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CUADERNO DE PROBLEMAS

MECÁNICA DE MAQUINAS

SEGUNDO CURSO DE GRADO EN INGENIERIA MECANICA ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR

2015/2016

Mecánica de Máquinas Departamento de Ingeniería Mecánica

Problemas de Cinemática y Dinámica del Sólido Rígido

Problema 1 En un instante dado, los bloques A y B se mueven en sus ranuras correspondientes, tal y como se muestra en la figura. Los bloques están conectados por la barra AB. Para la posición mostrada, la velocidad y la aceleración del bloque A son de 10 m/s y 5 m/s2 respectivamente y el ángulo de la barra con la horizontal es de 35º y su longitud es de 15 m. Se pide: a) calcular la velocidad lineal del punto B y la velocidad angular de la barra AB b) calcular la posición del C.I.R del sólido c) calcular la aceleración lineal del punto B y la aceleración angular de la barra AB

a) w 

  10  0,814 rad / s y v B  7i (m/s) 15 cos 35

10  12,28 w (m)   2 c)   0,057 rad / s y de a B  8,63i (m/s2) b) YAI  0 y X AI 

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Problema 2

El conjunto representado se compone de dos varillas y una placa rectangular BCDE soldadas entre sí. El conjunto gira alrededor del eje AB con una velocidad angular constante de 7,5 rad/s. Sabiendo que la rotación es antihoraria vista desde B, hallar la velocidad y aceleración de la esquina E.

VE  0.648i  1.44 j

(m/s)

aE  5.18i  2.33 j  10.39k

(m/s2)

Problema 3 Sea una rueda de radio R igual a 10 cm que rueda sin deslizar sobre una superficie   plana con una velocidad V de 2 m/s y una aceleración en sentido horario a . Se pide: representar la curva de los axoides fijos y móvil del movimiento deducir la expresión de la velocidad y de la aceleración de dos puntos A y B indicados en la figura.

-

B

 j  i

Sentido de avance

A Solución:     w  20k (rad/s) ; VB  4i aA  40 j

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Problema 4 CINEMÁTICA (20 minutos) (Total: 1.5 puntos) El siguiente mecanismo es un prototipo de una atracción de parque temático en el que la noria gira en sentido antihorario con velocidad angular constante, mientras cada uno de los asientos (en la figura sólo se ha dibujado uno, indicado como punto P) tiene un movimiento de traslación entre los puntos A y B que cumple la ecuación: r=1+sent. El ángulo θ es constante en todo el movimiento de la atracción.

Utilizando el sistema de referencia de la figura, expresar en función de θ, t,  y R las componentes de los vectores:

a) velocidad absoluta del punto P b) aceleración absoluta del punto P

Solución:

Vrel  cos t  cos i  cos t  sen j Varr  (1  sent )sen i  ((1  sent ) cos   R)j arel  sent  cos i  sent  sen j aarr  2 ( R  (1  sent ) cos  )i  2 (1  sent )sen j

acor  2cos t (sen i  cos  j )

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Problema 5 El collarín “A” de la figura ha sido introducido en la varilla curva, tal y como muestra la siguiente figura. El collarín inicia un movimiento acelerado en la varilla, al tiempo que esta gira con velocidad angular constante Ω, tal y como se indica en la figura. Se pide entonces: a. Calcular la expresión de la velocidad absoluta del collarín para cualquier posición del mismo sobre la varilla b. Calcular la expresión de la aceleración absoluta del collarín para cualquier posición del mismo sobre la varilla.



Solución:

Vabs   R (cos  )i  R (sen ) j  (h  R cos  )k m/s aabs   2 Rsen   R cos  i   Rsen   2 R cos  2 R 1  cos  j  2 Rsen  k

Problema 6 Problema de examen (30 min., 2.5 puntos) En el instante que se muestra en la figura el helicóptero se eleva con una velocidad v=1,5 m/s y una aceleración a=1 m/s2. Al mismo tiempo, el fuselaje del helicóptero está girando alrededor de un eje vertical que pasa por O1 con una velocidad angular 1 =1 rad/s y una aceleración angular 1 =0,5 rad/s2. Si a la vez la hélice de cola gira alrededor de un eje que pasa por O2 con una velocidad angular constante 2=100 rad/s. Calcular, según la orientación de los ejes de referencia de la figura: 1. La velocidad absoluta del punto P situado en el extremo de una de las palas de la hélice de cola cuando ésta se encuentra en posición vertical. (1 punto) 2. La aceleración absoluta del punto P en el mismo instante. (1,5 puntos)

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El Origen del sistema de referencia fijo se sitúa, por ejemplo, en el punto O 1 en el instante inicial. El sistema de referencia móvil se sitúa en O2, de forma que acompaña en su movimiento al conjunto del helicóptero (v y 1).

v P  6i  75 j  1,5k ( m / s ) a P  147i  6 j  7499k ( m / s 2 ) Problema 7 La figura muestra el rotor de un motor eléctrico que forma parte del dispositivo de accionamiento de una máquina. El eje está montado sobre dos rodamientos en los punto marcados en la figura adjunta como “O” y “S”. El rodamiento del punto “O” puede soportar esfuerzos axiales mientras que el rodamiento montado en “S” está libre de esfuerzos axiales. Los imanes montados en el rotor se han simplificado por cuatro masas m1, m2, m3 y m4, situadas en las posiciones marcadas en la tabla adjunta. Se considera despreciable la masa del propio eje. Si en las condiciones nominales de trabajo el eje gira a una velocidad constante de 1146 rpm, se pide: a. Seleccionar el rodamiento adecuado para los soportes de acuerdo con la tabla adjunta.

Rodamiento 1 Rodamiento 2 Rodamiento 3 Rodamiento 4

Carga Máxima soportable en cualquier dirección 100 N 1000 N 4000 N 8000 N

Coste 100 Euros 300 Euros 500 Euros 800 Euros

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b. Determinar la masa que debe tener el punto 4 para que el sistema esté equilibrado estáticamente. c. Determinar si en las condiciones anteriores el sistema está equilibrado dinámicamente. d. Seleccionar los rodamientos adecuados en estas condiciones Coordenadas (m) O S m1 m2 m3 m4

X 0 0 0,3 -0,3 -0,3 0,3

Y 0 0 0 -0,3 0,3 0

Z 0 1 0,2 0,5 0,5 0,8

Masa (kg) --0.5 0.5 0.5 1.5

Solución Tensor de inercia: 1.32 0 0 1.5 -0.24 0 Reacciones: Rsy= Rsx= Rsz= Roz= Roy= Rox=

-0.24 0 0.36

0 3459.195 0 29.4 0 -861.442

N N N N N N

Nuevas reacciones: Rsy= 0 N 7

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Rsx= Rsz= Roz= Roy= Rox=

0.000 0 19.6 0 0.000

N N N N N

Problema 8 En la figura adjunta se muestra una sierra circular para cortar troncos. El disco delgado de la sierra que tiene un radio R = 1.5 m y un peso de 200 N, gira con una velocidad angular de ω2 = 200 rad/s. El disco está montado sobre una plataforma que a su vez gira con una velocidad angular ω1= 50 rad/s entorno a un eje. Se pide: a) Calcular el tensor de Inercia con respecto al punto O. (0.5 puntos) b) Calcular el momento cinético del disco respecto del punto O (0.5 punto) b) Calcular las reacciones en los cojinetes A y B. (2 puntos) nota: No se tendrán en cuenta las masas de los ejes ni de la plataforma y se supondrá que el cojinete “A” es capaz de soportar esfuerzos axiales. Momentos de Inercia de un disco delgado respecto de su centro de Masas. IGZ= ½ M R2 (Tomando Z como eje de simetría del disco de corte) IGX = IGY = ¼ M R2 g=9.8m/s2

O

Solución   kg  m 2    LO  I OY  y j  I OZ  z k  (4590 j  9757.5k )( ) s

RAY=-1530612N; RAX=RBX=0N; RAZ=76800N; RBZ=-76600N 8

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Problema 9 PROBLEMA 1 (90 minutos) (Total: 3,6 puntos) ⃗ indicados. La atracción de la fotografía consiste en un péndulo dotado de los giros 𝜔 ⃗ y ⃗Ω Supóngase que la base del péndulo es un disco delgado de radio r y masa m, y que el vástago es una barra de longitud L y masa despreciable. Utilizando el sistema de referencia con origen O en el extremo superior del vástago, punto medio del segmento BC, eje x en sentido de 𝜔 ⃗ , eje ⃗ ⃗ y en sentido de Ω, y para una posición genérica dada por el ángulo  (posición 2), se pide:



1. Expresar los vectores velocidad y aceleración absolutas del punto A (punto más alto de la base) en función de 𝜔, Ω y Ω̇, suponiendo que la velocidad de giro de la base respecto al vástago, 𝜔 es constante. (1.4 puntos)



2. Calcular las reacciones en los apoyos B y C, separados la distancia d, en función de , 𝜔, Ω y Ω̇. Supóngase nulas las componentes axiales, By = Cy =0. (1.4 puntos)

El sistema alcanza un régimen de funcionamiento ideal, tal que el péndulo oscila sin rozamiento entre las dos posiciones horizontales (la posición 1 y su simétrica) bajo la acción de la gravedad. 3. Considerando todo el péndulo como un sólido rígido (𝜔 = 0), expresar la velocidad Ω y aceleración Ω̇ en función del ángulo . (0.8 puntos) B

O C 

A



Posición 2

Posición 1

A 

Momento de inercia de un disco respecto a un eje contenido en él y que pasa por su centro: 𝑚𝑟 2 4

Momento de inercia de un disco respecto a un eje perpendicular a él y que pasa por su centro: 𝑚𝑟 2 2

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SOLUCIÓN: 1. 𝑣𝑎𝑏𝑠 = −𝑟𝜔𝑗 + 0 + 𝑟Ω𝑖 − 𝐿Ω𝑘⃗ 𝑎𝑎𝑏𝑠 = (𝑟Ω̇ − 𝐿Ω2 )𝑖 − [𝐿Ω̇ + 𝑟(𝜔2 + Ω2 )]𝑘⃗. 4𝑔𝐿𝑠𝑒𝑛𝜗 Ω̇ = 𝑟2 +4𝐿2 .

𝑎𝐺 = −𝐿Ω2 𝑖 − 𝐿Ω̇𝑘⃗. 𝐵𝑧 = 𝐶𝑧 = 𝐶𝑥 =

𝑚 (𝑔𝑠𝑒𝑛𝜗 2

𝑚 (−𝑔𝑐𝑜𝑠𝜗 2

𝑚 𝑟 − 𝐿Ω̇) 𝐵𝑥 = 2 (−𝑔𝑐𝑜𝑠𝜗 − 𝐿Ω2 −

− 𝐿Ω2 +

2 𝜔Ω

𝑑

)y

𝑟 2 𝜔Ω ). 𝑑

Problema 10 Problema de examen (1 h) (3 puntos) El disco delgado de radio r y masa M de la figura rueda sin deslizar en el plano horizontal, de forma que su centro G describe un círculo de radio R = 2r. El eje OG, de masa despreciable, está articulado en O a un eje vertical que gira con velocidad angular antihoraria Ω constante. Considerando los ejes indicados en la figura, Se pide: a) El vector velocidad angular de rotación del disco en torno al eje OG, ωp y el vector velocidad angular total del disco,  (se sugiere relacionar las velocidades de los puntos G y A del disco)(0,5 ptos) b) ¿Cuál es la velocidad del punto A del disco, relativa al sistema de referencia que gira con ? Calcular la aceleración absoluta del punto A del disco (utilizar el sistema de referencias que gira con ) (0,6 ptos) c) El momento cinético del disco con respecto al punto O (0,55 ptos) d) La reacción normal NA del suelo sobre el disco (0,7 ptos) e) La reacción RO en el apoyo O (0,65 ptos) Nota 1: los momentos de inercia del disco respecto a ejes contenido en él que pasan por su centro son:

; y con respecto al eje perpendicular al disco que pasa por su

centro es: Nota 2: Expresar los resultados en función de R, M y 

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G

Solución 𝜔𝑝 = 2Ω ; ⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝐴 = 2𝑅Ω2 𝑘⃗ + Ω2 𝑅𝑗; ⃗⃗⃗⃗𝑂 = −Ω. 𝐿

𝑀𝑅 2 17𝑀𝑅 2 𝑗+Ω 𝑘⃗ 4 16

Ω2 R 𝑁 = 𝑀( + 𝑔) 4 𝑅𝑂𝑥 =0 𝑅𝑂𝑦 = −𝑀Ω2 𝑅 𝑅𝑂𝑧 = −𝑀

Ω2 𝑅 4

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Problema 11 Problema de examen (45 min., 3.5 puntos) El desequilibrio dinámico de un cigüeñal puede representarse por el modelo físico mostrado en la siguiente figura, donde el eje tiene tres pequeñas esferas de masa m=0.6 kg, a una distancia d=150 mm del eje, conectadas a él por tres varillas de masa despreciable. El eje gira con una velocidad angular constante =1200 rev/min en sentido del eje Z. Se pide, para la posición indicada y despreciando las fuerzas gravitatorias:

1. La expresión del momento cinético del sistema con respecto al punto A y al sistema de referencia indicado en la figura, en función de  y de los momentos y productos de inercia del modelo. (0,25 puntos)

2. La expresión de las reacciones en los apoyos A (Ax,Ay) y B (Bx,By), en función de  y de los momentos y productos de inercia del sistema. (2,25 puntos)

3. Completar las siguientes tablas con los valores numéricos solicitados (1 punto), es decir: -

Posiciones de las masas 1,2 y 3

-

Reacciones en los apoyos

1

2

3

X (m) Y (m) Z (m)

A

B

RX (N) RY (N) RZ (N)

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X

Y

Solución Ax

533 N

Ay

-308 N

Bx

-533 N

By

308 N

Problema 12 El cigüeñal de un pequeño motor de barco, que se muestra en la Figura 1, puede modelarse como un eje sin masa al que se unen cuatro masas en las posiciones indicadas en la Figura 2 (ver tabla de datos).

g

Figura 1. Cigüeñal analizado Tabla de datos:

Figura 2. Modelización del cigüeñal

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Coordenadas (m) O S m1 m2 m3 m4

X 0 0 0.3 -0.3 0.3 -0.3

Y 0 0 -0.3 0.3 -0.3 0

Z 0 1 0.2 0.4 0.6 0.8

Masa (kg) 2 2 2 2

Se observa que el motor tiene una vibración anómala debida al movimiento de la masa m4. Al analizar este movimiento se comprueba que la masa m4 tiene un desplazamiento radial dado por la expresión: X=0.3senθ, donde θ es el ángulo girado por el eje. Sabiendo que el eje gira uniformemente acelerado con aceleración angular α=10 rad/s2, y cuando éste alcanza la velocidad de =2387 rpm: a. Calcule la velocidad y la aceleración absolutas de la masa m4 . Deje la solución en función del ángulo girado,  (1.2 puntos)

Con el fin de evitar dicha vibración se decide abrir el motor y fijar la masa m4 en la posición que se indica en la tabla de datos. Una vez reparado el motor, y sabiendo que la velocidad de régimen a la que debe funcionar es ω=2387 rpm, constante: b. Determinar si en estas condiciones el sistema está equilibrado estática y dinámicamente. (1 punto) c. Calcular las reacciones en los rodamientos “O” y “S” para el instante representado en la figura 2, sabiendo que el rodamiento “S” está libre de esfuerzos axiales. (1.4 puntos)

SOLUCIÓN:

𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑏𝑠 = −75(cos 𝜃 𝑖 + sin 𝜃 𝑗) 𝑎𝑎𝑏𝑠 = (37500 sin 𝜃 − 3 cos 𝜃)𝑖 − (3 sin 𝜃 + 37500 cos 𝜃)𝑗 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Rsx  15000 N

Rox  15000 N

Rsy  15039.2 N

Roy  22500 N

Rsz  0 N

Roz  0 N

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Problema 13 Una peonza de masa m gira con una velocidad angular de precesión Ω, tal y como se muestra en siguiente figura. Se pide, en el sistema de referencia indicado: a) Calcular la velocidad angular de rotación propia  para un ángulo de nutación b b) Las reacciones ROx y ROy en el punto O de contacto entre el suelo y la peonza Nota: L es la distancia entre O y G. R es la distancia entre G y A.

SOLUCIÓN:



 2 cos  I ox  I oy   mgL

I y En el sistema de referencia fijo:      maG  mx xOG   2 Lseni





ROX ´ m 2 Lsen

ROY ´ 0

ROZ ´  mg

Problema 14 Problema 2 (45 minutos) (Total: 2 puntos)

El cono de la figura gira con una velocidad de rotación propia  (alrededor de Z) y una velocidad de precesión Ω (alrededor de Z1). C

Centro de masas del cono L = |𝑂𝐶|

g m Ioy

Aceleración de la gravedad Masa del cono Momento de inercia de un cono respecto a un eje contenido en un plano perpendicular a su eje de revolución y que pasa por su vértice

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Ioz

Momento de inercia de un cono respecto a su eje de revolución y que pasa por su vértice

Teniendo en cuenta que se trata de un movimiento de precesión permanente, se pide calcular: 1) La velocidad de rotación propia en función de la velocidad de precesión y de los parámetros definidos anteriormente (tanto en la figura como en la tabla adjunta). 2) La reacción en el punto O de contacto del cono con el suelo.

Solución



2 cos   I oy  I oz   mgL I oz

ROX  0 ROY  mgsen  m2 Lsen cos ROz  mg cos   m2 Lsen2

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Problemas de Energías aplicadas al Sólido Rígido

Problema 15 El bloque B de la figura desliza sin rozamiento sobre la varilla vertical y está unida al bloque A mediante un cable inextensible que pasa por una polea sin masa a una distancia L horizontal de la varilla. Suponiendo que B parte del reposo desde la misma altura que la polea, y tras recorrer la distancia L sobre la varilla, calcular la velocidad de B. Las masas de los bloques son ambas m.

L

B A

SOLUCIÓN

Problema 16 Una partícula de masa 2 kg desliza sin rozamiento por la superficie exterior de un cilindro de 8 m de radio, como muestra la figura. Si parte del reposo desde la posición más alta, determinar el punto donde la partícula abandona el cilindro. Repetir el ejercicio para el caso en que el bloque parte con velocidad de 10 m/s.

2 kg g 8m

SOLUCIÓN Problema 17 La vagoneta de la figura tiene una masa de 5 kg y está sujeta a un muelle de constante k=30 N/m y longitud de equilibrio 3 m, cuyo extremo inferior está sujeto a la articulación A. La vagoneta se mueve sin rozamiento, inicialmente con velocidad 25 m/s. Calcular la distancia que habrá recorrido cuando su velocidad sea de 10 m/s. 17

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m = 5 kg

v = 25 m/s

3m

k = 30 N/m

SOLUCIÓN

Problema 18 Una cuenta de 12 kg parte del reposo desde la posición de la figura, y desliza sin rozamiento sobre una guía circular vertical de 80 cm de radio. La cuenta está sujeta a uno de los extremos de un muelle de 80 cm de longitud natural, y 40 N/m de constante elástica. El otro extremo del muelle está fijo en un punto del eje vertical, 60 cm por encima del centro de curvatura de la guía. Calcular la velocidad de la partícula en el punto más bajo de la circunferencia.

k = 40 N/m 60 cm g 12Kg 80 cm

SOLUCIÓN

(en S.I. de unidades)

Problema 19 Una esfera homogénea de masa m=1Kg y radio r=1m rueda sin deslizar por un plano horizontal con velocidad v0=10m/s, antes de ascender por una superficie cilíndrica de R r



18 v0

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radio R=8m (ver figura). Suponiendo que continúa rodando sin deslizar por la superficie cilíndrica, expresar, en función de la posición (ángulo ) el módulo de la velocidad del centro de masas del disco, v(). SOLUCIÓN v  10 cos  Problema 20 Un cochecito se mueve sobre una superficie horizontal, por acción de un muelle de masa despreciable y constante elástica k=100N/m. El muelle tiene uno de sus extremos fijo al eje delantero y el otro extremo conectado a un hilo arrollado sobre un tambor solidario a las ruedas traseras (ver figura). Las 4 ruedas son cilindros macizos de radio R=5 cm y masa M=200g. El tambor sobre el que está arrollado el hilo, es de radio r=4 cm y masa despreciable. El cochecito parte del reposo con el muelle alargado 10 cm respecto de su longitud natural. Suponiendo que las ruedas ruedan sin deslizar sobre el suelo, y despreciando el peso del bastidor, calcular la velocidad del cochecito cuando el muelle quede descargado (en su longitud natural)

SOLUCIÓN

v  0.91 m/s

Problema 21 El carrete de la figura está formado por dos discos homogéneos de radio R = 0.5 m y masa M = 5 kg cada uno, entre los que se encuentra un cilindro macizo homogéneo de radio r = 0.3 m, y masa también M = 5 Kg. El cable arrollado sobre dicho cilindro es inextensible, de masa despreciable, desliza sin rozamiento sobre el apoyo A, y está unido a un bloque de masa M = 5 kg, como indica la figura. Suponiendo que el carrete rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal, y el cable se desenrolla sin deslizar sobre la superficie del cilindro, se pide: a) Deducir la siguiente relación entre la distancia vertical recorrida por el bloque, h y la distancia horizontal recorrida por el carrete, x: r  h    1 x . R  b) Si el carrete parte del reposo, calcular su velocidad angular de rotación cuando el bloque ha descendido una altura h0 = 3m.

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 k

A

 i

x

h

 k  i

SOLUCIÓN   5.91rad s

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Problemas de Cinemática y Dinámica de Mecanismos Planos Problema 22

Determinar el número de grados de libertad de los mecanismos presentados en las siguientes figuras:

a)

c)

b)

d)

Problema 23

Para el mecanismo de la pala de una excavadora como la que se presenta en la figura, determinar el número de eslabones, pares elementales de uno y dos grados de libertad, así como el número de grados de libertad del mecanismo.

Problema 24 Hallar todos los centros instantáneos de rotación del mecanismo de las siguientes figuras. 21

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a)

b) Problema 25

Dado el siguiente mecanismo, hallar los cinemas de velocidades y aceleraciones, sabiendo que: O12D  330mm

O12A  300mm

O14B  500mm

O12Q  400mm

O14C  700mm

O14Q  500mm

AB  460mm

2  10rad / s (antihorario )

BC  300mm

2  0

CD  700mm

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Escalas: Velocidades: 1cm : 100cm / s

Aceleraciones: 1cm : 1000cm / s 2

Problema 26

Del mecanismo de la figura, se conocen los siguientes datos: O12 A  24cm O14 A  27,2cm O12G2  12cm O14G4  16cm m2  0,5kg m3  0 m4  1kg IG2  10kg  cm2 IG3  0 IG4  15kg  cm2

2  5rad / s (horario) 2  30 rad / s2 (antihorario) Se pide: a) Calcular el número de grados de libertad del mecanismo. b) Velocidad angular del eslabón 4. Utilizar escala gráfica 1cm=20cm/s. c) Aceleración angular del eslabón 4. Escala gráfica 1cm=100cm/s2

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Problema 27 Dado el mecanismo de la figura, calcular: a)

Número de grados de libertad del mecanismo.

b)

Velocidad angular de 4 y 6. Utilizar escala 1cm=100cm/s.

c)

Aceleración angular de 4 y 6. Escala 1cm=1000cm/s2

d)

Realizar el análisis estático del mecanismo indicando las reacciones y momentos que aparecen (NOTA: no calcular módulos, plantear ecuaciones de equilibrio e indicar dirección de las fuerzas y puntos de aplicación en cada miembro).

e)

Calcular los esfuerzos de inercia en los miembros 2 y 4. Reemplazarlos por una única fuerza resultante e indicar sobre el mecanismo sus módulos, direcciones, sentidos y puntos de aplicación.

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DATOS:

2  20rad / s  cte (horario) O1O16  O1B  115cm O1O14  39cm O14 B  78cm O12 A  15cm O12O14  30cm O14 A  42cm O16 B  70cm O12G2  7,5cm O14G4  39cm

m2 = 1 kg m4 = 4 kg IG2 = 0,030 kg·m2 IG4 = 0,200 kg·m2

Problema 28 En el mecanismo de la figura, la barra 2 gira alrededor del punto fijo O12 . La barra 3 está unida a la barra 2 en la articulación A y a la barra 4 en la articulación B. La barra 4 puede girar alrededor del punto fijo O14 y está unida a la barra 5 en la articulación C. El otro extremo de la barra 5 (punto D) sólo puede moverse horizontalmente. Sabiendo que 2  cte  5rad / s (sentido horario), se pide calcular el par M2 necesario para mantener el mecanismo en equilibrio estático al aplicar la fuerza representada FD de valor 500 N. Se dispone también de los siguientes datos: O12A  0,34 m AB  0,79 m O14C  0,83 m O14B  0, 45 m CD  1, 02 m

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Problema 29 Del mecanismo de la figura, se conocen los siguientes datos: O12 A  24cm O14 A  27,2cm O12G2  12cm O14G4  16cm m2  0,5kg m3  0 m4  1kg IG2  10kg  cm2 IG3  0 IG4  15kg  cm2

2  5rad / s (horario) 2  30 rad / s2 (antihorario)

Se pide: a) Si se aplica sobre el eslabón 2 un par igual a 10N.m en sentido horario, calcular las reacciones que aparecen en los eslabones 2 y 3, y el par M r aplicado en el eslabón 4 que equilibra estáticamente el mecanismo. b) Calcular las reacciones en los eslabones 2 y 3 y el par Ma aplicado en el eslabón 4, que equilibra dinámicamente el mecanismo.

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Problema 30 Del mecanismo esquematizado en la figura (cotas en cm), y para la posición indicada (la fuerza de 50N y los topes D y E sólo se consideran en el apartado e), se pide: a) Determinar razonadamente el número de grados de libertad. b) Determinar la posición de los centros instantáneos de rotación absolutos de las deslizaderas (3) y (5). c) Conocida la velocidad angular del eslabón (2), que es constante y de 6 rad/s en sentido horario, calcular la velocidad angular de los eslabones (4) y (6). d) Calcular la aceleración del punto C y la aceleración angular del eslabón (6) e) Despreciando el peso de los eslabones, calcular la altura h por encima del punto de apoyo O6 a la que se debe aplicar sobre el eslabón (6) la fuerza de 50 N indicada en la figura, para que la reacción de uno de los topes sobre el eslabón (2) sea de 80 N (fuerza equilibrante). ¿Sobre cuál de los dos topes se apoya?

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1

O4

D

6

E

15

F=50N 10 3

5 5

4 A

h

B C

5 10

O6 2 O2

1

1

10

15

28

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Se sugieren las siguientes escalas para la ejecución de los cinemas: 1

Velocidades: 1cm→10cm/s O4

Aceleraciones punto A: 1cm→100cm/s2 Aceleraciones punto B: 1cm→200cm/s2

6

3 4

A

5 5

B

C

O6 2 O2

1

1

29

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Problema 31 Del mecanismo esquematizado en la figura (cotas en cm), y para la posición indicada (la fuerza F y el cable sólo se consideran en el apartado d), se pide: a) Determinar la posición de los centros instantáneos de rotación absolutos de las deslizaderas (3) y (5). b) Conocida la velocidad angular del eslabón (6), que es constante y de 6 rad/s en sentido horario, calcular la velocidad angular de los eslabones (2) y (4). c) En las condiciones del apartado anterior, calcular la aceleración angular del eslabón (4) y las aceleraciones lineales de sus extremos A y B. d) Considérese ahora el mecanismo estático y la acción del cable. Despreciando el peso de los eslabones, si se aplica sobre el eslabón (6) la fuerza de 50N indicada en la figura, calcular la tensión del cable para mantener al mecanismo en equilibrio en la posición indicada. 1

15 F=50N 2

10 A 3

5

4

1

B

6

10

1

10

10

15

5

30

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Se sugieren las escalas para los cinemas: 10cm/s2cm; 100cm/s23cm

1

F

2

3

A

1

5

4

B 6

1

o

o’

31

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Problema 32 El mecanismo representado a escala, se mueve en el plano vertical. Todas las articulaciones (pares de rotación) se simbolizan con circulitos: la barra (3) está articulada en el punto B a la manivela (2) y en el punto C a un cilindro (4), por donde desliza el pistón (5), articulado, a su vez al punto medio de la manivela, y ésta a tierra. En la posición indicada, se pide: a) Indicar razonadamente el número de grados de libertad del mecanismo. b) Situar los centros instantáneos de rotación absolutos del cilindro (4) y del pistón (5), suponiendo que el movimiento de la barra (3) es de traslación, manteniéndose horizontal. c) Si la velocidad angular de la manivela (2) es ω2=1rad/s, constante y en sentido horario, calcular la velocidad de deslizamiento del pistón (5) sobre el cilindro (4) para que la barra (3) tenga dicho movimiento de traslación. Calcular la velocidad angular del cilindro o pistón (coinciden). d) En las condiciones del apartado anterior, calcular la aceleración del punto D y la aceleración de deslizamiento del pistón sobre el cilindro.

O2A=AB=BC=CD=1m

C

B

D 4

2

3 E 5

A

O2

1

32

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Problema 33

En el mecanismo representado a escala, la biela (3) está articulada en su punto medio (C) a la corredera (5), que se desliza sobre el balancín (6). a) ¿Cuántos grados de libertad tiene? b) Dibujar, con ayuda de un compás, las posiciones extremas del balancín (6). c) Situar los centros instantáneos de rotación de la biela (3) y de la corredera (5), en la posición indicada. d) Si la manivela (2) gira en sentido de las agujas del reloj con una velocidad constante de 3 rad/s, calcular la velocidad de la corredera (4) y la velocidad angular del balancín (6), en la posición indicada. e) En las condiciones del apartado anterior, calcular la aceleración de la corredera (4) y la aceleración angular del balancín (6). f)

Despreciando el peso de los eslabones, si se aplica una fuerza horizontal de 30 N hacia la derecha en el punto medio del balancín (D), ¿qué fuerza horizontal máxima es capaz de vencer el eslabón (4)?

g) ¿Qué par adicional es necesario aplicar sobre la manivela (2) para conseguir vencer el doble de fuerza que en el apartado anterior?

1 A

Manivela: 30 cm Biela: 80 cm Balancín: 60 cm O6C: 10.78 cm

O6 3

5

2 38.5

C

4

13.5

O2

B

23.26 1

D

1

6

33

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1 A

O6 3

5

2

4

O2 1

C

Manivela: 30 cm Biela: 80 cm Balancín: 60 cm O6C: 10.78 cm

D

B

Para construir los cinemas, se sugieren las siguientes escalas y orígenes: Velocidades: 1 cm  10cm/s. Origen: O Aceleraciones: 1cm 30cm/s2. Origen: O’

1

6

34

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Problema 34 En las figuras se muestra el mecanismo de apertura de una puerta de garaje formada por dos planchas. La plancha superior 2 gira en torno al eje O2-O2, y está articulada con la inferior 3 por el eje A-A. Los puntos B-B deslizan sin rozamiento por sendas guías fijas en el bastidor 1 . La apertura se acciona mediante la rotación de las poleas, sobre las que se arrollan, sin deslizar, los cables unidos a los puntos B. Para la posición intermedia de la figura, en la que las planchas superior e inferior forman ángulo recto y ambas poleas giran con velocidad angular =2 rad/s y aceleración angular α=1rad/s2, en los sentidos indicados en la figura 3. Determinar: a) La posición del eje instantáneo de rotación de la plancha inferior, sobre la figura 3. b) Las velocidades de los puntos A, B y C. c) Las velocidades angulares de las dos planchas. d) Las aceleraciones de los puntos A, B y C. e) Las aceleraciones angulares de las dos planchas. f)

La tensión de cada uno de los cables para mantener la posición estática.

Figura 1

Figura 2 α



51.9

11.3

Figura 3 35

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α

 Se sugieren las siguientes escalas para los cinemas: Velocidades: 0.1m/s  1 cm. Origen: o Aceleraciones: 0.1 m/s2  2 cm. Origen: o’

o

o'

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