Curs 4
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Curs 4 as PDF for free.
More details
- Words: 7,411
- Pages: 88
Grupuri
Definit¸ii. Proprietˇ a¸ti imediate
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
1 / 34
Grupuri
Definit¸ii. Proprietˇ a¸ti imediate Definit¸ie Un grupoid (G , ·) se nume¸ste grup dacˇ a verificˇ a urmˇatoarele proprietˇa¸ti: 1) (∀)a, b, c ∈ G =⇒ (ab)c = a(bc); 2) (∃)u ∈ G : ua = au = a, (∀)a ∈ G ; 3) (∀)a ∈ G =⇒ (∃)a0 ∈ G : a0 a = aa0 = u.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
1 / 34
Grupuri
Definit¸ii. Proprietˇ a¸ti imediate Definit¸ie Un grupoid (G , ·) se nume¸ste grup dacˇ a verificˇ a urmˇatoarele proprietˇa¸ti: 1) (∀)a, b, c ∈ G =⇒ (ab)c = a(bc); 2) (∃)u ∈ G : ua = au = a, (∀)a ∈ G ; 3) (∀)a ∈ G =⇒ (∃)a0 ∈ G : a0 a = aa0 = u.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
1 / 34
Observat¸ie Un grup a universalˇ a (G , ·, u,0 ) de tip poate0 fidefinit ca algebrˇ · u τ= definitˇ a prin identitˇ a¸tile polinomiale 2 0 1 (xy )z = x(yz) xu = ux = x xx 0 = x 0 x = u
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
2 / 34
Propozit¸ie Un grupoid (G , ·) este grup dacˇa ¸si numai dacˇa 1) (∀)a, b, c ∈ G =⇒ (ab)c = a(bc); 20s ) (∃)u ∈ G : ua = a, (∀)a ∈ G ; 30s ) (∀)a ∈ G =⇒ (∃)a0 ∈ G : a0 a = u.
Propozit¸ie Fie (G , ·) un semigrup. Atunci (G , ·) este un grup dacˇa ¸si numai dacˇa pentru orice a, b ∈ G ecuat¸iile ax = b ¸si ya = b admit solut¸ii ˆın G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
3 / 34
Propozit¸ie Un grupoid (G , ·) este grup dacˇa ¸si numai dacˇa 1) (∀)a, b, c ∈ G =⇒ (ab)c = a(bc); 20s ) (∃)u ∈ G : ua = a, (∀)a ∈ G ; 30s ) (∀)a ∈ G =⇒ (∃)a0 ∈ G : a0 a = u.
Propozit¸ie Fie (G , ·) un semigrup. Atunci (G , ·) este un grup dacˇa ¸si numai dacˇa pentru orice a, b ∈ G ecuat¸iile ax = b ¸si ya = b admit solut¸ii ˆın G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
3 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si a, b ∈ G . Atunci (a−1 )−1 = a ¸si (ab)−1 = b −1 a−1 .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
4 / 34
Propozit¸ie Fie (M, ·, u) un monoid ¸si U(M) = {x ∈ M|(∃)y ∈ M : xy = yx = u} mult¸imea elementelor inversabile ale monoidului M. Atunci U(M) este un submonoid al lui M ¸si (U(M), ·) este un grup.
Exemplu Fie X o mult¸ime nevidˇa ¸si (X X , ◦) monoidul funct¸iilor f : X −→ X . Atunci U(X X ) = SX este grupul simetric al mult¸imii X.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
5 / 34
Propozit¸ie Fie (M, ·, u) un monoid ¸si U(M) = {x ∈ M|(∃)y ∈ M : xy = yx = u} mult¸imea elementelor inversabile ale monoidului M. Atunci U(M) este un submonoid al lui M ¸si (U(M), ·) este un grup.
Exemplu Fie X o mult¸ime nevidˇa ¸si (X X , ◦) monoidul funct¸iilor f : X −→ X . Atunci U(X X ) = SX este grupul simetric al mult¸imii X.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
5 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si a ∈ G . Puterile ˆıntregi ale elementului a sunt n , k = n ∈ N; a 1 , k = 0; ak = −1 n (a ) , k = −n, n ∈ N∗ .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup, a ∈ G , iar k, l ∈ Z. Atunci ak · al = ak+l ¸si (ak )l = akl .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
6 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si a ∈ G . Puterile ˆıntregi ale elementului a sunt n , k = n ∈ N; a 1 , k = 0; ak = −1 n (a ) , k = −n, n ∈ N∗ .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup, a ∈ G , iar k, l ∈ Z. Atunci ak · al = ak+l ¸si (ak )l = akl .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
6 / 34
Subgrupuri. Ordinul unui element
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. H se nume¸ste subgrup al grupului G , ¸si notˇam H ≤ G , dacˇa: 1) (∀)x, y ∈ H =⇒ x · y ∈ H; 2) (∀)x ∈ H =⇒ x −1 ∈ H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
7 / 34
Subgrupuri. Ordinul unui element
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. H se nume¸ste subgrup al grupului G , ¸si notˇam H ≤ G , dacˇa: 1) (∀)x, y ∈ H =⇒ x · y ∈ H; 2) (∀)x ∈ H =⇒ x −1 ∈ H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
7 / 34
Exemplu 1) Pentru orice grup (G , ·) avem cˇ a G ≤ G . Orice subgrup H ≤ G , cu proprietatea cˇa H 6= G , se nume¸ste subgrup propriu al grupului G . 2) Pentru orice grup (G , ·) avem cˇ a {1} ≤ G . Acest subgrup se nume¸ste subgrupul trivial al grupului G ¸si este notat cu 1(ˆIn general se poate deduce u¸sor din context dacˇ a ne referim la elementul neutru 1 sau la subgrupul trivial 1). Orice subgrup H ≤ G , cu proprietatea cˇa H 6= 1 se nume¸ste subgrup netrivial al lui G . De asemenea, orice element g ∈ G \ {1} se nume¸ste element netrivial al lui G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
8 / 34
Exemplu 1) Pentru orice grup (G , ·) avem cˇ a G ≤ G . Orice subgrup H ≤ G , cu proprietatea cˇa H 6= G , se nume¸ste subgrup propriu al grupului G . 2) Pentru orice grup (G , ·) avem cˇ a {1} ≤ G . Acest subgrup se nume¸ste subgrupul trivial al grupului G ¸si este notat cu 1(ˆIn general se poate deduce u¸sor din context dacˇ a ne referim la elementul neutru 1 sau la subgrupul trivial 1). Orice subgrup H ≤ G , cu proprietatea cˇa H 6= 1 se nume¸ste subgrup netrivial al lui G . De asemenea, orice element g ∈ G \ {1} se nume¸ste element netrivial al lui G . 3) Dacˇa n ∈ N∗ este un numˇ ar natural nenul, atunci mult¸imea An a permutˇarilor pare de grad n formeazˇ a un subgrup al grupului simetric de grad n, numit grupul altern de grad n.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
8 / 34
Exemplu 1) Pentru orice grup (G , ·) avem cˇ a G ≤ G . Orice subgrup H ≤ G , cu proprietatea cˇa H 6= G , se nume¸ste subgrup propriu al grupului G . 2) Pentru orice grup (G , ·) avem cˇ a {1} ≤ G . Acest subgrup se nume¸ste subgrupul trivial al grupului G ¸si este notat cu 1(ˆIn general se poate deduce u¸sor din context dacˇ a ne referim la elementul neutru 1 sau la subgrupul trivial 1). Orice subgrup H ≤ G , cu proprietatea cˇa H 6= 1 se nume¸ste subgrup netrivial al lui G . De asemenea, orice element g ∈ G \ {1} se nume¸ste element netrivial al lui G . 3) Dacˇa n ∈ N∗ este un numˇ ar natural nenul, atunci mult¸imea An a permutˇarilor pare de grad n formeazˇ a un subgrup al grupului simetric de grad n, numit grupul altern de grad n.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
8 / 34
Observat¸ie 1) Dacˇa H ≤ G , atunci (∀)x ∈ H =⇒ x −1 ∈ H =⇒ 1 = x · x −1 ∈ H . 2) Un subgrup al unui grup poate fi definit ca subalgebrˇa a algebrei universale (G , ·, 1,−1 ).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
9 / 34
Observat¸ie 1) Dacˇa H ≤ G , atunci (∀)x ∈ H =⇒ x −1 ∈ H =⇒ 1 = x · x −1 ∈ H . 2) Un subgrup al unui grup poate fi definit ca subalgebrˇa a algebrei universale (G , ·, 1,−1 ).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
9 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. Atunci H ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa (∀)x, y ∈ H =⇒ x · y −1 ∈ H.
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. Atunci H ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa H · H = H ¸si H −1 = H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
10 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. Atunci H ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa (∀)x, y ∈ H =⇒ x · y −1 ∈ H.
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. Atunci H ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa H · H = H ¸si H −1 = H.
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H, K ≤ G . Atunci HK ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa HK = KH.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
10 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. Atunci H ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa (∀)x, y ∈ H =⇒ x · y −1 ∈ H.
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. Atunci H ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa H · H = H ¸si H −1 = H.
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H, K ≤ G . Atunci HK ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa HK = KH.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
10 / 34
Propozit¸ie Fie {Hi }i∈I o familie de subgrupuri ale unui grup G. Atunci
T
Hi ≤ G .
i∈I
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si M ⊆ G . Subgrupul lui G generat de M este \ hMi := H. M⊆H≤G
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
11 / 34
Propozit¸ie Fie {Hi }i∈I o familie de subgrupuri ale unui grup G. Atunci
T
Hi ≤ G .
i∈I
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si M ⊆ G . Subgrupul lui G generat de M este \ hMi := H. M⊆H≤G
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup ¸si M ⊆ G , atunci hMi = {x1k1 · x2k2 · · · · · xnkn | n ∈ N, xi ∈ M, ki ∈ Z}.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
11 / 34
Propozit¸ie Fie {Hi }i∈I o familie de subgrupuri ale unui grup G. Atunci
T
Hi ≤ G .
i∈I
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si M ⊆ G . Subgrupul lui G generat de M este \ hMi := H. M⊆H≤G
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup ¸si M ⊆ G , atunci hMi = {x1k1 · x2k2 · · · · · xnkn | n ∈ N, xi ∈ M, ki ∈ Z}.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
11 / 34
Notat¸ie Dacˇa M = {a1 , a2 , . . . , al }, scriem ha1 , a2 , . . . , al i ˆın loc de hMi sau h{a1 , a2 , . . . , al }i.
Definit¸ie Un grup G se nume¸ste finit generat dacˇ a existˇ a elemente a1 , a2 , . . . , al ∈ G astfel ˆıncˆ at G = ha1 , a2 , . . . , al i.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
12 / 34
Notat¸ie Dacˇa M = {a1 , a2 , . . . , al }, scriem ha1 , a2 , . . . , al i ˆın loc de hMi sau h{a1 , a2 , . . . , al }i.
Definit¸ie Un grup G se nume¸ste finit generat dacˇ a existˇ a elemente a1 , a2 , . . . , al ∈ G astfel ˆıncˆ at G = ha1 , a2 , . . . , al i.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
12 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si a ∈ G . Subgrupul ciclic generat de a este hai. G se nume¸ste grup ciclic dacˇa existˇ a a ∈ G astfel ˆıncˆ at G = hai.
Observat¸ie T ¸ inˆ and cont de teorema de caracterizare a elementelor subgrupului generat de o mult¸ime, avem cˇ a hai = {ak | k ∈ Z} .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
13 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si a ∈ G . Subgrupul ciclic generat de a este hai. G se nume¸ste grup ciclic dacˇa existˇ a a ∈ G astfel ˆıncˆ at G = hai.
Observat¸ie T ¸ inˆ and cont de teorema de caracterizare a elementelor subgrupului generat de o mult¸ime, avem cˇ a hai = {ak | k ∈ Z} .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
13 / 34
Definit¸ie Ordinul unui grup (G , ·) este cardinalul |G |. Ordinul unui element a ∈ G , notat o(a) sau |a|, este ordinul subgrupului ciclic generat de elementul a: o(a) = |hai| .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
14 / 34
Definit¸ie Ordinul unui grup (G , ·) este cardinalul |G |. Ordinul unui element a ∈ G , notat o(a) sau |a|, este ordinul subgrupului ciclic generat de elementul a: o(a) = |hai| .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si a ∈ G . Atunci o(a) = inf {k ∈ N∗ | ak = 1} .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
14 / 34
Definit¸ie Ordinul unui grup (G , ·) este cardinalul |G |. Ordinul unui element a ∈ G , notat o(a) sau |a|, este ordinul subgrupului ciclic generat de elementul a: o(a) = |hai| .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si a ∈ G . Atunci o(a) = inf {k ∈ N∗ | ak = 1} .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
14 / 34
Observat¸ie ˆIn cazul o(a) < ∞ este utilˇ a ¸si urmˇ atoarea caracterizare aritmeticˇa a ordinului: n a =1 o(a) = n ⇐⇒ ⇐⇒ (∀)k ∈ Z : ak = 1 =⇒ n|k ⇐⇒ (∀)k ∈ Z[ak = 1 ⇐⇒ n|k] .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
15 / 34
Clase laterale. Teorema lui Lagrange
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Pe G putem defini atunci relat¸ia λH de congruent¸ˇa la stˆanga modulo H ¸si relat¸ia ρH de congruent¸ˇa la dreapta modulo H prin x λH y ⇐⇒ y −1 x ∈ H , x ρH y ⇐⇒ xy −1 ∈ H .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
16 / 34
Clase laterale. Teorema lui Lagrange
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Pe G putem defini atunci relat¸ia λH de congruent¸ˇa la stˆanga modulo H ¸si relat¸ia ρH de congruent¸ˇa la dreapta modulo H prin x λH y ⇐⇒ y −1 x ∈ H , x ρH y ⇐⇒ xy −1 ∈ H .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Relat¸iile de congruent¸ˇa modulo H sunt relat¸ii de echivalent¸ˇa pe G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
16 / 34
Clase laterale. Teorema lui Lagrange
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Pe G putem defini atunci relat¸ia λH de congruent¸ˇa la stˆanga modulo H ¸si relat¸ia ρH de congruent¸ˇa la dreapta modulo H prin x λH y ⇐⇒ y −1 x ∈ H , x ρH y ⇐⇒ xy −1 ∈ H .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Relat¸iile de congruent¸ˇa modulo H sunt relat¸ii de echivalent¸ˇa pe G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
16 / 34
Observat¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Clasa de echivalent¸ˇ a a unui element x ∈ G ˆın raport cu relat¸ia λH de congruent¸ˇ a la stˆ anga modulo H este datˇa de [x]λH = {y ∈ G | x λH y } = {y ∈ G | x −1 y ∈ H} = = {y ∈ G | y ∈ xH} = xH ¸si se nume¸ste clasa lateralˇa la stˆanga a elementului x ˆın raport cu subgrupul H. ˆIn mod analog se define¸ste o clasˇa lateralˇa la dreapta ˆın raport cu subgrupul H: Hx = [x]ρH = {y ∈ G | yx −1 ∈ H} .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
17 / 34
Observat¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Clasa de echivalent¸ˇ a a unui element x ∈ G ˆın raport cu relat¸ia λH de congruent¸ˇ a la stˆ anga modulo H este datˇa de [x]λH = {y ∈ G | x λH y } = {y ∈ G | x −1 y ∈ H} = = {y ∈ G | y ∈ xH} = xH ¸si se nume¸ste clasa lateralˇa la stˆanga a elementului x ˆın raport cu subgrupul H. ˆIn mod analog se define¸ste o clasˇa lateralˇa la dreapta ˆın raport cu subgrupul H: Hx = [x]ρH = {y ∈ G | yx −1 ∈ H} .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
17 / 34
Observat¸ie Mult¸imea claselor laterale la stˆanga ˆın G ˆın raport cu subgrupul H, notatˇa (G /H)s este (G /H)s := G /λH = {xH| x ∈ G } . Un sistem de reprezentant¸i T ⊆ G ai claselor laterale la stˆanga ˆın G ˆın raport cu subgrupul H se nume¸ste transversalˇa la stˆanga ˆın G ˆın raport cu H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
18 / 34
Observat¸ie Mult¸imea claselor laterale la stˆanga ˆın G ˆın raport cu subgrupul H, notatˇa (G /H)s este (G /H)s := G /λH = {xH| x ∈ G } . Un sistem de reprezentant¸i T ⊆ G ai claselor laterale la stˆanga ˆın G ˆın raport cu subgrupul H se nume¸ste transversalˇa la stˆanga ˆın G ˆın raport a la stˆ anga ˆın G ˆın raport cu cu H. Dacˇa T ⊆ G este o transversalˇ subgrupul H, atunci not
(∀)g ∈ G (∃)!t( = tg ) ∈ T : g ∈ tg H(⇐⇒ tg−1 g ∈ H) . ˆIn mod evident, |T | = |(G /H)s |.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
18 / 34
Observat¸ie Mult¸imea claselor laterale la stˆanga ˆın G ˆın raport cu subgrupul H, notatˇa (G /H)s este (G /H)s := G /λH = {xH| x ∈ G } . Un sistem de reprezentant¸i T ⊆ G ai claselor laterale la stˆanga ˆın G ˆın raport cu subgrupul H se nume¸ste transversalˇa la stˆanga ˆın G ˆın raport a la stˆ anga ˆın G ˆın raport cu cu H. Dacˇa T ⊆ G este o transversalˇ subgrupul H, atunci not
(∀)g ∈ G (∃)!t( = tg ) ∈ T : g ∈ tg H(⇐⇒ tg−1 g ∈ H) . ˆIn mod evident, |T | = |(G /H)s |.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
18 / 34
Observat¸ie Similar, mult¸imea claselor laterale la dreapta ˆın G ˆın raport cu subgrupul H, notatˇa (G /H)d este (G /H)d := G /ρH = {Hx| x ∈ G } , iar un sistem de reprezentant¸i ai claselor laterale la dreapta ˆın G ˆın raport cu subgrupul H se nume¸ste transversalˇa la dreapta ˆın G ˆın raport cu H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
19 / 34
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H ≤ G , atunci |(G /H)s | = |(G /H)d |.
Definit¸ie Cardinalul comun |(G /H)s | = |(G /H)d | al mult¸imilor claselor laterale la stˆ anga, respectiv la dreapta ˆın G ˆın raport cu subgrupul H se nume¸ste indicele subgrupului H ˆın grupul G ¸si se noteazˇa [G : H].
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
20 / 34
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H ≤ G , atunci |(G /H)s | = |(G /H)d |.
Definit¸ie Cardinalul comun |(G /H)s | = |(G /H)d | al mult¸imilor claselor laterale la stˆ anga, respectiv la dreapta ˆın G ˆın raport cu subgrupul H se nume¸ste indicele subgrupului H ˆın grupul G ¸si se noteazˇa [G : H].
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
20 / 34
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H ≤ G , atunci |xH| = |H| = |Hx| , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie (Teorema lui Lagrange) Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci |G | = [G : H] · |H| .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
21 / 34
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H ≤ G , atunci |xH| = |H| = |Hx| , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie (Teorema lui Lagrange) Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci |G | = [G : H] · |H| .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
21 / 34
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, iar H ≤ G , atunci |H| | |G | ¸si [G : H] | |G |.
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, iar a ∈ G , atunci o(a)| |G |.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
22 / 34
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, iar H ≤ G , atunci |H| | |G | ¸si [G : H] | |G |.
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, iar a ∈ G , atunci o(a)| |G |.
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, cu |G | = p, un numˇar prim, atunci G este ciclic ¸si poate fi generat de orice element netrivial al sˇau.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
22 / 34
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, iar H ≤ G , atunci |H| | |G | ¸si [G : H] | |G |.
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, iar a ∈ G , atunci o(a)| |G |.
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, cu |G | = p, un numˇar prim, atunci G este ciclic ¸si poate fi generat de orice element netrivial al sˇau.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
22 / 34
Subgrupuri normale. Grupuri factor. Morfisme de grupuri Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Subgrupul H se nume¸ste subgrup normal(sau divizor normal, sau subgrup invariant) al grupului G , ¸si notˇam H E G , dacˇa relat¸iile de congruent¸ˇa modulo H, λH ¸si ρH , coincid.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
23 / 34
Subgrupuri normale. Grupuri factor. Morfisme de grupuri Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Subgrupul H se nume¸ste subgrup normal(sau divizor normal, sau subgrup invariant) al grupului G , ¸si notˇam H E G , dacˇa relat¸iile de congruent¸ˇa modulo H, λH ¸si ρH , coincid.
Exemplu 1) ˆIn orice grup (G , ·), subgrupurile G ¸si 1 sunt normale. Dacˇa acestea sunt singurele subgrupuri normale ale lui G , grupul G se nume¸ste grup simplu.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
23 / 34
Subgrupuri normale. Grupuri factor. Morfisme de grupuri Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Subgrupul H se nume¸ste subgrup normal(sau divizor normal, sau subgrup invariant) al grupului G , ¸si notˇam H E G , dacˇa relat¸iile de congruent¸ˇa modulo H, λH ¸si ρH , coincid.
Exemplu 1) ˆIn orice grup (G , ·), subgrupurile G ¸si 1 sunt normale. Dacˇa acestea sunt singurele subgrupuri normale ale lui G , grupul G se nume¸ste grup simplu. 2) Pentru orice numˇar natural nenul n ∈ N∗ avem cˇa An E Sn .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
23 / 34
Subgrupuri normale. Grupuri factor. Morfisme de grupuri Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Subgrupul H se nume¸ste subgrup normal(sau divizor normal, sau subgrup invariant) al grupului G , ¸si notˇam H E G , dacˇa relat¸iile de congruent¸ˇa modulo H, λH ¸si ρH , coincid.
Exemplu 1) ˆIn orice grup (G , ·), subgrupurile G ¸si 1 sunt normale. Dacˇa acestea sunt singurele subgrupuri normale ale lui G , grupul G se nume¸ste grup simplu. 2) Pentru orice numˇar natural nenul n ∈ N∗ avem cˇa An E Sn .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
23 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci sunt echivalente afirmat¸iile urmˇatoare: a) H E G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
24 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci sunt echivalente afirmat¸iile urmˇatoare: a) H E G . b) x −1 hx ∈ H, (∀)x ∈ G , h ∈ H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
24 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci sunt echivalente afirmat¸iile urmˇatoare: a) H E G . b) x −1 hx ∈ H, (∀)x ∈ G , h ∈ H. c) x −1 Hx ⊆ H, (∀)x ∈ G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
24 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci sunt echivalente afirmat¸iile urmˇatoare: a) H E G . b) x −1 hx ∈ H, (∀)x ∈ G , h ∈ H. c) x −1 Hx ⊆ H, (∀)x ∈ G . d) x −1 Hx = H, (∀)x ∈ G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
24 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci sunt echivalente afirmat¸iile urmˇatoare: a) H E G . b) x −1 hx ∈ H, (∀)x ∈ G , h ∈ H. c) x −1 Hx ⊆ H, (∀)x ∈ G . d) x −1 Hx = H, (∀)x ∈ G . e) xH = Hx, (∀)x ∈ G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
24 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci sunt echivalente afirmat¸iile urmˇatoare: a) H E G . b) x −1 hx ∈ H, (∀)x ∈ G , h ∈ H. c) x −1 Hx ⊆ H, (∀)x ∈ G . d) x −1 Hx = H, (∀)x ∈ G . e) xH = Hx, (∀)x ∈ G . f) (G /H)s = (G /H)d .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
24 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci sunt echivalente afirmat¸iile urmˇatoare: a) H E G . b) x −1 hx ∈ H, (∀)x ∈ G , h ∈ H. c) x −1 Hx ⊆ H, (∀)x ∈ G . d) x −1 Hx = H, (∀)x ∈ G . e) xH = Hx, (∀)x ∈ G . f) (G /H)s = (G /H)d .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
24 / 34
Observat¸ie 1) Produsul x −1 hx se nume¸ste conjugatul(drept al) elementului h prin −1 elementul x ¸si se mai noteazˇ a hx . Conjugatul hx = xhx −1 al lui h prin x −1 se mai nume¸ste conjugatul stˆang al lui h prin x. 2) Dacˇa (G , ·) este un grup abelian, atunci orice subgrup H ≤ G este subgrup normal ˆın G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
25 / 34
Observat¸ie 1) Produsul x −1 hx se nume¸ste conjugatul(drept al) elementului h prin −1 elementul x ¸si se mai noteazˇ a hx . Conjugatul hx = xhx −1 al lui h prin x −1 se mai nume¸ste conjugatul stˆang al lui h prin x. 2) Dacˇa (G , ·) este un grup abelian, atunci orice subgrup H ≤ G este subgrup normal ˆın G . 3) T ¸ inˆand cont de proprietatea f din propozit¸ia de mai sus, pentru un subgrup normal H E G notˇ am G /H := (G /H)s = (G /H)d .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
25 / 34
Observat¸ie 1) Produsul x −1 hx se nume¸ste conjugatul(drept al) elementului h prin −1 elementul x ¸si se mai noteazˇ a hx . Conjugatul hx = xhx −1 al lui h prin x −1 se mai nume¸ste conjugatul stˆang al lui h prin x. 2) Dacˇa (G , ·) este un grup abelian, atunci orice subgrup H ≤ G este subgrup normal ˆın G . 3) T ¸ inˆand cont de proprietatea f din propozit¸ia de mai sus, pentru un subgrup normal H E G notˇ am G /H := (G /H)s = (G /H)d .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
25 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H E G . Dacˇa x, y , x 0 , y 0 ∈ G cu x λH x 0 ¸si y λH y 0 . Atunci xy λH x 0 y 0 .
Definit¸ie Din proprietatea de mai sus deducem cˇa putem defini o operat¸ie pe G /H prin · : G /H × G /H −→ G /H : (xH, yH) 7−→ xyH .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
26 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H E G . Dacˇa x, y , x 0 , y 0 ∈ G cu x λH x 0 ¸si y λH y 0 . Atunci xy λH x 0 y 0 .
Definit¸ie Din proprietatea de mai sus deducem cˇa putem defini o operat¸ie pe G /H prin · : G /H × G /H −→ G /H : (xH, yH) 7−→ xyH .
Propozit¸ie ˆIn raport cu operat¸ia definitˇa mai sus, (G /H, ·) este un grup.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
26 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H E G . Dacˇa x, y , x 0 , y 0 ∈ G cu x λH x 0 ¸si y λH y 0 . Atunci xy λH x 0 y 0 .
Definit¸ie Din proprietatea de mai sus deducem cˇa putem defini o operat¸ie pe G /H prin · : G /H × G /H −→ G /H : (xH, yH) 7−→ xyH .
Propozit¸ie ˆIn raport cu operat¸ia definitˇa mai sus, (G /H, ·) este un grup.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
26 / 34
Definit¸ie Grupul G /H definit mai sus se nume¸ste grupul factor al grupului G ˆın raport cu subgrupul sˇau normal H E G .
Definit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H E G un subgrup normal al sˇau, aplicat¸ia πH : G −→ G /H : x 7−→ xH se nume¸ste aplicat¸ia de proiect¸ie canonicˇa a grupului G pe grupul sˇau factor G /H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
27 / 34
Definit¸ie Grupul G /H definit mai sus se nume¸ste grupul factor al grupului G ˆın raport cu subgrupul sˇau normal H E G .
Definit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H E G un subgrup normal al sˇau, aplicat¸ia πH : G −→ G /H : x 7−→ xH se nume¸ste aplicat¸ia de proiect¸ie canonicˇa a grupului G pe grupul sˇau factor G /H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
27 / 34
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H E G , atunci aplicat¸ia de proiect¸ie canonicˇa πH : G −→ G /H este surjectivˇa ¸si (xy )πH = (x)πH · (y )πH
, (∀)x, y ∈ G .
Definit¸ie Fie (G , ·) ¸si (T , ) douˇa grupuri. O aplicat¸ie f : G −→ T cu proprietatea cˇa (x · y )f = (x)f (y )f
, (∀)x, y ∈ G
se nume¸ste morfism de grupuri.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
28 / 34
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H E G , atunci aplicat¸ia de proiect¸ie canonicˇa πH : G −→ G /H este surjectivˇa ¸si (xy )πH = (x)πH · (y )πH
, (∀)x, y ∈ G .
Definit¸ie Fie (G , ·) ¸si (T , ) douˇa grupuri. O aplicat¸ie f : G −→ T cu proprietatea cˇa (x · y )f = (x)f (y )f
, (∀)x, y ∈ G
se nume¸ste morfism de grupuri.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
28 / 34
Exemplu 1) Funct¸ia ln : (0, ∞) −→ R este un morfism de grupuri de la grupul (R∗+ , ·) la grupul (R, +). 2) Funct¸ia C∗ −→ R∗ : z −→ |z| este un morfism de grupuri de la grupul (C∗ , ·) la grupul (R∗ , ·).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
29 / 34
Exemplu 1) Funct¸ia ln : (0, ∞) −→ R este un morfism de grupuri de la grupul (R∗+ , ·) la grupul (R, +). 2) Funct¸ia C∗ −→ R∗ : z −→ |z| este un morfism de grupuri de la grupul (C∗ , ·) la grupul (R∗ , ·).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
29 / 34
Propozit¸ie Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci (1G )f = 1T ¸si (x −1 )f = ((x)f )−1 , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie Fie f : (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri, H ⊆ G ¸si U ⊆ T . Atunci
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
30 / 34
Propozit¸ie Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci (1G )f = 1T ¸si (x −1 )f = ((x)f )−1 , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie Fie f : (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri, H ⊆ G ¸si U ⊆ T . Atunci 1) H ≤ G =⇒ (H)f ≤ T .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
30 / 34
Propozit¸ie Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci (1G )f = 1T ¸si (x −1 )f = ((x)f )−1 , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie Fie f : (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri, H ⊆ G ¸si U ⊆ T . Atunci 1) H ≤ G =⇒ (H)f ≤ T . −1 2) U ≤ T =⇒ (U)f ≤ G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
30 / 34
Propozit¸ie Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci (1G )f = 1T ¸si (x −1 )f = ((x)f )−1 , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie Fie f 1) H 2) U 3) U
: (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri, H ⊆ G ¸si U ⊆ T . Atunci ≤ G =⇒ (H)f ≤ T . −1 ≤ T =⇒ (U)f ≤ G . −1 E T =⇒ (U)f E G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
30 / 34
Propozit¸ie Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci (1G )f = 1T ¸si (x −1 )f = ((x)f )−1 , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie Fie f : (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri, H ⊆ G ¸si U ⊆ T . Atunci 1) H ≤ G =⇒ (H)f ≤ T . −1 2) U ≤ T =⇒ (U)f ≤ G . −1 3) U E T =⇒ (U)f E G . 4) Dacˇa f este surjectivˇa ¸si H E G , atunci (H)f E T .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
30 / 34
Propozit¸ie Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci (1G )f = 1T ¸si (x −1 )f = ((x)f )−1 , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie Fie f : (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri, H ⊆ G ¸si U ⊆ T . Atunci 1) H ≤ G =⇒ (H)f ≤ T . −1 2) U ≤ T =⇒ (U)f ≤ G . −1 3) U E T =⇒ (U)f E G . 4) Dacˇa f este surjectivˇa ¸si H E G , atunci (H)f E T .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
30 / 34
Definit¸ie Fie f : (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri. Imaginea morfismului f este mult¸imea Im(f ) = (G )f = {(x)f | x ∈ G } = {y ∈ T | (∃)x ∈ G : y = (x)f } . Nucleul morfismului f este Ker (f ) = (1T )f
−1
= {x ∈ G | (x)f = 1T } .
Corolar Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci Im(f ) ≤ T ¸si Ker (f ) E G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
31 / 34
Definit¸ie Fie f : (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri. Imaginea morfismului f este mult¸imea Im(f ) = (G )f = {(x)f | x ∈ G } = {y ∈ T | (∃)x ∈ G : y = (x)f } . Nucleul morfismului f este Ker (f ) = (1T )f
−1
= {x ∈ G | (x)f = 1T } .
Corolar Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci Im(f ) ≤ T ¸si Ker (f ) E G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
31 / 34
Propozit¸ie 1) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) ¸si g : (T , ) −→ (W , ∗) sunt douˇa morfisme de grupuri, atunci f · g : (G , ·) −→ (W , ∗) este de asemenea un morfism de grupuri. 2) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism bijectiv de grupuri, atunci f −1 : (T , ) −→ (G , ·) este de asemenea un morfism bijectiv de grupuri.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
32 / 34
Propozit¸ie 1) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) ¸si g : (T , ) −→ (W , ∗) sunt douˇa morfisme de grupuri, atunci f · g : (G , ·) −→ (W , ∗) este de asemenea un morfism de grupuri. 2) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism bijectiv de grupuri, atunci f −1 : (T , ) −→ (G , ·) este de asemenea un morfism bijectiv de grupuri.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
32 / 34
Definit¸ie Un morfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ) se nume¸ste izomorfism de grupuri dacˇ a existˇa un morfism de grupuri g : (T , ) −→ (G , ·) astfel ˆıncˆ at f · g = idG ¸si g · f = idT .
Propozit¸ie Un morfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ) este un izomorfism dacˇa ¸si numai dacˇa este bijectiv.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
33 / 34
Definit¸ie Un morfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ) se nume¸ste izomorfism de grupuri dacˇ a existˇa un morfism de grupuri g : (T , ) −→ (G , ·) astfel ˆıncˆ at f · g = idG ¸si g · f = idT .
Propozit¸ie Un morfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ) este un izomorfism dacˇa ¸si numai dacˇa este bijectiv.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
33 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) ¸si (T , ) douˇa grupuri. Atunci spunem cˇ a grupul (G , ·) este izomorf cu grupul (T , ) dacˇ a existˇ a un izomorfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ). ˆIn acest caz notˇ am (G , ·) ∼ = (T , ), sau, dacˇa operat¸iile sunt subˆınt¸elese, mai simplu G ∼ = T.
Observat¸ie 1) Relat¸ia de izomorfism este o relat¸ie de echivalent¸ˇa pe clasa tuturor grupurilor.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
34 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) ¸si (T , ) douˇa grupuri. Atunci spunem cˇ a grupul (G , ·) este izomorf cu grupul (T , ) dacˇ a existˇ a un izomorfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ). ˆIn acest caz notˇ am (G , ·) ∼ = (T , ), sau, dacˇa operat¸iile sunt subˆınt¸elese, mai simplu G ∼ = T.
Observat¸ie 1) Relat¸ia de izomorfism este o relat¸ie de echivalent¸ˇa pe clasa tuturor grupurilor. 2) Dacˇa (G , ·) ∼ = (T , ), atunci |G | = |T |. Reciproca acestei implicat¸ii nu este adevˇaratˇa.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
34 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) ¸si (T , ) douˇa grupuri. Atunci spunem cˇ a grupul (G , ·) este izomorf cu grupul (T , ) dacˇ a existˇ a un izomorfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ). ˆIn acest caz notˇ am (G , ·) ∼ = (T , ), sau, dacˇa operat¸iile sunt subˆınt¸elese, mai simplu G ∼ = T.
Observat¸ie 1) Relat¸ia de izomorfism este o relat¸ie de echivalent¸ˇa pe clasa tuturor grupurilor. 2) Dacˇa (G , ·) ∼ = (T , ), atunci |G | = |T |. Reciproca acestei implicat¸ii nu este adevˇaratˇa.
Exemplu 1) |Z4 | = 4 = |V4 |, dar (Z4 , +) ∼ 6 (V4 , ·). = (V4 = {id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} este grupul lui Klein.)
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
34 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) ¸si (T , ) douˇa grupuri. Atunci spunem cˇ a grupul (G , ·) este izomorf cu grupul (T , ) dacˇ a existˇ a un izomorfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ). ˆIn acest caz notˇ am (G , ·) ∼ = (T , ), sau, dacˇa operat¸iile sunt subˆınt¸elese, mai simplu G ∼ = T.
Observat¸ie 1) Relat¸ia de izomorfism este o relat¸ie de echivalent¸ˇa pe clasa tuturor grupurilor. 2) Dacˇa (G , ·) ∼ = (T , ), atunci |G | = |T |. Reciproca acestei implicat¸ii nu este adevˇaratˇa.
Exemplu 1) |Z4 | = 4 = |V4 |, dar (Z4 , +) ∼ 6 (V4 , ·). = (V4 = {id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} este grupul lui Klein.) 2) |Z6 | = 6 = |S6 |, dar (Z6 , +) 6∼ = (S6 , ·). Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
34 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) ¸si (T , ) douˇa grupuri. Atunci spunem cˇ a grupul (G , ·) este izomorf cu grupul (T , ) dacˇ a existˇ a un izomorfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ). ˆIn acest caz notˇ am (G , ·) ∼ = (T , ), sau, dacˇa operat¸iile sunt subˆınt¸elese, mai simplu G ∼ = T.
Observat¸ie 1) Relat¸ia de izomorfism este o relat¸ie de echivalent¸ˇa pe clasa tuturor grupurilor. 2) Dacˇa (G , ·) ∼ = (T , ), atunci |G | = |T |. Reciproca acestei implicat¸ii nu este adevˇaratˇa.
Exemplu 1) |Z4 | = 4 = |V4 |, dar (Z4 , +) ∼ 6 (V4 , ·). = (V4 = {id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} este grupul lui Klein.) 2) |Z6 | = 6 = |S6 |, dar (Z6 , +) 6∼ = (S6 , ·). Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
34 / 34
Definit¸ii. Proprietˇ a¸ti imediate
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
1 / 34
Grupuri
Definit¸ii. Proprietˇ a¸ti imediate Definit¸ie Un grupoid (G , ·) se nume¸ste grup dacˇ a verificˇ a urmˇatoarele proprietˇa¸ti: 1) (∀)a, b, c ∈ G =⇒ (ab)c = a(bc); 2) (∃)u ∈ G : ua = au = a, (∀)a ∈ G ; 3) (∀)a ∈ G =⇒ (∃)a0 ∈ G : a0 a = aa0 = u.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
1 / 34
Grupuri
Definit¸ii. Proprietˇ a¸ti imediate Definit¸ie Un grupoid (G , ·) se nume¸ste grup dacˇ a verificˇ a urmˇatoarele proprietˇa¸ti: 1) (∀)a, b, c ∈ G =⇒ (ab)c = a(bc); 2) (∃)u ∈ G : ua = au = a, (∀)a ∈ G ; 3) (∀)a ∈ G =⇒ (∃)a0 ∈ G : a0 a = aa0 = u.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
1 / 34
Observat¸ie Un grup a universalˇ a (G , ·, u,0 ) de tip poate0 fidefinit ca algebrˇ · u τ= definitˇ a prin identitˇ a¸tile polinomiale 2 0 1 (xy )z = x(yz) xu = ux = x xx 0 = x 0 x = u
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
2 / 34
Propozit¸ie Un grupoid (G , ·) este grup dacˇa ¸si numai dacˇa 1) (∀)a, b, c ∈ G =⇒ (ab)c = a(bc); 20s ) (∃)u ∈ G : ua = a, (∀)a ∈ G ; 30s ) (∀)a ∈ G =⇒ (∃)a0 ∈ G : a0 a = u.
Propozit¸ie Fie (G , ·) un semigrup. Atunci (G , ·) este un grup dacˇa ¸si numai dacˇa pentru orice a, b ∈ G ecuat¸iile ax = b ¸si ya = b admit solut¸ii ˆın G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
3 / 34
Propozit¸ie Un grupoid (G , ·) este grup dacˇa ¸si numai dacˇa 1) (∀)a, b, c ∈ G =⇒ (ab)c = a(bc); 20s ) (∃)u ∈ G : ua = a, (∀)a ∈ G ; 30s ) (∀)a ∈ G =⇒ (∃)a0 ∈ G : a0 a = u.
Propozit¸ie Fie (G , ·) un semigrup. Atunci (G , ·) este un grup dacˇa ¸si numai dacˇa pentru orice a, b ∈ G ecuat¸iile ax = b ¸si ya = b admit solut¸ii ˆın G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
3 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si a, b ∈ G . Atunci (a−1 )−1 = a ¸si (ab)−1 = b −1 a−1 .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
4 / 34
Propozit¸ie Fie (M, ·, u) un monoid ¸si U(M) = {x ∈ M|(∃)y ∈ M : xy = yx = u} mult¸imea elementelor inversabile ale monoidului M. Atunci U(M) este un submonoid al lui M ¸si (U(M), ·) este un grup.
Exemplu Fie X o mult¸ime nevidˇa ¸si (X X , ◦) monoidul funct¸iilor f : X −→ X . Atunci U(X X ) = SX este grupul simetric al mult¸imii X.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
5 / 34
Propozit¸ie Fie (M, ·, u) un monoid ¸si U(M) = {x ∈ M|(∃)y ∈ M : xy = yx = u} mult¸imea elementelor inversabile ale monoidului M. Atunci U(M) este un submonoid al lui M ¸si (U(M), ·) este un grup.
Exemplu Fie X o mult¸ime nevidˇa ¸si (X X , ◦) monoidul funct¸iilor f : X −→ X . Atunci U(X X ) = SX este grupul simetric al mult¸imii X.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
5 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si a ∈ G . Puterile ˆıntregi ale elementului a sunt n , k = n ∈ N; a 1 , k = 0; ak = −1 n (a ) , k = −n, n ∈ N∗ .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup, a ∈ G , iar k, l ∈ Z. Atunci ak · al = ak+l ¸si (ak )l = akl .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
6 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si a ∈ G . Puterile ˆıntregi ale elementului a sunt n , k = n ∈ N; a 1 , k = 0; ak = −1 n (a ) , k = −n, n ∈ N∗ .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup, a ∈ G , iar k, l ∈ Z. Atunci ak · al = ak+l ¸si (ak )l = akl .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
6 / 34
Subgrupuri. Ordinul unui element
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. H se nume¸ste subgrup al grupului G , ¸si notˇam H ≤ G , dacˇa: 1) (∀)x, y ∈ H =⇒ x · y ∈ H; 2) (∀)x ∈ H =⇒ x −1 ∈ H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
7 / 34
Subgrupuri. Ordinul unui element
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. H se nume¸ste subgrup al grupului G , ¸si notˇam H ≤ G , dacˇa: 1) (∀)x, y ∈ H =⇒ x · y ∈ H; 2) (∀)x ∈ H =⇒ x −1 ∈ H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
7 / 34
Exemplu 1) Pentru orice grup (G , ·) avem cˇ a G ≤ G . Orice subgrup H ≤ G , cu proprietatea cˇa H 6= G , se nume¸ste subgrup propriu al grupului G . 2) Pentru orice grup (G , ·) avem cˇ a {1} ≤ G . Acest subgrup se nume¸ste subgrupul trivial al grupului G ¸si este notat cu 1(ˆIn general se poate deduce u¸sor din context dacˇ a ne referim la elementul neutru 1 sau la subgrupul trivial 1). Orice subgrup H ≤ G , cu proprietatea cˇa H 6= 1 se nume¸ste subgrup netrivial al lui G . De asemenea, orice element g ∈ G \ {1} se nume¸ste element netrivial al lui G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
8 / 34
Exemplu 1) Pentru orice grup (G , ·) avem cˇ a G ≤ G . Orice subgrup H ≤ G , cu proprietatea cˇa H 6= G , se nume¸ste subgrup propriu al grupului G . 2) Pentru orice grup (G , ·) avem cˇ a {1} ≤ G . Acest subgrup se nume¸ste subgrupul trivial al grupului G ¸si este notat cu 1(ˆIn general se poate deduce u¸sor din context dacˇ a ne referim la elementul neutru 1 sau la subgrupul trivial 1). Orice subgrup H ≤ G , cu proprietatea cˇa H 6= 1 se nume¸ste subgrup netrivial al lui G . De asemenea, orice element g ∈ G \ {1} se nume¸ste element netrivial al lui G . 3) Dacˇa n ∈ N∗ este un numˇ ar natural nenul, atunci mult¸imea An a permutˇarilor pare de grad n formeazˇ a un subgrup al grupului simetric de grad n, numit grupul altern de grad n.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
8 / 34
Exemplu 1) Pentru orice grup (G , ·) avem cˇ a G ≤ G . Orice subgrup H ≤ G , cu proprietatea cˇa H 6= G , se nume¸ste subgrup propriu al grupului G . 2) Pentru orice grup (G , ·) avem cˇ a {1} ≤ G . Acest subgrup se nume¸ste subgrupul trivial al grupului G ¸si este notat cu 1(ˆIn general se poate deduce u¸sor din context dacˇ a ne referim la elementul neutru 1 sau la subgrupul trivial 1). Orice subgrup H ≤ G , cu proprietatea cˇa H 6= 1 se nume¸ste subgrup netrivial al lui G . De asemenea, orice element g ∈ G \ {1} se nume¸ste element netrivial al lui G . 3) Dacˇa n ∈ N∗ este un numˇ ar natural nenul, atunci mult¸imea An a permutˇarilor pare de grad n formeazˇ a un subgrup al grupului simetric de grad n, numit grupul altern de grad n.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
8 / 34
Observat¸ie 1) Dacˇa H ≤ G , atunci (∀)x ∈ H =⇒ x −1 ∈ H =⇒ 1 = x · x −1 ∈ H . 2) Un subgrup al unui grup poate fi definit ca subalgebrˇa a algebrei universale (G , ·, 1,−1 ).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
9 / 34
Observat¸ie 1) Dacˇa H ≤ G , atunci (∀)x ∈ H =⇒ x −1 ∈ H =⇒ 1 = x · x −1 ∈ H . 2) Un subgrup al unui grup poate fi definit ca subalgebrˇa a algebrei universale (G , ·, 1,−1 ).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
9 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. Atunci H ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa (∀)x, y ∈ H =⇒ x · y −1 ∈ H.
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. Atunci H ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa H · H = H ¸si H −1 = H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
10 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. Atunci H ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa (∀)x, y ∈ H =⇒ x · y −1 ∈ H.
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. Atunci H ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa H · H = H ¸si H −1 = H.
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H, K ≤ G . Atunci HK ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa HK = KH.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
10 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. Atunci H ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa (∀)x, y ∈ H =⇒ x · y −1 ∈ H.
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ⊆ G , H 6= ∅. Atunci H ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa H · H = H ¸si H −1 = H.
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H, K ≤ G . Atunci HK ≤ G dacˇa ¸si numai dacˇa HK = KH.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
10 / 34
Propozit¸ie Fie {Hi }i∈I o familie de subgrupuri ale unui grup G. Atunci
T
Hi ≤ G .
i∈I
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si M ⊆ G . Subgrupul lui G generat de M este \ hMi := H. M⊆H≤G
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
11 / 34
Propozit¸ie Fie {Hi }i∈I o familie de subgrupuri ale unui grup G. Atunci
T
Hi ≤ G .
i∈I
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si M ⊆ G . Subgrupul lui G generat de M este \ hMi := H. M⊆H≤G
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup ¸si M ⊆ G , atunci hMi = {x1k1 · x2k2 · · · · · xnkn | n ∈ N, xi ∈ M, ki ∈ Z}.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
11 / 34
Propozit¸ie Fie {Hi }i∈I o familie de subgrupuri ale unui grup G. Atunci
T
Hi ≤ G .
i∈I
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si M ⊆ G . Subgrupul lui G generat de M este \ hMi := H. M⊆H≤G
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup ¸si M ⊆ G , atunci hMi = {x1k1 · x2k2 · · · · · xnkn | n ∈ N, xi ∈ M, ki ∈ Z}.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
11 / 34
Notat¸ie Dacˇa M = {a1 , a2 , . . . , al }, scriem ha1 , a2 , . . . , al i ˆın loc de hMi sau h{a1 , a2 , . . . , al }i.
Definit¸ie Un grup G se nume¸ste finit generat dacˇ a existˇ a elemente a1 , a2 , . . . , al ∈ G astfel ˆıncˆ at G = ha1 , a2 , . . . , al i.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
12 / 34
Notat¸ie Dacˇa M = {a1 , a2 , . . . , al }, scriem ha1 , a2 , . . . , al i ˆın loc de hMi sau h{a1 , a2 , . . . , al }i.
Definit¸ie Un grup G se nume¸ste finit generat dacˇ a existˇ a elemente a1 , a2 , . . . , al ∈ G astfel ˆıncˆ at G = ha1 , a2 , . . . , al i.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
12 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si a ∈ G . Subgrupul ciclic generat de a este hai. G se nume¸ste grup ciclic dacˇa existˇ a a ∈ G astfel ˆıncˆ at G = hai.
Observat¸ie T ¸ inˆ and cont de teorema de caracterizare a elementelor subgrupului generat de o mult¸ime, avem cˇ a hai = {ak | k ∈ Z} .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
13 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si a ∈ G . Subgrupul ciclic generat de a este hai. G se nume¸ste grup ciclic dacˇa existˇ a a ∈ G astfel ˆıncˆ at G = hai.
Observat¸ie T ¸ inˆ and cont de teorema de caracterizare a elementelor subgrupului generat de o mult¸ime, avem cˇ a hai = {ak | k ∈ Z} .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
13 / 34
Definit¸ie Ordinul unui grup (G , ·) este cardinalul |G |. Ordinul unui element a ∈ G , notat o(a) sau |a|, este ordinul subgrupului ciclic generat de elementul a: o(a) = |hai| .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
14 / 34
Definit¸ie Ordinul unui grup (G , ·) este cardinalul |G |. Ordinul unui element a ∈ G , notat o(a) sau |a|, este ordinul subgrupului ciclic generat de elementul a: o(a) = |hai| .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si a ∈ G . Atunci o(a) = inf {k ∈ N∗ | ak = 1} .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
14 / 34
Definit¸ie Ordinul unui grup (G , ·) este cardinalul |G |. Ordinul unui element a ∈ G , notat o(a) sau |a|, este ordinul subgrupului ciclic generat de elementul a: o(a) = |hai| .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si a ∈ G . Atunci o(a) = inf {k ∈ N∗ | ak = 1} .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
14 / 34
Observat¸ie ˆIn cazul o(a) < ∞ este utilˇ a ¸si urmˇ atoarea caracterizare aritmeticˇa a ordinului: n a =1 o(a) = n ⇐⇒ ⇐⇒ (∀)k ∈ Z : ak = 1 =⇒ n|k ⇐⇒ (∀)k ∈ Z[ak = 1 ⇐⇒ n|k] .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
15 / 34
Clase laterale. Teorema lui Lagrange
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Pe G putem defini atunci relat¸ia λH de congruent¸ˇa la stˆanga modulo H ¸si relat¸ia ρH de congruent¸ˇa la dreapta modulo H prin x λH y ⇐⇒ y −1 x ∈ H , x ρH y ⇐⇒ xy −1 ∈ H .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
16 / 34
Clase laterale. Teorema lui Lagrange
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Pe G putem defini atunci relat¸ia λH de congruent¸ˇa la stˆanga modulo H ¸si relat¸ia ρH de congruent¸ˇa la dreapta modulo H prin x λH y ⇐⇒ y −1 x ∈ H , x ρH y ⇐⇒ xy −1 ∈ H .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Relat¸iile de congruent¸ˇa modulo H sunt relat¸ii de echivalent¸ˇa pe G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
16 / 34
Clase laterale. Teorema lui Lagrange
Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Pe G putem defini atunci relat¸ia λH de congruent¸ˇa la stˆanga modulo H ¸si relat¸ia ρH de congruent¸ˇa la dreapta modulo H prin x λH y ⇐⇒ y −1 x ∈ H , x ρH y ⇐⇒ xy −1 ∈ H .
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Relat¸iile de congruent¸ˇa modulo H sunt relat¸ii de echivalent¸ˇa pe G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
16 / 34
Observat¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Clasa de echivalent¸ˇ a a unui element x ∈ G ˆın raport cu relat¸ia λH de congruent¸ˇ a la stˆ anga modulo H este datˇa de [x]λH = {y ∈ G | x λH y } = {y ∈ G | x −1 y ∈ H} = = {y ∈ G | y ∈ xH} = xH ¸si se nume¸ste clasa lateralˇa la stˆanga a elementului x ˆın raport cu subgrupul H. ˆIn mod analog se define¸ste o clasˇa lateralˇa la dreapta ˆın raport cu subgrupul H: Hx = [x]ρH = {y ∈ G | yx −1 ∈ H} .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
17 / 34
Observat¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Clasa de echivalent¸ˇ a a unui element x ∈ G ˆın raport cu relat¸ia λH de congruent¸ˇ a la stˆ anga modulo H este datˇa de [x]λH = {y ∈ G | x λH y } = {y ∈ G | x −1 y ∈ H} = = {y ∈ G | y ∈ xH} = xH ¸si se nume¸ste clasa lateralˇa la stˆanga a elementului x ˆın raport cu subgrupul H. ˆIn mod analog se define¸ste o clasˇa lateralˇa la dreapta ˆın raport cu subgrupul H: Hx = [x]ρH = {y ∈ G | yx −1 ∈ H} .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
17 / 34
Observat¸ie Mult¸imea claselor laterale la stˆanga ˆın G ˆın raport cu subgrupul H, notatˇa (G /H)s este (G /H)s := G /λH = {xH| x ∈ G } . Un sistem de reprezentant¸i T ⊆ G ai claselor laterale la stˆanga ˆın G ˆın raport cu subgrupul H se nume¸ste transversalˇa la stˆanga ˆın G ˆın raport cu H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
18 / 34
Observat¸ie Mult¸imea claselor laterale la stˆanga ˆın G ˆın raport cu subgrupul H, notatˇa (G /H)s este (G /H)s := G /λH = {xH| x ∈ G } . Un sistem de reprezentant¸i T ⊆ G ai claselor laterale la stˆanga ˆın G ˆın raport cu subgrupul H se nume¸ste transversalˇa la stˆanga ˆın G ˆın raport a la stˆ anga ˆın G ˆın raport cu cu H. Dacˇa T ⊆ G este o transversalˇ subgrupul H, atunci not
(∀)g ∈ G (∃)!t( = tg ) ∈ T : g ∈ tg H(⇐⇒ tg−1 g ∈ H) . ˆIn mod evident, |T | = |(G /H)s |.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
18 / 34
Observat¸ie Mult¸imea claselor laterale la stˆanga ˆın G ˆın raport cu subgrupul H, notatˇa (G /H)s este (G /H)s := G /λH = {xH| x ∈ G } . Un sistem de reprezentant¸i T ⊆ G ai claselor laterale la stˆanga ˆın G ˆın raport cu subgrupul H se nume¸ste transversalˇa la stˆanga ˆın G ˆın raport a la stˆ anga ˆın G ˆın raport cu cu H. Dacˇa T ⊆ G este o transversalˇ subgrupul H, atunci not
(∀)g ∈ G (∃)!t( = tg ) ∈ T : g ∈ tg H(⇐⇒ tg−1 g ∈ H) . ˆIn mod evident, |T | = |(G /H)s |.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
18 / 34
Observat¸ie Similar, mult¸imea claselor laterale la dreapta ˆın G ˆın raport cu subgrupul H, notatˇa (G /H)d este (G /H)d := G /ρH = {Hx| x ∈ G } , iar un sistem de reprezentant¸i ai claselor laterale la dreapta ˆın G ˆın raport cu subgrupul H se nume¸ste transversalˇa la dreapta ˆın G ˆın raport cu H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
19 / 34
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H ≤ G , atunci |(G /H)s | = |(G /H)d |.
Definit¸ie Cardinalul comun |(G /H)s | = |(G /H)d | al mult¸imilor claselor laterale la stˆ anga, respectiv la dreapta ˆın G ˆın raport cu subgrupul H se nume¸ste indicele subgrupului H ˆın grupul G ¸si se noteazˇa [G : H].
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
20 / 34
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H ≤ G , atunci |(G /H)s | = |(G /H)d |.
Definit¸ie Cardinalul comun |(G /H)s | = |(G /H)d | al mult¸imilor claselor laterale la stˆ anga, respectiv la dreapta ˆın G ˆın raport cu subgrupul H se nume¸ste indicele subgrupului H ˆın grupul G ¸si se noteazˇa [G : H].
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
20 / 34
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H ≤ G , atunci |xH| = |H| = |Hx| , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie (Teorema lui Lagrange) Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci |G | = [G : H] · |H| .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
21 / 34
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H ≤ G , atunci |xH| = |H| = |Hx| , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie (Teorema lui Lagrange) Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci |G | = [G : H] · |H| .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
21 / 34
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, iar H ≤ G , atunci |H| | |G | ¸si [G : H] | |G |.
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, iar a ∈ G , atunci o(a)| |G |.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
22 / 34
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, iar H ≤ G , atunci |H| | |G | ¸si [G : H] | |G |.
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, iar a ∈ G , atunci o(a)| |G |.
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, cu |G | = p, un numˇar prim, atunci G este ciclic ¸si poate fi generat de orice element netrivial al sˇau.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
22 / 34
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, iar H ≤ G , atunci |H| | |G | ¸si [G : H] | |G |.
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, iar a ∈ G , atunci o(a)| |G |.
Corolar Dacˇa (G , ·) este un grup finit, cu |G | = p, un numˇar prim, atunci G este ciclic ¸si poate fi generat de orice element netrivial al sˇau.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
22 / 34
Subgrupuri normale. Grupuri factor. Morfisme de grupuri Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Subgrupul H se nume¸ste subgrup normal(sau divizor normal, sau subgrup invariant) al grupului G , ¸si notˇam H E G , dacˇa relat¸iile de congruent¸ˇa modulo H, λH ¸si ρH , coincid.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
23 / 34
Subgrupuri normale. Grupuri factor. Morfisme de grupuri Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Subgrupul H se nume¸ste subgrup normal(sau divizor normal, sau subgrup invariant) al grupului G , ¸si notˇam H E G , dacˇa relat¸iile de congruent¸ˇa modulo H, λH ¸si ρH , coincid.
Exemplu 1) ˆIn orice grup (G , ·), subgrupurile G ¸si 1 sunt normale. Dacˇa acestea sunt singurele subgrupuri normale ale lui G , grupul G se nume¸ste grup simplu.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
23 / 34
Subgrupuri normale. Grupuri factor. Morfisme de grupuri Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Subgrupul H se nume¸ste subgrup normal(sau divizor normal, sau subgrup invariant) al grupului G , ¸si notˇam H E G , dacˇa relat¸iile de congruent¸ˇa modulo H, λH ¸si ρH , coincid.
Exemplu 1) ˆIn orice grup (G , ·), subgrupurile G ¸si 1 sunt normale. Dacˇa acestea sunt singurele subgrupuri normale ale lui G , grupul G se nume¸ste grup simplu. 2) Pentru orice numˇar natural nenul n ∈ N∗ avem cˇa An E Sn .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
23 / 34
Subgrupuri normale. Grupuri factor. Morfisme de grupuri Definit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Subgrupul H se nume¸ste subgrup normal(sau divizor normal, sau subgrup invariant) al grupului G , ¸si notˇam H E G , dacˇa relat¸iile de congruent¸ˇa modulo H, λH ¸si ρH , coincid.
Exemplu 1) ˆIn orice grup (G , ·), subgrupurile G ¸si 1 sunt normale. Dacˇa acestea sunt singurele subgrupuri normale ale lui G , grupul G se nume¸ste grup simplu. 2) Pentru orice numˇar natural nenul n ∈ N∗ avem cˇa An E Sn .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
23 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci sunt echivalente afirmat¸iile urmˇatoare: a) H E G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
24 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci sunt echivalente afirmat¸iile urmˇatoare: a) H E G . b) x −1 hx ∈ H, (∀)x ∈ G , h ∈ H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
24 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci sunt echivalente afirmat¸iile urmˇatoare: a) H E G . b) x −1 hx ∈ H, (∀)x ∈ G , h ∈ H. c) x −1 Hx ⊆ H, (∀)x ∈ G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
24 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci sunt echivalente afirmat¸iile urmˇatoare: a) H E G . b) x −1 hx ∈ H, (∀)x ∈ G , h ∈ H. c) x −1 Hx ⊆ H, (∀)x ∈ G . d) x −1 Hx = H, (∀)x ∈ G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
24 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci sunt echivalente afirmat¸iile urmˇatoare: a) H E G . b) x −1 hx ∈ H, (∀)x ∈ G , h ∈ H. c) x −1 Hx ⊆ H, (∀)x ∈ G . d) x −1 Hx = H, (∀)x ∈ G . e) xH = Hx, (∀)x ∈ G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
24 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci sunt echivalente afirmat¸iile urmˇatoare: a) H E G . b) x −1 hx ∈ H, (∀)x ∈ G , h ∈ H. c) x −1 Hx ⊆ H, (∀)x ∈ G . d) x −1 Hx = H, (∀)x ∈ G . e) xH = Hx, (∀)x ∈ G . f) (G /H)s = (G /H)d .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
24 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H ≤ G . Atunci sunt echivalente afirmat¸iile urmˇatoare: a) H E G . b) x −1 hx ∈ H, (∀)x ∈ G , h ∈ H. c) x −1 Hx ⊆ H, (∀)x ∈ G . d) x −1 Hx = H, (∀)x ∈ G . e) xH = Hx, (∀)x ∈ G . f) (G /H)s = (G /H)d .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
24 / 34
Observat¸ie 1) Produsul x −1 hx se nume¸ste conjugatul(drept al) elementului h prin −1 elementul x ¸si se mai noteazˇ a hx . Conjugatul hx = xhx −1 al lui h prin x −1 se mai nume¸ste conjugatul stˆang al lui h prin x. 2) Dacˇa (G , ·) este un grup abelian, atunci orice subgrup H ≤ G este subgrup normal ˆın G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
25 / 34
Observat¸ie 1) Produsul x −1 hx se nume¸ste conjugatul(drept al) elementului h prin −1 elementul x ¸si se mai noteazˇ a hx . Conjugatul hx = xhx −1 al lui h prin x −1 se mai nume¸ste conjugatul stˆang al lui h prin x. 2) Dacˇa (G , ·) este un grup abelian, atunci orice subgrup H ≤ G este subgrup normal ˆın G . 3) T ¸ inˆand cont de proprietatea f din propozit¸ia de mai sus, pentru un subgrup normal H E G notˇ am G /H := (G /H)s = (G /H)d .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
25 / 34
Observat¸ie 1) Produsul x −1 hx se nume¸ste conjugatul(drept al) elementului h prin −1 elementul x ¸si se mai noteazˇ a hx . Conjugatul hx = xhx −1 al lui h prin x −1 se mai nume¸ste conjugatul stˆang al lui h prin x. 2) Dacˇa (G , ·) este un grup abelian, atunci orice subgrup H ≤ G este subgrup normal ˆın G . 3) T ¸ inˆand cont de proprietatea f din propozit¸ia de mai sus, pentru un subgrup normal H E G notˇ am G /H := (G /H)s = (G /H)d .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
25 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H E G . Dacˇa x, y , x 0 , y 0 ∈ G cu x λH x 0 ¸si y λH y 0 . Atunci xy λH x 0 y 0 .
Definit¸ie Din proprietatea de mai sus deducem cˇa putem defini o operat¸ie pe G /H prin · : G /H × G /H −→ G /H : (xH, yH) 7−→ xyH .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
26 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H E G . Dacˇa x, y , x 0 , y 0 ∈ G cu x λH x 0 ¸si y λH y 0 . Atunci xy λH x 0 y 0 .
Definit¸ie Din proprietatea de mai sus deducem cˇa putem defini o operat¸ie pe G /H prin · : G /H × G /H −→ G /H : (xH, yH) 7−→ xyH .
Propozit¸ie ˆIn raport cu operat¸ia definitˇa mai sus, (G /H, ·) este un grup.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
26 / 34
Propozit¸ie Fie (G , ·) un grup ¸si H E G . Dacˇa x, y , x 0 , y 0 ∈ G cu x λH x 0 ¸si y λH y 0 . Atunci xy λH x 0 y 0 .
Definit¸ie Din proprietatea de mai sus deducem cˇa putem defini o operat¸ie pe G /H prin · : G /H × G /H −→ G /H : (xH, yH) 7−→ xyH .
Propozit¸ie ˆIn raport cu operat¸ia definitˇa mai sus, (G /H, ·) este un grup.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
26 / 34
Definit¸ie Grupul G /H definit mai sus se nume¸ste grupul factor al grupului G ˆın raport cu subgrupul sˇau normal H E G .
Definit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H E G un subgrup normal al sˇau, aplicat¸ia πH : G −→ G /H : x 7−→ xH se nume¸ste aplicat¸ia de proiect¸ie canonicˇa a grupului G pe grupul sˇau factor G /H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
27 / 34
Definit¸ie Grupul G /H definit mai sus se nume¸ste grupul factor al grupului G ˆın raport cu subgrupul sˇau normal H E G .
Definit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H E G un subgrup normal al sˇau, aplicat¸ia πH : G −→ G /H : x 7−→ xH se nume¸ste aplicat¸ia de proiect¸ie canonicˇa a grupului G pe grupul sˇau factor G /H.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
27 / 34
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H E G , atunci aplicat¸ia de proiect¸ie canonicˇa πH : G −→ G /H este surjectivˇa ¸si (xy )πH = (x)πH · (y )πH
, (∀)x, y ∈ G .
Definit¸ie Fie (G , ·) ¸si (T , ) douˇa grupuri. O aplicat¸ie f : G −→ T cu proprietatea cˇa (x · y )f = (x)f (y )f
, (∀)x, y ∈ G
se nume¸ste morfism de grupuri.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
28 / 34
Propozit¸ie Dacˇa (G , ·) este un grup, iar H E G , atunci aplicat¸ia de proiect¸ie canonicˇa πH : G −→ G /H este surjectivˇa ¸si (xy )πH = (x)πH · (y )πH
, (∀)x, y ∈ G .
Definit¸ie Fie (G , ·) ¸si (T , ) douˇa grupuri. O aplicat¸ie f : G −→ T cu proprietatea cˇa (x · y )f = (x)f (y )f
, (∀)x, y ∈ G
se nume¸ste morfism de grupuri.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
28 / 34
Exemplu 1) Funct¸ia ln : (0, ∞) −→ R este un morfism de grupuri de la grupul (R∗+ , ·) la grupul (R, +). 2) Funct¸ia C∗ −→ R∗ : z −→ |z| este un morfism de grupuri de la grupul (C∗ , ·) la grupul (R∗ , ·).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
29 / 34
Exemplu 1) Funct¸ia ln : (0, ∞) −→ R este un morfism de grupuri de la grupul (R∗+ , ·) la grupul (R, +). 2) Funct¸ia C∗ −→ R∗ : z −→ |z| este un morfism de grupuri de la grupul (C∗ , ·) la grupul (R∗ , ·).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
29 / 34
Propozit¸ie Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci (1G )f = 1T ¸si (x −1 )f = ((x)f )−1 , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie Fie f : (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri, H ⊆ G ¸si U ⊆ T . Atunci
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
30 / 34
Propozit¸ie Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci (1G )f = 1T ¸si (x −1 )f = ((x)f )−1 , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie Fie f : (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri, H ⊆ G ¸si U ⊆ T . Atunci 1) H ≤ G =⇒ (H)f ≤ T .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
30 / 34
Propozit¸ie Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci (1G )f = 1T ¸si (x −1 )f = ((x)f )−1 , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie Fie f : (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri, H ⊆ G ¸si U ⊆ T . Atunci 1) H ≤ G =⇒ (H)f ≤ T . −1 2) U ≤ T =⇒ (U)f ≤ G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
30 / 34
Propozit¸ie Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci (1G )f = 1T ¸si (x −1 )f = ((x)f )−1 , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie Fie f 1) H 2) U 3) U
: (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri, H ⊆ G ¸si U ⊆ T . Atunci ≤ G =⇒ (H)f ≤ T . −1 ≤ T =⇒ (U)f ≤ G . −1 E T =⇒ (U)f E G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
30 / 34
Propozit¸ie Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci (1G )f = 1T ¸si (x −1 )f = ((x)f )−1 , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie Fie f : (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri, H ⊆ G ¸si U ⊆ T . Atunci 1) H ≤ G =⇒ (H)f ≤ T . −1 2) U ≤ T =⇒ (U)f ≤ G . −1 3) U E T =⇒ (U)f E G . 4) Dacˇa f este surjectivˇa ¸si H E G , atunci (H)f E T .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
30 / 34
Propozit¸ie Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci (1G )f = 1T ¸si (x −1 )f = ((x)f )−1 , (∀)x ∈ G .
Propozit¸ie Fie f : (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri, H ⊆ G ¸si U ⊆ T . Atunci 1) H ≤ G =⇒ (H)f ≤ T . −1 2) U ≤ T =⇒ (U)f ≤ G . −1 3) U E T =⇒ (U)f E G . 4) Dacˇa f este surjectivˇa ¸si H E G , atunci (H)f E T .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
30 / 34
Definit¸ie Fie f : (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri. Imaginea morfismului f este mult¸imea Im(f ) = (G )f = {(x)f | x ∈ G } = {y ∈ T | (∃)x ∈ G : y = (x)f } . Nucleul morfismului f este Ker (f ) = (1T )f
−1
= {x ∈ G | (x)f = 1T } .
Corolar Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci Im(f ) ≤ T ¸si Ker (f ) E G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
31 / 34
Definit¸ie Fie f : (G , ·) −→ (T , ) un morfism de grupuri. Imaginea morfismului f este mult¸imea Im(f ) = (G )f = {(x)f | x ∈ G } = {y ∈ T | (∃)x ∈ G : y = (x)f } . Nucleul morfismului f este Ker (f ) = (1T )f
−1
= {x ∈ G | (x)f = 1T } .
Corolar Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism de grupuri, atunci Im(f ) ≤ T ¸si Ker (f ) E G .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
31 / 34
Propozit¸ie 1) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) ¸si g : (T , ) −→ (W , ∗) sunt douˇa morfisme de grupuri, atunci f · g : (G , ·) −→ (W , ∗) este de asemenea un morfism de grupuri. 2) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism bijectiv de grupuri, atunci f −1 : (T , ) −→ (G , ·) este de asemenea un morfism bijectiv de grupuri.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
32 / 34
Propozit¸ie 1) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) ¸si g : (T , ) −→ (W , ∗) sunt douˇa morfisme de grupuri, atunci f · g : (G , ·) −→ (W , ∗) este de asemenea un morfism de grupuri. 2) Dacˇa f : (G , ·) −→ (T , ) este un morfism bijectiv de grupuri, atunci f −1 : (T , ) −→ (G , ·) este de asemenea un morfism bijectiv de grupuri.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
32 / 34
Definit¸ie Un morfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ) se nume¸ste izomorfism de grupuri dacˇ a existˇa un morfism de grupuri g : (T , ) −→ (G , ·) astfel ˆıncˆ at f · g = idG ¸si g · f = idT .
Propozit¸ie Un morfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ) este un izomorfism dacˇa ¸si numai dacˇa este bijectiv.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
33 / 34
Definit¸ie Un morfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ) se nume¸ste izomorfism de grupuri dacˇ a existˇa un morfism de grupuri g : (T , ) −→ (G , ·) astfel ˆıncˆ at f · g = idG ¸si g · f = idT .
Propozit¸ie Un morfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ) este un izomorfism dacˇa ¸si numai dacˇa este bijectiv.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
33 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) ¸si (T , ) douˇa grupuri. Atunci spunem cˇ a grupul (G , ·) este izomorf cu grupul (T , ) dacˇ a existˇ a un izomorfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ). ˆIn acest caz notˇ am (G , ·) ∼ = (T , ), sau, dacˇa operat¸iile sunt subˆınt¸elese, mai simplu G ∼ = T.
Observat¸ie 1) Relat¸ia de izomorfism este o relat¸ie de echivalent¸ˇa pe clasa tuturor grupurilor.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
34 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) ¸si (T , ) douˇa grupuri. Atunci spunem cˇ a grupul (G , ·) este izomorf cu grupul (T , ) dacˇ a existˇ a un izomorfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ). ˆIn acest caz notˇ am (G , ·) ∼ = (T , ), sau, dacˇa operat¸iile sunt subˆınt¸elese, mai simplu G ∼ = T.
Observat¸ie 1) Relat¸ia de izomorfism este o relat¸ie de echivalent¸ˇa pe clasa tuturor grupurilor. 2) Dacˇa (G , ·) ∼ = (T , ), atunci |G | = |T |. Reciproca acestei implicat¸ii nu este adevˇaratˇa.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
34 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) ¸si (T , ) douˇa grupuri. Atunci spunem cˇ a grupul (G , ·) este izomorf cu grupul (T , ) dacˇ a existˇ a un izomorfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ). ˆIn acest caz notˇ am (G , ·) ∼ = (T , ), sau, dacˇa operat¸iile sunt subˆınt¸elese, mai simplu G ∼ = T.
Observat¸ie 1) Relat¸ia de izomorfism este o relat¸ie de echivalent¸ˇa pe clasa tuturor grupurilor. 2) Dacˇa (G , ·) ∼ = (T , ), atunci |G | = |T |. Reciproca acestei implicat¸ii nu este adevˇaratˇa.
Exemplu 1) |Z4 | = 4 = |V4 |, dar (Z4 , +) ∼ 6 (V4 , ·). = (V4 = {id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} este grupul lui Klein.)
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
34 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) ¸si (T , ) douˇa grupuri. Atunci spunem cˇ a grupul (G , ·) este izomorf cu grupul (T , ) dacˇ a existˇ a un izomorfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ). ˆIn acest caz notˇ am (G , ·) ∼ = (T , ), sau, dacˇa operat¸iile sunt subˆınt¸elese, mai simplu G ∼ = T.
Observat¸ie 1) Relat¸ia de izomorfism este o relat¸ie de echivalent¸ˇa pe clasa tuturor grupurilor. 2) Dacˇa (G , ·) ∼ = (T , ), atunci |G | = |T |. Reciproca acestei implicat¸ii nu este adevˇaratˇa.
Exemplu 1) |Z4 | = 4 = |V4 |, dar (Z4 , +) ∼ 6 (V4 , ·). = (V4 = {id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} este grupul lui Klein.) 2) |Z6 | = 6 = |S6 |, dar (Z6 , +) 6∼ = (S6 , ·). Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
34 / 34
Definit¸ie Fie (G , ·) ¸si (T , ) douˇa grupuri. Atunci spunem cˇ a grupul (G , ·) este izomorf cu grupul (T , ) dacˇ a existˇ a un izomorfism de grupuri f : (G , ·) −→ (T , ). ˆIn acest caz notˇ am (G , ·) ∼ = (T , ), sau, dacˇa operat¸iile sunt subˆınt¸elese, mai simplu G ∼ = T.
Observat¸ie 1) Relat¸ia de izomorfism este o relat¸ie de echivalent¸ˇa pe clasa tuturor grupurilor. 2) Dacˇa (G , ·) ∼ = (T , ), atunci |G | = |T |. Reciproca acestei implicat¸ii nu este adevˇaratˇa.
Exemplu 1) |Z4 | = 4 = |V4 |, dar (Z4 , +) ∼ 6 (V4 , ·). = (V4 = {id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} este grupul lui Klein.) 2) |Z6 | = 6 = |S6 |, dar (Z6 , +) 6∼ = (S6 , ·). Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 4
2009
34 / 34
