Cuc Tri Nvn

Vấn đề 6: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Nguyễn Văn Nho – Trường THPTTT Nguyễn Khuyến, TPHCM Các phương pháp tìm cực trị của hàm số Phương pháp 1: Tìm f ' ( x ) . Tìm các điểm xi ( i = 1, 2,...) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đao hàm Lập bảng xét dấu f ' ( x ) . Nếu f ' ( x ) đổi dấu khi x qua xi thì hàm số đạt cực trị tại

xi .

Phương pháp 2: +Tìm f ' ( x ) +Giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm các nghiệm xi ( i = 1, 2,...) . Nếu f '' ( xi ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm

xi .

Nếu f '' ( xi ) < 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

xi .

y = ( m + 2 ) x3 + 3 x 2 + mx + m

2)

Ví dụ 1. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cđ và ct : 1) Giải: 1)

+Tính f '' ( xi ) .

y=

x 2 + 2m2 x + m2 x +1

y = ( m + 2 ) x3 + 3 x 2 + mx + m . Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = 3 ( m + 2 ) x 2 + 6 x + m

2 Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = 0 hay g ( x ) = 3 ( m + 2 ) x + 6 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt

m ≠ −2 m + 2 ≠ 0 m ≠ −2 ⇔ ⇔ ⇔ Vậy giá trị cần tìm là: −3 < m < 1 và m ≠ −2 . 2 ∆ ' = 9 − 3m ( m + 2 ) > 0 −3 < m < 1 3 ( −m − 2m + 3) > 0 x 2 + 2 x + m2 x 2 + 2m2 x + m2 2) y = . Tập xác định: D = ¡ \ { −1} . Đạo hàm: y ' = . Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = 0 hay 2 ( x + 1) x +1 2  −1 < m < 1 ∆ ' = 1 − m > 0 g ( x ) = x 2 + 2 x + m 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác –1 ⇔  ⇔ ⇔ −1 < m < 1 . Vậy gt cần tìm là: −1 < m < 1 2 g − 1 = − 1 + m ≠ 0 ( )  m ≠ ±1 3 2 Ví dụ 2. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị: 1) y = ( m − 3) x − 2mx + 3 .

2)

y=

mx 2 + x + m x+m

y = ( m − 3) x 3 − 2mx 2 + 3 . Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = 3 ( m − 3) x 2 − 4mx ; y ' = 0 ⇔ 3 ( m − 3) x 2 − 4mx = 0 (1) Xét m = 3 : y ' = 0 ⇔ −12 x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y ' đổi dấu khi x đi qua x0 = 0 ⇒ Hàm số có cực trị ⇒ m = 3 không thỏa

Giải: 1)

 

m − 3 ≠ 0 Xét m ≠ 3 : Hàm số không có cực trị ⇔ y ' không đổi dấu ⇔ phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔  2 ∆ ' = 4m ≤ 0

m ≠ 3 ⇔ ⇔ m = 0 Vậy giá trị cần tìm là m=0. m = 0 mx 2 + 2m 2 x mx 2 + x + m 2 2 . Tập xác định: D = ¡ \ { −m} . Đạo hàm: y ' = . y ' = 0 ⇔ g ( x ) = mx + 2m x = 0 2 ( x + m) x+m Hàm số không có cực trị ⇔ y ' không đổi dấu ⇔ phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép  Xét m=0: y ' = 0, ∀x ≠ − m ⇒ m = 0 thỏa  Xét m ≠ 0 : Yêu cầu bài toán ⇔ ∆ ' = m 4 ≤ 0 : vô nghiệm ∀m ≠ 0 . Vậy giá trị cần tìm là: m=0. 2)

y=

(1)

( x ≠ −m )

x 2 − mx + m . Chứng minh với mọi m hàm số luôn luôn có cực trị và khoảng cách giữa các điểm cực trị là không đổi. x −1

Ví dụ 3. Cho hàm số y =

Giải: Tập xác định: D = ¡ \ { 1} . Đạo hàm: y ' =

x2 − 2x

( x − 1)

2

 x = 0 ⇒ y = −m . y' = 0 ⇔  . Vậy y ' = 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m x = 2 ⇒ y = 4 − m

⇒ Hàm số luôn có cực trị. Tọa độ các điểm cực trị A ( 0; −m ) , B ( 2;4 − m ) . Khoảng cách giữa A, B là: AB =

( 2 − 0)

2

+ ( 4 − m + m ) = 2 5 = const 2

x 2 + mx + 1 . Định m để hàm số đạt cực đại tại x=2 x+m

Ví dụ 4. Cho hàm số y =

Giải: Tập xác định: D = ¡ \ { −m} . Đạo hàm: y ' =

x 2 + 2mx + m2 − 1

( x + m)

2

. Điều kiện cần hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇒ y ' ( 2 ) = 0

m 2 + 4m + 3 = 0 x = 0 x2 − 2x  m = −1 = 0 ⇔  =0⇔ ⇔ . Điều kiện đủ : + Với m = −1 : y ' = 2 m = − 3 m ≠ − 2 x − 1 ( 2 + m)  ( ) x = 2  Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x=2 ⇒ m = −1 không thỏa. ⇔

m 2 + 4m + 3 2

+ Với m=-3: y ' =

x2 − 6 x + 8

( x − 3)

2

x = 2 =0⇔ Bảng biến thiên x = 4

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=2 ⇒ m = −3 thoả yêu cầu bài toán. Vậy giá trị cần tìm là: m=-3 1 2 1 y' = Cách khác: Ta có: y = x + Tập xác định: D = ¡ \ { −m} y ' = 1 − 2 3 ( x + m) ( x + m) x+m

Hàm số đạt cực đại tại

x=2

Ví dụ 5. Cho hàm số y =

1  =0 m 2 + 4m + 3 = 0 2 1 −  y ' ( 2 ) = 0 2 + m) ( m = −1 ∨ m = −3   ⇔ ⇔ ⇔ m ≠ −2 ⇔ ⇔ m = −3 Vậy giá trị cần tìm là: m=-3 2  y '' ( 2 ) < 0 m < −2  m < −2 < 0  ( 2 + m) 3 

ax 2 + bx + ab . Tìm các giá trị của a, b sao cho hàm số đạt cực trị tại x=0 và x=4 ax + b

Giải: Hàm số xác định khi ax + b ≠ 0 . y ' =

a 2 x 2 + 2abx + b2 − a2 b

 b 2 − a 2b =0  2  y ' ( 0 ) = 0  b ⇒ ⇔ 2 2 2  y ' ( 4 ) = 0 16a + 8ab + b − a b = 0 2  ( 4a + b )  + Điều kiện đủ: Với a=-2, b=4, ta có: y ' =

( ax + b )

2

. + Điều kiện cần: Hàm số đạt cực trị tại x=0 và x=4

b 2 − a 2b = 0 b = a 2 > 0  b ≠ 0  a = −2  ⇔ 2 ⇔ 8a 2 ( a + 2 ) = 0 ⇔  2 2 b = 4 16a + 8ab + b − a b = 0  2 4a + b ≠ 0 4a + a ≠ 0  x2 − 4x

( − x + 2)

2

x = 0 =0⇔ . Bảng biến thiên x = 4

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=0 và đạt cực tiểu tại x=4. Vậy giá trị cần tìm là: a = −2, b = 4 . 3 2 2 Ví dụ 6. Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + ( m − 3m + 2 ) x + 4 . Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía

của trục tung.

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Đà Nẵng, 2000)

Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = 3 x − 2 ( 2m + 1) x + m − 3m + 2 . Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung ⇔ y ' = 0 hay 2

2

g ( x ) = 3 x 2 − 2 ( 2m + 1) x + m2 − 3m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả x1 < 0 < x2 ⇔ 3.g ( 0 ) < 0 ⇔ m 2 − 3m + 2 < 09 ⇔ 1 < m < 2 Ví dụ 7. Cho hàm số

y = 2 x3 + ax 2 − 12 x − 13 (a là tham số). Với những giá trị nào của a thì đồ thị của hàm số có điểm cực đại, điểm cực

tiểu, các điểm này cách đều trục tung.

(Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1997)

Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = 6 x + 2ax − 12 = 2 ( 3 x + ax − 6 ) . Hàm số có cực đại và cực tiểu cách đều trục tung ⇔ y ' = 0 hay 2

2

∆ = a 2 + 72 > 0, ∀a  g ( x ) = 3 x + ax − 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả x1 + x2 = 0 ⇔  ⇔ a = 0 . Vậy giá trị cần tìm là: a = 0 a  x1 + x2 = − = 0 3  2

1 3 1 2 Ví dụ 8. Cho hàm số y = x + x + mx . Định m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ x>m. (DH Y Dược TPHCM, 1996) 3 2 2 Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = x 2 + x + m . Yêu cầu bài toán ⇔ y ' = 0 hay g ( x ) = x + x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả

 1   ∆ = 1 − 4m > 0 m < 4   m < x1 < x2 ⇔ 1.g ( m ) = m 2 + 2m > 0 ⇔ m < −2 ∨ m > 0 ⇔ m < −2 . Vậy giá trị cần tìm là: m < −2 . S  1  = −1 > m m < −  2 2  2 3 2 2 2 Ví dụ 9. Cho hàm số y = − x + 3 ( m + 1) x − ( 3m + 7 m − 1) x + m − 1 .Định m để hàm số đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1 2 2 Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = −3 x + 6 ( m + 1) x − ( 3m + 7 m − 1) . Yêu cầu bài toán ⇔ y ' = 0

 x1 < 1 < x2 ( 1) 2 2 ( 1) ⇔ −3.g ( 1) < 0 ⇔ 3 ( 3m 2 + m − 4 ) < 0 hay g ( x ) = −3 x + 6 ( m + 1) x − ( 3m + 7 m − 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả  x < x ≤ 1 2 ( )  1 2  9 ( m + 1) 2 − 3 ( 3m2 + 7m − 1) > 0 m < 4 ∆ ' > 0 −3m + 12 > 0    4 4   4  ⇔ − < m < 1 (a) ; ⇔ 3m 2 + m − 4 ≥ 0 ⇔ m ≤ − ∨ m ≥ 1 ⇔ m ≤ − ( 2 ) ⇔ −3.g ( 1) ≥ 0 ⇔ 3 ( 3m2 + m − 4) ≥ 0 3 3 3 S   m < 0   <1 m + 1 < 1 m < 0  2 Kết hợp (a) và (b) ta có giá trị cần tìm là: m < 1 .

(b)

3 2 Ví dụ 10. Cho hàm số y = x − 3 x + 2 ( C ) . Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ở về hai phía

khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài): x 2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a2 − 1= 0 .

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học An Ninh, 2000)

x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A ( 0; 2 ) , B ( 2; −2 ) Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = 3x 2 − 6 x ; y ' = 0 ⇔   x = 2 ⇒ y = −2 2 2 2 Đặt ( Ca ) : x + y − 2ax − 4ay + 5a − 1 = 0 . Hai điểm A, B ở về hai phía của hai đường tròn ( Ca ) ⇔ PA / ( Ca ) .PB / ( C a ) < 0 ⇔ ( 5a 2 − 8a + 3) ( 5a 2 + 4a + 7 ) < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0

(do 5a 2 + 4a + 7 > 0, ∀a ) ⇔

2 2 Cách khác: Phương trình đường tròn ( Ca ) được viết lại: ( x − a ) + ( y − 2a ) = 1 ;

Ta có: IB =

( a − 2)

2

+ ( 2a + 2 )

2

2

( Ca )

2  36 6  ≥ >1= R = 5a 2 + 4a + 8 = 5  a +  + 5 5 5  

3 < a <1 5 có tâm I ( a;2a ) và bán kính R=1

⇒ Điểm B nằm ở ngoài ( Ca )

2 Do đó:Điểm A nằm phía trong đường tròn ( Ca ) ⇔ IA < 1 ⇔ a 2 + ( 2 − 2a ) < 1 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔

3 < a <1 . 5

1 3 1 2 Ví dụ 11. Cho hàm số y = mx − ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) x + . Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các 3 3 điểm cực đại và cực tiểu x1 , x2 thoả x1 + 2 x2 = 1 .

2 2 Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = mx − 2 ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) . Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = 0 hay mx − 2 ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) = 0 có

m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0  ⇔ ⇔ ⇔ hai nghiệm phân biệt x1 , x2  2 − 6  2 2 + 6 (*) 2 − 2 m + 4 m + 1 > 0 ∆ ' = m − 1 − 3 m m − 2 > 0  <m< ( ) ( )   2  2 2 ( m − 1) 3( m − 2 ) Theo định lí Vi-ét và theo đề bài, ta có: x1 + x2 = (1) ; x1.x2 = (2) ; x1 + 2 x2 = 1 (3) m m 3m − 4 2−m  3m − 4  2 − m  3 ( m − 2 ) , x2 = Từ (1) và (3), ta có: x1 = . Thế vào (2), ta được:  ⇔ 3m 2 − 8m + 4 = 0 (do m ≠ 0 )  = m m m  m  m  2  m= ⇔ 3   m = 2

(thoả (*)). Vậy giá trị cần tìm là: m =

2 ∨m=2 . 3

(

)

3 2 2 Ví dụ 12. Cho hàm số y = x − 3 ( m + 1) x + 2 m + 7 m + 2 x − 2m ( m + 2 ) . Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường

thẳng qua cực đại, cực tiểu đó.

(

)

(Trích ĐTTS vào Học viện Kĩ thuật Mật mã, năm 1999)

(

)  Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 9 ( m + 1) − 6 ( m + 7m + 2 ) > 0 ⇔ 3 ( m − 8m − 1) > 0 1 2 2 ⇔ m < 4 − 17 ∨ m > 4 + 17 . Lấy y chia cho y’, ta có: y = ( x − m − 1) . y '− ( m − 8m − 1) x + ( m + 5m + 3m + 2 ) 3 3 3 2 2 Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = 3x − 6 ( m + 1) x + 2 m + 7 m + 2 ; y ' = 0 ⇔ 3 x − 6 ( m + 1) x + 2 m + 7 m + 2 = 0 (1) 2

2

2

2

2

2

Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì

x1 , x2

(

)

(

)

(

)

(

)

3

2

là nghiệm của (1). Ta có:

1 2 2 2 3  2 2 2  y1 = ( x1 − m − 1) . y ' ( x1 ) − m − 8m − 1 x1 + m + 5m + 3m + 2 3 3 3 ⇒ y1 = − m 2 − 8m − 1 x1 + m3 + 5m 2 + 3m + 2  3 3  y '( x ) = 0 1  Tương tự ta cũng có: y2 = −

2 2 2 m − 8m − 1 x2 + m 3 + 5m 2 + 3m + 2 . 3 3

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là: y = −

(

)

(

)

(

(

)

)

2 2 2 m − 8m − 1 x + m3 + 5m 2 + 3m + 2 . 3 3

Ví dụ 13. Cho hàm số y = x3 − 6 x 2 + 3 ( m + 2 ) x − m − 6 . Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu. Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = 3x 2 − 12 x + 3 ( m + 2 ) ; y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 12 x + 3 ( m + 2 ) = 0

(1)

 Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 36 − 9 ( m + 2 ) > 0 ⇔ 2 − m > 0 ⇔ m < 2 Lấy y chia cho y’, ta có: y =

(*)

1 ( x − 2 ) . y '+ 2 ( m − 2 ) x + m − 2 . Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x1, x2 là nghiệm của (1) 3

1   y1 = ( x1 − 2 ) . y ' ( x1 ) + 2 ( m − 2 ) x1 + m − 2 x + x = 4, x x = m + 2 ⇒ y1 = 2 ( m − 2 ) x1 + m − 2 3 Theo định lí Vi-ét, ta có: 1 2 . Ta có:  1 2  y '( x ) = 0 1 

Tương tự ta cũng có: y2 = 2 ( m − 2 ) x2 + m − 2 . Yêu cầu bài toán ⇔ y1. y2 > 0 ⇔  2 ( m − 2 ) x1 + m − 2   2 ( m − 2 ) x2 + m − 2  > 0 ⇔ ( m − 2)

2

( 2 x1 + 1) ( 2 x2 + 1) > 0

⇔ ( m − 2 )  4 x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 1 > 0 ⇔ ( m − 2 )  4 ( m + 2 ) + 2.4 + 1 > 0 ⇔ ( m − 2 ) 2

2

2

( 4m + 17 ) > 0

17  m > − 17 ⇔ 4 . So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: − < m < 2 . 4 m ≠ 2 Ví dụ 14. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + m 2 x + m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ 1 5 thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x − . (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001) 2 2 Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = 3x 2 − 6 x + m 2 ; y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x + m 2 = 0

(1)

 Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 9 − 3m2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3

Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số và I là trung điểm của đoạn AB . Do x1, x2 là nghiệm của (1) nên theo định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = 2 , x1.x2 =

k2 =

 AB ⊥ ∆ 1 5 m2 . Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ : y = x − ⇔  . Đường thẳng 2 2 3 I ∈ ∆

∆

và AB có hs góc lllà: k1 =

1 2

3 3 2 2 2 m2 2m 2 − 6 2 y2 − y1 x2 − x1 − 3 ( x2 − x1 ) + m ( x2 − x1 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 3 ( x1 + x2 ) + m 2 = 4 − − 6 + m2 = = 3 3 x2 − x1 x2 − x1

 x1 = 0 ⇒ y1 = 0 1  2m 2 − 6  2 AB ⊥ ∆ ⇔ k1.k 2 = − 1 ⇔ .  = −1 ⇔ m = 0 . Với m=0: y ' = 3x − 6 x = 0 ⇔  2  3   x2 = 2 ⇒ y2 = −4 ⇒ Trung điểm của AB là: I ( 1; −2 ) . T a có: I ∈ ∆ Vậy: m = 0 thoả yêu cầu bài toán.

⇒ Đồ thị hs có 2 cực trị là A ( 0;0 ) , B ( 2; −4 )

Ví dụ 15. Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều. (Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997)

x = 0 Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = 4 x 3 − 4mx ; y ' = 0 ⇔  2  x = m

( *)

Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu

 x = 0 ⇒ y = m 4 + 2m khi x qua các nghiệm đó ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m > 0 . Khi đó : y ' = 0 ⇔  4 2  x = ± m ⇒ y = m − m + 2m

(

) (

4 4 2 Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là A ( 0; m + 2m ) và hai điểm cực tiểu là B − m ; m − m + 2m , C

m ; m4 − m2 + 2m

)

 AB = AC 3 Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều ⇔  ⇔ AB 2 = BC 2 ⇔ m + m 4 = 4m ⇔ m ( m − 3) = 0 ⇔ m = 3 3 (do m > 0 )  AB = BC Vậy giá trị cần tìm là: m = 3 3 . 4 2 Ví dụ 16. Cho hàm số y = kx + ( k − 1) x + 1 − 2k . Xác định các giá trị của tham số k để đồ thị của hàm số chỉ có một điểm cực trị.

x = 0 3 Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = 4kx − 2 ( k − 1) x ; y ' = 0 ⇔  2  2kx + k − 1 = 0 và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó ⇔ Vậy giá trị cần tìm là: k ≤ 0 ∨ k ≥ 1 . Ví dụ 17. Cho hàm số y =

( *)

. Hàm số chỉ có một cực trị ⇔ y ' = 0 có một nghiệm duy nhất

k = 0 k = 0  ⇔ ⇔ k ≤ 0∨ k ≥1 Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm x=0 ⇔  k ≠ 0 k < 0 ∨ k ≥ 1  ∆ ' = −2k ( k − 1) ≤ 0 

1 4 3 x − mx 2 + . Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. 2 2

(Trích ĐTTS Đại học Cảnh sát, 2000)

x = 0 Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: y ' = 2 x 3 − 2mx ; y ' = 0 ⇔  2 ; Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ y ' = 0 có một nghiệm duy  x = m ( *) nhất và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm đó ⇔ Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x=0 ⇔ m ≤ 0 Vậy giá trị cần tìm là: m ≤ 0 . Ví dụ 18. Cho hàm số y = Ta có:

y = x + m +1+

x 2 + mx + 2 .Tìm m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm trên parabol ( P ) : y = x 2 + x − 4 . x −1

x2 − 2x − m − 2 m+3 ; Tập xác định: D = ¡ \ { 1} ; Đạo hàm: y ' = ; y ' = 0 ⇔ g ( x ) = x2 − 2 x − m − 2 = 0 2 x −1 x − 1 ( )

( x ≠ 1)

(1)

∆ ' = 1 − ( −m − 2 ) > 0 m + 3 > 0 ⇔ ⇔ m > −3 (*) Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 ⇔  g 1 = − m − 3 ≠ 0 m ≠ −3  ( ) m+3  = m+2−2 m+3  x1 = 1 − m + 3 ⇒ y1 = 1 − m + 3 + m + 1 + − m+3  y ' = 0 ⇔ Khi đó: . Bảng biến thiên  m+3 = m+2+2 m+3  x2 = 1 + m + 3 ⇒ y2 = 1 + m + 3 + m + 1 + m+3 

(

Từ bảng biến thiên, ta thấy: xCT = x2 = 1 + m + 3 ; yCT = y2 = m + 2 + 2 m + 3 ⇒ Điểm cực tiểu là A 1 + m + 3; m + 2 + 2 m + 3

(

A∈ ( P) ⇔ m + 2 + 2 m + 3 = 1 + m + 3

)

2

)

+ 1 + m + 3 − 4 ⇔ m + 3 = 1 ⇔ m + 3 = 1 ⇔ m = −2 (thỏa (*)). Vậy giá trị cần tìm là: m = −2

x 2 − ( m + 1) x − m2 + 4m − 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số đã cho có cực trị. Tìm m để tích các giá trị cực x −1 đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999) Ví dụ 19. Cho hàm số y =

Ta có: y = x − m −

x 2 − 2 x + m 2 − 3m + 3 m 2 − 3m + 2 ; Tập xác định: D = ¡ \ { 1} ; Đạo hàm: y ' = . Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = 0 hay 2 ( x − 1) x −1

g ( x ) = x 2 − 2 x + m2 − 3m + 3 = 0

( x ≠ 1)

2 ∆ ' > 0 − m + 3m − 2 > 0 ⇔ 2 ⇔1< m < 2 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 1 ⇔   g ( 1) ≠ 0 m − 3m + 2 ≠ 0

Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì

x1 , x2

(*)

là nghiệm của (1)

 x = 1 − −m 2 + 3m − 2 ⇒ y = 1 − m + 2 −m2 + 3m − 2 1 1 2 2 Khi đó: y ' = 0 ⇔  . Ta có: y1. y2 = 1 − m + 2 −m + 3m − 2 1 − m − 2 − m + 3m − 2  x = 1 + −m 2 + 3m − 2 ⇒ y = 1 − m − 2 − m2 + 3m − 2  2 2

(

)(

)

2 4 7 7 2 7 4 4 = ( 1 − m ) − 4 ( −m 2 + 3m − 2 ) = 5m 2 − 14m + 9 = 5  m −  − ≥ − ⇒ Min ( y1. y2 ) = − , đạt được khi m = .So với đk (*) ta có gt cần tìm: m = 5 5 5 5 5 5 

Ví dụ 20. Cho hàm số y = tiểu cùng dấu.

x 2 − ( m + 1) x + 3m + 2 . Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực x −1 (Trích ĐTTS vào Trường Cao đẳng Sư phạm TPHCM, 2000)

Ta có: y = x − m +

x 2 − 2 x − 2m − 1 2m + 2 ; Tập xác định: D = ¡ \ { 1} . Đạo hàm: y ' = . Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = 0 hay 2 x −1 ( x − 1)

∆ ' > 0 2m + 2 > 0 g ( x ) = x 2 − 2 x − 2m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 1 ⇔  ⇔ ⇔ m > −1 (*) g 1 ≠ 0  ( ) −2m − 2 ≠ 0 Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x1 , x2 là nghiệm của (1). Khi đó: 2m + 2   x1 = 1 − 2m + 2 ⇒ y1 = 1 − 2m + 2 − m + − 2m + 2 = 1 − m − 2 2m + 2 y' = 0 ⇔  ; Hai giá trị cực trị cùng dấu ⇔ y1. y2 > 0 2m + 2  x = 1 + 2 m + 2 ⇒ y = 1 + 2 m + 2 − m + = 1 − m + 2 2 m + 2 2 2  2m + 2 

(

)(

)

⇔ 1 − m − 2 2m + 2 1 − m + 2 2m + 2 > 0 ⇔ ( 1 − m ) 2 − 4 ( 2m + 2 ) > 0 ⇔ m 2 − 10m − 7 > 0 ⇔ m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 . So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: −1 < m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 Cách khác: Tập xác định: D = ¡ \ { 1} Đạo hàm: y ' =

x 2 − 2 x − 2m − 1

( x − 1)

2

2 . Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = 0 hay g ( x ) = x − 2 x − 2m − 1 = 0 có hai

∆ ' > 0 2m + 2 > 0 ⇔ ⇔ m > −1 (*) nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 1 và y ' đổi dấu khi x qua hai nghiệm đó ⇔  g 1 ≠ 0  ( ) −2m − 2 ≠ 0 2 Hai giá trị cực trị cùng dấu ⇔ Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt ⇔ y = 0 hay x − ( m + 1) x + 3m + 2 = 0

( x ≠ 1)

có hai nghiệm

m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 ∆ = ( m + 1) − 4 ( 3m + 2 ) > 0 m − 10m − 7 > 0 ⇔ ⇔ phân biệt khác 1 ⇔  . 2m + 2 ≠ 0 1 − ( m + 1) + 3m + 2 ≠ 0 m ≠ −1 2

2

So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: −1 < m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 . Ví dụ 21. Xác định p sao cho hàm số y = Ta có:

y = −x −1 −

− x 2 + 3x + p có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m với m − M = 4 . x−4

− x 2 + 8 x − p − 12 4− p ; Tập xác định: D = ¡ \ { 4} ; Đạo hàm: y ' = ; y ' = 0 ⇔ g ( x ) = − x 2 + 8 x − p − 12 = 0 x−4 ( x − 4) 2

( x ≠ 4)

(1)

∆ ' = 16 − ( p + 12 ) > 0 4 − p > 0 ⇔ ⇔ p < 4 (*) Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 4 ⇔  g 4 = 4 − p ≠ 0 ( ) p ≠ 4  Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì

(

x1 , x2

là nghiệm của (1).

)

4− p  = −5 + 2 4 − p  x1 = 4 − 4 − p ⇒ y1 = − 4 − 4 − p − 1 − − 4− p  Khi đó: y ' = 0 ⇔  . Bảng biến thiên 4− p = −5 − 2 4 − p  x2 = 4 + 4 − p ⇒ y2 = − 4 + 4 − p − 1 − 4− p 

(

)

(

)

Từ bảng biến thiên, ta thấy: M = y2 = −5 − 2 4 − p ; m = y1 = −5 + 2 4 − p . Do đó: m − M = 4 ⇔ −5 + 4 − p − −5 − 4 − p = 4 ⇔ 4 − p = 1 ⇔ p=3

(thoả (*)). Vậy giá trị cần tìm là: p = 3 .

Ví dụ 22. Cho hàm số y =

x 2 + m 2 x + 2m2 − 5m + 3 . Tìm m > 0 để hàm số đạt cực tiểu tại x ∈ ( 0;2m ) . x

Tập xác định: D = ¡ \ { 0} ; Đạo hàm: y ' =

x 2 − 2m 2 + 5m − 3 ; Bảng biến thiên x2

2 2 Hàm số đạt cực tiểu tại x ∈ ( 0;2 m ) ⇔ y ' = 0 hay g ( x ) = x − 2m + 5m − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1 < x2 ) thoả: x1 < 0 < x2 < 2m

 m > 0 1 m > 0 m > 0   < m <1  3  1 3  2 ⇔ 2 ⇔ 1.g ( 0 ) < 0 ⇔ −2m + 5m − 3 < 0 ⇔ m < 1 ∨ m > . Vậy giá trị cần tìm là: < m < 1 ∨ m > 3 2 2 2     2  m > 2  2 m + 5m − 3 > 0  1 1.g ( 2m ) > 0 m < −3 ∨ m > 2 Ví dụ 23. 1) Cho hàm số y =

u ( x) u ' ( x0 ) u ( x0 ) = . Chứng minh rằng nếu y ' ( x0 ) = 0 và v ' ( x0 ) ≠ 0 thì ta có: . v( x) v ' ( x0 ) v ( x0 )

2 x 2 + 3x + m − 2 đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thì ta có : y ( x1 ) − y ( x2 ) = 4 x1 − x2 x+2 Giải u '( x) v ( x) − u ( x) v '( x) u ' ( x0 ) u ( x0 ) = 2 Ta có: y ' = ; Do đó: y ' ( x0 ) = 0 ⇔ u ' ( x0 ) v ( x0 ) − u ( x0 ) v ' ( x0 ) = 0 ⇔ u ' ( x0 ) v ( x0 ) = u ( x0 ) v ' ( x0 ) ⇔ v ' ( x0 ) v ( x0 ) v ( x )  (đpcm) Theo kết quả ở câu 1) nên ta có: y ( x1 ) = 4 x1 + 3 , y ( x2 ) = 4 x2 + 3 ⇒ y ( x1 ) − y ( x2 ) = 4 x1 − x2 (đpcm)

2) Chứng tỏ rằng nếu hàm số: y =

1) 2)

x 2 + 2mx + 2 . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường x +1 thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau. (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2001) Ví dụ 24. Cho hàm số y =

Tập xác định: D = ¡ \ { −1} ; Đạo hàm: y ' =

x 2 + 2 x + 2m − 2

( x + 1)

2

2 ; Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = 0 hay g ( x ) = x + 2 x + 2m − 2 = 0 có hai

∆ ' > 0 3 − 2m > 0 3 ⇔ ⇔m< nghiệm phân biệt x1 , x2 khác -1 ⇔  (*). Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì 2  g ( −1) ≠ 0 2m − 3 ≠ 0 là nghiệm của (1). Theo định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = − 2, x1 .x2 = − 2m . Mặt khác: y1 = 2 x1 + 2m , y2 = 2 x2 + 2m . Đặt ∆ : x + y + 2 = 0 Yêu cầu bài toán ⇔ d ( A, ∆ ) = d ( B, ∆ ) ⇔ ⇔ ( 3 x1 + 2m + 2 ) − ( 3 x2 + 2m + 2 ) 2

⇔m=

1 2

2

x1 + y1 + 2 2

x2 + y2 + 2 2

⇔ 3 x1 + 2m + 2 = 3 x2 + 2m + 2 ⇔ ( 3 x1 + 2m + 2 ) 2 = ( 3x2 + 2m + 2 ) 2

= 0 ⇔ ( x1 − x2 ) 3 ( x1 + x2 ) + 4m + 4  = 0 ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 4m + 4 = 0

(thoả (*)). Vậy giá trị cần tìm là: m =

Ví dụ 25. Cho hàm số y =

=

x1 , x2

( x1 ≠ x2 )

⇔ 3 ( −2 ) + 4m + 4 = 0

1 . 2

x 2 + ( m + 2 ) x + 3m + 2 . x +1 2 2 2) Giả sử y có giá trị cực đại, cực tiểu là yCÑ , yCT . Chứng minh: yCÑ + yCT >

1) Tìm để hàm số có cực đại và cực tiểu.

x 2 + 2 x − 2m

1) Tập xác định: D = ¡ \ { −1} ; Đạo hàm: y ' =

( x + 1)

2

1 . 2

2 ; Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = 0 hay g ( x ) = x + 2 x − 2m = 0 có hai nghiệm

∆ ' > 0 2m + 1 > 0 1 1 ⇔ m>− phân biệt x1 , x2 khác -1 ⇔  . Vậy giá trị cần tìm là: m > − . 2 2  g ( −1) ≠ 0  −2 m − 1 ≠ 0 2) Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x1 , x2 là nghiệm của (1). Theo định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = − 2, x1 .x2 = − 2m 2 2 2 2 2 2 2 2 Mặt ≠: y1 = 2 x1 + m + 2 , y2 = 2 x2 + m + 2 . Do đó: yCÑ + yCT = y1 + y2 = ( 2 x1 + m + 2 ) + ( 2 x2 + m + 2 ) = 4 ( x1 + x2 ) + 4 ( m + 2 ) ( x1 + x2 ) + 2 ( m + 2 )

2

2 2 2 = 4 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  + 4 ( m + 2 ) ( x1 + x2 ) + 2 ( m + 2 ) = 4 ( 4 + 4m ) − 8 ( m + 2 ) + 2 ( m + 2 ) = 2m 2 + 16m + 8   1 1 2 Xét hàm số: f ( m ) = 2m + 16m + 8, m > − ; f ' ( m ) = 4m + 16 > 0, ∀m > − . Bảng biến thiên: 2 2 1 1  1  2 2 Từ bảng biến thiên, ta thấy f ( m ) > , ∀m ∈  − ; +∞  . Vậy: yCÑ + yCT > (đpcm) 2 2  2 

Ví dụ 26. Cho hàm số y =

( II )

mx 2 + ( m2 + 1) x + 4m3 + m x+m

. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số tương ứng có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ

và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( IV ) của mặt phẳng toạ độ.

Ta có: y = mx + 1 +

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 2001)

mx 2 + 2m 2 x − 3m3 4m ⇒ Tiệm cận xiên: y = mx + 1 ( m ≠ 0 ) ; Tập xác định: D = ¡ \ { −m} ; Đạo hàm: y ' = 2 ( x + m) x+m 3

y ' = 0 ⇔ g ( x ) = mx 2 + 2m 2 x − 3m3 = 0 ( x ≠ − m ) (*) . Giả sử A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) ( x1 < x2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x1 , x2 là nghiệm • x1 < 0 < x2 ( 1)   A thuoc góc phân tu thu (II) ⇔ • y2 < 0 < y1 của (*). Yêu cầu bài toán ⇔  ( 2)  B thuoc góc phân tu thu (IV)  • He so goc cua tiem can xien nho hon 0 ( 3)

( 1) ⇔ m.g ( 0 ) < 0

⇔ −3m 4 < 0 ⇔ m ≠ 0 (a) ;

( 2) ⇔

2 2 3 Đồ thị hs ko cắt trục Ox ⇔ y = 0 hay mx + ( m + 1) x + 4m + m = 0

m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0 1 1  ⇔ ⇔ ∨m> ⇔   2 1 ⇔m<− 2 4 2 2 3 m > − 15 m − 2 m + 1 < 0 5 5   ∆ = ( m + 1) − 4m ( 4m + m ) < 0 5 1 (c). Từ (a), (b) và (c) ta có giá trị cần tìm là: m < − . 5

( x ≠ −m)

vô nghiệm

(b) ( 3) ⇔ m < 0

x 2 − m ( m + 1) x + m3 + 1 . x−m 1) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn luôn có các điểm cực đại và cực tiểu với mọi giá trị của m. Xác định toạ độ các điểm cực trị đó. 2) Chứng tỏ rằng chỉ có một điểm A duy nhất trên mặt phẳng toạ độ sao cho nó là điểm cực đại của đồ thị ứng với một giá trị thích hợp của m và cũng là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với một giá trị thích hợp khác. Tìm toạ độ của A. (Trích ĐTTS vào TTĐT Cán bộ Y tế TPHCM, 2000) Ví dụ 27. Cho hàm số y =

1) Tập xác định: D = ¡ \ { m} ; Đạo hàm: y ' =

x 2 − 2mx + m2 − 1

( x − m)

2

2 2 ; y ' = 0 ⇔ x − 2mx + m − 1 = 0 ( x ≠ m )

 x = m − 1 ⇒ y = −m 2 + m − 2 2 2 Ta có: ∆ ' = m − ( m − 1) = 1 > 0, ∀m . Do đó: y ' = 0 ⇔  2  x = m + 1 ⇒ y = −m + m + 2

2 2 Vậy đồ thịhàm số luôn có cực đại và cực tiểu. Toạ độ các điểm cực trị là: ( m − 1; − m + m − 2 ) , ( m + 1; − m + m + 2 ) .

2) Đặt A ( x0 ; y0 ) . Giả sử ứng với giá trị m = m1 thì A là điểm cực đại và ứng với giá trị m = m2 thì A là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số m1 − 1 = m2 + 1 m1 − m2 = 2  x0 = m1 − 1  x0 = m2 + 1 ⇔ Ta có:  ;  . Do đó:  2 2 2 2 −m1 + m1 − 2 = −m2 + m2 + 2  y0 = −m1 + m1 − 2  y0 = −m2 + m2 + 2 ( m1 − m2 ) ( m1 + m2 − 1) = −4 1 1   m1 = 2  x0 = − 2 m1 − m2 = 2 . Vậy chỉ có một điểm A duy nhất thoả yêu cầu bài toán là: A  − 1 ; − 7  . ⇔ ⇒ ⇔   3 7 m + m = − 1  2 4 2  1 m = − y = − 2 0   2 4 Ví dụ 28. Cho hàm số y = đồ thị hàm số. Cách 1: Ta có: y = x + 2m +

x 2 + mx − 8 . Xác định m để hàm số có cực trị, khi đó viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu của x−m (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Cảnh sát Nhân dân, 2000) x 2 − 2mx − m2 + 8 2m 2 − 8 ; Tập xác định: D = ¡ \ { m} ; Đạo hàm: y ' = 2 ( x − m) x−m

2 2  Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = 0 hay g ( x ) = x − 2mx − m + 8 = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác m

2m 2 − 8 > 0 ∆ ' > 0 ⇔ ⇔ ⇔ m < −2 ∨ m > 2 (*) 2  g ( m ) ≠ 0 −2m + 8 ≠ 0  x = m − 2m 2 − 8 1

 Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x1 , x2 là nghiệm của (1). Khi đó: y ' = 0 ⇔ 

 x = m + 2m 2 − 8  2

 x = m − 2m 2 − 8  x = m − 2m 2 − 8  1 ⇔ 1 Toạ độ điểm A thoả hệ:  2m 2 − 8 2m2 − 8 2 = x1 + 2m + = x1 + m + m − 2m − 8 = 2 x1 + m  y1 = 2 x1 + m  y1 = x1 + 2m + x1 − m − 2m 2 − 8   x = m − 2m 2 − 8 Tương tự ta cũng có toạ độ của B:  2 . Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y = 2 x + m  y2 = 2 x2 + m Cách2: +Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu: m < −2 ∨ m > 2 ; +Toạ độ các điểm cực trị thoả hệ:

(

 x 2 − 2mx − m 2 + 8 = 0  x 2 − 2 mx − m2 + 8 = 0   ⇔  x 2 + mx − 8 + ( x2 − 2mx − m2 + 8 ) 2 x 2 − mx − m2 x 2 + mx − 8 y = = y = x−m  x−m x−m  ⇒ y = 2 x + m là phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu.

)

 x 2 − 2mx − m 2 + 8 = 0 2 2   x − 2mx − m + 8 = 0 ⇔ x − m) ( 2x + m) ⇔  ( y =  y = 2 x + m ( x ≠ m ) x−m 

Cách 3: Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu: m < −2 ∨ m > 2 . Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì 2 của (1). Đặt u ( x ) = x + mx − 8, v ( x ) = x − m . Ta có: y1 =

x1 , x2

là nghiệm

u ( x1 ) u ' ( x1 ) 2 x1 + m = = ⇒ y1 = 2 x1 + m ; Tương tự ta cũng có: y2 = 2 x2 + m . Vậy phương v ( x1 ) v ' ( x1 ) 1

trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y = 2 x + m . Ví dụ 29. Xác định tham số a để hàm số sau có cực đại: y = −2 x + 2 + a x 2 − 4 x + 5 . D = ¡ ; y ' = −2 +

a ( x − 2) x2 − 4x + 5

;

y '' =

a

(x

2

− 4 x + 5)

3

Với a<0 nên từ (1) suy ra x0 < 2 . Xét hàm số: f ( x0 ) =

 a ( x0 − 2 )  x2 − 4x + 5 a 0 =2  y ' ( x0 ) = 0  2  0 = ⇔  x0 − 4 x0 + 5 ⇔ . Hs đạt cực đại x = x0 ⇔  x0 − 2 2 y '' x < 0 ( )  0   a < 0 a < 0   x02 − 4 x0 + 5 x0 − 2

, với x0 < 2 . f ' ( x0 ) =

BÀI TẬP RÈN LUYỆN + ĐÁP SỐ Bài 1. Xác định tham số m để các hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu 1) y = x3 + mx 2 + 3mx + 5 Đáp số: m < 0 ∨ m > 9

3)

( x0 − 2 )

x02 − 4 x0 + 5

< 0, ∀x0 ∈ ( −∞; 2 )

Yêu cầu bài toán ⇔ phương trình (1) có nghiệm x0 < 2 ⇔

Bảng biến thiên

2)

−2 2

x 2 + 2mx − m . x+m mx 2 + ( m + 1) x + 1 . y= mx + 2 y=

Đáp số: −1 < m < 0 . Đáp số: m < 2, m ≠ 0 .

3 2 Bài 2. 1) Tìm m để hàm số y = x − ( m + 3) x + mx + m + 5

đạt cực tiểu tại x = 2 .

Đáp số: m = 0 .

2) Cho hàm số y = − ( m + 5m ) x + 6mx + 6 x − 6 . 2

3

2

Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1 . Đáp số: m=1 2 x + ( m − 1) x + 1 3) Tìm m để hàm số y = đạt cực đại tại x=2 Đs: m=-2 x + m −1 Bài 3. 1) Cho hàm số y = x 3 + ax 2 + bx + c . Xác định a, b, c để hàm số có giá trị bằng 1 khi x=0 và đạt cực trị tại x=2 và giá trị cực trị là – 3. Đáp số: a = −3, b = 0, c = 1 .

( 1)

a < −1 ⇔ a < − 2 . 2

x 2 + ax + b . Tìm a và b để hàm số đạt cực trị tại x=3 x−2 và có tiệm cận xiên là y = x − 1 . Đáp số: a = −3, b = 3 2) Cho hàm số y =

ax 2 + bx + c . Tìm a, b, c để hàm số đạt cực trị bằng 1 tại x=1 x−2 1− x và đường tiệm cận xiên của dồ thị vuông góc với đường thẳng y = 2 Đáp số: a = 2, b = −3, c = 0 3) Cho hs y =

Bài 4. 1) Cho hs y = 4 x 3 − mx 2 − 3x + m . Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu đồng thời chứng minh rằng hoành độ 1 cực đại và hoành độ cực tiểu luôn trái dấu. Đs: xC Ñ .xCT = − < 0 4 3 2 2 3 2) Cho hàm số y = x + 3mx + 3 ( m − 1) x + m − 3m . Chứng minh rằng

với mọi m hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu thuộc hai đường thẳng cố định. Đáp số: y = ±2

3 2 3) Cho hàm số y = 2 x − 3 ( 2a + 1) x + 6a ( a + 1) x + 1 . Chứng minh rằng

với mọi a, hàm số luôn luôn đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 với x2 − x1 3 ko phụ thuộc vào tham số a. Định a để yCÑ > 1 . Đs x2 − x1 = 1, − < a ≠ 0 2

3 2 2 2 Bài 5. 1) Cho hàm số y = x + 2 ( m − 1) x + ( m − 4m + 1) x − 2 ( m + 1) .

Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại hai điểm kiện:

2)

1 1 1 + = ( x1 + x2 ) . x1 x2 2

x1 , x2

thoả điều

Đáp số: m = 1 ∨ m = 5 .

m 3 2 Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + ( m − 5 ) x − 1 . Với giá trị nào của 3 m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ x1 , x2 của các

 x1 x2 + 3 ( x1 + x2 ) − 4 < 0 điểm cực trị đó thoả mãn đk:  2 Đáp số: 2  x1 + x2 > 24 1 − <m<0. 7 3) Cho hàm số y = x3 − 6 x 2 + 3mx + 2 − m . Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại M 1 ( x1 ; y1 ) và điểm cực tiểu M 2 ( x2 ; y2 ) thoả điều kiện: y1 − y2 <0 ( x1 − x2 ) ( x1 x2 + 2 ) .

Đáp số: −2 < m < 4

Bài 6. 1) Cho hàm số y = 2 x + 3 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 ) x − 1 . 3

2

3) Cho hàm số y =

, với m là tham số x−m khác -1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng ( 0; 2 ) . Đáp số: m ∈ ∅ .

Bài 10. 1) Cho hàm số y =

Đáp số: m <

1− 5 1+ 5 ∨m> 2 2

x 2 − mx + 5 − m . Với giá trị nào của tham số x−m m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời các giá trị cực trị cùng dấu. Đáp số: m < −2 − 2 6 ∨ − 2 + 2 6 < m < 5 mx 2 + 3mx + 2m + 1 2) Cho hàm số y = . Định m để hàm số có cực đại và x −1 cực tiểu đồng thời hai điểm cực trị đó của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox. Đáp số: 0 < m < 4 Bài 7. 1) Cho hàm số y =

− x 2 + mx − m − 1 . x−2

a) Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu trên đoạn −1;5 . Đáp số: −4 ≤ m < 5 . Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu tại x1, x2 sao cho

x1 y1 + x2 y2 < x1 + x2 , với y1 = y ( x1 ) và y2 = y ( x2 ) . Đáp số: m < 5

x 2 + mx + 2 − m . Định m để đồ thị hàm số đạt cực tiểu x − m +1 tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. Đáp số: −1 < m < 1 5 2 3 2 3) Tìm a và b để các cực trị của hs y = a x + 2ax − 9 x + b đều là những 3 5 81 400 5 36 ∨ a = − ,b > số dương và x = − là điểm cđ. Đs: a = , b > 9 25 243 9 5 2) Cho hàm số y =

(

)

3 2 2 Bài 11. 1) Cho hàm số y = x − 3mx + m + 2m − 3 x + 4 . Xác định tất

cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ở về hai phía của trục tung. Đáp số: −3 < m < 1

2) a) Tìm m để hs có cực đại cực tiểu tại x1 , x2 và: x1 + x2 = 2 Đs: m=-1 b) Tìm m để đường thẳng nối hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng a) y=x. Đáp số: m = 2 ∨ m = 4 2 x 2 − 3x + m 2) Cho hàm số y = . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu x−m thoả mãn điều kiện: yCÑ − yCT > 8 .

( m + 1) x 2 − 2mx − ( m3 − m2 − 2 )

x 2 + 2 x + m2 + 2 x +1 Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía đối với trục hoành. 2 Đáp số: y1. y2 = −4 ( m + 1) < 0, ∀m

Cho hàm số y =

b) Tìm m để điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số cách đều trục Ox. Đáp số: m ∈ ¡ . Bài 12. 1)Cho hàm số y =

x 2 − ( m + 1) x + 2m − 1

.Tìm m để hàm số có các x−m cực trị luôn luôn nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ. Đáp số: m > 5

3) Cho hàm số y =

mx 2 + mx + m + 1 . Tìm các giá trị của m để đồ thị của x −1 hàm số có một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (I) và một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (III) của mặt phẳng toạ độ. Đáp số: m > 0 4 2 y = − x + 2 mx Bài 13. 1) Xác định m để hàm số có ba cực trị. Đs: m > 0

số có cực trị với hoành độ các điểm cực trị đều nhỏ hơn 2. Đs: 0 < m < 1

cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.

m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 sao cho −1 < x1 < x2 .

đại mà không có cực tiểu. Đáp số: m ≤ −2 Bài 14. 1) Cho hàm số y = x 3 − 3ax 2 + 4a3 . Tìm a để đồ thị hàm số có

2) Cho hàm số y =

x 2 + ( m + 1) x − m + 1 . Với giá trị nào của tham số m x−m 2) Cho hàm số y = ( 1 − m ) x 4 − mx 2 + 2m − 1 . Định m để hàm số có đúng thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu một cực trị. Đáp số: m ≤ 0 ∨ m ≥ 1 cùng dấu. Đáp số: m < −2 − 2 3 ∨ m > −2 + 2 3 4 2 2 3 2 3) Cho hàm số y = x − 2m x + 1 . Định m để đồ thị hàm số có các điểm Bài 8. 1) Cho hàm số y = x − 3 x + 3mx + 1 − m . Định m để hàm 3 2 2 2) Cho hàm số y = x − 3 ( m + 1) x + 2 ( m + 4m + 1) x − 4m ( m + 1) . Định

Đáp số: m >

−7 + 3 3 ,m ≠ 1 2

3) Cho hs y = 2 x + 3 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 ) x − 1 . Định m để hàm số có 3

2

cực đại và cực tiểu có hoành độ trong khoảng ( −2;3)

Đs:

−1 < m < 4, m ≠ 3 4 2 Bài 9. 1) Cho hàm số y = mx − ( m − 3) x + 3m . Định m để hàm số có ba

cực trị với hoành độ thuộc đoạn [ −2; 2]

3 Đáp số: m ≤ − ∨ m > 3 7

x + 3mx + 5 . Tìm các giá trị của tham số m để hàm x−m số chỉ có một cực trị thuộc đoạn −1;1 . Đáp số:

2) Cho hàm số y = 2 ≤m<2 3

2

Đáp số: m = ± 6 3 .

Cho hàm số y = − x + 2 ( m + 2 ) x − 2m − 3 . Tìm m để hàm số chỉ có cực 4

2

hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng y=x. Đs: a = ±

2 . 2

3 2 2) Cho hàm số y = 2 x − 3 ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + 1 . Tìm m để đồ thị

hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 2 . −1 ± 17 . 4 x 2 − ( 3m + 1) x + 4m

Đáp số: m = −1 ∨ m = 3) Cho hs y =

. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm 2x −1 cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng x + y + 1 = 0 Đáp số: m=1 3 2 y = 2 x + 3 m − 3 x + 11 − 3 m ( ) Bài 15. 1) Cho hs . Tìm m để hs có hai cực trị. Gọi M 1 , M 2 là các điểm cực trị, tìm m để M 1 , M 2 và B ( 0; −1) thẳng hàng Đáp số: m=4 3 2 2) Cho hàm số y = mx − 3mx + ( 2m + 1) x + 3 − m . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối cực đại, cực tiểu luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Đáp số: m < 0 ∨ m > 1; y = −

2 1 1 ( m − 1) x + ( 10 − m ) , A  − ;3  . 3 3  2 

1 3 hàm số đã cho luôn luôn có cực đại, cực tiểu. Hãy xác định m để khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu nhỏ nhất. Đáp số: m=0

4) Cho hàm số y = x3 − mx 2 − x + m + 1 . Chứng minh rằng với mọi m

Bài 16. Xác định tham số k để hs sau có cực tiểu: y = −2 x + k . x 2 + 1 Đáp số: k>2