Cuadernillo I Control I

Control I Cuadernillo I (Modelado Matem´atico de Sistemas)* Academia de Control Unidad Acad´emica de Ingenier´ıa de El´ectrica U. A. Z.

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1. En la teor´ıa de control el sistema a controlar se denomina planta o proceso. Mencione diez ejemplos diferentes de planta o proceso e indique cuales son las se˜ nales de entrada y salida en cada uno. 2. Mencione las principales diferencias entre un sistema de control en lazo abierto y un sistema de control en lazo cerrado. 3. Un diagrama general de un sistema de control autom´atico en lazo cerrado se muestra en la figura 1. Los elementos del sistema est´an representados por bloques, describa en que consiste cada uno de ellos y mencione cual es su funcionamiento en el sistema de control.

Figura 1. Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado.

4. Encuentre la Transformada de Laplace de cada una de las expresiones que se muestran enseguida: a) e(t) = 8te−2t

b) f (t) = 35 (1 − e−5t ) *

Elaborado por: M. en C. Miguel Eduardo Gonz´ alez El´ıas.

1

c) g(t) = 59 (3t − 1 + e−3t ) d ) h(t) = 2 [e−6t + 5cos(3t)] 5. Encuentre la transforma Inversa de Laplace de las siguientes funciones: a) E(s) =

b) F (s) =

7 s2 +6s+9 8 s2 +7s+12

c) 3G(s)s + 2Y (s) = 8Y (s)s3 − 4Y (s)s + Y (s) d ) H(s) =

4s s2 +7s+12

6. Encuentre la funci´on de transferencia correspondiente de cada uno de los siguientes sistemas representados por ecuaciones diferenciales.

i + 5 dtd q(t) − 3q(t) + 2 dtd u(t) = 0; q es la salida y u la entrada. i R t h d3 d2 d y(t) + 4 y(t) + y(t) dt = 95 u(t); y es la salida y u la entrada. b) 4 0 8 dt 3 dt2 dt Rt d2 d d c) 2 dt q es la salida y u la entrada. 2 q(t)+ dt q(t)+22q(t)+ 0 q(t)dt+2 dt u(t) = 0; Rt d ) z¨(t) + z(t) ˙ + u¨(t) = 0 [−5z(t) ˙ + u(t)] dt; z es la salida y u la entrada. d a) 7 dt

h

d2 q(t) dt2

7. Reduzca los diagramas de bloques que se muestran en las figuras 2 y 3 hasta obtener la funci´on de transferencia del sistema completo. a)

Y (s) U (s)

=?.

Figura 2. Primer diagrama de bloques a reducir.

2

b)

Q(s) U (s)

=?.

Figura 3. Segundo diagrama de bloques a reducir. 8. Represente en diagramas de bloques detallados los sistemas descritos por las siguientes ecuaciones diferenciales y funciones de transferencia. Considere que se deben poder medir las derivadas tanto de la entrada como de la salida.

3 dtd

h

2 2 dtd 2 q(t)

+ 3q(t) −

i

2 dtd u(t)

= u(t); q es la salida y u la entrada. i d2 d 9 d3 y es la salida y u la entrada. b) 4 0 8 dt 3 y(t) + 4 dt2 y(t) + dt y(t) dt = 5 u(t); Rt d2 d d c) 2 dt q es la salida y u la entrada. 2 q(t)+ dt q(t)+22q(t)+ 0 q(t)dt−2 dt u(t) = 0; Rt d ) z¨(t) + z(t) ˙ − u¨(t) = 0 [−5z(t) ˙ + u(t)] dt; z es la salida y u la entrada. a)

+

5 dtd q(t)

Rth

Y (s)

s2 +2s

e) U (s)

=

s4 +3s2 +5s

Z(s) R(s)

=

3s+2 3s4 +8s3 +5s+7

f)

9. Reduzca los diagramas de bloques que se muestran en las figuras 4 y 5 hasta obtener la funci´on de transferencia. Simule en VisSim el diagrama completo y el bloque con la funci´on de transferencia resultante para un entrada escal´on de 10. Compruebe si las salidas son iguales. Nota: en las propiedades de simulaci´on ajuste el paso de integraci´on (Time Step) a 0.001 [seg].

3

a)

Y (s) U (s)

=?.

Figura 4. Tercer diagrama de bloques a reducir. b)

Y (s) U (s)

=?.

Figura 5. Cuarto diagrama de bloques a reducir. 10. En la ingenier´ıa de control se utilizan modelos matem´aticos en el an´alisis de sistemas, exprese con sus propias palabras: a) ¿Qu´e representan tales modelos? b) ¿Con qu´e objetivo se obtienen los modelos matem´aticos? c) ¿Qu´e ventajas se tienen en el an´alisis de sistemas conocer los modelos matem´aticos? 11. Obtenga el modelo matem´atico que describa el comportamiento del sistema el´ectrico de la figura 6. a) Encuentre la funci´on de transferencia dada por

V2 (s) Vi (s) .

b) Encuentre la funci´on de transferencia dada por

IC2 (s) Vi (s) .

c) Determine que tipo de comportamiento tiene el sistema valores: R1 = 1 [KΩ], C1 = C2 = 1 [µF] y L1 = 1 [mH]. 4

V2 (s) Vi (s)

para los siguientes

Figura 6. Circuito el´ectrico RLC. 12. Del sistema hidr´aulico mostrado en la figura 7 obtenga: a) La funci´on de transferencia correspondiente a qi como entrada y h1 como salida. b) La funci´on de transferencia correspondiente a qi como entrada y h2 como salida. c) La funci´on de transferencia correspondiente a qi como entrada y qo como salida. d ) Determine que altura alcanza el nivel del primer tanque h1 si se aplican en la entrada qi = 1.75 [Litros/seg], los tanque tienen un di´ametro de C1 = 1.5 [m], C1 = 1.0 [m], la tuber´ıa y las v´alvulas son de 3/4 [Pulgada] las cuales se encuentran totalmente abiertas.

Figura 7. Sistema hidr´ aulico de dos tanques de almacenamiento 13. Si al sistema hidr´aulico del problema anterior se la agrega a la entrada un bomba el´ectrica para proporcionar el flujo qi , cuya respuesta el escal´on de 50 [Vrms ] se muestra en la figura 8. Determine: a) El nivel que alcanza el primer tanque en estado estacionario si se aplican 36 [Vrms ]. b) El voltaje necesario en la bomba el´ectrica para alcanzar en el primer tanque un nivel de h1 = 0.8 [m]. 14. Se dispone de un horno el´ectrico destinado a efectuar tratamientos t´ermicos de piezas de pasta, en el cual la temperatura se controla mediante un voltaje vr de alimentaci´ on. El horno cuenta con un aislamiento t´ermico lo suficientemente bueno, de tal forma que los cambios en la temperatura externa no tienen efectos significativos en su interior. 5

Figura 8. Respuesta al escal´ on de la bomba el´ectrica. Para obtener su modelo matem´atico s´olo se tiene la respuesta experimental que describe el comportamiento de temperatura a una entrada tipo escal´on de 24 [Vcd ], ver figura 9. La temperatura inicial es de 20 [o C] y alcanza en estado estacionario 334.65 [o C].

Figura 9. Respuesta del horno el´ectrico a un voltaje escal´ on. Determine: a) La funci´on de transferencia entre temperatura y voltaje. b) La temperatura que alcanza el sistema en estado estacionario para un voltaje de 36 [Vcd ]. 15. Dadas las funciones de transferencia: a) U (s)

Y (s)

=

4s 3s3 +23s2 +4s

=

4 (s+4)(6s+3)

c)

Y (s) U (s) Z(s) X(s)

d)

W (s) V (s)

b)

= =

12s s+3






2s+4 3(s+3)

7 s2 +8s






3s+9 2(s2 +9)(s+2)

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Determine cual de las siguientes respuestas presentar´a la salida de cada uno de los sistemas si la entrada es una se˜ nal tipo escal´on. Sobreamortiguada Cr´ıticamente amortiguada Subamortiguada Oscilatoria 16. Se desea aplicar el motor SM233B de Parker Compumotor para mover una banda transportadora, pero antes de adquirirlo se desea conocer algunas caracter´ısticas sobre sus comportamiento, por ejemplo: velocidad en estado estacionario, aceleraci´on inicial, etc. Utilizando las hojas de datos del fabricante de este motor encuentre: a) La funci´on de transferencia. b) La velocidad que alcanza en estado estacionario para un voltaje de 100 [Vcd ]. c) El tiempo que tarda en alcanzar el 98 % de la velocidad en estado estacionario para una entrada escal´on. 17. En general los elementos principales de un sistema de control en lazo cerrado son: a) Un generador de se˜ nal de referencia, un comparador, un controlador, una computadora, la planta a controlar y un sensor. b) La planta a controlar, un sensor, una computadora, una etapa de potencia, un amplificador y un convertidor. c) Un sensor, un generador de se˜ nal de referencia, una etapa de potencia, un controlador, un convertidor y un comparador. d ) Un generador de se˜ nal de referencia, un comparador, un controlador, una etapa de potencia, la planta a controlar y un sensor. e) Un comparador, un controlador, una etapa de potencia, la planta a controlar, un sensor electr´onico y una computadora. 18. Encuentre el modelo matem´atico en ecuaciones diferenciales y la funci´on de transferencia correspondiente al mecanismo de la figura 10. Considere que la entrada del sistema es el desplazamiento xi (t) y la salida el movimiento xo (t). Haga una simulaci´on por computadora del mecanismo y muestre el comportamiento del desplazamiento xo (t) para una entrada tipo escal´on xi (t) = 0.5 [m]. Los valores de los coeficientes son: b1 = 55 [N · seg/m], b2 = 15 [N · seg/m], k1 = 734 [N/m], k2 = 236 [N/m]. 19. Del sistema de calefacci´on de la figura 11 encuentre el modelo matem´atico correspondiente y realice una simulaci´on por computadora bajo las siguientes condiciones: El flujo de entrada es aire y se pretende calentarlo en el interior de la c´amara por medio de una o resistencia el´ectrica a una potencia de 500 [W]. La resistencia t´ermica es de 550 [ C·seg kcal ] o y la capacitancia t´ermica es de 0.5 [kcal/ C]. Como resultado de la simulaci´on muestre 7

Figura 10. Mecanismo.

cuanto tiempo tarda en estabilizarse la temperatura en la salida del sistema y en que valor lo hace. La temperatura del flujo de entrada est´a variando en forma sinusoidal entre 10 [o C] y 15 [o C] con periodo de 120 [seg] y la temperatura inicial del interior de la c´amara es de 20 [o C].

Figura 11. Sistema t´ermico.

20. Encuentre las funciones de transferencia de los sistemas cuyas respuestas a un escal´ on de magnitud 12, se muestran de la figura 12 a la 15.

Figura 12. Respuesta al escal´ on del primer sistema a identificar.

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Figura 13. Respuesta al escal´ on del segundo sistema a identificar.

Figura 14. Respuesta al escal´ on del tercer sistema a identificar.

Figura 15. Respuesta al escal´ on del cuarto sistema a identificar.

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