Curs 2
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Curs 2 as PDF for free.
More details
- Words: 3,772
- Pages: 39
Operat¸ii n−are pe o mult¸ime. Algebre universale
Definit¸ie Fie A o mult¸ime oarecare ¸si n ∈ N. O aplicat¸ie ω : An −→ A se nume¸ste operat¸ie n-arˇa pe mult¸imea A. Numˇ arul n se nume¸ste aritatea sau tipul operat¸iei ω.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
1 / 20
Operat¸ii n−are pe o mult¸ime. Algebre universale
Definit¸ie Fie A o mult¸ime oarecare ¸si n ∈ N. O aplicat¸ie ω : An −→ A se nume¸ste operat¸ie n-arˇa pe mult¸imea A. Numˇ arul n se nume¸ste aritatea sau tipul operat¸iei ω. Dacˇa B ⊆ An , o aplicat¸ie ω : B −→ A se nume¸ste operat¸ie n-arˇa part¸ialˇa pe mult¸imea A, cu domeniul B.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
1 / 20
Operat¸ii n−are pe o mult¸ime. Algebre universale
Definit¸ie Fie A o mult¸ime oarecare ¸si n ∈ N. O aplicat¸ie ω : An −→ A se nume¸ste operat¸ie n-arˇa pe mult¸imea A. Numˇ arul n se nume¸ste aritatea sau tipul operat¸iei ω. Dacˇa B ⊆ An , o aplicat¸ie ω : B −→ A se nume¸ste operat¸ie n-arˇa part¸ialˇa pe mult¸imea A, cu domeniul B.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
1 / 20
Exemplu 1) O operat¸ie binarˇa pe o mult¸ime A este o funct¸ie ω : A × A −→ A : (a, b) 7−→ (a, b)ω , prin care oricˇaror douˇa elemente din A li se asociazˇ a un element din A. ˆIn general, ˆın cazul operat¸iilor binare, ˆın loc sˇ a scriem (a, b)+ sau · (a, b) , scriem a + b ¸si a · b. 2) O operat¸ie unarˇa pe o mult¸ime A este o funct¸ie ω : A −→ A.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
2 / 20
Exemplu 1) O operat¸ie binarˇa pe o mult¸ime A este o funct¸ie ω : A × A −→ A : (a, b) 7−→ (a, b)ω , prin care oricˇaror douˇa elemente din A li se asociazˇ a un element din A. ˆIn general, ˆın cazul operat¸iilor binare, ˆın loc sˇ a scriem (a, b)+ sau · (a, b) , scriem a + b ¸si a · b. 2) O operat¸ie unarˇa pe o mult¸ime A este o funct¸ie ω : A −→ A. 3) O operat¸ie nularˇa pe o mult¸ime nevidˇ a A este o funct¸ie ω : A0 −→ A. 0 ∅ Deoarece A = A = {∅ = (∅, A, ∅)} constˇ a dintr-un singur element, ω este complet determinatˇ a de elementul (∅)ω ∈ A. O operat¸ie nularˇa poate fi identificatˇa din acest motiv cu elementul imagine care ˆıi corespunde.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
2 / 20
Exemplu 1) O operat¸ie binarˇa pe o mult¸ime A este o funct¸ie ω : A × A −→ A : (a, b) 7−→ (a, b)ω , prin care oricˇaror douˇa elemente din A li se asociazˇ a un element din A. ˆIn general, ˆın cazul operat¸iilor binare, ˆın loc sˇ a scriem (a, b)+ sau · (a, b) , scriem a + b ¸si a · b. 2) O operat¸ie unarˇa pe o mult¸ime A este o funct¸ie ω : A −→ A. 3) O operat¸ie nularˇa pe o mult¸ime nevidˇ a A este o funct¸ie ω : A0 −→ A. 0 ∅ Deoarece A = A = {∅ = (∅, A, ∅)} constˇ a dintr-un singur element, ω este complet determinatˇ a de elementul (∅)ω ∈ A. O operat¸ie nularˇa poate fi identificatˇa din acest motiv cu elementul imagine care ˆıi corespunde.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
2 / 20
Observat¸ie O operat¸ie n−arˇa ω definitˇ a pe o mult¸ime A determinˇa o relat¸ie n + 1−arˇa pe A, cu graficul Gω = {(a1 , a2 , . . . , an , (a1 , a2 , . . . , an )ω )| ai ∈ A, i = 1, n} .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
3 / 20
Definit¸ie Fie A o mult¸ime ¸si Ω o mult¸ime de operat¸ii definite pe A. Perechea (A, Ω) se nume¸ste algebrˇa universalˇa cu domeniul de operat¸ii Ω, sau Ω−algebrˇa. Dacˇa Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωk }, scriem (A, ω1 , ω2 , . . . , ωk ) ˆın loc de (A, Ω).
Observat¸ie Orice mult¸ime poate fi consideratˇ a algebrˇ a universalˇa cu domeniul de operat¸ii Ω = ∅.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
4 / 20
Definit¸ie Fie A o mult¸ime ¸si Ω o mult¸ime de operat¸ii definite pe A. Perechea (A, Ω) se nume¸ste algebrˇa universalˇa cu domeniul de operat¸ii Ω, sau Ω−algebrˇa. Dacˇa Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωk }, scriem (A, ω1 , ω2 , . . . , ωk ) ˆın loc de (A, Ω).
Observat¸ie Orice mult¸ime poate fi consideratˇ a algebrˇ a universalˇa cu domeniul de operat¸ii Ω = ∅.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
4 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a. Aplicat¸ia τ : Ω −→ N, definitˇa prin (ω)τ = aritatea lui ω se nume¸ste tipul algebrei (A, Ω).
Exemplu Fie M o mult¸ime nevidˇa. Pe mult¸imea pˇ art¸ilor lui M putem defini algebra universalˇa (P(M), ∩, ∪, CM , ∅, M), al cˇ arei tip este ∩ ∪ CM ∅ M τ= . 2 2 1 0 0
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
5 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a. Aplicat¸ia τ : Ω −→ N, definitˇa prin (ω)τ = aritatea lui ω se nume¸ste tipul algebrei (A, Ω).
Exemplu Fie M o mult¸ime nevidˇa. Pe mult¸imea pˇ art¸ilor lui M putem defini algebra universalˇa (P(M), ∩, ∪, CM , ∅, M), al cˇ arei tip este ∩ ∪ CM ∅ M τ= . 2 2 1 0 0
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
5 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ ¸si B ⊆ A. Dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ B rezultˇa cˇa (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω ∈ B, atunci B se nume¸ste subalgebrˇa a lui (A, Ω). ˆIn acesta caz notˇam B ≤Ω A sau B ≤ A,
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
6 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ ¸si B ⊆ A. Dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ B rezultˇa cˇa (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω ∈ B, atunci B se nume¸ste subalgebrˇa a lui (A, Ω). ˆIn acesta caz notˇam B ≤Ω A sau B ≤ A, iar cu S(A, Ω) notˇam mult¸imea tuturor subalgebrelor algebrei universale (A, Ω).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
6 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ ¸si B ⊆ A. Dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ B rezultˇa cˇa (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω ∈ B, atunci B se nume¸ste subalgebrˇa a lui (A, Ω). ˆIn acesta caz notˇam B ≤Ω A sau B ≤ A, iar cu S(A, Ω) notˇam mult¸imea tuturor subalgebrelor algebrei universale (A, Ω).
Observat¸ie 1) A ∈ S(A, Ω).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
6 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ ¸si B ⊆ A. Dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ B rezultˇa cˇa (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω ∈ B, atunci B se nume¸ste subalgebrˇa a lui (A, Ω). ˆIn acesta caz notˇam B ≤Ω A sau B ≤ A, iar cu S(A, Ω) notˇam mult¸imea tuturor subalgebrelor algebrei universale (A, Ω).
Observat¸ie 1) A ∈ S(A, Ω). 2) Dacˇa Ω cont¸ine operat¸ii nulare, iar B ≤Ω A, atunci B 6= ∅.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
6 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ ¸si B ⊆ A. Dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ B rezultˇa cˇa (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω ∈ B, atunci B se nume¸ste subalgebrˇa a lui (A, Ω). ˆIn acesta caz notˇam B ≤Ω A sau B ≤ A, iar cu S(A, Ω) notˇam mult¸imea tuturor subalgebrelor algebrei universale (A, Ω).
Observat¸ie 1) A ∈ S(A, Ω). 2) Dacˇa Ω cont¸ine operat¸ii nulare, iar B ≤Ω A, atunci B 6= ∅. 3) Dacˇa Ω nu cont¸ine operat¸ii nulare, atunci ∅ ∈ S(A, Ω).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
6 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ ¸si B ⊆ A. Dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ B rezultˇa cˇa (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω ∈ B, atunci B se nume¸ste subalgebrˇa a lui (A, Ω). ˆIn acesta caz notˇam B ≤Ω A sau B ≤ A, iar cu S(A, Ω) notˇam mult¸imea tuturor subalgebrelor algebrei universale (A, Ω).
Observat¸ie 1) A ∈ S(A, Ω). 2) Dacˇa Ω cont¸ine operat¸ii nulare, iar B ≤Ω A, atunci B 6= ∅. 3) Dacˇa Ω nu cont¸ine operat¸ii nulare, atunci ∅ ∈ S(A, Ω).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
6 / 20
Exemplu Fie M o mult¸ime nevidˇa ¸si N ⊂ M. Dacˇ a Ω1 = {∩, ∪}, iar Ω2 = {∩, ∪, CM }, atunci P(N) ≤Ω1 P(M), dar P(N) 6≤Ω2 P(M).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
7 / 20
Definit¸ie Fie (A1 , Ω1 ) o algebrˇa universalˇ a de tip τ1 , (A1 , Ω1 ) o algebrˇa universalˇa de tip τ1 , iar θ : Ω1 −→ Ω2 o aplicat¸ie surjectivˇa. Spunem cˇa algebra (A1 , Ω1 ) este θ−similarˇa cu algebra (A2 , Ω2 ) dacˇa diagrama θ
Ω1 −→ Ω2 τ1 & . τ2 N este comutativˇa(i.e., θ · τ2 = τ1 ). Aplicat¸ia θ se nume¸ste aplicat¸ie de similaritate.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
8 / 20
Observat¸ie 1) Aplicat¸ia surjectivˇa θ : Ω1 −→ Ω2 este aplicat¸ie de similaritate dacˇa ¸si numai dacˇa pentru orice ω ∈ Ω1 , operat¸iile ω ¸si (ω)θ au aceea¸si aritate. 2) Dacˇa (A1 , Ω1 ), (A2 , Ω2 ) ¸si (A3 , Ω3 ) sunt algebre universale, iar funct¸iile θ : Ω1 −→ Ω2 ¸si θ0 : Ω2 −→ Ω3 sunt aplicat¸ii de similaritate, atunci funct¸ia θ · θ0 : Ω1 −→ Ω3 este o aplicat¸ie de similaritate.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
9 / 20
Observat¸ie 1) Aplicat¸ia surjectivˇa θ : Ω1 −→ Ω2 este aplicat¸ie de similaritate dacˇa ¸si numai dacˇa pentru orice ω ∈ Ω1 , operat¸iile ω ¸si (ω)θ au aceea¸si aritate. 2) Dacˇa (A1 , Ω1 ), (A2 , Ω2 ) ¸si (A3 , Ω3 ) sunt algebre universale, iar funct¸iile θ : Ω1 −→ Ω2 ¸si θ0 : Ω2 −→ Ω3 sunt aplicat¸ii de similaritate, atunci funct¸ia θ · θ0 : Ω1 −→ Ω3 este o aplicat¸ie de similaritate.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
9 / 20
Definit¸ie Fie (A1 , Ω1 ) ¸si (A2 , Ω2 ) douˇ a algebre universale de tipuri τ1 ¸si τ2 , astfel ˆıncˆ at existˇ a o aplicat¸ie de similaritate θ : Ω1 −→ Ω2 . O funct¸ie f : A1 −→ A2 se nume¸ste θ−omomorfism de algebre universale(sau, mai simplu, θ−morfism) dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω1 ¸si orice elemente a1 , a2 , . . . , a(ω)τ1 ∈ A1 are loc egalitatea θ
((a1 , a2 , . . . , a(ω)τ1 )ω )f = ((a1 )f , (a2 )f , . . . , (a(ω)τ1 )f )(ω) . Aplicat¸ia f se nume¸ste θ−izomorfism dacˇ a θ ¸si f sunt aplicat¸ii bijective, −1 −1 f este θ−morfism, iar f este θ −morfism. Dacˇ a existˇa un θ−izomorfism de la algebra universalˇ a (A1 , Ω1 ) la (A2 , Ω2 ), spunem cˇa (A1 , Ω1 ) este izomorfˇa cu (A2 , Ω2 ), ¸si notˇ am (A1 , Ω1 ) ∼ = (A2 , Ω2 ), sau ∼ A1 = A2 .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
10 / 20
Definit¸ie Fie (A1 , Ω1 ) ¸si (A2 , Ω2 ) douˇ a algebre universale de tipuri τ1 ¸si τ2 , astfel ˆıncˆ at existˇ a o aplicat¸ie de similaritate θ : Ω1 −→ Ω2 . O funct¸ie f : A1 −→ A2 se nume¸ste θ−omomorfism de algebre universale(sau, mai simplu, θ−morfism) dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω1 ¸si orice elemente a1 , a2 , . . . , a(ω)τ1 ∈ A1 are loc egalitatea θ
((a1 , a2 , . . . , a(ω)τ1 )ω )f = ((a1 )f , (a2 )f , . . . , (a(ω)τ1 )f )(ω) . Aplicat¸ia f se nume¸ste θ−izomorfism dacˇ a θ ¸si f sunt aplicat¸ii bijective, −1 −1 f este θ−morfism, iar f este θ −morfism. Dacˇ a existˇa un θ−izomorfism de la algebra universalˇ a (A1 , Ω1 ) la (A2 , Ω2 ), spunem cˇa (A1 , Ω1 ) este izomorfˇa cu (A2 , Ω2 ), ¸si notˇ am (A1 , Ω1 ) ∼ = (A2 , Ω2 ), sau ∼ A1 = A2 . Un θ−morfism de la o algebrˇ a universalˇ a (A, Ω) ˆın ea ˆınsˇa¸si se nume¸ste θ−endomorfism al algebrei (A, Ω). Un θ−izomorfism de la (A, Ω) la (A, Ω) se nume¸ste θ−automorfism al algebrei (A, Ω). Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
10 / 20
Definit¸ie Fie (A1 , Ω1 ) ¸si (A2 , Ω2 ) douˇ a algebre universale de tipuri τ1 ¸si τ2 , astfel ˆıncˆ at existˇ a o aplicat¸ie de similaritate θ : Ω1 −→ Ω2 . O funct¸ie f : A1 −→ A2 se nume¸ste θ−omomorfism de algebre universale(sau, mai simplu, θ−morfism) dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω1 ¸si orice elemente a1 , a2 , . . . , a(ω)τ1 ∈ A1 are loc egalitatea θ
((a1 , a2 , . . . , a(ω)τ1 )ω )f = ((a1 )f , (a2 )f , . . . , (a(ω)τ1 )f )(ω) . Aplicat¸ia f se nume¸ste θ−izomorfism dacˇ a θ ¸si f sunt aplicat¸ii bijective, −1 −1 f este θ−morfism, iar f este θ −morfism. Dacˇ a existˇa un θ−izomorfism de la algebra universalˇ a (A1 , Ω1 ) la (A2 , Ω2 ), spunem cˇa (A1 , Ω1 ) este izomorfˇa cu (A2 , Ω2 ), ¸si notˇ am (A1 , Ω1 ) ∼ = (A2 , Ω2 ), sau ∼ A1 = A2 . Un θ−morfism de la o algebrˇ a universalˇ a (A, Ω) ˆın ea ˆınsˇa¸si se nume¸ste θ−endomorfism al algebrei (A, Ω). Un θ−izomorfism de la (A, Ω) la (A, Ω) se nume¸ste θ−automorfism al algebrei (A, Ω). Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
10 / 20
Observat¸ie Aplicat¸ia f : A1 −→ A2 este un θ−omomorfism de algebre universale dacˇ a ¸si numai dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω1 diagrama (ω)τ1
A1 ω↓ A1
f (ω)
τ1
−→ f
−→
(ω)τ1 (=((ω)θ )τ2 )
A2 ↓ (ω)θ A2
este comutativˇa.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
11 / 20
Observat¸ie Toate not¸iunile de mai sus pot fi simplificate considerˆand cˇa Ω este un domeniu comun de operat¸ii pentru algebrele universale aflate ˆın discut¸ie. Numim asemenea algebre Ω−algebre. Un idΩ −morfism ˆıntre douˇa Ω−algebre se nume¸ste atunci morfism de Ω−algebre. f : A1 −→ A2 este morfism de Ω−algebre dacˇ a ¸si numai dacˇ a ((a1 , a2 , . . . , a(ω)τ )ω )f = ((a1 )f , (a2 )f , . . . , (a(ω)τ )f )ω , pentru orice a1 , a2 , . . . , a(ω)τ ∈ A1 ¸si orice ω ∈ Ω.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
12 / 20
Propozit¸ie Fie f : A −→ B ¸si g : B −→ C douˇa morfisme de Ω−algebre. Atunci f · g : A −→ C este un morfism de Ω−algebre.
Propozit¸ie Fie f : A −→ B un morfism bijectiv de Ω−algebre. Atunci f −1 : B −→ A este de asemenea un morfism de Ω−algebre.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
13 / 20
Propozit¸ie Fie f : A −→ B ¸si g : B −→ C douˇa morfisme de Ω−algebre. Atunci f · g : A −→ C este un morfism de Ω−algebre.
Propozit¸ie Fie f : A −→ B un morfism bijectiv de Ω−algebre. Atunci f −1 : B −→ A este de asemenea un morfism de Ω−algebre.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
13 / 20
Propozit¸ie Fie f : A −→ B un morfism de Ω−algebre, A0 ⊆ A ¸si B 0 ⊆ B. Atunci 1) Dacˇa A0 ≤Ω A, atunci A0f ≤Ω B. −1 2) Dacˇa B 0 ≤Ω B, atunci B 0f ≤Ω A.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
14 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ pe mult¸imea A. O relat¸ie de echivalent¸ˇa ρ pe A se nume¸ste congruent¸ˇa pe (A, Ω) dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente a1 , a2 , . . . , a(ω)τ , b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ A cu a cˇ a proprietatea cˇa ai ρ bi , (∀)i = 1, (ω)τ , rezultˇ (a1 , a2 , . . . , a(ω)τ )ω ρ (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω . Clasele de ehivalent¸ˇa [a]ρ se numesc ˆın acest caz clase de congruent¸ˇa. Notˇam Cong (A, Ω) = {ρ ∈ Eq(A)| ρ − congruent¸ˇ a pe(A, Ω)}.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
15 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ pe mult¸imea A. O relat¸ie de echivalent¸ˇa ρ pe A se nume¸ste congruent¸ˇa pe (A, Ω) dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente a1 , a2 , . . . , a(ω)τ , b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ A cu a cˇ a proprietatea cˇa ai ρ bi , (∀)i = 1, (ω)τ , rezultˇ (a1 , a2 , . . . , a(ω)τ )ω ρ (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω . Clasele de ehivalent¸ˇa [a]ρ se numesc ˆın acest caz clase de congruent¸ˇa. Notˇam Cong (A, Ω) = {ρ ∈ Eq(A)| ρ − congruent¸ˇ a pe(A, Ω)}.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
15 / 20
Observat¸ie Pentru orice algebrˇa universalˇ a (A, Ω), avem cˇ a idA , TA2 ∈ Cong (A, Ω) .
Definit¸ie O algebrˇa universalˇa (A, Ω) cu proprietatea cˇ a Cong (A, Ω) = {idA , TA2 } se nume¸ste algebrˇa simplˇa.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
16 / 20
Observat¸ie Pentru orice algebrˇa universalˇ a (A, Ω), avem cˇ a idA , TA2 ∈ Cong (A, Ω) .
Definit¸ie O algebrˇa universalˇa (A, Ω) cu proprietatea cˇ a Cong (A, Ω) = {idA , TA2 } se nume¸ste algebrˇa simplˇa.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
16 / 20
Propozit¸ie Fie f : A −→ B un morfism de Ω−algebre, iar ρ ∈ Cong (B, Ω) o congruent¸ˇa pe (B, Ω). Atunci relat¸ia ρf indusˇa de ρ pe A prin intermediul funct¸iei f este o congruent¸ˇa pe (A, Ω).
Observat¸ie Dacˇa f : A −→ B este un morfism de Ω−algebre, cum idB ∈ Cong (B, Ω), din propozit¸ia de mai sus deducem cˇa ker (f ) ∈ Cong (A, Ω).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
17 / 20
Propozit¸ie Fie f : A −→ B un morfism de Ω−algebre, iar ρ ∈ Cong (B, Ω) o congruent¸ˇa pe (B, Ω). Atunci relat¸ia ρf indusˇa de ρ pe A prin intermediul funct¸iei f este o congruent¸ˇa pe (A, Ω).
Observat¸ie Dacˇa f : A −→ B este un morfism de Ω−algebre, cum idB ∈ Cong (B, Ω), din propozit¸ia de mai sus deducem cˇa ker (f ) ∈ Cong (A, Ω).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
17 / 20
Propozit¸ie Fie (A, Ω) o Ω−algebrˇa, ρ ∈ Cong (A, Ω), iar A/ρ mult¸imea factor a claselor de congruent¸ˇa ale lui A ˆın raport cu congruent¸a ρ. Atunci, pentru τ fiecare ω ∈ Ω, aplicat¸ia ω : (A/ρ)(ω) −→ A/ρ, definitˇa prin ([a1 ]ρ , [a2 ]ρ , . . . , [a(ω)τ ]ρ )ω = [(a1 , a2 , . . . , a(ω)τ )ω ]ρ este o operat¸ie corect definitˇa pe A/ρ, iar proiect¸ia canonicˇa πρ : A −→ A/ρ definitˇa prin (a)πρ = [a]ρ , este un morfism de Ω−algebre cu proprietatea cˇa ker (πρ ) = ρ.
Observat¸ie ˆIn propozit¸ia de mai sus am identificat mult¸imile de operat¸ii Ω ¸si Ω = {ω| ω ∈ Ω}.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
18 / 20
Propozit¸ie Fie (A, Ω) o Ω−algebrˇa, ρ ∈ Cong (A, Ω), iar A/ρ mult¸imea factor a claselor de congruent¸ˇa ale lui A ˆın raport cu congruent¸a ρ. Atunci, pentru τ fiecare ω ∈ Ω, aplicat¸ia ω : (A/ρ)(ω) −→ A/ρ, definitˇa prin ([a1 ]ρ , [a2 ]ρ , . . . , [a(ω)τ ]ρ )ω = [(a1 , a2 , . . . , a(ω)τ )ω ]ρ este o operat¸ie corect definitˇa pe A/ρ, iar proiect¸ia canonicˇa πρ : A −→ A/ρ definitˇa prin (a)πρ = [a]ρ , este un morfism de Ω−algebre cu proprietatea cˇa ker (πρ ) = ρ.
Observat¸ie ˆIn propozit¸ia de mai sus am identificat mult¸imile de operat¸ii Ω ¸si Ω = {ω| ω ∈ Ω}.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
18 / 20
Definit¸ie Algebra (A/ρ, Ω) definitˇ a ˆın cadrul propozit¸iei precedente se nume¸ste algebra factor(sau algebra cˆat) a algebrei (A, Ω) ˆın raport cu congruent¸a ρ.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
19 / 20
Propozit¸ie (Teorema fundamentalˇ a de izomorfism pentru Ω−algebre) Fie (A, Ω) ¸si (B, Ω) douˇa Ω−algebre, iar f : A −→ B un morfism de Ω−algebre. Atunci existˇa un izomorfism de Ω−algebre f : A/ker (f ) −→ Im(f ) astfel ˆıncˆat diagrama f A −→ B πker (f ) ↓ ↑ iIm(f ) f
A/ker (f ) −→ Im(f ) sˇa fie comutativˇa. ˆIn plus, f este unic cu aceastˇa proprietate.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
20 / 20
Definit¸ie Fie A o mult¸ime oarecare ¸si n ∈ N. O aplicat¸ie ω : An −→ A se nume¸ste operat¸ie n-arˇa pe mult¸imea A. Numˇ arul n se nume¸ste aritatea sau tipul operat¸iei ω.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
1 / 20
Operat¸ii n−are pe o mult¸ime. Algebre universale
Definit¸ie Fie A o mult¸ime oarecare ¸si n ∈ N. O aplicat¸ie ω : An −→ A se nume¸ste operat¸ie n-arˇa pe mult¸imea A. Numˇ arul n se nume¸ste aritatea sau tipul operat¸iei ω. Dacˇa B ⊆ An , o aplicat¸ie ω : B −→ A se nume¸ste operat¸ie n-arˇa part¸ialˇa pe mult¸imea A, cu domeniul B.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
1 / 20
Operat¸ii n−are pe o mult¸ime. Algebre universale
Definit¸ie Fie A o mult¸ime oarecare ¸si n ∈ N. O aplicat¸ie ω : An −→ A se nume¸ste operat¸ie n-arˇa pe mult¸imea A. Numˇ arul n se nume¸ste aritatea sau tipul operat¸iei ω. Dacˇa B ⊆ An , o aplicat¸ie ω : B −→ A se nume¸ste operat¸ie n-arˇa part¸ialˇa pe mult¸imea A, cu domeniul B.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
1 / 20
Exemplu 1) O operat¸ie binarˇa pe o mult¸ime A este o funct¸ie ω : A × A −→ A : (a, b) 7−→ (a, b)ω , prin care oricˇaror douˇa elemente din A li se asociazˇ a un element din A. ˆIn general, ˆın cazul operat¸iilor binare, ˆın loc sˇ a scriem (a, b)+ sau · (a, b) , scriem a + b ¸si a · b. 2) O operat¸ie unarˇa pe o mult¸ime A este o funct¸ie ω : A −→ A.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
2 / 20
Exemplu 1) O operat¸ie binarˇa pe o mult¸ime A este o funct¸ie ω : A × A −→ A : (a, b) 7−→ (a, b)ω , prin care oricˇaror douˇa elemente din A li se asociazˇ a un element din A. ˆIn general, ˆın cazul operat¸iilor binare, ˆın loc sˇ a scriem (a, b)+ sau · (a, b) , scriem a + b ¸si a · b. 2) O operat¸ie unarˇa pe o mult¸ime A este o funct¸ie ω : A −→ A. 3) O operat¸ie nularˇa pe o mult¸ime nevidˇ a A este o funct¸ie ω : A0 −→ A. 0 ∅ Deoarece A = A = {∅ = (∅, A, ∅)} constˇ a dintr-un singur element, ω este complet determinatˇ a de elementul (∅)ω ∈ A. O operat¸ie nularˇa poate fi identificatˇa din acest motiv cu elementul imagine care ˆıi corespunde.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
2 / 20
Exemplu 1) O operat¸ie binarˇa pe o mult¸ime A este o funct¸ie ω : A × A −→ A : (a, b) 7−→ (a, b)ω , prin care oricˇaror douˇa elemente din A li se asociazˇ a un element din A. ˆIn general, ˆın cazul operat¸iilor binare, ˆın loc sˇ a scriem (a, b)+ sau · (a, b) , scriem a + b ¸si a · b. 2) O operat¸ie unarˇa pe o mult¸ime A este o funct¸ie ω : A −→ A. 3) O operat¸ie nularˇa pe o mult¸ime nevidˇ a A este o funct¸ie ω : A0 −→ A. 0 ∅ Deoarece A = A = {∅ = (∅, A, ∅)} constˇ a dintr-un singur element, ω este complet determinatˇ a de elementul (∅)ω ∈ A. O operat¸ie nularˇa poate fi identificatˇa din acest motiv cu elementul imagine care ˆıi corespunde.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
2 / 20
Observat¸ie O operat¸ie n−arˇa ω definitˇ a pe o mult¸ime A determinˇa o relat¸ie n + 1−arˇa pe A, cu graficul Gω = {(a1 , a2 , . . . , an , (a1 , a2 , . . . , an )ω )| ai ∈ A, i = 1, n} .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
3 / 20
Definit¸ie Fie A o mult¸ime ¸si Ω o mult¸ime de operat¸ii definite pe A. Perechea (A, Ω) se nume¸ste algebrˇa universalˇa cu domeniul de operat¸ii Ω, sau Ω−algebrˇa. Dacˇa Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωk }, scriem (A, ω1 , ω2 , . . . , ωk ) ˆın loc de (A, Ω).
Observat¸ie Orice mult¸ime poate fi consideratˇ a algebrˇ a universalˇa cu domeniul de operat¸ii Ω = ∅.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
4 / 20
Definit¸ie Fie A o mult¸ime ¸si Ω o mult¸ime de operat¸ii definite pe A. Perechea (A, Ω) se nume¸ste algebrˇa universalˇa cu domeniul de operat¸ii Ω, sau Ω−algebrˇa. Dacˇa Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωk }, scriem (A, ω1 , ω2 , . . . , ωk ) ˆın loc de (A, Ω).
Observat¸ie Orice mult¸ime poate fi consideratˇ a algebrˇ a universalˇa cu domeniul de operat¸ii Ω = ∅.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
4 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a. Aplicat¸ia τ : Ω −→ N, definitˇa prin (ω)τ = aritatea lui ω se nume¸ste tipul algebrei (A, Ω).
Exemplu Fie M o mult¸ime nevidˇa. Pe mult¸imea pˇ art¸ilor lui M putem defini algebra universalˇa (P(M), ∩, ∪, CM , ∅, M), al cˇ arei tip este ∩ ∪ CM ∅ M τ= . 2 2 1 0 0
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
5 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a. Aplicat¸ia τ : Ω −→ N, definitˇa prin (ω)τ = aritatea lui ω se nume¸ste tipul algebrei (A, Ω).
Exemplu Fie M o mult¸ime nevidˇa. Pe mult¸imea pˇ art¸ilor lui M putem defini algebra universalˇa (P(M), ∩, ∪, CM , ∅, M), al cˇ arei tip este ∩ ∪ CM ∅ M τ= . 2 2 1 0 0
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
5 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ ¸si B ⊆ A. Dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ B rezultˇa cˇa (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω ∈ B, atunci B se nume¸ste subalgebrˇa a lui (A, Ω). ˆIn acesta caz notˇam B ≤Ω A sau B ≤ A,
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
6 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ ¸si B ⊆ A. Dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ B rezultˇa cˇa (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω ∈ B, atunci B se nume¸ste subalgebrˇa a lui (A, Ω). ˆIn acesta caz notˇam B ≤Ω A sau B ≤ A, iar cu S(A, Ω) notˇam mult¸imea tuturor subalgebrelor algebrei universale (A, Ω).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
6 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ ¸si B ⊆ A. Dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ B rezultˇa cˇa (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω ∈ B, atunci B se nume¸ste subalgebrˇa a lui (A, Ω). ˆIn acesta caz notˇam B ≤Ω A sau B ≤ A, iar cu S(A, Ω) notˇam mult¸imea tuturor subalgebrelor algebrei universale (A, Ω).
Observat¸ie 1) A ∈ S(A, Ω).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
6 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ ¸si B ⊆ A. Dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ B rezultˇa cˇa (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω ∈ B, atunci B se nume¸ste subalgebrˇa a lui (A, Ω). ˆIn acesta caz notˇam B ≤Ω A sau B ≤ A, iar cu S(A, Ω) notˇam mult¸imea tuturor subalgebrelor algebrei universale (A, Ω).
Observat¸ie 1) A ∈ S(A, Ω). 2) Dacˇa Ω cont¸ine operat¸ii nulare, iar B ≤Ω A, atunci B 6= ∅.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
6 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ ¸si B ⊆ A. Dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ B rezultˇa cˇa (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω ∈ B, atunci B se nume¸ste subalgebrˇa a lui (A, Ω). ˆIn acesta caz notˇam B ≤Ω A sau B ≤ A, iar cu S(A, Ω) notˇam mult¸imea tuturor subalgebrelor algebrei universale (A, Ω).
Observat¸ie 1) A ∈ S(A, Ω). 2) Dacˇa Ω cont¸ine operat¸ii nulare, iar B ≤Ω A, atunci B 6= ∅. 3) Dacˇa Ω nu cont¸ine operat¸ii nulare, atunci ∅ ∈ S(A, Ω).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
6 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ ¸si B ⊆ A. Dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ B rezultˇa cˇa (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω ∈ B, atunci B se nume¸ste subalgebrˇa a lui (A, Ω). ˆIn acesta caz notˇam B ≤Ω A sau B ≤ A, iar cu S(A, Ω) notˇam mult¸imea tuturor subalgebrelor algebrei universale (A, Ω).
Observat¸ie 1) A ∈ S(A, Ω). 2) Dacˇa Ω cont¸ine operat¸ii nulare, iar B ≤Ω A, atunci B 6= ∅. 3) Dacˇa Ω nu cont¸ine operat¸ii nulare, atunci ∅ ∈ S(A, Ω).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
6 / 20
Exemplu Fie M o mult¸ime nevidˇa ¸si N ⊂ M. Dacˇ a Ω1 = {∩, ∪}, iar Ω2 = {∩, ∪, CM }, atunci P(N) ≤Ω1 P(M), dar P(N) 6≤Ω2 P(M).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
7 / 20
Definit¸ie Fie (A1 , Ω1 ) o algebrˇa universalˇ a de tip τ1 , (A1 , Ω1 ) o algebrˇa universalˇa de tip τ1 , iar θ : Ω1 −→ Ω2 o aplicat¸ie surjectivˇa. Spunem cˇa algebra (A1 , Ω1 ) este θ−similarˇa cu algebra (A2 , Ω2 ) dacˇa diagrama θ
Ω1 −→ Ω2 τ1 & . τ2 N este comutativˇa(i.e., θ · τ2 = τ1 ). Aplicat¸ia θ se nume¸ste aplicat¸ie de similaritate.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
8 / 20
Observat¸ie 1) Aplicat¸ia surjectivˇa θ : Ω1 −→ Ω2 este aplicat¸ie de similaritate dacˇa ¸si numai dacˇa pentru orice ω ∈ Ω1 , operat¸iile ω ¸si (ω)θ au aceea¸si aritate. 2) Dacˇa (A1 , Ω1 ), (A2 , Ω2 ) ¸si (A3 , Ω3 ) sunt algebre universale, iar funct¸iile θ : Ω1 −→ Ω2 ¸si θ0 : Ω2 −→ Ω3 sunt aplicat¸ii de similaritate, atunci funct¸ia θ · θ0 : Ω1 −→ Ω3 este o aplicat¸ie de similaritate.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
9 / 20
Observat¸ie 1) Aplicat¸ia surjectivˇa θ : Ω1 −→ Ω2 este aplicat¸ie de similaritate dacˇa ¸si numai dacˇa pentru orice ω ∈ Ω1 , operat¸iile ω ¸si (ω)θ au aceea¸si aritate. 2) Dacˇa (A1 , Ω1 ), (A2 , Ω2 ) ¸si (A3 , Ω3 ) sunt algebre universale, iar funct¸iile θ : Ω1 −→ Ω2 ¸si θ0 : Ω2 −→ Ω3 sunt aplicat¸ii de similaritate, atunci funct¸ia θ · θ0 : Ω1 −→ Ω3 este o aplicat¸ie de similaritate.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
9 / 20
Definit¸ie Fie (A1 , Ω1 ) ¸si (A2 , Ω2 ) douˇ a algebre universale de tipuri τ1 ¸si τ2 , astfel ˆıncˆ at existˇ a o aplicat¸ie de similaritate θ : Ω1 −→ Ω2 . O funct¸ie f : A1 −→ A2 se nume¸ste θ−omomorfism de algebre universale(sau, mai simplu, θ−morfism) dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω1 ¸si orice elemente a1 , a2 , . . . , a(ω)τ1 ∈ A1 are loc egalitatea θ
((a1 , a2 , . . . , a(ω)τ1 )ω )f = ((a1 )f , (a2 )f , . . . , (a(ω)τ1 )f )(ω) . Aplicat¸ia f se nume¸ste θ−izomorfism dacˇ a θ ¸si f sunt aplicat¸ii bijective, −1 −1 f este θ−morfism, iar f este θ −morfism. Dacˇ a existˇa un θ−izomorfism de la algebra universalˇ a (A1 , Ω1 ) la (A2 , Ω2 ), spunem cˇa (A1 , Ω1 ) este izomorfˇa cu (A2 , Ω2 ), ¸si notˇ am (A1 , Ω1 ) ∼ = (A2 , Ω2 ), sau ∼ A1 = A2 .
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
10 / 20
Definit¸ie Fie (A1 , Ω1 ) ¸si (A2 , Ω2 ) douˇ a algebre universale de tipuri τ1 ¸si τ2 , astfel ˆıncˆ at existˇ a o aplicat¸ie de similaritate θ : Ω1 −→ Ω2 . O funct¸ie f : A1 −→ A2 se nume¸ste θ−omomorfism de algebre universale(sau, mai simplu, θ−morfism) dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω1 ¸si orice elemente a1 , a2 , . . . , a(ω)τ1 ∈ A1 are loc egalitatea θ
((a1 , a2 , . . . , a(ω)τ1 )ω )f = ((a1 )f , (a2 )f , . . . , (a(ω)τ1 )f )(ω) . Aplicat¸ia f se nume¸ste θ−izomorfism dacˇ a θ ¸si f sunt aplicat¸ii bijective, −1 −1 f este θ−morfism, iar f este θ −morfism. Dacˇ a existˇa un θ−izomorfism de la algebra universalˇ a (A1 , Ω1 ) la (A2 , Ω2 ), spunem cˇa (A1 , Ω1 ) este izomorfˇa cu (A2 , Ω2 ), ¸si notˇ am (A1 , Ω1 ) ∼ = (A2 , Ω2 ), sau ∼ A1 = A2 . Un θ−morfism de la o algebrˇ a universalˇ a (A, Ω) ˆın ea ˆınsˇa¸si se nume¸ste θ−endomorfism al algebrei (A, Ω). Un θ−izomorfism de la (A, Ω) la (A, Ω) se nume¸ste θ−automorfism al algebrei (A, Ω). Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
10 / 20
Definit¸ie Fie (A1 , Ω1 ) ¸si (A2 , Ω2 ) douˇ a algebre universale de tipuri τ1 ¸si τ2 , astfel ˆıncˆ at existˇ a o aplicat¸ie de similaritate θ : Ω1 −→ Ω2 . O funct¸ie f : A1 −→ A2 se nume¸ste θ−omomorfism de algebre universale(sau, mai simplu, θ−morfism) dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω1 ¸si orice elemente a1 , a2 , . . . , a(ω)τ1 ∈ A1 are loc egalitatea θ
((a1 , a2 , . . . , a(ω)τ1 )ω )f = ((a1 )f , (a2 )f , . . . , (a(ω)τ1 )f )(ω) . Aplicat¸ia f se nume¸ste θ−izomorfism dacˇ a θ ¸si f sunt aplicat¸ii bijective, −1 −1 f este θ−morfism, iar f este θ −morfism. Dacˇ a existˇa un θ−izomorfism de la algebra universalˇ a (A1 , Ω1 ) la (A2 , Ω2 ), spunem cˇa (A1 , Ω1 ) este izomorfˇa cu (A2 , Ω2 ), ¸si notˇ am (A1 , Ω1 ) ∼ = (A2 , Ω2 ), sau ∼ A1 = A2 . Un θ−morfism de la o algebrˇ a universalˇ a (A, Ω) ˆın ea ˆınsˇa¸si se nume¸ste θ−endomorfism al algebrei (A, Ω). Un θ−izomorfism de la (A, Ω) la (A, Ω) se nume¸ste θ−automorfism al algebrei (A, Ω). Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
10 / 20
Observat¸ie Aplicat¸ia f : A1 −→ A2 este un θ−omomorfism de algebre universale dacˇ a ¸si numai dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω1 diagrama (ω)τ1
A1 ω↓ A1
f (ω)
τ1
−→ f
−→
(ω)τ1 (=((ω)θ )τ2 )
A2 ↓ (ω)θ A2
este comutativˇa.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
11 / 20
Observat¸ie Toate not¸iunile de mai sus pot fi simplificate considerˆand cˇa Ω este un domeniu comun de operat¸ii pentru algebrele universale aflate ˆın discut¸ie. Numim asemenea algebre Ω−algebre. Un idΩ −morfism ˆıntre douˇa Ω−algebre se nume¸ste atunci morfism de Ω−algebre. f : A1 −→ A2 este morfism de Ω−algebre dacˇ a ¸si numai dacˇ a ((a1 , a2 , . . . , a(ω)τ )ω )f = ((a1 )f , (a2 )f , . . . , (a(ω)τ )f )ω , pentru orice a1 , a2 , . . . , a(ω)τ ∈ A1 ¸si orice ω ∈ Ω.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
12 / 20
Propozit¸ie Fie f : A −→ B ¸si g : B −→ C douˇa morfisme de Ω−algebre. Atunci f · g : A −→ C este un morfism de Ω−algebre.
Propozit¸ie Fie f : A −→ B un morfism bijectiv de Ω−algebre. Atunci f −1 : B −→ A este de asemenea un morfism de Ω−algebre.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
13 / 20
Propozit¸ie Fie f : A −→ B ¸si g : B −→ C douˇa morfisme de Ω−algebre. Atunci f · g : A −→ C este un morfism de Ω−algebre.
Propozit¸ie Fie f : A −→ B un morfism bijectiv de Ω−algebre. Atunci f −1 : B −→ A este de asemenea un morfism de Ω−algebre.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
13 / 20
Propozit¸ie Fie f : A −→ B un morfism de Ω−algebre, A0 ⊆ A ¸si B 0 ⊆ B. Atunci 1) Dacˇa A0 ≤Ω A, atunci A0f ≤Ω B. −1 2) Dacˇa B 0 ≤Ω B, atunci B 0f ≤Ω A.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
14 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ pe mult¸imea A. O relat¸ie de echivalent¸ˇa ρ pe A se nume¸ste congruent¸ˇa pe (A, Ω) dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente a1 , a2 , . . . , a(ω)τ , b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ A cu a cˇ a proprietatea cˇa ai ρ bi , (∀)i = 1, (ω)τ , rezultˇ (a1 , a2 , . . . , a(ω)τ )ω ρ (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω . Clasele de ehivalent¸ˇa [a]ρ se numesc ˆın acest caz clase de congruent¸ˇa. Notˇam Cong (A, Ω) = {ρ ∈ Eq(A)| ρ − congruent¸ˇ a pe(A, Ω)}.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
15 / 20
Definit¸ie Fie (A, Ω) o algebrˇa universalˇ a de tip τ pe mult¸imea A. O relat¸ie de echivalent¸ˇa ρ pe A se nume¸ste congruent¸ˇa pe (A, Ω) dacˇa pentru orice operat¸ie ω ∈ Ω ¸si orice elemente a1 , a2 , . . . , a(ω)τ , b1 , b2 , . . . , b(ω)τ ∈ A cu a cˇ a proprietatea cˇa ai ρ bi , (∀)i = 1, (ω)τ , rezultˇ (a1 , a2 , . . . , a(ω)τ )ω ρ (b1 , b2 , . . . , b(ω)τ )ω . Clasele de ehivalent¸ˇa [a]ρ se numesc ˆın acest caz clase de congruent¸ˇa. Notˇam Cong (A, Ω) = {ρ ∈ Eq(A)| ρ − congruent¸ˇ a pe(A, Ω)}.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
15 / 20
Observat¸ie Pentru orice algebrˇa universalˇ a (A, Ω), avem cˇ a idA , TA2 ∈ Cong (A, Ω) .
Definit¸ie O algebrˇa universalˇa (A, Ω) cu proprietatea cˇ a Cong (A, Ω) = {idA , TA2 } se nume¸ste algebrˇa simplˇa.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
16 / 20
Observat¸ie Pentru orice algebrˇa universalˇ a (A, Ω), avem cˇ a idA , TA2 ∈ Cong (A, Ω) .
Definit¸ie O algebrˇa universalˇa (A, Ω) cu proprietatea cˇ a Cong (A, Ω) = {idA , TA2 } se nume¸ste algebrˇa simplˇa.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
16 / 20
Propozit¸ie Fie f : A −→ B un morfism de Ω−algebre, iar ρ ∈ Cong (B, Ω) o congruent¸ˇa pe (B, Ω). Atunci relat¸ia ρf indusˇa de ρ pe A prin intermediul funct¸iei f este o congruent¸ˇa pe (A, Ω).
Observat¸ie Dacˇa f : A −→ B este un morfism de Ω−algebre, cum idB ∈ Cong (B, Ω), din propozit¸ia de mai sus deducem cˇa ker (f ) ∈ Cong (A, Ω).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
17 / 20
Propozit¸ie Fie f : A −→ B un morfism de Ω−algebre, iar ρ ∈ Cong (B, Ω) o congruent¸ˇa pe (B, Ω). Atunci relat¸ia ρf indusˇa de ρ pe A prin intermediul funct¸iei f este o congruent¸ˇa pe (A, Ω).
Observat¸ie Dacˇa f : A −→ B este un morfism de Ω−algebre, cum idB ∈ Cong (B, Ω), din propozit¸ia de mai sus deducem cˇa ker (f ) ∈ Cong (A, Ω).
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
17 / 20
Propozit¸ie Fie (A, Ω) o Ω−algebrˇa, ρ ∈ Cong (A, Ω), iar A/ρ mult¸imea factor a claselor de congruent¸ˇa ale lui A ˆın raport cu congruent¸a ρ. Atunci, pentru τ fiecare ω ∈ Ω, aplicat¸ia ω : (A/ρ)(ω) −→ A/ρ, definitˇa prin ([a1 ]ρ , [a2 ]ρ , . . . , [a(ω)τ ]ρ )ω = [(a1 , a2 , . . . , a(ω)τ )ω ]ρ este o operat¸ie corect definitˇa pe A/ρ, iar proiect¸ia canonicˇa πρ : A −→ A/ρ definitˇa prin (a)πρ = [a]ρ , este un morfism de Ω−algebre cu proprietatea cˇa ker (πρ ) = ρ.
Observat¸ie ˆIn propozit¸ia de mai sus am identificat mult¸imile de operat¸ii Ω ¸si Ω = {ω| ω ∈ Ω}.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
18 / 20
Propozit¸ie Fie (A, Ω) o Ω−algebrˇa, ρ ∈ Cong (A, Ω), iar A/ρ mult¸imea factor a claselor de congruent¸ˇa ale lui A ˆın raport cu congruent¸a ρ. Atunci, pentru τ fiecare ω ∈ Ω, aplicat¸ia ω : (A/ρ)(ω) −→ A/ρ, definitˇa prin ([a1 ]ρ , [a2 ]ρ , . . . , [a(ω)τ ]ρ )ω = [(a1 , a2 , . . . , a(ω)τ )ω ]ρ este o operat¸ie corect definitˇa pe A/ρ, iar proiect¸ia canonicˇa πρ : A −→ A/ρ definitˇa prin (a)πρ = [a]ρ , este un morfism de Ω−algebre cu proprietatea cˇa ker (πρ ) = ρ.
Observat¸ie ˆIn propozit¸ia de mai sus am identificat mult¸imile de operat¸ii Ω ¸si Ω = {ω| ω ∈ Ω}.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
18 / 20
Definit¸ie Algebra (A/ρ, Ω) definitˇ a ˆın cadrul propozit¸iei precedente se nume¸ste algebra factor(sau algebra cˆat) a algebrei (A, Ω) ˆın raport cu congruent¸a ρ.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
19 / 20
Propozit¸ie (Teorema fundamentalˇ a de izomorfism pentru Ω−algebre) Fie (A, Ω) ¸si (B, Ω) douˇa Ω−algebre, iar f : A −→ B un morfism de Ω−algebre. Atunci existˇa un izomorfism de Ω−algebre f : A/ker (f ) −→ Im(f ) astfel ˆıncˆat diagrama f A −→ B πker (f ) ↓ ↑ iIm(f ) f
A/ker (f ) −→ Im(f ) sˇa fie comutativˇa. ˆIn plus, f este unic cu aceastˇa proprietate.
Lect.dr. M.Chi¸s ()
Curs 2
2009
20 / 20
