Cuong

VỀ CÁC KHÔNG GIAN K-NỬA PHÂN TẦNG

Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS. Trần Văn Ân Học viên thực hiện: Lê Thị Chuyên

LỜI NÓI ĐẦU

Không gian k-nửa phân tầng (k-semistratifiable space) là lớp không gian nằm giữa lớp không gian phân tầng (stratifiable space), được giới thiệu bởi C. J. R. Borges và lớp không gian nửa phân tầng (Semistratifiable), được giới thiệu bởi E. Machael và nghiên cứu của G. Creede. Đã có nhiều nhà toán học như D. J. Lutzer, T. Mizokami, S. Lin, L. Foged, ... đề cập đến không gian với k-lưới σ-HCP , mà sau này là không gian k-nửa phân tầng. Trên cơ sở một số kết quả của các nhà toán học đó, tác giả tìm hiểu thêm một số tính chất của không gian k-nửa phân tầng, tìm mối liên hệ giữa không gian k-nửa phân tầng với các phủ có tính chất CF, CF ∗, HCP , ... và các không gian khác như không gian Lasnev, σ-không gian, ℵ-không gian, ... Xét xem khi nào một không gian k-nửa phân tầng trở thành không gian Lasnev. ánh xạ đóng và ánh xạ phủ-compact là một khái niệm quen thuộc đối với chúng ta, ở luận văn này với mục đích xét xem không gian k-nửa phân tầng được bảo tồn qua ánh xạ nào, tác giả đã xuất phát từ hai bài báo Some properties of k-semistratifiable spaces (1990) của M. Mizokami và Mapping theorems on k-semistratifiable spaces (1997) của Shou Lin để đưa ra các định lý về ánh xạ đóng; ánh xạ phủ mở và compact; ánh xạ ngược hoàn chỉnh trên không gian k-nửa phân tầng. Với mục đích đó, luận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1. Không gian k-nửa phân tầng. Trong chương này tác giả trình bày một số khái niệm như không gian Lasnev, σ-không gian, ℵ-không gian, không gian k-nửa phân tầng, họ HCP , họ CF , họ CF ∗, k-lưới, giả cơ sở trong không gian X, .... Tiếp đó tác giả trình bày các tính chất của không gian k-nửa phân tầng, đặc biệt là không gian k-nửa phân tầng với tính chất (CF ). Ngoài ra, tác giả còn trình bày về mối quan hệ giữa các không gian k-nửa phân tầng với các phủ có tính chất CF, CF ∗, HCP , ... và các không gian khác. Chương 2. Sự bảo tồn của không gian k-nửa phân tầng qua một số ánh xạ . Trong chương này, đầu tiên tác giả nhắc lại các khái niệm về các ánh xạ đóng, ánh xạ phủ compact, ánh xạ hoàn chỉnh,... đưa ra và chứng minh chi tiết một số bất biến của các không gian đặc biệt như không gian Fréchet, σ-không gian, không gian k-nửa phân tầng qua ánh xạ đóng. Đồng thời xét ảnh của các không gian như σ-không gian, không gian k-nửa phân tầng, ... qua ánh xạ phủ-compact, ánh xạ mở và compact, ánh xạ hoàn chỉnh. Cuối cùng tác giả trình bày về điều kiện để không gian k-nửa phân tầng bảo tồn qua ánh xạ ngược hoàn chỉnh. Những kết quả mà luận văn đạt được chủ yếu tổng kết và phát triển từ các bài báo. Tác giả đã trình bày các bổ đề, mệnh đề có liên quan đến các vấn đề cần giải quyết, để có thể chứng minh chi tiết các định lý, mệnh đề mà các bài báo đưa ra. Bên cạnh đó, luận văn cũng có một số kết quả mới. Trong toàn bộ luận văn, khi cho các không gian X, Y thì ta hiểu rằng X, Y là các không gian tôpô và tác giả quy ước rằng các ánh xạ đều được giả thiết là liên tục, toàn ánh. Ký hiệu N là tập hợp các số tự nhiên dương và ω = N ∪ {0}. TX , TY lần lượt là

tôpô của không gian tôpô X và Y . Các không gian nhắc đến đều là T1, chính quy, cl(A) hoặc A là bao đóng của tập con A trong X, các khái niệm, thuật ngữ khác nếu không nói gì thêm thì được hiểu thông thường. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. Trần Văn Ân. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học, các thầy giáo, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình công tác và học tập tại trường. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán, trường Đại học Vinh đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả xin cảm ơn các bạn học viên Cao học khoá 13, đặc biệt là Cao học 13 Giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt thời gian học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn ngày được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN K-NỬA PHÂN TẦNG

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong phần này, chúng tôi trình bày các khái niệm lưới, k-lưới, giả cơ sở, họ hữu hạn địa phương, họ hữu hạn theo điểm, họ HCP, họ CP, ... và mối quan hệ giữa chúng. Ngoài ra, chúng tôi cũng giới thiệu một số định nghĩa về các không gian đặc biệt. 1.1.1 Định nghĩa. Giả sử P = {Pα : α ∈ Λ} là họ các tập con của không gian tôpô X. Khi đó (i) P được gọi là hữu hạn địa phương (locally-finite) của X nếu với mỗi x ∈ X đều tồn tại lân cận U của x sao cho U chỉ có giao với hữu hạn các phần tử của P. (ii) P được gọi là hữu hạn theo điểm (point-finite) nếu mỗi x ∈ X thuộc nhiều nhất là hữu hạn các phần tử của P. (iii) P được gọi là hữu hạn compact (compact-finite) trong X nếu với mỗi tập compact K⊂ X, thì K chỉ giao với hữu hạn phần tử của P. (iv) P được gọi là họ bảo tồn bao đóng (closure preserving) (viết tắt là CP ) nếu ∪{Pα : α ∈ J} = ∪{Pα : α ∈ J}, với mọi J⊂Λ. (v) P được gọi là họ bảo tồn bao đóng di truyền (hereditarily closure preserving)

(viết tắt là HCP ) nếu ∪{Aα : α ∈ J} = ∪{Aα : α ∈ J}, với mọi J⊂Λ và Aα⊂Pα, với mọi α ∈ J. (vi) P được gọi là họ rời rạc nếu với mỗi điểm x ∈ X tồn tại lân cận U của x sao cho U có giao với nhiều nhất là một phần tử của P. 1.1.2 Định nghĩa. P được gọi là họ σ-hữu hạn địa phương (tương ứng σ-HCP, σ-CP ) nếu P là hợp của của đếm được các họ con hữu hạn địa phương (tương ứng HCP, CP ). 1.1.3 Nhận xét S∞([5]). 1) Mỗi họ hữu hạn địa phương, họ rời rạc đều là họ HCP . 2) Nếu P = n=1 Pn, trong đó Pn là họ có tính chất (H) và Pn ⊂ Pn+1, với mọi n ∈ N. Thì P là họ σ-(H). 3) Nếu P là họ HCP và B⊂P, thì B cũng là họ HCP . 1.1.4 Định nghĩa. Giả sử P là họ gồm các tập con của X. (i) P được gọi là k-lưới (k-network) nếu với mọi tập compact K và U là tập mở bất kỳ trong X mà K ⊂ U thì tồn tại họ hữu hạn F ⊂ P sao cho K ⊂ ∪F ⊂ U . (ii) P được gọi là giả cơ sở (pseudobase) của X nếu với bất kỳ tập compact K, K⊂ U và tập mở U ⊂X, thì tồn tại P ⊂ P sao cho K⊂ P ⊂ U . (iii)P được gọi là k-lưới đóng (closed k-network) nếu P là k-lưới và mỗi phần tử của P là một tập đóng trong X. (iv) P được gọi là lưới (network) nếu với mọi x ∈ X và U là tập mở bất kỳ chứa x thì luôn tồn tại P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂U . 1.1.5 Nhận xét. 1) Đối với không gian X, các mệnh đề sau là tương đương (a) X có một giả cơ sở ;

(b) X có một k-lưới. 2) Nếu P là một k-lưới của X thì P = {P : P ∈ P} là k-lưới đóng của X. 1.1.6 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian Fréchet (Fréchet space) nếu với mọi tập A⊂ X và với mọi x ∈ A đều tồn tại một dãy trong A hội tụ đến x. 1.1.7 Mệnh đề. Giả sử X là không gian tôpô, B là một cơ sở của X. Khi đó B là một k-lưới. 1.1.8 Bổ đề ([9]). Cho X là không gian paracompact và f : X −→ Y là ánh xạ đóng. Khi đó mọi tập con compact của Y đều là ảnh của một tập con compact nào đó của X. 1.1.9 Mệnh đề. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng từ không gian paracompact X vào không gian tôpô Y , B là một k-lưới đóng của X. Khi đó {f (B) : B ∈ B} là một k-lưới đóng của Y . 1.1.10 Mệnh đề. Mọi không gian Fréchet được bảo toàn qua ánh xạ đóng. 1.1.11 Mệnh đề ([14]). Cho P là họ HCP của không gian tôpô X. Khi đó họ 0 P = {P : P ∈ P} cũng là họ HCP của X. 1.1.12 Nhận xét. Theo Mệnh đề 1.1.11 nếu P là một họ σ-HCP của X, ta có thể giả sử rằng P là họ gồm những tập đóng của X. 1.1.13 Mệnh đề ([5]). Mọi không gian metric đều có một cơ sở σ-rời rạc.

1.2

Một số tính chất của không gian k-nửa phân tầng

giới thiệu khái niệm về không gian k-nửa phân tầng và một số tính chất cơ bản của nó. Bên cạnh đó, chúng tôi đưa ra và chứng minh chi tiết được điều kiện để một không gian k-nửa phân tầng là khả mêtric, hay điều kiện để không gian k-nửa phân tầng trở thành không gian Lasnev, .... 1.2.1 Định nghĩa ([11]). Ký hiệu F là họ tất cả các tập con đóng của không gian X. X được gọi là không gian k-nửa phân tầng (k-semistratifiable space), nếu tồn tại một ánh xạ S : N × TX −→ F sao cho a) Với mỗi U ∈ TX thì U = ∪{S(n, U ) : n ∈ N}. b) Nếu với U, V ∈ TX và U ⊂ V thì S(m, U ) ⊂ S(m, V ), với mọi m ∈ N. c) Nếu K ⊂ U ∈ TX với K là tập compact thì K ⊂ S(m, U ) với m nào đó. Ta gọi S là một k-nửa phân tầng của X Nếu S chỉ thoả mãn điều kiện a) và b) thì X được gọi là không gian nửa phân tầng (semistratifiable space). Khi đó ta gọi S là một nửa phân tầng của X. 1.2.2 Nhận xét. i) Mỗi k-nửa phân tầng của không gian X luôn là một giả cơ sở và do đó, là một k-lưới; ii) Mỗi nửa phân tầng của X luôn là một lưới. 1.2.3 Định nghĩa ([12]). Họ P các tập con của không gian X được gọi là hữu hạn trên các tập compact (finite on compact subsets) của X , gọi tắt là CF trong X, nếu với mọi tập compact K của X thì P/K = {K ∩ P : P ∈ P} là hữu hạn phần tử.

1.2.4 chú ý ([12]). Mọi phủ CF H của không gian Fréchet X đều có một cái mịn HCP P thoả mãn, với mọi tập compact K và H ∈ H mà K⊂H thì tồn tại một họ hữu hạn P0⊂P sao cho K⊂ ∪ P0⊂H. 1.2.5 Định nghĩa ([12]). Họ P các tập con của không gian X được gọi là CF ∗ trong X nếu với tập con compact K của X, P/K là hữu hạn, nghĩa là P/K = {P1, P2, ..., Pk } và nếu |Pi| ≥ ℵ0, thì Pi = {P ∈ P : P ∩ K = Pi} là hữu hạn. 1.2.6 Nhận xét ([12]). Ta có sơ đồ sau HCP =⇒ CF ∗ =⇒ CF . 1.2.7 Định nghĩa ([11]). k-nửa phân tầng (tương ứng nửa phân tầng) S của không gian X được gọi là có tính chất (CF ) nếu điều kiện (gọi là điều kiện (CF )) dưới đây được thoả mãn (CF ): Với mỗi n ∈ N, {S(n, U ) : U ∈ TX } là CF trong X. Khi đó X được gọi là không gian k-nửa phân tầng (tương ứng nửa phân tầng) với tính chất (CF ). 1.2.8 Định nghĩa ([12]). Giả sử H = {Hλ : λ ∈ Λ} là một phủ các tập con của X và ∼ là một quan hệ tương đương trên X xác định bởi x ∼ y ⇔ {λ ∈ Λ : x ∈ Hλ} = {λ ∈ Λ : y ∈ Hλ}. Ký hiệu P = {P (δ) : δ ∈ ∆} là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ ∼, trong đó ∆ ⊂ 2Λ và với mỗi δ ∈ ∆, P (δ) = ∩{Hλ : λ ∈ δ} − ∪{Hλ : λ ∈ Λ \ δ} = 6 ∅. Ta gọi P là sự phân hoạch rời rạc của X bởi H. 1.2.9 Định lý ([11]). Nếu không gian X có k-lưới σ-HCP , thì X là một không gian k-nửa phân tầng với tính chất (CF ).

1.2.10 Bổ đề. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng, liên tục, B là một họ σ-HCP trong X. Khi đó {f (B) : B ∈ B} là họ σ-HCP trong Y . 1.2.11 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian Lasnev (Lãsnev space) nếu nó là ảnh của một không gian metric qua ánh xạ đóng. 1.2.12 Bổ đề ([12]). Mọi không gian Lasnev thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất là khả metric. 1.2.13 Mệnh đề ([4]). Một không gian X là không gian Lasnev nếu và chỉ nếu nó là không gian Fréchet với một k-lưới σ-HCP . 1.2.14 Bổ đề ([12]). Họ H các tập con nào đó của không gian tôpô X là hữu hạn compact khi và chỉ khi H là họ CF và hữu hạn theo điểm trong X. 1.2.15 Mệnh đề ([12]). Các khẳng định sau là tương đương đối với không gian X (1) X là không gian Lasnev; (2) X là không gian Frechet với k-lưới đóng σ-HCP ; (3) X là không gian Frechet với k-lưới σ-HCP ; (4) X là không gian Frechet với k-lưới σ-HCP hữu hạn theo điểm; (5) X là không gian Frechet với k-lưới σ-hữu hạn compact; (6) X là không gian Frechet với k-lưới σ-CF ∗; (7) X là không gian Frechet với k-lưới σ-CF ; (8) X là không gian Frechet với lưới ∪{Hn : n ∈ N} sao cho Hn là CF trong X và nếu với tập K compact bất kỳ, tập U mở trong X mà K⊂U , thì tồn tại họ H0⊂Hn, n ∈ N sao cho K⊂ ∪ H0⊂U ;

(9) X là không gian Fréchet với giả cơ sở σ-CF . 1.2.16 Mệnh đề ([12]). Đối với không gian X, các mệnh đề sau là tương đương (1) X khả metric; (2) X là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất và có một k-lưới σ-hữu hạn compact; (3) X là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất và có một k-lưới σ-CF ∗; (4) X là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất và có một k-lưới σ-CF ; (5) X là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất và có một giả cơ sở σ-CF . 1.2.17 Định lý ([11]). Các khẳng định sau là tương đương đối với không gian X (1) X là không gian Lasnev; (2) X là không gian Fréchet, k-nửa phân tầng với tính chất (CF); (3) X là không gian Fréchet với một giả cơ sở σ-CF . 1.2.18 Hệ quả ([11]). Không gian tôpô X là khả mêtric khi và chỉ khi X là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất, k-nửa phân tầng với tính chất (CF ). 1.2.19 Mệnh đề. Nếu X là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai thì nó là không gian k-nửa phân tầng với tính chất (CF ). 1.2.20 Định lý ([11]). Nếu X được nhúng vào một tích đếm được các không gian Lasnev thì X là một không gian k-nửa phân tầng với tính chất (CF ).

1.3

Mối quan hệ giữa các không gian nửa phân tầng, k-nửa phân tầng và các không gian với phủ có tính chất CF, CF ∗, HCP

1.3.1 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là ℵ-không gian (ℵ-space) nếu nó có một k-lưới σ-hữu hạn địa phương. 1.3.2 Nhận xét. Mọi ℵ-không gian là không gian k-nửa phân tầng với tính chất (CF ). 1.3.3 Mệnh đề. Mọi không gian metric X là không gian k-nửa phân tầng với tính chất (CF ). 1.3.4 Mệnh đề. Mọi không gian rời rạc là không gian k-nửa phân tầng với tính chất (CF ). 1.3.5 Định nghĩa ([11]). Không gian tôpô X được gọi là σ-không gian (σ-space) nếu nó có lưới σ-hữu hạn địa phương, hoặc tương đương có lưới σ-CP . 1.3.6 Mệnh đề ([11]). Mọi không gian k-nửa phân tầng là một σ-không gian. 1.3.7 Nhận xét. Tồn tại một không gian k-nửa phân tầng với tính chất (CF ) nhưng không có k-lưới σ-HCP . 0

1.3.8 Định nghĩa ([12]). Không gian tôpô X được gọi là k -không gian nếu với mọi tập con không đóng A của X và với mọi x ∈ A \ A đều tồn tại tập compact K⊂X sao cho x ∈ A ∩ K. 0

1.3.9 Nhận xét. Nếu X là không gian Fréchet =⇒ X là k -không gian.

0

1.3.10 Bổ đề ([12]). Nếu X là k -không gian, thì mọi họ CF trong X đều là họ CP trong X. 1.3.11 Định lý ([11]). Mọi σ-không gian là không gian nửa phân tầng với tính chất (CF ). Điều ngược lại không đúng, nhưng nếu thêm điều kiện thì ta có 1.3.12 Định lý ([11]). Nếu X là không gian Fréchet, nửa phân tầng với tính chất (CF ) thì X là một σ-không gian. 1.3.13 Bổ đề ([11]). Nếu X là không gian có k-lưới σ-HCP , Hlà họ gồm các tập con đóng của X, thì X = X1 ∪ X2, trong đó X1 là σ-không gian con đóng rời rạc và X2 là ℵ-không gian sao cho với mỗi p ∈ X2, H là một họ σ-hữu hạn địa phương tại p trong X. 1.3.14 Ví dụ ([11]). Tồn tại một không gian không có k-nửa phân tầng với tính chất (CF ). 1.3.15 Nhận xét. Dựa vào các kết quả đã thu được trong chương này và các kết quả đã có trong [11], ta có sơ đồ sau

Lasnev không gian YYYYYY

lYYYYYY YYYYYYY YYYYYY YYYYYY Y/YYYY YYYYYY YYYYYY YY, YYYY

ℵ-không gian O / 

k-lưới σO − HCP / 

Không gian k-nửa phânO tầng với tính chất (CF ) / 

Không gian k-nửa phân tầng O / 

σ-không gian O / 

Không gian nửa phân tầng với tính chất (CF ) O / 

Không gian nửa phân tầng

trong đó A → B nghĩa là A kéo theo B, còn A 9 B nghĩa là A không kéo theo B.

CHƯƠNG 2 SỰ BẢO TỒN CỦA KHÔNG GIAN K-NỬA PHÂN TẦNG QUA MỘT SỐ ÁNH XẠ

2.1

Một số khái niệm và kết quả liên quan

2.1.1 Định nghĩa ([3]). Giả sử f : X −→ Y là một ánh xạ (1) f được gọi là ánh xạ đóng (closed mapping) [tương ứng ánh xạ mở (open mapping)] nếu với mọi tập đóng (tương ứng, mở) A trong X ta có f (A) là tập đóng (tương ứng, mở) trong Y . (2) f được gọi là ánh xạ phủ-compact (compact-covering mapping) nếu mỗi tập con compact trong Y là ảnh của một tập con compact nào đó trong X. (3) f được gọi là ánh xạ compact (compact mapping) nếu với mọi y ∈ Y ta có f −1(y) là tập compact trong X. (4) f được gọi là ánh xạ hoàn chỉnh (perfect mapping) nếu f là ánh xạ đóng và compact. 2.1.2 Định nghĩa ([3]). Giả sử X là không gian tôpô và tập A⊂X. Khi đó A được gọi là Gδ -tập trong X nếu A là giao của đếm được các tập mở trong X. 2.1.3 Bổ đề ([8]). X là không gian k-nửa phân tầng nếu và chỉ nếu tồn tại một phiếm hàm g : N × X −→ TX sao cho

(1) x ∈ g(n + 1, x)⊂g(n, x) với mọi n ∈ N và mọi x ∈ X; (2) Nếu xn ∈ g(n, an) với mọi n ∈ N và xn → p trong X, thì an → p trong X. 2.1.4 Bổ đề ([8]). Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng và mỗi điểm của X là Gδ -tập trong X. Nếu tồn tại một dãy {xn} trong X sao cho {f (xn)} là dãy hội tụ trong Y và f (xn) 6= f (xm) với n 6= m, thì {xn} chứa một dãy con hội tụ trong X. 2.1.5 Định nghĩa. Họ P các tập con của không gian tôpô X được gọi là đếm được theo điểm (point-countable) của X nếu mỗi x ∈ X thuộc nhiều nhất là đếm được các phần tử của P. 2.1.6 Nhận xét. Mọi họ hữu hạn địa phương là họ đếm được theo điểm. 2.1.7 Mệnh đề ([13]). Mọi không gian compact có k-lưới đếm được theo điểm là khả mêtric. 2.1.8 Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô và {xn : n ∈ N} là dãy trong X hội tụ về điểm x ∈ X. Khi đó , {xn : n ∈ N} ∪ {x} là tập compact. 2.1.9 Hệ quả. Cho X là không gian tôpô và dãy {xn : n ∈ N} hội tụ về điểm x. Khi đó {x} ∪ {xn : n ≥ m} là tập compact trong X với mọi m ∈ N. 2.1.10 Định nghĩa ([8]). Giả sử Un là dãy các phủ mở của không gian X. Ta ký hiệu st(x, Un) = ∪{P : x ∈ P ∈ Un},st(K, Un) = ∪{P : K ∩ P 6= ∅, P ∈ Un}. Khi đó (1) Un được gọi là Gδ -dãy đường chéo trong X nếu {x} = ∩n∈Nst(x, Un) với mọi x ∈ X. (2) Un được gọi là KG-dãy trong X nếu với xn ∈ st(an, Un) với mọi n ∈ N, và xn → p, an → q, thì p = q.

(3) Un được gọi là K − G∗δ dãy đường chéo trong X nếu với mọi tập con compact K của X ta có K = ∩n∈Ncl(st(K, Un)). 2.1.11 Nhận xét ([8]). Trong không gian X, ta có K-G∗δ -dãy đường chéo ⇒ KG-dãy ⇒ Gδ -dãy đường chéo. 2.1.12 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian metric compact nếu mọi dãy trong X đều tồn tại một dãy con hội tụ.

2.2

Sự bảo tồn các không gian k-nửa phân tầng

2.2.1 Mệnh đề. Mọi σ-không gian được bảo toàn qua ánh xạ đóng. 2.2.2 Bổ đề. Mọi tập con đóng rời rạc của tập compact là hữu hạn. 2.2.3 Bổ đề ([5]). Mọi không gian compact khả metric là khả ly. 2.2.4 Định lý ([8]). Mọi ánh xạ đóng từ không gian k-nửa phân tầng lên không gian bất kỳ là ánh xạ phủ-compact. 2.2.5 Hệ quả ([8]). Không gian k-nửa phân tầng được bảo tồn qua ánh xạ đóng. 2.2.6 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian subparacompact nếu nó thoả mãn một trong ba điều kiện tương đương sau a) Mỗi phủ mở của X đều có cái mịn đóng σ-hữu hạn địa phương; b) Mỗi phủ mở của X đều có cái mịn đóng σ-rời rạc; c) Mỗi phủ mở của X đều có cái mịn đóng σ − CP . 2.2.7 Nhận xét ([8]). Mọi không gian nửa phân tầng là không gian subparacompact. 2.2.8 Bổ đề ([8]). Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ mở và compact, X là σ-không gian. Khi đó Y là σ-không gian khi và chỉ khi nó là một không gian subparacompact. 2.2.9 Định lý ([8]). ảnh mở và compact của không gian k-nửa phân tầng là một σ-không gian. 2.2.10 Bổ đề ([8]). Mọi không gian compact có một Gδ -dãy đường chéo là khả metric.

2.2.11 Định lý ([8]). Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ hoàn chỉnh và Y là không gian k-nửa phân tầng. Khi đó X là không gian k-nửa phân tầng khi và chỉ khi có KG-dãy. 2.2.12 Định nghĩa ([8]). Kí hiệu (Un)K = {U ∈ Un : U ∩ K 6= ∅}. Không gian tôpô X được gọi là không gian submesocompact nếu với mỗi phủ mở U của X tồn tại một dãy các phủ mở {Un} của X sao cho Un⊂U, với mọi n và với mọi tập compact, khác rỗng K của X đều tồn tại n ∈ N sao cho (Un)K là hữu hạn. 2.2.13 Nhận xét ([7]). Nếu không gian submesocompact X có một Gδ -dãy đường chéo thì X có một K-G∗δ -dãy đường chéo. 2.2.14 Hệ quả ([8]). Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ hoàn chỉnh, X là không gian submesocompact và Y là không gian k-nửa phân tầng. Khi đó X là không gian k-nửa phân tầng khi và chỉ khi X có một Gδ -dãy đường chéo.

KẾT LUẬN

Sau một thời gian làm việc nghiêm túc, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, PGS. TS. Trần Văn Ân, chúng tôi đã đạt được các kết quả chính sau đây: 1. Hệ thống một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian Lasnev, không gian Fréchet, ℵ-không gian, σ-không gian, không gian nửa phân tầng, không gian k-nửa phân tầng, k-lưới, giả cơ sở, họ HCP , họ CP , họ CF ,... 2. Chứng minh một cách chi tiết các kết quả đã có trong các tài liệu [11], [8], [12] mà chưa được chứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt, thể hiện ở Định lý 1.2.9, 1.2.17, 1.3.11, 2.2.4, 2.2.9, 2.2.11; Mệnh đề 1.2.15, 2.2.1; Hệ quả 2.2.5, 1.2.18. 3. Đưa ra và chứng minh chi tiết một số kết quả, đó là các Mệnh đề 1.2.19, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.6; Đặc biệt là thể hiện được mối quan hệ giữa các không gian nửa phân tầng, k-nửa phân tầng và một số không gian tôpô thường gặp. 4. Đặt ra các vấn đề mở I Không gian k-nửa phân tầng có bảo tồn qua ánh xạ phủ-compact không? I Trong Định lý 2.2.11, nếu thay KG-dãy bởi Gδ -dãy đường chéo thì định lý có còn đúng không?

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] C.J. R. Borges (1996), On stratifiable spaces, Pacific J.Math., 17, 1-16. [2] J. G. Ceder (1961), Some generalizations of metric spaces, Pacific J. Math., 11, 105-125. [3] R. Engelking (1977), General Topology, PWN-Polish Scientific Publishers, Warszawwa. [4] L. Foged (1985), A characterization of closed images of metric spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 95, 478-490. [5] J. L. Kelley (1973), Tôpô đại cương, Nhà xuất bản ĐH và THCN, Hà Nội. [6] S. Lin (1988), On a problem of K. Tamano, Q. and A. in General Topology, 6, 99-102. [7] S. Lin (1995), Perfect preimages of some spaces, Northeastern Math. J., 11, 343-348. [8] S. Lin (1997), Mapping theorems on k-semistratifiable spaces, Tsukuba J. Math., 21(3), 809-815. [9] E. Michael (1964), A note on closed maps and compact sets, Isarel J. Math., 2, 173-176. [10] E. Michael and K. Nagami (1973), Compact-covering images of metric space, Proc. Amer. Math. Soc., (37), 260-266. [11] T. Mizokami (1990), Some Properties of k-semistratifiable spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 108(2), 535-539. [12] T. Mizokami (1990), On CF families and hyperspaces of compact subsets, Topology Appl., 35, 75-92. [13] Y. Tanaka (2001), Theory of k-network II, Q. and A in General Top., 19, 27-36.

[14] Tran Van An and Nguyen Thi Le (2005), Spaces with σ-hereditarily closure-preseving k-network, Tạp chí Khoa học, Đại học Vinh, 34 (1A), 29-36.