Curs 5
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Curs 5 as PDF for free.
More details
- Words: 7,400
- Pages: 74
Grupuri(continuare) Teoremele de izomorfism
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
1 / 26
Grupuri(continuare) Teoremele de izomorfism Propozit¸ie (Teorema fundamentalˇ a de izomorfism) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ·) este un morfism de grupuri, atunci existˇa un izomorfism f : G /Ker (f ) −→ Im(f ) , unic cu proprietatea cˇa πKer (f ) · f · iIm(f ) = f .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
1 / 26
Grupuri(continuare) Teoremele de izomorfism Propozit¸ie (Teorema fundamentalˇ a de izomorfism) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ·) este un morfism de grupuri, atunci existˇa un izomorfism f : G /Ker (f ) −→ Im(f ) , unic cu proprietatea cˇa πKer (f ) · f · iIm(f ) = f .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
1 / 26
Observat¸ie Izomorfismul f : G /Ker (f ) −→ Im(f ) este unica aplicat¸ie care face comutativˇa urmˇatoarea diagramˇ a: G π↓
f
−−−−→
T ↑i
f
G /Ker (f ) −−−−→ Im(f )
Corolar Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ·) este un morfism de grupuri, atunci G /Ker (f ) ∼ = Im(f ) .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
2 / 26
Observat¸ie Izomorfismul f : G /Ker (f ) −→ Im(f ) este unica aplicat¸ie care face comutativˇa urmˇatoarea diagramˇ a: G π↓
f
−−−−→
T ↑i
f
G /Ker (f ) −−−−→ Im(f )
Corolar Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ·) este un morfism de grupuri, atunci G /Ker (f ) ∼ = Im(f ) .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
2 / 26
Propozit¸ie (Prima teoremˇ a de izomorfism) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ·) este un morfism surjectiv de grupuri, H E G cu Ker (f ) ⊆ H, iar U = (H)f , atunci G /H ∼ = T /U.
Propozit¸ie (A doua teoremˇ a de izomorfism) Fie (G , ·) un grup, H ≤ G ¸si N E G . Atunci H ∩ N E H ¸si H/(H ∩ N) ∼ = HN/N .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
3 / 26
Propozit¸ie (Prima teoremˇ a de izomorfism) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ·) este un morfism surjectiv de grupuri, H E G cu Ker (f ) ⊆ H, iar U = (H)f , atunci G /H ∼ = T /U.
Propozit¸ie (A doua teoremˇ a de izomorfism) Fie (G , ·) un grup, H ≤ G ¸si N E G . Atunci H ∩ N E H ¸si H/(H ∩ N) ∼ = HN/N .
Propozit¸ie (A treia teoremˇ a de izomorfism) Fie (G , ·) un grup ¸si K , N E G , cu K ⊆ N. Atunci N/K E G /K ¸si (G /K )/(N/K ) ∼ = G /N . Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
3 / 26
Propozit¸ie (Prima teoremˇ a de izomorfism) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ·) este un morfism surjectiv de grupuri, H E G cu Ker (f ) ⊆ H, iar U = (H)f , atunci G /H ∼ = T /U.
Propozit¸ie (A doua teoremˇ a de izomorfism) Fie (G , ·) un grup, H ≤ G ¸si N E G . Atunci H ∩ N E H ¸si H/(H ∩ N) ∼ = HN/N .
Propozit¸ie (A treia teoremˇ a de izomorfism) Fie (G , ·) un grup ¸si K , N E G , cu K ⊆ N. Atunci N/K E G /K ¸si (G /K )/(N/K ) ∼ = G /N . Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
3 / 26
Propozit¸ie (Teorema de corespondent¸ˇ a pentru grupuri) Fie (G , ·) un grup, K E G ¸si πK : G −→ G /K proiect¸ia canonicˇa. Funct¸ia πK stabile¸ste atunci o corespondent¸ˇa biunivocˇa M ←→ M ∗ ˆıntre mult¸imea subgrupurilor lui G care includ K ¸si mult¸imea tuturor subgrupurilor lui G /K . ˆIn plus, pentru orice L, M ≤ G cu K ⊆ L, M avem
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
4 / 26
Propozit¸ie (Teorema de corespondent¸ˇ a pentru grupuri) Fie (G , ·) un grup, K E G ¸si πK : G −→ G /K proiect¸ia canonicˇa. Funct¸ia πK stabile¸ste atunci o corespondent¸ˇa biunivocˇa M ←→ M ∗ ˆıntre mult¸imea subgrupurilor lui G care includ K ¸si mult¸imea tuturor subgrupurilor lui G /K . ˆIn plus, pentru orice L, M ≤ G cu K ⊆ L, M avem 1) M ∗ = M/K = (M)πK .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
4 / 26
Propozit¸ie (Teorema de corespondent¸ˇ a pentru grupuri) Fie (G , ·) un grup, K E G ¸si πK : G −→ G /K proiect¸ia canonicˇa. Funct¸ia πK stabile¸ste atunci o corespondent¸ˇa biunivocˇa M ←→ M ∗ ˆıntre mult¸imea subgrupurilor lui G care includ K ¸si mult¸imea tuturor subgrupurilor lui G /K . ˆIn plus, pentru orice L, M ≤ G cu K ⊆ L, M avem 1) M ∗ = M/K = (M)πK . 2) L ⊆ M ⇐⇒ L∗ ⊆ M ∗ , iar ˆın acest caz [M : L] = [M ∗ : L∗ ].
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
4 / 26
Propozit¸ie (Teorema de corespondent¸ˇ a pentru grupuri) Fie (G , ·) un grup, K E G ¸si πK : G −→ G /K proiect¸ia canonicˇa. Funct¸ia πK stabile¸ste atunci o corespondent¸ˇa biunivocˇa M ←→ M ∗ ˆıntre mult¸imea subgrupurilor lui G care includ K ¸si mult¸imea tuturor subgrupurilor lui G /K . ˆIn plus, pentru orice L, M ≤ G cu K ⊆ L, M avem 1) M ∗ = M/K = (M)πK . 2) L ⊆ M ⇐⇒ L∗ ⊆ M ∗ , iar ˆın acest caz [M : L] = [M ∗ : L∗ ]. 3) L E M ⇐⇒ L∗ E M ∗ , iar ˆın acest caz M/L ∼ = M ∗ /L∗ .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
4 / 26
Propozit¸ie (Teorema de corespondent¸ˇ a pentru grupuri) Fie (G , ·) un grup, K E G ¸si πK : G −→ G /K proiect¸ia canonicˇa. Funct¸ia πK stabile¸ste atunci o corespondent¸ˇa biunivocˇa M ←→ M ∗ ˆıntre mult¸imea subgrupurilor lui G care includ K ¸si mult¸imea tuturor subgrupurilor lui G /K . ˆIn plus, pentru orice L, M ≤ G cu K ⊆ L, M avem 1) M ∗ = M/K = (M)πK . 2) L ⊆ M ⇐⇒ L∗ ⊆ M ∗ , iar ˆın acest caz [M : L] = [M ∗ : L∗ ]. 3) L E M ⇐⇒ L∗ E M ∗ , iar ˆın acest caz M/L ∼ = M ∗ /L∗ .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
4 / 26
Grupuri ciclice
Propozit¸ie Fie (Z, +) grupul aditiv al numerelor ˆıntregi, iar H ≤ Z. Atunci existˇa n ∈ N astfel ˆıncˆat H = nZ.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
5 / 26
Grupuri ciclice
Propozit¸ie Fie (Z, +) grupul aditiv al numerelor ˆıntregi, iar H ≤ Z. Atunci existˇa n ∈ N astfel ˆıncˆat H = nZ.
Observat¸ie Fie n ∈ N∗ un numˇar natural. Atunci relat¸iile definite pe Z de congruent¸ˇa modulo n, respectiv modulo subgrupul nZ, coincid: k ≡ l(mod n) ⇐⇒ n|k − l ⇐⇒ k − l ∈ nZ ⇐⇒ k ≡ l(mod nZ) . Prin urmare, Zn := Z/≡(mod n) = Z/nZ.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
5 / 26
Grupuri ciclice
Propozit¸ie Fie (Z, +) grupul aditiv al numerelor ˆıntregi, iar H ≤ Z. Atunci existˇa n ∈ N astfel ˆıncˆat H = nZ.
Observat¸ie Fie n ∈ N∗ un numˇar natural. Atunci relat¸iile definite pe Z de congruent¸ˇa modulo n, respectiv modulo subgrupul nZ, coincid: k ≡ l(mod n) ⇐⇒ n|k − l ⇐⇒ k − l ∈ nZ ⇐⇒ k ≡ l(mod nZ) . Prin urmare, Zn := Z/≡(mod n) = Z/nZ.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
5 / 26
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic. Atunci fie G ∼ = Z, fie existˇa n ∈ N∗ astfel ˆıncˆat G∼ = Zn .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic finit, de ordin |G | = n.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
6 / 26
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic. Atunci fie G ∼ = Z, fie existˇa n ∈ N∗ astfel ˆıncˆat G∼ = Zn .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic finit, de ordin |G | = n. 1) Dacˇa H ≤ G , atunci existˇa d ∈ N∗ , cu d|n, astfel ˆıncˆat H ∼ = db · Zn .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
6 / 26
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic. Atunci fie G ∼ = Z, fie existˇa n ∈ N∗ astfel ˆıncˆat G∼ = Zn .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic finit, de ordin |G | = n. 1) Dacˇa H ≤ G , atunci existˇa d ∈ N∗ , cu d|n, astfel ˆıncˆat H ∼ = db · Zn . ∗ 2) Pentru orice divizor d ∈ N al ordinului n al grupului, G are un subgrup unic de ordin d.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
6 / 26
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic. Atunci fie G ∼ = Z, fie existˇa n ∈ N∗ astfel ˆıncˆat G∼ = Zn .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic finit, de ordin |G | = n. 1) Dacˇa H ≤ G , atunci existˇa d ∈ N∗ , cu d|n, astfel ˆıncˆat H ∼ = db · Zn . ∗ 2) Pentru orice divizor d ∈ N al ordinului n al grupului, G are un subgrup unic de ordin d. 3) Numˇarul elementelor a ∈ G cu proprietatea cˇa G = hai este (n)ϕ , unde ϕ este funct¸ia lui Euler(datˇa de (n)ϕ =numˇarul numerelor naturale k, cu 0 ≤ k ≤ n − 1, pentru care (k, n) = 1).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
6 / 26
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic. Atunci fie G ∼ = Z, fie existˇa n ∈ N∗ astfel ˆıncˆat G∼ = Zn .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic finit, de ordin |G | = n. 1) Dacˇa H ≤ G , atunci existˇa d ∈ N∗ , cu d|n, astfel ˆıncˆat H ∼ = db · Zn . ∗ 2) Pentru orice divizor d ∈ N al ordinului n al grupului, G are un subgrup unic de ordin d. 3) Numˇarul elementelor a ∈ G cu proprietatea cˇa G = hai este (n)ϕ , unde ϕ este funct¸ia lui Euler(datˇa de (n)ϕ =numˇarul numerelor naturale k, cu 0 ≤Pk ≤ n − 1, pentru care (k, n) = 1). 4) (d)ϕ = n. d|n
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
6 / 26
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic. Atunci fie G ∼ = Z, fie existˇa n ∈ N∗ astfel ˆıncˆat G∼ = Zn .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic finit, de ordin |G | = n. 1) Dacˇa H ≤ G , atunci existˇa d ∈ N∗ , cu d|n, astfel ˆıncˆat H ∼ = db · Zn . ∗ 2) Pentru orice divizor d ∈ N al ordinului n al grupului, G are un subgrup unic de ordin d. 3) Numˇarul elementelor a ∈ G cu proprietatea cˇa G = hai este (n)ϕ , unde ϕ este funct¸ia lui Euler(datˇa de (n)ϕ =numˇarul numerelor naturale k, cu 0 ≤Pk ≤ n − 1, pentru care (k, n) = 1). 4) (d)ϕ = n. d|n
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
6 / 26
Produse directe ¸si semidirecte de grupuri
Produse directe
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
7 / 26
Produse directe ¸si semidirecte de grupuri
Produse directe Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H, K E G . G se nume¸ste produsul direct intern al subgrupurilor sale normale H ¸si K , dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
7 / 26
Produse directe ¸si semidirecte de grupuri
Produse directe Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H, K E G . G se nume¸ste produsul direct intern al subgrupurilor sale normale H ¸si K , dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este produsul direct al subgrupurilor sale normale H ¸si K , atunci hk = kh, (∀)h ∈ H, k ∈ K ¸si pentru orice g ∈ G existˇa cˆate un unic element h ∈ H ¸si k ∈ K astfel ˆıncˆat g = hk.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
7 / 26
Produse directe ¸si semidirecte de grupuri
Produse directe Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H, K E G . G se nume¸ste produsul direct intern al subgrupurilor sale normale H ¸si K , dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este produsul direct al subgrupurilor sale normale H ¸si K , atunci hk = kh, (∀)h ∈ H, k ∈ K ¸si pentru orice g ∈ G existˇa cˆate un unic element h ∈ H ¸si k ∈ K astfel ˆıncˆat g = hk.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
7 / 26
Observat¸ie Dacˇa (G , ·) este produsul direct al subgrupurilor sale normale H ¸si K , ¸si g1 = h1 k1 , g2 = h2 = k2 , cu h1 , h2 ∈ H, k1 , k2 ∈ K , atunci g1 g2 = (h1 k1 )(h2 k2 ) = h1 (k1 h1 )k2 = h1 (h2 k1 )k2 = (h1 h2 )(k1 k2 ) .
Propozit¸ie Fie (H, ·) ¸si (K , ·) douˇa grupuri. Atunci operat¸ia binarˇa definitˇa pe produsul cartezian H × K prin (h1 , k1 ) · (h2 , k2 ) = (h1 h2 , k1 k2 ) define¸ste pe H × K o structurˇa de grup.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
8 / 26
Observat¸ie Dacˇa (G , ·) este produsul direct al subgrupurilor sale normale H ¸si K , ¸si g1 = h1 k1 , g2 = h2 = k2 , cu h1 , h2 ∈ H, k1 , k2 ∈ K , atunci g1 g2 = (h1 k1 )(h2 k2 ) = h1 (k1 h1 )k2 = h1 (h2 k1 )k2 = (h1 h2 )(k1 k2 ) .
Propozit¸ie Fie (H, ·) ¸si (K , ·) douˇa grupuri. Atunci operat¸ia binarˇa definitˇa pe produsul cartezian H × K prin (h1 , k1 ) · (h2 , k2 ) = (h1 h2 , k1 k2 ) define¸ste pe H × K o structurˇa de grup.
Definit¸ie Fie (H, ·) ¸si (K , ·) douˇa grupuri. Grupul definit ˆın propozit¸ia precedentˇa se nume¸ste produsul direct extern al grupurilor H ¸si K . Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
8 / 26
Observat¸ie Dacˇa (G , ·) este produsul direct al subgrupurilor sale normale H ¸si K , ¸si g1 = h1 k1 , g2 = h2 = k2 , cu h1 , h2 ∈ H, k1 , k2 ∈ K , atunci g1 g2 = (h1 k1 )(h2 k2 ) = h1 (k1 h1 )k2 = h1 (h2 k1 )k2 = (h1 h2 )(k1 k2 ) .
Propozit¸ie Fie (H, ·) ¸si (K , ·) douˇa grupuri. Atunci operat¸ia binarˇa definitˇa pe produsul cartezian H × K prin (h1 , k1 ) · (h2 , k2 ) = (h1 h2 , k1 k2 ) define¸ste pe H × K o structurˇa de grup.
Definit¸ie Fie (H, ·) ¸si (K , ·) douˇa grupuri. Grupul definit ˆın propozit¸ia precedentˇa se nume¸ste produsul direct extern al grupurilor H ¸si K . Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
8 / 26
Propozit¸ie Fie (H × K , ·) produsul direct extern al grupurilor (H, ·) ¸si (K , ·), iar b K b ⊆ H × K submult¸imile produsului cartezian H × K definite prin H, b := H × {1K } = {(h, 1K )| h ∈ H} , H b := {1H } × K = {(1H , k)| k ∈ K } . K b K b E H × K, H ∼ b K∼ b, H × K = H bK b ¸si H b ∩K b = 1. Atunci H, = H, =K
Observat¸ie Conform propozit¸iei de mai sus, produsul direct extern H × K este b ¸si K b ale grupurilor H ¸si K . produsul direct intern al copiilor izomorfe H ˆIn consecint¸ˇa, putem identifica not¸iunile de produs direct intern ¸si produs direct extern. Dacˇ a un grup (G , ·) este produsul direct intern al unor subgrupuri H, K E G ale sale, vom nota G = H × K ¸si vom spune simplu cˇa G este produsul direct al lui H cu K . Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
9 / 26
Propozit¸ie Fie (H × K , ·) produsul direct extern al grupurilor (H, ·) ¸si (K , ·), iar b K b ⊆ H × K submult¸imile produsului cartezian H × K definite prin H, b := H × {1K } = {(h, 1K )| h ∈ H} , H b := {1H } × K = {(1H , k)| k ∈ K } . K b K b E H × K, H ∼ b K∼ b, H × K = H bK b ¸si H b ∩K b = 1. Atunci H, = H, =K
Observat¸ie Conform propozit¸iei de mai sus, produsul direct extern H × K este b ¸si K b ale grupurilor H ¸si K . produsul direct intern al copiilor izomorfe H ˆIn consecint¸ˇa, putem identifica not¸iunile de produs direct intern ¸si produs direct extern. Dacˇ a un grup (G , ·) este produsul direct intern al unor subgrupuri H, K E G ale sale, vom nota G = H × K ¸si vom spune simplu cˇa G este produsul direct al lui H cu K . Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
9 / 26
Putem generaliza not¸iunea de produs direct la familii oarecare de grupuri ˆın modul urmˇator:
Definit¸ie Dacˇa {Hi }i∈I este o familie de grupuri, produsul sˇ au direct, notat Q ×i∈I Hi este produsul cartezian Hi , ˆımpreunˇ a cu operat¸ia binarˇa i∈I
definitˇa prin (hi )i∈I · (hi0 )i∈I = (hi hi0 )i∈I .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
10 / 26
Putem generaliza not¸iunea de produs direct la familii oarecare de grupuri ˆın modul urmˇator:
Definit¸ie Dacˇa {Hi }i∈I este o familie de grupuri, produsul sˇ au direct, notat Q ×i∈I Hi este produsul cartezian Hi , ˆımpreunˇ a cu operat¸ia binarˇa i∈I
definitˇa prin (hi )i∈I · (hi0 )i∈I = (hi hi0 )i∈I .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
10 / 26
Adesea este utilˇa urmˇatoarea caracterizare a produselor directe finite:
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H1 , H2 , . . . , Hn E G . Atunci G = H1 × H2 × . . . × Hn dacˇa ¸si numai dacˇa G = H 1 H2 . . . Hn , (H1 H2 . . . Hi−1 ) ∩ Hi = 1, (∀)i = 2, n .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
11 / 26
Adesea este utilˇa urmˇatoarea caracterizare a produselor directe finite:
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H1 , H2 , . . . , Hn E G . Atunci G = H1 × H2 × . . . × Hn dacˇa ¸si numai dacˇa G = H 1 H2 . . . Hn , (H1 H2 . . . Hi−1 ) ∩ Hi = 1, (∀)i = 2, n .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
11 / 26
Produse semidirecte Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si K E G . Un subgrup H ≤ G se nume¸ste complement al subgrupului K ˆın G dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
12 / 26
Produse semidirecte Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si K E G . Un subgrup H ≤ G se nume¸ste complement al subgrupului K ˆın G dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Observat¸ie 1) Dacˇa ¸si complementul H este normal ˆın G , H se nume¸ste complement direct al lui K ˆın G ¸si ˆın acest caz G = H × K este produsul direct al lui H cu K .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
12 / 26
Produse semidirecte Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si K E G . Un subgrup H ≤ G se nume¸ste complement al subgrupului K ˆın G dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Observat¸ie 1) Dacˇa ¸si complementul H este normal ˆın G , H se nume¸ste complement direct al lui K ˆın G ¸si ˆın acest caz G = H × K este produsul direct al lui H cu K . 2) Dacˇa H este un complement al subgrupului normal K ˆın grupul G , atunci orice element g ∈ G admite o scriere unicˇ a ˆın forma g = hk, cu h ∈ H ¸si k ∈ K .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
12 / 26
Produse semidirecte Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si K E G . Un subgrup H ≤ G se nume¸ste complement al subgrupului K ˆın G dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Observat¸ie 1) Dacˇa ¸si complementul H este normal ˆın G , H se nume¸ste complement direct al lui K ˆın G ¸si ˆın acest caz G = H × K este produsul direct al lui H cu K . 2) Dacˇa H este un complement al subgrupului normal K ˆın grupul G , atunci orice element g ∈ G admite o scriere unicˇ a ˆın forma g = hk, cu h ∈ H ¸si k ∈ K . 3) Dacˇa H este un complement al subgrupului normal K ˆın grupul G , iar g1 = h1 k1 , g2 = h2 k2 ∈ G , avem cˇ a g1 g2 = (h1 k1 )(h2 k2 ) = h1 h2 · (h2−1 k1 h2 )k2 .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
12 / 26
Produse semidirecte Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si K E G . Un subgrup H ≤ G se nume¸ste complement al subgrupului K ˆın G dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Observat¸ie 1) Dacˇa ¸si complementul H este normal ˆın G , H se nume¸ste complement direct al lui K ˆın G ¸si ˆın acest caz G = H × K este produsul direct al lui H cu K . 2) Dacˇa H este un complement al subgrupului normal K ˆın grupul G , atunci orice element g ∈ G admite o scriere unicˇ a ˆın forma g = hk, cu h ∈ H ¸si k ∈ K . 3) Dacˇa H este un complement al subgrupului normal K ˆın grupul G , iar g1 = h1 k1 , g2 = h2 k2 ∈ G , avem cˇ a g1 g2 = (h1 k1 )(h2 k2 ) = h1 h2 · (h2−1 k1 h2 )k2 .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
12 / 26
Propozit¸ie Fie (H, ·) ¸si (K , ·) douˇa grupuri ¸si ϕ : H −→ Aut(K ) un morfism de grupuri. Atunci operat¸ia binarˇa definitˇa pe produsul cartezian H × K prin ϕ
(h1 , k1 ) · (h2 , k2 ) = (h1 h2 , (k1 )(h2 ) k2 ) determinˇa pe H × K o structurˇa de grup.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
13 / 26
Definit¸ie Grupul definit ˆın propozit¸ia de mai sus se nume¸ste produsul semidirect al grupului H cu grupul K via morfismul ϕ ¸si se noteazˇa H nϕ K .
Observat¸ie Analog cazului produselor directe, considerˆand produsul semidirect b = H × {1K } ¸si K b reprezintˇa douˇa subgrupuri H nϕ K , submult¸imile H b K b ≤ H nϕ K , care au proprietˇa¸tile: H, b∼ H = H,
b ∼ K = K,
Lect.dr. M.Chi¸s ()
b E H nϕ K , H
Curs 5
bK b, H nϕ K = H
b ∩K b = 1. H
2009
14 / 26
Definit¸ie Grupul definit ˆın propozit¸ia de mai sus se nume¸ste produsul semidirect al grupului H cu grupul K via morfismul ϕ ¸si se noteazˇa H nϕ K .
Observat¸ie Analog cazului produselor directe, considerˆand produsul semidirect b = H × {1K } ¸si K b reprezintˇa douˇa subgrupuri H nϕ K , submult¸imile H b K b ≤ H nϕ K , care au proprietˇa¸tile: H, b∼ H = H,
b ∼ K = K,
Lect.dr. M.Chi¸s ()
b E H nϕ K , H
Curs 5
bK b, H nϕ K = H
b ∩K b = 1. H
2009
14 / 26
Act¸iuni de grupuri
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si M 6= ∅ o mult¸ime nevidˇ a. O aplicat¸ie α : G × M −→ M se nume¸ste act¸iune (la stˆanga) a lui G pe M dacˇa verificˇa proprietˇa¸tile: 1) (gh, m)α = (g , (h, m)α )α , (∀)g , h ∈ G , m ∈ M . 2) (1, m)α = m , (∀)m ∈ M .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
15 / 26
Act¸iuni de grupuri
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si M 6= ∅ o mult¸ime nevidˇ a. O aplicat¸ie α : G × M −→ M se nume¸ste act¸iune (la stˆanga) a lui G pe M dacˇa verificˇa proprietˇa¸tile: 1) (gh, m)α = (g , (h, m)α )α , (∀)g , h ∈ G , m ∈ M . 2) (1, m)α = m , (∀)m ∈ M .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
15 / 26
Observat¸ie 1) Dacˇa notˇam g · m := (g , m)α , condit¸iile de mai sus se pot scrie ˆın forma: 1) (gh) · m = g · (h · m) , (∀)g , h ∈ G , m ∈ M . 2) 1 · m = m , (∀)m ∈ M . 2) ˆIn mod asemˇanˇator se poate defini termenul de act¸iune la dreapta a unui grup pe o mult¸ime nevidˇ a, pentru care se pot demonstra proprietˇa¸ti analoage celor pe care le vom prezenta pentru act¸iuni la stˆ anga. Noi ne vom referi ˆın continuare doar la act¸iuni la stˆanga, pe care le vom numi simplu act¸iuni.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
16 / 26
Observat¸ie 1) Dacˇa notˇam g · m := (g , m)α , condit¸iile de mai sus se pot scrie ˆın forma: 1) (gh) · m = g · (h · m) , (∀)g , h ∈ G , m ∈ M . 2) 1 · m = m , (∀)m ∈ M . 2) ˆIn mod asemˇanˇator se poate defini termenul de act¸iune la dreapta a unui grup pe o mult¸ime nevidˇ a, pentru care se pot demonstra proprietˇa¸ti analoage celor pe care le vom prezenta pentru act¸iuni la stˆ anga. Noi ne vom referi ˆın continuare doar la act¸iuni la stˆanga, pe care le vom numi simplu act¸iuni.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
16 / 26
Definit¸ie not
Dacˇa α : G × M −→ M : (g , m) 7−→ (g , m)α = g · m este o act¸iune, definim pe M relat¸ia ∼α de asociere ˆın raport cu α prin def
x ∼α y ⇐⇒ (∃)g ∈ G : g · x = y .
Propozit¸ie not
Dacˇa α : G × M −→ M : (g , m) 7−→ (g , m)α = g · m este o act¸iune, relat¸ia de asociere ˆın raport cu act¸iunea α este o relat¸ie de echivalent¸ˇa pe M.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
17 / 26
Definit¸ie not
Dacˇa α : G × M −→ M : (g , m) 7−→ (g , m)α = g · m este o act¸iune, definim pe M relat¸ia ∼α de asociere ˆın raport cu α prin def
x ∼α y ⇐⇒ (∃)g ∈ G : g · x = y .
Propozit¸ie not
Dacˇa α : G × M −→ M : (g , m) 7−→ (g , m)α = g · m este o act¸iune, relat¸ia de asociere ˆın raport cu act¸iunea α este o relat¸ie de echivalent¸ˇa pe M.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
17 / 26
Definit¸ie Clasa de echivalent¸ˇa a unui element x ∈ M ˆın raport cu relat¸ia ∼α se nume¸ste orbita elementului x ˆın raport cu act¸iunea α.
Observat¸ie Orbita unui element oarecare x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M este [x]∼α = {y ∈ M| x ∼α y } = {y ∈ M| (∃)g ∈ G : y = g · x} = not = {g · x| g ∈ G } = G · x .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
18 / 26
Definit¸ie Clasa de echivalent¸ˇa a unui element x ∈ M ˆın raport cu relat¸ia ∼α se nume¸ste orbita elementului x ˆın raport cu act¸iunea α.
Observat¸ie Orbita unui element oarecare x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M este [x]∼α = {y ∈ M| x ∼α y } = {y ∈ M| (∃)g ∈ G : y = g · x} = not = {g · x| g ∈ G } = G · x .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
18 / 26
Definit¸ie Stabilizatorul unui element x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M este mult¸imea StabG (x) := {g ∈ G | g · x = x} .
Propozit¸ie Stabilizatorul StabG (x) al unui element x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M a unui grup (G , ·) pe o mult¸ime M este un subgrup al grupului G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
19 / 26
Definit¸ie Stabilizatorul unui element x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M este mult¸imea StabG (x) := {g ∈ G | g · x = x} .
Propozit¸ie Stabilizatorul StabG (x) al unui element x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M a unui grup (G , ·) pe o mult¸ime M este un subgrup al grupului G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
19 / 26
Propozit¸ie Cardinalul orbitei unui element x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M este egal cu indicele stabilizatorului elementului: |G · x| = [G : StabG (x)] .
Corolar Dacˇa M este o mult¸ime finitˇa, iar R un sistem de reprezentant¸ia ai orbitelor definite de act¸iunea α : G × M −→ M pe M, atunci X |M| = [G : StabG (x)] x∈R
(ecuat¸ia claselor asociatˇ a act¸iunii α).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
20 / 26
Propozit¸ie Cardinalul orbitei unui element x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M este egal cu indicele stabilizatorului elementului: |G · x| = [G : StabG (x)] .
Corolar Dacˇa M este o mult¸ime finitˇa, iar R un sistem de reprezentant¸ia ai orbitelor definite de act¸iunea α : G × M −→ M pe M, atunci X |M| = [G : StabG (x)] x∈R
(ecuat¸ia claselor asociatˇ a act¸iunii α).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
20 / 26
Definit¸ie Dacˇa α : G × M −→ M este o act¸iune a unui grup G pe o mult¸ime M, iar g ∈ G , notˇam cu Fix(g ) mult¸imea punctelor fixe ˆın raport cu g prin act¸iunea α: Fix(g ) := {x ∈ M| g · x = x} .
Observat¸ie Pentru x ∈ M ¸si g ∈ G avem cˇ a x ∈ Fix(g ) ⇐⇒ g · x = x ⇐⇒ g ∈ StabG (x) .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
21 / 26
Definit¸ie Dacˇa α : G × M −→ M este o act¸iune a unui grup G pe o mult¸ime M, iar g ∈ G , notˇam cu Fix(g ) mult¸imea punctelor fixe ˆın raport cu g prin act¸iunea α: Fix(g ) := {x ∈ M| g · x = x} .
Observat¸ie Pentru x ∈ M ¸si g ∈ G avem cˇ a x ∈ Fix(g ) ⇐⇒ g · x = x ⇐⇒ g ∈ StabG (x) .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
21 / 26
Propozit¸ie Fie α : G × M −→ M o act¸iune a unui grup finit G pe o mult¸ime finitˇa M. Atunci numˇarul n al orbitelor determinate de act¸iunea α ˆın M este n=
1 X |Fix(g )| |G | g ∈G
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
22 / 26
Douˇ a teoreme de structurˇ a Teorema(teoremele) lui Sylow
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
23 / 26
Douˇ a teoreme de structurˇ a Teorema(teoremele) lui Sylow Definit¸ie Fie p un numˇar prim. Un grup finit (G , ·) se nume¸ste p−grup dacˇa ordinul sˇau este o putere a numˇ arului prim p: (∃)k ∈ N :
Lect.dr. M.Chi¸s ()
|G | = p k .
Curs 5
2009
23 / 26
Douˇ a teoreme de structurˇ a Teorema(teoremele) lui Sylow Definit¸ie Fie p un numˇar prim. Un grup finit (G , ·) se nume¸ste p−grup dacˇa ordinul sˇau este o putere a numˇ arului prim p: (∃)k ∈ N :
|G | = p k .
Dacˇa notˇam cu π(G ) mult¸ime numerelor prime care divid ordinul |G | al grupului finit G , π(G ) = {p ∈ N| p − prim, p| |G |} atunci G este un p−grup dacˇ a ¸si numai dacˇ a π(G ) = {p }.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
23 / 26
Douˇ a teoreme de structurˇ a Teorema(teoremele) lui Sylow Definit¸ie Fie p un numˇar prim. Un grup finit (G , ·) se nume¸ste p−grup dacˇa ordinul sˇau este o putere a numˇ arului prim p: (∃)k ∈ N :
|G | = p k .
Dacˇa notˇam cu π(G ) mult¸ime numerelor prime care divid ordinul |G | al grupului finit G , π(G ) = {p ∈ N| p − prim, p| |G |} atunci G este un p−grup dacˇ a ¸si numai dacˇ a π(G ) = {p }. Mai general, dacˇa π este o mult¸ime de numere prime, un grup finit (G , ·) se nume¸ste π−grup dacˇ a π(G ) ⊆ π. Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
23 / 26
Douˇ a teoreme de structurˇ a Teorema(teoremele) lui Sylow Definit¸ie Fie p un numˇar prim. Un grup finit (G , ·) se nume¸ste p−grup dacˇa ordinul sˇau este o putere a numˇ arului prim p: (∃)k ∈ N :
|G | = p k .
Dacˇa notˇam cu π(G ) mult¸ime numerelor prime care divid ordinul |G | al grupului finit G , π(G ) = {p ∈ N| p − prim, p| |G |} atunci G este un p−grup dacˇ a ¸si numai dacˇ a π(G ) = {p }. Mai general, dacˇa π este o mult¸ime de numere prime, un grup finit (G , ·) se nume¸ste π−grup dacˇ a π(G ) ⊆ π. Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
23 / 26
Definit¸ie Fie p un numˇar prim. Un subgrup finit H ≤ G al unui grup G se nume¸ste p−subgrup al grupului G dacˇ a H este un p−grup. Mai general, dacˇ a π este o mult¸ime de numere prime, H se nume¸ste π−subgrup al grupului G dacˇa H este un π−grup.
Definit¸ie Dacˇa grupul G este finit ¸si |G | = p k m, cu k, m ∈ N, m 6= 0, p 6 |m, un p−subgrup H al lui G se nume¸ste p−subgrup Sylow al lui G dacˇa |H| = p k . Notˇam cu Sylp (G ) mult¸imea p−subgrupurilor Sylow ale unui grup G . De asemenea, notˇ am k = vp (G ), astfel cˇ a Sylp (G ) = {H ≤ G | |H| = p vp (G ) } .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
24 / 26
Definit¸ie Fie p un numˇar prim. Un subgrup finit H ≤ G al unui grup G se nume¸ste p−subgrup al grupului G dacˇ a H este un p−grup. Mai general, dacˇ a π este o mult¸ime de numere prime, H se nume¸ste π−subgrup al grupului G dacˇa H este un π−grup.
Definit¸ie Dacˇa grupul G este finit ¸si |G | = p k m, cu k, m ∈ N, m 6= 0, p 6 |m, un p−subgrup H al lui G se nume¸ste p−subgrup Sylow al lui G dacˇa |H| = p k . Notˇam cu Sylp (G ) mult¸imea p−subgrupurilor Sylow ale unui grup G . De asemenea, notˇ am k = vp (G ), astfel cˇ a Sylp (G ) = {H ≤ G | |H| = p vp (G ) } .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
24 / 26
Propozit¸ie Teorema lui Sylow Fie (G , ·) un grup finit, iar p un numˇar prim. Atunci au loc urmˇatoarele proprietˇa¸ti(numite ˆın mod tradit¸ional teoremele lui Sylow): 1) Dacˇa pentru k ∈ N, p k | |G |, atunci numˇarul N(p k ) al subgrupurilor de ordin p k ale lui G verificˇa congruent¸a N(p k ) ≡ 1 (mod p) .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
25 / 26
Propozit¸ie Teorema lui Sylow Fie (G , ·) un grup finit, iar p un numˇar prim. Atunci au loc urmˇatoarele proprietˇa¸ti(numite ˆın mod tradit¸ional teoremele lui Sylow): 1) Dacˇa pentru k ∈ N, p k | |G |, atunci numˇarul N(p k ) al subgrupurilor de ordin p k ale lui G verificˇa congruent¸a N(p k ) ≡ 1 (mod p) . ˆIn particular, existˇa p−subgrupuri de orice ordin p k , divizor al ordinului |G | al grupului G . ˆIn particular, Sylp (G ) 6= ∅.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
25 / 26
Propozit¸ie Teorema lui Sylow Fie (G , ·) un grup finit, iar p un numˇar prim. Atunci au loc urmˇatoarele proprietˇa¸ti(numite ˆın mod tradit¸ional teoremele lui Sylow): 1) Dacˇa pentru k ∈ N, p k | |G |, atunci numˇarul N(p k ) al subgrupurilor de ordin p k ale lui G verificˇa congruent¸a N(p k ) ≡ 1 (mod p) . ˆIn particular, existˇa p−subgrupuri de orice ordin p k , divizor al ordinului |G | al grupului G . ˆIn particular, Sylp (G ) 6= ∅. 2) Dacˇa P ∈ Sylp (G ), iar H este un p−subgrup al lui G , atunci existˇa g ∈ G astfel ˆıncˆat H ⊆ P g (:= g −1 Pg ).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
25 / 26
Propozit¸ie Teorema lui Sylow Fie (G , ·) un grup finit, iar p un numˇar prim. Atunci au loc urmˇatoarele proprietˇa¸ti(numite ˆın mod tradit¸ional teoremele lui Sylow): 1) Dacˇa pentru k ∈ N, p k | |G |, atunci numˇarul N(p k ) al subgrupurilor de ordin p k ale lui G verificˇa congruent¸a N(p k ) ≡ 1 (mod p) . ˆIn particular, existˇa p−subgrupuri de orice ordin p k , divizor al ordinului |G | al grupului G . ˆIn particular, Sylp (G ) 6= ∅. 2) Dacˇa P ∈ Sylp (G ), iar H este un p−subgrup al lui G , atunci existˇa g ∈ G astfel ˆıncˆat H ⊆ P g (:= g −1 Pg ). ˆIn particular, toate p−subgrupurile Sylow ale grupului G sunt conjugate ˆıntre ele.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
25 / 26
Propozit¸ie Teorema lui Sylow Fie (G , ·) un grup finit, iar p un numˇar prim. Atunci au loc urmˇatoarele proprietˇa¸ti(numite ˆın mod tradit¸ional teoremele lui Sylow): 1) Dacˇa pentru k ∈ N, p k | |G |, atunci numˇarul N(p k ) al subgrupurilor de ordin p k ale lui G verificˇa congruent¸a N(p k ) ≡ 1 (mod p) . ˆIn particular, existˇa p−subgrupuri de orice ordin p k , divizor al ordinului |G | al grupului G . ˆIn particular, Sylp (G ) 6= ∅. 2) Dacˇa P ∈ Sylp (G ), iar H este un p−subgrup al lui G , atunci existˇa g ∈ G astfel ˆıncˆat H ⊆ P g (:= g −1 Pg ). ˆIn particular, toate p−subgrupurile Sylow ale grupului G sunt conjugate ˆıntre ele. 3) Dacˇa P ∈ Sylp (G ), iar np = |Sylp (G )|, atunci np = [G : NG (P)] ¸si np ≡ 1(mod p).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
25 / 26
Propozit¸ie Teorema lui Sylow Fie (G , ·) un grup finit, iar p un numˇar prim. Atunci au loc urmˇatoarele proprietˇa¸ti(numite ˆın mod tradit¸ional teoremele lui Sylow): 1) Dacˇa pentru k ∈ N, p k | |G |, atunci numˇarul N(p k ) al subgrupurilor de ordin p k ale lui G verificˇa congruent¸a N(p k ) ≡ 1 (mod p) . ˆIn particular, existˇa p−subgrupuri de orice ordin p k , divizor al ordinului |G | al grupului G . ˆIn particular, Sylp (G ) 6= ∅. 2) Dacˇa P ∈ Sylp (G ), iar H este un p−subgrup al lui G , atunci existˇa g ∈ G astfel ˆıncˆat H ⊆ P g (:= g −1 Pg ). ˆIn particular, toate p−subgrupurile Sylow ale grupului G sunt conjugate ˆıntre ele. 3) Dacˇa P ∈ Sylp (G ), iar np = |Sylp (G )|, atunci np = [G : NG (P)] ¸si np ≡ 1(mod p).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
25 / 26
Teorema de structurˇ a a grupurilor abeliene finit generate
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup abelian finit generat. Atunci existˇa m, n ∈ N, m ≤ n, ¸si d1 , d2 , . . . , dm ∈ N cu d1 ≥ 2 ¸si di |di+1 , (∀)i = 1, m − 1, astfel ˆıncˆat G∼ = Zd1 × Zd2 × . . . × Zdm × Zn−m . (n reprezintˇa numˇarul minimal de generatori ai grupului G ).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
26 / 26
Teorema de structurˇ a a grupurilor abeliene finit generate
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup abelian finit generat. Atunci existˇa m, n ∈ N, m ≤ n, ¸si d1 , d2 , . . . , dm ∈ N cu d1 ≥ 2 ¸si di |di+1 , (∀)i = 1, m − 1, astfel ˆıncˆat G∼ = Zd1 × Zd2 × . . . × Zdm × Zn−m . (n reprezintˇa numˇarul minimal de generatori ai grupului G ). ˆIn particular, dacˇa G este un grup abelian finit, atunci existˇa m ∈ N ¸si d1 , d2 , . . . , dm ∈ N cu d1 ≥ 2 ¸si di |di+1 , (∀)i = 1, m − 1, astfel ˆıncˆat G∼ = Zd1 × Zd2 × . . . × Zdm .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
26 / 26
Teorema de structurˇ a a grupurilor abeliene finit generate
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup abelian finit generat. Atunci existˇa m, n ∈ N, m ≤ n, ¸si d1 , d2 , . . . , dm ∈ N cu d1 ≥ 2 ¸si di |di+1 , (∀)i = 1, m − 1, astfel ˆıncˆat G∼ = Zd1 × Zd2 × . . . × Zdm × Zn−m . (n reprezintˇa numˇarul minimal de generatori ai grupului G ). ˆIn particular, dacˇa G este un grup abelian finit, atunci existˇa m ∈ N ¸si d1 , d2 , . . . , dm ∈ N cu d1 ≥ 2 ¸si di |di+1 , (∀)i = 1, m − 1, astfel ˆıncˆat G∼ = Zd1 × Zd2 × . . . × Zdm .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
26 / 26
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
1 / 26
Grupuri(continuare) Teoremele de izomorfism Propozit¸ie (Teorema fundamentalˇ a de izomorfism) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ·) este un morfism de grupuri, atunci existˇa un izomorfism f : G /Ker (f ) −→ Im(f ) , unic cu proprietatea cˇa πKer (f ) · f · iIm(f ) = f .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
1 / 26
Grupuri(continuare) Teoremele de izomorfism Propozit¸ie (Teorema fundamentalˇ a de izomorfism) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ·) este un morfism de grupuri, atunci existˇa un izomorfism f : G /Ker (f ) −→ Im(f ) , unic cu proprietatea cˇa πKer (f ) · f · iIm(f ) = f .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
1 / 26
Observat¸ie Izomorfismul f : G /Ker (f ) −→ Im(f ) este unica aplicat¸ie care face comutativˇa urmˇatoarea diagramˇ a: G π↓
f
−−−−→
T ↑i
f
G /Ker (f ) −−−−→ Im(f )
Corolar Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ·) este un morfism de grupuri, atunci G /Ker (f ) ∼ = Im(f ) .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
2 / 26
Observat¸ie Izomorfismul f : G /Ker (f ) −→ Im(f ) este unica aplicat¸ie care face comutativˇa urmˇatoarea diagramˇ a: G π↓
f
−−−−→
T ↑i
f
G /Ker (f ) −−−−→ Im(f )
Corolar Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ·) este un morfism de grupuri, atunci G /Ker (f ) ∼ = Im(f ) .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
2 / 26
Propozit¸ie (Prima teoremˇ a de izomorfism) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ·) este un morfism surjectiv de grupuri, H E G cu Ker (f ) ⊆ H, iar U = (H)f , atunci G /H ∼ = T /U.
Propozit¸ie (A doua teoremˇ a de izomorfism) Fie (G , ·) un grup, H ≤ G ¸si N E G . Atunci H ∩ N E H ¸si H/(H ∩ N) ∼ = HN/N .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
3 / 26
Propozit¸ie (Prima teoremˇ a de izomorfism) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ·) este un morfism surjectiv de grupuri, H E G cu Ker (f ) ⊆ H, iar U = (H)f , atunci G /H ∼ = T /U.
Propozit¸ie (A doua teoremˇ a de izomorfism) Fie (G , ·) un grup, H ≤ G ¸si N E G . Atunci H ∩ N E H ¸si H/(H ∩ N) ∼ = HN/N .
Propozit¸ie (A treia teoremˇ a de izomorfism) Fie (G , ·) un grup ¸si K , N E G , cu K ⊆ N. Atunci N/K E G /K ¸si (G /K )/(N/K ) ∼ = G /N . Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
3 / 26
Propozit¸ie (Prima teoremˇ a de izomorfism) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ·) este un morfism surjectiv de grupuri, H E G cu Ker (f ) ⊆ H, iar U = (H)f , atunci G /H ∼ = T /U.
Propozit¸ie (A doua teoremˇ a de izomorfism) Fie (G , ·) un grup, H ≤ G ¸si N E G . Atunci H ∩ N E H ¸si H/(H ∩ N) ∼ = HN/N .
Propozit¸ie (A treia teoremˇ a de izomorfism) Fie (G , ·) un grup ¸si K , N E G , cu K ⊆ N. Atunci N/K E G /K ¸si (G /K )/(N/K ) ∼ = G /N . Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
3 / 26
Propozit¸ie (Teorema de corespondent¸ˇ a pentru grupuri) Fie (G , ·) un grup, K E G ¸si πK : G −→ G /K proiect¸ia canonicˇa. Funct¸ia πK stabile¸ste atunci o corespondent¸ˇa biunivocˇa M ←→ M ∗ ˆıntre mult¸imea subgrupurilor lui G care includ K ¸si mult¸imea tuturor subgrupurilor lui G /K . ˆIn plus, pentru orice L, M ≤ G cu K ⊆ L, M avem
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
4 / 26
Propozit¸ie (Teorema de corespondent¸ˇ a pentru grupuri) Fie (G , ·) un grup, K E G ¸si πK : G −→ G /K proiect¸ia canonicˇa. Funct¸ia πK stabile¸ste atunci o corespondent¸ˇa biunivocˇa M ←→ M ∗ ˆıntre mult¸imea subgrupurilor lui G care includ K ¸si mult¸imea tuturor subgrupurilor lui G /K . ˆIn plus, pentru orice L, M ≤ G cu K ⊆ L, M avem 1) M ∗ = M/K = (M)πK .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
4 / 26
Propozit¸ie (Teorema de corespondent¸ˇ a pentru grupuri) Fie (G , ·) un grup, K E G ¸si πK : G −→ G /K proiect¸ia canonicˇa. Funct¸ia πK stabile¸ste atunci o corespondent¸ˇa biunivocˇa M ←→ M ∗ ˆıntre mult¸imea subgrupurilor lui G care includ K ¸si mult¸imea tuturor subgrupurilor lui G /K . ˆIn plus, pentru orice L, M ≤ G cu K ⊆ L, M avem 1) M ∗ = M/K = (M)πK . 2) L ⊆ M ⇐⇒ L∗ ⊆ M ∗ , iar ˆın acest caz [M : L] = [M ∗ : L∗ ].
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
4 / 26
Propozit¸ie (Teorema de corespondent¸ˇ a pentru grupuri) Fie (G , ·) un grup, K E G ¸si πK : G −→ G /K proiect¸ia canonicˇa. Funct¸ia πK stabile¸ste atunci o corespondent¸ˇa biunivocˇa M ←→ M ∗ ˆıntre mult¸imea subgrupurilor lui G care includ K ¸si mult¸imea tuturor subgrupurilor lui G /K . ˆIn plus, pentru orice L, M ≤ G cu K ⊆ L, M avem 1) M ∗ = M/K = (M)πK . 2) L ⊆ M ⇐⇒ L∗ ⊆ M ∗ , iar ˆın acest caz [M : L] = [M ∗ : L∗ ]. 3) L E M ⇐⇒ L∗ E M ∗ , iar ˆın acest caz M/L ∼ = M ∗ /L∗ .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
4 / 26
Propozit¸ie (Teorema de corespondent¸ˇ a pentru grupuri) Fie (G , ·) un grup, K E G ¸si πK : G −→ G /K proiect¸ia canonicˇa. Funct¸ia πK stabile¸ste atunci o corespondent¸ˇa biunivocˇa M ←→ M ∗ ˆıntre mult¸imea subgrupurilor lui G care includ K ¸si mult¸imea tuturor subgrupurilor lui G /K . ˆIn plus, pentru orice L, M ≤ G cu K ⊆ L, M avem 1) M ∗ = M/K = (M)πK . 2) L ⊆ M ⇐⇒ L∗ ⊆ M ∗ , iar ˆın acest caz [M : L] = [M ∗ : L∗ ]. 3) L E M ⇐⇒ L∗ E M ∗ , iar ˆın acest caz M/L ∼ = M ∗ /L∗ .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
4 / 26
Grupuri ciclice
Propozit¸ie Fie (Z, +) grupul aditiv al numerelor ˆıntregi, iar H ≤ Z. Atunci existˇa n ∈ N astfel ˆıncˆat H = nZ.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
5 / 26
Grupuri ciclice
Propozit¸ie Fie (Z, +) grupul aditiv al numerelor ˆıntregi, iar H ≤ Z. Atunci existˇa n ∈ N astfel ˆıncˆat H = nZ.
Observat¸ie Fie n ∈ N∗ un numˇar natural. Atunci relat¸iile definite pe Z de congruent¸ˇa modulo n, respectiv modulo subgrupul nZ, coincid: k ≡ l(mod n) ⇐⇒ n|k − l ⇐⇒ k − l ∈ nZ ⇐⇒ k ≡ l(mod nZ) . Prin urmare, Zn := Z/≡(mod n) = Z/nZ.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
5 / 26
Grupuri ciclice
Propozit¸ie Fie (Z, +) grupul aditiv al numerelor ˆıntregi, iar H ≤ Z. Atunci existˇa n ∈ N astfel ˆıncˆat H = nZ.
Observat¸ie Fie n ∈ N∗ un numˇar natural. Atunci relat¸iile definite pe Z de congruent¸ˇa modulo n, respectiv modulo subgrupul nZ, coincid: k ≡ l(mod n) ⇐⇒ n|k − l ⇐⇒ k − l ∈ nZ ⇐⇒ k ≡ l(mod nZ) . Prin urmare, Zn := Z/≡(mod n) = Z/nZ.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
5 / 26
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic. Atunci fie G ∼ = Z, fie existˇa n ∈ N∗ astfel ˆıncˆat G∼ = Zn .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic finit, de ordin |G | = n.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
6 / 26
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic. Atunci fie G ∼ = Z, fie existˇa n ∈ N∗ astfel ˆıncˆat G∼ = Zn .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic finit, de ordin |G | = n. 1) Dacˇa H ≤ G , atunci existˇa d ∈ N∗ , cu d|n, astfel ˆıncˆat H ∼ = db · Zn .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
6 / 26
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic. Atunci fie G ∼ = Z, fie existˇa n ∈ N∗ astfel ˆıncˆat G∼ = Zn .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic finit, de ordin |G | = n. 1) Dacˇa H ≤ G , atunci existˇa d ∈ N∗ , cu d|n, astfel ˆıncˆat H ∼ = db · Zn . ∗ 2) Pentru orice divizor d ∈ N al ordinului n al grupului, G are un subgrup unic de ordin d.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
6 / 26
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic. Atunci fie G ∼ = Z, fie existˇa n ∈ N∗ astfel ˆıncˆat G∼ = Zn .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic finit, de ordin |G | = n. 1) Dacˇa H ≤ G , atunci existˇa d ∈ N∗ , cu d|n, astfel ˆıncˆat H ∼ = db · Zn . ∗ 2) Pentru orice divizor d ∈ N al ordinului n al grupului, G are un subgrup unic de ordin d. 3) Numˇarul elementelor a ∈ G cu proprietatea cˇa G = hai este (n)ϕ , unde ϕ este funct¸ia lui Euler(datˇa de (n)ϕ =numˇarul numerelor naturale k, cu 0 ≤ k ≤ n − 1, pentru care (k, n) = 1).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
6 / 26
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic. Atunci fie G ∼ = Z, fie existˇa n ∈ N∗ astfel ˆıncˆat G∼ = Zn .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic finit, de ordin |G | = n. 1) Dacˇa H ≤ G , atunci existˇa d ∈ N∗ , cu d|n, astfel ˆıncˆat H ∼ = db · Zn . ∗ 2) Pentru orice divizor d ∈ N al ordinului n al grupului, G are un subgrup unic de ordin d. 3) Numˇarul elementelor a ∈ G cu proprietatea cˇa G = hai este (n)ϕ , unde ϕ este funct¸ia lui Euler(datˇa de (n)ϕ =numˇarul numerelor naturale k, cu 0 ≤Pk ≤ n − 1, pentru care (k, n) = 1). 4) (d)ϕ = n. d|n
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
6 / 26
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic. Atunci fie G ∼ = Z, fie existˇa n ∈ N∗ astfel ˆıncˆat G∼ = Zn .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ciclic finit, de ordin |G | = n. 1) Dacˇa H ≤ G , atunci existˇa d ∈ N∗ , cu d|n, astfel ˆıncˆat H ∼ = db · Zn . ∗ 2) Pentru orice divizor d ∈ N al ordinului n al grupului, G are un subgrup unic de ordin d. 3) Numˇarul elementelor a ∈ G cu proprietatea cˇa G = hai este (n)ϕ , unde ϕ este funct¸ia lui Euler(datˇa de (n)ϕ =numˇarul numerelor naturale k, cu 0 ≤Pk ≤ n − 1, pentru care (k, n) = 1). 4) (d)ϕ = n. d|n
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
6 / 26
Produse directe ¸si semidirecte de grupuri
Produse directe
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
7 / 26
Produse directe ¸si semidirecte de grupuri
Produse directe Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H, K E G . G se nume¸ste produsul direct intern al subgrupurilor sale normale H ¸si K , dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
7 / 26
Produse directe ¸si semidirecte de grupuri
Produse directe Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H, K E G . G se nume¸ste produsul direct intern al subgrupurilor sale normale H ¸si K , dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este produsul direct al subgrupurilor sale normale H ¸si K , atunci hk = kh, (∀)h ∈ H, k ∈ K ¸si pentru orice g ∈ G existˇa cˆate un unic element h ∈ H ¸si k ∈ K astfel ˆıncˆat g = hk.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
7 / 26
Produse directe ¸si semidirecte de grupuri
Produse directe Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H, K E G . G se nume¸ste produsul direct intern al subgrupurilor sale normale H ¸si K , dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este produsul direct al subgrupurilor sale normale H ¸si K , atunci hk = kh, (∀)h ∈ H, k ∈ K ¸si pentru orice g ∈ G existˇa cˆate un unic element h ∈ H ¸si k ∈ K astfel ˆıncˆat g = hk.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
7 / 26
Observat¸ie Dacˇa (G , ·) este produsul direct al subgrupurilor sale normale H ¸si K , ¸si g1 = h1 k1 , g2 = h2 = k2 , cu h1 , h2 ∈ H, k1 , k2 ∈ K , atunci g1 g2 = (h1 k1 )(h2 k2 ) = h1 (k1 h1 )k2 = h1 (h2 k1 )k2 = (h1 h2 )(k1 k2 ) .
Propozit¸ie Fie (H, ·) ¸si (K , ·) douˇa grupuri. Atunci operat¸ia binarˇa definitˇa pe produsul cartezian H × K prin (h1 , k1 ) · (h2 , k2 ) = (h1 h2 , k1 k2 ) define¸ste pe H × K o structurˇa de grup.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
8 / 26
Observat¸ie Dacˇa (G , ·) este produsul direct al subgrupurilor sale normale H ¸si K , ¸si g1 = h1 k1 , g2 = h2 = k2 , cu h1 , h2 ∈ H, k1 , k2 ∈ K , atunci g1 g2 = (h1 k1 )(h2 k2 ) = h1 (k1 h1 )k2 = h1 (h2 k1 )k2 = (h1 h2 )(k1 k2 ) .
Propozit¸ie Fie (H, ·) ¸si (K , ·) douˇa grupuri. Atunci operat¸ia binarˇa definitˇa pe produsul cartezian H × K prin (h1 , k1 ) · (h2 , k2 ) = (h1 h2 , k1 k2 ) define¸ste pe H × K o structurˇa de grup.
Definit¸ie Fie (H, ·) ¸si (K , ·) douˇa grupuri. Grupul definit ˆın propozit¸ia precedentˇa se nume¸ste produsul direct extern al grupurilor H ¸si K . Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
8 / 26
Observat¸ie Dacˇa (G , ·) este produsul direct al subgrupurilor sale normale H ¸si K , ¸si g1 = h1 k1 , g2 = h2 = k2 , cu h1 , h2 ∈ H, k1 , k2 ∈ K , atunci g1 g2 = (h1 k1 )(h2 k2 ) = h1 (k1 h1 )k2 = h1 (h2 k1 )k2 = (h1 h2 )(k1 k2 ) .
Propozit¸ie Fie (H, ·) ¸si (K , ·) douˇa grupuri. Atunci operat¸ia binarˇa definitˇa pe produsul cartezian H × K prin (h1 , k1 ) · (h2 , k2 ) = (h1 h2 , k1 k2 ) define¸ste pe H × K o structurˇa de grup.
Definit¸ie Fie (H, ·) ¸si (K , ·) douˇa grupuri. Grupul definit ˆın propozit¸ia precedentˇa se nume¸ste produsul direct extern al grupurilor H ¸si K . Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
8 / 26
Propozit¸ie Fie (H × K , ·) produsul direct extern al grupurilor (H, ·) ¸si (K , ·), iar b K b ⊆ H × K submult¸imile produsului cartezian H × K definite prin H, b := H × {1K } = {(h, 1K )| h ∈ H} , H b := {1H } × K = {(1H , k)| k ∈ K } . K b K b E H × K, H ∼ b K∼ b, H × K = H bK b ¸si H b ∩K b = 1. Atunci H, = H, =K
Observat¸ie Conform propozit¸iei de mai sus, produsul direct extern H × K este b ¸si K b ale grupurilor H ¸si K . produsul direct intern al copiilor izomorfe H ˆIn consecint¸ˇa, putem identifica not¸iunile de produs direct intern ¸si produs direct extern. Dacˇ a un grup (G , ·) este produsul direct intern al unor subgrupuri H, K E G ale sale, vom nota G = H × K ¸si vom spune simplu cˇa G este produsul direct al lui H cu K . Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
9 / 26
Propozit¸ie Fie (H × K , ·) produsul direct extern al grupurilor (H, ·) ¸si (K , ·), iar b K b ⊆ H × K submult¸imile produsului cartezian H × K definite prin H, b := H × {1K } = {(h, 1K )| h ∈ H} , H b := {1H } × K = {(1H , k)| k ∈ K } . K b K b E H × K, H ∼ b K∼ b, H × K = H bK b ¸si H b ∩K b = 1. Atunci H, = H, =K
Observat¸ie Conform propozit¸iei de mai sus, produsul direct extern H × K este b ¸si K b ale grupurilor H ¸si K . produsul direct intern al copiilor izomorfe H ˆIn consecint¸ˇa, putem identifica not¸iunile de produs direct intern ¸si produs direct extern. Dacˇ a un grup (G , ·) este produsul direct intern al unor subgrupuri H, K E G ale sale, vom nota G = H × K ¸si vom spune simplu cˇa G este produsul direct al lui H cu K . Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
9 / 26
Putem generaliza not¸iunea de produs direct la familii oarecare de grupuri ˆın modul urmˇator:
Definit¸ie Dacˇa {Hi }i∈I este o familie de grupuri, produsul sˇ au direct, notat Q ×i∈I Hi este produsul cartezian Hi , ˆımpreunˇ a cu operat¸ia binarˇa i∈I
definitˇa prin (hi )i∈I · (hi0 )i∈I = (hi hi0 )i∈I .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
10 / 26
Putem generaliza not¸iunea de produs direct la familii oarecare de grupuri ˆın modul urmˇator:
Definit¸ie Dacˇa {Hi }i∈I este o familie de grupuri, produsul sˇ au direct, notat Q ×i∈I Hi este produsul cartezian Hi , ˆımpreunˇ a cu operat¸ia binarˇa i∈I
definitˇa prin (hi )i∈I · (hi0 )i∈I = (hi hi0 )i∈I .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
10 / 26
Adesea este utilˇa urmˇatoarea caracterizare a produselor directe finite:
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H1 , H2 , . . . , Hn E G . Atunci G = H1 × H2 × . . . × Hn dacˇa ¸si numai dacˇa G = H 1 H2 . . . Hn , (H1 H2 . . . Hi−1 ) ∩ Hi = 1, (∀)i = 2, n .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
11 / 26
Adesea este utilˇa urmˇatoarea caracterizare a produselor directe finite:
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H1 , H2 , . . . , Hn E G . Atunci G = H1 × H2 × . . . × Hn dacˇa ¸si numai dacˇa G = H 1 H2 . . . Hn , (H1 H2 . . . Hi−1 ) ∩ Hi = 1, (∀)i = 2, n .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
11 / 26
Produse semidirecte Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si K E G . Un subgrup H ≤ G se nume¸ste complement al subgrupului K ˆın G dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
12 / 26
Produse semidirecte Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si K E G . Un subgrup H ≤ G se nume¸ste complement al subgrupului K ˆın G dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Observat¸ie 1) Dacˇa ¸si complementul H este normal ˆın G , H se nume¸ste complement direct al lui K ˆın G ¸si ˆın acest caz G = H × K este produsul direct al lui H cu K .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
12 / 26
Produse semidirecte Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si K E G . Un subgrup H ≤ G se nume¸ste complement al subgrupului K ˆın G dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Observat¸ie 1) Dacˇa ¸si complementul H este normal ˆın G , H se nume¸ste complement direct al lui K ˆın G ¸si ˆın acest caz G = H × K este produsul direct al lui H cu K . 2) Dacˇa H este un complement al subgrupului normal K ˆın grupul G , atunci orice element g ∈ G admite o scriere unicˇ a ˆın forma g = hk, cu h ∈ H ¸si k ∈ K .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
12 / 26
Produse semidirecte Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si K E G . Un subgrup H ≤ G se nume¸ste complement al subgrupului K ˆın G dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Observat¸ie 1) Dacˇa ¸si complementul H este normal ˆın G , H se nume¸ste complement direct al lui K ˆın G ¸si ˆın acest caz G = H × K este produsul direct al lui H cu K . 2) Dacˇa H este un complement al subgrupului normal K ˆın grupul G , atunci orice element g ∈ G admite o scriere unicˇ a ˆın forma g = hk, cu h ∈ H ¸si k ∈ K . 3) Dacˇa H este un complement al subgrupului normal K ˆın grupul G , iar g1 = h1 k1 , g2 = h2 k2 ∈ G , avem cˇ a g1 g2 = (h1 k1 )(h2 k2 ) = h1 h2 · (h2−1 k1 h2 )k2 .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
12 / 26
Produse semidirecte Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si K E G . Un subgrup H ≤ G se nume¸ste complement al subgrupului K ˆın G dacˇ a G = HK ¸si H ∩ K = 1.
Observat¸ie 1) Dacˇa ¸si complementul H este normal ˆın G , H se nume¸ste complement direct al lui K ˆın G ¸si ˆın acest caz G = H × K este produsul direct al lui H cu K . 2) Dacˇa H este un complement al subgrupului normal K ˆın grupul G , atunci orice element g ∈ G admite o scriere unicˇ a ˆın forma g = hk, cu h ∈ H ¸si k ∈ K . 3) Dacˇa H este un complement al subgrupului normal K ˆın grupul G , iar g1 = h1 k1 , g2 = h2 k2 ∈ G , avem cˇ a g1 g2 = (h1 k1 )(h2 k2 ) = h1 h2 · (h2−1 k1 h2 )k2 .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
12 / 26
Propozit¸ie Fie (H, ·) ¸si (K , ·) douˇa grupuri ¸si ϕ : H −→ Aut(K ) un morfism de grupuri. Atunci operat¸ia binarˇa definitˇa pe produsul cartezian H × K prin ϕ
(h1 , k1 ) · (h2 , k2 ) = (h1 h2 , (k1 )(h2 ) k2 ) determinˇa pe H × K o structurˇa de grup.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
13 / 26
Definit¸ie Grupul definit ˆın propozit¸ia de mai sus se nume¸ste produsul semidirect al grupului H cu grupul K via morfismul ϕ ¸si se noteazˇa H nϕ K .
Observat¸ie Analog cazului produselor directe, considerˆand produsul semidirect b = H × {1K } ¸si K b reprezintˇa douˇa subgrupuri H nϕ K , submult¸imile H b K b ≤ H nϕ K , care au proprietˇa¸tile: H, b∼ H = H,
b ∼ K = K,
Lect.dr. M.Chi¸s ()
b E H nϕ K , H
Curs 5
bK b, H nϕ K = H
b ∩K b = 1. H
2009
14 / 26
Definit¸ie Grupul definit ˆın propozit¸ia de mai sus se nume¸ste produsul semidirect al grupului H cu grupul K via morfismul ϕ ¸si se noteazˇa H nϕ K .
Observat¸ie Analog cazului produselor directe, considerˆand produsul semidirect b = H × {1K } ¸si K b reprezintˇa douˇa subgrupuri H nϕ K , submult¸imile H b K b ≤ H nϕ K , care au proprietˇa¸tile: H, b∼ H = H,
b ∼ K = K,
Lect.dr. M.Chi¸s ()
b E H nϕ K , H
Curs 5
bK b, H nϕ K = H
b ∩K b = 1. H
2009
14 / 26
Act¸iuni de grupuri
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si M 6= ∅ o mult¸ime nevidˇ a. O aplicat¸ie α : G × M −→ M se nume¸ste act¸iune (la stˆanga) a lui G pe M dacˇa verificˇa proprietˇa¸tile: 1) (gh, m)α = (g , (h, m)α )α , (∀)g , h ∈ G , m ∈ M . 2) (1, m)α = m , (∀)m ∈ M .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
15 / 26
Act¸iuni de grupuri
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si M 6= ∅ o mult¸ime nevidˇ a. O aplicat¸ie α : G × M −→ M se nume¸ste act¸iune (la stˆanga) a lui G pe M dacˇa verificˇa proprietˇa¸tile: 1) (gh, m)α = (g , (h, m)α )α , (∀)g , h ∈ G , m ∈ M . 2) (1, m)α = m , (∀)m ∈ M .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
15 / 26
Observat¸ie 1) Dacˇa notˇam g · m := (g , m)α , condit¸iile de mai sus se pot scrie ˆın forma: 1) (gh) · m = g · (h · m) , (∀)g , h ∈ G , m ∈ M . 2) 1 · m = m , (∀)m ∈ M . 2) ˆIn mod asemˇanˇator se poate defini termenul de act¸iune la dreapta a unui grup pe o mult¸ime nevidˇ a, pentru care se pot demonstra proprietˇa¸ti analoage celor pe care le vom prezenta pentru act¸iuni la stˆ anga. Noi ne vom referi ˆın continuare doar la act¸iuni la stˆanga, pe care le vom numi simplu act¸iuni.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
16 / 26
Observat¸ie 1) Dacˇa notˇam g · m := (g , m)α , condit¸iile de mai sus se pot scrie ˆın forma: 1) (gh) · m = g · (h · m) , (∀)g , h ∈ G , m ∈ M . 2) 1 · m = m , (∀)m ∈ M . 2) ˆIn mod asemˇanˇator se poate defini termenul de act¸iune la dreapta a unui grup pe o mult¸ime nevidˇ a, pentru care se pot demonstra proprietˇa¸ti analoage celor pe care le vom prezenta pentru act¸iuni la stˆ anga. Noi ne vom referi ˆın continuare doar la act¸iuni la stˆanga, pe care le vom numi simplu act¸iuni.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
16 / 26
Definit¸ie not
Dacˇa α : G × M −→ M : (g , m) 7−→ (g , m)α = g · m este o act¸iune, definim pe M relat¸ia ∼α de asociere ˆın raport cu α prin def
x ∼α y ⇐⇒ (∃)g ∈ G : g · x = y .
Propozit¸ie not
Dacˇa α : G × M −→ M : (g , m) 7−→ (g , m)α = g · m este o act¸iune, relat¸ia de asociere ˆın raport cu act¸iunea α este o relat¸ie de echivalent¸ˇa pe M.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
17 / 26
Definit¸ie not
Dacˇa α : G × M −→ M : (g , m) 7−→ (g , m)α = g · m este o act¸iune, definim pe M relat¸ia ∼α de asociere ˆın raport cu α prin def
x ∼α y ⇐⇒ (∃)g ∈ G : g · x = y .
Propozit¸ie not
Dacˇa α : G × M −→ M : (g , m) 7−→ (g , m)α = g · m este o act¸iune, relat¸ia de asociere ˆın raport cu act¸iunea α este o relat¸ie de echivalent¸ˇa pe M.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
17 / 26
Definit¸ie Clasa de echivalent¸ˇa a unui element x ∈ M ˆın raport cu relat¸ia ∼α se nume¸ste orbita elementului x ˆın raport cu act¸iunea α.
Observat¸ie Orbita unui element oarecare x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M este [x]∼α = {y ∈ M| x ∼α y } = {y ∈ M| (∃)g ∈ G : y = g · x} = not = {g · x| g ∈ G } = G · x .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
18 / 26
Definit¸ie Clasa de echivalent¸ˇa a unui element x ∈ M ˆın raport cu relat¸ia ∼α se nume¸ste orbita elementului x ˆın raport cu act¸iunea α.
Observat¸ie Orbita unui element oarecare x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M este [x]∼α = {y ∈ M| x ∼α y } = {y ∈ M| (∃)g ∈ G : y = g · x} = not = {g · x| g ∈ G } = G · x .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
18 / 26
Definit¸ie Stabilizatorul unui element x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M este mult¸imea StabG (x) := {g ∈ G | g · x = x} .
Propozit¸ie Stabilizatorul StabG (x) al unui element x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M a unui grup (G , ·) pe o mult¸ime M este un subgrup al grupului G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
19 / 26
Definit¸ie Stabilizatorul unui element x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M este mult¸imea StabG (x) := {g ∈ G | g · x = x} .
Propozit¸ie Stabilizatorul StabG (x) al unui element x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M a unui grup (G , ·) pe o mult¸ime M este un subgrup al grupului G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
19 / 26
Propozit¸ie Cardinalul orbitei unui element x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M este egal cu indicele stabilizatorului elementului: |G · x| = [G : StabG (x)] .
Corolar Dacˇa M este o mult¸ime finitˇa, iar R un sistem de reprezentant¸ia ai orbitelor definite de act¸iunea α : G × M −→ M pe M, atunci X |M| = [G : StabG (x)] x∈R
(ecuat¸ia claselor asociatˇ a act¸iunii α).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
20 / 26
Propozit¸ie Cardinalul orbitei unui element x ∈ M ˆın raport cu o act¸iune α : G × M −→ M este egal cu indicele stabilizatorului elementului: |G · x| = [G : StabG (x)] .
Corolar Dacˇa M este o mult¸ime finitˇa, iar R un sistem de reprezentant¸ia ai orbitelor definite de act¸iunea α : G × M −→ M pe M, atunci X |M| = [G : StabG (x)] x∈R
(ecuat¸ia claselor asociatˇ a act¸iunii α).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
20 / 26
Definit¸ie Dacˇa α : G × M −→ M este o act¸iune a unui grup G pe o mult¸ime M, iar g ∈ G , notˇam cu Fix(g ) mult¸imea punctelor fixe ˆın raport cu g prin act¸iunea α: Fix(g ) := {x ∈ M| g · x = x} .
Observat¸ie Pentru x ∈ M ¸si g ∈ G avem cˇ a x ∈ Fix(g ) ⇐⇒ g · x = x ⇐⇒ g ∈ StabG (x) .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
21 / 26
Definit¸ie Dacˇa α : G × M −→ M este o act¸iune a unui grup G pe o mult¸ime M, iar g ∈ G , notˇam cu Fix(g ) mult¸imea punctelor fixe ˆın raport cu g prin act¸iunea α: Fix(g ) := {x ∈ M| g · x = x} .
Observat¸ie Pentru x ∈ M ¸si g ∈ G avem cˇ a x ∈ Fix(g ) ⇐⇒ g · x = x ⇐⇒ g ∈ StabG (x) .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
21 / 26
Propozit¸ie Fie α : G × M −→ M o act¸iune a unui grup finit G pe o mult¸ime finitˇa M. Atunci numˇarul n al orbitelor determinate de act¸iunea α ˆın M este n=
1 X |Fix(g )| |G | g ∈G
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
22 / 26
Douˇ a teoreme de structurˇ a Teorema(teoremele) lui Sylow
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
23 / 26
Douˇ a teoreme de structurˇ a Teorema(teoremele) lui Sylow Definit¸ie Fie p un numˇar prim. Un grup finit (G , ·) se nume¸ste p−grup dacˇa ordinul sˇau este o putere a numˇ arului prim p: (∃)k ∈ N :
Lect.dr. M.Chi¸s ()
|G | = p k .
Curs 5
2009
23 / 26
Douˇ a teoreme de structurˇ a Teorema(teoremele) lui Sylow Definit¸ie Fie p un numˇar prim. Un grup finit (G , ·) se nume¸ste p−grup dacˇa ordinul sˇau este o putere a numˇ arului prim p: (∃)k ∈ N :
|G | = p k .
Dacˇa notˇam cu π(G ) mult¸ime numerelor prime care divid ordinul |G | al grupului finit G , π(G ) = {p ∈ N| p − prim, p| |G |} atunci G este un p−grup dacˇ a ¸si numai dacˇ a π(G ) = {p }.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
23 / 26
Douˇ a teoreme de structurˇ a Teorema(teoremele) lui Sylow Definit¸ie Fie p un numˇar prim. Un grup finit (G , ·) se nume¸ste p−grup dacˇa ordinul sˇau este o putere a numˇ arului prim p: (∃)k ∈ N :
|G | = p k .
Dacˇa notˇam cu π(G ) mult¸ime numerelor prime care divid ordinul |G | al grupului finit G , π(G ) = {p ∈ N| p − prim, p| |G |} atunci G este un p−grup dacˇ a ¸si numai dacˇ a π(G ) = {p }. Mai general, dacˇa π este o mult¸ime de numere prime, un grup finit (G , ·) se nume¸ste π−grup dacˇ a π(G ) ⊆ π. Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
23 / 26
Douˇ a teoreme de structurˇ a Teorema(teoremele) lui Sylow Definit¸ie Fie p un numˇar prim. Un grup finit (G , ·) se nume¸ste p−grup dacˇa ordinul sˇau este o putere a numˇ arului prim p: (∃)k ∈ N :
|G | = p k .
Dacˇa notˇam cu π(G ) mult¸ime numerelor prime care divid ordinul |G | al grupului finit G , π(G ) = {p ∈ N| p − prim, p| |G |} atunci G este un p−grup dacˇ a ¸si numai dacˇ a π(G ) = {p }. Mai general, dacˇa π este o mult¸ime de numere prime, un grup finit (G , ·) se nume¸ste π−grup dacˇ a π(G ) ⊆ π. Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
23 / 26
Definit¸ie Fie p un numˇar prim. Un subgrup finit H ≤ G al unui grup G se nume¸ste p−subgrup al grupului G dacˇ a H este un p−grup. Mai general, dacˇ a π este o mult¸ime de numere prime, H se nume¸ste π−subgrup al grupului G dacˇa H este un π−grup.
Definit¸ie Dacˇa grupul G este finit ¸si |G | = p k m, cu k, m ∈ N, m 6= 0, p 6 |m, un p−subgrup H al lui G se nume¸ste p−subgrup Sylow al lui G dacˇa |H| = p k . Notˇam cu Sylp (G ) mult¸imea p−subgrupurilor Sylow ale unui grup G . De asemenea, notˇ am k = vp (G ), astfel cˇ a Sylp (G ) = {H ≤ G | |H| = p vp (G ) } .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
24 / 26
Definit¸ie Fie p un numˇar prim. Un subgrup finit H ≤ G al unui grup G se nume¸ste p−subgrup al grupului G dacˇ a H este un p−grup. Mai general, dacˇ a π este o mult¸ime de numere prime, H se nume¸ste π−subgrup al grupului G dacˇa H este un π−grup.
Definit¸ie Dacˇa grupul G este finit ¸si |G | = p k m, cu k, m ∈ N, m 6= 0, p 6 |m, un p−subgrup H al lui G se nume¸ste p−subgrup Sylow al lui G dacˇa |H| = p k . Notˇam cu Sylp (G ) mult¸imea p−subgrupurilor Sylow ale unui grup G . De asemenea, notˇ am k = vp (G ), astfel cˇ a Sylp (G ) = {H ≤ G | |H| = p vp (G ) } .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
24 / 26
Propozit¸ie Teorema lui Sylow Fie (G , ·) un grup finit, iar p un numˇar prim. Atunci au loc urmˇatoarele proprietˇa¸ti(numite ˆın mod tradit¸ional teoremele lui Sylow): 1) Dacˇa pentru k ∈ N, p k | |G |, atunci numˇarul N(p k ) al subgrupurilor de ordin p k ale lui G verificˇa congruent¸a N(p k ) ≡ 1 (mod p) .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
25 / 26
Propozit¸ie Teorema lui Sylow Fie (G , ·) un grup finit, iar p un numˇar prim. Atunci au loc urmˇatoarele proprietˇa¸ti(numite ˆın mod tradit¸ional teoremele lui Sylow): 1) Dacˇa pentru k ∈ N, p k | |G |, atunci numˇarul N(p k ) al subgrupurilor de ordin p k ale lui G verificˇa congruent¸a N(p k ) ≡ 1 (mod p) . ˆIn particular, existˇa p−subgrupuri de orice ordin p k , divizor al ordinului |G | al grupului G . ˆIn particular, Sylp (G ) 6= ∅.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
25 / 26
Propozit¸ie Teorema lui Sylow Fie (G , ·) un grup finit, iar p un numˇar prim. Atunci au loc urmˇatoarele proprietˇa¸ti(numite ˆın mod tradit¸ional teoremele lui Sylow): 1) Dacˇa pentru k ∈ N, p k | |G |, atunci numˇarul N(p k ) al subgrupurilor de ordin p k ale lui G verificˇa congruent¸a N(p k ) ≡ 1 (mod p) . ˆIn particular, existˇa p−subgrupuri de orice ordin p k , divizor al ordinului |G | al grupului G . ˆIn particular, Sylp (G ) 6= ∅. 2) Dacˇa P ∈ Sylp (G ), iar H este un p−subgrup al lui G , atunci existˇa g ∈ G astfel ˆıncˆat H ⊆ P g (:= g −1 Pg ).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
25 / 26
Propozit¸ie Teorema lui Sylow Fie (G , ·) un grup finit, iar p un numˇar prim. Atunci au loc urmˇatoarele proprietˇa¸ti(numite ˆın mod tradit¸ional teoremele lui Sylow): 1) Dacˇa pentru k ∈ N, p k | |G |, atunci numˇarul N(p k ) al subgrupurilor de ordin p k ale lui G verificˇa congruent¸a N(p k ) ≡ 1 (mod p) . ˆIn particular, existˇa p−subgrupuri de orice ordin p k , divizor al ordinului |G | al grupului G . ˆIn particular, Sylp (G ) 6= ∅. 2) Dacˇa P ∈ Sylp (G ), iar H este un p−subgrup al lui G , atunci existˇa g ∈ G astfel ˆıncˆat H ⊆ P g (:= g −1 Pg ). ˆIn particular, toate p−subgrupurile Sylow ale grupului G sunt conjugate ˆıntre ele.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
25 / 26
Propozit¸ie Teorema lui Sylow Fie (G , ·) un grup finit, iar p un numˇar prim. Atunci au loc urmˇatoarele proprietˇa¸ti(numite ˆın mod tradit¸ional teoremele lui Sylow): 1) Dacˇa pentru k ∈ N, p k | |G |, atunci numˇarul N(p k ) al subgrupurilor de ordin p k ale lui G verificˇa congruent¸a N(p k ) ≡ 1 (mod p) . ˆIn particular, existˇa p−subgrupuri de orice ordin p k , divizor al ordinului |G | al grupului G . ˆIn particular, Sylp (G ) 6= ∅. 2) Dacˇa P ∈ Sylp (G ), iar H este un p−subgrup al lui G , atunci existˇa g ∈ G astfel ˆıncˆat H ⊆ P g (:= g −1 Pg ). ˆIn particular, toate p−subgrupurile Sylow ale grupului G sunt conjugate ˆıntre ele. 3) Dacˇa P ∈ Sylp (G ), iar np = |Sylp (G )|, atunci np = [G : NG (P)] ¸si np ≡ 1(mod p).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
25 / 26
Propozit¸ie Teorema lui Sylow Fie (G , ·) un grup finit, iar p un numˇar prim. Atunci au loc urmˇatoarele proprietˇa¸ti(numite ˆın mod tradit¸ional teoremele lui Sylow): 1) Dacˇa pentru k ∈ N, p k | |G |, atunci numˇarul N(p k ) al subgrupurilor de ordin p k ale lui G verificˇa congruent¸a N(p k ) ≡ 1 (mod p) . ˆIn particular, existˇa p−subgrupuri de orice ordin p k , divizor al ordinului |G | al grupului G . ˆIn particular, Sylp (G ) 6= ∅. 2) Dacˇa P ∈ Sylp (G ), iar H este un p−subgrup al lui G , atunci existˇa g ∈ G astfel ˆıncˆat H ⊆ P g (:= g −1 Pg ). ˆIn particular, toate p−subgrupurile Sylow ale grupului G sunt conjugate ˆıntre ele. 3) Dacˇa P ∈ Sylp (G ), iar np = |Sylp (G )|, atunci np = [G : NG (P)] ¸si np ≡ 1(mod p).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
25 / 26
Teorema de structurˇ a a grupurilor abeliene finit generate
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup abelian finit generat. Atunci existˇa m, n ∈ N, m ≤ n, ¸si d1 , d2 , . . . , dm ∈ N cu d1 ≥ 2 ¸si di |di+1 , (∀)i = 1, m − 1, astfel ˆıncˆat G∼ = Zd1 × Zd2 × . . . × Zdm × Zn−m . (n reprezintˇa numˇarul minimal de generatori ai grupului G ).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
26 / 26
Teorema de structurˇ a a grupurilor abeliene finit generate
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup abelian finit generat. Atunci existˇa m, n ∈ N, m ≤ n, ¸si d1 , d2 , . . . , dm ∈ N cu d1 ≥ 2 ¸si di |di+1 , (∀)i = 1, m − 1, astfel ˆıncˆat G∼ = Zd1 × Zd2 × . . . × Zdm × Zn−m . (n reprezintˇa numˇarul minimal de generatori ai grupului G ). ˆIn particular, dacˇa G este un grup abelian finit, atunci existˇa m ∈ N ¸si d1 , d2 , . . . , dm ∈ N cu d1 ≥ 2 ¸si di |di+1 , (∀)i = 1, m − 1, astfel ˆıncˆat G∼ = Zd1 × Zd2 × . . . × Zdm .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
26 / 26
Teorema de structurˇ a a grupurilor abeliene finit generate
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup abelian finit generat. Atunci existˇa m, n ∈ N, m ≤ n, ¸si d1 , d2 , . . . , dm ∈ N cu d1 ≥ 2 ¸si di |di+1 , (∀)i = 1, m − 1, astfel ˆıncˆat G∼ = Zd1 × Zd2 × . . . × Zdm × Zn−m . (n reprezintˇa numˇarul minimal de generatori ai grupului G ). ˆIn particular, dacˇa G este un grup abelian finit, atunci existˇa m ∈ N ¸si d1 , d2 , . . . , dm ∈ N cu d1 ≥ 2 ¸si di |di+1 , (∀)i = 1, m − 1, astfel ˆıncˆat G∼ = Zd1 × Zd2 × . . . × Zdm .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 5
2009
26 / 26
