∈ X × R, i ∈ {1, 2, . . . , n}, cu proprietatea c˘a i 6= j ⇒ xi 6= xj , s˘a se determine aceea funct¸ie ϕ ∈ F care ˆın punctele xi ia respectiv valorile yi : yi = ϕ(xi ), i ∈ {1, 2, . . . , n}. Funct¸ia de interpolare ϕ ¸si f au acelea¸si valori ˆın punctele {x1 , x2 , . . . , xn }. Se consider˘a c˘a ϕ este o aproximare a funct¸iei f. Din punct de vedere teoretic de ridic˘a urm˘atoarele probleme: • Precizarea unor mult¸imi interpolatoare (problema existent¸ei funct¸iei de interpolare); • Determinarea funct¸iei de interpolare; • Evaluarea diferent¸ei dintre o funct¸ie ¸si funct¸ia de interpolare corespunz˘atoare.
2.1
Sisteme Cebˆı¸sev
Consider˘am funct¸iile reale f1 , f2 , . . . , fn definite ˆın intervalul compact [a, b]. 24
(2.1)
25
2.1. SISTEME CEBˆIS ¸ EV
Sistemul de funct¸ii (2.1) este liniar independent dac˘a egalitatea n X
λi fi (x) = 0,
∀x ∈ [a, b]
i=1
are loc numai pentru λ1 = . . . = λn = 0. Teorema 2.1.1 Sistemul de funct¸ii (2.1) este liniar independent dac˘ a exist˘ a un sistem de puncte a ≤ x1 < x2 < . . . xn ≤ b astfel ˆıncˆ at determinantul f1 (x1 ) f2 (x1 ) . . . fn (x1 ) f1 , f2 , . . . , fn f (x ) f2 (x2 ) . . . fn (x2 ) V = 1 2 6= 0. x1 , x2 , . . . , xn ... ... ... ... f1 (xn ) f2 (xn ) . . . fn (xn ) Demonstrat¸ie. Presupunem prin absurd, c˘a sistemul de funct¸ii (2.1) este liniar independent ¸si c˘a pentru orice sistem de puncte a ≤ x1 < x2 < . . . xn ≤ b are loc f1 , f2 , . . . , fn egalitatea V = 0. x1 , x2 , . . . , xn Atunci max{rang(fi (xj ))1≤i,j≤n : a ≤ x1 < x2 < . . . < xn ≤ b} = m ≤ n − 1. Exist˘a punctele a ≤ x01 < x02 < . . . < x0n ≤ b astfel ˆıncˆat rang(fi (x0j ))1≤i,j≤n = m ¸si λ1 , λ2 , . . . , λn o solut¸ie nebanal˘a a sistemului algebric de ecuat¸ii liniare λ1 f1 (x01 ) + λ2 f2 (x01 ) + . . . + λn fn (x01 ) = 0 λ1 f1 (x02 ) + λ2 f2 (x02 ) + . . . + λn fn (x02 ) = 0 ... ... ... λ1 f1 (x0n ) + λ2 f2 (x0n ) + . . . + λn fn (x0n ) = 0 Deoarece rangul matricei (fi (x0j ))1≤i,j≤n este m, ˆıntre vectorii vi = (f1 (x0i ), f2 (x0i ), . . . , fn (x0i )),
i = 1, 2, . . . , n
exist˘a m vectori liniari independent¸i. Putem presupune c˘a ace¸stia sunt printre v1 , . . . , vn−1 . P Atunci pentru orice x ∈ [a, b] are loc egalitatea ni=1 λi fi (x) = 0. ˆIntr-adev˘ar matricea f1 (x01 ) f2 (x01 ) . . . fn (x01 ) ... ... ... ... f1 (x0n−1 ) f2 (x0n−1 ) . . . fn (x0n−1 ) f1 (x) f2 (x) . . . fn (x) are rangul cel mult egal cu m. Dac˘a v = (fP a 1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)) atunci exist˘ constantele µ1 , µ2 , . . . , µn−1 astfel ˆıncˆat v = n−1 µ v sau pe componente i=1 i i fj (x) =
n−1 X i=1
µi fj (x0i ),
j = 1, 2, . . . , n.
26
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
ˆInmult¸ind relat¸iile de mai sus, respectiv cu λ1 , . . . , λm ¸si sumˆand obt¸inem n X
λj f (xj ) =
j=1
n X
λj
j=1
n−1 X i=1
µi fj (x0i ) =
n−1 X i=1
µi
n X
λj f (x0i ) = 0.
j=1
ˆIn acest fel se contrazice independent¸a familiei de funct¸ii (2.1). Reciproc, s˘a presupunem c˘a exist˘a sistemul de puncte a ≤ x1 < x2 < . . . xn ≤ f1 , f2 , . . . , fn b astfel ˆıncˆat V 6= 0. x1 , x2 , . . . , xn independent˘a atunci ar exista Dac˘a familia de funct¸ii (2.1) nu ar fi liniar P constantele λ1 , . . . , λn , nu toate nule astfel ˆıncˆat ni=1 λi fi (x) = 0, ∀x ∈ [a, b]. ˆIn particular, sistemul omogen λ1 f1 (x1 ) + λ2 f2 (x1 ) + . . . + λn fn (x1 ) = 0 λ1 f1 (x2 ) + λ2 f2 (x2 ) + . . . + λn fn (x2 ) = 0 ... ... ... λ1 f1 (xn ) + λ2 f2 (xn ) + . . . + λn fn (xn ) = 0 ˆın necunoscutele λ1 , . . . , λn admite cea ce contrazice ipoteza o solut¸ie nebanal˘a, f1 , f2 , . . . , fn f˘acut˘a asupra determinantului V . x1 , x2 , . . . , xn Definit¸ie 2.1.1 Sistemul de funct¸ii (2.1) este un sistem Cebˆı¸sev dac˘ a pentru orice sistem de puncte a ≤ x1 < x2 < . . . < xn ≤ b determinantul V
f1 , f2 , . . . , fn x1 , x2 , . . . , xn
este diferit de zero. Observat¸ie 2.1.1 Orice sistem Cebˆı¸sev este alc˘ atuit din funct¸ii liniar independente. ˆ orice interval [a, b] funct¸iile 1, x, x2 , . . . , xn formeaz˘ Observat¸ie 2.1.2 In a un sistem Cebˆı¸sev. Fie F = span{f1 , f2 , . . . , fn } spat¸iul liniar generat de funct¸iile (2.1). Teorema 2.1.2 (Condit¸ia lui Haar) Sistemul (2.1) formeaz˘ a un sistem Cebˆı¸sev dac˘ a ¸si numai dac˘ a orice funct¸ie din + F \ {0} se anuleaz˘ a cel mult ˆın n − 1 puncte din [a, b].
27
2.1. SISTEME CEBˆIS ¸ EV
Demonstrat¸ie. S˘a presupunem c˘a familia de funct¸ii (2.1) formeaz˘a un sistem Cebˆı¸sev ¸si c˘a exist˘a o funct¸ie f ∈ F \ {0} care se anuleaz˘a cel put¸in ˆın n puncte a ≤ x1 < x2 < . . . < xn ≤ b adic˘a f (xj ) =
n X
ci fi (xj ) = 0,
j ∈ {1, 2, . . . , n}.
(2.2)
i=1
ˆIn acest caz relat¸iile (2.2) privite ca un sistem algebric de ecuat¸ii liniare ¸si omogene f1 , f2 , . . . , fn ˆın necunoscutele c1 , . . . , cn admit o solut¸ie nebanal˘a, deci V = x1 , x2 , . . . , xn 0, ceea ce contrazice definit¸ia unui sistem Cebˆı¸sev. Reciproc, presupunem c˘a orice funct¸ie din F \ {0} se anuleaz˘a cel mult ˆın n − 1 puncte din [a, b] ¸si prin de puncte a ≤ x1 < x2 < absurd, c˘a exist˘a sistemul f1 , f2 , . . . , fn . . . < xn ≤ b astfel ˆıncˆat V = 0. Atunci sistemul algebric x1 , x2 , . . . , xn de ecuat¸ii liniare λ1 f1 (x1 ) + λ2 f2 (x1 ) + . . . + λn fn (x1 ) = 0 λ1 f1 (x2 ) + λ2 f2 (x2 ) + . . . + λn fn (x2 ) = 0 ... ... ... λ1 f1 (xn ) + λ2 f2 (xn ) + . . . + λn fn (xn ) = 0 ˆın necunoscutele P λ1 , . . . , λn admite o solut¸ie nebanal˘a. Cu aceast˘a solut¸ie nebanal˘a definim f = ni=1 λi fi . f apart¸ine mult¸imii F \ {0} ¸si se anuleaz˘a ˆın punctele x1 , . . . , xn . Acest fapt contrazice ipoteza f˘acut˘a, deci familia de funct¸ii (2.1) formeaz˘a un sistem Cebˆı¸sev. Teorema 2.1.3 Dac˘ a familia de funct¸ii (2.1) formeaz˘ a un sistem Cebˆı¸sev ˆın [a, b] atunci F formeaz˘ a o familie interpolatoare de ordin n ˆın [a, b].
Demonstrat¸ie. Fie a ≤ x1 < x2 < . . . < xn ≤ b ¸si numerele reale y1 , y2 , . . . , yn . Consider˘am sistemul algebric de ecuat¸ii liniare c1 f1 (x1 ) + c2 f2 (x1 ) + . . . + cn fn (x1 ) = 0 c1 f1 (x2 ) + c2 f2 (x2 ) + . . . + cn fn (x2 ) = 0 ... ... ... c1 f1 (xn ) + c2 f2 (xn ) + . . . + cn fn (xn ) = 0
(2.3)
f1 , f2 , . . . , fn ˆın necunoscutele c1 , c2 , . . . , cn . Determinantul sistemului V x1 , x2 , . . . , xn este diferit de 0, deci (2.3) admite o solut¸ie unic˘a c1 , c2 , . . . , cn . Funct¸ia f = P n ¸iile de interpolare f (xi ) = yi , i ∈ {1, 2, . . . , n}. i=1 ci fi satisface condit
28
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
Observat¸ie 2.1.3 Condit¸ia ca o familie de funct¸ii (2.1) s˘ a formeze un sistem Cebˆı¸sev este echivalent˘ a cu condit¸ia lui Haar sau cu proprietatea de a fi interpolatoare de ordin n pentru spat¸iul liniar F. Pentru funct¸ia f ∈ F care satisface condit¸iile de interpolare f (xi ) = yi
i ∈ {1, 2, . . . , n}
(2.4)
folosim notat¸ia L(F; x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn ). Dac˘a y1 , . . . , yn sunt valorile unei funct¸ii ϕ, respectiv ˆın punctele x1 , . . . , xn , atunci notat¸ia folose L(F; x1 , . . . , xn ; ϕ). Teorema 2.1.4 Dac˘ a familia de funct¸ii (2.1) formeaz˘ a un sistem Cebˆı¸sev ˆın [a, b] atunci solut¸ia problemei de interpolare (2.4) este 1 · f1 , f2 , . . . , fn V x1 , x2 , . . . , xn f1 (x1 ) f2 (x1 ) . . . fn (x1 ) ... ... ... ... f1 (xi−1 ) f2 (xi−1 ) . . . fn (xi−1 ) f1 (x) f2 (x) ... fn (x) f1 (xi+1 ) f2 (xi+1 ) . . . fn (xi+1 ) ... ... ... ... f1 (xn ) f2 (xn ) . . . fn (xn )
L(F; x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn )(x) =
n X · yi i=1 sau
L(F; x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn )(x) =
V
1 · f1 , f2 , . . . , fn x1 , x2 , . . . , xn
f1 (x1 ) . . . fi−1 (x1 ) y1 fi+1 (x1 ) . . . fn (x1 ) ... ... ... ... ... ... fi (x) . . . f1 (xn ) . . . fi−1 (xn ) yn fi+1 (xn ) . . . fn (xn ) i=1
n X
(2.5)
(2.6)
.
Demonstrat¸ie. Potrivit teoremei (2.1.3) problema de interpolare (2.4) are o solut¸ie L(x) = L(F; x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn )(x) care verific˘a egalitatea L(x) f1 (x) f2 (x) . . . fn (x) y1 f (x ) f (x ) . . . f (x ) 1 1 2 1 n 1 =0 (2.7) ... ... ... ... . . . yn f1 (xn ) f2 (xn ) . . . fn (xn ) ˆIntr-adev˘ar, determinantul dezvoltat dup˘a prima linie este o funct¸ie din F. Acest˘ a funct¸ie se anuleaz˘a ˆın x1 , . . . , xn ¸si atunci, potrivit teoremei (2.1.2), determinantul este nul pentru orice x ∈ [a, b].
29
2.2. INTERPOLARE LAGRANGE
Descompunem (2.7) ˆıntr-o sum˘a de doi determinant¸i L(x) f1 (x) f2 (x) . . . fn (x) 0 f1 (x1 ) f2 (x1 ) . . . fn (x1 ) + ... ... ... ... . . . 0 f1 (xn ) f2 (xn ) . . . fn (xn ) 0 f1 (x) f2 (x) . . . fn (x) y f1 (x1 ) f2 (x1 ) . . . fn (x1 ) = 0. + 1 ... ... ... . . . ... yn f1 (xn ) f2 (xn ) . . . fn (xn ) Dezvoltˆand al doilea determinant din f1 , L(x)V x1 , f1 (x) f1 (x1 ) n ... X i + (−1) yi f1 (xi−1 ) f1 (xi+1 ) i=1 ... f (x ) 1 n
(2.8)
(2.8) dup˘a prima coloan˘a obt¸inem f2 , . . . , fn + x2 , . . . , xn f2 (x) ... fn (x) f2 (x1 ) . . . fn (x1 ) ... ... ... f2 (xi−1 ) . . . fn (xi−1 ) = 0 f2 (xi+1 ) . . . fn (xi+1 ) ... ... ... f2 (xn ) . . . fn (xn )
de unde se obt¸ine imediat (2.5). Relat¸ia (2.6) se obt¸ine analog, dezvoltˆand al doilea determinant din (2.8) dup˘a prima linie.
2.2
Interpolare Lagrange
Particulariz˘am rezultatele sect¸iunii anterioare pentru sistemul Cebˆı¸sev alc˘atuit din funct¸iile 1, x, x2 , . . . , xn . ˆIn acest caz F coincide cu mult¸imea polinoamelor de grad cel mult n, Pn . Mult¸imea Pn este interpolatoare de ordinul n + 1 pe orice mult¸ime de puncte care cont¸ine cel put¸in n + 1 puncte distincte. Problema de interpolare corespunz˘atoare se nume¸ste problema de interpolare Lagrange, iar solut¸ia ei polinomul de interpolare Lagrange. Teorema 2.2.1 Expresia polinomului de interpolare Lagrange este L(Pn ; x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn )(x) = =
n+1 X i=1
yi
(x − x1 ) . . . (x − xi−1 )(x − xi+1 ) . . . (x − xn+1 ) (xi − x1 ) . . . (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) . . . (xi − xn+1 )
(2.9)
30
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
Demonstrat¸ie. Determinantul V
1, x, . . . , xn x1 , x2 , . . . , xn
revine la determinan-
tul lui Vandermonde V (x1 , x2 , . . . , xn ) = Utilizˆand
. . . xn1 . . . xn2 ... ... . . . xnn+1
Y = (xi − xj ). 1≤j
(2.5) g˘asim
1 x1 ... ... 1 xi−1 1 x 1 xi+1 ... ... 1 xn+1 1, x, V x1 , x2 ,
=
1 x1 1 x2 ... ... 1 xn+1
. . . xn1 ... ... . . . xni−1 . . . xn . . . xni+1 ... ... . . . xnn+1
V (x1 , . . . , xi−1 , x, xi+1 , . . . , xn+1 = = n V (x1 , . . . , xi−1 , xi , xi+1 , . . . , xn+1 ..., x . . . , xn
(x − x1 ) . . . (x − xi−1 )(x − xi+1 ) . . . (x − xn+1 ) (xi − x1 ) . . . (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) . . . (xi − xn+1 )
2.3
i = 1, 2, . . . , n + 1.
Interpolarea Lagrange-Hermite
Date fiind nodurile de interpolare x1 < x2 < . . . < xn+1 , numerele naturale r1 , r2 , . . . , rn+1 ¸si numerele reale f (k) (xi ),
k ∈ {0, 1, . . . , ri },
i ∈ {1, 2, . . . , n + 1},
ne propunem s˘a determin˘am un polinom H(x) care s˘a satisfac˘a condit¸iile: H (k) (xi ) = f (k) (xi ),
∀k ∈ {0, 1, . . . , ri }, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n + 1}.
(2.10)
Vom ar˘ata c˘a ˆın mult¸imea polinoamelor de grad cel mult m, Pm , cu m+1=
n+1 X
(ri + 1)
(2.11)
i=1
exist˘a un singur polinom ce satisface condit¸iile de interpolare (2.10), ˆıi vom determina forma ¸si vom evalua restul f (x) − H(x), ˆın ipoteza ˆın care datele de interpolare corespund funct¸iei f.
31
2.3. INTERPOLAREA LAGRANGE-HERMITE
Teorema 2.3.1 Dac˘ a X ¸si Y sunt spat¸ii m−dimensionale iar A ∈ (X, Y )# este un operator liniar ¸si injectiv atunci A este bijectiv. Demonstrat¸ie. Fie e1 , e2 , . . . , em P o baz˘a ˆın X. Atunci Ae1 , Ae2 , . . . , Aem este m ˆIntr-adev˘ar, dac˘a λi Aei = 0, atunci datorit˘a liniarit˘a¸tii o baz˘ a ˆ ın Y . Pm Pi=1 A( i=1 λi ei ) = 0 ¸si a injectivit˘a¸tii m i=1 λi ei = 0, deci λ1 = λ2 = . . . = λm = 0. Dac˘a y ∈ Y, atunci exist˘a constantele c1 , c2 , . . . , cm astfel ˆıncˆat y=
m X
m X ci Aei = A( ci ei ),
i=1
i=1
adic˘a surjectivitatea operatorului A. Teorema 2.3.2 Problema de interpolare Lagrange - Hermite are solut¸ie unic˘ a ˆın mult¸imea polinoamelor de grad cel mult m, Pm , (2.11). Demonstrat¸ie. Definim operatorul A : Pm → Rm+1 prin A(p) = (p(x1 ), p0 (x1 ), . . . , p(r1 ) (x1 ), . . . , p(xn+1 ), p0 (xn+1 ), . . . , p(rn+1 ) (xn+1 )). (2.12) ˆ A este liniar Intr-adev˘ar, dac˘a A(p) = 0, cu p ∈ Pm atunci polinomul Qn+1¸si injectiv. r +1 i divide polinomul p. Deoarece u(x) = i=1 (x − xi ) grad(u) =
n+1 X
(ri + 1) = m + 1 > grad(p),
i=1
rezult˘a c˘a p = 0. Din (2.3.1), rezult˘a c˘a operatorul A este bijectiv, deci exist˘a un singur polinom H ∈ Pm astfel ˆıncˆat A(H) = (f (0) (x1 ), f (1) (x1 ), . . . , f (r1 ) (x1 ), . . . . . . , f (0) (xn+1 ), f (1) (xn+1 ), . . . , f (rn+1 ) (xn+1 )) sau H (k) (xi ) = f (k) (xi ),
∀k ∈ {0, 1, . . . , ri },
∀i ∈ {1, 2, . . . , n + 1}.
Introducem notat¸iile: u(x) =
n+1 Y
(x − xi )ri +1
(2.13)
i=1
ui (x) =
u(x) (x − xi )ri +1
(2.14)
32
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
Teorema 2.3.3 Expresia polinomului de interpolare Lagrange – Hermite, solut¸ia problemei de interpolare Lagrange – Hermite este ri n+1 XX
H(x) =
f (j) (xi )hi,j (x),
(2.15)
i=1 j=0
unde (k) ri −j 1 (x − xi )k (x − xi )j X . hi,j (x) = ui (x) j! ui (x) x=xi k! k=0
Demonstrat¸ie. Fie (ei,j )1≤i≤n+1, 0≤j≤ri baza canonic˘a ˆın Rm+1 . Pentru fiecare i ∈ {1, 2, . . . , n + 1}, j ∈ {0, 1, . . . , ri } exist˘a polinomul hi,j ∈ Pm astfel ˆıncˆ at A(hi,j ) = ei,j , unde A este operatorul definit ˆın (2.12). Atunci A(H) = (f (0) (x1 ), f (1) (x1 ), . . . , f (r1 ) (x1 ), . . . . . . , f (0) (xn+1 ), f (1) (xn+1 ), . . . , f (rn+1 ) (xn+1 )) = ri n+1 XX
f
(j)
(xi )ei,j =
i=1 j=0
ri n+1 XX
f (j) (xi )A(hi,j ) =
i=1 j=0 ri n+1 XX
= A(
f (j) (xi )hi,j ).
i=1 j=0
Injectivitatea operatorului A implic˘a (2.15). Din definit¸ia polinomului hi,j , rezult˘a c˘a hi,j se divide prin ui (x)(x − xi )j . Prin urmare hi,j (x) = ui (x)(x − xi )j gi,j (x), (2.16) unde gi,j este un polinom a c˘arui grad este gradgi,j = gradhi,j − gradui − j = m − ((m + 1) − (ri + 1)) − j = ri − j. Polinomul gi,j se poate scrie gi,j (x) =
rX i −j k=0
(k)
gi,j (xi )
(x − xi )k . k!
Din (2.16) g˘asim (x − xi )j gi,j (x) = hi,j (x)
1 ui (x)
33
2.3. INTERPOLAREA LAGRANGE-HERMITE
¸si derivˆand de j + k, potrivit formulei lui Leibniz, obt¸inem (s) j+k j+k X X 1 j+k j+k (j+k−s) j (s) (j+k−s) hi,j (x) ((x − xi ) ) gi,j (x) = . s s ui (x) s=0
s=0
Pentru x = xi singurul termen diferit de 0 ˆın membrul stˆang se obt¸ine pentru s = j iar ˆın membrul drept, datorit˘a definit¸iei lui hi,j , singurul termen diferit de 0 se obt¸ine pentru s = k. Rezult˘a (k) 1 (k) (j) j!gi,j (xi ) = hi,j ui (x) x=xi de unde (k) gi,j (xi )
1 = j!
1 ui (x)
(k) k ∈ {0, 1, . . . , ri − j}.
, x=xi
Teorema 2.3.4 Dac˘ a f este o funct¸ie de m + 1 ori derivabil˘ a ˆın intervalul I = (min{x, x1 , . . . , xn+1 }, max{x, x1 , . . . , xn+1 }) atunci exist˘ a ξ ∈ I astfel ˆıncˆ at f (x) − H(x) = u(x)
f (m+1) (ξ) . (m + 1)!
Demonstrat¸ie. Funct¸ia F : R → R definit˘a prin u(z) f (z) − H(z) F (z) = u(x) f (x) − H(x)
(2.17)
admite zerourile x, x1 , . . . , xn+1 cu ordinele de multiplicitate, respectiv 1, r1 + Pn+1 1, . . . , rn+1 + 1. Spunem c˘a F se anuleaz˘a ˆın 1 + i=1 (ri + 1) = m + 2 puncte. Din teorema lui Rolle rezult˘a c˘a exist˘a ξ ∈ I astfel ˆıncˆat F (m+1) (ξ) = 0. Dar F (m+1) (ξ) = (m + 1)!(f (x) − H(x)) − f (m+1) (ξ)u(x) = 0, de unde se deduce (2.17). Cazuri particulare importante. 1. Polinomul Taylor. Fie n = 0 ¸si not˘am x1 = a, polinomul de interpolare H(x) satisface condit¸iile H (j) (a) = f (j) (a) ¸si are expresia H(x) =
r X j=0
r1 = r. ˆIn acest caz
j ∈ {0, 1, . . . , r}
f (j) (a)
(x − a)j , j!
ceea ce corespunde polinomului lui Taylor ata¸sat funct¸iei f ˆın punctul a, de grad r.
34
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
2. Polinomul lui Lagrange. Dac˘a ri = 0, i = 1, 2, . . . , n + 1 atunci reg˘asim polinomul de interpolare Lagrange H(x) =
n+1 X
f (xi )
i=1
=
n+1 X i=1
ui (x) = ui (xi )
(x − x1 ) . . . (x − xi−1 )(x − xi+1 ) . . . (x − xn+1 ) = (xi − x1 ) . . . (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) . . . (xi − xn+1 ) = L(Pn , x1 , . . . , xn+1 , f )(x).
3. Polinomul lui Fej´ er. Fie ri = 1, i = 1, 2, . . . , n + 1. Introducˆand notat¸iile Qn+1
i=1 (x − xi ) w(x) x−xi wi (x) w(x) wi (xi ) = (x−xi )w0 (xi )
w(x) = w( x) = li (x) =
i ∈ {1, 2, . . . , n + 1} i ∈ {1, 2, . . . , n + 1}
g˘asim u(x) = w2 (x) ¸si ui (x) = wi2 (x), i ∈ {1, 2, . . . , n + 1}. Atunci hi,0 (x) =
wi2 (x)
1 1 + (x − xi )( 2 )0 2 wi (xi ) wi (x) x=xi
=
2wi0 (xi ) 1 − (x − xi ) 3 = = wi2 (xi ) wi (xi ) wi2 (x) w00 (xi ) w00 (xi ) 2 = 2 1 − (x − xi ) 0 = li (x) 1 − (x − xi ) 0 , w (xi ) w (xi ) wi (xi ) wi2 (x)
¸si hi,1 (x) = wi2 (x)(x − xi )
1 wi2 (xi )
= li2 (x)(x − xi ).
Expresia polinomului de interpolare devine H(x) =
n+1 X i=1
=
n+1 X i=1
f (xi )li2 (x)
f (xi )hi,0 (x) +
n+1 X
f 0 (xi )hi,1 (x) =
(2.18)
i=1
w00 (xi ) 1 − (x − xi ) 0 w (xi )
+
n+1 X
f 0 (xi )li2 (x)(x − xi ).
i=1
Acest polinom este cunoscut sub numele de polinomul lui Fej´er.
35
2.4. DIFERENT ¸ E DIVIZATE
2.4
Polinomul de interpolarea Lagrange ¸si diferent¸a divizat˘ a
Scopul acestei sect¸iuni este reliefarea unor formule legate de polinomul de interpolare Lagrange. Utiliz˘am notat¸iile u(x) =
n+1 Y
(x − xi )ri +1
i=1
u(x) (x − xi )ri +1 (x − x1 ) . . . (x − xi−1 )(x − xi+1 ) . . . (x − xn+1 ) = li (x) = (xi − x1 ) . . . (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) . . . (xi − xn+1 ) ui (x) u(x) = = . ui (xi ) (x − xi )u0 (xi )
ui (x) =
Din (2.2.1) avem L(Pn ; x1 , . . . , xn + 1; f )(x) =
n+1 X
f (xi )
i=1
= u(x)
n+1 X i=1
ui (x) = ui (xi )
(2.19)
n+1
X 1 f (xi ) = f (xi )li (x). (x − xi )u0 (xi ) i=1
Din teorema (2.3.4) deducem Teorema 2.4.1 Dac˘ a f este o funct¸ie de n + 1 ori derivabil˘ a ˆın intervalul I = (min{x, x1 , . . . , xn+1 }, max{x, x1 , . . . , xn+1 }) atunci exist˘ a ξ ∈ I astfel ˆıncˆ at f (x) = L(Pn ; x1 , . . . , xn + 1; f )(x) + u(x)
f n+1 (ξ) . (n + 1)!
(2.20)
ˆIn particular, pentru f = 1 rezult˘a 1 = L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 )(x) = u(x)
n+1 X i=1
1 . (x − xi )u0 (xi )
(2.21)
ˆImp˘art¸ind (2.19) la (2.21) deducem formula baricentric˘ a a polinomului de interpolare Lagrange Pn+1 f (x1 ) i=1 (x−xi )u0 (xi ) 1 i=1 (x−xi )u0 (xi )
L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) = Pn+1
.
(2.22)
O metoda util˘a de calcul se bazeaz˘a pe formula de recurent¸˘a a polinoamelor de interpolare Lagrange
36
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
Teorema 2.4.2 Are loc formula L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) =
(2.23)
(x − xn+1 )L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) − (x − x1 )L(Pn−1 ; x2 , . . . , xn+1 ; f )(x) x1 − xn+1
Demonstrat¸ie. Funct¸ia din membrul drept al egalit˘a¸tii (2.23) verific˘a condit¸iile de interpolare ce definesc polinonul L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x). Definit¸ie 2.4.1 Numim diferent¸˘ a divizat˘ a de ordin n a funct¸iei f ˆın nodurile x1 , . . . , xn+1 coeficientul lui xn a polinomului de interpolare Lagrange L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) ¸si-l not˘ am [x1 , . . . , xn+1 ; f ]. Teorema 2.4.3 Are loc egalitatea L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) =
(2.24)
= L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) + (x − x1 ) . . . (x − xn )[x1 , . . . , xn+1 ; f ].
Demonstrat¸ie. Funct¸ia L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) − L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) − (x − x1 ) . . . (x − xn )[x1 , . . . , xn+1 ; f ] reprezint˘a un polinom de grad cel mult n − 1 care se anuleaz˘a ˆın n puncte distincte x1 , . . . , xn ; deci este polinomul identic nul. Un rezultat asem˘an˘ator celui din (2.4.1) este Teorema 2.4.4 Are loc formula f (x) = L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) + u(x)[x, x1 , . . . , xn+1 ; f ]
(2.25)
Demonstrat¸ie. Polinomul de interpolare Lagrange al funct¸iei f ˆın nodurile x, x1 , . . . , xn+1 verific˘a egalitatea (2.24) L(Pn+1 ; x, x1 , . . . , xn+1 ; f )(z) = = L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(z) + (z − x1 ) . . . (z − xn+1 )[x, x1 , . . . , xn+1 ; f ]. Pentru z = x obt¸inem (2.25). ˆIn funct¸ie de diferent¸e divizate, polinomul de interpolare Lagrange se scrie
37
2.4. DIFERENT ¸ E DIVIZATE
Teorema 2.4.5 (Forma lui Newton a polinomului de interpolare) Are loc formula L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) = (2.26) = f (x1 ) +
n X
(x − x1 ) . . . (x − xi )[x1 , . . . , xi+1 ; f ]
i=1
Demonstrat¸ie. Potrivit (2.4.3) au loc succesiv egalit˘a¸tile L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) = L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) +(x − x1 ) . . . (x − xn )[x1 , . . . , xn+1 ; f ] L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) = L(Pn−2 ; x1 , . . . , xn−1 ; f )(x) +(x − x1 ) . . . (x − xn−1 )[x1 , . . . , xn ; f ] ...
...
L(P1 ; x1 , x; f )(x) = L(P0 ; x1 ; f )(x) + (x − x1 )[x1 , x2 ; f ] care ˆınsumate dau (2.26). Punˆand ˆın evident¸˘a coeficientul lui xn ˆın (2.19), g˘asim urm˘atoarele formule de calcul pentru diferent¸a divizat˘a [x1 , . . . , xn+1 ; f ] = =
n+1 X i=1
(2.27) n+1
n+1
i=1
i=1
X fi (x) X f (xi ) fi (x) = = . (xi − x1 ) . . . (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) . . . (xi − xn+1 ) ui (xi ) u0 (xi )
Stabilim propriet˘a¸ti ale diferent¸ei divizate. Teorema 2.4.6 Diferent¸ele divizate ale unei funct¸ii verific˘ a formula de recurent¸˘ a [x1 , . . . , xn ; f ] − [x2 , . . . , xn+1 ; f ] , x1 − xn+1 [x1 ; f ] = f (x1 ).
[x1 , . . . , xn+1 ; f ] =
Demonstrat¸ie. Potrivit (2.4.3) au loc dezvolt˘arile L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) = = L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) + (x − x1 ) . . . (x − xn )[x1 , . . . , xn+1 ; f ] = = L(Pn−2 ; x2 , . . . , xn ; f )(x) + (x − x2 ) . . . (x − xn )[x1 , . . . , xn ; f ]+ +(x − x1 ) . . . (x − xn )[x1 , . . . , xn+1 ; f ]
(2.28) (2.29)
38
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
¸si L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) = = L(Pn−1 ; x2 , . . . , xn+1 ; f )(x) + (x − x2 ) . . . (x − xn+1 )[x1 , . . . , xn+1 ; f ] = = L(Pn−2 ; x2 , . . . , xn ; f )(x) + (x − x2 ) . . . (x − xn )[x2 , . . . , xn+1 ; f ]+ +(x − x2 ) . . . (x − xn+1 )[x1 , . . . , xn+1 ; f ]. Egalˆand cele dou˘a dezvolt˘ari, dup˘a reducere ¸si simplificare obt¸inem [x1 , . . . , xn ; f ] + (x − x1 )[x1 , . . . , xn+1 ; f ] = = [x2 , . . . , xn+1 ; f ] + (x − xn+1 )[x1 , . . . , xn+1 ; f ] de unde rezult˘a (2.28). Teorema 2.4.7 (Formula de medie) Dac˘ a funct¸ia f admite derivate pˆ an˘ a la ordinul n ˆın intervalul I = min{x1 , . . . , xn+1 , max{x1 , . . . , xn+1 ) atunci exist˘ a ξ ∈ I astfel ˆıncˆ at f (n) [x1 , . . . , xn+1 ; f ] = (2.30) n! Demonstrat¸ie. Fie x ∈ I. T ¸ inˆand seama de (2.4.4) are loc egalitatea f (x) − L(Pn−1 , x1 , . . . , xn ; f )(x) = (x − x1 ) . . . (x − xn )[x, x1 , . . . , xn ; f ] (2.31) ¸si potrivit lui (2.4.1) exist˘a ξ ∈ I astfel ˆıncˆat f (x) − L(Pn−1 , x1 , . . . , xn ; f )(x) = (x − x1 ) . . . (x − xn )
f (n) (ξ) . n!
(2.32)
Egalˆand (2.31) ¸si (2.32), pentru x = xn+1 obt¸inem (2.30). Observat¸ie 2.4.1 Dac˘ a f ∈ C n (I) ¸si x ∈ I atunci limx1 →x,...,xn →x [x1 , . . . , xn+1 ; f ] =
f (n) (x) . n!
Aceast˘a observat¸ie justific˘a definit¸ia Definit¸ie 2.4.2 [x, . . . , x; f ] = | {z } n+1 ori
f (n) (x) n!
(2.33)
Aceast˘a definit¸ie permite definirea diferent¸ei divizare pe noduri multiple. ˆIn prealabil stabilim
39
2.4. DIFERENT ¸ E DIVIZATE
Teorema 2.4.8 Fie nodurile x11 , x21 , 1 x2 , x22 , ... ... x1n+1 , x2n+1 ,
. . . xr11 +1 . . . xr22 +1 ... ... rn+1 +1 . . . xn+1
¸si notat¸iile vi (x) =
rY i +1
(x − xji ),
j=1
u(x) =
n+1 Y
vi (x),
i=1
ui (x) =
u(x) . vi (x)
Are loc formula r
n+1 [x11 , . . . , xr11 +1 , x12 , . . . , xr22 +1 , . . . , x1n+1 , . . . , xn+1
n+1 X
[x1i , . . . , xri i +1 ;
i=1
+1
; f] =
(2.34)
f ] ui
Demonstrat¸ie. Deoarece u0 (xji ) = ui (xji )vi0 (xji ), formula (2.27) ne d˘a r
n+1 [x11 , . . . , xr11 +1 , x12 , . . . , xr22 +1 , . . . , x1n+1 , . . . , xn+1
=
n+1 i +1 X rX
f (xji )
0 j i=1 j=1 u (xi )
=
f (xji ) ui (xji ) 0 j i=1 j=1 vi (xi )
n+1 i +1 X rX
=
n+1 X
+1
; f] =
[x1i , . . . , xri i +1 ;
i=1
f ]. ui
Combinˆand (2.33) cu (2.34) definim Definit¸ie 2.4.3 [x1 , . . . , x1 , . . . , xn+1 , . . . , xn+1 ; f ] = | {z } | {z } r1 +1 ori rn+1 +1 ori n+1 X i=1
1 ri !
(2.35)
f (t) (t − x1 )r1 +1 . . . (t − xi−1 )ri−1 +1 (t − xi+1 )ri+1 +1 . . . (t − xn+1 )rn+1 +1
(ri ) . t=xi
40
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
Teorema 2.4.9 (Formula lui Leibniz) Are loc formula [x1 , . . . , xn+1 , f · g] =
n+1 X
[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+1 ; g]
(2.36)
i=1
Demonstrat¸ie. Prin induct¸ie dup˘a n, pentru n = 0 [x1 , f · g] = f (x1 )g(x1 ) = [x1 , f ] · [x1 , g]. Presupunem egalitatea (2.41) adev˘arat˘a ˆın cazul diferent¸elor finite de ordin n ¸si o demonstr˘am ˆın cazul difernt¸elor finite de ordin n + 1. Fie n + 2 puncte distincte x1 , x2 , . . . , xn+2 . Trebuie s˘a ar˘at˘am c˘a [x1 , . . . , xn+2 , f · g] =
n+2 X
[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+2 ; g].
i=1
Aplicˆand formula de recurent¸˘a (2.29) ¸si ipoteza induct¸iei deducem [x1 , . . . , xn+2 ; f · g] =
[x1 , . . . , xn+1 ; f · g] − [x2 , . . . , xn+2 ; f · g] = x1 − xn+2 n+1
X 1 ( [x1 , . . . , xk ; f ] · [xk , . . . , xn+1 ; g]− = x1 − xn+2 k=1
−
n+2 X
[x2 , . . . , xk ; f ] · [xk , . . . , xn+2 ; g]).
k=2
ˆIn membrul drept adun˘am ¸si sc˘adem expresia n+2 X
[x1 , . . . , xk−1 ; f ] · [xk , . . . , xn+2 ; g].
k=2
Atunci egalitatea anterioar˘a devine n+1
[x1 , . . . , xn+2 ; f · g] =
X 1 ( [x1 , . . . , xk ; f ] · [xk , . . . , xn+1 ; g]− x1 − xn+2 k=1
−
n+2 X
[x1 , . . . , xk−1 ; f ] · [xk , . . . , xn+2 ; g]+
k=2
+
n+2 X k=2
([x1 , . . . , xk−1 ; f ] − [x2 , . . . , xk ; f ])[xk , . . . , xn+2 ; g]).
41
2.4. DIFERENT ¸ E DIVIZATE
ˆIn prima sum˘a vom scrie i ˆın loc de k, ˆın a doua sum˘a efectu˘am schimbarea de indice k − 1 = i, iar ˆın ultima sum˘a scriem de asemenea i ˆın locul lui k, dup˘a ce aplic˘am formula de recurent¸˘a (2.29). Astfel vom obt¸ine n+1
[x1 , . . . , xn+2 ; f · g] =
X 1 ( [x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+1 ; g]− x1 − xn+2 i=1
−
n+1 X
[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi+1 , . . . , xn+2 ; g]+
i=1
+
n+2 X
(x1 − xi )[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+2 ; g]) =
i=2 n+1
X 1 ( [x1 , . . . , xi ; f ]([xi , . . . , xn+1 ; g] − [xi+1 , . . . , xn+2 ; g])+ = x1 − xn+2 i=1
+
n+2 X
(x1 − xi )[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+2 ; g]) =
i=2 n+1
=
X 1 ( (xi − xn+2 )[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+2 ; g]+ x1 − xn+2 i=1
+
n+2 X
(x1 − xi )[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+2 ; g]).
i=2
Grupˆand termenii corespunz˘atori, [x1 , . . . , xn+2 ; f · g] =
+
n+1 X
1 ((x1 − xn+2 )[x1 ; f ] · [x1 , . . . , xn+2 ; g]+ x1 − xn+2
(x1 − xn+2 )[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+2 ; g]+
i=2
+(x1 − xn+2 )[x1 , . . . , xn+2 ; f ] · [xn+2 ; g]) = =
n+2 X
[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+2 ; g].
i=1
Leg˘atura dintre diferent¸a finit˘a progresiv˘a / regresiv˘a ¸si diferent¸a divizat˘a a unei funct¸ii este
42
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
Teorema 2.4.10 Au loc egalit˘ a¸tile [a, a + h, . . . , a + nh; f ] = [a, a − h, . . . , a − nh; f ] =
Demonstrat¸ie. Pentru xi = a + (i − 1)h, devine [a, a + h, . . . , a + nh; f ] =
n+1 X i=1
4nh f (a) hn n! ∇nh f (a) hn n!
(2.37) (2.38)
i = 1, . . . , n + 1, formula (2.27)
f (a + (i − 1)h) . (−1)n−i+1 (n − i + 1)!(i − 1)!hn
Prin schimbarea de indice j = i − 1 obt¸inem [a, a + h, . . . , a + nh; f ] =
n X j=0
=
1 n!hn
n X j=0
n j
f (a + jh) = (−1)n−j (n − j)!j!hn
(−1)j f (a + jh) =
4nh f (a) . hn n!
Analog se demonstreaz˘a ¸si cealalt˘a egalitate. Observat¸ie 2.4.2 Dac˘a ˆın (2.36) se aleg nodurile echidistante a, a + h, . . . , a + nh atunci cu (2.37) se reg˘ase¸ste (1.5). ˆIn cazul nodurilor echidistante, polinomul de interpolare Lagrange are expresia Teorema 2.4.11 Au loc formulele L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f ) = =
n X i=0
f (a+ih)
(2.39)
(−1)n−i (x−a) . . . (x−a−(i−1)h)(x−a−(i+1)h) . . . (a−a−nh) hn i!(n − i)! L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f ) =
= f (a) +
n X i=1
4ih f (a) (x − a)(x − a − h) . . . (x − a − (i − 1)h) hi i! L(Pn ; a, a − h, . . . , a − nh; f ) =
= f (a) +
n X i=1
(2.40)
∇ih f (a) (x − a)(x − a + h) . . . (x − a + (i − 1)h) hi i!
(2.41)
43
2.4. DIFERENT ¸ E DIVIZATE
Teorema 2.4.12 Are loc formula de derivare dm [x1 , . . . , xn , x; f ] = m![x1 , . . . , xn , x, . . . , x; f ]. | {z } dxm m+1 ori
(2.42)
Demonstrat¸ie. Prin induct¸ie matematic˘a dup˘a m. Pentru m = 1 cu ajutorul formulei de recurent¸˘a a diferent¸elor divizate g˘asim d [x1 , . . . , xn , x + h; f ] − [x1 , . . . , xn , x; f ] [x1 , . . . , xn , x; f ] = lim = h→0 dx h = lim [x1 , . . . , xn , x + h, x; f ] = [x1 , . . . , xn , x, x; f ]. h→0
ˆIn ipoteza ˆın care formula (2.42) este adev˘arat˘a pentru derivatele de ordin m − 1 vom avea dm [x1 , . . . , xn , x; f ] = dxm m ori m ori }| { z z }| { [x1 , . . . , xn , x + h, . . . , x + h; f ] − [x1 , . . . , xn , x, . . . , x; f ] = (m − 1)! lim . h→0 h Adun˘am ¸si sc˘adem termeni convenabili la numar˘atorul fract¸iei, dup˘a care aplic˘am formula de recurent¸a a diferent¸elor divizate dm [x1 , . . . , xn , x; f ] = dxm m ori m−1 ori z }| { }| { z [x1 , . . . , xn , x + h, . . . , x + h; f ] − [x1 , . . . , xn , x + h, . . . , x + h, x; f ] = (m−1)! lim ( + h→0 h m−1 ori m−2 ori }| { z z }| { [x1 , . . . , xn , x + h, . . . , x + h, x; f ] − [x1 , . . . , xn , x, . . . , x, x, x; f ] + + ... h m ori m−1 ori z }| { z }| { [x1 , . . . , xn , x + h, x, . . . , x; f ] − [x1 , . . . , xn , x, . . . , x; f ] ... + )= h m ori }| { z = (m − 1)! lim ([x1 , . . . , xn , x + h, . . . , x + h, x; f ]+ h→0
m−1 ori m ori z }| { z }| { +[x1 , . . . , xn , x + h, . . . , x + h, x, x; f ] + . . . + [x1 , . . . , xn , x + h, x, . . . , x; f ]) =
= m![x1 , . . . , xn , x, . . . , x; f ]. | {z } m+1 ori
44
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
Probleme ¸si teme de seminar P 2.1 S˘ a se demonstreze formula [x1 , x2 , . . . , xn+1 ; f ] =
1 1 ... 1
x1 . . . x1n−1 f (x1 ) x2 . . . x2n−1 f (x2 ) ... ... ... ... n−1 xn+1 . . . xn+1 f (xn+1 ) V (x1 , x2 , . . . , xn+1 )
.
P 2.2 S˘ a se arate c˘ a 1. [x1 , x2 , . . . , xn+1
; xm ]
=
2. [x1 , x2 , . . . , xn+1 ; x1 ] = 3. [x1 , x2 , . . . , xn+1 ; x12 ] =
0 dac˘ a m ∈ {0, 1, . . . , n − 1} 1 dac˘ a m = n.
(−1)n x1 x2 ...xn+1 (−1)n x1 x2 ...xn+1
Pn+1
1 i=1 xi
P 2.3 S˘ a se calculeze determinant¸ii: 1.
2.
3.
n+1
... ... ... ...
xn+1 1 xn+1 2 ... xn+1 n+1
x1n−1 x2n−1 ... n−1 xn+1
xn+1 1 xn+1 2 ... xn+1 n+1
1
x1
. . . x1n−1
1
x2
. . . x2n−1
1 1 ... 1
x21 x22 ... x2n+1
x31 x32 ... x3n+1
1 1 ... 1
x1 x2 ... xn+1
... ... ... ...
1 x21 1 x22
... ... ... ... ... n−1 1 xn+1 . . . xn+1 x21
P 2.4 S˘ a se arate c˘ a dac˘ a f ∈ Pn atunci [x1 , x2 , . . . , xn+1 ;
f (x) f (z) ]= z−x (z − x1 ) . . . (z − xn+1 )
P 2.5 Fie a cˆ ate dou˘ a de pe axa real˘ a ¸si Q x, x1 , x2 , . . . , xn puncte distincte dou˘ u(x) = ni=1 (x − xi ). S˘ a se deduc˘ a relat¸iile
45
2.4. DIFERENT ¸ E DIVIZATE
f (xk ) k=1 (x−xk )u0 (xk )
= −[x, x1 , . . . , xn ; f ] +
xn −xn k k=1 (x−xk )u0 (xk )
= 1;
1.
Pn
2.
Pn
3. Dac˘ a ϕ(x) = 1 +
x 1!
+
x(x+1) 2!
+ ... +
n X k=1
f (x) u(x) ;
x(x+1)...(x+n−1) n!
atunci
1 − (−k)n = n!. (1 + k)ϕ0 (−k)
P 2.6 Fie x1 , x2 , . . . , xn+1 r˘ ad˘ acinile polinomului Cebˆı¸seb Tn+1 . S˘ a se arate c˘ a L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) = unde αj =
1 2
1
dac˘ a dac˘ a
n
n+1
j=0
k=1
X 2 X αj ( f (xk )Tj (xk ))Tj (x), n+1
j=0 . j≥1
P 2.7 S˘ a se determine polinomul de interpolare Lagrange – Hermite care satisface condit¸iile de interpolare H (j) (a) = f (j) (a) H
(j)
(b) = f
(j)
j ∈ {0, 1, . . . , m} j ∈ {0, 1, . . . , n}
(b)
R. H(x) =
x−b a−b
n+1 X m j=0
(x − a)j j!
# "m−j X x − a m + k f (j) (a)+ k b−a k=0
"n−j # n x − a m+1 X (x − b)j X x − b n+k + f (j) (b). k b−a j! a−b j=0
k=0
P 2.8 Utilizˆ and notat¸iile §2.3, dac˘ a r = max{r1 , . . . , rn+1 } ¸si f este o funct¸ie de r ori derivabil˘ a, atunci expresia polinomului de interpolare Lagrange – Hermite se poate scrie ri n+1 X X (x − xi )s f (t) (s) H(x) = ui (x) . s! ui (t) t=xi i=1
s=0
P 2.9 Fie I ⊆ R un interval compact, punctele x0 < x1 < . . . < xn din I ¸si funct¸ionala DI ∈ [C ( I)]∗ definit˘ a prin DI (f ) = [x0 , . . . , xn ; f ]. S˘ a se arate c˘ a Pn 1 1. kDI k = i=0 |u0 (x i )| Qn unde u(x) = i=0 (x − xi ).
46
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
2. Dac˘ a xj = cos (n−j)π , j ∈ {0, 1, . . . , n}, adic˘ a xj sunt punctele de extrem n ale polinomului Cebˆı¸seb Tn (x) din intervalul [−1, 1], atunci kDI k = 2n−1 , unde I = [−1, 1]. 3. Daca I = [−1, 1] ¸si −1 ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ 1 atunci kDI k ≥ 2n−1 . R. 1. Inegalitatea |D(f )| ≤ kf k∞
Pn
1 i=0 |u0 (xi )|
este imediat˘a. Pentru
(−1)n dac˘a x ∈ (∞, x0 ) 1 dac˘a x ∈ (xn , ∞) f (x) = n−j (−1) dac˘a x = xj afin˘a ˆın rest au loc relet¸iile n X i=0
n
n
i=0
i=0
X f (xi ) X 1 1 = | | = |D(f )| ≤ kDkkf k ≤ kDk ≤ . ∞ 0 0 0 |u (xi )| u (xi ) |u (xi )|
2. (n)
2n−1 =
n
n
n
i=0
i=0
i=0
X Tn (xi ) X (−1)n−i X 1 Tn (ξ) = [x0 , . . . , xn ; Tn ] = = = = kDk. n! u0 (xi ) u0 (xi ) |u0 (xi )|
3. ˆIn cazul unor noduri oarecare din intervalul [−1, 1] au loc inegalit˘a¸tile 2
n−1
= [x0 , . . . , xn ; Tn ] =
n X Tn (xi )
u0 (xi ) i=0
≤
n X
1
|u0 (xi )| i=0
= kDk.
Capitolul 3
Convergent¸a procedeelor de interpolare Dat˘a fiind ¸sirurile de noduri de interpolare (1)
x1 (2) (2) x1 x2 (3) (3) (3) x1 x2 x3 ... ... ... ... (n) (n) (n) (n) x1 x2 x3 . . . xn ... ... ... ... ... ...
(3.1)
(n)
(n)
o funct¸ie f ¸si ¸sirul funct¸iilor de interpolare Ln (x) a lui f ˆın nodurile x1 , x2 , (n) (n) x3 , . . . , xn , se ridic˘a ˆıntrebarea dac˘a ¸sirul Lk converge sau nu c˘atre f. ˆIn cele ce urmeaz˘a vom vedea c˘a r˘aspunsul poate fi atˆat afirmativ cˆat ¸si negativ, ˆın funct¸ie de interpolarea folosit˘a.
3.1
Spat¸ii liniar ordonate
Definit¸ie 3.1.1 Se nume¸ste spat¸iu liniar ordonat real o mult¸ime X cu propriet˘ a¸tile 1. X este spat¸iu liniar peste corpul numerelor reale; 2. X este un spat¸iu ordonat (relat¸ia de ordine fiind notat˘ a ≤); 3. pentru orice x, y, z ∈ X ¸si orice a ∈ R, x ≤ y =⇒
47
x+z ≤y+z ax ≤ ay
48
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
Fie E o mult¸ime oarecare ¸si F (E) spat¸iul liniar al funct¸iilor definite ˆın E cu valori reale. Definind ˆın F (E) relat¸ia de ordine f ≤g
⇐⇒
f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ E,
F (E) devine un spat¸iu liniar ordonat real. Definit¸ie 3.1.2 Fie X, Y spat¸ii liniar ordonate reale. Un operator liniar U ∈ (X, Y )# este pozitiv dac˘ a ∀x ≥ 0
=⇒
U (x) ≥ 0.
Teorema 3.1.1 Dac˘ a U : F (E) → F (E) este un operator liniar ¸si pozitiv atunci (i) f ≤ g
=⇒
(ii) |U (f )| ≤ U (|f |),
U (f ) ≤ U (g); ∀f ∈ F (E).
Mult¸imea funct¸iilor reale ¸si continue definite ˆın intervalul m˘arginit ¸si ˆınchis [a, b], notat uzual prin C[a, b], este un spact¸iu liniar ordonat real (E = [a, b]). Totodat˘a C[a, b] este un spat¸iu normat, cu norma kf k = maxx∈[a,b] |f (x)|. Convergent¸a unui ¸sir de funct¸ii, ˆın sensul acestei norme, ˆınseamn˘a convergent¸a uniform˘a. Teorema 3.1.2 (Korovkin) Fie (Un )n∈N , Un : C[a, b] → C[a, b] un ¸sir de operatori liniari ¸si pozitivi ¸si ei (x) = xi . Dac˘ a lim Un (ei ) = ei ,
n→∞
i ∈ {0, 1, 2},
atunci, pentru orice f ∈ C[a, b] are loc lim Un (f ) = f.
n→∞
Demonstrat¸ie. Fie f ∈ C[a, b]. Funct¸ia f este uniform continu˘a, adic˘a ∀ > 0
∃δ > 0
astfel ˆıncˆat
∀|t − x| < δ
⇒
|f (t) − f (x)| < . 2
2
kf k. Prin urmare, pentru Dac˘a |t − x| ≥ δ atunci |f (t) − f (x)| ≤ kf k ≤ 2 (t−x) δ2 orice t, x ∈ [a, b] are loc inegalitatea |f (t) − f (x)| ≤
(t − x)2 +2 kf k. 2 δ2
(3.2)
Not˘am prin un (x), vn (x), wn (x) funct¸iile definite prin un (x) = Un (e0 )(x) − 1,
vn (x) = Un (e1 )(x) − x,
wn (x) = Un (e2 )(x) − x2 .
49
3.1. SPAT ¸ II LINIAR ORDONATE
Din ipoteza teoremei rezult˘a c˘a lim un (x) = 0,
n→∞
lim vn (x) = 0,
n→∞
lim wn (x) = 0,
n→∞
(3.3)
uniform ˆın [a, b]. Pentru operatorul Un , punem ˆın evident¸˘a variabila funct¸iei original ¸si variabila funct¸iei imagine pentru un operator Un , respectiv prin t ¸si x. Datorit˘a liniarit˘a¸tii lui Un , au loc egalit˘a¸tile Un (f )(x) − f (x) = Un (f (t))(x) − f (x) = = Un (f (t))(x) − f (x)(Un (e0 (t))(x) − un (x)) = Un (f (t) − f (x))(x) + f (x)un (x). Fie > 0 ¸si δ > 0, ce rezult˘a din uniform continuitatea funct¸iei f. Din egalitatea anterioar˘a, datorit˘a inegalit˘a¸tii (3.2) ¸si pozitivit˘a¸tii operatorului Un , rezult˘a c˘a |Un (f )(x) − f (x)| ≤ (3.4) ≤ |Un (f (t) − f (x))(x)| + kf k |un (x)| ≤ Un (|f (t) − f (x)|)(x) + kf |kun (x)| ≤ (t − x)2 kf k)(x) + kf k |un (x)|. ≤ Un ( + 2 2 δ2 Dezvoltˆand membrul drept din (3.4), g˘asim c˘a acesta este egal cu 2kf k Un (e0 (t))(x) + 2 Un ((t − x)2 )(x) + kf k |un (x)| = 2 δ 2kf k = (1 + un (x)) + 2 Un ((t − x)2 )(x) + kf k |un (x)| = 2 δ 2kf k = (1 + un (x)) + 2 (wn (x) − 2xvn (x) + x2 un (x)) + kf k |un (x)|. 2 δ A¸sadar (3.4) devine |Un (f )(x) − f (x)| ≤
2kf k + ( + kf k)|un (x)| + 2 (wn (x) − 2xvn (x) + x2 un (x)). 2 2 δ
Intervalul [a, b] fiind compact ¸si (3.3) implic˘a existent¸a unui n0 ∈ N, astfel ˆıncˆat pentru orice n > n0 s˘a fie adev˘arat˘a inegalitatea 2kf k ( + kf k)|un (x)| + 2 |wn (x) − 2xvn (x) + x2 un (x)| < . 2 δ 2 Astfel |Un (f )(x) − f (x)| < , ∀n > n0 , ∀x ∈ [a, b], adic˘a are loc convergent¸a ¸sirului (Un (f ))n∈N c˘atre f. Analiza demonstrat¸iei de mai sus, permite enunt¸area urm˘atoarei versiuni a Teoremei 3.1.2
50
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
Teorema 3.1.3 Fie (Un )n∈N , Un : C[a, b] → C[a, b] un ¸sir de operatori liniari ¸si pozitivi. Dac˘ a lim Un ((t − x)2 )(x) = 0
lim Un (1) = 1 ¸si
n→∞
n→∞
atunci, pentru orice f ∈ C[a, b] are loc lim Un (f ) = f.
n→∞
3.2
Interpolare ¸si aproximare
Pentru o funct¸ie continu˘a indic˘am un ¸sir de polinoame de interpolare a funct¸iei care ˆın plus converge converge. (n)
Teorema 3.2.1 (Fej´ er) Fie f ∈ C[−1, 1] ¸si xk = cos (2k−1)π , k ∈ {1, 2, . . . , n} 2n r˘ ad˘ acinile polinomului lui Cebˆı¸sev Tn (x) = cos n arccos x. Dac˘ a F2n−1 este polinomul de interpolare Lagrange-Hermite care satisface condit¸iile de interpolare (n)
(n)
F2n−1 (xk ) = f (xk (n) 0 F2n−1 (xk ) = 0
∀ k ∈ {1, 2, . . . , n},
atunci ¸sirul (F2n−1 )n∈N converge c˘ atre f (uniform ˆın [−1, 1]). Demonstrat¸ie. Utilizˆand expresia polinomului lui Fej´er (2.18), cu notat¸iile introduse la deducerea lui, g˘asim F2n−1 (x) =
n X
(n)
f (xk
h
(n)
(n)
1 − (x − xk )
k=1
w00 (xk ) i (n) w0 (xk )
lk2 (x),
(3.5)
Q (n) 1 Tn (x). unde w(x) = nk=1 (x − xk ) = 2n−1 T ¸ inˆand seama de expresia polinomului lui Cebˆı¸sev, se deduc egalit˘a¸tile (n)
w00 (xk ) (n) w0 (xk )
lk2 (x)
(n)
= =
xk ) (n)
1−(xk ))2 (n) Tn2 (x) 1−(xk )2 · 2 (n) n (x−x )2 k
Exprimarea (3.5) devine n
F2n−1 (x) =
(n)
Tn2 (x) X (n) 1 − xxk f (xk ) . (n) n2 (x − x )2 k=1
k
Definim ¸sirul de operatori Fn : C[−1, 1] → C[−1, 1] prin Fn (f )(x) = F2n−1 (x). Fn este un operator liniar ¸si pozitiv. ˆIn continuare verific˘am condit¸iile Teoremei 3.1.3.
51
˘ 3.3. DIVERGENT ¸ A INTERPOLARII LAGRANGE
1. Din formula restului polinomului de interpolare Lagrange – Hermite (2.17) rezult˘a c˘a Fn (1)(x) = 1. 2. Au loc egalit˘a¸tile n
Fn ((t − x)2 )(x) =
(n)
1 − xxk Tn2 (x) X (n) = (xk − x)2 2 (n) n (x − x )2 k=1
=
Tn2 (x) (n − x n2
n X k=1
(n)
xk ) =
k
Tn2 (x) → 0, n → ∞, n
¸si ˆın consecint¸˘a limn→∞ Fn (f ) = limn→∞ F2n−1 = f.
3.3
Divergent¸a interpol˘ arii Lagrange
Deducerea rezultatului de divergent¸˘a necesit˘a cunoa¸sterea unei serii de probleme din topologie (Spat¸ii topologice Baire) ¸si analiz˘a funct¸ional˘a (Principiul condens˘arii singularit˘a¸tilor) cˆat ¸si o estimare a normei operatorului Fourier. Aceste probleme sunt prezentate ˆın sect¸iunile urm˘atoare.
3.3.1
Stat¸iu topologic Baire
Fie X un spat¸iu topologic. Definit¸ie 3.3.1 O submult¸ime nevid˘ a Y ⊂ X este rar˘ a dac˘ a int(Y ) = ∅. Definit¸ie 3.3.2 O submult¸ime nevid˘ a este de categoria I dac˘ a se poate reprezenta ˆ caz contrar submult¸imea este de ca o reuniune num˘ arabil˘ a de mult¸imi rare. In categoria II. Definit¸ie 3.3.3 O submult¸ime nevid˘ a este rezidual˘ a dac˘ a este complementara unei mult¸imi de categoria I. Definit¸ie 3.3.4 O submult¸ime nevid˘ a este superdens˘ a dac˘ a este dens˘ a ˆın spat¸iul topologic, rezidual˘ a ¸si nenum˘ arabil˘ a. Definit¸ie 3.3.5 Un spat¸iu topologic se nume¸ste spat¸iu topologic Baire dac˘ a orice submult¸ime nevid˘ a ¸si deschis˘ a este de categoria II. Au loc urm˘atoarele rezultate: Teorema 3.3.1 Fie X un spat¸iu topologic, Y o submult¸ime nevid˘ a ˆın X ¸si Z = X\Y. Urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt echivalente:
52
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
(i) Y este deschis˘ a ¸si dens˘ a ˆın X; (ii) Z este ˆınchis˘ a ¸si rar˘ a. Demonstrat¸ie. Y deschis˘a ⇔ Z ˆınchis˘a. Fie Y, o submult¸ime deschis˘a ¸si dens˘a ˆın X, Y = X. Presupunem prin absurd c˘a Z nu e rar˘a, adic˘a exist˘a x ∈ int(Z) = int(Z) ⊆ Z. Atunci Z este o vecin˘atate a lui x. Din Y ∩ Z = ∅ rezult˘a c˘a x ∈ / Y , ceea ce contrazice ipoteza Y = X. Invers, fie Z o submult¸ime ˆınchis˘a ¸si rar˘a. Dac˘a presupunem prin absurd c˘ a Y nu este dens˘a atunci exist˘a x ∈ X\Y ⊆ X\Y = Z. Submult¸imea X\Y este deschis˘a, deci ∅ = 6 int(Z) ⊆ int(Z), ceea ce contrazice ipoteza int(Z) = ∅. Teorema 3.3.2 Orice submult¸ime a unei mult¸imei de categoria I este de categoria I. Demonstrat¸ie. Fie Y o mult¸ime de categoria I, reprezentat˘a prin [ Y = Yn , Yn submult¸ime rar˘a, ∀n ∈ N. n∈N
S Dac˘a Z ⊂ Y atunci Z = Z ∩ Y = n∈N (Z ∩ Yn ), iar submult¸imile Z ∩ Yn sunt rare, ∀n ∈ N. Un spat¸iu topologic Baire este caracterizat de urm˘atoarea proprietate Teorema 3.3.3 Un spa¸siu topologic este spat¸iu topologic Baire dac˘ a ¸si numai dac˘ a o intersect¸ie num˘ arabil˘ a de mult¸imi deschise ¸si dense r˘ amˆ ane dens˘ a. Demonstrat¸ie. Fie X un spat¸iu topologic Baire ¸si familia (Xn )n∈N T de mult¸imi deschise ¸si dense ˆın X. Presupunem prin absurd c˘a mult¸imea Z = n∈N Xn nu e dens˘a ˆın X. Atunci mult¸imea Y = X\Z este deschis˘a ¸si nevid˘a. Din relat¸iile [ [ Y = X\Z ⊆ X\Z = X ∩ C(Z) = (X ∩ C(Xn )) = (X\Xn ), n∈N
deducem utilizˆand Teoremele 3.3.1 ¸si 3.3.2 c˘a Y este de categoria I, contrazicˆand proprietatea de spat¸iu topologic Baire a lui X. Reciproc, presupunem prin absurd c˘a X nu e spat¸iu topologic Baire, adic˘ a exist˘a o mult¸ime nevid˘a ¸si deschis˘a Y astfel ˆıncˆat [ Y = Yn Yn submult¸ime rar˘a, ∀n ∈ N. n∈N
Submult¸imile Xn = X\Y n = C(Y n ) sunt deschise ¸si dense ˆın X, X n = C(Y n ) = C(int(Y n )) = X.
53
˘ 3.3. DIVERGENT ¸ A INTERPOLARII LAGRANGE
T Potrivit ipotezei n∈N Xn = X. Pe de alt˘a parte, [ [ [ \ ∅= 6 Y = Yn ⊆ Yn = C(Xn ) = C( Xn ), n∈N
n∈N
n∈N
n∈N
ceea ce contrazice afirmat¸ia anterioar˘a. Recunoa¸sterea unui spat¸iu topologic Baire este u¸surat˘a de Teorema 3.3.4 Un spat¸iu metric complet este un spat¸iu topologic Baire. Demonstrat¸ie. Presupunem prin absurd c˘a exist˘a o mult¸ime deschis˘a ¸si nevid˘a Y de categoria I: [ Y = Yn Yn submult¸ime rar˘a, ∀n ∈ N∗ . n∈N∗
Fie B0 = Y. Mult¸imea deschis˘a B0 \Y 1 este nevid˘a – altfel Y = B0 ⊆ Y 1 , cea ce ar contrazice raritatea lui Y1 . Prin urmare exist˘a x1 ∈ B0 \Y 1 ¸si r10 > 0 astfel ˆıncˆat B(x1 , r10 ) ⊆ B0 \Y 1 .1 Pentru r1 = min{1, 21 r10 } mult¸imea B1 = B(x1 , r1 ) satisface relat¸iile B 1 ∩ Y 1 = ∅, B 1 ⊆ B0 . Inductiv, presupunem c˘a s-au construit mult¸imile Bi = B(xi , ri ), i = 1, 2, . . . , n− 1 astfel ˆıncˆat B i ∩ Y i = ∅, B i ⊆ Bi−1 . Mult¸imea deschis˘a Bn−1 \Y n este nevid˘a – altfel Bn−1 ⊆ Y n , cea ce ar contrazice raritatea lui Yn . Exist˘a xn ∈ Bn−1 \Y n ¸si rn0 > 0 astfel ˆıncˆat B(xn , rn0 ) ⊆ Bn−1 \Y n . Pentru rn = min{ n1 , 12 rn0 } mult¸imea Bn = B(xn , rn ) satisface relat¸iile B n ∩ Y n = ∅, B n ⊆ Bn−1 . S¸irul (xn )n∈N∗ este fundamental, deci convergent. Fie x = limn→∞ xn . Deoarece xn ∈ Bn ⊆ B1 , ∀n ∈ N∗ , rezult˘a c˘a x ∈ B n ⊆ B 1 ⊆ B0 = Y. Pe de alt˘a parte, pentru orice n ≥ m, xn ∈ Bm , de unde x ∈ Bm ⇔ x ∈ / Y m,
∀m ∈ N∗ .
Urmeaz˘a x ∈ / Y, ˆın contradict¸ie cu (3.6). 1
B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}, unde d(x, y) este distant¸a dintre x ¸si y.
(3.6)
54
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
3.3.2
Principiul condens˘ arii singularit˘ a¸tilor
Fie X, Y spat¸ii normate ¸si o submult¸ime de operatori liniari ¸si continui A ⊆ (X, Y )∗ . Mult¸imea singularit˘a¸tilor ata¸sat submult¸imii de operatori liniari ¸si pozitivi A este SA = {x ∈ X : sup kA(x)k = ∞}. A∈A
Propriet˘a¸ti ale acestei mult¸imi sunt precizate ˆın Teorema 3.3.5 (Principiul condens˘ arii singularit˘ a¸tilor) Dac˘ a X este un spactiu Banach, Y un spat¸iu normat ¸si A o submult¸ime de operatori liniari ¸si continui, astfel ˆıncˆ at supA∈A kAk = ∞, atunci mult¸imea singularit˘ a¸tilor ata¸sat˘ a familiei A este superdens˘ a ˆın X. Demonstrat¸ie. Introducem mult¸imile Xn = {x ∈ X : ∃A ∈ A astfel ˆıncˆat kA(x)k > n}
n ∈ N.
Atunci avem (i) SA =
\
Xn .
(3.7)
n∈N
(ii) [
Xn =
{x ∈ X : kA(x)k > n},
A∈A
deci Xn este o submult¸ime deschis˘a. (iii) X n = X. Pentru justificarea acestei afirmat¸ii, presupunem prin absurd, c˘a exist˘a n ∈ N ¸si x0 ∈ X\X n . Deoarece mult¸imea X\X n este deschis˘a, exist˘a r > 0 astfel ˆıncˆat B(x0 , r) = {x ∈ X : kx − x0 k ≤ r} ⊂ X\X n . Din identitatea A(x) = se deduce
kxk x + x0 ) − A(x0 )] [A(r r kxk
2n kxk, ∀x ∈ X, ∀A ∈ A, r + x0 , x0 ∈ B(x0 , r) ⊂ X\X n . kA(x)k ≤
x deoarece r kxk
(3.8)
Inegalitatea (3.8) contrazice ipoteza supA∈A kAk = ∞. Spat¸iul Banach X este un spat¸iu topologic Baire ¸si din (3.7), potrivit Teoremei 3.3.3, mult¸imea SA este dens˘a ˆın X.
55
˘ 3.3. DIVERGENT ¸ A INTERPOLARII LAGRANGE
(iv) Din Teorema 3.3.1 mult¸imea X\X n este ˆınchis˘a ¸si rar˘a. Relat¸ia (3.7) implic˘a \ \ [ SA = Xn = X\(X\ Xn ) = X\ (X\Xn ), n∈N
n∈N
n∈N
adic˘a SA este o mult¸ime rezidual˘a. Dac˘a x ∈ SA ¸si λ > 0 atunci λx ∈ SA , deci SA este nenum˘arabil˘a. O consecint¸˘a important˘a a Teoremei 3.3.5 este Teorema 3.3.6 (Principiul m˘ arginirii uniforme) Dac˘ a X este un spat¸iu Banach, Y un spat¸iu normat, atunci orice submult¸ime de operatori liniari ¸si continui, A ⊆ (X, Y )∗ m˘ arginit˘ a punctual, ∀x ∈ X, supA∈A kA(x)k < ∞, este uniform m˘ arginit˘ a, supA∈A kAk < ∞.
3.3.3
Norma operatorilor integrali
Evaluarea normei unui operator integral se bazeaz˘a pe Teorema 3.3.7 Fie I = [a, b] ¸si C(I) spat¸iul Banach al funct¸iilor continue definite ˆın I ¸si cu valori complexe. Dac˘ a e ∈ C(I), atunci norma funct¸ionalei x∗ ∈ [C(I)]∗ , definit˘ a prin Z x∗ (x) = e(t)x(t)dt I
este kx∗ k =
R I
|e(t)|dt.
Demonstrat¸ie. Norma Runei funct¸ii x ∈ C(I) este R kxk = maxt∈I |x(t)|. Din inegalitatea |x∗ (x)| ≤ kxk I |e(t)|dt rezult˘a kx∗ k ≤ I |e(t)|dt. Apoi, pentru n ∈ N, au loc relat¸iile Z Z Z |e(t)| n|e(t)|2 |e(t)|dt = dt + dt ≤ I I 1 + n|e(t)| I 1 + n|e(t)| ne(t) b−a dt ≤ + kx∗ k. 1 + n|e(t)| n I I R Pentru n → ∞ se obt¸ine inegalitatea I |e(t)|dt ≤ kx∗ k. Fie k : I × I → C o funct¸ie continu˘a ¸si operatorul liniar A : C(I) → C(I) definit prin Z Z
≤
1 dt + n
Z
e(t)
A(x)(t) =
k(t, s)x(s)ds. I
Atunci
56
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
Teorema 3.3.8 Norma operatorului A este kAk = maxt∈I
R I
|k(t, s)|ds.
Demonstrat¸ie. Din inegalit˘a¸tile Z Z |A(x)(t)| = | k(t, s)x(s)ds| ≤ |k(t, s)| |x(s)|ds ≤ I
I
Z
Z ≤ kxk
|k(t, s)|ds
|k(t, s)|ds ≤ kxk max t∈I
I
rezult˘a
I
Z |k(t, s)|ds
kA(x)k ≤ kxk max t∈I
I
¸si Z |k(t, s)|ds.
kAk ≤ max t∈I
I
R R Fie t0 ∈ I astfel ˆıncˆat I |k(t0 , s)|dt = maxt∈I I |k(t, s)|ds, ¸si funct¸ia e(t) = k(t0 , t). R R Funct¸ionala e∗ R∈ [C(I)]∗ , definit˘a prin e∗ (x) = I e(s)x(s)ds = I k(t0 , s)ds are norma ke∗ k = I |k(t0 , s)|ds. Din relat¸iile kAk = sup kA(x)k = sup max |A(x)(t)| ≥ kxk≤1 t∈I
kxk≤1 ∗
∗
Z
≥ sup |A(x)(t0 )| = sup |e (x)| = ke k = kxk≤1
kxk≤1
|k(t0 , s)|ds, I
rezut˘a egalitatea enunt¸at˘a.
3.3.4
Norma operatorului Fourier
Fie C2π spat¸iul funct¸iilor reale, continue ¸si periodice cu perioada 2π. Operatorul lui Fourier Sn : C2π → C2π este definit prin n
a0 X Sn (x)(t) = + (ak cos kt + bk sin kt) 2 k=1
unde ak =
1 π
Z
π
x(t) cos ktdt,
bk =
−π
Prin calcul direct vom deduce
1 π
Z
π
x(t) sin ktdt, −π
k ∈ {0, 1, . . . , n}.
57
˘ 3.3. DIVERGENT ¸ A INTERPOLARII LAGRANGE
Teorema 3.3.9 Are loc egalitatea 1 Sn (x)(t) = π
Z
π
x(t) −π
sin (n + 21 )(s − t) ds. 2 sin s−t 2
Demonstrat¸ie. ˆIn baza identit˘a¸tii sin (n + 21 )a 1 + cos a + cos 2a + . . . + cos na = 2 2 sin a2 rezult˘a
=
1 π
Z
n
π
1 X x(s)[ + cos k(s − t)]ds = 2 −π
1 π
Sn (x)(t) =
k=1
sin (n + 12 )(s x(t) 2 sin s−t −π 2
Z
π
− t)
ds.
Teorema 3.3.10 Norma operatorului Sn este Z 1 π sin (n + 12 )τ kSn k = dτ π 0 sin τ2 Demonstrat¸ie. Potrivit Teoremei 3.3.8, norma operatorului Sn este Z 1 π sin (n + 12 )(s − t) kSn k = max ds, t∈I π −π 2 sin s−t 2 unde I = [−π, π]. Prin schimbarea de variabil˘a s − t = τ, integrala din expresia normei devine Z π Z π−t 1 1 sin (n + 2 )(s − t) sin (n + 2 )τ ds = dτ. 2 sin τ2 2 sin s−t −π −π−t 2 Datorit˘a periodicit˘a¸tii ¸si parit˘a¸tii funct¸iei de sub integral˘a, rezult˘a Z Z 1 π sin (n + 12 )τ 1 π sin (n + 12 )τ kSn k = max dτ = dτ. t∈I π 0 sin τ2 π 0 sin τ2 Teorema 3.3.11 Are loc inegalitatea kSn k ≥
4 ln (n + 1). π2
58
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
2πt Demonstrat¸ie. Prin schimbarea de variabil˘a τ = 2n+1 , din expresia normei operatorului Sn , deducem Z n+ 1 2 sin πt 2 (3.9) kSn k = πt dt = sin 2n+1 2n + 1 0
=
2 2n + 1
Z n+ 1 2 sin πt πt dt + sin 2n+1 n
n−1 X Z j+1 j
j=0
sin πt ≥ πt dt sin 2n+1
sin πt πt dt. sin 2n+1
n−1 Z j+1
2 X ≥ 2n + 1 j=0
Dac˘a t ∈ [j, j + 1] atunci sin
πt 2n+1
j
∈ [0, π2 ] ¸si ˆın consecint¸˘a
πt π(j + 1) π(j + 1) πj ≤ sin ≤ sin ≤ , 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1
de unde
| sin πt| | sin πt| πt ≥ π(j+1) . sin 2n+1 2n+1
Deoarece
R j+1 j
| sin πt|dt = π2 , inegalitatea (3.9) ne d˘a kSn k ≥
n 4 X1 . π2 j j=1
Din teorema de medie Lagrange, rezult˘a inegaliteatea 1 1 > ln j + 1 − ln j > , j j+1 care conduce la kSn k ≥
3.3.5
4 π2
ln (n + 1).
Divergent¸a polinoamelor de interpolare Lagrange
Not˘am uk (x) = cos kx, vk (x) = sin kx, k ∈ N, prin C2π spat¸iul liniar al funct¸iilor continue ¸si periodice, cu perioada 2π, Ep mult¸imea funct¸iilor pare din C2π ¸si Wn = span{u0 , u1 , . . . , un }. Teorema 3.3.12 Dac˘ a P ∈ (Ep , Wn )∗ astfel ˆıncˆ at 1. P 2 = P, 2. P(Ep ) = Wn , (adic˘ a P este operator surjectiv),
59
˘ 3.3. DIVERGENT ¸ A INTERPOLARII LAGRANGE
atunci kI − Pk ≥
2 π2
ln(n + 1) − 21 .
Demonstrat¸ie. Not˘am prin Ty : C2π → C2π operatorul definit prin Ty (f )(x) = f (x + y). Urm˘atoarele proipriet˘a¸ti ale lui Ty sunt imediate Ty−1 = T−y , unde prin I s-a notat opera-
⇔
1. Ty T−y = T−y Ty = I torul identic. 2. kTy k = 1. Definim operatorul liniar e )(t) = 1 P(f 2π
Z
π
Ts (I − P)(T−s + Ts )(f )(t)ds. −π
Pentru orice t ∈ [−π, π] ¸si orice f ∈ C2π din inegalitatea e )(t)| ≤ 2kI − Pk kf k |P(f e )k ≤ 2kI − Pk kf k ¸si deci deducem c˘a kP(f e ≤ 2kI − Pk. kPk
(3.10)
e = I − Sn , P
(3.11)
Vom ar˘at˘am c˘a unde Sn este operatorul lui Fourier. ˆIntrucˆat orice funct¸ie din Ep se poate scrie ca o serie de forma P∞ ai ui este i=0 suficient s˘a ar˘at˘am c˘a e i ) = (I − Sn )(ui ), P(u Deoarece
∀i ∈ N.
ui 0
pentru 0 ≤ i ≤ n pentru i > n
0 ui
pentru 0 ≤ i ≤ n pentru i > n.
Sn (ui ) = r˘amˆane de ar˘atat c˘a e i) = P(u
Din surjectivitatea operatorului P rezult˘a c˘a ∀p ∈ Wn
∃f ∈ Ep
astfel ˆıncˆat
P(f ) = p.
60
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
Atunci p = P(f ) = P 2 (f ) = P(p),
∀p ∈ Wn .
(3.12)
Au loc egalit˘a¸tile (T−s + Ts )(ui )(t) = ui (t − s) + ui (t + s) = 2ui (t)ui (s), de unde P(T−s + Ts )(ui )(t) = 2ui (s)P(ui )(t).
(3.13)
Pentru 0 ≤ i ≤ n, ui ∈ Wn , din (3.12) ¸si (3.13) rezult˘a c˘a (I − P)(T−s + Ts )(ui )(t) = 0, e i ) = 0. deci P(u P Dac˘a i > n atunci P(ui ) se reprezint˘a sub forma P(ui ) = nj=0 aj uj unde aj ∈ R, ∀ 0 ≤ j ≤ n. T ¸ inˆand seama de (3.13) g˘asim Ts (I −P)((T−s +Ts )(ui )(t) = Ts (I −P)(2ui (s)ui (t)) = 2ui (s)Ts (ui −
n X
aj uj )(t) =
j=0
= 2ui (s)[ui (s)ui (t) − vi (s)vi (t) −
n X
aj (uj (s)uj (t) − vj (s)vj (t))].
j=0
Prin urmare Z π Z π h e i )(t) = 1 ui (t) u2i (s)ds − vi (t) ui (s)vi (s)ds− P(u 2π −π −π −
n X
Z
π
Z
−π
j=0
π
ui (s)uj (s)ds − vj (t)
aj uj (t)
i ui (s)vj (s)ds = ui (t).
−π
ˆIn final, din (3.10) ¸si (3.11) rezult˘a 1 e 1 1 2 1 kI − Pk ≥ kPk = kI − Sn k ≥ | kSn k − 1 | ≥ 2 ln(n + 1) − . 2 2 2 π 2 Teorema 3.3.13 Dac˘ a Q ∈ (C[a, b], Pn )∗ astfel ˆıncˆ at 1. Q2 = Q, 2. Q(C[a, b]) = Pn , atunci kI − Qk ≥
2 π2
ln(n + 1) − 21 .
61
˘ 3.3. DIVERGENT ¸ A INTERPOLARII LAGRANGE
b−a Demonstrat¸ie. Funct¸ia ψ(t) = a+b a bijectiv intervalul 2 + 2 cos t transform˘ [0, π] ˆın [a, b]. Definim operatorul liniar A : C[a, b] → Ep prin f (ψ(t)) dac˘a t ∈ [0, π], A(f )(t) = f (ψ(−t)) dac˘a t ∈ [−π, 0).
Din egalitatea imediat˘a kA(f )k = kf k rezult˘a kAk = 1. Dac˘a A(f ) = 0 atunci kA(f )k = kf k = 0 ¸si, ˆın consecint¸˘a f = 0. Astfel operatorul A este injectiv ¸si deci inversabil. Operatorul P = AQA−1 apart¸ine spat¸iului (Ep , Wn )∗ . Observ˘am c˘a P 2 = AQA−1 AQA−1 = AQ2 A−1 = AQA−1 = P. Deoarece Q = A−1 PA, din relat¸iile kI − Qk = kA−1 (I − P)Ak ≤ kA−1 k kI − Pk kAk = kI − Pk. ¸si kI − Pk = kA(I − P)A−1 k ≤ kAk kI − Qk kA−1 k = kI − Qk. rezult˘a kI − Qk = kI − Pk. Potrivit teoremei anterioare kI − Qk = kI − Pk ≥
1 2 ln(n + 1) − . 2 π 2
Teorema 3.3.14 Fie x1 , x2 , . . . , xn+1 puncte distincte dou˘ a cˆ ate dou˘ a ale unui interval [a, b]. Operatorul L(f ) = L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 )(f ) are urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: (i) L2 = L; (ii) L(C[a, b]) = Pn ; P (iii) kLk = maxx∈[a,b] n+1 a L ∈ (C[a, b], Pn )∗ . Prin li (x) s-au notat i=1 |li (x)|, adic˘ polinoamele fundamentale ale lui Lagrange. Demonstrat¸ie. Afirmat¸iile (i), (ii) rezult˘a din egalitatea L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f ) = f
∀f ∈ Pn .
(iii) Din inegalit˘a¸tile |L(f )(x)| ≤ kf k
n+1 X i=1
|li (x)| ≤ kf k max
x∈[a,b]
n+1 X i=1
|li (x)|
62
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
P se deduce c˘a L ∈ (C[a, b], Pn )∗ ¸si kLk ≤ maxx∈[a,b] n+1 |li (x)|. i=1P Pn+1 Fie x0 ∈ [a, b] astfel ˆıncˆat i=1 |li (x0 )| = maxx∈[a,b] n+1 si funct¸ia i=1 |li (x)| ¸ dac˘a x ∈ {a, b} 1 sgnli (x0 ) dac˘a x = xi , i ∈ {1, 2, . . . , n + 1} . f0 (x) = afin˘a ˆın rest Atunci f0 ∈ C[a, b] ¸si kf0 k = 1. Deoarece L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f0 )(x) =
n+1 X
|li (x0 )|
i=1
au loc relat¸iile max x∈[a,b]
n+1 X i=1
|li (x)| =
n+1 X
|li (x0 )| = kL(f0 )k ≤ kLk ≤ max
x∈[a,b]
i=1
n+1 X
|li (x)|,
i=1
de unde rezult˘a expresia normei operatorului L. ˆIn finalul ecestei sect¸iuni stabilim urm˘atorul rezultat de divergent¸˘a: Teorema 3.3.15 Fie o mult¸ime de ¸siruri de noduri de interpolare (3.1) dintrun interval [a, b]. Mult¸imea funct¸iilor continue f ∈ C[a, b] cu proprietatea c˘ a (1) (n) ¸sirul polinoamelor de interpolare Lagrange L(Pn−1 , x1 , . . . , xn ; f ) nu converge (uniform) c˘ atre f este superdens˘ a ˆın C[a, b]. Demonstrat¸ie. Fie ¸sirul de operatori (Ln )n∈N∗ , Ln ∈ (C[a, b], Pn )∗ definit¸i prin (n)
L(f )(x) = L(Pn−1 ; x1 , . . . , x(n) n ; f )(x)
∀n ∈ N∗ .
Potrivit Teoremei 3.3.14 operatorul Ln satisface ipotezele Teoremei 3.3.13. ˆIn consecint¸˘a 2 1 kI − Ln k ≥ 2 ln (n + 1) − , ∀n ∈ N∗ , π 2 de unde supn∈N∗ kI − Ln k = ∞. Familia de operatori liniari ¸si continui A = {I − Ln : n ∈ N∗ } satisface condit¸ia principiului condens˘arii singularit˘a¸tilor (Teorema 3.3.5). Prin urmare mult¸imea singularit˘a¸tilor SA este superdens˘a ˆın C[a, b]. Astfel mult¸imea funct¸iilor f ∈ C[a, b] pentru care supn∈N∗ k(I − Ln )(f )k = ∞, deci ¸si a acelor funct¸ii pentru care Ln (f ) nu converge uniform c˘atre f este superdens˘a ˆın C[a, b].
˘ 3.3. DIVERGENT ¸ A INTERPOLARII LAGRANGE
63
Probleme ¸si teme de seminar P 3.1 Fie f : [0, 1] → R ¸si polinomul lui Bernstein de grad n ata¸sat Bn (f )(x) = Pn n f ( nk )xk (1 − x)n−k . S˘ a se arate c˘ a k=0 k 1. Bn (1)(x) = 1; 2. Bn (t)(x) = x; 3. Bn (t2 ) =
x+(n−1)x2 . n u
P 3.2 S˘ a se arate c˘ a limn→∞ Bn (f )(x) = f (x), ∀f ∈ C[0, 1], adic˘ a spat¸iul liniar al polinoamelor este dens ˆın C[0, 1] (Weierstrass).
Capitolul 4
Formule de derivare numeric˘ a Prezent˘am dou˘a moduri de aproximare a derivatei unei funct¸ii ˆıntr-un punct: • Aproximarea derivatei prin diferent¸e, util˘a ˆın cazul ˆın care funct¸ia este cunoscut˘a dar derivarea formal˘a este mult prea laborioas˘a; • Aproximarea derivatei prin derivata unei funct¸ii de interpolare, util˘a ˆın cazul ˆın care funct¸ia este cunoscut˘a prin valorile ei ˆıntr-o mult¸ime de puncte.
4.1
Aproximarea derivatei prin diferent¸e
Urm˘atoarele formule de aproximare a derivatelor unei funct¸ii sunt uzuale: 4h f (x) f (x + h) − f (x) = h h
(4.1)
f (x + h) − f (x − h) δ2h f (x) = 2h 2h
(4.2)
δh2 f (x) f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) = 2 h h2
(4.3)
f 0 (x) ' f 0 (x) ' f 00 (x) '
ˆIn ipoteza c˘a f este derivabil˘a de un num˘ar suficient de ori, pentru fiecare din cazurile de mai sus, eroarea aproxim˘arii este evaluat˘a ˆın: Teorema 4.1.1 Au loc relat¸iile: (i) (ii) (iii)
4h f (x) = f 0 (x) + h2 f 00 (c1 ), h 2 δ2h f (x) = f 0 (x) + h6 f (3) (c2 ), 2h 2 f (x) 2 δh = f 0 (x) + h12 f (4) (c3 ), h2
64
x < c1 < x + h; x − h < c2 < x + h; x − h < c3 < x + h.
65
4.2. APROXIMAREA DERIVATEI PRIN INTERPOLARE
Demonstrat¸ie. Cele trei relat¸ii sunt consecint¸e ale dezvolt˘arilor tayloriene ata¸sate unei funct¸ii. Prima egalitate rezult˘a din f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) +
h2 00 f (c1 ) 2
x < c1 < x + h.
Utilizˆand dezvolt˘arile f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) + f (x − h) = f (x) − hf 0 (x) +
h2 00 2 f (x) h2 00 2 f (x)
+ −
h3 (3) (c21 ) 6 f h3 (3) (c22 ) 6 f
x < c21 < x + h x − h < c22 < x
obt¸inem f (x + h) − f (x − h) h2 f (3) (c21 ) + f (3) (c22 ) = f 0 (x) + . 2h 6 2 Funct¸ia f (3) avˆand proprietatea lui Darboux ˆın (x−h, x+h), exist˘a c2 ∈ (min{x− h, x + h}, min{x − h, x + h}) ⊂ (x − h, c + h) astfel ˆıncˆat f (3) = Prin urmare δ2h f (x) h2 = f 0 (x) + f (3) (c2 ). 2h 6 ˆIn mod asem˘an˘ator, din dezvolt˘arile f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) + f (x − h) = f (x) − hf 0 (x) +
h2 00 2 f (x) h2 00 2 f (x)
+ −
h3 (3) (x) 6 f h3 (3) (x) 6 f
+ +
h4 24 (c31 ) h4 24 (c32 )
f (3) (c21 )+f (3) (c22 ) . 2
x < c31 < x + h x − h < c32 < x
obt¸inem f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) h2 f (4) (c31 ) + f (4) (c32 ) 00 = f (x) + . h2 12 2 Repetˆand rat¸ionamentul de mai sus, exist˘a c3 ∈ (x − h, x + h) astfel ˆıncˆat δh2 f (x) h2 (4) 0 = f (x) + f (c3 ). h2 12
4.2
Aproximarea derivatei prin derivata unei funct¸ii de interpolare
Derivata unei funct¸ii f, cunoscut˘a prin valorile ei ˆın punctele a, a+h, . . . , a+nh se poate aproxima prin derivata polinomului de interpolare Lagrange f 0 (x) '
d L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x). dx
(4.4)
66
˘ CAPITOLUL 4. FORMULE DE DERIVARE NUMERICA
Prin substitut¸ia x = a + qh expresia polinomului de interpolare Lagrange devine L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x) = L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(a + qh) = =
n X
n
f (a + ih)
i=0
(−1)n−i Y (q − j) = Q(q). i!(n − i)! j=0 j6=i
ˆIn urma deriv˘arii, aproximarea (4.4) devine f 0 (x) '
d dq L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x) = Q0 (q) = dx dx
n n n 1X (−1)n−i X Y = f (a + ih) (q − j). h i!(n − i)! j=0 i=0
k=0
k6=i j6=i,k
ˆIn mod asem˘an˘ator, derivata de ordinul doi a funct¸iei f se poate aproxima prin f 00 (x) '
d2 dq 2 d2 q 00 0 L(P ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x) = Q (q)( ) + Q (q) = n dx2 dx dx2 n n n n 1 X (−1)n−i X X Y = 2 f (a + ih) (q − j). h i!(n − i)! j=0 i=0
k=0
l=0
k6=i l6=i,k j6=i,k,l
Dac˘a ˆın locul polinomului de interpolare Lagrange se utilizeaz˘a alte funct¸ii de interpolare atunci se deduc alte formule de derivare numeric˘a.
Probleme ¸si teme de seminar P 4.1 Utilizˆ and aproximarea unei funct¸ii cu polinomul de interpolare Lagrange pe noduri echidistante s˘ a se deduc˘ a aproximat¸iile: n 42h f (a) 43h f (a) 1 0 n−1 4h f (a) f (a) ≈ 4h f (x) − + + . . . + (−1) h 2 3 n 2 3 n ∇ f (a) ∇h f (a) ∇ f (a) 1 f 0 (a) ≈ ∇h f (x) + h + + ... + h h 2 3 n Indicat¸ie. f 0 (a) = f 0 (x)|x=a ≈
d L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x)|x=a = dx
67
4.2. APROXIMAREA DERIVATEI PRIN INTERPOLARE
=
n d X 4kh f (a) [ (x − a)(x − a − h) . . . (x − a − (k − 1)h)]|x=a = dx k!hk k=0
=
n X 4kh f (a) d [(x − a)(x − a − h) . . . (x − a − (k − 1)h)]|x=a = k!hk dx k=1
=
n X 4k f (a) h
k=1
k!hk
n
(−h)(−2h) . . . (−(k − 1)h) =
1 X (−1)k−1 4kh f (a) . h k k=1
Capitolul 5
Formule de integrare numeric˘ a Fie f : [a, b] → R o funct¸ie continu˘a. Pentru a calcula integrala funct¸iei ˆın intervalul [a, b] se consider˘a formule de forma Z
b
f (x)dx = a
n X
Ai f (xi ) + R(f ),
i=0
numite formule de integrare numeric˘a sau formule de cvadratur˘a. Punctele x0 , x1 , . . . , xn se numesc nodurile formulei de integrare numeric˘a, iar A0 , A 1 , . . . , A n se numesc coeficient¸ii formulei de integrare numeric˘a. P Practic, evaluarea integralei revine la calculul sumei din membrul drept In = ni=0 Ai f (xi ). Expresia R(f ) este restul formulei de integrare numeric˘a. R(f ) ofer˘a informat¸ii privind clasa funct¸iilor pentru care formula de integrare numeric˘a este eficient˘a, ˆın sensul c˘a pentru funct¸ia dat˘a ¸si ε > 0, pentru n suficient de mare, are loc inegalitatea Z |R(f )| = |
b
f (x)dx − a
n X
Ai f (xi )| < ε.
(5.1)
i=0
In aplicat¸ii, acuratet¸ea aproxim˘arii se probeaz˘a prin satistacerea unei inegalit˘a¸ti de forma |In0 − In | < ε, n0 > n. O metod˘a de obt¸inere a unor formule de integrare numeric˘a const˘a ˆın aproximarea funct¸iei f cu o funct¸ie de interpolare. Astfel exist˘a o mare varietate de formule de integrare numeric˘a. 68
69
˘ 5.1. NATURA APROXIMARII
5.1
Natura aproxim˘ arii funct¸ionalei I(f ) =
Rb a
f (x)dx
Not˘am prin C[a, b] spat¸iul Banach al funct¸iilor reale ¸si continue definite ˆın intervalul compact [a, b], ˆınzestrat cu norma kf k = max{|f (x)| : x ∈ [a, b]}. Consider˘am funct¸ionalele liniare Z b f (x)dx, I(f ) = a
δx (f ) = f (x), n X σ(f ) = Ai δxi (f ). i=0
Astfel se pune problema aproxim˘arii ˆın spat¸iul dual C ∗ [a, b] a funct¸ionalei I cu funct¸ionala σ. Teorema 5.1.1 Au loc egalit˘ a¸tile 1.
kIk
2.
kσk
=b−a n X = |Ai |
(5.2) (5.3)
i=0
3. kI − σk = b − a +
n X
|Ai |
(5.4)
i=0
Demonstrat¸ie. 1. Din inegalit˘a¸tle Z |I(f )| = |
b
Z f (x)dx| ≤
a
b
|f (x)|dx ≤ (b − a)kf k a
deducem c˘a kIk ≤ b − a. Inegalitatea contrar˘a rezult˘a folosind funct¸ia f1 (x) = 1, b − a = I(f1 ) ≤ |I(f1 )| ≤ kIkkf1 k = kIk ≤ b − a. 2. Au loc inegalit˘a¸tile |σ(f )| = |
n X i=0
adic˘a kσk ≤
Pn
i=0 |Ai |.
Ai f (xi )| ≤ kf k
n X
|Ai |,
i=0
Dac˘a x ∈ {x0 , . . . , xn }, Ai 6= 0, sign (Ai ) 1 x ∈ {a, b} f2 (x) = afin˘a ˆın rest
70
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
atunci kf2 k = 1 ¸si n X
|Ai | ≥ kσk = sup |σ(f )| ≥ |σ(f2 )| = kf k≤1
i=0
2 m
|Ai |.
i=0
3. kI − σk ≤ kIk + kσk ≤ b − a + < min0≤i≤n−1 xi+1 − xi ¸si funct¸ia −sign (Ai ) 1 f3 (x) = afin˘a ˆın rest
n X
Pn
i=0 |Ai |.
Fie m ∈ N∗ astfel ˆıncˆ at
x ∈ {x0 , . . . , xn } 1 x ∈ {a, x0 ± m , . . . , xn ±
1 m}
Din nou kf3 k = 1 ¸si au loc inegalit˘a¸tile Z b n n X X b−a+ |Ai | ≥ kI−σk = sup |(I−σ)(f )| ≥ |(I−σ)(f3 )| = f3 (x)dx+ |Ai | = kf k≤1
i=0
Z =
1 x0 − m
a
= b−a−
n Z X f3 (x)dx+
1 xi − m
i=0
2 (n + 1) + m
1 xi + m
n X
|Ai | +
i=0
a n−1 X Z xi+1 − m1
f3 (x)dx+
i=0 n Z xi + 1 X m i=0
1 xi − m
1 xi + m
i=0
Z f3 (x)dx+
f3 (x)dx ≥ b − a −
b
1 xn + m
n X f3 (x)dx+ |Ai | =
2 (n + 1) + m
i=0 n X
|Ai |,
i=0
deoarece intergralele din ultima sum˘a sunt nenegative. Pentru m → ∞ rezult˘ a expresia normei funct¸ionalei I − σ. Consider˘am ¸sirul de funct¸ionale σk =
nk X
Aki δxk i
(5.5)
i=0
care genereaz˘a formulele de integrare numeric˘a Z
b
f (x)dx = a
nk X
Aki f (xki ) + Rk (f )
i=0
Teorema 5.1.2 Nu exist˘ a un ¸sir de funct¸ionale (5.5) astfel ˆıncˆ at limk→∞ kI − σk k = 0. Demonstrat¸ie. Din (5.4) rezult˘a kI − σk k ≥ b − a, de unde concluzia teoremei. Condit¸ii care asigur˘a convergent¸a slab˘a sunt date ˆın teorema
71
ˆ 5.2. FORMULE DE TIP NEWTON - COTES
Teorema 5.1.3 S ¸ irul de funct¸ionale (5.5) converge slab c˘ atre I dac˘ a ¸si numai dac˘ a 1. ∃M > 0,
nk X
|Aki | ≤ M,
∀k ∈ N;
i=0
2. lim
nk X
k→∞
Ai (xki )p
Z =
b
xp dx,
∀p ∈ N.
a
i=0
Demonstrat¸ie. Cele dou˘a condit¸ii traduc condit¸iile de convergent¸˘a slab˘a, adic˘a 1. Marginirea ¸sirului de funct¸ionale: kσk k =
nk X
|Aki | ≤ M,
∀k ∈ N;
i=0
2. Convergent¸a ¸sirului de funct¸ionale pe un subspat¸iu dens ˆın C[a, b]. ˆIn acest caz, subspat¸iul este P, spat¸iul polinoamelor, convergent¸a fiind probat˘a pentru xp , p ∈ N.
5.2
Formule de integrare numeric˘ a de tip Newton - Cˆ otes
Fie n ∈ N∗ ¸si nodurile echidistante a, a+h, a+2h, . . . , a+nh = b, (h = b−a n ). ˆIn acest caz, funct¸ia f se aproximeaz˘a prin polinomul de interpolare Lagrange L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x). ˆIn consecint¸˘a Z
b
Z
b
f (x)dx ' a
L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x)dx = a
=
n X (−1)n−i f (a + ih) i=0
Z ·
i!(n − i)!hn
·
b
(x − a)(x − a − h) . . . (x − a − (i − 1)h)(x − a − (i + 1)h) . . . (x − a − nh)dx. a
Prin schimbarea de variabil˘a x = a + qh rezult˘a Z
b
L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x)dx = a
72
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
Z n n X (−1)n−i f (a + ih) h q(q − 1) . . . (q − i + 1)(q − i − 1) . . . (q − n)dq = = i!(n − i)! 0 i=0
= (b − a)
n X
Cn,i f (a + ih)
i=0
unde coeficient¸ii Cn,i
(−1)n−i = i!(n − i)!n
n
Z
q(q − 1) . . . (q − i + 1)(q − i − 1) . . . (q − n)dq 0
se numesc numerele lui Cˆotes. Integralele care apar ˆın expresia numerelor lui Cˆotes se calculeaz˘a f˘ar˘a eroare. Astfel, se obt¸in: Z 1 Z 1 1 1 C1,0 = − (q − 1)dq = , qdq = C1,1 = 2 2 0 0 ¸si C2,0 =
1 4
2
Z 0
Z 1 1 2 2 (q − 1)(q − 2)dq = , C2,1 = − q(q − 2)dq = , 6 2 0 3 Z 1 2 1 C2,2 = q(q − 1)dq = . 4 0 6
Pentru n = 1 rezult˘a aproximarea Z
b
a
1 f (x)dx ' (b − a)[f (a) + f (b)], 2
iar pentru n = 2 rezult˘a Z
b
a
5.3
a+b 1 f (x)dx ' (b − a)[f (a) + 4f ( ) + f (b)]. 6 2
Formula trapezului (n = 1) Evalaurea restului. Pentru evaluarea restului Z b 1 R(f ) = f (x)dx − (b − a)[f (a) + f (b)] 2 a
introducem funct¸ia Z
a+h
f (x)dx −
ϕ(h) = a
h [f (a) + f (a + h)] 2
73
5.3. FORMULA TRAPEZULUI
¸si observ˘am c˘a ϕ(b − a) = R(f ). Derivatele de ordinul ˆıntˆai ¸si doi ale lui ϕ sunt ϕ0 (h) = 12 [f (a + h) − f (a)] − h2 f 0 (a + h) ϕ00 (h) = − h2 f 00 (a + h) ¸si exprimˆand funct¸ia ϕ prin polinomul lui Taylor cu restul sub form˘a integral˘a obt¸inem Z h Z 1 h ϕ0 (0) 00 h+ ϕ(h) = ϕ(0) + (h − t)ϕ (t)dt = − (h − t)f 00 (a + t)dt. 1! 2 0 0
1
Aplicˆand prima teorem˘a de medie a calculului integral, g˘asim Z f 00 (ξ) h f 00 (ξ)h3 ϕ(h) = − (h − t)dt = − , 2 12 0 unde ξ ∈ (a, a + h). ˆIn particular, pentru h = b − a, obt¸inem ϕ(b − a) = R(f ) = −
f 00 (ξ)(b − a)3 . 12
ˆIn consecint¸˘a, are loc formula trapezului Z b 1 f 00 (ξ)(b − a)3 f (x)dx = (b − a)[f (a) + f (b)] − . 2 12 a Rb Denumirea formulei provine din faptul c˘a integrala a f (x)dx, adic˘a aria delimitat˘a de graficul dunct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele x = a ¸si x = b se aproximeaz˘a prin aria trapezului ABNM (Fig. 1).
Aplicarea practic˘ a a formulei trapezului. Fie m ∈ N∗ . ˆImp˘art¸im intervalul [a, b] ˆın m p˘art¸i prin punctele ai = a + ih, i = 0, 1, . . . , m (h = b−a si m )¸ utiliz˘am formula trapezului pentru calculul integralei funct¸iei ˆın fiecare interval [ai , ai+1 ], i = 0, 1, . . . , m − 1. Astfel Z
b
f (x)dx = a
m−1 X Z ai+1 i=0
f (x)dx =
ai
1
Pentru o funct¸ie f formula de reprezentare prin polinomul lui Taylor cu restul sub form˘ a integral˘ a este: Z x f 0 (a) f (n) (a) (x − t)n (n+1) n f (x) = f (a) + (x − a) + . . . + (x − a) + f (t)dt. 1! n! n! a Formula rezult˘ a ˆın urma a n integr˘ ari prin p˘ art¸i a integralei din membrul drept.
74
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
=
m−1 X i=0
f 00 (ξi )(ai+1 − ai )3 1 }. { (ai+1 − ai ))[f (ai+1 ) + f (ai )] − 2 12
Separˆand expresiile, rezult˘a Z
m−1
b
f (x)dx = a
X b−a (b − a)3 f 00 (ξ0 ) + . . . + f (ξm−1 ) [f (a)+2 f (a+ih)+f (b)]− 2m 12m2 m i=1
¸si repetˆand rat¸ionamentul din demonstrat¸ia Teoremei 4.1.1 obt¸inem formula trapezelor. Z b m−1 X b−a (b − a)3 f 00 (ξ) [f (a) + 2 . f (x)dx = f (a + ih) + f (b)] − 2m 12m2 a i=1
Prin urmare integrala funct¸iei f ˆın intervalul [a, b] se aproximeaz˘a prin m−1
X b−a Im (f ) = [f (a) + 2 f (a + ih) + f (b)]. 2m i=1
Aplicat¸ie. S˘a se calculeze pentru calculul integralei
π 4
cu o precizie ε = 0.01 utilizˆand formula trapezelor Z 0
1
dx π = . 1 + x2 4
Nu se ¸tine seama de erorile de rotunjire. 1 ∗ Dac˘a f (x) = 1+x ıncˆat 2 atunci trebuie determinat m ∈ N astfel ˆ m−1
|
X π 1 π 1 − Im ( 2 )| = | − [f (0) + 2 f (ih) + f (1)]| < ε. 4 x +1 4 2m i=1
75
5.4. FORMULA LUI SIMPSON
T ¸ inˆand seama de expresia restului ˆın formula trapezelor, condit¸ia de mai sus se realizeaz˘a dac˘a sup{|f 00 (x)| : x ∈ [0, 1]} |f 00 (ξ)| ≤ < ε. 12m2 12m2 2
3x −1 f 00 (x) = 2 (1+x a o funct¸ie cresc˘atoare ˆın intervalul [0, 1] (deoarece 2 )3 reprezint˘
f (3) (x) =
24x(1−x2 ) (1+x2 )4
≥ 0, ∀x ∈ [0, 1]) ¸si ˆın consecint¸˘a
sup{|f 00 (x)| : x ∈ [0, 1]} = max{|f 00 (0)|, |f 00 (1)|} = 2. Cel mai mic volum de calcul se obt¸ine pentru cel mai mic m care satisface inegalitatea sup{|f 00 (x)| : x ∈ [0, 1]} 1 = < ε. 12m2 6m2 Rezult˘a m = 5, ˆın care caz 1 1 π ' I5 ( 2 ) = {f (0) + 2[f (0.2) + f (0.4) + f (0.6) + f (0.8)] + f (1)} ' 0.787. 4 x +1 10 Pentru π g˘asim aproximarea 3.148.
5.4
Formula lui Simpson (n = 2) Evalaurea restului. Expresia restului este b
Z R(f ) = a
1 a+b f (x)dx − (b − a)[f (a) + 4f ( ) + f (b)]. 6 2
Introducem funct¸ia Z
c+h
f (x)dx −
ϕ(h) = c−h
h [f (c − h) + 4f (c) + f (c + h)], 3
si observ˘am c˘a ϕ( b−a ¸ine unde c = a+b 2 ¸ 2 ) = R(f ). Evaluarea restului se obt asem˘an˘ator cu metoda utilizat˘a ˆın cazul formulei trapezului. Calcul˘am derivatele funct¸iei ϕ 1 h ϕ0 (h) = f (c+h)+f (c−h)− [f (c−h)+4f (c)+f (c+h)]− [f 0 (c+h)−f 0 (c−h)] = 3 3 2 h = [f (c − h) − 2f (c) + f (c + h)] − [f 0 (c + h) − f 0 (c − h)]; 3 3 ϕ00 (h) = 13 [f 0 (c + h) − f 0 (c − h)] − h3 [f 00 (c + h) + f 00 (c − h)]; 2 ϕ(3) (h) = − h3 [f (3) (c + h) − f (3) (c − h)] = − 2h3 f (4) (η(h)) c − h < η < c + h;
76
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
¸si prin urmare Z h Z (h − t)2 (3) ϕ0 (0) ϕ00 (0) 2 1 h (h−t)2 ϕ(3) (t)dt = ϕ(h) = ϕ(0)+ h+ h + ϕ (t)dt = 1! 2! 2 2 0 0 Z 1 h =− (h − t)2 t2 f (4) (η(t))dt. 3 0 (3)
(3)
(c−t) Din egalitatea f (4) = f (c+t)−f rezult˘a c˘a funct¸ia t 7→ f (4) (η(t)) este 2t continu˘a ˆın [0, h]. Aplicˆand teorema de medie a calculului integral g˘asim
ϕ(h) = − unde ξ ∈ (c − h, c + h). ˆIn particular, pentru h =
b−a 2 ,
h5 (4) f (ξ), 90
g˘asim
ϕ(h) = −
(b − a)5 (4) f (ξ). 2880
Rezult˘a formula de integrare numerica a lui Simpson: Z b 1 a+b (b − a)5 (4) f (x)dx = (b − a)[f (a) + 4f ( ) + f (b)] − f (ξ). 6 2 2880 a Aplicarea practic˘ a a formulei lui Simpson. Fie m ∈ N∗ . ˆImp˘art¸im intervalul [a, b] ˆın 2m p˘art¸i prin punctele ai = a + ih, i = 0, 1, . . . , 2m (h = b−a si aplic˘am formula lui Simpson pentru calculul integralei funct¸iei ˆın fiecare 2m ) ¸ interval [a2i , a2i+2 ], i = 0, 1, . . . , m − 1. Z
b
f (x)dx = a
=
m−1 X i=0
m−1 X Z a2i+2 i=0
f (x)dx =
a2i
f (4) (ξi )(a2i+2 − a2i )5 1 { (a2i+2 − a2i ))[f (a2i ) + 4f (a2i+1 ) + f (a2i+2 )] − }. 6 2880
Regrupˆand termenii rezult˘a formula final˘a Z
b
f (x)dx = a
m−1
m−1
i=1
i=0
X X b−a (b − a)5 (4) [f (a) + 2 f (a2i ) + 4 f (a2i+1 ) + f (b)] − f (ξ). 6m 2880m4
Rezult˘a c˘a integrala funct¸iei f ˆın intervalul [a, b] se aproximeaz˘a prin Jm (f ) =
m−1
m−1
i=1
i=0
X X b−a [f (a) + 2 f (a2i ) + 4 f (a2i+1 ) + f (b)]. 6m
77
5.5. FORMULE DE TIP GAUSS
Leg˘ atur˘ a ˆıntre formula trapezelor ¸si formula lui Simpson. Fie n ∈ N∗ ¸si not˘am prin In ¸si Jn aproximat¸iile obt¸inute aplicˆand respectiv formula trapezelor ¸si formula lui Simpson Pn−1 b−a Ii = b−a 2n [f (a) + 2 Pi=1 f (a + i n ) + f (b)], Pn−1 n−1 b−a b−a Jn = 6n [f (a) + 2 i=1 f (a + 2i b−a i=0 f (a + (2i + 1) 2n ) + f (b)]. 2n ) + 4 Teorema 5.4.1 Are loc egalitatea 4 1 Jn = I2n − In . 3 3 Demonstrat¸ie. Pentru simplificarea scrierii, not˘am h = {0, 1, . . . , 2n}. Atunci 4 1 I2n (f ) − In (f ) = 3 3
b−a 2n
¸si fi = f (a+ih), i ∈
2n−1 n−1 X X 4 b−a 1 b−a = · [f0 + 2 [f0 + 2 fi + f2n ] − · f2i + f2n ] = 3 2 · 2n 3 2n i=1
=
5.5
i=1
n−1
n−1
i=1
i=0
X X b−a [f0 + 2 f2i + 4 f2i+1 + f2n ] = Jn (f ). 6n
Formule de integrare numeric˘ a de tip Gauss
ˆIn cele ce urmeaz˘a vom considera formule de integrare numeric˘a de forma Z
b
ρ(x)f (x)dx = a
n X
Ai f (xi ) + R(f ),
(5.6)
i=1
unde ρ : (a, b) → R este o funct¸ie continu˘a, pozitiv˘a numit˘a pondere. Formula de integrare numeric˘a (5.6) are gradul de exactitate m dac˘a R(1) = R(x) = R(x2 ) = . . . = R(xm ) = 0
R(xm+1 ) 6= 0.
ˆIn consecint¸˘a, pentru orice polinom f ∈ Pm Z
b
ρ(x)f (x)dx = a
n X
Ai f (xi ).
i=1
Teorema 5.5.1 Gradul de exactitate al formulei de integrare numeric˘ a (5.6) este cel mult 2n − 1.
78
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
Demonstrat¸ie. de integrare numeric˘a pentru funct¸ia polinoQnUtilizˆand formula 2 mial˘a f0 (x) = i=1 (x − xi ) ∈ P2n g˘asim Z
b
ρ(x)f0 (x)dx = R(f0 ).
0< a
Formulele de integrare numeric˘a de tip Gauss sunt formulele de forma (5.6) pentru care se atinge gradul maxim de exactitate. Un polinom u(x) este ortogonal, cu ponderea ρ(x), ˆın [a, b], pe Pn−1 , mult¸imea polinoamelor de grad cel mult n − 1, dac˘a Z
b
ρ(x)u(x)f (x)dx = 0
∀f ∈ Pn−1 .
a
Teorema 5.5.2 Dac˘ a polinomul u ∈ Pn este ortogonal, cu ponderea ρ(x), ˆın [a, b], pe Pn−1 atunci r˘ ad˘ acinile lui u(x) sunt simple ¸si apart¸in intervalului [a, b]. Demonstrat¸ie. S˘a presupunem c˘a u(x) are m ≤ n r˘ad˘acini reale ¸si cu ordinul de multiplicitate impar ˆın [a, b], notate x1 , . . . , xm . Fie q(x) =
1Q m
i=1 (x − xi )
dac˘a m = 0 dac˘a m > 0
Atunci u(x)q(x) nu schimb˘a semnul ˆın [a, b], astfel b
Z
ρ(x)u(x)q(x)dx 6= 0. a
Dac˘a m < n atunci relat¸ia de mai sus este contradictorie; prin urmare m = n. Teorema 5.5.3 Dac˘ a u ∈ Pn este polinomul ortogonal, cu ponderea ρ(x), ˆın [a, b], pe Pn−1 cu r˘ ad˘ acinile x1 , . . . , xn , atunci formula de integrare numeric˘ a Z
b
Z
b
ρ(x)f (x)dx = a
ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )dx + R(f ) a
are gradul de exactitate 2n − 1. Demonstrat¸ie. Dac˘a f ∈ Pn−1 atunci f = L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f ), de unde Z
b
Z ρ(x)f (x)dx =
a
b
ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )dx. a
79
5.5. FORMULE DE TIP GAUSS
Fie f ∈ P2n−1 . Dac˘a q, r sunt respectiv cˆatul ¸si restul ˆımp˘art¸irii lui f la u atunci f = qu + r ¸si q, r ∈ Pn−1 . Au loc egalit˘a¸tile L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) = L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; qu + r)(x) = =
n X
n X
[q(xi )u(xi ) + r(xi )]li (x) =
i=1
r(xi )li (x) = L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; r)(x)
i=1
¸si ˆın consecint¸˘a Z b Z b Z b ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) = ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; r)(x) = ρ(x)r(x). a
a
a
Deoarece u ortogonal, cu ponderea ρ(x), ˆın [a, b], pe Pn−1 , urmeaz˘a c˘a Z b Z b ρ(x)f (x)dx = ρ(x)[q(x)u(x) + r(x)]dx = a
a
Z
b
Z ρ(x)q(x)u(x)dx +
=
ρ(x)r(x)dx = a
a
Z =
b
b
b
Z ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; r)(x) =
a
ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x). a
Dac˘a ¸tinem seama de expresia polinomului de interpolare Lagrange atunci formula de integrare numeric˘a de tip Gauss devine Z b Z b n X ρ(x)f (x)dx = f (xi ) ρ(x)li (x)dx + R(f ). a
a
i=1
Astfel coeficient¸ii formulei de integrare numeric˘a sunt Z b Ai = ρ(x)li (x)dx, i ∈ {1, 2, . . . , n}.
(5.7)
a
Aceast˘a expresie a coeficient¸ilor este util˘a ˆın cazurile ˆın care integrala se calculeaz˘a analitic. Deoarece li = (x−xu(x) ∈ Pn−1 ⇒ li2 ∈ P2n−2 , pentru coefi0 i )u (xi ) cientul Ai g˘asim ¸si exprimarea Z b n X 0< ρ(x)li (x)2 dx = (5.8) Aj li2 (xj ) = Ai . a
j=1
Teorema 5.5.4 Dac˘ a f ∈ C 2n [a, b] atunci exist˘ a ξ ∈ [a, b] astfel ˆıncˆ at Z b Z b R(f ) = ρ(x)f (x)dx − ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )dx = a
a
f (2n) (ξ) = (2n)!
Z a
b
ρ(x)u2 (x)dx.
80
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
Demonstrat¸ie. Not˘am prin H(x) polinomul de interpolare Lagrange-Hermite care satisface condit¸iile H(xi ) = f (xi ) 0
0
H (xi ) = f (xi )
i ∈ {1, 2, . . . , n}, i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Atunci, ¸tinˆand seama de restul polinomului de interpolare Lagrange-Hermite (2.3.4) exist˘a ζ(x) ∈ [a, b] astfel ˆıncˆat f (x) = H(x) +
f (2n) (ζ(x)) 2 u (x). (2n)!
ˆInmult¸ind cu ρ(x) ¸si integrˆand g˘asim Z b f (2n) (ζ(x)) R(f ) = ρ(x)u2 (x) dx. (2n)! a
(5.9)
ˆIntr-adev˘ar, deoarece H(x) ∈ P2n−1 , formula de integrare numeric˘a a lui Gauss implic˘a Z b Z b n n X X ρ(x)H(x)dx = Ai H(xi ) = Ai f (xi ) = ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x)dx. a
i=1
i=1
a
Funct¸ia x 7→ f (2n) (ζ(x)) = (2n)! f (x)−H(x) fiind continu˘a, putem aplica inteu2 (x) gralei din membrul drept din (5.9) teorema de medie a calculului integral. Astfel, exist˘a ξ ∈ [a, b], astfel ˆıncˆat Z f (2n) (ξ) b R(f ) = ρ(x)u2 (x)dx. (2n)! a Cazul ρ(x) = 1. Polinoamele lui Legendre. Teorema 5.5.5 Polinoamul u(x) =
n! [(x − a)n (x − b)n ](n) (2n)!
este ortogonal, cu ponderea ρ(x) = 1, ˆın intervalul [a, b], pe Pn−1 . Demonstrat¸ie. Fie u(x) ∈ Pn polinomul ortogonal, cu ponderea ρ(x) = 1, ˆın intervalul [a, b], pe Pn−1 ¸si L(x) solut¸ia problemei Cauchy L(n) (x) = u(x), L(a) = 0, L0 (a) = 0, ............... L(n−1) = 0.
81
5.5. FORMULE DE TIP GAUSS
Observ˘am c˘a L ∈ P2n . Dac˘a q ∈ Pn−1 atunci ˆın urma a n − 1 integr˘ari prin p˘art¸i g˘asim Z b Z b 0= q(x)u(x)dx = q(x)L(n) (x)dx = a
=
qL(n−1) |ba
−
q 0 L(n−2) |ba
a n−1 (n−1)
+ . . . + (−1)
q
L|ba
n
+ (−1)
Z
b
q (n) (x)L(x)dx =
a n−1 (n−1)
= q(b)L(n−1) (b) − q 0 (b)L(n−2) (b) + . . . + (−1)
q
(b)L(b).
ˆIn particular, pentru q = 1, x, x2 , . . . , xn−1 , din egalitatea de mai sus, obt¸inem succesiv L(n−1) (b) = L(n−2) (b) = . . . = L(b) = 0. Astfel a ¸si b sunt r˘ad˘acini multiple, de ordin n pentru L(x) ¸si deoarece L este polinom de grad cel mult 2n deducem L(x) = c(x − a)n (x − b)n ¸si ˆın consecint¸˘a u(x) = c[(x − a)n (x − b)n ](n) . n! Dac˘a c = (2n)! atunci coeficientul lui xn este 1. Teorema 5.5.6 Pentru ρ(x) = 1 coeficient¸ii formulei de integrare numeric˘ a Gauss sunt Ai =
(n!)4 (b − a)2n+1 ((2n)!)2 (xi − a)(b − xi )[u0 (xi )]2
i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Demonstrat¸ie. Integr˘am prin p˘art¸i integrala din membrul stˆang al formulei (5.8) Z b Z b 1 u(x) 2 2 Ai = li (x)dx = 0 [ ] dx = (5.10) 2 [u (xi )] a x − xi a Z b u2 (a) u2 (b) u(x) 0 1 [ − + 2 u (x)dx]. = 0 [u (xi )]2 a − xi b − xi x − xi a u(x) 0 Funct¸ia x−x u (x) este polinom de grad cel mult 2n − 2 ¸si atunci formula de i integrare numeric˘a Gauss calculeaz˘a integrala ei f˘ar˘a eroare Z b n X u(x) 0 u(x) 0 u (x)dx = u (x)|x=xj = Ai [u0 (xi )]2 . Aj x − x x − x i i a j=1
Relat¸ia (5.10) devine Ai =
1 u2 (a) u2 (b) { − + 2Ai [u0 (xi )]2 }, [u0 (xi )]2 a − xi b − xi
de unde
1 u2 (a) u2 (b) − ]. [ [u0 (xi )]2 b − xi a − xi Utilizˆand expresia polinomului u se deduce formula din enunt¸ul teoremei. Ai =
82
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
5.6
Formula dreptunghiului (n = 1).
Pentru n = 1 din Teorema 5.5.5 obt¸inem 1 a+b u(x) = [(x − a)(x − b)]0 = x − , 2 2 iar din (5.7) A1 = b − a. Formula de integrare numeric˘a a lui Gauss devine Z b a+b f (x)dx = (b − a)f ( ) + R(f ), 2 a ¸si este numit˘a formula dreptunghiului. Evaluarea restului. Integrˆand identitatea f (x) = f (
a+b a+b a+b 1 a+b 2 ) + f 0( )(x − ) + f 00 (η(x))(x − ) 2 2 2 2 2
g˘asim Z a
b
a+b 1 f (x)dx = (b − a)f ( )+ 2 2
Z
b
f 00 (η(x))(x −
a
a+b 2 ) dx. 2
Astfel expresia restului devine Z b Z a+b 1 b 00 a+b 2 R(f ) = f (x)dx − (b − a)f ( )= f (η(x))(x − ) dx = 2 2 a 2 a Z b 1 a+b 2 (b − a)3 f 00 (ξ) = 2 f 00 (ξ) (x − ) dx = . 2 2 24 a Formula dreptunghiului este Z b a+b (b − a)3 f 00 (ξ) f (x)dx = (b − a)f ( )+ . 2 24 a Aplicarea practic˘ a a formulei dreptunghiului. Fie m ∈ N∗ . ˆImp˘art¸im intervalul [a, b] ˆın m p˘art¸i prin punctele ai = a + ih, i = 0, 1, . . . , m (h = b−a m ) ¸si utiliz˘am formula dreptunghiului pentru calculul integralei funct¸iei ˆın fiecare interval [ai , ai+1 ], i = 0, 1, . . . , m − 1. Astfel Z
b
f (x)dx = a 2
m−1 X Z ai+1 i=0
f (x)dx =
ai
Analog rat¸ionamentului efectuat la evaluarea restului formului de integrare numeric˘ a a lui Simpson.
83
5.7. CAZURI SPECIALE
m−1 X
=
[(ai+1 − ai ))f (
i=0
f 00 (ξi )(ai+1 − ai )3 ai+1 + ai )+ ]. 2 24
Repetˆand rat¸ionamentul de la metoda trapezelor, deducem b
Z
f (x)dx = a
m−1 b−a X 1 (b − a)3 f 00 (ξ) f (a + (i + )h) + . m 2 24m2 i=0
Astfel integrala se aproximeaz˘a prin expresia Km (f ) =
m−1 1 b−a X f (a + (i + )h). m 2 i=0
5.7 5.7.1
Cazuri speciale Formula de integrare numeric˘ a Lobatto
ˆIn locul formulei de integrare numeric˘a (5.6) consider˘am formula Z
b
ρ(x)f (x)dx = Af (a) + a
n−2 X
Ai f (xi ) + Bf (b) + R(f ),
(5.11)
i=1
diferent¸a constˆand ˆın aceea c˘a dou˘a noduri – extremit˘a¸tile intervalului de integrare – sunt fixate. Formula pentru care se atinge gradul maxim de exactitate se nume¸ste formula de integrare numeric˘a Lobatto. Au loc urm˘atoarele rezultate. Teorema 5.7.1 Gradul maxim de exactitate al formulei (5.11) este 2n − 3. Demonstrat¸ie. ˆIn cazul funct¸iei f0 (x) = (x − a)(x − b) restul este nenul.
Qn−2 i=1
(x − xi )2 ∈ P2n−2
Teorema 5.7.2 Dac˘ a u ∈ Pn−2 este polinomul ortogonal, cu ponderea (x−a)(b− x)ρ(x), ˆın [a, b], pe Pn−3 cu r˘ ad˘ acinile x1 , . . . , xn−2 , atunci formula de integrare numeric˘ a Z
b
Z ρ(x)f (x)dx =
a
b
ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f )dx + R(f ) a
are gradul de exactitate 2n − 3.
84
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
Demonstrat¸ie. Dac˘a f ∈ Pn−1 atunci f = L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f ), de unde Z b Z b ρ(x)f (x)dx = ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f )dx. a
a
Fie f ∈ P2n−3 . Dac˘a q, r sunt respectiv cˆatul ¸si restul ˆımp˘art¸irii lui f la (x − a)(x − b)u(x) atunci f = (x − a)(x − b)qu + r ¸si q ∈ Pn−3 , r ∈ Pn−1 . Atunci L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f )(x) = L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; (x−a)(x−b)qu+r)(x) = = L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; r)(x) ¸si ˆın consecint¸˘a Z b Z b ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f )(x)dx = ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; r)(x)dx = a
a
Z
b
ρ(x)r(x)dx.
= a
Deoarece u ortogonal, cu ponderea (x − a)(b − x)ρ(x), ˆın [a, b], pe Pn−3 , urmeaz˘ a c˘a Z b Z b ρ(x)f (x)dx = ρ(x)[(x − a)(x − b)q(x)u(x) + r(x)]dx = a
a
Z
b
Z (x − a)(b − x)ρ(x)q(x)u(x)dx +
= a
Z =
b
ρ(x)r(x)dx = a
b
Z ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; r)(x)dx =
a
b
ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f )(x)dx. a
Restul formulei de integrare numeric˘a Lobatto se poate evalua prin: Teorema 5.7.3 Dac˘ a f ∈ C 2n−2 [a, b] atunci exist˘ a ξ ∈ [a, b] astfel ˆıncˆ at Z b Z b R(f ) = ρ(x)f (x)dx − ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f )dx = a
a
f (2n−2) (ξ) (2n − 2)!
= unde u(x) =
Qn−2 i=1
Z
b
(x − a)(x − b)ρ(x)u2 (x)dx,
a
(x − xi ).
Demonstrat¸ie. Procedˆand asem˘an˘ator cu demonstrat¸ia teoremei (5.5.4), not˘am prin H(x) polinomul de interpolare Lagrange-Hermite care satisface condit¸iile H(a) = f (a), H(xi ) = f (xi ) 0
0
H (xi ) = f (xi ) H(b) = f (b).
i ∈ {1, 2, . . . , n − 2}, i ∈ {1, 2, . . . , n − 2},
85
5.7. CAZURI SPECIALE
Atunci, ¸tinˆand seama de restul polinomului de interpolare Lagrange-Hermite (2.3.4) exist˘a ζ(x) ∈ [a, b] astfel ˆıncˆat f (x) = H(x) +
f (2n−2) (ζ(x)) (x − a)(x − b)u2 (x). (2n − 2)!
(5.12)
Deoarece H(x) ∈ P2n−3 , formula de integrare numeric˘a a lui Lobatto implic˘a Z
b
ρ(x)H(x)dx = AH(a) + a
= Af (a) +
n−1 X
n−2 X
Ai H(xi ) + BH(b) =
i=1
Z
b
ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f )(x)dx.
Ai f (xi ) + Bf (b) = a
i=1
ˆInmult¸ind (5.12) cu ρ(x) ¸si integrˆand g˘asim Z R(f ) =
b
(x − a)(x − b)ρ(x)u2 (x)
a
f (2n−2) (ζ(x)) dx. (2n − 2)!
(5.13)
Funct¸ia x 7→ f (2n) (ζ(x)) = (2n)! f (x)−H(x) fiind continu˘a, putem aplica integralei u2 (x) din membrul drept din (5.13) teorema de medie a calculului integral. Astfel, exist˘a ξ ∈ [a, b], astfel ˆıncˆat f (2n−2) (ξ) R(f ) = (2n − 2)!
5.7.2
Z
b
(x − a)(x − b)ρ(x)u2 (x)dx.
a
Formula de integrare numeric˘ a Radau
Dac˘a ˆın formula (5.6) se fixeaz˘a doar un nod – unul din extremit˘a¸tile intervalului de integrare – atunci formula de integrare numeric˘a are forma b
Z
ρ(x)f (x)dx = Af (a) + a
n−1 X
Ai f (xi ) + R(f ),
(5.14)
Ai f (xi ) + Bf (b) + R(f ).
(5.15)
i=1
sau Z
b
ρ(x)f (x)dx = a
n−1 X i=1
Gradul maxim de exactitate al formulei de integrare numeric˘a (5.14) sau (5.15) este 2n − 2. ˆIn cazul atingerii gradului maxim de exactitate, (5.14) ¸si (5.15) se numesc formulele de integrare numeric˘a Radau.
86
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
Teorema 5.7.4 Dac˘ a u ∈ Pn−1 este polinomul ortogonal, cu ponderea (x − a)ρ(x), ˆın [a, b], pe Pn−2 cu r˘ ad˘ acinile x1 , . . . , xn−1 , atunci formula de integrare numeric˘ a Z b Z b ρ(x)f (x)dx = ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−1 ; f )dx + R(f ) a
a
are gradul de exactitate 2n−2. Un rezultat analog are loc ¸si pentru formula (5.15). Teorema 5.7.5 Dac˘ a f ∈ C 2n−1 [a, b] atunci exist˘ a ξ ∈ [a, b] astfel ˆıncˆ at Z b Z b R(f ) = ρ(x)f (x)dx − ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−1 ; f )dx = a
a
= unde u(x) =
Qn
i=1 (x
f (2n−1) (ξ) (2n − 1)!
Z
b
ρ(x)(x − a)u2 (x)dx,
a
− xi ).
Probleme ¸si teme de seminar P 5.1 S˘ a se deduc˘ a formula de integrare numeric˘ a de tip Gauss Z 1 n π X f (x) (2k + 1)π √ dx = f cos + R(f ). n+1 2(n + 1) 1 − x2 −1 k=1 Indicat¸ie. Polinoamele lui Cebˆa¸sev Tn (x) = cos arccos nx sunt polinoame 1 ortogonale cu ponderea √1−x ˆın intervalul (−1, 1). 2 Nodurile formulei de integrare numeric˘a sunt r˘ad˘acinile polinomului Tn+1 (x), xk = cos tk , unde tk = (2k+1)π 2(n+1) , k = 0, 1, . . . , n. 1 Deoarece u(x) = 2n Tn+1 (x), coeficientul formulei de integrare numeric˘a Ak este Z 1 Z 1 u(x) (−1)k sin tk π cos (n + 1)t √ Ak = dx = dt. (5.16) n+1 1 − x2 (x − xk )u0 (xk ) −1 0 cos t − cos tk Consider˘am integrala Z Z Z π 1 π cos νt 1 π eitν cos νt dt = dt = dt. Iν = 2 −π cos t − cos tk 2 −π cos t − cos tk 0 cos t − cos tk ˆIn urma substitut¸iei eit = z ¸si a aplic˘arii teoremei semirezidurilor se obt¸ine Z 1 zν sin νtk Iν = dz = π . 2 i |z|=1 z − 2z cos tk + 1 sin tk Substituind ˆın (5.16) se obt¸ine Ak =
π n+1 .
87
5.7. CAZURI SPECIALE
n−i R n P 5.2 Dac˘ a Cn,i = n(−1) i! (n−i)! 0 t(t − 1) . . . (t − i + 1)(i − i − 1) . . . (t − n)dt este un num˘ ar Cˆ otes atunci limn→∞ Cn,2 = ∞.
Indicat¸ie. Definind hn,k = |Cn,2 | = |
n−1 X
1 2n(n−2)!
R k+1 k
t(t − 1)(t − 3) . . . (t − n)dt avem
hn,k | = |hn,0 − (−hn,1 − . . . − hn,n−1 )| ≥ |hn,0 | −
k=0
n−1 X
|hn,k | (5.17)
k=1
Au loc evalu˘arile • 1 |hn,1 | = 2n(n − 2)! ≤
Z
2
t(t − 1)(3 − t) . . . (n − t)dt ≤ 1
1 n−1 · 2(n − 1)! = ; 2n(n − 2)! n
• |hn,n−1 | =
1 2n(n − 2)! ≤
Z
n
t(t − 1)(t − 3) . . . (t − n + 1)(n − t)dt ≤ n−1
1 n! n−1 · = ; 2n(n − 2)! n − 2 2(n − 2)
• Pentru k ∈ 2, 3, . . . , n − 2 Z k+1 1 t(t − 1)(t − 3) . . . (t − k)(k + 1 − t) . . . (n − t)dt ≤ |hn,k | = 2n(n − 2)! k ≤
1 (k + 1)!(n − k)! k + 1 k!(n − k)! · = · ≤ 2n(n − 2)! k−1 k − 1 2n(n − 2)! n 2 3 n! k!(n − k)! 3 3 ≤ ; · = · ≤ · n 2(n − 2)! n! n n n k
• |hn,0 | = ≥
1 2n(n − 2)!
2 3
Z 1 3
=
1 2n(n − 2)!
Z
1
t(1 − t)(3 − t) . . . (n − t)dt ≥ 0
t(1−t)(3−t) . . . (n−t)dt ≥
1 1 1 2 2 1 · (3− ) . . . (n− ) = 2n(n − 2)! 3 3 3 3 3
1 1 1 1 (2 + )(3 + ) . . . (n − 1 + ). 54n(n − 2)! 3 3 3
88
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
Prentru x > 0, din relat¸iile (2 + x)(3 + x) . . . (n − 1 + x) = xn−1 + (2 + 3 + . . . + n − 1)xn−2 + . . . + +[3 4 . . . (n − 1) + 2 4 . . . (n − 1) + . . . (n − 1) + 2 3 . . . (n − 2)]x + (n − 1)! ≥ 1 1 1 ≥ (n − 1)!( + + . . . + )x, 2 3 n−1 ˆın particular, pentru x = 13 , deducem inegalitatea 1 1 1 1 1 1 1 (n − 1)! n (2+ )(3+ ) . . . (n−1+ ) ≥ (n−1)!( + +. . .+ ) ≥ ln . 3 3 3 2 3 n−1 3 3 2 ˆIn consecint¸˘a |hn,0 | ≥
1 n−1 n ln . 162 n 2
Din(5.17) rezult˘a |Cn,2 | ≥
1 n − 1 n n − 1 3(n − 3) n−1 ln − − − −→ ∞, 162 n 2 n n 2(n − 2)
pentru n → ∞. P P 5.3 Fie h = b−a a σn = (b−a) ni=0 Cn,i δa+ih este funct¸ionala din C ∗ [a, b] n . Dac˘ corespunz˘ atoare formulei de integrare numeric˘ a Newton-Cˆ otes Z
b
f (x)dx = (b − a) a
n X
Cn,i f (a + ih) + Rn (f ),
i=0
atunci ¸sirul de funct¸ionale (σn )n∈N∗ nu converge ˆın topologia slab˘ a din C ∗ [a, b] Rb c˘ atre funct¸ionala I(f ) = a f (x)dx. P 5.4 S˘ a se arate c˘ a ¸sirul funct¸ionalelor (Im )m∈N∗ , (Jm )m∈N∗ , (Km )m∈N∗ definite prin schema de aplicare practic˘ a a formulei trapezului, Simpson, respectiv dreptunghiului converge punctual c˘ atre funct¸ionala I.
Capitolul 6
Rezolvarea numeric˘ aa problemelor Cauchy Ne ocup˘am de rezolvarea numeric˘a a problemei Cauchy x(t) ˙ − f (t, x(t) = 0, t ∈ [0, T ] 0 x(0) ˙ =x
(6.1)
unde f : [0, T ] × Rn → Rn este o funct¸ie cu propriet˘a¸ti care s˘a asigure existent¸a ¸si unicitatea solut¸iei ˆın intervalul precizat. Problema Cauchy se rescrie sub forma operat¸ional˘a L(x) = ϕ,
(6.2)
unde L : C 1 [0, T ] → C[0, T ] × Rn este definit prin x(t) ˙ − f (t, x(t), t ∈ [0, T ] , L(x) = x(0) ˙ = x0 iar
ϕ=
t ∈ [0, T ]
0, x0
.
Forma operat¸ional˘a (6.2) cuprinde o clas˘a mult mai larg˘a de probleme ¸si constituie un cadru ˆın care se pot formula ¸si studia metode de rezolvare aproximativ˘a. Pentru simplitate, consider˘am forma operat¸ional˘a (6.2) ca o ecuat¸ie avˆand necunoscuta x, o funct¸ie real˘a (n = 1), definit˘a ˆın intervalul fixat [0, T ].
6.1
Metode de discretizare
Rezolvarea prin discretizare a ecuat¸iei (6.2) const˘a ˆın construirea unei aproximat¸ii uh = (u0 , u1 , . . . , un ) 89
90
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
a solut¸iei x(t) pe o ret¸ea de puncte 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T , unde ui este o aproximat¸ie pentru x(ti ), i = 0, 1, . . . , n iar h reprezint˘a norma ret¸elei de puncte h = max0≤i≤n−1 ti+1 − ti . ˆIn acest scop ecuat¸ia init¸ial˘a se ˆınlocuie¸ste cu o alt˘a ecuat¸ie Lh (uh ) = ϕh ,
(6.3)
numit˘a schem˘a de calcul. Exemplu. Schema de calcul Euler. fie n ∈ N ∗ , h = Tn ¸si ret¸eaua echidistant˘a 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T cu ti = ih, i = 0, 1, . . . , n. ˆIn punctul ti , aproxim˘am derivata funct¸iei prin diferent¸a finit˘a prograsiv˘a x(t ˙ i) '
x(ti + h) − x(ti ) x(ti+1 ) − x(ti ) = h h
¸si substituim ˆın ecuat¸ia diferent¸ial˘a (6.1). Membrul stˆang al equat¸iei (6.1) devine x(ti+1 ) − x(ti ) − f (ti , x(ti )) h care ˆın general nu mai este 0. Not˘am prin u0 , u1 , . . . , un numerele care puse, respectiv ˆın locul necunoscutelor x(t0 ), x(t1 ), . . . , x(tn ) satisfac egalit˘a¸tile ui+1 −ui − f (ti , ui ) = 0, i = 0, 1, . . . , n − 1 h . (6.4) u0 = x0 Relat¸iile (6.4) reprezint˘a schema de calcul Euler. ˆIn acest caz operatorul L este definit prin Lh (uh ) =
ui+1 −ui h u0
Lh : Rn+1 → Rn+1 − f (ti , ui ), i = 0, 1, . . . , n − 1
iar
ϕh =
0, x0
i = 0, 1, . . . , n − 1
,
uh = (u0 , . . . , un ),
.
Relat¸iile (6.4) formeaz˘a totodat˘a un sistem algebric de n + 1 ecuat¸ii neliniare cu n + 1 necunoscute care ˆıns˘a se poate rezolva u¸sor prin recurent¸˘a u0 = x0 ui+1 = ui + hf (ti , ui )
i = 0, 1, . . . , n − 1.
Problema care se ridic˘a este de a vedea ˆın ce condit¸ii ansamblul de numere uh reprezint˘a aproximat¸ii ”rezonabile” pentru x(t0 ), x(t1 ), . . . , x(tn ).
91
6.1. METODE DE DISCRETIZARE
S˘a presupunem c˘a L este definit ˆıntre spat¸iile normate (X, k · k) ¸si (Y, k · k), iar Lh este definit ˆıntre (Xh , k · kh ) ¸si (Yh , k · kh ). Solut¸ia uh a ecuat¸iei Lh (uh ) = ϕh converge c˘atre solut¸ia x a ecuat¸iei L(x) = ϕ dac˘a lim kuh − [x]h kh = 0, h↓0
unde [x]h = (x(t0 ), x(t1 ), . . . , x(tn )) reprezint˘a restrict¸ia lui x la ret¸eaua de puncte. Dac˘a exist˘a constantele pozitive C ¸si α astfel ˆıncˆat kuh − [x]h kh ≤ Chα atunci convergent¸a este de ordin α. Studiul convergent¸ei solut¸iei aproximative este legat de propriet˘a¸tile de consistent¸˘a ¸si stabilitate ale schemei de calcul. Schema de calcul Lh (uh ) = ϕh este consistent˘ a dac˘a lim kδϕh kh = 0, h↓0
unde δϕh = Lh ([x]h ) − ϕh . Dac˘a exist˘a constantele C1 ¸si α astfel ˆıncˆat kδϕh kh ≤ C1 hα atunci schema de calcul este consistent˘ a de ordin α. Schema de calcul Lh (uh ) = ϕh este stabila dac˘a exist˘a constantele pozitive C2 , h0 ¸si δ astfel ˆıncˆat ∀h ∈ (0, h0 ), ∀εh ∈ Yh , kεh kh ≤ δ ⇒ kyh − zh k ≤ C2 kεh kh , unde yh ¸si zh verific˘a relat¸iile Lh (zh ) = Lh (yh ) + εh . Leg˘atura dintre cele trei not¸iuni introduse este formulat˘a ˆın teorema urm˘atoare:
Teorema 6.1.1 Dac˘ a schema de calcul Lh (uh ) = ϕh este stabil˘ a ¸si consistent˘ a de ordin α atunci convergent¸a este de ordin α.
Demonstrat¸ie. Deoarece schema de calcul este consistent˘a de ordin α au loc relat¸iile Lh [x]h = ϕh + δϕh ¸si kδϕh kh ≤ C1 hα . Pentru h suficient de mic, dac˘a Lh uh = ϕh , din stabilitatea schemei de calcul urmeaz˘a c˘a k[x]h − uh kh ≤ C2 kδϕh kh ≤ C1 C2 hα , de unde rezult˘a convergent¸a de ordin α a schemei de calcul. ˆIn cazul schemelor de calcul liniare, (adic˘a cu operatorul Lh liniar), stabilitatea se poate caracteriza prin Teorema 6.1.2 Dac˘ a operatorul Lh este liniar atunci schema de calcul Lh uh = ϕh este stabil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a o constant˘ a C ≥ 0 astfel ˆıncˆ at kuh kh ≤ Ckϕh kh ,
∀ϕh ∈ Yh .
92
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Demonstrat¸ie. ˆIn ipoteza stabilit˘a¸tii, exist˘a h0 , δ, C > 0 astfel ˆıncˆat dac˘ a h ∈ (0, h0 ), εh ∈ Yh , kεh kh ≤ δ, Lh (uh ) = ϕh , Lh (zh ) = ϕh + εh atunci kzh − uh kh ≤ Ckεkh . Din liniaritatea schemei de calcul rezult˘a Lh (zh − uh ) = εh . Rescriem aceasta implicat¸ie prin: dac˘a ϕh ∈ Yh , kϕh kh ≤ δ, Lh (uh ) = ϕh atunci kuh kh ≤ Ckϕh kh . Fie ϕh ∈ Yh . Dac˘a kϕh kh ≤ δ atunci inegalitatea teoremei este verificat˘ a. δ ϕ , L (˜ u ) = ϕ ˜ au loc relat ¸ iile Dac˘a kϕh kh > δ atunci pentru ϕ˜h = 2kϕk h h h h h kϕ˜h kh = 2δ ¸si ˆın consecint¸˘a k˜ uh kh ≤ Ckϕ˜h kh de unde, pentru uh = 2δ u ˜h se deduc relat¸iile Lh (uh ) = ϕh ¸si kuh kh ≤ Ckϕh kh . Implicat¸ia invers˘a este imediat˘a. ˆIn cele ce urmeaz˘a vom studia schema de calcul Euler. ˆIn Rn+1 folosim norma lui Cebˆa¸sev kxk = max{|x1 |, . . . , |xn+1 |}. Au loc urm˘atoarele rezultate: Teorema 6.1.3 Dac˘ a funct¸ia f admite derivate part¸iale de ordinul ˆıntˆ ai m˘ arginite, atunci schema de calcul este consistent˘ a de ordinul ˆıntˆ ai.
Demonstrat¸ie. Existent¸a derivatelor part¸iale ale funct¸iei f asigur˘a existent¸a derivatei de ordinul al doilea a solut¸iei problemei Cauchy (6.1), iar din m˘arginirea derivatelor part¸iale rezult˘a existent¸a unei constante M2 > 0, astfel ˆıncˆat |¨ x(t)| ≤ M2 , ∀t ∈ [0, T ]. 2 Din egalit˘a¸tile x(ti+1 ) = x(ti + h) = x(ti ) + hx(t ˙ i ) + h2 x ¨(ci ), ci ∈ (ti , ti+1 ), i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, rezult˘a x(ti+1 ) − x(ti ) h = x(t ˙ i) + x ¨(ci ), h 2
i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
Atunci L([x]h ) =
x(ti+1 )−x(ti ) h x(t0 )
= =
− f (ti , x(ti )), i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}
h ¨(ci ), 2x
i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}
0
0, i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} + x0
h ¨(ci ), 2x
0
=
=
i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}
.
Recunoa¸stem ϕh ˆın primul termen ¸si ˆın consecint¸˘a al doilea termen este δϕh . Prin urmare M2 h kδϕh k = max |¨ x(ci )| ≤ h. 0≤i≤n−1 2 2 Pentru demonstrarea stabilit˘a¸tii schemei de calcul Euler vom avea nevoie de urm˘atorul rezultat:
93
6.1. METODE DE DISCRETIZARE
Teorema 6.1.4 Dac˘ a termenii ¸sirului de numere reale, nenegative (zn )n∈N satisfac inegalit˘ a¸tile zn+1 ≤ azn + b, n ∈ N, cu a, b > 0, a > 1 atunci zn ≤ an z0 + b
an − 1 b ≤ an (z0 + ). a−1 a−1
Demonstrat¸ie. Au loc inegalit˘a¸tile zn ≤ azn−1 + b ≤ a(azn−2 + b) + b = a2 zn−2 + b(1 + a) ≤ ≤ an z0 + b(1 + a + . . . + an−1 ) = an z0 + b
an − 1 . a−1
Teorema 6.1.5 Dac˘ a funct¸ia f este lipschitzian˘ a ˆın x, adic˘ a exist˘ a L > 0, astfel ˆıncˆ at |f (t, x) − f (t, y)| ≤ L|x − y|, ∀x, y ∈ R atunci schema de calcul Euler este stabil˘ a. Demonstrat¸ie. Fie εn =
εi i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}
¸si sistemele Lh (uh ) =
ϕh , Lh (zh ) = ϕh + εh :
ui+1 −ui − h u0 = x0
f (ti , ui ) = 0,
zi+1 −zi − f (ti , zi ) h 0 z0 = x +
= εi ,
i = 0, 1, . . . , n − 1
i = 0, 1, . . . , n − 1
.
(6.5)
.
(6.6)
Introducem vectorul wh = zh − uh = (wi )0≤i≤n ¸si sc˘azˆand ecuat¸iile lui (6.5) din ecuat¸iile corespunz˘atoare lui (6.6) g˘asim
wi+1 −wi h w0 =
− [f (ti , zi ) − f (ti , ui )] = εi ,
i = 0, 1, . . . , n − 1
.
Atunci wi+1 = wi + h[f (ti , zi ) − f (ti , ui )] + hεi
i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
ˆIn norm˘a, vom avea |wi+1 | ≤ |wi | + h|f (ti , zi ) − f (ti , ui )| + h|εi | ≤ (1 + hL)|wi | + hkεh kh ,
(6.7)
94
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
unde kεh kh = max{|ε0 |, . . . , |εn−1 |, ||}. Utiliz˘and inegalitatea Teoremei 6.1.4 obt¸inem |wi | ≤ (1 + hL)i (|w0 | +
hkεh kh 1 ) ≤ eihL (1 + )kεh kh ≤ (1 + hl) − 1 L
1 )kεh kh , L Din inegalitatea de mai sus deducem ≤ eT L (1 +
i ∈ {0, 1, . . . , n}.
kzh − uh kh = kwh kh = max |wi | ≤ eT L (1 + 0≤i≤n
1 )kεh kh , L
adic˘a inegalitatea din definit¸ia stabilit˘a¸tii. Constanta C corespunz˘atoare este eT L (1 + L1 ). Din consistent¸a ¸si stabilitatea schemei de calcul Euler deducem teorema de convergent¸˘a: Teorema 6.1.6 Dac˘ a 1. funct¸ia f este lipschitzian˘ a ˆın x, adic˘ a exist˘ a L > 0 astfel ˆıncˆ at |f (t, x) − f (t, y)| ≤ L|x − y|, ∀x, y. 2. Solut¸ia problemei Cauchy (6.1) este de dou˘ a ori derivabil˘ a, avˆ and derivata de ordinul doi m˘ arginit˘ a, |¨ x(t)| ≤ M, ∀t ∈ [0, T ]; atunci solut¸ia discret˘ a construit˘ a cu ajutorul schemei de calcul Euler converge c˘ atre solut¸ia problemei lui Cauchy, ordinul de convergent¸˘ a fiind 1. Mai mult are loc urm˘atoarea formul˘a de evaluare a priori a erorii kuh − [u]h k ≤
M2 T L 1 e (1 + )h 2 L
(6.8)
O demonstrat¸ie direct˘a a teoremei de convergent¸˘a 6.1.6 este Not˘am xi = x(ti ) ¸si ei = xi − ui , loc relat¸iile
i = 0, 1, . . . , n. Observ˘am c˘a e0 = 0. Au
xi+1 = x(ti+1 ) = x(ti + h) = x(ti ) + hx(t ˙ i) + xi + hf (ti , xi ) +
h2 x ¨(ξi ) 2
¸si ui+1 = ui + hf (ti , ui )
h2 x ¨(ξi ) = 2
95
6.1. METODE DE DISCRETIZARE
din care, prin sc˘adere, obt¸inem ei+1 = ei + h[f (ti , xi ) − f (ti , ui )] +
h2 x ¨(ξi ). 2
Aplicˆand valoarea absolut˘a, rezult˘a |ei+1 | ≤ |ei | + h|f (ti , xi ) − f (ti , ui )| + ≤ |ei | + hL|xi − ui | +
h2 |¨ x(ξi )| ≤ 2
h2 h2 M = (1 + hL)|ei | + M. 2 2
Folosind Teorama 6.1.4 rezult˘a h2 2 M
] ≤ eihL
M M h ≤ eT L h. 2L 2L
k[x]h − uh k = max{|ei | : i = 0, 1, . . . , n} ≤ eihL
M M h ≤ eT L h. 2L 2L
i
|ei | ≤ (1 + hL) [|e0 | +
(1 + hL) − 1
Prin urmare
Aplicat¸ie. S˘a se calculeze utilizˆand schema de calcul Euler valoarea funct¸iei x(t) 1 ˆın punctul t = 75 cu eroarea ε = 0.01, ¸stiind c˘a x(t) este solut¸ia problemei Caucly
x(t) ˙ = 21 − 13 tx2 , x(0) ˙ = x0 .
Nu se ¸tine seama de erorile de rotunjire. S˘a presupunem c˘a f (t, x) = 12 − 13 tx2 este definit˘a ˆın p˘atratul D = [0, 1]×[0, 1]. Atunci sup{|f (t, x)| : (t, x) ∈ D} ≤ 65 ¸si potrivit teoremei de existent¸˘a ¸si unicitate, problema Cauchy are solut¸ie unic˘a ˆın intervalul |t| ≤ min{1, 65 } = 1. Alegem T = 1. Determin˘am parametrii L ¸si M care intervin ˆın Teorema 6.1.6. 2 1 |f (t, x) − f (t, y)| = |t||x2 − y 2 | ≤ |x − y|. 3 3 Alegem L = 1. d d 1 1 f (t, x(t)) = [ − tx2 (t)] = dt dt 2 3 1 1 1 2 = − [x2 (t) + 2tx(t)x(t)] ˙ = − x2 (t) − tx(t) + t2 x3 (t). 3 3 3 9 Urmeaz˘a c˘a 8 sup{|¨ x(t)| : |t| ≤ 1} ≤ . 9 x ¨(t) =
96
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Alegem M = 98 . Trebuie s˘a determin˘am pasul h > 0 astfel ˆıncˆat s˘a existe p ∈ N care s˘ a satisfac˘a relat¸iile 1 ph = 75 ¸si M M |up − x(tp )| ≤ kuh − [x]h k ≤ eT L h ≤ 3T L h < ε. 2L 2L Rezult˘a c˘a p este cel mai mic num˘ar natural care satisface inegalitatea h=
1 2Lε ≤ LT . 75p 3 M
Substituind cu valori numerice, g˘asim p = 2 ¸si deci h =
1 150 .
ˆIn final
u0 = 0, 1 , u1 = u0 + hf (t0 , u0 ) = 300 u2 = u1 + hf (t1 , u1 ) ' 0.0067.
6.2
Scheme de calcul de tip Runge - Kutta
Pentru rezolvarea problemei Cauchy (6.1) consider˘am schema de calcul ui+1 −ui − Fm (h, ti , ui ; f ) = 0 i = 0, 1, . . . , n − 1 h (6.9) 0 u0 = x unde h =
T n,
ti = ih, i = 0, 1, . . . , n iar funct¸ia Fm (h, t, x; f ) va fi de forma Fm (h, t, x; f ) =
m X
pi ki (h)
i=1
cu ki (h) = f (t + αi h, x + h
m X
βi,j kj (h),
i = 1, . . . , m.
j=1
Numerele p1 , . . . , pm , αi , βi,j , i, j = 1, . . . , m se determin˘a pentru fiecare m ˆın parte astfel ˆıncˆat, dac˘a x(t) este solut¸ia problemei Cauchy, atunci puterea p din relat¸ia x(t + h) − x(t) − Fm (h, t, x(t); f ) = hp Φ(t, h), ∀t, h, (6.10) h s˘a fie cˆat mai mare. Condit¸ia (6.10) se poate reformula prin: h = 0 trebuie s˘a fie solut¸ie de ordin p + 1 a ecuat¸iei ϕm (h) = x(t + h) − x(t) − hFm (h, t, x(t); f ) = 0. Astfel schema de calcul (6.9) va avea ordinul p de consistent¸˘a. Solut¸iile obt¸inute se prezint˘a sub forma tabelelor Butcher
97
6.2. SCHEME DE CALCUL DE TIP RUNGE - KUTTA
α1 α2 ... αm
β1,1 β2,1 ... βm,1 p1
... ... ... ... ...
β1,m β2,m ... βm,m pm
Dac˘a α1 = 0 ¸si βi,j = 0, pentru i ≥ j atunci schema de calcul de tip Runge – Kutta este explicit˘a. ˆIn acest caz k1 (h) = f (t, x); k2 (h) = f (t + α2 h, x + β21 hk1 (h)); k3 (h) = f (t + α3 h, x + β31 hk1 (h) + β32 hk2 (h)); ............................................. km (h) = f (t + αm h, x + βm1 hk1 (h) + . . . + βmm−1 hkm−1 (h)); ˆIn cele ce urmeaz˘a consider˘am doar cazul explicit. Pentru m = 1 se reg˘ase¸ste schema lui Euler. Efectu˘am calculele ˆın cazul m = 2. ˆIn acest caz h = 0 trebuie s˘a fie solut¸ie de ordin 3 a ecuat¸iei ϕ2 (h) = x(t + h) − x(t) − h[p1 k1 (h) + p2 k2 (h)] = = x(t + h) − x(t) − h[p1 f (t, x(t)) + p2 f (t + α2 h, x(t) + β21 hf (t, x(t)))] = 0. Presupunem c˘a solut¸ia problemei Cauchy admite toate derivatele necesare calculelor urm˘atoare. Calcul˘am ϕ02 (h) = x(t ˙ + h) − [p1 f (t, x(t)) + p2 f (t + α2 h, x(t) + β21 hf (t, x(t)))]− −hp2 [
∂f ∂f α2 + β21 f (t, x(t))], 1 ∂t ∂x
ϕ002 (h) = x ¨(t + h) − 2p2 [ −hp2 [
∂f ∂f α2 + β21 f (t, x(t))]− ∂t ∂x
∂2f 2 ∂2f ∂2f 2 2 α2 + 2 α2 β21 f (t, x(t)) + β f (t, x(t))]. 2 ∂t ∂t∂x ∂x2 21
Rezult˘a ϕ2 (0) = 0; ϕ02 (0) = x(t) ˙ − p1 f (t, x(t)) − p2 f (t, x(t)) = (1 − p1 − p2 )f (t, x(t)); ∂f 00 ϕ2 (0) = x ¨(t) − 2p2 [α2 ∂f ∂x (t, x(t)) + ∂x (t, x(t))β21 f (t, x(t))] = ∂f = (1 − 2p2 α2 ) ∂t (t, x(t)) + (1 − 2p2 β21 ) ∂f ∂x (t, x(t))f (t, x(t)). 1
Pentru simplificare omitem scrierea argumentelor.
98
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
h = 0 este solut¸ie tripl˘a dac˘a coeficient¸ii termenilor care cont¸in pe f ¸si derivatele sale part¸iale sunt nule. Obt¸inem sistemul algebric neliniar 1 − p 1 − p2 = 0 1 − 2p2 α2 = 0 1 − 2p2 β21 = 0 Dou˘a solut¸ii ale acestui sistem sunt: 1. p1 = 0, p2 = 1, α2 = β21 = 12 . ˆIn acest caz schema de calcul este ui+1 −ui − f (ti + h2 , ui + h2 f (ti , ui )) = 0 i = 0, 1, . . . , n − 1 h 0 u0 = x
(6.11)
¸si este cunoscut˘a sub numele de schema Euler ˆımbun˘at˘a¸tit˘a. 2. p1 = p2 = 21 , α2 = β21 = 1. Schema de calcul este ui+1 −ui 1 − 2 f (ti , ui ) − 12 f (ti+1 , ui + hf (ti , ui )) = 0 h 0 u0 = x
i = 0, 1, . . . , n − 1
Tabelele Butcher corespunz˘atoare sunt 0
0
1 2
1 2
0 0 1
0
0 1
0 1
0 0
1 2
1 2
Pentru m = 4 se obt¸ine schema de calcul Runge ui+1 −ui 1 − 6 [k1 (h) + 2k2 (h) + 2k3 (h) + k4 (h)] = 0, h k1 (h) = f (ti , ui ) k2 (h) = f (ti + h2 , ui + h2 k1 (h)) k3 (h) = f (ti + h2 , ui + h2 k2 (h)) k4 (h) = f (ti + h, ui + hk3 (h)) u0 = x0
i = 0, 1, . . . , n − 1
(6.12) cu tabela Butcher 0
0
1 2 1 2
1 2
1
0 1 2 1 6
0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
2 3
2 3
1 6
1 2
Pentru a justifica stabilitatea schemei de calcul de tip Runge – Kutta stabilim
6.2. SCHEME DE CALCUL DE TIP RUNGE - KUTTA
99
Teorema 6.2.1 Dac˘ a funct¸ia f (t, x) este lipschitzian˘ a ˆın x (∃L. > 0, astfel ˆıncˆ at |f (t, x) − f (t, y)| ≤ L|x − y|, ∀x, y ∈ R) atunci funct¸ia Fm (h, t, x; f ) este lipschitzian˘ a ˆın x.
Demonstrat¸ie. Pentru simplitate, consider˘am m = 2, adic˘a Fm (h, t, x; f ) = F2 (h, t, x; f ) = p1 f (t, x) + p2 f (t + α2 h, x + β2,1 hf (t, x)). ˆIn acest caz |F2 (h, t, y; f ) − F2 (h, t, x; f )| ≤ ≤ |p1 | |f (t, y)−f (t, x)|+|p2 | |f (t+α2 h, y+β2,1 hf (t, y))−f (t+α2 h, x+β2,1 hf (t, x))|. Datorit˘a ipotezei f˘acute rezult˘a succesiv |F2 (h, t, y; f ) − F2 (h, t, x; f )| ≤ ≤ |p1 | L|y − x| + |p2 | L|y + β2,1 hf (t, y) − x − β2,1 hf (t, x)| ≤ ≤ L(|p1 | + |p2 | + |p2 | |β2,1 |hL)|y − x| ≤ M |y − x|, unde M = L(|p1 | + |p2 | + |β2,1 |T L). Prin urmare are loc o teorem˘a de stabilitate a c˘arei demonstrat¸ie este identi¸a cu demonstrat¸ia Teoremei 6.1.5. Teorema 6.2.2 Dac˘ a funct¸ia f este lipschitzian˘ a ˆın x, adic˘ a exist˘ a L > 0, astfel ˆıncˆ at |f (t, x) − f (t, y)| ≤ L|x − y|, ∀x, y ∈ R atunci o schem˘ a de calcul de tip Runge – Kutta este stabil˘ a. ˆIn consecint¸˘a Teorema 6.2.3 Dac˘ a • funct¸ia f (t, x) este lipschitzian˘ a ˆın x; • schema de calcul de tip Runge – Kutta este consistent˘ a de ordin p atunci atunci solut¸ia discret˘ a construit˘ a cu ajutorul schemei de calcul de tip Runge – Kutta converge c˘ atre solut¸ia problemei lui Cauchy, ordinul de convergent¸˘ a fiind p.
100
6.3
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Scheme de calcul de tip Adams
Ecuat¸ia diferent¸ial˘a (6.1)este echivalent˘a cu ecuat¸ia integral˘a Z t f (s, x(s))ds 0 ≤ t˜ < t ≤ T. x(t) = x(t˜) + t˜
Ideea schemelor de calcul de tip Adams const˘a ˆın ˆınlocuirea funct¸iei ϕ(s) = f (s, x(s)) printr-un polinom de interpolare Nr (ϕ)(s) =
r X
(t − a)(t − a + h) . . . (t − a + (i − 1)h)
i=0
∇ih ϕ(a) . i!hi
Solut¸ia aproximativ˘a u satisface ecuat¸ia Z t Nr (ϕ)(s)ds. u(t) = u(t˜) +
(6.13)
t˜
Fie h = Tn ¸si ret¸raua de puncte echidistante ti = ih, i = 0, 1, . . . , n. Particulariz˘a relat¸ia (6.13) luˆand t, t˜, a egale, respectiv cu tk+p , tk−q , tk ¸si obt¸inem Z r X ∇ih ϕ(tk ) tk+p uk+p = uk−q + (s−tk )(s−tk +h)·. . .·(s−tk +(i−1)h)ds, (6.14) i!hi tk−q i=0
unde ui = u(ti ), i = 0, 1, . . . , n. Prin schimbarea de variabil˘a s − tk = zh integrala din (6.14) devine Z p Z tk+p z(z +1)·. . .·(z +i−1)dz. (s−tk )(s−tk +h) . . . (s−tk +(i−1)h)ds = hi+1 −q
tk−q
ˆInlocuind ˆın (6.14) g˘asim uk+p = uk−q +
Z r X hi+1 ∇i ϕ(tk )
p
h
i=0
i!hi
z(z + 1) · . . . · (z + i − 1)dz.
−q
sau uk+p = uk−q +
r X
αi ∇ih ϕ(tk ),
i=0
unde α0 = p + R q 1 p αi = i! −q z(z + 1) · . . . · (z + i − 1)dz,
i = 1, 2, . . . , r.
Utilizˆand formula de dezvoltare a diferent¸elor finite regresive obt¸inem r i X X i uk+p = uk−q + h αi (−1)j ϕ(tk − j), j i=0
j=0
101
6.3. SCHEME DE CALCUL DE TIP ADAMS
unde ϕ(tj ) = f (tj , uj ). Permutˆand ˆınsum˘arile g˘asim uk+p = uk−q + h
r X
βj f (tk−j , uk−j ),
(6.15)
j=0
cu
j j+1 r βj = (−1) [ αj + αj+1 + . . . + αr ]. j j j j
(6.16)
Cazuri particulare importante. 1. Schema Adams - Bashforth. Particulariz˘am (6.15), alegˆand p = 1, q = 0. Se obt¸in relat¸iile uk+1 = uk + h
r X
k = r, . . . , n − 1;
βj f (tk−j , uk−j ),
(6.17)
j=0
unde βj sunt dat¸i de formulele (6.16) cu α0 = 1, αi = Tabelul coeficient¸ilor βj .
r|j 1 2 3 4 5
0 3 23 55 1901 4277
1 -1 -16 -59 -2774 -7927
Num˘ar˘ator 2 3 5 37 2616 9982
1 i!
R1 0
z(z+1)·. . .·(z+i−1)dz.
Numitor 4
-9 -1274 -7298
251 2877
5 2 12 24 720 1440
-475
2. Schema Adams - Moulton. Alegˆand p = 0, q = 1 ˆın (6.15) se obt¸in formulele uk = uk−1 + h
r X
βj f (tk−j , uk−j ),
k = r − 1, . . . , n;
(6.18)
j=0
unde βj sunt dat¸i de formulele (6.16) cu α0 = 1, αi = Tabelul coeficient¸ilor βj .
r|j 1 2 3 4 5
0 1 5 9 251 475
Num˘ar˘ator 1 2 3 1 8 -1 19 -5 1 646 264 106 1427 -798 482
1 i!
R0
−1 z(z+1)·. . .·(z+i−1)dz.
Numitor 4
-19 -173
5
27
2 12 24 720 1440
102
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Schema de calcul Adams - Bashforth este explicit˘ a ˆın sensul c˘a ˆın formula (6.17), elementele membrului drept sunt cunoscute ¸si uk+1 se calculeaz˘a nemijlocit. Schema de calcul Adams - Moulton este implicit˘ a ˆın sensul c˘a ˆın formula (6.18), pentru j = 0 apare factorul f (tk , uk ), iar uk este necunoscut. Astfel uk se obt¸ine ca solut¸ia unei ecuat¸ii. Schemele de tip Adams se numesc scheme de calcul cu mai mult¸i pa¸si (multipas), ˆın timp ce schemele de calcul de tip Runge - Kutta sunt scheme cu un singur pas (unipas). Un avantaj din punct de vedere al calculelor pentru schemele de calcul de tip Adams este faptul c˘a folosesc valorile lui f doar ˆın nodurile anterioare, ˆın timp ce la schemele de calcul de tip Runge - Kutta este nevoie de valorile lui f ˆın diverse puncte intermediare. Pentru pornirea unei scheme de calcul de tip adams trebuie cunoscute ˆın prealabil u0 , u1 , . . . , ur , aproximat¸ii care se determin˘a pe o alt˘a cale - de exemplu utilizˆand o schem˘a de calcul de tip Runge - Kutta. Determinarea acestor valori se nume¸ste procedeu init¸ial. Pentru a studia consistent¸a unei scheme de calcul de tip Adams rescriem formula (6.15) sub forma ap uk+p + ap−1 uk+p−1 + . . . + a0 uk −
(6.19)
−h[bp f (tk+p , uk+p ) + bp−1 f (tk+p−1 , uk+p−1 ) + . . . + b0 f (tk , uk )] = 0. Fie x solut¸ia problemei Cauchy ¸si presupunˆand c˘a au loc dezvolt˘arile tayloriene xk+s = xk + x˙ k+s = x˙ k +
sh ˙k 1! x sh ¨k 1! x
+ +
(sh)2 ¨k + . . . 2! x (sh)2 (3) 2! xk + . . .
atunci ap xk+p + ap−1 xk+p−1 + . . . + a0 xk − −h[bp f (tk+p , xk+p ) + bp−1 f (tk+p−1 , xk+p−1 ) + . . . + b0 f (tk , xk )] = ap xk+p + ap−1 xk+p−1 + . . . + a0 xk − h[bp x˙ k+p + bp−1 x˙ k+p−1 + . . . + b0 x˙ k ] = (m)
= C0 xk + C1 hx˙ k + C2 h2 x ¨k + . . . + Cm hm xk
+ ...
unde C0 = a0 + a1 + . . . + ap C1 = C0 = a1 + 2a2 + . . . + pap − (b0 + b1 + . . . + bp ) C2 = 2!1 (a1 + 22 a2 + . . . + p2 ap ) − (b1 + 2b2 + . . . + pbp ) 1 1 Cm = m! (a1 + 2m a2 + . . . + pm ap ) − (m−1)! (b1 + 2m−1 b2 + . . . + pm−1 bp ). Schema de calcul de tip Adams (6.19) este consistent˘a de ordin m dac˘a C0 = C1 = . . . = Cm = 0 ¸si Cm+1 6= 0.
103
6.4. SCHEMA DE CALCUL PREDICTOR - CORECTOR
Exemplific˘am ˆın cazul schemei de calcul Adams - Bashforth cu r = 1 3 1 uk+1 = uk + h[ f (tk , uk ) − f (tk−1 , uk−1 )]. 2 2 Schema de calcul se rescrie sub forma 3 1 uk+2 − uk+1 − h[ f (tk+1 , uk+1 ) − f (tk , uk )] = 0 2 2 deci p = 2 ¸si a2 = 1, a1 = −1, a0 = 0, b2 = 0, b1 = 32 , b0 = 12 . Rezult˘a C0 C1 C2 C3
6.4
= a0 + a1 + a2 = 0 = a1 + 2a2 − (b0 + b1 + b2 ) = 0 = 12 (a1 + 22 a2 ) − (b1 + 2b2 ) = 0 = 3!1 (a1 + 23 a2 ) − 12 (b1 + 22 b2 ) =
5 12 .
Schema de calcul predictor - corector
Schemele de tip predictor - corector se obt¸in prin combinarea dintre dou˘a scheme de tip Adams: una explicit˘a uk+1 = uk + h
p X
ai f (tk−j , uk−j ),
k≥p
i=0
¸si una implicit˘a uk+1 = uk + h
q X
bj f (tk+1−j , uk+1−j ),
k ≥ q − 1.
j=0
Se valorific˘a astfel propriet˘a¸tle schemei de calcul implicite ˆıntr-o procedur˘a explicit˘a de calcul. Procedura P (EC)m E de combinarea celor dou˘a scheme, pentru un pas k ≥ s = max{p, P q − 1}, este P: u0k+1 = uk + h pi=0 ai f (tk−j , uk−j ); Pentru s=1:m executa s−1 | E: Calculeaza fk+1 = f (tk+1 , us−1 ) P k+1 s−1 s | C: uk+1 = uk + hb0 fk+1 + h qj=1 bj f (tk+1−j , uk+1−j ), | E: uk+1 = um k+1 ; fk+1 = f (tk+1 , uk+1 ) A¸sadar, pentru pornirea schemei de tip predictor - corector este nevoie de determinarea aproximat¸iilor u0 , u1 , . . . , us (procedeul init¸ial). Pentru procedura P ECE (m = 1) are loc urm˘atoarea teorem˘a simpl˘a de convergent¸˘a:
104
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Teorema 6.4.1 Dac˘ a • funct¸ia f (t, x) este lipschitzian˘ a ˆın x; ∃L > 0 astfel ˆıncˆ at |f (t, y)−f (t, x)| ≤ L|y − x|, ∀x, y ∈ R; • procedeul init¸ial este convergent, adic˘ a limh→0 max0≤i≤s |xi − ui | = 0; • schemele de calcul de Adams explicit˘ a ¸si implicit˘ a utilizate sunt consistente atunci solut¸ia discret˘ a construit˘ a cu ajutorul schemei de calcul de tip predictor– corector converge c˘ atre solut¸ia problemei lui Cauchy.
Demonstrat¸ie. Procedura P ECE a schema de calcul predictor– corector se poate scrie prin u∗k+1 = uk + h
p X
ai f (tk−j , uk−j ),
(6.20)
i=0
uk+1 = uk + hb0 f( tk+1 , u∗k+1 ) + h
q X
bj f (tk+1−j , uk+1−j ).
(6.21)
j=1
pentru k ∈ {s, . . . , n − 1}. Consistent¸a celor dou˘a scheme de calcul de tip Adams cu care s-a construit schema de calcul predictor corector se exprim˘a prin existent¸a numerelor α, β ∈ N∗ ¸si C1 , C2 > 0 astfel ˆıncˆat xk+1 = xk + h xk+1 = xk + h
p X i=0 q X
∗ , ai f (tk−j , xk−j ) + hα+1 τk+1
(6.22)
bj f (tk+1−j , xk+1−j ) + hβ+1 τk+1
(6.23)
j=0
pentru k ∈ {s, . . . , n − 1} ¸si max |τj∗ | ≤ C1
max |τj | ≤ C2 . j
j
def
∗ Dac˘a x∗k+1 = xk+1 − hα+1 τk+1 atunci egalitatea (6.22) devine
x∗k+1 = xk + h
p X
ai f (tk−j , xk−j ).
i=0
Introducem notat¸iile e∗j = x∗j − u∗j , P A = pi=0 |ai |,
ej = xj − uj , P B = qj=0 |bj |, wj = max{|e0 |, . . . , |ej |}.
(6.24)
105
6.4. SCHEMA DE CALCUL PREDICTOR - CORECTOR
Sc˘azˆand (6.20) din (6.24) ¸si (6.21) din (6.23) obt¸inem respectiv e∗k+1
= ek + h
p X
ai [f (tk−j , xk−j ) − f (tk−i , uk−i )]
i=0
ek+1 = ek + hb0 [f (tk+1 , xk+1 ) − f (tk+1 , u∗k+1 )] + q X +h bj [f (tk+1−j , xk+1−j ) − f (tk+1−j , uk+1−j )] + hβ+1 τk+1 j=1
ˆIn valoare absolut˘a, din egalit˘a¸tile de mai sus rezult˘a |e∗k+1 | ≤ |ek | + h
p X
|ai | |f (tk−j , xk−j ) − f (tk−i , uk−i )| ≤
i=0 p X
≤ |ek | + hL
|ai | |ek−i |,
(6.25)
i=0
|ek+1 | ≤ |ek | + h|b0 | |f (tk+1 , xk+1 ) − f (tk+1 , u∗k+1 )| + q X +h |bj | |f (tk+1−j , xk+1−j ) − f (tk+1−j , uk+1−j )| + hβ+1 |τk+1 | ≤ j=1
≤ |ek | + h|b0 |L|xk+1 − u∗k+1 | + hL
q X
|bj | |ek−j+1 | + C2 hβ+1
(6.26)
j=1
T ¸ inˆand seana de definit¸ia lui x∗k+1 ¸si de (6.25) deducem ∗ | + |e∗k+1 | ≤ |xk+1 − u∗k+1 | ≤ |xk+1 − x∗k+1 | + |x∗k+1 − u∗k+1 | = hα+1 |τk+1
≤ C1 h
α+1
+ |ek | + hL
p X
|ai | |ek−i |.
i=0
Utiliz˘am aceast˘a inegalitate ˆın (6.26) care devine |ek+1 | ≤ |ek | + h|b0 |L(C1 h
α+1
+ |ek | + hL
p X
|ai | |ek−i |)+
i=0
+hL
q X
|bj | |ek−j+1 | + C2 hβ+1 .
j=1
Folosind definit¸ia lui wk ¸si aranjˆand termenii deducem |ek+1 | ≤ (1 + hLB + h2 L2 |b0 |A)wk + C1 L|b0 |hα+2 + C2 hβ+1 .
(6.27)
106
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Prin urmare wk+1 ≤ (1 + hLB + h2 L2 |b0 |A)wk + C1 L|b0 |hα+2 + C2 hβ+1 . Potricit Teoremei 6.1.4, inegalit˘a¸tile anterioare implic˘a wk ≤ (1 + hLB + h2 L2 |b0 |A)k (w0 +
C1 L|b0 |hα+2 + C2 hβ+1 )≤ (1 + hLB + h2 L2 |b0 |A) − 1
C1 hα+1 |b0 |L + C2 hβ )≤ LB C1 hα+1 |b0 |L + C2 hβ 2 ≤ eT (LB+T L |b0 |A) (ws + ). LB Din ultima inegalitate deducem 2 |b |A) 0
≤ ehk(LB+hL
(ws +
k[x]h − uh kh = max |xi − ui | = max |ei | = wn ≤ 0≤i≤n
2 |b |A) 0
≤ eT (LB+T L
(ws +
0≤i≤n
C1 hα+1 |b0 |L + C2 hβ ) → 0, LB
when h → 0. Observat¸ie. Dac˘a consider˘am consider˘am schemele de calcul ca formule matriceale atunci ele se pot utiliza la integrarea problemelor Cauchy corespunz˘atoare sistemelor de ecuat¸ii diferent¸iale.
6.5
A-stabilitatea schemelor de calcul
A-stabilitatea permite evaluarea t˘ariei unei scheme de calcul pentru rezolvarea unei probleme Cauchy. Pentru definirea acestei not¸iuni se consider˘a problem de test x˙ = λx, λ ∈ C, (6.28) 0 x(0) = x a c˘arei solut¸ie este x(t) = eλt x0 . Dac˘a <λ < 0 atunci limt→∞ x(t) = 0. Aplic˘am schema de calcul Lh uh = fh pentru rezolvarea problemei (6.28). Se nume¸ste domeniu de A-stabilitate mult¸imea elementelor z = λh ∈ C, h > 0, λ ∈ C cu proprietatea c˘a solut¸ia uh = (ui )0≤i≤nh a schemei de calcul este m˘arginit˘a pentru orice h > 0. Schema de calcul Lh uh = fh este A-stabil˘ a dac˘a semiplanul {z ∈ C :
6.5. A-STABILITATEA SCHEMELOR DE CALCUL
107
1. este A-stabil˘a; 2. limz→∞ |R(z)| < 1. O schem˘a de calcul de tip Runge-Kutta este L A-stabil˘ a dac˘a 1. este A-stabil˘a; 2. limz→∞ |R(z)| = 0. Aplicat¸ii. Analiz˘am natura A-stabilit˘a¸tii mai multor scheme de calcul.
Fig. 1. Mult¸imea de A-stabilitate a schemelor Runge–Kutta.
1. Schema de calcul Euler (6.4). Dac˘a substituim f (ti , ui ) = λui ˆın (6.4) atunci deducem formula de recurent¸˘a ui+1 = (1 + λh)ui ) = (1 + z)ui de
108
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
unde rezult˘a c˘a ui = (1 + z)i u0 . Prin urmare funct¸oa de stabilitate este R(z) = 1 + z. S¸irul (ui )i∈N este m˘arginit doar dac˘a |R(z)| = |1 + z| ≤ 1. Mult¸imea de A-stabilitate este ˆın acest caz discul cu centrul ˆın -1 ¸si raz˘a 1 (Fig. 1). 2. Schema de calcul Euler ˆımbumat˘a¸tit˘a. (6.11). Analog se obt¸ine R(z) = 2 1 + z + z2 . Mult¸imea de A-satbilitate este interiorul domeniului delimitat de contutul punctiform din Fig. 1. 3. Schema de calcul Runge – Kutta (m=4), (6.12). ˆIn acest caz R(z) = 1 + 2 3 z4 z + z2 + z6 + 24 iar mult¸imea de A-stabilitate este domeniul m˘arginit de linia ˆıntrerupt˘a din Fig. 1. Observ˘am c˘a nici una din schemele de calcul de tip Runge – Kutta explicit˘ a nu este A-stabil˘a. 4. ˆIn cazul schemei de calcul implicite ui −ui−1 − f (ti , ui ) = 0, h u0 = x0
i = 1, 1, . . . , n
,
pentru problema de test deducem ui =
1 1 1 i ui−1 = ui−1 = ( ) u0 . 1 − λh 1−z 1−z
1 Din condit¸ia de m˘arginirea ¸sirului (ui )i : | 1−z | ≤ 1, obt¸inem c˘a mult¸imea de A-stabilitate este |z − 1| ≥ 1,, adic˘a exteriorul discului cu centrul ˆın 1 ¸si de raz˘a 1. Astfel aceast˘a schem˘a de calcul este A-stabil˘a.
5. Utilizˆand schem˘a de calcul de tip Adams scris˘a sub forma ap uk+p + ap−1 uk+p−1 + . . . + a0 uk − −h[bp f (tk+p , uk+p ) + bp−1 f (tk+p−1 , uk+p−1 ) + . . . + b0 f (tk , uk )] = 0. pentru rezolvarea problemei test ajungem la ecuat¸ia cu diferent¸e (ap −zbp )uk+p +(ap−1 −zbp−1 )uk+p−1 +. . .+(a1 −zb1 )uk+1 +(a0 −zb0 )uk = 0. Ecuat¸ia caracteristic˘a corespunz˘atoare este ρ(x) − zσ(x) = 0 unde ρ(x) = ap xp + ap−1 xp−1 + . . . + a1 x + a0 , σ(x) = bp xp + bp−1 xp−1 + . . . + b1 x + b0 .
6.5. A-STABILITATEA SCHEMELOR DE CALCUL
109
Solut¸ia ecuat¸iei cu diferent¸e este m˘arginit˘a dac˘a are loc condit¸ia r˘ ad˘ acinii: R˘ad˘acinile polinomului caracteristic sunt ˆın modul subunitare, iar cele de modul 1 sunt r˘ad˘acini simple. Fig. 2 ¸si Fig. 3 prezint˘a frontierele mult¸imilor de A-stabilitate pentru schemele de calcul Adams – Bashforth (r=1,2,3,4) ¸si respectiv Adams – Moulton (r=2,3,4). ˆIn fiecare caz mult¸imea de A-stabilitate este exteriorul domeniului marginit de curbele desenate.
Fig. 2. Mult¸imea de A-stabilitate a schemelor Adams–Bashforth.
Din analiza graficelor se observ˘a c˘a nici una din schemele de calcul de tip Adams tratate nu este A-stabil˘a.
Detalii privind construirea acestor grafice se g˘asesc ˆın Anexa C.
110
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Fig. 3. Mult¸imea de A-stabilitate a schemelor Adams–Moulton.
111
6.5. A-STABILITATEA SCHEMELOR DE CALCUL
Rezolvarea unui sistem algebric de ecuat¸ii neliniare prin integrarea unei probleme Cauchy Reducem rezolvarea unui sistem algebric de ecuat¸ii neliniare = 0 f1 (x1 , . . . , xn ) .................. fn (x1 , . . . , xn ) = 0 la integrarea unei probleme Cauchy. Pentru simplificarea temul (6.29) sub form˘a concentrat˘a f (x) = 0 cu x1 f1 (x1 , . . . , xn ) .. .. x= . f (x) = . xn
(6.29)
scrierii rescriem sis .
fn (x1 , . . . , xn )
Indic˘am dou˘a variante de transformare a sistemului f (x) = 0 la integrarea unei probleme Cauchy de forma x(t) ˙ = ϕ(t, x(t)), x(0) = x0 . Varianta 1. Fie x0 ∈ Rn ¸si ϕ(t, x) = f (x) − (1 − t)f (x0 ). Dac˘a x∗ este o solut¸ie a sistemului (6.29) atunci ϕ(0, x0 ) = 0
¸si
ϕ(1, x∗ ) = 0.
Fie x(t) o curb˘a din Rn care une¸ste x0 cu x∗ astfel ˆıncˆat ϕ(t, x(t)) = 0,
t ∈ [0, 1].
(6.30)
Derivˆand (6.30) g˘asim d ϕ(t, x(t)) = fx0 (x(t))x(t) ˙ + f (x0 ) = 0, dt de unde x(t) ˙ = −[fx0 (x(t)]−1 f (x0 ) = −
1 [f 0 (x(t))]−1 f (x(t)), 1−t x
t ∈ [0, 1).
ˆIn concluzie, rezolvarea sistemului algebric de ecuat¸ii neliniare f (x) = 0 revine la integrarea problemei Cauchy 1 x˙ = − 1−t [fx0 (x)]−1 f (x), x(0) = x0 .
t ∈ [0, 1);
112
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Varianta 2. Dac˘a ϕ(t, x) = f (x) − e−t f (x0 ) atunci ϕ(0, x0 ) = 0
¸si
lim ϕ(t, x∗ ) = 0.
t→∞
Procedˆand analog, fie x(t) o curb˘a din Rn ce une¸ste x0 ¸si x∗ ¸si care satisface egalitatea ϕ(t, x(t)) = 0, t ≥ 0. ˆIn urma deriv˘arii se deduce problema Cauchy x˙ = −[fx0 (x)]−1 f (x), x(0) = x0 .
t > 0;
Probleme ¸si teme de seminar P 6.1 Pentru rezolvarea problemei Cauchy x(t) ˙ = ϕ(t, x(t))
t ∈ [0, T ],
0
x(0) = x
se consider˘ a schema de calcul implicit˘ a
ui −ui−1 − h u0 = x0 .
ϕ(ti , ui ) = 0 i = 1, 2, . . . , n,
(h =
T n)
1. S˘ a se studieze consistent¸a schemei de calcul. ˆ ipoteza ˆın care funct¸ia ϕ este lipcshitzian˘ 2. In a ˆın x, s˘ a se demonstreze stabilitatea schemei de calcul. P 6.2 Pentru rezolvarea problemei Cauchy x(t) ˙ = ϕ(t, x(t)),
t ∈ [0, T ],
0
x(0) = x ; se consider˘ a schema de calcul a termenului median ui+1 −ui−1 − ϕ(ti , ui ) = 0, i = 1, 2, . . . , n − 1, 2h 0 u =x , 0 u1 se calculeaz˘ a printr-un procedeu init¸ial.
(h =
T n)
1. S˘ a se studieze consistent¸a schemei de calcul. ˆ ipoteza ˆın care funct¸ia ϕ este lipcshitzian˘ 2. In a ˆın x, s˘ a se demonstreze stabilitatea schemei de calcul.
113
6.5. A-STABILITATEA SCHEMELOR DE CALCUL
P 6.3 Pentru rezolvarea problemei bilocale liniare x ¨(t) − p(t)x(t) ˙ − q(t)x(t) = r(t), x(a) = α, x(b) = β;
t ∈ [a, b],
se consider˘ a schema de calcul ui+1 −2ui +ui−1 −ui−1 − p(ti ) ui+12h − q(ti )ui = r(ti ), i = 1, 2, . . . , n − 1, h2 (h = b−a n ) u = α, 0 un = β, unde p, q, r ∈ C[a, b]. 1. S˘ a se studieze consistent¸a schemei de calcul. ˆ ipoteza q(t) ≥ q∗ > 0, s˘ a se demonstreze stabilitatea schemei de calcul. 2. In ˆ ipoteza q(t) ≥ q∗ > 0, s˘ a se demonstreze c˘ a scheme de calcul are solut¸ie 3. In unic˘ a. P 6.4 Pentru rezolvarea problemei bilocale neliniare x ¨(t) = f (t, x(t)),
t ∈ [0, T ],
x(a) = α, x(b) = β; se consider˘ a schema de calcul ui+1 −2ui +ui−1 = f (ti , ui ), i = 1, 2, . . . , n − 1, h2 u0 = α, un = β.
(h =
T n)
1. S˘ a se arate c˘ a dac˘ a ¸sirul (wi )0≤i≤n satisface condit¸iile w0 ≤ 0 wi+1 − (2 + ai )wi + wi−1 = bi i = 1, 2, . . . , n − 1, wn ≤ 0
ai , bi ≥ 0
atunci wi ≤ 0, ∀i ∈ {0, 1, . . . , n}. 2. S˘ a se demonstreze ca dac˘ a supt∈[0,T ] |x(4) | ≤ M4 < +∞ ¸si [0, T ] × R, atunci |xi − ui | ≤
M4 h 2 M 4 h2 T 2 ti (T − ti ) ≤ 24 96
∂f (t,x) ∂x
≥ 0, ∀(t, x) ∈
∀i ∈ {0, 1, . . . , n}.
Capitolul 7
Metoda celor mai mici p˘ atrate Relu˘am problema aproxim˘arii unei funct¸ii cunoscut˘a prin valorile y1 , y2 , . . . , yn date respectiv ˆın punctele x1 , x2 , . . . , xn , distincte dou˘a cˆate dou˘a. Pentru n mare, aproximat¸ia dat˘a de o funct¸ie de interpolare este improprie utiliz˘arii ˆın cazul ˆın care intereseaz˘a expresia funct¸iei obt¸inute. Un alt mod de aproximare este furnizat de metoda celor mai mici p˘atrate.
7.1
Construirea unui polinom de aproximare prin metoda celor mai mici p˘ atrate
Fie m ∈ N, m < n. O funct¸ie F (x, c1 , . . . , cm ), fixat˘a de parametrii c1 , . . . , cm reprezint˘a o aproximat¸ie construit˘a prin metoda celor mai mici p˘atrate dac˘a n X
[F (xk , c1 , . . . , cm ) − yk ]2 =
k=1 n X = inf{ [F (xk , λ1 , . . . , λm ) − yk ]2
:
λ1 , . . . , λm ∈ R}
k=1
Ansamblul format din parametrii (c1 , . . . , cm ) define¸ste un punct de minim al funct¸iei n X Φ(λ1 , . . . , λm ) = [F (xk , λ1 , . . . , λm ) − yk ]2 , k=1
¸si este o solut¸ie a sistemului algebric (condit¸ia necesar˘a de optimalitate) ∂Φ = 0, ∂λi
i = 1, 2, . . . , m.
(7.1)
Studiem cazul liniar. Fie ϕ1 (x), . . . , ϕm (x) funct¸ii liniar independente ¸si F (x, λ1 , . . . , λm ) = λ1 ϕ1 (x) + . . . + λm ϕm (x). 114
115
7.1. DETERMINAREA UNUI POLINOM DE APROXIMARE
ˆIn acest caz, sistemul (7.1) devine un sistem algebric de m ecuat¸ii liniare cu m necunoscute n
X ∂Φ (c1 , . . . , cm ) = 2 [c1 ϕ1 (xk ) + . . . + cm ϕm (xk ) − yk ]ϕi (xk ) = 0, ∂λi
(7.2)
k=1
i = 1, 2, . . . , m. Utilizˆand notat¸iile ai,j =
n X
ϕi (xk )ϕj (xk )
bi =
k=1
n X
yk ϕi (xk )
(7.3)
k=1
sistemul (7.2) se scrie m X
ai,j cj = bi
i = 1, 2, . . . , m.
(7.4)
j=1
Matricea (ai,j )1≤i,j≤m a coeficient¸ilor dat¸i de formula (7.3) se nume¸ste matricea Gram asociat˘a problemei de aproximare prin metoda celor mai mici p˘atrate considerat˘a. Astfel pentru obt¸inerea aproximat¸iei dorite trebuie parcur¸si urm˘atorii pa¸si: 1. Se alege m ∈ N ∗ ¸si funct¸iile liniar independente ϕ1 (x), . . . , ϕm (x). 2. Se calculeaz˘a, conform formulelor (7.3) coeficient¸ii (ai,j )1≤i,j≤m ¸si (bi )1≤i≤m . 3. Se rezolv˘a sistemul algebric de ecuat¸ii liniare (7.4), rezultˆand coeficient¸ii c1 , c2 , . . . , cm . 4. Se formeaz˘a funct¸ia de aproximare F (x, c1 , . . . , cm ) = c1 ϕ1 (x) + . . . + cm ϕm (x). Expresia funct¸iei de aproximare poate fi pus sub o form˘a matriceal˘a. Fie matricele U ¸si Y definite prin ϕ1 (x1 ) ϕ1 (x2 ) . . . ϕ1 (xn ) y1 ϕ2 (x1 ) ϕ2 (x2 ) . . . ϕ2 (xn ) y2 Y = U = ... ... . ... ... ... ϕm (x1 ) ϕm (x2 ) . . . ϕm (xn ) yn Prin calcul direct obt¸inem egalit˘a¸tile matriceale n X U ·U =( ϕi (xk )ϕj (xk ))1≤i,j≤m = (ai,j )1≤i,j≤m T
k=1
116
˘ CAPITOLUL 7. METODA CELOR MAI MICI PATRATE
¸si n X U ·Y =( ϕi (xk )yk )1≤i≤m = (bi )1≤i≤m . k=1
Sistemul (7.4) se poate scrie c1 U · UT · . . . = U · Y ; cm
de unde
c1 . . . = (U · U T )−1 · U · Y, cm
iar expresia funct¸iei de aproximare este ϕ1 (x) F (x) =< (U · U T )−1 · U · Y, . . . >, ϕm (x)
unde prin < ·, · > s-a notat produsul scalar din Rn . Fie vectorii ϕi (x1 ) ϕi (x2 ) ui = i ∈ {1, . . . , m}. ∈ Rn .. . ϕi (xn )
Teorema 7.1.1 Dac˘ a vectorii u1 , . . . , um sunt liniar independent¸i atunci matricea sistemului algebric de ecuat¸ii liniare (7.4) este nesingular˘ a.
Demonstrat¸ie. Aplicˆand vectorilor liniar independent¸i u1 , . . . , um procedeul de ortogonalizare Gram - Schmidt obt¸inem vectorii vi =
m X
αi,p up
i ∈ {1, . . . , m},
p=1
astfel ˆıncˆat < vi , vj >= δi,j , ∀i, j ∈ {1, . . . , m}, unde δi,j reprezint˘a simbolul lui Kronecker. Dar m m X X < vi , vj >=< αi,p up , αi,q uq >= (7.5) p=1
q=1
117
7.2. POLINOM TRIGONOMETRIC DE APROXIMARE
=
m X
αi,p αj,q < up , uq >=
p,q=1
m X
αi,p αj,q ap,q = δi,j ,
∀i, j ∈ {1, . . . , m}.
p,q=1
Fie A = (ai,j )1≤i,j≤m = (< ui , uj >)1≤i,j≤m
¸si
Φ = (αi,j )1≤i,j≤m .
Ansamblul relat¸iilor (7.5) se scrie ΦAΦT = In
(7.6)
de unde deducem c˘a |Φ|2 |A| = 1, adic˘a |A| = 6 0.
7.2
Polinom trigonometric de aproximare construit prin metoda celor mai mici p˘ atrate
Fie C2π spat¸iul liniar al funct¸iilor continue, periodice, cu periada 2π ¸si α0 X Tm = {T (x) = + m(αj cos jx + βj sin jx) : α0 , α1 , . . . , αn , β1 . . . , βm ∈ R} 2 j=1
mult¸imea polinoamelor trigonometrice de grad m. Pentru o funct¸ie f ∈ C2π determin˘am un polinom trigonometric de grad m, a0 X + m(aj cos jx + bj sin jx) T0 (x) = 2 j=1
astfel ˆıncˆat Z
2π 2
Z
[T0 (x) − f (x)] dx = inf{ 0
2π
[T( x) − f (x)]2 dx : T ∈ Tm }.
0
Notˆand Z F (α0 , α1 , . . . , αm , β1 . . . , βm ) =
2π
[T( x) − f (x)]2 dx,
0
condit¸iile de optimalitate sunt ∂F =0 α0
∂F =0 αk
∂F =0 βk
k ∈ {1, . . . , m}.
Calculˆand derivatele,obt¸inem ecuat¸iile: R 2π α0 Pm ∂F ∂α0 = 2 R0 [ 2 + Pj=1 (αj cos jx + βj sin jx)]dx = 0; 2π α0 m ∂F j=1 (αj cos jx + βj sin jx)] cos kxdx = 0; ∂αk = 2 R 0 [ 2 + P 2π α0 m ∂F j=1 (αj cos jx + βj sin jx)] sin kxdx = 0; ∂βk = 2 0 [ 2 +
118
˘ CAPITOLUL 7. METODA CELOR MAI MICI PATRATE
Deorece Z
2π
Z sin jxdx =
0
2π
Z cos jxdx =
0
Z
2π
2π
Z
cos jx cos kxdx = 0
0
rezult˘a 2 a0 = π 2 π
Z
2π
f (x) cos kxdx 0
sin kx cos jxdx = 0, 0
sin jx sin kxdx =
ak =
2π
bk =
Z
π δj,k 2
2π
f (x)dx, 0
2 π
Z
2π
f (x) sin kxdx
k ∈ {1, . . . , m}.
0
Astfel polinomul trigonometric de aproximare construit prin metoda celor mai mici p˘atrate coincide cu polinomul trigonometric ce rezult˘a ˆın urma trunchierii seriei Fourier ata¸sat funct¸iei f .
Probleme ¸si teme de seminar P 7.1 Fie f ∈ L2 [0, 1]. S˘ a se determine polinomul de grad m care aproximeaz˘ a prin metoda celor mai mici p˘ atrate funct¸ia f, ˆın intervalul [0, 1], cu norma din L2 [0, 1]. S˘ a se pun˘ a ˆın evident¸˘ a matricea Gram corespunz˘ atoare – numit˘ a matrice Hilbert.
Capitolul 8
Interpolare prin polinoame trigonometrice Se nume¸ste polinom trigonometric de grad m o funct¸ie de forma m
t(x) =
a0 X + (aj cos jx + bj sin jx). 2 j=1
Fie C2π spat¸iul liniar al funct¸iilor continue, periodice, cu periada 2π. ˆIn capitolul Metoda celor mai mici p˘ atrate s-au determinat coeficient¸ii polinomului trigonometric de grad m care aproximeaz˘a cel mai bine, ˆın sensul celor mai mici p˘atrate, o funct¸ie f ∈ C2π . Coeficient¸ii obt¸inut¸i coincid cu coefient¸ii dezvolt˘arii Fourier ata¸sat˘a funct¸iei f .
8.1
O problem˘ a de interpolare trigonometric˘ a
Vom rezolva urm˘atoarea problem˘a particular˘a de interpolare: Dac˘a n este un num˘ar natural par n = 2m ¸si y0 , y1 , . . . , yn−1 sunt numere reale date se cere s˘a se determine polinomul trigonometric de grad m t(x) =
m−1 a0 X am + (aj cos jx + bj sin jx) + cos mx, 2 2 j=1
care ˆındepline¸ste condit¸iile de interpolare t(k
2π ) = yk n
∀k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
(8.1)
Cele n condit¸ii de interpolare formeaz˘a un sistem algebric de ecuat¸ii liniare cu necunoscutele a0 , a1 , . . . , am−1 , am , b1 , . . . , bm−1 . 119
120
CAPITOLUL 8. POLINOAME TRIGONOMETRICE
Datorit˘a formulelor cos x =
eix + e−ix 2
sin x =
eix − e−ix 2i
polinomul trigonometric t(x) devine t(x) =
m−1 eijx − e−ijx a0 X eijx + e−ijx 1 am eimx + e−imx + + bj )+ = (aj 2 2 2i 2 2 2 j=1
m−1 m−1 am −imx X aj + ibj −ijx a0 X aj − ibj ijx am imx = e + e + + e + e . 4 2 2 2 4 j=1
j=1
a −ib
a +ib
Notˆand c−m = cm = a2m , cj = j 2 j , c−j = j 2 j , j ∈ {1, 2, . . . , m − 2}, c0 = ¸si eix = z expresia polinomului trigonometric se transform˘a ˆın c−m −m t(x) = ϕ(z) = z + 2
m−1 X
cj z j +
j=−m+1
a0 2
cm m z , 2
iar condit¸iile de interpolare (8.1) devin t(k
2π 2π ) = ϕ(eik n ) = yk , n
∀k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
(8.2)
2π
2π
Dac˘a w = ei n atunci eik n = wk . Deoarece w−mk = wmk = (−1)k ¸si c−m = cm condit¸iile de interpolare (8.2) devin m X
cj wjk = yk
∀k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
j=−m+1
ˆInmult¸im fiecare ecuat¸ie, respectiv cu w−kp , k = 0, 1, . . . , n − 1; p ∈ {−m + 1, . . . , m} ¸si adunˆand egalit˘a¸tile astfel obt¸inute, g˘asim n−1 X
j=−m+1
k=0
ˆIntrucˆat
n−1 X k=0
m X
yk w−kp =
w
k(j−p)
=
n 0
cj
n−1 X
wk(j−p) .
(8.3)
k=0
dac˘a j = p dac˘a j 6= p
(8.4)
din (8.3 rezult˘a n−1
1X cp = yk w−kp , n k=0
(8.5)
121
8.2. CALCULUL COEFICIENT ¸ ILOR FOURIER
de unde, ˆın final obt¸inem ap = 2
1 1X ϕ(z) = ( yj wjm )z −m + 2 n j=0
m−1 X
(
k=−m+1
p = 0, 1, . . . , m.
n−1
n−1
j=0
j=0
1 1X 1X yj w−jk )z k + ( yj w−jm )z m = n 2 n
# n−1 m−1 m−1 X z 1X 1 wj m X wj k 1 z = yj ( ) + ( ) +1+ ( j )k + ( j )m . n 2 z z w 2 w "
j=0
k=1
k=1
T ¸ inˆand seama de identitatea 1 1 1 1 m (a2m − 1)(a + 1) m−1 + + . . . + + 1 + a + . . . + a + a = , 2am am−1 a 2 2am (a − 1) pentru a =
z wj
= ei(x−xj ) , expresia parantezei p˘atrate devine
x − xj x − xj ei(x−xj ) + 1 ei2m(x−xj ) − 1 = cot sin m(x − xj ) = (−1)j sin mx cot . i(x−x ) im(x−x ) j j 2 2 e − 1 2e Astfel, polinomul trigonometric de interpolare este n−1
t(x) =
x − xj sin mx X (−1)j yj cot . n 2 j=0
8.2
Calculul coeficient¸ilor Fourier
Dac˘a f ∈ C2π atunci are loc dezvoltarea ˆın serie Fourier ∞
f (x) =
a0 X (ak cos kx + bk sin kx) + 2
(8.6)
k=1
avˆand coeficient¸ii Z 1 2π a0 = f (x)dx π 0
1 ak = π
Z
2π
f (x) cos kxdx 0
1 bk = π
Z
2π
f (x) sin kxdx 0
pentru k ∈ N ∗ . Atunci ak − ibk 1 ck = = 2 2π
Z
2π
f (x)e−ikx dx,
0
integral˘a pe care o aproxim˘am prin formula trapezelor. Dac˘a n ∈ N ∗ este parametrul de discretizare atunci se obt¸ine n−1
X 2π 2π 1 2π ck ≈ [f (0) + 2 f ( j)e−ik( n j) + f (2π)e−ik2π ]. 2π 2n n j=1
122
CAPITOLUL 8. POLINOAME TRIGONOMETRICE
Datorit˘a periodicit˘a¸tii funct¸iilor f ¸si ez , din relat¸ia de mai sus deducem n−1
n−1
j=0
j=0
1 X 2π −ik( 2π j) 1 X 2π n ck ≈ f ( j)e = f ( j)w−jk . n n n n
(8.7)
Se observ˘a c˘a membrul drept din (8.7) coincide cu formula coeficient¸ilor polinomului trigonometric de interpolare a funct¸iei f (8.5). Prin urmare, calculˆand primii m termeni a dezvolt˘arii Fourier (8.6) cu ajutorul formulei trapezelor – cu parametrul de discretizare n = 2m – obt¸inem totodat˘a ¸si coeficient¸ii polinomul trigonometric de interpolare a funct¸iei, ˆın nodurile 2π n j, 0 ≤ j ≤ n − 1.
Probleme ¸si teme de seminar 2π P 8.1 Fie n ∈ N ¸si xj = 2n+1 j, j ∈ {0, 1, . . . , 2n}. S˘ a se arate c˘ a polinomul trigonometric de interpolare
t(x) = a0 +
n X
(ak cos kx + bk sin kx)
k=1
care satisface condit¸iile t(xj ) = yj ∀j ∈ {0, 1, . . . , 2n} este 2n
1 X sin (2n + 1) t(x) = yj x−xj 2n + 1 sin j=0
x−xj 2
.
2
Indicat¸ie. Forma complex˘a a polinomului trigonometric este t(x) = a0 +
n X eikx + e−ikx eikx − e−ikx ( ak + bk ) = 2 2i k=1
= a0 +
n X k=1
ak −ibk , 2
n X ak − ibk ikx ak + ibk −ikx ( e + e )= ck eikx , 2 2 k=−n
ak +ibk , 2
unde ck = c−k = pentru k ∈ {1, 2, . . . , n} ¸si c0 = a0 . Condit¸iile de interpolare se scriu t(xj ) =
n X
ck eikxj = yj ,
∀j ∈ {0, 1, . . . , 2n}.
k=−n
ˆInmult¸ind egalitatea j cu e−ipxj ¸si adunˆand, pentru j ∈ {0, 1, . . . , 2n} obt¸inem 2n X j=0
−ipxj
yj e
=
n X k=−n
ck
2n X j=0
2π
ei 2n+1 j(k−p) = (2n + 1)cp ,
123
8.2. CALCULUL COEFICIENT ¸ ILOR FOURIER
1 P2n −ipxj . de unde g˘asim cp = 2n+1 j=0 yj e Expresia polinomului trigonometri de interpolare devine n 2n n 2n X X X 1 1 X −ikxj ikx ( yj eik(x−xj ) . t(x) = yj e )e = 2n + 1 2n + 1 j=0
k=−n j=0
k=−n
T ¸ inˆand seama de egalit˘a¸tile n X
ika
e
=1+2
k=−n
n X k=1
sin (n + 21 )a cos ka = sin a2
se obt¸ine rezultatul dorit. 2π P 8.2 Dac˘ a xj = cos 2n+1 j, j ∈ {0, 1, . . . , n}, s˘ a se arate c˘ a
L(Pn ; x0 , . . . , xn ; f )(x) = A0 + 2
n X
Ak Tk (x),
k=1 1 unde Ak = 2n+1 [f (1) + 2 nomul lui Cebˆ a¸sev.
Pn
j=0 f (xj )Tk (xj )]
iar Tj (x) = cos(j arccos x) este poli-
2π Indicat¸ie. Notˆand τj = 2n+1 j, j ∈ {0, 1, . . . , }, polinomul trigonometric de interpolare care satisface condit¸iile t(τj ) = f (cos τj ) = f (xj ) = fj , ∀j ∈ {0, 1, . . . , 2n} este n n X X t(x) = ck eikx = a0 + (ak cos kx + bk sin kx) (8.8) k=−n
cu ck =
1 2n+1
P2n
−ikτj , j=0 yj e
k=1
k ∈ {−n, −n + 1, . . . , n}. Atunci c0 = a0 ¸si 2n
ck =
ak − ibk 1 X = fj (cos kτj − i sin kτj ), 2 2n + 1 j=0
de unde 2n
ak =
2 X fj cos kτj 2n + 1 j=0 2n
bk =
2 X fj sin kτj . 2n + 1 j=0
k ∈ {1, . . . , n},
124
CAPITOLUL 8. POLINOAME TRIGONOMETRICE
(k)
Notˆand αj (k)
(k)
= f (cos τJ ) cos kτj , βj
(k)
(k)
αj , β2n1 −j = −βj
(k)
= f (cos τJ ) sin kτj , ˆın baza egalit˘a¸tilor α2n1 −j =
obt¸inem n
X 2 (f (1) + 2 f (xj ) cos kτj ) = 2n + 1
ak =
j=1
n
X 2 (f (1) + 2 = f (xj )Tk (xj )) = 2Ak 2n + 1 j=1
bk = 0 ¸si 2n
n
j=0
j=0
X 1 1 X fj = (f (1) + 2 a0 = c0 = fj ) = A0 . 2n + 1 2n + 1 Prin schimbarea de variabil˘a cos τ = x, membrul drept din (8.8) devine a0 +
n X
ak cos (k arccos x) = A0 + 2
k=1
n X
Ak Tk (x)
k=1
care este un polinom de grad n. Unicitatea polinomului de interpolare ˆın mult¸imea polinoamelor de grad cel mult n implic˘a egalitatea cerut˘a. P 8.3 S˘ a se arate c˘ a funct¸iile 1, cos x, cos 2x, . . . , cos nx, sin x, sin 2x, . . . , sin nx formeaz˘ a un sistem Cebˆ a¸sev ˆın intervalul (π, π]. P 8.4 (Polinomul de interpolare trigonometric Lagrange-Gauss) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a −π < x0 < x1 < . . . < x2n ≤ π ¸si y0 , y1 , . . . , y2n ∈ R atunci polinomul trigonometric de grad n care satisface condit¸iile de interpolare t(xj ) = yj , ∀j ∈ {0, 1, . . . , 2n} este
t(x) =
2n X j=0
yj
x−xj−1 2 xj −xj−1 2
0 sin x−x 2 . . . sin
sin
xj −x0 2
. . . sin
sin sin
x−xj+1 2n . . . sin x−x 2 2 xj −xj+1 x −x . . . sin j 2 2n 2
2n
=
1 X yj u(x) . 0 2 u (xj ) sin x−xj j=0
2
=
125
8.2. CALCULUL COEFICIENT ¸ ILOR FOURIER
P 8.5 Fie f ∈ C2π o funct¸ie par˘ a ¸si 0 ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ π. S˘ a se arate c˘ a polinomul trigonometric de grad n care satisface condit¸iile de interpolare t(xj ) = f (xj ), ∀j ∈ {0, 1, . . . , n} este t(x) =
n X
f (xj )·
j=0
·
(cos x − cos x0 ) . . . (cos x − cos xj−1 )(cos x − cos xj+1 ) . . . (cos x − cos xn ) . (cos xj − cos x0 ) . . . (cos xj − cos xj−1 )(cos xj − cos xj+1 ) . . . (cos xj − cos xn )
P 8.6 Fie f ∈ C2π o funct¸ie impar˘ a ¸si 0 < x0 < x1 < . . . < xn ≤ π. S˘ a se arate c˘ a polinomul trigonometric de grad n care satisface condit¸iile de interpolare t(xj ) = f (xj ), ∀j ∈ {1, . . . , n} este t(x) =
n X
f (xj )·
j=1
·
(cos x − cos x0 ) . . . (cos x − cos xj−1 )(cos x − cos xj+1 ) . . . (cos x − cos xn ) sin x . (cos xj − cos x0 ) . . . (cos xj − cos xj−1 )(cos xj − cos xj+1 ) . . . (cos xj − cos xn ) sin xj
Capitolul 9
Transformarea Fourier discret˘ a Not˘am prin Cn mult¸imea ¸sirurilor de numere complexe, periodice cu perioada n: Cn = {x = (xk )k∈Z : xk ∈ C, xk = xk+n , ∀k ∈ Z}. Un ¸sir x ∈ Cn este determinat de elementele x0 , x1 , . . . , xn−1 , restul elementelor se obt¸in prin periodicitate. Se va folosi notat¸ia x = (xk )0≤k≤n−1 ∈ Cn .
9.1
Transformata Fourier discret˘ a
Transformarea Fourier discret˘a este un operator liniar F : Cn → Cn definit prin y = F (x), x = (xk )0≤k≤n−1 y = (yk )0≤k≤n−1 yk =
n−1 X
xj w−kj
0 ≤ k ≤ n − 1,
(9.1)
j=0 2π
unde w = ei n . S¸irul y se nume¸ste transformata Fourier discret˘a a ¸sirului x. Transforma Fourier discret˘ a invers˘ a. Presupunem c˘a ˆın relat¸iile (9.1) este cunoscut˘a transformata Fourier discret˘a (¸sirul imagine) y = (yk )0≤k≤n−1 ¸si vom determina ¸sirul original x = (xk )0≤k≤n−1 . ˆInmult¸ind relat¸iile (9.1), respectiv cu wkp , k = 0, 1, . . . , n − 1 ¸si adunˆand obt¸inem n−1 n−1 X X n−1 X yk wkp = xj wk(p−j) k=0
j=0
k=0
¸si folosind (8.4) rezult˘a n−1
1X xp = yk wkp . n k=0
126
127
˘ 9.1. TRANSFORMATA FOURIER DISCRETA
Teorema 9.1.1 Dac˘ a n = 2m ¸si x = (xj )j∈Z este un ¸sir periodic, cu perioada n, de numere reale, atunci yn−k = y k , k ∈ {0, . . . , n − 1}, unde y = Fn (x) = (yk )j∈Z ¸si y k este conjugatul lui yk . Demonstrat¸ie. Fie k ∈ {0, 1, . . . , n2 }. Atunci yn−k =
n−1 X
xj w−(n−k)j =
j=0
n−1 X
xj wkj = y k .
j=0
Astfel transformata Fourier discret˘a a unui ¸sir de numere reale x = (xj )j∈Z cu periada n = 2m este definit de n2 +1 = 2m−1 +1 numere complexe {y0 , y1 , . . . , y n2 }. Teorema 9.1.2 Dac˘ a x = (xk )k∈Z ¸si y = (yk )k∈Z sunt dou˘ a ¸siruri din Cn avˆ and transformatele Fourier discrete ¸sirurile X = (Xk )k∈Z = Fn (x) ¸si respectiv Y = (Yk )k∈Z atunci au loc egalit˘ a¸tile Pn−1
xk y k = Pk=0 n−1 2 k=0 |xk | =
Pn−1
Xk Y k , Pk=0 n−1 2 k=0 |Xk | .
Demonstrat¸ie. Prima relat¸ie rezult˘a din n−1 X k=0
Xk Y k =
n−1 X k=0
Xk
n−1
n−1
n−1
n−1
j=0
j=0
k=0
j=0
X 1X 1X X y j wjk = yj Xk wjk = xj y j . n n
A doua relat¸ie rezult˘a din prima pentru y = x. Produsul de convolut¸ie.1 Dac˘a x, y ∈ Cn atunci produsul lor de convolut¸ie z = x ∗ y este ¸sirul z = (zk )k∈Z definit prin zk =
n−1 X
xj yk−j
∀k ∈ Z.
j=0
Legat de produsul de convolut¸ie au loc urm˘atoarele propriet˘a¸ti ale transform˘arii Fourier discret˘a Teorema 9.1.3 Au loc egalit˘ a¸tile: 1. F (x ∗ y) = F (x) · F (y); 2. F −1 (x ∗ y) = nF −1 (x) · F −1 (y); 1
A nu se confunda cu cu not¸iunea omonim˘ a definit¸˘ a la transformarea z, Cap. 1.
128
˘ CAPITOLUL 9. TRANSFORMAREA FOURIER DISCRETA
3. F (x) ∗ F (y) = nF (x · y). Demonstrat¸ie. Fie x = (xk )k∈Z , y = (yk )k∈Z ∈ Cn . 1. Dac˘a F (x) = X = (Xk )k∈Z F (y) = Y = (Yk )k∈Z , u = x ∗ y = (uk )k∈Z F (u) = U = (Uk )k∈Z . atunci au loc egalit˘a¸tile Uk =
n−1 X
uj w−kj =
n−1 X n−1 X
(
xs yj−s )w−kj =
j=0 s=0
j=0
n−1 X
xs w−sk
s=0
n−1 X
yj−s w−k(j−s) .
j=0
Prin schimbarea de indice l = j − s suma interioar˘a devine n−1 X
yj−s w−k(j−s) =
n−1−s X
j=0
yl w−kl =
l=−s
−1 X
yl w−kl +
n−1−s X
l=−s
yl w−kl .
l=0
T ¸ inˆand seama de periodicitatea ¸sirului y ¸si de definit¸ia lui w −1 X
yl w−kl =
l=−s
A¸sadar
Pn−1 j=0
−1 X
yl+n w−k(l+n) =
l=−s
yj−s w−k(j−s) = Uk =
Pn−1
n−1 X
l=0
xs w
yl w−kl .
l=n−s
yl w−kl ¸si ˆın consecint¸˘a
−sk
s=0
n−1 X
n−1 X
yl w−kl = Xk · Yk .
l=0
2. Procedˆand asem˘anator, dac˘a F −1 (x) = X = (Xk )k∈Z F −1 (y) = Y = (Yk )k∈Z , u = x ∗ y = (uk )k∈Z F −1 (u) = U = (Uk )k∈Z . atunci au loc egalit˘a¸tile Uk =
n−1
n−1 n−1
n−1
n−1
j=0
j=0 s=0
s=0
j=0
X 1X X 1X 1X uj wkj = ( xs yj−s )wkj = xs wsk yj−s wk(j−s) = n n n
= n(
n−1
n−1
s=0
l=0
1X 1X xs wsk )( yl wkl ) = nXk · Yk . n n
3. Dac˘a F (x) = X = (Xk )k∈Z F (y) = Y = (Yk )k∈Z , u = xy = (xk yk )k∈Z F (u) = U = (Uk )k∈Z .
129
˘ ˘ RAPIDA ˘ 9.2. ALGORITMUL TRANSFORMARII FOURIER DISCRETA
atunci au loc egalit˘a¸tile (X ∗ Y )k =
n−1 X
Xj Yk−j =
n−1 X n−1 X
(
xs w−js )Yk−j =
j=0 s=0
j=0
n−1 X
xs w−sk
s=0
n−1 X
Yk−j ws(k−j) .
j=0
Prin schimbarea de indice l = k − j suma interioar˘a devine n−1 X
k X
Yk−j ws(k−j) =
j=0
−1 X
Yl wsl =
l=k+1−n
Yl wsl +
l=k+1−n
k X
Yl wsl .
l=0
T ¸ inˆand seama de periodicitatea ¸sirului Y ¸si de definit¸ia lui w −1 X
Yl w =
l=k+1−n
A¸sadar
Pn−1 j=0
−1 X
sl
Yl+n w
=
l=k+1−n
Yk−j ws(k−j) = (X ∗ Y )k = n
Pn−1 l=0
n−1 X
n−1 X
Yl wsl .
l=k+1
Yl wsl = nys ¸si ˆın consecint¸˘a
xs yy w−sk = n
s=0
9.2
s(l+n)
n−1 X
us w−sk = nUk .
s=0
Algoritmul transform˘ arii Fourier discret˘ a rapid˘ a
Fie n = 2m ¸si pentru simplificarea expunerii alegem m = 3. Dac˘a k, j ∈ {0, 1, . . . , 2m − 1 = 7} atunci au loc reprezent˘arile k = k2 22 + k1 2 + k0 , j = j2 22 + j1 2 + j0 unde k0 , k1 , k2 , j0 , j1 , j2 sunt cifre binare. Folosim notat¸iile yk = y(k2 , k1 , k0 ) ¸si xj = x(j2 , j1 , j0 ). Transformarea Fourier discret˘a a ¸sirului x devine yk = y(k2 , k1 , k0 ) =
7 X
xj w
−kj
j=0
=
1 X
w−kj0
j0 =0
=
1 X 1 X 1 X
w−k(j2 2
2 +j 2+j ) 1 0
x(j2 , j1 , j0 ) =
j0 =0 j1 =0 j2 =0 1 X
w−2kj1
j1 =0
1 X
xj w−2
2 kj 2
x(j2 , j1 , j0 ).
j2 =0
2
Observˆand c˘a w−2 kj2 = w−4k0 j2 , w−2kj1 = w−2(2k1 +k0 )j1 , w−kj0 = w−(4k2 +2k1 +k0 )j0 suma interioar˘a este 1 X j2 =0
x(j2 , j1 , j0 )w
−22 kj2
=
1 X j2 =0
x(j2 , j1 , j0 )w−4k0 j2 = x1 (k0 , j1 , j0 ).
130
˘ CAPITOLUL 9. TRANSFORMAREA FOURIER DISCRETA
Rezult˘a yk = y(k2 , k1 , k0 ) =
1 X
w−kj0
j0 =0
Dac˘a not˘am x2 (k0 , k1 , j0 ) = avem
1 X
w−2(2k1 +k0 )j1 x1 (k0 , j1 , j0 ).
j1 =0
P1
j1 =0 w
yk = y(k2 , k1 , k0 ) =
−2(2k1 +k0 )j1 x (k , j , j ) 1 0 1 0
1 X
atunci, ˆın final,
w−kj0 x2 (k0 , k1 , j0 ) =
j0 =0
=
1 X
w−(4k2 +2k1 +k0 )j0 x2 (k0 , k1 , j0 ) = x3 (k0 , k1 , k2 ).
j0 =0
ˆIn consecint¸˘a, pentru calculul transform˘arii Fourier discret˘a, ˆın loc s˘a calcul˘am succesiv elementele ¸sirului y = (yk )k , calcul˘am coloanele tabelului x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
= x(0, 0, 0) = x(0, 0, 1) = x(0, 1, 0) = x(0, 1, 1) = x(1, 0, 0) = x(1, 0, 1) = x(1, 1, 0) = x(1, 1, 1)
x1 (0, 0, 0) x1 (0, 0, 1) x1 (0, 1, 0) x1 (0, 1, 1) x1 (1, 0, 0) x1 (1, 0, 1) x1 (1, 1, 0) x1 (1, 1, 1)
x2 (0, 0, 0) x2 (0, 0, 1) x2 (0, 1, 0) x2 (0, 1, 1) x2 (1, 0, 0) x2 (1, 0, 1) x2 (1, 1, 0) x2 (1, 1, 1)
x3 (0, 0, 0) = x3 (0, 0, 1) = x3 (0, 1, 0) = x3 (0, 1, 1) = x3 (1, 0, 0) = x3 (1, 0, 1) = x3 (1, 1, 0) = x3 (1, 1, 1) =
y(0, 0, 0) = y0 y(1, 0, 0) = y4 y(0, 1, 0) = y2 y(1, 1, 0) = y6 y(0, 0, 1) = y1 y(1, 0, 1) = y5 y(0, 1, 1) = y3 y(1, 1, 1) = y7
Astfel numarul adun˘arilor efectuate este 8 · 3 sau nm = n log2 n, ˆın cazul general, fat¸˘a de 8·8, respectiv n2 , adun˘ari necesare calcul˘arii succesive a elementelor ¸sirului y.
9.3 9.3.1
Aplicat¸ii ale transformatei Fourier discret˘ a Calculul coeficient¸ilor Fourier
Fie f : R → R o funct¸ie continu˘a ¸si periodic˘a de perioad˘a 2π(f ∈ C2π ). Atunci are loc dezvoltarea ˆın serie Fourier ∞
f (x) =
a0 X + (ak cos kx + bk sin kx) 2 k=1
avˆand coeficient¸ii Z 1 2π a0 = f (x)dx π 0
1 ak = π
Z
2π
f (x) cos kxdx 0
1 bk = π
Z
2π
f (x) sin kxdx 0
131
˘ 9.3. APLICAT ¸ II ALE TRANSFORMATEI FOURIER DISCRETA
pentru k ∈ N ∗ . ˆIn capitolul Interpolare prin polinoame trigonometrice s-au calculat coeficient¸ii Fourier cu ajutorul formulei trapezelor. Utilizˆand rezultatul obt¸inut (8.7) avem ak − ibk 1 ck = = 2 2π
≈
Z
2π
f (x)e−ikx dx ≈
0
n−1
n−1
j=0
j=0
1 X 2π −ik( 2π j) 1 X 2π n f ( j)e = f ( j)w−jk . n n n n 1 n Fn (y),
Astfel, ¸sirul c = (ck )0≤k≤n−1 este aproximat de yj = f ( 2π n j).
9.3.2
unde y = (yj )0≤j≤n−1 ,
Calculul coeficient¸ilor Laurent
Dac˘a f este o funct¸ie olomorf˘a ˆın discul unitate avˆand pe 0 ca punct singular izolat, atunci are loc dezvoltarea Laurent f (z) =
X
ak z k
k∈Z
unde ak =
1 2πi
Z |ζ|=1
f (ζ) 1 dζ = 2π ζ k+1
Z
2π
f (eix )e−ikx dx.
0
Calculˆand integrala de mai sus cu formula trapezelor deducem n−1
X 2π 2π 1 2π ak ≈ [f (1) + 2 f (ei n j )e−ik( n j) + f (ei2π )e−ik2π ]. 2π 2n j=1
Periodicitatea funct¸iei ez implic˘a n−1
n−1
j=0
j=0
2π 2π 2π 1X 1X ak ≈ f (ei n j )e−ik( n j) = f (ei n j )w−jk . n n
(9.2)
Prin urmare, ¸sirul a = (ak )0≤k≤n−1 este aproximat de n1 Fn (y), unde y = (yj )0≤j≤n−1 , yj = 2π f (ei n j ). Partea principal˘a a dezvolt˘arii Laurent a fuct¸iei f (z) calculat˘a este a−1 = an−1 , a−2 = an−2 , . . . , a−(n−1) = a1 .
132
˘ CAPITOLUL 9. TRANSFORMAREA FOURIER DISCRETA
9.3.3
Determinarea funct¸iei analitice cunoscˆ and partea real˘ a
Fie D ⊂ C un domeniu care cont¸ine discul unitate ¸si u(x, y) partea real˘ a a unei funct¸ii analitice f (z), z = x + iy. Se cere determinarea p˘art¸ii imaginare v(x, y) a lui f (z), cu v(0, 0) = 0. Definim α(t) = u(cos t, sin t) = u(eit ) ¸si dac˘a dezvoltarea Fourier a funct¸iei α(t) este ∞ a0 X α(t) = + (ak cos kx + bk sin kx) = 2 k=1
a0 + 2
= a0 + 2
∞ X
(
k=1
∞ X
(ak
k=1
eikt − e−ikt eikt + e−ikt + bk )= 2 2i
X ak − ibk ikt ak + ibk −ikt e + e )= ck eikt , 2 2 k∈Z
∗ k ck = ak −ib 2 P, c−k = ck , k ∈ N . k ˆ ar, = c0 + 2 ∞ k=1 z . Intr-adev˘
a0 2
cu c0 = ∈ R, Atunci f (z) g˘asim
din f (eit ) = c0 + 2
∞
∞
k=1 ∞ X
k=1 ∞ X
P∞
ikt k=1 ck e
X X f (eit ) + f (eit )
= c0 +
∞ X
ck eikt +
k=1
∞ X
c−k e−ikt = c0 +
k=1
ck eikt +
k=1
ck e−ikt = α(t).
k=1
Restrict¸ia p˘art¸ii imaginare la cercul unitate este ∞ ∞ X 1 X f (eit ) − f (eit ) ikt = ( ck e − ck e−ikt ) = β(t) = v(e ) = =f (e ) = 2i i it
it
k=1
= −i
∞ X k=1
ck eikt −
∞ X k=1
c−k e−ikt = −i
∞ X
k=1
(ak sin kt − bk cos kt).
k=1
Astfel coeficient¸ii Fourier a funct¸iei β(t) sunt dac˘a k > 0 −ick 0 dac˘a k = 0 dk = ick = ic−k dac˘a k < 0
(9.3)
Operatorul α(t) → β(t) se nume¸ste operatorul de conjugare. Expresia integral˘a a acestui operator este Z 2π 1 t−s β(t) = K(α)(t) = α(s) cot ds 2π 0 2 Metoda numeric˘a pentru calculul funct¸iei β const˘a din
133
˘ 9.3. APLICAT ¸ II ALE TRANSFORMATEI FOURIER DISCRETA
1. Se fixeaz˘a un num˘ar natural par n = 2m, m ∈ N ∗ . 2. Se calculeaz˘a coeficient¸ii Fourier c = (ck )0≤k≤n−1 a funct¸iei α(t). Utilizˆand metoda dezvoltat˘a mai sus, c=
1 Fn (α) n
unde α = (α( 2πk n ))0≤k≤n−1 . 3. Utilizˆand relat¸iile (9.3) se construie¸ste vectorul coeficient¸ilor Fourier a funct¸iei β(t) d = (0, −ic1 , . . . , −icm−1 , icm−1 , . . . , ic1 ) 4. Se calculeaz˘a valorile funct¸iei β(t) ˆın punctele β = (β(
9.3.4
2πk n ,
k ∈ {0, 1, . . . , n − 1},
2πk ))0≤k≤n−1 = nFn−1 (d). n
Calculul integralei Cauchy
Fie Γ = {z ∈ C : |z| = 1} ¸si funct¸ia h : Γ → C. Not˘am prin f : C → C funct¸ia definit˘a prin Z 1 h(z) f (z) = dζ, (9.4) 2πi Γ ζ − z numit˘a integrala Cauchy. Prin schimbarea de variabil˘a ζ = eit , integrala din (9.4) devine Z 2π 1 h(eit ) f (z) = (9.5) dt. 2π 0 1 − ze−it Dac˘a |z| < 1 atunci are loc dezvoltarea ∞
X 1 = z j e−ijt 1 − ze−it j=0
¸si (9.5) devine Z ∞ ∞ X 1 X j 2π f (z) = z h(eit )e−ijt dt = cj z j , 2π 0 j=0
j=0
R 2π 1 it −ijt dt. unde cj = 2π 0 h(e )e Folosim formula trapezelor pentru calculul lui cj . Dac˘a n ∈ N∗ este parametrul metodei trapezelor, atunci g˘asim " # n−1 X 2π 2π 1 2π cj ≈ h(1) + 2 h(ei n k )e−ij n k + h(1)e−ij2π = 2π 2n k=1
134
˘ CAPITOLUL 9. TRANSFORMAREA FOURIER DISCRETA
n−1
=
2π 1X h(ei n k )w−jk , n
k=0
adic˘a secvent¸a (c0 , c1 , . . . , cn−1 ) este aproximat˘a de d = n1 Fn (ϕ), cu ϕ = (ϕj )0≤j≤n−1 , ϕj = 2π h(ei n j ). ˆIn final f (z) ≈ Pn−1 dj z j . j=0
Probleme ¸si teme de seminar P 9.1 Corelat¸a a dou˘ a ¸siruri x, y ∈ Cn se define¸ste prin n−1
xˆ∗y = z ∈ Cn cu zk =
1X xj yk+j , z = (zk )0≤k≤n−1 . n j=0
S˘ a se demonstreze egalit˘ a¸tile 1. Fn (xˆ∗y) = n1 Fn (x)Fn (y); 2. Fn−1 (xˆ∗y) = n1 Fn−1 (x)Fn (y); 3. Fn (x)ˆ∗Fn (y) = Fn (xy); P 9.2 Rezolvarea unei ecuat¸ii integrale Fredholm de spet¸a a doua cu nucleu convolutiv.
Indicat¸ie. Fie ecuat¸ia integral˘a Fredholm de spet¸a a doua Z b x(t) + N (t − s)x(s)ds = f (t), t ∈ [a, b],
(9.6)
a
unde N (t), f (t) sunt funct¸ii continue, date iar x(t) este funct¸ia necunoscut˘ a. Forma nucleului N (t − s) atribuie ecuat¸iei atributul de convolutiv. 1 Fie n ∈ N ∗ . Introducem notat¸iile: h = b−a n , tk = a+kh, tk+1/2 = a+(k+ 2 )h. Ecuat¸ia (9.6) se mai scrie x(t) +
n−1 X Z tk+1 k=0
N (t − s)x(s)ds = f (t),
t ∈ [a, b],
tk
¸si utilizˆand formula de integrare numeric˘a a dreptunghiului cu neglijarea restului, g˘asim n−1 X u(t) + h N (t − tk+1/2 )u(tk+1/2 ) = f (t). k=0
135
˘ 9.3. APLICAT ¸ II ALE TRANSFORMATEI FOURIER DISCRETA
Neglijarea restului a impus renotarea funct¸iei necunoscute prin u(t). Dac˘a uk+1/2 = u(tk+1/2 ) atunci atribuind lui t, succesiv valorile tj+1/2 obt¸inem sistemul algebric de ecuat¸ii liniare uj+1/2 + h
n−1 X
N ((j − k)h)uk+1/2 = f (tj+1/2 ),
j ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. (9.7)
k=0
Rezolvarea sistemului algebric (9.7) se poate face cu ajutorul transform˘arii Fourier discrete. ˆIn acest scop, definim ¸sirurile z = (zk )0≤k≤n−1 zk = uk+1/2 , ϕ = (ϕk )0≤k≤n−1 ϕk = fk+1/2 , ξ = (ξk )0≤k≤n−1 ξk = N (kh). Sistemul (9.7) se rescrie prin zj + h
n−1 X
zk ξj−k = ϕj ,
j ∈ {0, 1, . . . , n − 1},
k=0
sau z + h z ∗ ξ = ϕ. Aplicˆand transformarea Fourier discret˘a Fn deducem Fn (z) + hFn (z)Fn (ξ) = Fn (ϕ). Rezult˘a c˘a z = Fn−1 (w)
unde
w = (wk )0≤k≤n−1 , wk =
Fn (ϕ)k . 1 + hFn (ξ)k
Capitolul 10
Funct¸ii spline cubice O funct¸ie spline se poate defini ca o funct¸ie care este polinomial˘a pe fiecare interval [xi , xi+1 ] al unei diviziuni x0 < x1 < . . . < xn ¸si care, ˆın plus, are un anumit ordin de ”netezime” (adic˘a este continu˘a sau derivabil˘a de un anumit ordin, cu derivata corespunz˘atoare continu˘a. Fiind date diviziunea 4 : x0 < x1 < . . . < xn , mult¸imea S4 a funct¸iilor spline cubice este definit˘a prin S4 = {s ∈ C 2
10.1
:
s |[xi−1 ,xi ] ∈ P3 ,
1 ≤ i ≤ n}.
Interpolare cu funct¸ii spline cubice
Fiind date diviziunea 4 : x0 < x1 < . . . < xn ¸si numerele reale y0 , y1 , . . . , yn ne propunem s˘a determin˘am funct¸iile s ∈ S4 care ˆındeplinesc condit¸iile de interpolare s(xi ) = yi , i ∈ {0, 1, . . . , n}. Funct¸ia spline cubic˘a de interpolare se va determina ˆın funct¸ie de parametrii mi = s0 (xi ), i ∈ {0, 1, . . . , n}, ale c˘aror valori se vor calcula ulterior. Not˘am prin si restrict¸ia funct¸iei s la intervalul [xi , xi+1 ] ¸si hi = xi+1 − xi , i ∈ i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Deoarece si este polinom de gradul 3, pentru x ∈ [xi , xi+1 ] rezult˘a si (x) = yi + mi (x − xi ) + ai (x − xi )2 + bi (x − xi )3 Coeficient¸ii ai , bi se determin˘a din condit¸iile si (xi+1 ) = yi + mi hi + ai h2i + bi h3i = yi+1 , s0i (xi+1 ) = mi + 2ai hi + 3bi h3i = mi+1 , pentru i = 0, 1, . . . , n − 1. ˆIn felul acesta se asigur˘a continuitatea funct¸iilor s ¸si s0 . Rezolvˆand sistemul de mai sus, obt¸inem ai = 3
yi + 1 − yi 2mi + mi+1 − hi h2i 136
137
10.1. INTERPOLARE CU FUNCT ¸ II SPLINE CUBICE
bi =
yi+1 − yi mi + mi+1 −2 2 hi h3i
¸si astfel si (x) = yi + mi (x − xi ) + (3
+(
yi+1 − yi 2mi + mi+1 − )(x − xi )2 + hi h2i
mi + mi+1 yi+1 − yi −2 )(x − xi )3 . h2i h3i
(10.1)
Numerele m0 , m1 , . . . , mn se determin˘a astfel ˆıncˆat s00 s˘a fie continu˘a ˆın nodurile interioare x1 , . . . , xn−1 . Se impun astfel condit¸iile s00i−1 (xi ) = s00i (xi ), i = 1, 2, . . . , n− 1. Utilizˆand (10.1), ˆın urma reducerilor rezult˘a ecuat¸iile hi hi−1 mi−1 + 2mi + mi+1 = hi−1 + hi hi−1 + hi =
3 hi−1 hi [ (yi+1 − yi ) + (yi − yi−1 )], hi−1 + hi hi hi−1
i = 1, . . . , n − 1.
(10.2)
Aceste relat¸ii reprezint˘a un sistem algebric de n − 1 ecuat¸ii ˆın necunoscutele m0 , m1 , . . . , mn . Pentru ca num˘arul ecuat¸iilor s˘a coincid˘a cu num˘arul necunoscutelor se introduc condit¸iile la ”limit˘a” m0 = α (10.3) mn = β sau
s00 (x0 ) = s000 (x0 ) = 0 s00 (xn ) = s00n−1 (xn ) = 0
(10.4)
unde α, β sunt constate date. T ¸ inˆand seama de expresiile funct¸iilor s0 ¸si sn−1 , ecuat¸iile (10.4) devin (
0 2m0 + m1 = 3 y1h−y 0 yn −yn−1 mn−1 + 2mn = 3 hn−1
(10.5)
Astfel determinarea unei funct¸ii spline cubice de interpolare revine la: 1. Rezolvarea sistemului algebric (10.2)+(10.3) sau (10.2)+(10.5), sistem algebric de n + 1 ecuat¸ii liniare ˆın necunoscutele m0 , m1 , . . . , mn . 2. ˆIn fiecare interval [xi−1 , xi ], funct¸ia spline cubic˘a de interpolare are expresia dat˘a de formula (10.1).
138
CAPITOLUL 10. FUNCT ¸ II SPLINE CUBICE
Sistemul algebric de ecuat¸ii liniare a c˘arei solut¸ia este m0 , m1 , . . . , mn , parametrii fat¸˘a de care se exprim˘a funct¸ia spline cubic˘a de interpolare, este un sistem tridiagonal, rezolvabil utilizˆand metoda dublului parcurs. Se observ˘a c˘a matricea sistemului este cu diagonala dominant˘a |ai,i | −
n X
|ai,j | = 1
∀i.
j=1
j6=i
ˆIn consecint¸˘a sistemul este compatibil ¸si hi−1 hi 3 | (yi+1 − yi ) + (yi − yi−1 )|, |β|} 1≤i≤n−1 hi−1 + hi hi hi−1 (10.6)
max |mi | ≤ max{|α|, max
0≤i≤n
sau max |mi | ≤
0≤i≤n
≤ max{3
(10.7)
|y1 − y0 | 3 hi−1 hi |yn − yn−1 | , max | (yi+1 −yi )+ (yi −yi−1 )|, 3 } 1≤i≤n−1 hi−1 + hi hi h0 hi−1 hn−1
dup˘a cum se utilizeaz˘a (10.2)+(10.3) sau (10.2)+(10.5). Fie h = min0≤i≤n−1 hi , h = max0≤i≤n−1 hi ¸si ω = max0≤i≤n−1 |yi+1 − yi |. Din (10.6) ¸si (10.7) deducem respectiv 3hω , |β|}; h2 3ω 3hω max |mi | ≤ max{ , 2 }. 0≤i≤n h h max |mi | ≤ max{|α|,
0≤i≤n
(10.8) (10.9)
Aceste relat¸ii vor fi utilizate la stabilirea convergent¸ei unui ¸sir de funct¸ii spline cubice de interpolare. Presupunem c˘a numerele y0 , y1 , . . . , yn reprezint˘a valorile unei funct¸ii f ∈ C 2 [a, b] ˆın punctele a = x0 < x1 < . . . < xn = b ¸si c˘a condit¸iile ”la limit˘a (10.3) ¸si (10.4) se rescriu sub forma 00 s (a) = 0 (10.10) s00 (b) = 0 ¸si respectiv,
s0 (a) = f 0 (a) s0 (b) = f 0 (b).
(10.11)
ˆIn vederea deducerii unor rezultate privind unicitatea funct¸iei spline cubice de interpolare ¸si a evalu˘arii erorii |s(x) − f (x)| avem nevoie de teorema:
139
10.1. INTERPOLARE CU FUNCT ¸ II SPLINE CUBICE
Teorema 10.1.1 Dac˘ a funct¸ia spline cubic˘ a de interpolare satisface una din condit¸iile la limit˘ a (10.10) sau (10.11) atunci are loc egalitatea b
Z
00
b
Z
2
00
b
Z
2
[s (x)] dx +
[f (x)] dx =
[f 00 (x) − s00 (x)]2 dx.
(10.12)
a
a
a
Demonstrat¸ie. Are loc egalitatea f 00 (x) = s00 (x) + (f 00 (x) − s00 (x)), ∀x ∈ [a, b]. Ridicˆand la p˘atrat ¸si integrˆand obt¸inem b
Z
00
b
Z
2
00
b
Z
2
[s (x)] dx +
[f (x)] dx = Z
b
+2
[f 00 (x) − s00 (x)]2 dx+
a
a
a
s00 (x)[f 00 (x) − s00 (x)]dx.
a
R˘amˆane de ar˘atat c˘a ultima integral˘a este egal˘a cu 0. Avem b
Z
00
00
00
s (x)[f (x) − s (x)]dx = a
n Z X
xi
s00 (x)[f 00 (x) − s00 (x)]dx
xi−1
i=1
¸si integrˆand prin p˘art¸i rezult˘a Z
b
s00 (x)[f 00 (x) − s00 (x)]dx =
a
=
n X
{s00 (x)[f 0 (x) − s0 (x)]|xxii−1 −
i=1
b
00
00
00
s (x)[f (x) − s (x)]dx = a
n X
xi
s(3) (x)[f 0 (x) − s0 (x)]dx}.
xi−1
Mi −Mi−1 hi
Dac˘a x ∈ (xi−1 , xi ) atunci s(3) (x) = Z
Z
¸si ˆın consecint¸˘a
{Mi [f 0 (xi ) − s0 (xi )] − Mi−1 [f 0 (xi−1 ) − s0 (xi−1 )]−
i=1
Mi − Mi−1 − hi 0
0
0
Z
xi
[f 0 (x) − s0 (x)]dx} =
xi−1 0
= Mn [f (xn ) − s (xn )] − M0 [f (x0 ) − s (x0 )] −
n X Mi − Mi−1 i=1
hi
[f (x) − s(x)]|xxii−1 =
= s00 (b)[f 0 (b) − s0 (b)] − s00 (a)[f 0 (a) − s0 (a)] = 0. Au loc urm˘atoarele rezultate referitoare la funct¸ia spline cubic˘a de interpolare
140
CAPITOLUL 10. FUNCT ¸ II SPLINE CUBICE
Teorema 10.1.2 (Unicitatea funct¸iei spline cubice de interpolare) Exist˘ a o singur˘ a funct¸ie spline cubic˘ a de interpolare care satisface una din condit¸iile la limit˘ a (10.10) sau (10.11).
Demonstrat¸ie. Dac˘a presupunem c˘a funct¸iile s1 , s2 sunt funct¸ii spline cubice care interpoleaz˘a funct¸ia f ˆın punctele x0 , x1 , . . . , xn ¸si care ˆındeplinesc condit¸iile la limit˘a (10.10) sau (10.11), atunci funct¸ia s = s1 − s2 satisface relat¸iile s(xi ) = 0, i = 0, 1, . . . , n ¸si s00 (a) = s00 (b) = 0 sau s0 (a) = s0 (b) = 0, dup˘a cum se utilizeaz˘a condit¸iile la limit˘a (10.10) sau (10.11). Astfel s reprezint˘a funct¸ia spline cubic˘a de interpolare a funct¸iei nule. Aplicˆand (10.12 obt¸inem Z 2
b
[s00 (x)]2 dx = 0,
a
de unde s00 (x) = 0, ∀x ∈ [a, b]. Prin urmare s este un polinom de grad cel mult 1. Deoarece s(a) = s(b) = 0, ˆın mod necesar s = 0. Teorema 10.1.1 se poate reformula sub forma Teorema 10.1.3 (Proprietatea de optimalitate a funct¸iei spline cubice de interpolare) Funct¸ia spline cubic˘ a de interpolare minimizeaz˘ a funct¸ionala Z I(ϕ) =
b
[ϕ00 (x)]2 dx
a
ˆın D1 = {ϕ ∈ C 2 [a, b] : ϕ(xi ) = yi , i = 0, 1, . . . , n; ϕ00 (a) = ϕ00 (b) = 0} sau D2 = {ϕ ∈ C 2 [a, b] : ϕ(xi ) = yi , i = 0, 1, . . . , n; ϕ0 (a) = α; ϕ0 (b) = β}, dup˘ a cum se utilizeaz˘ a condit¸iile la limit˘ a (10.3) sau (10.4). Teorema 10.1.4 (Evaluarea erorii funct¸iei spline cubice de interpolare) Dac˘ a f ∈ C 2 [a, b], atunci au loc relat¸iile √ |f 0 (x) − s0 (x)| ≤ hkf 00 k2 3 |f (x) − s(x)| ≤ h 2 kf 00 k2 , Rb 1 unde h = max{h1 , . . . , hn } ¸si kf 00 k2 = ( a [f 00 (x)]2 dx) 2 . Demonstrat¸ie. Funct¸ia f − s satisface ˆın fiecare interval [xi−1 , xi ] condit¸iile teoremei lui Rolle, deci exist˘a ci ∈ (xi−1 , xi ) astfel ˆıncˆat (f 0 − s0 )(ci ) = 0. Fie
141
10.1. INTERPOLARE CU FUNCT ¸ II SPLINE CUBICE
x ∈ [a, b]. Exist˘a k ∈ {1, 2, . . . , n} astfel ˆıncˆat x ∈ [xk−1 , xk ]. Atunci, utilizˆand inegalitatea Cauchy - Buniakovski - Schwarz au loc relat¸iile Z x |f 0 (x) − s0 (x)| = | [f 00 (t) − s00 (t)]dt| ≤ ck
Z x √ Z b 00 1p 1 00 00 2 ≤ ( [f (t) − s (t)] dt) 2 |x − ck | ≤ h( [f (t) − s00 (t)]2 dt) 2 . ck
a
Din (10.12), deducem Z
b
00
00
b
Z
2
[f (t) − s (t)] dt ≤ a
[f 00 (t)]2 dt = kf 00 k22
a
¸si prin urmare |f 0 (x) − s0 (x)| ≤
√
hkf 00 k2 .
Totodat˘a, din egalitatea xk
Z
[f 0 (t) − s0 (t)]dt
f (x) − s(x) = xk−1
g˘asim Z
xk
|f 0 (t) − s0 (t)|dt ≤
|f (x) − s(x)| ≤ xk−1
≤
√
00
Z
xk
3
dt ≤ h 2 kf 00 k2 .
hkf k2 xk−1
Teorema 10.1.5 (Convergent¸a unui ¸ sir de funct¸ii spline cubice de interpolare) Fie f ∈ C[a, b] ¸si ¸sirul de diviziuni a = xk0 < xk1 < . . . < xknk = b
4k : astfel ˆıncˆ at, dac˘ a hk =
min
0≤i≤nk −1
(xki+1 − xki )
k
h =
atunci 1. ∃δ > 0 cu proprietatea k
2. limk→∞ h = 0.
k
h hk
≤ δ,
max (xki+1 − xki ),
0≤i≤nk −1
∀k ∈ N ;
142
CAPITOLUL 10. FUNCT ¸ II SPLINE CUBICE
Dac˘ a sk este funct¸ia spline cubic˘ a de interpolare a funct¸iei f in pe diviziunea 4k ¸si care satisface una din condit¸iile la limit˘ a sk (a) = α (10.13) sk (b) = β sau
s00k (a) = 0 s00k (b) = 0
(10.14)
atunci limk→∞ kf − sk k∞ = 0.
Demonstrat¸ie. Not˘am prin ωf (h) modulul de continuitate al funct¸iei f, ωf (h) = sup |f (y) − f (x)|. |y−x|
Condit¸ia de continuitate a funct¸iei f este echivalent˘a cu limh→0 ωf (h) = 0. Fie x ∈ [a, b]. Exist˘a i ∈ {0, 1, . . . , nk − 1} astfel ˆıncˆat x ∈ [xki , xki+1 ]. T ¸ inˆand seama de reprezentarea (10.1) ¸si folosind notat¸iile yik = f (xki ), i = 0, 1, . . . , nk , k ∈ N avem sk (x) − f (x) = yik − f (x) + mki (x − xki ) + (3
+(
k − yk yi+1 2mki + mki+1 i − )(x − xki )2 + (hki )2 hki
k − yk mki + mki+1 yi+1 i − 2 )(x − xki )3 . (hki )2 (hki )3
unde (mki )0≤i≤nk sunt parametrii funct¸iei spline, solut¸iile unui sistem de forma (10.2)+(10.3) sau (10.2)+(10.5), ˆın funct¸ie de condit¸ia la limit˘a folosit˘a. ˆIn continuare |sk (x) − f (x)| ≤ |yik − f (x)| + |mki |(x − xki )+ k +3|yi+1 − yik |(
x − xki 2 x − xki ) + (2|mki | + |mki+1 |) (x − xki )+ k hi hki
+(|mki | + |mki+1 |)(
k x − xki 2 k k k x − xi 3 ) (x − x ) + 2|y − y |( ) . i i+1 i hki hki
Notˆand M k = max0≤i≤nk |mki | din inegalitatea de mai sus deducem k
k
k
k
k
k
|sk (x) − f (x)| ≤ ωf (h ) + M k h + 3ωf (h ) + 3M k h + 2M k h + 2ωf (h ) = k
k
= 6ωf (h ) + 6M k h .
143
10.1. INTERPOLARE CU FUNCT ¸ II SPLINE CUBICE
Deoarece membrul drept nu mai depinde de x rezult˘a c˘a k
k
ksk − f k∞ ≤ 6ωf (h ) + 6M k h . Dac˘a se utilizeaz˘a condit¸iile la limit˘a (10.13) atunci din (10.8) g˘asim k
M k ≤ max{|α|,
k
3h ωf (h ) , |β|}, (hk )2
¸si astfel k
ksk − f k∞
h k k ≤ 6ωf (h ) + 6 max{|α|h , 3( k )2 ωf (h ), |β|h } ≤ h k
k
k
k
k
k
≤ 6ωf (h ) + 6 max{|α|h , 3δ 2 ωf (h ), |β|h } → 0,
pentru k → ∞.
Dac˘a se utilizeaz˘a condit¸iile la limit˘a (10.14) atunci din (10.9) g˘asim k
k
k
3ωf (h ) 3h ωf (h ) } M ≤ max{ , hk (hk )2 k
¸si astfel k
ksk − f k∞ k
k
h h k k ≤ 6ωf (h ) + 6 max{3 k ωf (h ), 3( k )2 ωf (h )} ≤ h h k
k
k
≤ 6ωf (h ) + 6 max{3δωf (h ), 3δ 2 ωf (h ), } → 0,
pentru k → ∞.
Partea II
METODE NUMERICE ˆIN ˘ ALGEBRA LINIARA
144
Capitolul 11
Elemente de analiz˘ a matriceal˘ a 11.1 •
Definit¸ii, notat¸ii, propriet˘ a¸ti
x1 x = ... ∈ Rn xn xT = (x1 , . . . , xn )
x1 x = ... ∈ Cn xn xH = (x1 , . . . , xn )
Un vector din C sau R se va identifica cu o matrice Mn,1 (C), respectiv Mn,1 (R). •
x, y ∈ Rn P < x, y >= nk=1 xk yk√ √ kxk2 = < x, x > = xT x
x, y ∈ Cn P < x, y >= nk=1 xk y k√ √ kxk2 = < x, x > = xH x
• kxk∞ = max |xk | 1≤k≤n
• Doi vectori x, y ∈ C (sau R) sunt ortogonali dac˘a < x, y >= 0. • O familie de vectori (xi )1≤i≤k din x, y ∈ C (sau R) este ortonormat˘a dac˘a 1, dac˘a i = j < xi , xj >= δi,j = 0, dac˘a i 6= j • O matrice A ∈ Mn,k (C) se poate reprezenta prin
A = (ai,j )1≤i≤n,1≤j≤k = [a1 a2 . . . ak ],
145
a1,j unde aj = ... . an,j
146
˘ MATRICEALA ˘ CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE ANALIZA
•
1 0 ... 0 0 1 ... 0 .. .. . . .. . . . . 0 0 ... 1
In = (δi,j )1≤i,j≤n
=
este matricea unitate de ordinul n. • Dac˘a A ∈ Mn (R) = (ai,j )1≤i,j≤n atunci AT = (aj,i )1≤i,j≤n este matricea transpus˘a. T
• Dac˘a A ∈ Mn (C) atunci AH = A . Bara superioar˘a desemneaz˘a operatorul de conjugare aplicat fier˘arui element al matricei. • O matrice p˘atrat˘a A ∈ Mn (C) este inversabil˘a dac˘a exist˘a A−1 ∈ Mn (C) astfel ˆıncˆat A · A−1 = A−1 · A = In . • A ∈ Mn (R) este simetric˘a dac˘a AT = A. • A ∈ Mn (C) este hermitian˘a dac˘a AH = A. • A ∈ Mn,k (R) este ortogonal˘a dac˘a AT · A = Ik . • A ∈ Mn,k (C) este unitar˘a dac˘a AH · A = Ik . • O matrice A ∈ Mn (C), A = (ai,j )1≤i,j≤n cu proprietatea ai,j = 0, pentru i > j se nume¸ste matrice superior triunghiular˘a. • O matrice A ∈ Mn (C), A = (ai,j )1≤i,j≤n cu proprietatea ai,j = 0, pentru i < j se nume¸ste matrice inferior triunghiular˘a. • O matrice A ∈ Mn (C), A = (ai,j )1≤i,j≤n cu proprietatea ai,j = 0, pentru i 6= j se nume¸ste matrice diagonal˘a. • O matrice A ∈ Mn (C), A = (ai,j )1≤i,j≤n cu proprietatea ai,j = 0, pentru j < i ¸si i + 1 < j se nume¸ste matrice bidiagonal˘a (superioar˘a). • O matrice A ∈ Mn (C), A = (ai,j )1≤i,j≤n cu proprietatea ai,j = 0, pentru i > j + 1 se nume¸ste matrice Hessenberg. • O matrice A ∈ Mn (R) este pozitiv˘a dac˘a < Ax, x > ≥ 0,
∀x ∈ Rn .
• O matrice A ∈ Mn (R) este strict pozitiv˘a dac˘a < Ax, x > > 0,
∀x ∈ Rn \{0}.
Pentru matricea A ∈ Mn (R) strict pozitiv˘a folosim notat¸ia A > 0. Mai mult, dac˘a A, B ∈ Mn (R) vom scrie A > B ⇔ A − B > 0.
147
˘ ¸I 11.1. DEFINIT ¸ II, NOTAT ¸ II, PROPRIETAT
• O matrice A ∈ Mn (R) este tare pozitiv˘a dac˘a ∃m > 0
astfel ˆıncˆat
< Ax, x > ≥ mkxk22 , ∀x ∈ Rn .
Astfel A tare pozitiv ⇒ A strict pozitiv ⇒ A poxitiv. • Fie A ∈ Mn,k (C). Matricea A genereaz˘a un operator liniar A : Ck → Cn definit prin A(x) = Ax. Ker(A) = {x ∈ Ck : Ax = 0} Im(A) = {y ∈ Cn : ∃x ∈ Ck astfel ˆıncˆat y = Ax} • Norma unei matrice A ∈ Mn,k (C) este norma operatorului liniar generat de matricea A, adic˘a A : Ck → Cn , A(x) = Ax. ˆIn cele ce urmeaz˘a operatorul A se va identifica cu matricea A. • Un num˘ar λ ∈ C este o valoare proprie a matricei A ∈ Mn (C) dac˘a exist˘a un vector nenul x ∈ Cn astfel ˆıncˆat Ax = λ x. ˆIn acest caz x este un vector propriu corespunz˘ator valorii proprii λ, iar perechea (λ, x) este o pereche proprie matricei A. • Un vector y ∈ Cn , y 6= 0 este un vector propriu la stˆanga corespunz˘atoare valorii proprii λ dac˘a y H Ax = λ y H . • Valoarea proprie λ are ordinul de multiplicitate algebric k dac˘a λ este r˘ad˘acin˘a multipl˘a de ordin k a polinomului caracteristic. • Valoarea proprie λ are ordinul de multiplicitate geometric k dac˘a dimensiunea subspat¸iului liniar S(λ) este k. • Dac˘a o matrice are o valoare proprie avˆand ordinul de multiplicitate geometric este mai mic decˆat ordinul de multiplicitate algebric atunci matricea se nume¸ste defectiv˘a. ˆIn caz contrar matricea se nume¸ste nedefectiv˘a.
1 1 Exemplul 11.1.1 Matricea A = are valoarea proprie λ = 1 0 1 avˆ and ordinul de multiplicitate algebric 2, dar S(1) = {(x, 0) : x ∈ C}, are dimensiunea 1. • Dou˘a matrice A, B ∈ Mn (C) sunt simare dac˘a exist˘a o matrice inversabil˘a X ∈ Mn (C) astfel ˆıncˆat B = X −1 AX. Proprietatea 11.1.1 Dac˘ a A ∈ Mn (C) este o matrice hermitian˘ a atunci < Ax, y >=< x, AH y >
∀x, y ∈ Cn .
148
˘ MATRICEALA ˘ CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE ANALIZA
Proprietatea 11.1.2 Dac˘ a A ∈ Mn (C) este o matrice hermitian˘ a atunci ∀x, y ∈ Cn .
< Ax, y >=< x, Ay >
Proprietatea 11.1.3 Dac˘ a A ∈ Mm,n (C), C ∈ Mn,p (C) atunci (AB)H = B H AH . Proprietatea 11.1.4 Dac˘ a A, B ∈ Mn (C) sunt matrice hermitiene ¸si AB = BA atunci AB este tot o matrice hermitian˘ a. Demonstat¸ie. (AB)H = B H AH = BA = AB.
Proprietatea 11.1.5 Dac˘ a A, B ∈ Mn (C) sunt matrice unitare atunci AB este tot o matrice unitar˘ a. Proprietatea 11.1.6 Dac˘ a A ∈ Mn (C) este o matrice unitar˘ a ¸si x ∈ Cn atunci kAxk2 = kxk2
¸si
kAH xk2 = kxk2 .
Demonstat¸ie. kAxk22 = (Ax)H (Ax) = (xH AH )(Ax) = xH (AH A)x = xH x = kxk22 . Proprietatea 11.1.7 Fie A ∈ Mn,k (C). Dac˘ a X ∈ Mn (C) ¸si Y ∈ Mk (C) sunt matrice unitare atunci kAk2 = kX H Ak2 = kAY k2 . Demonstat¸ie. Utilizˆand propozit¸ia precedent˘a, au loc egalit˘a¸tile kX H Ak2 = sup kX H Azk = sup kAzk = kAk2 kzk2 ≤1
kzk2 ≤1
¸si kAY k2 = sup kAY zk2 = sup kAwk2 = kAk2 , kzk≤1
kwk≤1
unde w = Y z. Proprietatea 11.1.8 Dac˘ a A ∈ Mn,k (C), A = [a1 a2 . . . ak ] este o matrice unitar˘ a atunci (ai )1≤i≤k formeaz˘ a o familie ortonormat˘ a.
149
˘ ¸I 11.1. DEFINIT ¸ II, NOTAT ¸ II, PROPRIETAT
Demonstat¸ie. aH 1 AH A = ... · [a1 . . . ak ] = (aH i aj )1≤i,j≤k = Ik . H ak
Proprietatea 11.1.9 Dac˘ a A ∈ Mn (C) este o matrice unitar˘ a atunci A−1 = H A . Proprietatea 11.1.10 Dac˘ a A ∈ Mn (R), A > 0, atunci matricea A este nesingular˘ a. Proprietatea 11.1.11 O matrice A ∈ M( R) strict pozitiv˘ a este tare pozitiv˘ a. Demonstat¸ie. Funct¸ia f : Rn \{0} → R definit˘a prin formula f (x) =
< Ax, x > kxk22
este continu˘a ¸si ˆın mult¸imea compact˘a S = {x ∈ Rn : kxk2 = 1} ˆı¸si atinge minimul, adic˘a exist˘a x0 ∈ S astfel ˆıncˆat f (x) ≥ f (x0 ) = m > 0 Dac˘a x ∈ Rn \{0} atunci Ax, x >≥ mkxk22 .
x kxk2
∀x ∈ S.
x x ∈ S, de unde < A( kxk ), kxk > ≥ m sau < 2 2
Proprietatea 11.1.12 a A ∈ Mn (R) este o matrice simetric˘ a ¸si strict poz√ Dac˘ itiv˘ a atunci kxkA = < Ax, x > este o norm˘ a ˆın Rn . Indicat¸ie. Inegalitatea triunghiului rezult˘a ˆın urma inegalit˘a¸tii < Ax, y >2 ≤ < Ax, x >< Ay, y >, ∀x, y ∈ Rn . Proprietatea 11.1.13 Fie A ∈ Mm,n (C), B ∈ Mk,m (C). Dac˘ a k·k este o norm˘ a matriceal˘ a atunci kBAk ≤ kBk kAk. Pentru A ∈ Mm,n (C) ¸si ϕ(A) = max1≤i≤m 1≤j≤n |ai,j | propriet˘a¸tile normei sunt ˆındeplinite dar nu are loc proprietatea propozit¸iei 11.1.13. Dac˘a 1 2 2 1 4 2 B= , A= atunci BA = 3 1 1 1 7 4 ¸si ϕ(BA) = 7 > 3 · 2 = ϕ(B)ϕ(A).
150
˘ MATRICEALA ˘ CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE ANALIZA
Proprietatea 11.1.14 Fie A ∈ Mm,n (C), A = (ai,j )1≤i≤m, kAk∞ = kAk1 =
n X
max
1≤i≤m
Au loc egalit˘ a¸tile
|ai,j |,
A : (Cn , k · k∞ ) → (Cm , k · k∞ );
(11.1)
|ai,j |,
A : (Cn , k · k1 ) → (Cm , k · k1 ).
(11.2)
j=1 m X
max
1≤j≤n .
1≤j≤n
i=1
Proprietatea 11.1.15 Fie A ∈ Mn (R). Dac˘ a |ai,i | >
Pn
j=1
|ai,j | atunci
j6=i
1. matricea A este inversabil˘ a; 2. kA−1 k∞ ≤ max1≤i≤n
|ai,i |−
P1n
j=1 j6=i
|ai,j |
.
Demonstat¸ie. Fie x, y ∈ Rn astfel ˆıncˆat Ax = y. Ar˘at˘am c˘a are loc inegalitatea kxk∞ ≤ max
1≤i≤n
|ai,i | −
1 Pn
j=1
|ai,j |
kyk∞
(11.3)
j6=i
Fie i acel indice pentru care |xi | = max{|x1 |, . . . , |xn |} = kxk∞ . Ecuat¸ia a i-a a sistemului Ax = y se scrie ai,i · xi = yi −
n X
ai,j · xj
j=1
j6=i
de unde se deduc relat¸iile: |ai,i |kxk∞ = |aii ||xi | ≤ |yi | +
n X
|ai,j ||xj | ≤ kyk∞ + kxk∞
n X
j=1
j=1
j6=i
j6=i
|ai,j |.
Ipoteza propozit¸iei implic˘a kxk∞ ≤
|ai,i | −
1 Pn
j=1
j6=i
|ai,j |
kyk∞ ≤ max
1≤i≤n
|ai,i | −
1 Pn
j=1
|ai,j |
kyk∞ .
j6=i
Pentru a ar˘ata c˘a matricea A este inversabil˘a sau nesingular˘a este suficient s˘ a ar˘at˘am c˘a sistemul algebric de ecuat¸ii liniare ¸si omogene Ax = 0 admite doar solut¸ia banal˘a. Pentru y = 0, din (11.3) rezult˘a x = 0. A doua concluzie rezult˘a de asemenea din inegalitatea (11.3).
151
˘ ¸I 11.1. DEFINIT ¸ II, NOTAT ¸ II, PROPRIETAT
Proprietatea 11.1.16 Valorile proprii ale matricei A sunt r˘ ad˘ acinile polinomului caracteristic f (λ) = |λ In − A|. Proprietatea 11.1.17 Mult¸imea S(λ) = {x ∈ Cn : Ax = λ x} este subspat¸iu liniar ˆın Cn invariat de A, adic˘ a A(S(λ)) ⊆ S(λ). Proprietatea 11.1.18 Pentru orice valoare propriu ordinul de multiplicitate geometric este cel mult egal cu ordinul de multiplicitate algebric. Proprietatea 11.1.19 La un vector propriu corespunde unei singure valori proprii. Proprietatea 11.1.20 Dac˘ a λ1 , . . . , λk sunt valori proprii ale unei matrice A, distincte dou˘ a cˆ ate dou˘ a ¸si x1 , . . . , xk sunt vectori proprii corespunz˘ atori atunci x1 , . . . , xk sunt liniar independent¸i. Proprietatea 11.1.21 Valorile proprii ale unei matrice hermitiene (simetrice) sunt reale. Proprietatea 11.1.22 Dou˘ a matrice similare au acelea¸si valori proprii. Proprietatea 11.1.23 Dac˘ a A ∈ Mm,n (C) atunci (Im(A))⊥ = Ker(AH ). Demonstat¸ie. Dac˘a y ∈ (Im(A))⊥ atunci < y, z >= 0, ∀z ∈ Im(A), adic˘a < y, Ax >= 0, ∀x ∈ Cn . Din 0 =< y, Ax >=< AH y, x >,
∀x ∈ Cn
rezult˘a y ∈ Ker(AH ). Proprietatea 11.1.24 Dac˘ a A ∈ Mm,n (C) atunci Cm = Im(A) ⊕ Ker(AH ).
(11.4)
Capitolul 12
Rezolvarea sistemelor algebrice liniare Consider˘am sistemul algebric de m ecuat¸ii liniare cu necunoscutele x1 , x2 , . . . , xn a11 · x1 + a12 · x2 + . . . + a1n · xn = b1 ....... ... ....... ... ... ... ........ ... ... am1 · x1 + am2 · x2 + . . . + amn · xn = bm unde aij , bi ∈ C, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, · · · , n. Introducˆand notat¸iile matriceale x1 a11 . . . a1n A = . . . . . . . . . x = ... am1 . . . amn xn
(12.1)
b1 b = ... bm
sistemul (12.1) se scrie A·x=b ˆIn cazul ˆın care m = n, adic˘a num˘arul ecuat¸iilor coincide cu num˘arul necunoscutelor ¸si dac˘a matricea sistemului A este nesingular˘a, atunci solut¸ia este x = A−1 · b. Astfel problema inversabilit˘a¸tii lui A este echivalent˘a cu rezolvarea sistemului. Metodele pentru rezolvarea sistemelor algebrice de ecuat¸ii liniare se ˆımpart ˆın dou˘a clase: • metode directe; • metode iterative. ˆIn cele ce urmeaz˘a vom prezenta metoda Gauss - Jordan din clasa metodelor directe ¸si metoda Gauss - Seidel din clasa metodelor iterative. 152
153
12.1. METODA GAUSS - JORDAN
12.1
Metoda Gauss - Jordan
Sistemului liniar yi =
n X
aij · xj
(12.2)
i = 1, 2, . . . , m
j=1
ˆıl ata¸s˘am tabloul x1
...
xj
...
xs
...
xn
y1 .. .
a11 .. .
...
a1j .. .
...
a1s .. .
...
a1n .. .
yi .. .
ai1 .. .
...
aij .. .
...
ais .. .
...
ain .. .
yr .. .
ar1 .. .
...
arj .. .
...
ars .. .
...
arn .. .
ym am1 . . . amj
(12.3)
. . . ams . . . amn
S˘a presupunem ars 6= 0. Din ecuat¸ia r a sistemului (12.2) explicit˘am xs ar1 ars−1 yr ars+1 arn xs = − · x1 − . . . − · xs−1 + − · xs+1 − . . . − · xn . (12.4) ars ars ars ars ars Substituind xs ˆın celelalte ecuat¸ii, pentru i 6= r, g˘asim ais · ar1 ais · ars−1 (12.5) yi = (ai1 − ) · x1 + . . . + (ais−1 − ) · xs−1 + ars ars ais ais · ars+1 ais · arn + · yr + (ais+1 − ) · xs+1 + . . . + (ain − ) · xn . ars ars ars Sistemului format din ecuat¸iile (12.4) ¸si (12.5) ˆıi corespunde tabloul (12.6). y1 .. .
x1 b11 .. .
... ...
yi .. .
bi1 .. .
...
xs .. .
− aar1 rs .. .
ym
bm1
(a ·a −a ·a )
xj b1j .. .
... ...
bij .. .
...
rj . . . − ars .. .
a
...
...
. . . bmr . . .
bmj
yr a1s ars
... ...
xn b1n .. .
ais ars
...
bin .. .
1 ars
. . . − aarn rs .. .
.. . .. . .. .
(12.6)
bmn
unde bij = ij rsars is rj , pentru i 6= r ¸si j 6= s. Numim pas Jordan cu elementul pivot ars 6= 0 urm˘atorul ansamblu de operat¸ii prin care tabloul (12.3) se transform˘a ˆın tabloul (12.6)
154
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
1. Se intervertesc yr ¸si xs ; 2. Pe locul elementului pivot se pune 1; 3. Pe coloana elementului pivot elementele tabloului se las˘a neschimbate; 4. Pe linia elementului pivot se schimb˘a semnul elementelor din vechiul tablou; 5. Restul elementelor se calculeaz˘a cu formula ˜bij = aij · ars − ais · arj . Aceast˘ a relat¸ie este cunoscut˘a sub numele de regula dreptunghiului. Elementul ˜bij care se calculeaz˘a are drept corespondent ˆın tabloul (12.3) pe aij care ˆımpreun˘a cu elementul pivot ars definesc, ca vˆarfuri diagonal opuse un dreptunghi. ˜bij este diferent¸a dintre produsele elementelor celor dou˘a diagonale; ˆıntotdeauna elementul pivot este factor al desc˘azutului. 6. Se ˆımpart toate elementele tabloului la elementul pivot. Aplic˘am substitut¸iile generate de pa¸sii Jordan la rezolvarea sistemului (12.1). Acestui sistem ˆıi ata¸s˘am tabloul
0 [1] 0 .. . 0
x1 a11 .. . ai1 .. . am1
... ... [3] ... ...
[2] xj a1j .. .
... ...
xn a1n .. . ain .. .
[4] 1 −b1 [5] −bi .. .
aij .. .
...
amj
. . . amn −bm
(12.7)
Numerele ˆıncadrate scot ˆın evident¸˘a cinci zone ˆın tabloul (12.7). Un pas Jordan efectuat cu un element pivot ales din zona [3] - de exemplu ars 6= 0 - are ca urmare intervertirea unui xr din zona [2] cu un zero din zona [1] ¸si corespunde explicit˘arii lui xr din a s -a ecuat¸ie a sistemului ¸si substituirii lui ˆın celelalte ecuat¸ii. Astfel, ¸tinˆand seama de interpretarea dat˘a tabloului (12.7), obiectivul urm˘arit este efectuarea a cˆat mai mult¸i pa¸si Jordan. S˘a presupunem c˘a efectuˆand r pa¸si Jordan ajungem la urm˘atorul tablou (eventual schimbˆand indicii ecuat¸iilor ¸si ai necunoscutelor)
155
12.1. METODA GAUSS - JORDAN
0
...
0
...
[1]
b11 .. .
[3I ]
b1r .. .
xr
br1
...
brr
...
...
...
...
x1
0 .. . 0
br+11 . . . br+1r .. .. . [3III ] . bm1
...
bmr
[2] [4] .. . xr+1 ... xn 1 .. . b1r+1 . . . brn c1 .. .. .. . . [3II ] . [5] .. . brr+1 . . . brn cr .. . ... ... ... ... .. . 0 ... 0 cr+1 .. .. . .. . . [3IV ] .. . .. . 0 ... 0 cm
(12.8)
ˆIn tabloul (12.8) nu putem alege nici un element pivot ˆın zona [3IV ]. Din punctul de vedere al rezolv˘arii sistemului, zona [3IV ] este singura ˆın care are sens c˘autarea unui element pivot. T ¸ inˆand seama de interpretarea dat˘a tabloului, dac˘a cr+1 = . . . = cm = 0, atunci sistemul este compatibil cu solut¸ia xi = bir+1 · xr+1 + . . . + bin · xn ,
i = 1, 2, . . . , r ;
iar ˆın caz contrar sistemul este incompatibil. Exemplu. Pentru rezolvarea x1 + 2x1 − x1 + 2x1 + 3x1 +
sistemului algebric liniar x2 x2 2x2 x2 2x2
+ x3 + 2x3 − x3 + 4x3 − 2x3
+ x4 − x4 + 2x4 + x4 + 2x4
= 2 = 1 = −1 = 7 = −5
tablourile corespunz˘atoare pa¸silor Jordan sunt
0 0 0 0 0
x1 x2 x3 x4 1 1 1 1 1 −2 2 −1 2 −1 −1 1 2 −1 2 1 2 1 4 1 −7 3 2 −2 2 5
x1 0 0 0 0
x2 x3 x4 1 −1 −1 −1 2 −3 → 1 0 −3 → 1 3 → −1 1 −2 1 3 −1 2 −1 −3 −1 −5 −1 11
156
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
x4 1 x1 0 −1 x2 −1 1 0 0 0 x3 0 2 0 0 0
x3 x4 1 x1 −1 0 1 x2 0 −1 1 0 −2 → 1 0 4 → −2 0 1 0 −2 0 −5 → 1 0 10 → −2
Sistemul este compatibil, cu solut¸ia x1 = −1, x2 = 1 − x4 , x3 = 2. Observat¸ie. Numerele subliniate sunt elementele pivot. Coloanele corespunz˘ atoare zerourilor din zona [2] se pot omite ¸si de aceea ele nu apar. Numerele ce apar ˆın dreptul s˘aget¸ilor reprezint˘a rezultatul ˆınmult¸irii ecuat¸iei corespunz˘atoare cu un factor convenabil. Aceast˘a operat¸ie simplific˘a calculele efectuate ”manual”.
12.2
Inversarea unei matrice
Fie matricea A ∈ Mn (C); A = (aij )i,j=1,n . Ata¸s˘am matricei A sistemul liniar y = A · x c˘aruia ˆıi corespunde tabloul:
y1 .. .
x1 a11 .. .
. . . xj . . . a1j .. .
. . . xn . . . a1n .. .
yi .. .
ai1 .. .
...
...
aij .. .
yn an1 . . . anj
ain .. .
(12.9)
. . . ann
Dac˘a se pot efectua n pa¸si Jordan care s˘a transforme tabloul (12.9) ˆın tabloul:
x1 .. .
y1 b11
. . . yn . . . b1n .. .
(12.10)
xn bn1 . . . bnn atunci matricea A este nesingular˘a ¸si B = (bij )i,j=1,n reprezint˘a inversa matricei A. Exemplu. Pentru inversarea matricei 2 4 3 1 A= 0 1 2 2 −1
157
12.3. METODA LUI GAUSS – FACTORIZAREA LU
efectu˘am pa¸sii Jordan.
y1 y2 y3
x1 x2 x3 2 4 3 0 1 1 2 2 −1
x1 y2 x3 2 4 −1 0 1 −1 2 2 −3
y1 x2 y3
x3 x2 y3
x1 y2 y1 2 4 −1 −2 −3 1 −4 −10 3
y3 y 2 y 1 1 x3 − 12 −1 2 1 1 x2 2 −2 2 3 x1 − 14 − 52 4 Rezult˘a A−1 =
12.3
3 4 1 −2 1 2
− 52 − 14 1 2 . 2 1 −1 − 2
Metoda lui Gauss – Factorizarea LU
Fie mk =
0 .. . 0 n ek = 1 ∈R , 0 .. .
0 .. . 0 µk+1 .. .
,
µn
0
cu 1 pe linia k ¸si matricea
1
0 ..
T Mk = I − mk ek = mk =
.
. 1 −µk+1 1 ..
0 Matricea Mk are propriet˘a¸tile: Teorema 12.3.1 Mk−1 = I + mk eTk .
−µn
. 1
(12.11)
158
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
Demonstrat¸ie. Au loc egalit˘a¸tile (I + mk eTk )(I − mk eTk ) = I − (mk eTk )(mk eTk ) = I − mk (eTk mk )eTk = I. n Teorema 12.3.2 Fie a xk 6= 0 atunci exist˘ a mk ∈ Rn x =(xi )1≤i≤n ∈ R . Dac˘ x1 .. . xk . astfel ˆıncˆ at Mk x = 0 .. . 0
Demonstrat¸ie. Avem
x1 .. . xk T Mk x = x − mk (ek x) = x − xk mk = xk+1 − xk µk+1 .. .
.
xn − xk µn Alegˆand µi =
xi xk ,
i ∈ {k + 1, . . . , n}, rezult˘a relat¸ia cerut˘a.
Observat¸ie 12.3.1 Dac˘a y = (yi )1≤i≤n ∈ Rn ¸si yk = 0 atunci Mk y = y. Observat¸ie 12.3.2 Fie A ∈ Mn (R) o matrice de forma a1,1 a1,2 . . . a1,k a1,k+1 a . . . a a 2,2 2,k 2,k+1 .. .. . . . . . a a A = [a1 a2 . . . an ] = k,k k,k+1 a a k+1,k k+1,k+1 .. .. . . an,k an,k+1
... ...
a1,n a2,n .. .
. . . ak,n . . . ak+1,n .. . ...
,
an,n
(12.12) unde prin ai s-a notat coloana i ¸si avˆand elementele coloanelor a1 , . . . , ak−1 situate sub diagonala principal˘a egale cu 0.
159
12.3. METODA LUI GAUSS – FACTORIZAREA LU
Dac˘a ak,k 6= 0 atunci potrivit Teoremei 12.3.2 aplicat˘a coloanei ak exist˘a o matrice Mk astfel ˆıncˆat (12.13)
Mk A = [Mk a1 Mk a2 , . . . , Mk an ] =
a1,1 a1,2 . . . a1,k a1,k+1 a2,2 . . . a2,k a2,k+1 .. .. .. . . . a a k,k k,k+1 0 b k+1,k+1 .. .. . . 0 bn,k+1 Totodat˘a matricea Mk a1,k . .. ak,k mk = ak+1,k ak,k . . . an,k ak,k
... ...
a1,n a2,n .. .
. . . ak,n . . . bk+1,n .. . ...
.
bn,n
este definit˘a prin Mk = I − mk eTk cu
iar
bi,j = ai,j −
ai,k ak,j ak,k
ak,k ak,j ai,j ai,j = ak,k
,
pentru i, j ∈ {k + 1, . . . , n}. Trecerea de la (12.12) la (12.13) se realizeaz˘a cu algoritmul 1. Liniile 1, . . . , k se las˘a nemodificate; 2. Elementele coloanei k situate sub ak,k devin 0; 3. Pentru i, j ∈ {k + 1, . . . , n} elementele se calculeaz˘a cu regula dreptunghiului, dup˘a care se ˆımpart la elementul pivot ak,k . Fie A ∈ Mn (R), A = (ai,j )1≤i,j≤n . Not˘am prin Ak , k ∈ {1, 2, . . . , n} matricele a1,1 . . . a1,k Ak = (ai,j )1≤i,j≤k = . . . . . . . . . . ak,1 . . . ak,k Definit¸ie 12.3.1 Matricea A satisface ipoteza Jm dac˘ a |Ak | = 6 0, ∀k ∈ {1, 2, . . . , m}. Observat¸ie 12.3.3 Dac˘ a matricea A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (R) satisface ipoteza Jm ¸si Mk este o matrice de forma (12.11) atunci Mk A satisface de asemenea ipoteza Jm .
160
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
ˆIntr-adev˘ar pentru j ∈ {1, 2, . . . , m}, din
a1,1 .. .
...
ak,1 ak+1,1 − µk+1 ak,1 Mk A = .. . aj,1 − µj ak,1 .. . an,1 − µn ak,1
a1,j .. .
...
... ak,j . . . ak+1,j − µk+1 ak,j .. .
a1,n .. .
... ak,n . . . ak+1,n − µk+1 ak,n .. .
...
aj,j − µj ak,j .. .
...
aj,n − µj ak,n .. .
...
an,j − µn ak,j
...
an,n − µn ak,n
deducem c˘a (Mk A)j = (Mk )j Aj de unde |(Mk A)j | = |(Mk )j ||Aj | = |Aj | = 6 0. Teorema 12.3.3 Dac˘ a matricea A ∈ Mn (R) satisface ipoteza Jn−1 atunci exist˘ a o matrice M ∈ Mn (R) ¸si o matrice superior triunghilar˘ a U ∈ Mn (R), astfel ˆıncˆ at M A = U. (1)
(1)
Demonstrat¸ie. Fie A(1) = A. Din ipoteza Jn−1 , |A1 | = a1,1 = a1,1 6= 0. Potrivit Observat¸iei 12.3.2, exist˘a o matrice M1 astfel ˆıncˆat
(1)
(1)
a1,1 a1,2
(1)
. . . a1,n
(2) (2) a2,2 . . . a2,n . ... ... ... (2) (2) an,2 . . . an,n
0 A(2) = M1 A(1) = ... 0 (2)
(2)
(1) (2)
Atunci |A2 | = |(M1 A1 )2 | = |A2 | 6= 0, dar |A2 | = a1,1 a2,2 , ¸si prin urmare (2)
a2,2 = 6 0. Utilizˆand Observat¸ia 12.3.2 exist˘a o matrice M2 astfel ˆıncˆat A(3) = M2 A(2)
(1)
0 = 0 ... 0
(1)
. . . a1,n
(2)
(2)
(2) . . . a2,n (3) . . . a3,n . ... ... (3) . . . an,n
a2,2 a2,3 0 ... 0
(3)
a3,3 ... (3) an,3
(1)
(1)
a1,1 a1,2 a1,3
161
12.3. METODA LUI GAUSS – FACTORIZAREA LU
(3)
(1) (2) (3)
Din nou |A3 | = |A3 | = a1,1 a2,2 a3,3 6= 0, deci de mai sus de n − 1 ori, vom avea (1) (1) a a 1,1 1,2 (2) a2,2 A(n) = Mn−1 Mn−1 . . . M1 A(1) =
(3)
a3,3 6= 0. Repetˆand rat¸ionamentul (1)
(2)
def = U.
(1)
a1,n
(2)
a2,n .. .
...
a1,n−1
... .. .
a2,n−1 .. . (n−1)
(n−1)
an−1,n−1 an−1,n (n)
an,n Metoda lui Gauss rezult˘a din aplicarea rezultatului de mai sus ˆın cazul unui sistem Ax = b. Presupunem c˘a matricea A ∈ Mn (R) satisface ipoteza Jn , ceea ce asigur˘a existent¸a solut¸iei unice. Ata¸s˘am sistemului tabloul x1 a1,1 .. .
. . . xn . . . a1,n .. .
1 b1 .. .
an,1 . . . an,n bn ¸si execut˘am algoritmul: Pentru k = 1..n − 1 execut˘a: 1. Liniile {1, 2, . . . , k} se las˘a nemodificate; 2. Elementele coloanei k situate sub diagonala principal˘a se ˆınlocuiesc cu 0; 3. Pentru i ∈ {k + 1, . . . , n} ¸si j ∈ {k + 1, . . . , n, n + 1} elementele se calculeaz˘a cu regula dreptunghiului. (La ˆımp˘art¸irea prin elementul pivot se renunt¸˘a, deoarece ecuat¸ia respectiv˘a se poate ˆınmult¸ii cu elementul pivot.) Rezult˘a un tablou de forma x1 x2 . . . xn 1 c1,1 c1,2 . . . c1,n d1 0 c2,2 . . . c2,n d2 .. .. .. . . . 0 0 . . . cn,n dn c˘aruia ˆıi corespunde sistemul n X i=j
ci,j xj = di
i ∈ {1, 2, . . . , n}.
162
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
a c˘arei solut¸ie este xn = xi =
dn cn,n P di − nj=i+1 ci,j xj ci,i
Exemplu. Rezolv˘am sistemul x + 2x + 3x + 4x +
i ∈ {n − 1, n − 2, . . . , 1}.
algebric de ecuat¸ii liniare 2y 3y 4y y
+ 3z + 4t = + 4z + t = + z + 2t = + 2z + 3t =
11 12 13 14
cu metoda lui Gauss. Utilizˆand algoritmul prezentat, se obt¸in succesiv tablourile x 1 2 3 4
y 2 3 4 1
z 3 4 1 2
t 4 1 2 3
1 11 12 13 14
x y z t 1 1 2 3 4 11 0 −1 −2 −7 −10 0 −2 −8 −10 −20 0 −7 −10 −13 −30
x y z t 1 1 2 3 4 11 0 −1 −2 −7 −10 0 0 −4 4 0 0 0 4 36 40
x y z t 1 1 2 3 4 11 0 −1 −2 −7 −10 . 0 0 −4 4 0 0 0 0 40 40 Sistemul obt¸inut x + 2y + 3z + 4t = 11 y + 2z + 7t = 10 z − t = 0 t = 1 are solut¸ia t = 1, z = 1, y = 1, x = 2. O consecint¸˘a a Teoremei 12.3.3 este Teorema 12.3.4 Dac˘ a matricea A ∈ Mn (R) satisface ipoteza Jn−1 atunci exit˘ a matricea inferior triunghiular˘ a L ¸si o matrice superior triunghiular˘ a U astfel ˆıncˆ at A = LU. Demonstrat¸ie. Din Teorema 12.3.3, rezult˘a existent˘a matricei M = Mn−1 . . . M1 pentru care M A = U este o matrice superior triunghiular˘a. Fiecare matrice Mk
163
12.3. METODA LUI GAUSS – FACTORIZAREA LU
0 . .. 0 T este de forma Mk = I − mk ek , cu vectorul mk de forma mk = (k) µk+1 . . . (k) µn Matricea M este nesingular˘a, deci A = M −1 U. Dar
.
−1 M −1 = (Mn−1 . . . M1 )−1 = M1−1 . . . Mn−1 =
1 (1) µ2 (1) µ3 .. .
n−1 n−1 Y X T T = (I + mk ek ) = I + mk ek = k=1 k+1 (1) µn−1 (1) µn
0 1 (2) µ3 .. .
..
(2) µn−1 (2) µn
1 (n−1) . . . µn 1
.
def = L.
Reprezentarea unei matrice sub forma unui produs de alte matrice se nume¸ste factorizare. Factorizarea dat˘a de Teorema 12.3.4 se nume¸ste factorizarea LU (Lower / Upper) sau LR (Left / Right) ¸si exprim˘a matricea A ca produsul dintre o matrice inferior triunghiular˘a cu o matrice superior triunghiular˘a. O matrice triunghiular˘a se nume¸ste matrice triunghiular˘a unitate dac˘a toate elementele diagonalei principale sunt egale cu 1. Printre factoriz˘arile LU distingem • factorizarea Doolittle, cu matricea inferior tringhiular˘a unitate – cazul Teoremei 12.3.4; • factorizarea Crout, cu matricea superior triunghiular˘a unitate. Observat¸ie 12.3.4 Pentru existent¸a factoriz˘arii LU, cerint¸a ca matricea A s˘a satisfac˘a ipoteza Jn−1 este esent¸ial˘a. De acest fapt, ne putem convinge prin urm˘atorul exemplu: Presupunem, prin absurd, existent¸a unei factoriz˘ari LU pentru 0 1 l1,1 0 u1,1 u1,2 = . 1 1 l2,1 l2,2 0 u2,2 Atunci au loc egalit˘a¸tile contradictorii l1,1 m1,1 = 0, l1,1 m1,2 = 1, l2,1 m1,1 = 1. Observat¸ie 12.3.5
164
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
Dac˘a A = LU, atunci rezolvarea sistemului algebric de ecuat¸ii liniare Ax = b revine la rezolvarea consecutiv˘a a dou˘a sisteme algebrice triunghiulare Ly = b U x = y.
Matrice de permutare. Not˘am prin Pi,j ∈ Mn (R) matricea
Pi,j
1
0 ..
=
← i ← j
. 1 0
1 ..
1
. 0 1 ..
0
. 1
↑
i
↑
j
pe care o numim matrice de permutare. Urm˘atoarele propriet˘a¸ti se stabilesc prin verificare direct˘a: 1. Dac˘a A ∈ Mn (R) atunci Pi,j A este matricea care se obt¸ine din A prin interschimbarea liniilor i ¸si j. 2. Dac˘a A ∈ Mn (R) atunci APi,j este matricea care se obt¸ine din A prin interschimbarea coloanelor i ¸si j. 2 =I 3. Pi,j
⇔
−1 Pi,j = Pi,j .
ˆIn lipsa ipotezei Jn−1 , la pasul k a construct¸iei din demonstrt¸ia Teoremei (k) 12.3.3, nu mai avem asigurat˘a cerint¸a ak,k 6= 0. (k)
Dac˘a ak,k = 0 ¸si exist˘a pe coloana k, sub elementul de pe diagonala principal˘ a un element nenul – fie acesta aik , k (k) – atunci interschimb˘am liniile k ¸si ik . Va
165
12.3. METODA LUI GAUSS – FACTORIZAREA LU
exista atunci o matrice Mk astfel ˆıncˆat (1) (1) (1) (1) a1,1 a1,2 . . . a1,k a1,k+1 (2) (2) (2) a2,2 . . . a2,k a2,k+1 .. .. .. . . . (k) (k) (k+1) (k) A = Mk Pk,ik A = aik ,k aik ,k+1 (k+1) 0 ak+1,k+1 .. .. . . (k+1) 0 an,k+1
(1)
...
a1,n
...
a2,n .. .
...
aik ,n
(2)
(k)
(k+1)
. . . ak+1,n .. . (k+1)
.
. . . an,n
(k)
Dac˘a ak,k = 0 ¸si sub acest element, pe coloana k, toate elementele sunt nule atunci alegem Mk = I (mk = 0) ¸si A(k+1) = A(k) . ˆIn general A(k+1) = Mk Pk A(k) , unde Pk este fie o matrice de permutare, fie matricea unitate. Potrivit rat¸ionamentului din demonstrat¸ia Teoremei 12.3.3, dup˘a n − 1 pa¸si vom avea Mn−1 Pn−1 . . . M2 P2 M1 P1 A = U (12.14) unde U este o matrice superior triangular˘a. Are loc egalitatea imediat˘a Mn−1 Pn−1 . . . M2 P2 M1 P1 A =
(12.15)
Mn−1 (Pn−1 Mn−2 Pn−1 ) (Pn−1 Pn−2 Mn−3 Pn−2 Pn−1 ) .. . (Pn−1 Pn−2 . . . P4 P3 M2 P3 P4 . . . Pn−2 Pn−1 ) (Pn−1 Pn−2 . . . P4 P3 P2 M2 P2 P3 P4 . . . Pn−2 Pn−1 ) Pn−1 Pn−2 . . . P3 P2 P1 A ˜ k = Pn−1 . . . Pk+1 Mk Pk+1 . . . Pn−1 , k ∈ {1, 2, . . . , n − 2} ¸si M ˜ n−1 = Notˆand M Mn−1 . relat¸ia (12.15) se rescrie sub forma ˜ n−1 M ˜ n−2 . . . M ˜ 2M ˜ 1 Pn−1 Pn−2 . . . P2 P1 A. Mn−1 Pn−1 . . . M2 P2 M1 P1 A = M (12.16) ˜ ˆ Matricea Mk are aceasi structur˘a ca ¸si matricea Mk . Intr-adev˘ar ˜ k = Pn−1 . . . Pk+1 (I − mk eT )Pk+1 . . . Pn−1 = M k = I − (Pn−1 . . . Pk+1 mk )(eTk Pk+1 . . . Pn−1 ) = I − m ˜ k eTk ,
166
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
unde m ˜ k = Pn−1 . . . Pk+1 mk are primele k componente egale cu 0. ˜ n−1 . . . M ˜ 2M ˜ 1 )−1 = Fie P = Pn−1 . . . P2 P1 ¸si matricea inferior triunghiular˘a L = (M −1 ˜ −1 −1 ˜ ˜ M1 M2 . . . Mn−1 . Din (12.14) ¸si (12.15) rezult˘a
Teorema 12.3.5 Pentru orice matrica A ∈ Mn (R) exist˘ a o matrice inferior triunghiular˘ a L, o matrice superior triunghiular˘ a U ¸si o matrice P, produs de matrice de permutare astfel ˆıncˆ at
P A = LU.
Exemplu. S˘a se deduc˘a factorizarea LU a matricei
A=
1 2 −1 3 2 2 4 −2 5 1 −1 −2 1 −3 −4 . 3 6 2 10 7 1 2 4 0 4
Ata¸s˘am matricei A tabloul
1 2 −1 3 2 2 4 −2 5 1 −1 −2 1 −3 −4 3 6 2 10 7 1 2 4 0 4
La fiecare pas k, componentele vectorului mk se vor ret¸ine ˆın tablou, ˆın coloana k, sub diagonala principal˘a, ˆın locul elementelor nule. Desf˘a¸surarea calculelor
167
12.4. FACTORIZAREA CHOLESKY
este k = 1 P1 = I
m1 =
k = 2 P2 = I
m2 = 0
0 2 −1 3 1
1 2 −1 3 1 1 2 3 −1 1
k = 3 P3 = P3,4
m3 =
0 0 0 0 1
1 2 3 −1 1
| | | |
2 −1 3 2 0 0 −1 −3 0 0 0 −2 0 5 1 1 0 5 −3 2
|
|
−1 3 2 0 −1 −3 | 5 1 1 | 0 0 −2 | 5 −3 2
2 0 0 0 0 2 0 0 0 0
|
−1 0 5 0 1
3 2 −1 −3 1 1 | 0 −2 | −4 1
|
−1 0 5 1 0
3 −1 1 −4 0
k = 4 P4 = P4,5 m4 = 0 1 2 3 1 −1
|
2 0 0 0 0
|
Atunci L=
1 2 3 1 −1
0 1 0 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
U =
P = P4,5 P3,4
12.4
1 0 0 0 1 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
2 −1 3 2 0 0 −1 −3 0 5 1 1 0 0 −4 1 0 0 0 −2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
Factorizarea Cholesky
ˆIn cazul matricelor simetrice are loc factorizarea
2 −3 1 1 | −2
168
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
Teorema 12.4.1 Dac˘ a A ∈ Mn (R) este o matrice simetric˘ a care satisface ipoteza Jn atunci exist˘ a o matrice inferior triunghiular˘ a K ∈ Mn (R) astfel ˆıncˆ at A = KK T . Demonstrat¸ie. Potrivit Teoremei 12.3.4 exist˘a matricele L, U inferior triunghiular˘a ¸si respectiv, superior triunghiular˘a astfel ˆıncˆat A = LU. Datorit˘a simetriei matricei A, au loc egalit˘a¸tile LU = A = AT = U T LT . Din ipoteza Jn rezult˘a c˘a |A| = |L| |U | = 6 0, ¸si ˆın consecint¸˘a matricele L, U sunt inversabile. Din egalitatea anterioar˘a deducem U (LT )−1 = L−1 U T . Membrul stˆang este o matrice superior triunghiular˘a iar membrul drept o matrice inferior triunghiular˘a. Prin urmare matricea D = U (LT )−1 = L−1 U T este o matrice diagonal˘a. Atunci U = DLT ¸si A = LDLT . Elementele diagonalei matricei D sunt pozitive. ˆIntr-adev˘ar dac˘a 0 .. d1 . T . .. D= , L xi = ei = 1 cu 1 ˆın linia i, .. dn . 0 atunci 0 < < Axi , xi >=< LDLT xi , xi √ d1 .. Definim F = . √ dn
>=< DB T xi , B T xi >=< Dei , ei >= di . ¸si K = LF. Deoarece F 2 = D avem
A = LDLT = LF 2 LT = KK T . Observat¸ie 12.4.1 Dac˘ a matricea A ∈ Mn (R) este strict pozitiv˘ a atunci ea satisface ipoteza Jn . Presupunem prin absurd c˘a exist˘a k ∈ {1, 2, . . . , n} astfel ˆıncˆat |Ak | = 0. ˆIn acest caz exist˘a x1 ∈ Rk , x1 6=0 astfel ˆıncˆ at Ak x1 = 0. Considerˆand partit¸ionarea maAk A1,2 x1 tricei A = ¸si x = ∈ Rn deducem relat¸iile contradictorii A2,1 A2,2 0 0 < < Ax, x >=< Ak x1 , x1 >= 0. Rezult˘a consecint¸a
169
12.5. REZOLVAREA SISTEMELOR TRIDIAGONALE
Teorema 12.4.2 Dac˘ a A ∈ Mn (R) este o matrice simetric˘ a ¸si strict pozitiv˘ a T atunci exist˘ a o matrice inferior triunghiular˘ a K ∈ Mn (R) astfel ˆıncˆ at A = KK . Scriind
K=
k1,1 k2,1 k3,1 .. .
0 k2,2 k3,2 .. .
0 0
... ... ... .. .
k3,3 .. .
0 0 0 .. .
kn,1 kn,2 kn,3 . . . kn,n din egalitatea A = KK T deducem Procedura Cholesky(A) =
12.5
formulele de recurent¸˘a ¸si algoritmul √ k1,1 = a1,1 pentru i = 2, n execut˘a ai,1 | ki,1 = k1,1 | dac˘a i > 2 atunci | | pentru j = 2, i − 1 execut˘a | | |
| |
|
| K
ki,i =
q
ki,j =
ai,i −
ai,j −
Pi−1
s=1
ki,s kj,s
kj,j
Pi−1
2 s=1 ki,s
Rezolvarea sistemelor tridiagonale
Numeroase probleme conduc la sisteme algebrice de forma a1 x1 + c1 x2 = d1 bi xi−1 + ai xi + ci xi+1 = di , 2 ≤ i ≤ n − 1, bn xn−1 + an xn = dn Matricea sistemului
a1 c1 0 0 b2 a2 c2 0 0 b3 a3 c3 ... ... ... ... 0 0 0 0 0 0 0 0
... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... ... ... ... . . . bn−1 an−1 cn−1 ... 0 bn an
(12.17)
are elementele nunule situate ˆın imediata vecin˘atate a diagonalei principale. O asemenea matrice se nume¸ste matrice band˘a. ˆIn cazul de fat¸˘a, lat¸imea benzii
170
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
este 3, matricea numindu-se tridiadonal˘a. Indic˘am o metod˘a eficient˘a relativ la mecesarul de memorie, pentru rezolvarea sistemului (12.17), numit˘a metoda dublului parcurs. Primul parcurs. Din prima ecuat¸ie a sistemului (12.17), explicitˆand pe x1 g˘asim x1 = − ac11 x2 + ad11 , adic˘a o relat¸ie de forma x1 = R2 x2 + S2 cu R2 = − ac11 , S2 = ad11 . Presupunˆand xi−1 = Ri xi + Si ¸si substituind ˆın a i−a ecuat¸ie a sistemului g˘asim bi (Ri xi + Si ) + ai xi + ci xi+1 = di de unde rezult˘a xi =
−ci d i − bi Si xi+1 + = Ri+1 xi+1 + Si+1 . ai + bi Ri ai + bi Ri
Am dedus relat¸iile de recurent¸˘a Ri+1 =
−ci ai + bi Ri
Si+1 =
d i − bi Si ai + bi Ri
i = 2, 3, . . . , n.
Al doilea parcurs. Din relat¸iile xn−1 = Rn xn + Sn bn xn−1 + an xn = dn deducem
d n − bn S n , an + bn Rn = Ri xi + Si calcul˘am succesiv xn−1 , xn−2 , . . . , x1 . xn =
¸si utilizˆand egalit˘a¸tile xi−1
12.6
Metode iterative
Fie A ∈ Mn (R), A = (ai,j )1≤i,j≤n ¸si b ∈ Rn , b = (bi )1≤i≤n . Pentru rezolvarea sistemului algebric de ecuat¸ii liniare Ax = b
(12.18)
consider˘am clasa de metode iterative B
uk+1 − uk + Auk = b, τ
(12.19)
unde B ∈ Mn (R) ¸si τ ∈ R sunt parametri care definesc metoda iterativ˘a. Pornind de la un element arbitrar u0 se construie¸ste un ¸sir (uk )k∈N unde fiecare element reprezint˘a o aproximat¸ie a solut¸iei sistemului algebric (12.18)
171
12.6. METODE ITERATIVE
(bineˆant¸eles dac˘a aceast˘a solut¸ie exist˘a). Astfel vorbim de metode iterative rezolvare a sistemului algebric (12.18). Prezint˘a interes s˘a preciz˘am condit¸iile ˆın care ¸sirul de aproximat¸ii (uk )k∈N converge c˘atre solut¸ia sistemului. Pentru matricea A introducem notat¸iile a1,1 0 .. . , ai,i D= .. . 0 an,n 0 0 0 a1,2 a1,3 . . . a1,n a2,1 0 0 a2,3 . . . a2,n .. .. . .. − + .. .. . A = . . . , A = .. 0 a . n−1,n 0 0 0 an,1 an,2 . . . an,n−1 0
de
.
Cazuri particulare. 1. Metoda Jacobi. Dac˘a ai,i 6= 0, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} atunci explicitˆand necunoscuta xi din ecuat¸ia i obt¸inem xi = −
n X ai,j j=1
ai,i
· xj +
bi ai,i
(12.20)
j6=i
Construim ¸sirul uk = (uk1 , . . . , xkn ) definit prin formulele de recurent¸˘a uk+1 i
=−
n X ai,j j=1
ai,i
· ukj +
bi ai,i
i ∈ {1, . . . , n},
(12.21)
j6=i
k ∈ N, iar prima aproximat¸ie u0 = (u01 , . . . , u0n ) este un element din Rn . Relat¸iile (12.21) se poate scrie sub forma ai,i (uk+1 − uki ) + i
n X
ai,j uki = bi
i ∈ {1, . . . , n}
j=1
sau sub forma matriceal˘a D(uk+1 − uk ) + Auk = b. ˆIn acest caz B = D ¸si τ = 1.
(12.22)
172
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
2. Metoda Gauss-Seidel. Relativ la (12.20), construim ¸sirul uk = (uk1 , . . . , xkn ) definit prin formulele de recurent¸˘a uk+1 = − 1
n X a1,j j=2
uk+1 = − i
i−1 X ai,j j=1
uk+1 = − n
n−1 X j=1
· ukj +
a1,1
ai,i
b1 a1,1
· uk+1 − j
(12.23)
n X ai,j k bi · uj + ai,i ai,i
2≤i≤n−1
j=i+1
an,j bn · uk+1 + j an,n an,n
k ∈ N ¸si U 0 ∈ Rn . Formulele de recurent¸˘a se pot rescrie sub forma i X
ai,j uk+1 j
+
j=1
n X
ai,j ukj = bi
i ∈ {1, . . . , n}
j=i+1
sau sub forma matriceal˘a (A− + D)uk+1 + A+ uk = b, ¸si (A− + D)(uk+1 − uk ) + Auk = b.
(12.24)
Astfel B = A− + D ¸si τ = 1. 3. Metoda relax˘ arii. Fie ω ∈ R∗ . Metoda relax˘arii este dat˘a de (D + ωA− )
uk+1 − uk + Auk = b, ω
(12.25)
adic˘a B = D + ωA− , τ = 1. Se observ˘a c˘a pentru ω = 1 se obt¸ine metoda Gauss-Seidel. Un rezultat simplu de convergent˘a valabil ˆın cazul metodei lui Jacobi ¸si a metodei lui Gauss- seidel este Teorema 12.6.1 Dac˘ a
Pn
j=1
|ai,j | < |ai,i |, i = 1, 2, . . . , n atunci ¸sirul de apro-
j6=i
ximat¸ii (uk )k∈N construit potrivit metodei Jacobi sau metodei Gauss - Seidel converge c˘ atre solut¸ia sistemului algebric (12.18). Demonstrat¸ie. Potrivit Propozit¸iei 11.1.15 matricea A este nesingular˘a, deci sistemul algebric de ecuat¸ii liniare (12.19) are o solut¸ie unic˘a. Cazul metodei Gauss-Seidel. Cazul metodei Jacobi se trateaz˘a asem˘an˘ator.
173
12.6. METODE ITERATIVE
Fie x = (x1 , . . . , xn ) solut¸ia sistemului (12.18) ¸si i acel indice pentru care |uk+1 − xi | = max |uk+1 − xj | = kuk+1 − xk∞ . i j 1≤j≤n
Sc˘azˆand relat¸ia i din (12.23) din relat¸ia corespunz˘atoare din (12.20) obt¸inem uk+1 i
− xi = −
i−1 X ai,j j=1
ai,i
(uk+1 j
n X ai,j k (u − xj ). − xj ) − ai,i j
(12.26)
j=i+1
Notˆand pi =
i−1 X ai,j |, | ai,i j=1
qi =
n X ai,j | | ai,i
j=i+1
din relat¸ia (12.26) deducem |uk+1 i
i−1 n X X ai,j ai,j k+1 − xi | ≤ | · |uj − xj | + | · |ukj − xj | ≤ | | ai,i ai,i j=1
j=i+1
≤ pi · |uk+1 − xi | + qi · max |ukj − xj |. i 1≤j≤n
Atunci kuk+1 − xk∞ = |uk+1 − xi | ≤ i
qi kuk − xk∞ 1 − pi
(12.27)
q
j Fie µ = max{ 1−p : j = 1, 2, . . . , n}. Atunci din ipoteza teoremei rezult˘a c˘a j 0 < µ < 1 ¸si utilizˆand succesiv relat¸iile de tip (12.27) obt¸inem:
kuk − xk∞ ≤ µkuk−1 − xk∞ ≤ µ2 kuk−2 − xk∞ ≤ . . . ≤ µn ku0 − xk∞ . Rezult˘a c˘a: lim kuk − xk∞ = 0,
k→∞
adic˘a convergent¸a ¸sirului (xk )k∈N c˘atre solut¸ia sistemului (12.18). Stabilim un rezultat de convergent¸˘a ˆın alte ipoteze. Teorema 12.6.2 Fie A ∈ Mn (R) o matrice simetric˘ a ¸si strict pozitiv˘ a. Dac˘ a τ k B > 2 A atunci ¸sirul de aproximat¸ii (u )k∈N construit prin metoda iterativ˘ a (12.19) concerge c˘ atre solut¸ia sistemului (12.18).
174
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
Demonstrat¸ie. Not˘am cu x solut¸ia sistemului (12.18) ¸si fie ek = uk −x. Sistemul (12.18) se poate scrie ca x−x B (12.28) + Ax = b. τ Sc˘azˆand (12.28) din (12.19) obt¸inem B
ek+1 − ek + Aek = 0 τ
∀k ∈ N.
(12.29)
Se verific˘a u¸sor egalitatea τ ek+1 − ek ek+1 − ek 2τ < (B − A) , > +kek+1 k2A = kek k2A . 2 τ τ
(12.30)
Matricea P = B − τ2 A fiind strict pozitiv˘a este tare pozitiv˘a, deci exist˘a m > 0 astfel ˆıncˆat < P x, x > ≥ mkxk22 , ∀x ∈ Rn . Din (12.30) deducem kek k2A − kek+1 k2A ≥ 2τ mk
ek+1 − ek 2 k2 = 2τ mkek+1 − ek k22 , τ
¸si ˆın consecint¸˘a ¸sirul (kek k2A )k∈N este convergent (fiind descresc˘ator ¸si m˘argint), de unde lim kek+1 − ek k2 = 0. k→∞
Din (12.29) deducem c˘a ek = −A−1 B
ek+1 − ek τ
¸si apoi kek k2 ≤
1 kA−1 k2 kBk2 kek+1 − ek k. |τ |
Ultima relat¸ie implic˘a limk→∞ ek = 0. Aplic˘am Teorema 12.6.2 ˆın cazul metodei lui Gauss – Seidel ¸si a metodei relax˘arii. Teorema 12.6.3 Dac˘ a A este o matrice simetric˘ a ¸si strict pozitiv˘ a atunci ¸situl de aproximat¸ii construit prin metoda Gauss – Seidel (12.23) converge c˘ atre solut¸ia sistemului (12.18). Demonstrat¸ie. Verific˘am condit¸ia B − τ2 A > 0. τ 1 1 B − A = D + (A− − A+ ). 2 2 2 ¸si atunci τ 1 1 < (B − A)y, y >= < Dy, y > + (< A− y, y > − < A+ y, y >). 2 2 2
175
˘ 12.7. NUMARUL DE CONDIT ¸ IONARE AL UNEI MATRICE
Deoarece A este simetric˘a,P A− = (A+ )T , rezult˘a c˘a < A− y, y >=< A+ y, y > . Totodat˘a < Dy, y >= ni=1 ai,i yi2 . Dac˘a ei este vectorul canonic avˆand 1 pe pozit¸ia i ¸si deoarece A > 0 avem < Aei , ei >= ai,i > 0, Astfel
∀i ∈ {1, 2, . . . , n}.
n
X τ < (B − A)y, y >= ai,i yi2 > 0, 2
∀y ∈ Rn \{0}.
i=1
Teorema 12.6.4 Dac˘ a ω ∈ (0, 2) ¸si A este o matrice simetric˘ a ¸si strict pozitiv˘ a atunci ¸situl de aproximat¸ii construit prin metoda relax˘ arii (12.25) converge c˘ atre solut¸ia sistemului (12.18). Demonstrat¸ie. Utilizˆand rezultatele din demonstrat¸ia Teoremei 12.6.3, g˘asim τ ω ω B − A = (1 − )D + (A− − A+ ). 2 2 2 de unde n
τ ω ω X < (B − A)y, y >= (1 − ) < Dy, y >= (1 − ) ai,i yi2 > 0, 2 2 2
∀y ∈ Rn \{0}.
i=1
12.7
Num˘ arul de condit¸ionare al unei matrice
Consider˘am urm˘atorul exemplu clasic (cf. SABAC I.G., 1983) 0.8642 x 1.2969 0.8648 = · 0.1440 0.2161 0.1441 y avˆand solut¸ia (2, −2) ¸si vectorul x = (0.9911, −0.4870). Calculˆand eroarea r = b − Ax obt¸inem r ' (−10−8 , 10−8 ). Cu toate acestea x nu este o aproximat¸ie bun˘a a solut¸iei sistemului algebric. Deci variat¸ii mici ale datelor (adic˘a a termenilor vectorului liber sau a elementelor matricei) pot furniza variat¸ii importante ale solut¸iei sistemului. Acest fenomen pune ˆın evident¸˘a caracterul instabil al rezolv˘arii unui sistem algebric de ecuat¸ii liniare. Punem ˆın evident¸˘a un indicator care influent¸eaz˘a stabilitatea solut¸iei unui sistem algebric de ecuat¸ii liniare. Avem nevoie de urm˘atoarele rezultate Teorema 12.7.1 Fie A ∈ Mn (R). Dac˘ a kAk < 1 atunci 1. Matricea In − A este inversabil˘ a;
176
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
2. (In − A)−1 = limn→∞ (In + A + A2 + . . . + An ); 3. k(In − A)−1 k ≤
1 1−kAk .
Teorema 12.7.2 Fie A, B ∈ Mn (R). Dac˘ a (i) matricea A este inversabil˘ a, (ii) kA − Bk <
1 kA−1 k
atunci 1. matricea B este inversabil˘ a; 2. kB −1 k ≤
kA−1 k . 1−kA−1 k kA−Bk
Demonstrat¸ie. Deoarece kIn − A−1 Bk = kA−1 (A − b)k ≤ kA−1 |k kA − Bk < 1, din Teorema 12.7.1 rezult˘a c˘a In − (In − A−1 B) = A−1 B este inversabil˘a ¸si k(A−1 B)−1 k ≤
1 1−
kA−1 k
kA − Bk
.
Atunci (A−1 B)−1 A−1 = (AA−1 B)−1 = B −1 , kB −1 k = k(A−1 B)−1 A−1 k ≤ k(A−1 B)−1 k kA−1 k ≤
kA−1 k . 1 − kA−1 k kA − Bk
Presupunem c˘a ˆın locul rezolv˘arii sistemului algebric de ecuat¸ii liniare Ax = b se rezolv˘a sistemul perturbat (A + δA)y = b + δb, unde δA ∈ Mn (R) ¸si δb ∈ Rn . Dac˘a y − x = δx atunci din (A + δA)(x + δx) = b + δb deducem (A + δA)δx = δb − δAx.
(12.31)
Teorema 12.7.3 Dac˘ a A este o matrice inversabil˘ a ¸si kδAk < matricea A + δA este inversabil˘ a ¸si kδxk kA| kA−1 k ≤ kxk 1 − kA−1 k kδAk
kδAk kδbk + kAk kbk
.
1 kA−1 k
atunci
177
˘ 12.7. NUMARUL DE CONDIT ¸ IONARE AL UNEI MATRICE
Demonstrat¸ie. Dac˘a B = A + δA atunci kB − Ak <
1 . kA−1 k
Potrivit Teoremei −1
k 12.7.2 matricea A + δA este inversabil˘a ¸si k(A + δA)−1 k ≤ 1−kAkA −1 k kδAk . Din (12.31) deducem c˘a δx = (A + δA)−1 (δb − δAx) de unde
kδxk ≤ k(A + δA)−1 k(kδbk + kδAk kxk) ≤
kA−1 k (kδbk + kδAk kxk). 1 − kA−1 k kδAk
ˆImp˘a¸tind prin kxk ¸si utilizˆand inegalitatea kbk = kAxk ≤ kAk kxk g˘asim kδAk kδxk kA| kA−1 k kδbk ≤ ≤ + kxk 1 − kA−1 k kδAk kAk kAk kxk kA| kA−1 k kδAk kδbk ≤ . + 1 − kA−1 k kδAk kAk kbk Num˘arul ℵ(A) = ||A|| · ||A−1 || influent¸eaz˘a stabilitatea rezolv˘arii unui sistem algebric de ecuat¸ii liniare A x = b ˆın sensul c˘a cu cˆat ℵ(A) este mai apropiat de 1 cu atˆat efectul perturb˘arii solut¸iei este mai mic. Num˘arul ℵ(A) se nume¸ste num˘ar de condit¸ionare a matricei A ˆın raport cu norma matriceal˘a considerat˘a. ˆIn cazul exemplului de mai sus 0.1441 −0.8648 −1 8 A = 10 · −0.2161 1.2969 ¸si ˆın consecint¸˘a, g˘asim ℵ(A) ' 3.3 · 108 , ceea ce pune ˆın evident¸˘a caracterul de slab˘a stabilitate a sistemului dat.
Capitolul 13
Transformarea Householder Transformata Householder reprezint˘a instrumentul cu care se vor obt¸ine rezultatele acestui capitol: descompunerea QR a unei matrice, reducerea la forma bidiagonal˘a ¸si la forma Hessenberg a unei matrice.
13.1
Transformata Householder
Fie u ∈ Rn , kuk2 =
√
2 ¸si matricea H = In − uuT .
Teorema 13.1.1 Matricea H este simetric˘ a ¸si ortogonal˘ a. Demonstat¸ie. Au loc egalit˘a¸tile H T = In − (uuT )T = In − (uT )T uT = In − uuT = H ¸si H T H = H 2 = In − 2uuT + (uuT )2 = In − 2uuT + u(uT u)uT = I, deoarece uT u = kuk22 = 2. Teorema 13.1.2 Fie x = (xi )1≤i≤n ∈ Rn astfel ˆıncˆ at kxk2 = 1 ¸si e1 = Rn .
Dac˘ au=
√x±e1 1±x1
atunci kuk2 =
√
0 2 ¸si Hx = ∓e1 .
Demonstat¸ie. Prima egalitate rezult˘a din kuk22 = uT u =
1 0 .. .
(xT ± eT1 )(x ± e1 ) √ = 1 ± x1 178
∈
179
13.1. TRANSFORMATA HOUSEHOLDER
=
kxk22 ± (xT e1 + eT1 x) + ke1 k22 2 ± 2x1 √ =√ = 2. 1 ± x1 1 ± x1
Apoi √ xT ± eT1 kxk2 ± eT1 x 1 ± x1 uT x = √ x = √2 =√ = 1 ± x1 1 ± x1 1 ± x1 1 ± x1 ¸si ˆın consecint¸˘a Hx = (In − uuT )x = x − u(uT x) = x −
√
1 ± x1 u = ∓e1 .
1 not˘am Hx = In − uuT . Matricea Hx Pentru x ∈ Rn , kxk2 = 1 ¸si u = √x±e 1±x1 este numit˘a matricea transform˘arii Householder asociat˘a vectorului x. Din teorema anterioar˘a deducem consecint¸a
Teorema 13.1.3 Dac˘ a x ∈ Rn , x 6= 0 atunci x x = ∓kxk2 e1 . H kxk
(13.1)
2
x Demonstat¸ie. Dac˘a z = kxk atunci kzk2 = 1 ¸si din Teorema 13.1.2 g˘asim 2 Hz z = ∓e1 , de unde Hz x = ∓kxk2 e1 . x +σe ˆIn Teorema 13.1.3 vectorul u ce define¸ste matricea Hz va fi u = qkxk2 x 1 iar 1+σ kxk1 2 1 , dac˘a x1 ≥ 0 . σ= −1 , dac˘a x1 < 0 Relat¸ia (13.1) devine x x = −σkxk2 e1 . (13.2) H kxk 2
Observat¸ie 13.1.1 Din (13.2) rezult˘ a xT H = −σkxk2 eT1
(13.3)
Implementarea transform˘ arii Householder Fie H = In − uuT o matrice Householder ¸si X = [x1 . . . xk ] = (xi,j )1≤i≤n,1≤j≤k ∈ Mn,k (R). Evalu˘am num˘arul de adun˘ari necesare calculului transform˘arii Householder HX. Dac˘a calcul˘am ˆın prealabil matricea H = (hi,j )1≤i,j≤n ¸si apoi produsul HX atunci sunt necesare n adun˘ari pentru un element al matricei produs n X
hi,s xs,j ,
s=1
deci un total de n2 k adun˘ari. Mult mai eficient este urm˘atorul mod de efectuare a calculelor. Calcul˘am ˆın prealabil uT X = uT [x1 . . . xk ] = [uT x1 . . . uT xk ] = v T ,
180
CAPITOLUL 13. TRANSFORMAREA HOUSEHOLDER
pentru care efectu˘am nk adun˘ari, ¸si apoi HX = (In − uuT )X = X − u(uT X) = X x1,1 − u1 v1 . . . x1,k − u1 vk .. .. = . .
− uv T =
xn,1 − u1 vk . . . xn,k − un vk pentru care se mai fac nk adun˘ari. Astfel num˘arul total al adun˘arilor este 2nk.
13.2
Descompunerea QR
Stabilim urm˘atorul rezultat important Teorema 13.2.1 Dac˘ a X ∈ Mn,k (R) atunci exist˘ a o matrice ortogonal˘ a Q ∈ Mn (R) ¸si o matrice superior triunghiular˘ a R ∈ Mk (R) astfel ˆıncˆ at R T Q X= (13.4) 0 }n − k linii. Demonstat¸ie. Induct¸ie matematic˘a dup˘a k, num˘arul coloanelor matricei X. Pentru k = 1, X = [x1 ], cu x1 ∈ Rn . Dac˘a x1 6= 0, utilizˆand transformarea Householder are loc egalitatea −σkx1 k2 0 H x1 x1 = −σkx1 k2 e1 = .. kx1 k2 ← n − 1 linii cu 0. . 0 Dac˘a x1 = 0 atunci Q = In ¸si R = 0. S˘a presupunem ca proprietatea teoremei are loc ˆın cazul unei matrice cu k − 1 coloane. Fie X ∈ Mn,k (R) ¸si partit¸ionarea ei X = [x1 X2 ], unde x1 ∈ Rn ¸si X2 ∈ Mn,k−1 (R). Dac˘a x1 6= 0 ¸si H1 = H x1 atunci kx1 k2
H1 X = [H1 x1 H1 X2 ] =
T ρ1,1 r1,2 0 X2,2
unde ρ1,1 = −σkx1 k2 , r1,2 ∈ Rk−1 , X2,2 ∈ Mn−1,k−1 (R). Potrivit ipotezei induct¸iei exist˘a o matrice ortogonal˘a Q2 ∈ Mn−1 a (R)¸si o matrice superior triunghiular˘ R 2 R2 ∈ Mk−1 (R) astfel ˆıncˆat QT2 X2,2 = Atunci 0 }n − k linii. T ρ1,1 r1,2 1 0 1 0 H1 X = = 0 QT2 0 QT2 0 X2,2
181
13.2. DESCOMPUNEREA QR
T ρ1,1 r1,2 = 0 = R2 0 0 T ρ1,1 r1,2 1 0 T . ¸si ˆın consecint¸˘a Q = ¸si R = 0 QT2 0 R2 Relat¸ia (13.4) se nume¸ste descompunerea QR a matricei X.
T ρ1,1 r1,2 0 QT2 X2,2
Observat¸ie 13.2.1 Descompunerea QR este unic˘ a abstract¸ie f˘ acˆ and de semnele coloanelor lui Q ¸si ale liniiilor lui R. Factorizarea QR. Fie X ∈ Mn,k (R) ¸si descompunerea QR R QT X = 0 }n − k linii.
(13.5)
unde Q ∈ Mn (R) este o matrice ortogonal˘a iar R ∈ Mk (R) este o matrice superior triunghilar˘a. Partit¸ion˘am matricea Q ˆın Q = [ QX |{z}
Q⊥ |{z}
]
k coloane n−k coloane
cu QX ∈ Mn,k (R), Q⊥ ∈ Mn,n−k (R). Deoarece QT Q = In , ˆınmult¸ind (13.5) la stˆanga cu matricea Q obt¸inem R R = QX R. = [QX Q⊥ ] X=Q 0 0 Astfel am dedus Teorema 13.2.2 Dac˘ a X ∈ Mn,k (R) atunci exist˘ a o matrice ortogonal˘ a QX ∈ Mn,k (R) ¸si o matrice superior triunghiular˘ a R ∈ Mk (R) astfel ˆıncˆ at X = QX R.
(13.6)
Relatia (13.6) se nume¸ste factorizarea QR a matricei X. Observat¸ie 13.2.2 Fie X = [x1 . . . xk ] ∈ Mn,k (R) ¸si factorizarea X = QX R cu r1,1 r1,2 . . . r1,n 0 r2,2 . . . r2,n QX = [q1 . . . qk ] R= . .. .. .. .. . . . 0 0 . . . rk,k
.
182
CAPITOLUL 13. TRANSFORMAREA HOUSEHOLDER
Egalˆand coloanele factoriz˘arii deducem x1 = r1,1 q1 x2 = r1,2 q1 + r2,2 q2 .. . xk = r1,k q1 + r2,k q2 + . . . + rk,k qk de unde span{x1 , . . . , xk } = span{q1 , . . . , qk }. Observat¸ie 13.2.3 Factorizarea QR a matricei X = [x1 , . . . , xk ] rezult˘a aplicˆand procedeul de ortogonalizare Gram - Schmidt asupra vectorilor x1 , . . . , xk . Construirea unei matrice ortogonal˘ a cu prima coloan˘ a fixat˘ a. Fie u1 ∈ R, ku1 k = 1. Interpretˆand vectorul x1 ca o matrice n × 1, potrivit descompunerii QR exist˘a o matrice ortogonal˘a Q = [q1 q2 . . . qk ] ∈ Mn (R) ¸si num˘arul real R astfel ˆıncˆat R 0 QT u1 = . (13.7) .. ← n − 1 zerouri 0 dar
QT u1 =
q1T q2T .. . qkT
u1
de unde deducem c˘a qiT u1 = 0, pentru i ∈ {2, . . . , k}. Astfel [u1 q2 . . . qk ] este matricea ortogonal˘a dorit˘a.
13.3
Elemente de teoria celei mai bune aproximat¸ii ˆın Rn
Fie submult¸imea Y ⊂ Rn , x ∈ Rn ¸si k · k o norm˘a ˆın Rn . Problema celei mai bune approximat¸ii a lui x prin elementele submult¸imii Y const˘a ˆın determinarea unui element y0 ∈ Y – bineˆınt¸eles dac˘a el exist˘a astfel ˆıncˆat ky0 − xk = inf ky − xk. y∈Y
ˆIn cadrul considerat urmeaz˘a s˘a preciz˘am:
183
˘ APROXIMAT 13.3. CEA MAI BUNA ¸ IE
• condit¸ii ˆın care problema celei mai bune aproximat¸ii are solut¸ie; • condit¸ii ˆın care solut¸ia este unic˘a; • caracterizare a solut¸iei. Teorema 13.3.1 Problema celei mai bune aproximat¸ii prin elementele submult¸imii Y ⊂ R are cel put¸in o solut¸ie pentru orice x ∈ R dac˘ a ¸si numai dac˘ a Y este ˆınchis˘ a. Demonstrat¸ie. Necesitatea. Fie x ∈ Y . Exist˘a y0 ∈ Y astfel ˆıncˆat ky0 − xk = inf ky − xk = 0. y∈Y
Prin urmare x = y0 ∈ Y, adic˘a Y = Y . Suficient¸a. Fie x ∈ Rn , r > 0 astfel ˆıncˆat Y ∩ B(x, r) 6= 0, unde B(x, r) = {y ∈ Rn : ky − xk ≤ r} ¸si funct¸ia f : R → R definit˘a prin formula f (y) = ky − xk. Funct¸ia f fiind continu˘a, potrivit teoremei lui Weierstass, ˆı¸si atinge minimul pe mult¸imea compact˘a Y ∩ B(x, r), adic˘a exist˘a y0 ∈ Y ∩ B(x, r) astfel ˆıncˆat f (y0 ) ≤ f (y) sau ky0 − xk ≤ ky − xk, ∀y ∈ Y ∩ B(x, r). Dac˘a y ∈ Y ¸si ky −xkr atunci ky −xk > r ≥ ky0 −xk. Astfel y0 este elementul de cea mai bun˘a aproximat¸ie a lui x prin elementele mult¸imii Y. ˆIn cele ce urmeaz˘a, norma spat¸iului liniar Rn va fi norma euclidian˘a k · k2 . Teorema 13.3.2 Dac˘ a Y ⊂ R este o submult¸ime convex˘ a atunci pentru orice n x ∈ R exist˘ a cel mult un element de cea mai bun˘ a aproximat¸ie prin elementele submult¸imii Y. Demonstrat¸ie. Presupunem prin absurd c˘a exist˘a x ∈ Rn pentru care exist˘a cel put¸in dou˘a elemente diferite y1 , y2 ∈ Y de cea mai bun˘a aproximat¸ie a lui x prin elementele mult¸imii Y : ky1 − xk = ky2 − xk = min ky − xk = d. y∈Y
Datorit˘a convexit˘a¸tii y = 12 (y1 + y2 ) ∈ Y ¸si utilizˆand egalitatea paralelogramului deducem 1 1 d2 ≤ ky − xk22 = k (y1 − x) + (y2 − x)k22 = 2 2 1 1 1 1 = 2 k (y1 − x)k22 + k (y2 − x)k22 − k (y1 − x) − (y2 − x)k22 = 2 2 2 2 1 = d2 − ky1 − y2 k22 < d2 , 4 de unde concluzia teoremei. Au loc urm˘atoarele consecint¸e:
184
CAPITOLUL 13. TRANSFORMAREA HOUSEHOLDER
Teorema 13.3.3 Dac˘ a Y ⊂ R este o submult¸ime ˆınchis˘ a ¸si convex˘ a atunci penn tru orice x ∈ R exist˘ a un singur element de cea mai bun˘ a aproximat¸ie prin elementele submult¸imii Y. Teorema 13.3.4 Dac˘ a Y este un subspat¸iu liniar a lui R atunci pentru orice x ∈ Rn exist˘ a un singur element de cea mai bun˘ a aproximat¸ie prin elementele submult¸imii Y. Elementul de cea mai bun˘a aproximat¸ie se poate caracteriza prin Teorema 13.3.5 Fie Y o submult¸ime nevid˘ a, convex˘ a ˆın Rn ¸si x ∈ Rn . y0 ∈ Y este elementul de cea mai bun˘ a aproximat¸ie a lui x prin elementele mult¸imii Y dac˘ a ¸si numai dac˘ a < y0 − x, y0 − y >≤ 0
∀y ∈ Y.
(13.8)
Demonstrat¸ie. Necesitatea. Presupunem prin absurd c˘a exist˘a y ∈ Y astfel 0 −x,y0 −y> ˆıncˆat < y0 − x, y0 − y > > 0. Fie 0 < λ < min{1, 2= = ky0 − xk22 + 2λ < y0 − x, y − y0 > +λ2 ky − y0 k22 = = ky0 − xk22 − λky − y0 k22 (
2 < y0 − x, y0 − y > } − λ) < ky0 − xk22 , ky0 − yk22
ceea ce contrazice proprietatea de cea mai bun˘a aproximat¸ie a lui y0 . Suficeient¸a. Pentru orice y ∈ Y, folosind (13.8) g˘asim ky0 − xk22 =< y0 − x, y0 − x >=< y0 − x, (y0 − y) + (y − x) >= =< y0 − x, y0 − y > + < y0 − x, y − x >≤< y0 − x, y − x > . Aplicˆand inegalitatea Cauchy-Buniakovsky-Schwartz inegalitetea anterioar˘a devine ky0 − xk22 ≤ ky0 − xk2 ky − xk2 . Dac˘a ky0 − xk2 6= 0 atunci simplificˆand obt¸inem ky0 − xk2 ≤ ky − xk2 , iar dac˘ a ky0 − xk2 = 0 atunci proprietatea normei implic˘a ky0 − xk2 = 0 ≤ ky − xk2 . Teorema 13.3.6 Fie Y un subspat¸iu liniar ˆın Rn ¸si x ∈ Rn . y0 ∈ Y este elementul de cea mai bun˘ a aproximat¸ie a lui x prin elementele subspat¸iului Y dac˘ a ¸si numai dac˘ a < y0 − x, y >= 0 ∀y ∈ Y. (13.9) adic˘ a y0 − x ⊥ Y sau y0 − y ∈ Y ⊥ .
185
˘ APROXIMAT 13.3. CEA MAI BUNA ¸ IE
Demonstrat¸ie. Condit¸ia (13.8) se poate rescrie sub forma < y0 − x, y0 >≤< y0 − x, y >
∀y ∈ Y.
Fixˆand y ∈ Y, pentru orice n ∈ N∗ , ±ny ∈ Y ¸si luˆand ˆın inegalitatea anterioar˘a y = ±ny se obt¸in 1 < y0 − x, y0 > ≤ < y0 − x, y > n 1 − < y0 − x, y0 > ≥ < y0 − x, y > . n Pentru n tinzˆand la infinit, g˘asim < y0 − x, y >= 0. Not˘am prin PY (x) mult¸imea elementelor de cea mai bun˘a aproximat¸ie a lui x prin elementele submult¸imii Y (PY : X → P(Y )). Fie x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn . Definim = span{x1 , . . . , xk },
Y
X = [x1 . . . xk ] ∈ Mn,k (R). Fie factorizarea QR a matricei X, X = QX R. Not˘am: P
= QX QTX ∈ Mn (R),
P⊥ = In − P. Teorema 13.3.7 Au loc relat¸iile: 1. 2. 3. 4. 5.
Px ∈ Y ∀x ∈ Rn ; Px = x ⇔ x∈Y; P 2x = P x ∀x ∈ Rn ; Px = 0 ⇔ x ∈ Y ⊥; PY (x) = P x. ∀x ∈ Rn .
Demonstrat¸ie. Presupunem c˘a QX = [q1 . . . qk ] ¸si Y = span{q1 , . . . , qk }. 1. Fie x ∈ Rn . Concluzia rezult˘a din T T q1 q1 x k .. .. X T T P x = QX QX x = [q1 . . . qk ] . x = [q1 . . . qk ] . = (qj x)qj ∈ Y. qkT
qkT x
j=1
(13.10)
186
CAPITOLUL 13. TRANSFORMAREA HOUSEHOLDER
2. Dac˘a x ∈ Y atunci exist˘a numerele reale c1 , . . . , ck astfel ˆıncˆat
c1 x= cj xj ⇔ x = Xc, c = ... . j=1 ck k X
Atunci P x = QX QTX Xc = QX (QTX QX )Rc = QX Rc = Xc = x. a 4. Dac˘a x ∈ Y ⊥ atunci qjT x = 0, ∀j ∈ {1, . . . , k} ¸si din (13.10) rezult˘a c˘ P x = 0. P Reciproc, din P x = 0 = kj=1 (qjT x)qj , deducem c˘a qjT x = 0, ∀j ∈ {1, . . . , k} sau QTX x = 0, adic˘a x ∈ Y ⊥ . 5. Pentru a ar˘ata c˘a P x este elementul de cea mai bun˘a aproximat¸ie a lui x prin elementele subspat¸iului Y este suficient s˘a verific˘am condit¸ia x − P x ∈ Y ⊥ ⇔ P (x − P x) = 0. Referitor la P⊥ din Teorema 13.3.7 rezult˘a Teorema 13.3.8 Au loc afirmat¸iile 1. P⊥ x ∈ Y ⊥ ∀x ∈ Rn ; 2. P⊥ x = 0 ⇔ x∈Y; 3. P⊥ x = x ⇔ x ∈ Y ⊥;
Demonstrat¸ie. 1. Observ˘am c˘a P P⊥ = P (In − P ) = 0. Observat¸ie 13.3.1 Din egalitatea In = P + P⊥ , pentru orice x ∈ Rn deducem x = P x + P⊥ x; kxk22 = kP xk22 + kP⊥ xk22
Observat¸ie 13.3.2 Dac˘ a ¸si partit¸ion˘ am Q = [ k
QT X
QX |{z} coloane
=
R 0
este descompunerea QR a matricei X
Q⊥ ] atunci P⊥ = Q⊥ QT⊥ . |{z} n−k coloane
187
˘ 13.4. METODA CELOR MAI MICI PATRATE
13.4
Metoda celor mai mici p˘ atrate
Dˆandu-se perechile de puncte (xiP , yi ) ∈ R2 , i ∈ {1, 2, . . . , n} se cere determ minarea funct¸iei F (x, c1 , . . . , cm ) = k=1 ck ϕk (x), unde constantele c1 , . . . , cm sunt alese astfel ˆınˆat sa minimizeze funct¸ionala Φ(λ1 , . . . , λm ) =
n X
[F (xi , λ1 , . . . , λm ) − yi )2 .
(13.11)
i=1
S-a ar˘atat ˆın §7.1 c˘a dac˘a ϕ1 (x1 ) . . . .. U = .
ϕ1 (xn ) .. . ϕm (x1 ) . . . ϕm (xn )
y1 y = ... yn
c1 c = ... cm
atunci c este solut¸ia sistemului algebric de ecuat¸ii liniare U U T c = U y.
(13.12)
ˆIn cele ce urmeaz˘a vom reg˘asi (13.12) pe o alt˘a cale, vom calcula apriori valoarea funct¸ionalei (13.11) ¸si vom obt¸ine o alt˘a form˘a a sistemului (13.12), ˆın care matricea sistemului este superior triunghiular˘a. Introducem notat¸iile ϕi (x1 ) n vi = ... i ∈ {1, . . . , m}, ∈R , ϕi (xn )
Y = span{v1 , . . . , vm }
X = [v1 . . . vm ] = U T .
λ1 .. Dac˘a λ = . atunci funct¸ionala (13.11) se scrie λm Φ(λ) = ky − Xλk22 ,
(13.13)
a c˘arei minimizare revine la cea mai bun˘a aproximare a lui y prin elementele subspat¸iului Y. R T Fie Q X = descompunerea QR a matricei X, parti¸ctionarea Q = 0 [ QX Q⊥ ] ¸si operatorii liniari (matricele) |{z} |{z} m coloane n−n coloane P = QX QTX P⊥ = In − P = Q⊥ QT⊥ .
188
CAPITOLUL 13. TRANSFORMAREA HOUSEHOLDER
Are loc egalitatea X = QX R (13.6). Atunci, utilizˆand rezultatele Teoremelor 13.3.7 ¸si 13.3.8, g˘asim ky − Xλk22 = kP (y − Xλ)k22 + kP⊥ (y − Xλ)k22 = kP y − Xλ)k22 + kP⊥ yk22 . (13.14) Elementul de cea mai bunua aproximat¸ie y0 = Xλ a lui y prin elementele subspat¸iului Y trebuie s˘a satisfac˘a ecuat¸ia (pentru minimizarea funct¸ionalei (13.14) Xλ = P y
(13.15)
ˆın care caz, valoarea funct¸ionalei obiectiv va fi kP⊥ yk22 = kQ⊥ QT⊥ yk22 = kQT⊥ yk22 . ˆInmult¸ind (13.15) cu X T g˘asim X T Xλ = X T P y = (QX R)T QX QTX y = RT QTX y = X T y, adic˘a U U T λ = U y. Altfel, ˆınmult¸ind (13.15) cu QTX g˘asim QTX QX Rλ = QTX QX QTX y, de unde Rλ = QTX y. Algoritmul determin˘arii lui c const˘a din 1. Se formeaz˘a matricea X; 2. Se determin˘a factorizarea QR a matricei X, X = QX R; 3. Se rezolv˘a sistemul Rc = QTX y.
13.5
Bidiagonalizarea unei matrice
O alt˘a aplicat¸ie a transform˘arii Householder este posibilitatea bidiagonaliz˘arii unei matrice ˆın sensul Teorema 13.5.1 Dac˘ a A ∈ Mn (R) atunci exist˘ a matricele ortogonale U, V ∈ A ∈ Mn (R) astfel ˆıncˆ at V T AU este o matrice bidiagonal˘ a. Demonstrat¸ie. Indic˘am un algoritm prin care se construiesc matricele ortogonale U ¸si V care reduc matricea A la o matrice bidiagonal˘a. Succesiv, pentru k = 1, 2, . . . , n − 1 ˆınmult¸im la stˆanga ¸si apoi la dreapta cu transformarea Householder care anuleaz˘a elementele situate sub elementul de pe pozit¸ia (k, k) ¸si respectiv la dreapta elementului de pe pozit¸ia (k, k + 1).
189
13.5. BIDIAGONALIZAREA UNEI MATRICE
Pentru simplitate presupunem A ∈ M4 (R), ˆın reprezentarea lui Wilkinson × × × × × × × × A= × × × × . × × × × Evolut¸ia calculelor ˆın acest caz este k=1 × × × × 0 × × × (1) (1) H4 A = 0 × × × , H4 A 0 × × ×
I1 (1)
H3
Indicele superior corespunde pasului k iar indicele matricei. k=2 × × ! 0 × I1 (1) H4 A = (2) 0 0 H3 0 0 !
I1
(1)
(2) H3
H4 A
!
I1
I2
(1) H3
(2)
H2
× 0 0 × × × . × × × × × ×
× 0 = 0 0
!
inderior indic˘a dimensiunea 0 0 × × , × × × × × ! 0 = 0 0
× 0 0 × × 0 . 0 × × 0 × ×
k=3 × × 0 0 0 × × 0 = 0 0 × × . 0 0 0 ×
!
I2
!
I1
(3) H2
(1)
(2) H3
H4 A
Astfel UT =
I1
!
I2
(1) H3
!
I2
!
(2)
H2
!
I1
(1)
H4
(2)
(3)
H3
H2
¸si V =
!
I1 (1)
H3
Observat¸ie 13.5.1 Prima coloan˘a a matricei V este e1 .
!
I2 (2)
H2
.
190
13.6
CAPITOLUL 13. TRANSFORMAREA HOUSEHOLDER
Reducerea unei matrice la forma Hessenberg
ˆIn mod asem˘an˘ator demonstr˘am Teorema 13.6.1 Dac˘ a A ∈ Mn (R) atunci exist˘ a o matrice ortogonal˘ aQ∈A∈ Mn (R) astfel ˆıncˆ at QT AQ este o matrice Hessenberg. Demonstrat¸ie. Utilizˆand transformata Householder indic˘am un algoritm prin care se construie¸ste matricea ortogonal˘a Q ¸si care reduce matricea A la o matrice Hessenberg. Succesiv, pentru k = 1, 2, . . . , n − 2 ˆınmult¸im la stˆanga ¸si la dreapta cu transformarea Householder care anuleaz˘a elementele coloanei k cuprinse ˆıntre liniile k + 2 ¸si n. Pentru simplitate presupunem A ∈ M4 (R), ˆın reprezentarea lui Wilkinson × × × × × × × × A= × × × × . × × × × Evolut¸ia calculelor ˆın acest caz este k=1 × × × ! ! I1 I1 × × × A = (1) (1) 0 × × H3 H3 0 × ×
× × . × ×
k=2 × × × × × × × × = 0 × × × . 0 0 × ×
!
I2
!
I1
(2) H2
ˆIn consecint¸˘a Q =
I1
A
(1) H3
(2)
H2
(2)
H2 !
I1 (1)
H3
!
I2
(1) H3
!
I2
!
.
Capitolul 14
Calculul numeric al valorilor ¸si vectorilor proprii 14.1
Forma normal˘ a Schur
Rezultatul principal al capitolului este teorema lui Schur potrivit c˘areia orice matrice A ∈ Mm (C) este similar˘a cu o matrice superior triunghiular˘a. Obligatoriu, aceast˘a matrice are pe diagonal˘a valorile proprii ale matricei init¸iale. Aceasta matrice superior triunghiular˘a este forma normal˘a Schur a matricei A. Scopul algoritmului QR va fi tocmai reducerea unei matrice la forma sa normal˘a Schur. Teorema 14.1.1 (Schur) Dac˘ a A ∈ Mn (C) atunci exist˘ a o matrice unitar˘ aU∈ Mn (C) astfel ˆıncˆ at U H AU = T, unde T este o matrice superior triunghiular˘ a avˆ and pe diagonal˘ a valorile proprii ale lui A, care pot ap˘ area ˆın orice ordine. Demonstrat¸ie. Induct¸ie dup˘a n, dimensiunea matricei. Pentru n = 1, matricea A = (a) are valoarea proprie a ¸si pentru U = (1) are loc egalitatea U H AU = (a) = T. S˘a presupunem proprietatea adev˘arat˘a ˆın cazul matricelor de ordin n − 1. Fie A ∈ Mn (C) avˆand perechea proprie (λ1 , v1 ), cu kv1 k2 = 1. Exist˘a o matrice unitar˘a Q avˆand v1 pe prima coloan˘a. Dac˘a Q = [v1 V2 ] atunci H H v1 v1 Av1 v1H AV2 H Q AQ = A [v1 V2 ] = = V2H V2H Av1 V2H AV2 λ1 v1H AV2 λ 1 hH 1 = = , 0 V2H AV2 0 B unde h1 ∈ Cn−1 ¸si B ∈ Mn−1 (C). 191
192
CAPITOLUL 14. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII
Potrivit iporezei induct¸iei exist˘a o matrice unitar˘a W ∈ Mn−1 (C) astfel ˆıncˆ at = S este o matrice superior triunghiular˘a avˆand pe diagonal˘a valorile proprii ale lui B. Valorile proprii ale lui B sunt totodat˘a ¸si valorile proprii ale matricei A. ˆIntr-adev˘ar, deoarece A ¸si QH AQ sunt matrice similare, avem λ − λ1 −hH 1 = (λ − λ1 )|λIn−1 − B|. |λIn − A| = 0 λIn−1 − B
W H BW
Dac˘a U = [v1 V2 W ] atunci v1H v1H Av1 v1H AV2 W H U AU = A[v1 V2 W ] = = W H V2H W H V2H Av1 W H V2H AV2 W =
λ 1 hH 1 W 0 S
= T.
Observat¸ie 14.1.1 Prima coloan˘a a matricei U este vectorul propriu v1 ce corespunde valorii proprii λ1 situat˘a ˆın colt¸ul nord-vest al matricei T. Reamintim c˘a aceast˘a pereche proprie a fost aleas˘a ˆın mod arbitrar. Pentru o matrice real˘a are loc urm˘atoarea versiune a teoremei 14.1.1. Teorema 14.1.2 Dac˘ a A ∈ Mn (R) atunci exist˘ a o Mn (R) astfel ˆıncˆ at T1,1 T1,2 . . . T1,k T2,2 . . . T2,k U T AU = .. .. . . Tk,k
matrice ortogonal˘ a U ∈ ,
unde Ti,i este un bloc de dimensiune 1 cont¸inˆ and o valoare proprie real˘ a sau un bloc de dimensiune 2 corespunzˆ and unei perechi de valori proprii complex conjugate. Demonstrat¸ie. Proced˘am recursiv, deosebind cazul unei perechi propri real˘ a de una complex˘a. Cazul unei perechi proprii reale (λ, x) ∈ R×Rn . Presupunem kxk2 = 1. Exist˘ a o matrice ortogonal˘a V avˆand x drept prima coloan˘a V = [x, V˜ ], V˜ ∈ Mn,n−1 (R). Au loc egalit˘a¸tile T x λ xT AV˜ def λ mT T V AV = = = (14.1) 0 B V˜ T 0 V˜ AV˜
193
˘ SCHUR 14.1. FORMA NORMALA
n Cazul unei perechi propriicomplexe (α + iβ, x + iy) ∈ C × C , α, β ∈ R, x, y ∈ α β Rn . Notˆand M = egalitatea A(x + iy) = (α + iβ)(x + iy) se scrie −β α
A[x y] = [x y]M. Fie T
V [x y] =
R 0
(14.2)
descompunerea QR a matricei [x y] ∈ Mn,2 (R), R ∈ M2 (R). Partit¸ionˆand matricea V = [ V1 V2 ], din (14.3) g˘asim |{z} |{z} 2 col n−2 col R R [x y] = V = [V1 V2 ] = V1 R. 0 0
(14.3)
(14.4)
Egalitatea (14.2) devine AV1 R = V1 RM.
(14.5) def def Vectorii x, y ∈ Rn sunt liniar independent¸i. Vectorii proprii u = x + iy, v = x − iy corespunzˆand valorilor proprii distincte α + iβ ¸si respectiv α − iβ sunt liniar independent¸i. Egalitatea ax + by = 0 implic˘a u+v u−v a − ib a + ib a +b = u+ v = 0, 2 2i 2 2 de unde rezult˘a a ± ib = 0, sau a = b = 0. R este inversabil˘a. Notˆand pentru moment V1 = [v1 v2 ] ¸si R = Matricea p r din (14.4) g˘asim q t x = pv1 + qv2 y = rv1 + tv2 . Presupunˆand prin absurd det(R) = 0 ⇔ pt − qr = 0, din egalit˘a¸tile anterioare deducem tx − qy = (tp − qr)v1 = 0. Prin urmare t = q = 0. Analog, rz −py = 0 implic˘a p = r = 0, de unde x = y = 0, cea ce este imposibil. Astfel relat¸ia (14.5) devine AV1 = V1 RM R−1 = V1 S. Matricea S = RM R−1 are acelea¸si valori proprii ca matricea M, adic˘a α ± iβ. La fel ca ¸si ˆın cazul real, calcul˘am T T V1 V1 T V AV = A[V1 V2 ] = [AV1 AV2 ] = (14.6) V2T V2T T V1 S V1T AV2 def S C = [V1 S AV2 ] = = V2T 0 V2T AV2 0 B Pornind de la (14.1) sau (14.6) rat¸ionamentul se reia pentru matricea B.
194
14.2
CAPITOLUL 14. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII
Diagonalizarea unei matrice
Din teorema 14.1.1 se deduce imediat urm˘atorul rezultat privind reducerea unei matrice la o forma diagonal˘a Teorema 14.2.1 Dac˘ a A ∈ Mm (C) este o matrice hermitian˘ a atunci exist˘ a o matrice unitar˘ a U ∈ Mm (C) astfel ˆıncˆ at U H AU este o matrice diagonal˘ a, avˆ and pe diagonal˘ a valorile proprii ale matricei A, ce apar ˆıntr-o ordine neprecizat˘ a. Demonstrat¸ie. Potrivit Teoremei 14.1.1 exist˘a matricea unitar˘a U ∈ Mm (C) astfel ˆıncˆat T = U H AU este o matrice superior triunghiular˘a avˆand pe diagonal˘ a H valorile proprii ale matricei A, ˆıntr-o ordine neprecizat˘a. Deoarece T = T, matricea T este o matrice diagonal˘a. Demonstrat¸ia rezultatului de diagonalizare a unei matrice oarecare face apel la ecuat¸ia matriceal˘a Sylvester: Dˆandu-se matricele B ∈ Mn−s (C), C ∈ Ms (C) ¸si H ∈ Mn−s,s (C) s˘a se determine matricea X ∈ Mn−s,s (C) astfel ˆıncˆat BX − XC + H = 0.
(14.7)
Un caz ˆın care putem rezolva ecuat¸ia matriceal˘a a lui Sylvester este Teorema 14.2.2 Dac˘ a 1. C este o matrice superior triunghiular˘ a; 2. elementele situate pe diagonala principal˘ a a matricei C nu sunt valori proprii ale matricei B atunci ecuat¸ia matriceala Sylvester (14.7) are solut¸ie unic˘ a. Demonstrat¸ie. Indic˘am o metod˘a de rezolvare a ecuat¸iei (14.7). Dac˘a punem ˆın evident¸˘a matricea C, coloanele matricelor X = [x1 x2 . . . xs ] ¸si H = [h1 h2 . . . hs ] atunci ecuat¸ia (14.7) devine c1,1 c1,2 . . . c1,s 0 c2,2 . . . c2,s B[x1 x2 . . . xs ] − [x1 x2 . . . xs ] . .. = −[h1 h2 . . . hs ], . . . . . . 0
0
. . . cs,s
echivalent cu ¸sirul de sisteme algebrice de ecuat¸ii liniare (B − c1,1 In−s )x1 = −h1 (B − c2,2 In−s )x2 = −h2 + c1,2 x1 .. . (B − cs,s In−s )xs = −hs + c1,s x1 + c2,s x2 + . . . + cs−1,s xs−1 .
195
14.2. DIAGONALIZAREA UNEI MATRICE
Ipoteza teoremei implic˘a |B − ci,i In−s | = 6 0, ∀ i = 1, 2, . . . , s, adic˘a oricare din sistemele algebrice de ecuat¸ii liniare de mai sus au solut¸ie unic˘a. ˆIn cazul unei matrice oarecare are loc urm˘atorul rezultat de diagonalizare Teorema 14.2.3 Dac˘ a A ∈ Mm (C) are valorile proprii distincte dou˘ a cˆ ate dou˘ a λ1 , . . . , λk atunci exist˘ a o matrice nesingular˘ a X ∈ Mn (C) astfel ˆıncˆ at T1,1 T1,2 . . . T1,k T2,2 . . . T2,k X −1 AX = .. , .. . . Tk,k unde Tj,j este o matrice superior triunghiular˘ a avˆ and λi pe diagonal˘ a, j ∈ {1, 2, . . . , k}. Demonstrat¸ie. Potrivit teoremei (14.1.1) exist˘a o matrice unitar˘a U ∈ Mn (C) astfel ˆıncˆat T1,1 T1,2 . . . T1,k T2,2 . . . T2,k U H AU = T = (14.8) .. , .. . . Tk,k unde Tj,j este o matrice superior triunghiular˘a avˆand pe diagonal˘a acea¸si valoare proprie λj . Matricea X se construie¸ste recursiv. Rescriem matricea T sub forma B H T = 0 C ¸si alegem la primul pas B = T1,1 ¸si X = U. Presupunem B ∈ Mn−s (C), C ∈ Ms (C) ¸si H ∈ Mn−s,s (C). Matricea C este superior triunghiular˘a iar elementele ei de pe diagonala principal˘a nu sunt valori proprii ale matricei B. Exist˘a o matrice P ∈ Mn−s,s (C) astfel ˆıncˆat I P B 0 B H I −P . = (14.9) 0 I 0 C 0 C 0 I ˆIntr-adev˘ar, deoarece I −P B H I P B BP − P C + H = . 0 I 0 C 0 I 0 C relat¸ia (14.9) revine la ecuat¸ia matriceal˘a Sylvester BP − P C + H = 0. Totodat˘a −1 I P I −P = . Relat¸ia (14.9) devine 0 I 0 I −1 I P I P B 0 −1 X AX = , 0 I 0 I 0 C
196
CAPITOLUL 14. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII
deci X :=
I P 0 I
U. ˆIn continuare se reia procedeul de mai sus pentru ma-
tricea C. Observat¸ie 14.2.1 Prima coloan˘ a a matricei U este un vector propriu corespunz˘ ator valorii proprii din colt¸ul nord - vest al matricei T. Matricea X p˘ astreaz˘ a nealterat˘ a aceast˘ a coloan˘ a.
14.3
Descompunerea valorii singulare
Teorema 14.3.1 Dac˘ a X ∈ Mn,k (C), n ≥ k atunci exist˘ a matricele ortogonale U ∈ Mn (C) ¸si V ∈ Mk (C) astfel ˆıncˆ at Σ U H XV = , (14.10) 0 unde Σ = diag(σ1 , . . . , σk ), σ1 ≥ σ2 ≥ . . . , ≥ σk . Demonstrat¸ie. Matricea X H X ∈ Mk (C) este hermitian˘a ¸si pozitiv˘a. Potrivit Teoremei de diagonalizare 14.2.1 exist˘a matricea ortogonal˘a V ∈ Mk (C) astfel ˆıncˆat λ1 . . . 0 def (14.11) V H X H XV = ... . . . ... = Σ, 0
. . . λk
unde λ1 , . . . , λk sunt valorile proprii nenegative ale matricei X H X, ap˘arˆand ˆıntr-o ordine neprecizat˘a. Fie λi = σi2 , i ∈ {1, . . . , k}. Presupunˆand c˘a σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σr > 0 = σr+1 = . . . = σk , definim
(r ≤ k).
σ1 . . . 0 Σ1 = diag(σ1 , . . . , σr ) = ... . . . ... . 0 . . . σr
Astfel Σ=
Σ1 0 0 0 r k−r
r k−r ,
Σ2 =
Σ21 0
0 0
λ1 . . . 0 = ... . . . ... . 0 . . . λk
Partit¸ion˘am matricea V ˆın [V1 V2 ], cu r ¸si respectiv k − r coloane.
197
˘ A UNEI MATRICE 14.4. RAZA SPECTRALA
Egalitatea (14.11) se rescrie ˆın H
H
V X XV = =
V1H V2H
X H X[V1 V2 ] =
V1H X H XV1 V1H X H XV2 V2H X H XV1 V2H X H XV2
=
Σ21 0 0 0
(14.12) .
A¸sadar V2H X H XV2 = 0 ¸si V1H X H XV1 = Σ21 . Dac˘a punem ˆın evident¸˘a coloanele matricei XV2 = [q1 . . . qk−r ], atunci din egalitatea H kq1 k22 . . . q1H qk−r q1 .. .. .. V2H X H XV2 = ... [q1 . . . qk−r ] = =0 . . . H 2 qk−r q1 . . . kqk−r k2 qk−r deducem q1 = . . . = qk−r = 0, adic˘a XV2 = 0. Definim U1 = XV1 Σ−1 ∈ Mn,r (C). Deoarece U1H U1 = Σ− 1V1H X H XV1 Σ−1 = I, matricea U1 este ortogonal˘a. Din definit¸ia matricei U1 g˘asim Σ1 = U1H XV1 . Fie U o matrice ortogonal˘a ale c˘arei prime r coloane coincid cu U1 , U = [u1 U2 ] (justificat¸i existent¸a matricei U !). Atunci H H U1 XV1 U1H XV2 U1 H = X[V1 V2 ] = U XV = U2H XV1 U2H XV2 U2H
=
14.4
Σ1 0 0 0
σ1 . . . 0 = ... . . . ... . 0 . . . σk
Raza spectral˘ a a unei matrice
Se nume¸ste raza spectral˘a a matricei A ∈ Mm (C) num˘arul ρ(A) = max{|λ| : λ valoare proprie a matricei A}. Pentru orice norm˘a de matrice are loc Teorema 14.4.1 Are loc inegalitatea ρ(A) ≤ kAk, care poate fi ¸si strict˘ a.
198
CAPITOLUL 14. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII
Demonstrat¸ie. Fie (λ, x) o pereche proprie a matricei A. Din relat¸iile |λ| kxk = kλxk = kAxk ≤ kAk kxk rezult˘a |λ| ≤ kAk, deunde ρ(A) ≤ kAk. 0 1 Matricea nenul˘a are singura valoare proprie λ = 0, deci ρ(A) = 0 0 0 < kAk. p Teorema 14.4.2 Dac˘ a A ∈ Mm (C) atunci kAk2 = ρ(AH A). Demonstrat¸ie. Matricea AH A este hermitian˘a ¸si pozitiv˘a. Dac˘a (λ, x) este o pereche proprie matricei AH A, atunci g˘asim kAxk22 =< Ax, Ax >=< AH Ax, x >=< λx, x >= λkxk22 ¸si ˆın consecint¸˘a λ ≥ 0. Not˘am prin λ0 raz˘a spectral˘a a matricei AH A. Potrivit Teoremei 14.2.1 exist˘a o matrice unitar˘a Q ∈ Mn (C) astfel ˆıncˆat QH AH AQ = D este o matrice diagonal˘a, avˆand pe diagonal˘a valorile proprii ale matricei AH A. Dac˘a λ1 0 y1 . n H .. D= , x ∈ C , Q x = y = .. . 0
λn
yn
atunci au loc egalit˘a¸tile kAxk22 =< Ax, Ax >=< x, AH Ax >=< QQH x, AH Ax >= =< QH x, QH AH Ax >=< y, QH AH AQy >=< y, Dy >=
n X
λj |yi |2 .
j=1
Potrivit definit¸iei lui λ0 , din egalitatea de mai sus rezult˘a kAxk22 ≤ λ0
n X
|yi |2 = λ0 kyk22 = λ0 kQyk22 = λ0 kxk22 ,
j=1
√
sau kAxk2 ≤ λ0 kxk2 . ˆIn consecint¸˘a kAk2 ≤
p
λ0 .
(14.13)
Dac˘a x0 este un vector propriu corespunz˘ator valorii proprii λ0 , AH Ax0 = λ0 x0 , atunci kAx0 k22 =< Ax0 , Ax0 >=< x0 , AH Ax0 >=< x0 , λ0 x0 >= λ0 kx0 k22
199
˘ A UNEI MATRICE 14.4. RAZA SPECTRALA
sau kAx0 k2 =
√
λ0 kx0 k2 . Apoi
√
λ0 kx0 k2 = kAx0 k2 ≤ kAk2 kx0 k2 , de unde p λ0 ≤ kAk2 . (14.14)
Din (14.13) ¸si (14.14) rezult˘a egalitatea cerut˘a. ˆIn cazul unei matrice simetrice, din teorema anterioar˘a deducem Teorema 14.4.3 Dac˘ a A ∈ Mm (R) este o matrice simetric˘ a atunci kAk2 = ρ(A). Demonstrat¸ie. ˆIntr-adev˘ar, au loc relat¸iile q p p kAk2 = ρ(AT A) = ρ(A2 ) = [ρ(A)]2 = ρ(A). ˆIn vederea determin˘arii condit¸iei ˆın care, pentru o matrice A ∈ Mn (C), are loc limk→∞ Ak = 0 stabilim Teorema 14.4.4 Pentru orice matrice A ∈ Mn (C) ¸si orice ε > 0 exist˘ a o norm˘ a k · kA,ε astfel ˆıncˆ at kAkA,ε ≤ ρ(A) + ε. Demonstrat¸ie. Potrivit Teoremei 14.1.1 astfel ˆıncˆat t1,1 t1,2 0 t2,2 U H AU = T = . .. .. . 0
0
exist˘a o matrice unitar˘a U ∈ Mn (C) . . . t1,n . . . t2,n .. .. . . . . . tn,n
= Λ + S,
unde Λ=
t1,1 0 . . . 0 0 t2,2 . . . 0 .. .. .. .. . . . . 0 0 . . . tn,n
,
S=
0 t1,2 . . . t1,n 0 0 . . . t2,n .. .. .. .. . . . . 0 0 ... 0
.
Deoarece matricele A ¸si T sunt similare, ele au acelea¸si valori propri. ˆIn consecint¸˘a ρ(A) = ρ(T ) = ρ(Λ). 1 0 ... 0 0 η ... 0 Fie 0 < η < 1 ¸si Dη = . . . .. . Din egalitatea . . . . . . . n−1 0 0 ... η 0 η t1,2 η 2 t1,3 . . . η n−1 t1,n 0 0 η t2,3 . . . η n−2 t2,n .. .. .. .. Dη−1 SDη = ... . . . . 0 0 0 . . . η tn−1,n 0 0 0 ... 0
200
CAPITOLUL 14. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII
g˘asim kDη−1 SDη k∞ =
max
1≤i≤n−1
n X
|η j−i ti,j | ≤ η
j=i+1
n X
|ti,j | = ηkSk∞
j=i+1
ˆIn continuare kDη−1 T Dη k∞ = kDη−1 ΛDη + Dη−1 SDη k∞ = kΛ + Dη−1 SDη k∞ ≤ ≤ kΛk + kDη−1 SDη k∞ ≤ ρ(A) + ηkSk∞ . Presupunem c˘a η satisface ˆın plus condit¸ia ηkSk∞ < ε. Pentru orice matrice B ∈ Mn (C) definim kBkA,ε = kDη−1 U H BU Dη k∞ . Atunci kAkA,ε = kDη−1 U H AU Dη k∞ = kDη−1 T Dη k∞ ≤ ρ(A) + ηkSk∞ < ρ(A) + ε. Teorema 14.4.5 Pentru orice matrice A ∈ Mn (C) ¸si orice ε > 0 exist˘ a un num˘ ar τ > 0 astfel ˆıncˆ at ρk (A) ≤ kAk ≤ τ [ρ(A) + ε]k .
Demonstrat¸ie. Deoarece ˆın spat¸ii liniare finit dimensionale, oricare dou˘a norme sunt echivalente, exist˘a τ > 0 astfel ˆıncˆat kBk ≤ τ kBkA,ε ,
∀B ∈∈ Mn (C),
unde k · k este o norm˘a de matrice iar k · kA,ε este norma introdus˘a de Teorema 14.4.4. ˆIn concluzie ρk (A) = ρ(Ak ) ≤ kAk ≤ τ kAk kA,ε ≤ τ kAkkA,ε < τ [ρ(A) + ε]k . Din teorema anterioar˘a rezult˘a imediat Teorema 14.4.6 Fie A ∈ Mn (C). Are loc echivalent¸a lim Ak = 0 ⇔ ρ(A) < 1.
k→∞
201
14.5. METODA PUTERII
14.5
Metoda puterii
O matrice A ∈ Mn (C) este cu valoare proprie dominant˘a dac˘a valorile proprii – eventual renotate – satisfac inegalit˘a¸tile |λ1 | > |λ2 | ≥ . . . ≥ |λn |. ˆIn cazul unei matrice cu valoare proprie dominant˘a, metoda puterii determin˘a valoarea proprie dominant˘a ˆımpreun˘a cu un vector propriu corespunz˘ator. Fie u0 ∈ Cn . Metoda puterii const˘a ˆın construirea ¸sirurilor (uk )k∈N ¸si (λk1 )k∈N definite prin formulele uk+1 = σk Auk , (14.15) unde (σk )k∈N este un ¸sir numeric fixat apriori, ¸si respectiv λk1 =
< Auk , uk > kuk k22 .
(14.16)
Teorema 14.5.1 Au loc formulele uk = σk−1 σk−2 . . . σ0 Ak u0 , < Ak+1 u0 , Ak u0 > λk1 = . kAk u0 k22
(14.17) (14.18)
Demonstrat¸ie. Formula (14.17) se demonstreaz˘a prin induct¸ie matematic˘a, iar (14.18) rezult˘a din (14.16) ¸si (14.17) λk1 =
< σk−1 σk−2 . . . σ0 Ak+1 u0 , σk−1 σk−2 . . . σ0 Ak u0 > < Ak+1 u0 , Ak u0 > = . 2 kσk−1 σk−2 . . . σ0 Ak u0 k2 kAk u0 k22 k
Uzual, se alege σk = kAu1k k2 , ˆın care caz uk = kAAk uu0k . 0 2 Rezultatele de convergent¸˘a ale metodei puterii sunt Teorema 14.5.2 Fie A ∈ Mn (C) o matrice nedefectiv˘ a ¸si cu valoare proprie dominant˘ a avˆ and valorile proprii |λ1 | > |λ2 | ≥ . . . ≥ |λn | cu vectorii proprii P corespunz˘ atori x1 , x2 , . . . , xn , ce formeaz˘ a o baz˘ a ˆın Cn . Dac˘ a u0 = ni=1 ci xi , cu atre λ1 . c1 6= 0, atunci ¸sirul (λk1 )k∈N construit prin formula (14.16) converge c˘
14.6
Algoritmul QR
Algoritmul QR reduce o matrice la forma normal˘a Schur. Cele dou˘a matrice fiind similare, elementele de pe diagonala formei normale Schur sunt valorile proprii ale matricei.
202
CAPITOLUL 14. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII
Fie A ∈ Mn (C). Ideea algoritmului este: dac˘a λ ∈ C ¸si q ∈ Cn sunt o valoare proprie, respectiv un vector propriu la stˆanga ale matricei A, kqk2 = 1, q H A = λq H , atunci exist˘a o matrice unitar˘a Q, avˆand q pe ultima coloan˘a, Q = (Q∗ , q), pentru care H H H Q∗ Q∗ AQ∗ Q∗ Aq Q∗ AQ∗ Q∗ Aq H Q AQ = A(Q∗ , q) = = . qH q H AQ∗ q H Aq 0 λ ˆIn felul acesta s-a zerorizat ultima coloan˘a pˆan˘a la elementul diagonal, pozit¸ie pe care este valoarea proprie λ. Problema legat˘a de aceast˘a schem˘a este aceea c˘a nu se cunoa¸ste q. Totodat˘a se dore¸ste ca, ˆın forma normal˘a Schur, valorile proprii s˘a apar˘a ˆın ordine descresc˘atoare a modulului. Astfel pe pozit¸ia (n, n) se va afla o valoare proprie de modul minim, sau de modul maxim pentru matricea A−1 (ˆın cazul inversabilit˘a¸tii acesteia).1 Pentru determinarea lui q se va efectua o iterat¸ie cu metoda puterii aplicat˘ a matricei (A − kIn )−1 , aproximat¸ia init¸ial˘a fiind (u0 :=)en . Astfel qH =
eTn (A − kIn )−1 keTn (A − kIn )−1 k2 .
(14.19)
k este un parametru ales astfel ˆıncˆat matricea A − kIn s˘a fie inversabil˘a. Matricea unitar˘a Q, avˆand q pe ultima coloan˘a, se determin˘a din factorizarea QR a matricei A − kIn = QR. Pentru a justifica acest fapt, deducem egalit˘a¸tile r1,1 r1,2 . . . r1,n 0 r2,2 . . . r2,n T eTn R = eTn . .. = rn,n en , .. .. . . 0 QH
0
. . . rn,n
= R(A − kIn )−1 ,
q = Qen . Atunci, utilizˆand aceste relat¸ii, avem q H = eTn QH = eTn R(A − kIn )−1 = rn,n eTn (A − kIn )−1 .
(14.20)
1 Deorece kqk2 = kq H k2 = 1, din egalitatea anterior˘a deducem c˘a rn,n = keT (A−kI −1 k . n) 2 n Substituind ˆın (14.20) se reg˘ase¸ste (14.19), adic˘a Q este matricea dorit˘a. Produsul QH AQ rezult˘a din
RQ = QH (A − kIn )Q = QH AQ − kIn
⇒
QH AQ = RQ + kIn .
Includem aceste calcule ˆıntr-un ¸sir de aproximat¸ii Aj+1 = QH j Aj Qj cu A0 = A. Algoritmul pentru calculul lui Aj+1 este: 1
Pentru o matrice inversabil˘ a, valorile proprii ale inversei sunt inversele valorilor proprii ale matricei.
203
14.6. ALGORITMUL QR
P1 Se alege kj astfel ˆıncˆat matricea Aj − kj In s˘a fie inversabil˘a; P2 Se calculeaz˘a factorizarea QR: Aj − kj In = Qj Rj ; P3 Aj+1 = Rj Qj + kj In . Pentru stabilirea unui rezultat de convergent¸˘a omitem pentru moment indicele j de iterat¸ie. S˘a presupunem ˆ ˆ h B h B ˆ . Aj = A = Aj+1 = A = gH µ gˆH µ ˆ ¸si
B − kIn−1 h Aj − kj In = A − kIn = = gH µ−k P f S r = = QR, eH π 0 ρ P f S r ˆ . Aj+1 − kj In = A − kIn = RQ = eH π 0 ρ
(14.21)
(14.22)
Deoarece Q este o matrice p˘atrat˘a ortogonal˘a, din egalit˘a¸tile kf k22 + |π|2 = keH k22 + |π|2 = 1 deducem kf k2 = kek2 ¸si |π| ≤ 1. ˆIn ipoteza ∃S −1
¸si
kS −1 k2 ≤ σ
(14.23)
din expresia blocului sud-vest a produsului QR (14.21) g H = eH S rezult˘a keH k2 = kg H S −1 k2 ≤ kg H k2 kS −1 k2 ≤ σkg H k2 sau kek2 ≤ σkgk2 .
(14.24)
Egalˆand expresiile situate ˆın colt¸urile sud-est ale egalit˘a¸tii QH (A − kIn ) = R, ce rezult˘a din (14.21), g˘asim fHh + π ¯ (µ − k) = ρ, de unde |ρ| ≤ kf H k2 khk2 + |¯ π ||µ − k| ≤ σkgk2 khk2 + |µ − k|.
(14.25)
Egal˘am expresiile situate ˆın colt¸ul sud-vest a egalit˘a¸tii (14.22) ¸si g˘asim gˆH = din care rezult˘a
ρeH ,
kˆ g k2 = kˆ g H k2 = |ρ|keH k2 ≤ (σkgk2 khk2 + |µ − k|)σkgk2 =
204
CAPITOLUL 14. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII
= σ 2 kgk22 khk + σkgk2 |µ − k|, dup˘a ce am utilizat pe rˆand (14.25) ¸si (14.24). Revenind la indici de iterat¸ie, inegalitatea anterioar˘a se scrie kgj+1 k2 ≤ σj2 kgj k22 khj k + σj kgj k2 |µj − kj |.
(14.26)
ˆInt˘arind ipoteza (14.23) are loc urm˘atorul rezultat de convergent¸˘a Teorema 14.6.1 Dac˘ a kj = µj ,
kSj−1 k2 ≤ σ,
∃j0 ∈ N
astfel ˆıncˆ at
khj k2 ≤ η,
∀j ∈ N,
σ 2 ηkgj0 k2 < 1
atunci limj→∞ gj = 0. Demonstrat¸ie. ˆIn ipotezele teoremei, inegalitatea (14.26) devine kgj+1 k2 ≤ σ 2 ηkgj k22 .
(14.27)
Prin induct¸ie matematic˘a ar˘at˘am kgj0 +k k2 ≤ (σ 2 ηkgj0 k2 )k kgj0 k2 ,
∀k ∈ N∗ .
Pentru k = 1, din (14.27) avem kgj0 +1 k2 ≤ σ 2 ηkgj0 k22 = (σ 2 ηkgj0 k2 )kgj0 k. Dac˘a kgj0 +k−1 k2 ≤ (σ 2 ηkgj0 k2 )k−1 kgj0 k2 ≤ kgj0 k2 atunci kgj0 +k k2 ≤ σ 2 ηkgj0 +k−1 k22 ≤ σ 2 ηkgj0 k2 kgj0 +k−1 k2 ≤ (σ 2 ηkgj0 k2 )k kgj0 k2 . Din inegalitatea demonstrat˘a urmeaz˘a imediat limj→∞ gj = 0.
R˘ ad˘ acinile unui polinom ca valorile proprii ale unei matrice Putem determina r˘ad˘acinile polinomului P (x) = xn +a1 xn−1 +. . .+an−1 x+an calculˆand valorile proprii ale matricei −a1 −a2 −a3 . . . −an−1 −an 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 (14.28) A= . .. .. .. . . 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 1 0
205
14.6. ALGORITMUL QR
Polinomul caracteristic ata¸sat matricei A este λ + a1 a2 a3 −1 λ 0 0 −1 λ f (λ) = |λIn − A| = .. . 0 0 0 0 0 0
. . . an−1 an ... 0 0 ... 0 0 .. . .. . . ... λ 0 . . . −1 λ
Succesiv, ˆınmult¸im coloanele 1, 2, . . . , n − 1 cu λ ¸si ˆıl adun˘am la coloana al˘aturat˘a din dreapta. ˆIn final obt¸inem f (λ) = 2 3 2 λ + a1 λ + a1 λ + a2 λ + a1 λ + a2 λ + a3 . . . λn−1 + a1 λn−2 + . . . + an−2 λ + an−1 P (λ) 0 0 ... 0 0 −1 0 −1 0 ... 0 0 . . = .. . .. . . 0. 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... −1 0 Dezvoltˆand acest determinant dup˘a ultima coloan˘a g˘asim f (λ) = P (λ).
Probleme ¸si teme de seminar P 14.1 S˘ a se arate c˘ a polinomul caracteristic al unei matrice triunghiulare simetrice a1 b1 0 . . . 0 0 0 b1 a2 b2 . . . 0 0 0 0 b2 a3 . . . 0 0 0 T = . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . bn−2 an−1 bn−1 0 0 0 . . . bn−1 an bn este f (λ) = fn (λ) unde (fk (λ))0≤k≤n este definit 1 λ − a1 fk (λ) = (λ − ak )fk−1 (λ) − b2k−1 fk−2 (λ)
prin formula de recurent¸˘ a pentru k = 0 pentru k = 1 pentru k ∈ {2, . . . , n}
Utilizˆ and acest rezultat s˘ a se dezvolte o metod˘ a pentru calculul polinomului caracteristic al unei matrice simetrice. Indicat¸ie. Se aduce matricea simetric˘a la forma Hessenberg.
Capitolul 15
Descompunerea valorii singulare (DVS) 15.1
Descompunerea valorii singulare
Teorema 15.1.1 Dac˘ a X ∈ Mn,k (C), n ≥ k atunci exist˘ a matricele unitare U ∈ Mn (C) ¸si V ∈ Mk (C) astfel ˆıncˆ at Σ H , U XV = (15.1) 0 unde Σ = diag(σ1 , . . . , σk ), σ1 ≥ σ2 ≥ . . . , ≥ σk . Numerele σi se numesc valori propri ale matricei X iar coloanele matricelor U ¸si V se numesc vectori singulari la stˆanga ¸si respectiv la dreapta ale matricei X. Prezent˘am dou˘a demonstrat¸ii ale acestui rezultat. Demonstrat¸ia 1. Not˘am prin r indicele pentru care σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σr > 0 = σr+1 = . . . = σk . Distingem dou˘a cazuri. Cazul X = 0. ˆIn acest caz U = In , V = Ik , Σ = 0, r = 0. Cazul X 6= 0. Sfera unitate ˆın Ck fiind compact˘a, exist˘a v1 ∈ Ck astfel ˆıncˆat kXk2 = sup kXvk2 = kXv1 k2 . kvk2 =1 Xv1 Fie u1 = kXk ∈ Cn . Exist˘a matricele unitare U1 ∈ Mn (C) ¸si V1 ∈ Mk (C) avˆand 2 pe prima coloan˘a vectorii u1 ¸si respectiv v1 :
˜1 ] U1 = [u1 U
V1 = [v1 V˜1 ]. 206
207
15.1. DESCOMPUNEREA VALORII SINGULARE
Definim Σ
(1)
=
U1H XV1
Atunci
=
uH 1 ˜H U 1
X[v1 V˜1 ] =
˜ uH uH 1 Xv1 1 X V1 H H ˜ ˜ U1 Xv1 U1 X V˜1
.
(15.2)
def H uH 1 Xv1 = u1 kXk2 u1 = kXk2 = σ1 , ˜1H u1 = 0. ˜1H Xv1 = kXk2 U U
H si U ˜ ˜ H X V˜1 = B expresia matricei Σ(1) devine Notˆand uH 1 X V1 = w ¸ 1 σ1 w H (1) Σ = . 0 B1
ˆInmult¸irea matricei X la stˆanga ¸si la dreapta cu cˆate a matrice unitar˘a p˘astreaz˘a norma euclidian˘a (Propozit¸ia 11.1.7) kΣ(1) k2 = kXk2 = σ1 . Apoi kΣ
(1)
σ1 w
k22
=k
σ12 + wH w B1 w
k22 = (σ12 + wH w)2 + kB1 wk22 ≥ (σ12 + kwk22 )2 .
Pe de alt˘a parte 2 σ1 σ1 + w H w k22 = σ12 (σ12 + kwk22 ). kΣ(1) k22 ≤ kΣ(1) k22 k B1 w w Prin urmare (σ12 + kwk22 )2 ≤ σ12 (σ12 + kwk22 ) sau σ12 + kwk22 ≤ σ12 , adic˘a kwk2 = 0 ⇔ w = 0. Astfel σ1 0 (1) Σ = . 0 B1 S˘a presupunem c˘a s-au efectuat j − 1 pa¸si: H Σ(j−1) = Uj−1 . . . U1H XV1 . . . Vj−1 =
(j−1)
Σ1 0
0 Bj−1
! ,
unde Σ1 = diag(σ1 , . . . , σj−1 ), iar σ1 ≥ . . . ≥ σj−1 > 0. Relu˘am procedura de mai sus. Dac˘a Bj−1 = 0 atunci r = j − 1. ˜j ∈ Mn−j+1 (C), V˜j ∈ Dac˘a Bj−1 6= 0 atunci exist˘a matricele unitare U Mk−j+1 (C) astfel ˆıncˆat σj 0 H ˜ ˜ Uj Bj−1 Vj = 0 Bj
208
CAPITOLUL 15. DESCOMPUNEREA VALORII SINGULARE
unde σj = kBj−1 k2 > 0 ¸si Bj ∈ Mn−j,k−j (C). Definim Uj =
Ij−1 0 ˜j 0 U
∈ Mn (C)
Vj =
UjH XVj
Σ1 0
Ij−1 0 0 V˜j
∈ Mk (C)
¸si Σ
(j)
=
(j)
=
0 Bj
! ,
(j)
cu Σ1 = diag(σ1 , . . . , σj ). R˘amˆane de ar˘atat c˘a σj ≤ σj−1 : σj−1 0 σj−1 = kBj−2 k2 = k k2 ≥ kBj−1 k2 = σj . 0 Bj−1 Procedeul descris mai sus continu˘a cˆat timp Bj 6= 0, iar r va fi ultimul indice (r) pentru care Bj 6= 0. Astfel, U = Ur . . . U1 , Vr = V1 . . . Vr , Σ = Σ(r) , Σ1 = Σ1 ¸si Σ = U H XV. Demonstrat¸ia 2. Matricea X H X ∈ Mk (C) este hermitian˘a ¸si pozitiv˘a. Potrivit Teoremei de diagonalizare 14.2.1 exist˘a matricea unitar˘a V ∈ Mk (C) astfel ˆıncˆ at λ1 . . . 0 def V H X H XV = ... . . . ... = Σ, (15.3) 0
. . . λk
unde λ1 , . . . , λk sunt valorile proprii nenegative ale matricei X H X, ap˘arˆand ˆıntr-o ordine neprecizat˘a. Fie λi = σi2 , i ∈ {1, . . . , k}. Presupunˆand c˘a σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σr > 0 = σr+1 = . . . = σk , definim
(r ≤ k).
σ1 . . . 0 Σ1 = diag(σ1 , . . . , σr ) = ... . . . ... . 0 . . . σr
Astfel Σ=
Σ1 0 0 0 r k−r
r k−r ,
Σ2 =
Σ21 0
0 0
λ1 . . . 0 = ... . . . ... . 0 . . . λk
Partit¸ion˘am matricea V ˆın [V1 V2 ], cu r ¸si respectiv k − r coloane.
209
˘ 15.2. METODA CELOR MAI MICI PATRATE PRIN DVS
Egalitatea (15.3) se rescrie ˆın H
H
V X XV = =
V1H V2H
X H X[V1 V2 ] =
V1H X H XV1 V1H X H XV2 V2H X H XV1 V2H X H XV2
=
Σ21 0 0 0
(15.4) .
A¸sadar V2H X H XV2 = 0 ¸si V1H X H XV1 = Σ21 . Dac˘a punem ˆın evident¸˘a coloanele matricei XV2 = [q1 . . . qk−r ], atunci din egalitatea H kq1 k22 . . . q1H qk−r q1 .. .. .. V2H X H XV2 = ... [q1 . . . qk−r ] = =0 . . . H 2 qk−r q1 . . . kqk−r k2 qk−r deducem q1 = . . . = qk−r = 0, adic˘a XV2 = 0. Definim U1 = XV1 Σ−1 ∈ Mn,r (C). Deoarece U1H U1 = Σ− 1V1H X H XV1 Σ−1 = I, matricea U1 este unitar˘a. Din definit¸ia matricei U1 g˘asim Σ1 = U1H XV1 . Fie U o matrice unitar˘a ale c˘arei prime r coloane coincid cu U1 , U = [u1 U2 ] (justificat¸i existent¸a matricei U !). Atunci H H U1 XV1 U1H XV2 U1 H X[V1 V2 ] = U XV = = U2H U2H XV1 U2H XV2
=
15.2
Σ1 0 0 0
σ1 . . . 0 = ... . . . ... . 0 . . . σk
Metoda celor mai mici p˘ atrate prin DVS
Fie X ∈ Mn,k (C) ¸si y ∈ Cn . Ne propunem s˘a determin˘am λ ∈ Ck , de norm˘a euclidian˘a minim˘a care minimizeaz˘a funct¸ionala (13.11) Φ(λ) = ky − Xλk22 . Utilizˆand Teorema 15.1.1, exist˘a matricele unitare U ∈ Mn (C) ¸si V ∈ Mk (C) astfel ˆıncˆat Σ1 0 H U XV = Σ = , 0 0
210
CAPITOLUL 15. DESCOMPUNEREA VALORII SINGULARE
unde Σ1 = diag(σ1 , . . . , σr ), σi 6= 0, i ∈ {1, . . . , r}. Astfel X = U ΣV H ¸si ky − Xλk2 = kU (U H y − XV H λk2 = kU H y − ΣV H λk2 . µ1 z1 H H Notˆand V λ = µ = , U y = z = cu µ1 , z1 ∈ Cr ¸si µ2 ∈ µ2 z2 Ck−r , z2 ∈ Cn−r expresia funct¸ionalei obiectiv devine z1 µ1 H h 2 Φ(λ) = kU y − ΣV λk2 = k −Σ k22 = z2 µ2 =k
z1 z2
−
Σ1 µ1 0
k22 = kz1 − Σ1 µ1 k22 + kz2 k22 .
Aceast˘a expresie este minim˘a pentru z1 − Σ1 µ1 = 0 sau µ1 = Σ−1 1 z1 . Norma euclidian˘a a lui λ 1
1
2 2 2 kλk2 = kV µk2 = kµk2 = (kµ1 k22 + kµ2 k22 ) 2 = (kΣ−1 1 z1 k2 + kµ2 k2 )
este minim˘a pentru µ2 = 0. A¸sadar −1 −1 −1 z1 0 0 Σ 1 z1 Σ1 Σ1 U H y. =V =V λ=Vµ=V z2 0 0 0 0 0 Punˆand ˆın evident¸˘a coloanele metricelor U = [u1 . . . un ] ¸si V = [v1 . . . vk ], expresia solut¸iei de norm˘a minim˘a a elementului de aproximare construit prin metoda celor mai mici p˘atrate devine r X uH j y λ= vj . σj j=1
Capitolul 16
Spat¸ii Krylov 16.1
Definit¸ia spat¸iului Krylov
Fie A ∈ Mn (R) ¸si x ∈ Rn . Definit¸ie 16.1.1 Se nume¸ste spat¸iu Krylov de ordin k ata¸sat matricei A ¸si vectorului x subspat¸iul liniar Kk (A, x) = span{x, Ax, . . . , Ak−1 x}.
16.2
Descompunerea Arnoldi
Utilizˆand metoda Gram-Schmidt construim o baz˘a ortonormat˘a spat¸iului Krylov Kk (A, x). x Fie u1 = kxk . ˆIn continuare, definim 2 h2,1 u2 = Au1 − h1,1 u1
(16.1)
h3,2 u3 = Au2 − h1,2 u1 − h2,2 u2 .. . hj+1,j uj+1 = Auj − h1,j u1 − h2,j u2 − . . . − hj,j uj .. . hk+1,k uk+1 = Auk − h1,k u1 − h2,k u2 − . . . − hj,k uj − . . . − hk,k uk Din condit¸ia de ortogonalitate uTi uj+1 = 0 deducem hi,j = uTi Auj
∀j ∈ {1, 2, . . . , j}
iar din condit¸ia de normalitate kuj + 1k2 = 1 g˘asim hj+1,j = kAuj −
j X i=1
211
hi,j ui k2 .
212
CAPITOLUL 16. SPAT ¸ II KRYLOV
Relat¸iile (16.1) se scriu Au1 = h1,1 u1 + h2,1 u2
(16.2)
Au2 = h1,2 u1 + h2,2 u2 + h3,2 u3 .. . Auk = h1,k u1 + h2,k u2 + . . . + hk,k uk + hk+1,k uk+1 Ansamblul relat¸iilor (16.2) se pot scrie sub forma A[u1 u2 . . . uk ] = [u1 u2 . . . uk ]
h1,1 h1,2 h2,1 h2,2 0 h3,2 .. .. . . 0 0
. . . h1,k−1 . . . h2,k−1 . . . h3,k−1 .. .. . . . . . hk,k−1
h1,k h2,k h3,k .. .
+
(16.3)
hk,k
+hk+1,k [0, . . . , 0, uk+1 ] | {z } k−1
sau A[u1 u2 . . . uk ] = [u1 u2 . . . uk+1 ]
h1,1 h1,2 h2,1 h2,2 0 h3,2 .. .. . . 0 0 0 0
. . . h1,k−1 h1,k . . . h2,k−1 h2,k . . . h3,k−1 h3,k .. .. .. . . . . . . hk,k−1 hk,k ... 0 hk+1,k
. (16.4)
Introducˆand matricele Uk = [u1 . . . uk ]
Hk =
h1,1 h1,2 h2,1 h2,2 0 h3,2 .. .. . . 0 0
Uk+1 = [u1 . . . uk uk+1 ]
Hk+1,k
=
. . . h1,k−1 . . . h2,k−1 . . . h3,k−1 .. .. . . . . . hk,k−1
h1,1 h1,2 h2,1 h2,2 0 h3,2 .. .. . . 0 0 0 0
h1,k h2,k h3,k .. .
∈ Mk (R)
hk,k
. . . h1,k−1 h1,k . . . h2,k−1 h2,k . . . h3,k−1 h3,k .. .. .. . . . . . . hk,k−1 hk,k ... 0 hk+1,k
16.3. REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE DE ECUAT ¸ II LINIARE
213
relat¸iile (16.3) ¸si (16.4) se scriu respectiv (k)T
AUk = Uk Hk + hk+1,k uk+1 ek
(16.5)
¸si respectiv AUk = Uk+1 Hk+1,k .
(16.6)
(k)
reprezint˘a vectorul din baza canonic˘a a spat¸iului liniar Rk . Relat¸iile (16.5) ¸si (16.6) se numesc descompuneri Arnoldi a spat¸iului Krylov Kk (A, x). Matricele Uk ¸si Uk+1 sunt ortogonale. ˆInmult¸ind (16.5) ¸si (16.6) la stˆanga cu T T Uk ¸si respectiv Uk+1 obt¸inem ek
UkT AUk = Hk ,
(16.7)
T AUk = Hk+1,k . Uk+1
(16.8)
respectiv
Observat¸ie 16.2.1 Matricea Hk este o matrice Hessenberg. Cazul matricelor simetrice. Dac˘a A ∈ Mn (R) este o matrice simetric˘a atunci, din (16.7) rezult˘a c˘a Hk este o matrice simetric˘a ¸si din faptul c˘a este o matrice Hessenberg urmeaz˘a c˘a este tridiagonal˘a.
16.3
Rezolvarea sistemelor algebrice de ecuat¸ii liniare
Fie A ∈ Mn (R), b ∈ Rn ¸si sistemul algebric de ecuat¸ii liniare Ax = b.
(16.9)
Vom determina o aproximat¸ie xk ∈ Rn a solut¸iei sistemului (16.9) ˆın spat¸iul Krylov Kk (b). Metoda este eficient˘a ˆın cazul ˆın care dimensiunea n este mare. ˆIn cazul matricei A nesingulare, solut¸ia sistemului (16.9) apart¸ine spat¸iului Krylov Km (b), unde m este gradul polinomului minimal asociat matricei A. ˆIntradev˘ar, dac˘a ϕ(x) = c0 + c1 x + . . . + cm xm este polinomul minimal asociat matricei A, adic˘a polinomul de grad minim pentru care ϕ(A) = c0 I + c1 A + . . . + cm Am = 0 atunci A−1 = −
1 (c1 I + c2 A + . . . + cm Am−1 ) c0
214
CAPITOLUL 16. SPAT ¸ II KRYLOV
¸si ˆın consecint¸˘a x = A−1 b = −
1 (c1 b + c2 Ab + . . . + cm Am−1 b) ∈ Km (b). c0
ˆ cazul unei matrice A singulare, ˆın ipoteza compatibilit˘ Observat¸ie 16.3.1 In a¸tii sistemului (16.9), solut¸ia acesteia poate s˘ a nu apart¸in˘ a nici unui spat¸iu Krylov. Fie A ∈ Mn (R) o matrice nilpotent˘a de ordin m : Ak = 0, ∀k ≥ m, dar Am−1 6= 0. ˆIn acest caz A este o matrice singular˘a deoarece |Am | = |A|m = 0. Fie b ∈ RN , b 6= 0 astfel ˆıncˆat sistemul (16.9) s˘a fie compatibil ¸si s˘a presupunem prin absurd c˘a x ∈ Km (b). Atunci x = c0 b + c1 Ab + . . . cm−1 Am−1 b ¸si Ax = c0 Ab + c1 A2 b + . . . + cm−2 Am−1 b = b sau (I − c0 A − c1 A2 − . . . − cm−2 Am−1 )b = 0.
(16.10)
I − c0 A − c1 A2 − . . . − cm−2 Am−1
Matricea D = este nesingular˘a deoarece singura ˆ valoare proprie este 1. Intr-adev˘ar, fie (λ, z) o pereche proprie a matricei D, Dz = λz.
(16.11)
Exist˘a un cel mai mic indice i ∈ {0, 1, . . . , m − 1} astfel ˆıncˆat Ai z 6= 0 ¸si Aj z = 0, ∀j > i. ˆInmult¸ind (16.11) la stˆanga cu Ai obt¸inem (1 − λ)Ai z = 0, de unde λ = 1. Atunci, din (16.10) urmeaz˘a c˘a b = 0, ˆın contradict¸ie cu alegerea lui b.
16.3.1
Varianta Ritz-Galerkin
Aproximat¸ia xk ∈ Kk (b) se determin˘a din condit¸ia de ortogonalitate b − Axk ⊥Kk (b)
(16.12)
Dac˘a (ui )1≤i≤k+1 este un sistem de vectori ortonormat¸i pentru care are loc descompunerile Arnoldi (16.5) ¸si (16.6) atunci condit¸ia de ortogonalitate se poate scrie UkT (b − Axk ) = 0, (16.13) b unde Uk = [u1 u2 . . . uk ]. T ¸ inˆand seama de faptul c˘a u1 = kbk din (16.13) urmeaz˘ a 2 c˘a (k) UkT Axk = UkT b = kbk2 UkT u1 = kbk2 e1 . (16.14)
Indicele superior precizeaz˘a dimensiunea vectorului.
215
16.4. CALCULUL VALORILOR S ¸ I VECTORILOR PROPRI
Deoarece xk se reprezint˘a sub forma xk = Uk ξk cu relat¸ia (16.14) devine (k)
UkT AUk ξk = kbk2 e1 , ¸si ˆın virtutea lui (16.5) Hk ξk = kbk2 .
(16.15)
Astfel rezolvarea sistemului (16.9), de dimensiune n s-a redus la rezolvarea unui sistem algebric de ecuat¸ii liniare de dimensiune k.
16.3.2
Varianta reziduului minimal
Aproximat¸ia xk se determin˘a ca solut¸ia problemei de optimizare kb − Axk k2 = min kb − Axk2
(16.16)
x∈Kk (b)
Din u1 =
b kbk2
deducem (k+1)
b = kbk2 u1 = kbk2 Uk+1 e1
,
(k+1)
e1
∈ Rk+1 .
Un element x ∈ Kk (b) se reprezint˘a prin x = Uk y, cu y ∈ Rk ¸si utilizˆand (16.6) deducem Ax = AUk y = Uk+1 Hk+1,k y. Astfel funct¸ionala cost devine (k+1)
kb − Axk2 = k kbk2 Uk+1 e1 (k+1)
= kUk+1 (kbk2 e1
− Uk+1 Hk+1,k yk2 = (k+1)
− Hk+1,k yk2 = k(kbk2 e1
− Hk+1,k yk2 .
Utilizˆand tehnica dezvoltat˘a pentru determinarea elementului de aproximare prin (k+1) metoda celor mai mici p˘atrate, determin˘am yk ∈ Rk+1 ce minimizeaz˘a k(kbk2 e1 − Hk+1,k yk2 . Dac˘a factorizarea QR a matricei Hk+1,k este Hk+1,k = QR atunci yk va fi (k+1) solut¸ia sistemului Ry = kbk2 QT e1 . Acest˘a metod˘a de rezolvare a unui sistem algebric de ecuat¸ii liniare este denumit˘a GMRES (Generalized Minimum RESidual).
16.4
Calculul valorilor ¸si vectorilor propri
Fie A ∈ Mn (R). Vom g˘asi o aproximat¸ie a unei perechi propri (λ, x) determinˆand o pereche proprie (λ, z) a matricei Hk , ce apare ˆın descompunerea Arnoldi (16.5) Hk = λz
216
CAPITOLUL 16. SPAT ¸ II KRYLOV
¸si definind x = Uk z. Atunci din (16.5) rezult˘a (k) T
AUk z = Uk Hk z + hk+1,k uk+1 ek
z,
de unde Ax = λx + hk+1,k uk+1 zk . Eroarea aproxim˘arii (λ, x) este dat˘a de kAx − λxk2 = |hk+1,k | |zk |.
16.5
Calculul elementului de cea mai bun˘ a aproximat¸ie prin elementele unui spat¸iu Krylov
Ne propunem s˘a determin˘am elementul de cea mai bun˘a aproximat¸ie a unui element z ∈ Rn prin elementele subspat¸iului Kk (A, x). Presupunem c˘a s-a construit descompunerea Arnoldi (16.5). Dac˘a y = Uk c este elementul de cea mai bun˘a aproximat¸ie a lui x prin elementele mult¸imii Kk (A, x) atunci din condit¸ia y − z ∈ Kk (A, x)⊥ ⇔ uTj (y − z) = 0, ∀j ∈ {1, . . . , k} ⇔ UkT (y − z) = 0 deducem UkT (Uk c − z) = 0, de unde c = UkT z ¸si ˆın consecint¸˘a y = Uk UkT z.
Partea III
REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
217
Capitolul 17
Rezolvarea ecuat¸iilor neliniare 17.1
Preliminarii de analiz˘ a funct¸ional˘ a
Inversarea operatorilor liniari Presupunem cunoscut˘a urm˘atoarea teorem˘a (Neumann) Teorema 17.1.1 Dac˘ a X este un spat¸iu Banach ¸si A ∈ (X, X)∗ , un operator liniar ¸si continu astfel ˆıncˆ at kAk < 1 atunci 1. Operatorul I − A este inversabil; P∞ k ¸a seriei fiind ceea a spat¸iului Banach 2. (I − A)−1 = k=0 A , convergent ∗ (X, X) . O consecint¸˘a util˘a este Teorema 17.1.2 Fie X un spat¸iu Banach ¸si operatorul L ∈ (X, X)∗ . Au loc afirmat¸iile 1. Operatorul L este inversabil dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a un operator inversabil K ∈ (X, X)∗ astfel ˆıncˆ at kI − KLk < 1. 2. Dac˘ a L este inversabil atunci au loc relat¸iile: −1
L
=
∞ X
(I − KL)k K,
(17.1)
k=0
kL−1 k ≤
kKk . 1 − kI − KLk
(17.2)
Demonstrat¸ie. Necesitatea rezult˘a din alegerea K = L−1 . Pentru A = I − KL din Teorema 17.1.1 rezult˘a inversabilitatea operatorului [I − (I − KL)] = KL ¸si 218
219
˘ FUNCT ˘ 17.1. PRELIMINARII DE ANALIZA ¸ IONALA
(KL)−1 = −1
(KL)
P∞
k=0 (I
− KL)k . ˆIn consecint¸˘a −1
K = (KL)
(K
−1 −1
)
= (K
−1
−1
KL)
−1
=L
=
∞ X
(I − KL)k K.
k=0
Diferent¸iabilitatea unui operator definit ˆıntr-un spat¸iu normat Fie X, Y spat¸ii normate, domeniul D ⊆ X ¸si operatorul T : D → Y. Reamintim Definit¸ie 17.1.1 Operatorul T este diferent¸iabil Fr´echet ˆın x ∈ D dac˘ a exist˘ a un operator liniar ¸si continu L ∈ (X, Y )∗ astfel ˆıncˆ at kT (x + h) − T (x) − L(h)k = 0. h→0 khk lim
(17.3)
Teorema 17.1.3 Dac˘ a operatorul T este diferent¸iabil Fr´echet ˆın x atunci operatorul L este unic. Operatorul L din Definit¸ia 17.1.1 se noteaz˘a L = T 0 (x) = dT (x) ¸si se nume¸ste diferent¸iala Fr´echet a lui T ˆın x. Relat¸ia (17.3) se poate rescrie sub forma T (x + h) = T (x) + T 0 (x)(h) + khkw(x, h),
(17.4)
unde funct¸ia w(x, h) ∈ Y are proprietatea limh→0 w(x, h) = 0. Asemeni funct¸iilor reale Teorema 17.1.4 Dac˘ a operatorul T este diferent¸iabil Fr´echet ˆın x atunci T este continu ˆın x. Presupunˆand operatorul T diferent¸iabil ˆın fiecare punct x al domeniului D, se introduce operatorul T 0 → (X, Y )∗ definit prin x 7→ T 0 (x). Dac˘a acest operator este diferent¸iabil Fr´echet ˆın x atunci diferent¸iala ei este diferent¸iala Fr´echet de ordinul 2 a lui T ˆın x. Not˘am acest operator prin T 00 (x) ∈ (X, (X, Y )∗ )∗ . Recursiv, se defineste diferent¸iabilitatea Fr´echet de ordin superior. T (k) (x) este un element al mult¸imii T (k) (x) ∈ (X, (X, . . . , ( X, Y )∗ )∗ . . .)∗ . | {z } | {z } k paranteze
k paranteze
Definit¸ie 17.1.2 Operatorul T este diferent¸iabil Gateaux ˆın x ∈ D dup˘ a direct¸ia h ∈ X dac˘ a T (x + th) − T (x) ∃ lim = T 0 (x, h). t→0 t
220
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
Definit¸ie 17.1.3 Operatorul T este diferent¸iabil Gateaux ˆın x ∈ D dac˘ a este diferent¸iabil Gateaux ˆın x ∈ D dup˘ a orice direct¸ie h ∈ X. Definit¸ie 17.1.4 Operatorul T este G-derivabil ˆın x ∈ D dac˘ a • este diferent¸iabil Gateaux ˆın x; • operatorul ∇T (x) : X → Y, definit prin ∇T (x)(h) = T 0 (x, h) este un operator liniar ¸si continu. Leg˘atura dintre cele dou˘a tipuri de diferent¸iabilitate este dat˘a ˆın urm˘atoarele teoreme. Teorema 17.1.5 Dac˘ a operatorul T este diferent¸iabil Fr´echet ˆın x atunci T este 0 G-derivabil ˆın x ¸si T (x) = ∇T (x). Demonstrat¸ie. Scriind th, h ∈ X, t ∈ R∗ ˆın loc de h, din (17.4) rezult˘a T (x + th) = T (x) + T 0 (x)(th) + kthkw(x, th), de unde
T (x + th) − T (x) |t| = T 0 (x)(h) + w(x, th). t t
Pentru t → 0 se obt¸ine ∇T (x)(h) = T 0 (x)(h), ∀h ∈ X, de unde concluziile teoremei. Reciproc, G derivabilitatea implic˘a diferent¸iabilitatea Fr´echet ˆın condit¸iile Teorema 17.1.6 Dac˘ a T : D ⊆ X → Y un operator G derivabil ˆıntr-o vecin˘ atate ∇ a lui x ∈ D ¸si operatorul x 7→ ∇T (x) este continu ˆın topologia (X, (X, Y )∗ )∗ atunci operatorul T este diferent¸iabil Fr´echet ˆın x ¸si T 0 (x) = ∇T (x). Demonstrat¸ie. Fie h ∈ X ¸si u = T (x+h)−T (x)−∇T (x)(h). Potrivit Teoremei Hahn - Banach exist˘a o funct¸ional˘a liniar˘a ¸si continu˘a y ∗ ∈ Y ∗ astfel ˆıncˆat ky ∗ k = 1 ¸si y ∗ (u) = kuk. Definim funct¸ia F : [0, 1] → R prin F (t) = y ∗ (T (x + th)). F (t) este derivabil˘ a ˆın t ∈ (0, 1) ¸si F 0 (t) = y ∗ (∇T (x + th)(h)). ˆIntr-adev˘ar, F (t + λ) − F (t) = λ→0 λ
F 0 (t) = lim = lim y ∗ ( λ→0
T (x + (t + λ)h) − T (x) ) = y ∗ (∇T (x + th)(h)). λ
221
˘ FUNCT ˘ 17.1. PRELIMINARII DE ANALIZA ¸ IONALA
Potrivit teoremei de medie a lui Lagrange, exist˘a θ ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat F (1) − F (0) = F 0 (θ)
⇔
y ∗ (T (x + h) − T (x)) = y ∗ (∇T (x + θh)(h)).
ˆIn sfˆar¸sit, utiliz˘and aceast˘a egalitate ¸si propriet˘a¸tile normei operatorilor liniari deducem kT (x + h) − T (x) − ∇T (x)(h)k = kuk = y ∗ (u) = = y ∗ (T (x + h) − T (x) − ∇T (x)(h)) = y ∗ ((∇T (x + θh) − ∇T (x))(h)) ≤ ≤ |y ∗ ((∇T (x + θh) − ∇T (x))(h))| ≤ ky ∗ k k(∇T (x + θh) − ∇T (x))(h))k ≤ ≤ k∇T (x + θh) − ∇T (x)k khk. Rezult˘a inegalitatea kT (x + h) − T (x) − ∇T (x)(h)k ≤ k∇T (x + θh) − ∇T (x)k → 0 khk pentru h → 0. ˆIn acest cadru general, o dezvoltare taylorian˘a are proprietatea: Teorema 17.1.7 Dac˘ a T : D ⊆ X → Y este un operator de n ∈ N ori diferent¸iabil Fr´eachet ˆın D atunci pentru orice x, y ∈ D are loc inegalitatea kT (y) − T (x) −
n−1 X k=1
1 (k) 1 T (x) (y − x) . . . (y − x) k ≤ ky − xkn sup kT (n) (z)k, | {z } k! n! z∈[x,y] k ori
unde [x, y] = {z = tx + (1 − t)y : 0 ≤ t ≤ 1}. Demonstrat¸ie. Fie x, y ∈ D. Notˆand u = T (y) − T (x) −
n−1 X k=1
1 (k) T (x) (y − x) . . . (y − x), | {z } k! k ori
potrivit Teoremei Hahn - Banach exist˘a o funct¸ional˘a liniar˘a ¸si continu˘a y ∗ ∈ Y ∗ astfel ˆıncˆat ky ∗ k = 1 ¸si y ∗ (u) = kuk. Definim F : [0, 1] → R prin F (t) = y ∗ (T (x + t(y − x))). Atunci F (k) (t) = y ∗ (T (k) (x + t(y − x)) (y − x) . . . (y − x)), | {z } k ori
(17.5) se demonstreaz˘a prin induct¸ie matematic˘a.
k ∈ {1, . . . , n}.
(17.5)
222
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
Exist˘a θ ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat F (1) − F (0) −
n−1 X k=1
∗
y (T (y) − T (x) −
n−1 X k=1
=
1 1 (k) F (0) = F (n) (θ) ⇔ k! n!
1 (k) T (x) (y − x) . . . (y − x) ) = | {z } k! k ori
1 ∗ (n) y (T ((x + θ(y − x)) (y − x) . . . (y − x) ). | {z } n! n ori
Utilizˆand egalitatea anterioar˘a ¸si propriet˘a¸tile normei operatorilor liniari obt¸inem kT (y) − T (x) −
n−1 X k=1
1 (k) T (x) (y − x) . . . (y − x) k = kuk = | {z } k!
= y ∗ (u) = y ∗ (T (y) − T (x) −
k ori
n−1 X k=1
=
1 (k) T (x) (y − x) . . . (y − x) ) = | {z } k! k ori
1 ∗ (n) y (T ((x + θ(y − x)) (y − x) . . . (y − x) ) ≤ | {z } n! n ori
≤
1 ∗ (n) |y (T ((x + θ(y − x)) (y − x) . . . (y − x) )| ≤ | {z } n! n ori
≤
1 ∗ ky k kT (n) ((x + θ(y − x)) (y − x) . . . (y − x) )k ≤ | {z } n! n ori
≤
17.2
1 1 kT (n) (x + θ(y − x)]kky − xkn ≤ ky − xkn sup kT (n) (z)k. n! n! z∈[x,y]
Metoda liniariz˘ arii (Newton – Kantorovici)
Fie X un spat¸iu Banach ¸si T : X → X un operator diferent¸iabil Fr´echet. Ne propunem s˘a rezolv˘am ecuat¸ia T (x) = 0. (17.6) S˘a presupunem c˘a ecuat¸ia (17.6) are o solut¸ie x∗ . Dac˘a x ∈ X este o aproximat¸ie a lui x∗ atunci din diferent¸iabilitatea operatorului T rezult˘a 0 = T (x∗ ) = T (x) + T 0 (x)(x∗ − x) + kx∗ − xkw(x, x∗ − x).
(17.7)
223
˘ 17.2. METODA LINIARIZARII
Liniarizˆand, adic˘a neglijˆand ultimul termen, (17.7) se scrie 0 ≈ T (x) + T 0 (x)(x∗ − x). Vom nota cu y solut¸ia ecuat¸iei 0 = T (x) + T 0 (x)(y − x), ¸si cu ideea c˘a y este o aproximat¸ie mai bun˘a decˆat x, construim ¸sirul de aproximat¸ii 0 = T (xk ) + T 0 (xk )(xk+1 − xk ),
(17.8)
sau, ˆın cazul inversabilit˘a¸tii operatorului T 0 (xk ) xk+1 = xk − [T 0 (xk )]−1 T (xk ).
(17.9)
Metoda de rezolvare a ecuat¸iei (17.6) corespunz˘auare formulei (17.9) este cunoscut˘a ¸si sub numele de metoda Newton - Kantorovici. Teorema urm˘atoare fixeaz˘a condit¸ii suficiente pentru existent¸a unei solut¸ii izolate x∗ a ecuat¸iei (17.6), dˆand regiunea ˆın care solut¸ia este unic˘a ¸si eroarea aproximat¸iei xk . Teorema 17.2.1 Fie X un spat¸iu Banach, T : X → X un operator diferent¸iabil Fr´echet ¸si x0 ∈ X. Presupunem c˘ a exist˘ a numerele pozitive B0 , K, η0 astfel ˆıncˆ at au loc condit¸iile • ∃[T 0 (x0 )]−1 ¸si k[T 0 (x0 )]−1 k ≤ B0 ; • x1 = x0 − [T 0 (x0 )]−1 T (x0 ) ¸si kx1 − x0 k ≤ η0 ; • ∃T 00 (x) ∀x ∈ B(x0 , r) ¸si kT 00 (x)k ≤ K, r0 < r. Dac˘ a h0 = η0 KB0 ≤ 21 atunci ¸sirul (xk )k∈N construit prin formula de recurent¸˘ a (17.9) converge c˘ atre o solut¸ie x∗ a ecuat¸iei (17.6). √ 0 Aceast˘ a solut¸ie este unic˘ a ˆın bila B(x0 , r0 ), unde r0 = 1− h1−2h η0 . 0 k Eroarea aproximat¸iei x este dat˘ a de inegalitatea kxk − x∗ k ≤
1 2k−1
(2h0 )2
k −1
η0 .
(17.10)
Demonstrat¸ie. 1. Ar˘at˘am la ˆınceput c˘a pentru orice k ∈ N exist˘a xk+1 , definit prin formula de recurent¸˘a (17.9). Aceast˘a problem˘a se ridic˘a deoarece trebuie inversat operatorul T 0 (xk ). Justificarea o facem doar pentru k = 1, rat¸ionamentul f˘acˆandu-se ˆın continuare analog, pe baza induct¸iei matematice.
224
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
Existent¸a inversei se bazeaz˘a pe Teorema 17.1.2. Cu notat¸iile acestei teoreme, alegem L = T 0 (x1 ) K = [T 0 (x0 )]−1 ¸si trebuie verificat˘a condit¸ia kI − KLk < 1. ˆIn cazul de fat¸˘a kI − [T 0 (x0 )]−1 T 0 (x1 )k = k[T 0 (x0 )]−1 (T 0 (x0 ) − T 0 (x1 ))k ≤ ≤ k[T 0 (x0 )]−1 k k(T 0 (x0 ) − T 0 (x1 ))k. Aplicˆand Teorema 17.1.7, inegalitatea anterioar˘a devine kI − [T 0 (x0 )]−1 T 0 (x1 )k ≤ B0 Kkx1 − x0 k ≤ η0 KB0 = h0 ≤
1 < 1. 2
(17.11)
Prin urmare, operatorul T 0 (x1 ) este inversabil ¸si potrivit Teoremei 17.1.2, au loc relat¸iile [T 0 (x1 )]−1 =
∞ X
(I − [T 0 (x0 )]−1 T 0 (x1 ))k [T 0 (x0 )]−1 ,
(17.12)
k=0
k[T 0 (x1 )]−1 k ≤
k[T 0 (x0 )]−1 k B0 def ≤ = B1 . (17.13) 0 0 −1 0 1 1 − kI − [T (x )] T (x )k 1 − h0
2. Ar˘at˘am c˘a ˆın x1 au loc condit¸ii asem˘an˘atoare celor presupuse a avea loc ˆın x0 . Deoarece x2 = x1 − [T 0 (x1 )]−1 T (x1 ), 2
0
1
1 −1
x − x = −[T (x )]
1
T (x ) = −
∞ X
(I − [T 0 (x0 )]−1 T 0 (x1 ))k [T 0 (x0 )]−1 T (x1 ).
k=0
Prin urmare kx2 − x1 k ≤
∞ X
kI − [T 0 (x0 )]−1 T 0 (x1 )kk k[T 0 (x0 )]−1 T (x1 )k.
k=0
Folosind (17.11) obt¸inem kx2 − x1 k ≤
∞ X
hk0 k[T 0 (x0 )]−1 T (x1 )k =
k=0
1 k[T 0 (x0 )]−1 T (x1 )k. 1 − h0
(17.14)
Fie operatorul F0 : X → X definit prin F0 (x) = x − [T 0 (x0 )]−1 T (x). Atunci F0 (x0 ) = x1 F00 (x) = I − [T 0 (x0 )]−1 T 0 (x) F000 (x) = −[T 0 (x0 )]−1 T 00 (x)
F00 (x0 ) = 0 kF000 (x)k ≤ B0 K.
225
˘ 17.2. METODA LINIARIZARII
Din egalitatea F0 (x1 ) = x1 − [T 0 (x0 )]−1 T (x1 ) se deduce T 0 (x0 )]−1 T (x1 ) = x1 − F0 (x1 ) = −(F (x1 ) − F (x0 ) − F00 (x0 )(x1 − x0 )). Aplicˆand din nou Teorema 17.1.7 se obt¸ine kT 0 (x0 )]−1 T (x1 )k = kF (x1 ) − F (x0 ) − F00 (x0 )(x1 − x0 ))k ≤ ≤
1 1 1 sup kF000 (x)k kx1 − x0 k ≤ η02 KB0 = η0 h0 . 2 x∈B(x0 ,r) 2 2
Revenind ˆın (17.14) avem kx2 − x1 k ≤
1 η0 h0 def k[T 0 (x0 )]−1 T (x1 )k ≤ = η1 . 1 − h0 2(1 − h0 )
(17.15)
def Fie h1 = η1 KB1 . Din (17.13), (17.15) se obt¸ine h1 =
h20 1 ≤ . 2 2(1 − h0 ) 2
(17.16)
def √ 1 Fie r1 = 1− h1−2h η1 . Pe baza formulelor de recurent¸˘a pentru η1 ¸si h0 se obt¸ine 1 egalitatea r1 = r0 − η0 , ce implic˘a B(x1 , r1 ) ⊆ B(x0 , r0 ). ˆIntr-adev˘ar, dac˘a x ∈ B(x1 , r1 ) atunci kx − x0 k ≤ kx − x1 k + kx1 − x0 k ≤ r1 + η0 = r0 . 3. In felul acesta, existent¸a ¸sirului (xk )k∈N este dovedit˘a, mai mult pentru orice k ∈ N au loc afirmat¸iile • ∃[T 0 (xk )]−1 ¸si k[T 0 (xk )]−1 k ≤ Bk =
Bk−1 1−hk−1 ;
• xk+1 = xk − [T 0 (xk )]−1 T (xk ) ¸si kxk+1 − xk k ≤ ηk = • hk = ηk KBk = • rk =
1−
h2k−1 2(1−hk−1 )2
ηk−1 hk−1 2(1−hk−1 ) ;
≤ 21 ;
√
1−2hk−1 ηk−1 hk−1
¸si B(xk , rk ) ⊆ B(xk−1 , rk−1 ).
4. Au loc inegalit˘a¸tile hk ≤ 2h2k−1
(17.17)
ηk ≤ ηk−1 hk−1
(17.18)
rk ≤ 2ηk
(17.19)
226
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
a caror demonstrat¸ie revine la reducerea la ipoteza teoremei hk ≤ 21 . Aplicat˘a succesiv, inegalitatea (17.17) implic˘a 2
hk ≤ 2h2k−1 ≤ 2(2h2k−2 )2 = 21+2 h2k−2 ≤ . . . ≤ 21+2+...+2
k−1
(17.20)
1 k k h20 = (2h0 )2 . 2
Din (17.18) deducem succesiv ηk ≤ ηk−1 hk−1 ≤ ηk−2 hk−2 hk−1 ≤ . . . ≤ η0 h0 h1 . . . hk−1 ¸si utilizˆand (17.20), se g˘ase¸ste 1 1 1 1 1 k−1 k k−1 ηk ≤ η0 (2h0 ) (2h0 )2 . . . (2h0 )2 = k (2h0 )1+2+...+2 η0 = k (2h0 )2 −1 η0 . 2 2 2 2 2 Din xk+p ∈ B(xk+p , rk+p ) ⊆ B(xk , rk ) rezult˘a kxk+p − xk k ≤ rk ≤
1 2k−1
(2h0 )2
k −1
η0 ,
∀k ∈ N,
(17.21)
adic˘a (xk )k∈N este un ¸sir fundamental, deci convergent. 5. Fie x∗ = limk→∞ xk . Trecˆand la limit˘a ˆın formula de recurent¸˘a (17.9) scris˘ a sub forma T 0 (xk )(xk+1 − xk ) = −T (xk ) se obt¸ine T (x∗ ) = 0. Pentru p → ∞ din (17.21) rezult˘a evaluarea erorii (17.10). 6. Pentru a demonstra unicitatea solut¸iei ecuat¸iei (17.6) ˆın bila B(x0 , r0 ) presupunem prin absurd c˘a exist˘a ˆın plus y ∗ ∈ B(x0 , r0 ) astfel ˆıncˆat T (y ∗ ) = 0. Fie operatori Fk : X → X definit¸i prin Fk (x) = x − [T 0 (xk )]−1 T (x). Atunci Fk (xk ) = xk+1 Fk0 (x) = I − [T 0 (xk )]−1 T 0 (x) Fk00 (x) = −[T 0 (xk )]−1 T 00 (x)
Fk0 (xk ) = 0 kFk00 (x)k ≤ Bk K.
Prin induct¸ie matematic˘a arat˘am c˘a xk ∈ B(y ∗ , rk )
⇔
ky ∗ − xk k ≤ rk .
Etapa de verificare, k = 0. y ∗ ∈ B(x0 , r0 )
⇔
ky ∗ − x0 k ≤ r0
⇔
x0 ∈ B(y ∗ , r0 ).
Etapa de demonstrat¸ie. Presupunˆand c˘a xk ∈ B(y ∗ , rk )
⇔
ky ∗ − xk k ≤ rk
deducem succesiv ky ∗ − xk+1 k = kFk (y ∗ ) − Fk (xk ) − Fk0 (xk )(y ∗ − xk )k ≤ 1 1 ≤ sup kFk00 (z)k ky ∗ − xk k2 ≤ Bk Krk2 = rk+1 , 2 z∈[xk ,y∗ ] 2 adic˘a xk+1 ∈ B(y ∗ , rk+1 ). Pentru k → ∞, din (17.22) rezult˘a x∗ = y ∗ .
(17.22)
227
˘ ˘ 17.3. METODA LINIARIZARII MODIFICATA
17.3
Metoda liniariz˘ arii modificat˘ a
ˆIn locul formulei de recurent¸˘a (17.9) se consider˘a formula x ˜ = x0 x ˜k+1 = x ˜k − [T 0 (x0 )]−1 T (˜ xk )
k ∈ N.
(17.23)
Astfel se elimin˘a necesitatea invers˘arii, ˆın cadrul iterat¸iilor iterat¸ii k > 0, a operatorului T 0 (xk ). Acest fapt are ca efect mic¸sorarea vitezei de convergent¸˘a. Metoda corespunz˘atoare formulei (17.23) este numit˘a metoda liniariz˘arii (Newton - Kantorovici) modificat˘a. Se observ˘a c˘a x1 = x ˜1 . Convergent¸a procedeului este dat˘a de teorema Teorema 17.3.1 Fie X un spat¸iu Banach, T : X → X un operator diferent¸iabil Fr´echet ¸si x0 ∈ X. Presupunem c˘ a exist˘ a numerele pozitive B0 , K, η0 astfel ˆıncˆ at au loc condit¸iile • ∃[T 0 (x0 )]−1 ¸si k[T 0 (x0 )]−1 k ≤ B0 ; • x1 = x0 − [T 0 (x0 )]−1 T (x0 ) ¸si kx1 − x0 k ≤ η0 ; • ∃T 00 (x) ∀x ∈ B(x0 , r) ¸si kT 00 (x)k ≤ K, η0 < r. Dac˘ a h0 = η0 KB0 < 21 atunci ¸sirul (˜ xk )k∈N construit prin formula de recurent¸˘ a ∗ (17.23) converge c˘ atre solut¸ia x a ecuat¸iei (17.6). Eroarea aproximat¸iei x ˜k este dat˘ a de inegalitatea p k˜ xk − x∗ k ≤ 2η0 h0 (1 − 1 − 2h0 )k−1 . (17.24) Demonstrat¸ie. Folosim din nou de operatorul F0 : X → X definit prin F0 (x) = x − [T 0 (x0 )]−1 T (x) ¸si cu propriet˘a¸tile F0 (˜ xk ) = x ˜k+1 ∗ F0 (x ) = x∗ F00 (x) = I − [T 0 (x0 )]−1 T 0 (x) F000 (x) = −[T 0 (x0 )]−1 T 00 (x)
∀k ∈ N F00 (x0 ) = 0 kF000 (x)k ≤ B0 K.
Dac˘a M = B(x0 , r0 ) ∩ B(x∗ , kx1 − x∗ k) atunci F (M ) ⊆ M. ˆIntr-adev˘ar, dac˘a x ∈ M atunci • kF0 (x) − x0 k ≤ kF0 (x) − x1 k + kx1 − x0 k = = kF0 (x) − F0 (x0 ) − F00 (x0 )(x − x0 )k + kx1 − x0 k ≤ 1 1 ≤ kx − x0 k2 sup kF000 (z)k + η0 ≤ r02 B0 K + η0 = r0 , 2 2 z∈[x0 ,x] adic˘a F0 (x) ∈ B(x0 , r0 ).
228
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
• kF0 (x) − x∗ k = kF0 (x) − F0 (x∗ )k ≤ kx − x∗ k sup kF00 (z)k. z∈[x,x∗ ]
Dearece z = θx + (1 − θ)x∗ , θ ∈ [0, 1], utilizˆand evaluarea kF00 (z)k = kF00 (z) − F00 (x0 )k ≤ kz − x0 k sup kF000 (y)k ≤ y∈[x0 ,z]
≤ B0 Kkθx + (1 − θ)x∗ − x0 k = B0 Kkθ(x − x0 ) + (1 − θ)(x∗ − x0 )k ≤ ≤ B0 K(θkx − x0 k + (1 − θ)kx∗ − x0 k) ≤ ≤ B0 K max{kx − x0 k, kx∗ − x0 k} ≤ B0 Kr0 , inegalitatea anterioar˘a devine kF0 (x) − x∗ k ≤ B0 Kr0 kx − x∗ k = (1 − ≤ (1 −
p 1 − 2h0 )kx − x∗ k ≤
p 1 − 2h0 )kx1 − x∗ k,
adic˘a F0 (x) ∈ B(x∗ , kx1 − x∗ k). Ret¸inem inegalitatea kF0 (x) − x∗ k ≤ (1 −
p
1 − 2h0 )kx − x∗ k,
∀x ∈ M.
(17.25)
Aplicˆand succesiv (17.25), rezult˘a k˜ xk − x∗ k = kF0 (˜ xk−1 ) − F0 (x∗ )k ≤ ≤ (1 −
p
1 − 2h0 )k˜ xk−1 − x∗ k ≤ . . . ≤ (1 −
p
(17.26)
1 − 2h0 )k−1 k˜ x1 − x∗ k.
Din (17.10), deducem k˜ x1 − x∗ k = kx1 − x∗ k ≤ 2h0 η0 , cu care (17.26) devine (17.24). Din aceast˘a inegalitate rezult˘a convergent¸a ¸sirului (˜ xk )k∈N c˘atre x∗ .
17.4
Rezolvarea numeric˘ a a sistemelor algebrice de ecuat¸ii neliniare
Fie D un domeniu convex din Rn ¸si T1 , . . . , Tn : D → R n funct¸ii avˆand derivate part¸iale de ordinul ˆıntˆai ¸si doi continue. Consider˘am sistemul algebic de n ecuat¸ii neliniare cu necunoscutele x1 , . . . , xn : T1 (x1 , . . . , xn ) = 0 ... (17.27) Tn (x1 , . . . , xn ) = 0
17.4. REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE NELINIARE
229
¸si dorim s˘a determin˘am o solut¸ie a sistemului, adic˘a un element x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) ∈ D astfel ˆıncˆat Ti (x∗ ) = Ti (x∗1 , . . . , x∗n ) = 0, i = 1, . . . , n. ˆIn cazul n = 1 se folose¸ste termenul de ecuat¸ie ˆın locul celui de sistem. Definind operatorul T : D → Rn prin T1 (x) , T (x) = . . . x = (x1 , . . . , xn ), Tn (x) sistemul (17.27) se rescrie sub forma (17.6). Pentru rezolvarea sistemului (17.27) se aplic˘a metoda liniariz˘arii (Newton – Kantorovici) sau metoda liniariz˘arii modificat˘a, tratate anterior. Exemplul 17.4.1 S˘ a se verifice condit¸iile Teoremei 17.2.1 ˆın cazul sistemului algebric de ecuat¸ii neliniare 10x1 + x21 − 2x2 x3 − 0.1 = 0 10x2 − x22 + 3x1 x3 + 0.2 = 0 10x3 + x23 + 2x1 x2 − 0.3 = 0 0 0 x1 ¸si x0 = x01 = 0 . x01 0 Operatorul T este definit prin T = (T1 , T2 , T3 ), unde T1 (x) = T1 (x1 , x2 , x3 ) = 10x1 + x21 − 2x2 x3 − 0.1 T2 (x) = T2 (x1 , x2 , x3 ) = 10x2 − x22 + 3x1 x3 + 0.2 T3 (x) = T3 (x1 , x2 , x3 ) = 10x3 + x23 + 2x1 x2 − 0.3 iar T 0 (x) =
∂T1 ∂x1 (x) ∂T2 ∂x1 (x) ∂T3 ∂x1 (x)
∂T1 ∂x2 (x) ∂T2 ∂x2 (x) ∂T3 ∂x2 (x)
∂T1 ∂x3 (x) ∂T2 ∂x3 (x) ∂T3 ∂x3 (x)
2x1 + 10 −2x3 −2x2 . 3x3 −2x2 + 10 3x1 = 2x2 2x1 2x3 + 10
ˆIn cele ce urmeaz˘a se va utiliza norma k · k∞ . Atunci [T 0 (x0 )]−1 = (10I)−1 = 0.1I, deci def k[T 0 (x0 )]−1 k = k0.1Ik = 0.1 = B0 . Formulele de recurent¸˘a (17.9) corespunz˘atoare metodei liniariz˘arii sunt k+1 k x1 x1 xk+1 = xk1 − 1 xk1 xk+1 1
230
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
−1 2xk1 + 10 −2xk3 −2xk2 10xk1 + (xk1 )2 − 2xk2 xk3 − 0.1 · 10xk2 − (xk2 )2 + 3xk1 xk3 + 0.2 . 3xk3 −2xk2 + 10 3xk1 − k k k 2x2 2x1 2x3 + 10 10xk3 + (xk3 )2 + 2xk1 xk2 − 0.3 1 x1 0.01 Pentru k = 0, g˘asim x1 = x11 = −0.02 , astfel ˆıncˆat kx1 − x0 k = x11 0.03 def 0.3 = η0 . Diferent¸iala de ordinul doi T 00 (x) ∈ (R3 , (R3 , R3 )∗ )∗ se poate reprezenta prin
T 00 (x) = =
2 2 ∂ 2 T1 ∂ 2 T1 ∂ 2 T1 ∂ 2 T1 ∂ 2 T1 ∂ 2 T1 ∂ 2 T1 (x) ∂x (x) ∂x (x) ∂∂xT21 (x) ∂x (x) ∂x (x) ∂x (x) ∂∂xT21 (x) (x) ∂x ∂x2 2 ∂x1 3 ∂x1 1 ∂x2 3 ∂x2 1 ∂x3 2 ∂x3 1 2 3 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) 2 2 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x2 3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 (x) ∂x ∂x (x) ∂x ∂x (x) ∂x ∂x (x) ∂x2 (x) ∂x ∂x (x) ∂x ∂x (x) ∂x ∂x (x) ∂x2 (x) ∂x2 2 1 3 1 1 2 3 2 1 3 2 3 1 2 3
=
2 0 0 0 0 −2 0 −2 0 = 0 0 3 0 −2 −2 3 0 0 , 0 2 0 2 0 −2 0 0 2 interpretat ˆın sensul T 00 (x)(h) =
∂ 2 T1 ∂x2 1 ∂ 2 T2 ∂x2 1 ∂ 2 T3 ∂x2 1
∂2 T
∂2 T
∂2 T
∂2 T
∂2 T
∂2 T
1 (x)h + 1 (x)h (x)h1 + ∂x ∂x 2 3 ∂x3 ∂x1 2 1 2 (x)h + 2 (x)h (x)h1 + ∂x ∂x 2 3 ∂x3 ∂x1 2 1 3 (x)h + 3 (x)h (x)h1 + ∂x ∂x 2 3 ∂x3 ∂x1 2 1
∂ 2 T1 ∂x1 ∂x2 ∂ 2 T2 ∂x1 ∂x2 ∂ 2 T3 ∂x1 ∂x2
(x)h1 + (x)h1 + (x)h1 +
∂ 2 T1 ∂x2 2 ∂ 2 T2 ∂x2 2 ∂ 2 T3 ∂x2 2
∂2 T
1 (x)h (x)h2 + ∂x ∂x 3 3 2 ∂2 T
2 (x)h (x)h2 + ∂x ∂x 3 3 2 ∂2 T
3 (x)h (x)h2 + ∂x ∂x 3 3 2
∂ 2 T1 ∂x1 ∂x3 ∂ 2 T2 ∂x1 ∂x3 ∂ 2 T3 ∂x1 ∂x3
∂ 2 T1 ∂ 2 T1 (x)h1 + ∂x ∂x (x)h2 + (x)h3 ∂x2 2 3 3 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 (x)h1 + ∂x ∂x (x)h2 + (x)h3 ∂x2 2 3 3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 (x)h (x)h1 + ∂x ∂x (x)h2 + 3 2 2
3
Atunci
2h1 −2h3 −2h2 kT 00 (x)k = sup kT 00 (x)(h)k = sup k 3h3 −2h2 3h1 k = khk≤1 khk≤1 2h2 2h1 2h3 def = sup max{2|h1 |+2|h3 |+2|h2 |, 3|h3 |+2|h2 |+3|h1 |, 2|h2 |+2|h1 |+2|h3 |} ≤ 8 = K. khk≤1
Prin urmare h0 = η0 KB0 = 0.024 < 21 .
17.5
Rezolvarea ecuat¸iilor algebrice
Fie T : R → R o funct¸ie derivabil˘a.
∂x3
231
17.5. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR ALGEBRICE
Metoda tangentei. ˆIn cazul n = 1, metoda liniariz˘arii aplicat˘a rezolv˘arii ecuat¸iei algebrice T (x) = 0 conduce la formarea ¸sirului xk+1 = xk −
T (xk ) T 0 (xk )
k ∈ N.
(17.28)
Relat¸iile (17.28) au urm˘atoarea interpretare geometric˘a care justific˘a numele metodei: xk+1 reprezint˘a intersect¸ia tangentei ˆın xk la graficul funct¸iei T (x) cu axa 0x. ˆIn cazul ecuat¸iei polinomiale T (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an = 0 metoda tangentei considerat˘a ˆın corpul numerelor complexe C permite determinarea atˆat a r˘ad˘acinilor reale cˆat ¸si a celor complexe. Metoda funct¸iei inverse. Presupunem c˘a funct¸ia T satisface urm˘atoarele ipoteze: • Funct¸ia T este inversabil˘a ˆın intervalul I=(a,b) ¸si F = T −1 : • Ecuat¸ia T (x) = 0 are o solut¸ie x∗ ˆın intervalul I; • Funct¸iile T ¸si F au derivate continue pˆan˘a la ordinul m + 1. Din aceste ipoteze rezult˘a c˘a solut¸ia x∗ este unic˘a ¸si x∗ = F (0). Deoarece funct¸ia F nu este cunoscut˘a, o vom aproxima cu o funct¸ie ϕ F (y) = ϕ(y) + R(y). Atunci x∗ ≈ ϕ(0). Asupra funct¸iei ϕ se impun cerint¸ele ca s˘a aproximeze cˆat mai bine funct¸ia F ¸si s˘a poat˘a fi u¸sor calculabil˘a. Astfel vom avea • Metoda funct¸iei inverse cu polinomul lui Taylor (sau metoda lui Cebˆaseb) ˆın care ϕ este un polinom Taylor ata¸sat funct¸iei F. Acest caz generalizeaz˘a metoda tangentei. • Metoda funct¸iei inverse cu polinomul lui Lagrange ˆın care ϕ este un polinom de interpolare Lagrange.
232
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
Metoda funct¸iei inverse cu polinomul lui Taylor. ˆIn dezvoltarea taylorian˘ a a funct¸iei F ˆın jurul punctului y0 F (y) = F (y0 ) +
m X F (i) (y0 )
i!
i=1
(y − y0 )i +
F (m+1) (ξ) (y − y0 )m+1 (m + 1!
alegˆand y = 0 ¸si y0 = T (x) cu x ∈ I, obt¸inem x∗ = F (0) = x +
m X
(−1)i
i=1
F (m+1) (ξ) m+1 F (i) (T (x)) i T (x) + (−1)m+1 T (x). i! (m + 1)!
(i) P i F (T (x)) T i (x) furnizeaz˘ Rezult˘a c˘a expresia x + m a o aproximat¸ie a i=1 (−1) i! solut¸iei x∗ . Pe baza acestei observat¸ii construim ¸sirul de aproximat¸ii succesive
k+1
x
k
=x +
m X
(−1)i
i=1
F (i) (T (xk )) i k T (x ) i!
k ∈ N,
x0 ∈ I.
Derivˆand succesiv identitatea F (T (x)) = x obt¸inem F 0 (T (x))T 0 (x) = 1 F 00 (T (x))[T 0 (x)]2 + F 0 (T (x))T 00 (x) = 0 F (3) (T (x))[T 0 (x)]3 + 3F 00 (T (x))T 0 (x)T 00 (x) + F 0 (x)T (3) = 0, de unde F 0 (T (x)) =
1 , 0 T (x)
F (3) (T (x)) =
F 00 (T (x)) = −
T (3) (x) 3[T 00 (x)]2 − , [T 0 (x)]5 [T 0 (x)]4
T 00 (x) , [T 0 (x)]3 etc.
k
) Pentru m = 1 g˘asim xk+1 = xk − TT0(x , adic˘a se reg˘ase¸ste ¸sirul construit prin (xk ) metoda tangentei, iar pentru m = 2 g˘asim
xk+1 = xk −
T (xk ) T 00 (xk )[T (xk )]2 − . T 0 (xk ) 2[T 0 (xk )]3
ˆIn continuare ne propunem s˘a studiem convergent¸a ¸sirului (xk )k∈N , construit prin metoda funct¸iei inverse. Vom stabili ˆın prealabil cˆateva rezultate preliminare. Fie (X, k·k) un spat¸iu normat. Un operator ϕ : X → X se nume¸ste contract¸ie dac˘a exist˘a o constant˘a a ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat kϕ(x) − ϕ(y)k ≤ akx − yk, ∀a, y ∈ X. Dac˘a ϕ(x) = x atunci x se nume¸ste element fix al operatorului ϕ. Teorema 17.5.1 (de punct fix a lui Banach) Dac˘ a X este un spat¸iu Banach (spat¸iu normat ¸si complet) ¸si ϕ : X → X este o contract¸ie atunci ϕ are un singur punct fix.
233
17.5. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR ALGEBRICE
Demonstrat¸ie. Fie x0 ∈ X ¸si consider˘am ¸sirul (xn )n∈N definit prin formula de recurent¸˘a xn+1 = ϕ(xn ), n ∈ N. Utilizˆand proprietatea de contract¸ie a operatorului ϕ obt¸inem kxn+1 − xn k = kϕ(xn ) − ϕ(xn−1 )k ≤ akxn − xn−1 k = = akϕ(xn−1 ) − ϕ(xn−2 )k ≤ a2 kxn−1 − xn−2 k ≤ . . . ≤ an kx1 − x0 k. S¸irul (xn )n∈N este fundamental. ˆIntr-adev˘ar kxn+p − xn k ≤
n+p−1 X k=n
kxk+1 − xk k ≤
n+p−1 X
ak kx1 − x0 k ≤
k=n
an kx1 − x0 k. 1−a
Din proprietatea de completitudine rezult˘a c˘a ¸sirul (xn )n∈N este convergent. Fie x∗ = limn→∞ xn . Trecˆand la limit˘a ˆın formula de recurent¸˘a (ϕ fiind contract¸ie este continu˘a) obt¸inem x∗ = ϕ(x∗ ), adic˘a x∗ este punct fix al operatorului ϕ. Dac˘a x∗1 ¸si x∗2 sunt puncte fixe ale operatorului ϕ atunci din relat¸iile kx∗1 − x∗2 k = kϕ(x∗1 ) − ϕ(x∗2 )k ≤ akx∗1 − x∗2 k deducem (1 − a)kx∗1 − x∗2 k ≤ 0. Cum 1 − a > 0, ˆın mod necesar kx∗1 − x∗2 k = 0, adic˘a x∗1 = x∗2 . Teorema 17.5.2 Fie X este un spat¸iu Banach, B(x0 , r) = {x ∈ X : kx − x0 k ≤ r} ¸si ϕ : B(x0 , r) → X o contract¸ie de parametru a. Dac˘ a kϕ(x0 )−x0 k ≤ (1−a)r atunci varphi are un singur punct fix. Demonstrat¸ie. Ar˘at˘am la ˆınceput c˘a ϕ(B(x0 , r)) ⊆ B(x0 , r). ˆIntr-adev˘ar, dac˘a x ∈ B(x0 , r) atunci au loc relat¸iile kϕ(x) − x0 k ≤ kϕ(x) − ϕ(x0 )k + kϕ(x0 ) − x0 k ≤ ≤ akx − x0 k + (1 − a)r ≤ ar + (1 − a)r = r. Reluˆand justificarea teoremei de punct fix a lui Banach rezult˘a concluzia teoremei.
Teorema 17.5.3 Fie I un interval deschis ¸si ϕ : I → R o funct¸ie cu derivata continu˘ a ˆın I. Dac˘ a |ϕ0 (x0 )| < 1, x0 ∈ I atunci exist˘ a r > 0 astfel ˆıncˆ at ϕ este contract¸ie ˆın mult¸imea [x0 − r, x0 + r].
234
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
Demonstrat¸ie. Fie 0 < < 1 − |ϕ0 (x0 )|. Din continuitatea lui ϕ0 ˆın x0 rezult˘ a c˘a exist˘a δ > 0 astfel ˆıncˆat |x − x0 | < δ ⇒ |ϕ0 (x) − ϕ0 (x0 )| < . Atunci, pentru orice x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∪ I |ϕ0 (x)| ≤ |ϕ0 (x) − ϕ0 (x0 )| + |ϕ0 (x0 )| < + |ϕ0 (x0 )| = a < 1. Exist˘a r ∈ (0, δ) astfel ˆıncˆat [x0 − r, x0 + r] ⊂ I. Pentru orice x, y ∈ [x0 − r, x0 + r] utilizˆand teorema de medie a lui Lagrange, obt¸inem |ϕ(x) − ϕ(x0 )| = |ϕ0 (c)||x − y| ≤ a|x − y|. ˆ ipotezele teoremei anterioare, dac˘ Teorema 17.5.4 In a ϕ(x∗ ) = 0 ¸si |ϕ0 (x∗ )| < 1 k atunci exist˘ a r > 0 astfel ˆıncˆ at ¸sirul (x )k∈N definit prin formula de recurent¸˘ a xk+1 = ϕ(xk ), k ∈ N, converge c˘ atre x∗ , oricare ar fi x0 ∈ [x∗ − r, x∗ + r]. Demonstrat¸ie. Din teorema 17.5.3 rezult˘a existent¸a lui r astfel ˆıncˆat ϕ este contract¸ie ˆın mult¸imea [x∗ − r, x∗ + r]. Fie a constanta de contract¸ie. Deoarece |ϕ(x∗ ) − x∗ | = 0 < (1 − a)r, ¸tinˆand seama de teoremele 17.5.1 ¸si 17.5.2 rezult˘a c˘a ¸sirul (xk )k∈N converge c˘atre x∗ , unicul punct fix al lui ϕ. Proprietatea de convergent¸˘a a ¸sirului (xk )k∈N , construit prin metoda funct¸iei inverse cu polinomul lui Taylor este formulat˘a ˆın teorema Teorema 17.5.5 Dac˘ a aproximat¸ia init¸ial˘ a x0 este ”suficient de apropiat˘ a” de ∗ k x , solut¸ia ecuat¸iei T (x) = 0 din intervalul I, atunci ¸sirul (x )k∈N , construit prin metoda funct¸iei inverse cu polinomul lui Taylor converge c˘ atre x∗ . Demonstrat¸ie. Definim funct¸ia ϕm : I → R prin ϕm (x) = x +
m X i=1
(−1)i
F (i) (T (x)) i T (x) i!
Derivata acestei funct¸ii este ϕ0 (x) = 1 +
m X i=1
(−1)i [
1 F (i) (T (x))T i−1 (x)T 0 (x)+ (i − 1)!
1 (i+1) F (T (x))T i (x)T 0 (x)] = 1 − F 0 (T (x)T 0 (x)+ i!
235
17.5. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR ALGEBRICE
+
m m X X (−1)i (i+1) (−1)i (i) F (T (x))T i−1 (x)T 0 (x) + F (T (x))T i (x)T 0 (x)]. (i − 1)! i! i=1
i=2
Prin schimbarea de indice ˆın a doua sum˘a, expresia derivatei devine m X (−1)j (j) ϕ (x) = F (T (x))T j−1 (x)T 0 (x)+ (j − 1)! 0
j=2
+
m+1 X j=2
=
(−1)j−1 (j) F (T (x))T j+1 (x)T 0 (x)] = (j − 1)!
(−1)m (m+1) F (T (x))T m (x)T 0 (x). m!
Au loc egalit˘a¸tile ϕm (x∗ ) = x∗ ¸si ϕ0 (x∗ ) = 0. Potrivit teoremei 17.5.4, dac˘a x0 este ”suficient de aproape” de x∗ , atunci ¸sirul (xk )k∈N converge c˘atre x∗ . Metoda funct¸iei inverse cu polinomul lui Lagrange.1 Fie m ∈ N , x1 , x2 , . . . , xm+1 puncte distincte ale intervalului I ¸si yi = T (xi ), i ∈ {1, 2, . . . , m+ 1}. ˆIn egalitatea F (y) = L(y1 , . . . , ym+1 ; F )(y) +
m+1 Y
(y − yi )
i=1
F (m+1) (ξ) , (m + 1)!
alegˆand y = 0, obt¸inem x∗ = F (0) = L(y1 , . . . , ym+1 ; F )(0) +
m+1 Y
(−yi )
i=1
F (m+1) (ξ) . (m + 1)!
Expresia L(y1 , . . . , ym+1 ; F )(0) furnizeaz˘a o aproximat¸ie a solut¸iei x∗ pe care o not˘am xm+2 . ˆIn continuare se reia procedeul cu x2 , x3 , . . . , xm+2 . ˆIn general, dac˘a s-au determinat xk , xk+1 , . . . , xm+k atunci xk+m+1 = L(yk , yk+1 , . . . , yk+m ; F )(0) Dac˘a uk (y) =
Qk+m j=k
(y − yj ) atunci xk+m+1 = −uk (0)
k+m X i=k
1
(yi = T (xi )).
xi . yi u0k (yi )
(17.29)
Pentru aceast paragraf este necesar cunoa¸sterea polinomului de interpolare Lagrange.
236
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
Din egalitatea uk+1 (y) = uk (y) yk+m+1 uk+1 (0) = uk (0), yk
y−yk+m+1 y−yk
( u0k+1 (yi )
=
deducem formulele de recurent¸˘a yi −yk+m+1 yi −yk uk (yk+m+1 ) yk+m+1 −yk
u0k (yi )
i ∈ {k + 1, . . . , k + m} i=k+m+1
Utilizˆand formula baricentric˘a a polinomului de interpolare Lagrange, formula (17.29) se scrie Pk+m xi i=k
yi u0k (yi )
i=k
1 yi u0k (yi )
xk+m+1 = Pk+m Pentru m = 1 g˘asim xk+2 =
xk yk+1 − xk+1 yk , yk+1 − yk
cunoscut˘a sub numele de metoda coardei, deoarece xk+2 reprezint˘a intersect¸ia dreptei ce une¸ste punctele de coordonate (xk , yk ), (xk+1 , yk+1 ) cu axa Ox. Metoda funct¸iei inverse cu polinomul lui Lagrange nu face apel la derivatele funct¸iei T.
17.6
Rezolvarea ecuat¸iilor polinomiale
Fie polinomul P ∈ C[X], P (z) = z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an . Deoarece polinomul P are n r˘ad˘acini reale sau complexe, specificul rezolv˘arii unei ecuat¸ii polinomiale P (z) = 0 (17.30) const˘a ˆın cerint¸a determin˘arii tuturor r˘ad˘acinilor sale. Metodele prezentate ˆın continuare permit determinarea simultan˘a (paralel˘ a) a celor n r˘ad˘acini. T1 (z) .. Fie Ω ∈ Cn o mult¸ime deschis˘a, T : Ω → Cn , T (z) = un operator . Tn (z) de m (≥ 2) ori diferent¸iabil, avˆand diferent¸iala de ordin m continu˘a ˆın Ω ¸si ¸sirul (z (k) )k∈N construit prin formula de recurent¸˘a (k) z1 .. (k+1) (k+1) (k) (k) = Ti (z (k) ), z = T (z ), z = . ⇔ zi (17.31) (k)
zn
∀ i ∈ {1, 2, . . . , n}, k∈ N. α1 .. Not˘am prin α = . vectorul format de r˘ad˘acinile polinomului P. αn
237
17.6. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR POLINOMIALE
Teorema 17.6.1 Dac˘ a 1. T (α) = 0, 2. T 0 (α) = T 00 (α) = . . . = T (m−1) (α) = 0 atunci exist˘ a r > 0 astfel ˆıncˆ at pentru orice z (0) ∈ Cn , kz (0) − αk < r,2 ¸sirul construit prin formula de recurent¸˘ a z (k+1) = T (z (k) ), k ∈ N, (17.31) converge c˘ atre α. Demonstrat¸ie. Fie r0 > 0 astfel ˆıncˆat V0 = {z ∈ Cn : kz − αk ≤ r0 } ⊂ Ω ¸si C0 = maxz∈V0 kT (m) (z)k. Exist˘a 0 < r ≤ r0 astfel ˆıncˆat C0 rm
⇔
C0 m!
1 m−1
r < 1.
Not˘am V = {z ∈ Cn : kz − αk ≤ r}. Dac˘a z ∈ V atunci Teorema 17.1.7 ¸si ipotezele prezente implic˘a kT (z) − αk = kT (z) − T (α) −
m−1 X j=1
≤
1 (j) T (α) (z − α) . . . (z − α) k ≤ | {z } j! j ori
C0 rm 1 kz − αkm sup kT (m) (ζ)k ≤ < r, m! m! ζ∈[α,z]
adic˘a T (z) ∈ V. ˆIn particular, pentru z = z (k) din relat¸iile anterioare deducem kz (k+1) − αk = kT (z (k) ) − αk ≤
C0 (k) kz − αkm . m!
(17.32)
Utilizˆand repetat inegalitatea (17.32) g˘asim kz (k) − αk ≤ =(
C0 (k−1) C0 C0 (k−2) kz − αkm ≤ ( kz − αkm )m = m! m! m!
C0 1+m (k−2) C0 2 k−1 k ) kz − αkm ≤ . . . ≤ ( )1+m+...+m kz (0) − αkm < m! m! mk C0 1 C0 mk k → 0, k → ∞. < ( ) m−1 kz (0) − αkm ≤ ( ) m−1 r m! m!
Din inegalitatea (17.32) deducem totodat˘a faptul c˘a ordinul de convergent˘a al ¸sirului (z (k) )k∈N este cel put¸in m (Anexa F). 2
kzk = max{|z1 |, |z2 |, . . . , |zn |}.
238
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
ˆIn cele ce urmeaz˘a vom presupune c˘a r˘ad˘acinile polinomului P sunt simple. ˆIntotdeauna putem elimina r˘ad˘acinile multiple considerˆand ˆın locul lui P, P polinomul , ale c˘arei r˘ad˘acini coincid cu cele ale lui P ¸si sunt simple. cmmdc(P,P 0 ) ˆIn acest caz exist˘a o vecin˘atate a lui α astfel ˆıncˆat pentru orice z, cuprins ˆın acea vecin˘atate, are componentele distincte dou˘a cˆate dou˘a. Vom utiliza notat¸iile z1 n Y z = ... ¸si Qi (z) = (zi − zj ). j=1 zn j6=i Astfel z va reprezenta un num˘ar complex ˆın timp ce z reprezint˘a un vector avˆand ca ¸si componente numere complexe. Dac˘a z1 , . . . , zn sunt numere complexe, not˘am n Y
u(z) =
(z − zj )
j=1 n
Y u(z) = (z − zj ) z − zi j=1
ui (z) =
j6=i
Metoda Durand-Kerner. Scriem egalitatea P (z) = (z − α1 ) . . . (z − αn ) sub forma P (z) j=1 (z − αj )
z − αi = Qn
P (z) . j=1 (z − αj )
sau αi = z − Qn
j6=i
Dac˘a z (k)
(k)
z1 .. = .
(k)
(17.33)
j6=i
este o aproximat¸ie a lui α atunci, ˆınlocuind ˆın membrul
zn drept din (17.33) componentele lui α cu componentele corespunz˘atoare ale lui z (k) , formula (17.33) sugereaz˘a formulele de recurent¸˘a (k)
(k)
(k+1) zi
=
(k) zi
−Q n
j=1
j6=i
P (zi (k)
(zi
(k)
− zj )
=
(k) zi
P (zi − , Qi (z (k) )
ˆIn acest caz, expresia funct¸iei Ti (z) este Ti (z) = zi −
P (zi ) . Qi (z)
i ∈ {1, 2, . . . , n}, k ∈ N.
239
17.6. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR POLINOMIALE
Evident Ti (α) = αi . Calcul˘am derivatele part¸iale ale funct¸iei Ti (z). P 0 (zi ) ∂Ti (z) P (zi ) ∂Qi (z) =1− . + 2 ∂zi Qi (z) Qi (z) ∂zi Deoarece P 0 (αi ) =
Qn
j=1
(αi − αj ) = Qi (α), rezult˘a
j6=i
∂Ti (α) ∂zi
= 0.
Pentru i 6= j ∂Ti (z) P (zi ) ∂Qi (z) = 2 , ∂zj Qi (z) ∂zj deci ∂T∂zi (α) = 0. j ˆIn consecint¸˘a T 0 (α) = 0, deci ordinul de convergent¸˘a al ¸sirului (z (k) )k∈N este 2. Metoda Ehrlich. Fie z1 , . . . , zn numere compleze distincte dou˘a cˆate dou˘a. Pentru calcului r˘ad˘acinii αi utiliz˘am metoda tangentei ˆın cazul ecuat¸iei P (z) = 0. ui (z) ˆIn prealabil calcul˘am
P (z) ui (z)
n
0 =
P 0 (z) P (z) u0i (z) P 0 (z) P (z) X 1 − = − . ui (z) ui (z) ui (z) ui (z) ui (z) j=1 z − zj j6=i
Pentru z = zi , presupunˆand P 0 (zi ) = ui (zi ) – adev˘arat˘a, dac˘a zi = αi , ∀i – vom avea n n P (zi ) X 1 P (zi ) X 1 P (z) 0 |z=zi ≈ 1 − =1− . ui (z) ui (zi ) j=1 zi − zj Qi (z) j=1 zi − zj j6=i
j6=i
Metoda tangentei conduce la formulele de recurent¸˘a (k)
(k+1)
zi
P (zi Qi (z (k) )
(k)
= zi −
(k)
1−
P (zi ) Qi (z (k) )
Pn
(k)
(k)
1 j=1 (k) (k) j6=i zi −zj
= zi −
i ∈ {1, . . . , n}, k ∈ N. Bineˆınt¸eles z (k)
(k)
z1 .. = .
(k)
P (zi ) (k) P Qi (z (k) ) − P (zi ) nj=1
1 (k) (k) j6=i zi −zj
.
zn Ordinul de convergent¸˘a al metodei Ehrlich este 2.
,
240
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
Metoda Nourein. Din nou fie z1 , . . . , zn numere compleze distincte dou˘ a cˆate dou˘a. P (z) − u(z) este un polinom de grad n − 1, deci coincide cu polinomul de interpolare L(Pn−1 ; z1 , . . . , zn ; P − u)(z) = L(Pn−1 ; z1 , . . . , zn ; P )(z) P (z) − u(z) = L(Pn−1 ; z1 , . . . , zn ; P )(z) =
n X
P (zj )
j=1
u(z) . (z − zj )u0 (zj )
Pentru z = αi obt¸inem n
X P (zj ) P (zi ) −1 = + 0 (αi − zi )u (zi ) j=1 (αi − zj )u0 (zj ) j6=i
¸si explicitˆand αi − zi g˘asim αi = zi −
P (zi ) ui (zi )
1+
Pn
j=1
j6=i
P (zj ) (αi −zj )u0 (zj )
.
Reluˆand rat¸ionamentul f˘acut la metoda Durand-Kerner obt¸inem formulele de recurent¸˘a (k)
(k+1)
zi
(k)
= zi
− 1+
Pn
j=1
j6=i
P (zi ) Qi (z (k) ) P (zj )
,
i ∈ {1, . . . , n}, k ∈ N.
(k) (k) (zi −zj )Qj (z (k) )
Ordinul de convergent¸˘a al metodei Nourein este 3. Metoda Wang-Zheng. Formulele de recurent¸˘a ale acestei metode sunt (k+1)
zi
(k)
= zi −
(k) P 0 (zi ) (k) P (zi )
−
(k) P 00 (zi ) (k) 0 2P (zi )
−
(k) P (zi ) (k) 0 2P (zi )
1 Pn ( j=1
1 2 (k) (k) ) z −z j6=i i j
+
Pn
1 j=1 (k) (k) 2 (z −z j6=i i j )
,
i ∈ {1, . . . , n}, k ∈ N. Ordinul de convergent¸˘a al metodei Wang-Zheng este 4. Determinarea aproximat¸iilor initiale ¸ A¸sa cum s-a v˘azut, convergent¸a metodei de rezolvare a unei ecuat¸ii polinomiale depinde de alegerea adecvat˘a a aproximat¸iilor init¸iale ale r˘ad˘acinilor. ˆIn acest sens sunt utile urm˘atoarele rezultate privind localizarea r˘ad˘acinilor unui polinom. Teorema 17.6.2 R˘ ad˘ acinile polinomului P (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an ∈ C[X] se afl˘ a ˆın discul B(0, R) cu R = 1 + |ab0 | , unde b = max{|a1 |, . . . , |an |}.
241
17.6. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR POLINOMIALE
Demonstrat¸ie. Pentru |z| > 1 au loc major˘arile |a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an | ≤ b(1 + |z| + . . . + |z|n−1 ) ≤ b
|z|n−1 . |z| − 1
¸si inegalit˘a¸tile n
|P (z)| ≥ |a0 ||z| − |a1 z Dac˘a |a0 | −
n−1
n
+ . . . + an−1 z + an | ≥ |z|
b >0 |z| − 1
⇔
|z| > 1 +
b |a0 | − |z| − 1
.
b = R, |a0 |
atunci |P (z)| > 0, adic˘a polinomul P nu are r˘ad˘acini ˆın afara discului B(0, R), de unde concluzia teoremei. Teorema 17.6.3 Fie Q ⊂ C un p˘ atrat cu centrul ˆın a ¸si semidiagonala r ¸si polinomul P (z) = b0 (z − a)n + b1 (z − a)n−1 + . . . + bn−1 (z − a) + bn ∈ C[X]. Dac˘ a |P (a)| > |b0 |rn + |b1 |rn−1 + . . . + |bn−1 |r atunci polinomul P nu are nici o r˘ ad˘ acin˘ a ˆın p˘ atratul Q. Demonstrat¸ie. Dac˘a z ∈ Q atunci |z − a| ≤ r. Deoarece |P (z) − P (a)| = |b0 (z − a)n + b1 (z − a)n−1 + . . . + bn−1 (z − a)| ≤ ≤ |b0 |rn + |b1 |rn−1 + . . . + |bn−1 |r din inegalitatea |P (z)| = |P (a) − (P (a) − P (z))| ≥ |P (a)| − |P (z) − P (a)| ≥ ≥ |P (a)| − (|b0 |rn + |b1 |rn−1 + . . . + |bn−1 |r) > 0, deducem c˘a polinomul P nu are r˘ad˘acini ˆın p˘atratul Q.
Partea IV
REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR PRIN METODE DE OPTIMIZARE
242
Capitolul 18
Elemente din teoria optimiz˘ arii Fie X un spat¸iu normat, domeniul D ⊆ X ¸si F : D → R o funct¸ional˘a diferent¸iabil˘a Fr´echet, m˘arginit˘a inferior. Problema de optimizare (PO) const˘a ˆın determinarea 1. f ∗ = inf x∈D f (x); 2. x∗ ∈ D (dac˘a exist˘a) astfel ˆıncˆat f (x∗ ) = inf x∈D f (x). Dac˘a a ∈ R, atunci not˘am prin Ma mult¸imea Ma = {x ∈ D : f (x) ≤ a}. ˆIn cazul X = Rn exist˘a mai multe metode eficiente de rezolvare a problemei de mai sus. ˆIn continuare vom presupune c˘a D este un domeniu convex. Drept aplicat¸ii, exist˘a posibilitatea rezolv˘arii unei ecuat¸ii liniare sau neliniare prin intermediul unei probleme de optimizare adecvatate.
18.1
Funct¸ionale diferent¸iabile
ˆIn cazul funct¸ionalelor, diferent¸iabilitatea Fr´echet coincide cu G-derivabilitatea. ˆIntr-adev˘ar, pentru x, x + h ∈ D funct¸ionala f este G- derivabil˘a ˆın x dac˘a exist˘a operatorul liniar ∇f (x) ∈ (X, X)∗ astfel ˆıncˆat f (x + th) − f (x) = ∇f (x)(h). t→0 t lim
Pentru h ∈ X, not˘am h0 =
h khk
¸si t = khk ¸si g˘asim
f (x + h) − f (x) − ∇f (x)(h) f (x + th0 ) − f (x) = lim − ∇f (x)(h0 ) = 0. t→0 h→0 khk t lim
Pentru x, x + h ∈ D fixat¸i introducem funct¸ia ϕ : [0, 1] → R definit˘a prin ϕ(t) = f (x + th). Au loc propriet˘a¸tile: 243
244
˘ CAPITOLUL 18. ELEMENTE DIN TEORIA OPTIMIZARII
1. Dac˘ a funct¸ionala f : D → R este diferent¸iabil˘ a Fr´echet
Teorema 18.1.1 atunci
ϕ0 (t) = f 0 (x + th)(h); R1 f (x + h) − f (x) = 0 f 0 (x + th)(h)dt;
(18.1) (18.2)
2. Dac˘ a funct¸ionala f : D → R este de dou˘ a ori diferent¸iabil˘ a Fr´echet atunci ϕ00 (t) = f 00 (x + th)(h)(h); R1 f (x + h) = f (x) + f 0 (x)(h) + 0 (1 − t)f 00 (x + th)(h)(h)dt.
(18.3) (18.4)
Demonstrat¸ie. Au loc egalit˘a¸tile ϕ(t + s) − ϕ(t) f (x + (t + s)h) − f (x + th) = lim = s→0 s→0 s s
ϕ(t) = lim
= ∇f (x + th)(h) = f 0 (x + th)(h), deoarece diferent¸iabilitatea Fr´echet implic˘a G-derivabilitatea. Cealalt˘a relat¸ie reprezint˘a transcrierea egalit˘a¸tii Z 1 ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ0 (t)dt. 0
Pct. 2 al teoremei se arat˘a asem˘an˘ator. (18.4) reprezint˘a transcrierea egalit˘a¸tii ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ0 (0) +
Z
1
(1 − t)ϕ00 (t)dt.
0
Exemplul 18.1.1 Fie X un spat¸iu prehilbertian real cu produsul scalar notat prin < ·, · > . Dac˘ a A ∈ (X, X)∗ , b ∈ X atunci funct¸ionala f (x) =
1 < A(x), x > − < b, x >, 2
f : X → X,
este diferent¸iabil˘ a Fr´echet ¸si f 0 (x) = A(x) − b. Teorema 18.1.2 Dac˘ a funct¸ionala f : D → R este diferent¸iabil˘ a Fr´echet cu derivata lipschitzian˘ a, adic˘ a exist˘ a L > 0 astfel ˆıncˆ at kf 0 (x) − f 0 (y)k ≤ Lkx − yk,
∀x, y ∈ D,
atunci pentru orice x, x + h ∈ D are loc inegalitatea f (x + h) ≤ f (x) + f 0 (x)(h) +
L khk2 2
245
18.2. FUNCT ¸ IONALE CONVEXE
Demonstrat¸ie. Utilizˆand (18.2) au loc relat¸iile Z f (x + h) − f (x) =
1
0
Z
0
[f (x + th)(h) − f (x)(h)]dt + 0
f 0 (x)(h)dt ≤
0
Z 1 Z 0 0 0 0 ≤ f (x)(h)+ [f (x + th) − f (x)](h)dt ≤ f (x)(h)+
1
|[f 0 (x+th)−f 0 (x)] (h)|dt ≤
0
0
Z
0
1
≤ f (x)(h) +
1
kf 0 (x + th) − f 0 (x)k khk dt ≤ f 0 (x)(h) +
0
18.2
L khk. 2
Funct¸ionale convexe
Fie D un domeniu convex a unui spat¸iu normat X. Funct¸ionala F : D → R este convex˘a este • convez˘a dac˘a f (ax + (1 − a)y) ≤ af (x) + (1 − a)f (y),
∀x, y ∈ D; ∀a ∈ (0, 1).
• strict convez˘a dac˘a f (ax + (1 − a)y) < af (x) + (1 − a)f (y),
∀x, y ∈ D, x 6= y; ∀a ∈ (0, 1).
• tare convez˘a dac˘a exist˘a m > 0 astfel ˆıncˆat ma(1 − a)kx − yk2 + f (ax + (1 − a)y) ≤ af (x) + (1 − a)f (y), ∀x, y ∈ D; ∀a ∈ (0, 1). ˆIn cazul unei funct¸ionale diferent¸iabil˘a Fr´echet tare convexitatea se poate caracteriza prin Teorema 18.2.1 Fie f : D ⊂ X → R o funct¸ional˘ a diferent¸iabil˘ a Fr´echet. Urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt echivalente (i) f este tare convex˘ a; (ii) Pentru orice x, x0 ∈ D are loc inegalitatea f (x) − f (x0 ) ≥ f 0 (x0 )(x − x0 ) + mkx − x0 k2 ;
(18.5)
(iii) Pentru orice x, x0 ∈ D are loc inegalitatea [f 0 (x) − f 0 (x0 )](x − x0 ) ≥ 2mkx − x0 k2 ;
(18.6)
246
˘ CAPITOLUL 18. ELEMENTE DIN TEORIA OPTIMIZARII
Dac˘ a f este de dou˘ a ori diferent¸iabil Fr´echet atunci afirmat¸iile anterioare sunt echivalente cu (iv) Pentru orice x ∈ D ¸si orice h ∈ X are loc inegalitatea f 00 (x)(h)(h) ≥ 2mkhk2 .
(18.7)
Demonstrat¸ie. (i)⇒(ii) Din inegalitatea f (tx + (1 − t)x0 ) + mt(1 − t)kx − x0 k2 ≤ tf (x) + (1 − t)f (x0 ) sc˘azˆand f (x0 ) ¸si ˆımp˘a¸tind la t ∈ (t, 1] se obt¸ine f (tx + (1 − t)x0 ) − f (x0 ) + m(1 − t)kx − x0 k2 ≤ f (x) − f (x0 ). t Pentru t → 0 rezult˘a f 0 (x0 )(x − x0 ) + mkx − x0 k2 ≤ f (x) − f (x0 ). (ii)⇒(i) Au loc inegalit˘a¸tile f (x) − f (tx + (1 − t)y) ≥ (1 − t)f 0 (tx + (1 − t)y)(x − y) + m(1 − t)2 kx − yk2 f (y) − f (tx + (1 − t)y) ≥ (1 − t)f 0 (tx + (1 − t)y)(y − x) + mt2 kx − yk2 ˆInmult¸ind prima inegalitate cu t, pe a doua cu 1 − t ¸si adunˆand g˘asim tf (x) + (1 − t)f (y) − f (tx + (1 − t)y) ≥ mt(1 − t)kx − yk2 . (ii)⇒(iii) Adunˆand inegalit˘a¸tile f (x) − f (x0 ) ≥ f 0 (x0 )(x − x0 ) + mkx − x0 k2 f (x0 ) − f (x) ≥ f 0 (x)(x0 − x) + mkx − x0 k2 rezult˘a 0 ≥ [f 0 (x) − f 0 (x0 )](x0 − x) + 2mkx − x0 k2 sau [f 0 (x) − f 0 (x0 )](x − x0 ) ≥ 2mkx − x0 k2 .
247
18.2. FUNCT ¸ IONALE CONVEXE
(iii)⇒(ii) Folosind (18.1) deducem succesiv Z 1 f 0 (x0 + t(x − x0 ))(x − x0 )dt = f (x) − f (x0 ) = 0
Z
1
0
Z
0
1
[f (x0 + t(x − x0 )) − f (x0 )](x − x0 )dt +
=
f 0 (x0 )(x − x0 )dt ≥
0
0
≥ 2mkx − x0 k
2
Z
1
tdt + f 0 (x0 )(x − x0 ) = mkx − x0 k2 + f 0 (x0 )(x − x0 ).
0
(iii)⇒(iv) ˆImp˘art¸ind cu t2 inegalitatea [f 0 (x + th) − f 0 (x)](th) ≥ 2mt2 khk2 obt¸inem
f 0 (x + th) − f 0 (x) (h) ≥ 2mkhk2 . t
Pentru t → 0 rezult˘a f 00 (x + th)(h)(h) ≥ 2mkhk2 . (iv)⇒(iii) Utilizˆand (18.4) avem 0
Z
f (x) = f (x0 )+f (x0 )(x−x0 )+
1
(1−t)f 00 (x0 +t(x−x0 ))(x−x0 )(x−x0 )dt ≥
0
≥ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + mkx − x0 k2 . Pentru funct¸ionale convexe formularea teoremei anterioare este Teorema 18.2.2 Fie f : D ⊂ X → R o funct¸ional˘ a diferent¸iabil˘ a Fr´echet. Urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt echivalente (i) f este convex˘ a; (ii) Pentru orice x, x0 ∈ D are loc inegalitatea f (x) − f (x0 ) ≥ f 0 (x0 )(x − x0 );
(18.8)
(iii) Pentru orice x, x0 ∈ D are loc inegalitatea [f 0 (x) − f 0 (x0 )](x − x0 ) ≥ 0;
(18.9)
Dac˘ a f este de dou˘ a ori diferent¸iabil Fr´echet atunci afirmat¸iile anterioare sunt echivalente cu (iv) Pentru orice x ∈ D ¸si orice h ∈ X are loc inegalitatea f 00 (x)(h)(h) ≥ 0.
(18.10)
248
18.3
˘ CAPITOLUL 18. ELEMENTE DIN TEORIA OPTIMIZARII
Propriet˘ a¸ti ale problemei de optimizare
M˘arginirea inferioar˘a a funct¸ionalei problemei de optimizare (PO) este garantat˘a de Teorema 18.3.1 Dac˘ a 1. funct¸ioanla f : D → R este diferent¸iabil˘ a Fr´echet cu derivata lipschtzian˘ a, ∃L > 0, astfel ˆıncˆ at kf 0 (x) − f 0 (y)k ≤ Lkx − yk,
∀x, y ∈ D;
2. exist˘ a a ∈ R astfel ˆıncˆ at mult¸imea Ma este m˘ arginit˘ a; atunci f este m˘ arginit˘ a inferior. Demonstrat¸ie. M˘arginirea mult¸imii Ma ˆınseamn˘a existent¸a unui num˘ar r > 0 cu proprietatea c˘a kxk ≤ 2r , pentru orice x ∈ Ma . Fie x, x0 ∈ Ma ¸si h = x − x0 . Atunci khk ≤ kxk + kx0 k ≤ r. Procedˆand analog calculului din demonstrat¸ia Teoremei 18.1.2, avem |f (x) − f (x0 )| = |f (x0 + h) − f (x0 )| = Z =|
1
0
0
[f (x0 + th) − f (x0 )]hdt + 0
≤ sau
Z
1
f 0 (x0 )(h)dt| ≤
0
Lkhk2 Lr2 + kf 0 (x0 )k khk ≤ + kf 0 (x0 )kr, 2 2
Lr2 − kf 0 (x0 )kr. 2 O caracterizare a solut¸iei (PO) este furnizat˘a de urm˘atoarea teorem˘a f (x) ≥ f (x0 ) −
Teorema 18.3.2 O condit¸ie necesar˘ a ca x∗ s˘ a fie solut¸ie pentru (PO) este f 0 (x∗ )(x − x∗ ) ≥ 0.
(18.11)
Dac˘ a funct¸ionala f este convex˘ a atunci condit¸ia este ¸si suficient˘ a. Demonstrat¸ie. Pentru x ∈ D ¸si t > 0 suficient de mic x∗ + t(x − x∗ ) ∈ D ¸si ˆın consecint¸˘a f (x∗ + t(x − x∗ )) ≥ f (x∗ ), sau
f (x∗ + t(x − x∗ )) − f (x∗ ) ≥ 0. t Pentru t → 0 rezult˘a f 0 (x∗ )(x − x∗ ) ≥ 0.
249
18.4. METODE DE DESCRES ¸ TERE
Reciproc, dac˘a f este o funct¸ional˘a convex˘a atunci, din (18.8) avem f (x) − f (x∗ ) ≥ f 0 (x∗ )(x − x∗ ) ≥ 0. Referitor la unicitatea solut¸iei, pentru funct¸ionale strict convexe (PO) a cel mult o solut¸ie. ˆIn cazul funct¸ionalelor tare convexe are loc urm˘atorul rezultat privind evaluarea erorii Teorema 18.3.3 Dac˘ a x∗ este punctul de minim al funct¸ionalei tare convexe f atunci are loc inegalitatea kx − x∗ k2 ≤
2 [f (x) − f (x∗ )]. m
(18.12)
Demonstrat¸ie. Proprietatea de minim a lui x∗ implic˘a f (x∗ ) ≤ f ( 12 x+ 12 x∗ ), ∀x ∈ D, iar din tare convexitate deducem 1 1 1 1 1 f (x∗ ) ≤ f ( x + x∗ ) ≤ f (x) + f (x∗ ) − mkx − x∗ k2 , 2 2 2 2 4 de unde se obt¸ine (18.12).
18.4
Metode de descre¸stere
Rezolvarea PO printr-o metod˘a de descre¸stere const˘a ˆın construirea ¸sirului xn+1 = xn + µn hn
(18.13)
unde (xn )n∈N reprezint˘a aproximat¸ii ale solut¸iei PO, hn ∈ X este direct¸ia de descre¸stere ¸si µn ∈ R este un coeficient. Un criteriu de alegere a direct¸iei de descre¸stere este Teorema 18.4.1 Fie f : X → R o funct¸ie diferent¸iabil˘ a Fr´echet. Dac˘ a f 0 (x)(h) < 0 atunci exist˘ a µ0 > 0 astfel ˆıncˆ at f (x + µh) < f (x)
∀µ ∈ (0, µ0 ).
Demonstrat¸ie. Limita f (x + µh) − f (x) = f 0 (x)(h) µ→0 µ lim
implic˘a ∀ 0 < ε < −f 0 (x)(h) ∃ µ0 > 0
astfel ˆıncˆat
f (x + µh) − f (x) − f 0 (x)(h) < ε ∀ µ ∈ (0, µ0 ), µ de unde f (x + µh) − f (x) < µ(f 0 (x)(h) + ε) < 0.
250
˘ CAPITOLUL 18. ELEMENTE DIN TEORIA OPTIMIZARII
Definit¸ie 18.4.1 Un element h ∈ X, khk = 1 este o direct¸ie de cea mai mare descre¸stere a funct¸ionalei f ˆın x dac˘ a f 0 (x)(h) = inf f 0 (x)(y) kyk=1
(18.14)
Teorema 18.4.2 Dac˘ a h este o direct¸ie de cea mai mare descre¸stere a funct¸ionalei f ˆın x atunci f 0 (x)(h) = −kf 0 (x)k. Demonstrat¸ie. Utilizˆand definit¸ia normei unui operator liniar, g˘asim f 0 (x)(h) = inf f 0 (x)(y) = − sup −f 0 (x)(y) = −k − f 0 (x)k = −kf 0 (x)k. kyk=1
kyk=1
n n Observat¸ie 18.4.1 a. Dac˘ a Fie X = R ¸si f : R → R o funct¸ie diferent¸iabil˘ ∂f (x) not˘ am ∇f (x) = ∂xi - gradientul funct¸iei f ˆın x - atunci 1≤i≤n
f 0 (x)(h) =< ∇f (x), h >=
n X ∂f (x) i=1
∂xi
hi
h = (hi )1≤i≤n ∈ Rn .
ˆ acest caz h = − ∇f (x) este o direct¸ie de cea mai mare descre¸stere a lui f ˆın In k∇f (x)k x. Metoda de descre¸stere cu alegerea la fiecare pas a antigradientul ca direct¸ie de descre¸tere poart˘a numele de metoda gradientului.
18.5
Metoda gradientului
Fie X un spat¸iu normat real. Pentru minimizarea funct¸ionalei diferent¸iabile Fr´echet f : X → R se consider˘a ¸sirul definit prin formula de recurent¸˘a xn+1 = xn + µn hn , cu hn = −f 0 (xn ) ¸si µn solut¸ia problemei de optimizare unidimensional˘a f (xn+1 ) = f (xn + µn hn ) = min f (xn + µhn ). µ>0
Rezultatele urm˘atoare prezint˘a propriet˘a¸ti de convergent¸a legate de ¸sirul (xn )n∈N . Teorema 18.5.1 Dac˘ a
251
18.5. METODA GRADIENTULUI
1. derivata Fr´echet f 0 (x) este lipschitzian˘ a, adic˘ a ∃L > 0
astfel ˆıncˆ at kf 0 (x) − f 0 (y)k ≤ Lkx − yk,
∀x, y ∈ X;
2. mult¸imea Mf (x0 ) este m˘ arginit˘ a atunci limn→∞ f 0 (xn ) = 0. Demonstrat¸ie. Teoreme 18.3.1 implic˘a marginirea inferioar˘a a ¸sitului (f (xn ))n∈N iar din determinarea parametrului de descre¸stere µn rezult˘a ca acest ¸sir este descresc˘ator. ˆIn consecint¸˘a exist˘a limn→∞ f (xn ). Fie µ > 0. Potrivit Teoremei 18.1.2 avem f (xn+1 ) ≤ f (xn + µhn ) ≤ f (xn ) + µf 0 (xn )(hn ) +
Lµ2 . 2
Deoarece hn este o direct¸ie de cea mai mare descre¸stere a funct¸ionalei f ˆın xn , din inegalitatea anterioar˘a deducem kf 0 (xn )k = −f 0 (xn )(hn ) ≤
f (xn ) − f (xn+1 ) Lµ + . µ 2
(18.15)
f (xn )−f (xn+1 ) Lµ ε = 0 exist˘a 2 < 2 . Deoarece limn→∞ µ f (xn )−f (xn+1 ) ε < 2 pentru orice n > n0 . n0 ∈ N astfel ˆıncˆat µ 0 Din (18.15) rezult˘a kf (xn )k < ε pentru orice n > n0 , adic˘a limn→∞ f 0 (xn ) =
Fie ε > 0 ¸si µ > 0 astfel ˆıncˆat
0. Teorema 18.5.2 Dac˘ a ˆın plus, funct¸ionala f este convex˘ a atunci exist˘ aα>0 astfel ˆıncˆ at f (xn ) − f ∗ ≤ αkf 0 (xn )k, ∀n ∈ N, unde f ∗ = inf x∈Mf (x0 ) f (x). Demonstrat¸ie. Din m˘arginirea mult¸imii Mf (x0 ) rezult˘a c˘a ¸si mult¸imea Mf (x0 ) − Mf (x0 ) este m˘arginit˘a, adic˘a exist˘ a α > 0 astfel ˆıncˆat Mf (x0 ) − Mf (x0 ) ⊆ B(0, α). Dac˘a y ∈ Mf (x0 ) atunci y − xn ∈ Mf (x0 ) − Mf (x0 ) ⊆ B(0, α) ¸si din egalitatea y = xn + (y − xn ) deducem incluziunea Mf (x0 ) ⊆ xn + B(0, α).
(18.16)
Fie h ∈ X, cu khk ≤ α. Deoarece xn +h ∈ xn +B(0, α), relat¸ia (18.16) implic˘a inf f (xn + h) ≤
khk≤α
inf
x∈Mf (x0 )
f (x) = f ∗
252
˘ CAPITOLUL 18. ELEMENTE DIN TEORIA OPTIMIZARII
¸si f ∗ − f (xn ) ≥ inf f (xn + h) − f (xn ). khk≤α
(18.17)
Potrivit Teoremei 18.2.2, convexitatea funct¸ionalei f implic˘a inegalitatea f (xn + h) − f (xn ) ≥ f 0 (xn )(h). Utilizˆand (18.17) deducem f ∗ − f (xn ) ≥ inf f (xn + h) − f (xn ) ≥ inf f 0 (xn )(h). khk≤α
khk≤α
Deoarece inf f 0 (xn )(h) = α inf f 0 (xn )(h) = −α sup −f 0 (xn )(h) = −αkf 0 (xn )k
khk≤α
khk≤1
khk≤1
inegalitatea de mai sus devine f ∗ − f (xn ) ≥ −αkf 0 (xn )k. Din Teoremele 18.3.3 ¸si 18.5.2 rezult˘a Teorema 18.5.3 Dac˘ a ˆın plus, funct¸ionala f este tare convex˘ a ¸si x∗ este solut¸ia problemei de optimizare atunci limn→∞ xn = x∗ .
Capitolul 19
Rezolvarea ecuat¸iilor prin optimizare 19.1
Rezolvarea unui sistem algebric neliniar printr-o metod˘ a de optimizare
Fiind date funct¸iile diferent¸iabile Ti : Rn → R, i ∈ {1, 2, . . . , m}, pentru rezolvarea sistemului algebric de ecuat¸ii neliniare T1 (x1 , . . . , xn ) = 0 .. (19.1) T (x) = 0 ⇔ . Tm (x1 , . . . , xn ) = 0 se minimizeaz˘a funct¸ionala f : Rn → R definit˘a prin f (x) =
m X
Ti2 (x) = kT (x)k22 .
(19.2)
i=1
Dac˘a f (x) = 0 atunci x este un punct de minim al funct¸ionalei f ¸si solut¸ie a sistemului (19.1). Pentru minimizarea funct¸ionalei f utiliz˘am metode gradientului. Gradientul lui f este ∂f (x) ∂T1 (x) ∂Tm (x) . . . T1 (x) ∂x1 ∂x1 ∂x1 . .. .. .. 0 T f 0 (x) = = 2(T (x)) T (x). . . ... . .. = 2 ∂f (x) ∂xn
∂T1 (x) ∂xn
...
∂Tm (x) ∂xn
Tm (x)
Coeficientul de descre¸stere µ se obt¸ine din minimizarea funct¸iei ϕ(µ) = f (x−µf 0 (x)) =
m X
Ti2 (x−µf 0 (x)) =
i=1
m X 2 Ti (x) − µ(Ti0 (x))T f 0 (x) + . . . , i=1
253
254
CAPITOLUL 19. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR PRIN OPTIMIZARE
a c˘arei prim˘a aproximat¸ie este polinomul de gradul al doilea ψ(µ) =
m X 2 Ti (x) − µ(Ti0 (x))T f 0 (x) = i=1
= kT (x)k22 − 2µ
m X
Ti (x)(Ti0 (x))T f 0 (x) + µ2
i=1
m X 0 2 (Ti (x))T f 0 (x) . i=1
Drept coeficient de descre¸stere se alege punctul de minim al funct¸iei ψ(µ). Deoarece (Ti0 (x))T f 0 (x) = 2(Ti0 (x))T (T 0 (x))T T (x) sunt componentele vectorului (T10 (x))T 0 .. T 0 0 T 2 (T (x)) T (x) = 2T (x)(T (x)) T (x) . 0 (x))T (Tm
expresia funct¸iei ψ(µ) devine ψ(µ) = kT (x)k22 − 4µ(T (x))T T 0 (x)(T 0 (x))T T (x) + 4µ2 kT 0 (x)(T 0 (x))T T (x)k22 = = kT (x)k22 − 4µkT 0 (x))T T (x)k22 + 4µ2 kT 0 (x)(T 0 (x))T T (x)k22 . A¸sadar µ = argmin ψ(µ) =
k(T 0 (x))T T (x)k22 . 2kT 0 (x)(T 0 (x))T T (x)k22
Aproximarea unei solut¸ii a sistemului (19.1) se g˘ase¸ste cu ¸sirul (x(k) )k∈N definit prin formula de recurent¸˘a x(k+1) = x(k) −
19.2
k(T 0 (x(k) ))T T (x(k) )k22 (T 0 (x(k) ))T T (x(k) ). 2 (k) (k) (k) 0 0 T kT (x )(T (x )) T (x )k2
Rezolvarea unui sistem algebric de ecuat¸ii liniare ˆın sensul celor mai mici p˘ atrate
Fie A ∈ Mm,n (C) cu m ≥ n ¸si b ∈ Cm . Rezolvarea sistemului algebric Ax = b ˆın sensul celor mai mici p˘atrate const˘a ˆın determinarea unui x∗ ∈ Cn astfel ˆıncˆ at kb − Ax∗ k2 = minn kb − Axk2 . x∈C
Teorema 19.2.1 Fie A ∈ Mm,n (C) cu m ≥ n ¸si b ∈ Cm . Solut¸ia sistemului algebric de ecuat¸ii liniare Ax = b, ˆın sensul celor mai mici p˘ atrate este dat˘ a de solut¸ia sistemul algebric AH Ax = AH b.
255
19.3. REZOLVAREA UNEI ECUAT ¸ II LINIARE PRIN METODE DE OPTIMIZARE
Demonstrat¸ie. T ¸ inˆand seama de (11.4), vectorul b se scrie b = b1 + b2 , cu b1 ∈ Im(A) ¸si b2 ∈ Ker(AH ) = (Im(A))⊥ . Exist˘a x∗ ∈ Cn astfel ˆıncˆat Ax∗ = b1 . Pentru orice x ∈ Cn au loc inegalit˘a¸tile kb − Axk22 = k(b1 − Ax) + b2 k22 = kb1 − Axk22 + kb2 k22 ≥ kb2 k22 = = kb2 − Ax∗ k22 + kb2 k22 = kb − Ax∗ k22 , adic˘a x∗ este solut¸ie a ˆın sesnsul celor mai mici p˘atrate a sistemului Ax = b. Deoarece b2 ∈ Ker(AH ), avem AH (b − Ax∗ ) = AH (b1 − Ax∗ ) + AH b2 = AH b2 = 0, sau AH Ax∗ = AH b. Observat¸ie 19.2.1 Dac˘ a rang(A) = n, atunci solut¸ia sistemului Ax = b, ˆın sensul celor mai mici p˘ atrate este unic˘ a. ˆIntr-adevar, ˆın acest caz Ker(A) = {0}, operatorul A fiind injectiv, sistemul Ax = b1 are solut¸ie unic˘a.
19.3
Rezolvarea unei ecuat¸ii liniare prin metode de optimizare
Fie X un spat¸iu Hilbert real, D(A) un subspat¸iu liniar al lui X, un operator liniar A ∈ (D(A), X)# ¸si b ∈ X. Problema studiat˘a ˆın aceast˘a sect¸iune este rezolvarea ecuat¸iei A(x) = b (19.3) Definit¸ie 19.3.1 Operatorul liniar A ∈ (D(A), X)# este • simetric dac˘a < A(x), y >=< x, A(y) >, • pozitiv dac˘a < A(x), x >≥ 0,
∀x, y ∈ D(A);
∀x ∈ D(A);
• strict pozitiv dac˘a < A(x), x >> 0,
∀x ∈ D(A)\{0};
• tare pozitiv dac˘a ∃m > 0 astfel ˆıncˆat < A(x), x >≥ mkxk2 ,
∀x ∈ D(A).
Dac˘a operatorul A este strict pozitiv atunci ecuat¸ia (19.3) are cel mult o solut¸ie. Ata¸sam ecuat¸iei (19.3) funct¸ionala J : D(A) → X definit˘a prin J(x) =< A(x), x) − 2 < b, x > Au loc urm˘atoarele propriet˘a¸ti simple ale funct¸ionalei J.
(19.4)
Partea V
ANEXE
256
Anexa A
Not¸iuni de teoria erorilor ˆIn cursul rezolv˘arii unei probleme numerice apar erori. Potrivit sursei, se pot distinge trei tipuri de erori: 1. Erori inerente, care provin din simplificarea modelului fizic ˆın procesul de modelare matematica, din m˘asur˘atorile init¸iale, din calculele anterioare problemei, etc. 2. Erori de metod˘ a. ˆIn general metoda de calcul numeric construie¸ste un ¸sir de aproximat¸ii convergent c˘atre solut¸ia problemei de calcul numeric, iar din punct de vedere practic se calculeaz˘a un element al ¸sirului de aproximat¸ii. 3. Erori de rotunjire ˆın datele de intrare, ˆın calcule si ˆın datele de ie¸sire ca urmare a utiliz˘arii unui sistem de calcul ce folose¸ste un mod specific de reprezentare a numerelor.
A.1
Eroare absolut˘ a ¸si eroare relativ˘ a
Fie x o aproximat¸ie a valorii exacte a ∈ R. Definit¸ia 1 ∆x = a − x este eroarea aproximat¸iei x; |∆x| = |a − x| este eroarea absolut˘ a a aproximat¸iei x; |∆x| δx = |a| este eroarea relativ˘ a a aproximat¸iei x , (a 6= 0). Not¸iunile introduse se extind pentru elemente ale unui spat¸iu liniar normat prin ||∆x|| ||∆x|| = ||a − x||, δx = . ||a|| 257
258
A.2
ANEXA A. NOT ¸ IUNI DE TEORIA ERORILOR
Reprezentarea numerelor ˆın virgul˘ a mobil˘ a
Fie t, r, b ∈ N∗ , b > 1 ¸si not˘am: b1 = b − 1 (cea mai mare cifr˘a ˆın baza b); q = b1 . . . b1 (cel mai mare num˘ar ˆın baza b avˆand r cifre). | {z } r cifre ˆIn cele ce urmeaz˘a toate numerele naturale sunt scrise ˆın baza b. Orice num˘ar a ∈ R+ se scrie succesiv a−1 a−2 (A.1) + 2 + ... = b b ! ! t ∞ X X ae−k b−k be + ae−k bt−k be−t .
a = ae be + ae−1 be−1 + . . . + a1 b + a0 +
=
∞ X
! ae−k b−k
be =
k=0
Notˆand f˜ =
k=0
Pt
k=0 ae−k b
−k
¸si g˜ =
k=t+1
P∞
k=t+1 ae−k b
t−k
relat¸ia (A.1) devine
a = f˜ be + g˜ be−t
(A.2)
Exemplul A.2.1 Fie t = 4, s = 2, b = 10 ¸si a = 1492.631435. Atunci a = 1.492631435 103 = 1.4926 103 + 0.31435 10−1 . Consider˘am mult¸imea Vt,r,b = {x ∈ R : x = s f be } ∪ {0} unde: • f este un num˘ar avˆand t cifre dup˘a punctul zecimal ¸si cu partea ˆıntreag˘ a format˘a dintr-o singur˘a cifr˘a nenul˘a. f = f0 .f−1 . . . f−t b , f0 6= 0. f se nume¸ste mantis˘a ¸si ˆın acela¸si timp vom spune c˘a f este o form˘a normalizat˘ a. • e este un num˘ar ˆıntreg de cel mult r cifre. • s corespunde semnului, s = 1 sau s = −1. Astfel reprezentarea unui num˘ar real a ˆın virgul˘a mobil˘a este caracterizat˘a de tripletul (s, e, f ). Reprezentarea lui 0 = 0b−q este (±1, −q, 0). Cel mai mic ¸si cel mai mare num˘ar pozitiv ale mult¸imii Vt,r,b , sunt m = 1.0 b−q ¸si respectiv M = b1 .b1 . . . b1 bq . | {z } t cifre Astfel Vt,r,b este o submult¸ime de numere rat¸ionale a mult¸imii
259
˘ MOBILA ˘ A.3. ARITMETICA NUMERELOR ˆIN VIRGULA
[−M, −m] ∪ {0} ∪ [m, M ]. Reprezentarea unui num˘ar real a ∈ R∗ ˆın virgul˘a mobil˘a se obt¸ine aproximˆand a printr-un element al mult¸imii Vt,r,b . Pornind de la reprezentarea (A.2) pentru |a| = f˜ be + g˜ be−t , cu f˜ form˘a normalizat˘a ¸si e avˆand cel mult r cifre, exist˘a mai multe procedee de construire a unei aproximat¸ii a lui a prin elementele mult¸imii Vt,s,b . 1. Aproximarea prin trunchiere: x = f˜ be . f˜ 2. Aproximarea prin rotunjire: x = f˜ + be−t
dac˘a g < 12 be−t dac˘a g ≥ 12 be−t
Aproximat¸ia lui a ˆın Vt,r,b va fi fl(a) = sgn(a)x.
A.3
Aritmetica numerelor reale reprezentate ˆın virgul˘ a mobil˘ a
Definim operat¸iile aritmetice ˆın Vt,s,b : Adunarea / Sc˘ aderea. Pentru a aduna/sc˘adea numerele fl(a1 ), fl(a2 ) se efectueaz˘a urm˘atoarele operat¸ii: 1. Se aduc numerele fl(a1 ) ¸si fl(a2 ) la exponentul cel mai mare, p˘astrˆan-du-se num˘arul de zecimale (t) ale mantiselor; 2. Se adun˘a/scad mantisele; 3. Se renormeaz˘a rezultatul: dac˘a mantisa este diferit˘a de 0 atunci se modific˘a exponentul astfel ˆıncˆat mantisa s˘a fie o form˘a normalizat˘a; dac˘a mantisa este 0, atunci exponentului i se atribuie valoarea −q. Rezultatul astfel obt¸inut ˆıl not˘am fl(a1 ) ⊕ fl(a2 ). Exemplul A.3.1 Fie t = 4, r = 2, b = 10 ¸si a1 = 99.01325, a2 = 0.98724. S˘ a se calculeze fl(a1 ) ⊕ fl(a2 ). Atunci fl(a1 ) = 9.9013 101 , fl(a2 ) = 9.8724 10−1 ¸si 9.9013 101 + 0.0987 101 = 10.0000 101 → 1.0000 · 102 = fl(a1 ) ⊕ fl(a2 ). ˆ general adunarea nu este asociativ˘ Observat¸ie A.3.1 In a, dup˘ a cum rezult˘ a din exemplul (t=4, r=2, b=10). Exemplul A.3.2 Fie a1 = 0.0123, a2 = 5678, a3 = −5678.
260
ANEXA A. NOT ¸ IUNI DE TEORIA ERORILOR
T ¸ inˆand seama de egalit˘a¸tile: fl(a1 ) = 1.2300 10−2 , fl(a2 ) = 5.6780 103 , fl(a3 ) = −5.6780 103 obt¸inem (fl(a1 ) ⊕ fl(a2 )) ⊕ fl(a3 ) = (0.0000 103 + 5.6780 103 ) ⊕ fl(a3 ) = = 5.6780 103 − 5.6780 103 = 0.0000 103 → 0.0000 10−99 ¸si fl(a1 ) ⊕ (fl(a2 ) ⊕ fl(a3 )) = fl(a1 ) ⊕ (5.6780 103 − 5.6780 103 ) = = 1.2300 10−2 + 0.0000 10−99 = 1.2300 10−2 + 0.0000 10−2 = 1.2300 10−2 .
ˆ Inmult ¸irea/ˆımp˘ art¸irea. Produsul/cˆatul dintre fl(a1 ), fl(a2 ) se obt¸ine efectuˆand operat¸iile: 1. Se ˆınmult¸esc/ˆımpart mantisele ¸si se adun˘a/scad exponent¸ii; 2. Se renormeaz˘a rezultatul ˆın sensul precizat la adunare/sc˘adere. Rezultatul se noteaz˘a cu fl(a1 ) fl(a2 ). Exemplul A.3.3 Fie t = 4, s = r, b = 10 ¸si a1 = 40.1345, a2 = 0.06346. S˘ a se calculeze fl(a1 ) fl(a2 ). Atunci fl(a1 ) = 4.0134 101 ¸si fl(a2 ) = 6.3460 10−2 . Rezult˘a: 4.0134 101 · 6.3460 10−2 = 25.4690364 10−1 → 2.5469 100 = fl(a1 ) fl(a2 ).
ˆ general, ˆınmult¸irea nu este asociativ˘ Observat¸ie A.3.2 In a.
A.4
Protocolul IEEE 754
Protocolul IEEE (Institute for Electrical and Electronics Engineers) 754 fixeaz˘a detaliile de implementare a reprezent˘arii numerelor reale ˆın virgul˘a mobil˘ a. Baza de numerotat¸ie este b = 2. Fie x = s f 2e ∈ Vt,r,2 reprezentarea ˆın virgul˘a mobil˘a a unui num˘ar a. ˆIn memoria calculatorului se va ret¸ine tripletul (σ, , φ) unde:
A.4. PROTOCOLUL IEEE 754
261
• σ corespunde semnului: 0 1
pentru numere pozitive pentru numere negative
• φ corespunde mantisei f. Cifra unit˘a¸tilor fiind diferit˘a de 0 este neap˘arat 1. Aceast˘a cifra nu este ˆınregistrat˘a. Dac˘a f = f0 .f−1 . . . f−t b atunci φ este ¸sirul de cifre binare φ = (f−1 , . . . , f−t ). • Presupunem c˘a e ∈ {emin , . . . , emax }, emin , emax ∈ Z, cu cel mult r cifre binare. La exponentul e se adun˘a o constant˘a E astfel ˆıncˆat pentru orice e ∈ {emin , . . . , emax }, e ∈ Z, suma e + E s˘a fie un num˘ar natural avˆand cel mult r cifre binare. ˆIn felul acesta semnul exponentului nu mai trebuie precizat explicit. este ¸sirul cifrelor binare ale sumei e + E, = (r−1 , . . . , 1 , 0 ). Protocolul IEEE 754 permite ¸si reprezentarea unor numere pentru care ˆın relat¸ia (A.2) corespunz˘atoare, are loc inegalitatea e < emin . ˆIn acest caz = 01 iar f este o form˘a nenormalizat˘a, f = 0.f−1 . . . f−t 2 . Cel mai mic num˘ar reprezentabil va fi 2−E−t , c˘aruia ˆıi corespunde φ = (0, 0, . . . , 0, 1) . | {z } t elemente Ultima cifr˘a a mantisei φ se obt¸ine prin rotunjire. Num˘arului 0 ˆıi corespund = 0 ¸si φ = 0. Dac˘a = (1, 1, . . . , 1, 1) ¸si φ = 0 atunci reprezentarea corespunde pentru s∞. | {z } r elemente Dac˘a = (1, 1, . . . , 1, 1) ¸si φ 6= 0 atunci semnificat¸ia reprezent˘arii este NaN | {z } r elemente (Not a Number). Parametri utilizat¸i pentru reprezentarea ˆın simpl˘ a ¸si dubl˘ a precizie. Reprezentarea pe 4 octet¸i (simpl˘a precizie) 8 octet¸i (dubl˘a precizie) emin -126 -1022 emax 127 1023 E 127 1023 r 8 11 t 23 52 Exemplu. Fie a = 0.1. Reprezentarea ˆın baza 2 a lui a este a = 0.000(1100)2 = 1.(1001)2 2−4 . 1
Prin 0 s-a notat ¸sirul cu toate elementele egale cu 0.
262
ANEXA A. NOT ¸ IUNI DE TEORIA ERORILOR
1. Reprezentarea ˆın simpl˘a precizie. e + E = 123 = 11110112 . Se obt¸ine reprezentarea 3 10987654 σ 00111101
2 32109876 φ 11001100
1 54321098
76543210
11001100
11001101
Octet¸ii reprezent˘arii cont¸in valorile: 61,204,204,205. 2. Reprezentarea ˆın dubl˘a precizie. e + E = 1019 = 11111110112 . Se obt¸ine reprezentarea 6 32109876 σ 00111111 3 10987654 10011001
5 54321098 φ 10111001 2 32109876 10011001
4 76543210 10011001 1 54321098 10011001
89765432 10011001 76543210 10011010
Octet¸ii reprezent˘arii cont¸in valorile: 63,185,153,153,153,153,153,154. Mediul de programare Java utilizeaz˘a standardul IEEE 754 pentru reprezentarea numerelor reale – tipurile predefinite float, double – ˆın virgul˘a mobil˘a.
A.5
Controlul erorii
Exemplific˘am aparit¸ia ¸si controlul erorii de metod˘a ˆın problema calculului √ num˘arului e astfel ˆıncˆat eroarea absolut˘a s˘a fie cel mult ε = 10−3 . Din egalitatea ex = 1 + pentru x =
1 2
√
x x2 xn eθ·x · xn+1 + + ... + + 1! 2! n! (n + 1)!
(0 < θ < 1)
obt¸inem θ
1 1 1 1 1 1 e2 1 · n+ · n+1 . e = 1 + · + · 2 + ... + 1! 2 2! 2 n! 2 (n + 1)! 2
Potrivit relat¸iei de mai sus, aproximat¸ia lui x=1+
√
e va fi
1 1 1 1 1 1 · + · 2 + ... + · 1! 2 2! 2 n! 2n
263
A.5. CONTROLUL ERORII
θ
e2 1 termenul (n+1)! exprim˘a eroarea metodei de calcul. Pentru a putea efectua · 2n+1 calculele trebuie s˘a determin˘am parametrul n, pe care ˆıl alegem drept cel mai mic num˘ar natural pentru care θ
e2 1 ≤ ε. · (n + 1)! 2n+1 θ
1
Deoarece θ ∈ (0, 1), avem e 2 ≤ e 2 ≤ e ≤ 3 ¸si ˆın consecint¸˘a inegalit˘a¸tile: θ
e2 3 1 · n+1 ≤ n+1 ≤ 10−3 (n + 1)! 2 2 · (n + 1)! au loc pentru n ≥ 4. Pentru n = 4 g˘asim x=1+
1 1 1 1 1 1 1265 1 1 · + · 2+ · 3+ · 4 = . 1! 2 2! 2 3! 2 4! 2 768
ˆIn general, suntem interesat¸i ˆın scrierea rezultatului sub form˘a de fract¸ie zecimal˘a. ˆIn cazul nostru rezultatul 1265 ¸ie periodic˘a mixt˘a, dar din 768 apare ca o fract considerente practice rezultatul se va rotunji la un num˘ar de zecimale. ˆIn felul acesta apare ˆınca o eroare de trunchiere. Fie numerele pozitive ε1 , ε2 astfel ˆıncˆat ε1 + ε2 = ε. Vom impune condit¸ia ca eroarea metodei s˘a fie mai mic˘a decˆat ε1 iar rotunjirea se va face la un num˘ar de zecimale astfel ˆıncˆat eroarea de trunchiere s˘a fie mai mic˘a decˆat ε2 . Reamintim regulile de rotunjire ale unui num˘ar p
a = ap · 10 + ap−1 · 10
p−1
+ ... =
∞ X
ap−k · 10p−k
k=0
scris ˆın baza 10 la m cifre: • dac˘a prima cifr˘a omis˘a este mai mic˘a decˆat 5, atunci ultima cifr˘a p˘astrat˘a se las˘a nemodificat˘a; • dac˘a prima cifr˘a omis˘a este mai mare decˆat 5, atunci ultima cifr˘a p˘astrat˘a se m˘are¸ste cu o unitate; • dac˘a prima cifr˘a omis˘a este 5 ¸si dac˘a dup˘a 5 urmeaz˘a cifre diferite de 0, atunci ultima cifr˘a p˘astrat˘a se m˘are¸ste cu o unitate, iar dac˘a dup˘a 5 urmeaz˘a numai zerouri, atunci ultima cifr˘a p˘astrat˘a se m˘are¸ste sau nu cu o unitate dup˘a cum este par˘a sau impar˘a.
264
ANEXA A. NOT ¸ IUNI DE TEORIA ERORILOR
Eroarea absolut˘a care se face ˆın urma rotunjirii la m cifre este |∆x| ≤
1 · 10p−m+1 2
Relu˘am problema init¸ial˘a, luˆand ε1 = ε2 =
1 2
· 10−3 . Inegalitatea
3 1 < · 10−3 2n+1 · (n + 1)! 2 are loc pentru orice n ≥ 5. Pentru n = 5 obt¸inem 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 · + · 2 + · 3 + · 4 + · 5. 1! 2 2! 2 3! 2 4! 2 5! 2 Determin˘am num˘arul cifrelor la care efectu˘am rotunjirea drept cel mai mic num˘ar natural m pentru care x=1+
1 1 · 10−m+1 < · 10−3 . 2 2 Rezult˘a m = 4 ¸si ˆın consecint¸˘a y = 1.6487. |∆y| = |x − y| ≤
O conexiune ˆıntre o aproximat¸ie x a unui num˘ar, rotunjirea lui x la m zecimale ¸si aproximat¸iile prin lips˘a ¸si adaus ale num˘arului este dat˘a de Dac˘ a x este o aproximat¸ie a num˘ arului subunitar a astfel ˆıncˆ at |∆x| < 12 · 10−m , atunci rotunjirea lui x la m zecimale coincide sau cu aproximarea prin lips˘ a, sau cu aproximarea prin adaus a lui a la m zecimale. ˆIntr-adev˘ar, dac˘a a = P∞ a−kk , atunci aproximarea prin lips˘a ¸si prin adaus k=1 10 a lui aP la m zecimale sunt: a−k σm = m si respectiv τm = σm + 101m . k=1 10k ¸ Fie y rotunjirea lui x la m zecimale. Din inegalitatea |∆y| = |y −x| ≤ 12 ·10−m deducem |a − y| ≤ |a − x| + |x − y| < 10−m . Rezult˘a inegalit˘a¸tile σm − 10−m ≤ a − 10−m < y < a + 10−m ≤ τm + 10−m = σm + 2 · 10−m . Multiplicˆand cu 10m , g˘asim 10m · σm − 1 < 10m · y < 10m · σm + 2. Deoarece 10m · σm , 10m · y ∈ N , urmeaz˘a c˘a 10m · y = 10m · σm sau 10m · y = 10m · σm + 1, adic˘a y = σm sau y = σm + 10−m = τm .
A.5. CONTROLUL ERORII
265
Probleme ¸si teme de seminar P A.1 S˘ a se elaboreze un program Java care s˘ a se verifice reprezentarea numerelor reale ˆın virgul˘ a mobil˘ a. import java.io.*; public class Reprez{ public static void main(String args[]){ byte b[]=new byte[10]; int x; try{ ByteArrayOutputStream bos=new ByteArrayOutputStream(); DataOutputStream dos=new DataOutputStream(bos); double a=0.1; System.out.println("a="+a); dos.writeDouble(a); b=bos.toByteArray(); dos.close(); bos.close(); for(int i=0;i
Anexa B
Implementarea metodelor iterative Metodele numerice iterative conduc la construirea unui ¸sir de aproximat¸ii succesive (xk )k∈N ale unei solut¸ii c˘autate. Programarea metodei iterative necesit˘ a o regul˘a de opirire. Este utilizat˘a frecvent urm˘atoarea regul˘a de oprire: Dac˘ a distant¸a ˆıntre dou˘ a aproximat¸ii succesive xk = X ¸si xk+1 = Y este mai mic˘ a decˆ at un num˘ ar pozitiv EPS, sau dac˘ a num˘ arul de iterat¸ii executate NI este egal cu num˘ arul maxim admis de iterat¸ii NMI atunci programul se opre¸ste; iar ˆın caz contrar se trece la o nou˘ a iterat¸ie. ˆ cazul opririi calculelor, se pozit¸ioneaz˘ In a un indicator de r˘ aspuns IND pe 0, dac˘ a distant¸a dintre aproximat¸iile succesive X ¸si Y este mai mic˘ a decˆ at EPS, iar ˆın caz contrar pe 1. Regula de oprire are schema logic˘a:
DA
? H HH
H NU − Y || ≤ EP SH H||X H HH ? ? H HH HH NU IN D = 0 DA - spre o HNI = NMI nou˘a HH iterat¸ie H ?
IN D = 1 ? STOP
266
267 Schema logic˘a a unui algoritm relativ la o metod˘a iterativ˘a este: START ?
Preg˘atirea primei iterat¸ii X ?
NI = 0 ?
NI = NI + 1 ?
Calculul iterat¸iei urm˘atoare Y ? HH HH Preg˘atirea ar¸sit-iterat H sfˆ ¸iei urm˘atoare Regula de oprire HH X←Y H HH
sfˆar¸sit
? STOP
Anexa C
Determinarea parametrilor unor metode numerice Pentru a putea folosi o metod˘a numeric˘a, parametrii care intervin trebuie determinate exact. ˆIn acest scop se pot utiliza produse program de calcul simbolic. Aplicat¸iile care urmeaz˘a se bazeaz˘a pe Derive. 1. Numerele lui Cˆ otes sunt Z n n−i (−1) Cn,i = q(q − 1) . . . (q − i + 1)(q − i − 1) . . . (q − n)dq. ni!(n − i)! 0 Programarea ˆın Derive este #1: cotes(n,i):=(-1)^i/(n i!(n-i)!) int(product(if(j6=i,q-j,1), j,1,n),q,0,n) Tabloul numerelor lui Cˆotes se obt¸ine prin simplificarea expresiei #2 vector(vector(cotes(n,i),i,0,n),n,1,4) Rezult˘a: 7 16 2 16 7 #3 [[ 12 , 21 ], [ 16 , 23 , 61 ], [ 18 , 38 , 38 , 81 ], [ 90 , 45 , 15 , 45 , 90 ]]
2. Calculul nodurilor ¸si coeficient¸ilor formulei de integrare numeric˘ a de tip Gauss ρ(x) = 1. Polinoamele ortogonale cu ponderea ρ(x) = 1, ˆın intervalul [a, b] sunt polinoamele lui Legendre Pn (x) =
n! [(x − a)n (x − b)n ](n) (2n)! 268
269
#1 p(n,x):=n!/(2n)! dif((x-a)^n(x-b)^n,x,n) Pentru formula de integrare numeric˘a Gauss cu n noduri, acestea sunt r˘ad˘acinile polinomului Legenfre Pn (x). #2 nod(n):=vector(rhs(element(solve(p(n,x),x),i)),i,1,n) Nodurile formulelor de integrare numeric˘a pentru n = 1, . . . , 4 sunt #3 vector(nod(n),n,1,4) Comanda Simplify produce √
√ √ √ 3·|a−b| a+b 3·|a−b| a+b 15·|a−b| a+b 15·|a−b| a+b a+b + , − ], [ , + , − 2 ], 6 2 2q √2 10 10 q √ q √ 6 q 2√ 2· 30 3 2· 30 3 2· 30 3 2· 30 3 a·( ( 35 + 7 )+1)+b·(1− ( 35 + 7 )) b·( ( 35 + 7 )+1)−a·( ( 35 + 7 )−1) [ , , 2 2 q q q q √ √ √ √ 3 2· 30 3 2· 30 3 2· 30 3 2· 30 a·( ( 7 − 35 )+1)+b·(1− ( 7 − 35 )) b·( ( 7 − 35 )+1)−a·( ( 7 − 35 )−1) [ , ]] 2 2
#4 [[ a+b 2 ], [
Coeficient¸ii formulei de integrare numerica Gauss se pot obt¸ine ˆın Derive folosind formula Ai =
(n!)4 (b − a)2n+1 (n!)4 (b − a)2n+1 Q . = 0 2 2 − a)(b − xi )[Pn (xi )] (2n!) (xi − a)(b − xi ) nj=1 (xi − xj )2
(2n!)2 (xi
j6=i
#5 C(n,i):=(n!)^4(b-a)^(2n+1)/(((2n)!)^2 (element(nod(n),i)-a)(b-element(nod(n),i)) product( if(j=i,1,(element(nod(n),i)-element(nod(n),j))^2), j,1,n))
Form˘am vectorul coeficient¸ilor #6 coef(n):=vector(C(n,i),i,1,n)
¸si simplific˘am expresia
270
ANEXA C. DETERMINAREA UNOR PARAMETRI NUMERICI
#7 vector(coef(n),n,1,3) 4·(b−a) 5·(b−a) 5·(b−a) b−a #8 [[b − a], [ b−a , 18 , 18 ]] 2 , 2 ], [ 9 Pentru n = 4, coeficient¸ii se obt¸in utilizˆand comanda Approx, ˆın loc de Simplify, dup˘a ce s-au fixat valorile lui a ¸si b. #9 a:=-1 #10 b:=1 #11 coef(4) #12 [0.347855, 0.343755, 0.652146, 0.652146]
Dac˘a n > 4, atunci pentru calculul nodurilor ¸si coeficient¸ilor se procedeaz˘ a analog. 3. Calculul coeficient¸ilor schemei de calcul Adams sunt r X i αi j = 0, 1, . . . , r βj = (−1)j j i=j
unde α0 = p + R q 1 p αi = i! −q z(z + 1) . . . (z + i − 1)dz
i = 1, 2, . . . , r.
Calculul acestor coeficient¸i se programeaz˘a ˆın Derive prin #1 α(i,p,q):=if(i=0,p+q,1/i!int(product(z+j,j,0,i-1),z,-q,p)) #2 β(r,j,p,q):=(-1)^j sum(comb(k,j)α(k,p,q),k,j,r) Coeficient¸ii schemei de calcul Adams - Bashforth (p = 1, q = 0) se obt¸in din #3 vector(vector(β (r,j,1,0),j,0,r),r,1,5) 4 5 55 59 37 3 1901 1387 109 637 251 #4 [[ 23 , − 21 ], [ 23 12 , − 3 , 12 ], [ 24 , − 24 , 24 , − 8 ], [ 720 , − 360 , 30 , − 360 , 720 ], 4277 4991 3649 959 95 [ 1440 , − 2641 480 , 720 , − 720 , 480 , − 288 ]] Coeficient¸ii schemei de calcul Adams - Moulton (p = 0, q = 1) se obt¸in din #5 vector(vector(β (r,j,0,1),j,0,r),r,1,5) 5 2 1 3 19 5 1 251 323 11 53 19 #6 [[ 21 , 21 ], [ 12 , 3 , − 12 ], [ 24 , 24 , − 24 , 24 ], [ 720 , 360 , − 30 , 360 , − 720 ], 95 1427 133 241 173 3 [ 288 , 1440 , − 240 , 720 , − 1440 , 160 ]]
Anexa D
Ordinul de convergent¸˘ a al unui ¸sir Definit¸ie D.0.1 Fie (xn )n∈N un ¸sir convergent ˆıntr-un spat¸iu normat, limn→∞ xn = x∗ . Dac˘ a kxn+1 − x∗ k lim = c, 0 < c < ∞, n→∞ kxn − x∗ kr atunci ¸sirul (xn )n∈N are ordinul de convergent¸˘ a r. ˆIn funct¸ie de r se utilizeaz˘a terminologia: convergent¸˘a liniar˘a convergent¸˘a superliniar˘a convergent¸˘a p˘atratic˘a
r=1 1
Observat¸ie D.0.1 Dac˘ a exist˘ a M > 0 astfel ˆıncˆ at kxn+1 − x∗ k ≤ M kxn − x∗ ks , ∀n ≥ n0 atunci ordinul de convergent¸˘ a este cel put¸in s. Fie r ordinul de convergent¸˘a al ¸sirului (xn )n∈N . Dac˘a r < s atunci kxn+1 − x∗ k kxn+1 − x∗ k 1 = → ∞, s r kxn − x∗ k kxn − x∗ k kxn − x∗ ks−r ceea ce contrazice condit¸ia din observat¸ie.
271
n → ∞,
Anexa E
Determinarea ordinelor de convergent¸˘ a ale metodelor de rezolvare paralel˘ a a ecuat¸iilor polinomiale utilizˆ and instrumente de calcul simbolic Este suficient s˘a s˘a consider˘am polinomul P (z) = (z − a)(z − b)(z − c) ¸si prima componenta T1 (z) a unei metode de calcul paralel a r˘ad˘acinilor unui polinom z (k+1) = T (z (k) ). Pentru a verifica condit¸iile Teoremei 17.6.1, datorit˘a propriet˘a¸tilor de simetrie este suficient s˘a calcul˘am ∂T1 (z) ∂z1
∂T1 (z) ∂z2
∂ 2 T1 (z) ∂z12
∂ 2 T1 (z) ∂z1 ∂z2
∂ 2 T1 (z) ∂z22
∂ 2 T1 (z) ∂z2 ∂z3
∂ 3 T1 (z) ∂z13
∂ 3 T1 (z) ∂z12 ∂z2
∂ 3 T1 (z) ∂z1 ∂z22
∂ 3 T1 (z) ∂z23
∂ 3 T1 (z) ∂z22 ∂z3
∂ 4 T1 (z) ∂z14
∂ 4 T1 (z) ∂z13 ∂z2
∂ 4 T1 (z) ∂z12 ∂z22
∂ 4 T1 (z) ∂z1 ∂z23
∂ 4 T1 (z) ∂z24
.. .
∂ 4 T1 (z) ∂z23 ∂z3
∂ 4 T1 (z) ∂z22 ∂z32
Se vor calcula succesiv elementele liniilor de mai sus pˆan˘a la aparit¸ia primului element nenul. Programul de calcul simbolic utilizat este Mathematica. 272
273 • Metoda Durand-Kerner T1 (z1 , z2 , z3 ) = z1 −
P (z1 ) (z1 − z2 )(z1 − z3 )
Programul Mathematica este In[1]:= T1[z1,z2,z3]:= z1-(z1-a)*(z1-b)*(z1-c)/((z1-z2)*(z1-z3)) In[2]:= D[T1[z1,z2,z3],z1]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[2]:= 0 In[3]:= D[T1[z1,z2,z3],z2]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[3]:= 0 In[4]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],z1,z2]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] 1 Out[4]:= −a+b
• Metoda Erlich T1 (z1 , z2 , z3 ) = z1 −
P (z1 ) (z1 − z2 )(z1 − z2 ) − P (z1 )
1 z1 −z2
+
1 z1−z3
Programul Mathematica corespunz˘ator este In[1]:= T1[z1,z2,z3]:= z1-(z1-a)*(z1-b)*(z1-c)/((z1-z2)*(z1-z3)(z1-a)*(z1-b)*(z1-c)* (1/(z1-z2)+1/(z1-z3))) In[2]:= D[T1[z1,z2,z3],z1]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[2]:= 0 In[3]:= D[T1[z1,z2,z3],z2]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[3]:= 0 In[4]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z1,2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[4]:= 2(−2a+b+c) (a−b)(a−c)
274
˘ ANEXA E. DETERMINAREA ORDINELOR DE CONVERGENT ¸A
• Metoda Nourein P (z1 )
T1 (z1 , z2 , z3 ) = z1 −
h
(z1 − z2 )(z1 − z2 ) 1 +
= z1 −
(z1 − z2 )(z1 − z2 ) +
P (z2 ) (z2 −z1 )(z2 −z3 )(z1 −z2 )
P (z1 ) (z1 −z3 )P (z2 ) (z2 −z1 )(z2 −z3 )
+
+
P (z3 ) (z3 −z1 )(z3 −z2 )(z1 −z3 )
(z1 −z2 )P (z3 ) (z3 −z1 )(z3 −z2 )
Programul Mathematica este In[1]:= T1[z1,z2,z3]:= z1-(z1-a)*(z1-b)*(z1-c)/((z1-z2)*(z1-z3)+ (z2-a)*(z2-b)*(z2-c)*(z1-z3)/((z2-z1)*(z2-z3))+ (z3-a)*(z3-b)*(z3-c)*(z1-z2)/((z3-z1)*(z3-z2))) In[2]:= D[T1[z1,z2,z3],z1]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[2]:= 0 In[3]:= D[T1[z1,z2,z3],z2]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[3]:= 0 In[4]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z1,2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[4]:= 0 In[5]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],z1,z2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[5]:= 0 In[6]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z2,2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[6]:= 0 In[7]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z2,z3}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[7]:= 0 In[7]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z1,2},z2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] 2 Out[4]:=− (a−b) 2
• Metoda Wang-Zheng T1 (z1 , z2 , z3 ) = z1 − −
2P (z1 )P 0 (z1 ) 1 2P 02 (z1 ) − P (z1 )P 00 (z1 ) − 2P 2 (z1 ) (z1 −z 2 + 2)
1 (z1 −z2 )(z1 −z3 )
+
1 (z1 −z3 )2
i=
275 Programul Mathematica este In[1]:= P[x_]:=x^3-(a+b+c)*x*x+(a*b+b*c+c*a)*x-a*b*c D1P[x_]:=3*x*x-2*(a+b+c)*x+a*b+b*c+c*a D2P[x_]:=6*x-2*(a+b+c) In[2]:= T1[z1,z2,z3]:= z1-2*P[z1]*D1P[z1]/(2*D1P[z1]*D1P[z1]-P[z1]*D2P[z1]2*P[z1]*P[z1]* (1/(z1-z2)^2+1/((z1-z2)*(z1-z3))+1/(z1-z3)^2)) In[3]:= D[T1[z1,z2,z3],z1]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[3]:= 0 In[4]:= D[T1[z1,z2,z3],z2]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[4]:= 0 In[5]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z1,2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[5]:= 0 In[6]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],z1,z2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[6]:= 0 In[7]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z2,2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[7]:= 0 In[8]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z2,z3}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[8]:= 0 In[9]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z1,3}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[9]:= 0 In[10]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z1,2},z2]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[10]:= 0 In[11]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],z1,{z2,2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[11]:= 0 In[12]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z2,3}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[12]:= 0 In[13]:=
276
˘ ANEXA E. DETERMINAREA ORDINELOR DE CONVERGENT ¸A
Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z2,2},z3]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[13]:= 0 In[14]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z1,3},z2]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[14]:= 6(−3a+b+2c) (a−b)3 (a−c)
Anexa F
Deducerea schemelor de calcul de tip Runge – Kutta cu ajutorul calculului simbolic Deducerea tabelelor Butcher care definesc schemele de calcul de tip Runge – Kutta, ˆın cazul ordinelor de consistyent¸˘a mai mare decˆat 2 este foarte laborioas˘a. Aceast˘a problem˘a se poate rezolva eficient utilizˆand produse informatice de calcul simbolic (Mathematica sau Maple). Fie problema Cauchy t ∈ [0, T ] = I
x(t) ˙ = f (t, x(t) 0
x(0) = x
(F.1) (F.2)
unde f : I × Rd → Rd ¸si presupunem c˘a problema (F.1) – (F.2) are o solut¸ie unic˘a x(t) definit˘a ˆın I. Fie m, n ∈ N ∗ , h = Tn . ˆIn I se consider˘a nodurile ti = ih, ∀i ∈ {0, 1, . . . , n} ¸si se noteaz˘a prin uh = {ui 0 ≤ i ≤ n o solut¸ie discret˘a (adic˘a ui aproximeaz˘a x(ti )). Schema de calcul de tip Runge – Kutta cu m trepte este ui+1 −ui − Fm (h, ti , ui ; f ) = 0, 0 ≤ i ≤ n − 1 h (F.3) u0 = x0 P unde Fm (h, t, x; f ) = m i=1 pi ki (h), cu ki (h) = f (t + ai h, x + h
m X
bi,j kj (h))
1 ≤ i ≤ m.
j=1
Parametrii necunoscut¸i (pi )i , (ai )i , (bi,j )i,j se determin˘a astfel ˆıncˆat s˘a se maximizeze ordinul de consistent¸˘a r: dac˘a x(t) este solut¸ia problemei Cauchy (F.1) – 277
278
ANEXA F. SCHEME RUNGE-KUTTA DEDUSE PRIN CALCUL SIMBOLIC
(F.2) atunci x(t + h) − x(t) − Fm (h, t, x(t); f ) = hr Φ(t, h), h
Φ(t, 0) 6= 0.
(F.4)
Condit¸ia (F.4) se reformuleaz˘a prin: h = 0 este un zero de multiplicitate r + 1 pentru funct¸ia qm (h) = x(t + h) − x(t) − hFm (h, t, x(t); f ), sau (i) qm (0) = 0
0 ≤ i ≤ r.
(F.5)
Aceste condit¸ii conduc la un sistem algebric de ecuat¸ii neliniare. Solut¸ia obt¸inut˘a se prezint˘a sub forma tabelei Butcher a1 a2 ... am
b1,1 b2,1 ... bm,1 p1
... ... ... ... ...
b1,m b2,m ... bm,m pm
Dac˘a a1 = 0 ¸si bi,j = 0 pentru j ≥ i atunci schema de calcul de tip Runge – Kutta este explicit˘a. ˆIn cele ce urmeaz˘a deducem schema de calcul explicit˘a de tip Runge Kutta ˆın 4 trepte cˆat ¸si pe cea implicit˘a ˆın dou˘a trepte, utilizˆand Mathematica.
F.1
Schema de calcul explicit˘ a de tip Runge – Kutta ˆın 4 trepte
Se utilizeaz˘a derivarea global˘a Dt, substitut¸ia /. ¸si substitut¸ia repetat˘a //. La ˆınceput deducem expresia derivatelor lui x(t) In[1]:= In[2]:= Out[3]= In[4]:= Out[5]=
In[6]:= Out[7]=
e1:=f[t,x[t]] e2:=Dt[e1,t]/.x’[t]->f[t,x[t]] e2 f [t, x[t]]f (0,1) [t, x[t]] + f (1,0) [t, x[t]] e3:=Simplify[Dt[e2,t]/. x’[t]->f[t,x[t]] e3 f [t, x[t]]2 f (0,2) [t, x[t]] + f (0,1) [t, x[t]]f (1,0) [t, x[t]]+ f [t, x[t]] f (0,1) [t, x[t]]2 + 2f (1,1) [t, x[t]] + f (2,0) [t, x[t]] e4:=Simplify[Dt[e3,t]/. x’[t]->f[t,x[t]] e4 f [t, x[t]]3 f (0,3) [t, x[t]]+ f (0,1) [t, x[t]]2 f (1,0) [t, x[t]] + 3f (1,0) [t, x[t]]f (1,1) [t, x[t]]+
˘ DE TIP RUNGE – KUTTAˆIN 4 TREPTE F.1. SCHEMA DE CALCUL EXPLICITA
279
f [t, x[t]]2 4f (0,1) [t, x[t]]f (0,2) [t, x[t]] + 3f (1,2) [t, x[t]] + f (0,1) [t, x[t]]f (2,0) [t, x[t]]+ f [t, x[t]](f (0,1) [t, x[t]]3 + 5f (0,1) [t, x[t]]f (1,1) [t, x[t]] + 3(f (0,2) [t, x[t]]f (1,0) [t, x[t]] + f (2,1) [t, x[t]])) + f (3,0) [t, x[t]] ˆIn continuare fix˘am datele schemei ce calcul explicit˘a de tip Runge – Kutta In[8]:= k1[h_]:=f[t,x[t]] k2[h_]:=f[t+a[2]*h,x[t]+h*b[2,1]*k1[h]] k3[h_]:=f[t+a[3]*h,x[t]+h*b[3,1]*k1[h]+h*b[3,2]*k2[h]] k4[h_]:=f[t+a[4]*h,x[t]+h*b[4,1]*k1[h]+ h*b[4,2]*k2[h]+h*b[4,3]*k3[h]] q[h_]:=x[t+h]-x[t]-h*(p[1]*k1[h]+p[2]*k2[h]+ p[3]*k3[h]+p[4]*k4[h]) ¸si calcul˘am expresiile q (s) (0), s = 1, 2, 3, 4. In[13]:= ex1:=Simplify[Dt[q[h],h]/.Dt[t,h]->0] In[14]:= ex2:=Simplify[ex1//.{h->0, x’[t]->e1}] ex2 Out[15]= −f [t, x[t]](−1 + p[1] + p[2] + p[3] + p[4]) De unde g˘asim ecuat¸ia p1 + p2 + p 3 + p 4 = 1
(F.6)
In[16]:= q1[h_]:=ex1 In[17]:= ex3:=Simplify[Dt[q1[h],h]/.Dt[t,h]->0] In[18]:= ex4:=Simplify[ex3//.{h->0,x’[t]->e1,x’’[t]->e2}] ex4 Out[20]= −f [t, x[t]](−1 + 2b[2, 1]p[2] + 2b[3, 1]p[3] + 2b[3, 2]p[3]+ 2b[4, 1]p[4] + 2b[4, 2]p[4] + 2b[4, 3]p[4])f (0,1) [t, x[t]]− (−1 + 2a[2]p[2] + 2a[3]p[3] + 2a[4]p[4])f (1,0) [t, x[t]] Ecuat¸iile g˘asite sunt b2,1 p2 + (b3,1 + b3,2 )p3 + (b4,1 + b4,2 + b4,3 )p4 = a2 p2 + a3 p3 + a4 p4 =
1 2
1 2
(F.7) (F.8)
280
ANEXA F. SCHEME RUNGE-KUTTA DEDUSE PRIN CALCUL SIMBOLIC
In[21]:= q2[h_]:=ex3 In[22]:= ex5:=Simplify[Dt[q2[h],h]/.Dt[t,h]->0] In[23]:= ex6:=Simplify[ex5//.{h->0,x’[t]->e1,x’’[t]->e2, D[x[t],{t,3}]=e3}] ex6 Out[24]= −f [t, x[t]]2 (−1 + 3b[2, 1]2 p[2] + 3(b[3, 1] + b[3, 2])2 p[3] + 3(b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])2 p[4]) f (0,2) [t, x[t]] − (−1 + 6a[3]b[4, 3]p[4] + 6a[2](b[3, 2]p[3] + b[4, 2]p[4])) f (0,1) [t, x[t]]f (1,0) [t, x[t]] − f [t, x[t]] ((−1 + 6(b[3, 1] + b[3, 2])b[4, 3]p[4] + 6b[2, 1](b[3, 2]p[3] + b[4, 2]p[4])) f (0,1) [t, x[t]]2 + 2(−1 + 3a[2]b[2, 1]p[2] + 3a[3](b[3, 1] + b[3, 2])p[3]+ 3a[4](b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])p[4])f (1,1) [t, x[t]])− (−1 + 3a[2]2 p[2] + 3a[3]2 p[3] + 3a[4]2 p[4])f (2,0) [t, x[t]] Se obt¸in ecuat¸iile b22,1 p2 + (b3,1 + b3,2 )2 p3 + (b4,1 + b4,2 + b4,3 )2 p4 = a2 b3,2 p3 + (a2 b4,2 + a3 b4,3 )p4 =
1 3
1 6
b2,1 b3,2 p3 + (b2,1 b4,2 + (b3,1 + b3,2 )b4,3 )p4 =
(F.10) 1 6
a2 b2,1 p2 + a3 (b3,1 + b3,2 )p3 + a4 (b4,1 + b4,2 + b4,3 )p4 = a22 p2 + a23 p3 + a24 p4 =
(F.9)
(F.11) 1 3
1 3
(F.12) (F.13)
In[25]:= q3[h_]:=ex5 In[26]:= ex7:=Simplify[Dt[q3[h],h]/.Dt[t,h]->0] In[27]:= ex8:=Simplify[ex3//.{h->0,x’[t]->e1,x’’[t]->e2, D[x[t],{t,3}]=e3,D[x[t],{t,4}]=e4}] ex8 Out[28]= −f [t, x[t]]3 (−1 + 4b[2, 1]3 p[2] + 4(b[3, 1] + b[3, 2])3 p[3] + 4(b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])3 p[4]) f (0,3) [t, x[t]] − (1 + 24a[2]b[3, 2]b[4, 3])f (0,1) [t, x[t]]2 f (1,0) [t, x[t]]− 3(−1 + 8a[2]a[3]b[3, 2]p[3] + 8a[4](a[2]b[4, 2] + a[3]b[4, 3])p[4]) f (1,0) [t, x[t]]f (1,1) [t, x[t]] + f [t, x[t]]2
281
˘ DE TIP RUNGE – KUTTAˆIN 4 TREPTE F.1. SCHEMA DE CALCUL EXPLICITA
(−4(−1 + 3b[2, 1]b[3, 2](b[2, 1] + 2(b[3, 1] + b[3, 2]))p[3] + 3(b[2, 1]2 b[4, 2]+ 2b[2, 1]b[4, 2](b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3]) + (b[3, 1] + b[3, 2])b[4, 3] (b[3, 1] + b[3, 2] + 2(b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])))p[4])f (0,1) [t, x[t]] f (0,2) [t, x[t]] − 3(−1 + 4a[2]b[2, 1]2 + 4a[3](b[3, 1] + b[3, 2])2 p[3]+ 4a[4](b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])2 p[4])f (1,2) [t, x[t]])− (−1 + 12a[3]2 b[4, 3]p[4] + 12a[2]2 (b[3, 2p[3] + b[4, 2p[4])) f (0,1) [t, x[t]]f (2,0) [t, x[t]] + f [t, x[t]]((1 − 24b[2, 1]b[3, 2]b[4, 3]p[4])f (0,1) [t, x[t]]3 − 3(−1 + 8(a[2]b[3, 2](b[3, 1] + b[3, 2])p[3]+ (b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])(a[2]b[4, 2] + a[3]b[4, 3])p[4])) f (0,2) [t, x[t]]f (1,0) [t, x[t]] − (−5 + 24((a[2] + a[3])b[2, 1]b[3, 2]p[3]+ ((a[2] + a[4])b[2, 1]b[4, 2] + (a[3] + a[4])(b[3, 1] + b[3, 2])b[4, 3])p[4])) f
(0,1)
[t, x[t]]f (1,1) [t, x[t]] − 3(−1 + 4a[2]2 b[2, 1]p[2] + 4a[3]2 (b[3, 1] + b[3, 2]) p[3] + 4a[4]2 (b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])p[4]f (2,1) [t, x[t]])− (−1 + 4a[2]3 p[2] + 4a[3]3 p[3] + 4a[4]3 p[4])f (3,0) [t, x[t]]
Ultimele ecuat¸ii sunt b32,1 p2 + (b3,1 + b3,2 )3 p3 + (b4,1 + b4,2 + b4,3 )3 p4 = a2 b3,2 b4,3 p4 =
1 24
a2 a3 b3,2 p3 + a4 (a2 b4,2 + a3 b4,3 )p4 =
1 4
(F.14) (F.15)
1 8
(F.16)
b2,1 b3,2 (b2,1 + 2(b3,1 + b3, 2))p3 + (b22,1 b4,2 + 2b2,1 b4,2 (b4,1 + b4,2 + b4,3 ) + 1 (F.17) (b3,1 + b3,2 )b4,3 (b3,1 + b3,2 + 2(b4,1 + b4,2 + b4,3 )))p4 = 3 1 a2 b22,1 p2 + a3 (b3,1 + b3,2 )p3 + a4 (b4,1 + b4,2 + b4,3 )2 p4 = (F.18) 4 1 a22 b3,2 p3 + (a22 b4,2 + a23 b4,3 )p4 = (F.19) 12 1 b2,1 b3,2 b4,3 p4 = (F.20) 24 1 a2 b3,2 (b3,1 + b3,2 )p3 + (b4,1 + b4,2 + b4,3 )(a2 b4,2 + a3 b4,3 )p4 = (F.21) 8 5 (a2 + a3 )b2,1 b3,2 p3 + ((a2 + a4 )b2,1 b4,2 + (a3 + a4 )(b3,1 + b3,2 )b4,3 )p4 = 24 (F.22) 1 a22 b2,1 p2 + a23 (b3,1 + b3,2 )p3 + a24 (b4,1 + b4,2 + b4,3 )p4 = (F.23) 4 1 a32 p2 + a33 p3 + a34 p4 = (F.24) 4
282
ANEXA F. SCHEME RUNGE-KUTTA DEDUSE PRIN CALCUL SIMBOLIC
Din (F.15) ¸si (F.20) rezult˘a c˘a a2 = b2,1 ; din (F.10) ¸si (F.11) rezult˘a c˘ a a3 = b3,1 + b3,2 ; din (F.7) ¸si (F.8) rezult˘a c˘a a4 = b4,1 + b4,2 + b4,3 . Se observ˘a c˘a ˆıntre ecuat¸iile (F.6)-(F.24) au loc echivalent¸ele (F.7) ≡ (F.8); (F.13) ≡ (F.12) ≡ (F.9); (F.24) ≡ (F.23) ≡ (F.18) ≡ (F.14); (F.16) ≡ (F.21); (F.15) ≡ (F.22); (F.22) ≡ (F.16) + (F.19); (F.17) ≡ 2 (F.16) + (F.19). Sistemul redus devine In[29]:= eq1:=p[1]+p[2]+p[3]+p[4]==1 eq2:=b[2,1]*p[2]+(b[3,1]+b[3,2])*p[3]+ (b[4,1]+b[4,2]+b[4,3])*p[4]==1/3 eq3:=b[2,1]^2*p[2]+(b[3,1]+b[3,2])^2*p[3]+ (b[4,1]+b[4,2]+b[4,3])^2*p[4]==1/3 eq4:=b[2,1]^3*p[2]+(b[3,1]+b[3,2])^3*p[3]+ (b[4,1]+b[4,2]+b[4,3])^3*p[4]==1/4 eq5:=b[2,1]*b[3,2]*p[3]+ (b[2,1]*b[4,2]+(b[3,1]+b[3,2])*b[4,3])*p[4]==1/6 eq6:=b[2,1]*(b[3,1]+b[3,2])b[3,2]*p[3]+(b[4,1]+b[4,2]+b[4,3])* (b[2,1]*b[4,2]+(b[3,1]+b[3,2])*b[4,3])*p[4]==1/8 eq7:=b[2,1]^2*b[3,2]*p[3]+ (b[2,1]^2*b[4,2]+(b[3,1]+b[3,2])^2*b[4,3])*p[4]==1/12 eq8:=b[2,1]*b[3,2]*b[4,3]*p[4]==1/24 Dac˘a In[30]:= b[2,1]:=1/2 b[3,2]:=1/2 atunci In[31]:= Solve[{eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8}, {p[1],p[2],p[3],p[4],b[3,1],b[4,1],b[4,2],b[4,3]}] Out[31]= {{p[1] → 0, p[2] → 23 , p[3] → 16 , b[3, 1] → − 21 , b[4, 1] → − 32 , 3 1 1 1 1 b[4, 2] → , b[4, 3] → 1, p[4] → }, {p[1] → , p[2] → , p[3] → , 2 6 6 3 3
1 b[3, 1] → 0, b[4, 1] → 0, b[4, 2] → 0, b[4, 3] → 1, p[4] → }} 6 Ultima solut¸ie corespunde schemei de calcul clasice de tip Runge – Kutta ˆın 4 trepte.
˘ DE TIP RUNGE – KUTTAˆIN 2 TREPTE F.2. SCHEMA DE CALCUL IMPLICITA
F.2
283
Schema de calcul implicit˘ a de tip Runge – Kutta ˆın 2 trepte
ˆIntr-o foaie nou˘a de calcul calcul˘am din nou derivatele pentru x(t) ˙ = f (t, x(t)). Datele schemei de calcul implicit˘a de tip Runge – Kutta ˆın 2 trepte sunt In[6]:= r1[h_]:=f[t+a[1]*h,x[t]+h*b[1,1]*k1[h]+h*b[1,2]*k2[h]] r2[h_]:=f[t+a[2]*h,x[t]+h*b[2,1]*k1[h]+h*b[2,2]*k2[h]] q[h_]:=x[t+h]-x[t]-h*(p[1]*r1[h]+p[2]*r2[h] ¸si calcul˘am expresiile q (s) (0), s = 1, 2, 3. In[7]:= ex1:=Simplify[Dt[q[h],h]/.Dt[t,h]->0] In[8]:= ex2:=Simplify[ex1//.{h->0, x’[t]->e1}] ex2 Out[9]= −f [t, x[t]](−1 + p[1] + p[2]) In[10]:= r11:=Simplify[Dt[r1[h],h]//.{Dt[t,h]->0,h->0, k1[0]->r1[0],k2[0]->r2[0]}] In[11]:= r21:=Simplify[Dt[r2[h],h]//.{Dt[t,h]->0,h->0, k1[0]->r1[0],k2[0]->r2[0]}] In[12]:= q1[h_]:=ex1 In[13]:= ex3:=Simplify[Dt[q1[h],h]/.Dt[t,h]->0] In[14]:= ex4:=Simplify[ex3//.{h->0,x’[t]->e1,x’’[t]->e2, k1[0]->r1[0],k2[0]->r2[0]}] ex4 Out[15]= −f [t, x[t]](−1 + 2b[1, 1]p[1] + 2b[1, 2]p[1] + 2b[2, 1]p[2] + 2b[2, 2]p[2]) f (0,1) [t, x[t]] + (1 − 2a[1]p[1] − 2a[2]p[2])f (1,0) [t, x[t]] In[16]:= q2[h_]:=ex3 In[17]:= ex5:=Simplify[Dt[q2[h],h]/.Dt[t,h]->0] In[18]:= ex6:=Simplify[ex5//.{h->0,x’[t]->e1,x’’[t]->e2, D[x[t],{t,3}]->e3,k1[0]->r1[0],k2[0]->r2[0],k1’[0]->r11,k2’[0]->r21}] ex6 Out[19]= −f [t, x[t]]2 (−1 + 3(b[1, 1] + b[1, 2])2 p[1] + 3(b[2, 1] + b[2, 2])2 p[2])f (0,2) [t, x[t]]− (−1 + 6a[1](b[1, 1]p[1] + b[2, 1]p[2]) + 6a[2](b[1, 2]p[1] + b[2, 2]p[2])) f (0,1) [t, x[t]]f (1,0) [t, x[t]] − f [t, x[t]] ((−1 + 6(b[1, 1]2 + b[1, 1]b[1, 2] + b[1, 2](b[2, 1] + b[2, 2]))p[1]+
284
ANEXA F. SCHEME RUNGE-KUTTA DEDUSE PRIN CALCUL SIMBOLIC
6((b[1, 1] + b[1, 2])b[2, 1] + b[2, 1]b[2, 2] + b[2, 2]2 )p[2])f (0,1) [t, x[t]]2 + 2(−1 + 3a[1](b[1, 1] + b[1, 2])p[1] + 3a[2](b[2, 1] + b[2, 2])p[2])f (1,1) [t, x[t]])+ (1 − 3a[1]2 p[1] − 3a[2]2 p[2])f (2,0) [t, x[t]] Rezult˘a sistemul algebric neliniar (F.25)
p1 + p 2 = 1 a1 p1 + a2 p2 =
1 2
(b1,1 + b1,2 )p1 + (b2,1 + b2,2 )p2 = a21 p1 + a22 p2 =
(F.26) 1 2
(F.27)
1 3
(F.28)
a1 (b1,1 + b1,2 )p1 + a2 (b2,1 + b2,2 )p2 = (b1,1 + b1,2 )2 p1 + (b2,1 + b2,2 )2 p2 =
1 3
(F.29)
1 3
(a1 b1,1 + a2 b1,2 )p1 + (a1 b2,1 + a2 b2,2 )p1 =
(F.30) 1 6
(F.31) 1 6 (F.32)
(b1,1 (b1,1 + b1,2 ) + b1,2 (b2,1 + b2,2 ))p1 + (b2,1 (b1,1 + b1,2 ) + b2,2 (b2,1 + b2,2 ))p2 =
Dac˘a a1 = b1,1 + b1,2 , a2 = b2,1 + b2,2 , p1 = p2 = uzual˘a
1 2
atunci se deduce solut¸ia
In[20]:= eq1:=b[1,1]+b[1,2]+b[2,1]+b[2,2]==1 eq2:=(b[1,1]+b[1,2])^2+(b[2,1]+b[2,2])^2==2/3 eq3:=(b[1,1]+b[2,1])(b[1,1]+b[1,2])+ (b[1,2]+b[2,2])*(b[2,1]+b[2,2])==1/3 b[1,1]:=β In[24]:= Solve[{eq1,eq2,eq3},{b[1,2],b[2,1],b[2,2]}] Out[24]= √ √ 1 1 {{b[1, 2] → (3 − 3 − 6β), b[2, 1] → (3 + 3 − 6β), b[2, 2] → β}, 6 6 √ √ 1 1 {b[1, 2] → (3 + 3 − 6β), b[2, 1] → (3 − 3 − 6β), b[2, 2] → β}} 6 6
Anexa G
Reprezentarea mult¸imii de A-stabilitate Cazul schemei de calcul de tip Runge – Kutta Mult¸imii de A-stabilitate a unei scheme de calcul de tip Runge–Kutta explicit˘a este dat˘a de solut¸ia inecuat¸ie |R(z)| ≤ 1, unde R(z) este funct¸ia de stabilitate. Pentru a obt¸ine frontiera ei se rezolv˘a ecuat¸ia R(z) = eit , ˆın necunoscuta z, pentru o mult¸ime discret˘a de valori t ∈ [0, 2kπ], k ∈ N. Programul MathCAD (ˆın cazul schemei de calcul Euler ˆımbun˘at˘a¸tit˘a) este z2 2 p(u, v, t) := Re(R(u + i · v)) − cos(t) R(z) := 1 + z +
q(u, v, t) := Im(R(u + i · v)) − sin(t) n := 30
h :=
2·π n
i := 0..k · n − 1
k := 2 si := i · h
r(u, v, t, i) := (t − si )2 Given p(u, v, t) = 0 q(u, v, t) = 0 r(u, v, t, i) = 0 xi yi := Find(u, v, t) τi 285
286
ANEXA G. REPREZENTAREA MULT ¸ IMII DE A-STABILITATE
S¸irul (xi , yi )i reprezint˘a coordonatele unor puncte de pe frontiera domeniului de A-stabilitate. Utilizarea acestui program ˆın cazul altor scheme de calcul de tip Runge – Kutta presupune modificarea expresia funct¸iei de stabilitate R(z) ¸si eventual a parametrilor n, k.
Cazul schemei de calcul de tip Adams Pentru o schem˘a de calcul de tip Adams scris˘a sub forma ap uk+p + ap−1 uk+p−1 + . . . + a0 uk − −h[bp f (tk+p , uk+p ) + bp−1 f (tk+p−1 , uk+p−1 ) + . . . + b0 f (tk , uk )] = 0. ecuat¸ia caracteristic˘a corespunz˘atoare problemei de test este ρ(x) − zσ(x) = 0 unde ρ(x) = ap xp + ap−1 xp−1 + . . . + a1 x + a0 σ(x) = bp xp + bp−1 xp−1 + . . . + b1 x + b0 Frontiera mult¸imii de A-stabilitate este dat˘a de z=
ρ(eit ) σ(eit )
t ∈ [0, 2π]
Programul MathCAD (ˆın cazul schemei de calcul Adams-Bashforth, r=2) este ρ(z) := z 3 − z 2
σ(z) :=
1 · (23 · z 2 − 16 · z + 5) 12
2π h := i := 0..2 ∗ n − 1 si := i · h n ρ(ei·si ) ρ(ei·si ) yi := Re xi := Re σ(ei·si ) σ(ei·si )
n := 50
S¸irul (xi , yi )i reprezint˘a coordonatele unor puncte de pe frontiera domeniului de A-stabilitate. Utilizarea acestui program ˆın cazul altor scheme de calcul de tip Adams presupune modificarea polinoamelor ρ, σ ¸si eventual a parametrului n.
Bibliografie [1] ASCHER U.M., PETZOLD L.R., 1998, Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential Algebraic Equations. SIAM. [2] BERBENTE C., MITRAN S., ZANCU S., 1997, Metode numerice. Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti. [3] BEU T., 1992, Calcul numeric ˆın Turbo Pascal. Ed. MicroInformatica, Cluj - Napoca. [4] BUCUR C. M., POPEEA C. A., SIMION G. G., 1983, Matematici speciale. Calcul numeric. E.D.P., Bucure¸sti. [5] COMAN G., 1995, Analiz˘ a numeric˘ a. Ed. Libris, Cluj. [6] CUCULESCU I., 1967,Analiz˘ a numeric˘ a. Ed. tehnic˘a, Bucure¸sti. [7] DEMIDOVITCH B., MARON I., 1973, El`ements de calcul numerique. Ed. Mir, Moscou. [8] DUMITRESCU B., POPEEA C., JORA B., 1998, Metode de calcul numeric matriceal. Algoritmi fundamentali. Ed. All, Bucure¸sti. [9] GRIGORE G., 1984, Lect¸ii de analiz˘ a numeric˘ a. Univ. Bucure¸sti, (litografiat) [10] GODUNOV S.R., REABENKI V.S., 1977, Scheme de calcul cu diferent¸e. Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti. [11] IACOB C., HOMENTCOVSCHI D., MARCOV N., NICOLAU A., 1983, Matematici clasice ¸si moderne. vol. IV, Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti. [12] ICHIM I., MARINESCU G., 1986, Metode de aproximare numeric˘ a. Ed. Acad. Romˆane, Bucure¸sti. [13] IGNAT C., ILIOI C., JUCAN T., 1989, Elemente de informatic˘ a ¸si calcul numeric. Univ. ”Al. I. Cuza” Ia¸si. (litografiat) 287
288
BIBLIOGRAFIE
[14] ILIOI C., 1980, Probleme de optimizare ¸si algoritmi de aproximare a solut¸iilor. Ed. Acad. R.S.R., Bucure¸sti. [15] IORGA V., JORA B., 1996, Programare numeric˘ a. Ed. Teora, Bucure¸sti. [16] KANTOROVITCH L.V., KRYLOV V.I., 1950, Metode aproximative ale analizei superioare. Gosudarstvennoe izd., Moskva. [17] KINCAID D., CHENEY W., 1991, Numerical Analysis. Mathematics of scientific computing. Brooks/Cole, Pacific Grove, California. [18] MARCIUK G.I., 1983, Metode de analiz˘ a numeric˘ a. Ed. Acad. R.S.R., Bucure¸sti. [19] MARINESCU G., 1974, Analiza numeric˘ a. Ed.Acad. R. S. R., Bucure¸sti. [20] MARTIN O., 1998, Probleme de analiz˘ a numeric˘ a. Ed. MatrixRom, Bucure¸sti. ˘ [21] MARUS ¸ TER S¸t., 1981, Metode numerice ˆın rezolvarea ecuat¸iilor neliniare. Ed. tehnic˘a, Bucure¸sti. [22] MICULA Gh., 1978, Funct¸ii spline ¸si aplicat¸ii. Ed. tehnic˘a, Bucure¸sti. [23] MOSZYNSKI K., 1978, Metode numerice de rezolvare a ecuat¸iilor diferent¸iale ordinare. Ed. tehnic˘a, Bucure¸sti. [24] RAS¸A I., VLADISLAV T., 1998, Analiz˘ a numeric˘ a. Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti. [25] POSTOLACHE M., 1994, Metode numerice. Ed. Sirius, Bucure¸sti. [26] MARTIN O., 1998, Probleme de analiz˘ a numeric˘ a. Ed. MatrixRom, Bucure¸sti. ˘ ALOIU ˘ [27] PAV I., 1976, Introducere ˆın teoria aproxim˘ arii solut¸iilor ecuat¸iilor. Ed. Dacia, Cluj-Napoca. ˘ ALOIU ˘ [28] PAV I., 1981, Rezolvarea ecuat¸iilor prin interpolare. Ed. Dacia, Cluj-Napoca. ˆ ˘ AS ˘ ¸ ILA ˘ O., TOPALA ˘ A., 1983, [29] S¸ABAC I. G., COCARLAN P., STAN Matematici speciale. Vol II, E.D.P., Bucure¸sti. [30] SAMARSKI A.A., 1987, Introducere ˆın metode numerice. Ed. Nauka, Moskva.
BIBLIOGRAFIE
289
[31] SCHEIBER E., LUPU M., 2003, Rezolvarea asistat˘ a de calculator a problemelor de matematic˘ a. Ed. Matrix-Rom, Bucure¸sti. [32] SCHIOP A., 1972, Metode aproximative ˆın analiza neliniar˘ a. Ed. Acad. R.S.R., Bucure¸sti. [33] SCHIOP A., 1975, Metode numerice pentru rezolvarea ecuat¸iilor diferent¸iale. Ed. Acad. R.S.R., Bucure¸sti. [34] SCHIOP A., 1978, Analiza unor metode de discretizare. Ed. Acad. R.S.R., Bucure¸sti. [35] STANCU D. D., COMAN G., (Ed), 2001, Analiz˘ a numeric˘ a ¸si teoria aproxim˘ arii, Vol. I, II, III, Ed. Presa Universitar˘a Clujean˘a, Cluj-Napoca. [36] STEWART G.W., 1998, Afternotes goes to graduate school: lectures on advanced numerical analysis. SIAM. ´ G., 1995, Numerikus m´ [37] STOYAN G., TAKO odszerek. Vol. I, II, III, Ed. ELTE - Typotex, Budapest. [38] TEMAM R., 1973, Metode numerice de rezolvare a ecuat¸iilor funct¸ionale. Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti. [39] UDRIS¸TE C., IFTODE V., POSTOLACHE M., 1996, Metode numerice de calcul. Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti. [40] VLADISLAV T., RAS¸A I., 1997, Analiz˘ a numeric˘ a. Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti.
INTERPOLARE S ¸ I APLICAT ¸ II
7
1 Diferent¸e finite 1.1 Diferent¸e finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ecuat¸ia cu diferent¸e liniar˘a . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Sistem fundamental de solut¸ii . . . . . . . . . . . 1.2.2 Determinarea unui sistem fundamental de solut¸ii 1.2.3 Solut¸ia ecuat¸iei cu diferent¸e neomogen˘a . . . . . 1.3 Transformarea z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Elemente din teoria interpol˘ arii 2.1 Sisteme Cebˆı¸sev . . . . . . . . . 2.2 Interpolare Lagrange . . . . . . 2.3 Interpolarea Lagrange-Hermite 2.4 Diferent¸e divizate . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
8 8 11 11 14 17 18
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
24 24 29 30 35
3 Convergent¸a procedeelor de interpolare 3.1 Spat¸ii liniar ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Interpolare ¸si aproximare . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Divergent¸a interpol˘arii Lagrange . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Stat¸iu topologic Baire . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Principiul condens˘arii singularit˘a¸tilor . . . . . . . 3.3.3 Norma operatorilor integrali . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Norma operatorului Fourier . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Divergent¸a polinoamelor de interpolare Lagrange
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
47 47 50 51 51 54 55 56 58
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
4 Formule de derivare numeric˘ a 64 4.1 Aproximarea derivatei prin diferent¸e . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2 Aproximarea derivatei prin interpolare . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5 Formule de integrare numeric˘ a 68 5.1 Natura aproxim˘arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2 Formule de tip Newton - Cˆotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2
3
CUPRINS
5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
Formula trapezului . . . . . . . . . . . . . . . . Formula lui Simpson . . . . . . . . . . . . . . . Formule de tip Gauss . . . . . . . . . . . . . . . Formula dreptunghiului (n = 1). . . . . . . . . Cazuri speciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Formula de integrare numeric˘a Lobatto 5.7.2 Formula de integrare numeric˘a Radau .
6 Rezolvarea problemelor Cauchy 6.1 Metode de discretizare . . . . . . . . . 6.2 Scheme de calcul de tip Runge - Kutta 6.3 Scheme de calcul de tip Adams . . . . 6.4 Schema de calcul predictor - corector . 6.5 A-stabilitatea schemelor de calcul . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
72 75 77 82 83 83 85
. . . . .
89 89 96 100 103 106
7 Metoda celor mai mici p˘ atrate 114 7.1 Determinarea unui polinom de aproximare . . . . . . . . . . . . . . 114 7.2 Polinom trigonometric de aproximare . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 8 Polinoame trigonometrice 119 8.1 O problem˘a de interpolare trigonometric˘a . . . . . . . . . . . . . . 119 8.2 Calculul coeficient¸ilor Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9 Transformarea Fourier discret˘ a 9.1 Transformata Fourier discret˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Algoritmul transform˘arii Fourier discret˘a rapid˘a . . . . . . . . 9.3 Aplicat¸ii ale transformatei Fourier discret˘a . . . . . . . . . . . 9.3.1 Calculul coeficient¸ilor Fourier . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Calculul coeficient¸ilor Laurent . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Determinarea funct¸iei analitice cunoscˆand partea real˘a 9.3.4 Calculul integralei Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
126 . 126 . 129 . 130 . 130 . 131 . 132 . 133
10 Funct¸ii spline cubice 136 10.1 Interpolare cu funct¸ii spline cubice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
II
˘ METODE NUMERICE ˆIN ALGEBRA LINIARA
144
11 Elemente de analiz˘ a matriceal˘ a 145 11.1 Definit¸ii, notat¸ii, propriet˘a¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4
CUPRINS
12 Rezolvarea sistem. algebrice liniare 12.1 Metoda Gauss - Jordan . . . . . . . . . 12.2 Inversarea unei matrice . . . . . . . . . 12.3 Metoda lui Gauss – Factorizarea LU . . 12.4 Factorizarea Cholesky . . . . . . . . . . 12.5 Rezolvarea sistemelor tridiagonale . . . 12.6 Metode iterative . . . . . . . . . . . . . 12.7 Num˘arul de condit¸ionare al unei matrice 13 Transformarea Householder 13.1 Transformata Householder . . . 13.2 Descompunerea QR . . . . . . 13.3 Cea mai bun˘a aproximat¸ie . . . 13.4 Metoda celor mai mici p˘atrate 13.5 Bidiagonalizarea unei matrice . 13.6 Reducerea la forma Hessenberg
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
152 . 153 . 156 . 157 . 167 . 169 . 170 . 175
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
178 . 178 . 180 . 182 . 187 . 188 . 190
14 Valori ¸si vectori proprii 14.1 Forma normal˘a Schur . . . . . . 14.2 Diagonalizarea unei matrice . . . 14.3 Descompunerea valorii singulare 14.4 Raza spectral˘a a unei matrice . . 14.5 Metoda puterii . . . . . . . . . . 14.6 Algoritmul QR . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
191 191 194 196 197 201 201
15 Descompunerea valorii singulare 206 15.1 Descompunerea valorii singulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 15.2 Metoda celor mai mici p˘atrate prin DVS . . . . . . . . . . . . . . . 209 16 Spat¸ii Krylov 16.1 Definit¸ia spat¸iului Krylov . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Descompunerea Arnoldi . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Rezolvarea sistemelor algebrice de ecuat¸ii liniare . 16.3.1 Varianta Ritz-Galerkin . . . . . . . . . . . . 16.3.2 Varianta reziduului minimal . . . . . . . . . 16.4 Calculul valorilor ¸si vectorilor propri . . . . . . . . 16.5 Calculul elementului de cea mai bun˘a aproximat¸ie
III
. . . . . . .
REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
211 . 211 . 211 . 213 . 214 . 215 . 215 . 216
217
17 Rezolvarea ecuat¸iilor neliniare 218 17.1 Preliminarii de analiz˘a funct¸ional˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5
CUPRINS
17.2 17.3 17.4 17.5 17.6
IV
Metoda liniariz˘arii . . . . . . . . . . . . Metoda liniariz˘arii modificat˘a . . . . . . Rezolvarea sistemelor algebrice neliniare Rezolvarea ecuat¸iilor algebrice . . . . . . Rezolvarea ecuat¸iilor polinomiale . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR PRIN OPTIMIZARE
18 Elemente din teoria optimiz˘ arii 18.1 Funct¸ionale diferent¸iabile . . . . . . . . 18.2 Funct¸ionale convexe . . . . . . . . . . . 18.3 Propriet˘a¸ti ale problemei de optimizare 18.4 Metode de descre¸stere . . . . . . . . . . 18.5 Metoda gradientului . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
222 227 228 230 236
242
. . . . .
. . . . .
243 243 245 248 249 250
19 Rezolvarea ecuat¸iilor prin optimizare 253 19.1 Rezolvarea unui sistem neliniar printr-o metod˘a de optimizare . . . 253 19.2 Sisteme algebrice liniare ˆın sensul celor mai mici p˘atrate . . . . . . 254 19.3 Rezolvarea unei ecuat¸ii liniare prin metode de optimizare . . . . . 255
V
ANEXE
A Not¸iuni de teoria erorilor A.1 Eroare absolut˘a ¸si eroare relativ˘a . . . . . . A.2 Reprezentarea numerelor ˆın virgul˘a mobil˘a . A.3 Aritmetica numerelor ˆın virgul˘a mobil˘a . . A.4 Protocolul IEEE 754 . . . . . . . . . . . . . A.5 Controlul erorii . . . . . . . . . . . . . . . .
256
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
257 . 257 . 258 . 259 . 260 . 262
B Implementarea metodelor iterative
266
C Determinarea unor parametri numerici
268
D Ordinul de convergent¸˘ a al unui ¸sir
271
E Determinarea ordinelor de convergent¸˘ a
272
F Scheme Runge-Kutta deduse prin calcul simbolic 277 F.1 Schema de calcul explicit˘a de tip Runge – Kutta ˆın 4 trepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6
CUPRINS
F.2 Schema de calcul implicit˘a de tip Runge – Kutta ˆın 2 trepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 G Reprezentarea mult¸imii de A-stabilitate
285
Bibliografie
287
Partea I
INTERPOLARE S ¸I APLICAT ¸ II
7
Capitolul 1
Diferent¸e finite 1.1
Diferent¸e finite
Diferent¸ele finite stau la baza multor metode de calcul numeric privind integrarea ¸si derivarea numeric˘a, integrarea ecuat¸iilor diferent¸iale ordinare ¸si cu derivate part¸iale. Funct¸iile care intervin ˆın acest capitol sunt funct¸ii reale de o variabil˘a real˘a. Printr-o diferent¸˘a finit˘a de ˆınt¸elege un operator de forma Γh f (x) = Af (x + ah) − Bf (x + bh)
(1.1)
unde A, B, a, b sunt constante reale. Se observ˘a caracterul liniar al operatorului Γh (λf + µg) = λΓh f + µΓh g. Diferent¸ele finite de ordin superior se introduc recursiv Γ0h f
= f
Γnh f
= Γh (Γn−1 h f ),
n > 1.
Diferent¸ele finite uzuale sunt: • diferent¸a finit˘a progresiv˘a 4h f (x) = f (x + h) − f (x); • diferent¸a finit˘a regresiv˘a ∇h f (x) = f (x) − f (x − h); • diferent¸a finit˘a centrat˘a δh f (x) = f (x + 8
h h ) − f (x − ). 2 2
9
1.1. DIFERENT ¸ E FINITE
ˆIn cele ce urmeaz˘a vom studia doar diferent¸ele finite uzuale. Formulele explicite de calcul ale unei diferent¸e finite de ordin superior sunt Teorema 1.1.1 Au loc egalit˘ a¸tile: n (−1)n−k f (x + kh); k=0 k Pn n n (ii) ∇h f (x) = k=0 (−1)k f (x − kh); k Pn n (iii) f (x + nh) = k=0 4kh f (x); k Pn n (−1)k ∇kh f (x). (iv) f (x − nh) = k=0 k (i)
4nh f (x) =
Pn
(1.2)
Demonstrat¸ie. 4nh f (x) se exprim˘a ca o combinat¸ie liniar˘a a valorilor lui f ˆın x, x + h, . . . , x + nh, adic˘a are loc o formul˘a de forma 4nh f (x) =
n X
Ak f (x + kh).
k=0
Pentru determinarea coeficient¸ilor (Ak )0≤k≤n , alegem f (x) = ex ¸si atunci ex (eh − 1)n =
n X
Ak ex+kh .
k=0
Dezvoltˆand binomul din membrul stˆang g˘asim n n X X n Ak ex+kh . (−1)n−k ex+kh = k k=0
k=0
n Identificˆand coeficient¸ii lui g˘asim Ak = (−1)n−k , adic˘a relat¸ia (i). k ˆIn mod asem˘an˘ator se pot justifica ¸si celelelte relat¸ii. Stabilim o serie de propriet˘a¸ti ale diferent¸ei finit˘a progresiv˘a. Rezultate asem˘an˘atoare se pot deduce ¸si pentru celelalte diferent¸e finite. ex+kh
Teorema 1.1.2 (Teorema de medie) Dac˘ a funct¸ia f este derivabil˘ a de ordin n atunci exist˘ a c ∈ (x, x + nh) astfel ˆıncˆ at 4nh f (x) = hn f (n) (c).
(1.3)
10
CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE
Demonstrat¸ie. Prin indut¸ie matematic˘a dup˘a n, pentru n = 1, utilizˆand teorema de medie a lui Lagrange avem succesiv 4h f (x) = f (x + h) − f (x) = hf 0 (c)
x < c < x + h.
Presupunem relat¸ia (1.3) adev˘arat˘a pentru diferent¸ele de ordin n−1. Dac˘a g(x) = f (x) 4n−1 n hn−1
atunci 4h (4hn−1 f (x)) 4nh f (x) = = hn hn
n−1 4h f (x+h) hn−1
− h
n−1 4h f (x) hn−1
=
f (x) d 4n−1 g(x + h) − g(x) = g 0 (˜ c) = [ h n−1 ]|x=˜c h dx h unde x < c˜ < x + h. Deoarece operatorul de derivare comut˘a cu operatorul de diferent¸˘a finit˘a, rezult˘a c˘a =
0 4n−1 4nh f (x) d 4hn−1 f (x) h f (x) = [ ]| = |x=˜c . x=˜ c hn dx hn−1 hn−1 Utilizˆand ipoteza induct¸iei,
4hn−1 f 0 (x) 4nh f (x) = |x=˜c = (f 0 )(n−1) (c) = f (n) (c), hn hn−1 unde x < c˜ < c < c˜ + (n − 1)h < x + nh. Observat¸ie 1.1.1 Presupunˆand c˘a funct¸ia f are derivata de ordinul n continu˘a, pentru h → 0, din (1.3) rezult˘a 4n f (x) lim h n = f (n) (x). (1.4) h→0 h Diferent¸a finit˘a progresiv˘a de ordin superior pentru produsul a dou˘a funct¸ii generalizeaz˘a formula lui Leibniz Teorema 1.1.3 (Formula lui Leibniz) Are loc formula: n X n n 4kh f (x)4hn−k g(x + kh) 4h f (x)g(x) = k
(1.5)
k=0
Demonstrat¸ia teoremei se face prin induct¸ie matematic˘a dup˘a n. Observat¸ie 1.1.2 S˘a presupunem c˘a funct¸iile f, g au derivata de ordinul n continu˘a. ˆImp˘art¸ind (1.5) la hn ¸si utilizˆand Observat¸ia 1.1.1, pentru h → 0, obt¸inem n X n (n) (1.6) (f (x)g(x)) = f (k) (x)g (n−k) (x). k k=0
11
˘ 1.2. ECUAT ¸ IA CU DIFERENT ¸ E LINIARA
1.2
Ecuat¸ia cu diferent¸e liniar˘ a ¸si cu coeficient¸i constant¸i
Consider˘am ecuat¸ia cu diferent¸e (h = 1) αp 4p u(n) + αp−1 4p−1 u(n) + . . . + α1 4u(n) + α0 u(n) = fn+p
∀n ∈ N.
unde necunoscut˘a este funct¸ia u : N → R, iar coeficient¸ii α0 , . . . , αp sunt constante reale. Explicitˆand diferent¸ele finite progresive ˆın funct¸ie de valorile funct¸iei (1.2) obt¸inem ap un+p + ap−1 un+p−1 + . . . + a1 un+1 + a0 un = fn+p
n ∈ N,
(1.7)
unde un = u(n). Presupunem c˘a a0 · ap 6= 0. ˆIn cele ce urmeaz˘a, numim (1.7) ecuat¸ie cu diferent¸e liniar˘a ¸si cu coeficient¸i constant¸i, de ordin p ¸si se cere solut¸ia care verific˘a ˆın plus condit¸iile init¸iale u0 = v0 u1 = v1 ... up−1 = vp−1
(1.8)
Teorema 1.2.1 Exist˘ a cel mult o solut¸ie a ecuat¸iei cu diferent¸e (1.7) care verific˘ a condit¸iile (1.8). ˆIn prealabil studiem ecuat¸ia cu diferent¸e omogen˘a, liniar˘a ¸si cu coeficient¸i constant¸i ap un+p + ap−1 un+p−1 + . . . + a1 un+1 + a0 un = 0
n ∈ N,
(1.9)
Teorema 1.2.2 Mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei cu diferent¸e omogen˘ a, liniar˘ a ¸si cu coeficient¸i constant¸i formeaz˘ a un spat¸iu liniar.
1.2.1
Sistem fundamental de solut¸ii
Teoria ecuat¸iei cu diferent¸e omogen˘a, liniar˘a ¸si cu coeficient¸i constant¸i este asem˘an˘atoare cu cea a ecuat¸iei diferent¸iale liniar˘a, omogen˘a ¸si cu coeficient¸i constant¸i. Definit¸ie 1.2.1 S ¸ irurile (u1n )n∈N , . . . , (upn )n∈N sunt liniar independente dac˘ a rela¸tiile λ1 u1n + . . . + λp upn = 0, ∀n ∈ N implic˘ a λ1 = . . . = λp = 0.
12
CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE
Teorema 1.2.3 S ¸ irurile (u1n )n∈N , . . . , (upn )n∈N , solut¸ii ale ecuat¸iei (1.9) sunt liniar independene dac˘ a ¸si numai dac˘ a au loc relat¸iile u1n ... upn u1n+1 . . . upn+1 6= 0, 4n = ∀n ∈ N. (1.10) ... . . . ... p u1 n+p−1 . . . un+p−1 Demonstrat¸ie. Presupunem prin absurd c˘a exist˘a n ∈ N astfel ˆıncˆat 4n = 0. Atunci sistemul algebric de ecuat¸ii liniare ¸si omogene λ1 u1n + ... + λp upn =0 p 1 λ1 un+1 + . . . + λp un+1 = 0 ... ... ... ... λ1 u1n+p−1 + . . . + λp upn+p−1 = 0
(1.11)
ˆın necunoscutele λ1 , . . . , λp , admite o solut¸ie nebanal˘a notat˘a la fel. ˆInmult¸ind ecuat¸iile sistemului, respectiv cu − a0 , . . . , − ap−1 ¸si sumˆand egalit˘ a¸tile ap ap astfel obt¸inute, rezult˘a λ1 (−
p−1 p−1 1 X 1 X ai u1n+i ) + . . . λp (− ai upn+i ) = 0. ap ap i=0
Deoarece potrivit ipotezei, ¸sirurile (ujk )k∈N , cu diferent¸e (1.9), ultima egalitate devine
i=0
j = 1, . . . , p sunt solut¸ii ale ecuat¸iei
λ1 u1n+p + . . . + λp upn+p = 0. Observ˘am c˘a aceast˘a egalitate completeaz˘a relat¸iile sistemului (1.11). Reluˆand a ˆınmult¸irea ultimelor p egalit˘a¸ti, respectiv prin − aap0 , . . . , − p−1 si adunarea lor ap ¸ deducem λ1 u1m + . . . + λp upm = 0 ∀m ≥ n. Procedˆand asem˘an˘ator, ˆınmult¸im ecuat¸iile sistemului (1.11), respectiv cu a − aa01 , . . . , − ap0 ¸si sumˆand egalit˘a¸tile astfel obt¸inute, g˘asim p p 1 X 1 X 1 λ1 (− ai un+i−1 ) + . . . λp (− ai upn+i−1 ) = 0, a0 a0 i=1
i=1
sau λ1 u1n−1 + . . . + λp upn−1 = 0. Repetˆand, deducem λ1 u1m + . . . + λp upm = 0 ∀m ≤ n.
13
˘ 1.2. ECUAT ¸ IA CU DIFERENT ¸ E LINIARA
ˆIn felul acesta contrazicem liniar independen¸aa ¸sirurilor. Reciproc, presupunem prin absurd c˘a ¸sirurile (ujk )k∈N , j = 1, . . . , p nu sunt liniar independente, existˆand constantele λ1 , . . . , λp , nu toate nule astfel ˆıncˆat λ1 u1n + . . . + λp upn = 0,
∀n ∈ N.
Pentru orice n ∈ N, sistemul (1.11) are o solut¸ie nebanal˘a, deci 4n = 0, ceea ce nu se poate. Definit¸ie 1.2.2 p ¸siruri solut¸ii ale ecuat¸iei (1.9) ¸si liniar independente formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii. Important¸a unui sistem fundamental este reliefat˘a ˆın a un sistem fundamental Teorema 1.2.4 Dac˘ a (ujk )k∈N , j = 1, . . . , p formeaz˘ de solut¸ii pentru ecuat¸ia cu diferent¸e (1.9) atunci pentru orice alt˘ a solut¸ie (uk )k∈N a ei, exist˘ a constantele c1 , . . . , cp astfel ˆıncˆ at un = c1 u1n + . . . + cp upn ,
∀n ∈ N.
Demonstrat¸ie. Consider˘am sistemul algebric de ecuat¸ii liniare ˆın necunoscutele c1 , . . . , cp = u0 c1 u10 + . . . + cp up0 1 = u1 c1 u1 + . . . + cp up1 (1.12) ... ... ... ... c1 u1p−1 + . . . + cp upp−1 = up−1 Determinantul sistemului fiind diferit de 0, sistemul (1.12) admite o solut¸ie unic˘a notat˘a tot c1 , . . . , cp . ˆInmult¸ind ecuat¸iile sistemului (1.12) respectiv cu − a0 , − a1 , . . . , − ap−1 ¸si sumˆand ap ap ap egalit˘a¸tile astfel obt¸inute deducem c1 (−
p−1 p−1 p−1 1 X 1 X 1 X ak u1k ) + . . . + cp (− ak upk ) = − ak uk , ap ap ap k=0
k=0
k=0
sau c1 u1p + . . . + cp upp = up . Repetˆand rat¸ionamentul, din aproape ˆın aproape obt¸inem un = c1 u1n + . . . + cp upn ,
∀n ∈ N.
(1.13)
14
CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE
1.2.2
Determinarea unui sistem fundamental de solut¸ii
C˘aut˘am solut¸ii ale ecuat¸iei cu diferent¸e omogene (1.9) sub forma unei progresii geometrice uk = xk , k ∈ N. Rezult˘a c˘a x trebuie s˘a fie r˘ad˘acina polinomului caracteristic f (x) = ap xp + ap−1 xp−1 + . . . + a1 x + a0 . Not˘am prin x1 , . . . , xp r˘ad˘acinile acestui polinom. Cazul r˘ ad˘ acinilor distincte dou˘ a cˆ ate dou˘ a. Teorema 1.2.5 Dac˘ a x1 , . . . , xp sunt r˘ ad˘ acini distincte dou˘ a cˆ ate dou˘ a ale polinomului caracteristic atunci ¸sirurile (xn1 )n∈N , . . . , (xnp )n∈N formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii pentru ecuat¸ia cu diferent¸e omogem˘ a (1.9). Demonstrat¸ie. Verific˘am condit¸ia de liniar independent¸˘a, dat˘a ˆın Teorema 1.2.3, a celor p ¸siruri. n x1 . . . xnp n+1 n+1 x1 . . . x p = 4n = . ... ... . .n+p−1 n+p−1 x . . . x p 1 Y = (x1 · . . . · xp )n V (x1 , . . . , xp ) = (x1 · . . . · xp )n (xi − xj ) 6= 0. 1≤j
Cazul r˘ ad˘ acinilor multiple. Stabilim un rezultat ajut˘ator Teorema 1.2.6 Dac˘ a f (x) este polinomul caracteristic ¸si ϕ : N → R este o funct¸ie oarecare atunci ap xn+p ϕ(n + p) + ap−1 xn+p−1 ϕ(n + p − 1) + . . . + a0 xn ϕ(n) = = xn [f (x)ϕ(n) +
1 0 1 xf (x)4ϕ(n) + . . . xp f (p) 4p ϕ(n)]. 1! p!
Demonstrat¸ie. Utilizˆand relat¸ia (iii) de la (1.2) au loc egalit˘a¸tile ϕ(n) = ϕ(n) 1 ϕ(n + 1) = ϕ(n) + 0 2 ϕ(n + 2) = ϕ(n) + 0 .. . p ϕ(n + p) = ϕ(n) + 0
1 1
2 1
p 1
4ϕ(n)
2 2
p 2
4ϕ(n) +
4ϕ(n) + ... +
42 ϕ(n)
42 ϕ(n) + . . . p 4p ϕ(n) p
15
˘ 1.2. ECUAT ¸ IA CU DIFERENT ¸ E LINIARA
pe care le ˆınmult¸im respectiv cu a0 xn , a1 xn+1 , a2 xn+2 , . . . , ap xn+p ¸si le ˆınsum˘am, obt¸inˆand p p X X n+k n ak x ϕ(n + k) = x bk (x)4k ϕ(n), k=0
k=0
unde p p X xk X xk (k) j j aj x = j(j − 1) · . . . · (j − k + 1)xj−k = bk (x) = f (x). k k! k! j=k
j=k
ˆIn consecint¸˘a, dac˘a x este o r˘ad˘acin˘a a polinomului caracteristic, avˆand ordinul de multiplicitate r atunci ¸sirul (xn ϕ(n))n∈N , cu ϕ(n) polinom de grad cel mult r − 1, este solut¸ie a ecuat¸iei cu diferent¸e (1.9). Mai mult, Teorema 1.2.7 Dac˘ a x1 , x2 , . . . , xk sunt r˘ ad˘ acinile polinomului caracteristic, avˆ and respectiv ordinele de multiplicitate r1 , r2 , . . . , rk , (r1 + r2 + . . . + rk = p), atunci ¸sirurile (xn1 )n∈N (nxn1 )n∈N . . . (nr1 −1 xn1 )n∈N (xn2 )n∈N (nxn2 )n∈N . . . (nr2 −1 xn2 )n∈N ... ... ... ... (xnk )n∈N (nxnk )n∈N . . . (nrk −1 xnk )n∈N formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii pentru ecuat¸ia cu diferent¸e omogen˘ a (1.9). Demonstrat¸ie. Presupunem prin absurd c˘a ¸sirurile (xni )n∈N , (nxni )n∈N , . . . , (nri −1 xni )n∈N ,
1≤i≤k
sunt liniar dependente. Atunci exist˘a constantele Ci,0 , Ci,1 , . . . , Ci,ri −1 , 1 ≤ i ≤ k nu toate nule, astfel ˆıncˆat k X
(Ci,0 xni + Ci,1 nxni + . . . + Ci,ri −1 nri −1 xni ) = 0,
∀n ∈ N,
i=1
sau
k X
xni Pi (n) = 0,
∀n ∈ N,
(1.14)
i=1
unde Pi (n) = Ci,0 + Ci,1 n + . . . + Ci,ri −1 nri −1 . Potrivit presupunerii f˘acute, polinoamele Pi (n), i = 1, . . . , k nu sunt toate identic nule. Putem presupune c˘a toate polinoamele care apar ˆın relat¸ia (1.14) sunt neidentic nule.
16
CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE
ˆImp˘art¸ind (1.14) prin xn rezut˘a 1 P1 (n) +
x n 2
x1
P2 (n) + . . . +
x n k
x1
∀n ∈ N.
Pk (n) = 0,
(1.15)
Aplicˆand relat¸iei (1.15) diferent¸a1 4n deducem x n 2
x1
P2,1 (n) + . . . +
x n k
x1
∀n ∈ N,
Pk,1 (n) = 0,
unde polinoamele Pi,1 i = 2, . . . , k au gradele respectiv egale cu ale polinoamelor Pi i = 2, . . . , k. Repetˆand rat¸ionamentul de mai sus de k − 1 ori deducem egalitatea x n k Pk,k−1 (n) = 0 ∀n ∈ N. xk−1 Pe de-o parte rezult˘a c˘a polinomul Pk,k−1 este identic nul, iar pe de alt˘a parte este neidentic nul. Contradict¸ia ap˘arut˘a justific˘a afirmat¸ia teoremei. Exemplul 1.2.1 S ¸ irul lui Fibonacci este definit prin ecuat¸ia cu diferent¸e un+2 − un+1 − un = 0,
∀n ∈ N.
(1.16)
Polinomul caracteristic este f (x) = x2 − x − 1 ¸si are r˘ad˘acinile termenului general al ¸sirului definit de (1.16) este
√ 1± 5 2 .
Formula
√ √ 1− 5 n 1+ 5 n ) + C2 ( ) . un = C1 ( 2 2 Dac˘a impunem condit¸iile init¸iale u0 = u1 = 1 atunci coeficient¸ii C1 , C2 rezult˘ a din sistemul u0 = C1 + C2 = 1 √ √ 1− 5 1+ 5 u1 = C1 + C2 = 1. 2 2 Rezolvˆand sistemul de mai sus, se obt¸ine C1 =
√ 1+√ 5 , 2 5
C2 =
√ 1−√ 5 . 2 5
# " √ √ 1 1 + 5 n+1 1 − 5 n+1 ) −( ) . un = √ ( 2 2 5 1
Prin urmare
(1.17)
Pentru a 6= 1 ¸si ϕ polinom are loc 4an ϕ(n) = an (aϕ(n + 1) − ϕ(n)) unde aϕ(n + 1) − ϕ(n) este un polinom de acela¸si grad cu ϕ.
17
˘ 1.2. ECUAT ¸ IA CU DIFERENT ¸ E LINIARA
1.2.3
Solut¸ia ecuat¸iei cu diferent¸e neomogen˘ a
Suntem ˆın m˘asur˘a s˘a solut¸ion˘am problema determinat˘a de ecuat¸ia cu diferent¸e neomogen˘a, liniar˘a ¸si cu coeficoent¸i constant¸i (1.7) cu condit¸iile init¸iale (1.8). Teorema 1.2.8 Dac˘ a (ukn )n∈N , k = 0, 1, . . . , p−1 formeaz˘ a un sistem fundamental de solut¸ii pentru ecuat¸ia cu diferent¸e omogen˘ a care satisfac condit¸iile init¸iale ukn = δk,n , k, n ∈ {0, 1, . . . , p − 1} atunci solut¸ia problemei (1.7)-(1.8) este p−1 X
un =
vi uin
i=0
n−p 1 X p−1 fk+p un−k−1 , + ap
∀n ∈ N.
(1.18)
k=0
Se presupune c˘ a fk = 0 pentru k < p; ukn = 0 pentru n < 0, k = 0, 1, . . . , p − 1.
(1.19)
Pp−1 i Demonstrat¸ie. S¸irul (zn )n∈N definit prin zn = ¸ie a i=0 vi un este o solut ecuat¸iei cu diferent¸e omogen˘a care verific˘a condit¸iile init ¸iale (1.8). P n−p Verific˘am c˘a ¸sirul (wn )n∈N definit prin wn = a1p k=0 fk+p up−1 n−k−1 este o solut¸ie a ecuat¸iei cu diferent¸e neomogen˘a (1.7) care satisface condit¸iile init¸iale omogene wn = 0, pentru n = 0, 1, . . . , p − 1. Dac˘a n ∈ {0, 1, . . . , p−1} atunci pentru k = −1, −2, . . . , n−p au loc egalitatea fk+p = 0 ¸si ˆın consecint¸˘a 1 wn = fp up−1 n−1 = 0, ap datorit˘a condit¸iilor init¸iale verificate de ¸sirul (up−1 n )n∈Z . Utilizˆand (1.19), au loc egalit˘a¸tile n−p ∞ 1 X 1 X fk+p up−1 = fk+p up−1 n−k−1 n−k−1 . ap ap
wn =
k=0
Atunci
p X
aj wn+j
j=0
1 = ap
p X j=0
aj
k=−∞
p ∞ X 1 X = aj fk+p up−1 n+j−k−1 = ap j=0
n X
fk+p up−1 n+j−k−1
k=0
k=−∞
p n X 1 X = fk+p aj up−1 n+j−k−1 . ap k=0
j=0
Pentru k = 0, 1, . . . , n − 1, deoarece ¸sirul (up−1 ¸ie a ecuat¸iei cu n )n∈Z este solut diferent¸e omogen˘a (1.9), au loc egalit˘a¸tile p X j=0
p−1 aj un+j−k−1 =0
18
CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE
iar pentru k = n, din condit¸iile init¸iale verificate de acela¸si ¸sir, are loc p X
p−1 aj uj−1 = ap .
j=0
ˆIn consecint¸˘a Pp aj wn+j = j=0
1.3
1 ap fn+p ap
= fn+p .
Transformarea z
Fie S mult¸imea ¸sirurilor de numere complexe x = (xn )n∈Z . Dac˘a xn = 0, ∀n < 0 atunci ¸sirul x se nume¸ste cu suport pozitiv. Mult¸imea acestor ¸siruri se noteaz˘ a cu S + . 0 n<0 Exemplul 1.3.1 u = (un )n∈Z , cu un = . 1 n≥0 0 n 6= k . Exemplul 1.3.2 δk = (δk,n )n∈Z , cu δk,n = 1 n=k P Definit¸ie 1.3.1 Fie x, y ∈ S + astfel ˆıncˆ at, pentru orice n ∈ Z, seria k∈Z xn−k yk este convergent˘ a. S ¸ irul z = (zn )n∈Z definit prin X zn = xn−k yk k∈Z
se nume¸ste produsul de convolut¸ie al ¸sirurilor x ¸si y ¸si se noteaz˘ a cu z = x ∗ y. Evident x ∗ y = y ∗ x. Exemplul 1.3.3 Dac˘ a x = (xn )n∈Z , atunci ¸sirul z = x ∗ δk , z = (zn )n∈Z este X zn = xn−s δk,s = xn−k ∀n ∈ Z. s∈Z
P a ˆın domeDefinit¸ie 1.3.2 Fie x = (xn )n∈Z ¸si funct¸ia X(z) = n∈Z xz nn , definit˘ niul de convergent¸˘ a al seriei Laurent. Operatorul ce ata¸seaz˘ a ¸sirului x funct¸ia X(z) se nume¸ste transformata z a ¸sirului x L(x) = X. Exemplul 1.3.4 Transformata z a ¸sirului u este L(u)(z) =
∞ X 1 z , = n z z−1
n=0
definit˘ a ˆın coroana {z ∈ C : |z| > 1}.
19
1.3. TRANSFORMAREA Z
Exemplul 1.3.5 L(δk )(z) =
1 . zk
Exemplul 1.3.6 Dac˘ a x = (xn )n∈Z ¸si y = (yn )n∈Z cu yn = xn−k , ∀n ∈ Z atunci X xn−k X yn = = z −k L(x)(z). L(y)(z) = n z zn n∈Z
n∈Z
Transformarea z se bucur˘a de urm˘atoarele propriet˘a¸ti: Teorema 1.3.1 Operatorul L este liniar. Teorema 1.3.2 Dac˘ a x ∈ S atunci L(x ∗ δk )(z) =
1 L(x)(z). zk
Demonstrat¸ie. S¸irul x ∗ δk este (xn−k )n∈Z . ˆIn consecint¸˘a L(x ∗ δk )(z) =
X xn−k n∈Z
zn
=
1 X xn−k 1 = k L(x)(z). k n−k z z z n∈Z
Teorema 1.3.3 Are loc egalitatea L(x ∗ y) = L(x)L(y)
∀x, y ∈ S.
P Demonstrat¸ie. Dac˘a u = x ∗ y = ( k∈Z xn−k yk )n∈Z atunci P X X yk X xn−k k∈Z xn−k yk L(u)(z) = = = L(y)(z)L(x)(z). zn zk z n−k n∈Z
k∈Z
n∈Z
P Teorema 1.3.4 Dac˘ a x = (xn )n∈Z ¸si X(z) = n∈Z coroana {z ∈ C : r < |z| < R} atunci are loc egalitatea Z 1 xn = z n−1 X(z)dz, 2πi |z|=ρ
xn zn
este convergent˘ a ˆın
(1.20)
unde discul delimitat de cercul |z| = ρ cont¸ine toate singularit˘ a¸tile funct¸iei X(z). Demonstrat¸ie. Calcul˘am integrala din (1.20) Z X Z n−1 z X(z)dz = xk z n−1−k dz = 2πixn . |z|=ρ
k∈Z
|z|=ρ
O aplicat¸ie a transform˘arii z este rezolvarea ecuat¸iilor cu diferent¸e liniare ¸si cu coeficient¸i constant¸i. Consider˘am ecuat¸ia cu diferent¸e (1.7) ¸si extindem mult¸imea indicilor la Z, definind un = 0, ∀n < 0
20
CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE
¸si ∀n < 0.
fn+p = ap un+p + ap−1 un+p−1 + . . . + a1 un+1 + a0 un , Atunci ecut¸ia cu diferent¸e (1.7) se poate scrie ap un + ap−1 un−1 + . . . + a1 un−p+1 + a0 un−p = fn ,
∀n ∈ Z,
sau ap (u ∗ δ0 )n + ap−1 (u ∗ δ1 )n + . . . + a1 (u ∗ δp−1 )n + a0 (u ∗ δp )n = fn .
(1.21)
Not˘am u = (un )n∈Z , U (z) = L(u)(z), f = (fn )n∈Z ¸si F (z) = L(f )(z). ˆIn urma aplic˘arii transform˘arii z asupra ecuat¸iei (1.21) ¸si utilizˆand Teorema 1.3.2 obt¸inem ecuat¸ia U (z)(ap +
ap−1 a1 a0 + . . . + p−1 + p ) = F (z). z z z
Explicitˆand funct¸ia necunoscut˘a, g˘asim U (z) =
z p F (z) . ap z p + ap−1 z p−1 + . . . + a1 z + a0
Potrivit formulei (1.20), termenii ¸sirului u se calculeaz˘a cu un =
1 2πi
Z |z|=ρ
z n+p−1 F (z) dz. ap z p + ap−1 z p−1 + . . . + a1 z + a0
Exemplul 1.3.7 S ¸ irul lui Fibonacci, se poate scrie un − un−1 − un−2 = 0,
∀n ≥ 2.
Extinzˆand mult¸imea indicilor la Z, obt¸inem 0 u1 − u0 un − un−1 − un−2 = u0
n ∈ Z\{0, 1} n=1 n=0
Ecuat¸ia transformatei z a ¸sirului u = (un )n∈Z este U (z)(1 −
1 1 u1 − u0 − 2 ) = u0 + , z z z
de unde U (z) =
u0 z 2 + (u1 − u0 )z . z2 − z − 1
21
1.3. TRANSFORMAREA Z
Dac˘a ρ >
√ 1+ 5 2
atunci 1 un = 2πi
Z |z|=ρ
[u0 z 2 + (u1 − u0 )z]z n−1 . z2 − z − 1
Calculˆand integrala prin reziduuri obt¸inem " # √ √ 1 1 + 5 n+1 1+ 5 n un = √ u0 ( ) + (u1 − u0 )( ) − 2 2 5 " # √ √ 1 − 5 n+1 1− 5 n 1 ) + (u1 − u0 )( ) = − √ u0 ( 2 2 5 √ √ √ √ ( 5 − 1)u0 + 2u1 1 + 5 n ( 5 + 1)u0 − 2u1 1 − 5 n √ √ = ( ( ) + ) . 2 2 2 5 2 5 Dac˘a u0 = u1 = 1 atunci se reg˘ase¸ste (1.17).
Probleme ¸si teme de seminar P 1.1 S˘ a se calculeze 1. 4nh x1 2. 4nh sin(ax + b) 3. 4nh cos(ax + b) P 1.2 S˘ a se arate c˘ a dac˘ a 4F (x) = f (x) atunci Pn 1 P 1.3 S˘ a se calculeze k=1 k(k+1)...(k+p) .
Pn
k=1 f (k)
= F (n + 1) − F (1).
P 1.4 S˘ a se demonstreze formula de ˆınsumare prin p˘ art¸i n X
u(k)4v(k) = u(n + 1)v(n + 1) − u(1)v(1) −
k=1
n X
v(k + 1)4u(k).
k=1
P 1.5 S˘ a se calculeze
Pn
k k=1 k2 .
P 1.6 S˘ a se arate c˘ a
0 0 1 0 2 0 .. . n 0
0 1 1 2 1 .. . n 1
0
...
0 2 2 .. . n 2
...
... ..
.
...
0
−1
0 0 .. . n n
=
22
CAPITOLUL 1. DIFERENT ¸ E FINITE
=
0 0 1 − 0 2 0 .. . n n (−1) 0
0
0
1 1 2 − 1 .. . n n−1 (−1) 1
...
0
...
2 2 .. .
... .. n 2
(−1)n−2
Indicat¸ie. Se scriu matriceal relat¸iile s X s s s x = ((x − 1) + 1) = (x − 1)i , i
.
...
0
0 . 0 .. . n n
s = 0, 1, . . . , n,
i=0
¸si s
(x − 1) =
s X
s−i
(−1)
i=0
s i
xi ,
s = 0, 1, . . . , n.
P 1.7 S˘ a se rezolve ¸si s˘ a se discute ˆın funct¸ie de parametrul p ecuat¸ia cu diferent¸e un+2 − 2pun+1 + un = 0. P 1.8 S˘ a se rezolve ecuat¸ia cu diferent¸e un+2 − un+1 − 6un = 2n+2 . P 1.9 S˘ a se rezolve sistemul 2x1 −x2 =1 −xi−1 +2xi −xi+1 = i −xn−1 +2xn =n
2≤i≤n−1
Indicat¸ie. 1. Sistemul are solut¸ie unic˘a. Determinantul sistemului este 2 −1 0 0 ... 0 0 0 −1 2 −1 0 . . . 0 0 0 0 −1 2 −1 . . . 0 0 0 ∆n = . .. .. .. . . 0 0 0 0 . . . −1 2 −1 0 0 0 0 . . . 0 −1 2 care dezvoltat dup˘a prima linie conduce la formula de recurent¸˘a ∆n = 2∆n−1 − δn−2 . Solut¸ia ecuat¸iei cu diferent¸e este ∆n = C1 + C2 n. Deoarece ∆2 = 3, ∆3 = 4 se obt¸ine ∆n = n + 1. 2. Se rezolv˘a ecuat¸ia cu diferent¸e xk+1 − 2xk + xk−1 = −k, k ∈ N. Determin˘am sistemul fundamental al ecuat¸iei cu diferent¸e omogene corespunz˘atoare: (u0k )k∈N , (u1k )k∈N care satisface condit¸iile init¸iale u00 = 1 u10 = 0
u01 = 0 u11 = 1
23
1.3. TRANSFORMAREA Z
Se obt¸ine u0k = 1 − k
u1k = k. 3
Utilizˆand formula (1.18) rezult˘a uk = v0 (1 − k) + v1 k − k 6−1 . 3. Impunˆand condit¸iile x0 = 0 ¸si xn+1 = 0 g˘asim v0 = 0, v1 = avem xk = k6 ((n + 1)2 − k 2 ).
n2 +2n 6 .
ˆIn final
Capitolul 2
Elemente din teoria interpol˘ arii Fie X o mult¸ime ¸si funct¸ia f : X → R cunoscut˘a numai prin valorile ei ˆıntr-un num˘ar finit de puncte x1 , x2 , . . . , xn din mult¸imea X: yi = f (xi ), i ∈ {1, 2, . . . , n}. O mult¸ime F de funct¸ii reale definite ˆın X este interpolatoare de ordin n dac˘a pentru orice sistem de n puncte distincte x1 , x2 , . . . , xn din X ¸si oricare ar fi numerele reale y1 , y2 , . . . , yn exist˘a ˆın F o singur˘a funct¸ie care ˆın punctele xi ia respectiv valorile yi , pentru orice i ∈ {1, 2, . . . , n}. ˆIn acest cadru problema de interpolare are urm˘atorul enunt¸: Dˆandu-se mult¸imea interpolatoare F de ordinul n ˆın X ¸si perechile (xi , yi ) ∈ X × R, i ∈ {1, 2, . . . , n}, cu proprietatea c˘a i 6= j ⇒ xi 6= xj , s˘a se determine aceea funct¸ie ϕ ∈ F care ˆın punctele xi ia respectiv valorile yi : yi = ϕ(xi ), i ∈ {1, 2, . . . , n}. Funct¸ia de interpolare ϕ ¸si f au acelea¸si valori ˆın punctele {x1 , x2 , . . . , xn }. Se consider˘a c˘a ϕ este o aproximare a funct¸iei f. Din punct de vedere teoretic de ridic˘a urm˘atoarele probleme: • Precizarea unor mult¸imi interpolatoare (problema existent¸ei funct¸iei de interpolare); • Determinarea funct¸iei de interpolare; • Evaluarea diferent¸ei dintre o funct¸ie ¸si funct¸ia de interpolare corespunz˘atoare.
2.1
Sisteme Cebˆı¸sev
Consider˘am funct¸iile reale f1 , f2 , . . . , fn definite ˆın intervalul compact [a, b]. 24
(2.1)
25
2.1. SISTEME CEBˆIS ¸ EV
Sistemul de funct¸ii (2.1) este liniar independent dac˘a egalitatea n X
λi fi (x) = 0,
∀x ∈ [a, b]
i=1
are loc numai pentru λ1 = . . . = λn = 0. Teorema 2.1.1 Sistemul de funct¸ii (2.1) este liniar independent dac˘ a exist˘ a un sistem de puncte a ≤ x1 < x2 < . . . xn ≤ b astfel ˆıncˆ at determinantul f1 (x1 ) f2 (x1 ) . . . fn (x1 ) f1 , f2 , . . . , fn f (x ) f2 (x2 ) . . . fn (x2 ) V = 1 2 6= 0. x1 , x2 , . . . , xn ... ... ... ... f1 (xn ) f2 (xn ) . . . fn (xn ) Demonstrat¸ie. Presupunem prin absurd, c˘a sistemul de funct¸ii (2.1) este liniar independent ¸si c˘a pentru orice sistem de puncte a ≤ x1 < x2 < . . . xn ≤ b are loc f1 , f2 , . . . , fn egalitatea V = 0. x1 , x2 , . . . , xn Atunci max{rang(fi (xj ))1≤i,j≤n : a ≤ x1 < x2 < . . . < xn ≤ b} = m ≤ n − 1. Exist˘a punctele a ≤ x01 < x02 < . . . < x0n ≤ b astfel ˆıncˆat rang(fi (x0j ))1≤i,j≤n = m ¸si λ1 , λ2 , . . . , λn o solut¸ie nebanal˘a a sistemului algebric de ecuat¸ii liniare λ1 f1 (x01 ) + λ2 f2 (x01 ) + . . . + λn fn (x01 ) = 0 λ1 f1 (x02 ) + λ2 f2 (x02 ) + . . . + λn fn (x02 ) = 0 ... ... ... λ1 f1 (x0n ) + λ2 f2 (x0n ) + . . . + λn fn (x0n ) = 0 Deoarece rangul matricei (fi (x0j ))1≤i,j≤n este m, ˆıntre vectorii vi = (f1 (x0i ), f2 (x0i ), . . . , fn (x0i )),
i = 1, 2, . . . , n
exist˘a m vectori liniari independent¸i. Putem presupune c˘a ace¸stia sunt printre v1 , . . . , vn−1 . P Atunci pentru orice x ∈ [a, b] are loc egalitatea ni=1 λi fi (x) = 0. ˆIntr-adev˘ar matricea f1 (x01 ) f2 (x01 ) . . . fn (x01 ) ... ... ... ... f1 (x0n−1 ) f2 (x0n−1 ) . . . fn (x0n−1 ) f1 (x) f2 (x) . . . fn (x) are rangul cel mult egal cu m. Dac˘a v = (fP a 1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)) atunci exist˘ constantele µ1 , µ2 , . . . , µn−1 astfel ˆıncˆat v = n−1 µ v sau pe componente i=1 i i fj (x) =
n−1 X i=1
µi fj (x0i ),
j = 1, 2, . . . , n.
26
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
ˆInmult¸ind relat¸iile de mai sus, respectiv cu λ1 , . . . , λm ¸si sumˆand obt¸inem n X
λj f (xj ) =
j=1
n X
λj
j=1
n−1 X i=1
µi fj (x0i ) =
n−1 X i=1
µi
n X
λj f (x0i ) = 0.
j=1
ˆIn acest fel se contrazice independent¸a familiei de funct¸ii (2.1). Reciproc, s˘a presupunem c˘a exist˘a sistemul de puncte a ≤ x1 < x2 < . . . xn ≤ f1 , f2 , . . . , fn b astfel ˆıncˆat V 6= 0. x1 , x2 , . . . , xn independent˘a atunci ar exista Dac˘a familia de funct¸ii (2.1) nu ar fi liniar P constantele λ1 , . . . , λn , nu toate nule astfel ˆıncˆat ni=1 λi fi (x) = 0, ∀x ∈ [a, b]. ˆIn particular, sistemul omogen λ1 f1 (x1 ) + λ2 f2 (x1 ) + . . . + λn fn (x1 ) = 0 λ1 f1 (x2 ) + λ2 f2 (x2 ) + . . . + λn fn (x2 ) = 0 ... ... ... λ1 f1 (xn ) + λ2 f2 (xn ) + . . . + λn fn (xn ) = 0 ˆın necunoscutele λ1 , . . . , λn admite cea ce contrazice ipoteza o solut¸ie nebanal˘a, f1 , f2 , . . . , fn f˘acut˘a asupra determinantului V . x1 , x2 , . . . , xn Definit¸ie 2.1.1 Sistemul de funct¸ii (2.1) este un sistem Cebˆı¸sev dac˘ a pentru orice sistem de puncte a ≤ x1 < x2 < . . . < xn ≤ b determinantul V
f1 , f2 , . . . , fn x1 , x2 , . . . , xn
este diferit de zero. Observat¸ie 2.1.1 Orice sistem Cebˆı¸sev este alc˘ atuit din funct¸ii liniar independente. ˆ orice interval [a, b] funct¸iile 1, x, x2 , . . . , xn formeaz˘ Observat¸ie 2.1.2 In a un sistem Cebˆı¸sev. Fie F = span{f1 , f2 , . . . , fn } spat¸iul liniar generat de funct¸iile (2.1). Teorema 2.1.2 (Condit¸ia lui Haar) Sistemul (2.1) formeaz˘ a un sistem Cebˆı¸sev dac˘ a ¸si numai dac˘ a orice funct¸ie din + F \ {0} se anuleaz˘ a cel mult ˆın n − 1 puncte din [a, b].
27
2.1. SISTEME CEBˆIS ¸ EV
Demonstrat¸ie. S˘a presupunem c˘a familia de funct¸ii (2.1) formeaz˘a un sistem Cebˆı¸sev ¸si c˘a exist˘a o funct¸ie f ∈ F \ {0} care se anuleaz˘a cel put¸in ˆın n puncte a ≤ x1 < x2 < . . . < xn ≤ b adic˘a f (xj ) =
n X
ci fi (xj ) = 0,
j ∈ {1, 2, . . . , n}.
(2.2)
i=1
ˆIn acest caz relat¸iile (2.2) privite ca un sistem algebric de ecuat¸ii liniare ¸si omogene f1 , f2 , . . . , fn ˆın necunoscutele c1 , . . . , cn admit o solut¸ie nebanal˘a, deci V = x1 , x2 , . . . , xn 0, ceea ce contrazice definit¸ia unui sistem Cebˆı¸sev. Reciproc, presupunem c˘a orice funct¸ie din F \ {0} se anuleaz˘a cel mult ˆın n − 1 puncte din [a, b] ¸si prin de puncte a ≤ x1 < x2 < absurd, c˘a exist˘a sistemul f1 , f2 , . . . , fn . . . < xn ≤ b astfel ˆıncˆat V = 0. Atunci sistemul algebric x1 , x2 , . . . , xn de ecuat¸ii liniare λ1 f1 (x1 ) + λ2 f2 (x1 ) + . . . + λn fn (x1 ) = 0 λ1 f1 (x2 ) + λ2 f2 (x2 ) + . . . + λn fn (x2 ) = 0 ... ... ... λ1 f1 (xn ) + λ2 f2 (xn ) + . . . + λn fn (xn ) = 0 ˆın necunoscutele P λ1 , . . . , λn admite o solut¸ie nebanal˘a. Cu aceast˘a solut¸ie nebanal˘a definim f = ni=1 λi fi . f apart¸ine mult¸imii F \ {0} ¸si se anuleaz˘a ˆın punctele x1 , . . . , xn . Acest fapt contrazice ipoteza f˘acut˘a, deci familia de funct¸ii (2.1) formeaz˘a un sistem Cebˆı¸sev. Teorema 2.1.3 Dac˘ a familia de funct¸ii (2.1) formeaz˘ a un sistem Cebˆı¸sev ˆın [a, b] atunci F formeaz˘ a o familie interpolatoare de ordin n ˆın [a, b].
Demonstrat¸ie. Fie a ≤ x1 < x2 < . . . < xn ≤ b ¸si numerele reale y1 , y2 , . . . , yn . Consider˘am sistemul algebric de ecuat¸ii liniare c1 f1 (x1 ) + c2 f2 (x1 ) + . . . + cn fn (x1 ) = 0 c1 f1 (x2 ) + c2 f2 (x2 ) + . . . + cn fn (x2 ) = 0 ... ... ... c1 f1 (xn ) + c2 f2 (xn ) + . . . + cn fn (xn ) = 0
(2.3)
f1 , f2 , . . . , fn ˆın necunoscutele c1 , c2 , . . . , cn . Determinantul sistemului V x1 , x2 , . . . , xn este diferit de 0, deci (2.3) admite o solut¸ie unic˘a c1 , c2 , . . . , cn . Funct¸ia f = P n ¸iile de interpolare f (xi ) = yi , i ∈ {1, 2, . . . , n}. i=1 ci fi satisface condit
28
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
Observat¸ie 2.1.3 Condit¸ia ca o familie de funct¸ii (2.1) s˘ a formeze un sistem Cebˆı¸sev este echivalent˘ a cu condit¸ia lui Haar sau cu proprietatea de a fi interpolatoare de ordin n pentru spat¸iul liniar F. Pentru funct¸ia f ∈ F care satisface condit¸iile de interpolare f (xi ) = yi
i ∈ {1, 2, . . . , n}
(2.4)
folosim notat¸ia L(F; x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn ). Dac˘a y1 , . . . , yn sunt valorile unei funct¸ii ϕ, respectiv ˆın punctele x1 , . . . , xn , atunci notat¸ia folose L(F; x1 , . . . , xn ; ϕ). Teorema 2.1.4 Dac˘ a familia de funct¸ii (2.1) formeaz˘ a un sistem Cebˆı¸sev ˆın [a, b] atunci solut¸ia problemei de interpolare (2.4) este 1 · f1 , f2 , . . . , fn V x1 , x2 , . . . , xn f1 (x1 ) f2 (x1 ) . . . fn (x1 ) ... ... ... ... f1 (xi−1 ) f2 (xi−1 ) . . . fn (xi−1 ) f1 (x) f2 (x) ... fn (x) f1 (xi+1 ) f2 (xi+1 ) . . . fn (xi+1 ) ... ... ... ... f1 (xn ) f2 (xn ) . . . fn (xn )
L(F; x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn )(x) =
n X · yi i=1 sau
L(F; x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn )(x) =
V
1 · f1 , f2 , . . . , fn x1 , x2 , . . . , xn
f1 (x1 ) . . . fi−1 (x1 ) y1 fi+1 (x1 ) . . . fn (x1 ) ... ... ... ... ... ... fi (x) . . . f1 (xn ) . . . fi−1 (xn ) yn fi+1 (xn ) . . . fn (xn ) i=1
n X
(2.5)
(2.6)
.
Demonstrat¸ie. Potrivit teoremei (2.1.3) problema de interpolare (2.4) are o solut¸ie L(x) = L(F; x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn )(x) care verific˘a egalitatea L(x) f1 (x) f2 (x) . . . fn (x) y1 f (x ) f (x ) . . . f (x ) 1 1 2 1 n 1 =0 (2.7) ... ... ... ... . . . yn f1 (xn ) f2 (xn ) . . . fn (xn ) ˆIntr-adev˘ar, determinantul dezvoltat dup˘a prima linie este o funct¸ie din F. Acest˘ a funct¸ie se anuleaz˘a ˆın x1 , . . . , xn ¸si atunci, potrivit teoremei (2.1.2), determinantul este nul pentru orice x ∈ [a, b].
29
2.2. INTERPOLARE LAGRANGE
Descompunem (2.7) ˆıntr-o sum˘a de doi determinant¸i L(x) f1 (x) f2 (x) . . . fn (x) 0 f1 (x1 ) f2 (x1 ) . . . fn (x1 ) + ... ... ... ... . . . 0 f1 (xn ) f2 (xn ) . . . fn (xn ) 0 f1 (x) f2 (x) . . . fn (x) y f1 (x1 ) f2 (x1 ) . . . fn (x1 ) = 0. + 1 ... ... ... . . . ... yn f1 (xn ) f2 (xn ) . . . fn (xn ) Dezvoltˆand al doilea determinant din f1 , L(x)V x1 , f1 (x) f1 (x1 ) n ... X i + (−1) yi f1 (xi−1 ) f1 (xi+1 ) i=1 ... f (x ) 1 n
(2.8)
(2.8) dup˘a prima coloan˘a obt¸inem f2 , . . . , fn + x2 , . . . , xn f2 (x) ... fn (x) f2 (x1 ) . . . fn (x1 ) ... ... ... f2 (xi−1 ) . . . fn (xi−1 ) = 0 f2 (xi+1 ) . . . fn (xi+1 ) ... ... ... f2 (xn ) . . . fn (xn )
de unde se obt¸ine imediat (2.5). Relat¸ia (2.6) se obt¸ine analog, dezvoltˆand al doilea determinant din (2.8) dup˘a prima linie.
2.2
Interpolare Lagrange
Particulariz˘am rezultatele sect¸iunii anterioare pentru sistemul Cebˆı¸sev alc˘atuit din funct¸iile 1, x, x2 , . . . , xn . ˆIn acest caz F coincide cu mult¸imea polinoamelor de grad cel mult n, Pn . Mult¸imea Pn este interpolatoare de ordinul n + 1 pe orice mult¸ime de puncte care cont¸ine cel put¸in n + 1 puncte distincte. Problema de interpolare corespunz˘atoare se nume¸ste problema de interpolare Lagrange, iar solut¸ia ei polinomul de interpolare Lagrange. Teorema 2.2.1 Expresia polinomului de interpolare Lagrange este L(Pn ; x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn )(x) = =
n+1 X i=1
yi
(x − x1 ) . . . (x − xi−1 )(x − xi+1 ) . . . (x − xn+1 ) (xi − x1 ) . . . (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) . . . (xi − xn+1 )
(2.9)
30
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
Demonstrat¸ie. Determinantul V
1, x, . . . , xn x1 , x2 , . . . , xn
revine la determinan-
tul lui Vandermonde V (x1 , x2 , . . . , xn ) = Utilizˆand
. . . xn1 . . . xn2 ... ... . . . xnn+1
Y = (xi − xj ). 1≤j
(2.5) g˘asim
1 x1 ... ... 1 xi−1 1 x 1 xi+1 ... ... 1 xn+1 1, x, V x1 , x2 ,
=
1 x1 1 x2 ... ... 1 xn+1
. . . xn1 ... ... . . . xni−1 . . . xn . . . xni+1 ... ... . . . xnn+1
V (x1 , . . . , xi−1 , x, xi+1 , . . . , xn+1 = = n V (x1 , . . . , xi−1 , xi , xi+1 , . . . , xn+1 ..., x . . . , xn
(x − x1 ) . . . (x − xi−1 )(x − xi+1 ) . . . (x − xn+1 ) (xi − x1 ) . . . (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) . . . (xi − xn+1 )
2.3
i = 1, 2, . . . , n + 1.
Interpolarea Lagrange-Hermite
Date fiind nodurile de interpolare x1 < x2 < . . . < xn+1 , numerele naturale r1 , r2 , . . . , rn+1 ¸si numerele reale f (k) (xi ),
k ∈ {0, 1, . . . , ri },
i ∈ {1, 2, . . . , n + 1},
ne propunem s˘a determin˘am un polinom H(x) care s˘a satisfac˘a condit¸iile: H (k) (xi ) = f (k) (xi ),
∀k ∈ {0, 1, . . . , ri }, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n + 1}.
(2.10)
Vom ar˘ata c˘a ˆın mult¸imea polinoamelor de grad cel mult m, Pm , cu m+1=
n+1 X
(ri + 1)
(2.11)
i=1
exist˘a un singur polinom ce satisface condit¸iile de interpolare (2.10), ˆıi vom determina forma ¸si vom evalua restul f (x) − H(x), ˆın ipoteza ˆın care datele de interpolare corespund funct¸iei f.
31
2.3. INTERPOLAREA LAGRANGE-HERMITE
Teorema 2.3.1 Dac˘ a X ¸si Y sunt spat¸ii m−dimensionale iar A ∈ (X, Y )# este un operator liniar ¸si injectiv atunci A este bijectiv. Demonstrat¸ie. Fie e1 , e2 , . . . , em P o baz˘a ˆın X. Atunci Ae1 , Ae2 , . . . , Aem este m ˆIntr-adev˘ar, dac˘a λi Aei = 0, atunci datorit˘a liniarit˘a¸tii o baz˘ a ˆ ın Y . Pm Pi=1 A( i=1 λi ei ) = 0 ¸si a injectivit˘a¸tii m i=1 λi ei = 0, deci λ1 = λ2 = . . . = λm = 0. Dac˘a y ∈ Y, atunci exist˘a constantele c1 , c2 , . . . , cm astfel ˆıncˆat y=
m X
m X ci Aei = A( ci ei ),
i=1
i=1
adic˘a surjectivitatea operatorului A. Teorema 2.3.2 Problema de interpolare Lagrange - Hermite are solut¸ie unic˘ a ˆın mult¸imea polinoamelor de grad cel mult m, Pm , (2.11). Demonstrat¸ie. Definim operatorul A : Pm → Rm+1 prin A(p) = (p(x1 ), p0 (x1 ), . . . , p(r1 ) (x1 ), . . . , p(xn+1 ), p0 (xn+1 ), . . . , p(rn+1 ) (xn+1 )). (2.12) ˆ A este liniar Intr-adev˘ar, dac˘a A(p) = 0, cu p ∈ Pm atunci polinomul Qn+1¸si injectiv. r +1 i divide polinomul p. Deoarece u(x) = i=1 (x − xi ) grad(u) =
n+1 X
(ri + 1) = m + 1 > grad(p),
i=1
rezult˘a c˘a p = 0. Din (2.3.1), rezult˘a c˘a operatorul A este bijectiv, deci exist˘a un singur polinom H ∈ Pm astfel ˆıncˆat A(H) = (f (0) (x1 ), f (1) (x1 ), . . . , f (r1 ) (x1 ), . . . . . . , f (0) (xn+1 ), f (1) (xn+1 ), . . . , f (rn+1 ) (xn+1 )) sau H (k) (xi ) = f (k) (xi ),
∀k ∈ {0, 1, . . . , ri },
∀i ∈ {1, 2, . . . , n + 1}.
Introducem notat¸iile: u(x) =
n+1 Y
(x − xi )ri +1
(2.13)
i=1
ui (x) =
u(x) (x − xi )ri +1
(2.14)
32
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
Teorema 2.3.3 Expresia polinomului de interpolare Lagrange – Hermite, solut¸ia problemei de interpolare Lagrange – Hermite este ri n+1 XX
H(x) =
f (j) (xi )hi,j (x),
(2.15)
i=1 j=0
unde (k) ri −j 1 (x − xi )k (x − xi )j X . hi,j (x) = ui (x) j! ui (x) x=xi k! k=0
Demonstrat¸ie. Fie (ei,j )1≤i≤n+1, 0≤j≤ri baza canonic˘a ˆın Rm+1 . Pentru fiecare i ∈ {1, 2, . . . , n + 1}, j ∈ {0, 1, . . . , ri } exist˘a polinomul hi,j ∈ Pm astfel ˆıncˆ at A(hi,j ) = ei,j , unde A este operatorul definit ˆın (2.12). Atunci A(H) = (f (0) (x1 ), f (1) (x1 ), . . . , f (r1 ) (x1 ), . . . . . . , f (0) (xn+1 ), f (1) (xn+1 ), . . . , f (rn+1 ) (xn+1 )) = ri n+1 XX
f
(j)
(xi )ei,j =
i=1 j=0
ri n+1 XX
f (j) (xi )A(hi,j ) =
i=1 j=0 ri n+1 XX
= A(
f (j) (xi )hi,j ).
i=1 j=0
Injectivitatea operatorului A implic˘a (2.15). Din definit¸ia polinomului hi,j , rezult˘a c˘a hi,j se divide prin ui (x)(x − xi )j . Prin urmare hi,j (x) = ui (x)(x − xi )j gi,j (x), (2.16) unde gi,j este un polinom a c˘arui grad este gradgi,j = gradhi,j − gradui − j = m − ((m + 1) − (ri + 1)) − j = ri − j. Polinomul gi,j se poate scrie gi,j (x) =
rX i −j k=0
(k)
gi,j (xi )
(x − xi )k . k!
Din (2.16) g˘asim (x − xi )j gi,j (x) = hi,j (x)
1 ui (x)
33
2.3. INTERPOLAREA LAGRANGE-HERMITE
¸si derivˆand de j + k, potrivit formulei lui Leibniz, obt¸inem (s) j+k j+k X X 1 j+k j+k (j+k−s) j (s) (j+k−s) hi,j (x) ((x − xi ) ) gi,j (x) = . s s ui (x) s=0
s=0
Pentru x = xi singurul termen diferit de 0 ˆın membrul stˆang se obt¸ine pentru s = j iar ˆın membrul drept, datorit˘a definit¸iei lui hi,j , singurul termen diferit de 0 se obt¸ine pentru s = k. Rezult˘a (k) 1 (k) (j) j!gi,j (xi ) = hi,j ui (x) x=xi de unde (k) gi,j (xi )
1 = j!
1 ui (x)
(k) k ∈ {0, 1, . . . , ri − j}.
, x=xi
Teorema 2.3.4 Dac˘ a f este o funct¸ie de m + 1 ori derivabil˘ a ˆın intervalul I = (min{x, x1 , . . . , xn+1 }, max{x, x1 , . . . , xn+1 }) atunci exist˘ a ξ ∈ I astfel ˆıncˆ at f (x) − H(x) = u(x)
f (m+1) (ξ) . (m + 1)!
Demonstrat¸ie. Funct¸ia F : R → R definit˘a prin u(z) f (z) − H(z) F (z) = u(x) f (x) − H(x)
(2.17)
admite zerourile x, x1 , . . . , xn+1 cu ordinele de multiplicitate, respectiv 1, r1 + Pn+1 1, . . . , rn+1 + 1. Spunem c˘a F se anuleaz˘a ˆın 1 + i=1 (ri + 1) = m + 2 puncte. Din teorema lui Rolle rezult˘a c˘a exist˘a ξ ∈ I astfel ˆıncˆat F (m+1) (ξ) = 0. Dar F (m+1) (ξ) = (m + 1)!(f (x) − H(x)) − f (m+1) (ξ)u(x) = 0, de unde se deduce (2.17). Cazuri particulare importante. 1. Polinomul Taylor. Fie n = 0 ¸si not˘am x1 = a, polinomul de interpolare H(x) satisface condit¸iile H (j) (a) = f (j) (a) ¸si are expresia H(x) =
r X j=0
r1 = r. ˆIn acest caz
j ∈ {0, 1, . . . , r}
f (j) (a)
(x − a)j , j!
ceea ce corespunde polinomului lui Taylor ata¸sat funct¸iei f ˆın punctul a, de grad r.
34
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
2. Polinomul lui Lagrange. Dac˘a ri = 0, i = 1, 2, . . . , n + 1 atunci reg˘asim polinomul de interpolare Lagrange H(x) =
n+1 X
f (xi )
i=1
=
n+1 X i=1
ui (x) = ui (xi )
(x − x1 ) . . . (x − xi−1 )(x − xi+1 ) . . . (x − xn+1 ) = (xi − x1 ) . . . (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) . . . (xi − xn+1 ) = L(Pn , x1 , . . . , xn+1 , f )(x).
3. Polinomul lui Fej´ er. Fie ri = 1, i = 1, 2, . . . , n + 1. Introducˆand notat¸iile Qn+1
i=1 (x − xi ) w(x) x−xi wi (x) w(x) wi (xi ) = (x−xi )w0 (xi )
w(x) = w( x) = li (x) =
i ∈ {1, 2, . . . , n + 1} i ∈ {1, 2, . . . , n + 1}
g˘asim u(x) = w2 (x) ¸si ui (x) = wi2 (x), i ∈ {1, 2, . . . , n + 1}. Atunci hi,0 (x) =
wi2 (x)
1 1 + (x − xi )( 2 )0 2 wi (xi ) wi (x) x=xi
=
2wi0 (xi ) 1 − (x − xi ) 3 = = wi2 (xi ) wi (xi ) wi2 (x) w00 (xi ) w00 (xi ) 2 = 2 1 − (x − xi ) 0 = li (x) 1 − (x − xi ) 0 , w (xi ) w (xi ) wi (xi ) wi2 (x)
¸si hi,1 (x) = wi2 (x)(x − xi )
1 wi2 (xi )
= li2 (x)(x − xi ).
Expresia polinomului de interpolare devine H(x) =
n+1 X i=1
=
n+1 X i=1
f (xi )li2 (x)
f (xi )hi,0 (x) +
n+1 X
f 0 (xi )hi,1 (x) =
(2.18)
i=1
w00 (xi ) 1 − (x − xi ) 0 w (xi )
+
n+1 X
f 0 (xi )li2 (x)(x − xi ).
i=1
Acest polinom este cunoscut sub numele de polinomul lui Fej´er.
35
2.4. DIFERENT ¸ E DIVIZATE
2.4
Polinomul de interpolarea Lagrange ¸si diferent¸a divizat˘ a
Scopul acestei sect¸iuni este reliefarea unor formule legate de polinomul de interpolare Lagrange. Utiliz˘am notat¸iile u(x) =
n+1 Y
(x − xi )ri +1
i=1
u(x) (x − xi )ri +1 (x − x1 ) . . . (x − xi−1 )(x − xi+1 ) . . . (x − xn+1 ) = li (x) = (xi − x1 ) . . . (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) . . . (xi − xn+1 ) ui (x) u(x) = = . ui (xi ) (x − xi )u0 (xi )
ui (x) =
Din (2.2.1) avem L(Pn ; x1 , . . . , xn + 1; f )(x) =
n+1 X
f (xi )
i=1
= u(x)
n+1 X i=1
ui (x) = ui (xi )
(2.19)
n+1
X 1 f (xi ) = f (xi )li (x). (x − xi )u0 (xi ) i=1
Din teorema (2.3.4) deducem Teorema 2.4.1 Dac˘ a f este o funct¸ie de n + 1 ori derivabil˘ a ˆın intervalul I = (min{x, x1 , . . . , xn+1 }, max{x, x1 , . . . , xn+1 }) atunci exist˘ a ξ ∈ I astfel ˆıncˆ at f (x) = L(Pn ; x1 , . . . , xn + 1; f )(x) + u(x)
f n+1 (ξ) . (n + 1)!
(2.20)
ˆIn particular, pentru f = 1 rezult˘a 1 = L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 )(x) = u(x)
n+1 X i=1
1 . (x − xi )u0 (xi )
(2.21)
ˆImp˘art¸ind (2.19) la (2.21) deducem formula baricentric˘ a a polinomului de interpolare Lagrange Pn+1 f (x1 ) i=1 (x−xi )u0 (xi ) 1 i=1 (x−xi )u0 (xi )
L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) = Pn+1
.
(2.22)
O metoda util˘a de calcul se bazeaz˘a pe formula de recurent¸˘a a polinoamelor de interpolare Lagrange
36
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
Teorema 2.4.2 Are loc formula L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) =
(2.23)
(x − xn+1 )L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) − (x − x1 )L(Pn−1 ; x2 , . . . , xn+1 ; f )(x) x1 − xn+1
Demonstrat¸ie. Funct¸ia din membrul drept al egalit˘a¸tii (2.23) verific˘a condit¸iile de interpolare ce definesc polinonul L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x). Definit¸ie 2.4.1 Numim diferent¸˘ a divizat˘ a de ordin n a funct¸iei f ˆın nodurile x1 , . . . , xn+1 coeficientul lui xn a polinomului de interpolare Lagrange L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) ¸si-l not˘ am [x1 , . . . , xn+1 ; f ]. Teorema 2.4.3 Are loc egalitatea L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) =
(2.24)
= L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) + (x − x1 ) . . . (x − xn )[x1 , . . . , xn+1 ; f ].
Demonstrat¸ie. Funct¸ia L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) − L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) − (x − x1 ) . . . (x − xn )[x1 , . . . , xn+1 ; f ] reprezint˘a un polinom de grad cel mult n − 1 care se anuleaz˘a ˆın n puncte distincte x1 , . . . , xn ; deci este polinomul identic nul. Un rezultat asem˘an˘ator celui din (2.4.1) este Teorema 2.4.4 Are loc formula f (x) = L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) + u(x)[x, x1 , . . . , xn+1 ; f ]
(2.25)
Demonstrat¸ie. Polinomul de interpolare Lagrange al funct¸iei f ˆın nodurile x, x1 , . . . , xn+1 verific˘a egalitatea (2.24) L(Pn+1 ; x, x1 , . . . , xn+1 ; f )(z) = = L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(z) + (z − x1 ) . . . (z − xn+1 )[x, x1 , . . . , xn+1 ; f ]. Pentru z = x obt¸inem (2.25). ˆIn funct¸ie de diferent¸e divizate, polinomul de interpolare Lagrange se scrie
37
2.4. DIFERENT ¸ E DIVIZATE
Teorema 2.4.5 (Forma lui Newton a polinomului de interpolare) Are loc formula L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) = (2.26) = f (x1 ) +
n X
(x − x1 ) . . . (x − xi )[x1 , . . . , xi+1 ; f ]
i=1
Demonstrat¸ie. Potrivit (2.4.3) au loc succesiv egalit˘a¸tile L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) = L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) +(x − x1 ) . . . (x − xn )[x1 , . . . , xn+1 ; f ] L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) = L(Pn−2 ; x1 , . . . , xn−1 ; f )(x) +(x − x1 ) . . . (x − xn−1 )[x1 , . . . , xn ; f ] ...
...
L(P1 ; x1 , x; f )(x) = L(P0 ; x1 ; f )(x) + (x − x1 )[x1 , x2 ; f ] care ˆınsumate dau (2.26). Punˆand ˆın evident¸˘a coeficientul lui xn ˆın (2.19), g˘asim urm˘atoarele formule de calcul pentru diferent¸a divizat˘a [x1 , . . . , xn+1 ; f ] = =
n+1 X i=1
(2.27) n+1
n+1
i=1
i=1
X fi (x) X f (xi ) fi (x) = = . (xi − x1 ) . . . (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) . . . (xi − xn+1 ) ui (xi ) u0 (xi )
Stabilim propriet˘a¸ti ale diferent¸ei divizate. Teorema 2.4.6 Diferent¸ele divizate ale unei funct¸ii verific˘ a formula de recurent¸˘ a [x1 , . . . , xn ; f ] − [x2 , . . . , xn+1 ; f ] , x1 − xn+1 [x1 ; f ] = f (x1 ).
[x1 , . . . , xn+1 ; f ] =
Demonstrat¸ie. Potrivit (2.4.3) au loc dezvolt˘arile L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) = = L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) + (x − x1 ) . . . (x − xn )[x1 , . . . , xn+1 ; f ] = = L(Pn−2 ; x2 , . . . , xn ; f )(x) + (x − x2 ) . . . (x − xn )[x1 , . . . , xn ; f ]+ +(x − x1 ) . . . (x − xn )[x1 , . . . , xn+1 ; f ]
(2.28) (2.29)
38
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
¸si L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) = = L(Pn−1 ; x2 , . . . , xn+1 ; f )(x) + (x − x2 ) . . . (x − xn+1 )[x1 , . . . , xn+1 ; f ] = = L(Pn−2 ; x2 , . . . , xn ; f )(x) + (x − x2 ) . . . (x − xn )[x2 , . . . , xn+1 ; f ]+ +(x − x2 ) . . . (x − xn+1 )[x1 , . . . , xn+1 ; f ]. Egalˆand cele dou˘a dezvolt˘ari, dup˘a reducere ¸si simplificare obt¸inem [x1 , . . . , xn ; f ] + (x − x1 )[x1 , . . . , xn+1 ; f ] = = [x2 , . . . , xn+1 ; f ] + (x − xn+1 )[x1 , . . . , xn+1 ; f ] de unde rezult˘a (2.28). Teorema 2.4.7 (Formula de medie) Dac˘ a funct¸ia f admite derivate pˆ an˘ a la ordinul n ˆın intervalul I = min{x1 , . . . , xn+1 , max{x1 , . . . , xn+1 ) atunci exist˘ a ξ ∈ I astfel ˆıncˆ at f (n) [x1 , . . . , xn+1 ; f ] = (2.30) n! Demonstrat¸ie. Fie x ∈ I. T ¸ inˆand seama de (2.4.4) are loc egalitatea f (x) − L(Pn−1 , x1 , . . . , xn ; f )(x) = (x − x1 ) . . . (x − xn )[x, x1 , . . . , xn ; f ] (2.31) ¸si potrivit lui (2.4.1) exist˘a ξ ∈ I astfel ˆıncˆat f (x) − L(Pn−1 , x1 , . . . , xn ; f )(x) = (x − x1 ) . . . (x − xn )
f (n) (ξ) . n!
(2.32)
Egalˆand (2.31) ¸si (2.32), pentru x = xn+1 obt¸inem (2.30). Observat¸ie 2.4.1 Dac˘ a f ∈ C n (I) ¸si x ∈ I atunci limx1 →x,...,xn →x [x1 , . . . , xn+1 ; f ] =
f (n) (x) . n!
Aceast˘a observat¸ie justific˘a definit¸ia Definit¸ie 2.4.2 [x, . . . , x; f ] = | {z } n+1 ori
f (n) (x) n!
(2.33)
Aceast˘a definit¸ie permite definirea diferent¸ei divizare pe noduri multiple. ˆIn prealabil stabilim
39
2.4. DIFERENT ¸ E DIVIZATE
Teorema 2.4.8 Fie nodurile x11 , x21 , 1 x2 , x22 , ... ... x1n+1 , x2n+1 ,
. . . xr11 +1 . . . xr22 +1 ... ... rn+1 +1 . . . xn+1
¸si notat¸iile vi (x) =
rY i +1
(x − xji ),
j=1
u(x) =
n+1 Y
vi (x),
i=1
ui (x) =
u(x) . vi (x)
Are loc formula r
n+1 [x11 , . . . , xr11 +1 , x12 , . . . , xr22 +1 , . . . , x1n+1 , . . . , xn+1
n+1 X
[x1i , . . . , xri i +1 ;
i=1
+1
; f] =
(2.34)
f ] ui
Demonstrat¸ie. Deoarece u0 (xji ) = ui (xji )vi0 (xji ), formula (2.27) ne d˘a r
n+1 [x11 , . . . , xr11 +1 , x12 , . . . , xr22 +1 , . . . , x1n+1 , . . . , xn+1
=
n+1 i +1 X rX
f (xji )
0 j i=1 j=1 u (xi )
=
f (xji ) ui (xji ) 0 j i=1 j=1 vi (xi )
n+1 i +1 X rX
=
n+1 X
+1
; f] =
[x1i , . . . , xri i +1 ;
i=1
f ]. ui
Combinˆand (2.33) cu (2.34) definim Definit¸ie 2.4.3 [x1 , . . . , x1 , . . . , xn+1 , . . . , xn+1 ; f ] = | {z } | {z } r1 +1 ori rn+1 +1 ori n+1 X i=1
1 ri !
(2.35)
f (t) (t − x1 )r1 +1 . . . (t − xi−1 )ri−1 +1 (t − xi+1 )ri+1 +1 . . . (t − xn+1 )rn+1 +1
(ri ) . t=xi
40
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
Teorema 2.4.9 (Formula lui Leibniz) Are loc formula [x1 , . . . , xn+1 , f · g] =
n+1 X
[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+1 ; g]
(2.36)
i=1
Demonstrat¸ie. Prin induct¸ie dup˘a n, pentru n = 0 [x1 , f · g] = f (x1 )g(x1 ) = [x1 , f ] · [x1 , g]. Presupunem egalitatea (2.41) adev˘arat˘a ˆın cazul diferent¸elor finite de ordin n ¸si o demonstr˘am ˆın cazul difernt¸elor finite de ordin n + 1. Fie n + 2 puncte distincte x1 , x2 , . . . , xn+2 . Trebuie s˘a ar˘at˘am c˘a [x1 , . . . , xn+2 , f · g] =
n+2 X
[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+2 ; g].
i=1
Aplicˆand formula de recurent¸˘a (2.29) ¸si ipoteza induct¸iei deducem [x1 , . . . , xn+2 ; f · g] =
[x1 , . . . , xn+1 ; f · g] − [x2 , . . . , xn+2 ; f · g] = x1 − xn+2 n+1
X 1 ( [x1 , . . . , xk ; f ] · [xk , . . . , xn+1 ; g]− = x1 − xn+2 k=1
−
n+2 X
[x2 , . . . , xk ; f ] · [xk , . . . , xn+2 ; g]).
k=2
ˆIn membrul drept adun˘am ¸si sc˘adem expresia n+2 X
[x1 , . . . , xk−1 ; f ] · [xk , . . . , xn+2 ; g].
k=2
Atunci egalitatea anterioar˘a devine n+1
[x1 , . . . , xn+2 ; f · g] =
X 1 ( [x1 , . . . , xk ; f ] · [xk , . . . , xn+1 ; g]− x1 − xn+2 k=1
−
n+2 X
[x1 , . . . , xk−1 ; f ] · [xk , . . . , xn+2 ; g]+
k=2
+
n+2 X k=2
([x1 , . . . , xk−1 ; f ] − [x2 , . . . , xk ; f ])[xk , . . . , xn+2 ; g]).
41
2.4. DIFERENT ¸ E DIVIZATE
ˆIn prima sum˘a vom scrie i ˆın loc de k, ˆın a doua sum˘a efectu˘am schimbarea de indice k − 1 = i, iar ˆın ultima sum˘a scriem de asemenea i ˆın locul lui k, dup˘a ce aplic˘am formula de recurent¸˘a (2.29). Astfel vom obt¸ine n+1
[x1 , . . . , xn+2 ; f · g] =
X 1 ( [x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+1 ; g]− x1 − xn+2 i=1
−
n+1 X
[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi+1 , . . . , xn+2 ; g]+
i=1
+
n+2 X
(x1 − xi )[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+2 ; g]) =
i=2 n+1
X 1 ( [x1 , . . . , xi ; f ]([xi , . . . , xn+1 ; g] − [xi+1 , . . . , xn+2 ; g])+ = x1 − xn+2 i=1
+
n+2 X
(x1 − xi )[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+2 ; g]) =
i=2 n+1
=
X 1 ( (xi − xn+2 )[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+2 ; g]+ x1 − xn+2 i=1
+
n+2 X
(x1 − xi )[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+2 ; g]).
i=2
Grupˆand termenii corespunz˘atori, [x1 , . . . , xn+2 ; f · g] =
+
n+1 X
1 ((x1 − xn+2 )[x1 ; f ] · [x1 , . . . , xn+2 ; g]+ x1 − xn+2
(x1 − xn+2 )[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+2 ; g]+
i=2
+(x1 − xn+2 )[x1 , . . . , xn+2 ; f ] · [xn+2 ; g]) = =
n+2 X
[x1 , . . . , xi ; f ] · [xi , . . . , xn+2 ; g].
i=1
Leg˘atura dintre diferent¸a finit˘a progresiv˘a / regresiv˘a ¸si diferent¸a divizat˘a a unei funct¸ii este
42
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
Teorema 2.4.10 Au loc egalit˘ a¸tile [a, a + h, . . . , a + nh; f ] = [a, a − h, . . . , a − nh; f ] =
Demonstrat¸ie. Pentru xi = a + (i − 1)h, devine [a, a + h, . . . , a + nh; f ] =
n+1 X i=1
4nh f (a) hn n! ∇nh f (a) hn n!
(2.37) (2.38)
i = 1, . . . , n + 1, formula (2.27)
f (a + (i − 1)h) . (−1)n−i+1 (n − i + 1)!(i − 1)!hn
Prin schimbarea de indice j = i − 1 obt¸inem [a, a + h, . . . , a + nh; f ] =
n X j=0
=
1 n!hn
n X j=0
n j
f (a + jh) = (−1)n−j (n − j)!j!hn
(−1)j f (a + jh) =
4nh f (a) . hn n!
Analog se demonstreaz˘a ¸si cealalt˘a egalitate. Observat¸ie 2.4.2 Dac˘a ˆın (2.36) se aleg nodurile echidistante a, a + h, . . . , a + nh atunci cu (2.37) se reg˘ase¸ste (1.5). ˆIn cazul nodurilor echidistante, polinomul de interpolare Lagrange are expresia Teorema 2.4.11 Au loc formulele L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f ) = =
n X i=0
f (a+ih)
(2.39)
(−1)n−i (x−a) . . . (x−a−(i−1)h)(x−a−(i+1)h) . . . (a−a−nh) hn i!(n − i)! L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f ) =
= f (a) +
n X i=1
4ih f (a) (x − a)(x − a − h) . . . (x − a − (i − 1)h) hi i! L(Pn ; a, a − h, . . . , a − nh; f ) =
= f (a) +
n X i=1
(2.40)
∇ih f (a) (x − a)(x − a + h) . . . (x − a + (i − 1)h) hi i!
(2.41)
43
2.4. DIFERENT ¸ E DIVIZATE
Teorema 2.4.12 Are loc formula de derivare dm [x1 , . . . , xn , x; f ] = m![x1 , . . . , xn , x, . . . , x; f ]. | {z } dxm m+1 ori
(2.42)
Demonstrat¸ie. Prin induct¸ie matematic˘a dup˘a m. Pentru m = 1 cu ajutorul formulei de recurent¸˘a a diferent¸elor divizate g˘asim d [x1 , . . . , xn , x + h; f ] − [x1 , . . . , xn , x; f ] [x1 , . . . , xn , x; f ] = lim = h→0 dx h = lim [x1 , . . . , xn , x + h, x; f ] = [x1 , . . . , xn , x, x; f ]. h→0
ˆIn ipoteza ˆın care formula (2.42) este adev˘arat˘a pentru derivatele de ordin m − 1 vom avea dm [x1 , . . . , xn , x; f ] = dxm m ori m ori }| { z z }| { [x1 , . . . , xn , x + h, . . . , x + h; f ] − [x1 , . . . , xn , x, . . . , x; f ] = (m − 1)! lim . h→0 h Adun˘am ¸si sc˘adem termeni convenabili la numar˘atorul fract¸iei, dup˘a care aplic˘am formula de recurent¸a a diferent¸elor divizate dm [x1 , . . . , xn , x; f ] = dxm m ori m−1 ori z }| { }| { z [x1 , . . . , xn , x + h, . . . , x + h; f ] − [x1 , . . . , xn , x + h, . . . , x + h, x; f ] = (m−1)! lim ( + h→0 h m−1 ori m−2 ori }| { z z }| { [x1 , . . . , xn , x + h, . . . , x + h, x; f ] − [x1 , . . . , xn , x, . . . , x, x, x; f ] + + ... h m ori m−1 ori z }| { z }| { [x1 , . . . , xn , x + h, x, . . . , x; f ] − [x1 , . . . , xn , x, . . . , x; f ] ... + )= h m ori }| { z = (m − 1)! lim ([x1 , . . . , xn , x + h, . . . , x + h, x; f ]+ h→0
m−1 ori m ori z }| { z }| { +[x1 , . . . , xn , x + h, . . . , x + h, x, x; f ] + . . . + [x1 , . . . , xn , x + h, x, . . . , x; f ]) =
= m![x1 , . . . , xn , x, . . . , x; f ]. | {z } m+1 ori
44
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
Probleme ¸si teme de seminar P 2.1 S˘ a se demonstreze formula [x1 , x2 , . . . , xn+1 ; f ] =
1 1 ... 1
x1 . . . x1n−1 f (x1 ) x2 . . . x2n−1 f (x2 ) ... ... ... ... n−1 xn+1 . . . xn+1 f (xn+1 ) V (x1 , x2 , . . . , xn+1 )
.
P 2.2 S˘ a se arate c˘ a 1. [x1 , x2 , . . . , xn+1
; xm ]
=
2. [x1 , x2 , . . . , xn+1 ; x1 ] = 3. [x1 , x2 , . . . , xn+1 ; x12 ] =
0 dac˘ a m ∈ {0, 1, . . . , n − 1} 1 dac˘ a m = n.
(−1)n x1 x2 ...xn+1 (−1)n x1 x2 ...xn+1
Pn+1
1 i=1 xi
P 2.3 S˘ a se calculeze determinant¸ii: 1.
2.
3.
n+1
... ... ... ...
xn+1 1 xn+1 2 ... xn+1 n+1
x1n−1 x2n−1 ... n−1 xn+1
xn+1 1 xn+1 2 ... xn+1 n+1
1
x1
. . . x1n−1
1
x2
. . . x2n−1
1 1 ... 1
x21 x22 ... x2n+1
x31 x32 ... x3n+1
1 1 ... 1
x1 x2 ... xn+1
... ... ... ...
1 x21 1 x22
... ... ... ... ... n−1 1 xn+1 . . . xn+1 x21
P 2.4 S˘ a se arate c˘ a dac˘ a f ∈ Pn atunci [x1 , x2 , . . . , xn+1 ;
f (x) f (z) ]= z−x (z − x1 ) . . . (z − xn+1 )
P 2.5 Fie a cˆ ate dou˘ a de pe axa real˘ a ¸si Q x, x1 , x2 , . . . , xn puncte distincte dou˘ u(x) = ni=1 (x − xi ). S˘ a se deduc˘ a relat¸iile
45
2.4. DIFERENT ¸ E DIVIZATE
f (xk ) k=1 (x−xk )u0 (xk )
= −[x, x1 , . . . , xn ; f ] +
xn −xn k k=1 (x−xk )u0 (xk )
= 1;
1.
Pn
2.
Pn
3. Dac˘ a ϕ(x) = 1 +
x 1!
+
x(x+1) 2!
+ ... +
n X k=1
f (x) u(x) ;
x(x+1)...(x+n−1) n!
atunci
1 − (−k)n = n!. (1 + k)ϕ0 (−k)
P 2.6 Fie x1 , x2 , . . . , xn+1 r˘ ad˘ acinile polinomului Cebˆı¸seb Tn+1 . S˘ a se arate c˘ a L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f )(x) = unde αj =
1 2
1
dac˘ a dac˘ a
n
n+1
j=0
k=1
X 2 X αj ( f (xk )Tj (xk ))Tj (x), n+1
j=0 . j≥1
P 2.7 S˘ a se determine polinomul de interpolare Lagrange – Hermite care satisface condit¸iile de interpolare H (j) (a) = f (j) (a) H
(j)
(b) = f
(j)
j ∈ {0, 1, . . . , m} j ∈ {0, 1, . . . , n}
(b)
R. H(x) =
x−b a−b
n+1 X m j=0
(x − a)j j!
# "m−j X x − a m + k f (j) (a)+ k b−a k=0
"n−j # n x − a m+1 X (x − b)j X x − b n+k + f (j) (b). k b−a j! a−b j=0
k=0
P 2.8 Utilizˆ and notat¸iile §2.3, dac˘ a r = max{r1 , . . . , rn+1 } ¸si f este o funct¸ie de r ori derivabil˘ a, atunci expresia polinomului de interpolare Lagrange – Hermite se poate scrie ri n+1 X X (x − xi )s f (t) (s) H(x) = ui (x) . s! ui (t) t=xi i=1
s=0
P 2.9 Fie I ⊆ R un interval compact, punctele x0 < x1 < . . . < xn din I ¸si funct¸ionala DI ∈ [C ( I)]∗ definit˘ a prin DI (f ) = [x0 , . . . , xn ; f ]. S˘ a se arate c˘ a Pn 1 1. kDI k = i=0 |u0 (x i )| Qn unde u(x) = i=0 (x − xi ).
46
˘ CAPITOLUL 2. ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLARII
2. Dac˘ a xj = cos (n−j)π , j ∈ {0, 1, . . . , n}, adic˘ a xj sunt punctele de extrem n ale polinomului Cebˆı¸seb Tn (x) din intervalul [−1, 1], atunci kDI k = 2n−1 , unde I = [−1, 1]. 3. Daca I = [−1, 1] ¸si −1 ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ 1 atunci kDI k ≥ 2n−1 . R. 1. Inegalitatea |D(f )| ≤ kf k∞
Pn
1 i=0 |u0 (xi )|
este imediat˘a. Pentru
(−1)n dac˘a x ∈ (∞, x0 ) 1 dac˘a x ∈ (xn , ∞) f (x) = n−j (−1) dac˘a x = xj afin˘a ˆın rest au loc relet¸iile n X i=0
n
n
i=0
i=0
X f (xi ) X 1 1 = | | = |D(f )| ≤ kDkkf k ≤ kDk ≤ . ∞ 0 0 0 |u (xi )| u (xi ) |u (xi )|
2. (n)
2n−1 =
n
n
n
i=0
i=0
i=0
X Tn (xi ) X (−1)n−i X 1 Tn (ξ) = [x0 , . . . , xn ; Tn ] = = = = kDk. n! u0 (xi ) u0 (xi ) |u0 (xi )|
3. ˆIn cazul unor noduri oarecare din intervalul [−1, 1] au loc inegalit˘a¸tile 2
n−1
= [x0 , . . . , xn ; Tn ] =
n X Tn (xi )
u0 (xi ) i=0
≤
n X
1
|u0 (xi )| i=0
= kDk.
Capitolul 3
Convergent¸a procedeelor de interpolare Dat˘a fiind ¸sirurile de noduri de interpolare (1)
x1 (2) (2) x1 x2 (3) (3) (3) x1 x2 x3 ... ... ... ... (n) (n) (n) (n) x1 x2 x3 . . . xn ... ... ... ... ... ...
(3.1)
(n)
(n)
o funct¸ie f ¸si ¸sirul funct¸iilor de interpolare Ln (x) a lui f ˆın nodurile x1 , x2 , (n) (n) x3 , . . . , xn , se ridic˘a ˆıntrebarea dac˘a ¸sirul Lk converge sau nu c˘atre f. ˆIn cele ce urmeaz˘a vom vedea c˘a r˘aspunsul poate fi atˆat afirmativ cˆat ¸si negativ, ˆın funct¸ie de interpolarea folosit˘a.
3.1
Spat¸ii liniar ordonate
Definit¸ie 3.1.1 Se nume¸ste spat¸iu liniar ordonat real o mult¸ime X cu propriet˘ a¸tile 1. X este spat¸iu liniar peste corpul numerelor reale; 2. X este un spat¸iu ordonat (relat¸ia de ordine fiind notat˘ a ≤); 3. pentru orice x, y, z ∈ X ¸si orice a ∈ R, x ≤ y =⇒
47
x+z ≤y+z ax ≤ ay
48
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
Fie E o mult¸ime oarecare ¸si F (E) spat¸iul liniar al funct¸iilor definite ˆın E cu valori reale. Definind ˆın F (E) relat¸ia de ordine f ≤g
⇐⇒
f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ E,
F (E) devine un spat¸iu liniar ordonat real. Definit¸ie 3.1.2 Fie X, Y spat¸ii liniar ordonate reale. Un operator liniar U ∈ (X, Y )# este pozitiv dac˘ a ∀x ≥ 0
=⇒
U (x) ≥ 0.
Teorema 3.1.1 Dac˘ a U : F (E) → F (E) este un operator liniar ¸si pozitiv atunci (i) f ≤ g
=⇒
(ii) |U (f )| ≤ U (|f |),
U (f ) ≤ U (g); ∀f ∈ F (E).
Mult¸imea funct¸iilor reale ¸si continue definite ˆın intervalul m˘arginit ¸si ˆınchis [a, b], notat uzual prin C[a, b], este un spact¸iu liniar ordonat real (E = [a, b]). Totodat˘a C[a, b] este un spat¸iu normat, cu norma kf k = maxx∈[a,b] |f (x)|. Convergent¸a unui ¸sir de funct¸ii, ˆın sensul acestei norme, ˆınseamn˘a convergent¸a uniform˘a. Teorema 3.1.2 (Korovkin) Fie (Un )n∈N , Un : C[a, b] → C[a, b] un ¸sir de operatori liniari ¸si pozitivi ¸si ei (x) = xi . Dac˘ a lim Un (ei ) = ei ,
n→∞
i ∈ {0, 1, 2},
atunci, pentru orice f ∈ C[a, b] are loc lim Un (f ) = f.
n→∞
Demonstrat¸ie. Fie f ∈ C[a, b]. Funct¸ia f este uniform continu˘a, adic˘a ∀ > 0
∃δ > 0
astfel ˆıncˆat
∀|t − x| < δ
⇒
|f (t) − f (x)| < . 2
2
kf k. Prin urmare, pentru Dac˘a |t − x| ≥ δ atunci |f (t) − f (x)| ≤ kf k ≤ 2 (t−x) δ2 orice t, x ∈ [a, b] are loc inegalitatea |f (t) − f (x)| ≤
(t − x)2 +2 kf k. 2 δ2
(3.2)
Not˘am prin un (x), vn (x), wn (x) funct¸iile definite prin un (x) = Un (e0 )(x) − 1,
vn (x) = Un (e1 )(x) − x,
wn (x) = Un (e2 )(x) − x2 .
49
3.1. SPAT ¸ II LINIAR ORDONATE
Din ipoteza teoremei rezult˘a c˘a lim un (x) = 0,
n→∞
lim vn (x) = 0,
n→∞
lim wn (x) = 0,
n→∞
(3.3)
uniform ˆın [a, b]. Pentru operatorul Un , punem ˆın evident¸˘a variabila funct¸iei original ¸si variabila funct¸iei imagine pentru un operator Un , respectiv prin t ¸si x. Datorit˘a liniarit˘a¸tii lui Un , au loc egalit˘a¸tile Un (f )(x) − f (x) = Un (f (t))(x) − f (x) = = Un (f (t))(x) − f (x)(Un (e0 (t))(x) − un (x)) = Un (f (t) − f (x))(x) + f (x)un (x). Fie > 0 ¸si δ > 0, ce rezult˘a din uniform continuitatea funct¸iei f. Din egalitatea anterioar˘a, datorit˘a inegalit˘a¸tii (3.2) ¸si pozitivit˘a¸tii operatorului Un , rezult˘a c˘a |Un (f )(x) − f (x)| ≤ (3.4) ≤ |Un (f (t) − f (x))(x)| + kf k |un (x)| ≤ Un (|f (t) − f (x)|)(x) + kf |kun (x)| ≤ (t − x)2 kf k)(x) + kf k |un (x)|. ≤ Un ( + 2 2 δ2 Dezvoltˆand membrul drept din (3.4), g˘asim c˘a acesta este egal cu 2kf k Un (e0 (t))(x) + 2 Un ((t − x)2 )(x) + kf k |un (x)| = 2 δ 2kf k = (1 + un (x)) + 2 Un ((t − x)2 )(x) + kf k |un (x)| = 2 δ 2kf k = (1 + un (x)) + 2 (wn (x) − 2xvn (x) + x2 un (x)) + kf k |un (x)|. 2 δ A¸sadar (3.4) devine |Un (f )(x) − f (x)| ≤
2kf k + ( + kf k)|un (x)| + 2 (wn (x) − 2xvn (x) + x2 un (x)). 2 2 δ
Intervalul [a, b] fiind compact ¸si (3.3) implic˘a existent¸a unui n0 ∈ N, astfel ˆıncˆat pentru orice n > n0 s˘a fie adev˘arat˘a inegalitatea 2kf k ( + kf k)|un (x)| + 2 |wn (x) − 2xvn (x) + x2 un (x)| < . 2 δ 2 Astfel |Un (f )(x) − f (x)| < , ∀n > n0 , ∀x ∈ [a, b], adic˘a are loc convergent¸a ¸sirului (Un (f ))n∈N c˘atre f. Analiza demonstrat¸iei de mai sus, permite enunt¸area urm˘atoarei versiuni a Teoremei 3.1.2
50
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
Teorema 3.1.3 Fie (Un )n∈N , Un : C[a, b] → C[a, b] un ¸sir de operatori liniari ¸si pozitivi. Dac˘ a lim Un ((t − x)2 )(x) = 0
lim Un (1) = 1 ¸si
n→∞
n→∞
atunci, pentru orice f ∈ C[a, b] are loc lim Un (f ) = f.
n→∞
3.2
Interpolare ¸si aproximare
Pentru o funct¸ie continu˘a indic˘am un ¸sir de polinoame de interpolare a funct¸iei care ˆın plus converge converge. (n)
Teorema 3.2.1 (Fej´ er) Fie f ∈ C[−1, 1] ¸si xk = cos (2k−1)π , k ∈ {1, 2, . . . , n} 2n r˘ ad˘ acinile polinomului lui Cebˆı¸sev Tn (x) = cos n arccos x. Dac˘ a F2n−1 este polinomul de interpolare Lagrange-Hermite care satisface condit¸iile de interpolare (n)
(n)
F2n−1 (xk ) = f (xk (n) 0 F2n−1 (xk ) = 0
∀ k ∈ {1, 2, . . . , n},
atunci ¸sirul (F2n−1 )n∈N converge c˘ atre f (uniform ˆın [−1, 1]). Demonstrat¸ie. Utilizˆand expresia polinomului lui Fej´er (2.18), cu notat¸iile introduse la deducerea lui, g˘asim F2n−1 (x) =
n X
(n)
f (xk
h
(n)
(n)
1 − (x − xk )
k=1
w00 (xk ) i (n) w0 (xk )
lk2 (x),
(3.5)
Q (n) 1 Tn (x). unde w(x) = nk=1 (x − xk ) = 2n−1 T ¸ inˆand seama de expresia polinomului lui Cebˆı¸sev, se deduc egalit˘a¸tile (n)
w00 (xk ) (n) w0 (xk )
lk2 (x)
(n)
= =
xk ) (n)
1−(xk ))2 (n) Tn2 (x) 1−(xk )2 · 2 (n) n (x−x )2 k
Exprimarea (3.5) devine n
F2n−1 (x) =
(n)
Tn2 (x) X (n) 1 − xxk f (xk ) . (n) n2 (x − x )2 k=1
k
Definim ¸sirul de operatori Fn : C[−1, 1] → C[−1, 1] prin Fn (f )(x) = F2n−1 (x). Fn este un operator liniar ¸si pozitiv. ˆIn continuare verific˘am condit¸iile Teoremei 3.1.3.
51
˘ 3.3. DIVERGENT ¸ A INTERPOLARII LAGRANGE
1. Din formula restului polinomului de interpolare Lagrange – Hermite (2.17) rezult˘a c˘a Fn (1)(x) = 1. 2. Au loc egalit˘a¸tile n
Fn ((t − x)2 )(x) =
(n)
1 − xxk Tn2 (x) X (n) = (xk − x)2 2 (n) n (x − x )2 k=1
=
Tn2 (x) (n − x n2
n X k=1
(n)
xk ) =
k
Tn2 (x) → 0, n → ∞, n
¸si ˆın consecint¸˘a limn→∞ Fn (f ) = limn→∞ F2n−1 = f.
3.3
Divergent¸a interpol˘ arii Lagrange
Deducerea rezultatului de divergent¸˘a necesit˘a cunoa¸sterea unei serii de probleme din topologie (Spat¸ii topologice Baire) ¸si analiz˘a funct¸ional˘a (Principiul condens˘arii singularit˘a¸tilor) cˆat ¸si o estimare a normei operatorului Fourier. Aceste probleme sunt prezentate ˆın sect¸iunile urm˘atoare.
3.3.1
Stat¸iu topologic Baire
Fie X un spat¸iu topologic. Definit¸ie 3.3.1 O submult¸ime nevid˘ a Y ⊂ X este rar˘ a dac˘ a int(Y ) = ∅. Definit¸ie 3.3.2 O submult¸ime nevid˘ a este de categoria I dac˘ a se poate reprezenta ˆ caz contrar submult¸imea este de ca o reuniune num˘ arabil˘ a de mult¸imi rare. In categoria II. Definit¸ie 3.3.3 O submult¸ime nevid˘ a este rezidual˘ a dac˘ a este complementara unei mult¸imi de categoria I. Definit¸ie 3.3.4 O submult¸ime nevid˘ a este superdens˘ a dac˘ a este dens˘ a ˆın spat¸iul topologic, rezidual˘ a ¸si nenum˘ arabil˘ a. Definit¸ie 3.3.5 Un spat¸iu topologic se nume¸ste spat¸iu topologic Baire dac˘ a orice submult¸ime nevid˘ a ¸si deschis˘ a este de categoria II. Au loc urm˘atoarele rezultate: Teorema 3.3.1 Fie X un spat¸iu topologic, Y o submult¸ime nevid˘ a ˆın X ¸si Z = X\Y. Urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt echivalente:
52
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
(i) Y este deschis˘ a ¸si dens˘ a ˆın X; (ii) Z este ˆınchis˘ a ¸si rar˘ a. Demonstrat¸ie. Y deschis˘a ⇔ Z ˆınchis˘a. Fie Y, o submult¸ime deschis˘a ¸si dens˘a ˆın X, Y = X. Presupunem prin absurd c˘a Z nu e rar˘a, adic˘a exist˘a x ∈ int(Z) = int(Z) ⊆ Z. Atunci Z este o vecin˘atate a lui x. Din Y ∩ Z = ∅ rezult˘a c˘a x ∈ / Y , ceea ce contrazice ipoteza Y = X. Invers, fie Z o submult¸ime ˆınchis˘a ¸si rar˘a. Dac˘a presupunem prin absurd c˘ a Y nu este dens˘a atunci exist˘a x ∈ X\Y ⊆ X\Y = Z. Submult¸imea X\Y este deschis˘a, deci ∅ = 6 int(Z) ⊆ int(Z), ceea ce contrazice ipoteza int(Z) = ∅. Teorema 3.3.2 Orice submult¸ime a unei mult¸imei de categoria I este de categoria I. Demonstrat¸ie. Fie Y o mult¸ime de categoria I, reprezentat˘a prin [ Y = Yn , Yn submult¸ime rar˘a, ∀n ∈ N. n∈N
S Dac˘a Z ⊂ Y atunci Z = Z ∩ Y = n∈N (Z ∩ Yn ), iar submult¸imile Z ∩ Yn sunt rare, ∀n ∈ N. Un spat¸iu topologic Baire este caracterizat de urm˘atoarea proprietate Teorema 3.3.3 Un spa¸siu topologic este spat¸iu topologic Baire dac˘ a ¸si numai dac˘ a o intersect¸ie num˘ arabil˘ a de mult¸imi deschise ¸si dense r˘ amˆ ane dens˘ a. Demonstrat¸ie. Fie X un spat¸iu topologic Baire ¸si familia (Xn )n∈N T de mult¸imi deschise ¸si dense ˆın X. Presupunem prin absurd c˘a mult¸imea Z = n∈N Xn nu e dens˘a ˆın X. Atunci mult¸imea Y = X\Z este deschis˘a ¸si nevid˘a. Din relat¸iile [ [ Y = X\Z ⊆ X\Z = X ∩ C(Z) = (X ∩ C(Xn )) = (X\Xn ), n∈N
deducem utilizˆand Teoremele 3.3.1 ¸si 3.3.2 c˘a Y este de categoria I, contrazicˆand proprietatea de spat¸iu topologic Baire a lui X. Reciproc, presupunem prin absurd c˘a X nu e spat¸iu topologic Baire, adic˘ a exist˘a o mult¸ime nevid˘a ¸si deschis˘a Y astfel ˆıncˆat [ Y = Yn Yn submult¸ime rar˘a, ∀n ∈ N. n∈N
Submult¸imile Xn = X\Y n = C(Y n ) sunt deschise ¸si dense ˆın X, X n = C(Y n ) = C(int(Y n )) = X.
53
˘ 3.3. DIVERGENT ¸ A INTERPOLARII LAGRANGE
T Potrivit ipotezei n∈N Xn = X. Pe de alt˘a parte, [ [ [ \ ∅= 6 Y = Yn ⊆ Yn = C(Xn ) = C( Xn ), n∈N
n∈N
n∈N
n∈N
ceea ce contrazice afirmat¸ia anterioar˘a. Recunoa¸sterea unui spat¸iu topologic Baire este u¸surat˘a de Teorema 3.3.4 Un spat¸iu metric complet este un spat¸iu topologic Baire. Demonstrat¸ie. Presupunem prin absurd c˘a exist˘a o mult¸ime deschis˘a ¸si nevid˘a Y de categoria I: [ Y = Yn Yn submult¸ime rar˘a, ∀n ∈ N∗ . n∈N∗
Fie B0 = Y. Mult¸imea deschis˘a B0 \Y 1 este nevid˘a – altfel Y = B0 ⊆ Y 1 , cea ce ar contrazice raritatea lui Y1 . Prin urmare exist˘a x1 ∈ B0 \Y 1 ¸si r10 > 0 astfel ˆıncˆat B(x1 , r10 ) ⊆ B0 \Y 1 .1 Pentru r1 = min{1, 21 r10 } mult¸imea B1 = B(x1 , r1 ) satisface relat¸iile B 1 ∩ Y 1 = ∅, B 1 ⊆ B0 . Inductiv, presupunem c˘a s-au construit mult¸imile Bi = B(xi , ri ), i = 1, 2, . . . , n− 1 astfel ˆıncˆat B i ∩ Y i = ∅, B i ⊆ Bi−1 . Mult¸imea deschis˘a Bn−1 \Y n este nevid˘a – altfel Bn−1 ⊆ Y n , cea ce ar contrazice raritatea lui Yn . Exist˘a xn ∈ Bn−1 \Y n ¸si rn0 > 0 astfel ˆıncˆat B(xn , rn0 ) ⊆ Bn−1 \Y n . Pentru rn = min{ n1 , 12 rn0 } mult¸imea Bn = B(xn , rn ) satisface relat¸iile B n ∩ Y n = ∅, B n ⊆ Bn−1 . S¸irul (xn )n∈N∗ este fundamental, deci convergent. Fie x = limn→∞ xn . Deoarece xn ∈ Bn ⊆ B1 , ∀n ∈ N∗ , rezult˘a c˘a x ∈ B n ⊆ B 1 ⊆ B0 = Y. Pe de alt˘a parte, pentru orice n ≥ m, xn ∈ Bm , de unde x ∈ Bm ⇔ x ∈ / Y m,
∀m ∈ N∗ .
Urmeaz˘a x ∈ / Y, ˆın contradict¸ie cu (3.6). 1
B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}, unde d(x, y) este distant¸a dintre x ¸si y.
(3.6)
54
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
3.3.2
Principiul condens˘ arii singularit˘ a¸tilor
Fie X, Y spat¸ii normate ¸si o submult¸ime de operatori liniari ¸si continui A ⊆ (X, Y )∗ . Mult¸imea singularit˘a¸tilor ata¸sat submult¸imii de operatori liniari ¸si pozitivi A este SA = {x ∈ X : sup kA(x)k = ∞}. A∈A
Propriet˘a¸ti ale acestei mult¸imi sunt precizate ˆın Teorema 3.3.5 (Principiul condens˘ arii singularit˘ a¸tilor) Dac˘ a X este un spactiu Banach, Y un spat¸iu normat ¸si A o submult¸ime de operatori liniari ¸si continui, astfel ˆıncˆ at supA∈A kAk = ∞, atunci mult¸imea singularit˘ a¸tilor ata¸sat˘ a familiei A este superdens˘ a ˆın X. Demonstrat¸ie. Introducem mult¸imile Xn = {x ∈ X : ∃A ∈ A astfel ˆıncˆat kA(x)k > n}
n ∈ N.
Atunci avem (i) SA =
\
Xn .
(3.7)
n∈N
(ii) [
Xn =
{x ∈ X : kA(x)k > n},
A∈A
deci Xn este o submult¸ime deschis˘a. (iii) X n = X. Pentru justificarea acestei afirmat¸ii, presupunem prin absurd, c˘a exist˘a n ∈ N ¸si x0 ∈ X\X n . Deoarece mult¸imea X\X n este deschis˘a, exist˘a r > 0 astfel ˆıncˆat B(x0 , r) = {x ∈ X : kx − x0 k ≤ r} ⊂ X\X n . Din identitatea A(x) = se deduce
kxk x + x0 ) − A(x0 )] [A(r r kxk
2n kxk, ∀x ∈ X, ∀A ∈ A, r + x0 , x0 ∈ B(x0 , r) ⊂ X\X n . kA(x)k ≤
x deoarece r kxk
(3.8)
Inegalitatea (3.8) contrazice ipoteza supA∈A kAk = ∞. Spat¸iul Banach X este un spat¸iu topologic Baire ¸si din (3.7), potrivit Teoremei 3.3.3, mult¸imea SA este dens˘a ˆın X.
55
˘ 3.3. DIVERGENT ¸ A INTERPOLARII LAGRANGE
(iv) Din Teorema 3.3.1 mult¸imea X\X n este ˆınchis˘a ¸si rar˘a. Relat¸ia (3.7) implic˘a \ \ [ SA = Xn = X\(X\ Xn ) = X\ (X\Xn ), n∈N
n∈N
n∈N
adic˘a SA este o mult¸ime rezidual˘a. Dac˘a x ∈ SA ¸si λ > 0 atunci λx ∈ SA , deci SA este nenum˘arabil˘a. O consecint¸˘a important˘a a Teoremei 3.3.5 este Teorema 3.3.6 (Principiul m˘ arginirii uniforme) Dac˘ a X este un spat¸iu Banach, Y un spat¸iu normat, atunci orice submult¸ime de operatori liniari ¸si continui, A ⊆ (X, Y )∗ m˘ arginit˘ a punctual, ∀x ∈ X, supA∈A kA(x)k < ∞, este uniform m˘ arginit˘ a, supA∈A kAk < ∞.
3.3.3
Norma operatorilor integrali
Evaluarea normei unui operator integral se bazeaz˘a pe Teorema 3.3.7 Fie I = [a, b] ¸si C(I) spat¸iul Banach al funct¸iilor continue definite ˆın I ¸si cu valori complexe. Dac˘ a e ∈ C(I), atunci norma funct¸ionalei x∗ ∈ [C(I)]∗ , definit˘ a prin Z x∗ (x) = e(t)x(t)dt I
este kx∗ k =
R I
|e(t)|dt.
Demonstrat¸ie. Norma Runei funct¸ii x ∈ C(I) este R kxk = maxt∈I |x(t)|. Din inegalitatea |x∗ (x)| ≤ kxk I |e(t)|dt rezult˘a kx∗ k ≤ I |e(t)|dt. Apoi, pentru n ∈ N, au loc relat¸iile Z Z Z |e(t)| n|e(t)|2 |e(t)|dt = dt + dt ≤ I I 1 + n|e(t)| I 1 + n|e(t)| ne(t) b−a dt ≤ + kx∗ k. 1 + n|e(t)| n I I R Pentru n → ∞ se obt¸ine inegalitatea I |e(t)|dt ≤ kx∗ k. Fie k : I × I → C o funct¸ie continu˘a ¸si operatorul liniar A : C(I) → C(I) definit prin Z Z
≤
1 dt + n
Z
e(t)
A(x)(t) =
k(t, s)x(s)ds. I
Atunci
56
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
Teorema 3.3.8 Norma operatorului A este kAk = maxt∈I
R I
|k(t, s)|ds.
Demonstrat¸ie. Din inegalit˘a¸tile Z Z |A(x)(t)| = | k(t, s)x(s)ds| ≤ |k(t, s)| |x(s)|ds ≤ I
I
Z
Z ≤ kxk
|k(t, s)|ds
|k(t, s)|ds ≤ kxk max t∈I
I
rezult˘a
I
Z |k(t, s)|ds
kA(x)k ≤ kxk max t∈I
I
¸si Z |k(t, s)|ds.
kAk ≤ max t∈I
I
R R Fie t0 ∈ I astfel ˆıncˆat I |k(t0 , s)|dt = maxt∈I I |k(t, s)|ds, ¸si funct¸ia e(t) = k(t0 , t). R R Funct¸ionala e∗ R∈ [C(I)]∗ , definit˘a prin e∗ (x) = I e(s)x(s)ds = I k(t0 , s)ds are norma ke∗ k = I |k(t0 , s)|ds. Din relat¸iile kAk = sup kA(x)k = sup max |A(x)(t)| ≥ kxk≤1 t∈I
kxk≤1 ∗
∗
Z
≥ sup |A(x)(t0 )| = sup |e (x)| = ke k = kxk≤1
kxk≤1
|k(t0 , s)|ds, I
rezut˘a egalitatea enunt¸at˘a.
3.3.4
Norma operatorului Fourier
Fie C2π spat¸iul funct¸iilor reale, continue ¸si periodice cu perioada 2π. Operatorul lui Fourier Sn : C2π → C2π este definit prin n
a0 X Sn (x)(t) = + (ak cos kt + bk sin kt) 2 k=1
unde ak =
1 π
Z
π
x(t) cos ktdt,
bk =
−π
Prin calcul direct vom deduce
1 π
Z
π
x(t) sin ktdt, −π
k ∈ {0, 1, . . . , n}.
57
˘ 3.3. DIVERGENT ¸ A INTERPOLARII LAGRANGE
Teorema 3.3.9 Are loc egalitatea 1 Sn (x)(t) = π
Z
π
x(t) −π
sin (n + 21 )(s − t) ds. 2 sin s−t 2
Demonstrat¸ie. ˆIn baza identit˘a¸tii sin (n + 21 )a 1 + cos a + cos 2a + . . . + cos na = 2 2 sin a2 rezult˘a
=
1 π
Z
n
π
1 X x(s)[ + cos k(s − t)]ds = 2 −π
1 π
Sn (x)(t) =
k=1
sin (n + 12 )(s x(t) 2 sin s−t −π 2
Z
π
− t)
ds.
Teorema 3.3.10 Norma operatorului Sn este Z 1 π sin (n + 12 )τ kSn k = dτ π 0 sin τ2 Demonstrat¸ie. Potrivit Teoremei 3.3.8, norma operatorului Sn este Z 1 π sin (n + 12 )(s − t) kSn k = max ds, t∈I π −π 2 sin s−t 2 unde I = [−π, π]. Prin schimbarea de variabil˘a s − t = τ, integrala din expresia normei devine Z π Z π−t 1 1 sin (n + 2 )(s − t) sin (n + 2 )τ ds = dτ. 2 sin τ2 2 sin s−t −π −π−t 2 Datorit˘a periodicit˘a¸tii ¸si parit˘a¸tii funct¸iei de sub integral˘a, rezult˘a Z Z 1 π sin (n + 12 )τ 1 π sin (n + 12 )τ kSn k = max dτ = dτ. t∈I π 0 sin τ2 π 0 sin τ2 Teorema 3.3.11 Are loc inegalitatea kSn k ≥
4 ln (n + 1). π2
58
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
2πt Demonstrat¸ie. Prin schimbarea de variabil˘a τ = 2n+1 , din expresia normei operatorului Sn , deducem Z n+ 1 2 sin πt 2 (3.9) kSn k = πt dt = sin 2n+1 2n + 1 0
=
2 2n + 1
Z n+ 1 2 sin πt πt dt + sin 2n+1 n
n−1 X Z j+1 j
j=0
sin πt ≥ πt dt sin 2n+1
sin πt πt dt. sin 2n+1
n−1 Z j+1
2 X ≥ 2n + 1 j=0
Dac˘a t ∈ [j, j + 1] atunci sin
πt 2n+1
j
∈ [0, π2 ] ¸si ˆın consecint¸˘a
πt π(j + 1) π(j + 1) πj ≤ sin ≤ sin ≤ , 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1
de unde
| sin πt| | sin πt| πt ≥ π(j+1) . sin 2n+1 2n+1
Deoarece
R j+1 j
| sin πt|dt = π2 , inegalitatea (3.9) ne d˘a kSn k ≥
n 4 X1 . π2 j j=1
Din teorema de medie Lagrange, rezult˘a inegaliteatea 1 1 > ln j + 1 − ln j > , j j+1 care conduce la kSn k ≥
3.3.5
4 π2
ln (n + 1).
Divergent¸a polinoamelor de interpolare Lagrange
Not˘am uk (x) = cos kx, vk (x) = sin kx, k ∈ N, prin C2π spat¸iul liniar al funct¸iilor continue ¸si periodice, cu perioada 2π, Ep mult¸imea funct¸iilor pare din C2π ¸si Wn = span{u0 , u1 , . . . , un }. Teorema 3.3.12 Dac˘ a P ∈ (Ep , Wn )∗ astfel ˆıncˆ at 1. P 2 = P, 2. P(Ep ) = Wn , (adic˘ a P este operator surjectiv),
59
˘ 3.3. DIVERGENT ¸ A INTERPOLARII LAGRANGE
atunci kI − Pk ≥
2 π2
ln(n + 1) − 21 .
Demonstrat¸ie. Not˘am prin Ty : C2π → C2π operatorul definit prin Ty (f )(x) = f (x + y). Urm˘atoarele proipriet˘a¸ti ale lui Ty sunt imediate Ty−1 = T−y , unde prin I s-a notat opera-
⇔
1. Ty T−y = T−y Ty = I torul identic. 2. kTy k = 1. Definim operatorul liniar e )(t) = 1 P(f 2π
Z
π
Ts (I − P)(T−s + Ts )(f )(t)ds. −π
Pentru orice t ∈ [−π, π] ¸si orice f ∈ C2π din inegalitatea e )(t)| ≤ 2kI − Pk kf k |P(f e )k ≤ 2kI − Pk kf k ¸si deci deducem c˘a kP(f e ≤ 2kI − Pk. kPk
(3.10)
e = I − Sn , P
(3.11)
Vom ar˘at˘am c˘a unde Sn este operatorul lui Fourier. ˆIntrucˆat orice funct¸ie din Ep se poate scrie ca o serie de forma P∞ ai ui este i=0 suficient s˘a ar˘at˘am c˘a e i ) = (I − Sn )(ui ), P(u Deoarece
∀i ∈ N.
ui 0
pentru 0 ≤ i ≤ n pentru i > n
0 ui
pentru 0 ≤ i ≤ n pentru i > n.
Sn (ui ) = r˘amˆane de ar˘atat c˘a e i) = P(u
Din surjectivitatea operatorului P rezult˘a c˘a ∀p ∈ Wn
∃f ∈ Ep
astfel ˆıncˆat
P(f ) = p.
60
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
Atunci p = P(f ) = P 2 (f ) = P(p),
∀p ∈ Wn .
(3.12)
Au loc egalit˘a¸tile (T−s + Ts )(ui )(t) = ui (t − s) + ui (t + s) = 2ui (t)ui (s), de unde P(T−s + Ts )(ui )(t) = 2ui (s)P(ui )(t).
(3.13)
Pentru 0 ≤ i ≤ n, ui ∈ Wn , din (3.12) ¸si (3.13) rezult˘a c˘a (I − P)(T−s + Ts )(ui )(t) = 0, e i ) = 0. deci P(u P Dac˘a i > n atunci P(ui ) se reprezint˘a sub forma P(ui ) = nj=0 aj uj unde aj ∈ R, ∀ 0 ≤ j ≤ n. T ¸ inˆand seama de (3.13) g˘asim Ts (I −P)((T−s +Ts )(ui )(t) = Ts (I −P)(2ui (s)ui (t)) = 2ui (s)Ts (ui −
n X
aj uj )(t) =
j=0
= 2ui (s)[ui (s)ui (t) − vi (s)vi (t) −
n X
aj (uj (s)uj (t) − vj (s)vj (t))].
j=0
Prin urmare Z π Z π h e i )(t) = 1 ui (t) u2i (s)ds − vi (t) ui (s)vi (s)ds− P(u 2π −π −π −
n X
Z
π
Z
−π
j=0
π
ui (s)uj (s)ds − vj (t)
aj uj (t)
i ui (s)vj (s)ds = ui (t).
−π
ˆIn final, din (3.10) ¸si (3.11) rezult˘a 1 e 1 1 2 1 kI − Pk ≥ kPk = kI − Sn k ≥ | kSn k − 1 | ≥ 2 ln(n + 1) − . 2 2 2 π 2 Teorema 3.3.13 Dac˘ a Q ∈ (C[a, b], Pn )∗ astfel ˆıncˆ at 1. Q2 = Q, 2. Q(C[a, b]) = Pn , atunci kI − Qk ≥
2 π2
ln(n + 1) − 21 .
61
˘ 3.3. DIVERGENT ¸ A INTERPOLARII LAGRANGE
b−a Demonstrat¸ie. Funct¸ia ψ(t) = a+b a bijectiv intervalul 2 + 2 cos t transform˘ [0, π] ˆın [a, b]. Definim operatorul liniar A : C[a, b] → Ep prin f (ψ(t)) dac˘a t ∈ [0, π], A(f )(t) = f (ψ(−t)) dac˘a t ∈ [−π, 0).
Din egalitatea imediat˘a kA(f )k = kf k rezult˘a kAk = 1. Dac˘a A(f ) = 0 atunci kA(f )k = kf k = 0 ¸si, ˆın consecint¸˘a f = 0. Astfel operatorul A este injectiv ¸si deci inversabil. Operatorul P = AQA−1 apart¸ine spat¸iului (Ep , Wn )∗ . Observ˘am c˘a P 2 = AQA−1 AQA−1 = AQ2 A−1 = AQA−1 = P. Deoarece Q = A−1 PA, din relat¸iile kI − Qk = kA−1 (I − P)Ak ≤ kA−1 k kI − Pk kAk = kI − Pk. ¸si kI − Pk = kA(I − P)A−1 k ≤ kAk kI − Qk kA−1 k = kI − Qk. rezult˘a kI − Qk = kI − Pk. Potrivit teoremei anterioare kI − Qk = kI − Pk ≥
1 2 ln(n + 1) − . 2 π 2
Teorema 3.3.14 Fie x1 , x2 , . . . , xn+1 puncte distincte dou˘ a cˆ ate dou˘ a ale unui interval [a, b]. Operatorul L(f ) = L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 )(f ) are urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: (i) L2 = L; (ii) L(C[a, b]) = Pn ; P (iii) kLk = maxx∈[a,b] n+1 a L ∈ (C[a, b], Pn )∗ . Prin li (x) s-au notat i=1 |li (x)|, adic˘ polinoamele fundamentale ale lui Lagrange. Demonstrat¸ie. Afirmat¸iile (i), (ii) rezult˘a din egalitatea L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f ) = f
∀f ∈ Pn .
(iii) Din inegalit˘a¸tile |L(f )(x)| ≤ kf k
n+1 X i=1
|li (x)| ≤ kf k max
x∈[a,b]
n+1 X i=1
|li (x)|
62
CAPITOLUL 3. CONVERGENT ¸ A PROCEDEELOR DE INTERPOLARE
P se deduce c˘a L ∈ (C[a, b], Pn )∗ ¸si kLk ≤ maxx∈[a,b] n+1 |li (x)|. i=1P Pn+1 Fie x0 ∈ [a, b] astfel ˆıncˆat i=1 |li (x0 )| = maxx∈[a,b] n+1 si funct¸ia i=1 |li (x)| ¸ dac˘a x ∈ {a, b} 1 sgnli (x0 ) dac˘a x = xi , i ∈ {1, 2, . . . , n + 1} . f0 (x) = afin˘a ˆın rest Atunci f0 ∈ C[a, b] ¸si kf0 k = 1. Deoarece L(Pn ; x1 , . . . , xn+1 ; f0 )(x) =
n+1 X
|li (x0 )|
i=1
au loc relat¸iile max x∈[a,b]
n+1 X i=1
|li (x)| =
n+1 X
|li (x0 )| = kL(f0 )k ≤ kLk ≤ max
x∈[a,b]
i=1
n+1 X
|li (x)|,
i=1
de unde rezult˘a expresia normei operatorului L. ˆIn finalul ecestei sect¸iuni stabilim urm˘atorul rezultat de divergent¸˘a: Teorema 3.3.15 Fie o mult¸ime de ¸siruri de noduri de interpolare (3.1) dintrun interval [a, b]. Mult¸imea funct¸iilor continue f ∈ C[a, b] cu proprietatea c˘ a (1) (n) ¸sirul polinoamelor de interpolare Lagrange L(Pn−1 , x1 , . . . , xn ; f ) nu converge (uniform) c˘ atre f este superdens˘ a ˆın C[a, b]. Demonstrat¸ie. Fie ¸sirul de operatori (Ln )n∈N∗ , Ln ∈ (C[a, b], Pn )∗ definit¸i prin (n)
L(f )(x) = L(Pn−1 ; x1 , . . . , x(n) n ; f )(x)
∀n ∈ N∗ .
Potrivit Teoremei 3.3.14 operatorul Ln satisface ipotezele Teoremei 3.3.13. ˆIn consecint¸˘a 2 1 kI − Ln k ≥ 2 ln (n + 1) − , ∀n ∈ N∗ , π 2 de unde supn∈N∗ kI − Ln k = ∞. Familia de operatori liniari ¸si continui A = {I − Ln : n ∈ N∗ } satisface condit¸ia principiului condens˘arii singularit˘a¸tilor (Teorema 3.3.5). Prin urmare mult¸imea singularit˘a¸tilor SA este superdens˘a ˆın C[a, b]. Astfel mult¸imea funct¸iilor f ∈ C[a, b] pentru care supn∈N∗ k(I − Ln )(f )k = ∞, deci ¸si a acelor funct¸ii pentru care Ln (f ) nu converge uniform c˘atre f este superdens˘a ˆın C[a, b].
˘ 3.3. DIVERGENT ¸ A INTERPOLARII LAGRANGE
63
Probleme ¸si teme de seminar P 3.1 Fie f : [0, 1] → R ¸si polinomul lui Bernstein de grad n ata¸sat Bn (f )(x) = Pn n f ( nk )xk (1 − x)n−k . S˘ a se arate c˘ a k=0 k 1. Bn (1)(x) = 1; 2. Bn (t)(x) = x; 3. Bn (t2 ) =
x+(n−1)x2 . n u
P 3.2 S˘ a se arate c˘ a limn→∞ Bn (f )(x) = f (x), ∀f ∈ C[0, 1], adic˘ a spat¸iul liniar al polinoamelor este dens ˆın C[0, 1] (Weierstrass).
Capitolul 4
Formule de derivare numeric˘ a Prezent˘am dou˘a moduri de aproximare a derivatei unei funct¸ii ˆıntr-un punct: • Aproximarea derivatei prin diferent¸e, util˘a ˆın cazul ˆın care funct¸ia este cunoscut˘a dar derivarea formal˘a este mult prea laborioas˘a; • Aproximarea derivatei prin derivata unei funct¸ii de interpolare, util˘a ˆın cazul ˆın care funct¸ia este cunoscut˘a prin valorile ei ˆıntr-o mult¸ime de puncte.
4.1
Aproximarea derivatei prin diferent¸e
Urm˘atoarele formule de aproximare a derivatelor unei funct¸ii sunt uzuale: 4h f (x) f (x + h) − f (x) = h h
(4.1)
f (x + h) − f (x − h) δ2h f (x) = 2h 2h
(4.2)
δh2 f (x) f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) = 2 h h2
(4.3)
f 0 (x) ' f 0 (x) ' f 00 (x) '
ˆIn ipoteza c˘a f este derivabil˘a de un num˘ar suficient de ori, pentru fiecare din cazurile de mai sus, eroarea aproxim˘arii este evaluat˘a ˆın: Teorema 4.1.1 Au loc relat¸iile: (i) (ii) (iii)
4h f (x) = f 0 (x) + h2 f 00 (c1 ), h 2 δ2h f (x) = f 0 (x) + h6 f (3) (c2 ), 2h 2 f (x) 2 δh = f 0 (x) + h12 f (4) (c3 ), h2
64
x < c1 < x + h; x − h < c2 < x + h; x − h < c3 < x + h.
65
4.2. APROXIMAREA DERIVATEI PRIN INTERPOLARE
Demonstrat¸ie. Cele trei relat¸ii sunt consecint¸e ale dezvolt˘arilor tayloriene ata¸sate unei funct¸ii. Prima egalitate rezult˘a din f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) +
h2 00 f (c1 ) 2
x < c1 < x + h.
Utilizˆand dezvolt˘arile f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) + f (x − h) = f (x) − hf 0 (x) +
h2 00 2 f (x) h2 00 2 f (x)
+ −
h3 (3) (c21 ) 6 f h3 (3) (c22 ) 6 f
x < c21 < x + h x − h < c22 < x
obt¸inem f (x + h) − f (x − h) h2 f (3) (c21 ) + f (3) (c22 ) = f 0 (x) + . 2h 6 2 Funct¸ia f (3) avˆand proprietatea lui Darboux ˆın (x−h, x+h), exist˘a c2 ∈ (min{x− h, x + h}, min{x − h, x + h}) ⊂ (x − h, c + h) astfel ˆıncˆat f (3) = Prin urmare δ2h f (x) h2 = f 0 (x) + f (3) (c2 ). 2h 6 ˆIn mod asem˘an˘ator, din dezvolt˘arile f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) + f (x − h) = f (x) − hf 0 (x) +
h2 00 2 f (x) h2 00 2 f (x)
+ −
h3 (3) (x) 6 f h3 (3) (x) 6 f
+ +
h4 24 (c31 ) h4 24 (c32 )
f (3) (c21 )+f (3) (c22 ) . 2
x < c31 < x + h x − h < c32 < x
obt¸inem f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) h2 f (4) (c31 ) + f (4) (c32 ) 00 = f (x) + . h2 12 2 Repetˆand rat¸ionamentul de mai sus, exist˘a c3 ∈ (x − h, x + h) astfel ˆıncˆat δh2 f (x) h2 (4) 0 = f (x) + f (c3 ). h2 12
4.2
Aproximarea derivatei prin derivata unei funct¸ii de interpolare
Derivata unei funct¸ii f, cunoscut˘a prin valorile ei ˆın punctele a, a+h, . . . , a+nh se poate aproxima prin derivata polinomului de interpolare Lagrange f 0 (x) '
d L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x). dx
(4.4)
66
˘ CAPITOLUL 4. FORMULE DE DERIVARE NUMERICA
Prin substitut¸ia x = a + qh expresia polinomului de interpolare Lagrange devine L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x) = L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(a + qh) = =
n X
n
f (a + ih)
i=0
(−1)n−i Y (q − j) = Q(q). i!(n − i)! j=0 j6=i
ˆIn urma deriv˘arii, aproximarea (4.4) devine f 0 (x) '
d dq L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x) = Q0 (q) = dx dx
n n n 1X (−1)n−i X Y = f (a + ih) (q − j). h i!(n − i)! j=0 i=0
k=0
k6=i j6=i,k
ˆIn mod asem˘an˘ator, derivata de ordinul doi a funct¸iei f se poate aproxima prin f 00 (x) '
d2 dq 2 d2 q 00 0 L(P ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x) = Q (q)( ) + Q (q) = n dx2 dx dx2 n n n n 1 X (−1)n−i X X Y = 2 f (a + ih) (q − j). h i!(n − i)! j=0 i=0
k=0
l=0
k6=i l6=i,k j6=i,k,l
Dac˘a ˆın locul polinomului de interpolare Lagrange se utilizeaz˘a alte funct¸ii de interpolare atunci se deduc alte formule de derivare numeric˘a.
Probleme ¸si teme de seminar P 4.1 Utilizˆ and aproximarea unei funct¸ii cu polinomul de interpolare Lagrange pe noduri echidistante s˘ a se deduc˘ a aproximat¸iile: n 42h f (a) 43h f (a) 1 0 n−1 4h f (a) f (a) ≈ 4h f (x) − + + . . . + (−1) h 2 3 n 2 3 n ∇ f (a) ∇h f (a) ∇ f (a) 1 f 0 (a) ≈ ∇h f (x) + h + + ... + h h 2 3 n Indicat¸ie. f 0 (a) = f 0 (x)|x=a ≈
d L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x)|x=a = dx
67
4.2. APROXIMAREA DERIVATEI PRIN INTERPOLARE
=
n d X 4kh f (a) [ (x − a)(x − a − h) . . . (x − a − (k − 1)h)]|x=a = dx k!hk k=0
=
n X 4kh f (a) d [(x − a)(x − a − h) . . . (x − a − (k − 1)h)]|x=a = k!hk dx k=1
=
n X 4k f (a) h
k=1
k!hk
n
(−h)(−2h) . . . (−(k − 1)h) =
1 X (−1)k−1 4kh f (a) . h k k=1
Capitolul 5
Formule de integrare numeric˘ a Fie f : [a, b] → R o funct¸ie continu˘a. Pentru a calcula integrala funct¸iei ˆın intervalul [a, b] se consider˘a formule de forma Z
b
f (x)dx = a
n X
Ai f (xi ) + R(f ),
i=0
numite formule de integrare numeric˘a sau formule de cvadratur˘a. Punctele x0 , x1 , . . . , xn se numesc nodurile formulei de integrare numeric˘a, iar A0 , A 1 , . . . , A n se numesc coeficient¸ii formulei de integrare numeric˘a. P Practic, evaluarea integralei revine la calculul sumei din membrul drept In = ni=0 Ai f (xi ). Expresia R(f ) este restul formulei de integrare numeric˘a. R(f ) ofer˘a informat¸ii privind clasa funct¸iilor pentru care formula de integrare numeric˘a este eficient˘a, ˆın sensul c˘a pentru funct¸ia dat˘a ¸si ε > 0, pentru n suficient de mare, are loc inegalitatea Z |R(f )| = |
b
f (x)dx − a
n X
Ai f (xi )| < ε.
(5.1)
i=0
In aplicat¸ii, acuratet¸ea aproxim˘arii se probeaz˘a prin satistacerea unei inegalit˘a¸ti de forma |In0 − In | < ε, n0 > n. O metod˘a de obt¸inere a unor formule de integrare numeric˘a const˘a ˆın aproximarea funct¸iei f cu o funct¸ie de interpolare. Astfel exist˘a o mare varietate de formule de integrare numeric˘a. 68
69
˘ 5.1. NATURA APROXIMARII
5.1
Natura aproxim˘ arii funct¸ionalei I(f ) =
Rb a
f (x)dx
Not˘am prin C[a, b] spat¸iul Banach al funct¸iilor reale ¸si continue definite ˆın intervalul compact [a, b], ˆınzestrat cu norma kf k = max{|f (x)| : x ∈ [a, b]}. Consider˘am funct¸ionalele liniare Z b f (x)dx, I(f ) = a
δx (f ) = f (x), n X σ(f ) = Ai δxi (f ). i=0
Astfel se pune problema aproxim˘arii ˆın spat¸iul dual C ∗ [a, b] a funct¸ionalei I cu funct¸ionala σ. Teorema 5.1.1 Au loc egalit˘ a¸tile 1.
kIk
2.
kσk
=b−a n X = |Ai |
(5.2) (5.3)
i=0
3. kI − σk = b − a +
n X
|Ai |
(5.4)
i=0
Demonstrat¸ie. 1. Din inegalit˘a¸tle Z |I(f )| = |
b
Z f (x)dx| ≤
a
b
|f (x)|dx ≤ (b − a)kf k a
deducem c˘a kIk ≤ b − a. Inegalitatea contrar˘a rezult˘a folosind funct¸ia f1 (x) = 1, b − a = I(f1 ) ≤ |I(f1 )| ≤ kIkkf1 k = kIk ≤ b − a. 2. Au loc inegalit˘a¸tile |σ(f )| = |
n X i=0
adic˘a kσk ≤
Pn
i=0 |Ai |.
Ai f (xi )| ≤ kf k
n X
|Ai |,
i=0
Dac˘a x ∈ {x0 , . . . , xn }, Ai 6= 0, sign (Ai ) 1 x ∈ {a, b} f2 (x) = afin˘a ˆın rest
70
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
atunci kf2 k = 1 ¸si n X
|Ai | ≥ kσk = sup |σ(f )| ≥ |σ(f2 )| = kf k≤1
i=0
2 m
|Ai |.
i=0
3. kI − σk ≤ kIk + kσk ≤ b − a + < min0≤i≤n−1 xi+1 − xi ¸si funct¸ia −sign (Ai ) 1 f3 (x) = afin˘a ˆın rest
n X
Pn
i=0 |Ai |.
Fie m ∈ N∗ astfel ˆıncˆ at
x ∈ {x0 , . . . , xn } 1 x ∈ {a, x0 ± m , . . . , xn ±
1 m}
Din nou kf3 k = 1 ¸si au loc inegalit˘a¸tile Z b n n X X b−a+ |Ai | ≥ kI−σk = sup |(I−σ)(f )| ≥ |(I−σ)(f3 )| = f3 (x)dx+ |Ai | = kf k≤1
i=0
Z =
1 x0 − m
a
= b−a−
n Z X f3 (x)dx+
1 xi − m
i=0
2 (n + 1) + m
1 xi + m
n X
|Ai | +
i=0
a n−1 X Z xi+1 − m1
f3 (x)dx+
i=0 n Z xi + 1 X m i=0
1 xi − m
1 xi + m
i=0
Z f3 (x)dx+
f3 (x)dx ≥ b − a −
b
1 xn + m
n X f3 (x)dx+ |Ai | =
2 (n + 1) + m
i=0 n X
|Ai |,
i=0
deoarece intergralele din ultima sum˘a sunt nenegative. Pentru m → ∞ rezult˘ a expresia normei funct¸ionalei I − σ. Consider˘am ¸sirul de funct¸ionale σk =
nk X
Aki δxk i
(5.5)
i=0
care genereaz˘a formulele de integrare numeric˘a Z
b
f (x)dx = a
nk X
Aki f (xki ) + Rk (f )
i=0
Teorema 5.1.2 Nu exist˘ a un ¸sir de funct¸ionale (5.5) astfel ˆıncˆ at limk→∞ kI − σk k = 0. Demonstrat¸ie. Din (5.4) rezult˘a kI − σk k ≥ b − a, de unde concluzia teoremei. Condit¸ii care asigur˘a convergent¸a slab˘a sunt date ˆın teorema
71
ˆ 5.2. FORMULE DE TIP NEWTON - COTES
Teorema 5.1.3 S ¸ irul de funct¸ionale (5.5) converge slab c˘ atre I dac˘ a ¸si numai dac˘ a 1. ∃M > 0,
nk X
|Aki | ≤ M,
∀k ∈ N;
i=0
2. lim
nk X
k→∞
Ai (xki )p
Z =
b
xp dx,
∀p ∈ N.
a
i=0
Demonstrat¸ie. Cele dou˘a condit¸ii traduc condit¸iile de convergent¸˘a slab˘a, adic˘a 1. Marginirea ¸sirului de funct¸ionale: kσk k =
nk X
|Aki | ≤ M,
∀k ∈ N;
i=0
2. Convergent¸a ¸sirului de funct¸ionale pe un subspat¸iu dens ˆın C[a, b]. ˆIn acest caz, subspat¸iul este P, spat¸iul polinoamelor, convergent¸a fiind probat˘a pentru xp , p ∈ N.
5.2
Formule de integrare numeric˘ a de tip Newton - Cˆ otes
Fie n ∈ N∗ ¸si nodurile echidistante a, a+h, a+2h, . . . , a+nh = b, (h = b−a n ). ˆIn acest caz, funct¸ia f se aproximeaz˘a prin polinomul de interpolare Lagrange L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x). ˆIn consecint¸˘a Z
b
Z
b
f (x)dx ' a
L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x)dx = a
=
n X (−1)n−i f (a + ih) i=0
Z ·
i!(n − i)!hn
·
b
(x − a)(x − a − h) . . . (x − a − (i − 1)h)(x − a − (i + 1)h) . . . (x − a − nh)dx. a
Prin schimbarea de variabil˘a x = a + qh rezult˘a Z
b
L(Pn ; a, a + h, . . . , a + nh; f )(x)dx = a
72
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
Z n n X (−1)n−i f (a + ih) h q(q − 1) . . . (q − i + 1)(q − i − 1) . . . (q − n)dq = = i!(n − i)! 0 i=0
= (b − a)
n X
Cn,i f (a + ih)
i=0
unde coeficient¸ii Cn,i
(−1)n−i = i!(n − i)!n
n
Z
q(q − 1) . . . (q − i + 1)(q − i − 1) . . . (q − n)dq 0
se numesc numerele lui Cˆotes. Integralele care apar ˆın expresia numerelor lui Cˆotes se calculeaz˘a f˘ar˘a eroare. Astfel, se obt¸in: Z 1 Z 1 1 1 C1,0 = − (q − 1)dq = , qdq = C1,1 = 2 2 0 0 ¸si C2,0 =
1 4
2
Z 0
Z 1 1 2 2 (q − 1)(q − 2)dq = , C2,1 = − q(q − 2)dq = , 6 2 0 3 Z 1 2 1 C2,2 = q(q − 1)dq = . 4 0 6
Pentru n = 1 rezult˘a aproximarea Z
b
a
1 f (x)dx ' (b − a)[f (a) + f (b)], 2
iar pentru n = 2 rezult˘a Z
b
a
5.3
a+b 1 f (x)dx ' (b − a)[f (a) + 4f ( ) + f (b)]. 6 2
Formula trapezului (n = 1) Evalaurea restului. Pentru evaluarea restului Z b 1 R(f ) = f (x)dx − (b − a)[f (a) + f (b)] 2 a
introducem funct¸ia Z
a+h
f (x)dx −
ϕ(h) = a
h [f (a) + f (a + h)] 2
73
5.3. FORMULA TRAPEZULUI
¸si observ˘am c˘a ϕ(b − a) = R(f ). Derivatele de ordinul ˆıntˆai ¸si doi ale lui ϕ sunt ϕ0 (h) = 12 [f (a + h) − f (a)] − h2 f 0 (a + h) ϕ00 (h) = − h2 f 00 (a + h) ¸si exprimˆand funct¸ia ϕ prin polinomul lui Taylor cu restul sub form˘a integral˘a obt¸inem Z h Z 1 h ϕ0 (0) 00 h+ ϕ(h) = ϕ(0) + (h − t)ϕ (t)dt = − (h − t)f 00 (a + t)dt. 1! 2 0 0
1
Aplicˆand prima teorem˘a de medie a calculului integral, g˘asim Z f 00 (ξ) h f 00 (ξ)h3 ϕ(h) = − (h − t)dt = − , 2 12 0 unde ξ ∈ (a, a + h). ˆIn particular, pentru h = b − a, obt¸inem ϕ(b − a) = R(f ) = −
f 00 (ξ)(b − a)3 . 12
ˆIn consecint¸˘a, are loc formula trapezului Z b 1 f 00 (ξ)(b − a)3 f (x)dx = (b − a)[f (a) + f (b)] − . 2 12 a Rb Denumirea formulei provine din faptul c˘a integrala a f (x)dx, adic˘a aria delimitat˘a de graficul dunct¸iei f , axa Ox ¸si dreptele x = a ¸si x = b se aproximeaz˘a prin aria trapezului ABNM (Fig. 1).
Aplicarea practic˘ a a formulei trapezului. Fie m ∈ N∗ . ˆImp˘art¸im intervalul [a, b] ˆın m p˘art¸i prin punctele ai = a + ih, i = 0, 1, . . . , m (h = b−a si m )¸ utiliz˘am formula trapezului pentru calculul integralei funct¸iei ˆın fiecare interval [ai , ai+1 ], i = 0, 1, . . . , m − 1. Astfel Z
b
f (x)dx = a
m−1 X Z ai+1 i=0
f (x)dx =
ai
1
Pentru o funct¸ie f formula de reprezentare prin polinomul lui Taylor cu restul sub form˘ a integral˘ a este: Z x f 0 (a) f (n) (a) (x − t)n (n+1) n f (x) = f (a) + (x − a) + . . . + (x − a) + f (t)dt. 1! n! n! a Formula rezult˘ a ˆın urma a n integr˘ ari prin p˘ art¸i a integralei din membrul drept.
74
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
=
m−1 X i=0
f 00 (ξi )(ai+1 − ai )3 1 }. { (ai+1 − ai ))[f (ai+1 ) + f (ai )] − 2 12
Separˆand expresiile, rezult˘a Z
m−1
b
f (x)dx = a
X b−a (b − a)3 f 00 (ξ0 ) + . . . + f (ξm−1 ) [f (a)+2 f (a+ih)+f (b)]− 2m 12m2 m i=1
¸si repetˆand rat¸ionamentul din demonstrat¸ia Teoremei 4.1.1 obt¸inem formula trapezelor. Z b m−1 X b−a (b − a)3 f 00 (ξ) [f (a) + 2 . f (x)dx = f (a + ih) + f (b)] − 2m 12m2 a i=1
Prin urmare integrala funct¸iei f ˆın intervalul [a, b] se aproximeaz˘a prin m−1
X b−a Im (f ) = [f (a) + 2 f (a + ih) + f (b)]. 2m i=1
Aplicat¸ie. S˘a se calculeze pentru calculul integralei
π 4
cu o precizie ε = 0.01 utilizˆand formula trapezelor Z 0
1
dx π = . 1 + x2 4
Nu se ¸tine seama de erorile de rotunjire. 1 ∗ Dac˘a f (x) = 1+x ıncˆat 2 atunci trebuie determinat m ∈ N astfel ˆ m−1
|
X π 1 π 1 − Im ( 2 )| = | − [f (0) + 2 f (ih) + f (1)]| < ε. 4 x +1 4 2m i=1
75
5.4. FORMULA LUI SIMPSON
T ¸ inˆand seama de expresia restului ˆın formula trapezelor, condit¸ia de mai sus se realizeaz˘a dac˘a sup{|f 00 (x)| : x ∈ [0, 1]} |f 00 (ξ)| ≤ < ε. 12m2 12m2 2
3x −1 f 00 (x) = 2 (1+x a o funct¸ie cresc˘atoare ˆın intervalul [0, 1] (deoarece 2 )3 reprezint˘
f (3) (x) =
24x(1−x2 ) (1+x2 )4
≥ 0, ∀x ∈ [0, 1]) ¸si ˆın consecint¸˘a
sup{|f 00 (x)| : x ∈ [0, 1]} = max{|f 00 (0)|, |f 00 (1)|} = 2. Cel mai mic volum de calcul se obt¸ine pentru cel mai mic m care satisface inegalitatea sup{|f 00 (x)| : x ∈ [0, 1]} 1 = < ε. 12m2 6m2 Rezult˘a m = 5, ˆın care caz 1 1 π ' I5 ( 2 ) = {f (0) + 2[f (0.2) + f (0.4) + f (0.6) + f (0.8)] + f (1)} ' 0.787. 4 x +1 10 Pentru π g˘asim aproximarea 3.148.
5.4
Formula lui Simpson (n = 2) Evalaurea restului. Expresia restului este b
Z R(f ) = a
1 a+b f (x)dx − (b − a)[f (a) + 4f ( ) + f (b)]. 6 2
Introducem funct¸ia Z
c+h
f (x)dx −
ϕ(h) = c−h
h [f (c − h) + 4f (c) + f (c + h)], 3
si observ˘am c˘a ϕ( b−a ¸ine unde c = a+b 2 ¸ 2 ) = R(f ). Evaluarea restului se obt asem˘an˘ator cu metoda utilizat˘a ˆın cazul formulei trapezului. Calcul˘am derivatele funct¸iei ϕ 1 h ϕ0 (h) = f (c+h)+f (c−h)− [f (c−h)+4f (c)+f (c+h)]− [f 0 (c+h)−f 0 (c−h)] = 3 3 2 h = [f (c − h) − 2f (c) + f (c + h)] − [f 0 (c + h) − f 0 (c − h)]; 3 3 ϕ00 (h) = 13 [f 0 (c + h) − f 0 (c − h)] − h3 [f 00 (c + h) + f 00 (c − h)]; 2 ϕ(3) (h) = − h3 [f (3) (c + h) − f (3) (c − h)] = − 2h3 f (4) (η(h)) c − h < η < c + h;
76
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
¸si prin urmare Z h Z (h − t)2 (3) ϕ0 (0) ϕ00 (0) 2 1 h (h−t)2 ϕ(3) (t)dt = ϕ(h) = ϕ(0)+ h+ h + ϕ (t)dt = 1! 2! 2 2 0 0 Z 1 h =− (h − t)2 t2 f (4) (η(t))dt. 3 0 (3)
(3)
(c−t) Din egalitatea f (4) = f (c+t)−f rezult˘a c˘a funct¸ia t 7→ f (4) (η(t)) este 2t continu˘a ˆın [0, h]. Aplicˆand teorema de medie a calculului integral g˘asim
ϕ(h) = − unde ξ ∈ (c − h, c + h). ˆIn particular, pentru h =
b−a 2 ,
h5 (4) f (ξ), 90
g˘asim
ϕ(h) = −
(b − a)5 (4) f (ξ). 2880
Rezult˘a formula de integrare numerica a lui Simpson: Z b 1 a+b (b − a)5 (4) f (x)dx = (b − a)[f (a) + 4f ( ) + f (b)] − f (ξ). 6 2 2880 a Aplicarea practic˘ a a formulei lui Simpson. Fie m ∈ N∗ . ˆImp˘art¸im intervalul [a, b] ˆın 2m p˘art¸i prin punctele ai = a + ih, i = 0, 1, . . . , 2m (h = b−a si aplic˘am formula lui Simpson pentru calculul integralei funct¸iei ˆın fiecare 2m ) ¸ interval [a2i , a2i+2 ], i = 0, 1, . . . , m − 1. Z
b
f (x)dx = a
=
m−1 X i=0
m−1 X Z a2i+2 i=0
f (x)dx =
a2i
f (4) (ξi )(a2i+2 − a2i )5 1 { (a2i+2 − a2i ))[f (a2i ) + 4f (a2i+1 ) + f (a2i+2 )] − }. 6 2880
Regrupˆand termenii rezult˘a formula final˘a Z
b
f (x)dx = a
m−1
m−1
i=1
i=0
X X b−a (b − a)5 (4) [f (a) + 2 f (a2i ) + 4 f (a2i+1 ) + f (b)] − f (ξ). 6m 2880m4
Rezult˘a c˘a integrala funct¸iei f ˆın intervalul [a, b] se aproximeaz˘a prin Jm (f ) =
m−1
m−1
i=1
i=0
X X b−a [f (a) + 2 f (a2i ) + 4 f (a2i+1 ) + f (b)]. 6m
77
5.5. FORMULE DE TIP GAUSS
Leg˘ atur˘ a ˆıntre formula trapezelor ¸si formula lui Simpson. Fie n ∈ N∗ ¸si not˘am prin In ¸si Jn aproximat¸iile obt¸inute aplicˆand respectiv formula trapezelor ¸si formula lui Simpson Pn−1 b−a Ii = b−a 2n [f (a) + 2 Pi=1 f (a + i n ) + f (b)], Pn−1 n−1 b−a b−a Jn = 6n [f (a) + 2 i=1 f (a + 2i b−a i=0 f (a + (2i + 1) 2n ) + f (b)]. 2n ) + 4 Teorema 5.4.1 Are loc egalitatea 4 1 Jn = I2n − In . 3 3 Demonstrat¸ie. Pentru simplificarea scrierii, not˘am h = {0, 1, . . . , 2n}. Atunci 4 1 I2n (f ) − In (f ) = 3 3
b−a 2n
¸si fi = f (a+ih), i ∈
2n−1 n−1 X X 4 b−a 1 b−a = · [f0 + 2 [f0 + 2 fi + f2n ] − · f2i + f2n ] = 3 2 · 2n 3 2n i=1
=
5.5
i=1
n−1
n−1
i=1
i=0
X X b−a [f0 + 2 f2i + 4 f2i+1 + f2n ] = Jn (f ). 6n
Formule de integrare numeric˘ a de tip Gauss
ˆIn cele ce urmeaz˘a vom considera formule de integrare numeric˘a de forma Z
b
ρ(x)f (x)dx = a
n X
Ai f (xi ) + R(f ),
(5.6)
i=1
unde ρ : (a, b) → R este o funct¸ie continu˘a, pozitiv˘a numit˘a pondere. Formula de integrare numeric˘a (5.6) are gradul de exactitate m dac˘a R(1) = R(x) = R(x2 ) = . . . = R(xm ) = 0
R(xm+1 ) 6= 0.
ˆIn consecint¸˘a, pentru orice polinom f ∈ Pm Z
b
ρ(x)f (x)dx = a
n X
Ai f (xi ).
i=1
Teorema 5.5.1 Gradul de exactitate al formulei de integrare numeric˘ a (5.6) este cel mult 2n − 1.
78
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
Demonstrat¸ie. de integrare numeric˘a pentru funct¸ia polinoQnUtilizˆand formula 2 mial˘a f0 (x) = i=1 (x − xi ) ∈ P2n g˘asim Z
b
ρ(x)f0 (x)dx = R(f0 ).
0< a
Formulele de integrare numeric˘a de tip Gauss sunt formulele de forma (5.6) pentru care se atinge gradul maxim de exactitate. Un polinom u(x) este ortogonal, cu ponderea ρ(x), ˆın [a, b], pe Pn−1 , mult¸imea polinoamelor de grad cel mult n − 1, dac˘a Z
b
ρ(x)u(x)f (x)dx = 0
∀f ∈ Pn−1 .
a
Teorema 5.5.2 Dac˘ a polinomul u ∈ Pn este ortogonal, cu ponderea ρ(x), ˆın [a, b], pe Pn−1 atunci r˘ ad˘ acinile lui u(x) sunt simple ¸si apart¸in intervalului [a, b]. Demonstrat¸ie. S˘a presupunem c˘a u(x) are m ≤ n r˘ad˘acini reale ¸si cu ordinul de multiplicitate impar ˆın [a, b], notate x1 , . . . , xm . Fie q(x) =
1Q m
i=1 (x − xi )
dac˘a m = 0 dac˘a m > 0
Atunci u(x)q(x) nu schimb˘a semnul ˆın [a, b], astfel b
Z
ρ(x)u(x)q(x)dx 6= 0. a
Dac˘a m < n atunci relat¸ia de mai sus este contradictorie; prin urmare m = n. Teorema 5.5.3 Dac˘ a u ∈ Pn este polinomul ortogonal, cu ponderea ρ(x), ˆın [a, b], pe Pn−1 cu r˘ ad˘ acinile x1 , . . . , xn , atunci formula de integrare numeric˘ a Z
b
Z
b
ρ(x)f (x)dx = a
ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )dx + R(f ) a
are gradul de exactitate 2n − 1. Demonstrat¸ie. Dac˘a f ∈ Pn−1 atunci f = L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f ), de unde Z
b
Z ρ(x)f (x)dx =
a
b
ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )dx. a
79
5.5. FORMULE DE TIP GAUSS
Fie f ∈ P2n−1 . Dac˘a q, r sunt respectiv cˆatul ¸si restul ˆımp˘art¸irii lui f la u atunci f = qu + r ¸si q, r ∈ Pn−1 . Au loc egalit˘a¸tile L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) = L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; qu + r)(x) = =
n X
n X
[q(xi )u(xi ) + r(xi )]li (x) =
i=1
r(xi )li (x) = L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; r)(x)
i=1
¸si ˆın consecint¸˘a Z b Z b Z b ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x) = ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; r)(x) = ρ(x)r(x). a
a
a
Deoarece u ortogonal, cu ponderea ρ(x), ˆın [a, b], pe Pn−1 , urmeaz˘a c˘a Z b Z b ρ(x)f (x)dx = ρ(x)[q(x)u(x) + r(x)]dx = a
a
Z
b
Z ρ(x)q(x)u(x)dx +
=
ρ(x)r(x)dx = a
a
Z =
b
b
b
Z ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; r)(x) =
a
ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x). a
Dac˘a ¸tinem seama de expresia polinomului de interpolare Lagrange atunci formula de integrare numeric˘a de tip Gauss devine Z b Z b n X ρ(x)f (x)dx = f (xi ) ρ(x)li (x)dx + R(f ). a
a
i=1
Astfel coeficient¸ii formulei de integrare numeric˘a sunt Z b Ai = ρ(x)li (x)dx, i ∈ {1, 2, . . . , n}.
(5.7)
a
Aceast˘a expresie a coeficient¸ilor este util˘a ˆın cazurile ˆın care integrala se calculeaz˘a analitic. Deoarece li = (x−xu(x) ∈ Pn−1 ⇒ li2 ∈ P2n−2 , pentru coefi0 i )u (xi ) cientul Ai g˘asim ¸si exprimarea Z b n X 0< ρ(x)li (x)2 dx = (5.8) Aj li2 (xj ) = Ai . a
j=1
Teorema 5.5.4 Dac˘ a f ∈ C 2n [a, b] atunci exist˘ a ξ ∈ [a, b] astfel ˆıncˆ at Z b Z b R(f ) = ρ(x)f (x)dx − ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )dx = a
a
f (2n) (ξ) = (2n)!
Z a
b
ρ(x)u2 (x)dx.
80
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
Demonstrat¸ie. Not˘am prin H(x) polinomul de interpolare Lagrange-Hermite care satisface condit¸iile H(xi ) = f (xi ) 0
0
H (xi ) = f (xi )
i ∈ {1, 2, . . . , n}, i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Atunci, ¸tinˆand seama de restul polinomului de interpolare Lagrange-Hermite (2.3.4) exist˘a ζ(x) ∈ [a, b] astfel ˆıncˆat f (x) = H(x) +
f (2n) (ζ(x)) 2 u (x). (2n)!
ˆInmult¸ind cu ρ(x) ¸si integrˆand g˘asim Z b f (2n) (ζ(x)) R(f ) = ρ(x)u2 (x) dx. (2n)! a
(5.9)
ˆIntr-adev˘ar, deoarece H(x) ∈ P2n−1 , formula de integrare numeric˘a a lui Gauss implic˘a Z b Z b n n X X ρ(x)H(x)dx = Ai H(xi ) = Ai f (xi ) = ρ(x)L(Pn−1 ; x1 , . . . , xn ; f )(x)dx. a
i=1
i=1
a
Funct¸ia x 7→ f (2n) (ζ(x)) = (2n)! f (x)−H(x) fiind continu˘a, putem aplica inteu2 (x) gralei din membrul drept din (5.9) teorema de medie a calculului integral. Astfel, exist˘a ξ ∈ [a, b], astfel ˆıncˆat Z f (2n) (ξ) b R(f ) = ρ(x)u2 (x)dx. (2n)! a Cazul ρ(x) = 1. Polinoamele lui Legendre. Teorema 5.5.5 Polinoamul u(x) =
n! [(x − a)n (x − b)n ](n) (2n)!
este ortogonal, cu ponderea ρ(x) = 1, ˆın intervalul [a, b], pe Pn−1 . Demonstrat¸ie. Fie u(x) ∈ Pn polinomul ortogonal, cu ponderea ρ(x) = 1, ˆın intervalul [a, b], pe Pn−1 ¸si L(x) solut¸ia problemei Cauchy L(n) (x) = u(x), L(a) = 0, L0 (a) = 0, ............... L(n−1) = 0.
81
5.5. FORMULE DE TIP GAUSS
Observ˘am c˘a L ∈ P2n . Dac˘a q ∈ Pn−1 atunci ˆın urma a n − 1 integr˘ari prin p˘art¸i g˘asim Z b Z b 0= q(x)u(x)dx = q(x)L(n) (x)dx = a
=
qL(n−1) |ba
−
q 0 L(n−2) |ba
a n−1 (n−1)
+ . . . + (−1)
q
L|ba
n
+ (−1)
Z
b
q (n) (x)L(x)dx =
a n−1 (n−1)
= q(b)L(n−1) (b) − q 0 (b)L(n−2) (b) + . . . + (−1)
q
(b)L(b).
ˆIn particular, pentru q = 1, x, x2 , . . . , xn−1 , din egalitatea de mai sus, obt¸inem succesiv L(n−1) (b) = L(n−2) (b) = . . . = L(b) = 0. Astfel a ¸si b sunt r˘ad˘acini multiple, de ordin n pentru L(x) ¸si deoarece L este polinom de grad cel mult 2n deducem L(x) = c(x − a)n (x − b)n ¸si ˆın consecint¸˘a u(x) = c[(x − a)n (x − b)n ](n) . n! Dac˘a c = (2n)! atunci coeficientul lui xn este 1. Teorema 5.5.6 Pentru ρ(x) = 1 coeficient¸ii formulei de integrare numeric˘ a Gauss sunt Ai =
(n!)4 (b − a)2n+1 ((2n)!)2 (xi − a)(b − xi )[u0 (xi )]2
i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Demonstrat¸ie. Integr˘am prin p˘art¸i integrala din membrul stˆang al formulei (5.8) Z b Z b 1 u(x) 2 2 Ai = li (x)dx = 0 [ ] dx = (5.10) 2 [u (xi )] a x − xi a Z b u2 (a) u2 (b) u(x) 0 1 [ − + 2 u (x)dx]. = 0 [u (xi )]2 a − xi b − xi x − xi a u(x) 0 Funct¸ia x−x u (x) este polinom de grad cel mult 2n − 2 ¸si atunci formula de i integrare numeric˘a Gauss calculeaz˘a integrala ei f˘ar˘a eroare Z b n X u(x) 0 u(x) 0 u (x)dx = u (x)|x=xj = Ai [u0 (xi )]2 . Aj x − x x − x i i a j=1
Relat¸ia (5.10) devine Ai =
1 u2 (a) u2 (b) { − + 2Ai [u0 (xi )]2 }, [u0 (xi )]2 a − xi b − xi
de unde
1 u2 (a) u2 (b) − ]. [ [u0 (xi )]2 b − xi a − xi Utilizˆand expresia polinomului u se deduce formula din enunt¸ul teoremei. Ai =
82
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
5.6
Formula dreptunghiului (n = 1).
Pentru n = 1 din Teorema 5.5.5 obt¸inem 1 a+b u(x) = [(x − a)(x − b)]0 = x − , 2 2 iar din (5.7) A1 = b − a. Formula de integrare numeric˘a a lui Gauss devine Z b a+b f (x)dx = (b − a)f ( ) + R(f ), 2 a ¸si este numit˘a formula dreptunghiului. Evaluarea restului. Integrˆand identitatea f (x) = f (
a+b a+b a+b 1 a+b 2 ) + f 0( )(x − ) + f 00 (η(x))(x − ) 2 2 2 2 2
g˘asim Z a
b
a+b 1 f (x)dx = (b − a)f ( )+ 2 2
Z
b
f 00 (η(x))(x −
a
a+b 2 ) dx. 2
Astfel expresia restului devine Z b Z a+b 1 b 00 a+b 2 R(f ) = f (x)dx − (b − a)f ( )= f (η(x))(x − ) dx = 2 2 a 2 a Z b 1 a+b 2 (b − a)3 f 00 (ξ) = 2 f 00 (ξ) (x − ) dx = . 2 2 24 a Formula dreptunghiului este Z b a+b (b − a)3 f 00 (ξ) f (x)dx = (b − a)f ( )+ . 2 24 a Aplicarea practic˘ a a formulei dreptunghiului. Fie m ∈ N∗ . ˆImp˘art¸im intervalul [a, b] ˆın m p˘art¸i prin punctele ai = a + ih, i = 0, 1, . . . , m (h = b−a m ) ¸si utiliz˘am formula dreptunghiului pentru calculul integralei funct¸iei ˆın fiecare interval [ai , ai+1 ], i = 0, 1, . . . , m − 1. Astfel Z
b
f (x)dx = a 2
m−1 X Z ai+1 i=0
f (x)dx =
ai
Analog rat¸ionamentului efectuat la evaluarea restului formului de integrare numeric˘ a a lui Simpson.
83
5.7. CAZURI SPECIALE
m−1 X
=
[(ai+1 − ai ))f (
i=0
f 00 (ξi )(ai+1 − ai )3 ai+1 + ai )+ ]. 2 24
Repetˆand rat¸ionamentul de la metoda trapezelor, deducem b
Z
f (x)dx = a
m−1 b−a X 1 (b − a)3 f 00 (ξ) f (a + (i + )h) + . m 2 24m2 i=0
Astfel integrala se aproximeaz˘a prin expresia Km (f ) =
m−1 1 b−a X f (a + (i + )h). m 2 i=0
5.7 5.7.1
Cazuri speciale Formula de integrare numeric˘ a Lobatto
ˆIn locul formulei de integrare numeric˘a (5.6) consider˘am formula Z
b
ρ(x)f (x)dx = Af (a) + a
n−2 X
Ai f (xi ) + Bf (b) + R(f ),
(5.11)
i=1
diferent¸a constˆand ˆın aceea c˘a dou˘a noduri – extremit˘a¸tile intervalului de integrare – sunt fixate. Formula pentru care se atinge gradul maxim de exactitate se nume¸ste formula de integrare numeric˘a Lobatto. Au loc urm˘atoarele rezultate. Teorema 5.7.1 Gradul maxim de exactitate al formulei (5.11) este 2n − 3. Demonstrat¸ie. ˆIn cazul funct¸iei f0 (x) = (x − a)(x − b) restul este nenul.
Qn−2 i=1
(x − xi )2 ∈ P2n−2
Teorema 5.7.2 Dac˘ a u ∈ Pn−2 este polinomul ortogonal, cu ponderea (x−a)(b− x)ρ(x), ˆın [a, b], pe Pn−3 cu r˘ ad˘ acinile x1 , . . . , xn−2 , atunci formula de integrare numeric˘ a Z
b
Z ρ(x)f (x)dx =
a
b
ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f )dx + R(f ) a
are gradul de exactitate 2n − 3.
84
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
Demonstrat¸ie. Dac˘a f ∈ Pn−1 atunci f = L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f ), de unde Z b Z b ρ(x)f (x)dx = ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f )dx. a
a
Fie f ∈ P2n−3 . Dac˘a q, r sunt respectiv cˆatul ¸si restul ˆımp˘art¸irii lui f la (x − a)(x − b)u(x) atunci f = (x − a)(x − b)qu + r ¸si q ∈ Pn−3 , r ∈ Pn−1 . Atunci L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f )(x) = L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; (x−a)(x−b)qu+r)(x) = = L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; r)(x) ¸si ˆın consecint¸˘a Z b Z b ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f )(x)dx = ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; r)(x)dx = a
a
Z
b
ρ(x)r(x)dx.
= a
Deoarece u ortogonal, cu ponderea (x − a)(b − x)ρ(x), ˆın [a, b], pe Pn−3 , urmeaz˘ a c˘a Z b Z b ρ(x)f (x)dx = ρ(x)[(x − a)(x − b)q(x)u(x) + r(x)]dx = a
a
Z
b
Z (x − a)(b − x)ρ(x)q(x)u(x)dx +
= a
Z =
b
ρ(x)r(x)dx = a
b
Z ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; r)(x)dx =
a
b
ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f )(x)dx. a
Restul formulei de integrare numeric˘a Lobatto se poate evalua prin: Teorema 5.7.3 Dac˘ a f ∈ C 2n−2 [a, b] atunci exist˘ a ξ ∈ [a, b] astfel ˆıncˆ at Z b Z b R(f ) = ρ(x)f (x)dx − ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f )dx = a
a
f (2n−2) (ξ) (2n − 2)!
= unde u(x) =
Qn−2 i=1
Z
b
(x − a)(x − b)ρ(x)u2 (x)dx,
a
(x − xi ).
Demonstrat¸ie. Procedˆand asem˘an˘ator cu demonstrat¸ia teoremei (5.5.4), not˘am prin H(x) polinomul de interpolare Lagrange-Hermite care satisface condit¸iile H(a) = f (a), H(xi ) = f (xi ) 0
0
H (xi ) = f (xi ) H(b) = f (b).
i ∈ {1, 2, . . . , n − 2}, i ∈ {1, 2, . . . , n − 2},
85
5.7. CAZURI SPECIALE
Atunci, ¸tinˆand seama de restul polinomului de interpolare Lagrange-Hermite (2.3.4) exist˘a ζ(x) ∈ [a, b] astfel ˆıncˆat f (x) = H(x) +
f (2n−2) (ζ(x)) (x − a)(x − b)u2 (x). (2n − 2)!
(5.12)
Deoarece H(x) ∈ P2n−3 , formula de integrare numeric˘a a lui Lobatto implic˘a Z
b
ρ(x)H(x)dx = AH(a) + a
= Af (a) +
n−1 X
n−2 X
Ai H(xi ) + BH(b) =
i=1
Z
b
ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−2 , b; f )(x)dx.
Ai f (xi ) + Bf (b) = a
i=1
ˆInmult¸ind (5.12) cu ρ(x) ¸si integrˆand g˘asim Z R(f ) =
b
(x − a)(x − b)ρ(x)u2 (x)
a
f (2n−2) (ζ(x)) dx. (2n − 2)!
(5.13)
Funct¸ia x 7→ f (2n) (ζ(x)) = (2n)! f (x)−H(x) fiind continu˘a, putem aplica integralei u2 (x) din membrul drept din (5.13) teorema de medie a calculului integral. Astfel, exist˘a ξ ∈ [a, b], astfel ˆıncˆat f (2n−2) (ξ) R(f ) = (2n − 2)!
5.7.2
Z
b
(x − a)(x − b)ρ(x)u2 (x)dx.
a
Formula de integrare numeric˘ a Radau
Dac˘a ˆın formula (5.6) se fixeaz˘a doar un nod – unul din extremit˘a¸tile intervalului de integrare – atunci formula de integrare numeric˘a are forma b
Z
ρ(x)f (x)dx = Af (a) + a
n−1 X
Ai f (xi ) + R(f ),
(5.14)
Ai f (xi ) + Bf (b) + R(f ).
(5.15)
i=1
sau Z
b
ρ(x)f (x)dx = a
n−1 X i=1
Gradul maxim de exactitate al formulei de integrare numeric˘a (5.14) sau (5.15) este 2n − 2. ˆIn cazul atingerii gradului maxim de exactitate, (5.14) ¸si (5.15) se numesc formulele de integrare numeric˘a Radau.
86
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
Teorema 5.7.4 Dac˘ a u ∈ Pn−1 este polinomul ortogonal, cu ponderea (x − a)ρ(x), ˆın [a, b], pe Pn−2 cu r˘ ad˘ acinile x1 , . . . , xn−1 , atunci formula de integrare numeric˘ a Z b Z b ρ(x)f (x)dx = ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−1 ; f )dx + R(f ) a
a
are gradul de exactitate 2n−2. Un rezultat analog are loc ¸si pentru formula (5.15). Teorema 5.7.5 Dac˘ a f ∈ C 2n−1 [a, b] atunci exist˘ a ξ ∈ [a, b] astfel ˆıncˆ at Z b Z b R(f ) = ρ(x)f (x)dx − ρ(x)L(Pn−1 ; a, x1 , . . . , xn−1 ; f )dx = a
a
= unde u(x) =
Qn
i=1 (x
f (2n−1) (ξ) (2n − 1)!
Z
b
ρ(x)(x − a)u2 (x)dx,
a
− xi ).
Probleme ¸si teme de seminar P 5.1 S˘ a se deduc˘ a formula de integrare numeric˘ a de tip Gauss Z 1 n π X f (x) (2k + 1)π √ dx = f cos + R(f ). n+1 2(n + 1) 1 − x2 −1 k=1 Indicat¸ie. Polinoamele lui Cebˆa¸sev Tn (x) = cos arccos nx sunt polinoame 1 ortogonale cu ponderea √1−x ˆın intervalul (−1, 1). 2 Nodurile formulei de integrare numeric˘a sunt r˘ad˘acinile polinomului Tn+1 (x), xk = cos tk , unde tk = (2k+1)π 2(n+1) , k = 0, 1, . . . , n. 1 Deoarece u(x) = 2n Tn+1 (x), coeficientul formulei de integrare numeric˘a Ak este Z 1 Z 1 u(x) (−1)k sin tk π cos (n + 1)t √ Ak = dx = dt. (5.16) n+1 1 − x2 (x − xk )u0 (xk ) −1 0 cos t − cos tk Consider˘am integrala Z Z Z π 1 π cos νt 1 π eitν cos νt dt = dt = dt. Iν = 2 −π cos t − cos tk 2 −π cos t − cos tk 0 cos t − cos tk ˆIn urma substitut¸iei eit = z ¸si a aplic˘arii teoremei semirezidurilor se obt¸ine Z 1 zν sin νtk Iν = dz = π . 2 i |z|=1 z − 2z cos tk + 1 sin tk Substituind ˆın (5.16) se obt¸ine Ak =
π n+1 .
87
5.7. CAZURI SPECIALE
n−i R n P 5.2 Dac˘ a Cn,i = n(−1) i! (n−i)! 0 t(t − 1) . . . (t − i + 1)(i − i − 1) . . . (t − n)dt este un num˘ ar Cˆ otes atunci limn→∞ Cn,2 = ∞.
Indicat¸ie. Definind hn,k = |Cn,2 | = |
n−1 X
1 2n(n−2)!
R k+1 k
t(t − 1)(t − 3) . . . (t − n)dt avem
hn,k | = |hn,0 − (−hn,1 − . . . − hn,n−1 )| ≥ |hn,0 | −
k=0
n−1 X
|hn,k | (5.17)
k=1
Au loc evalu˘arile • 1 |hn,1 | = 2n(n − 2)! ≤
Z
2
t(t − 1)(3 − t) . . . (n − t)dt ≤ 1
1 n−1 · 2(n − 1)! = ; 2n(n − 2)! n
• |hn,n−1 | =
1 2n(n − 2)! ≤
Z
n
t(t − 1)(t − 3) . . . (t − n + 1)(n − t)dt ≤ n−1
1 n! n−1 · = ; 2n(n − 2)! n − 2 2(n − 2)
• Pentru k ∈ 2, 3, . . . , n − 2 Z k+1 1 t(t − 1)(t − 3) . . . (t − k)(k + 1 − t) . . . (n − t)dt ≤ |hn,k | = 2n(n − 2)! k ≤
1 (k + 1)!(n − k)! k + 1 k!(n − k)! · = · ≤ 2n(n − 2)! k−1 k − 1 2n(n − 2)! n 2 3 n! k!(n − k)! 3 3 ≤ ; · = · ≤ · n 2(n − 2)! n! n n n k
• |hn,0 | = ≥
1 2n(n − 2)!
2 3
Z 1 3
=
1 2n(n − 2)!
Z
1
t(1 − t)(3 − t) . . . (n − t)dt ≥ 0
t(1−t)(3−t) . . . (n−t)dt ≥
1 1 1 2 2 1 · (3− ) . . . (n− ) = 2n(n − 2)! 3 3 3 3 3
1 1 1 1 (2 + )(3 + ) . . . (n − 1 + ). 54n(n − 2)! 3 3 3
88
˘ CAPITOLUL 5. FORMULE DE INTEGRARE NUMERICA
Prentru x > 0, din relat¸iile (2 + x)(3 + x) . . . (n − 1 + x) = xn−1 + (2 + 3 + . . . + n − 1)xn−2 + . . . + +[3 4 . . . (n − 1) + 2 4 . . . (n − 1) + . . . (n − 1) + 2 3 . . . (n − 2)]x + (n − 1)! ≥ 1 1 1 ≥ (n − 1)!( + + . . . + )x, 2 3 n−1 ˆın particular, pentru x = 13 , deducem inegalitatea 1 1 1 1 1 1 1 (n − 1)! n (2+ )(3+ ) . . . (n−1+ ) ≥ (n−1)!( + +. . .+ ) ≥ ln . 3 3 3 2 3 n−1 3 3 2 ˆIn consecint¸˘a |hn,0 | ≥
1 n−1 n ln . 162 n 2
Din(5.17) rezult˘a |Cn,2 | ≥
1 n − 1 n n − 1 3(n − 3) n−1 ln − − − −→ ∞, 162 n 2 n n 2(n − 2)
pentru n → ∞. P P 5.3 Fie h = b−a a σn = (b−a) ni=0 Cn,i δa+ih este funct¸ionala din C ∗ [a, b] n . Dac˘ corespunz˘ atoare formulei de integrare numeric˘ a Newton-Cˆ otes Z
b
f (x)dx = (b − a) a
n X
Cn,i f (a + ih) + Rn (f ),
i=0
atunci ¸sirul de funct¸ionale (σn )n∈N∗ nu converge ˆın topologia slab˘ a din C ∗ [a, b] Rb c˘ atre funct¸ionala I(f ) = a f (x)dx. P 5.4 S˘ a se arate c˘ a ¸sirul funct¸ionalelor (Im )m∈N∗ , (Jm )m∈N∗ , (Km )m∈N∗ definite prin schema de aplicare practic˘ a a formulei trapezului, Simpson, respectiv dreptunghiului converge punctual c˘ atre funct¸ionala I.
Capitolul 6
Rezolvarea numeric˘ aa problemelor Cauchy Ne ocup˘am de rezolvarea numeric˘a a problemei Cauchy x(t) ˙ − f (t, x(t) = 0, t ∈ [0, T ] 0 x(0) ˙ =x
(6.1)
unde f : [0, T ] × Rn → Rn este o funct¸ie cu propriet˘a¸ti care s˘a asigure existent¸a ¸si unicitatea solut¸iei ˆın intervalul precizat. Problema Cauchy se rescrie sub forma operat¸ional˘a L(x) = ϕ,
(6.2)
unde L : C 1 [0, T ] → C[0, T ] × Rn este definit prin x(t) ˙ − f (t, x(t), t ∈ [0, T ] , L(x) = x(0) ˙ = x0 iar
ϕ=
t ∈ [0, T ]
0, x0
.
Forma operat¸ional˘a (6.2) cuprinde o clas˘a mult mai larg˘a de probleme ¸si constituie un cadru ˆın care se pot formula ¸si studia metode de rezolvare aproximativ˘a. Pentru simplitate, consider˘am forma operat¸ional˘a (6.2) ca o ecuat¸ie avˆand necunoscuta x, o funct¸ie real˘a (n = 1), definit˘a ˆın intervalul fixat [0, T ].
6.1
Metode de discretizare
Rezolvarea prin discretizare a ecuat¸iei (6.2) const˘a ˆın construirea unei aproximat¸ii uh = (u0 , u1 , . . . , un ) 89
90
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
a solut¸iei x(t) pe o ret¸ea de puncte 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T , unde ui este o aproximat¸ie pentru x(ti ), i = 0, 1, . . . , n iar h reprezint˘a norma ret¸elei de puncte h = max0≤i≤n−1 ti+1 − ti . ˆIn acest scop ecuat¸ia init¸ial˘a se ˆınlocuie¸ste cu o alt˘a ecuat¸ie Lh (uh ) = ϕh ,
(6.3)
numit˘a schem˘a de calcul. Exemplu. Schema de calcul Euler. fie n ∈ N ∗ , h = Tn ¸si ret¸eaua echidistant˘a 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T cu ti = ih, i = 0, 1, . . . , n. ˆIn punctul ti , aproxim˘am derivata funct¸iei prin diferent¸a finit˘a prograsiv˘a x(t ˙ i) '
x(ti + h) − x(ti ) x(ti+1 ) − x(ti ) = h h
¸si substituim ˆın ecuat¸ia diferent¸ial˘a (6.1). Membrul stˆang al equat¸iei (6.1) devine x(ti+1 ) − x(ti ) − f (ti , x(ti )) h care ˆın general nu mai este 0. Not˘am prin u0 , u1 , . . . , un numerele care puse, respectiv ˆın locul necunoscutelor x(t0 ), x(t1 ), . . . , x(tn ) satisfac egalit˘a¸tile ui+1 −ui − f (ti , ui ) = 0, i = 0, 1, . . . , n − 1 h . (6.4) u0 = x0 Relat¸iile (6.4) reprezint˘a schema de calcul Euler. ˆIn acest caz operatorul L este definit prin Lh (uh ) =
ui+1 −ui h u0
Lh : Rn+1 → Rn+1 − f (ti , ui ), i = 0, 1, . . . , n − 1
iar
ϕh =
0, x0
i = 0, 1, . . . , n − 1
,
uh = (u0 , . . . , un ),
.
Relat¸iile (6.4) formeaz˘a totodat˘a un sistem algebric de n + 1 ecuat¸ii neliniare cu n + 1 necunoscute care ˆıns˘a se poate rezolva u¸sor prin recurent¸˘a u0 = x0 ui+1 = ui + hf (ti , ui )
i = 0, 1, . . . , n − 1.
Problema care se ridic˘a este de a vedea ˆın ce condit¸ii ansamblul de numere uh reprezint˘a aproximat¸ii ”rezonabile” pentru x(t0 ), x(t1 ), . . . , x(tn ).
91
6.1. METODE DE DISCRETIZARE
S˘a presupunem c˘a L este definit ˆıntre spat¸iile normate (X, k · k) ¸si (Y, k · k), iar Lh este definit ˆıntre (Xh , k · kh ) ¸si (Yh , k · kh ). Solut¸ia uh a ecuat¸iei Lh (uh ) = ϕh converge c˘atre solut¸ia x a ecuat¸iei L(x) = ϕ dac˘a lim kuh − [x]h kh = 0, h↓0
unde [x]h = (x(t0 ), x(t1 ), . . . , x(tn )) reprezint˘a restrict¸ia lui x la ret¸eaua de puncte. Dac˘a exist˘a constantele pozitive C ¸si α astfel ˆıncˆat kuh − [x]h kh ≤ Chα atunci convergent¸a este de ordin α. Studiul convergent¸ei solut¸iei aproximative este legat de propriet˘a¸tile de consistent¸˘a ¸si stabilitate ale schemei de calcul. Schema de calcul Lh (uh ) = ϕh este consistent˘ a dac˘a lim kδϕh kh = 0, h↓0
unde δϕh = Lh ([x]h ) − ϕh . Dac˘a exist˘a constantele C1 ¸si α astfel ˆıncˆat kδϕh kh ≤ C1 hα atunci schema de calcul este consistent˘ a de ordin α. Schema de calcul Lh (uh ) = ϕh este stabila dac˘a exist˘a constantele pozitive C2 , h0 ¸si δ astfel ˆıncˆat ∀h ∈ (0, h0 ), ∀εh ∈ Yh , kεh kh ≤ δ ⇒ kyh − zh k ≤ C2 kεh kh , unde yh ¸si zh verific˘a relat¸iile Lh (zh ) = Lh (yh ) + εh . Leg˘atura dintre cele trei not¸iuni introduse este formulat˘a ˆın teorema urm˘atoare:
Teorema 6.1.1 Dac˘ a schema de calcul Lh (uh ) = ϕh este stabil˘ a ¸si consistent˘ a de ordin α atunci convergent¸a este de ordin α.
Demonstrat¸ie. Deoarece schema de calcul este consistent˘a de ordin α au loc relat¸iile Lh [x]h = ϕh + δϕh ¸si kδϕh kh ≤ C1 hα . Pentru h suficient de mic, dac˘a Lh uh = ϕh , din stabilitatea schemei de calcul urmeaz˘a c˘a k[x]h − uh kh ≤ C2 kδϕh kh ≤ C1 C2 hα , de unde rezult˘a convergent¸a de ordin α a schemei de calcul. ˆIn cazul schemelor de calcul liniare, (adic˘a cu operatorul Lh liniar), stabilitatea se poate caracteriza prin Teorema 6.1.2 Dac˘ a operatorul Lh este liniar atunci schema de calcul Lh uh = ϕh este stabil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a o constant˘ a C ≥ 0 astfel ˆıncˆ at kuh kh ≤ Ckϕh kh ,
∀ϕh ∈ Yh .
92
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Demonstrat¸ie. ˆIn ipoteza stabilit˘a¸tii, exist˘a h0 , δ, C > 0 astfel ˆıncˆat dac˘ a h ∈ (0, h0 ), εh ∈ Yh , kεh kh ≤ δ, Lh (uh ) = ϕh , Lh (zh ) = ϕh + εh atunci kzh − uh kh ≤ Ckεkh . Din liniaritatea schemei de calcul rezult˘a Lh (zh − uh ) = εh . Rescriem aceasta implicat¸ie prin: dac˘a ϕh ∈ Yh , kϕh kh ≤ δ, Lh (uh ) = ϕh atunci kuh kh ≤ Ckϕh kh . Fie ϕh ∈ Yh . Dac˘a kϕh kh ≤ δ atunci inegalitatea teoremei este verificat˘ a. δ ϕ , L (˜ u ) = ϕ ˜ au loc relat ¸ iile Dac˘a kϕh kh > δ atunci pentru ϕ˜h = 2kϕk h h h h h kϕ˜h kh = 2δ ¸si ˆın consecint¸˘a k˜ uh kh ≤ Ckϕ˜h kh de unde, pentru uh = 2δ u ˜h se deduc relat¸iile Lh (uh ) = ϕh ¸si kuh kh ≤ Ckϕh kh . Implicat¸ia invers˘a este imediat˘a. ˆIn cele ce urmeaz˘a vom studia schema de calcul Euler. ˆIn Rn+1 folosim norma lui Cebˆa¸sev kxk = max{|x1 |, . . . , |xn+1 |}. Au loc urm˘atoarele rezultate: Teorema 6.1.3 Dac˘ a funct¸ia f admite derivate part¸iale de ordinul ˆıntˆ ai m˘ arginite, atunci schema de calcul este consistent˘ a de ordinul ˆıntˆ ai.
Demonstrat¸ie. Existent¸a derivatelor part¸iale ale funct¸iei f asigur˘a existent¸a derivatei de ordinul al doilea a solut¸iei problemei Cauchy (6.1), iar din m˘arginirea derivatelor part¸iale rezult˘a existent¸a unei constante M2 > 0, astfel ˆıncˆat |¨ x(t)| ≤ M2 , ∀t ∈ [0, T ]. 2 Din egalit˘a¸tile x(ti+1 ) = x(ti + h) = x(ti ) + hx(t ˙ i ) + h2 x ¨(ci ), ci ∈ (ti , ti+1 ), i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, rezult˘a x(ti+1 ) − x(ti ) h = x(t ˙ i) + x ¨(ci ), h 2
i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
Atunci L([x]h ) =
x(ti+1 )−x(ti ) h x(t0 )
= =
− f (ti , x(ti )), i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}
h ¨(ci ), 2x
i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}
0
0, i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} + x0
h ¨(ci ), 2x
0
=
=
i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}
.
Recunoa¸stem ϕh ˆın primul termen ¸si ˆın consecint¸˘a al doilea termen este δϕh . Prin urmare M2 h kδϕh k = max |¨ x(ci )| ≤ h. 0≤i≤n−1 2 2 Pentru demonstrarea stabilit˘a¸tii schemei de calcul Euler vom avea nevoie de urm˘atorul rezultat:
93
6.1. METODE DE DISCRETIZARE
Teorema 6.1.4 Dac˘ a termenii ¸sirului de numere reale, nenegative (zn )n∈N satisfac inegalit˘ a¸tile zn+1 ≤ azn + b, n ∈ N, cu a, b > 0, a > 1 atunci zn ≤ an z0 + b
an − 1 b ≤ an (z0 + ). a−1 a−1
Demonstrat¸ie. Au loc inegalit˘a¸tile zn ≤ azn−1 + b ≤ a(azn−2 + b) + b = a2 zn−2 + b(1 + a) ≤ ≤ an z0 + b(1 + a + . . . + an−1 ) = an z0 + b
an − 1 . a−1
Teorema 6.1.5 Dac˘ a funct¸ia f este lipschitzian˘ a ˆın x, adic˘ a exist˘ a L > 0, astfel ˆıncˆ at |f (t, x) − f (t, y)| ≤ L|x − y|, ∀x, y ∈ R atunci schema de calcul Euler este stabil˘ a. Demonstrat¸ie. Fie εn =
εi i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}
¸si sistemele Lh (uh ) =
ϕh , Lh (zh ) = ϕh + εh :
ui+1 −ui − h u0 = x0
f (ti , ui ) = 0,
zi+1 −zi − f (ti , zi ) h 0 z0 = x +
= εi ,
i = 0, 1, . . . , n − 1
i = 0, 1, . . . , n − 1
.
(6.5)
.
(6.6)
Introducem vectorul wh = zh − uh = (wi )0≤i≤n ¸si sc˘azˆand ecuat¸iile lui (6.5) din ecuat¸iile corespunz˘atoare lui (6.6) g˘asim
wi+1 −wi h w0 =
− [f (ti , zi ) − f (ti , ui )] = εi ,
i = 0, 1, . . . , n − 1
.
Atunci wi+1 = wi + h[f (ti , zi ) − f (ti , ui )] + hεi
i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
ˆIn norm˘a, vom avea |wi+1 | ≤ |wi | + h|f (ti , zi ) − f (ti , ui )| + h|εi | ≤ (1 + hL)|wi | + hkεh kh ,
(6.7)
94
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
unde kεh kh = max{|ε0 |, . . . , |εn−1 |, ||}. Utiliz˘and inegalitatea Teoremei 6.1.4 obt¸inem |wi | ≤ (1 + hL)i (|w0 | +
hkεh kh 1 ) ≤ eihL (1 + )kεh kh ≤ (1 + hl) − 1 L
1 )kεh kh , L Din inegalitatea de mai sus deducem ≤ eT L (1 +
i ∈ {0, 1, . . . , n}.
kzh − uh kh = kwh kh = max |wi | ≤ eT L (1 + 0≤i≤n
1 )kεh kh , L
adic˘a inegalitatea din definit¸ia stabilit˘a¸tii. Constanta C corespunz˘atoare este eT L (1 + L1 ). Din consistent¸a ¸si stabilitatea schemei de calcul Euler deducem teorema de convergent¸˘a: Teorema 6.1.6 Dac˘ a 1. funct¸ia f este lipschitzian˘ a ˆın x, adic˘ a exist˘ a L > 0 astfel ˆıncˆ at |f (t, x) − f (t, y)| ≤ L|x − y|, ∀x, y. 2. Solut¸ia problemei Cauchy (6.1) este de dou˘ a ori derivabil˘ a, avˆ and derivata de ordinul doi m˘ arginit˘ a, |¨ x(t)| ≤ M, ∀t ∈ [0, T ]; atunci solut¸ia discret˘ a construit˘ a cu ajutorul schemei de calcul Euler converge c˘ atre solut¸ia problemei lui Cauchy, ordinul de convergent¸˘ a fiind 1. Mai mult are loc urm˘atoarea formul˘a de evaluare a priori a erorii kuh − [u]h k ≤
M2 T L 1 e (1 + )h 2 L
(6.8)
O demonstrat¸ie direct˘a a teoremei de convergent¸˘a 6.1.6 este Not˘am xi = x(ti ) ¸si ei = xi − ui , loc relat¸iile
i = 0, 1, . . . , n. Observ˘am c˘a e0 = 0. Au
xi+1 = x(ti+1 ) = x(ti + h) = x(ti ) + hx(t ˙ i) + xi + hf (ti , xi ) +
h2 x ¨(ξi ) 2
¸si ui+1 = ui + hf (ti , ui )
h2 x ¨(ξi ) = 2
95
6.1. METODE DE DISCRETIZARE
din care, prin sc˘adere, obt¸inem ei+1 = ei + h[f (ti , xi ) − f (ti , ui )] +
h2 x ¨(ξi ). 2
Aplicˆand valoarea absolut˘a, rezult˘a |ei+1 | ≤ |ei | + h|f (ti , xi ) − f (ti , ui )| + ≤ |ei | + hL|xi − ui | +
h2 |¨ x(ξi )| ≤ 2
h2 h2 M = (1 + hL)|ei | + M. 2 2
Folosind Teorama 6.1.4 rezult˘a h2 2 M
] ≤ eihL
M M h ≤ eT L h. 2L 2L
k[x]h − uh k = max{|ei | : i = 0, 1, . . . , n} ≤ eihL
M M h ≤ eT L h. 2L 2L
i
|ei | ≤ (1 + hL) [|e0 | +
(1 + hL) − 1
Prin urmare
Aplicat¸ie. S˘a se calculeze utilizˆand schema de calcul Euler valoarea funct¸iei x(t) 1 ˆın punctul t = 75 cu eroarea ε = 0.01, ¸stiind c˘a x(t) este solut¸ia problemei Caucly
x(t) ˙ = 21 − 13 tx2 , x(0) ˙ = x0 .
Nu se ¸tine seama de erorile de rotunjire. S˘a presupunem c˘a f (t, x) = 12 − 13 tx2 este definit˘a ˆın p˘atratul D = [0, 1]×[0, 1]. Atunci sup{|f (t, x)| : (t, x) ∈ D} ≤ 65 ¸si potrivit teoremei de existent¸˘a ¸si unicitate, problema Cauchy are solut¸ie unic˘a ˆın intervalul |t| ≤ min{1, 65 } = 1. Alegem T = 1. Determin˘am parametrii L ¸si M care intervin ˆın Teorema 6.1.6. 2 1 |f (t, x) − f (t, y)| = |t||x2 − y 2 | ≤ |x − y|. 3 3 Alegem L = 1. d d 1 1 f (t, x(t)) = [ − tx2 (t)] = dt dt 2 3 1 1 1 2 = − [x2 (t) + 2tx(t)x(t)] ˙ = − x2 (t) − tx(t) + t2 x3 (t). 3 3 3 9 Urmeaz˘a c˘a 8 sup{|¨ x(t)| : |t| ≤ 1} ≤ . 9 x ¨(t) =
96
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Alegem M = 98 . Trebuie s˘a determin˘am pasul h > 0 astfel ˆıncˆat s˘a existe p ∈ N care s˘ a satisfac˘a relat¸iile 1 ph = 75 ¸si M M |up − x(tp )| ≤ kuh − [x]h k ≤ eT L h ≤ 3T L h < ε. 2L 2L Rezult˘a c˘a p este cel mai mic num˘ar natural care satisface inegalitatea h=
1 2Lε ≤ LT . 75p 3 M
Substituind cu valori numerice, g˘asim p = 2 ¸si deci h =
1 150 .
ˆIn final
u0 = 0, 1 , u1 = u0 + hf (t0 , u0 ) = 300 u2 = u1 + hf (t1 , u1 ) ' 0.0067.
6.2
Scheme de calcul de tip Runge - Kutta
Pentru rezolvarea problemei Cauchy (6.1) consider˘am schema de calcul ui+1 −ui − Fm (h, ti , ui ; f ) = 0 i = 0, 1, . . . , n − 1 h (6.9) 0 u0 = x unde h =
T n,
ti = ih, i = 0, 1, . . . , n iar funct¸ia Fm (h, t, x; f ) va fi de forma Fm (h, t, x; f ) =
m X
pi ki (h)
i=1
cu ki (h) = f (t + αi h, x + h
m X
βi,j kj (h),
i = 1, . . . , m.
j=1
Numerele p1 , . . . , pm , αi , βi,j , i, j = 1, . . . , m se determin˘a pentru fiecare m ˆın parte astfel ˆıncˆat, dac˘a x(t) este solut¸ia problemei Cauchy, atunci puterea p din relat¸ia x(t + h) − x(t) − Fm (h, t, x(t); f ) = hp Φ(t, h), ∀t, h, (6.10) h s˘a fie cˆat mai mare. Condit¸ia (6.10) se poate reformula prin: h = 0 trebuie s˘a fie solut¸ie de ordin p + 1 a ecuat¸iei ϕm (h) = x(t + h) − x(t) − hFm (h, t, x(t); f ) = 0. Astfel schema de calcul (6.9) va avea ordinul p de consistent¸˘a. Solut¸iile obt¸inute se prezint˘a sub forma tabelelor Butcher
97
6.2. SCHEME DE CALCUL DE TIP RUNGE - KUTTA
α1 α2 ... αm
β1,1 β2,1 ... βm,1 p1
... ... ... ... ...
β1,m β2,m ... βm,m pm
Dac˘a α1 = 0 ¸si βi,j = 0, pentru i ≥ j atunci schema de calcul de tip Runge – Kutta este explicit˘a. ˆIn acest caz k1 (h) = f (t, x); k2 (h) = f (t + α2 h, x + β21 hk1 (h)); k3 (h) = f (t + α3 h, x + β31 hk1 (h) + β32 hk2 (h)); ............................................. km (h) = f (t + αm h, x + βm1 hk1 (h) + . . . + βmm−1 hkm−1 (h)); ˆIn cele ce urmeaz˘a consider˘am doar cazul explicit. Pentru m = 1 se reg˘ase¸ste schema lui Euler. Efectu˘am calculele ˆın cazul m = 2. ˆIn acest caz h = 0 trebuie s˘a fie solut¸ie de ordin 3 a ecuat¸iei ϕ2 (h) = x(t + h) − x(t) − h[p1 k1 (h) + p2 k2 (h)] = = x(t + h) − x(t) − h[p1 f (t, x(t)) + p2 f (t + α2 h, x(t) + β21 hf (t, x(t)))] = 0. Presupunem c˘a solut¸ia problemei Cauchy admite toate derivatele necesare calculelor urm˘atoare. Calcul˘am ϕ02 (h) = x(t ˙ + h) − [p1 f (t, x(t)) + p2 f (t + α2 h, x(t) + β21 hf (t, x(t)))]− −hp2 [
∂f ∂f α2 + β21 f (t, x(t))], 1 ∂t ∂x
ϕ002 (h) = x ¨(t + h) − 2p2 [ −hp2 [
∂f ∂f α2 + β21 f (t, x(t))]− ∂t ∂x
∂2f 2 ∂2f ∂2f 2 2 α2 + 2 α2 β21 f (t, x(t)) + β f (t, x(t))]. 2 ∂t ∂t∂x ∂x2 21
Rezult˘a ϕ2 (0) = 0; ϕ02 (0) = x(t) ˙ − p1 f (t, x(t)) − p2 f (t, x(t)) = (1 − p1 − p2 )f (t, x(t)); ∂f 00 ϕ2 (0) = x ¨(t) − 2p2 [α2 ∂f ∂x (t, x(t)) + ∂x (t, x(t))β21 f (t, x(t))] = ∂f = (1 − 2p2 α2 ) ∂t (t, x(t)) + (1 − 2p2 β21 ) ∂f ∂x (t, x(t))f (t, x(t)). 1
Pentru simplificare omitem scrierea argumentelor.
98
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
h = 0 este solut¸ie tripl˘a dac˘a coeficient¸ii termenilor care cont¸in pe f ¸si derivatele sale part¸iale sunt nule. Obt¸inem sistemul algebric neliniar 1 − p 1 − p2 = 0 1 − 2p2 α2 = 0 1 − 2p2 β21 = 0 Dou˘a solut¸ii ale acestui sistem sunt: 1. p1 = 0, p2 = 1, α2 = β21 = 12 . ˆIn acest caz schema de calcul este ui+1 −ui − f (ti + h2 , ui + h2 f (ti , ui )) = 0 i = 0, 1, . . . , n − 1 h 0 u0 = x
(6.11)
¸si este cunoscut˘a sub numele de schema Euler ˆımbun˘at˘a¸tit˘a. 2. p1 = p2 = 21 , α2 = β21 = 1. Schema de calcul este ui+1 −ui 1 − 2 f (ti , ui ) − 12 f (ti+1 , ui + hf (ti , ui )) = 0 h 0 u0 = x
i = 0, 1, . . . , n − 1
Tabelele Butcher corespunz˘atoare sunt 0
0
1 2
1 2
0 0 1
0
0 1
0 1
0 0
1 2
1 2
Pentru m = 4 se obt¸ine schema de calcul Runge ui+1 −ui 1 − 6 [k1 (h) + 2k2 (h) + 2k3 (h) + k4 (h)] = 0, h k1 (h) = f (ti , ui ) k2 (h) = f (ti + h2 , ui + h2 k1 (h)) k3 (h) = f (ti + h2 , ui + h2 k2 (h)) k4 (h) = f (ti + h, ui + hk3 (h)) u0 = x0
i = 0, 1, . . . , n − 1
(6.12) cu tabela Butcher 0
0
1 2 1 2
1 2
1
0 1 2 1 6
0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
2 3
2 3
1 6
1 2
Pentru a justifica stabilitatea schemei de calcul de tip Runge – Kutta stabilim
6.2. SCHEME DE CALCUL DE TIP RUNGE - KUTTA
99
Teorema 6.2.1 Dac˘ a funct¸ia f (t, x) este lipschitzian˘ a ˆın x (∃L. > 0, astfel ˆıncˆ at |f (t, x) − f (t, y)| ≤ L|x − y|, ∀x, y ∈ R) atunci funct¸ia Fm (h, t, x; f ) este lipschitzian˘ a ˆın x.
Demonstrat¸ie. Pentru simplitate, consider˘am m = 2, adic˘a Fm (h, t, x; f ) = F2 (h, t, x; f ) = p1 f (t, x) + p2 f (t + α2 h, x + β2,1 hf (t, x)). ˆIn acest caz |F2 (h, t, y; f ) − F2 (h, t, x; f )| ≤ ≤ |p1 | |f (t, y)−f (t, x)|+|p2 | |f (t+α2 h, y+β2,1 hf (t, y))−f (t+α2 h, x+β2,1 hf (t, x))|. Datorit˘a ipotezei f˘acute rezult˘a succesiv |F2 (h, t, y; f ) − F2 (h, t, x; f )| ≤ ≤ |p1 | L|y − x| + |p2 | L|y + β2,1 hf (t, y) − x − β2,1 hf (t, x)| ≤ ≤ L(|p1 | + |p2 | + |p2 | |β2,1 |hL)|y − x| ≤ M |y − x|, unde M = L(|p1 | + |p2 | + |β2,1 |T L). Prin urmare are loc o teorem˘a de stabilitate a c˘arei demonstrat¸ie este identi¸a cu demonstrat¸ia Teoremei 6.1.5. Teorema 6.2.2 Dac˘ a funct¸ia f este lipschitzian˘ a ˆın x, adic˘ a exist˘ a L > 0, astfel ˆıncˆ at |f (t, x) − f (t, y)| ≤ L|x − y|, ∀x, y ∈ R atunci o schem˘ a de calcul de tip Runge – Kutta este stabil˘ a. ˆIn consecint¸˘a Teorema 6.2.3 Dac˘ a • funct¸ia f (t, x) este lipschitzian˘ a ˆın x; • schema de calcul de tip Runge – Kutta este consistent˘ a de ordin p atunci atunci solut¸ia discret˘ a construit˘ a cu ajutorul schemei de calcul de tip Runge – Kutta converge c˘ atre solut¸ia problemei lui Cauchy, ordinul de convergent¸˘ a fiind p.
100
6.3
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Scheme de calcul de tip Adams
Ecuat¸ia diferent¸ial˘a (6.1)este echivalent˘a cu ecuat¸ia integral˘a Z t f (s, x(s))ds 0 ≤ t˜ < t ≤ T. x(t) = x(t˜) + t˜
Ideea schemelor de calcul de tip Adams const˘a ˆın ˆınlocuirea funct¸iei ϕ(s) = f (s, x(s)) printr-un polinom de interpolare Nr (ϕ)(s) =
r X
(t − a)(t − a + h) . . . (t − a + (i − 1)h)
i=0
∇ih ϕ(a) . i!hi
Solut¸ia aproximativ˘a u satisface ecuat¸ia Z t Nr (ϕ)(s)ds. u(t) = u(t˜) +
(6.13)
t˜
Fie h = Tn ¸si ret¸raua de puncte echidistante ti = ih, i = 0, 1, . . . , n. Particulariz˘a relat¸ia (6.13) luˆand t, t˜, a egale, respectiv cu tk+p , tk−q , tk ¸si obt¸inem Z r X ∇ih ϕ(tk ) tk+p uk+p = uk−q + (s−tk )(s−tk +h)·. . .·(s−tk +(i−1)h)ds, (6.14) i!hi tk−q i=0
unde ui = u(ti ), i = 0, 1, . . . , n. Prin schimbarea de variabil˘a s − tk = zh integrala din (6.14) devine Z p Z tk+p z(z +1)·. . .·(z +i−1)dz. (s−tk )(s−tk +h) . . . (s−tk +(i−1)h)ds = hi+1 −q
tk−q
ˆInlocuind ˆın (6.14) g˘asim uk+p = uk−q +
Z r X hi+1 ∇i ϕ(tk )
p
h
i=0
i!hi
z(z + 1) · . . . · (z + i − 1)dz.
−q
sau uk+p = uk−q +
r X
αi ∇ih ϕ(tk ),
i=0
unde α0 = p + R q 1 p αi = i! −q z(z + 1) · . . . · (z + i − 1)dz,
i = 1, 2, . . . , r.
Utilizˆand formula de dezvoltare a diferent¸elor finite regresive obt¸inem r i X X i uk+p = uk−q + h αi (−1)j ϕ(tk − j), j i=0
j=0
101
6.3. SCHEME DE CALCUL DE TIP ADAMS
unde ϕ(tj ) = f (tj , uj ). Permutˆand ˆınsum˘arile g˘asim uk+p = uk−q + h
r X
βj f (tk−j , uk−j ),
(6.15)
j=0
cu
j j+1 r βj = (−1) [ αj + αj+1 + . . . + αr ]. j j j j
(6.16)
Cazuri particulare importante. 1. Schema Adams - Bashforth. Particulariz˘am (6.15), alegˆand p = 1, q = 0. Se obt¸in relat¸iile uk+1 = uk + h
r X
k = r, . . . , n − 1;
βj f (tk−j , uk−j ),
(6.17)
j=0
unde βj sunt dat¸i de formulele (6.16) cu α0 = 1, αi = Tabelul coeficient¸ilor βj .
r|j 1 2 3 4 5
0 3 23 55 1901 4277
1 -1 -16 -59 -2774 -7927
Num˘ar˘ator 2 3 5 37 2616 9982
1 i!
R1 0
z(z+1)·. . .·(z+i−1)dz.
Numitor 4
-9 -1274 -7298
251 2877
5 2 12 24 720 1440
-475
2. Schema Adams - Moulton. Alegˆand p = 0, q = 1 ˆın (6.15) se obt¸in formulele uk = uk−1 + h
r X
βj f (tk−j , uk−j ),
k = r − 1, . . . , n;
(6.18)
j=0
unde βj sunt dat¸i de formulele (6.16) cu α0 = 1, αi = Tabelul coeficient¸ilor βj .
r|j 1 2 3 4 5
0 1 5 9 251 475
Num˘ar˘ator 1 2 3 1 8 -1 19 -5 1 646 264 106 1427 -798 482
1 i!
R0
−1 z(z+1)·. . .·(z+i−1)dz.
Numitor 4
-19 -173
5
27
2 12 24 720 1440
102
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Schema de calcul Adams - Bashforth este explicit˘ a ˆın sensul c˘a ˆın formula (6.17), elementele membrului drept sunt cunoscute ¸si uk+1 se calculeaz˘a nemijlocit. Schema de calcul Adams - Moulton este implicit˘ a ˆın sensul c˘a ˆın formula (6.18), pentru j = 0 apare factorul f (tk , uk ), iar uk este necunoscut. Astfel uk se obt¸ine ca solut¸ia unei ecuat¸ii. Schemele de tip Adams se numesc scheme de calcul cu mai mult¸i pa¸si (multipas), ˆın timp ce schemele de calcul de tip Runge - Kutta sunt scheme cu un singur pas (unipas). Un avantaj din punct de vedere al calculelor pentru schemele de calcul de tip Adams este faptul c˘a folosesc valorile lui f doar ˆın nodurile anterioare, ˆın timp ce la schemele de calcul de tip Runge - Kutta este nevoie de valorile lui f ˆın diverse puncte intermediare. Pentru pornirea unei scheme de calcul de tip adams trebuie cunoscute ˆın prealabil u0 , u1 , . . . , ur , aproximat¸ii care se determin˘a pe o alt˘a cale - de exemplu utilizˆand o schem˘a de calcul de tip Runge - Kutta. Determinarea acestor valori se nume¸ste procedeu init¸ial. Pentru a studia consistent¸a unei scheme de calcul de tip Adams rescriem formula (6.15) sub forma ap uk+p + ap−1 uk+p−1 + . . . + a0 uk −
(6.19)
−h[bp f (tk+p , uk+p ) + bp−1 f (tk+p−1 , uk+p−1 ) + . . . + b0 f (tk , uk )] = 0. Fie x solut¸ia problemei Cauchy ¸si presupunˆand c˘a au loc dezvolt˘arile tayloriene xk+s = xk + x˙ k+s = x˙ k +
sh ˙k 1! x sh ¨k 1! x
+ +
(sh)2 ¨k + . . . 2! x (sh)2 (3) 2! xk + . . .
atunci ap xk+p + ap−1 xk+p−1 + . . . + a0 xk − −h[bp f (tk+p , xk+p ) + bp−1 f (tk+p−1 , xk+p−1 ) + . . . + b0 f (tk , xk )] = ap xk+p + ap−1 xk+p−1 + . . . + a0 xk − h[bp x˙ k+p + bp−1 x˙ k+p−1 + . . . + b0 x˙ k ] = (m)
= C0 xk + C1 hx˙ k + C2 h2 x ¨k + . . . + Cm hm xk
+ ...
unde C0 = a0 + a1 + . . . + ap C1 = C0 = a1 + 2a2 + . . . + pap − (b0 + b1 + . . . + bp ) C2 = 2!1 (a1 + 22 a2 + . . . + p2 ap ) − (b1 + 2b2 + . . . + pbp ) 1 1 Cm = m! (a1 + 2m a2 + . . . + pm ap ) − (m−1)! (b1 + 2m−1 b2 + . . . + pm−1 bp ). Schema de calcul de tip Adams (6.19) este consistent˘a de ordin m dac˘a C0 = C1 = . . . = Cm = 0 ¸si Cm+1 6= 0.
103
6.4. SCHEMA DE CALCUL PREDICTOR - CORECTOR
Exemplific˘am ˆın cazul schemei de calcul Adams - Bashforth cu r = 1 3 1 uk+1 = uk + h[ f (tk , uk ) − f (tk−1 , uk−1 )]. 2 2 Schema de calcul se rescrie sub forma 3 1 uk+2 − uk+1 − h[ f (tk+1 , uk+1 ) − f (tk , uk )] = 0 2 2 deci p = 2 ¸si a2 = 1, a1 = −1, a0 = 0, b2 = 0, b1 = 32 , b0 = 12 . Rezult˘a C0 C1 C2 C3
6.4
= a0 + a1 + a2 = 0 = a1 + 2a2 − (b0 + b1 + b2 ) = 0 = 12 (a1 + 22 a2 ) − (b1 + 2b2 ) = 0 = 3!1 (a1 + 23 a2 ) − 12 (b1 + 22 b2 ) =
5 12 .
Schema de calcul predictor - corector
Schemele de tip predictor - corector se obt¸in prin combinarea dintre dou˘a scheme de tip Adams: una explicit˘a uk+1 = uk + h
p X
ai f (tk−j , uk−j ),
k≥p
i=0
¸si una implicit˘a uk+1 = uk + h
q X
bj f (tk+1−j , uk+1−j ),
k ≥ q − 1.
j=0
Se valorific˘a astfel propriet˘a¸tle schemei de calcul implicite ˆıntr-o procedur˘a explicit˘a de calcul. Procedura P (EC)m E de combinarea celor dou˘a scheme, pentru un pas k ≥ s = max{p, P q − 1}, este P: u0k+1 = uk + h pi=0 ai f (tk−j , uk−j ); Pentru s=1:m executa s−1 | E: Calculeaza fk+1 = f (tk+1 , us−1 ) P k+1 s−1 s | C: uk+1 = uk + hb0 fk+1 + h qj=1 bj f (tk+1−j , uk+1−j ), | E: uk+1 = um k+1 ; fk+1 = f (tk+1 , uk+1 ) A¸sadar, pentru pornirea schemei de tip predictor - corector este nevoie de determinarea aproximat¸iilor u0 , u1 , . . . , us (procedeul init¸ial). Pentru procedura P ECE (m = 1) are loc urm˘atoarea teorem˘a simpl˘a de convergent¸˘a:
104
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Teorema 6.4.1 Dac˘ a • funct¸ia f (t, x) este lipschitzian˘ a ˆın x; ∃L > 0 astfel ˆıncˆ at |f (t, y)−f (t, x)| ≤ L|y − x|, ∀x, y ∈ R; • procedeul init¸ial este convergent, adic˘ a limh→0 max0≤i≤s |xi − ui | = 0; • schemele de calcul de Adams explicit˘ a ¸si implicit˘ a utilizate sunt consistente atunci solut¸ia discret˘ a construit˘ a cu ajutorul schemei de calcul de tip predictor– corector converge c˘ atre solut¸ia problemei lui Cauchy.
Demonstrat¸ie. Procedura P ECE a schema de calcul predictor– corector se poate scrie prin u∗k+1 = uk + h
p X
ai f (tk−j , uk−j ),
(6.20)
i=0
uk+1 = uk + hb0 f( tk+1 , u∗k+1 ) + h
q X
bj f (tk+1−j , uk+1−j ).
(6.21)
j=1
pentru k ∈ {s, . . . , n − 1}. Consistent¸a celor dou˘a scheme de calcul de tip Adams cu care s-a construit schema de calcul predictor corector se exprim˘a prin existent¸a numerelor α, β ∈ N∗ ¸si C1 , C2 > 0 astfel ˆıncˆat xk+1 = xk + h xk+1 = xk + h
p X i=0 q X
∗ , ai f (tk−j , xk−j ) + hα+1 τk+1
(6.22)
bj f (tk+1−j , xk+1−j ) + hβ+1 τk+1
(6.23)
j=0
pentru k ∈ {s, . . . , n − 1} ¸si max |τj∗ | ≤ C1
max |τj | ≤ C2 . j
j
def
∗ Dac˘a x∗k+1 = xk+1 − hα+1 τk+1 atunci egalitatea (6.22) devine
x∗k+1 = xk + h
p X
ai f (tk−j , xk−j ).
i=0
Introducem notat¸iile e∗j = x∗j − u∗j , P A = pi=0 |ai |,
ej = xj − uj , P B = qj=0 |bj |, wj = max{|e0 |, . . . , |ej |}.
(6.24)
105
6.4. SCHEMA DE CALCUL PREDICTOR - CORECTOR
Sc˘azˆand (6.20) din (6.24) ¸si (6.21) din (6.23) obt¸inem respectiv e∗k+1
= ek + h
p X
ai [f (tk−j , xk−j ) − f (tk−i , uk−i )]
i=0
ek+1 = ek + hb0 [f (tk+1 , xk+1 ) − f (tk+1 , u∗k+1 )] + q X +h bj [f (tk+1−j , xk+1−j ) − f (tk+1−j , uk+1−j )] + hβ+1 τk+1 j=1
ˆIn valoare absolut˘a, din egalit˘a¸tile de mai sus rezult˘a |e∗k+1 | ≤ |ek | + h
p X
|ai | |f (tk−j , xk−j ) − f (tk−i , uk−i )| ≤
i=0 p X
≤ |ek | + hL
|ai | |ek−i |,
(6.25)
i=0
|ek+1 | ≤ |ek | + h|b0 | |f (tk+1 , xk+1 ) − f (tk+1 , u∗k+1 )| + q X +h |bj | |f (tk+1−j , xk+1−j ) − f (tk+1−j , uk+1−j )| + hβ+1 |τk+1 | ≤ j=1
≤ |ek | + h|b0 |L|xk+1 − u∗k+1 | + hL
q X
|bj | |ek−j+1 | + C2 hβ+1
(6.26)
j=1
T ¸ inˆand seana de definit¸ia lui x∗k+1 ¸si de (6.25) deducem ∗ | + |e∗k+1 | ≤ |xk+1 − u∗k+1 | ≤ |xk+1 − x∗k+1 | + |x∗k+1 − u∗k+1 | = hα+1 |τk+1
≤ C1 h
α+1
+ |ek | + hL
p X
|ai | |ek−i |.
i=0
Utiliz˘am aceast˘a inegalitate ˆın (6.26) care devine |ek+1 | ≤ |ek | + h|b0 |L(C1 h
α+1
+ |ek | + hL
p X
|ai | |ek−i |)+
i=0
+hL
q X
|bj | |ek−j+1 | + C2 hβ+1 .
j=1
Folosind definit¸ia lui wk ¸si aranjˆand termenii deducem |ek+1 | ≤ (1 + hLB + h2 L2 |b0 |A)wk + C1 L|b0 |hα+2 + C2 hβ+1 .
(6.27)
106
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Prin urmare wk+1 ≤ (1 + hLB + h2 L2 |b0 |A)wk + C1 L|b0 |hα+2 + C2 hβ+1 . Potricit Teoremei 6.1.4, inegalit˘a¸tile anterioare implic˘a wk ≤ (1 + hLB + h2 L2 |b0 |A)k (w0 +
C1 L|b0 |hα+2 + C2 hβ+1 )≤ (1 + hLB + h2 L2 |b0 |A) − 1
C1 hα+1 |b0 |L + C2 hβ )≤ LB C1 hα+1 |b0 |L + C2 hβ 2 ≤ eT (LB+T L |b0 |A) (ws + ). LB Din ultima inegalitate deducem 2 |b |A) 0
≤ ehk(LB+hL
(ws +
k[x]h − uh kh = max |xi − ui | = max |ei | = wn ≤ 0≤i≤n
2 |b |A) 0
≤ eT (LB+T L
(ws +
0≤i≤n
C1 hα+1 |b0 |L + C2 hβ ) → 0, LB
when h → 0. Observat¸ie. Dac˘a consider˘am consider˘am schemele de calcul ca formule matriceale atunci ele se pot utiliza la integrarea problemelor Cauchy corespunz˘atoare sistemelor de ecuat¸ii diferent¸iale.
6.5
A-stabilitatea schemelor de calcul
A-stabilitatea permite evaluarea t˘ariei unei scheme de calcul pentru rezolvarea unei probleme Cauchy. Pentru definirea acestei not¸iuni se consider˘a problem de test x˙ = λx, λ ∈ C, (6.28) 0 x(0) = x a c˘arei solut¸ie este x(t) = eλt x0 . Dac˘a <λ < 0 atunci limt→∞ x(t) = 0. Aplic˘am schema de calcul Lh uh = fh pentru rezolvarea problemei (6.28). Se nume¸ste domeniu de A-stabilitate mult¸imea elementelor z = λh ∈ C, h > 0, λ ∈ C cu proprietatea c˘a solut¸ia uh = (ui )0≤i≤nh a schemei de calcul este m˘arginit˘a pentru orice h > 0. Schema de calcul Lh uh = fh este A-stabil˘ a dac˘a semiplanul {z ∈ C :
6.5. A-STABILITATEA SCHEMELOR DE CALCUL
107
1. este A-stabil˘a; 2. limz→∞ |R(z)| < 1. O schem˘a de calcul de tip Runge-Kutta este L A-stabil˘ a dac˘a 1. este A-stabil˘a; 2. limz→∞ |R(z)| = 0. Aplicat¸ii. Analiz˘am natura A-stabilit˘a¸tii mai multor scheme de calcul.
Fig. 1. Mult¸imea de A-stabilitate a schemelor Runge–Kutta.
1. Schema de calcul Euler (6.4). Dac˘a substituim f (ti , ui ) = λui ˆın (6.4) atunci deducem formula de recurent¸˘a ui+1 = (1 + λh)ui ) = (1 + z)ui de
108
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
unde rezult˘a c˘a ui = (1 + z)i u0 . Prin urmare funct¸oa de stabilitate este R(z) = 1 + z. S¸irul (ui )i∈N este m˘arginit doar dac˘a |R(z)| = |1 + z| ≤ 1. Mult¸imea de A-stabilitate este ˆın acest caz discul cu centrul ˆın -1 ¸si raz˘a 1 (Fig. 1). 2. Schema de calcul Euler ˆımbumat˘a¸tit˘a. (6.11). Analog se obt¸ine R(z) = 2 1 + z + z2 . Mult¸imea de A-satbilitate este interiorul domeniului delimitat de contutul punctiform din Fig. 1. 3. Schema de calcul Runge – Kutta (m=4), (6.12). ˆIn acest caz R(z) = 1 + 2 3 z4 z + z2 + z6 + 24 iar mult¸imea de A-stabilitate este domeniul m˘arginit de linia ˆıntrerupt˘a din Fig. 1. Observ˘am c˘a nici una din schemele de calcul de tip Runge – Kutta explicit˘ a nu este A-stabil˘a. 4. ˆIn cazul schemei de calcul implicite ui −ui−1 − f (ti , ui ) = 0, h u0 = x0
i = 1, 1, . . . , n
,
pentru problema de test deducem ui =
1 1 1 i ui−1 = ui−1 = ( ) u0 . 1 − λh 1−z 1−z
1 Din condit¸ia de m˘arginirea ¸sirului (ui )i : | 1−z | ≤ 1, obt¸inem c˘a mult¸imea de A-stabilitate este |z − 1| ≥ 1,, adic˘a exteriorul discului cu centrul ˆın 1 ¸si de raz˘a 1. Astfel aceast˘a schem˘a de calcul este A-stabil˘a.
5. Utilizˆand schem˘a de calcul de tip Adams scris˘a sub forma ap uk+p + ap−1 uk+p−1 + . . . + a0 uk − −h[bp f (tk+p , uk+p ) + bp−1 f (tk+p−1 , uk+p−1 ) + . . . + b0 f (tk , uk )] = 0. pentru rezolvarea problemei test ajungem la ecuat¸ia cu diferent¸e (ap −zbp )uk+p +(ap−1 −zbp−1 )uk+p−1 +. . .+(a1 −zb1 )uk+1 +(a0 −zb0 )uk = 0. Ecuat¸ia caracteristic˘a corespunz˘atoare este ρ(x) − zσ(x) = 0 unde ρ(x) = ap xp + ap−1 xp−1 + . . . + a1 x + a0 , σ(x) = bp xp + bp−1 xp−1 + . . . + b1 x + b0 .
6.5. A-STABILITATEA SCHEMELOR DE CALCUL
109
Solut¸ia ecuat¸iei cu diferent¸e este m˘arginit˘a dac˘a are loc condit¸ia r˘ ad˘ acinii: R˘ad˘acinile polinomului caracteristic sunt ˆın modul subunitare, iar cele de modul 1 sunt r˘ad˘acini simple. Fig. 2 ¸si Fig. 3 prezint˘a frontierele mult¸imilor de A-stabilitate pentru schemele de calcul Adams – Bashforth (r=1,2,3,4) ¸si respectiv Adams – Moulton (r=2,3,4). ˆIn fiecare caz mult¸imea de A-stabilitate este exteriorul domeniului marginit de curbele desenate.
Fig. 2. Mult¸imea de A-stabilitate a schemelor Adams–Bashforth.
Din analiza graficelor se observ˘a c˘a nici una din schemele de calcul de tip Adams tratate nu este A-stabil˘a.
Detalii privind construirea acestor grafice se g˘asesc ˆın Anexa C.
110
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Fig. 3. Mult¸imea de A-stabilitate a schemelor Adams–Moulton.
111
6.5. A-STABILITATEA SCHEMELOR DE CALCUL
Rezolvarea unui sistem algebric de ecuat¸ii neliniare prin integrarea unei probleme Cauchy Reducem rezolvarea unui sistem algebric de ecuat¸ii neliniare = 0 f1 (x1 , . . . , xn ) .................. fn (x1 , . . . , xn ) = 0 la integrarea unei probleme Cauchy. Pentru simplificarea temul (6.29) sub form˘a concentrat˘a f (x) = 0 cu x1 f1 (x1 , . . . , xn ) .. .. x= . f (x) = . xn
(6.29)
scrierii rescriem sis .
fn (x1 , . . . , xn )
Indic˘am dou˘a variante de transformare a sistemului f (x) = 0 la integrarea unei probleme Cauchy de forma x(t) ˙ = ϕ(t, x(t)), x(0) = x0 . Varianta 1. Fie x0 ∈ Rn ¸si ϕ(t, x) = f (x) − (1 − t)f (x0 ). Dac˘a x∗ este o solut¸ie a sistemului (6.29) atunci ϕ(0, x0 ) = 0
¸si
ϕ(1, x∗ ) = 0.
Fie x(t) o curb˘a din Rn care une¸ste x0 cu x∗ astfel ˆıncˆat ϕ(t, x(t)) = 0,
t ∈ [0, 1].
(6.30)
Derivˆand (6.30) g˘asim d ϕ(t, x(t)) = fx0 (x(t))x(t) ˙ + f (x0 ) = 0, dt de unde x(t) ˙ = −[fx0 (x(t)]−1 f (x0 ) = −
1 [f 0 (x(t))]−1 f (x(t)), 1−t x
t ∈ [0, 1).
ˆIn concluzie, rezolvarea sistemului algebric de ecuat¸ii neliniare f (x) = 0 revine la integrarea problemei Cauchy 1 x˙ = − 1−t [fx0 (x)]−1 f (x), x(0) = x0 .
t ∈ [0, 1);
112
CAPITOLUL 6. REZOLVAREA PROBLEMELOR CAUCHY
Varianta 2. Dac˘a ϕ(t, x) = f (x) − e−t f (x0 ) atunci ϕ(0, x0 ) = 0
¸si
lim ϕ(t, x∗ ) = 0.
t→∞
Procedˆand analog, fie x(t) o curb˘a din Rn ce une¸ste x0 ¸si x∗ ¸si care satisface egalitatea ϕ(t, x(t)) = 0, t ≥ 0. ˆIn urma deriv˘arii se deduce problema Cauchy x˙ = −[fx0 (x)]−1 f (x), x(0) = x0 .
t > 0;
Probleme ¸si teme de seminar P 6.1 Pentru rezolvarea problemei Cauchy x(t) ˙ = ϕ(t, x(t))
t ∈ [0, T ],
0
x(0) = x
se consider˘ a schema de calcul implicit˘ a
ui −ui−1 − h u0 = x0 .
ϕ(ti , ui ) = 0 i = 1, 2, . . . , n,
(h =
T n)
1. S˘ a se studieze consistent¸a schemei de calcul. ˆ ipoteza ˆın care funct¸ia ϕ este lipcshitzian˘ 2. In a ˆın x, s˘ a se demonstreze stabilitatea schemei de calcul. P 6.2 Pentru rezolvarea problemei Cauchy x(t) ˙ = ϕ(t, x(t)),
t ∈ [0, T ],
0
x(0) = x ; se consider˘ a schema de calcul a termenului median ui+1 −ui−1 − ϕ(ti , ui ) = 0, i = 1, 2, . . . , n − 1, 2h 0 u =x , 0 u1 se calculeaz˘ a printr-un procedeu init¸ial.
(h =
T n)
1. S˘ a se studieze consistent¸a schemei de calcul. ˆ ipoteza ˆın care funct¸ia ϕ este lipcshitzian˘ 2. In a ˆın x, s˘ a se demonstreze stabilitatea schemei de calcul.
113
6.5. A-STABILITATEA SCHEMELOR DE CALCUL
P 6.3 Pentru rezolvarea problemei bilocale liniare x ¨(t) − p(t)x(t) ˙ − q(t)x(t) = r(t), x(a) = α, x(b) = β;
t ∈ [a, b],
se consider˘ a schema de calcul ui+1 −2ui +ui−1 −ui−1 − p(ti ) ui+12h − q(ti )ui = r(ti ), i = 1, 2, . . . , n − 1, h2 (h = b−a n ) u = α, 0 un = β, unde p, q, r ∈ C[a, b]. 1. S˘ a se studieze consistent¸a schemei de calcul. ˆ ipoteza q(t) ≥ q∗ > 0, s˘ a se demonstreze stabilitatea schemei de calcul. 2. In ˆ ipoteza q(t) ≥ q∗ > 0, s˘ a se demonstreze c˘ a scheme de calcul are solut¸ie 3. In unic˘ a. P 6.4 Pentru rezolvarea problemei bilocale neliniare x ¨(t) = f (t, x(t)),
t ∈ [0, T ],
x(a) = α, x(b) = β; se consider˘ a schema de calcul ui+1 −2ui +ui−1 = f (ti , ui ), i = 1, 2, . . . , n − 1, h2 u0 = α, un = β.
(h =
T n)
1. S˘ a se arate c˘ a dac˘ a ¸sirul (wi )0≤i≤n satisface condit¸iile w0 ≤ 0 wi+1 − (2 + ai )wi + wi−1 = bi i = 1, 2, . . . , n − 1, wn ≤ 0
ai , bi ≥ 0
atunci wi ≤ 0, ∀i ∈ {0, 1, . . . , n}. 2. S˘ a se demonstreze ca dac˘ a supt∈[0,T ] |x(4) | ≤ M4 < +∞ ¸si [0, T ] × R, atunci |xi − ui | ≤
M4 h 2 M 4 h2 T 2 ti (T − ti ) ≤ 24 96
∂f (t,x) ∂x
≥ 0, ∀(t, x) ∈
∀i ∈ {0, 1, . . . , n}.
Capitolul 7
Metoda celor mai mici p˘ atrate Relu˘am problema aproxim˘arii unei funct¸ii cunoscut˘a prin valorile y1 , y2 , . . . , yn date respectiv ˆın punctele x1 , x2 , . . . , xn , distincte dou˘a cˆate dou˘a. Pentru n mare, aproximat¸ia dat˘a de o funct¸ie de interpolare este improprie utiliz˘arii ˆın cazul ˆın care intereseaz˘a expresia funct¸iei obt¸inute. Un alt mod de aproximare este furnizat de metoda celor mai mici p˘atrate.
7.1
Construirea unui polinom de aproximare prin metoda celor mai mici p˘ atrate
Fie m ∈ N, m < n. O funct¸ie F (x, c1 , . . . , cm ), fixat˘a de parametrii c1 , . . . , cm reprezint˘a o aproximat¸ie construit˘a prin metoda celor mai mici p˘atrate dac˘a n X
[F (xk , c1 , . . . , cm ) − yk ]2 =
k=1 n X = inf{ [F (xk , λ1 , . . . , λm ) − yk ]2
:
λ1 , . . . , λm ∈ R}
k=1
Ansamblul format din parametrii (c1 , . . . , cm ) define¸ste un punct de minim al funct¸iei n X Φ(λ1 , . . . , λm ) = [F (xk , λ1 , . . . , λm ) − yk ]2 , k=1
¸si este o solut¸ie a sistemului algebric (condit¸ia necesar˘a de optimalitate) ∂Φ = 0, ∂λi
i = 1, 2, . . . , m.
(7.1)
Studiem cazul liniar. Fie ϕ1 (x), . . . , ϕm (x) funct¸ii liniar independente ¸si F (x, λ1 , . . . , λm ) = λ1 ϕ1 (x) + . . . + λm ϕm (x). 114
115
7.1. DETERMINAREA UNUI POLINOM DE APROXIMARE
ˆIn acest caz, sistemul (7.1) devine un sistem algebric de m ecuat¸ii liniare cu m necunoscute n
X ∂Φ (c1 , . . . , cm ) = 2 [c1 ϕ1 (xk ) + . . . + cm ϕm (xk ) − yk ]ϕi (xk ) = 0, ∂λi
(7.2)
k=1
i = 1, 2, . . . , m. Utilizˆand notat¸iile ai,j =
n X
ϕi (xk )ϕj (xk )
bi =
k=1
n X
yk ϕi (xk )
(7.3)
k=1
sistemul (7.2) se scrie m X
ai,j cj = bi
i = 1, 2, . . . , m.
(7.4)
j=1
Matricea (ai,j )1≤i,j≤m a coeficient¸ilor dat¸i de formula (7.3) se nume¸ste matricea Gram asociat˘a problemei de aproximare prin metoda celor mai mici p˘atrate considerat˘a. Astfel pentru obt¸inerea aproximat¸iei dorite trebuie parcur¸si urm˘atorii pa¸si: 1. Se alege m ∈ N ∗ ¸si funct¸iile liniar independente ϕ1 (x), . . . , ϕm (x). 2. Se calculeaz˘a, conform formulelor (7.3) coeficient¸ii (ai,j )1≤i,j≤m ¸si (bi )1≤i≤m . 3. Se rezolv˘a sistemul algebric de ecuat¸ii liniare (7.4), rezultˆand coeficient¸ii c1 , c2 , . . . , cm . 4. Se formeaz˘a funct¸ia de aproximare F (x, c1 , . . . , cm ) = c1 ϕ1 (x) + . . . + cm ϕm (x). Expresia funct¸iei de aproximare poate fi pus sub o form˘a matriceal˘a. Fie matricele U ¸si Y definite prin ϕ1 (x1 ) ϕ1 (x2 ) . . . ϕ1 (xn ) y1 ϕ2 (x1 ) ϕ2 (x2 ) . . . ϕ2 (xn ) y2 Y = U = ... ... . ... ... ... ϕm (x1 ) ϕm (x2 ) . . . ϕm (xn ) yn Prin calcul direct obt¸inem egalit˘a¸tile matriceale n X U ·U =( ϕi (xk )ϕj (xk ))1≤i,j≤m = (ai,j )1≤i,j≤m T
k=1
116
˘ CAPITOLUL 7. METODA CELOR MAI MICI PATRATE
¸si n X U ·Y =( ϕi (xk )yk )1≤i≤m = (bi )1≤i≤m . k=1
Sistemul (7.4) se poate scrie c1 U · UT · . . . = U · Y ; cm
de unde
c1 . . . = (U · U T )−1 · U · Y, cm
iar expresia funct¸iei de aproximare este ϕ1 (x) F (x) =< (U · U T )−1 · U · Y, . . . >, ϕm (x)
unde prin < ·, · > s-a notat produsul scalar din Rn . Fie vectorii ϕi (x1 ) ϕi (x2 ) ui = i ∈ {1, . . . , m}. ∈ Rn .. . ϕi (xn )
Teorema 7.1.1 Dac˘ a vectorii u1 , . . . , um sunt liniar independent¸i atunci matricea sistemului algebric de ecuat¸ii liniare (7.4) este nesingular˘ a.
Demonstrat¸ie. Aplicˆand vectorilor liniar independent¸i u1 , . . . , um procedeul de ortogonalizare Gram - Schmidt obt¸inem vectorii vi =
m X
αi,p up
i ∈ {1, . . . , m},
p=1
astfel ˆıncˆat < vi , vj >= δi,j , ∀i, j ∈ {1, . . . , m}, unde δi,j reprezint˘a simbolul lui Kronecker. Dar m m X X < vi , vj >=< αi,p up , αi,q uq >= (7.5) p=1
q=1
117
7.2. POLINOM TRIGONOMETRIC DE APROXIMARE
=
m X
αi,p αj,q < up , uq >=
p,q=1
m X
αi,p αj,q ap,q = δi,j ,
∀i, j ∈ {1, . . . , m}.
p,q=1
Fie A = (ai,j )1≤i,j≤m = (< ui , uj >)1≤i,j≤m
¸si
Φ = (αi,j )1≤i,j≤m .
Ansamblul relat¸iilor (7.5) se scrie ΦAΦT = In
(7.6)
de unde deducem c˘a |Φ|2 |A| = 1, adic˘a |A| = 6 0.
7.2
Polinom trigonometric de aproximare construit prin metoda celor mai mici p˘ atrate
Fie C2π spat¸iul liniar al funct¸iilor continue, periodice, cu periada 2π ¸si α0 X Tm = {T (x) = + m(αj cos jx + βj sin jx) : α0 , α1 , . . . , αn , β1 . . . , βm ∈ R} 2 j=1
mult¸imea polinoamelor trigonometrice de grad m. Pentru o funct¸ie f ∈ C2π determin˘am un polinom trigonometric de grad m, a0 X + m(aj cos jx + bj sin jx) T0 (x) = 2 j=1
astfel ˆıncˆat Z
2π 2
Z
[T0 (x) − f (x)] dx = inf{ 0
2π
[T( x) − f (x)]2 dx : T ∈ Tm }.
0
Notˆand Z F (α0 , α1 , . . . , αm , β1 . . . , βm ) =
2π
[T( x) − f (x)]2 dx,
0
condit¸iile de optimalitate sunt ∂F =0 α0
∂F =0 αk
∂F =0 βk
k ∈ {1, . . . , m}.
Calculˆand derivatele,obt¸inem ecuat¸iile: R 2π α0 Pm ∂F ∂α0 = 2 R0 [ 2 + Pj=1 (αj cos jx + βj sin jx)]dx = 0; 2π α0 m ∂F j=1 (αj cos jx + βj sin jx)] cos kxdx = 0; ∂αk = 2 R 0 [ 2 + P 2π α0 m ∂F j=1 (αj cos jx + βj sin jx)] sin kxdx = 0; ∂βk = 2 0 [ 2 +
118
˘ CAPITOLUL 7. METODA CELOR MAI MICI PATRATE
Deorece Z
2π
Z sin jxdx =
0
2π
Z cos jxdx =
0
Z
2π
2π
Z
cos jx cos kxdx = 0
0
rezult˘a 2 a0 = π 2 π
Z
2π
f (x) cos kxdx 0
sin kx cos jxdx = 0, 0
sin jx sin kxdx =
ak =
2π
bk =
Z
π δj,k 2
2π
f (x)dx, 0
2 π
Z
2π
f (x) sin kxdx
k ∈ {1, . . . , m}.
0
Astfel polinomul trigonometric de aproximare construit prin metoda celor mai mici p˘atrate coincide cu polinomul trigonometric ce rezult˘a ˆın urma trunchierii seriei Fourier ata¸sat funct¸iei f .
Probleme ¸si teme de seminar P 7.1 Fie f ∈ L2 [0, 1]. S˘ a se determine polinomul de grad m care aproximeaz˘ a prin metoda celor mai mici p˘ atrate funct¸ia f, ˆın intervalul [0, 1], cu norma din L2 [0, 1]. S˘ a se pun˘ a ˆın evident¸˘ a matricea Gram corespunz˘ atoare – numit˘ a matrice Hilbert.
Capitolul 8
Interpolare prin polinoame trigonometrice Se nume¸ste polinom trigonometric de grad m o funct¸ie de forma m
t(x) =
a0 X + (aj cos jx + bj sin jx). 2 j=1
Fie C2π spat¸iul liniar al funct¸iilor continue, periodice, cu periada 2π. ˆIn capitolul Metoda celor mai mici p˘ atrate s-au determinat coeficient¸ii polinomului trigonometric de grad m care aproximeaz˘a cel mai bine, ˆın sensul celor mai mici p˘atrate, o funct¸ie f ∈ C2π . Coeficient¸ii obt¸inut¸i coincid cu coefient¸ii dezvolt˘arii Fourier ata¸sat˘a funct¸iei f .
8.1
O problem˘ a de interpolare trigonometric˘ a
Vom rezolva urm˘atoarea problem˘a particular˘a de interpolare: Dac˘a n este un num˘ar natural par n = 2m ¸si y0 , y1 , . . . , yn−1 sunt numere reale date se cere s˘a se determine polinomul trigonometric de grad m t(x) =
m−1 a0 X am + (aj cos jx + bj sin jx) + cos mx, 2 2 j=1
care ˆındepline¸ste condit¸iile de interpolare t(k
2π ) = yk n
∀k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
(8.1)
Cele n condit¸ii de interpolare formeaz˘a un sistem algebric de ecuat¸ii liniare cu necunoscutele a0 , a1 , . . . , am−1 , am , b1 , . . . , bm−1 . 119
120
CAPITOLUL 8. POLINOAME TRIGONOMETRICE
Datorit˘a formulelor cos x =
eix + e−ix 2
sin x =
eix − e−ix 2i
polinomul trigonometric t(x) devine t(x) =
m−1 eijx − e−ijx a0 X eijx + e−ijx 1 am eimx + e−imx + + bj )+ = (aj 2 2 2i 2 2 2 j=1
m−1 m−1 am −imx X aj + ibj −ijx a0 X aj − ibj ijx am imx = e + e + + e + e . 4 2 2 2 4 j=1
j=1
a −ib
a +ib
Notˆand c−m = cm = a2m , cj = j 2 j , c−j = j 2 j , j ∈ {1, 2, . . . , m − 2}, c0 = ¸si eix = z expresia polinomului trigonometric se transform˘a ˆın c−m −m t(x) = ϕ(z) = z + 2
m−1 X
cj z j +
j=−m+1
a0 2
cm m z , 2
iar condit¸iile de interpolare (8.1) devin t(k
2π 2π ) = ϕ(eik n ) = yk , n
∀k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
(8.2)
2π
2π
Dac˘a w = ei n atunci eik n = wk . Deoarece w−mk = wmk = (−1)k ¸si c−m = cm condit¸iile de interpolare (8.2) devin m X
cj wjk = yk
∀k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
j=−m+1
ˆInmult¸im fiecare ecuat¸ie, respectiv cu w−kp , k = 0, 1, . . . , n − 1; p ∈ {−m + 1, . . . , m} ¸si adunˆand egalit˘a¸tile astfel obt¸inute, g˘asim n−1 X
j=−m+1
k=0
ˆIntrucˆat
n−1 X k=0
m X
yk w−kp =
w
k(j−p)
=
n 0
cj
n−1 X
wk(j−p) .
(8.3)
k=0
dac˘a j = p dac˘a j 6= p
(8.4)
din (8.3 rezult˘a n−1
1X cp = yk w−kp , n k=0
(8.5)
121
8.2. CALCULUL COEFICIENT ¸ ILOR FOURIER
de unde, ˆın final obt¸inem ap = 2
1 1X ϕ(z) = ( yj wjm )z −m + 2 n j=0
m−1 X
(
k=−m+1
p = 0, 1, . . . , m.
n−1
n−1
j=0
j=0
1 1X 1X yj w−jk )z k + ( yj w−jm )z m = n 2 n
# n−1 m−1 m−1 X z 1X 1 wj m X wj k 1 z = yj ( ) + ( ) +1+ ( j )k + ( j )m . n 2 z z w 2 w "
j=0
k=1
k=1
T ¸ inˆand seama de identitatea 1 1 1 1 m (a2m − 1)(a + 1) m−1 + + . . . + + 1 + a + . . . + a + a = , 2am am−1 a 2 2am (a − 1) pentru a =
z wj
= ei(x−xj ) , expresia parantezei p˘atrate devine
x − xj x − xj ei(x−xj ) + 1 ei2m(x−xj ) − 1 = cot sin m(x − xj ) = (−1)j sin mx cot . i(x−x ) im(x−x ) j j 2 2 e − 1 2e Astfel, polinomul trigonometric de interpolare este n−1
t(x) =
x − xj sin mx X (−1)j yj cot . n 2 j=0
8.2
Calculul coeficient¸ilor Fourier
Dac˘a f ∈ C2π atunci are loc dezvoltarea ˆın serie Fourier ∞
f (x) =
a0 X (ak cos kx + bk sin kx) + 2
(8.6)
k=1
avˆand coeficient¸ii Z 1 2π a0 = f (x)dx π 0
1 ak = π
Z
2π
f (x) cos kxdx 0
1 bk = π
Z
2π
f (x) sin kxdx 0
pentru k ∈ N ∗ . Atunci ak − ibk 1 ck = = 2 2π
Z
2π
f (x)e−ikx dx,
0
integral˘a pe care o aproxim˘am prin formula trapezelor. Dac˘a n ∈ N ∗ este parametrul de discretizare atunci se obt¸ine n−1
X 2π 2π 1 2π ck ≈ [f (0) + 2 f ( j)e−ik( n j) + f (2π)e−ik2π ]. 2π 2n n j=1
122
CAPITOLUL 8. POLINOAME TRIGONOMETRICE
Datorit˘a periodicit˘a¸tii funct¸iilor f ¸si ez , din relat¸ia de mai sus deducem n−1
n−1
j=0
j=0
1 X 2π −ik( 2π j) 1 X 2π n ck ≈ f ( j)e = f ( j)w−jk . n n n n
(8.7)
Se observ˘a c˘a membrul drept din (8.7) coincide cu formula coeficient¸ilor polinomului trigonometric de interpolare a funct¸iei f (8.5). Prin urmare, calculˆand primii m termeni a dezvolt˘arii Fourier (8.6) cu ajutorul formulei trapezelor – cu parametrul de discretizare n = 2m – obt¸inem totodat˘a ¸si coeficient¸ii polinomul trigonometric de interpolare a funct¸iei, ˆın nodurile 2π n j, 0 ≤ j ≤ n − 1.
Probleme ¸si teme de seminar 2π P 8.1 Fie n ∈ N ¸si xj = 2n+1 j, j ∈ {0, 1, . . . , 2n}. S˘ a se arate c˘ a polinomul trigonometric de interpolare
t(x) = a0 +
n X
(ak cos kx + bk sin kx)
k=1
care satisface condit¸iile t(xj ) = yj ∀j ∈ {0, 1, . . . , 2n} este 2n
1 X sin (2n + 1) t(x) = yj x−xj 2n + 1 sin j=0
x−xj 2
.
2
Indicat¸ie. Forma complex˘a a polinomului trigonometric este t(x) = a0 +
n X eikx + e−ikx eikx − e−ikx ( ak + bk ) = 2 2i k=1
= a0 +
n X k=1
ak −ibk , 2
n X ak − ibk ikx ak + ibk −ikx ( e + e )= ck eikx , 2 2 k=−n
ak +ibk , 2
unde ck = c−k = pentru k ∈ {1, 2, . . . , n} ¸si c0 = a0 . Condit¸iile de interpolare se scriu t(xj ) =
n X
ck eikxj = yj ,
∀j ∈ {0, 1, . . . , 2n}.
k=−n
ˆInmult¸ind egalitatea j cu e−ipxj ¸si adunˆand, pentru j ∈ {0, 1, . . . , 2n} obt¸inem 2n X j=0
−ipxj
yj e
=
n X k=−n
ck
2n X j=0
2π
ei 2n+1 j(k−p) = (2n + 1)cp ,
123
8.2. CALCULUL COEFICIENT ¸ ILOR FOURIER
1 P2n −ipxj . de unde g˘asim cp = 2n+1 j=0 yj e Expresia polinomului trigonometri de interpolare devine n 2n n 2n X X X 1 1 X −ikxj ikx ( yj eik(x−xj ) . t(x) = yj e )e = 2n + 1 2n + 1 j=0
k=−n j=0
k=−n
T ¸ inˆand seama de egalit˘a¸tile n X
ika
e
=1+2
k=−n
n X k=1
sin (n + 21 )a cos ka = sin a2
se obt¸ine rezultatul dorit. 2π P 8.2 Dac˘ a xj = cos 2n+1 j, j ∈ {0, 1, . . . , n}, s˘ a se arate c˘ a
L(Pn ; x0 , . . . , xn ; f )(x) = A0 + 2
n X
Ak Tk (x),
k=1 1 unde Ak = 2n+1 [f (1) + 2 nomul lui Cebˆ a¸sev.
Pn
j=0 f (xj )Tk (xj )]
iar Tj (x) = cos(j arccos x) este poli-
2π Indicat¸ie. Notˆand τj = 2n+1 j, j ∈ {0, 1, . . . , }, polinomul trigonometric de interpolare care satisface condit¸iile t(τj ) = f (cos τj ) = f (xj ) = fj , ∀j ∈ {0, 1, . . . , 2n} este n n X X t(x) = ck eikx = a0 + (ak cos kx + bk sin kx) (8.8) k=−n
cu ck =
1 2n+1
P2n
−ikτj , j=0 yj e
k=1
k ∈ {−n, −n + 1, . . . , n}. Atunci c0 = a0 ¸si 2n
ck =
ak − ibk 1 X = fj (cos kτj − i sin kτj ), 2 2n + 1 j=0
de unde 2n
ak =
2 X fj cos kτj 2n + 1 j=0 2n
bk =
2 X fj sin kτj . 2n + 1 j=0
k ∈ {1, . . . , n},
124
CAPITOLUL 8. POLINOAME TRIGONOMETRICE
(k)
Notˆand αj (k)
(k)
= f (cos τJ ) cos kτj , βj
(k)
(k)
αj , β2n1 −j = −βj
(k)
= f (cos τJ ) sin kτj , ˆın baza egalit˘a¸tilor α2n1 −j =
obt¸inem n
X 2 (f (1) + 2 f (xj ) cos kτj ) = 2n + 1
ak =
j=1
n
X 2 (f (1) + 2 = f (xj )Tk (xj )) = 2Ak 2n + 1 j=1
bk = 0 ¸si 2n
n
j=0
j=0
X 1 1 X fj = (f (1) + 2 a0 = c0 = fj ) = A0 . 2n + 1 2n + 1 Prin schimbarea de variabil˘a cos τ = x, membrul drept din (8.8) devine a0 +
n X
ak cos (k arccos x) = A0 + 2
k=1
n X
Ak Tk (x)
k=1
care este un polinom de grad n. Unicitatea polinomului de interpolare ˆın mult¸imea polinoamelor de grad cel mult n implic˘a egalitatea cerut˘a. P 8.3 S˘ a se arate c˘ a funct¸iile 1, cos x, cos 2x, . . . , cos nx, sin x, sin 2x, . . . , sin nx formeaz˘ a un sistem Cebˆ a¸sev ˆın intervalul (π, π]. P 8.4 (Polinomul de interpolare trigonometric Lagrange-Gauss) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a −π < x0 < x1 < . . . < x2n ≤ π ¸si y0 , y1 , . . . , y2n ∈ R atunci polinomul trigonometric de grad n care satisface condit¸iile de interpolare t(xj ) = yj , ∀j ∈ {0, 1, . . . , 2n} este
t(x) =
2n X j=0
yj
x−xj−1 2 xj −xj−1 2
0 sin x−x 2 . . . sin
sin
xj −x0 2
. . . sin
sin sin
x−xj+1 2n . . . sin x−x 2 2 xj −xj+1 x −x . . . sin j 2 2n 2
2n
=
1 X yj u(x) . 0 2 u (xj ) sin x−xj j=0
2
=
125
8.2. CALCULUL COEFICIENT ¸ ILOR FOURIER
P 8.5 Fie f ∈ C2π o funct¸ie par˘ a ¸si 0 ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ π. S˘ a se arate c˘ a polinomul trigonometric de grad n care satisface condit¸iile de interpolare t(xj ) = f (xj ), ∀j ∈ {0, 1, . . . , n} este t(x) =
n X
f (xj )·
j=0
·
(cos x − cos x0 ) . . . (cos x − cos xj−1 )(cos x − cos xj+1 ) . . . (cos x − cos xn ) . (cos xj − cos x0 ) . . . (cos xj − cos xj−1 )(cos xj − cos xj+1 ) . . . (cos xj − cos xn )
P 8.6 Fie f ∈ C2π o funct¸ie impar˘ a ¸si 0 < x0 < x1 < . . . < xn ≤ π. S˘ a se arate c˘ a polinomul trigonometric de grad n care satisface condit¸iile de interpolare t(xj ) = f (xj ), ∀j ∈ {1, . . . , n} este t(x) =
n X
f (xj )·
j=1
·
(cos x − cos x0 ) . . . (cos x − cos xj−1 )(cos x − cos xj+1 ) . . . (cos x − cos xn ) sin x . (cos xj − cos x0 ) . . . (cos xj − cos xj−1 )(cos xj − cos xj+1 ) . . . (cos xj − cos xn ) sin xj
Capitolul 9
Transformarea Fourier discret˘ a Not˘am prin Cn mult¸imea ¸sirurilor de numere complexe, periodice cu perioada n: Cn = {x = (xk )k∈Z : xk ∈ C, xk = xk+n , ∀k ∈ Z}. Un ¸sir x ∈ Cn este determinat de elementele x0 , x1 , . . . , xn−1 , restul elementelor se obt¸in prin periodicitate. Se va folosi notat¸ia x = (xk )0≤k≤n−1 ∈ Cn .
9.1
Transformata Fourier discret˘ a
Transformarea Fourier discret˘a este un operator liniar F : Cn → Cn definit prin y = F (x), x = (xk )0≤k≤n−1 y = (yk )0≤k≤n−1 yk =
n−1 X
xj w−kj
0 ≤ k ≤ n − 1,
(9.1)
j=0 2π
unde w = ei n . S¸irul y se nume¸ste transformata Fourier discret˘a a ¸sirului x. Transforma Fourier discret˘ a invers˘ a. Presupunem c˘a ˆın relat¸iile (9.1) este cunoscut˘a transformata Fourier discret˘a (¸sirul imagine) y = (yk )0≤k≤n−1 ¸si vom determina ¸sirul original x = (xk )0≤k≤n−1 . ˆInmult¸ind relat¸iile (9.1), respectiv cu wkp , k = 0, 1, . . . , n − 1 ¸si adunˆand obt¸inem n−1 n−1 X X n−1 X yk wkp = xj wk(p−j) k=0
j=0
k=0
¸si folosind (8.4) rezult˘a n−1
1X xp = yk wkp . n k=0
126
127
˘ 9.1. TRANSFORMATA FOURIER DISCRETA
Teorema 9.1.1 Dac˘ a n = 2m ¸si x = (xj )j∈Z este un ¸sir periodic, cu perioada n, de numere reale, atunci yn−k = y k , k ∈ {0, . . . , n − 1}, unde y = Fn (x) = (yk )j∈Z ¸si y k este conjugatul lui yk . Demonstrat¸ie. Fie k ∈ {0, 1, . . . , n2 }. Atunci yn−k =
n−1 X
xj w−(n−k)j =
j=0
n−1 X
xj wkj = y k .
j=0
Astfel transformata Fourier discret˘a a unui ¸sir de numere reale x = (xj )j∈Z cu periada n = 2m este definit de n2 +1 = 2m−1 +1 numere complexe {y0 , y1 , . . . , y n2 }. Teorema 9.1.2 Dac˘ a x = (xk )k∈Z ¸si y = (yk )k∈Z sunt dou˘ a ¸siruri din Cn avˆ and transformatele Fourier discrete ¸sirurile X = (Xk )k∈Z = Fn (x) ¸si respectiv Y = (Yk )k∈Z atunci au loc egalit˘ a¸tile Pn−1
xk y k = Pk=0 n−1 2 k=0 |xk | =
Pn−1
Xk Y k , Pk=0 n−1 2 k=0 |Xk | .
Demonstrat¸ie. Prima relat¸ie rezult˘a din n−1 X k=0
Xk Y k =
n−1 X k=0
Xk
n−1
n−1
n−1
n−1
j=0
j=0
k=0
j=0
X 1X 1X X y j wjk = yj Xk wjk = xj y j . n n
A doua relat¸ie rezult˘a din prima pentru y = x. Produsul de convolut¸ie.1 Dac˘a x, y ∈ Cn atunci produsul lor de convolut¸ie z = x ∗ y este ¸sirul z = (zk )k∈Z definit prin zk =
n−1 X
xj yk−j
∀k ∈ Z.
j=0
Legat de produsul de convolut¸ie au loc urm˘atoarele propriet˘a¸ti ale transform˘arii Fourier discret˘a Teorema 9.1.3 Au loc egalit˘ a¸tile: 1. F (x ∗ y) = F (x) · F (y); 2. F −1 (x ∗ y) = nF −1 (x) · F −1 (y); 1
A nu se confunda cu cu not¸iunea omonim˘ a definit¸˘ a la transformarea z, Cap. 1.
128
˘ CAPITOLUL 9. TRANSFORMAREA FOURIER DISCRETA
3. F (x) ∗ F (y) = nF (x · y). Demonstrat¸ie. Fie x = (xk )k∈Z , y = (yk )k∈Z ∈ Cn . 1. Dac˘a F (x) = X = (Xk )k∈Z F (y) = Y = (Yk )k∈Z , u = x ∗ y = (uk )k∈Z F (u) = U = (Uk )k∈Z . atunci au loc egalit˘a¸tile Uk =
n−1 X
uj w−kj =
n−1 X n−1 X
(
xs yj−s )w−kj =
j=0 s=0
j=0
n−1 X
xs w−sk
s=0
n−1 X
yj−s w−k(j−s) .
j=0
Prin schimbarea de indice l = j − s suma interioar˘a devine n−1 X
yj−s w−k(j−s) =
n−1−s X
j=0
yl w−kl =
l=−s
−1 X
yl w−kl +
n−1−s X
l=−s
yl w−kl .
l=0
T ¸ inˆand seama de periodicitatea ¸sirului y ¸si de definit¸ia lui w −1 X
yl w−kl =
l=−s
A¸sadar
Pn−1 j=0
−1 X
yl+n w−k(l+n) =
l=−s
yj−s w−k(j−s) = Uk =
Pn−1
n−1 X
l=0
xs w
yl w−kl .
l=n−s
yl w−kl ¸si ˆın consecint¸˘a
−sk
s=0
n−1 X
n−1 X
yl w−kl = Xk · Yk .
l=0
2. Procedˆand asem˘anator, dac˘a F −1 (x) = X = (Xk )k∈Z F −1 (y) = Y = (Yk )k∈Z , u = x ∗ y = (uk )k∈Z F −1 (u) = U = (Uk )k∈Z . atunci au loc egalit˘a¸tile Uk =
n−1
n−1 n−1
n−1
n−1
j=0
j=0 s=0
s=0
j=0
X 1X X 1X 1X uj wkj = ( xs yj−s )wkj = xs wsk yj−s wk(j−s) = n n n
= n(
n−1
n−1
s=0
l=0
1X 1X xs wsk )( yl wkl ) = nXk · Yk . n n
3. Dac˘a F (x) = X = (Xk )k∈Z F (y) = Y = (Yk )k∈Z , u = xy = (xk yk )k∈Z F (u) = U = (Uk )k∈Z .
129
˘ ˘ RAPIDA ˘ 9.2. ALGORITMUL TRANSFORMARII FOURIER DISCRETA
atunci au loc egalit˘a¸tile (X ∗ Y )k =
n−1 X
Xj Yk−j =
n−1 X n−1 X
(
xs w−js )Yk−j =
j=0 s=0
j=0
n−1 X
xs w−sk
s=0
n−1 X
Yk−j ws(k−j) .
j=0
Prin schimbarea de indice l = k − j suma interioar˘a devine n−1 X
k X
Yk−j ws(k−j) =
j=0
−1 X
Yl wsl =
l=k+1−n
Yl wsl +
l=k+1−n
k X
Yl wsl .
l=0
T ¸ inˆand seama de periodicitatea ¸sirului Y ¸si de definit¸ia lui w −1 X
Yl w =
l=k+1−n
A¸sadar
Pn−1 j=0
−1 X
sl
Yl+n w
=
l=k+1−n
Yk−j ws(k−j) = (X ∗ Y )k = n
Pn−1 l=0
n−1 X
n−1 X
Yl wsl .
l=k+1
Yl wsl = nys ¸si ˆın consecint¸˘a
xs yy w−sk = n
s=0
9.2
s(l+n)
n−1 X
us w−sk = nUk .
s=0
Algoritmul transform˘ arii Fourier discret˘ a rapid˘ a
Fie n = 2m ¸si pentru simplificarea expunerii alegem m = 3. Dac˘a k, j ∈ {0, 1, . . . , 2m − 1 = 7} atunci au loc reprezent˘arile k = k2 22 + k1 2 + k0 , j = j2 22 + j1 2 + j0 unde k0 , k1 , k2 , j0 , j1 , j2 sunt cifre binare. Folosim notat¸iile yk = y(k2 , k1 , k0 ) ¸si xj = x(j2 , j1 , j0 ). Transformarea Fourier discret˘a a ¸sirului x devine yk = y(k2 , k1 , k0 ) =
7 X
xj w
−kj
j=0
=
1 X
w−kj0
j0 =0
=
1 X 1 X 1 X
w−k(j2 2
2 +j 2+j ) 1 0
x(j2 , j1 , j0 ) =
j0 =0 j1 =0 j2 =0 1 X
w−2kj1
j1 =0
1 X
xj w−2
2 kj 2
x(j2 , j1 , j0 ).
j2 =0
2
Observˆand c˘a w−2 kj2 = w−4k0 j2 , w−2kj1 = w−2(2k1 +k0 )j1 , w−kj0 = w−(4k2 +2k1 +k0 )j0 suma interioar˘a este 1 X j2 =0
x(j2 , j1 , j0 )w
−22 kj2
=
1 X j2 =0
x(j2 , j1 , j0 )w−4k0 j2 = x1 (k0 , j1 , j0 ).
130
˘ CAPITOLUL 9. TRANSFORMAREA FOURIER DISCRETA
Rezult˘a yk = y(k2 , k1 , k0 ) =
1 X
w−kj0
j0 =0
Dac˘a not˘am x2 (k0 , k1 , j0 ) = avem
1 X
w−2(2k1 +k0 )j1 x1 (k0 , j1 , j0 ).
j1 =0
P1
j1 =0 w
yk = y(k2 , k1 , k0 ) =
−2(2k1 +k0 )j1 x (k , j , j ) 1 0 1 0
1 X
atunci, ˆın final,
w−kj0 x2 (k0 , k1 , j0 ) =
j0 =0
=
1 X
w−(4k2 +2k1 +k0 )j0 x2 (k0 , k1 , j0 ) = x3 (k0 , k1 , k2 ).
j0 =0
ˆIn consecint¸˘a, pentru calculul transform˘arii Fourier discret˘a, ˆın loc s˘a calcul˘am succesiv elementele ¸sirului y = (yk )k , calcul˘am coloanele tabelului x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
= x(0, 0, 0) = x(0, 0, 1) = x(0, 1, 0) = x(0, 1, 1) = x(1, 0, 0) = x(1, 0, 1) = x(1, 1, 0) = x(1, 1, 1)
x1 (0, 0, 0) x1 (0, 0, 1) x1 (0, 1, 0) x1 (0, 1, 1) x1 (1, 0, 0) x1 (1, 0, 1) x1 (1, 1, 0) x1 (1, 1, 1)
x2 (0, 0, 0) x2 (0, 0, 1) x2 (0, 1, 0) x2 (0, 1, 1) x2 (1, 0, 0) x2 (1, 0, 1) x2 (1, 1, 0) x2 (1, 1, 1)
x3 (0, 0, 0) = x3 (0, 0, 1) = x3 (0, 1, 0) = x3 (0, 1, 1) = x3 (1, 0, 0) = x3 (1, 0, 1) = x3 (1, 1, 0) = x3 (1, 1, 1) =
y(0, 0, 0) = y0 y(1, 0, 0) = y4 y(0, 1, 0) = y2 y(1, 1, 0) = y6 y(0, 0, 1) = y1 y(1, 0, 1) = y5 y(0, 1, 1) = y3 y(1, 1, 1) = y7
Astfel numarul adun˘arilor efectuate este 8 · 3 sau nm = n log2 n, ˆın cazul general, fat¸˘a de 8·8, respectiv n2 , adun˘ari necesare calcul˘arii succesive a elementelor ¸sirului y.
9.3 9.3.1
Aplicat¸ii ale transformatei Fourier discret˘ a Calculul coeficient¸ilor Fourier
Fie f : R → R o funct¸ie continu˘a ¸si periodic˘a de perioad˘a 2π(f ∈ C2π ). Atunci are loc dezvoltarea ˆın serie Fourier ∞
f (x) =
a0 X + (ak cos kx + bk sin kx) 2 k=1
avˆand coeficient¸ii Z 1 2π a0 = f (x)dx π 0
1 ak = π
Z
2π
f (x) cos kxdx 0
1 bk = π
Z
2π
f (x) sin kxdx 0
131
˘ 9.3. APLICAT ¸ II ALE TRANSFORMATEI FOURIER DISCRETA
pentru k ∈ N ∗ . ˆIn capitolul Interpolare prin polinoame trigonometrice s-au calculat coeficient¸ii Fourier cu ajutorul formulei trapezelor. Utilizˆand rezultatul obt¸inut (8.7) avem ak − ibk 1 ck = = 2 2π
≈
Z
2π
f (x)e−ikx dx ≈
0
n−1
n−1
j=0
j=0
1 X 2π −ik( 2π j) 1 X 2π n f ( j)e = f ( j)w−jk . n n n n 1 n Fn (y),
Astfel, ¸sirul c = (ck )0≤k≤n−1 este aproximat de yj = f ( 2π n j).
9.3.2
unde y = (yj )0≤j≤n−1 ,
Calculul coeficient¸ilor Laurent
Dac˘a f este o funct¸ie olomorf˘a ˆın discul unitate avˆand pe 0 ca punct singular izolat, atunci are loc dezvoltarea Laurent f (z) =
X
ak z k
k∈Z
unde ak =
1 2πi
Z |ζ|=1
f (ζ) 1 dζ = 2π ζ k+1
Z
2π
f (eix )e−ikx dx.
0
Calculˆand integrala de mai sus cu formula trapezelor deducem n−1
X 2π 2π 1 2π ak ≈ [f (1) + 2 f (ei n j )e−ik( n j) + f (ei2π )e−ik2π ]. 2π 2n j=1
Periodicitatea funct¸iei ez implic˘a n−1
n−1
j=0
j=0
2π 2π 2π 1X 1X ak ≈ f (ei n j )e−ik( n j) = f (ei n j )w−jk . n n
(9.2)
Prin urmare, ¸sirul a = (ak )0≤k≤n−1 este aproximat de n1 Fn (y), unde y = (yj )0≤j≤n−1 , yj = 2π f (ei n j ). Partea principal˘a a dezvolt˘arii Laurent a fuct¸iei f (z) calculat˘a este a−1 = an−1 , a−2 = an−2 , . . . , a−(n−1) = a1 .
132
˘ CAPITOLUL 9. TRANSFORMAREA FOURIER DISCRETA
9.3.3
Determinarea funct¸iei analitice cunoscˆ and partea real˘ a
Fie D ⊂ C un domeniu care cont¸ine discul unitate ¸si u(x, y) partea real˘ a a unei funct¸ii analitice f (z), z = x + iy. Se cere determinarea p˘art¸ii imaginare v(x, y) a lui f (z), cu v(0, 0) = 0. Definim α(t) = u(cos t, sin t) = u(eit ) ¸si dac˘a dezvoltarea Fourier a funct¸iei α(t) este ∞ a0 X α(t) = + (ak cos kx + bk sin kx) = 2 k=1
a0 + 2
= a0 + 2
∞ X
(
k=1
∞ X
(ak
k=1
eikt − e−ikt eikt + e−ikt + bk )= 2 2i
X ak − ibk ikt ak + ibk −ikt e + e )= ck eikt , 2 2 k∈Z
∗ k ck = ak −ib 2 P, c−k = ck , k ∈ N . k ˆ ar, = c0 + 2 ∞ k=1 z . Intr-adev˘
a0 2
cu c0 = ∈ R, Atunci f (z) g˘asim
din f (eit ) = c0 + 2
∞
∞
k=1 ∞ X
k=1 ∞ X
P∞
ikt k=1 ck e
X X f (eit ) + f (eit )
= c0 +
∞ X
ck eikt +
k=1
∞ X
c−k e−ikt = c0 +
k=1
ck eikt +
k=1
ck e−ikt = α(t).
k=1
Restrict¸ia p˘art¸ii imaginare la cercul unitate este ∞ ∞ X 1 X f (eit ) − f (eit ) ikt = ( ck e − ck e−ikt ) = β(t) = v(e ) = =f (e ) = 2i i it
it
k=1
= −i
∞ X k=1
ck eikt −
∞ X k=1
c−k e−ikt = −i
∞ X
k=1
(ak sin kt − bk cos kt).
k=1
Astfel coeficient¸ii Fourier a funct¸iei β(t) sunt dac˘a k > 0 −ick 0 dac˘a k = 0 dk = ick = ic−k dac˘a k < 0
(9.3)
Operatorul α(t) → β(t) se nume¸ste operatorul de conjugare. Expresia integral˘a a acestui operator este Z 2π 1 t−s β(t) = K(α)(t) = α(s) cot ds 2π 0 2 Metoda numeric˘a pentru calculul funct¸iei β const˘a din
133
˘ 9.3. APLICAT ¸ II ALE TRANSFORMATEI FOURIER DISCRETA
1. Se fixeaz˘a un num˘ar natural par n = 2m, m ∈ N ∗ . 2. Se calculeaz˘a coeficient¸ii Fourier c = (ck )0≤k≤n−1 a funct¸iei α(t). Utilizˆand metoda dezvoltat˘a mai sus, c=
1 Fn (α) n
unde α = (α( 2πk n ))0≤k≤n−1 . 3. Utilizˆand relat¸iile (9.3) se construie¸ste vectorul coeficient¸ilor Fourier a funct¸iei β(t) d = (0, −ic1 , . . . , −icm−1 , icm−1 , . . . , ic1 ) 4. Se calculeaz˘a valorile funct¸iei β(t) ˆın punctele β = (β(
9.3.4
2πk n ,
k ∈ {0, 1, . . . , n − 1},
2πk ))0≤k≤n−1 = nFn−1 (d). n
Calculul integralei Cauchy
Fie Γ = {z ∈ C : |z| = 1} ¸si funct¸ia h : Γ → C. Not˘am prin f : C → C funct¸ia definit˘a prin Z 1 h(z) f (z) = dζ, (9.4) 2πi Γ ζ − z numit˘a integrala Cauchy. Prin schimbarea de variabil˘a ζ = eit , integrala din (9.4) devine Z 2π 1 h(eit ) f (z) = (9.5) dt. 2π 0 1 − ze−it Dac˘a |z| < 1 atunci are loc dezvoltarea ∞
X 1 = z j e−ijt 1 − ze−it j=0
¸si (9.5) devine Z ∞ ∞ X 1 X j 2π f (z) = z h(eit )e−ijt dt = cj z j , 2π 0 j=0
j=0
R 2π 1 it −ijt dt. unde cj = 2π 0 h(e )e Folosim formula trapezelor pentru calculul lui cj . Dac˘a n ∈ N∗ este parametrul metodei trapezelor, atunci g˘asim " # n−1 X 2π 2π 1 2π cj ≈ h(1) + 2 h(ei n k )e−ij n k + h(1)e−ij2π = 2π 2n k=1
134
˘ CAPITOLUL 9. TRANSFORMAREA FOURIER DISCRETA
n−1
=
2π 1X h(ei n k )w−jk , n
k=0
adic˘a secvent¸a (c0 , c1 , . . . , cn−1 ) este aproximat˘a de d = n1 Fn (ϕ), cu ϕ = (ϕj )0≤j≤n−1 , ϕj = 2π h(ei n j ). ˆIn final f (z) ≈ Pn−1 dj z j . j=0
Probleme ¸si teme de seminar P 9.1 Corelat¸a a dou˘ a ¸siruri x, y ∈ Cn se define¸ste prin n−1
xˆ∗y = z ∈ Cn cu zk =
1X xj yk+j , z = (zk )0≤k≤n−1 . n j=0
S˘ a se demonstreze egalit˘ a¸tile 1. Fn (xˆ∗y) = n1 Fn (x)Fn (y); 2. Fn−1 (xˆ∗y) = n1 Fn−1 (x)Fn (y); 3. Fn (x)ˆ∗Fn (y) = Fn (xy); P 9.2 Rezolvarea unei ecuat¸ii integrale Fredholm de spet¸a a doua cu nucleu convolutiv.
Indicat¸ie. Fie ecuat¸ia integral˘a Fredholm de spet¸a a doua Z b x(t) + N (t − s)x(s)ds = f (t), t ∈ [a, b],
(9.6)
a
unde N (t), f (t) sunt funct¸ii continue, date iar x(t) este funct¸ia necunoscut˘ a. Forma nucleului N (t − s) atribuie ecuat¸iei atributul de convolutiv. 1 Fie n ∈ N ∗ . Introducem notat¸iile: h = b−a n , tk = a+kh, tk+1/2 = a+(k+ 2 )h. Ecuat¸ia (9.6) se mai scrie x(t) +
n−1 X Z tk+1 k=0
N (t − s)x(s)ds = f (t),
t ∈ [a, b],
tk
¸si utilizˆand formula de integrare numeric˘a a dreptunghiului cu neglijarea restului, g˘asim n−1 X u(t) + h N (t − tk+1/2 )u(tk+1/2 ) = f (t). k=0
135
˘ 9.3. APLICAT ¸ II ALE TRANSFORMATEI FOURIER DISCRETA
Neglijarea restului a impus renotarea funct¸iei necunoscute prin u(t). Dac˘a uk+1/2 = u(tk+1/2 ) atunci atribuind lui t, succesiv valorile tj+1/2 obt¸inem sistemul algebric de ecuat¸ii liniare uj+1/2 + h
n−1 X
N ((j − k)h)uk+1/2 = f (tj+1/2 ),
j ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. (9.7)
k=0
Rezolvarea sistemului algebric (9.7) se poate face cu ajutorul transform˘arii Fourier discrete. ˆIn acest scop, definim ¸sirurile z = (zk )0≤k≤n−1 zk = uk+1/2 , ϕ = (ϕk )0≤k≤n−1 ϕk = fk+1/2 , ξ = (ξk )0≤k≤n−1 ξk = N (kh). Sistemul (9.7) se rescrie prin zj + h
n−1 X
zk ξj−k = ϕj ,
j ∈ {0, 1, . . . , n − 1},
k=0
sau z + h z ∗ ξ = ϕ. Aplicˆand transformarea Fourier discret˘a Fn deducem Fn (z) + hFn (z)Fn (ξ) = Fn (ϕ). Rezult˘a c˘a z = Fn−1 (w)
unde
w = (wk )0≤k≤n−1 , wk =
Fn (ϕ)k . 1 + hFn (ξ)k
Capitolul 10
Funct¸ii spline cubice O funct¸ie spline se poate defini ca o funct¸ie care este polinomial˘a pe fiecare interval [xi , xi+1 ] al unei diviziuni x0 < x1 < . . . < xn ¸si care, ˆın plus, are un anumit ordin de ”netezime” (adic˘a este continu˘a sau derivabil˘a de un anumit ordin, cu derivata corespunz˘atoare continu˘a. Fiind date diviziunea 4 : x0 < x1 < . . . < xn , mult¸imea S4 a funct¸iilor spline cubice este definit˘a prin S4 = {s ∈ C 2
10.1
:
s |[xi−1 ,xi ] ∈ P3 ,
1 ≤ i ≤ n}.
Interpolare cu funct¸ii spline cubice
Fiind date diviziunea 4 : x0 < x1 < . . . < xn ¸si numerele reale y0 , y1 , . . . , yn ne propunem s˘a determin˘am funct¸iile s ∈ S4 care ˆındeplinesc condit¸iile de interpolare s(xi ) = yi , i ∈ {0, 1, . . . , n}. Funct¸ia spline cubic˘a de interpolare se va determina ˆın funct¸ie de parametrii mi = s0 (xi ), i ∈ {0, 1, . . . , n}, ale c˘aror valori se vor calcula ulterior. Not˘am prin si restrict¸ia funct¸iei s la intervalul [xi , xi+1 ] ¸si hi = xi+1 − xi , i ∈ i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Deoarece si este polinom de gradul 3, pentru x ∈ [xi , xi+1 ] rezult˘a si (x) = yi + mi (x − xi ) + ai (x − xi )2 + bi (x − xi )3 Coeficient¸ii ai , bi se determin˘a din condit¸iile si (xi+1 ) = yi + mi hi + ai h2i + bi h3i = yi+1 , s0i (xi+1 ) = mi + 2ai hi + 3bi h3i = mi+1 , pentru i = 0, 1, . . . , n − 1. ˆIn felul acesta se asigur˘a continuitatea funct¸iilor s ¸si s0 . Rezolvˆand sistemul de mai sus, obt¸inem ai = 3
yi + 1 − yi 2mi + mi+1 − hi h2i 136
137
10.1. INTERPOLARE CU FUNCT ¸ II SPLINE CUBICE
bi =
yi+1 − yi mi + mi+1 −2 2 hi h3i
¸si astfel si (x) = yi + mi (x − xi ) + (3
+(
yi+1 − yi 2mi + mi+1 − )(x − xi )2 + hi h2i
mi + mi+1 yi+1 − yi −2 )(x − xi )3 . h2i h3i
(10.1)
Numerele m0 , m1 , . . . , mn se determin˘a astfel ˆıncˆat s00 s˘a fie continu˘a ˆın nodurile interioare x1 , . . . , xn−1 . Se impun astfel condit¸iile s00i−1 (xi ) = s00i (xi ), i = 1, 2, . . . , n− 1. Utilizˆand (10.1), ˆın urma reducerilor rezult˘a ecuat¸iile hi hi−1 mi−1 + 2mi + mi+1 = hi−1 + hi hi−1 + hi =
3 hi−1 hi [ (yi+1 − yi ) + (yi − yi−1 )], hi−1 + hi hi hi−1
i = 1, . . . , n − 1.
(10.2)
Aceste relat¸ii reprezint˘a un sistem algebric de n − 1 ecuat¸ii ˆın necunoscutele m0 , m1 , . . . , mn . Pentru ca num˘arul ecuat¸iilor s˘a coincid˘a cu num˘arul necunoscutelor se introduc condit¸iile la ”limit˘a” m0 = α (10.3) mn = β sau
s00 (x0 ) = s000 (x0 ) = 0 s00 (xn ) = s00n−1 (xn ) = 0
(10.4)
unde α, β sunt constate date. T ¸ inˆand seama de expresiile funct¸iilor s0 ¸si sn−1 , ecuat¸iile (10.4) devin (
0 2m0 + m1 = 3 y1h−y 0 yn −yn−1 mn−1 + 2mn = 3 hn−1
(10.5)
Astfel determinarea unei funct¸ii spline cubice de interpolare revine la: 1. Rezolvarea sistemului algebric (10.2)+(10.3) sau (10.2)+(10.5), sistem algebric de n + 1 ecuat¸ii liniare ˆın necunoscutele m0 , m1 , . . . , mn . 2. ˆIn fiecare interval [xi−1 , xi ], funct¸ia spline cubic˘a de interpolare are expresia dat˘a de formula (10.1).
138
CAPITOLUL 10. FUNCT ¸ II SPLINE CUBICE
Sistemul algebric de ecuat¸ii liniare a c˘arei solut¸ia este m0 , m1 , . . . , mn , parametrii fat¸˘a de care se exprim˘a funct¸ia spline cubic˘a de interpolare, este un sistem tridiagonal, rezolvabil utilizˆand metoda dublului parcurs. Se observ˘a c˘a matricea sistemului este cu diagonala dominant˘a |ai,i | −
n X
|ai,j | = 1
∀i.
j=1
j6=i
ˆIn consecint¸˘a sistemul este compatibil ¸si hi−1 hi 3 | (yi+1 − yi ) + (yi − yi−1 )|, |β|} 1≤i≤n−1 hi−1 + hi hi hi−1 (10.6)
max |mi | ≤ max{|α|, max
0≤i≤n
sau max |mi | ≤
0≤i≤n
≤ max{3
(10.7)
|y1 − y0 | 3 hi−1 hi |yn − yn−1 | , max | (yi+1 −yi )+ (yi −yi−1 )|, 3 } 1≤i≤n−1 hi−1 + hi hi h0 hi−1 hn−1
dup˘a cum se utilizeaz˘a (10.2)+(10.3) sau (10.2)+(10.5). Fie h = min0≤i≤n−1 hi , h = max0≤i≤n−1 hi ¸si ω = max0≤i≤n−1 |yi+1 − yi |. Din (10.6) ¸si (10.7) deducem respectiv 3hω , |β|}; h2 3ω 3hω max |mi | ≤ max{ , 2 }. 0≤i≤n h h max |mi | ≤ max{|α|,
0≤i≤n
(10.8) (10.9)
Aceste relat¸ii vor fi utilizate la stabilirea convergent¸ei unui ¸sir de funct¸ii spline cubice de interpolare. Presupunem c˘a numerele y0 , y1 , . . . , yn reprezint˘a valorile unei funct¸ii f ∈ C 2 [a, b] ˆın punctele a = x0 < x1 < . . . < xn = b ¸si c˘a condit¸iile ”la limit˘a (10.3) ¸si (10.4) se rescriu sub forma 00 s (a) = 0 (10.10) s00 (b) = 0 ¸si respectiv,
s0 (a) = f 0 (a) s0 (b) = f 0 (b).
(10.11)
ˆIn vederea deducerii unor rezultate privind unicitatea funct¸iei spline cubice de interpolare ¸si a evalu˘arii erorii |s(x) − f (x)| avem nevoie de teorema:
139
10.1. INTERPOLARE CU FUNCT ¸ II SPLINE CUBICE
Teorema 10.1.1 Dac˘ a funct¸ia spline cubic˘ a de interpolare satisface una din condit¸iile la limit˘ a (10.10) sau (10.11) atunci are loc egalitatea b
Z
00
b
Z
2
00
b
Z
2
[s (x)] dx +
[f (x)] dx =
[f 00 (x) − s00 (x)]2 dx.
(10.12)
a
a
a
Demonstrat¸ie. Are loc egalitatea f 00 (x) = s00 (x) + (f 00 (x) − s00 (x)), ∀x ∈ [a, b]. Ridicˆand la p˘atrat ¸si integrˆand obt¸inem b
Z
00
b
Z
2
00
b
Z
2
[s (x)] dx +
[f (x)] dx = Z
b
+2
[f 00 (x) − s00 (x)]2 dx+
a
a
a
s00 (x)[f 00 (x) − s00 (x)]dx.
a
R˘amˆane de ar˘atat c˘a ultima integral˘a este egal˘a cu 0. Avem b
Z
00
00
00
s (x)[f (x) − s (x)]dx = a
n Z X
xi
s00 (x)[f 00 (x) − s00 (x)]dx
xi−1
i=1
¸si integrˆand prin p˘art¸i rezult˘a Z
b
s00 (x)[f 00 (x) − s00 (x)]dx =
a
=
n X
{s00 (x)[f 0 (x) − s0 (x)]|xxii−1 −
i=1
b
00
00
00
s (x)[f (x) − s (x)]dx = a
n X
xi
s(3) (x)[f 0 (x) − s0 (x)]dx}.
xi−1
Mi −Mi−1 hi
Dac˘a x ∈ (xi−1 , xi ) atunci s(3) (x) = Z
Z
¸si ˆın consecint¸˘a
{Mi [f 0 (xi ) − s0 (xi )] − Mi−1 [f 0 (xi−1 ) − s0 (xi−1 )]−
i=1
Mi − Mi−1 − hi 0
0
0
Z
xi
[f 0 (x) − s0 (x)]dx} =
xi−1 0
= Mn [f (xn ) − s (xn )] − M0 [f (x0 ) − s (x0 )] −
n X Mi − Mi−1 i=1
hi
[f (x) − s(x)]|xxii−1 =
= s00 (b)[f 0 (b) − s0 (b)] − s00 (a)[f 0 (a) − s0 (a)] = 0. Au loc urm˘atoarele rezultate referitoare la funct¸ia spline cubic˘a de interpolare
140
CAPITOLUL 10. FUNCT ¸ II SPLINE CUBICE
Teorema 10.1.2 (Unicitatea funct¸iei spline cubice de interpolare) Exist˘ a o singur˘ a funct¸ie spline cubic˘ a de interpolare care satisface una din condit¸iile la limit˘ a (10.10) sau (10.11).
Demonstrat¸ie. Dac˘a presupunem c˘a funct¸iile s1 , s2 sunt funct¸ii spline cubice care interpoleaz˘a funct¸ia f ˆın punctele x0 , x1 , . . . , xn ¸si care ˆındeplinesc condit¸iile la limit˘a (10.10) sau (10.11), atunci funct¸ia s = s1 − s2 satisface relat¸iile s(xi ) = 0, i = 0, 1, . . . , n ¸si s00 (a) = s00 (b) = 0 sau s0 (a) = s0 (b) = 0, dup˘a cum se utilizeaz˘a condit¸iile la limit˘a (10.10) sau (10.11). Astfel s reprezint˘a funct¸ia spline cubic˘a de interpolare a funct¸iei nule. Aplicˆand (10.12 obt¸inem Z 2
b
[s00 (x)]2 dx = 0,
a
de unde s00 (x) = 0, ∀x ∈ [a, b]. Prin urmare s este un polinom de grad cel mult 1. Deoarece s(a) = s(b) = 0, ˆın mod necesar s = 0. Teorema 10.1.1 se poate reformula sub forma Teorema 10.1.3 (Proprietatea de optimalitate a funct¸iei spline cubice de interpolare) Funct¸ia spline cubic˘ a de interpolare minimizeaz˘ a funct¸ionala Z I(ϕ) =
b
[ϕ00 (x)]2 dx
a
ˆın D1 = {ϕ ∈ C 2 [a, b] : ϕ(xi ) = yi , i = 0, 1, . . . , n; ϕ00 (a) = ϕ00 (b) = 0} sau D2 = {ϕ ∈ C 2 [a, b] : ϕ(xi ) = yi , i = 0, 1, . . . , n; ϕ0 (a) = α; ϕ0 (b) = β}, dup˘ a cum se utilizeaz˘ a condit¸iile la limit˘ a (10.3) sau (10.4). Teorema 10.1.4 (Evaluarea erorii funct¸iei spline cubice de interpolare) Dac˘ a f ∈ C 2 [a, b], atunci au loc relat¸iile √ |f 0 (x) − s0 (x)| ≤ hkf 00 k2 3 |f (x) − s(x)| ≤ h 2 kf 00 k2 , Rb 1 unde h = max{h1 , . . . , hn } ¸si kf 00 k2 = ( a [f 00 (x)]2 dx) 2 . Demonstrat¸ie. Funct¸ia f − s satisface ˆın fiecare interval [xi−1 , xi ] condit¸iile teoremei lui Rolle, deci exist˘a ci ∈ (xi−1 , xi ) astfel ˆıncˆat (f 0 − s0 )(ci ) = 0. Fie
141
10.1. INTERPOLARE CU FUNCT ¸ II SPLINE CUBICE
x ∈ [a, b]. Exist˘a k ∈ {1, 2, . . . , n} astfel ˆıncˆat x ∈ [xk−1 , xk ]. Atunci, utilizˆand inegalitatea Cauchy - Buniakovski - Schwarz au loc relat¸iile Z x |f 0 (x) − s0 (x)| = | [f 00 (t) − s00 (t)]dt| ≤ ck
Z x √ Z b 00 1p 1 00 00 2 ≤ ( [f (t) − s (t)] dt) 2 |x − ck | ≤ h( [f (t) − s00 (t)]2 dt) 2 . ck
a
Din (10.12), deducem Z
b
00
00
b
Z
2
[f (t) − s (t)] dt ≤ a
[f 00 (t)]2 dt = kf 00 k22
a
¸si prin urmare |f 0 (x) − s0 (x)| ≤
√
hkf 00 k2 .
Totodat˘a, din egalitatea xk
Z
[f 0 (t) − s0 (t)]dt
f (x) − s(x) = xk−1
g˘asim Z
xk
|f 0 (t) − s0 (t)|dt ≤
|f (x) − s(x)| ≤ xk−1
≤
√
00
Z
xk
3
dt ≤ h 2 kf 00 k2 .
hkf k2 xk−1
Teorema 10.1.5 (Convergent¸a unui ¸ sir de funct¸ii spline cubice de interpolare) Fie f ∈ C[a, b] ¸si ¸sirul de diviziuni a = xk0 < xk1 < . . . < xknk = b
4k : astfel ˆıncˆ at, dac˘ a hk =
min
0≤i≤nk −1
(xki+1 − xki )
k
h =
atunci 1. ∃δ > 0 cu proprietatea k
2. limk→∞ h = 0.
k
h hk
≤ δ,
max (xki+1 − xki ),
0≤i≤nk −1
∀k ∈ N ;
142
CAPITOLUL 10. FUNCT ¸ II SPLINE CUBICE
Dac˘ a sk este funct¸ia spline cubic˘ a de interpolare a funct¸iei f in pe diviziunea 4k ¸si care satisface una din condit¸iile la limit˘ a sk (a) = α (10.13) sk (b) = β sau
s00k (a) = 0 s00k (b) = 0
(10.14)
atunci limk→∞ kf − sk k∞ = 0.
Demonstrat¸ie. Not˘am prin ωf (h) modulul de continuitate al funct¸iei f, ωf (h) = sup |f (y) − f (x)|. |y−x|
Condit¸ia de continuitate a funct¸iei f este echivalent˘a cu limh→0 ωf (h) = 0. Fie x ∈ [a, b]. Exist˘a i ∈ {0, 1, . . . , nk − 1} astfel ˆıncˆat x ∈ [xki , xki+1 ]. T ¸ inˆand seama de reprezentarea (10.1) ¸si folosind notat¸iile yik = f (xki ), i = 0, 1, . . . , nk , k ∈ N avem sk (x) − f (x) = yik − f (x) + mki (x − xki ) + (3
+(
k − yk yi+1 2mki + mki+1 i − )(x − xki )2 + (hki )2 hki
k − yk mki + mki+1 yi+1 i − 2 )(x − xki )3 . (hki )2 (hki )3
unde (mki )0≤i≤nk sunt parametrii funct¸iei spline, solut¸iile unui sistem de forma (10.2)+(10.3) sau (10.2)+(10.5), ˆın funct¸ie de condit¸ia la limit˘a folosit˘a. ˆIn continuare |sk (x) − f (x)| ≤ |yik − f (x)| + |mki |(x − xki )+ k +3|yi+1 − yik |(
x − xki 2 x − xki ) + (2|mki | + |mki+1 |) (x − xki )+ k hi hki
+(|mki | + |mki+1 |)(
k x − xki 2 k k k x − xi 3 ) (x − x ) + 2|y − y |( ) . i i+1 i hki hki
Notˆand M k = max0≤i≤nk |mki | din inegalitatea de mai sus deducem k
k
k
k
k
k
|sk (x) − f (x)| ≤ ωf (h ) + M k h + 3ωf (h ) + 3M k h + 2M k h + 2ωf (h ) = k
k
= 6ωf (h ) + 6M k h .
143
10.1. INTERPOLARE CU FUNCT ¸ II SPLINE CUBICE
Deoarece membrul drept nu mai depinde de x rezult˘a c˘a k
k
ksk − f k∞ ≤ 6ωf (h ) + 6M k h . Dac˘a se utilizeaz˘a condit¸iile la limit˘a (10.13) atunci din (10.8) g˘asim k
M k ≤ max{|α|,
k
3h ωf (h ) , |β|}, (hk )2
¸si astfel k
ksk − f k∞
h k k ≤ 6ωf (h ) + 6 max{|α|h , 3( k )2 ωf (h ), |β|h } ≤ h k
k
k
k
k
k
≤ 6ωf (h ) + 6 max{|α|h , 3δ 2 ωf (h ), |β|h } → 0,
pentru k → ∞.
Dac˘a se utilizeaz˘a condit¸iile la limit˘a (10.14) atunci din (10.9) g˘asim k
k
k
3ωf (h ) 3h ωf (h ) } M ≤ max{ , hk (hk )2 k
¸si astfel k
ksk − f k∞ k
k
h h k k ≤ 6ωf (h ) + 6 max{3 k ωf (h ), 3( k )2 ωf (h )} ≤ h h k
k
k
≤ 6ωf (h ) + 6 max{3δωf (h ), 3δ 2 ωf (h ), } → 0,
pentru k → ∞.
Partea II
METODE NUMERICE ˆIN ˘ ALGEBRA LINIARA
144
Capitolul 11
Elemente de analiz˘ a matriceal˘ a 11.1 •
Definit¸ii, notat¸ii, propriet˘ a¸ti
x1 x = ... ∈ Rn xn xT = (x1 , . . . , xn )
x1 x = ... ∈ Cn xn xH = (x1 , . . . , xn )
Un vector din C sau R se va identifica cu o matrice Mn,1 (C), respectiv Mn,1 (R). •
x, y ∈ Rn P < x, y >= nk=1 xk yk√ √ kxk2 = < x, x > = xT x
x, y ∈ Cn P < x, y >= nk=1 xk y k√ √ kxk2 = < x, x > = xH x
• kxk∞ = max |xk | 1≤k≤n
• Doi vectori x, y ∈ C (sau R) sunt ortogonali dac˘a < x, y >= 0. • O familie de vectori (xi )1≤i≤k din x, y ∈ C (sau R) este ortonormat˘a dac˘a 1, dac˘a i = j < xi , xj >= δi,j = 0, dac˘a i 6= j • O matrice A ∈ Mn,k (C) se poate reprezenta prin
A = (ai,j )1≤i≤n,1≤j≤k = [a1 a2 . . . ak ],
145
a1,j unde aj = ... . an,j
146
˘ MATRICEALA ˘ CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE ANALIZA
•
1 0 ... 0 0 1 ... 0 .. .. . . .. . . . . 0 0 ... 1
In = (δi,j )1≤i,j≤n
=
este matricea unitate de ordinul n. • Dac˘a A ∈ Mn (R) = (ai,j )1≤i,j≤n atunci AT = (aj,i )1≤i,j≤n este matricea transpus˘a. T
• Dac˘a A ∈ Mn (C) atunci AH = A . Bara superioar˘a desemneaz˘a operatorul de conjugare aplicat fier˘arui element al matricei. • O matrice p˘atrat˘a A ∈ Mn (C) este inversabil˘a dac˘a exist˘a A−1 ∈ Mn (C) astfel ˆıncˆat A · A−1 = A−1 · A = In . • A ∈ Mn (R) este simetric˘a dac˘a AT = A. • A ∈ Mn (C) este hermitian˘a dac˘a AH = A. • A ∈ Mn,k (R) este ortogonal˘a dac˘a AT · A = Ik . • A ∈ Mn,k (C) este unitar˘a dac˘a AH · A = Ik . • O matrice A ∈ Mn (C), A = (ai,j )1≤i,j≤n cu proprietatea ai,j = 0, pentru i > j se nume¸ste matrice superior triunghiular˘a. • O matrice A ∈ Mn (C), A = (ai,j )1≤i,j≤n cu proprietatea ai,j = 0, pentru i < j se nume¸ste matrice inferior triunghiular˘a. • O matrice A ∈ Mn (C), A = (ai,j )1≤i,j≤n cu proprietatea ai,j = 0, pentru i 6= j se nume¸ste matrice diagonal˘a. • O matrice A ∈ Mn (C), A = (ai,j )1≤i,j≤n cu proprietatea ai,j = 0, pentru j < i ¸si i + 1 < j se nume¸ste matrice bidiagonal˘a (superioar˘a). • O matrice A ∈ Mn (C), A = (ai,j )1≤i,j≤n cu proprietatea ai,j = 0, pentru i > j + 1 se nume¸ste matrice Hessenberg. • O matrice A ∈ Mn (R) este pozitiv˘a dac˘a < Ax, x > ≥ 0,
∀x ∈ Rn .
• O matrice A ∈ Mn (R) este strict pozitiv˘a dac˘a < Ax, x > > 0,
∀x ∈ Rn \{0}.
Pentru matricea A ∈ Mn (R) strict pozitiv˘a folosim notat¸ia A > 0. Mai mult, dac˘a A, B ∈ Mn (R) vom scrie A > B ⇔ A − B > 0.
147
˘ ¸I 11.1. DEFINIT ¸ II, NOTAT ¸ II, PROPRIETAT
• O matrice A ∈ Mn (R) este tare pozitiv˘a dac˘a ∃m > 0
astfel ˆıncˆat
< Ax, x > ≥ mkxk22 , ∀x ∈ Rn .
Astfel A tare pozitiv ⇒ A strict pozitiv ⇒ A poxitiv. • Fie A ∈ Mn,k (C). Matricea A genereaz˘a un operator liniar A : Ck → Cn definit prin A(x) = Ax. Ker(A) = {x ∈ Ck : Ax = 0} Im(A) = {y ∈ Cn : ∃x ∈ Ck astfel ˆıncˆat y = Ax} • Norma unei matrice A ∈ Mn,k (C) este norma operatorului liniar generat de matricea A, adic˘a A : Ck → Cn , A(x) = Ax. ˆIn cele ce urmeaz˘a operatorul A se va identifica cu matricea A. • Un num˘ar λ ∈ C este o valoare proprie a matricei A ∈ Mn (C) dac˘a exist˘a un vector nenul x ∈ Cn astfel ˆıncˆat Ax = λ x. ˆIn acest caz x este un vector propriu corespunz˘ator valorii proprii λ, iar perechea (λ, x) este o pereche proprie matricei A. • Un vector y ∈ Cn , y 6= 0 este un vector propriu la stˆanga corespunz˘atoare valorii proprii λ dac˘a y H Ax = λ y H . • Valoarea proprie λ are ordinul de multiplicitate algebric k dac˘a λ este r˘ad˘acin˘a multipl˘a de ordin k a polinomului caracteristic. • Valoarea proprie λ are ordinul de multiplicitate geometric k dac˘a dimensiunea subspat¸iului liniar S(λ) este k. • Dac˘a o matrice are o valoare proprie avˆand ordinul de multiplicitate geometric este mai mic decˆat ordinul de multiplicitate algebric atunci matricea se nume¸ste defectiv˘a. ˆIn caz contrar matricea se nume¸ste nedefectiv˘a.
1 1 Exemplul 11.1.1 Matricea A = are valoarea proprie λ = 1 0 1 avˆ and ordinul de multiplicitate algebric 2, dar S(1) = {(x, 0) : x ∈ C}, are dimensiunea 1. • Dou˘a matrice A, B ∈ Mn (C) sunt simare dac˘a exist˘a o matrice inversabil˘a X ∈ Mn (C) astfel ˆıncˆat B = X −1 AX. Proprietatea 11.1.1 Dac˘ a A ∈ Mn (C) este o matrice hermitian˘ a atunci < Ax, y >=< x, AH y >
∀x, y ∈ Cn .
148
˘ MATRICEALA ˘ CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE ANALIZA
Proprietatea 11.1.2 Dac˘ a A ∈ Mn (C) este o matrice hermitian˘ a atunci ∀x, y ∈ Cn .
< Ax, y >=< x, Ay >
Proprietatea 11.1.3 Dac˘ a A ∈ Mm,n (C), C ∈ Mn,p (C) atunci (AB)H = B H AH . Proprietatea 11.1.4 Dac˘ a A, B ∈ Mn (C) sunt matrice hermitiene ¸si AB = BA atunci AB este tot o matrice hermitian˘ a. Demonstat¸ie. (AB)H = B H AH = BA = AB.
Proprietatea 11.1.5 Dac˘ a A, B ∈ Mn (C) sunt matrice unitare atunci AB este tot o matrice unitar˘ a. Proprietatea 11.1.6 Dac˘ a A ∈ Mn (C) este o matrice unitar˘ a ¸si x ∈ Cn atunci kAxk2 = kxk2
¸si
kAH xk2 = kxk2 .
Demonstat¸ie. kAxk22 = (Ax)H (Ax) = (xH AH )(Ax) = xH (AH A)x = xH x = kxk22 . Proprietatea 11.1.7 Fie A ∈ Mn,k (C). Dac˘ a X ∈ Mn (C) ¸si Y ∈ Mk (C) sunt matrice unitare atunci kAk2 = kX H Ak2 = kAY k2 . Demonstat¸ie. Utilizˆand propozit¸ia precedent˘a, au loc egalit˘a¸tile kX H Ak2 = sup kX H Azk = sup kAzk = kAk2 kzk2 ≤1
kzk2 ≤1
¸si kAY k2 = sup kAY zk2 = sup kAwk2 = kAk2 , kzk≤1
kwk≤1
unde w = Y z. Proprietatea 11.1.8 Dac˘ a A ∈ Mn,k (C), A = [a1 a2 . . . ak ] este o matrice unitar˘ a atunci (ai )1≤i≤k formeaz˘ a o familie ortonormat˘ a.
149
˘ ¸I 11.1. DEFINIT ¸ II, NOTAT ¸ II, PROPRIETAT
Demonstat¸ie. aH 1 AH A = ... · [a1 . . . ak ] = (aH i aj )1≤i,j≤k = Ik . H ak
Proprietatea 11.1.9 Dac˘ a A ∈ Mn (C) este o matrice unitar˘ a atunci A−1 = H A . Proprietatea 11.1.10 Dac˘ a A ∈ Mn (R), A > 0, atunci matricea A este nesingular˘ a. Proprietatea 11.1.11 O matrice A ∈ M( R) strict pozitiv˘ a este tare pozitiv˘ a. Demonstat¸ie. Funct¸ia f : Rn \{0} → R definit˘a prin formula f (x) =
< Ax, x > kxk22
este continu˘a ¸si ˆın mult¸imea compact˘a S = {x ∈ Rn : kxk2 = 1} ˆı¸si atinge minimul, adic˘a exist˘a x0 ∈ S astfel ˆıncˆat f (x) ≥ f (x0 ) = m > 0 Dac˘a x ∈ Rn \{0} atunci Ax, x >≥ mkxk22 .
x kxk2
∀x ∈ S.
x x ∈ S, de unde < A( kxk ), kxk > ≥ m sau < 2 2
Proprietatea 11.1.12 a A ∈ Mn (R) este o matrice simetric˘ a ¸si strict poz√ Dac˘ itiv˘ a atunci kxkA = < Ax, x > este o norm˘ a ˆın Rn . Indicat¸ie. Inegalitatea triunghiului rezult˘a ˆın urma inegalit˘a¸tii < Ax, y >2 ≤ < Ax, x >< Ay, y >, ∀x, y ∈ Rn . Proprietatea 11.1.13 Fie A ∈ Mm,n (C), B ∈ Mk,m (C). Dac˘ a k·k este o norm˘ a matriceal˘ a atunci kBAk ≤ kBk kAk. Pentru A ∈ Mm,n (C) ¸si ϕ(A) = max1≤i≤m 1≤j≤n |ai,j | propriet˘a¸tile normei sunt ˆındeplinite dar nu are loc proprietatea propozit¸iei 11.1.13. Dac˘a 1 2 2 1 4 2 B= , A= atunci BA = 3 1 1 1 7 4 ¸si ϕ(BA) = 7 > 3 · 2 = ϕ(B)ϕ(A).
150
˘ MATRICEALA ˘ CAPITOLUL 11. ELEMENTE DE ANALIZA
Proprietatea 11.1.14 Fie A ∈ Mm,n (C), A = (ai,j )1≤i≤m, kAk∞ = kAk1 =
n X
max
1≤i≤m
Au loc egalit˘ a¸tile
|ai,j |,
A : (Cn , k · k∞ ) → (Cm , k · k∞ );
(11.1)
|ai,j |,
A : (Cn , k · k1 ) → (Cm , k · k1 ).
(11.2)
j=1 m X
max
1≤j≤n .
1≤j≤n
i=1
Proprietatea 11.1.15 Fie A ∈ Mn (R). Dac˘ a |ai,i | >
Pn
j=1
|ai,j | atunci
j6=i
1. matricea A este inversabil˘ a; 2. kA−1 k∞ ≤ max1≤i≤n
|ai,i |−
P1n
j=1 j6=i
|ai,j |
.
Demonstat¸ie. Fie x, y ∈ Rn astfel ˆıncˆat Ax = y. Ar˘at˘am c˘a are loc inegalitatea kxk∞ ≤ max
1≤i≤n
|ai,i | −
1 Pn
j=1
|ai,j |
kyk∞
(11.3)
j6=i
Fie i acel indice pentru care |xi | = max{|x1 |, . . . , |xn |} = kxk∞ . Ecuat¸ia a i-a a sistemului Ax = y se scrie ai,i · xi = yi −
n X
ai,j · xj
j=1
j6=i
de unde se deduc relat¸iile: |ai,i |kxk∞ = |aii ||xi | ≤ |yi | +
n X
|ai,j ||xj | ≤ kyk∞ + kxk∞
n X
j=1
j=1
j6=i
j6=i
|ai,j |.
Ipoteza propozit¸iei implic˘a kxk∞ ≤
|ai,i | −
1 Pn
j=1
j6=i
|ai,j |
kyk∞ ≤ max
1≤i≤n
|ai,i | −
1 Pn
j=1
|ai,j |
kyk∞ .
j6=i
Pentru a ar˘ata c˘a matricea A este inversabil˘a sau nesingular˘a este suficient s˘ a ar˘at˘am c˘a sistemul algebric de ecuat¸ii liniare ¸si omogene Ax = 0 admite doar solut¸ia banal˘a. Pentru y = 0, din (11.3) rezult˘a x = 0. A doua concluzie rezult˘a de asemenea din inegalitatea (11.3).
151
˘ ¸I 11.1. DEFINIT ¸ II, NOTAT ¸ II, PROPRIETAT
Proprietatea 11.1.16 Valorile proprii ale matricei A sunt r˘ ad˘ acinile polinomului caracteristic f (λ) = |λ In − A|. Proprietatea 11.1.17 Mult¸imea S(λ) = {x ∈ Cn : Ax = λ x} este subspat¸iu liniar ˆın Cn invariat de A, adic˘ a A(S(λ)) ⊆ S(λ). Proprietatea 11.1.18 Pentru orice valoare propriu ordinul de multiplicitate geometric este cel mult egal cu ordinul de multiplicitate algebric. Proprietatea 11.1.19 La un vector propriu corespunde unei singure valori proprii. Proprietatea 11.1.20 Dac˘ a λ1 , . . . , λk sunt valori proprii ale unei matrice A, distincte dou˘ a cˆ ate dou˘ a ¸si x1 , . . . , xk sunt vectori proprii corespunz˘ atori atunci x1 , . . . , xk sunt liniar independent¸i. Proprietatea 11.1.21 Valorile proprii ale unei matrice hermitiene (simetrice) sunt reale. Proprietatea 11.1.22 Dou˘ a matrice similare au acelea¸si valori proprii. Proprietatea 11.1.23 Dac˘ a A ∈ Mm,n (C) atunci (Im(A))⊥ = Ker(AH ). Demonstat¸ie. Dac˘a y ∈ (Im(A))⊥ atunci < y, z >= 0, ∀z ∈ Im(A), adic˘a < y, Ax >= 0, ∀x ∈ Cn . Din 0 =< y, Ax >=< AH y, x >,
∀x ∈ Cn
rezult˘a y ∈ Ker(AH ). Proprietatea 11.1.24 Dac˘ a A ∈ Mm,n (C) atunci Cm = Im(A) ⊕ Ker(AH ).
(11.4)
Capitolul 12
Rezolvarea sistemelor algebrice liniare Consider˘am sistemul algebric de m ecuat¸ii liniare cu necunoscutele x1 , x2 , . . . , xn a11 · x1 + a12 · x2 + . . . + a1n · xn = b1 ....... ... ....... ... ... ... ........ ... ... am1 · x1 + am2 · x2 + . . . + amn · xn = bm unde aij , bi ∈ C, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, · · · , n. Introducˆand notat¸iile matriceale x1 a11 . . . a1n A = . . . . . . . . . x = ... am1 . . . amn xn
(12.1)
b1 b = ... bm
sistemul (12.1) se scrie A·x=b ˆIn cazul ˆın care m = n, adic˘a num˘arul ecuat¸iilor coincide cu num˘arul necunoscutelor ¸si dac˘a matricea sistemului A este nesingular˘a, atunci solut¸ia este x = A−1 · b. Astfel problema inversabilit˘a¸tii lui A este echivalent˘a cu rezolvarea sistemului. Metodele pentru rezolvarea sistemelor algebrice de ecuat¸ii liniare se ˆımpart ˆın dou˘a clase: • metode directe; • metode iterative. ˆIn cele ce urmeaz˘a vom prezenta metoda Gauss - Jordan din clasa metodelor directe ¸si metoda Gauss - Seidel din clasa metodelor iterative. 152
153
12.1. METODA GAUSS - JORDAN
12.1
Metoda Gauss - Jordan
Sistemului liniar yi =
n X
aij · xj
(12.2)
i = 1, 2, . . . , m
j=1
ˆıl ata¸s˘am tabloul x1
...
xj
...
xs
...
xn
y1 .. .
a11 .. .
...
a1j .. .
...
a1s .. .
...
a1n .. .
yi .. .
ai1 .. .
...
aij .. .
...
ais .. .
...
ain .. .
yr .. .
ar1 .. .
...
arj .. .
...
ars .. .
...
arn .. .
ym am1 . . . amj
(12.3)
. . . ams . . . amn
S˘a presupunem ars 6= 0. Din ecuat¸ia r a sistemului (12.2) explicit˘am xs ar1 ars−1 yr ars+1 arn xs = − · x1 − . . . − · xs−1 + − · xs+1 − . . . − · xn . (12.4) ars ars ars ars ars Substituind xs ˆın celelalte ecuat¸ii, pentru i 6= r, g˘asim ais · ar1 ais · ars−1 (12.5) yi = (ai1 − ) · x1 + . . . + (ais−1 − ) · xs−1 + ars ars ais ais · ars+1 ais · arn + · yr + (ais+1 − ) · xs+1 + . . . + (ain − ) · xn . ars ars ars Sistemului format din ecuat¸iile (12.4) ¸si (12.5) ˆıi corespunde tabloul (12.6). y1 .. .
x1 b11 .. .
... ...
yi .. .
bi1 .. .
...
xs .. .
− aar1 rs .. .
ym
bm1
(a ·a −a ·a )
xj b1j .. .
... ...
bij .. .
...
rj . . . − ars .. .
a
...
...
. . . bmr . . .
bmj
yr a1s ars
... ...
xn b1n .. .
ais ars
...
bin .. .
1 ars
. . . − aarn rs .. .
.. . .. . .. .
(12.6)
bmn
unde bij = ij rsars is rj , pentru i 6= r ¸si j 6= s. Numim pas Jordan cu elementul pivot ars 6= 0 urm˘atorul ansamblu de operat¸ii prin care tabloul (12.3) se transform˘a ˆın tabloul (12.6)
154
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
1. Se intervertesc yr ¸si xs ; 2. Pe locul elementului pivot se pune 1; 3. Pe coloana elementului pivot elementele tabloului se las˘a neschimbate; 4. Pe linia elementului pivot se schimb˘a semnul elementelor din vechiul tablou; 5. Restul elementelor se calculeaz˘a cu formula ˜bij = aij · ars − ais · arj . Aceast˘ a relat¸ie este cunoscut˘a sub numele de regula dreptunghiului. Elementul ˜bij care se calculeaz˘a are drept corespondent ˆın tabloul (12.3) pe aij care ˆımpreun˘a cu elementul pivot ars definesc, ca vˆarfuri diagonal opuse un dreptunghi. ˜bij este diferent¸a dintre produsele elementelor celor dou˘a diagonale; ˆıntotdeauna elementul pivot este factor al desc˘azutului. 6. Se ˆımpart toate elementele tabloului la elementul pivot. Aplic˘am substitut¸iile generate de pa¸sii Jordan la rezolvarea sistemului (12.1). Acestui sistem ˆıi ata¸s˘am tabloul
0 [1] 0 .. . 0
x1 a11 .. . ai1 .. . am1
... ... [3] ... ...
[2] xj a1j .. .
... ...
xn a1n .. . ain .. .
[4] 1 −b1 [5] −bi .. .
aij .. .
...
amj
. . . amn −bm
(12.7)
Numerele ˆıncadrate scot ˆın evident¸˘a cinci zone ˆın tabloul (12.7). Un pas Jordan efectuat cu un element pivot ales din zona [3] - de exemplu ars 6= 0 - are ca urmare intervertirea unui xr din zona [2] cu un zero din zona [1] ¸si corespunde explicit˘arii lui xr din a s -a ecuat¸ie a sistemului ¸si substituirii lui ˆın celelalte ecuat¸ii. Astfel, ¸tinˆand seama de interpretarea dat˘a tabloului (12.7), obiectivul urm˘arit este efectuarea a cˆat mai mult¸i pa¸si Jordan. S˘a presupunem c˘a efectuˆand r pa¸si Jordan ajungem la urm˘atorul tablou (eventual schimbˆand indicii ecuat¸iilor ¸si ai necunoscutelor)
155
12.1. METODA GAUSS - JORDAN
0
...
0
...
[1]
b11 .. .
[3I ]
b1r .. .
xr
br1
...
brr
...
...
...
...
x1
0 .. . 0
br+11 . . . br+1r .. .. . [3III ] . bm1
...
bmr
[2] [4] .. . xr+1 ... xn 1 .. . b1r+1 . . . brn c1 .. .. .. . . [3II ] . [5] .. . brr+1 . . . brn cr .. . ... ... ... ... .. . 0 ... 0 cr+1 .. .. . .. . . [3IV ] .. . .. . 0 ... 0 cm
(12.8)
ˆIn tabloul (12.8) nu putem alege nici un element pivot ˆın zona [3IV ]. Din punctul de vedere al rezolv˘arii sistemului, zona [3IV ] este singura ˆın care are sens c˘autarea unui element pivot. T ¸ inˆand seama de interpretarea dat˘a tabloului, dac˘a cr+1 = . . . = cm = 0, atunci sistemul este compatibil cu solut¸ia xi = bir+1 · xr+1 + . . . + bin · xn ,
i = 1, 2, . . . , r ;
iar ˆın caz contrar sistemul este incompatibil. Exemplu. Pentru rezolvarea x1 + 2x1 − x1 + 2x1 + 3x1 +
sistemului algebric liniar x2 x2 2x2 x2 2x2
+ x3 + 2x3 − x3 + 4x3 − 2x3
+ x4 − x4 + 2x4 + x4 + 2x4
= 2 = 1 = −1 = 7 = −5
tablourile corespunz˘atoare pa¸silor Jordan sunt
0 0 0 0 0
x1 x2 x3 x4 1 1 1 1 1 −2 2 −1 2 −1 −1 1 2 −1 2 1 2 1 4 1 −7 3 2 −2 2 5
x1 0 0 0 0
x2 x3 x4 1 −1 −1 −1 2 −3 → 1 0 −3 → 1 3 → −1 1 −2 1 3 −1 2 −1 −3 −1 −5 −1 11
156
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
x4 1 x1 0 −1 x2 −1 1 0 0 0 x3 0 2 0 0 0
x3 x4 1 x1 −1 0 1 x2 0 −1 1 0 −2 → 1 0 4 → −2 0 1 0 −2 0 −5 → 1 0 10 → −2
Sistemul este compatibil, cu solut¸ia x1 = −1, x2 = 1 − x4 , x3 = 2. Observat¸ie. Numerele subliniate sunt elementele pivot. Coloanele corespunz˘ atoare zerourilor din zona [2] se pot omite ¸si de aceea ele nu apar. Numerele ce apar ˆın dreptul s˘aget¸ilor reprezint˘a rezultatul ˆınmult¸irii ecuat¸iei corespunz˘atoare cu un factor convenabil. Aceast˘a operat¸ie simplific˘a calculele efectuate ”manual”.
12.2
Inversarea unei matrice
Fie matricea A ∈ Mn (C); A = (aij )i,j=1,n . Ata¸s˘am matricei A sistemul liniar y = A · x c˘aruia ˆıi corespunde tabloul:
y1 .. .
x1 a11 .. .
. . . xj . . . a1j .. .
. . . xn . . . a1n .. .
yi .. .
ai1 .. .
...
...
aij .. .
yn an1 . . . anj
ain .. .
(12.9)
. . . ann
Dac˘a se pot efectua n pa¸si Jordan care s˘a transforme tabloul (12.9) ˆın tabloul:
x1 .. .
y1 b11
. . . yn . . . b1n .. .
(12.10)
xn bn1 . . . bnn atunci matricea A este nesingular˘a ¸si B = (bij )i,j=1,n reprezint˘a inversa matricei A. Exemplu. Pentru inversarea matricei 2 4 3 1 A= 0 1 2 2 −1
157
12.3. METODA LUI GAUSS – FACTORIZAREA LU
efectu˘am pa¸sii Jordan.
y1 y2 y3
x1 x2 x3 2 4 3 0 1 1 2 2 −1
x1 y2 x3 2 4 −1 0 1 −1 2 2 −3
y1 x2 y3
x3 x2 y3
x1 y2 y1 2 4 −1 −2 −3 1 −4 −10 3
y3 y 2 y 1 1 x3 − 12 −1 2 1 1 x2 2 −2 2 3 x1 − 14 − 52 4 Rezult˘a A−1 =
12.3
3 4 1 −2 1 2
− 52 − 14 1 2 . 2 1 −1 − 2
Metoda lui Gauss – Factorizarea LU
Fie mk =
0 .. . 0 n ek = 1 ∈R , 0 .. .
0 .. . 0 µk+1 .. .
,
µn
0
cu 1 pe linia k ¸si matricea
1
0 ..
T Mk = I − mk ek = mk =
.
. 1 −µk+1 1 ..
0 Matricea Mk are propriet˘a¸tile: Teorema 12.3.1 Mk−1 = I + mk eTk .
−µn
. 1
(12.11)
158
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
Demonstrat¸ie. Au loc egalit˘a¸tile (I + mk eTk )(I − mk eTk ) = I − (mk eTk )(mk eTk ) = I − mk (eTk mk )eTk = I. n Teorema 12.3.2 Fie a xk 6= 0 atunci exist˘ a mk ∈ Rn x =(xi )1≤i≤n ∈ R . Dac˘ x1 .. . xk . astfel ˆıncˆ at Mk x = 0 .. . 0
Demonstrat¸ie. Avem
x1 .. . xk T Mk x = x − mk (ek x) = x − xk mk = xk+1 − xk µk+1 .. .
.
xn − xk µn Alegˆand µi =
xi xk ,
i ∈ {k + 1, . . . , n}, rezult˘a relat¸ia cerut˘a.
Observat¸ie 12.3.1 Dac˘a y = (yi )1≤i≤n ∈ Rn ¸si yk = 0 atunci Mk y = y. Observat¸ie 12.3.2 Fie A ∈ Mn (R) o matrice de forma a1,1 a1,2 . . . a1,k a1,k+1 a . . . a a 2,2 2,k 2,k+1 .. .. . . . . . a a A = [a1 a2 . . . an ] = k,k k,k+1 a a k+1,k k+1,k+1 .. .. . . an,k an,k+1
... ...
a1,n a2,n .. .
. . . ak,n . . . ak+1,n .. . ...
,
an,n
(12.12) unde prin ai s-a notat coloana i ¸si avˆand elementele coloanelor a1 , . . . , ak−1 situate sub diagonala principal˘a egale cu 0.
159
12.3. METODA LUI GAUSS – FACTORIZAREA LU
Dac˘a ak,k 6= 0 atunci potrivit Teoremei 12.3.2 aplicat˘a coloanei ak exist˘a o matrice Mk astfel ˆıncˆat (12.13)
Mk A = [Mk a1 Mk a2 , . . . , Mk an ] =
a1,1 a1,2 . . . a1,k a1,k+1 a2,2 . . . a2,k a2,k+1 .. .. .. . . . a a k,k k,k+1 0 b k+1,k+1 .. .. . . 0 bn,k+1 Totodat˘a matricea Mk a1,k . .. ak,k mk = ak+1,k ak,k . . . an,k ak,k
... ...
a1,n a2,n .. .
. . . ak,n . . . bk+1,n .. . ...
.
bn,n
este definit˘a prin Mk = I − mk eTk cu
iar
bi,j = ai,j −
ai,k ak,j ak,k
ak,k ak,j ai,j ai,j = ak,k
,
pentru i, j ∈ {k + 1, . . . , n}. Trecerea de la (12.12) la (12.13) se realizeaz˘a cu algoritmul 1. Liniile 1, . . . , k se las˘a nemodificate; 2. Elementele coloanei k situate sub ak,k devin 0; 3. Pentru i, j ∈ {k + 1, . . . , n} elementele se calculeaz˘a cu regula dreptunghiului, dup˘a care se ˆımpart la elementul pivot ak,k . Fie A ∈ Mn (R), A = (ai,j )1≤i,j≤n . Not˘am prin Ak , k ∈ {1, 2, . . . , n} matricele a1,1 . . . a1,k Ak = (ai,j )1≤i,j≤k = . . . . . . . . . . ak,1 . . . ak,k Definit¸ie 12.3.1 Matricea A satisface ipoteza Jm dac˘ a |Ak | = 6 0, ∀k ∈ {1, 2, . . . , m}. Observat¸ie 12.3.3 Dac˘ a matricea A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (R) satisface ipoteza Jm ¸si Mk este o matrice de forma (12.11) atunci Mk A satisface de asemenea ipoteza Jm .
160
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
ˆIntr-adev˘ar pentru j ∈ {1, 2, . . . , m}, din
a1,1 .. .
...
ak,1 ak+1,1 − µk+1 ak,1 Mk A = .. . aj,1 − µj ak,1 .. . an,1 − µn ak,1
a1,j .. .
...
... ak,j . . . ak+1,j − µk+1 ak,j .. .
a1,n .. .
... ak,n . . . ak+1,n − µk+1 ak,n .. .
...
aj,j − µj ak,j .. .
...
aj,n − µj ak,n .. .
...
an,j − µn ak,j
...
an,n − µn ak,n
deducem c˘a (Mk A)j = (Mk )j Aj de unde |(Mk A)j | = |(Mk )j ||Aj | = |Aj | = 6 0. Teorema 12.3.3 Dac˘ a matricea A ∈ Mn (R) satisface ipoteza Jn−1 atunci exist˘ a o matrice M ∈ Mn (R) ¸si o matrice superior triunghilar˘ a U ∈ Mn (R), astfel ˆıncˆ at M A = U. (1)
(1)
Demonstrat¸ie. Fie A(1) = A. Din ipoteza Jn−1 , |A1 | = a1,1 = a1,1 6= 0. Potrivit Observat¸iei 12.3.2, exist˘a o matrice M1 astfel ˆıncˆat
(1)
(1)
a1,1 a1,2
(1)
. . . a1,n
(2) (2) a2,2 . . . a2,n . ... ... ... (2) (2) an,2 . . . an,n
0 A(2) = M1 A(1) = ... 0 (2)
(2)
(1) (2)
Atunci |A2 | = |(M1 A1 )2 | = |A2 | 6= 0, dar |A2 | = a1,1 a2,2 , ¸si prin urmare (2)
a2,2 = 6 0. Utilizˆand Observat¸ia 12.3.2 exist˘a o matrice M2 astfel ˆıncˆat A(3) = M2 A(2)
(1)
0 = 0 ... 0
(1)
. . . a1,n
(2)
(2)
(2) . . . a2,n (3) . . . a3,n . ... ... (3) . . . an,n
a2,2 a2,3 0 ... 0
(3)
a3,3 ... (3) an,3
(1)
(1)
a1,1 a1,2 a1,3
161
12.3. METODA LUI GAUSS – FACTORIZAREA LU
(3)
(1) (2) (3)
Din nou |A3 | = |A3 | = a1,1 a2,2 a3,3 6= 0, deci de mai sus de n − 1 ori, vom avea (1) (1) a a 1,1 1,2 (2) a2,2 A(n) = Mn−1 Mn−1 . . . M1 A(1) =
(3)
a3,3 6= 0. Repetˆand rat¸ionamentul (1)
(2)
def = U.
(1)
a1,n
(2)
a2,n .. .
...
a1,n−1
... .. .
a2,n−1 .. . (n−1)
(n−1)
an−1,n−1 an−1,n (n)
an,n Metoda lui Gauss rezult˘a din aplicarea rezultatului de mai sus ˆın cazul unui sistem Ax = b. Presupunem c˘a matricea A ∈ Mn (R) satisface ipoteza Jn , ceea ce asigur˘a existent¸a solut¸iei unice. Ata¸s˘am sistemului tabloul x1 a1,1 .. .
. . . xn . . . a1,n .. .
1 b1 .. .
an,1 . . . an,n bn ¸si execut˘am algoritmul: Pentru k = 1..n − 1 execut˘a: 1. Liniile {1, 2, . . . , k} se las˘a nemodificate; 2. Elementele coloanei k situate sub diagonala principal˘a se ˆınlocuiesc cu 0; 3. Pentru i ∈ {k + 1, . . . , n} ¸si j ∈ {k + 1, . . . , n, n + 1} elementele se calculeaz˘a cu regula dreptunghiului. (La ˆımp˘art¸irea prin elementul pivot se renunt¸˘a, deoarece ecuat¸ia respectiv˘a se poate ˆınmult¸ii cu elementul pivot.) Rezult˘a un tablou de forma x1 x2 . . . xn 1 c1,1 c1,2 . . . c1,n d1 0 c2,2 . . . c2,n d2 .. .. .. . . . 0 0 . . . cn,n dn c˘aruia ˆıi corespunde sistemul n X i=j
ci,j xj = di
i ∈ {1, 2, . . . , n}.
162
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
a c˘arei solut¸ie este xn = xi =
dn cn,n P di − nj=i+1 ci,j xj ci,i
Exemplu. Rezolv˘am sistemul x + 2x + 3x + 4x +
i ∈ {n − 1, n − 2, . . . , 1}.
algebric de ecuat¸ii liniare 2y 3y 4y y
+ 3z + 4t = + 4z + t = + z + 2t = + 2z + 3t =
11 12 13 14
cu metoda lui Gauss. Utilizˆand algoritmul prezentat, se obt¸in succesiv tablourile x 1 2 3 4
y 2 3 4 1
z 3 4 1 2
t 4 1 2 3
1 11 12 13 14
x y z t 1 1 2 3 4 11 0 −1 −2 −7 −10 0 −2 −8 −10 −20 0 −7 −10 −13 −30
x y z t 1 1 2 3 4 11 0 −1 −2 −7 −10 0 0 −4 4 0 0 0 4 36 40
x y z t 1 1 2 3 4 11 0 −1 −2 −7 −10 . 0 0 −4 4 0 0 0 0 40 40 Sistemul obt¸inut x + 2y + 3z + 4t = 11 y + 2z + 7t = 10 z − t = 0 t = 1 are solut¸ia t = 1, z = 1, y = 1, x = 2. O consecint¸˘a a Teoremei 12.3.3 este Teorema 12.3.4 Dac˘ a matricea A ∈ Mn (R) satisface ipoteza Jn−1 atunci exit˘ a matricea inferior triunghiular˘ a L ¸si o matrice superior triunghiular˘ a U astfel ˆıncˆ at A = LU. Demonstrat¸ie. Din Teorema 12.3.3, rezult˘a existent˘a matricei M = Mn−1 . . . M1 pentru care M A = U este o matrice superior triunghiular˘a. Fiecare matrice Mk
163
12.3. METODA LUI GAUSS – FACTORIZAREA LU
0 . .. 0 T este de forma Mk = I − mk ek , cu vectorul mk de forma mk = (k) µk+1 . . . (k) µn Matricea M este nesingular˘a, deci A = M −1 U. Dar
.
−1 M −1 = (Mn−1 . . . M1 )−1 = M1−1 . . . Mn−1 =
1 (1) µ2 (1) µ3 .. .
n−1 n−1 Y X T T = (I + mk ek ) = I + mk ek = k=1 k+1 (1) µn−1 (1) µn
0 1 (2) µ3 .. .
..
(2) µn−1 (2) µn
1 (n−1) . . . µn 1
.
def = L.
Reprezentarea unei matrice sub forma unui produs de alte matrice se nume¸ste factorizare. Factorizarea dat˘a de Teorema 12.3.4 se nume¸ste factorizarea LU (Lower / Upper) sau LR (Left / Right) ¸si exprim˘a matricea A ca produsul dintre o matrice inferior triunghiular˘a cu o matrice superior triunghiular˘a. O matrice triunghiular˘a se nume¸ste matrice triunghiular˘a unitate dac˘a toate elementele diagonalei principale sunt egale cu 1. Printre factoriz˘arile LU distingem • factorizarea Doolittle, cu matricea inferior tringhiular˘a unitate – cazul Teoremei 12.3.4; • factorizarea Crout, cu matricea superior triunghiular˘a unitate. Observat¸ie 12.3.4 Pentru existent¸a factoriz˘arii LU, cerint¸a ca matricea A s˘a satisfac˘a ipoteza Jn−1 este esent¸ial˘a. De acest fapt, ne putem convinge prin urm˘atorul exemplu: Presupunem, prin absurd, existent¸a unei factoriz˘ari LU pentru 0 1 l1,1 0 u1,1 u1,2 = . 1 1 l2,1 l2,2 0 u2,2 Atunci au loc egalit˘a¸tile contradictorii l1,1 m1,1 = 0, l1,1 m1,2 = 1, l2,1 m1,1 = 1. Observat¸ie 12.3.5
164
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
Dac˘a A = LU, atunci rezolvarea sistemului algebric de ecuat¸ii liniare Ax = b revine la rezolvarea consecutiv˘a a dou˘a sisteme algebrice triunghiulare Ly = b U x = y.
Matrice de permutare. Not˘am prin Pi,j ∈ Mn (R) matricea
Pi,j
1
0 ..
=
← i ← j
. 1 0
1 ..
1
. 0 1 ..
0
. 1
↑
i
↑
j
pe care o numim matrice de permutare. Urm˘atoarele propriet˘a¸ti se stabilesc prin verificare direct˘a: 1. Dac˘a A ∈ Mn (R) atunci Pi,j A este matricea care se obt¸ine din A prin interschimbarea liniilor i ¸si j. 2. Dac˘a A ∈ Mn (R) atunci APi,j este matricea care se obt¸ine din A prin interschimbarea coloanelor i ¸si j. 2 =I 3. Pi,j
⇔
−1 Pi,j = Pi,j .
ˆIn lipsa ipotezei Jn−1 , la pasul k a construct¸iei din demonstrt¸ia Teoremei (k) 12.3.3, nu mai avem asigurat˘a cerint¸a ak,k 6= 0. (k)
Dac˘a ak,k = 0 ¸si exist˘a pe coloana k, sub elementul de pe diagonala principal˘ a un element nenul – fie acesta aik , k (k) – atunci interschimb˘am liniile k ¸si ik . Va
165
12.3. METODA LUI GAUSS – FACTORIZAREA LU
exista atunci o matrice Mk astfel ˆıncˆat (1) (1) (1) (1) a1,1 a1,2 . . . a1,k a1,k+1 (2) (2) (2) a2,2 . . . a2,k a2,k+1 .. .. .. . . . (k) (k) (k+1) (k) A = Mk Pk,ik A = aik ,k aik ,k+1 (k+1) 0 ak+1,k+1 .. .. . . (k+1) 0 an,k+1
(1)
...
a1,n
...
a2,n .. .
...
aik ,n
(2)
(k)
(k+1)
. . . ak+1,n .. . (k+1)
.
. . . an,n
(k)
Dac˘a ak,k = 0 ¸si sub acest element, pe coloana k, toate elementele sunt nule atunci alegem Mk = I (mk = 0) ¸si A(k+1) = A(k) . ˆIn general A(k+1) = Mk Pk A(k) , unde Pk este fie o matrice de permutare, fie matricea unitate. Potrivit rat¸ionamentului din demonstrat¸ia Teoremei 12.3.3, dup˘a n − 1 pa¸si vom avea Mn−1 Pn−1 . . . M2 P2 M1 P1 A = U (12.14) unde U este o matrice superior triangular˘a. Are loc egalitatea imediat˘a Mn−1 Pn−1 . . . M2 P2 M1 P1 A =
(12.15)
Mn−1 (Pn−1 Mn−2 Pn−1 ) (Pn−1 Pn−2 Mn−3 Pn−2 Pn−1 ) .. . (Pn−1 Pn−2 . . . P4 P3 M2 P3 P4 . . . Pn−2 Pn−1 ) (Pn−1 Pn−2 . . . P4 P3 P2 M2 P2 P3 P4 . . . Pn−2 Pn−1 ) Pn−1 Pn−2 . . . P3 P2 P1 A ˜ k = Pn−1 . . . Pk+1 Mk Pk+1 . . . Pn−1 , k ∈ {1, 2, . . . , n − 2} ¸si M ˜ n−1 = Notˆand M Mn−1 . relat¸ia (12.15) se rescrie sub forma ˜ n−1 M ˜ n−2 . . . M ˜ 2M ˜ 1 Pn−1 Pn−2 . . . P2 P1 A. Mn−1 Pn−1 . . . M2 P2 M1 P1 A = M (12.16) ˜ ˆ Matricea Mk are aceasi structur˘a ca ¸si matricea Mk . Intr-adev˘ar ˜ k = Pn−1 . . . Pk+1 (I − mk eT )Pk+1 . . . Pn−1 = M k = I − (Pn−1 . . . Pk+1 mk )(eTk Pk+1 . . . Pn−1 ) = I − m ˜ k eTk ,
166
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
unde m ˜ k = Pn−1 . . . Pk+1 mk are primele k componente egale cu 0. ˜ n−1 . . . M ˜ 2M ˜ 1 )−1 = Fie P = Pn−1 . . . P2 P1 ¸si matricea inferior triunghiular˘a L = (M −1 ˜ −1 −1 ˜ ˜ M1 M2 . . . Mn−1 . Din (12.14) ¸si (12.15) rezult˘a
Teorema 12.3.5 Pentru orice matrica A ∈ Mn (R) exist˘ a o matrice inferior triunghiular˘ a L, o matrice superior triunghiular˘ a U ¸si o matrice P, produs de matrice de permutare astfel ˆıncˆ at
P A = LU.
Exemplu. S˘a se deduc˘a factorizarea LU a matricei
A=
1 2 −1 3 2 2 4 −2 5 1 −1 −2 1 −3 −4 . 3 6 2 10 7 1 2 4 0 4
Ata¸s˘am matricei A tabloul
1 2 −1 3 2 2 4 −2 5 1 −1 −2 1 −3 −4 3 6 2 10 7 1 2 4 0 4
La fiecare pas k, componentele vectorului mk se vor ret¸ine ˆın tablou, ˆın coloana k, sub diagonala principal˘a, ˆın locul elementelor nule. Desf˘a¸surarea calculelor
167
12.4. FACTORIZAREA CHOLESKY
este k = 1 P1 = I
m1 =
k = 2 P2 = I
m2 = 0
0 2 −1 3 1
1 2 −1 3 1 1 2 3 −1 1
k = 3 P3 = P3,4
m3 =
0 0 0 0 1
1 2 3 −1 1
| | | |
2 −1 3 2 0 0 −1 −3 0 0 0 −2 0 5 1 1 0 5 −3 2
|
|
−1 3 2 0 −1 −3 | 5 1 1 | 0 0 −2 | 5 −3 2
2 0 0 0 0 2 0 0 0 0
|
−1 0 5 0 1
3 2 −1 −3 1 1 | 0 −2 | −4 1
|
−1 0 5 1 0
3 −1 1 −4 0
k = 4 P4 = P4,5 m4 = 0 1 2 3 1 −1
|
2 0 0 0 0
|
Atunci L=
1 2 3 1 −1
0 1 0 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
U =
P = P4,5 P3,4
12.4
1 0 0 0 1 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
2 −1 3 2 0 0 −1 −3 0 5 1 1 0 0 −4 1 0 0 0 −2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
Factorizarea Cholesky
ˆIn cazul matricelor simetrice are loc factorizarea
2 −3 1 1 | −2
168
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
Teorema 12.4.1 Dac˘ a A ∈ Mn (R) este o matrice simetric˘ a care satisface ipoteza Jn atunci exist˘ a o matrice inferior triunghiular˘ a K ∈ Mn (R) astfel ˆıncˆ at A = KK T . Demonstrat¸ie. Potrivit Teoremei 12.3.4 exist˘a matricele L, U inferior triunghiular˘a ¸si respectiv, superior triunghiular˘a astfel ˆıncˆat A = LU. Datorit˘a simetriei matricei A, au loc egalit˘a¸tile LU = A = AT = U T LT . Din ipoteza Jn rezult˘a c˘a |A| = |L| |U | = 6 0, ¸si ˆın consecint¸˘a matricele L, U sunt inversabile. Din egalitatea anterioar˘a deducem U (LT )−1 = L−1 U T . Membrul stˆang este o matrice superior triunghiular˘a iar membrul drept o matrice inferior triunghiular˘a. Prin urmare matricea D = U (LT )−1 = L−1 U T este o matrice diagonal˘a. Atunci U = DLT ¸si A = LDLT . Elementele diagonalei matricei D sunt pozitive. ˆIntr-adev˘ar dac˘a 0 .. d1 . T . .. D= , L xi = ei = 1 cu 1 ˆın linia i, .. dn . 0 atunci 0 < < Axi , xi >=< LDLT xi , xi √ d1 .. Definim F = . √ dn
>=< DB T xi , B T xi >=< Dei , ei >= di . ¸si K = LF. Deoarece F 2 = D avem
A = LDLT = LF 2 LT = KK T . Observat¸ie 12.4.1 Dac˘ a matricea A ∈ Mn (R) este strict pozitiv˘ a atunci ea satisface ipoteza Jn . Presupunem prin absurd c˘a exist˘a k ∈ {1, 2, . . . , n} astfel ˆıncˆat |Ak | = 0. ˆIn acest caz exist˘a x1 ∈ Rk , x1 6=0 astfel ˆıncˆ at Ak x1 = 0. Considerˆand partit¸ionarea maAk A1,2 x1 tricei A = ¸si x = ∈ Rn deducem relat¸iile contradictorii A2,1 A2,2 0 0 < < Ax, x >=< Ak x1 , x1 >= 0. Rezult˘a consecint¸a
169
12.5. REZOLVAREA SISTEMELOR TRIDIAGONALE
Teorema 12.4.2 Dac˘ a A ∈ Mn (R) este o matrice simetric˘ a ¸si strict pozitiv˘ a T atunci exist˘ a o matrice inferior triunghiular˘ a K ∈ Mn (R) astfel ˆıncˆ at A = KK . Scriind
K=
k1,1 k2,1 k3,1 .. .
0 k2,2 k3,2 .. .
0 0
... ... ... .. .
k3,3 .. .
0 0 0 .. .
kn,1 kn,2 kn,3 . . . kn,n din egalitatea A = KK T deducem Procedura Cholesky(A) =
12.5
formulele de recurent¸˘a ¸si algoritmul √ k1,1 = a1,1 pentru i = 2, n execut˘a ai,1 | ki,1 = k1,1 | dac˘a i > 2 atunci | | pentru j = 2, i − 1 execut˘a | | |
| |
|
| K
ki,i =
q
ki,j =
ai,i −
ai,j −
Pi−1
s=1
ki,s kj,s
kj,j
Pi−1
2 s=1 ki,s
Rezolvarea sistemelor tridiagonale
Numeroase probleme conduc la sisteme algebrice de forma a1 x1 + c1 x2 = d1 bi xi−1 + ai xi + ci xi+1 = di , 2 ≤ i ≤ n − 1, bn xn−1 + an xn = dn Matricea sistemului
a1 c1 0 0 b2 a2 c2 0 0 b3 a3 c3 ... ... ... ... 0 0 0 0 0 0 0 0
... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... ... ... ... . . . bn−1 an−1 cn−1 ... 0 bn an
(12.17)
are elementele nunule situate ˆın imediata vecin˘atate a diagonalei principale. O asemenea matrice se nume¸ste matrice band˘a. ˆIn cazul de fat¸˘a, lat¸imea benzii
170
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
este 3, matricea numindu-se tridiadonal˘a. Indic˘am o metod˘a eficient˘a relativ la mecesarul de memorie, pentru rezolvarea sistemului (12.17), numit˘a metoda dublului parcurs. Primul parcurs. Din prima ecuat¸ie a sistemului (12.17), explicitˆand pe x1 g˘asim x1 = − ac11 x2 + ad11 , adic˘a o relat¸ie de forma x1 = R2 x2 + S2 cu R2 = − ac11 , S2 = ad11 . Presupunˆand xi−1 = Ri xi + Si ¸si substituind ˆın a i−a ecuat¸ie a sistemului g˘asim bi (Ri xi + Si ) + ai xi + ci xi+1 = di de unde rezult˘a xi =
−ci d i − bi Si xi+1 + = Ri+1 xi+1 + Si+1 . ai + bi Ri ai + bi Ri
Am dedus relat¸iile de recurent¸˘a Ri+1 =
−ci ai + bi Ri
Si+1 =
d i − bi Si ai + bi Ri
i = 2, 3, . . . , n.
Al doilea parcurs. Din relat¸iile xn−1 = Rn xn + Sn bn xn−1 + an xn = dn deducem
d n − bn S n , an + bn Rn = Ri xi + Si calcul˘am succesiv xn−1 , xn−2 , . . . , x1 . xn =
¸si utilizˆand egalit˘a¸tile xi−1
12.6
Metode iterative
Fie A ∈ Mn (R), A = (ai,j )1≤i,j≤n ¸si b ∈ Rn , b = (bi )1≤i≤n . Pentru rezolvarea sistemului algebric de ecuat¸ii liniare Ax = b
(12.18)
consider˘am clasa de metode iterative B
uk+1 − uk + Auk = b, τ
(12.19)
unde B ∈ Mn (R) ¸si τ ∈ R sunt parametri care definesc metoda iterativ˘a. Pornind de la un element arbitrar u0 se construie¸ste un ¸sir (uk )k∈N unde fiecare element reprezint˘a o aproximat¸ie a solut¸iei sistemului algebric (12.18)
171
12.6. METODE ITERATIVE
(bineˆant¸eles dac˘a aceast˘a solut¸ie exist˘a). Astfel vorbim de metode iterative rezolvare a sistemului algebric (12.18). Prezint˘a interes s˘a preciz˘am condit¸iile ˆın care ¸sirul de aproximat¸ii (uk )k∈N converge c˘atre solut¸ia sistemului. Pentru matricea A introducem notat¸iile a1,1 0 .. . , ai,i D= .. . 0 an,n 0 0 0 a1,2 a1,3 . . . a1,n a2,1 0 0 a2,3 . . . a2,n .. .. . .. − + .. .. . A = . . . , A = .. 0 a . n−1,n 0 0 0 an,1 an,2 . . . an,n−1 0
de
.
Cazuri particulare. 1. Metoda Jacobi. Dac˘a ai,i 6= 0, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} atunci explicitˆand necunoscuta xi din ecuat¸ia i obt¸inem xi = −
n X ai,j j=1
ai,i
· xj +
bi ai,i
(12.20)
j6=i
Construim ¸sirul uk = (uk1 , . . . , xkn ) definit prin formulele de recurent¸˘a uk+1 i
=−
n X ai,j j=1
ai,i
· ukj +
bi ai,i
i ∈ {1, . . . , n},
(12.21)
j6=i
k ∈ N, iar prima aproximat¸ie u0 = (u01 , . . . , u0n ) este un element din Rn . Relat¸iile (12.21) se poate scrie sub forma ai,i (uk+1 − uki ) + i
n X
ai,j uki = bi
i ∈ {1, . . . , n}
j=1
sau sub forma matriceal˘a D(uk+1 − uk ) + Auk = b. ˆIn acest caz B = D ¸si τ = 1.
(12.22)
172
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
2. Metoda Gauss-Seidel. Relativ la (12.20), construim ¸sirul uk = (uk1 , . . . , xkn ) definit prin formulele de recurent¸˘a uk+1 = − 1
n X a1,j j=2
uk+1 = − i
i−1 X ai,j j=1
uk+1 = − n
n−1 X j=1
· ukj +
a1,1
ai,i
b1 a1,1
· uk+1 − j
(12.23)
n X ai,j k bi · uj + ai,i ai,i
2≤i≤n−1
j=i+1
an,j bn · uk+1 + j an,n an,n
k ∈ N ¸si U 0 ∈ Rn . Formulele de recurent¸˘a se pot rescrie sub forma i X
ai,j uk+1 j
+
j=1
n X
ai,j ukj = bi
i ∈ {1, . . . , n}
j=i+1
sau sub forma matriceal˘a (A− + D)uk+1 + A+ uk = b, ¸si (A− + D)(uk+1 − uk ) + Auk = b.
(12.24)
Astfel B = A− + D ¸si τ = 1. 3. Metoda relax˘ arii. Fie ω ∈ R∗ . Metoda relax˘arii este dat˘a de (D + ωA− )
uk+1 − uk + Auk = b, ω
(12.25)
adic˘a B = D + ωA− , τ = 1. Se observ˘a c˘a pentru ω = 1 se obt¸ine metoda Gauss-Seidel. Un rezultat simplu de convergent˘a valabil ˆın cazul metodei lui Jacobi ¸si a metodei lui Gauss- seidel este Teorema 12.6.1 Dac˘ a
Pn
j=1
|ai,j | < |ai,i |, i = 1, 2, . . . , n atunci ¸sirul de apro-
j6=i
ximat¸ii (uk )k∈N construit potrivit metodei Jacobi sau metodei Gauss - Seidel converge c˘ atre solut¸ia sistemului algebric (12.18). Demonstrat¸ie. Potrivit Propozit¸iei 11.1.15 matricea A este nesingular˘a, deci sistemul algebric de ecuat¸ii liniare (12.19) are o solut¸ie unic˘a. Cazul metodei Gauss-Seidel. Cazul metodei Jacobi se trateaz˘a asem˘an˘ator.
173
12.6. METODE ITERATIVE
Fie x = (x1 , . . . , xn ) solut¸ia sistemului (12.18) ¸si i acel indice pentru care |uk+1 − xi | = max |uk+1 − xj | = kuk+1 − xk∞ . i j 1≤j≤n
Sc˘azˆand relat¸ia i din (12.23) din relat¸ia corespunz˘atoare din (12.20) obt¸inem uk+1 i
− xi = −
i−1 X ai,j j=1
ai,i
(uk+1 j
n X ai,j k (u − xj ). − xj ) − ai,i j
(12.26)
j=i+1
Notˆand pi =
i−1 X ai,j |, | ai,i j=1
qi =
n X ai,j | | ai,i
j=i+1
din relat¸ia (12.26) deducem |uk+1 i
i−1 n X X ai,j ai,j k+1 − xi | ≤ | · |uj − xj | + | · |ukj − xj | ≤ | | ai,i ai,i j=1
j=i+1
≤ pi · |uk+1 − xi | + qi · max |ukj − xj |. i 1≤j≤n
Atunci kuk+1 − xk∞ = |uk+1 − xi | ≤ i
qi kuk − xk∞ 1 − pi
(12.27)
q
j Fie µ = max{ 1−p : j = 1, 2, . . . , n}. Atunci din ipoteza teoremei rezult˘a c˘a j 0 < µ < 1 ¸si utilizˆand succesiv relat¸iile de tip (12.27) obt¸inem:
kuk − xk∞ ≤ µkuk−1 − xk∞ ≤ µ2 kuk−2 − xk∞ ≤ . . . ≤ µn ku0 − xk∞ . Rezult˘a c˘a: lim kuk − xk∞ = 0,
k→∞
adic˘a convergent¸a ¸sirului (xk )k∈N c˘atre solut¸ia sistemului (12.18). Stabilim un rezultat de convergent¸˘a ˆın alte ipoteze. Teorema 12.6.2 Fie A ∈ Mn (R) o matrice simetric˘ a ¸si strict pozitiv˘ a. Dac˘ a τ k B > 2 A atunci ¸sirul de aproximat¸ii (u )k∈N construit prin metoda iterativ˘ a (12.19) concerge c˘ atre solut¸ia sistemului (12.18).
174
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
Demonstrat¸ie. Not˘am cu x solut¸ia sistemului (12.18) ¸si fie ek = uk −x. Sistemul (12.18) se poate scrie ca x−x B (12.28) + Ax = b. τ Sc˘azˆand (12.28) din (12.19) obt¸inem B
ek+1 − ek + Aek = 0 τ
∀k ∈ N.
(12.29)
Se verific˘a u¸sor egalitatea τ ek+1 − ek ek+1 − ek 2τ < (B − A) , > +kek+1 k2A = kek k2A . 2 τ τ
(12.30)
Matricea P = B − τ2 A fiind strict pozitiv˘a este tare pozitiv˘a, deci exist˘a m > 0 astfel ˆıncˆat < P x, x > ≥ mkxk22 , ∀x ∈ Rn . Din (12.30) deducem kek k2A − kek+1 k2A ≥ 2τ mk
ek+1 − ek 2 k2 = 2τ mkek+1 − ek k22 , τ
¸si ˆın consecint¸˘a ¸sirul (kek k2A )k∈N este convergent (fiind descresc˘ator ¸si m˘argint), de unde lim kek+1 − ek k2 = 0. k→∞
Din (12.29) deducem c˘a ek = −A−1 B
ek+1 − ek τ
¸si apoi kek k2 ≤
1 kA−1 k2 kBk2 kek+1 − ek k. |τ |
Ultima relat¸ie implic˘a limk→∞ ek = 0. Aplic˘am Teorema 12.6.2 ˆın cazul metodei lui Gauss – Seidel ¸si a metodei relax˘arii. Teorema 12.6.3 Dac˘ a A este o matrice simetric˘ a ¸si strict pozitiv˘ a atunci ¸situl de aproximat¸ii construit prin metoda Gauss – Seidel (12.23) converge c˘ atre solut¸ia sistemului (12.18). Demonstrat¸ie. Verific˘am condit¸ia B − τ2 A > 0. τ 1 1 B − A = D + (A− − A+ ). 2 2 2 ¸si atunci τ 1 1 < (B − A)y, y >= < Dy, y > + (< A− y, y > − < A+ y, y >). 2 2 2
175
˘ 12.7. NUMARUL DE CONDIT ¸ IONARE AL UNEI MATRICE
Deoarece A este simetric˘a,P A− = (A+ )T , rezult˘a c˘a < A− y, y >=< A+ y, y > . Totodat˘a < Dy, y >= ni=1 ai,i yi2 . Dac˘a ei este vectorul canonic avˆand 1 pe pozit¸ia i ¸si deoarece A > 0 avem < Aei , ei >= ai,i > 0, Astfel
∀i ∈ {1, 2, . . . , n}.
n
X τ < (B − A)y, y >= ai,i yi2 > 0, 2
∀y ∈ Rn \{0}.
i=1
Teorema 12.6.4 Dac˘ a ω ∈ (0, 2) ¸si A este o matrice simetric˘ a ¸si strict pozitiv˘ a atunci ¸situl de aproximat¸ii construit prin metoda relax˘ arii (12.25) converge c˘ atre solut¸ia sistemului (12.18). Demonstrat¸ie. Utilizˆand rezultatele din demonstrat¸ia Teoremei 12.6.3, g˘asim τ ω ω B − A = (1 − )D + (A− − A+ ). 2 2 2 de unde n
τ ω ω X < (B − A)y, y >= (1 − ) < Dy, y >= (1 − ) ai,i yi2 > 0, 2 2 2
∀y ∈ Rn \{0}.
i=1
12.7
Num˘ arul de condit¸ionare al unei matrice
Consider˘am urm˘atorul exemplu clasic (cf. SABAC I.G., 1983) 0.8642 x 1.2969 0.8648 = · 0.1440 0.2161 0.1441 y avˆand solut¸ia (2, −2) ¸si vectorul x = (0.9911, −0.4870). Calculˆand eroarea r = b − Ax obt¸inem r ' (−10−8 , 10−8 ). Cu toate acestea x nu este o aproximat¸ie bun˘a a solut¸iei sistemului algebric. Deci variat¸ii mici ale datelor (adic˘a a termenilor vectorului liber sau a elementelor matricei) pot furniza variat¸ii importante ale solut¸iei sistemului. Acest fenomen pune ˆın evident¸˘a caracterul instabil al rezolv˘arii unui sistem algebric de ecuat¸ii liniare. Punem ˆın evident¸˘a un indicator care influent¸eaz˘a stabilitatea solut¸iei unui sistem algebric de ecuat¸ii liniare. Avem nevoie de urm˘atoarele rezultate Teorema 12.7.1 Fie A ∈ Mn (R). Dac˘ a kAk < 1 atunci 1. Matricea In − A este inversabil˘ a;
176
CAPITOLUL 12. REZOLVAREA SISTEM. ALGEBRICE LINIARE
2. (In − A)−1 = limn→∞ (In + A + A2 + . . . + An ); 3. k(In − A)−1 k ≤
1 1−kAk .
Teorema 12.7.2 Fie A, B ∈ Mn (R). Dac˘ a (i) matricea A este inversabil˘ a, (ii) kA − Bk <
1 kA−1 k
atunci 1. matricea B este inversabil˘ a; 2. kB −1 k ≤
kA−1 k . 1−kA−1 k kA−Bk
Demonstrat¸ie. Deoarece kIn − A−1 Bk = kA−1 (A − b)k ≤ kA−1 |k kA − Bk < 1, din Teorema 12.7.1 rezult˘a c˘a In − (In − A−1 B) = A−1 B este inversabil˘a ¸si k(A−1 B)−1 k ≤
1 1−
kA−1 k
kA − Bk
.
Atunci (A−1 B)−1 A−1 = (AA−1 B)−1 = B −1 , kB −1 k = k(A−1 B)−1 A−1 k ≤ k(A−1 B)−1 k kA−1 k ≤
kA−1 k . 1 − kA−1 k kA − Bk
Presupunem c˘a ˆın locul rezolv˘arii sistemului algebric de ecuat¸ii liniare Ax = b se rezolv˘a sistemul perturbat (A + δA)y = b + δb, unde δA ∈ Mn (R) ¸si δb ∈ Rn . Dac˘a y − x = δx atunci din (A + δA)(x + δx) = b + δb deducem (A + δA)δx = δb − δAx.
(12.31)
Teorema 12.7.3 Dac˘ a A este o matrice inversabil˘ a ¸si kδAk < matricea A + δA este inversabil˘ a ¸si kδxk kA| kA−1 k ≤ kxk 1 − kA−1 k kδAk
kδAk kδbk + kAk kbk
.
1 kA−1 k
atunci
177
˘ 12.7. NUMARUL DE CONDIT ¸ IONARE AL UNEI MATRICE
Demonstrat¸ie. Dac˘a B = A + δA atunci kB − Ak <
1 . kA−1 k
Potrivit Teoremei −1
k 12.7.2 matricea A + δA este inversabil˘a ¸si k(A + δA)−1 k ≤ 1−kAkA −1 k kδAk . Din (12.31) deducem c˘a δx = (A + δA)−1 (δb − δAx) de unde
kδxk ≤ k(A + δA)−1 k(kδbk + kδAk kxk) ≤
kA−1 k (kδbk + kδAk kxk). 1 − kA−1 k kδAk
ˆImp˘a¸tind prin kxk ¸si utilizˆand inegalitatea kbk = kAxk ≤ kAk kxk g˘asim kδAk kδxk kA| kA−1 k kδbk ≤ ≤ + kxk 1 − kA−1 k kδAk kAk kAk kxk kA| kA−1 k kδAk kδbk ≤ . + 1 − kA−1 k kδAk kAk kbk Num˘arul ℵ(A) = ||A|| · ||A−1 || influent¸eaz˘a stabilitatea rezolv˘arii unui sistem algebric de ecuat¸ii liniare A x = b ˆın sensul c˘a cu cˆat ℵ(A) este mai apropiat de 1 cu atˆat efectul perturb˘arii solut¸iei este mai mic. Num˘arul ℵ(A) se nume¸ste num˘ar de condit¸ionare a matricei A ˆın raport cu norma matriceal˘a considerat˘a. ˆIn cazul exemplului de mai sus 0.1441 −0.8648 −1 8 A = 10 · −0.2161 1.2969 ¸si ˆın consecint¸˘a, g˘asim ℵ(A) ' 3.3 · 108 , ceea ce pune ˆın evident¸˘a caracterul de slab˘a stabilitate a sistemului dat.
Capitolul 13
Transformarea Householder Transformata Householder reprezint˘a instrumentul cu care se vor obt¸ine rezultatele acestui capitol: descompunerea QR a unei matrice, reducerea la forma bidiagonal˘a ¸si la forma Hessenberg a unei matrice.
13.1
Transformata Householder
Fie u ∈ Rn , kuk2 =
√
2 ¸si matricea H = In − uuT .
Teorema 13.1.1 Matricea H este simetric˘ a ¸si ortogonal˘ a. Demonstat¸ie. Au loc egalit˘a¸tile H T = In − (uuT )T = In − (uT )T uT = In − uuT = H ¸si H T H = H 2 = In − 2uuT + (uuT )2 = In − 2uuT + u(uT u)uT = I, deoarece uT u = kuk22 = 2. Teorema 13.1.2 Fie x = (xi )1≤i≤n ∈ Rn astfel ˆıncˆ at kxk2 = 1 ¸si e1 = Rn .
Dac˘ au=
√x±e1 1±x1
atunci kuk2 =
√
0 2 ¸si Hx = ∓e1 .
Demonstat¸ie. Prima egalitate rezult˘a din kuk22 = uT u =
1 0 .. .
(xT ± eT1 )(x ± e1 ) √ = 1 ± x1 178
∈
179
13.1. TRANSFORMATA HOUSEHOLDER
=
kxk22 ± (xT e1 + eT1 x) + ke1 k22 2 ± 2x1 √ =√ = 2. 1 ± x1 1 ± x1
Apoi √ xT ± eT1 kxk2 ± eT1 x 1 ± x1 uT x = √ x = √2 =√ = 1 ± x1 1 ± x1 1 ± x1 1 ± x1 ¸si ˆın consecint¸˘a Hx = (In − uuT )x = x − u(uT x) = x −
√
1 ± x1 u = ∓e1 .
1 not˘am Hx = In − uuT . Matricea Hx Pentru x ∈ Rn , kxk2 = 1 ¸si u = √x±e 1±x1 este numit˘a matricea transform˘arii Householder asociat˘a vectorului x. Din teorema anterioar˘a deducem consecint¸a
Teorema 13.1.3 Dac˘ a x ∈ Rn , x 6= 0 atunci x x = ∓kxk2 e1 . H kxk
(13.1)
2
x Demonstat¸ie. Dac˘a z = kxk atunci kzk2 = 1 ¸si din Teorema 13.1.2 g˘asim 2 Hz z = ∓e1 , de unde Hz x = ∓kxk2 e1 . x +σe ˆIn Teorema 13.1.3 vectorul u ce define¸ste matricea Hz va fi u = qkxk2 x 1 iar 1+σ kxk1 2 1 , dac˘a x1 ≥ 0 . σ= −1 , dac˘a x1 < 0 Relat¸ia (13.1) devine x x = −σkxk2 e1 . (13.2) H kxk 2
Observat¸ie 13.1.1 Din (13.2) rezult˘ a xT H = −σkxk2 eT1
(13.3)
Implementarea transform˘ arii Householder Fie H = In − uuT o matrice Householder ¸si X = [x1 . . . xk ] = (xi,j )1≤i≤n,1≤j≤k ∈ Mn,k (R). Evalu˘am num˘arul de adun˘ari necesare calculului transform˘arii Householder HX. Dac˘a calcul˘am ˆın prealabil matricea H = (hi,j )1≤i,j≤n ¸si apoi produsul HX atunci sunt necesare n adun˘ari pentru un element al matricei produs n X
hi,s xs,j ,
s=1
deci un total de n2 k adun˘ari. Mult mai eficient este urm˘atorul mod de efectuare a calculelor. Calcul˘am ˆın prealabil uT X = uT [x1 . . . xk ] = [uT x1 . . . uT xk ] = v T ,
180
CAPITOLUL 13. TRANSFORMAREA HOUSEHOLDER
pentru care efectu˘am nk adun˘ari, ¸si apoi HX = (In − uuT )X = X − u(uT X) = X x1,1 − u1 v1 . . . x1,k − u1 vk .. .. = . .
− uv T =
xn,1 − u1 vk . . . xn,k − un vk pentru care se mai fac nk adun˘ari. Astfel num˘arul total al adun˘arilor este 2nk.
13.2
Descompunerea QR
Stabilim urm˘atorul rezultat important Teorema 13.2.1 Dac˘ a X ∈ Mn,k (R) atunci exist˘ a o matrice ortogonal˘ a Q ∈ Mn (R) ¸si o matrice superior triunghiular˘ a R ∈ Mk (R) astfel ˆıncˆ at R T Q X= (13.4) 0 }n − k linii. Demonstat¸ie. Induct¸ie matematic˘a dup˘a k, num˘arul coloanelor matricei X. Pentru k = 1, X = [x1 ], cu x1 ∈ Rn . Dac˘a x1 6= 0, utilizˆand transformarea Householder are loc egalitatea −σkx1 k2 0 H x1 x1 = −σkx1 k2 e1 = .. kx1 k2 ← n − 1 linii cu 0. . 0 Dac˘a x1 = 0 atunci Q = In ¸si R = 0. S˘a presupunem ca proprietatea teoremei are loc ˆın cazul unei matrice cu k − 1 coloane. Fie X ∈ Mn,k (R) ¸si partit¸ionarea ei X = [x1 X2 ], unde x1 ∈ Rn ¸si X2 ∈ Mn,k−1 (R). Dac˘a x1 6= 0 ¸si H1 = H x1 atunci kx1 k2
H1 X = [H1 x1 H1 X2 ] =
T ρ1,1 r1,2 0 X2,2
unde ρ1,1 = −σkx1 k2 , r1,2 ∈ Rk−1 , X2,2 ∈ Mn−1,k−1 (R). Potrivit ipotezei induct¸iei exist˘a o matrice ortogonal˘a Q2 ∈ Mn−1 a (R)¸si o matrice superior triunghiular˘ R 2 R2 ∈ Mk−1 (R) astfel ˆıncˆat QT2 X2,2 = Atunci 0 }n − k linii. T ρ1,1 r1,2 1 0 1 0 H1 X = = 0 QT2 0 QT2 0 X2,2
181
13.2. DESCOMPUNEREA QR
T ρ1,1 r1,2 = 0 = R2 0 0 T ρ1,1 r1,2 1 0 T . ¸si ˆın consecint¸˘a Q = ¸si R = 0 QT2 0 R2 Relat¸ia (13.4) se nume¸ste descompunerea QR a matricei X.
T ρ1,1 r1,2 0 QT2 X2,2
Observat¸ie 13.2.1 Descompunerea QR este unic˘ a abstract¸ie f˘ acˆ and de semnele coloanelor lui Q ¸si ale liniiilor lui R. Factorizarea QR. Fie X ∈ Mn,k (R) ¸si descompunerea QR R QT X = 0 }n − k linii.
(13.5)
unde Q ∈ Mn (R) este o matrice ortogonal˘a iar R ∈ Mk (R) este o matrice superior triunghilar˘a. Partit¸ion˘am matricea Q ˆın Q = [ QX |{z}
Q⊥ |{z}
]
k coloane n−k coloane
cu QX ∈ Mn,k (R), Q⊥ ∈ Mn,n−k (R). Deoarece QT Q = In , ˆınmult¸ind (13.5) la stˆanga cu matricea Q obt¸inem R R = QX R. = [QX Q⊥ ] X=Q 0 0 Astfel am dedus Teorema 13.2.2 Dac˘ a X ∈ Mn,k (R) atunci exist˘ a o matrice ortogonal˘ a QX ∈ Mn,k (R) ¸si o matrice superior triunghiular˘ a R ∈ Mk (R) astfel ˆıncˆ at X = QX R.
(13.6)
Relatia (13.6) se nume¸ste factorizarea QR a matricei X. Observat¸ie 13.2.2 Fie X = [x1 . . . xk ] ∈ Mn,k (R) ¸si factorizarea X = QX R cu r1,1 r1,2 . . . r1,n 0 r2,2 . . . r2,n QX = [q1 . . . qk ] R= . .. .. .. .. . . . 0 0 . . . rk,k
.
182
CAPITOLUL 13. TRANSFORMAREA HOUSEHOLDER
Egalˆand coloanele factoriz˘arii deducem x1 = r1,1 q1 x2 = r1,2 q1 + r2,2 q2 .. . xk = r1,k q1 + r2,k q2 + . . . + rk,k qk de unde span{x1 , . . . , xk } = span{q1 , . . . , qk }. Observat¸ie 13.2.3 Factorizarea QR a matricei X = [x1 , . . . , xk ] rezult˘a aplicˆand procedeul de ortogonalizare Gram - Schmidt asupra vectorilor x1 , . . . , xk . Construirea unei matrice ortogonal˘ a cu prima coloan˘ a fixat˘ a. Fie u1 ∈ R, ku1 k = 1. Interpretˆand vectorul x1 ca o matrice n × 1, potrivit descompunerii QR exist˘a o matrice ortogonal˘a Q = [q1 q2 . . . qk ] ∈ Mn (R) ¸si num˘arul real R astfel ˆıncˆat R 0 QT u1 = . (13.7) .. ← n − 1 zerouri 0 dar
QT u1 =
q1T q2T .. . qkT
u1
de unde deducem c˘a qiT u1 = 0, pentru i ∈ {2, . . . , k}. Astfel [u1 q2 . . . qk ] este matricea ortogonal˘a dorit˘a.
13.3
Elemente de teoria celei mai bune aproximat¸ii ˆın Rn
Fie submult¸imea Y ⊂ Rn , x ∈ Rn ¸si k · k o norm˘a ˆın Rn . Problema celei mai bune approximat¸ii a lui x prin elementele submult¸imii Y const˘a ˆın determinarea unui element y0 ∈ Y – bineˆınt¸eles dac˘a el exist˘a astfel ˆıncˆat ky0 − xk = inf ky − xk. y∈Y
ˆIn cadrul considerat urmeaz˘a s˘a preciz˘am:
183
˘ APROXIMAT 13.3. CEA MAI BUNA ¸ IE
• condit¸ii ˆın care problema celei mai bune aproximat¸ii are solut¸ie; • condit¸ii ˆın care solut¸ia este unic˘a; • caracterizare a solut¸iei. Teorema 13.3.1 Problema celei mai bune aproximat¸ii prin elementele submult¸imii Y ⊂ R are cel put¸in o solut¸ie pentru orice x ∈ R dac˘ a ¸si numai dac˘ a Y este ˆınchis˘ a. Demonstrat¸ie. Necesitatea. Fie x ∈ Y . Exist˘a y0 ∈ Y astfel ˆıncˆat ky0 − xk = inf ky − xk = 0. y∈Y
Prin urmare x = y0 ∈ Y, adic˘a Y = Y . Suficient¸a. Fie x ∈ Rn , r > 0 astfel ˆıncˆat Y ∩ B(x, r) 6= 0, unde B(x, r) = {y ∈ Rn : ky − xk ≤ r} ¸si funct¸ia f : R → R definit˘a prin formula f (y) = ky − xk. Funct¸ia f fiind continu˘a, potrivit teoremei lui Weierstass, ˆı¸si atinge minimul pe mult¸imea compact˘a Y ∩ B(x, r), adic˘a exist˘a y0 ∈ Y ∩ B(x, r) astfel ˆıncˆat f (y0 ) ≤ f (y) sau ky0 − xk ≤ ky − xk, ∀y ∈ Y ∩ B(x, r). Dac˘a y ∈ Y ¸si ky −xkr atunci ky −xk > r ≥ ky0 −xk. Astfel y0 este elementul de cea mai bun˘a aproximat¸ie a lui x prin elementele mult¸imii Y. ˆIn cele ce urmeaz˘a, norma spat¸iului liniar Rn va fi norma euclidian˘a k · k2 . Teorema 13.3.2 Dac˘ a Y ⊂ R este o submult¸ime convex˘ a atunci pentru orice n x ∈ R exist˘ a cel mult un element de cea mai bun˘ a aproximat¸ie prin elementele submult¸imii Y. Demonstrat¸ie. Presupunem prin absurd c˘a exist˘a x ∈ Rn pentru care exist˘a cel put¸in dou˘a elemente diferite y1 , y2 ∈ Y de cea mai bun˘a aproximat¸ie a lui x prin elementele mult¸imii Y : ky1 − xk = ky2 − xk = min ky − xk = d. y∈Y
Datorit˘a convexit˘a¸tii y = 12 (y1 + y2 ) ∈ Y ¸si utilizˆand egalitatea paralelogramului deducem 1 1 d2 ≤ ky − xk22 = k (y1 − x) + (y2 − x)k22 = 2 2 1 1 1 1 = 2 k (y1 − x)k22 + k (y2 − x)k22 − k (y1 − x) − (y2 − x)k22 = 2 2 2 2 1 = d2 − ky1 − y2 k22 < d2 , 4 de unde concluzia teoremei. Au loc urm˘atoarele consecint¸e:
184
CAPITOLUL 13. TRANSFORMAREA HOUSEHOLDER
Teorema 13.3.3 Dac˘ a Y ⊂ R este o submult¸ime ˆınchis˘ a ¸si convex˘ a atunci penn tru orice x ∈ R exist˘ a un singur element de cea mai bun˘ a aproximat¸ie prin elementele submult¸imii Y. Teorema 13.3.4 Dac˘ a Y este un subspat¸iu liniar a lui R atunci pentru orice x ∈ Rn exist˘ a un singur element de cea mai bun˘ a aproximat¸ie prin elementele submult¸imii Y. Elementul de cea mai bun˘a aproximat¸ie se poate caracteriza prin Teorema 13.3.5 Fie Y o submult¸ime nevid˘ a, convex˘ a ˆın Rn ¸si x ∈ Rn . y0 ∈ Y este elementul de cea mai bun˘ a aproximat¸ie a lui x prin elementele mult¸imii Y dac˘ a ¸si numai dac˘ a < y0 − x, y0 − y >≤ 0
∀y ∈ Y.
(13.8)
Demonstrat¸ie. Necesitatea. Presupunem prin absurd c˘a exist˘a y ∈ Y astfel 0 −x,y0 −y> ˆıncˆat < y0 − x, y0 − y > > 0. Fie 0 < λ < min{1, 2
2 < y0 − x, y0 − y > } − λ) < ky0 − xk22 , ky0 − yk22
ceea ce contrazice proprietatea de cea mai bun˘a aproximat¸ie a lui y0 . Suficeient¸a. Pentru orice y ∈ Y, folosind (13.8) g˘asim ky0 − xk22 =< y0 − x, y0 − x >=< y0 − x, (y0 − y) + (y − x) >= =< y0 − x, y0 − y > + < y0 − x, y − x >≤< y0 − x, y − x > . Aplicˆand inegalitatea Cauchy-Buniakovsky-Schwartz inegalitetea anterioar˘a devine ky0 − xk22 ≤ ky0 − xk2 ky − xk2 . Dac˘a ky0 − xk2 6= 0 atunci simplificˆand obt¸inem ky0 − xk2 ≤ ky − xk2 , iar dac˘ a ky0 − xk2 = 0 atunci proprietatea normei implic˘a ky0 − xk2 = 0 ≤ ky − xk2 . Teorema 13.3.6 Fie Y un subspat¸iu liniar ˆın Rn ¸si x ∈ Rn . y0 ∈ Y este elementul de cea mai bun˘ a aproximat¸ie a lui x prin elementele subspat¸iului Y dac˘ a ¸si numai dac˘ a < y0 − x, y >= 0 ∀y ∈ Y. (13.9) adic˘ a y0 − x ⊥ Y sau y0 − y ∈ Y ⊥ .
185
˘ APROXIMAT 13.3. CEA MAI BUNA ¸ IE
Demonstrat¸ie. Condit¸ia (13.8) se poate rescrie sub forma < y0 − x, y0 >≤< y0 − x, y >
∀y ∈ Y.
Fixˆand y ∈ Y, pentru orice n ∈ N∗ , ±ny ∈ Y ¸si luˆand ˆın inegalitatea anterioar˘a y = ±ny se obt¸in 1 < y0 − x, y0 > ≤ < y0 − x, y > n 1 − < y0 − x, y0 > ≥ < y0 − x, y > . n Pentru n tinzˆand la infinit, g˘asim < y0 − x, y >= 0. Not˘am prin PY (x) mult¸imea elementelor de cea mai bun˘a aproximat¸ie a lui x prin elementele submult¸imii Y (PY : X → P(Y )). Fie x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn . Definim = span{x1 , . . . , xk },
Y
X = [x1 . . . xk ] ∈ Mn,k (R). Fie factorizarea QR a matricei X, X = QX R. Not˘am: P
= QX QTX ∈ Mn (R),
P⊥ = In − P. Teorema 13.3.7 Au loc relat¸iile: 1. 2. 3. 4. 5.
Px ∈ Y ∀x ∈ Rn ; Px = x ⇔ x∈Y; P 2x = P x ∀x ∈ Rn ; Px = 0 ⇔ x ∈ Y ⊥; PY (x) = P x. ∀x ∈ Rn .
Demonstrat¸ie. Presupunem c˘a QX = [q1 . . . qk ] ¸si Y = span{q1 , . . . , qk }. 1. Fie x ∈ Rn . Concluzia rezult˘a din T T q1 q1 x k .. .. X T T P x = QX QX x = [q1 . . . qk ] . x = [q1 . . . qk ] . = (qj x)qj ∈ Y. qkT
qkT x
j=1
(13.10)
186
CAPITOLUL 13. TRANSFORMAREA HOUSEHOLDER
2. Dac˘a x ∈ Y atunci exist˘a numerele reale c1 , . . . , ck astfel ˆıncˆat
c1 x= cj xj ⇔ x = Xc, c = ... . j=1 ck k X
Atunci P x = QX QTX Xc = QX (QTX QX )Rc = QX Rc = Xc = x. a 4. Dac˘a x ∈ Y ⊥ atunci qjT x = 0, ∀j ∈ {1, . . . , k} ¸si din (13.10) rezult˘a c˘ P x = 0. P Reciproc, din P x = 0 = kj=1 (qjT x)qj , deducem c˘a qjT x = 0, ∀j ∈ {1, . . . , k} sau QTX x = 0, adic˘a x ∈ Y ⊥ . 5. Pentru a ar˘ata c˘a P x este elementul de cea mai bun˘a aproximat¸ie a lui x prin elementele subspat¸iului Y este suficient s˘a verific˘am condit¸ia x − P x ∈ Y ⊥ ⇔ P (x − P x) = 0. Referitor la P⊥ din Teorema 13.3.7 rezult˘a Teorema 13.3.8 Au loc afirmat¸iile 1. P⊥ x ∈ Y ⊥ ∀x ∈ Rn ; 2. P⊥ x = 0 ⇔ x∈Y; 3. P⊥ x = x ⇔ x ∈ Y ⊥;
Demonstrat¸ie. 1. Observ˘am c˘a P P⊥ = P (In − P ) = 0. Observat¸ie 13.3.1 Din egalitatea In = P + P⊥ , pentru orice x ∈ Rn deducem x = P x + P⊥ x; kxk22 = kP xk22 + kP⊥ xk22
Observat¸ie 13.3.2 Dac˘ a ¸si partit¸ion˘ am Q = [ k
QT X
QX |{z} coloane
=
R 0
este descompunerea QR a matricei X
Q⊥ ] atunci P⊥ = Q⊥ QT⊥ . |{z} n−k coloane
187
˘ 13.4. METODA CELOR MAI MICI PATRATE
13.4
Metoda celor mai mici p˘ atrate
Dˆandu-se perechile de puncte (xiP , yi ) ∈ R2 , i ∈ {1, 2, . . . , n} se cere determ minarea funct¸iei F (x, c1 , . . . , cm ) = k=1 ck ϕk (x), unde constantele c1 , . . . , cm sunt alese astfel ˆınˆat sa minimizeze funct¸ionala Φ(λ1 , . . . , λm ) =
n X
[F (xi , λ1 , . . . , λm ) − yi )2 .
(13.11)
i=1
S-a ar˘atat ˆın §7.1 c˘a dac˘a ϕ1 (x1 ) . . . .. U = .
ϕ1 (xn ) .. . ϕm (x1 ) . . . ϕm (xn )
y1 y = ... yn
c1 c = ... cm
atunci c este solut¸ia sistemului algebric de ecuat¸ii liniare U U T c = U y.
(13.12)
ˆIn cele ce urmeaz˘a vom reg˘asi (13.12) pe o alt˘a cale, vom calcula apriori valoarea funct¸ionalei (13.11) ¸si vom obt¸ine o alt˘a form˘a a sistemului (13.12), ˆın care matricea sistemului este superior triunghiular˘a. Introducem notat¸iile ϕi (x1 ) n vi = ... i ∈ {1, . . . , m}, ∈R , ϕi (xn )
Y = span{v1 , . . . , vm }
X = [v1 . . . vm ] = U T .
λ1 .. Dac˘a λ = . atunci funct¸ionala (13.11) se scrie λm Φ(λ) = ky − Xλk22 ,
(13.13)
a c˘arei minimizare revine la cea mai bun˘a aproximare a lui y prin elementele subspat¸iului Y. R T Fie Q X = descompunerea QR a matricei X, parti¸ctionarea Q = 0 [ QX Q⊥ ] ¸si operatorii liniari (matricele) |{z} |{z} m coloane n−n coloane P = QX QTX P⊥ = In − P = Q⊥ QT⊥ .
188
CAPITOLUL 13. TRANSFORMAREA HOUSEHOLDER
Are loc egalitatea X = QX R (13.6). Atunci, utilizˆand rezultatele Teoremelor 13.3.7 ¸si 13.3.8, g˘asim ky − Xλk22 = kP (y − Xλ)k22 + kP⊥ (y − Xλ)k22 = kP y − Xλ)k22 + kP⊥ yk22 . (13.14) Elementul de cea mai bunua aproximat¸ie y0 = Xλ a lui y prin elementele subspat¸iului Y trebuie s˘a satisfac˘a ecuat¸ia (pentru minimizarea funct¸ionalei (13.14) Xλ = P y
(13.15)
ˆın care caz, valoarea funct¸ionalei obiectiv va fi kP⊥ yk22 = kQ⊥ QT⊥ yk22 = kQT⊥ yk22 . ˆInmult¸ind (13.15) cu X T g˘asim X T Xλ = X T P y = (QX R)T QX QTX y = RT QTX y = X T y, adic˘a U U T λ = U y. Altfel, ˆınmult¸ind (13.15) cu QTX g˘asim QTX QX Rλ = QTX QX QTX y, de unde Rλ = QTX y. Algoritmul determin˘arii lui c const˘a din 1. Se formeaz˘a matricea X; 2. Se determin˘a factorizarea QR a matricei X, X = QX R; 3. Se rezolv˘a sistemul Rc = QTX y.
13.5
Bidiagonalizarea unei matrice
O alt˘a aplicat¸ie a transform˘arii Householder este posibilitatea bidiagonaliz˘arii unei matrice ˆın sensul Teorema 13.5.1 Dac˘ a A ∈ Mn (R) atunci exist˘ a matricele ortogonale U, V ∈ A ∈ Mn (R) astfel ˆıncˆ at V T AU este o matrice bidiagonal˘ a. Demonstrat¸ie. Indic˘am un algoritm prin care se construiesc matricele ortogonale U ¸si V care reduc matricea A la o matrice bidiagonal˘a. Succesiv, pentru k = 1, 2, . . . , n − 1 ˆınmult¸im la stˆanga ¸si apoi la dreapta cu transformarea Householder care anuleaz˘a elementele situate sub elementul de pe pozit¸ia (k, k) ¸si respectiv la dreapta elementului de pe pozit¸ia (k, k + 1).
189
13.5. BIDIAGONALIZAREA UNEI MATRICE
Pentru simplitate presupunem A ∈ M4 (R), ˆın reprezentarea lui Wilkinson × × × × × × × × A= × × × × . × × × × Evolut¸ia calculelor ˆın acest caz este k=1 × × × × 0 × × × (1) (1) H4 A = 0 × × × , H4 A 0 × × ×
I1 (1)
H3
Indicele superior corespunde pasului k iar indicele matricei. k=2 × × ! 0 × I1 (1) H4 A = (2) 0 0 H3 0 0 !
I1
(1)
(2) H3
H4 A
!
I1
I2
(1) H3
(2)
H2
× 0 0 × × × . × × × × × ×
× 0 = 0 0
!
inderior indic˘a dimensiunea 0 0 × × , × × × × × ! 0 = 0 0
× 0 0 × × 0 . 0 × × 0 × ×
k=3 × × 0 0 0 × × 0 = 0 0 × × . 0 0 0 ×
!
I2
!
I1
(3) H2
(1)
(2) H3
H4 A
Astfel UT =
I1
!
I2
(1) H3
!
I2
!
(2)
H2
!
I1
(1)
H4
(2)
(3)
H3
H2
¸si V =
!
I1 (1)
H3
Observat¸ie 13.5.1 Prima coloan˘a a matricei V este e1 .
!
I2 (2)
H2
.
190
13.6
CAPITOLUL 13. TRANSFORMAREA HOUSEHOLDER
Reducerea unei matrice la forma Hessenberg
ˆIn mod asem˘an˘ator demonstr˘am Teorema 13.6.1 Dac˘ a A ∈ Mn (R) atunci exist˘ a o matrice ortogonal˘ aQ∈A∈ Mn (R) astfel ˆıncˆ at QT AQ este o matrice Hessenberg. Demonstrat¸ie. Utilizˆand transformata Householder indic˘am un algoritm prin care se construie¸ste matricea ortogonal˘a Q ¸si care reduce matricea A la o matrice Hessenberg. Succesiv, pentru k = 1, 2, . . . , n − 2 ˆınmult¸im la stˆanga ¸si la dreapta cu transformarea Householder care anuleaz˘a elementele coloanei k cuprinse ˆıntre liniile k + 2 ¸si n. Pentru simplitate presupunem A ∈ M4 (R), ˆın reprezentarea lui Wilkinson × × × × × × × × A= × × × × . × × × × Evolut¸ia calculelor ˆın acest caz este k=1 × × × ! ! I1 I1 × × × A = (1) (1) 0 × × H3 H3 0 × ×
× × . × ×
k=2 × × × × × × × × = 0 × × × . 0 0 × ×
!
I2
!
I1
(2) H2
ˆIn consecint¸˘a Q =
I1
A
(1) H3
(2)
H2
(2)
H2 !
I1 (1)
H3
!
I2
(1) H3
!
I2
!
.
Capitolul 14
Calculul numeric al valorilor ¸si vectorilor proprii 14.1
Forma normal˘ a Schur
Rezultatul principal al capitolului este teorema lui Schur potrivit c˘areia orice matrice A ∈ Mm (C) este similar˘a cu o matrice superior triunghiular˘a. Obligatoriu, aceast˘a matrice are pe diagonal˘a valorile proprii ale matricei init¸iale. Aceasta matrice superior triunghiular˘a este forma normal˘a Schur a matricei A. Scopul algoritmului QR va fi tocmai reducerea unei matrice la forma sa normal˘a Schur. Teorema 14.1.1 (Schur) Dac˘ a A ∈ Mn (C) atunci exist˘ a o matrice unitar˘ aU∈ Mn (C) astfel ˆıncˆ at U H AU = T, unde T este o matrice superior triunghiular˘ a avˆ and pe diagonal˘ a valorile proprii ale lui A, care pot ap˘ area ˆın orice ordine. Demonstrat¸ie. Induct¸ie dup˘a n, dimensiunea matricei. Pentru n = 1, matricea A = (a) are valoarea proprie a ¸si pentru U = (1) are loc egalitatea U H AU = (a) = T. S˘a presupunem proprietatea adev˘arat˘a ˆın cazul matricelor de ordin n − 1. Fie A ∈ Mn (C) avˆand perechea proprie (λ1 , v1 ), cu kv1 k2 = 1. Exist˘a o matrice unitar˘a Q avˆand v1 pe prima coloan˘a. Dac˘a Q = [v1 V2 ] atunci H H v1 v1 Av1 v1H AV2 H Q AQ = A [v1 V2 ] = = V2H V2H Av1 V2H AV2 λ1 v1H AV2 λ 1 hH 1 = = , 0 V2H AV2 0 B unde h1 ∈ Cn−1 ¸si B ∈ Mn−1 (C). 191
192
CAPITOLUL 14. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII
Potrivit iporezei induct¸iei exist˘a o matrice unitar˘a W ∈ Mn−1 (C) astfel ˆıncˆ at = S este o matrice superior triunghiular˘a avˆand pe diagonal˘a valorile proprii ale lui B. Valorile proprii ale lui B sunt totodat˘a ¸si valorile proprii ale matricei A. ˆIntr-adev˘ar, deoarece A ¸si QH AQ sunt matrice similare, avem λ − λ1 −hH 1 = (λ − λ1 )|λIn−1 − B|. |λIn − A| = 0 λIn−1 − B
W H BW
Dac˘a U = [v1 V2 W ] atunci v1H v1H Av1 v1H AV2 W H U AU = A[v1 V2 W ] = = W H V2H W H V2H Av1 W H V2H AV2 W =
λ 1 hH 1 W 0 S
= T.
Observat¸ie 14.1.1 Prima coloan˘a a matricei U este vectorul propriu v1 ce corespunde valorii proprii λ1 situat˘a ˆın colt¸ul nord-vest al matricei T. Reamintim c˘a aceast˘a pereche proprie a fost aleas˘a ˆın mod arbitrar. Pentru o matrice real˘a are loc urm˘atoarea versiune a teoremei 14.1.1. Teorema 14.1.2 Dac˘ a A ∈ Mn (R) atunci exist˘ a o Mn (R) astfel ˆıncˆ at T1,1 T1,2 . . . T1,k T2,2 . . . T2,k U T AU = .. .. . . Tk,k
matrice ortogonal˘ a U ∈ ,
unde Ti,i este un bloc de dimensiune 1 cont¸inˆ and o valoare proprie real˘ a sau un bloc de dimensiune 2 corespunzˆ and unei perechi de valori proprii complex conjugate. Demonstrat¸ie. Proced˘am recursiv, deosebind cazul unei perechi propri real˘ a de una complex˘a. Cazul unei perechi proprii reale (λ, x) ∈ R×Rn . Presupunem kxk2 = 1. Exist˘ a o matrice ortogonal˘a V avˆand x drept prima coloan˘a V = [x, V˜ ], V˜ ∈ Mn,n−1 (R). Au loc egalit˘a¸tile T x λ xT AV˜ def λ mT T V AV = = = (14.1) 0 B V˜ T 0 V˜ AV˜
193
˘ SCHUR 14.1. FORMA NORMALA
n Cazul unei perechi propriicomplexe (α + iβ, x + iy) ∈ C × C , α, β ∈ R, x, y ∈ α β Rn . Notˆand M = egalitatea A(x + iy) = (α + iβ)(x + iy) se scrie −β α
A[x y] = [x y]M. Fie T
V [x y] =
R 0
(14.2)
descompunerea QR a matricei [x y] ∈ Mn,2 (R), R ∈ M2 (R). Partit¸ionˆand matricea V = [ V1 V2 ], din (14.3) g˘asim |{z} |{z} 2 col n−2 col R R [x y] = V = [V1 V2 ] = V1 R. 0 0
(14.3)
(14.4)
Egalitatea (14.2) devine AV1 R = V1 RM.
(14.5) def def Vectorii x, y ∈ Rn sunt liniar independent¸i. Vectorii proprii u = x + iy, v = x − iy corespunzˆand valorilor proprii distincte α + iβ ¸si respectiv α − iβ sunt liniar independent¸i. Egalitatea ax + by = 0 implic˘a u+v u−v a − ib a + ib a +b = u+ v = 0, 2 2i 2 2 de unde rezult˘a a ± ib = 0, sau a = b = 0. R este inversabil˘a. Notˆand pentru moment V1 = [v1 v2 ] ¸si R = Matricea p r din (14.4) g˘asim q t x = pv1 + qv2 y = rv1 + tv2 . Presupunˆand prin absurd det(R) = 0 ⇔ pt − qr = 0, din egalit˘a¸tile anterioare deducem tx − qy = (tp − qr)v1 = 0. Prin urmare t = q = 0. Analog, rz −py = 0 implic˘a p = r = 0, de unde x = y = 0, cea ce este imposibil. Astfel relat¸ia (14.5) devine AV1 = V1 RM R−1 = V1 S. Matricea S = RM R−1 are acelea¸si valori proprii ca matricea M, adic˘a α ± iβ. La fel ca ¸si ˆın cazul real, calcul˘am T T V1 V1 T V AV = A[V1 V2 ] = [AV1 AV2 ] = (14.6) V2T V2T T V1 S V1T AV2 def S C = [V1 S AV2 ] = = V2T 0 V2T AV2 0 B Pornind de la (14.1) sau (14.6) rat¸ionamentul se reia pentru matricea B.
194
14.2
CAPITOLUL 14. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII
Diagonalizarea unei matrice
Din teorema 14.1.1 se deduce imediat urm˘atorul rezultat privind reducerea unei matrice la o forma diagonal˘a Teorema 14.2.1 Dac˘ a A ∈ Mm (C) este o matrice hermitian˘ a atunci exist˘ a o matrice unitar˘ a U ∈ Mm (C) astfel ˆıncˆ at U H AU este o matrice diagonal˘ a, avˆ and pe diagonal˘ a valorile proprii ale matricei A, ce apar ˆıntr-o ordine neprecizat˘ a. Demonstrat¸ie. Potrivit Teoremei 14.1.1 exist˘a matricea unitar˘a U ∈ Mm (C) astfel ˆıncˆat T = U H AU este o matrice superior triunghiular˘a avˆand pe diagonal˘ a H valorile proprii ale matricei A, ˆıntr-o ordine neprecizat˘a. Deoarece T = T, matricea T este o matrice diagonal˘a. Demonstrat¸ia rezultatului de diagonalizare a unei matrice oarecare face apel la ecuat¸ia matriceal˘a Sylvester: Dˆandu-se matricele B ∈ Mn−s (C), C ∈ Ms (C) ¸si H ∈ Mn−s,s (C) s˘a se determine matricea X ∈ Mn−s,s (C) astfel ˆıncˆat BX − XC + H = 0.
(14.7)
Un caz ˆın care putem rezolva ecuat¸ia matriceal˘a a lui Sylvester este Teorema 14.2.2 Dac˘ a 1. C este o matrice superior triunghiular˘ a; 2. elementele situate pe diagonala principal˘ a a matricei C nu sunt valori proprii ale matricei B atunci ecuat¸ia matriceala Sylvester (14.7) are solut¸ie unic˘ a. Demonstrat¸ie. Indic˘am o metod˘a de rezolvare a ecuat¸iei (14.7). Dac˘a punem ˆın evident¸˘a matricea C, coloanele matricelor X = [x1 x2 . . . xs ] ¸si H = [h1 h2 . . . hs ] atunci ecuat¸ia (14.7) devine c1,1 c1,2 . . . c1,s 0 c2,2 . . . c2,s B[x1 x2 . . . xs ] − [x1 x2 . . . xs ] . .. = −[h1 h2 . . . hs ], . . . . . . 0
0
. . . cs,s
echivalent cu ¸sirul de sisteme algebrice de ecuat¸ii liniare (B − c1,1 In−s )x1 = −h1 (B − c2,2 In−s )x2 = −h2 + c1,2 x1 .. . (B − cs,s In−s )xs = −hs + c1,s x1 + c2,s x2 + . . . + cs−1,s xs−1 .
195
14.2. DIAGONALIZAREA UNEI MATRICE
Ipoteza teoremei implic˘a |B − ci,i In−s | = 6 0, ∀ i = 1, 2, . . . , s, adic˘a oricare din sistemele algebrice de ecuat¸ii liniare de mai sus au solut¸ie unic˘a. ˆIn cazul unei matrice oarecare are loc urm˘atorul rezultat de diagonalizare Teorema 14.2.3 Dac˘ a A ∈ Mm (C) are valorile proprii distincte dou˘ a cˆ ate dou˘ a λ1 , . . . , λk atunci exist˘ a o matrice nesingular˘ a X ∈ Mn (C) astfel ˆıncˆ at T1,1 T1,2 . . . T1,k T2,2 . . . T2,k X −1 AX = .. , .. . . Tk,k unde Tj,j este o matrice superior triunghiular˘ a avˆ and λi pe diagonal˘ a, j ∈ {1, 2, . . . , k}. Demonstrat¸ie. Potrivit teoremei (14.1.1) exist˘a o matrice unitar˘a U ∈ Mn (C) astfel ˆıncˆat T1,1 T1,2 . . . T1,k T2,2 . . . T2,k U H AU = T = (14.8) .. , .. . . Tk,k unde Tj,j este o matrice superior triunghiular˘a avˆand pe diagonal˘a acea¸si valoare proprie λj . Matricea X se construie¸ste recursiv. Rescriem matricea T sub forma B H T = 0 C ¸si alegem la primul pas B = T1,1 ¸si X = U. Presupunem B ∈ Mn−s (C), C ∈ Ms (C) ¸si H ∈ Mn−s,s (C). Matricea C este superior triunghiular˘a iar elementele ei de pe diagonala principal˘a nu sunt valori proprii ale matricei B. Exist˘a o matrice P ∈ Mn−s,s (C) astfel ˆıncˆat I P B 0 B H I −P . = (14.9) 0 I 0 C 0 C 0 I ˆIntr-adev˘ar, deoarece I −P B H I P B BP − P C + H = . 0 I 0 C 0 I 0 C relat¸ia (14.9) revine la ecuat¸ia matriceal˘a Sylvester BP − P C + H = 0. Totodat˘a −1 I P I −P = . Relat¸ia (14.9) devine 0 I 0 I −1 I P I P B 0 −1 X AX = , 0 I 0 I 0 C
196
CAPITOLUL 14. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII
deci X :=
I P 0 I
U. ˆIn continuare se reia procedeul de mai sus pentru ma-
tricea C. Observat¸ie 14.2.1 Prima coloan˘ a a matricei U este un vector propriu corespunz˘ ator valorii proprii din colt¸ul nord - vest al matricei T. Matricea X p˘ astreaz˘ a nealterat˘ a aceast˘ a coloan˘ a.
14.3
Descompunerea valorii singulare
Teorema 14.3.1 Dac˘ a X ∈ Mn,k (C), n ≥ k atunci exist˘ a matricele ortogonale U ∈ Mn (C) ¸si V ∈ Mk (C) astfel ˆıncˆ at Σ U H XV = , (14.10) 0 unde Σ = diag(σ1 , . . . , σk ), σ1 ≥ σ2 ≥ . . . , ≥ σk . Demonstrat¸ie. Matricea X H X ∈ Mk (C) este hermitian˘a ¸si pozitiv˘a. Potrivit Teoremei de diagonalizare 14.2.1 exist˘a matricea ortogonal˘a V ∈ Mk (C) astfel ˆıncˆat λ1 . . . 0 def (14.11) V H X H XV = ... . . . ... = Σ, 0
. . . λk
unde λ1 , . . . , λk sunt valorile proprii nenegative ale matricei X H X, ap˘arˆand ˆıntr-o ordine neprecizat˘a. Fie λi = σi2 , i ∈ {1, . . . , k}. Presupunˆand c˘a σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σr > 0 = σr+1 = . . . = σk , definim
(r ≤ k).
σ1 . . . 0 Σ1 = diag(σ1 , . . . , σr ) = ... . . . ... . 0 . . . σr
Astfel Σ=
Σ1 0 0 0 r k−r
r k−r ,
Σ2 =
Σ21 0
0 0
λ1 . . . 0 = ... . . . ... . 0 . . . λk
Partit¸ion˘am matricea V ˆın [V1 V2 ], cu r ¸si respectiv k − r coloane.
197
˘ A UNEI MATRICE 14.4. RAZA SPECTRALA
Egalitatea (14.11) se rescrie ˆın H
H
V X XV = =
V1H V2H
X H X[V1 V2 ] =
V1H X H XV1 V1H X H XV2 V2H X H XV1 V2H X H XV2
=
Σ21 0 0 0
(14.12) .
A¸sadar V2H X H XV2 = 0 ¸si V1H X H XV1 = Σ21 . Dac˘a punem ˆın evident¸˘a coloanele matricei XV2 = [q1 . . . qk−r ], atunci din egalitatea H kq1 k22 . . . q1H qk−r q1 .. .. .. V2H X H XV2 = ... [q1 . . . qk−r ] = =0 . . . H 2 qk−r q1 . . . kqk−r k2 qk−r deducem q1 = . . . = qk−r = 0, adic˘a XV2 = 0. Definim U1 = XV1 Σ−1 ∈ Mn,r (C). Deoarece U1H U1 = Σ− 1V1H X H XV1 Σ−1 = I, matricea U1 este ortogonal˘a. Din definit¸ia matricei U1 g˘asim Σ1 = U1H XV1 . Fie U o matrice ortogonal˘a ale c˘arei prime r coloane coincid cu U1 , U = [u1 U2 ] (justificat¸i existent¸a matricei U !). Atunci H H U1 XV1 U1H XV2 U1 H = X[V1 V2 ] = U XV = U2H XV1 U2H XV2 U2H
=
14.4
Σ1 0 0 0
σ1 . . . 0 = ... . . . ... . 0 . . . σk
Raza spectral˘ a a unei matrice
Se nume¸ste raza spectral˘a a matricei A ∈ Mm (C) num˘arul ρ(A) = max{|λ| : λ valoare proprie a matricei A}. Pentru orice norm˘a de matrice are loc Teorema 14.4.1 Are loc inegalitatea ρ(A) ≤ kAk, care poate fi ¸si strict˘ a.
198
CAPITOLUL 14. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII
Demonstrat¸ie. Fie (λ, x) o pereche proprie a matricei A. Din relat¸iile |λ| kxk = kλxk = kAxk ≤ kAk kxk rezult˘a |λ| ≤ kAk, deunde ρ(A) ≤ kAk. 0 1 Matricea nenul˘a are singura valoare proprie λ = 0, deci ρ(A) = 0 0 0 < kAk. p Teorema 14.4.2 Dac˘ a A ∈ Mm (C) atunci kAk2 = ρ(AH A). Demonstrat¸ie. Matricea AH A este hermitian˘a ¸si pozitiv˘a. Dac˘a (λ, x) este o pereche proprie matricei AH A, atunci g˘asim kAxk22 =< Ax, Ax >=< AH Ax, x >=< λx, x >= λkxk22 ¸si ˆın consecint¸˘a λ ≥ 0. Not˘am prin λ0 raz˘a spectral˘a a matricei AH A. Potrivit Teoremei 14.2.1 exist˘a o matrice unitar˘a Q ∈ Mn (C) astfel ˆıncˆat QH AH AQ = D este o matrice diagonal˘a, avˆand pe diagonal˘a valorile proprii ale matricei AH A. Dac˘a λ1 0 y1 . n H .. D= , x ∈ C , Q x = y = .. . 0
λn
yn
atunci au loc egalit˘a¸tile kAxk22 =< Ax, Ax >=< x, AH Ax >=< QQH x, AH Ax >= =< QH x, QH AH Ax >=< y, QH AH AQy >=< y, Dy >=
n X
λj |yi |2 .
j=1
Potrivit definit¸iei lui λ0 , din egalitatea de mai sus rezult˘a kAxk22 ≤ λ0
n X
|yi |2 = λ0 kyk22 = λ0 kQyk22 = λ0 kxk22 ,
j=1
√
sau kAxk2 ≤ λ0 kxk2 . ˆIn consecint¸˘a kAk2 ≤
p
λ0 .
(14.13)
Dac˘a x0 este un vector propriu corespunz˘ator valorii proprii λ0 , AH Ax0 = λ0 x0 , atunci kAx0 k22 =< Ax0 , Ax0 >=< x0 , AH Ax0 >=< x0 , λ0 x0 >= λ0 kx0 k22
199
˘ A UNEI MATRICE 14.4. RAZA SPECTRALA
sau kAx0 k2 =
√
λ0 kx0 k2 . Apoi
√
λ0 kx0 k2 = kAx0 k2 ≤ kAk2 kx0 k2 , de unde p λ0 ≤ kAk2 . (14.14)
Din (14.13) ¸si (14.14) rezult˘a egalitatea cerut˘a. ˆIn cazul unei matrice simetrice, din teorema anterioar˘a deducem Teorema 14.4.3 Dac˘ a A ∈ Mm (R) este o matrice simetric˘ a atunci kAk2 = ρ(A). Demonstrat¸ie. ˆIntr-adev˘ar, au loc relat¸iile q p p kAk2 = ρ(AT A) = ρ(A2 ) = [ρ(A)]2 = ρ(A). ˆIn vederea determin˘arii condit¸iei ˆın care, pentru o matrice A ∈ Mn (C), are loc limk→∞ Ak = 0 stabilim Teorema 14.4.4 Pentru orice matrice A ∈ Mn (C) ¸si orice ε > 0 exist˘ a o norm˘ a k · kA,ε astfel ˆıncˆ at kAkA,ε ≤ ρ(A) + ε. Demonstrat¸ie. Potrivit Teoremei 14.1.1 astfel ˆıncˆat t1,1 t1,2 0 t2,2 U H AU = T = . .. .. . 0
0
exist˘a o matrice unitar˘a U ∈ Mn (C) . . . t1,n . . . t2,n .. .. . . . . . tn,n
= Λ + S,
unde Λ=
t1,1 0 . . . 0 0 t2,2 . . . 0 .. .. .. .. . . . . 0 0 . . . tn,n
,
S=
0 t1,2 . . . t1,n 0 0 . . . t2,n .. .. .. .. . . . . 0 0 ... 0
.
Deoarece matricele A ¸si T sunt similare, ele au acelea¸si valori propri. ˆIn consecint¸˘a ρ(A) = ρ(T ) = ρ(Λ). 1 0 ... 0 0 η ... 0 Fie 0 < η < 1 ¸si Dη = . . . .. . Din egalitatea . . . . . . . n−1 0 0 ... η 0 η t1,2 η 2 t1,3 . . . η n−1 t1,n 0 0 η t2,3 . . . η n−2 t2,n .. .. .. .. Dη−1 SDη = ... . . . . 0 0 0 . . . η tn−1,n 0 0 0 ... 0
200
CAPITOLUL 14. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII
g˘asim kDη−1 SDη k∞ =
max
1≤i≤n−1
n X
|η j−i ti,j | ≤ η
j=i+1
n X
|ti,j | = ηkSk∞
j=i+1
ˆIn continuare kDη−1 T Dη k∞ = kDη−1 ΛDη + Dη−1 SDη k∞ = kΛ + Dη−1 SDη k∞ ≤ ≤ kΛk + kDη−1 SDη k∞ ≤ ρ(A) + ηkSk∞ . Presupunem c˘a η satisface ˆın plus condit¸ia ηkSk∞ < ε. Pentru orice matrice B ∈ Mn (C) definim kBkA,ε = kDη−1 U H BU Dη k∞ . Atunci kAkA,ε = kDη−1 U H AU Dη k∞ = kDη−1 T Dη k∞ ≤ ρ(A) + ηkSk∞ < ρ(A) + ε. Teorema 14.4.5 Pentru orice matrice A ∈ Mn (C) ¸si orice ε > 0 exist˘ a un num˘ ar τ > 0 astfel ˆıncˆ at ρk (A) ≤ kAk ≤ τ [ρ(A) + ε]k .
Demonstrat¸ie. Deoarece ˆın spat¸ii liniare finit dimensionale, oricare dou˘a norme sunt echivalente, exist˘a τ > 0 astfel ˆıncˆat kBk ≤ τ kBkA,ε ,
∀B ∈∈ Mn (C),
unde k · k este o norm˘a de matrice iar k · kA,ε este norma introdus˘a de Teorema 14.4.4. ˆIn concluzie ρk (A) = ρ(Ak ) ≤ kAk ≤ τ kAk kA,ε ≤ τ kAkkA,ε < τ [ρ(A) + ε]k . Din teorema anterioar˘a rezult˘a imediat Teorema 14.4.6 Fie A ∈ Mn (C). Are loc echivalent¸a lim Ak = 0 ⇔ ρ(A) < 1.
k→∞
201
14.5. METODA PUTERII
14.5
Metoda puterii
O matrice A ∈ Mn (C) este cu valoare proprie dominant˘a dac˘a valorile proprii – eventual renotate – satisfac inegalit˘a¸tile |λ1 | > |λ2 | ≥ . . . ≥ |λn |. ˆIn cazul unei matrice cu valoare proprie dominant˘a, metoda puterii determin˘a valoarea proprie dominant˘a ˆımpreun˘a cu un vector propriu corespunz˘ator. Fie u0 ∈ Cn . Metoda puterii const˘a ˆın construirea ¸sirurilor (uk )k∈N ¸si (λk1 )k∈N definite prin formulele uk+1 = σk Auk , (14.15) unde (σk )k∈N este un ¸sir numeric fixat apriori, ¸si respectiv λk1 =
< Auk , uk > kuk k22 .
(14.16)
Teorema 14.5.1 Au loc formulele uk = σk−1 σk−2 . . . σ0 Ak u0 , < Ak+1 u0 , Ak u0 > λk1 = . kAk u0 k22
(14.17) (14.18)
Demonstrat¸ie. Formula (14.17) se demonstreaz˘a prin induct¸ie matematic˘a, iar (14.18) rezult˘a din (14.16) ¸si (14.17) λk1 =
< σk−1 σk−2 . . . σ0 Ak+1 u0 , σk−1 σk−2 . . . σ0 Ak u0 > < Ak+1 u0 , Ak u0 > = . 2 kσk−1 σk−2 . . . σ0 Ak u0 k2 kAk u0 k22 k
Uzual, se alege σk = kAu1k k2 , ˆın care caz uk = kAAk uu0k . 0 2 Rezultatele de convergent¸˘a ale metodei puterii sunt Teorema 14.5.2 Fie A ∈ Mn (C) o matrice nedefectiv˘ a ¸si cu valoare proprie dominant˘ a avˆ and valorile proprii |λ1 | > |λ2 | ≥ . . . ≥ |λn | cu vectorii proprii P corespunz˘ atori x1 , x2 , . . . , xn , ce formeaz˘ a o baz˘ a ˆın Cn . Dac˘ a u0 = ni=1 ci xi , cu atre λ1 . c1 6= 0, atunci ¸sirul (λk1 )k∈N construit prin formula (14.16) converge c˘
14.6
Algoritmul QR
Algoritmul QR reduce o matrice la forma normal˘a Schur. Cele dou˘a matrice fiind similare, elementele de pe diagonala formei normale Schur sunt valorile proprii ale matricei.
202
CAPITOLUL 14. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII
Fie A ∈ Mn (C). Ideea algoritmului este: dac˘a λ ∈ C ¸si q ∈ Cn sunt o valoare proprie, respectiv un vector propriu la stˆanga ale matricei A, kqk2 = 1, q H A = λq H , atunci exist˘a o matrice unitar˘a Q, avˆand q pe ultima coloan˘a, Q = (Q∗ , q), pentru care H H H Q∗ Q∗ AQ∗ Q∗ Aq Q∗ AQ∗ Q∗ Aq H Q AQ = A(Q∗ , q) = = . qH q H AQ∗ q H Aq 0 λ ˆIn felul acesta s-a zerorizat ultima coloan˘a pˆan˘a la elementul diagonal, pozit¸ie pe care este valoarea proprie λ. Problema legat˘a de aceast˘a schem˘a este aceea c˘a nu se cunoa¸ste q. Totodat˘a se dore¸ste ca, ˆın forma normal˘a Schur, valorile proprii s˘a apar˘a ˆın ordine descresc˘atoare a modulului. Astfel pe pozit¸ia (n, n) se va afla o valoare proprie de modul minim, sau de modul maxim pentru matricea A−1 (ˆın cazul inversabilit˘a¸tii acesteia).1 Pentru determinarea lui q se va efectua o iterat¸ie cu metoda puterii aplicat˘ a matricei (A − kIn )−1 , aproximat¸ia init¸ial˘a fiind (u0 :=)en . Astfel qH =
eTn (A − kIn )−1 keTn (A − kIn )−1 k2 .
(14.19)
k este un parametru ales astfel ˆıncˆat matricea A − kIn s˘a fie inversabil˘a. Matricea unitar˘a Q, avˆand q pe ultima coloan˘a, se determin˘a din factorizarea QR a matricei A − kIn = QR. Pentru a justifica acest fapt, deducem egalit˘a¸tile r1,1 r1,2 . . . r1,n 0 r2,2 . . . r2,n T eTn R = eTn . .. = rn,n en , .. .. . . 0 QH
0
. . . rn,n
= R(A − kIn )−1 ,
q = Qen . Atunci, utilizˆand aceste relat¸ii, avem q H = eTn QH = eTn R(A − kIn )−1 = rn,n eTn (A − kIn )−1 .
(14.20)
1 Deorece kqk2 = kq H k2 = 1, din egalitatea anterior˘a deducem c˘a rn,n = keT (A−kI −1 k . n) 2 n Substituind ˆın (14.20) se reg˘ase¸ste (14.19), adic˘a Q este matricea dorit˘a. Produsul QH AQ rezult˘a din
RQ = QH (A − kIn )Q = QH AQ − kIn
⇒
QH AQ = RQ + kIn .
Includem aceste calcule ˆıntr-un ¸sir de aproximat¸ii Aj+1 = QH j Aj Qj cu A0 = A. Algoritmul pentru calculul lui Aj+1 este: 1
Pentru o matrice inversabil˘ a, valorile proprii ale inversei sunt inversele valorilor proprii ale matricei.
203
14.6. ALGORITMUL QR
P1 Se alege kj astfel ˆıncˆat matricea Aj − kj In s˘a fie inversabil˘a; P2 Se calculeaz˘a factorizarea QR: Aj − kj In = Qj Rj ; P3 Aj+1 = Rj Qj + kj In . Pentru stabilirea unui rezultat de convergent¸˘a omitem pentru moment indicele j de iterat¸ie. S˘a presupunem ˆ ˆ h B h B ˆ . Aj = A = Aj+1 = A = gH µ gˆH µ ˆ ¸si
B − kIn−1 h Aj − kj In = A − kIn = = gH µ−k P f S r = = QR, eH π 0 ρ P f S r ˆ . Aj+1 − kj In = A − kIn = RQ = eH π 0 ρ
(14.21)
(14.22)
Deoarece Q este o matrice p˘atrat˘a ortogonal˘a, din egalit˘a¸tile kf k22 + |π|2 = keH k22 + |π|2 = 1 deducem kf k2 = kek2 ¸si |π| ≤ 1. ˆIn ipoteza ∃S −1
¸si
kS −1 k2 ≤ σ
(14.23)
din expresia blocului sud-vest a produsului QR (14.21) g H = eH S rezult˘a keH k2 = kg H S −1 k2 ≤ kg H k2 kS −1 k2 ≤ σkg H k2 sau kek2 ≤ σkgk2 .
(14.24)
Egalˆand expresiile situate ˆın colt¸urile sud-est ale egalit˘a¸tii QH (A − kIn ) = R, ce rezult˘a din (14.21), g˘asim fHh + π ¯ (µ − k) = ρ, de unde |ρ| ≤ kf H k2 khk2 + |¯ π ||µ − k| ≤ σkgk2 khk2 + |µ − k|.
(14.25)
Egal˘am expresiile situate ˆın colt¸ul sud-vest a egalit˘a¸tii (14.22) ¸si g˘asim gˆH = din care rezult˘a
ρeH ,
kˆ g k2 = kˆ g H k2 = |ρ|keH k2 ≤ (σkgk2 khk2 + |µ − k|)σkgk2 =
204
CAPITOLUL 14. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII
= σ 2 kgk22 khk + σkgk2 |µ − k|, dup˘a ce am utilizat pe rˆand (14.25) ¸si (14.24). Revenind la indici de iterat¸ie, inegalitatea anterioar˘a se scrie kgj+1 k2 ≤ σj2 kgj k22 khj k + σj kgj k2 |µj − kj |.
(14.26)
ˆInt˘arind ipoteza (14.23) are loc urm˘atorul rezultat de convergent¸˘a Teorema 14.6.1 Dac˘ a kj = µj ,
kSj−1 k2 ≤ σ,
∃j0 ∈ N
astfel ˆıncˆ at
khj k2 ≤ η,
∀j ∈ N,
σ 2 ηkgj0 k2 < 1
atunci limj→∞ gj = 0. Demonstrat¸ie. ˆIn ipotezele teoremei, inegalitatea (14.26) devine kgj+1 k2 ≤ σ 2 ηkgj k22 .
(14.27)
Prin induct¸ie matematic˘a ar˘at˘am kgj0 +k k2 ≤ (σ 2 ηkgj0 k2 )k kgj0 k2 ,
∀k ∈ N∗ .
Pentru k = 1, din (14.27) avem kgj0 +1 k2 ≤ σ 2 ηkgj0 k22 = (σ 2 ηkgj0 k2 )kgj0 k. Dac˘a kgj0 +k−1 k2 ≤ (σ 2 ηkgj0 k2 )k−1 kgj0 k2 ≤ kgj0 k2 atunci kgj0 +k k2 ≤ σ 2 ηkgj0 +k−1 k22 ≤ σ 2 ηkgj0 k2 kgj0 +k−1 k2 ≤ (σ 2 ηkgj0 k2 )k kgj0 k2 . Din inegalitatea demonstrat˘a urmeaz˘a imediat limj→∞ gj = 0.
R˘ ad˘ acinile unui polinom ca valorile proprii ale unei matrice Putem determina r˘ad˘acinile polinomului P (x) = xn +a1 xn−1 +. . .+an−1 x+an calculˆand valorile proprii ale matricei −a1 −a2 −a3 . . . −an−1 −an 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 (14.28) A= . .. .. .. . . 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 1 0
205
14.6. ALGORITMUL QR
Polinomul caracteristic ata¸sat matricei A este λ + a1 a2 a3 −1 λ 0 0 −1 λ f (λ) = |λIn − A| = .. . 0 0 0 0 0 0
. . . an−1 an ... 0 0 ... 0 0 .. . .. . . ... λ 0 . . . −1 λ
Succesiv, ˆınmult¸im coloanele 1, 2, . . . , n − 1 cu λ ¸si ˆıl adun˘am la coloana al˘aturat˘a din dreapta. ˆIn final obt¸inem f (λ) = 2 3 2 λ + a1 λ + a1 λ + a2 λ + a1 λ + a2 λ + a3 . . . λn−1 + a1 λn−2 + . . . + an−2 λ + an−1 P (λ) 0 0 ... 0 0 −1 0 −1 0 ... 0 0 . . = .. . .. . . 0. 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... −1 0 Dezvoltˆand acest determinant dup˘a ultima coloan˘a g˘asim f (λ) = P (λ).
Probleme ¸si teme de seminar P 14.1 S˘ a se arate c˘ a polinomul caracteristic al unei matrice triunghiulare simetrice a1 b1 0 . . . 0 0 0 b1 a2 b2 . . . 0 0 0 0 b2 a3 . . . 0 0 0 T = . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . bn−2 an−1 bn−1 0 0 0 . . . bn−1 an bn este f (λ) = fn (λ) unde (fk (λ))0≤k≤n este definit 1 λ − a1 fk (λ) = (λ − ak )fk−1 (λ) − b2k−1 fk−2 (λ)
prin formula de recurent¸˘ a pentru k = 0 pentru k = 1 pentru k ∈ {2, . . . , n}
Utilizˆ and acest rezultat s˘ a se dezvolte o metod˘ a pentru calculul polinomului caracteristic al unei matrice simetrice. Indicat¸ie. Se aduce matricea simetric˘a la forma Hessenberg.
Capitolul 15
Descompunerea valorii singulare (DVS) 15.1
Descompunerea valorii singulare
Teorema 15.1.1 Dac˘ a X ∈ Mn,k (C), n ≥ k atunci exist˘ a matricele unitare U ∈ Mn (C) ¸si V ∈ Mk (C) astfel ˆıncˆ at Σ H , U XV = (15.1) 0 unde Σ = diag(σ1 , . . . , σk ), σ1 ≥ σ2 ≥ . . . , ≥ σk . Numerele σi se numesc valori propri ale matricei X iar coloanele matricelor U ¸si V se numesc vectori singulari la stˆanga ¸si respectiv la dreapta ale matricei X. Prezent˘am dou˘a demonstrat¸ii ale acestui rezultat. Demonstrat¸ia 1. Not˘am prin r indicele pentru care σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σr > 0 = σr+1 = . . . = σk . Distingem dou˘a cazuri. Cazul X = 0. ˆIn acest caz U = In , V = Ik , Σ = 0, r = 0. Cazul X 6= 0. Sfera unitate ˆın Ck fiind compact˘a, exist˘a v1 ∈ Ck astfel ˆıncˆat kXk2 = sup kXvk2 = kXv1 k2 . kvk2 =1 Xv1 Fie u1 = kXk ∈ Cn . Exist˘a matricele unitare U1 ∈ Mn (C) ¸si V1 ∈ Mk (C) avˆand 2 pe prima coloan˘a vectorii u1 ¸si respectiv v1 :
˜1 ] U1 = [u1 U
V1 = [v1 V˜1 ]. 206
207
15.1. DESCOMPUNEREA VALORII SINGULARE
Definim Σ
(1)
=
U1H XV1
Atunci
=
uH 1 ˜H U 1
X[v1 V˜1 ] =
˜ uH uH 1 Xv1 1 X V1 H H ˜ ˜ U1 Xv1 U1 X V˜1
.
(15.2)
def H uH 1 Xv1 = u1 kXk2 u1 = kXk2 = σ1 , ˜1H u1 = 0. ˜1H Xv1 = kXk2 U U
H si U ˜ ˜ H X V˜1 = B expresia matricei Σ(1) devine Notˆand uH 1 X V1 = w ¸ 1 σ1 w H (1) Σ = . 0 B1
ˆInmult¸irea matricei X la stˆanga ¸si la dreapta cu cˆate a matrice unitar˘a p˘astreaz˘a norma euclidian˘a (Propozit¸ia 11.1.7) kΣ(1) k2 = kXk2 = σ1 . Apoi kΣ
(1)
σ1 w
k22
=k
σ12 + wH w B1 w
k22 = (σ12 + wH w)2 + kB1 wk22 ≥ (σ12 + kwk22 )2 .
Pe de alt˘a parte 2 σ1 σ1 + w H w k22 = σ12 (σ12 + kwk22 ). kΣ(1) k22 ≤ kΣ(1) k22 k B1 w w Prin urmare (σ12 + kwk22 )2 ≤ σ12 (σ12 + kwk22 ) sau σ12 + kwk22 ≤ σ12 , adic˘a kwk2 = 0 ⇔ w = 0. Astfel σ1 0 (1) Σ = . 0 B1 S˘a presupunem c˘a s-au efectuat j − 1 pa¸si: H Σ(j−1) = Uj−1 . . . U1H XV1 . . . Vj−1 =
(j−1)
Σ1 0
0 Bj−1
! ,
unde Σ1 = diag(σ1 , . . . , σj−1 ), iar σ1 ≥ . . . ≥ σj−1 > 0. Relu˘am procedura de mai sus. Dac˘a Bj−1 = 0 atunci r = j − 1. ˜j ∈ Mn−j+1 (C), V˜j ∈ Dac˘a Bj−1 6= 0 atunci exist˘a matricele unitare U Mk−j+1 (C) astfel ˆıncˆat σj 0 H ˜ ˜ Uj Bj−1 Vj = 0 Bj
208
CAPITOLUL 15. DESCOMPUNEREA VALORII SINGULARE
unde σj = kBj−1 k2 > 0 ¸si Bj ∈ Mn−j,k−j (C). Definim Uj =
Ij−1 0 ˜j 0 U
∈ Mn (C)
Vj =
UjH XVj
Σ1 0
Ij−1 0 0 V˜j
∈ Mk (C)
¸si Σ
(j)
=
(j)
=
0 Bj
! ,
(j)
cu Σ1 = diag(σ1 , . . . , σj ). R˘amˆane de ar˘atat c˘a σj ≤ σj−1 : σj−1 0 σj−1 = kBj−2 k2 = k k2 ≥ kBj−1 k2 = σj . 0 Bj−1 Procedeul descris mai sus continu˘a cˆat timp Bj 6= 0, iar r va fi ultimul indice (r) pentru care Bj 6= 0. Astfel, U = Ur . . . U1 , Vr = V1 . . . Vr , Σ = Σ(r) , Σ1 = Σ1 ¸si Σ = U H XV. Demonstrat¸ia 2. Matricea X H X ∈ Mk (C) este hermitian˘a ¸si pozitiv˘a. Potrivit Teoremei de diagonalizare 14.2.1 exist˘a matricea unitar˘a V ∈ Mk (C) astfel ˆıncˆ at λ1 . . . 0 def V H X H XV = ... . . . ... = Σ, (15.3) 0
. . . λk
unde λ1 , . . . , λk sunt valorile proprii nenegative ale matricei X H X, ap˘arˆand ˆıntr-o ordine neprecizat˘a. Fie λi = σi2 , i ∈ {1, . . . , k}. Presupunˆand c˘a σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σr > 0 = σr+1 = . . . = σk , definim
(r ≤ k).
σ1 . . . 0 Σ1 = diag(σ1 , . . . , σr ) = ... . . . ... . 0 . . . σr
Astfel Σ=
Σ1 0 0 0 r k−r
r k−r ,
Σ2 =
Σ21 0
0 0
λ1 . . . 0 = ... . . . ... . 0 . . . λk
Partit¸ion˘am matricea V ˆın [V1 V2 ], cu r ¸si respectiv k − r coloane.
209
˘ 15.2. METODA CELOR MAI MICI PATRATE PRIN DVS
Egalitatea (15.3) se rescrie ˆın H
H
V X XV = =
V1H V2H
X H X[V1 V2 ] =
V1H X H XV1 V1H X H XV2 V2H X H XV1 V2H X H XV2
=
Σ21 0 0 0
(15.4) .
A¸sadar V2H X H XV2 = 0 ¸si V1H X H XV1 = Σ21 . Dac˘a punem ˆın evident¸˘a coloanele matricei XV2 = [q1 . . . qk−r ], atunci din egalitatea H kq1 k22 . . . q1H qk−r q1 .. .. .. V2H X H XV2 = ... [q1 . . . qk−r ] = =0 . . . H 2 qk−r q1 . . . kqk−r k2 qk−r deducem q1 = . . . = qk−r = 0, adic˘a XV2 = 0. Definim U1 = XV1 Σ−1 ∈ Mn,r (C). Deoarece U1H U1 = Σ− 1V1H X H XV1 Σ−1 = I, matricea U1 este unitar˘a. Din definit¸ia matricei U1 g˘asim Σ1 = U1H XV1 . Fie U o matrice unitar˘a ale c˘arei prime r coloane coincid cu U1 , U = [u1 U2 ] (justificat¸i existent¸a matricei U !). Atunci H H U1 XV1 U1H XV2 U1 H X[V1 V2 ] = U XV = = U2H U2H XV1 U2H XV2
=
15.2
Σ1 0 0 0
σ1 . . . 0 = ... . . . ... . 0 . . . σk
Metoda celor mai mici p˘ atrate prin DVS
Fie X ∈ Mn,k (C) ¸si y ∈ Cn . Ne propunem s˘a determin˘am λ ∈ Ck , de norm˘a euclidian˘a minim˘a care minimizeaz˘a funct¸ionala (13.11) Φ(λ) = ky − Xλk22 . Utilizˆand Teorema 15.1.1, exist˘a matricele unitare U ∈ Mn (C) ¸si V ∈ Mk (C) astfel ˆıncˆat Σ1 0 H U XV = Σ = , 0 0
210
CAPITOLUL 15. DESCOMPUNEREA VALORII SINGULARE
unde Σ1 = diag(σ1 , . . . , σr ), σi 6= 0, i ∈ {1, . . . , r}. Astfel X = U ΣV H ¸si ky − Xλk2 = kU (U H y − XV H λk2 = kU H y − ΣV H λk2 . µ1 z1 H H Notˆand V λ = µ = , U y = z = cu µ1 , z1 ∈ Cr ¸si µ2 ∈ µ2 z2 Ck−r , z2 ∈ Cn−r expresia funct¸ionalei obiectiv devine z1 µ1 H h 2 Φ(λ) = kU y − ΣV λk2 = k −Σ k22 = z2 µ2 =k
z1 z2
−
Σ1 µ1 0
k22 = kz1 − Σ1 µ1 k22 + kz2 k22 .
Aceast˘a expresie este minim˘a pentru z1 − Σ1 µ1 = 0 sau µ1 = Σ−1 1 z1 . Norma euclidian˘a a lui λ 1
1
2 2 2 kλk2 = kV µk2 = kµk2 = (kµ1 k22 + kµ2 k22 ) 2 = (kΣ−1 1 z1 k2 + kµ2 k2 )
este minim˘a pentru µ2 = 0. A¸sadar −1 −1 −1 z1 0 0 Σ 1 z1 Σ1 Σ1 U H y. =V =V λ=Vµ=V z2 0 0 0 0 0 Punˆand ˆın evident¸˘a coloanele metricelor U = [u1 . . . un ] ¸si V = [v1 . . . vk ], expresia solut¸iei de norm˘a minim˘a a elementului de aproximare construit prin metoda celor mai mici p˘atrate devine r X uH j y λ= vj . σj j=1
Capitolul 16
Spat¸ii Krylov 16.1
Definit¸ia spat¸iului Krylov
Fie A ∈ Mn (R) ¸si x ∈ Rn . Definit¸ie 16.1.1 Se nume¸ste spat¸iu Krylov de ordin k ata¸sat matricei A ¸si vectorului x subspat¸iul liniar Kk (A, x) = span{x, Ax, . . . , Ak−1 x}.
16.2
Descompunerea Arnoldi
Utilizˆand metoda Gram-Schmidt construim o baz˘a ortonormat˘a spat¸iului Krylov Kk (A, x). x Fie u1 = kxk . ˆIn continuare, definim 2 h2,1 u2 = Au1 − h1,1 u1
(16.1)
h3,2 u3 = Au2 − h1,2 u1 − h2,2 u2 .. . hj+1,j uj+1 = Auj − h1,j u1 − h2,j u2 − . . . − hj,j uj .. . hk+1,k uk+1 = Auk − h1,k u1 − h2,k u2 − . . . − hj,k uj − . . . − hk,k uk Din condit¸ia de ortogonalitate uTi uj+1 = 0 deducem hi,j = uTi Auj
∀j ∈ {1, 2, . . . , j}
iar din condit¸ia de normalitate kuj + 1k2 = 1 g˘asim hj+1,j = kAuj −
j X i=1
211
hi,j ui k2 .
212
CAPITOLUL 16. SPAT ¸ II KRYLOV
Relat¸iile (16.1) se scriu Au1 = h1,1 u1 + h2,1 u2
(16.2)
Au2 = h1,2 u1 + h2,2 u2 + h3,2 u3 .. . Auk = h1,k u1 + h2,k u2 + . . . + hk,k uk + hk+1,k uk+1 Ansamblul relat¸iilor (16.2) se pot scrie sub forma A[u1 u2 . . . uk ] = [u1 u2 . . . uk ]
h1,1 h1,2 h2,1 h2,2 0 h3,2 .. .. . . 0 0
. . . h1,k−1 . . . h2,k−1 . . . h3,k−1 .. .. . . . . . hk,k−1
h1,k h2,k h3,k .. .
+
(16.3)
hk,k
+hk+1,k [0, . . . , 0, uk+1 ] | {z } k−1
sau A[u1 u2 . . . uk ] = [u1 u2 . . . uk+1 ]
h1,1 h1,2 h2,1 h2,2 0 h3,2 .. .. . . 0 0 0 0
. . . h1,k−1 h1,k . . . h2,k−1 h2,k . . . h3,k−1 h3,k .. .. .. . . . . . . hk,k−1 hk,k ... 0 hk+1,k
. (16.4)
Introducˆand matricele Uk = [u1 . . . uk ]
Hk =
h1,1 h1,2 h2,1 h2,2 0 h3,2 .. .. . . 0 0
Uk+1 = [u1 . . . uk uk+1 ]
Hk+1,k
=
. . . h1,k−1 . . . h2,k−1 . . . h3,k−1 .. .. . . . . . hk,k−1
h1,1 h1,2 h2,1 h2,2 0 h3,2 .. .. . . 0 0 0 0
h1,k h2,k h3,k .. .
∈ Mk (R)
hk,k
. . . h1,k−1 h1,k . . . h2,k−1 h2,k . . . h3,k−1 h3,k .. .. .. . . . . . . hk,k−1 hk,k ... 0 hk+1,k
16.3. REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE DE ECUAT ¸ II LINIARE
213
relat¸iile (16.3) ¸si (16.4) se scriu respectiv (k)T
AUk = Uk Hk + hk+1,k uk+1 ek
(16.5)
¸si respectiv AUk = Uk+1 Hk+1,k .
(16.6)
(k)
reprezint˘a vectorul din baza canonic˘a a spat¸iului liniar Rk . Relat¸iile (16.5) ¸si (16.6) se numesc descompuneri Arnoldi a spat¸iului Krylov Kk (A, x). Matricele Uk ¸si Uk+1 sunt ortogonale. ˆInmult¸ind (16.5) ¸si (16.6) la stˆanga cu T T Uk ¸si respectiv Uk+1 obt¸inem ek
UkT AUk = Hk ,
(16.7)
T AUk = Hk+1,k . Uk+1
(16.8)
respectiv
Observat¸ie 16.2.1 Matricea Hk este o matrice Hessenberg. Cazul matricelor simetrice. Dac˘a A ∈ Mn (R) este o matrice simetric˘a atunci, din (16.7) rezult˘a c˘a Hk este o matrice simetric˘a ¸si din faptul c˘a este o matrice Hessenberg urmeaz˘a c˘a este tridiagonal˘a.
16.3
Rezolvarea sistemelor algebrice de ecuat¸ii liniare
Fie A ∈ Mn (R), b ∈ Rn ¸si sistemul algebric de ecuat¸ii liniare Ax = b.
(16.9)
Vom determina o aproximat¸ie xk ∈ Rn a solut¸iei sistemului (16.9) ˆın spat¸iul Krylov Kk (b). Metoda este eficient˘a ˆın cazul ˆın care dimensiunea n este mare. ˆIn cazul matricei A nesingulare, solut¸ia sistemului (16.9) apart¸ine spat¸iului Krylov Km (b), unde m este gradul polinomului minimal asociat matricei A. ˆIntradev˘ar, dac˘a ϕ(x) = c0 + c1 x + . . . + cm xm este polinomul minimal asociat matricei A, adic˘a polinomul de grad minim pentru care ϕ(A) = c0 I + c1 A + . . . + cm Am = 0 atunci A−1 = −
1 (c1 I + c2 A + . . . + cm Am−1 ) c0
214
CAPITOLUL 16. SPAT ¸ II KRYLOV
¸si ˆın consecint¸˘a x = A−1 b = −
1 (c1 b + c2 Ab + . . . + cm Am−1 b) ∈ Km (b). c0
ˆ cazul unei matrice A singulare, ˆın ipoteza compatibilit˘ Observat¸ie 16.3.1 In a¸tii sistemului (16.9), solut¸ia acesteia poate s˘ a nu apart¸in˘ a nici unui spat¸iu Krylov. Fie A ∈ Mn (R) o matrice nilpotent˘a de ordin m : Ak = 0, ∀k ≥ m, dar Am−1 6= 0. ˆIn acest caz A este o matrice singular˘a deoarece |Am | = |A|m = 0. Fie b ∈ RN , b 6= 0 astfel ˆıncˆat sistemul (16.9) s˘a fie compatibil ¸si s˘a presupunem prin absurd c˘a x ∈ Km (b). Atunci x = c0 b + c1 Ab + . . . cm−1 Am−1 b ¸si Ax = c0 Ab + c1 A2 b + . . . + cm−2 Am−1 b = b sau (I − c0 A − c1 A2 − . . . − cm−2 Am−1 )b = 0.
(16.10)
I − c0 A − c1 A2 − . . . − cm−2 Am−1
Matricea D = este nesingular˘a deoarece singura ˆ valoare proprie este 1. Intr-adev˘ar, fie (λ, z) o pereche proprie a matricei D, Dz = λz.
(16.11)
Exist˘a un cel mai mic indice i ∈ {0, 1, . . . , m − 1} astfel ˆıncˆat Ai z 6= 0 ¸si Aj z = 0, ∀j > i. ˆInmult¸ind (16.11) la stˆanga cu Ai obt¸inem (1 − λ)Ai z = 0, de unde λ = 1. Atunci, din (16.10) urmeaz˘a c˘a b = 0, ˆın contradict¸ie cu alegerea lui b.
16.3.1
Varianta Ritz-Galerkin
Aproximat¸ia xk ∈ Kk (b) se determin˘a din condit¸ia de ortogonalitate b − Axk ⊥Kk (b)
(16.12)
Dac˘a (ui )1≤i≤k+1 este un sistem de vectori ortonormat¸i pentru care are loc descompunerile Arnoldi (16.5) ¸si (16.6) atunci condit¸ia de ortogonalitate se poate scrie UkT (b − Axk ) = 0, (16.13) b unde Uk = [u1 u2 . . . uk ]. T ¸ inˆand seama de faptul c˘a u1 = kbk din (16.13) urmeaz˘ a 2 c˘a (k) UkT Axk = UkT b = kbk2 UkT u1 = kbk2 e1 . (16.14)
Indicele superior precizeaz˘a dimensiunea vectorului.
215
16.4. CALCULUL VALORILOR S ¸ I VECTORILOR PROPRI
Deoarece xk se reprezint˘a sub forma xk = Uk ξk cu relat¸ia (16.14) devine (k)
UkT AUk ξk = kbk2 e1 , ¸si ˆın virtutea lui (16.5) Hk ξk = kbk2 .
(16.15)
Astfel rezolvarea sistemului (16.9), de dimensiune n s-a redus la rezolvarea unui sistem algebric de ecuat¸ii liniare de dimensiune k.
16.3.2
Varianta reziduului minimal
Aproximat¸ia xk se determin˘a ca solut¸ia problemei de optimizare kb − Axk k2 = min kb − Axk2
(16.16)
x∈Kk (b)
Din u1 =
b kbk2
deducem (k+1)
b = kbk2 u1 = kbk2 Uk+1 e1
,
(k+1)
e1
∈ Rk+1 .
Un element x ∈ Kk (b) se reprezint˘a prin x = Uk y, cu y ∈ Rk ¸si utilizˆand (16.6) deducem Ax = AUk y = Uk+1 Hk+1,k y. Astfel funct¸ionala cost devine (k+1)
kb − Axk2 = k kbk2 Uk+1 e1 (k+1)
= kUk+1 (kbk2 e1
− Uk+1 Hk+1,k yk2 = (k+1)
− Hk+1,k yk2 = k(kbk2 e1
− Hk+1,k yk2 .
Utilizˆand tehnica dezvoltat˘a pentru determinarea elementului de aproximare prin (k+1) metoda celor mai mici p˘atrate, determin˘am yk ∈ Rk+1 ce minimizeaz˘a k(kbk2 e1 − Hk+1,k yk2 . Dac˘a factorizarea QR a matricei Hk+1,k este Hk+1,k = QR atunci yk va fi (k+1) solut¸ia sistemului Ry = kbk2 QT e1 . Acest˘a metod˘a de rezolvare a unui sistem algebric de ecuat¸ii liniare este denumit˘a GMRES (Generalized Minimum RESidual).
16.4
Calculul valorilor ¸si vectorilor propri
Fie A ∈ Mn (R). Vom g˘asi o aproximat¸ie a unei perechi propri (λ, x) determinˆand o pereche proprie (λ, z) a matricei Hk , ce apare ˆın descompunerea Arnoldi (16.5) Hk = λz
216
CAPITOLUL 16. SPAT ¸ II KRYLOV
¸si definind x = Uk z. Atunci din (16.5) rezult˘a (k) T
AUk z = Uk Hk z + hk+1,k uk+1 ek
z,
de unde Ax = λx + hk+1,k uk+1 zk . Eroarea aproxim˘arii (λ, x) este dat˘a de kAx − λxk2 = |hk+1,k | |zk |.
16.5
Calculul elementului de cea mai bun˘ a aproximat¸ie prin elementele unui spat¸iu Krylov
Ne propunem s˘a determin˘am elementul de cea mai bun˘a aproximat¸ie a unui element z ∈ Rn prin elementele subspat¸iului Kk (A, x). Presupunem c˘a s-a construit descompunerea Arnoldi (16.5). Dac˘a y = Uk c este elementul de cea mai bun˘a aproximat¸ie a lui x prin elementele mult¸imii Kk (A, x) atunci din condit¸ia y − z ∈ Kk (A, x)⊥ ⇔ uTj (y − z) = 0, ∀j ∈ {1, . . . , k} ⇔ UkT (y − z) = 0 deducem UkT (Uk c − z) = 0, de unde c = UkT z ¸si ˆın consecint¸˘a y = Uk UkT z.
Partea III
REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
217
Capitolul 17
Rezolvarea ecuat¸iilor neliniare 17.1
Preliminarii de analiz˘ a funct¸ional˘ a
Inversarea operatorilor liniari Presupunem cunoscut˘a urm˘atoarea teorem˘a (Neumann) Teorema 17.1.1 Dac˘ a X este un spat¸iu Banach ¸si A ∈ (X, X)∗ , un operator liniar ¸si continu astfel ˆıncˆ at kAk < 1 atunci 1. Operatorul I − A este inversabil; P∞ k ¸a seriei fiind ceea a spat¸iului Banach 2. (I − A)−1 = k=0 A , convergent ∗ (X, X) . O consecint¸˘a util˘a este Teorema 17.1.2 Fie X un spat¸iu Banach ¸si operatorul L ∈ (X, X)∗ . Au loc afirmat¸iile 1. Operatorul L este inversabil dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a un operator inversabil K ∈ (X, X)∗ astfel ˆıncˆ at kI − KLk < 1. 2. Dac˘ a L este inversabil atunci au loc relat¸iile: −1
L
=
∞ X
(I − KL)k K,
(17.1)
k=0
kL−1 k ≤
kKk . 1 − kI − KLk
(17.2)
Demonstrat¸ie. Necesitatea rezult˘a din alegerea K = L−1 . Pentru A = I − KL din Teorema 17.1.1 rezult˘a inversabilitatea operatorului [I − (I − KL)] = KL ¸si 218
219
˘ FUNCT ˘ 17.1. PRELIMINARII DE ANALIZA ¸ IONALA
(KL)−1 = −1
(KL)
P∞
k=0 (I
− KL)k . ˆIn consecint¸˘a −1
K = (KL)
(K
−1 −1
)
= (K
−1
−1
KL)
−1
=L
=
∞ X
(I − KL)k K.
k=0
Diferent¸iabilitatea unui operator definit ˆıntr-un spat¸iu normat Fie X, Y spat¸ii normate, domeniul D ⊆ X ¸si operatorul T : D → Y. Reamintim Definit¸ie 17.1.1 Operatorul T este diferent¸iabil Fr´echet ˆın x ∈ D dac˘ a exist˘ a un operator liniar ¸si continu L ∈ (X, Y )∗ astfel ˆıncˆ at kT (x + h) − T (x) − L(h)k = 0. h→0 khk lim
(17.3)
Teorema 17.1.3 Dac˘ a operatorul T este diferent¸iabil Fr´echet ˆın x atunci operatorul L este unic. Operatorul L din Definit¸ia 17.1.1 se noteaz˘a L = T 0 (x) = dT (x) ¸si se nume¸ste diferent¸iala Fr´echet a lui T ˆın x. Relat¸ia (17.3) se poate rescrie sub forma T (x + h) = T (x) + T 0 (x)(h) + khkw(x, h),
(17.4)
unde funct¸ia w(x, h) ∈ Y are proprietatea limh→0 w(x, h) = 0. Asemeni funct¸iilor reale Teorema 17.1.4 Dac˘ a operatorul T este diferent¸iabil Fr´echet ˆın x atunci T este continu ˆın x. Presupunˆand operatorul T diferent¸iabil ˆın fiecare punct x al domeniului D, se introduce operatorul T 0 → (X, Y )∗ definit prin x 7→ T 0 (x). Dac˘a acest operator este diferent¸iabil Fr´echet ˆın x atunci diferent¸iala ei este diferent¸iala Fr´echet de ordinul 2 a lui T ˆın x. Not˘am acest operator prin T 00 (x) ∈ (X, (X, Y )∗ )∗ . Recursiv, se defineste diferent¸iabilitatea Fr´echet de ordin superior. T (k) (x) este un element al mult¸imii T (k) (x) ∈ (X, (X, . . . , ( X, Y )∗ )∗ . . .)∗ . | {z } | {z } k paranteze
k paranteze
Definit¸ie 17.1.2 Operatorul T este diferent¸iabil Gateaux ˆın x ∈ D dup˘ a direct¸ia h ∈ X dac˘ a T (x + th) − T (x) ∃ lim = T 0 (x, h). t→0 t
220
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
Definit¸ie 17.1.3 Operatorul T este diferent¸iabil Gateaux ˆın x ∈ D dac˘ a este diferent¸iabil Gateaux ˆın x ∈ D dup˘ a orice direct¸ie h ∈ X. Definit¸ie 17.1.4 Operatorul T este G-derivabil ˆın x ∈ D dac˘ a • este diferent¸iabil Gateaux ˆın x; • operatorul ∇T (x) : X → Y, definit prin ∇T (x)(h) = T 0 (x, h) este un operator liniar ¸si continu. Leg˘atura dintre cele dou˘a tipuri de diferent¸iabilitate este dat˘a ˆın urm˘atoarele teoreme. Teorema 17.1.5 Dac˘ a operatorul T este diferent¸iabil Fr´echet ˆın x atunci T este 0 G-derivabil ˆın x ¸si T (x) = ∇T (x). Demonstrat¸ie. Scriind th, h ∈ X, t ∈ R∗ ˆın loc de h, din (17.4) rezult˘a T (x + th) = T (x) + T 0 (x)(th) + kthkw(x, th), de unde
T (x + th) − T (x) |t| = T 0 (x)(h) + w(x, th). t t
Pentru t → 0 se obt¸ine ∇T (x)(h) = T 0 (x)(h), ∀h ∈ X, de unde concluziile teoremei. Reciproc, G derivabilitatea implic˘a diferent¸iabilitatea Fr´echet ˆın condit¸iile Teorema 17.1.6 Dac˘ a T : D ⊆ X → Y un operator G derivabil ˆıntr-o vecin˘ atate ∇ a lui x ∈ D ¸si operatorul x 7→ ∇T (x) este continu ˆın topologia (X, (X, Y )∗ )∗ atunci operatorul T este diferent¸iabil Fr´echet ˆın x ¸si T 0 (x) = ∇T (x). Demonstrat¸ie. Fie h ∈ X ¸si u = T (x+h)−T (x)−∇T (x)(h). Potrivit Teoremei Hahn - Banach exist˘a o funct¸ional˘a liniar˘a ¸si continu˘a y ∗ ∈ Y ∗ astfel ˆıncˆat ky ∗ k = 1 ¸si y ∗ (u) = kuk. Definim funct¸ia F : [0, 1] → R prin F (t) = y ∗ (T (x + th)). F (t) este derivabil˘ a ˆın t ∈ (0, 1) ¸si F 0 (t) = y ∗ (∇T (x + th)(h)). ˆIntr-adev˘ar, F (t + λ) − F (t) = λ→0 λ
F 0 (t) = lim = lim y ∗ ( λ→0
T (x + (t + λ)h) − T (x) ) = y ∗ (∇T (x + th)(h)). λ
221
˘ FUNCT ˘ 17.1. PRELIMINARII DE ANALIZA ¸ IONALA
Potrivit teoremei de medie a lui Lagrange, exist˘a θ ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat F (1) − F (0) = F 0 (θ)
⇔
y ∗ (T (x + h) − T (x)) = y ∗ (∇T (x + θh)(h)).
ˆIn sfˆar¸sit, utiliz˘and aceast˘a egalitate ¸si propriet˘a¸tile normei operatorilor liniari deducem kT (x + h) − T (x) − ∇T (x)(h)k = kuk = y ∗ (u) = = y ∗ (T (x + h) − T (x) − ∇T (x)(h)) = y ∗ ((∇T (x + θh) − ∇T (x))(h)) ≤ ≤ |y ∗ ((∇T (x + θh) − ∇T (x))(h))| ≤ ky ∗ k k(∇T (x + θh) − ∇T (x))(h))k ≤ ≤ k∇T (x + θh) − ∇T (x)k khk. Rezult˘a inegalitatea kT (x + h) − T (x) − ∇T (x)(h)k ≤ k∇T (x + θh) − ∇T (x)k → 0 khk pentru h → 0. ˆIn acest cadru general, o dezvoltare taylorian˘a are proprietatea: Teorema 17.1.7 Dac˘ a T : D ⊆ X → Y este un operator de n ∈ N ori diferent¸iabil Fr´eachet ˆın D atunci pentru orice x, y ∈ D are loc inegalitatea kT (y) − T (x) −
n−1 X k=1
1 (k) 1 T (x) (y − x) . . . (y − x) k ≤ ky − xkn sup kT (n) (z)k, | {z } k! n! z∈[x,y] k ori
unde [x, y] = {z = tx + (1 − t)y : 0 ≤ t ≤ 1}. Demonstrat¸ie. Fie x, y ∈ D. Notˆand u = T (y) − T (x) −
n−1 X k=1
1 (k) T (x) (y − x) . . . (y − x), | {z } k! k ori
potrivit Teoremei Hahn - Banach exist˘a o funct¸ional˘a liniar˘a ¸si continu˘a y ∗ ∈ Y ∗ astfel ˆıncˆat ky ∗ k = 1 ¸si y ∗ (u) = kuk. Definim F : [0, 1] → R prin F (t) = y ∗ (T (x + t(y − x))). Atunci F (k) (t) = y ∗ (T (k) (x + t(y − x)) (y − x) . . . (y − x)), | {z } k ori
(17.5) se demonstreaz˘a prin induct¸ie matematic˘a.
k ∈ {1, . . . , n}.
(17.5)
222
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
Exist˘a θ ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat F (1) − F (0) −
n−1 X k=1
∗
y (T (y) − T (x) −
n−1 X k=1
=
1 1 (k) F (0) = F (n) (θ) ⇔ k! n!
1 (k) T (x) (y − x) . . . (y − x) ) = | {z } k! k ori
1 ∗ (n) y (T ((x + θ(y − x)) (y − x) . . . (y − x) ). | {z } n! n ori
Utilizˆand egalitatea anterioar˘a ¸si propriet˘a¸tile normei operatorilor liniari obt¸inem kT (y) − T (x) −
n−1 X k=1
1 (k) T (x) (y − x) . . . (y − x) k = kuk = | {z } k!
= y ∗ (u) = y ∗ (T (y) − T (x) −
k ori
n−1 X k=1
=
1 (k) T (x) (y − x) . . . (y − x) ) = | {z } k! k ori
1 ∗ (n) y (T ((x + θ(y − x)) (y − x) . . . (y − x) ) ≤ | {z } n! n ori
≤
1 ∗ (n) |y (T ((x + θ(y − x)) (y − x) . . . (y − x) )| ≤ | {z } n! n ori
≤
1 ∗ ky k kT (n) ((x + θ(y − x)) (y − x) . . . (y − x) )k ≤ | {z } n! n ori
≤
17.2
1 1 kT (n) (x + θ(y − x)]kky − xkn ≤ ky − xkn sup kT (n) (z)k. n! n! z∈[x,y]
Metoda liniariz˘ arii (Newton – Kantorovici)
Fie X un spat¸iu Banach ¸si T : X → X un operator diferent¸iabil Fr´echet. Ne propunem s˘a rezolv˘am ecuat¸ia T (x) = 0. (17.6) S˘a presupunem c˘a ecuat¸ia (17.6) are o solut¸ie x∗ . Dac˘a x ∈ X este o aproximat¸ie a lui x∗ atunci din diferent¸iabilitatea operatorului T rezult˘a 0 = T (x∗ ) = T (x) + T 0 (x)(x∗ − x) + kx∗ − xkw(x, x∗ − x).
(17.7)
223
˘ 17.2. METODA LINIARIZARII
Liniarizˆand, adic˘a neglijˆand ultimul termen, (17.7) se scrie 0 ≈ T (x) + T 0 (x)(x∗ − x). Vom nota cu y solut¸ia ecuat¸iei 0 = T (x) + T 0 (x)(y − x), ¸si cu ideea c˘a y este o aproximat¸ie mai bun˘a decˆat x, construim ¸sirul de aproximat¸ii 0 = T (xk ) + T 0 (xk )(xk+1 − xk ),
(17.8)
sau, ˆın cazul inversabilit˘a¸tii operatorului T 0 (xk ) xk+1 = xk − [T 0 (xk )]−1 T (xk ).
(17.9)
Metoda de rezolvare a ecuat¸iei (17.6) corespunz˘auare formulei (17.9) este cunoscut˘a ¸si sub numele de metoda Newton - Kantorovici. Teorema urm˘atoare fixeaz˘a condit¸ii suficiente pentru existent¸a unei solut¸ii izolate x∗ a ecuat¸iei (17.6), dˆand regiunea ˆın care solut¸ia este unic˘a ¸si eroarea aproximat¸iei xk . Teorema 17.2.1 Fie X un spat¸iu Banach, T : X → X un operator diferent¸iabil Fr´echet ¸si x0 ∈ X. Presupunem c˘ a exist˘ a numerele pozitive B0 , K, η0 astfel ˆıncˆ at au loc condit¸iile • ∃[T 0 (x0 )]−1 ¸si k[T 0 (x0 )]−1 k ≤ B0 ; • x1 = x0 − [T 0 (x0 )]−1 T (x0 ) ¸si kx1 − x0 k ≤ η0 ; • ∃T 00 (x) ∀x ∈ B(x0 , r) ¸si kT 00 (x)k ≤ K, r0 < r. Dac˘ a h0 = η0 KB0 ≤ 21 atunci ¸sirul (xk )k∈N construit prin formula de recurent¸˘ a (17.9) converge c˘ atre o solut¸ie x∗ a ecuat¸iei (17.6). √ 0 Aceast˘ a solut¸ie este unic˘ a ˆın bila B(x0 , r0 ), unde r0 = 1− h1−2h η0 . 0 k Eroarea aproximat¸iei x este dat˘ a de inegalitatea kxk − x∗ k ≤
1 2k−1
(2h0 )2
k −1
η0 .
(17.10)
Demonstrat¸ie. 1. Ar˘at˘am la ˆınceput c˘a pentru orice k ∈ N exist˘a xk+1 , definit prin formula de recurent¸˘a (17.9). Aceast˘a problem˘a se ridic˘a deoarece trebuie inversat operatorul T 0 (xk ). Justificarea o facem doar pentru k = 1, rat¸ionamentul f˘acˆandu-se ˆın continuare analog, pe baza induct¸iei matematice.
224
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
Existent¸a inversei se bazeaz˘a pe Teorema 17.1.2. Cu notat¸iile acestei teoreme, alegem L = T 0 (x1 ) K = [T 0 (x0 )]−1 ¸si trebuie verificat˘a condit¸ia kI − KLk < 1. ˆIn cazul de fat¸˘a kI − [T 0 (x0 )]−1 T 0 (x1 )k = k[T 0 (x0 )]−1 (T 0 (x0 ) − T 0 (x1 ))k ≤ ≤ k[T 0 (x0 )]−1 k k(T 0 (x0 ) − T 0 (x1 ))k. Aplicˆand Teorema 17.1.7, inegalitatea anterioar˘a devine kI − [T 0 (x0 )]−1 T 0 (x1 )k ≤ B0 Kkx1 − x0 k ≤ η0 KB0 = h0 ≤
1 < 1. 2
(17.11)
Prin urmare, operatorul T 0 (x1 ) este inversabil ¸si potrivit Teoremei 17.1.2, au loc relat¸iile [T 0 (x1 )]−1 =
∞ X
(I − [T 0 (x0 )]−1 T 0 (x1 ))k [T 0 (x0 )]−1 ,
(17.12)
k=0
k[T 0 (x1 )]−1 k ≤
k[T 0 (x0 )]−1 k B0 def ≤ = B1 . (17.13) 0 0 −1 0 1 1 − kI − [T (x )] T (x )k 1 − h0
2. Ar˘at˘am c˘a ˆın x1 au loc condit¸ii asem˘an˘atoare celor presupuse a avea loc ˆın x0 . Deoarece x2 = x1 − [T 0 (x1 )]−1 T (x1 ), 2
0
1
1 −1
x − x = −[T (x )]
1
T (x ) = −
∞ X
(I − [T 0 (x0 )]−1 T 0 (x1 ))k [T 0 (x0 )]−1 T (x1 ).
k=0
Prin urmare kx2 − x1 k ≤
∞ X
kI − [T 0 (x0 )]−1 T 0 (x1 )kk k[T 0 (x0 )]−1 T (x1 )k.
k=0
Folosind (17.11) obt¸inem kx2 − x1 k ≤
∞ X
hk0 k[T 0 (x0 )]−1 T (x1 )k =
k=0
1 k[T 0 (x0 )]−1 T (x1 )k. 1 − h0
(17.14)
Fie operatorul F0 : X → X definit prin F0 (x) = x − [T 0 (x0 )]−1 T (x). Atunci F0 (x0 ) = x1 F00 (x) = I − [T 0 (x0 )]−1 T 0 (x) F000 (x) = −[T 0 (x0 )]−1 T 00 (x)
F00 (x0 ) = 0 kF000 (x)k ≤ B0 K.
225
˘ 17.2. METODA LINIARIZARII
Din egalitatea F0 (x1 ) = x1 − [T 0 (x0 )]−1 T (x1 ) se deduce T 0 (x0 )]−1 T (x1 ) = x1 − F0 (x1 ) = −(F (x1 ) − F (x0 ) − F00 (x0 )(x1 − x0 )). Aplicˆand din nou Teorema 17.1.7 se obt¸ine kT 0 (x0 )]−1 T (x1 )k = kF (x1 ) − F (x0 ) − F00 (x0 )(x1 − x0 ))k ≤ ≤
1 1 1 sup kF000 (x)k kx1 − x0 k ≤ η02 KB0 = η0 h0 . 2 x∈B(x0 ,r) 2 2
Revenind ˆın (17.14) avem kx2 − x1 k ≤
1 η0 h0 def k[T 0 (x0 )]−1 T (x1 )k ≤ = η1 . 1 − h0 2(1 − h0 )
(17.15)
def Fie h1 = η1 KB1 . Din (17.13), (17.15) se obt¸ine h1 =
h20 1 ≤ . 2 2(1 − h0 ) 2
(17.16)
def √ 1 Fie r1 = 1− h1−2h η1 . Pe baza formulelor de recurent¸˘a pentru η1 ¸si h0 se obt¸ine 1 egalitatea r1 = r0 − η0 , ce implic˘a B(x1 , r1 ) ⊆ B(x0 , r0 ). ˆIntr-adev˘ar, dac˘a x ∈ B(x1 , r1 ) atunci kx − x0 k ≤ kx − x1 k + kx1 − x0 k ≤ r1 + η0 = r0 . 3. In felul acesta, existent¸a ¸sirului (xk )k∈N este dovedit˘a, mai mult pentru orice k ∈ N au loc afirmat¸iile • ∃[T 0 (xk )]−1 ¸si k[T 0 (xk )]−1 k ≤ Bk =
Bk−1 1−hk−1 ;
• xk+1 = xk − [T 0 (xk )]−1 T (xk ) ¸si kxk+1 − xk k ≤ ηk = • hk = ηk KBk = • rk =
1−
h2k−1 2(1−hk−1 )2
ηk−1 hk−1 2(1−hk−1 ) ;
≤ 21 ;
√
1−2hk−1 ηk−1 hk−1
¸si B(xk , rk ) ⊆ B(xk−1 , rk−1 ).
4. Au loc inegalit˘a¸tile hk ≤ 2h2k−1
(17.17)
ηk ≤ ηk−1 hk−1
(17.18)
rk ≤ 2ηk
(17.19)
226
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
a caror demonstrat¸ie revine la reducerea la ipoteza teoremei hk ≤ 21 . Aplicat˘a succesiv, inegalitatea (17.17) implic˘a 2
hk ≤ 2h2k−1 ≤ 2(2h2k−2 )2 = 21+2 h2k−2 ≤ . . . ≤ 21+2+...+2
k−1
(17.20)
1 k k h20 = (2h0 )2 . 2
Din (17.18) deducem succesiv ηk ≤ ηk−1 hk−1 ≤ ηk−2 hk−2 hk−1 ≤ . . . ≤ η0 h0 h1 . . . hk−1 ¸si utilizˆand (17.20), se g˘ase¸ste 1 1 1 1 1 k−1 k k−1 ηk ≤ η0 (2h0 ) (2h0 )2 . . . (2h0 )2 = k (2h0 )1+2+...+2 η0 = k (2h0 )2 −1 η0 . 2 2 2 2 2 Din xk+p ∈ B(xk+p , rk+p ) ⊆ B(xk , rk ) rezult˘a kxk+p − xk k ≤ rk ≤
1 2k−1
(2h0 )2
k −1
η0 ,
∀k ∈ N,
(17.21)
adic˘a (xk )k∈N este un ¸sir fundamental, deci convergent. 5. Fie x∗ = limk→∞ xk . Trecˆand la limit˘a ˆın formula de recurent¸˘a (17.9) scris˘ a sub forma T 0 (xk )(xk+1 − xk ) = −T (xk ) se obt¸ine T (x∗ ) = 0. Pentru p → ∞ din (17.21) rezult˘a evaluarea erorii (17.10). 6. Pentru a demonstra unicitatea solut¸iei ecuat¸iei (17.6) ˆın bila B(x0 , r0 ) presupunem prin absurd c˘a exist˘a ˆın plus y ∗ ∈ B(x0 , r0 ) astfel ˆıncˆat T (y ∗ ) = 0. Fie operatori Fk : X → X definit¸i prin Fk (x) = x − [T 0 (xk )]−1 T (x). Atunci Fk (xk ) = xk+1 Fk0 (x) = I − [T 0 (xk )]−1 T 0 (x) Fk00 (x) = −[T 0 (xk )]−1 T 00 (x)
Fk0 (xk ) = 0 kFk00 (x)k ≤ Bk K.
Prin induct¸ie matematic˘a arat˘am c˘a xk ∈ B(y ∗ , rk )
⇔
ky ∗ − xk k ≤ rk .
Etapa de verificare, k = 0. y ∗ ∈ B(x0 , r0 )
⇔
ky ∗ − x0 k ≤ r0
⇔
x0 ∈ B(y ∗ , r0 ).
Etapa de demonstrat¸ie. Presupunˆand c˘a xk ∈ B(y ∗ , rk )
⇔
ky ∗ − xk k ≤ rk
deducem succesiv ky ∗ − xk+1 k = kFk (y ∗ ) − Fk (xk ) − Fk0 (xk )(y ∗ − xk )k ≤ 1 1 ≤ sup kFk00 (z)k ky ∗ − xk k2 ≤ Bk Krk2 = rk+1 , 2 z∈[xk ,y∗ ] 2 adic˘a xk+1 ∈ B(y ∗ , rk+1 ). Pentru k → ∞, din (17.22) rezult˘a x∗ = y ∗ .
(17.22)
227
˘ ˘ 17.3. METODA LINIARIZARII MODIFICATA
17.3
Metoda liniariz˘ arii modificat˘ a
ˆIn locul formulei de recurent¸˘a (17.9) se consider˘a formula x ˜ = x0 x ˜k+1 = x ˜k − [T 0 (x0 )]−1 T (˜ xk )
k ∈ N.
(17.23)
Astfel se elimin˘a necesitatea invers˘arii, ˆın cadrul iterat¸iilor iterat¸ii k > 0, a operatorului T 0 (xk ). Acest fapt are ca efect mic¸sorarea vitezei de convergent¸˘a. Metoda corespunz˘atoare formulei (17.23) este numit˘a metoda liniariz˘arii (Newton - Kantorovici) modificat˘a. Se observ˘a c˘a x1 = x ˜1 . Convergent¸a procedeului este dat˘a de teorema Teorema 17.3.1 Fie X un spat¸iu Banach, T : X → X un operator diferent¸iabil Fr´echet ¸si x0 ∈ X. Presupunem c˘ a exist˘ a numerele pozitive B0 , K, η0 astfel ˆıncˆ at au loc condit¸iile • ∃[T 0 (x0 )]−1 ¸si k[T 0 (x0 )]−1 k ≤ B0 ; • x1 = x0 − [T 0 (x0 )]−1 T (x0 ) ¸si kx1 − x0 k ≤ η0 ; • ∃T 00 (x) ∀x ∈ B(x0 , r) ¸si kT 00 (x)k ≤ K, η0 < r. Dac˘ a h0 = η0 KB0 < 21 atunci ¸sirul (˜ xk )k∈N construit prin formula de recurent¸˘ a ∗ (17.23) converge c˘ atre solut¸ia x a ecuat¸iei (17.6). Eroarea aproximat¸iei x ˜k este dat˘ a de inegalitatea p k˜ xk − x∗ k ≤ 2η0 h0 (1 − 1 − 2h0 )k−1 . (17.24) Demonstrat¸ie. Folosim din nou de operatorul F0 : X → X definit prin F0 (x) = x − [T 0 (x0 )]−1 T (x) ¸si cu propriet˘a¸tile F0 (˜ xk ) = x ˜k+1 ∗ F0 (x ) = x∗ F00 (x) = I − [T 0 (x0 )]−1 T 0 (x) F000 (x) = −[T 0 (x0 )]−1 T 00 (x)
∀k ∈ N F00 (x0 ) = 0 kF000 (x)k ≤ B0 K.
Dac˘a M = B(x0 , r0 ) ∩ B(x∗ , kx1 − x∗ k) atunci F (M ) ⊆ M. ˆIntr-adev˘ar, dac˘a x ∈ M atunci • kF0 (x) − x0 k ≤ kF0 (x) − x1 k + kx1 − x0 k = = kF0 (x) − F0 (x0 ) − F00 (x0 )(x − x0 )k + kx1 − x0 k ≤ 1 1 ≤ kx − x0 k2 sup kF000 (z)k + η0 ≤ r02 B0 K + η0 = r0 , 2 2 z∈[x0 ,x] adic˘a F0 (x) ∈ B(x0 , r0 ).
228
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
• kF0 (x) − x∗ k = kF0 (x) − F0 (x∗ )k ≤ kx − x∗ k sup kF00 (z)k. z∈[x,x∗ ]
Dearece z = θx + (1 − θ)x∗ , θ ∈ [0, 1], utilizˆand evaluarea kF00 (z)k = kF00 (z) − F00 (x0 )k ≤ kz − x0 k sup kF000 (y)k ≤ y∈[x0 ,z]
≤ B0 Kkθx + (1 − θ)x∗ − x0 k = B0 Kkθ(x − x0 ) + (1 − θ)(x∗ − x0 )k ≤ ≤ B0 K(θkx − x0 k + (1 − θ)kx∗ − x0 k) ≤ ≤ B0 K max{kx − x0 k, kx∗ − x0 k} ≤ B0 Kr0 , inegalitatea anterioar˘a devine kF0 (x) − x∗ k ≤ B0 Kr0 kx − x∗ k = (1 − ≤ (1 −
p 1 − 2h0 )kx − x∗ k ≤
p 1 − 2h0 )kx1 − x∗ k,
adic˘a F0 (x) ∈ B(x∗ , kx1 − x∗ k). Ret¸inem inegalitatea kF0 (x) − x∗ k ≤ (1 −
p
1 − 2h0 )kx − x∗ k,
∀x ∈ M.
(17.25)
Aplicˆand succesiv (17.25), rezult˘a k˜ xk − x∗ k = kF0 (˜ xk−1 ) − F0 (x∗ )k ≤ ≤ (1 −
p
1 − 2h0 )k˜ xk−1 − x∗ k ≤ . . . ≤ (1 −
p
(17.26)
1 − 2h0 )k−1 k˜ x1 − x∗ k.
Din (17.10), deducem k˜ x1 − x∗ k = kx1 − x∗ k ≤ 2h0 η0 , cu care (17.26) devine (17.24). Din aceast˘a inegalitate rezult˘a convergent¸a ¸sirului (˜ xk )k∈N c˘atre x∗ .
17.4
Rezolvarea numeric˘ a a sistemelor algebrice de ecuat¸ii neliniare
Fie D un domeniu convex din Rn ¸si T1 , . . . , Tn : D → R n funct¸ii avˆand derivate part¸iale de ordinul ˆıntˆai ¸si doi continue. Consider˘am sistemul algebic de n ecuat¸ii neliniare cu necunoscutele x1 , . . . , xn : T1 (x1 , . . . , xn ) = 0 ... (17.27) Tn (x1 , . . . , xn ) = 0
17.4. REZOLVAREA SISTEMELOR ALGEBRICE NELINIARE
229
¸si dorim s˘a determin˘am o solut¸ie a sistemului, adic˘a un element x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) ∈ D astfel ˆıncˆat Ti (x∗ ) = Ti (x∗1 , . . . , x∗n ) = 0, i = 1, . . . , n. ˆIn cazul n = 1 se folose¸ste termenul de ecuat¸ie ˆın locul celui de sistem. Definind operatorul T : D → Rn prin T1 (x) , T (x) = . . . x = (x1 , . . . , xn ), Tn (x) sistemul (17.27) se rescrie sub forma (17.6). Pentru rezolvarea sistemului (17.27) se aplic˘a metoda liniariz˘arii (Newton – Kantorovici) sau metoda liniariz˘arii modificat˘a, tratate anterior. Exemplul 17.4.1 S˘ a se verifice condit¸iile Teoremei 17.2.1 ˆın cazul sistemului algebric de ecuat¸ii neliniare 10x1 + x21 − 2x2 x3 − 0.1 = 0 10x2 − x22 + 3x1 x3 + 0.2 = 0 10x3 + x23 + 2x1 x2 − 0.3 = 0 0 0 x1 ¸si x0 = x01 = 0 . x01 0 Operatorul T este definit prin T = (T1 , T2 , T3 ), unde T1 (x) = T1 (x1 , x2 , x3 ) = 10x1 + x21 − 2x2 x3 − 0.1 T2 (x) = T2 (x1 , x2 , x3 ) = 10x2 − x22 + 3x1 x3 + 0.2 T3 (x) = T3 (x1 , x2 , x3 ) = 10x3 + x23 + 2x1 x2 − 0.3 iar T 0 (x) =
∂T1 ∂x1 (x) ∂T2 ∂x1 (x) ∂T3 ∂x1 (x)
∂T1 ∂x2 (x) ∂T2 ∂x2 (x) ∂T3 ∂x2 (x)
∂T1 ∂x3 (x) ∂T2 ∂x3 (x) ∂T3 ∂x3 (x)
2x1 + 10 −2x3 −2x2 . 3x3 −2x2 + 10 3x1 = 2x2 2x1 2x3 + 10
ˆIn cele ce urmeaz˘a se va utiliza norma k · k∞ . Atunci [T 0 (x0 )]−1 = (10I)−1 = 0.1I, deci def k[T 0 (x0 )]−1 k = k0.1Ik = 0.1 = B0 . Formulele de recurent¸˘a (17.9) corespunz˘atoare metodei liniariz˘arii sunt k+1 k x1 x1 xk+1 = xk1 − 1 xk1 xk+1 1
230
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
−1 2xk1 + 10 −2xk3 −2xk2 10xk1 + (xk1 )2 − 2xk2 xk3 − 0.1 · 10xk2 − (xk2 )2 + 3xk1 xk3 + 0.2 . 3xk3 −2xk2 + 10 3xk1 − k k k 2x2 2x1 2x3 + 10 10xk3 + (xk3 )2 + 2xk1 xk2 − 0.3 1 x1 0.01 Pentru k = 0, g˘asim x1 = x11 = −0.02 , astfel ˆıncˆat kx1 − x0 k = x11 0.03 def 0.3 = η0 . Diferent¸iala de ordinul doi T 00 (x) ∈ (R3 , (R3 , R3 )∗ )∗ se poate reprezenta prin
T 00 (x) = =
2 2 ∂ 2 T1 ∂ 2 T1 ∂ 2 T1 ∂ 2 T1 ∂ 2 T1 ∂ 2 T1 ∂ 2 T1 (x) ∂x (x) ∂x (x) ∂∂xT21 (x) ∂x (x) ∂x (x) ∂x (x) ∂∂xT21 (x) (x) ∂x ∂x2 2 ∂x1 3 ∂x1 1 ∂x2 3 ∂x2 1 ∂x3 2 ∂x3 1 2 3 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) 2 2 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x2 3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 (x) ∂x ∂x (x) ∂x ∂x (x) ∂x ∂x (x) ∂x2 (x) ∂x ∂x (x) ∂x ∂x (x) ∂x ∂x (x) ∂x2 (x) ∂x2 2 1 3 1 1 2 3 2 1 3 2 3 1 2 3
=
2 0 0 0 0 −2 0 −2 0 = 0 0 3 0 −2 −2 3 0 0 , 0 2 0 2 0 −2 0 0 2 interpretat ˆın sensul T 00 (x)(h) =
∂ 2 T1 ∂x2 1 ∂ 2 T2 ∂x2 1 ∂ 2 T3 ∂x2 1
∂2 T
∂2 T
∂2 T
∂2 T
∂2 T
∂2 T
1 (x)h + 1 (x)h (x)h1 + ∂x ∂x 2 3 ∂x3 ∂x1 2 1 2 (x)h + 2 (x)h (x)h1 + ∂x ∂x 2 3 ∂x3 ∂x1 2 1 3 (x)h + 3 (x)h (x)h1 + ∂x ∂x 2 3 ∂x3 ∂x1 2 1
∂ 2 T1 ∂x1 ∂x2 ∂ 2 T2 ∂x1 ∂x2 ∂ 2 T3 ∂x1 ∂x2
(x)h1 + (x)h1 + (x)h1 +
∂ 2 T1 ∂x2 2 ∂ 2 T2 ∂x2 2 ∂ 2 T3 ∂x2 2
∂2 T
1 (x)h (x)h2 + ∂x ∂x 3 3 2 ∂2 T
2 (x)h (x)h2 + ∂x ∂x 3 3 2 ∂2 T
3 (x)h (x)h2 + ∂x ∂x 3 3 2
∂ 2 T1 ∂x1 ∂x3 ∂ 2 T2 ∂x1 ∂x3 ∂ 2 T3 ∂x1 ∂x3
∂ 2 T1 ∂ 2 T1 (x)h1 + ∂x ∂x (x)h2 + (x)h3 ∂x2 2 3 3 ∂ 2 T2 ∂ 2 T2 (x)h1 + ∂x ∂x (x)h2 + (x)h3 ∂x2 2 3 3 ∂ 2 T3 ∂ 2 T3 (x)h (x)h1 + ∂x ∂x (x)h2 + 3 2 2
3
Atunci
2h1 −2h3 −2h2 kT 00 (x)k = sup kT 00 (x)(h)k = sup k 3h3 −2h2 3h1 k = khk≤1 khk≤1 2h2 2h1 2h3 def = sup max{2|h1 |+2|h3 |+2|h2 |, 3|h3 |+2|h2 |+3|h1 |, 2|h2 |+2|h1 |+2|h3 |} ≤ 8 = K. khk≤1
Prin urmare h0 = η0 KB0 = 0.024 < 21 .
17.5
Rezolvarea ecuat¸iilor algebrice
Fie T : R → R o funct¸ie derivabil˘a.
∂x3
231
17.5. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR ALGEBRICE
Metoda tangentei. ˆIn cazul n = 1, metoda liniariz˘arii aplicat˘a rezolv˘arii ecuat¸iei algebrice T (x) = 0 conduce la formarea ¸sirului xk+1 = xk −
T (xk ) T 0 (xk )
k ∈ N.
(17.28)
Relat¸iile (17.28) au urm˘atoarea interpretare geometric˘a care justific˘a numele metodei: xk+1 reprezint˘a intersect¸ia tangentei ˆın xk la graficul funct¸iei T (x) cu axa 0x. ˆIn cazul ecuat¸iei polinomiale T (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an = 0 metoda tangentei considerat˘a ˆın corpul numerelor complexe C permite determinarea atˆat a r˘ad˘acinilor reale cˆat ¸si a celor complexe. Metoda funct¸iei inverse. Presupunem c˘a funct¸ia T satisface urm˘atoarele ipoteze: • Funct¸ia T este inversabil˘a ˆın intervalul I=(a,b) ¸si F = T −1 : • Ecuat¸ia T (x) = 0 are o solut¸ie x∗ ˆın intervalul I; • Funct¸iile T ¸si F au derivate continue pˆan˘a la ordinul m + 1. Din aceste ipoteze rezult˘a c˘a solut¸ia x∗ este unic˘a ¸si x∗ = F (0). Deoarece funct¸ia F nu este cunoscut˘a, o vom aproxima cu o funct¸ie ϕ F (y) = ϕ(y) + R(y). Atunci x∗ ≈ ϕ(0). Asupra funct¸iei ϕ se impun cerint¸ele ca s˘a aproximeze cˆat mai bine funct¸ia F ¸si s˘a poat˘a fi u¸sor calculabil˘a. Astfel vom avea • Metoda funct¸iei inverse cu polinomul lui Taylor (sau metoda lui Cebˆaseb) ˆın care ϕ este un polinom Taylor ata¸sat funct¸iei F. Acest caz generalizeaz˘a metoda tangentei. • Metoda funct¸iei inverse cu polinomul lui Lagrange ˆın care ϕ este un polinom de interpolare Lagrange.
232
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
Metoda funct¸iei inverse cu polinomul lui Taylor. ˆIn dezvoltarea taylorian˘ a a funct¸iei F ˆın jurul punctului y0 F (y) = F (y0 ) +
m X F (i) (y0 )
i!
i=1
(y − y0 )i +
F (m+1) (ξ) (y − y0 )m+1 (m + 1!
alegˆand y = 0 ¸si y0 = T (x) cu x ∈ I, obt¸inem x∗ = F (0) = x +
m X
(−1)i
i=1
F (m+1) (ξ) m+1 F (i) (T (x)) i T (x) + (−1)m+1 T (x). i! (m + 1)!
(i) P i F (T (x)) T i (x) furnizeaz˘ Rezult˘a c˘a expresia x + m a o aproximat¸ie a i=1 (−1) i! solut¸iei x∗ . Pe baza acestei observat¸ii construim ¸sirul de aproximat¸ii succesive
k+1
x
k
=x +
m X
(−1)i
i=1
F (i) (T (xk )) i k T (x ) i!
k ∈ N,
x0 ∈ I.
Derivˆand succesiv identitatea F (T (x)) = x obt¸inem F 0 (T (x))T 0 (x) = 1 F 00 (T (x))[T 0 (x)]2 + F 0 (T (x))T 00 (x) = 0 F (3) (T (x))[T 0 (x)]3 + 3F 00 (T (x))T 0 (x)T 00 (x) + F 0 (x)T (3) = 0, de unde F 0 (T (x)) =
1 , 0 T (x)
F (3) (T (x)) =
F 00 (T (x)) = −
T (3) (x) 3[T 00 (x)]2 − , [T 0 (x)]5 [T 0 (x)]4
T 00 (x) , [T 0 (x)]3 etc.
k
) Pentru m = 1 g˘asim xk+1 = xk − TT0(x , adic˘a se reg˘ase¸ste ¸sirul construit prin (xk ) metoda tangentei, iar pentru m = 2 g˘asim
xk+1 = xk −
T (xk ) T 00 (xk )[T (xk )]2 − . T 0 (xk ) 2[T 0 (xk )]3
ˆIn continuare ne propunem s˘a studiem convergent¸a ¸sirului (xk )k∈N , construit prin metoda funct¸iei inverse. Vom stabili ˆın prealabil cˆateva rezultate preliminare. Fie (X, k·k) un spat¸iu normat. Un operator ϕ : X → X se nume¸ste contract¸ie dac˘a exist˘a o constant˘a a ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat kϕ(x) − ϕ(y)k ≤ akx − yk, ∀a, y ∈ X. Dac˘a ϕ(x) = x atunci x se nume¸ste element fix al operatorului ϕ. Teorema 17.5.1 (de punct fix a lui Banach) Dac˘ a X este un spat¸iu Banach (spat¸iu normat ¸si complet) ¸si ϕ : X → X este o contract¸ie atunci ϕ are un singur punct fix.
233
17.5. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR ALGEBRICE
Demonstrat¸ie. Fie x0 ∈ X ¸si consider˘am ¸sirul (xn )n∈N definit prin formula de recurent¸˘a xn+1 = ϕ(xn ), n ∈ N. Utilizˆand proprietatea de contract¸ie a operatorului ϕ obt¸inem kxn+1 − xn k = kϕ(xn ) − ϕ(xn−1 )k ≤ akxn − xn−1 k = = akϕ(xn−1 ) − ϕ(xn−2 )k ≤ a2 kxn−1 − xn−2 k ≤ . . . ≤ an kx1 − x0 k. S¸irul (xn )n∈N este fundamental. ˆIntr-adev˘ar kxn+p − xn k ≤
n+p−1 X k=n
kxk+1 − xk k ≤
n+p−1 X
ak kx1 − x0 k ≤
k=n
an kx1 − x0 k. 1−a
Din proprietatea de completitudine rezult˘a c˘a ¸sirul (xn )n∈N este convergent. Fie x∗ = limn→∞ xn . Trecˆand la limit˘a ˆın formula de recurent¸˘a (ϕ fiind contract¸ie este continu˘a) obt¸inem x∗ = ϕ(x∗ ), adic˘a x∗ este punct fix al operatorului ϕ. Dac˘a x∗1 ¸si x∗2 sunt puncte fixe ale operatorului ϕ atunci din relat¸iile kx∗1 − x∗2 k = kϕ(x∗1 ) − ϕ(x∗2 )k ≤ akx∗1 − x∗2 k deducem (1 − a)kx∗1 − x∗2 k ≤ 0. Cum 1 − a > 0, ˆın mod necesar kx∗1 − x∗2 k = 0, adic˘a x∗1 = x∗2 . Teorema 17.5.2 Fie X este un spat¸iu Banach, B(x0 , r) = {x ∈ X : kx − x0 k ≤ r} ¸si ϕ : B(x0 , r) → X o contract¸ie de parametru a. Dac˘ a kϕ(x0 )−x0 k ≤ (1−a)r atunci varphi are un singur punct fix. Demonstrat¸ie. Ar˘at˘am la ˆınceput c˘a ϕ(B(x0 , r)) ⊆ B(x0 , r). ˆIntr-adev˘ar, dac˘a x ∈ B(x0 , r) atunci au loc relat¸iile kϕ(x) − x0 k ≤ kϕ(x) − ϕ(x0 )k + kϕ(x0 ) − x0 k ≤ ≤ akx − x0 k + (1 − a)r ≤ ar + (1 − a)r = r. Reluˆand justificarea teoremei de punct fix a lui Banach rezult˘a concluzia teoremei.
Teorema 17.5.3 Fie I un interval deschis ¸si ϕ : I → R o funct¸ie cu derivata continu˘ a ˆın I. Dac˘ a |ϕ0 (x0 )| < 1, x0 ∈ I atunci exist˘ a r > 0 astfel ˆıncˆ at ϕ este contract¸ie ˆın mult¸imea [x0 − r, x0 + r].
234
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
Demonstrat¸ie. Fie 0 < < 1 − |ϕ0 (x0 )|. Din continuitatea lui ϕ0 ˆın x0 rezult˘ a c˘a exist˘a δ > 0 astfel ˆıncˆat |x − x0 | < δ ⇒ |ϕ0 (x) − ϕ0 (x0 )| < . Atunci, pentru orice x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∪ I |ϕ0 (x)| ≤ |ϕ0 (x) − ϕ0 (x0 )| + |ϕ0 (x0 )| < + |ϕ0 (x0 )| = a < 1. Exist˘a r ∈ (0, δ) astfel ˆıncˆat [x0 − r, x0 + r] ⊂ I. Pentru orice x, y ∈ [x0 − r, x0 + r] utilizˆand teorema de medie a lui Lagrange, obt¸inem |ϕ(x) − ϕ(x0 )| = |ϕ0 (c)||x − y| ≤ a|x − y|. ˆ ipotezele teoremei anterioare, dac˘ Teorema 17.5.4 In a ϕ(x∗ ) = 0 ¸si |ϕ0 (x∗ )| < 1 k atunci exist˘ a r > 0 astfel ˆıncˆ at ¸sirul (x )k∈N definit prin formula de recurent¸˘ a xk+1 = ϕ(xk ), k ∈ N, converge c˘ atre x∗ , oricare ar fi x0 ∈ [x∗ − r, x∗ + r]. Demonstrat¸ie. Din teorema 17.5.3 rezult˘a existent¸a lui r astfel ˆıncˆat ϕ este contract¸ie ˆın mult¸imea [x∗ − r, x∗ + r]. Fie a constanta de contract¸ie. Deoarece |ϕ(x∗ ) − x∗ | = 0 < (1 − a)r, ¸tinˆand seama de teoremele 17.5.1 ¸si 17.5.2 rezult˘a c˘a ¸sirul (xk )k∈N converge c˘atre x∗ , unicul punct fix al lui ϕ. Proprietatea de convergent¸˘a a ¸sirului (xk )k∈N , construit prin metoda funct¸iei inverse cu polinomul lui Taylor este formulat˘a ˆın teorema Teorema 17.5.5 Dac˘ a aproximat¸ia init¸ial˘ a x0 este ”suficient de apropiat˘ a” de ∗ k x , solut¸ia ecuat¸iei T (x) = 0 din intervalul I, atunci ¸sirul (x )k∈N , construit prin metoda funct¸iei inverse cu polinomul lui Taylor converge c˘ atre x∗ . Demonstrat¸ie. Definim funct¸ia ϕm : I → R prin ϕm (x) = x +
m X i=1
(−1)i
F (i) (T (x)) i T (x) i!
Derivata acestei funct¸ii este ϕ0 (x) = 1 +
m X i=1
(−1)i [
1 F (i) (T (x))T i−1 (x)T 0 (x)+ (i − 1)!
1 (i+1) F (T (x))T i (x)T 0 (x)] = 1 − F 0 (T (x)T 0 (x)+ i!
235
17.5. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR ALGEBRICE
+
m m X X (−1)i (i+1) (−1)i (i) F (T (x))T i−1 (x)T 0 (x) + F (T (x))T i (x)T 0 (x)]. (i − 1)! i! i=1
i=2
Prin schimbarea de indice ˆın a doua sum˘a, expresia derivatei devine m X (−1)j (j) ϕ (x) = F (T (x))T j−1 (x)T 0 (x)+ (j − 1)! 0
j=2
+
m+1 X j=2
=
(−1)j−1 (j) F (T (x))T j+1 (x)T 0 (x)] = (j − 1)!
(−1)m (m+1) F (T (x))T m (x)T 0 (x). m!
Au loc egalit˘a¸tile ϕm (x∗ ) = x∗ ¸si ϕ0 (x∗ ) = 0. Potrivit teoremei 17.5.4, dac˘a x0 este ”suficient de aproape” de x∗ , atunci ¸sirul (xk )k∈N converge c˘atre x∗ . Metoda funct¸iei inverse cu polinomul lui Lagrange.1 Fie m ∈ N , x1 , x2 , . . . , xm+1 puncte distincte ale intervalului I ¸si yi = T (xi ), i ∈ {1, 2, . . . , m+ 1}. ˆIn egalitatea F (y) = L(y1 , . . . , ym+1 ; F )(y) +
m+1 Y
(y − yi )
i=1
F (m+1) (ξ) , (m + 1)!
alegˆand y = 0, obt¸inem x∗ = F (0) = L(y1 , . . . , ym+1 ; F )(0) +
m+1 Y
(−yi )
i=1
F (m+1) (ξ) . (m + 1)!
Expresia L(y1 , . . . , ym+1 ; F )(0) furnizeaz˘a o aproximat¸ie a solut¸iei x∗ pe care o not˘am xm+2 . ˆIn continuare se reia procedeul cu x2 , x3 , . . . , xm+2 . ˆIn general, dac˘a s-au determinat xk , xk+1 , . . . , xm+k atunci xk+m+1 = L(yk , yk+1 , . . . , yk+m ; F )(0) Dac˘a uk (y) =
Qk+m j=k
(y − yj ) atunci xk+m+1 = −uk (0)
k+m X i=k
1
(yi = T (xi )).
xi . yi u0k (yi )
(17.29)
Pentru aceast paragraf este necesar cunoa¸sterea polinomului de interpolare Lagrange.
236
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
Din egalitatea uk+1 (y) = uk (y) yk+m+1 uk+1 (0) = uk (0), yk
y−yk+m+1 y−yk
( u0k+1 (yi )
=
deducem formulele de recurent¸˘a yi −yk+m+1 yi −yk uk (yk+m+1 ) yk+m+1 −yk
u0k (yi )
i ∈ {k + 1, . . . , k + m} i=k+m+1
Utilizˆand formula baricentric˘a a polinomului de interpolare Lagrange, formula (17.29) se scrie Pk+m xi i=k
yi u0k (yi )
i=k
1 yi u0k (yi )
xk+m+1 = Pk+m Pentru m = 1 g˘asim xk+2 =
xk yk+1 − xk+1 yk , yk+1 − yk
cunoscut˘a sub numele de metoda coardei, deoarece xk+2 reprezint˘a intersect¸ia dreptei ce une¸ste punctele de coordonate (xk , yk ), (xk+1 , yk+1 ) cu axa Ox. Metoda funct¸iei inverse cu polinomul lui Lagrange nu face apel la derivatele funct¸iei T.
17.6
Rezolvarea ecuat¸iilor polinomiale
Fie polinomul P ∈ C[X], P (z) = z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an . Deoarece polinomul P are n r˘ad˘acini reale sau complexe, specificul rezolv˘arii unei ecuat¸ii polinomiale P (z) = 0 (17.30) const˘a ˆın cerint¸a determin˘arii tuturor r˘ad˘acinilor sale. Metodele prezentate ˆın continuare permit determinarea simultan˘a (paralel˘ a) a celor n r˘ad˘acini. T1 (z) .. Fie Ω ∈ Cn o mult¸ime deschis˘a, T : Ω → Cn , T (z) = un operator . Tn (z) de m (≥ 2) ori diferent¸iabil, avˆand diferent¸iala de ordin m continu˘a ˆın Ω ¸si ¸sirul (z (k) )k∈N construit prin formula de recurent¸˘a (k) z1 .. (k+1) (k+1) (k) (k) = Ti (z (k) ), z = T (z ), z = . ⇔ zi (17.31) (k)
zn
∀ i ∈ {1, 2, . . . , n}, k∈ N. α1 .. Not˘am prin α = . vectorul format de r˘ad˘acinile polinomului P. αn
237
17.6. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR POLINOMIALE
Teorema 17.6.1 Dac˘ a 1. T (α) = 0, 2. T 0 (α) = T 00 (α) = . . . = T (m−1) (α) = 0 atunci exist˘ a r > 0 astfel ˆıncˆ at pentru orice z (0) ∈ Cn , kz (0) − αk < r,2 ¸sirul construit prin formula de recurent¸˘ a z (k+1) = T (z (k) ), k ∈ N, (17.31) converge c˘ atre α. Demonstrat¸ie. Fie r0 > 0 astfel ˆıncˆat V0 = {z ∈ Cn : kz − αk ≤ r0 } ⊂ Ω ¸si C0 = maxz∈V0 kT (m) (z)k. Exist˘a 0 < r ≤ r0 astfel ˆıncˆat C0 rm
⇔
C0 m!
1 m−1
r < 1.
Not˘am V = {z ∈ Cn : kz − αk ≤ r}. Dac˘a z ∈ V atunci Teorema 17.1.7 ¸si ipotezele prezente implic˘a kT (z) − αk = kT (z) − T (α) −
m−1 X j=1
≤
1 (j) T (α) (z − α) . . . (z − α) k ≤ | {z } j! j ori
C0 rm 1 kz − αkm sup kT (m) (ζ)k ≤ < r, m! m! ζ∈[α,z]
adic˘a T (z) ∈ V. ˆIn particular, pentru z = z (k) din relat¸iile anterioare deducem kz (k+1) − αk = kT (z (k) ) − αk ≤
C0 (k) kz − αkm . m!
(17.32)
Utilizˆand repetat inegalitatea (17.32) g˘asim kz (k) − αk ≤ =(
C0 (k−1) C0 C0 (k−2) kz − αkm ≤ ( kz − αkm )m = m! m! m!
C0 1+m (k−2) C0 2 k−1 k ) kz − αkm ≤ . . . ≤ ( )1+m+...+m kz (0) − αkm < m! m! mk C0 1 C0 mk k → 0, k → ∞. < ( ) m−1 kz (0) − αkm ≤ ( ) m−1 r m! m!
Din inegalitatea (17.32) deducem totodat˘a faptul c˘a ordinul de convergent˘a al ¸sirului (z (k) )k∈N este cel put¸in m (Anexa F). 2
kzk = max{|z1 |, |z2 |, . . . , |zn |}.
238
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
ˆIn cele ce urmeaz˘a vom presupune c˘a r˘ad˘acinile polinomului P sunt simple. ˆIntotdeauna putem elimina r˘ad˘acinile multiple considerˆand ˆın locul lui P, P polinomul , ale c˘arei r˘ad˘acini coincid cu cele ale lui P ¸si sunt simple. cmmdc(P,P 0 ) ˆIn acest caz exist˘a o vecin˘atate a lui α astfel ˆıncˆat pentru orice z, cuprins ˆın acea vecin˘atate, are componentele distincte dou˘a cˆate dou˘a. Vom utiliza notat¸iile z1 n Y z = ... ¸si Qi (z) = (zi − zj ). j=1 zn j6=i Astfel z va reprezenta un num˘ar complex ˆın timp ce z reprezint˘a un vector avˆand ca ¸si componente numere complexe. Dac˘a z1 , . . . , zn sunt numere complexe, not˘am n Y
u(z) =
(z − zj )
j=1 n
Y u(z) = (z − zj ) z − zi j=1
ui (z) =
j6=i
Metoda Durand-Kerner. Scriem egalitatea P (z) = (z − α1 ) . . . (z − αn ) sub forma P (z) j=1 (z − αj )
z − αi = Qn
P (z) . j=1 (z − αj )
sau αi = z − Qn
j6=i
Dac˘a z (k)
(k)
z1 .. = .
(k)
(17.33)
j6=i
este o aproximat¸ie a lui α atunci, ˆınlocuind ˆın membrul
zn drept din (17.33) componentele lui α cu componentele corespunz˘atoare ale lui z (k) , formula (17.33) sugereaz˘a formulele de recurent¸˘a (k)
(k)
(k+1) zi
=
(k) zi
−Q n
j=1
j6=i
P (zi (k)
(zi
(k)
− zj )
=
(k) zi
P (zi − , Qi (z (k) )
ˆIn acest caz, expresia funct¸iei Ti (z) este Ti (z) = zi −
P (zi ) . Qi (z)
i ∈ {1, 2, . . . , n}, k ∈ N.
239
17.6. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR POLINOMIALE
Evident Ti (α) = αi . Calcul˘am derivatele part¸iale ale funct¸iei Ti (z). P 0 (zi ) ∂Ti (z) P (zi ) ∂Qi (z) =1− . + 2 ∂zi Qi (z) Qi (z) ∂zi Deoarece P 0 (αi ) =
Qn
j=1
(αi − αj ) = Qi (α), rezult˘a
j6=i
∂Ti (α) ∂zi
= 0.
Pentru i 6= j ∂Ti (z) P (zi ) ∂Qi (z) = 2 , ∂zj Qi (z) ∂zj deci ∂T∂zi (α) = 0. j ˆIn consecint¸˘a T 0 (α) = 0, deci ordinul de convergent¸˘a al ¸sirului (z (k) )k∈N este 2. Metoda Ehrlich. Fie z1 , . . . , zn numere compleze distincte dou˘a cˆate dou˘a. Pentru calcului r˘ad˘acinii αi utiliz˘am metoda tangentei ˆın cazul ecuat¸iei P (z) = 0. ui (z) ˆIn prealabil calcul˘am
P (z) ui (z)
n
0 =
P 0 (z) P (z) u0i (z) P 0 (z) P (z) X 1 − = − . ui (z) ui (z) ui (z) ui (z) ui (z) j=1 z − zj j6=i
Pentru z = zi , presupunˆand P 0 (zi ) = ui (zi ) – adev˘arat˘a, dac˘a zi = αi , ∀i – vom avea n n P (zi ) X 1 P (zi ) X 1 P (z) 0 |z=zi ≈ 1 − =1− . ui (z) ui (zi ) j=1 zi − zj Qi (z) j=1 zi − zj j6=i
j6=i
Metoda tangentei conduce la formulele de recurent¸˘a (k)
(k+1)
zi
P (zi Qi (z (k) )
(k)
= zi −
(k)
1−
P (zi ) Qi (z (k) )
Pn
(k)
(k)
1 j=1 (k) (k) j6=i zi −zj
= zi −
i ∈ {1, . . . , n}, k ∈ N. Bineˆınt¸eles z (k)
(k)
z1 .. = .
(k)
P (zi ) (k) P Qi (z (k) ) − P (zi ) nj=1
1 (k) (k) j6=i zi −zj
.
zn Ordinul de convergent¸˘a al metodei Ehrlich este 2.
,
240
CAPITOLUL 17. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR NELINIARE
Metoda Nourein. Din nou fie z1 , . . . , zn numere compleze distincte dou˘ a cˆate dou˘a. P (z) − u(z) este un polinom de grad n − 1, deci coincide cu polinomul de interpolare L(Pn−1 ; z1 , . . . , zn ; P − u)(z) = L(Pn−1 ; z1 , . . . , zn ; P )(z) P (z) − u(z) = L(Pn−1 ; z1 , . . . , zn ; P )(z) =
n X
P (zj )
j=1
u(z) . (z − zj )u0 (zj )
Pentru z = αi obt¸inem n
X P (zj ) P (zi ) −1 = + 0 (αi − zi )u (zi ) j=1 (αi − zj )u0 (zj ) j6=i
¸si explicitˆand αi − zi g˘asim αi = zi −
P (zi ) ui (zi )
1+
Pn
j=1
j6=i
P (zj ) (αi −zj )u0 (zj )
.
Reluˆand rat¸ionamentul f˘acut la metoda Durand-Kerner obt¸inem formulele de recurent¸˘a (k)
(k+1)
zi
(k)
= zi
− 1+
Pn
j=1
j6=i
P (zi ) Qi (z (k) ) P (zj )
,
i ∈ {1, . . . , n}, k ∈ N.
(k) (k) (zi −zj )Qj (z (k) )
Ordinul de convergent¸˘a al metodei Nourein este 3. Metoda Wang-Zheng. Formulele de recurent¸˘a ale acestei metode sunt (k+1)
zi
(k)
= zi −
(k) P 0 (zi ) (k) P (zi )
−
(k) P 00 (zi ) (k) 0 2P (zi )
−
(k) P (zi ) (k) 0 2P (zi )
1 Pn ( j=1
1 2 (k) (k) ) z −z j6=i i j
+
Pn
1 j=1 (k) (k) 2 (z −z j6=i i j )
,
i ∈ {1, . . . , n}, k ∈ N. Ordinul de convergent¸˘a al metodei Wang-Zheng este 4. Determinarea aproximat¸iilor initiale ¸ A¸sa cum s-a v˘azut, convergent¸a metodei de rezolvare a unei ecuat¸ii polinomiale depinde de alegerea adecvat˘a a aproximat¸iilor init¸iale ale r˘ad˘acinilor. ˆIn acest sens sunt utile urm˘atoarele rezultate privind localizarea r˘ad˘acinilor unui polinom. Teorema 17.6.2 R˘ ad˘ acinile polinomului P (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an ∈ C[X] se afl˘ a ˆın discul B(0, R) cu R = 1 + |ab0 | , unde b = max{|a1 |, . . . , |an |}.
241
17.6. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR POLINOMIALE
Demonstrat¸ie. Pentru |z| > 1 au loc major˘arile |a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an | ≤ b(1 + |z| + . . . + |z|n−1 ) ≤ b
|z|n−1 . |z| − 1
¸si inegalit˘a¸tile n
|P (z)| ≥ |a0 ||z| − |a1 z Dac˘a |a0 | −
n−1
n
+ . . . + an−1 z + an | ≥ |z|
b >0 |z| − 1
⇔
|z| > 1 +
b |a0 | − |z| − 1
.
b = R, |a0 |
atunci |P (z)| > 0, adic˘a polinomul P nu are r˘ad˘acini ˆın afara discului B(0, R), de unde concluzia teoremei. Teorema 17.6.3 Fie Q ⊂ C un p˘ atrat cu centrul ˆın a ¸si semidiagonala r ¸si polinomul P (z) = b0 (z − a)n + b1 (z − a)n−1 + . . . + bn−1 (z − a) + bn ∈ C[X]. Dac˘ a |P (a)| > |b0 |rn + |b1 |rn−1 + . . . + |bn−1 |r atunci polinomul P nu are nici o r˘ ad˘ acin˘ a ˆın p˘ atratul Q. Demonstrat¸ie. Dac˘a z ∈ Q atunci |z − a| ≤ r. Deoarece |P (z) − P (a)| = |b0 (z − a)n + b1 (z − a)n−1 + . . . + bn−1 (z − a)| ≤ ≤ |b0 |rn + |b1 |rn−1 + . . . + |bn−1 |r din inegalitatea |P (z)| = |P (a) − (P (a) − P (z))| ≥ |P (a)| − |P (z) − P (a)| ≥ ≥ |P (a)| − (|b0 |rn + |b1 |rn−1 + . . . + |bn−1 |r) > 0, deducem c˘a polinomul P nu are r˘ad˘acini ˆın p˘atratul Q.
Partea IV
REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR PRIN METODE DE OPTIMIZARE
242
Capitolul 18
Elemente din teoria optimiz˘ arii Fie X un spat¸iu normat, domeniul D ⊆ X ¸si F : D → R o funct¸ional˘a diferent¸iabil˘a Fr´echet, m˘arginit˘a inferior. Problema de optimizare (PO) const˘a ˆın determinarea 1. f ∗ = inf x∈D f (x); 2. x∗ ∈ D (dac˘a exist˘a) astfel ˆıncˆat f (x∗ ) = inf x∈D f (x). Dac˘a a ∈ R, atunci not˘am prin Ma mult¸imea Ma = {x ∈ D : f (x) ≤ a}. ˆIn cazul X = Rn exist˘a mai multe metode eficiente de rezolvare a problemei de mai sus. ˆIn continuare vom presupune c˘a D este un domeniu convex. Drept aplicat¸ii, exist˘a posibilitatea rezolv˘arii unei ecuat¸ii liniare sau neliniare prin intermediul unei probleme de optimizare adecvatate.
18.1
Funct¸ionale diferent¸iabile
ˆIn cazul funct¸ionalelor, diferent¸iabilitatea Fr´echet coincide cu G-derivabilitatea. ˆIntr-adev˘ar, pentru x, x + h ∈ D funct¸ionala f este G- derivabil˘a ˆın x dac˘a exist˘a operatorul liniar ∇f (x) ∈ (X, X)∗ astfel ˆıncˆat f (x + th) − f (x) = ∇f (x)(h). t→0 t lim
Pentru h ∈ X, not˘am h0 =
h khk
¸si t = khk ¸si g˘asim
f (x + h) − f (x) − ∇f (x)(h) f (x + th0 ) − f (x) = lim − ∇f (x)(h0 ) = 0. t→0 h→0 khk t lim
Pentru x, x + h ∈ D fixat¸i introducem funct¸ia ϕ : [0, 1] → R definit˘a prin ϕ(t) = f (x + th). Au loc propriet˘a¸tile: 243
244
˘ CAPITOLUL 18. ELEMENTE DIN TEORIA OPTIMIZARII
1. Dac˘ a funct¸ionala f : D → R este diferent¸iabil˘ a Fr´echet
Teorema 18.1.1 atunci
ϕ0 (t) = f 0 (x + th)(h); R1 f (x + h) − f (x) = 0 f 0 (x + th)(h)dt;
(18.1) (18.2)
2. Dac˘ a funct¸ionala f : D → R este de dou˘ a ori diferent¸iabil˘ a Fr´echet atunci ϕ00 (t) = f 00 (x + th)(h)(h); R1 f (x + h) = f (x) + f 0 (x)(h) + 0 (1 − t)f 00 (x + th)(h)(h)dt.
(18.3) (18.4)
Demonstrat¸ie. Au loc egalit˘a¸tile ϕ(t + s) − ϕ(t) f (x + (t + s)h) − f (x + th) = lim = s→0 s→0 s s
ϕ(t) = lim
= ∇f (x + th)(h) = f 0 (x + th)(h), deoarece diferent¸iabilitatea Fr´echet implic˘a G-derivabilitatea. Cealalt˘a relat¸ie reprezint˘a transcrierea egalit˘a¸tii Z 1 ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ0 (t)dt. 0
Pct. 2 al teoremei se arat˘a asem˘an˘ator. (18.4) reprezint˘a transcrierea egalit˘a¸tii ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ0 (0) +
Z
1
(1 − t)ϕ00 (t)dt.
0
Exemplul 18.1.1 Fie X un spat¸iu prehilbertian real cu produsul scalar notat prin < ·, · > . Dac˘ a A ∈ (X, X)∗ , b ∈ X atunci funct¸ionala f (x) =
1 < A(x), x > − < b, x >, 2
f : X → X,
este diferent¸iabil˘ a Fr´echet ¸si f 0 (x) = A(x) − b. Teorema 18.1.2 Dac˘ a funct¸ionala f : D → R este diferent¸iabil˘ a Fr´echet cu derivata lipschitzian˘ a, adic˘ a exist˘ a L > 0 astfel ˆıncˆ at kf 0 (x) − f 0 (y)k ≤ Lkx − yk,
∀x, y ∈ D,
atunci pentru orice x, x + h ∈ D are loc inegalitatea f (x + h) ≤ f (x) + f 0 (x)(h) +
L khk2 2
245
18.2. FUNCT ¸ IONALE CONVEXE
Demonstrat¸ie. Utilizˆand (18.2) au loc relat¸iile Z f (x + h) − f (x) =
1
0
Z
0
[f (x + th)(h) − f (x)(h)]dt + 0
f 0 (x)(h)dt ≤
0
Z 1 Z 0 0 0 0 ≤ f (x)(h)+ [f (x + th) − f (x)](h)dt ≤ f (x)(h)+
1
|[f 0 (x+th)−f 0 (x)] (h)|dt ≤
0
0
Z
0
1
≤ f (x)(h) +
1
kf 0 (x + th) − f 0 (x)k khk dt ≤ f 0 (x)(h) +
0
18.2
L khk. 2
Funct¸ionale convexe
Fie D un domeniu convex a unui spat¸iu normat X. Funct¸ionala F : D → R este convex˘a este • convez˘a dac˘a f (ax + (1 − a)y) ≤ af (x) + (1 − a)f (y),
∀x, y ∈ D; ∀a ∈ (0, 1).
• strict convez˘a dac˘a f (ax + (1 − a)y) < af (x) + (1 − a)f (y),
∀x, y ∈ D, x 6= y; ∀a ∈ (0, 1).
• tare convez˘a dac˘a exist˘a m > 0 astfel ˆıncˆat ma(1 − a)kx − yk2 + f (ax + (1 − a)y) ≤ af (x) + (1 − a)f (y), ∀x, y ∈ D; ∀a ∈ (0, 1). ˆIn cazul unei funct¸ionale diferent¸iabil˘a Fr´echet tare convexitatea se poate caracteriza prin Teorema 18.2.1 Fie f : D ⊂ X → R o funct¸ional˘ a diferent¸iabil˘ a Fr´echet. Urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt echivalente (i) f este tare convex˘ a; (ii) Pentru orice x, x0 ∈ D are loc inegalitatea f (x) − f (x0 ) ≥ f 0 (x0 )(x − x0 ) + mkx − x0 k2 ;
(18.5)
(iii) Pentru orice x, x0 ∈ D are loc inegalitatea [f 0 (x) − f 0 (x0 )](x − x0 ) ≥ 2mkx − x0 k2 ;
(18.6)
246
˘ CAPITOLUL 18. ELEMENTE DIN TEORIA OPTIMIZARII
Dac˘ a f este de dou˘ a ori diferent¸iabil Fr´echet atunci afirmat¸iile anterioare sunt echivalente cu (iv) Pentru orice x ∈ D ¸si orice h ∈ X are loc inegalitatea f 00 (x)(h)(h) ≥ 2mkhk2 .
(18.7)
Demonstrat¸ie. (i)⇒(ii) Din inegalitatea f (tx + (1 − t)x0 ) + mt(1 − t)kx − x0 k2 ≤ tf (x) + (1 − t)f (x0 ) sc˘azˆand f (x0 ) ¸si ˆımp˘a¸tind la t ∈ (t, 1] se obt¸ine f (tx + (1 − t)x0 ) − f (x0 ) + m(1 − t)kx − x0 k2 ≤ f (x) − f (x0 ). t Pentru t → 0 rezult˘a f 0 (x0 )(x − x0 ) + mkx − x0 k2 ≤ f (x) − f (x0 ). (ii)⇒(i) Au loc inegalit˘a¸tile f (x) − f (tx + (1 − t)y) ≥ (1 − t)f 0 (tx + (1 − t)y)(x − y) + m(1 − t)2 kx − yk2 f (y) − f (tx + (1 − t)y) ≥ (1 − t)f 0 (tx + (1 − t)y)(y − x) + mt2 kx − yk2 ˆInmult¸ind prima inegalitate cu t, pe a doua cu 1 − t ¸si adunˆand g˘asim tf (x) + (1 − t)f (y) − f (tx + (1 − t)y) ≥ mt(1 − t)kx − yk2 . (ii)⇒(iii) Adunˆand inegalit˘a¸tile f (x) − f (x0 ) ≥ f 0 (x0 )(x − x0 ) + mkx − x0 k2 f (x0 ) − f (x) ≥ f 0 (x)(x0 − x) + mkx − x0 k2 rezult˘a 0 ≥ [f 0 (x) − f 0 (x0 )](x0 − x) + 2mkx − x0 k2 sau [f 0 (x) − f 0 (x0 )](x − x0 ) ≥ 2mkx − x0 k2 .
247
18.2. FUNCT ¸ IONALE CONVEXE
(iii)⇒(ii) Folosind (18.1) deducem succesiv Z 1 f 0 (x0 + t(x − x0 ))(x − x0 )dt = f (x) − f (x0 ) = 0
Z
1
0
Z
0
1
[f (x0 + t(x − x0 )) − f (x0 )](x − x0 )dt +
=
f 0 (x0 )(x − x0 )dt ≥
0
0
≥ 2mkx − x0 k
2
Z
1
tdt + f 0 (x0 )(x − x0 ) = mkx − x0 k2 + f 0 (x0 )(x − x0 ).
0
(iii)⇒(iv) ˆImp˘art¸ind cu t2 inegalitatea [f 0 (x + th) − f 0 (x)](th) ≥ 2mt2 khk2 obt¸inem
f 0 (x + th) − f 0 (x) (h) ≥ 2mkhk2 . t
Pentru t → 0 rezult˘a f 00 (x + th)(h)(h) ≥ 2mkhk2 . (iv)⇒(iii) Utilizˆand (18.4) avem 0
Z
f (x) = f (x0 )+f (x0 )(x−x0 )+
1
(1−t)f 00 (x0 +t(x−x0 ))(x−x0 )(x−x0 )dt ≥
0
≥ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + mkx − x0 k2 . Pentru funct¸ionale convexe formularea teoremei anterioare este Teorema 18.2.2 Fie f : D ⊂ X → R o funct¸ional˘ a diferent¸iabil˘ a Fr´echet. Urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt echivalente (i) f este convex˘ a; (ii) Pentru orice x, x0 ∈ D are loc inegalitatea f (x) − f (x0 ) ≥ f 0 (x0 )(x − x0 );
(18.8)
(iii) Pentru orice x, x0 ∈ D are loc inegalitatea [f 0 (x) − f 0 (x0 )](x − x0 ) ≥ 0;
(18.9)
Dac˘ a f este de dou˘ a ori diferent¸iabil Fr´echet atunci afirmat¸iile anterioare sunt echivalente cu (iv) Pentru orice x ∈ D ¸si orice h ∈ X are loc inegalitatea f 00 (x)(h)(h) ≥ 0.
(18.10)
248
18.3
˘ CAPITOLUL 18. ELEMENTE DIN TEORIA OPTIMIZARII
Propriet˘ a¸ti ale problemei de optimizare
M˘arginirea inferioar˘a a funct¸ionalei problemei de optimizare (PO) este garantat˘a de Teorema 18.3.1 Dac˘ a 1. funct¸ioanla f : D → R este diferent¸iabil˘ a Fr´echet cu derivata lipschtzian˘ a, ∃L > 0, astfel ˆıncˆ at kf 0 (x) − f 0 (y)k ≤ Lkx − yk,
∀x, y ∈ D;
2. exist˘ a a ∈ R astfel ˆıncˆ at mult¸imea Ma este m˘ arginit˘ a; atunci f este m˘ arginit˘ a inferior. Demonstrat¸ie. M˘arginirea mult¸imii Ma ˆınseamn˘a existent¸a unui num˘ar r > 0 cu proprietatea c˘a kxk ≤ 2r , pentru orice x ∈ Ma . Fie x, x0 ∈ Ma ¸si h = x − x0 . Atunci khk ≤ kxk + kx0 k ≤ r. Procedˆand analog calculului din demonstrat¸ia Teoremei 18.1.2, avem |f (x) − f (x0 )| = |f (x0 + h) − f (x0 )| = Z =|
1
0
0
[f (x0 + th) − f (x0 )]hdt + 0
≤ sau
Z
1
f 0 (x0 )(h)dt| ≤
0
Lkhk2 Lr2 + kf 0 (x0 )k khk ≤ + kf 0 (x0 )kr, 2 2
Lr2 − kf 0 (x0 )kr. 2 O caracterizare a solut¸iei (PO) este furnizat˘a de urm˘atoarea teorem˘a f (x) ≥ f (x0 ) −
Teorema 18.3.2 O condit¸ie necesar˘ a ca x∗ s˘ a fie solut¸ie pentru (PO) este f 0 (x∗ )(x − x∗ ) ≥ 0.
(18.11)
Dac˘ a funct¸ionala f este convex˘ a atunci condit¸ia este ¸si suficient˘ a. Demonstrat¸ie. Pentru x ∈ D ¸si t > 0 suficient de mic x∗ + t(x − x∗ ) ∈ D ¸si ˆın consecint¸˘a f (x∗ + t(x − x∗ )) ≥ f (x∗ ), sau
f (x∗ + t(x − x∗ )) − f (x∗ ) ≥ 0. t Pentru t → 0 rezult˘a f 0 (x∗ )(x − x∗ ) ≥ 0.
249
18.4. METODE DE DESCRES ¸ TERE
Reciproc, dac˘a f este o funct¸ional˘a convex˘a atunci, din (18.8) avem f (x) − f (x∗ ) ≥ f 0 (x∗ )(x − x∗ ) ≥ 0. Referitor la unicitatea solut¸iei, pentru funct¸ionale strict convexe (PO) a cel mult o solut¸ie. ˆIn cazul funct¸ionalelor tare convexe are loc urm˘atorul rezultat privind evaluarea erorii Teorema 18.3.3 Dac˘ a x∗ este punctul de minim al funct¸ionalei tare convexe f atunci are loc inegalitatea kx − x∗ k2 ≤
2 [f (x) − f (x∗ )]. m
(18.12)
Demonstrat¸ie. Proprietatea de minim a lui x∗ implic˘a f (x∗ ) ≤ f ( 12 x+ 12 x∗ ), ∀x ∈ D, iar din tare convexitate deducem 1 1 1 1 1 f (x∗ ) ≤ f ( x + x∗ ) ≤ f (x) + f (x∗ ) − mkx − x∗ k2 , 2 2 2 2 4 de unde se obt¸ine (18.12).
18.4
Metode de descre¸stere
Rezolvarea PO printr-o metod˘a de descre¸stere const˘a ˆın construirea ¸sirului xn+1 = xn + µn hn
(18.13)
unde (xn )n∈N reprezint˘a aproximat¸ii ale solut¸iei PO, hn ∈ X este direct¸ia de descre¸stere ¸si µn ∈ R este un coeficient. Un criteriu de alegere a direct¸iei de descre¸stere este Teorema 18.4.1 Fie f : X → R o funct¸ie diferent¸iabil˘ a Fr´echet. Dac˘ a f 0 (x)(h) < 0 atunci exist˘ a µ0 > 0 astfel ˆıncˆ at f (x + µh) < f (x)
∀µ ∈ (0, µ0 ).
Demonstrat¸ie. Limita f (x + µh) − f (x) = f 0 (x)(h) µ→0 µ lim
implic˘a ∀ 0 < ε < −f 0 (x)(h) ∃ µ0 > 0
astfel ˆıncˆat
f (x + µh) − f (x) − f 0 (x)(h) < ε ∀ µ ∈ (0, µ0 ), µ de unde f (x + µh) − f (x) < µ(f 0 (x)(h) + ε) < 0.
250
˘ CAPITOLUL 18. ELEMENTE DIN TEORIA OPTIMIZARII
Definit¸ie 18.4.1 Un element h ∈ X, khk = 1 este o direct¸ie de cea mai mare descre¸stere a funct¸ionalei f ˆın x dac˘ a f 0 (x)(h) = inf f 0 (x)(y) kyk=1
(18.14)
Teorema 18.4.2 Dac˘ a h este o direct¸ie de cea mai mare descre¸stere a funct¸ionalei f ˆın x atunci f 0 (x)(h) = −kf 0 (x)k. Demonstrat¸ie. Utilizˆand definit¸ia normei unui operator liniar, g˘asim f 0 (x)(h) = inf f 0 (x)(y) = − sup −f 0 (x)(y) = −k − f 0 (x)k = −kf 0 (x)k. kyk=1
kyk=1
n n Observat¸ie 18.4.1 a. Dac˘ a Fie X = R ¸si f : R → R o funct¸ie diferent¸iabil˘ ∂f (x) not˘ am ∇f (x) = ∂xi - gradientul funct¸iei f ˆın x - atunci 1≤i≤n
f 0 (x)(h) =< ∇f (x), h >=
n X ∂f (x) i=1
∂xi
hi
h = (hi )1≤i≤n ∈ Rn .
ˆ acest caz h = − ∇f (x) este o direct¸ie de cea mai mare descre¸stere a lui f ˆın In k∇f (x)k x. Metoda de descre¸stere cu alegerea la fiecare pas a antigradientul ca direct¸ie de descre¸tere poart˘a numele de metoda gradientului.
18.5
Metoda gradientului
Fie X un spat¸iu normat real. Pentru minimizarea funct¸ionalei diferent¸iabile Fr´echet f : X → R se consider˘a ¸sirul definit prin formula de recurent¸˘a xn+1 = xn + µn hn , cu hn = −f 0 (xn ) ¸si µn solut¸ia problemei de optimizare unidimensional˘a f (xn+1 ) = f (xn + µn hn ) = min f (xn + µhn ). µ>0
Rezultatele urm˘atoare prezint˘a propriet˘a¸ti de convergent¸a legate de ¸sirul (xn )n∈N . Teorema 18.5.1 Dac˘ a
251
18.5. METODA GRADIENTULUI
1. derivata Fr´echet f 0 (x) este lipschitzian˘ a, adic˘ a ∃L > 0
astfel ˆıncˆ at kf 0 (x) − f 0 (y)k ≤ Lkx − yk,
∀x, y ∈ X;
2. mult¸imea Mf (x0 ) este m˘ arginit˘ a atunci limn→∞ f 0 (xn ) = 0. Demonstrat¸ie. Teoreme 18.3.1 implic˘a marginirea inferioar˘a a ¸sitului (f (xn ))n∈N iar din determinarea parametrului de descre¸stere µn rezult˘a ca acest ¸sir este descresc˘ator. ˆIn consecint¸˘a exist˘a limn→∞ f (xn ). Fie µ > 0. Potrivit Teoremei 18.1.2 avem f (xn+1 ) ≤ f (xn + µhn ) ≤ f (xn ) + µf 0 (xn )(hn ) +
Lµ2 . 2
Deoarece hn este o direct¸ie de cea mai mare descre¸stere a funct¸ionalei f ˆın xn , din inegalitatea anterioar˘a deducem kf 0 (xn )k = −f 0 (xn )(hn ) ≤
f (xn ) − f (xn+1 ) Lµ + . µ 2
(18.15)
f (xn )−f (xn+1 ) Lµ ε = 0 exist˘a 2 < 2 . Deoarece limn→∞ µ f (xn )−f (xn+1 ) ε < 2 pentru orice n > n0 . n0 ∈ N astfel ˆıncˆat µ 0 Din (18.15) rezult˘a kf (xn )k < ε pentru orice n > n0 , adic˘a limn→∞ f 0 (xn ) =
Fie ε > 0 ¸si µ > 0 astfel ˆıncˆat
0. Teorema 18.5.2 Dac˘ a ˆın plus, funct¸ionala f este convex˘ a atunci exist˘ aα>0 astfel ˆıncˆ at f (xn ) − f ∗ ≤ αkf 0 (xn )k, ∀n ∈ N, unde f ∗ = inf x∈Mf (x0 ) f (x). Demonstrat¸ie. Din m˘arginirea mult¸imii Mf (x0 ) rezult˘a c˘a ¸si mult¸imea Mf (x0 ) − Mf (x0 ) este m˘arginit˘a, adic˘a exist˘ a α > 0 astfel ˆıncˆat Mf (x0 ) − Mf (x0 ) ⊆ B(0, α). Dac˘a y ∈ Mf (x0 ) atunci y − xn ∈ Mf (x0 ) − Mf (x0 ) ⊆ B(0, α) ¸si din egalitatea y = xn + (y − xn ) deducem incluziunea Mf (x0 ) ⊆ xn + B(0, α).
(18.16)
Fie h ∈ X, cu khk ≤ α. Deoarece xn +h ∈ xn +B(0, α), relat¸ia (18.16) implic˘a inf f (xn + h) ≤
khk≤α
inf
x∈Mf (x0 )
f (x) = f ∗
252
˘ CAPITOLUL 18. ELEMENTE DIN TEORIA OPTIMIZARII
¸si f ∗ − f (xn ) ≥ inf f (xn + h) − f (xn ). khk≤α
(18.17)
Potrivit Teoremei 18.2.2, convexitatea funct¸ionalei f implic˘a inegalitatea f (xn + h) − f (xn ) ≥ f 0 (xn )(h). Utilizˆand (18.17) deducem f ∗ − f (xn ) ≥ inf f (xn + h) − f (xn ) ≥ inf f 0 (xn )(h). khk≤α
khk≤α
Deoarece inf f 0 (xn )(h) = α inf f 0 (xn )(h) = −α sup −f 0 (xn )(h) = −αkf 0 (xn )k
khk≤α
khk≤1
khk≤1
inegalitatea de mai sus devine f ∗ − f (xn ) ≥ −αkf 0 (xn )k. Din Teoremele 18.3.3 ¸si 18.5.2 rezult˘a Teorema 18.5.3 Dac˘ a ˆın plus, funct¸ionala f este tare convex˘ a ¸si x∗ este solut¸ia problemei de optimizare atunci limn→∞ xn = x∗ .
Capitolul 19
Rezolvarea ecuat¸iilor prin optimizare 19.1
Rezolvarea unui sistem algebric neliniar printr-o metod˘ a de optimizare
Fiind date funct¸iile diferent¸iabile Ti : Rn → R, i ∈ {1, 2, . . . , m}, pentru rezolvarea sistemului algebric de ecuat¸ii neliniare T1 (x1 , . . . , xn ) = 0 .. (19.1) T (x) = 0 ⇔ . Tm (x1 , . . . , xn ) = 0 se minimizeaz˘a funct¸ionala f : Rn → R definit˘a prin f (x) =
m X
Ti2 (x) = kT (x)k22 .
(19.2)
i=1
Dac˘a f (x) = 0 atunci x este un punct de minim al funct¸ionalei f ¸si solut¸ie a sistemului (19.1). Pentru minimizarea funct¸ionalei f utiliz˘am metode gradientului. Gradientul lui f este ∂f (x) ∂T1 (x) ∂Tm (x) . . . T1 (x) ∂x1 ∂x1 ∂x1 . .. .. .. 0 T f 0 (x) = = 2(T (x)) T (x). . . ... . .. = 2 ∂f (x) ∂xn
∂T1 (x) ∂xn
...
∂Tm (x) ∂xn
Tm (x)
Coeficientul de descre¸stere µ se obt¸ine din minimizarea funct¸iei ϕ(µ) = f (x−µf 0 (x)) =
m X
Ti2 (x−µf 0 (x)) =
i=1
m X 2 Ti (x) − µ(Ti0 (x))T f 0 (x) + . . . , i=1
253
254
CAPITOLUL 19. REZOLVAREA ECUAT ¸ IILOR PRIN OPTIMIZARE
a c˘arei prim˘a aproximat¸ie este polinomul de gradul al doilea ψ(µ) =
m X 2 Ti (x) − µ(Ti0 (x))T f 0 (x) = i=1
= kT (x)k22 − 2µ
m X
Ti (x)(Ti0 (x))T f 0 (x) + µ2
i=1
m X 0 2 (Ti (x))T f 0 (x) . i=1
Drept coeficient de descre¸stere se alege punctul de minim al funct¸iei ψ(µ). Deoarece (Ti0 (x))T f 0 (x) = 2(Ti0 (x))T (T 0 (x))T T (x) sunt componentele vectorului (T10 (x))T 0 .. T 0 0 T 2 (T (x)) T (x) = 2T (x)(T (x)) T (x) . 0 (x))T (Tm
expresia funct¸iei ψ(µ) devine ψ(µ) = kT (x)k22 − 4µ(T (x))T T 0 (x)(T 0 (x))T T (x) + 4µ2 kT 0 (x)(T 0 (x))T T (x)k22 = = kT (x)k22 − 4µkT 0 (x))T T (x)k22 + 4µ2 kT 0 (x)(T 0 (x))T T (x)k22 . A¸sadar µ = argmin ψ(µ) =
k(T 0 (x))T T (x)k22 . 2kT 0 (x)(T 0 (x))T T (x)k22
Aproximarea unei solut¸ii a sistemului (19.1) se g˘ase¸ste cu ¸sirul (x(k) )k∈N definit prin formula de recurent¸˘a x(k+1) = x(k) −
19.2
k(T 0 (x(k) ))T T (x(k) )k22 (T 0 (x(k) ))T T (x(k) ). 2 (k) (k) (k) 0 0 T kT (x )(T (x )) T (x )k2
Rezolvarea unui sistem algebric de ecuat¸ii liniare ˆın sensul celor mai mici p˘ atrate
Fie A ∈ Mm,n (C) cu m ≥ n ¸si b ∈ Cm . Rezolvarea sistemului algebric Ax = b ˆın sensul celor mai mici p˘atrate const˘a ˆın determinarea unui x∗ ∈ Cn astfel ˆıncˆ at kb − Ax∗ k2 = minn kb − Axk2 . x∈C
Teorema 19.2.1 Fie A ∈ Mm,n (C) cu m ≥ n ¸si b ∈ Cm . Solut¸ia sistemului algebric de ecuat¸ii liniare Ax = b, ˆın sensul celor mai mici p˘ atrate este dat˘ a de solut¸ia sistemul algebric AH Ax = AH b.
255
19.3. REZOLVAREA UNEI ECUAT ¸ II LINIARE PRIN METODE DE OPTIMIZARE
Demonstrat¸ie. T ¸ inˆand seama de (11.4), vectorul b se scrie b = b1 + b2 , cu b1 ∈ Im(A) ¸si b2 ∈ Ker(AH ) = (Im(A))⊥ . Exist˘a x∗ ∈ Cn astfel ˆıncˆat Ax∗ = b1 . Pentru orice x ∈ Cn au loc inegalit˘a¸tile kb − Axk22 = k(b1 − Ax) + b2 k22 = kb1 − Axk22 + kb2 k22 ≥ kb2 k22 = = kb2 − Ax∗ k22 + kb2 k22 = kb − Ax∗ k22 , adic˘a x∗ este solut¸ie a ˆın sesnsul celor mai mici p˘atrate a sistemului Ax = b. Deoarece b2 ∈ Ker(AH ), avem AH (b − Ax∗ ) = AH (b1 − Ax∗ ) + AH b2 = AH b2 = 0, sau AH Ax∗ = AH b. Observat¸ie 19.2.1 Dac˘ a rang(A) = n, atunci solut¸ia sistemului Ax = b, ˆın sensul celor mai mici p˘ atrate este unic˘ a. ˆIntr-adevar, ˆın acest caz Ker(A) = {0}, operatorul A fiind injectiv, sistemul Ax = b1 are solut¸ie unic˘a.
19.3
Rezolvarea unei ecuat¸ii liniare prin metode de optimizare
Fie X un spat¸iu Hilbert real, D(A) un subspat¸iu liniar al lui X, un operator liniar A ∈ (D(A), X)# ¸si b ∈ X. Problema studiat˘a ˆın aceast˘a sect¸iune este rezolvarea ecuat¸iei A(x) = b (19.3) Definit¸ie 19.3.1 Operatorul liniar A ∈ (D(A), X)# este • simetric dac˘a < A(x), y >=< x, A(y) >, • pozitiv dac˘a < A(x), x >≥ 0,
∀x, y ∈ D(A);
∀x ∈ D(A);
• strict pozitiv dac˘a < A(x), x >> 0,
∀x ∈ D(A)\{0};
• tare pozitiv dac˘a ∃m > 0 astfel ˆıncˆat < A(x), x >≥ mkxk2 ,
∀x ∈ D(A).
Dac˘a operatorul A este strict pozitiv atunci ecuat¸ia (19.3) are cel mult o solut¸ie. Ata¸sam ecuat¸iei (19.3) funct¸ionala J : D(A) → X definit˘a prin J(x) =< A(x), x) − 2 < b, x > Au loc urm˘atoarele propriet˘a¸ti simple ale funct¸ionalei J.
(19.4)
Partea V
ANEXE
256
Anexa A
Not¸iuni de teoria erorilor ˆIn cursul rezolv˘arii unei probleme numerice apar erori. Potrivit sursei, se pot distinge trei tipuri de erori: 1. Erori inerente, care provin din simplificarea modelului fizic ˆın procesul de modelare matematica, din m˘asur˘atorile init¸iale, din calculele anterioare problemei, etc. 2. Erori de metod˘ a. ˆIn general metoda de calcul numeric construie¸ste un ¸sir de aproximat¸ii convergent c˘atre solut¸ia problemei de calcul numeric, iar din punct de vedere practic se calculeaz˘a un element al ¸sirului de aproximat¸ii. 3. Erori de rotunjire ˆın datele de intrare, ˆın calcule si ˆın datele de ie¸sire ca urmare a utiliz˘arii unui sistem de calcul ce folose¸ste un mod specific de reprezentare a numerelor.
A.1
Eroare absolut˘ a ¸si eroare relativ˘ a
Fie x o aproximat¸ie a valorii exacte a ∈ R. Definit¸ia 1 ∆x = a − x este eroarea aproximat¸iei x; |∆x| = |a − x| este eroarea absolut˘ a a aproximat¸iei x; |∆x| δx = |a| este eroarea relativ˘ a a aproximat¸iei x , (a 6= 0). Not¸iunile introduse se extind pentru elemente ale unui spat¸iu liniar normat prin ||∆x|| ||∆x|| = ||a − x||, δx = . ||a|| 257
258
A.2
ANEXA A. NOT ¸ IUNI DE TEORIA ERORILOR
Reprezentarea numerelor ˆın virgul˘ a mobil˘ a
Fie t, r, b ∈ N∗ , b > 1 ¸si not˘am: b1 = b − 1 (cea mai mare cifr˘a ˆın baza b); q = b1 . . . b1 (cel mai mare num˘ar ˆın baza b avˆand r cifre). | {z } r cifre ˆIn cele ce urmeaz˘a toate numerele naturale sunt scrise ˆın baza b. Orice num˘ar a ∈ R+ se scrie succesiv a−1 a−2 (A.1) + 2 + ... = b b ! ! t ∞ X X ae−k b−k be + ae−k bt−k be−t .
a = ae be + ae−1 be−1 + . . . + a1 b + a0 +
=
∞ X
! ae−k b−k
be =
k=0
Notˆand f˜ =
k=0
Pt
k=0 ae−k b
−k
¸si g˜ =
k=t+1
P∞
k=t+1 ae−k b
t−k
relat¸ia (A.1) devine
a = f˜ be + g˜ be−t
(A.2)
Exemplul A.2.1 Fie t = 4, s = 2, b = 10 ¸si a = 1492.631435. Atunci a = 1.492631435 103 = 1.4926 103 + 0.31435 10−1 . Consider˘am mult¸imea Vt,r,b = {x ∈ R : x = s f be } ∪ {0} unde: • f este un num˘ar avˆand t cifre dup˘a punctul zecimal ¸si cu partea ˆıntreag˘ a format˘a dintr-o singur˘a cifr˘a nenul˘a. f = f0 .f−1 . . . f−t b , f0 6= 0. f se nume¸ste mantis˘a ¸si ˆın acela¸si timp vom spune c˘a f este o form˘a normalizat˘ a. • e este un num˘ar ˆıntreg de cel mult r cifre. • s corespunde semnului, s = 1 sau s = −1. Astfel reprezentarea unui num˘ar real a ˆın virgul˘a mobil˘a este caracterizat˘a de tripletul (s, e, f ). Reprezentarea lui 0 = 0b−q este (±1, −q, 0). Cel mai mic ¸si cel mai mare num˘ar pozitiv ale mult¸imii Vt,r,b , sunt m = 1.0 b−q ¸si respectiv M = b1 .b1 . . . b1 bq . | {z } t cifre Astfel Vt,r,b este o submult¸ime de numere rat¸ionale a mult¸imii
259
˘ MOBILA ˘ A.3. ARITMETICA NUMERELOR ˆIN VIRGULA
[−M, −m] ∪ {0} ∪ [m, M ]. Reprezentarea unui num˘ar real a ∈ R∗ ˆın virgul˘a mobil˘a se obt¸ine aproximˆand a printr-un element al mult¸imii Vt,r,b . Pornind de la reprezentarea (A.2) pentru |a| = f˜ be + g˜ be−t , cu f˜ form˘a normalizat˘a ¸si e avˆand cel mult r cifre, exist˘a mai multe procedee de construire a unei aproximat¸ii a lui a prin elementele mult¸imii Vt,s,b . 1. Aproximarea prin trunchiere: x = f˜ be . f˜ 2. Aproximarea prin rotunjire: x = f˜ + be−t
dac˘a g < 12 be−t dac˘a g ≥ 12 be−t
Aproximat¸ia lui a ˆın Vt,r,b va fi fl(a) = sgn(a)x.
A.3
Aritmetica numerelor reale reprezentate ˆın virgul˘ a mobil˘ a
Definim operat¸iile aritmetice ˆın Vt,s,b : Adunarea / Sc˘ aderea. Pentru a aduna/sc˘adea numerele fl(a1 ), fl(a2 ) se efectueaz˘a urm˘atoarele operat¸ii: 1. Se aduc numerele fl(a1 ) ¸si fl(a2 ) la exponentul cel mai mare, p˘astrˆan-du-se num˘arul de zecimale (t) ale mantiselor; 2. Se adun˘a/scad mantisele; 3. Se renormeaz˘a rezultatul: dac˘a mantisa este diferit˘a de 0 atunci se modific˘a exponentul astfel ˆıncˆat mantisa s˘a fie o form˘a normalizat˘a; dac˘a mantisa este 0, atunci exponentului i se atribuie valoarea −q. Rezultatul astfel obt¸inut ˆıl not˘am fl(a1 ) ⊕ fl(a2 ). Exemplul A.3.1 Fie t = 4, r = 2, b = 10 ¸si a1 = 99.01325, a2 = 0.98724. S˘ a se calculeze fl(a1 ) ⊕ fl(a2 ). Atunci fl(a1 ) = 9.9013 101 , fl(a2 ) = 9.8724 10−1 ¸si 9.9013 101 + 0.0987 101 = 10.0000 101 → 1.0000 · 102 = fl(a1 ) ⊕ fl(a2 ). ˆ general adunarea nu este asociativ˘ Observat¸ie A.3.1 In a, dup˘ a cum rezult˘ a din exemplul (t=4, r=2, b=10). Exemplul A.3.2 Fie a1 = 0.0123, a2 = 5678, a3 = −5678.
260
ANEXA A. NOT ¸ IUNI DE TEORIA ERORILOR
T ¸ inˆand seama de egalit˘a¸tile: fl(a1 ) = 1.2300 10−2 , fl(a2 ) = 5.6780 103 , fl(a3 ) = −5.6780 103 obt¸inem (fl(a1 ) ⊕ fl(a2 )) ⊕ fl(a3 ) = (0.0000 103 + 5.6780 103 ) ⊕ fl(a3 ) = = 5.6780 103 − 5.6780 103 = 0.0000 103 → 0.0000 10−99 ¸si fl(a1 ) ⊕ (fl(a2 ) ⊕ fl(a3 )) = fl(a1 ) ⊕ (5.6780 103 − 5.6780 103 ) = = 1.2300 10−2 + 0.0000 10−99 = 1.2300 10−2 + 0.0000 10−2 = 1.2300 10−2 .
ˆ Inmult ¸irea/ˆımp˘ art¸irea. Produsul/cˆatul dintre fl(a1 ), fl(a2 ) se obt¸ine efectuˆand operat¸iile: 1. Se ˆınmult¸esc/ˆımpart mantisele ¸si se adun˘a/scad exponent¸ii; 2. Se renormeaz˘a rezultatul ˆın sensul precizat la adunare/sc˘adere. Rezultatul se noteaz˘a cu fl(a1 ) fl(a2 ). Exemplul A.3.3 Fie t = 4, s = r, b = 10 ¸si a1 = 40.1345, a2 = 0.06346. S˘ a se calculeze fl(a1 ) fl(a2 ). Atunci fl(a1 ) = 4.0134 101 ¸si fl(a2 ) = 6.3460 10−2 . Rezult˘a: 4.0134 101 · 6.3460 10−2 = 25.4690364 10−1 → 2.5469 100 = fl(a1 ) fl(a2 ).
ˆ general, ˆınmult¸irea nu este asociativ˘ Observat¸ie A.3.2 In a.
A.4
Protocolul IEEE 754
Protocolul IEEE (Institute for Electrical and Electronics Engineers) 754 fixeaz˘a detaliile de implementare a reprezent˘arii numerelor reale ˆın virgul˘a mobil˘ a. Baza de numerotat¸ie este b = 2. Fie x = s f 2e ∈ Vt,r,2 reprezentarea ˆın virgul˘a mobil˘a a unui num˘ar a. ˆIn memoria calculatorului se va ret¸ine tripletul (σ, , φ) unde:
A.4. PROTOCOLUL IEEE 754
261
• σ corespunde semnului: 0 1
pentru numere pozitive pentru numere negative
• φ corespunde mantisei f. Cifra unit˘a¸tilor fiind diferit˘a de 0 este neap˘arat 1. Aceast˘a cifra nu este ˆınregistrat˘a. Dac˘a f = f0 .f−1 . . . f−t b atunci φ este ¸sirul de cifre binare φ = (f−1 , . . . , f−t ). • Presupunem c˘a e ∈ {emin , . . . , emax }, emin , emax ∈ Z, cu cel mult r cifre binare. La exponentul e se adun˘a o constant˘a E astfel ˆıncˆat pentru orice e ∈ {emin , . . . , emax }, e ∈ Z, suma e + E s˘a fie un num˘ar natural avˆand cel mult r cifre binare. ˆIn felul acesta semnul exponentului nu mai trebuie precizat explicit. este ¸sirul cifrelor binare ale sumei e + E, = (r−1 , . . . , 1 , 0 ). Protocolul IEEE 754 permite ¸si reprezentarea unor numere pentru care ˆın relat¸ia (A.2) corespunz˘atoare, are loc inegalitatea e < emin . ˆIn acest caz = 01 iar f este o form˘a nenormalizat˘a, f = 0.f−1 . . . f−t 2 . Cel mai mic num˘ar reprezentabil va fi 2−E−t , c˘aruia ˆıi corespunde φ = (0, 0, . . . , 0, 1) . | {z } t elemente Ultima cifr˘a a mantisei φ se obt¸ine prin rotunjire. Num˘arului 0 ˆıi corespund = 0 ¸si φ = 0. Dac˘a = (1, 1, . . . , 1, 1) ¸si φ = 0 atunci reprezentarea corespunde pentru s∞. | {z } r elemente Dac˘a = (1, 1, . . . , 1, 1) ¸si φ 6= 0 atunci semnificat¸ia reprezent˘arii este NaN | {z } r elemente (Not a Number). Parametri utilizat¸i pentru reprezentarea ˆın simpl˘ a ¸si dubl˘ a precizie. Reprezentarea pe 4 octet¸i (simpl˘a precizie) 8 octet¸i (dubl˘a precizie) emin -126 -1022 emax 127 1023 E 127 1023 r 8 11 t 23 52 Exemplu. Fie a = 0.1. Reprezentarea ˆın baza 2 a lui a este a = 0.000(1100)2 = 1.(1001)2 2−4 . 1
Prin 0 s-a notat ¸sirul cu toate elementele egale cu 0.
262
ANEXA A. NOT ¸ IUNI DE TEORIA ERORILOR
1. Reprezentarea ˆın simpl˘a precizie. e + E = 123 = 11110112 . Se obt¸ine reprezentarea 3 10987654 σ 00111101
2 32109876 φ 11001100
1 54321098
76543210
11001100
11001101
Octet¸ii reprezent˘arii cont¸in valorile: 61,204,204,205. 2. Reprezentarea ˆın dubl˘a precizie. e + E = 1019 = 11111110112 . Se obt¸ine reprezentarea 6 32109876 σ 00111111 3 10987654 10011001
5 54321098 φ 10111001 2 32109876 10011001
4 76543210 10011001 1 54321098 10011001
89765432 10011001 76543210 10011010
Octet¸ii reprezent˘arii cont¸in valorile: 63,185,153,153,153,153,153,154. Mediul de programare Java utilizeaz˘a standardul IEEE 754 pentru reprezentarea numerelor reale – tipurile predefinite float, double – ˆın virgul˘a mobil˘a.
A.5
Controlul erorii
Exemplific˘am aparit¸ia ¸si controlul erorii de metod˘a ˆın problema calculului √ num˘arului e astfel ˆıncˆat eroarea absolut˘a s˘a fie cel mult ε = 10−3 . Din egalitatea ex = 1 + pentru x =
1 2
√
x x2 xn eθ·x · xn+1 + + ... + + 1! 2! n! (n + 1)!
(0 < θ < 1)
obt¸inem θ
1 1 1 1 1 1 e2 1 · n+ · n+1 . e = 1 + · + · 2 + ... + 1! 2 2! 2 n! 2 (n + 1)! 2
Potrivit relat¸iei de mai sus, aproximat¸ia lui x=1+
√
e va fi
1 1 1 1 1 1 · + · 2 + ... + · 1! 2 2! 2 n! 2n
263
A.5. CONTROLUL ERORII
θ
e2 1 termenul (n+1)! exprim˘a eroarea metodei de calcul. Pentru a putea efectua · 2n+1 calculele trebuie s˘a determin˘am parametrul n, pe care ˆıl alegem drept cel mai mic num˘ar natural pentru care θ
e2 1 ≤ ε. · (n + 1)! 2n+1 θ
1
Deoarece θ ∈ (0, 1), avem e 2 ≤ e 2 ≤ e ≤ 3 ¸si ˆın consecint¸˘a inegalit˘a¸tile: θ
e2 3 1 · n+1 ≤ n+1 ≤ 10−3 (n + 1)! 2 2 · (n + 1)! au loc pentru n ≥ 4. Pentru n = 4 g˘asim x=1+
1 1 1 1 1 1 1265 1 1 · + · 2+ · 3+ · 4 = . 1! 2 2! 2 3! 2 4! 2 768
ˆIn general, suntem interesat¸i ˆın scrierea rezultatului sub form˘a de fract¸ie zecimal˘a. ˆIn cazul nostru rezultatul 1265 ¸ie periodic˘a mixt˘a, dar din 768 apare ca o fract considerente practice rezultatul se va rotunji la un num˘ar de zecimale. ˆIn felul acesta apare ˆınca o eroare de trunchiere. Fie numerele pozitive ε1 , ε2 astfel ˆıncˆat ε1 + ε2 = ε. Vom impune condit¸ia ca eroarea metodei s˘a fie mai mic˘a decˆat ε1 iar rotunjirea se va face la un num˘ar de zecimale astfel ˆıncˆat eroarea de trunchiere s˘a fie mai mic˘a decˆat ε2 . Reamintim regulile de rotunjire ale unui num˘ar p
a = ap · 10 + ap−1 · 10
p−1
+ ... =
∞ X
ap−k · 10p−k
k=0
scris ˆın baza 10 la m cifre: • dac˘a prima cifr˘a omis˘a este mai mic˘a decˆat 5, atunci ultima cifr˘a p˘astrat˘a se las˘a nemodificat˘a; • dac˘a prima cifr˘a omis˘a este mai mare decˆat 5, atunci ultima cifr˘a p˘astrat˘a se m˘are¸ste cu o unitate; • dac˘a prima cifr˘a omis˘a este 5 ¸si dac˘a dup˘a 5 urmeaz˘a cifre diferite de 0, atunci ultima cifr˘a p˘astrat˘a se m˘are¸ste cu o unitate, iar dac˘a dup˘a 5 urmeaz˘a numai zerouri, atunci ultima cifr˘a p˘astrat˘a se m˘are¸ste sau nu cu o unitate dup˘a cum este par˘a sau impar˘a.
264
ANEXA A. NOT ¸ IUNI DE TEORIA ERORILOR
Eroarea absolut˘a care se face ˆın urma rotunjirii la m cifre este |∆x| ≤
1 · 10p−m+1 2
Relu˘am problema init¸ial˘a, luˆand ε1 = ε2 =
1 2
· 10−3 . Inegalitatea
3 1 < · 10−3 2n+1 · (n + 1)! 2 are loc pentru orice n ≥ 5. Pentru n = 5 obt¸inem 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 · + · 2 + · 3 + · 4 + · 5. 1! 2 2! 2 3! 2 4! 2 5! 2 Determin˘am num˘arul cifrelor la care efectu˘am rotunjirea drept cel mai mic num˘ar natural m pentru care x=1+
1 1 · 10−m+1 < · 10−3 . 2 2 Rezult˘a m = 4 ¸si ˆın consecint¸˘a y = 1.6487. |∆y| = |x − y| ≤
O conexiune ˆıntre o aproximat¸ie x a unui num˘ar, rotunjirea lui x la m zecimale ¸si aproximat¸iile prin lips˘a ¸si adaus ale num˘arului este dat˘a de Dac˘ a x este o aproximat¸ie a num˘ arului subunitar a astfel ˆıncˆ at |∆x| < 12 · 10−m , atunci rotunjirea lui x la m zecimale coincide sau cu aproximarea prin lips˘ a, sau cu aproximarea prin adaus a lui a la m zecimale. ˆIntr-adev˘ar, dac˘a a = P∞ a−kk , atunci aproximarea prin lips˘a ¸si prin adaus k=1 10 a lui aP la m zecimale sunt: a−k σm = m si respectiv τm = σm + 101m . k=1 10k ¸ Fie y rotunjirea lui x la m zecimale. Din inegalitatea |∆y| = |y −x| ≤ 12 ·10−m deducem |a − y| ≤ |a − x| + |x − y| < 10−m . Rezult˘a inegalit˘a¸tile σm − 10−m ≤ a − 10−m < y < a + 10−m ≤ τm + 10−m = σm + 2 · 10−m . Multiplicˆand cu 10m , g˘asim 10m · σm − 1 < 10m · y < 10m · σm + 2. Deoarece 10m · σm , 10m · y ∈ N , urmeaz˘a c˘a 10m · y = 10m · σm sau 10m · y = 10m · σm + 1, adic˘a y = σm sau y = σm + 10−m = τm .
A.5. CONTROLUL ERORII
265
Probleme ¸si teme de seminar P A.1 S˘ a se elaboreze un program Java care s˘ a se verifice reprezentarea numerelor reale ˆın virgul˘ a mobil˘ a. import java.io.*; public class Reprez{ public static void main(String args[]){ byte b[]=new byte[10]; int x; try{ ByteArrayOutputStream bos=new ByteArrayOutputStream(); DataOutputStream dos=new DataOutputStream(bos); double a=0.1; System.out.println("a="+a); dos.writeDouble(a); b=bos.toByteArray(); dos.close(); bos.close(); for(int i=0;i
Anexa B
Implementarea metodelor iterative Metodele numerice iterative conduc la construirea unui ¸sir de aproximat¸ii succesive (xk )k∈N ale unei solut¸ii c˘autate. Programarea metodei iterative necesit˘ a o regul˘a de opirire. Este utilizat˘a frecvent urm˘atoarea regul˘a de oprire: Dac˘ a distant¸a ˆıntre dou˘ a aproximat¸ii succesive xk = X ¸si xk+1 = Y este mai mic˘ a decˆ at un num˘ ar pozitiv EPS, sau dac˘ a num˘ arul de iterat¸ii executate NI este egal cu num˘ arul maxim admis de iterat¸ii NMI atunci programul se opre¸ste; iar ˆın caz contrar se trece la o nou˘ a iterat¸ie. ˆ cazul opririi calculelor, se pozit¸ioneaz˘ In a un indicator de r˘ aspuns IND pe 0, dac˘ a distant¸a dintre aproximat¸iile succesive X ¸si Y este mai mic˘ a decˆ at EPS, iar ˆın caz contrar pe 1. Regula de oprire are schema logic˘a:
DA
? H HH
H NU − Y || ≤ EP SH H||X H HH ? ? H HH HH NU IN D = 0 DA - spre o HNI = NMI nou˘a HH iterat¸ie H ?
IN D = 1 ? STOP
266
267 Schema logic˘a a unui algoritm relativ la o metod˘a iterativ˘a este: START ?
Preg˘atirea primei iterat¸ii X ?
NI = 0 ?
NI = NI + 1 ?
Calculul iterat¸iei urm˘atoare Y ? HH HH Preg˘atirea ar¸sit-iterat H sfˆ ¸iei urm˘atoare Regula de oprire HH X←Y H HH
sfˆar¸sit
? STOP
Anexa C
Determinarea parametrilor unor metode numerice Pentru a putea folosi o metod˘a numeric˘a, parametrii care intervin trebuie determinate exact. ˆIn acest scop se pot utiliza produse program de calcul simbolic. Aplicat¸iile care urmeaz˘a se bazeaz˘a pe Derive. 1. Numerele lui Cˆ otes sunt Z n n−i (−1) Cn,i = q(q − 1) . . . (q − i + 1)(q − i − 1) . . . (q − n)dq. ni!(n − i)! 0 Programarea ˆın Derive este #1: cotes(n,i):=(-1)^i/(n i!(n-i)!) int(product(if(j6=i,q-j,1), j,1,n),q,0,n) Tabloul numerelor lui Cˆotes se obt¸ine prin simplificarea expresiei #2 vector(vector(cotes(n,i),i,0,n),n,1,4) Rezult˘a: 7 16 2 16 7 #3 [[ 12 , 21 ], [ 16 , 23 , 61 ], [ 18 , 38 , 38 , 81 ], [ 90 , 45 , 15 , 45 , 90 ]]
2. Calculul nodurilor ¸si coeficient¸ilor formulei de integrare numeric˘ a de tip Gauss ρ(x) = 1. Polinoamele ortogonale cu ponderea ρ(x) = 1, ˆın intervalul [a, b] sunt polinoamele lui Legendre Pn (x) =
n! [(x − a)n (x − b)n ](n) (2n)! 268
269
#1 p(n,x):=n!/(2n)! dif((x-a)^n(x-b)^n,x,n) Pentru formula de integrare numeric˘a Gauss cu n noduri, acestea sunt r˘ad˘acinile polinomului Legenfre Pn (x). #2 nod(n):=vector(rhs(element(solve(p(n,x),x),i)),i,1,n) Nodurile formulelor de integrare numeric˘a pentru n = 1, . . . , 4 sunt #3 vector(nod(n),n,1,4) Comanda Simplify produce √
√ √ √ 3·|a−b| a+b 3·|a−b| a+b 15·|a−b| a+b 15·|a−b| a+b a+b + , − ], [ , + , − 2 ], 6 2 2q √2 10 10 q √ q √ 6 q 2√ 2· 30 3 2· 30 3 2· 30 3 2· 30 3 a·( ( 35 + 7 )+1)+b·(1− ( 35 + 7 )) b·( ( 35 + 7 )+1)−a·( ( 35 + 7 )−1) [ , , 2 2 q q q q √ √ √ √ 3 2· 30 3 2· 30 3 2· 30 3 2· 30 a·( ( 7 − 35 )+1)+b·(1− ( 7 − 35 )) b·( ( 7 − 35 )+1)−a·( ( 7 − 35 )−1) [ , ]] 2 2
#4 [[ a+b 2 ], [
Coeficient¸ii formulei de integrare numerica Gauss se pot obt¸ine ˆın Derive folosind formula Ai =
(n!)4 (b − a)2n+1 (n!)4 (b − a)2n+1 Q . = 0 2 2 − a)(b − xi )[Pn (xi )] (2n!) (xi − a)(b − xi ) nj=1 (xi − xj )2
(2n!)2 (xi
j6=i
#5 C(n,i):=(n!)^4(b-a)^(2n+1)/(((2n)!)^2 (element(nod(n),i)-a)(b-element(nod(n),i)) product( if(j=i,1,(element(nod(n),i)-element(nod(n),j))^2), j,1,n))
Form˘am vectorul coeficient¸ilor #6 coef(n):=vector(C(n,i),i,1,n)
¸si simplific˘am expresia
270
ANEXA C. DETERMINAREA UNOR PARAMETRI NUMERICI
#7 vector(coef(n),n,1,3) 4·(b−a) 5·(b−a) 5·(b−a) b−a #8 [[b − a], [ b−a , 18 , 18 ]] 2 , 2 ], [ 9 Pentru n = 4, coeficient¸ii se obt¸in utilizˆand comanda Approx, ˆın loc de Simplify, dup˘a ce s-au fixat valorile lui a ¸si b. #9 a:=-1 #10 b:=1 #11 coef(4) #12 [0.347855, 0.343755, 0.652146, 0.652146]
Dac˘a n > 4, atunci pentru calculul nodurilor ¸si coeficient¸ilor se procedeaz˘ a analog. 3. Calculul coeficient¸ilor schemei de calcul Adams sunt r X i αi j = 0, 1, . . . , r βj = (−1)j j i=j
unde α0 = p + R q 1 p αi = i! −q z(z + 1) . . . (z + i − 1)dz
i = 1, 2, . . . , r.
Calculul acestor coeficient¸i se programeaz˘a ˆın Derive prin #1 α(i,p,q):=if(i=0,p+q,1/i!int(product(z+j,j,0,i-1),z,-q,p)) #2 β(r,j,p,q):=(-1)^j sum(comb(k,j)α(k,p,q),k,j,r) Coeficient¸ii schemei de calcul Adams - Bashforth (p = 1, q = 0) se obt¸in din #3 vector(vector(β (r,j,1,0),j,0,r),r,1,5) 4 5 55 59 37 3 1901 1387 109 637 251 #4 [[ 23 , − 21 ], [ 23 12 , − 3 , 12 ], [ 24 , − 24 , 24 , − 8 ], [ 720 , − 360 , 30 , − 360 , 720 ], 4277 4991 3649 959 95 [ 1440 , − 2641 480 , 720 , − 720 , 480 , − 288 ]] Coeficient¸ii schemei de calcul Adams - Moulton (p = 0, q = 1) se obt¸in din #5 vector(vector(β (r,j,0,1),j,0,r),r,1,5) 5 2 1 3 19 5 1 251 323 11 53 19 #6 [[ 21 , 21 ], [ 12 , 3 , − 12 ], [ 24 , 24 , − 24 , 24 ], [ 720 , 360 , − 30 , 360 , − 720 ], 95 1427 133 241 173 3 [ 288 , 1440 , − 240 , 720 , − 1440 , 160 ]]
Anexa D
Ordinul de convergent¸˘ a al unui ¸sir Definit¸ie D.0.1 Fie (xn )n∈N un ¸sir convergent ˆıntr-un spat¸iu normat, limn→∞ xn = x∗ . Dac˘ a kxn+1 − x∗ k lim = c, 0 < c < ∞, n→∞ kxn − x∗ kr atunci ¸sirul (xn )n∈N are ordinul de convergent¸˘ a r. ˆIn funct¸ie de r se utilizeaz˘a terminologia: convergent¸˘a liniar˘a convergent¸˘a superliniar˘a convergent¸˘a p˘atratic˘a
r=1 1
Observat¸ie D.0.1 Dac˘ a exist˘ a M > 0 astfel ˆıncˆ at kxn+1 − x∗ k ≤ M kxn − x∗ ks , ∀n ≥ n0 atunci ordinul de convergent¸˘ a este cel put¸in s. Fie r ordinul de convergent¸˘a al ¸sirului (xn )n∈N . Dac˘a r < s atunci kxn+1 − x∗ k kxn+1 − x∗ k 1 = → ∞, s r kxn − x∗ k kxn − x∗ k kxn − x∗ ks−r ceea ce contrazice condit¸ia din observat¸ie.
271
n → ∞,
Anexa E
Determinarea ordinelor de convergent¸˘ a ale metodelor de rezolvare paralel˘ a a ecuat¸iilor polinomiale utilizˆ and instrumente de calcul simbolic Este suficient s˘a s˘a consider˘am polinomul P (z) = (z − a)(z − b)(z − c) ¸si prima componenta T1 (z) a unei metode de calcul paralel a r˘ad˘acinilor unui polinom z (k+1) = T (z (k) ). Pentru a verifica condit¸iile Teoremei 17.6.1, datorit˘a propriet˘a¸tilor de simetrie este suficient s˘a calcul˘am ∂T1 (z) ∂z1
∂T1 (z) ∂z2
∂ 2 T1 (z) ∂z12
∂ 2 T1 (z) ∂z1 ∂z2
∂ 2 T1 (z) ∂z22
∂ 2 T1 (z) ∂z2 ∂z3
∂ 3 T1 (z) ∂z13
∂ 3 T1 (z) ∂z12 ∂z2
∂ 3 T1 (z) ∂z1 ∂z22
∂ 3 T1 (z) ∂z23
∂ 3 T1 (z) ∂z22 ∂z3
∂ 4 T1 (z) ∂z14
∂ 4 T1 (z) ∂z13 ∂z2
∂ 4 T1 (z) ∂z12 ∂z22
∂ 4 T1 (z) ∂z1 ∂z23
∂ 4 T1 (z) ∂z24
.. .
∂ 4 T1 (z) ∂z23 ∂z3
∂ 4 T1 (z) ∂z22 ∂z32
Se vor calcula succesiv elementele liniilor de mai sus pˆan˘a la aparit¸ia primului element nenul. Programul de calcul simbolic utilizat este Mathematica. 272
273 • Metoda Durand-Kerner T1 (z1 , z2 , z3 ) = z1 −
P (z1 ) (z1 − z2 )(z1 − z3 )
Programul Mathematica este In[1]:= T1[z1,z2,z3]:= z1-(z1-a)*(z1-b)*(z1-c)/((z1-z2)*(z1-z3)) In[2]:= D[T1[z1,z2,z3],z1]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[2]:= 0 In[3]:= D[T1[z1,z2,z3],z2]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[3]:= 0 In[4]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],z1,z2]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] 1 Out[4]:= −a+b
• Metoda Erlich T1 (z1 , z2 , z3 ) = z1 −
P (z1 ) (z1 − z2 )(z1 − z2 ) − P (z1 )
1 z1 −z2
+
1 z1−z3
Programul Mathematica corespunz˘ator este In[1]:= T1[z1,z2,z3]:= z1-(z1-a)*(z1-b)*(z1-c)/((z1-z2)*(z1-z3)(z1-a)*(z1-b)*(z1-c)* (1/(z1-z2)+1/(z1-z3))) In[2]:= D[T1[z1,z2,z3],z1]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[2]:= 0 In[3]:= D[T1[z1,z2,z3],z2]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[3]:= 0 In[4]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z1,2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[4]:= 2(−2a+b+c) (a−b)(a−c)
274
˘ ANEXA E. DETERMINAREA ORDINELOR DE CONVERGENT ¸A
• Metoda Nourein P (z1 )
T1 (z1 , z2 , z3 ) = z1 −
h
(z1 − z2 )(z1 − z2 ) 1 +
= z1 −
(z1 − z2 )(z1 − z2 ) +
P (z2 ) (z2 −z1 )(z2 −z3 )(z1 −z2 )
P (z1 ) (z1 −z3 )P (z2 ) (z2 −z1 )(z2 −z3 )
+
+
P (z3 ) (z3 −z1 )(z3 −z2 )(z1 −z3 )
(z1 −z2 )P (z3 ) (z3 −z1 )(z3 −z2 )
Programul Mathematica este In[1]:= T1[z1,z2,z3]:= z1-(z1-a)*(z1-b)*(z1-c)/((z1-z2)*(z1-z3)+ (z2-a)*(z2-b)*(z2-c)*(z1-z3)/((z2-z1)*(z2-z3))+ (z3-a)*(z3-b)*(z3-c)*(z1-z2)/((z3-z1)*(z3-z2))) In[2]:= D[T1[z1,z2,z3],z1]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[2]:= 0 In[3]:= D[T1[z1,z2,z3],z2]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[3]:= 0 In[4]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z1,2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[4]:= 0 In[5]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],z1,z2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[5]:= 0 In[6]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z2,2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[6]:= 0 In[7]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z2,z3}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[7]:= 0 In[7]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z1,2},z2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] 2 Out[4]:=− (a−b) 2
• Metoda Wang-Zheng T1 (z1 , z2 , z3 ) = z1 − −
2P (z1 )P 0 (z1 ) 1 2P 02 (z1 ) − P (z1 )P 00 (z1 ) − 2P 2 (z1 ) (z1 −z 2 + 2)
1 (z1 −z2 )(z1 −z3 )
+
1 (z1 −z3 )2
i=
275 Programul Mathematica este In[1]:= P[x_]:=x^3-(a+b+c)*x*x+(a*b+b*c+c*a)*x-a*b*c D1P[x_]:=3*x*x-2*(a+b+c)*x+a*b+b*c+c*a D2P[x_]:=6*x-2*(a+b+c) In[2]:= T1[z1,z2,z3]:= z1-2*P[z1]*D1P[z1]/(2*D1P[z1]*D1P[z1]-P[z1]*D2P[z1]2*P[z1]*P[z1]* (1/(z1-z2)^2+1/((z1-z2)*(z1-z3))+1/(z1-z3)^2)) In[3]:= D[T1[z1,z2,z3],z1]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[3]:= 0 In[4]:= D[T1[z1,z2,z3],z2]/.{z1->a,z2->b,z3->c} Out[4]:= 0 In[5]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z1,2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[5]:= 0 In[6]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],z1,z2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[6]:= 0 In[7]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z2,2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[7]:= 0 In[8]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z2,z3}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[8]:= 0 In[9]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z1,3}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[9]:= 0 In[10]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z1,2},z2]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[10]:= 0 In[11]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],z1,{z2,2}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[11]:= 0 In[12]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z2,3}]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[12]:= 0 In[13]:=
276
˘ ANEXA E. DETERMINAREA ORDINELOR DE CONVERGENT ¸A
Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z2,2},z3]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[13]:= 0 In[14]:= Simplify[D[T1[z1,z2,z3],{z1,3},z2]/.{z1->a,z2->b,z3->c}] Out[14]:= 6(−3a+b+2c) (a−b)3 (a−c)
Anexa F
Deducerea schemelor de calcul de tip Runge – Kutta cu ajutorul calculului simbolic Deducerea tabelelor Butcher care definesc schemele de calcul de tip Runge – Kutta, ˆın cazul ordinelor de consistyent¸˘a mai mare decˆat 2 este foarte laborioas˘a. Aceast˘a problem˘a se poate rezolva eficient utilizˆand produse informatice de calcul simbolic (Mathematica sau Maple). Fie problema Cauchy t ∈ [0, T ] = I
x(t) ˙ = f (t, x(t) 0
x(0) = x
(F.1) (F.2)
unde f : I × Rd → Rd ¸si presupunem c˘a problema (F.1) – (F.2) are o solut¸ie unic˘a x(t) definit˘a ˆın I. Fie m, n ∈ N ∗ , h = Tn . ˆIn I se consider˘a nodurile ti = ih, ∀i ∈ {0, 1, . . . , n} ¸si se noteaz˘a prin uh = {ui 0 ≤ i ≤ n o solut¸ie discret˘a (adic˘a ui aproximeaz˘a x(ti )). Schema de calcul de tip Runge – Kutta cu m trepte este ui+1 −ui − Fm (h, ti , ui ; f ) = 0, 0 ≤ i ≤ n − 1 h (F.3) u0 = x0 P unde Fm (h, t, x; f ) = m i=1 pi ki (h), cu ki (h) = f (t + ai h, x + h
m X
bi,j kj (h))
1 ≤ i ≤ m.
j=1
Parametrii necunoscut¸i (pi )i , (ai )i , (bi,j )i,j se determin˘a astfel ˆıncˆat s˘a se maximizeze ordinul de consistent¸˘a r: dac˘a x(t) este solut¸ia problemei Cauchy (F.1) – 277
278
ANEXA F. SCHEME RUNGE-KUTTA DEDUSE PRIN CALCUL SIMBOLIC
(F.2) atunci x(t + h) − x(t) − Fm (h, t, x(t); f ) = hr Φ(t, h), h
Φ(t, 0) 6= 0.
(F.4)
Condit¸ia (F.4) se reformuleaz˘a prin: h = 0 este un zero de multiplicitate r + 1 pentru funct¸ia qm (h) = x(t + h) − x(t) − hFm (h, t, x(t); f ), sau (i) qm (0) = 0
0 ≤ i ≤ r.
(F.5)
Aceste condit¸ii conduc la un sistem algebric de ecuat¸ii neliniare. Solut¸ia obt¸inut˘a se prezint˘a sub forma tabelei Butcher a1 a2 ... am
b1,1 b2,1 ... bm,1 p1
... ... ... ... ...
b1,m b2,m ... bm,m pm
Dac˘a a1 = 0 ¸si bi,j = 0 pentru j ≥ i atunci schema de calcul de tip Runge – Kutta este explicit˘a. ˆIn cele ce urmeaz˘a deducem schema de calcul explicit˘a de tip Runge Kutta ˆın 4 trepte cˆat ¸si pe cea implicit˘a ˆın dou˘a trepte, utilizˆand Mathematica.
F.1
Schema de calcul explicit˘ a de tip Runge – Kutta ˆın 4 trepte
Se utilizeaz˘a derivarea global˘a Dt, substitut¸ia /. ¸si substitut¸ia repetat˘a //. La ˆınceput deducem expresia derivatelor lui x(t) In[1]:= In[2]:= Out[3]= In[4]:= Out[5]=
In[6]:= Out[7]=
e1:=f[t,x[t]] e2:=Dt[e1,t]/.x’[t]->f[t,x[t]] e2 f [t, x[t]]f (0,1) [t, x[t]] + f (1,0) [t, x[t]] e3:=Simplify[Dt[e2,t]/. x’[t]->f[t,x[t]] e3 f [t, x[t]]2 f (0,2) [t, x[t]] + f (0,1) [t, x[t]]f (1,0) [t, x[t]]+ f [t, x[t]] f (0,1) [t, x[t]]2 + 2f (1,1) [t, x[t]] + f (2,0) [t, x[t]] e4:=Simplify[Dt[e3,t]/. x’[t]->f[t,x[t]] e4 f [t, x[t]]3 f (0,3) [t, x[t]]+ f (0,1) [t, x[t]]2 f (1,0) [t, x[t]] + 3f (1,0) [t, x[t]]f (1,1) [t, x[t]]+
˘ DE TIP RUNGE – KUTTAˆIN 4 TREPTE F.1. SCHEMA DE CALCUL EXPLICITA
279
f [t, x[t]]2 4f (0,1) [t, x[t]]f (0,2) [t, x[t]] + 3f (1,2) [t, x[t]] + f (0,1) [t, x[t]]f (2,0) [t, x[t]]+ f [t, x[t]](f (0,1) [t, x[t]]3 + 5f (0,1) [t, x[t]]f (1,1) [t, x[t]] + 3(f (0,2) [t, x[t]]f (1,0) [t, x[t]] + f (2,1) [t, x[t]])) + f (3,0) [t, x[t]] ˆIn continuare fix˘am datele schemei ce calcul explicit˘a de tip Runge – Kutta In[8]:= k1[h_]:=f[t,x[t]] k2[h_]:=f[t+a[2]*h,x[t]+h*b[2,1]*k1[h]] k3[h_]:=f[t+a[3]*h,x[t]+h*b[3,1]*k1[h]+h*b[3,2]*k2[h]] k4[h_]:=f[t+a[4]*h,x[t]+h*b[4,1]*k1[h]+ h*b[4,2]*k2[h]+h*b[4,3]*k3[h]] q[h_]:=x[t+h]-x[t]-h*(p[1]*k1[h]+p[2]*k2[h]+ p[3]*k3[h]+p[4]*k4[h]) ¸si calcul˘am expresiile q (s) (0), s = 1, 2, 3, 4. In[13]:= ex1:=Simplify[Dt[q[h],h]/.Dt[t,h]->0] In[14]:= ex2:=Simplify[ex1//.{h->0, x’[t]->e1}] ex2 Out[15]= −f [t, x[t]](−1 + p[1] + p[2] + p[3] + p[4]) De unde g˘asim ecuat¸ia p1 + p2 + p 3 + p 4 = 1
(F.6)
In[16]:= q1[h_]:=ex1 In[17]:= ex3:=Simplify[Dt[q1[h],h]/.Dt[t,h]->0] In[18]:= ex4:=Simplify[ex3//.{h->0,x’[t]->e1,x’’[t]->e2}] ex4 Out[20]= −f [t, x[t]](−1 + 2b[2, 1]p[2] + 2b[3, 1]p[3] + 2b[3, 2]p[3]+ 2b[4, 1]p[4] + 2b[4, 2]p[4] + 2b[4, 3]p[4])f (0,1) [t, x[t]]− (−1 + 2a[2]p[2] + 2a[3]p[3] + 2a[4]p[4])f (1,0) [t, x[t]] Ecuat¸iile g˘asite sunt b2,1 p2 + (b3,1 + b3,2 )p3 + (b4,1 + b4,2 + b4,3 )p4 = a2 p2 + a3 p3 + a4 p4 =
1 2
1 2
(F.7) (F.8)
280
ANEXA F. SCHEME RUNGE-KUTTA DEDUSE PRIN CALCUL SIMBOLIC
In[21]:= q2[h_]:=ex3 In[22]:= ex5:=Simplify[Dt[q2[h],h]/.Dt[t,h]->0] In[23]:= ex6:=Simplify[ex5//.{h->0,x’[t]->e1,x’’[t]->e2, D[x[t],{t,3}]=e3}] ex6 Out[24]= −f [t, x[t]]2 (−1 + 3b[2, 1]2 p[2] + 3(b[3, 1] + b[3, 2])2 p[3] + 3(b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])2 p[4]) f (0,2) [t, x[t]] − (−1 + 6a[3]b[4, 3]p[4] + 6a[2](b[3, 2]p[3] + b[4, 2]p[4])) f (0,1) [t, x[t]]f (1,0) [t, x[t]] − f [t, x[t]] ((−1 + 6(b[3, 1] + b[3, 2])b[4, 3]p[4] + 6b[2, 1](b[3, 2]p[3] + b[4, 2]p[4])) f (0,1) [t, x[t]]2 + 2(−1 + 3a[2]b[2, 1]p[2] + 3a[3](b[3, 1] + b[3, 2])p[3]+ 3a[4](b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])p[4])f (1,1) [t, x[t]])− (−1 + 3a[2]2 p[2] + 3a[3]2 p[3] + 3a[4]2 p[4])f (2,0) [t, x[t]] Se obt¸in ecuat¸iile b22,1 p2 + (b3,1 + b3,2 )2 p3 + (b4,1 + b4,2 + b4,3 )2 p4 = a2 b3,2 p3 + (a2 b4,2 + a3 b4,3 )p4 =
1 3
1 6
b2,1 b3,2 p3 + (b2,1 b4,2 + (b3,1 + b3,2 )b4,3 )p4 =
(F.10) 1 6
a2 b2,1 p2 + a3 (b3,1 + b3,2 )p3 + a4 (b4,1 + b4,2 + b4,3 )p4 = a22 p2 + a23 p3 + a24 p4 =
(F.9)
(F.11) 1 3
1 3
(F.12) (F.13)
In[25]:= q3[h_]:=ex5 In[26]:= ex7:=Simplify[Dt[q3[h],h]/.Dt[t,h]->0] In[27]:= ex8:=Simplify[ex3//.{h->0,x’[t]->e1,x’’[t]->e2, D[x[t],{t,3}]=e3,D[x[t],{t,4}]=e4}] ex8 Out[28]= −f [t, x[t]]3 (−1 + 4b[2, 1]3 p[2] + 4(b[3, 1] + b[3, 2])3 p[3] + 4(b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])3 p[4]) f (0,3) [t, x[t]] − (1 + 24a[2]b[3, 2]b[4, 3])f (0,1) [t, x[t]]2 f (1,0) [t, x[t]]− 3(−1 + 8a[2]a[3]b[3, 2]p[3] + 8a[4](a[2]b[4, 2] + a[3]b[4, 3])p[4]) f (1,0) [t, x[t]]f (1,1) [t, x[t]] + f [t, x[t]]2
281
˘ DE TIP RUNGE – KUTTAˆIN 4 TREPTE F.1. SCHEMA DE CALCUL EXPLICITA
(−4(−1 + 3b[2, 1]b[3, 2](b[2, 1] + 2(b[3, 1] + b[3, 2]))p[3] + 3(b[2, 1]2 b[4, 2]+ 2b[2, 1]b[4, 2](b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3]) + (b[3, 1] + b[3, 2])b[4, 3] (b[3, 1] + b[3, 2] + 2(b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])))p[4])f (0,1) [t, x[t]] f (0,2) [t, x[t]] − 3(−1 + 4a[2]b[2, 1]2 + 4a[3](b[3, 1] + b[3, 2])2 p[3]+ 4a[4](b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])2 p[4])f (1,2) [t, x[t]])− (−1 + 12a[3]2 b[4, 3]p[4] + 12a[2]2 (b[3, 2p[3] + b[4, 2p[4])) f (0,1) [t, x[t]]f (2,0) [t, x[t]] + f [t, x[t]]((1 − 24b[2, 1]b[3, 2]b[4, 3]p[4])f (0,1) [t, x[t]]3 − 3(−1 + 8(a[2]b[3, 2](b[3, 1] + b[3, 2])p[3]+ (b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])(a[2]b[4, 2] + a[3]b[4, 3])p[4])) f (0,2) [t, x[t]]f (1,0) [t, x[t]] − (−5 + 24((a[2] + a[3])b[2, 1]b[3, 2]p[3]+ ((a[2] + a[4])b[2, 1]b[4, 2] + (a[3] + a[4])(b[3, 1] + b[3, 2])b[4, 3])p[4])) f
(0,1)
[t, x[t]]f (1,1) [t, x[t]] − 3(−1 + 4a[2]2 b[2, 1]p[2] + 4a[3]2 (b[3, 1] + b[3, 2]) p[3] + 4a[4]2 (b[4, 1] + b[4, 2] + b[4, 3])p[4]f (2,1) [t, x[t]])− (−1 + 4a[2]3 p[2] + 4a[3]3 p[3] + 4a[4]3 p[4])f (3,0) [t, x[t]]
Ultimele ecuat¸ii sunt b32,1 p2 + (b3,1 + b3,2 )3 p3 + (b4,1 + b4,2 + b4,3 )3 p4 = a2 b3,2 b4,3 p4 =
1 24
a2 a3 b3,2 p3 + a4 (a2 b4,2 + a3 b4,3 )p4 =
1 4
(F.14) (F.15)
1 8
(F.16)
b2,1 b3,2 (b2,1 + 2(b3,1 + b3, 2))p3 + (b22,1 b4,2 + 2b2,1 b4,2 (b4,1 + b4,2 + b4,3 ) + 1 (F.17) (b3,1 + b3,2 )b4,3 (b3,1 + b3,2 + 2(b4,1 + b4,2 + b4,3 )))p4 = 3 1 a2 b22,1 p2 + a3 (b3,1 + b3,2 )p3 + a4 (b4,1 + b4,2 + b4,3 )2 p4 = (F.18) 4 1 a22 b3,2 p3 + (a22 b4,2 + a23 b4,3 )p4 = (F.19) 12 1 b2,1 b3,2 b4,3 p4 = (F.20) 24 1 a2 b3,2 (b3,1 + b3,2 )p3 + (b4,1 + b4,2 + b4,3 )(a2 b4,2 + a3 b4,3 )p4 = (F.21) 8 5 (a2 + a3 )b2,1 b3,2 p3 + ((a2 + a4 )b2,1 b4,2 + (a3 + a4 )(b3,1 + b3,2 )b4,3 )p4 = 24 (F.22) 1 a22 b2,1 p2 + a23 (b3,1 + b3,2 )p3 + a24 (b4,1 + b4,2 + b4,3 )p4 = (F.23) 4 1 a32 p2 + a33 p3 + a34 p4 = (F.24) 4
282
ANEXA F. SCHEME RUNGE-KUTTA DEDUSE PRIN CALCUL SIMBOLIC
Din (F.15) ¸si (F.20) rezult˘a c˘a a2 = b2,1 ; din (F.10) ¸si (F.11) rezult˘a c˘ a a3 = b3,1 + b3,2 ; din (F.7) ¸si (F.8) rezult˘a c˘a a4 = b4,1 + b4,2 + b4,3 . Se observ˘a c˘a ˆıntre ecuat¸iile (F.6)-(F.24) au loc echivalent¸ele (F.7) ≡ (F.8); (F.13) ≡ (F.12) ≡ (F.9); (F.24) ≡ (F.23) ≡ (F.18) ≡ (F.14); (F.16) ≡ (F.21); (F.15) ≡ (F.22); (F.22) ≡ (F.16) + (F.19); (F.17) ≡ 2 (F.16) + (F.19). Sistemul redus devine In[29]:= eq1:=p[1]+p[2]+p[3]+p[4]==1 eq2:=b[2,1]*p[2]+(b[3,1]+b[3,2])*p[3]+ (b[4,1]+b[4,2]+b[4,3])*p[4]==1/3 eq3:=b[2,1]^2*p[2]+(b[3,1]+b[3,2])^2*p[3]+ (b[4,1]+b[4,2]+b[4,3])^2*p[4]==1/3 eq4:=b[2,1]^3*p[2]+(b[3,1]+b[3,2])^3*p[3]+ (b[4,1]+b[4,2]+b[4,3])^3*p[4]==1/4 eq5:=b[2,1]*b[3,2]*p[3]+ (b[2,1]*b[4,2]+(b[3,1]+b[3,2])*b[4,3])*p[4]==1/6 eq6:=b[2,1]*(b[3,1]+b[3,2])b[3,2]*p[3]+(b[4,1]+b[4,2]+b[4,3])* (b[2,1]*b[4,2]+(b[3,1]+b[3,2])*b[4,3])*p[4]==1/8 eq7:=b[2,1]^2*b[3,2]*p[3]+ (b[2,1]^2*b[4,2]+(b[3,1]+b[3,2])^2*b[4,3])*p[4]==1/12 eq8:=b[2,1]*b[3,2]*b[4,3]*p[4]==1/24 Dac˘a In[30]:= b[2,1]:=1/2 b[3,2]:=1/2 atunci In[31]:= Solve[{eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8}, {p[1],p[2],p[3],p[4],b[3,1],b[4,1],b[4,2],b[4,3]}] Out[31]= {{p[1] → 0, p[2] → 23 , p[3] → 16 , b[3, 1] → − 21 , b[4, 1] → − 32 , 3 1 1 1 1 b[4, 2] → , b[4, 3] → 1, p[4] → }, {p[1] → , p[2] → , p[3] → , 2 6 6 3 3
1 b[3, 1] → 0, b[4, 1] → 0, b[4, 2] → 0, b[4, 3] → 1, p[4] → }} 6 Ultima solut¸ie corespunde schemei de calcul clasice de tip Runge – Kutta ˆın 4 trepte.
˘ DE TIP RUNGE – KUTTAˆIN 2 TREPTE F.2. SCHEMA DE CALCUL IMPLICITA
F.2
283
Schema de calcul implicit˘ a de tip Runge – Kutta ˆın 2 trepte
ˆIntr-o foaie nou˘a de calcul calcul˘am din nou derivatele pentru x(t) ˙ = f (t, x(t)). Datele schemei de calcul implicit˘a de tip Runge – Kutta ˆın 2 trepte sunt In[6]:= r1[h_]:=f[t+a[1]*h,x[t]+h*b[1,1]*k1[h]+h*b[1,2]*k2[h]] r2[h_]:=f[t+a[2]*h,x[t]+h*b[2,1]*k1[h]+h*b[2,2]*k2[h]] q[h_]:=x[t+h]-x[t]-h*(p[1]*r1[h]+p[2]*r2[h] ¸si calcul˘am expresiile q (s) (0), s = 1, 2, 3. In[7]:= ex1:=Simplify[Dt[q[h],h]/.Dt[t,h]->0] In[8]:= ex2:=Simplify[ex1//.{h->0, x’[t]->e1}] ex2 Out[9]= −f [t, x[t]](−1 + p[1] + p[2]) In[10]:= r11:=Simplify[Dt[r1[h],h]//.{Dt[t,h]->0,h->0, k1[0]->r1[0],k2[0]->r2[0]}] In[11]:= r21:=Simplify[Dt[r2[h],h]//.{Dt[t,h]->0,h->0, k1[0]->r1[0],k2[0]->r2[0]}] In[12]:= q1[h_]:=ex1 In[13]:= ex3:=Simplify[Dt[q1[h],h]/.Dt[t,h]->0] In[14]:= ex4:=Simplify[ex3//.{h->0,x’[t]->e1,x’’[t]->e2, k1[0]->r1[0],k2[0]->r2[0]}] ex4 Out[15]= −f [t, x[t]](−1 + 2b[1, 1]p[1] + 2b[1, 2]p[1] + 2b[2, 1]p[2] + 2b[2, 2]p[2]) f (0,1) [t, x[t]] + (1 − 2a[1]p[1] − 2a[2]p[2])f (1,0) [t, x[t]] In[16]:= q2[h_]:=ex3 In[17]:= ex5:=Simplify[Dt[q2[h],h]/.Dt[t,h]->0] In[18]:= ex6:=Simplify[ex5//.{h->0,x’[t]->e1,x’’[t]->e2, D[x[t],{t,3}]->e3,k1[0]->r1[0],k2[0]->r2[0],k1’[0]->r11,k2’[0]->r21}] ex6 Out[19]= −f [t, x[t]]2 (−1 + 3(b[1, 1] + b[1, 2])2 p[1] + 3(b[2, 1] + b[2, 2])2 p[2])f (0,2) [t, x[t]]− (−1 + 6a[1](b[1, 1]p[1] + b[2, 1]p[2]) + 6a[2](b[1, 2]p[1] + b[2, 2]p[2])) f (0,1) [t, x[t]]f (1,0) [t, x[t]] − f [t, x[t]] ((−1 + 6(b[1, 1]2 + b[1, 1]b[1, 2] + b[1, 2](b[2, 1] + b[2, 2]))p[1]+
284
ANEXA F. SCHEME RUNGE-KUTTA DEDUSE PRIN CALCUL SIMBOLIC
6((b[1, 1] + b[1, 2])b[2, 1] + b[2, 1]b[2, 2] + b[2, 2]2 )p[2])f (0,1) [t, x[t]]2 + 2(−1 + 3a[1](b[1, 1] + b[1, 2])p[1] + 3a[2](b[2, 1] + b[2, 2])p[2])f (1,1) [t, x[t]])+ (1 − 3a[1]2 p[1] − 3a[2]2 p[2])f (2,0) [t, x[t]] Rezult˘a sistemul algebric neliniar (F.25)
p1 + p 2 = 1 a1 p1 + a2 p2 =
1 2
(b1,1 + b1,2 )p1 + (b2,1 + b2,2 )p2 = a21 p1 + a22 p2 =
(F.26) 1 2
(F.27)
1 3
(F.28)
a1 (b1,1 + b1,2 )p1 + a2 (b2,1 + b2,2 )p2 = (b1,1 + b1,2 )2 p1 + (b2,1 + b2,2 )2 p2 =
1 3
(F.29)
1 3
(a1 b1,1 + a2 b1,2 )p1 + (a1 b2,1 + a2 b2,2 )p1 =
(F.30) 1 6
(F.31) 1 6 (F.32)
(b1,1 (b1,1 + b1,2 ) + b1,2 (b2,1 + b2,2 ))p1 + (b2,1 (b1,1 + b1,2 ) + b2,2 (b2,1 + b2,2 ))p2 =
Dac˘a a1 = b1,1 + b1,2 , a2 = b2,1 + b2,2 , p1 = p2 = uzual˘a
1 2
atunci se deduce solut¸ia
In[20]:= eq1:=b[1,1]+b[1,2]+b[2,1]+b[2,2]==1 eq2:=(b[1,1]+b[1,2])^2+(b[2,1]+b[2,2])^2==2/3 eq3:=(b[1,1]+b[2,1])(b[1,1]+b[1,2])+ (b[1,2]+b[2,2])*(b[2,1]+b[2,2])==1/3 b[1,1]:=β In[24]:= Solve[{eq1,eq2,eq3},{b[1,2],b[2,1],b[2,2]}] Out[24]= √ √ 1 1 {{b[1, 2] → (3 − 3 − 6β), b[2, 1] → (3 + 3 − 6β), b[2, 2] → β}, 6 6 √ √ 1 1 {b[1, 2] → (3 + 3 − 6β), b[2, 1] → (3 − 3 − 6β), b[2, 2] → β}} 6 6
Anexa G
Reprezentarea mult¸imii de A-stabilitate Cazul schemei de calcul de tip Runge – Kutta Mult¸imii de A-stabilitate a unei scheme de calcul de tip Runge–Kutta explicit˘a este dat˘a de solut¸ia inecuat¸ie |R(z)| ≤ 1, unde R(z) este funct¸ia de stabilitate. Pentru a obt¸ine frontiera ei se rezolv˘a ecuat¸ia R(z) = eit , ˆın necunoscuta z, pentru o mult¸ime discret˘a de valori t ∈ [0, 2kπ], k ∈ N. Programul MathCAD (ˆın cazul schemei de calcul Euler ˆımbun˘at˘a¸tit˘a) este z2 2 p(u, v, t) := Re(R(u + i · v)) − cos(t) R(z) := 1 + z +
q(u, v, t) := Im(R(u + i · v)) − sin(t) n := 30
h :=
2·π n
i := 0..k · n − 1
k := 2 si := i · h
r(u, v, t, i) := (t − si )2 Given p(u, v, t) = 0 q(u, v, t) = 0 r(u, v, t, i) = 0 xi yi := Find(u, v, t) τi 285
286
ANEXA G. REPREZENTAREA MULT ¸ IMII DE A-STABILITATE
S¸irul (xi , yi )i reprezint˘a coordonatele unor puncte de pe frontiera domeniului de A-stabilitate. Utilizarea acestui program ˆın cazul altor scheme de calcul de tip Runge – Kutta presupune modificarea expresia funct¸iei de stabilitate R(z) ¸si eventual a parametrilor n, k.
Cazul schemei de calcul de tip Adams Pentru o schem˘a de calcul de tip Adams scris˘a sub forma ap uk+p + ap−1 uk+p−1 + . . . + a0 uk − −h[bp f (tk+p , uk+p ) + bp−1 f (tk+p−1 , uk+p−1 ) + . . . + b0 f (tk , uk )] = 0. ecuat¸ia caracteristic˘a corespunz˘atoare problemei de test este ρ(x) − zσ(x) = 0 unde ρ(x) = ap xp + ap−1 xp−1 + . . . + a1 x + a0 σ(x) = bp xp + bp−1 xp−1 + . . . + b1 x + b0 Frontiera mult¸imii de A-stabilitate este dat˘a de z=
ρ(eit ) σ(eit )
t ∈ [0, 2π]
Programul MathCAD (ˆın cazul schemei de calcul Adams-Bashforth, r=2) este ρ(z) := z 3 − z 2
σ(z) :=
1 · (23 · z 2 − 16 · z + 5) 12
2π h := i := 0..2 ∗ n − 1 si := i · h n ρ(ei·si ) ρ(ei·si ) yi := Re xi := Re σ(ei·si ) σ(ei·si )
n := 50
S¸irul (xi , yi )i reprezint˘a coordonatele unor puncte de pe frontiera domeniului de A-stabilitate. Utilizarea acestui program ˆın cazul altor scheme de calcul de tip Adams presupune modificarea polinoamelor ρ, σ ¸si eventual a parametrului n.
Bibliografie [1] ASCHER U.M., PETZOLD L.R., 1998, Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential Algebraic Equations. SIAM. [2] BERBENTE C., MITRAN S., ZANCU S., 1997, Metode numerice. Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti. [3] BEU T., 1992, Calcul numeric ˆın Turbo Pascal. Ed. MicroInformatica, Cluj - Napoca. [4] BUCUR C. M., POPEEA C. A., SIMION G. G., 1983, Matematici speciale. Calcul numeric. E.D.P., Bucure¸sti. [5] COMAN G., 1995, Analiz˘ a numeric˘ a. Ed. Libris, Cluj. [6] CUCULESCU I., 1967,Analiz˘ a numeric˘ a. Ed. tehnic˘a, Bucure¸sti. [7] DEMIDOVITCH B., MARON I., 1973, El`ements de calcul numerique. Ed. Mir, Moscou. [8] DUMITRESCU B., POPEEA C., JORA B., 1998, Metode de calcul numeric matriceal. Algoritmi fundamentali. Ed. All, Bucure¸sti. [9] GRIGORE G., 1984, Lect¸ii de analiz˘ a numeric˘ a. Univ. Bucure¸sti, (litografiat) [10] GODUNOV S.R., REABENKI V.S., 1977, Scheme de calcul cu diferent¸e. Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti. [11] IACOB C., HOMENTCOVSCHI D., MARCOV N., NICOLAU A., 1983, Matematici clasice ¸si moderne. vol. IV, Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti. [12] ICHIM I., MARINESCU G., 1986, Metode de aproximare numeric˘ a. Ed. Acad. Romˆane, Bucure¸sti. [13] IGNAT C., ILIOI C., JUCAN T., 1989, Elemente de informatic˘ a ¸si calcul numeric. Univ. ”Al. I. Cuza” Ia¸si. (litografiat) 287
288
BIBLIOGRAFIE
[14] ILIOI C., 1980, Probleme de optimizare ¸si algoritmi de aproximare a solut¸iilor. Ed. Acad. R.S.R., Bucure¸sti. [15] IORGA V., JORA B., 1996, Programare numeric˘ a. Ed. Teora, Bucure¸sti. [16] KANTOROVITCH L.V., KRYLOV V.I., 1950, Metode aproximative ale analizei superioare. Gosudarstvennoe izd., Moskva. [17] KINCAID D., CHENEY W., 1991, Numerical Analysis. Mathematics of scientific computing. Brooks/Cole, Pacific Grove, California. [18] MARCIUK G.I., 1983, Metode de analiz˘ a numeric˘ a. Ed. Acad. R.S.R., Bucure¸sti. [19] MARINESCU G., 1974, Analiza numeric˘ a. Ed.Acad. R. S. R., Bucure¸sti. [20] MARTIN O., 1998, Probleme de analiz˘ a numeric˘ a. Ed. MatrixRom, Bucure¸sti. ˘ [21] MARUS ¸ TER S¸t., 1981, Metode numerice ˆın rezolvarea ecuat¸iilor neliniare. Ed. tehnic˘a, Bucure¸sti. [22] MICULA Gh., 1978, Funct¸ii spline ¸si aplicat¸ii. Ed. tehnic˘a, Bucure¸sti. [23] MOSZYNSKI K., 1978, Metode numerice de rezolvare a ecuat¸iilor diferent¸iale ordinare. Ed. tehnic˘a, Bucure¸sti. [24] RAS¸A I., VLADISLAV T., 1998, Analiz˘ a numeric˘ a. Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti. [25] POSTOLACHE M., 1994, Metode numerice. Ed. Sirius, Bucure¸sti. [26] MARTIN O., 1998, Probleme de analiz˘ a numeric˘ a. Ed. MatrixRom, Bucure¸sti. ˘ ALOIU ˘ [27] PAV I., 1976, Introducere ˆın teoria aproxim˘ arii solut¸iilor ecuat¸iilor. Ed. Dacia, Cluj-Napoca. ˘ ALOIU ˘ [28] PAV I., 1981, Rezolvarea ecuat¸iilor prin interpolare. Ed. Dacia, Cluj-Napoca. ˆ ˘ AS ˘ ¸ ILA ˘ O., TOPALA ˘ A., 1983, [29] S¸ABAC I. G., COCARLAN P., STAN Matematici speciale. Vol II, E.D.P., Bucure¸sti. [30] SAMARSKI A.A., 1987, Introducere ˆın metode numerice. Ed. Nauka, Moskva.
BIBLIOGRAFIE
289
[31] SCHEIBER E., LUPU M., 2003, Rezolvarea asistat˘ a de calculator a problemelor de matematic˘ a. Ed. Matrix-Rom, Bucure¸sti. [32] SCHIOP A., 1972, Metode aproximative ˆın analiza neliniar˘ a. Ed. Acad. R.S.R., Bucure¸sti. [33] SCHIOP A., 1975, Metode numerice pentru rezolvarea ecuat¸iilor diferent¸iale. Ed. Acad. R.S.R., Bucure¸sti. [34] SCHIOP A., 1978, Analiza unor metode de discretizare. Ed. Acad. R.S.R., Bucure¸sti. [35] STANCU D. D., COMAN G., (Ed), 2001, Analiz˘ a numeric˘ a ¸si teoria aproxim˘ arii, Vol. I, II, III, Ed. Presa Universitar˘a Clujean˘a, Cluj-Napoca. [36] STEWART G.W., 1998, Afternotes goes to graduate school: lectures on advanced numerical analysis. SIAM. ´ G., 1995, Numerikus m´ [37] STOYAN G., TAKO odszerek. Vol. I, II, III, Ed. ELTE - Typotex, Budapest. [38] TEMAM R., 1973, Metode numerice de rezolvare a ecuat¸iilor funct¸ionale. Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti. [39] UDRIS¸TE C., IFTODE V., POSTOLACHE M., 1996, Metode numerice de calcul. Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti. [40] VLADISLAV T., RAS¸A I., 1997, Analiz˘ a numeric˘ a. Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti.
Related Documents
Curs - Analiza Numerica
June 2020 5
Analiza Numerica Rez
May 2020 7
Curs Analiza
May 2020 3
Curs Analiza Conflictelor3
June 2020 4
Curs 8 Analiza Lantului Valorii.pdf
November 2019 14