Curs 6

MODELE MATEMATICE Model = „ reprezentare a aspectelor esenţiale ale unui element (sistem) fizic care prezintă cunoştinţele asupra elementului sub o formă utilizabilă”. Modelarea matematică a unui element fizic = reprezentarea elementului fizic studiat printr-un element abstract (set de atribute + set de relaţii matematice). Modelarea matematică poate fi realizată: •analitic, prin aplicarea legilor fizice de bază elementului studiat; •experimental, prin identificarea experimentală a elementului şi estimarea atributelor acestuia. •combinat - prin îmbinarea celor două metode. Modelele matematice: A. ecuaţii (sisteme de ecuaţii) diferenţiale (de ordinul „n”) liniare (liniarizate) în variabile de intrare, şi de ieşire, ; B. ecuaţii (sisteme de ecuaţii) de stare în variabile de intrare, de stare , şi de ieşire.

R.Diaconescu APIC 6

1

MODELE MATEMATICE

Forma generală a unui model matematic, sub forma ecuaţiei diferenţiale liniare de ordinul „n”, cu coeficienţi constanţi, pentru un element abstract cu o singură mărime de intrare şi o singură mărime de ieşire este: an

d n y(t) dt n

+ an−1

d n−1 y(t) dt n−1

= bm

+ ⋅ ⋅ ⋅ + a1

d m u(t) dt m

+ bm−1

dy(t) + a0 y(t) = dt

d m−1u(t) dt m−1

+ ⋅ ⋅ ⋅ + b1

(1) du(t) + b0 u(t) dt

y(t) este mărimea de ieşire, funcţie necunoscută de timp; u(t) – mărimea de intrare, funcţie cunoscută (dată) de timp; a0, a1, . . .,an coeficienţi constanţi care depind de structura fizică a elementului şi de mărimi b0, b1, . . .,bm de material; pul t (variabilă independentă implicită); Ecuaţia (1) este însoţită de „n” condiţii iniţiale, valoarea lui y şi a primelor lui „n-1” derivate la momentul iniţial.

R.Diaconescu APIC 6

2

MODELE MATEMATICE

an

an

d n y(t) dt n

d n y(t)

+ a n−1

+ an−1

d n−1 y(t) dt n−1

d n−1 y(t)

dt dt n−1 = b01u1 (t) + b02 u2 (t) +K n

+ ⋅ ⋅ ⋅ + a1

dy(t) + a0 y(t) = b0 u(t) dt

dy(t) + ⋅⋅⋅ + a1 + a0 y(t) = dt

R.Diaconescu APIC 6

3

MODELE MATEMATICE Interpretarea soluţiei ecuaţiei diferenţiale liniare: • y(t) = y om (coeficienţii ecuaţiei, condiţiile iniţiale, timp) + + y part(mărimea de intrare u(t)) • y(t) = y l + y f • Regimul staţionar de funcţionare a unui element - regimul în care mărimea de ieşire, ystaţionar, are aceeaşi formă de variaţie ca mărimea de intrare, ustaţionar, adică depinde numai de mărimea de intrare: • ystaţionar = y f = y part adică, soluţia particulară a ecuaţiei diferenţiale liniare reprezintă valoarea mărimii de ieşire în regim staţionar.

R.Diaconescu APIC 6

4

MODELE MATEMATICE •

Evoluţia mărimii de ieşire în regim tranzitoriu: y(t)=y l + ystaţionar=y om + ystaţionar

Un sistem este stabil dacă: “fiind scos din regimul staţionar iniţial de o variaţie în treaptă a mărimii de intrare tinde, spontan, către un regim, de asemenea, staţionar” Dar, cum durata regimului tranzitoriu este, teoretic, infinită, pentru un sistem stabil : lim y om = 0 t →∞

→In cazul unui element (sistem) stabil, componenta liberă a mărimii de ieşire se anulează la sfârşitul regimului tranzitoriu, pentru t→∞ = baza studiului stabilităţii sistemelor.

R.Diaconescu APIC 6

5

Modelarea matematică, pe baze analitice, a unui element fizic

•

Foloseşte legile care guvernează evoluţia elementului fizic studiat. Ac = I - E + G - C Ac – „Acumulare” I - „Intrări” E - „Ieşiri” G – „Generat” C – „Consumat” !!!! Toţi termenii relaţiei sunt raportaţi la unitatea de timp; astfel Ac este ”viteză de acumulare”, iar I şi E sunt „debite” de intrare, respectiv ieşire.

R.Diaconescu APIC 6

6

MODELE MATEMATICE

Algoritmul de modelare matematică: • Etapa I-a. Identificarea mărimilor elementare (variabile, v(t)) care vor fi mărimi de intrare, u(t) şi mărimi de ieşire, y(t). • Etapa a II-a. Aplicarea principiului de conservare (ecuaţia de bilanţ) mărimilor fundamentale care evoluează în timp. • Etapa a III-a. Exprimarea mărimilor fundamentale considerate la etapa II, prin variabilele alese la etapa I (alături de atributele de structură, considerate constante).

R.Diaconescu APIC 6

7

MODELE MATEMATICE

R.Diaconescu APIC 6

8

MODELE MATEMATICE

Ipoteze simplificatoare: • volumul de lichid din schimbător este constant; • densitatea, ρ, şi capacitatea calorică, Cp, ale lichidului sunt constante; • parametrii aburului de încălzire (Ha, Hc) sunt constanţi; • amestecare perfectă în schimbător, ceea ce înseamnă că temperatura T, a lichidului este aceeaşi în toată masa de lichid şi la ieşirea din schimbător; • se neglijează pierderile de căldură în mediul ambiant; • capacitatea termică a pereţilor cuvei şi a serpentinei de încălzire este neglijabilă în comparaţie cu cea a lichidului; • aburul de încălzire este saturat şi încălzirea se realizează prin condensarea acestuia :

R.Diaconescu APIC 6

9

MODELE MATEMATICE

Etapa I-a. Identificarea variabilelor de intrare, ieşire şi a atributelor de structură: •

 u1 ( t )   Fa   v1 ( t )   Fa        v ( t )  F  u( t ) = u2 ( t ) =  F  2     v( t ) = = → u3 ( t )  Ti  v3 ( t )   Ti        y( t ) = [ y ( t )] = [ T ] v4 ( t )  T  1  ( n = 4; q = 3; p = 1 )

R.Diaconescu APIC 6

 p1     p2  p =  p3  =    p4  p   5

V  C   p ρ    Ha  H   c

10

MODELE MATEMATICE •

•

Etapa a II-a. Dintre cele trei mărimi fundamentale (masa totală, energia şi impulsul), singura care variază în timp este energia şi anume, energia internă, U, prin modificarea cantităţii de căldură conţinută în masa de lichid care se încălzeşte în cuva schimbătorului (celelalte forme de energie, Ec şi Ep rămân constant nule); masa de lichid din rezervor este constantă (volumul V şi densitatea sunt constante, prin ipotezele de lucru) şi de asemenea, impulsul este constant (schimbătorul este nemişcat). Se aplică, deci, ecuaţia de bilanţ entalpiei masei de lichid: Ac = I - E + G - C

unde: Ac – viteza de acumulare a cantităţii de căldură în masa de lichid: Ac =

d  ρ ⋅ V ⋅ C p (T − Tref )  dt 

I – cantitatea de căldură care intră în unitatea de timp în masa de lichid (debit de căldură), odată cu fluxul de lichid care intră cu debitul F şi temperatura Ti, ρ ⋅ F ⋅ C p (Ti − Tref ) şi prin aburul de încălzire, cu debitul Fa şi entalpia Ha, Fa ⋅ H a R.Diaconescu APIC 6

11

MODELE MATEMATICE I = ρ ⋅ F ⋅ C p (Ti − Tref ) + Fa ⋅ H a

E = ρ ⋅ F ⋅ C p (T − Tref ) + Fa ⋅ Hc Deoarece nu se generează şi nu se consumă căldură în element: G=C=0 Pentru Tref=0 şi atribute de structură constante, ecuaţia de bilanţ devine: dT ρ ⋅V ⋅ C p ⋅ = ρ ⋅ F ⋅ C p ⋅ Ti + H a ⋅ Fa − ρ ⋅ F ⋅ C p ⋅ T − H c ⋅ Fa dt sau: dT ρ ⋅V ⋅ C p ⋅ + ρ ⋅ F ⋅ C p ⋅ T − ρ ⋅ F ⋅ C p ⋅ Ti − (H a − H c )⋅ Fa = 0 dt

R.Diaconescu APIC 6

12

MODELE MATEMATICE

• • •

Modelul matematic al SC - ecuaţie diferenţială ordinară neliniară, ( F ⋅ Ti ) termenii care determină neliniaritatea fiind aceia care conţin produsele de variabile (F.T) şi Liniarizarea termenilor neliniari - dezvoltarea acestora în serii Taylor şi reţinerea termenilor de gradul întâi. Se alege valoarea lui y în jurul căreia va fi valabilă liniarizarea, y0, cea corespunzătoare unui regim staţionar iniţial (t=0) constant, Faconstante , F0 , Ti0 , ale T0 mărimilor = constantede intrare şi de ieşire: caracterizat prin valori 0 În acest regim de funcţionare, modelul matematic are forma particulară:

ρ ⋅ C p ⋅ F0 ⋅ T0 − ρ ⋅C p ⋅ F0 ⋅Ti0 −( Ha − Hc ) ⋅Fa0 =0

R.Diaconescu APIC 6

13

MODELE MATEMATICE

u1 ( t )   ∆Fa      u( t ) = u2 ( t ) = ∆F  = u3 ( t )   ∆Ti 

 Fa − Fa0    F − F  0  T − T  i0   i

y( t ) = [ y1( t )] = [ ∆T ] = [ T − T0 ]

u0 = u( 0 ) = 0 y 0 = y( 0 ) = 0

R.Diaconescu APIC 6

14

MODELE MATEMATICE •

Dezvoltarea în serie Taylor a termenului neliniar este:  ∂(F ⋅ T )   ∂( F ⋅T )  F ⋅ T = F0 ⋅ T0 +  ( F − F ) + (T −T0 ) = 0    ∂ F ∂ T  T =T0  F =F0

•Dezvoltarea termenului

= F0 ⋅ T0 + T0 ⋅ ∆F + F0 ⋅ ∆T

( F ⋅ Ti ) , este:

F ⋅ Ti = F0 ⋅ Ti0 + Ti0 ⋅ ∆ F + F0 ⋅ ∆ Ti d (T0 + ∆T ) + ρ ⋅ C p ⋅ (F0 ⋅ T0 + T0 ⋅ ∆ F + F0 ⋅ ∆ T )− dt − ρ ⋅ C p ⋅ ( F0 ⋅ Ti0 + Ti0 ⋅ ∆ F + F0 ⋅ ∆ Ti ) − ( H a − H c )⋅ ( Fa0 + ∆ Fa ) = 0

ρ ⋅V ⋅ C p ⋅

d (∆T ) + ρ ⋅ C p ⋅ F0 ⋅ ∆ T − (H a − H c )⋅ ∆ Fa + dt + ρ ⋅ C p ⋅ (T0 − Ti0 ) ⋅ ∆ F − ρ ⋅ C p ⋅ F0 ⋅ ∆ Ti = 0

ρ ⋅ C p ⋅V ⋅

R.Diaconescu APIC 6

15

MODELE MATEMATICE •

Modelul matematic al SC = ecuaţie diferenţială ordinară liniară, cu coeficienţi constanţi, de ordinul întâi. Această ecuaţie este însoţită de condiţia iniţială ΔT(t0)=0.

•

Notații:

τ=

τ

a1 V = a0 F0

k1 =

b01 H − Hc = a a0 ρ ⋅ C p ⋅ F0

k2 =

T0 − Ti0 b02 =− a0 F0

k3 =

b03 =1 a0

dy (t ) + y (t ) = k1 ⋅ u1 (t ) + k 2 ⋅ u2 (t ) + k3 ⋅ u3 (t ) dt

Coeficientul τ va fi numit „constantă de timp” iar coeficienţii k1, k2, k3, „factori de amplificare”. R.Diaconescu APIC 6

16

MODELE MATEMATICE

•

Pentru a găsi soluţia ecuaţiei atunci când cele trei intrări variază simultan, în treaptă (de la o valoare constantă la altă valoare constantă) cu amplitudinile u1(t)=u1s[1], u2(t)=u2s, şi respectiv, u3(t)=u3s, se rezolvă ecuaţia pentru fiecare intrare în parte şi se adună ieşirile respective, y1, y2, y3.

[1] „us” înseamnă „ustaț ionar” care, în cazul nostru, este o valoare constantă. a1 cu

dy1 (t) + a0 y(t) = b01u1s dt

y0 = 0

Soluţia generală la evoluţia simultană a tuturor celor trei intrări este:

 Ha − Hc  T0 − Ti 0 ∆T (t ) =  (∆ Fa ) s − (∆ F ) s + (∆ Ti ) s   ρ ⋅ C p ⋅ F0  F0   R.Diaconescu APIC 6

F  − 0 t 1− e V   

17

MODELE MATEMATICE

•

Reprezentarea grafică a evoluţiei funcţiei (ΔT) în timp, constituie modelul matematic sub formă grafică şi are forma din figura:

R.Diaconescu APIC 6

18

FUNCŢIA DE TRANSFER, G(s) •

Pentru definirea funcţiei de transfer, vom pleca de la modelul matematic implicit al unui element cu o singură mărime de intrare şi o singură mărime de ieşire, sub forma ecuaţiei diferenţiale ordinare, liniare, de ordinul „n”: an

d n y(t) dt n

+ an−1

d n−1 y(t) dt n−1

= bm

cu condiţii iniţiale nule:

+ ⋅ ⋅ ⋅ + a1

d m u(t) dt m

+ bm−1

dy(t) + a0 y(t) = dt

d m−1u(t) dt m−1

du(t) + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 + b0 u(t) dt

(*)

y0 = y0(1) = y0(2) = K = y0( n −1) = 0

Se soluţionează ecuaţia diferenţială, pentru o formă dată mărimii de intrare, u(t), utilizând transformarea Laplace.  d n y(t)  d n−1 y(t) dy(t) L  an + a + ⋅ ⋅ ⋅ + a + a y(t) = n −1 1 0 n n −1 dt dt dt    d m u(t)  d m−1u(t) du(t) = L bm + b + ⋅ ⋅ ⋅ + b + b u(t)  m−1 1 0 dt dt m dt m−1   R.Diaconescu APIC 6

19

FUNCŢIA DE TRANSFER, G(s)  d n y(t)   d n −1 y(t)  dy(t)  L  an + L a + ⋅ ⋅ ⋅ + L    n −1  a1 dt  + L [ a0 y(t)] = n n −1 dt  dt     d m u(t)   d m −1u(t)  du(t)  =L bm + L b + ⋅ ⋅ ⋅ + L    m −1 b1 dt  + L [ b0 u(t)] m m −1 dt  dt   

 an s n + an−1s n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1s + a 0  L [ y(t) ] =   = bm s m + bm−1s m−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1s + b0  L [ u(t) ]  

L [u (t )] = U ( s) L [ y(t )] = Y ( s)

 an s n + an −1s n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1s + a 0 Y (s ) =   = bm s m + bm −1s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1s + b0 U (s )  

Y ( s) =

bm s m + bm−1 s m−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1s + b0 n

an s + an−1 s

n−1

+ ⋅ ⋅ ⋅ + a1s + a0

R.Diaconescu APIC 6

U ( s)

(1)

20

FUNCŢIA DE TRANSFER, G(s) Se notează:

G ( s) =

bm s m + bm−1 s m−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 s + b0 an s n + an−1 s n−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 s + a0

(2)

şi se denumește G(s), funcţie de transfer. •

Relaţia (1) devine: Y ( s ) = G ( s ) ⋅ U ( s ) y (t ) = L -1 [ G (s ) ⋅ U ( s ) ]

(3) (4)

Relaţia (3) arată că funcţia de transfer G(s) se comportă, în spaţiul complex al transformatei Laplace, ca un operator care, aplicat imaginii U(s) a mărimii de intrare u(t), o „transferă” în imaginea mărimii de ieşire, Y(s). Se obţine, în acest fel, un model matematic explicit „intrare-ieşire” al unui element.

!!!!! Definirea funcţiei de transfer prin relaţia (2) este valabilă numai atâta timp cât ecuaţia (*) este însoţită de condiţii iniţiale nule. R.Diaconescu APIC 6

21

FUNCŢIA DE TRANSFER, G(s)

Y (s ) • Din relaţia (3) rezultă: G ( s ) = (5) U (s) care defineşte funcţia de transfer drept raportul dintre transformata Laplace a mărimii de ieşire şi transformata Laplace a mărimii de intrare. •Funcţia de transfer defineşte complet elementul sau, altfel spus, cunoscută fiind funcţia G(s), se poate determina evoluţia în timp a mărimii de ieşire, y(t), pentru oricare formă de variaţie a mărimii de intrare, u(t).

y (t ) = L -1 [ Y (s ) ] = L -1 [ G ( s ) ⋅ U ( s ) ] = L -1 { G ( s )⋅ L [ u (t ) ] }

R.Diaconescu APIC 6

22

FUNCŢIA DE TRANSFER, G(s) •

Plecând de la modelul matematic al unui element sub forma ecuaţiei diferenţiale (*), funcţia de transfer se scrie ca raportul a două polinoame în „s” (vezi relaţia 2): membrul drept al ecuaţiei în care se înlocuieşte G ( s) = membrul stâng al ecuaţiei în care se înlocuieşte

d i u (t ) i

cu s i , i = 0, K , m

i

cu s i , i = 0, K , n

dt d i y (t ) dt

(6)

Dacă membrul drept al ecuaţiei diferenţiale se reduce la termenul

b0 u (t )

(caz pe care-l vom întâlni în mod curent), G(s) are forma: G( s) =

b0

n

an s + an−1 s

n−1

+ ⋅ ⋅ ⋅ + a1 s + a0

(7)

Relaţiile de mai sus ne permit să trecem uşor şi rapid de la ecuaţie la funcţia de transfer şi invers. R.Diaconescu APIC 6

23

FUNCŢIA DE TRANSFER, G(s)

5

d 3 y(t) dt 3

G (s) =

+2

dt 2

+ 14

dy(t) dy(t) + y(t ) = 3 + 5, 05u(t) dt dt

3s + 5, 05 5s3 + 2 s 2 + 14s + 1

G (s ) =

11

d 2 y(t)

10 11s 2 + 3s + 7

d 2 y(t) dt 2

+3

dy(t) + 7 y(t ) = 10u(t ) dt

R.Diaconescu APIC 6

24

FUNCŢIA DE TRANSFER, G(s) Din ecuaţia de definiţie (2) reiese că funcţia de transfer este un raport de polinoame în „s”. Plecând de aici, se definesc noţiunile de poli şi zerouri ai funcţiei: • polii funcţiei de transfer sunt rădăcinile polinomului de la numitor; • zerourile funcţiei de transfer sunt rădăcinile polinomului de la numărător. m

G (s) =

∏ ( s − zk ) k =1 n

∏ ( s − pi )

(8)

k =1

unde „z” sunt zerourile iar „p” – polii elementului.

R.Diaconescu APIC 6

25

Relaţia dintre funcţia de transfer, G(s), şi funcţia indicială, A(t)

G (s) =

•

Y ( s ) L [ A (t)]  d A (t)  = = s L [ A (t)] = L  1 U (s)  dt  s

(9)

Funcţia de transfer a unui element este imaginea derivatei funcţiei indiciale.

R.Diaconescu APIC 6

26

Relaţia dintre funcţia de transfer, G(s), şi funcţia pondere, W(t)

G (s ) =

Y (s ) L [ W (t)] = = L[ W(t)] U (s ) 1

R.Diaconescu APIC 6

(10)

27

FUNCŢIA DE TRANSFER, G(s) •

Funcţia indicială cât şi funcţia pondere definesc complet sistemul.

R.Diaconescu APIC 6

28

Funcţiile de transfer ale unui element cu mai multe intrări an

d n y(t) dt n

Y ( s) =

+ an −1

d n −1 y(t) dt n −1

+ ⋅ ⋅ ⋅ + a1

dy(t) + a0 y(t) = dt = b01u1(t) + b02 u2 (t)

b01

n

an s + an −1s

n −1

+ ⋅ ⋅ ⋅ + a1 s + a0 +

U1(s) + b02

n

an s + an −1s

n −1

+ ⋅ ⋅ ⋅ + a1 s + a0

U 2 (s )

Y ( s ) = G1 ( s ) ⋅ U1 ( s) + G2 ( s) ⋅U 2 ( s) G1 ( s ) = G2 ( s ) =

(11)

b01

an s n + an −1s n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 s + a0 b02

an s n + an −1s n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 s + a0

R.Diaconescu APIC 6

29

Funcțiile de transfer ale unui element cu mai multe intrări

m

Y ( s ) = ∑ Gi ( s) ⋅ U i ( s) i =1

R.Diaconescu APIC 6

30

CARACTERISTICA DE FRECVENŢĂ, G(jω) •

Răspunsul la frecvenţă al unui element este definit ca răspunsul , în regim staţionar, la aplicarea unei mărimi de intrare sinusoidale.

R.Diaconescu APIC 6

31

CARACTERISTICA DE FRECVENŢĂ, G(jω) an

d n y(t) dt n

+ a n−1

d n−1 y(t)

= bm

dt n−1

+ ⋅ ⋅ ⋅ + a1

d m u(t) dt m

+ bm−1

dy(t) + a0 y(t) = dt

d m−1u(t) dt m−1

+ ⋅ ⋅ ⋅ + b1

du(t) + b0 u(t) dt

y0 = y0( 1 ) = L = y0(n−1 ) = 0

e jα − e− jα sin α = 2j

R.Diaconescu APIC 6

32

CARACTERISTICA DE FRECVENŢĂ, G(jω)

(

)

Ai jω t u (t ) = Ai sin ω t = e − e − jω t 2j Ae jω t jϕ y (t ) = Ae sin ( ω t + ϕ ) = e ⋅ e − e − jω t ⋅ e − jϕ 2j

(

d i u (t ) dt i d i y (t ) dt

i

Ai  = ( jω ) i e jω t − ( − jω ) i e− jω t  2j =

Ae 2j

(

(

jω ) e jω t ⋅ e jϕ − ( − jω ) e− jω t ⋅ e − j ϕ i

i

)

Ae jϕ jω t  n n−1 e e  an ( jω ) + an−1 ( jω) +K + a1( j ω) + a0 −   2j A n n−1 − e e− jϕ e − j ω t  an ( −jω ) +an−1 ( −jω) K+ +a1( −j ω +a0 = )   2j A m m−1 = i e jω t  bm ( jω ) +bm−1 ( jω) K+ +b1( j ω +b0  − )   2j −

)

Ai − jω t  m e b − j ω +bm−1 ( −jω) ( )  m 2j

m−1

K+

+b1(

−j ω )

R.Diaconescu APIC 6

(12)

+b0   33

CARACTERISTICA DE FRECVENŢĂ, G(jω) •

Ecuaţia (12) trebuie să fie valabilă pentru toate momentele „t”, ceea ce este posibil numai dacă factorii cere înmulţesc pe (respectiv, pe ) din ambii membri ai ecuaţiei sunt egali între ei. Având în vedere numai pulsaţiile ω pozitive (care au sens fizic), găsim:

n n−1 Ae e jϕ  an ( jω ) + an−1 ( jω) +K + a1 ( j ω) + a0  =   m m−1 = Ai e jω t  bm ( jω ) + bm−1 ( jω) +K +b1 ( j ω) +b0   

m−1

+K + b1( j )ω +b0 Ae jϕ bm ( jω ) + bm−1 ( j ω) e = n n−1 Ai an ( jω ) + an−1 ( j ω) +K + a1( j ω ) +a0 m

G ( jω ) =

Ae jϕ e Ai

G(jω) – caracteristică de frecvenţă. R.Diaconescu APIC 6

34

CARACTERISTICA DE FRECVENŢĂ, G(jω)

G ( jω ) =

bm ( jω )

m

+ bm−1 ( j ω)

an ( jω ) + a n−1 ( j ω) n

m−1 n−1

+K + b1( j ω ) +b0 +K + a1( j ω ) +a0

G ( jω ) = P(ω ) + jQ(ω ) P (ω ) = Q(ω ) =

A(ω )C (ω ) + B ( ω) D ( ω) C 2 (ω ) + D 2 ( ω ) B (ω )C (ω ) − A( ω) D( ω) C 2 (ω ) + D 2 ( ω )

R.Diaconescu APIC 6

35

CARACTERISTICA DE FRECVENŢĂ, G(jω)

G ( jω ) = M ( ω ) ejϕ ( ω )

M (ω ) =

P2 ( ω) + Q2 ( ω) = G ( j ω)= mod G ( j ω) ϕ (ω ) = arctan

Q(ω ) = arg ∠G (j ω) P(ω )

R.Diaconescu APIC 6

36

CARACTERISTICA DE FRECVENŢĂ, G(jω)

M (ω ) =

•

Ae (ω ) Ai

(13)

„M”, care se mai notează cu „RA”, poartă denumirea de „raportul

amplitudinilor, (RA) ”, sau „atenuare”, iar φ – „ fază”.

Ae (ω ) = Ai P2 ( ω) + Q2 ( ω)

(14)

G ( jω ) = [ G ( s)] s = jω

(15)

R.Diaconescu APIC 6

37