Cstr Model (spanish Version)

MODELO MATEMÁTICO DEL SISTEMA SERIES DE TANQUES CONTINUAMENTE AGITADOS ISOTÉRMICO CSTR Eduardo A. Tusa Jumbo Universidad San Francisco de Quito Colegio de Ciencias e Ingeniería “El Politécnico” Campus Cumbayá, Vía Interoceánica y Pampite. Quito - Ecuador Tel.: 593-2-289-5723, Fax: 593-2-289-0070 Email: [email protected] Abstract: Este trabajo propone un modelo matemático de un sistema de tres tanques en serie continuamente agitados isotérmicos basado en las ecuaciones de balance de masa y de componente. La finalidad es modelar el sistema e identificar variables que nos permitan realizar acciones correctivas. Para simular el comportamiento de las variables del sistema como la concentración de reactante en cada tanque, se utilizó la aproximación numérica de Euler. Palabras claves: CSTR, método de Euler, control de procesos, balance de masa, balance de componente.

1. INTRODUCCIÓN No cabe duda que el valor de desarrollar modelos matemáticos de un sistema de ingeniería química reside en la comprensión que se obtiene de lo que el proceso realmente hace. Esta visión nos permite arrancar del problema, muchos factores ambiguos y aprovechar la esencia del sistema. Además, las relaciones causa – efecto entre las variables pueden ser apreciadas de una forma más clara. Los modelos matemáticos pueden ser útiles en todas las fases de la ingeniería química, como la investigación y la planificación de operaciones, así como también en estudios económicos y de negocios. La importancia de los sistemas Series de Tanques continuamente agitados isotérmicos con otras variables (CSTR) radica en sus valiosas aplicaciones en la ingeniería de control químico. Desde la distribución de productos químicos y medicamentos en el hombre y en los animales, hasta las grandes plantas de polimerización. Este abanico de razones mencionadas nos convoca a profundizar el estudio de este tipo de reactores químicos. “El reactor CSTR consiste en un tanque al que continuamente fluye el alimento y descarga productos a flujos volumétricos tales, que el volumen de reacción permanece constante. Esta provisto de facilidades para transferencia de calor y para agitación. En condiciones ideales la mezcla es homogénea” [1]. El presente trabajo pretende abordar el balance de materia y de componente de un sistema de tres tanques CSTR isotérmico para obtener el modelo matemático que nos permitirá aplicar fácilmente acciones de control. Para analizar el comportamiento dinámico del sistema CSTR isotérmico, primero se analizará un sistema CSTR a volumen constante; para luego generalizar al caso de un

CSTR de volumen variable en el tiempo. El desarrollo del sistema en el tiempo se consiguió a partir de un método numérico basado en la aproximación de Euler. De esta manera, se puede apreciar la evolución en el tiempo de la concentración del reactante, la concentración del producto y del volumen en cada tanque. El propósito fundamental de desarrollar modelos es establecer estrategias correctivas que nos permitan controlar el sistema. El control automático de procesos es parte del progreso industrial desarrollado durante lo que ahora se conoce como la segunda revolución industrial. El uso intensivo de la ciencia de control automático es producto de una evolución que es consecuencia del uso difundido de las técnicas de medición y control. Por ello, los modelos matemáticos de un sistema constituyen el punto de partida en el control de los procesos industriales. Este trabajo propone presentar dos modelos matemáticos (un sistema CSTR a volumen constante y un sistema CSTR a volumen variable.) que permitan la comprensión de este sistema; así como, la descripción de su comportamiento a partir de los balances de materia y componente. Desarrollar la evolución en el tiempo de la variable concentración del reactivo, la concentración del producto y del volumen en cada tanque utilizando el método numérico basado en la aproximación de Euler. Este trabajo está organizado de la siguiente manera: en la Sección 2 se hace una descripción del sistema CSTR isotérmico utilizando las ecuaciones de balance de materia y componente. La Sección 3 presenta el modelo obtenido y el proceso para determinar su evolución en el tiempo. La Sección 4 muestra los resultados obtenidos utilizando el método de Euler. Finalmente se presentan las conclusiones.

2. DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA 2.1 Sistema CSTR a volumen constante La Fig. 1 presenta una serie de tres tanques continuamente agitados. El producto B de la reacción se produce mientras que el reactante A se consume en los tres reactores agitados debido a una reacción de primer orden. Se asume que los volúmenes líquidos y la temperatura son constantes. Además, la densidad se mantendrá invariable a través del sistema.

Puesto que el sistema es binario y conocemos la masa total del material en cada tanque, solo se necesita una ecuación de continuidad de componente que puede ser A o B. Las ecuaciones que describen los cambios dinámicos del sistema CSTR isotérmico a volumen constante en las cantidades del reactante A en cada tanque son

dC A1 = F ( C A0 − C A1 ) − V1k1C A1 dt dC A 2 V2 = F ( C A1 − C A2 ) − V2 k2C A2 dt dC A3 V3 = F ( C A2 − C A3 ) − V3 k3C A3 dt V1

donde

CAi es la concentración del reactante A en el iésimo

tanque,

Fig. 1. Series de CTRs isotérmicos

(5)

C A0 es la concentración inicial de reactante y ki

está dada por la ecuación de Arrhneius descrita como sigue Puesto que los volúmenes líquidos Vi y las densidades son constantes, la masa es invariable en cada tanque. Por lo tanto, la ecuación (1) de continuidad de balance de masa

ki = α e

 Flujo de masa   Flujo de masa   dentro del sistema  −  fuera del sistema       Razón de cambio de  =  la masa dentro del sistema 

donde α es el factor pre exponencial, E es la energía de la activación, T es la temperatura absoluta y R es la constante del gas. Si las temperaturas en los reactores son diferentes, entonces los valores de k son distintos.

(1)

para el primer reactor se describe en la ecuación (2) de la siguiente forma

d ( ρV1 ) = ρ F0 − ρ F1 = 0 dt

(2)

donde Fi se define como el flujo o caudal en el iésimo tanque y F0 es el flujo inicial. Los balances de masa total en los tanques 2 y 3 están definidos por la ecuación (3)

F3 = F2 = F1 ≡ F

(3)

Se quiere mantener el seguimiento de las cantidades de reactante A y producto B en cada tanque, lo cual implica que la ecuación de continuidad (4) de las componentes son necesarias.

 Flujo de moles del   Flujo de moles del  iésimo componente  − iésimo componente       dentro del sistema   fuera del sistema 

Tasa de formación de moles del iésimo  +  componente dela reacción química   Razón de cambio del iésimo  =  componente dentro del sistema 

−

E RTi

(6)

Las ecuaciones de energía no son necesarias en este sistema debido a que se asume que la operación de la planta es isotérmica. El conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales (5) describe el modelo matemático del sistema. Las variables que deben ser conocidas son V1 , V2 , V3 , k1 , k2 , k3 . Las variables que deben ser específicadas antes de resolver el sistema son F y CA0. Estas variables puedan variar en el tiempo; por tal motivo, se las conoce como funciones de forzamiento. Las condiciones iniciales de las tres concentraciones también deben ser conocidas. Analizando los grados de libertad, existen tres ecuaciones con tres variables dependientes o desconocidas C A1 , C A 2 , C A3 ; por lo tanto, sería posible calcular una solución. [2] Si las caudales Fi son constantes en cada tanque, las temperaturas y los volúmenes son los mismas en los tres tanques, así que el conjunto de ecuaciones (4) se reduce a

dC A1  1 1 +  k +  C A1 = C A0 dt τ τ 

(4)

dC A 2  1 1 +  k +  C A 2 = C A1 dt τ τ  dC A3  1 1 +  k +  C A3 = C A 2 dt τ τ 

(7)

donde

τ es igual a V/F, con la única entrada C A0 .

3. MODELO 3.1 Modelo del sistema CSTR a volumen constante

2.2 Sistema CSTR a volumen variable El conjunto de ecuaciones (8) describen los efectos cinéticos de alto orden en el reactante A para el reactor 1. Del mismo modo, existe un par de ecuaciones que describe el comportamiento de los reactores 2 y 3; y que están descritos por los conjuntos de ecuaciones (9) y (10) respectivamente. Reactor 1:

dV1 = F0 − F1 dt d (V1C A1 ) = F0C A0 − F1C A1 − V1k1C A1 dt

(8)

Reactor 2:

dV2 = F1 − F2 dt d (V2C A2 ) = F1C A1 − F2C A2 − V2 k2C A2 dt

(9)

dC A1 1 = ( C A0 − C A1 ) − kC A1 dt τ dC A 2 1 = ( C A1 − C A2 ) − kC A 2 τ dt dC A3 1 = ( C A 2 − C A3 ) − kC A3 dt τ

(12)

El sistema puede reescribirse de la forma matricial x& = Ax + Bu como sigue 1  dC A1    dt   −k − τ     dC A2  =  1  dt   τ     dC A3   0  dt  

0 −k −

 1    C A1  τ    0  C A 2  +  0  C A 0   C   0  1  A3    −k −    τ  0

1

τ

1

τ

sistema

(10)

El modelo matemático consiste de 6 ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales. Los parámetros que deben ser conocidos son k1 , k 2 y k3 . Las condiciones iniciales de todas las variables dependientes a ser integradas deben ser dadas: C A1 , C A 2 , C A3 , V1 , V2 , V3 . Si revisamos los grados de libertad, encontramos 6 ecuaciones con 9 variables desconocidas: C A1 , C A 2 , C A3 , V1 , V2 , V3 , F1 , F2 , F3 . Es claro que el

C A0 . Cabe señalar que la señal de salida es C A3 .

Las condiciones iniciales y los parámetros del reactor a ser utilizados se encuentran enlistados en la Tabla 1. Tabla 1. Parámetros y condiciones iniciales CA0 CB0 CA1 CA2 CA3

2 Kg mol/m3 0.1 Kg mol/m3 0.4 Kg mol/m3 0.2 Kg mol/m3 0.1 Kg mol/m3

CB1 CB2 CB3 τ k T0

1.6 Kg mol/m3 1.8 Kg mol/m3 1.9 Kg mol/m3 500 s 0.5 /s 0.1

sistema no presenta una solución posible. Por esta razón, se incorpora un control de válvulas que va a regular los flujos valiéndose de un controlador de nivel. Estos controladores actúan sobre los flujos de cada tanque de la siguiente manera

3.2 Modelo del sistema CSTR a volumen variable

F1 = f (v1 )

dV1 = F0 − F1 dt dC A1 1 1 = F0C A 0 − F0C A1 − k1C A1 dt V1 V1

F2 = f (v2 )

(13)

Esta representación matricial nos permite apreciar los estados del sistema ( C A1 , C A 2 , C A3 ), y la entrada del

Reactor 3:

dV3 = F2 − F3 dt d (V3C A3 ) = F2C A2 − F3C A3 − V3k3C A3 dt

El sistema CSTR isotérmico se puede reescribir a partir del conjunto de ecuaciones de la siguiente forma

(11)

F3 = f (v3 ) donde f representa la dinámica del controlador de nivel y del control de válvulas. [2]

El sistema isotérmico CSTR de volumen variable consiste de un conjunto de seis ecuaciones que se describen a continuación:

dV2 = F1 − F2 dt dC A2 1 1 = F1C A1 − F1C A 2 − k2C A2 dt V2 V2 dV3 = F2 − F3 dt dC A3 1 1 = F2C A2 − F2C A3 − k3C A3 dt V3 V3

(14)

yn +1 = yn + ∫

( n +1)T0

nTo

f ( y, u, t ) dt

(16)

Existen distintos métodos de integración numérica, cada uno de ellos con sus correspondientes algoritmos para realizar el cálculo de yn+1. Se puede obtener, un valor aproximado de yn+1 si se utilizan métodos numéricos para calcular la integral del segundo miembro de (16), utilizando la aproximación con el método de Euler [3] como se muestra a continuación

yn +1 ≅ yn + To f ( yn , un , tn )

Puesto que las variables de estado y las entradas del sistema no están relacionadas linealmente, una representación matricial no es posible desarrollar fácilmente. Sin embargo, los estados del sistema son C A1 , CA2 , C A3 ,V1 , V2 yV3 , y las entradas del sistema son

3.3.1 Sistema CSTR a volumen constante

C A0 , F0 , F1 , F2 y F3 . Los parámetros del reactor a ser

(12)

utilizados se encuentran enlistados en la Tabla 2.

anteriormente. Se llamarán a estas derivadas CA1DOT, CA2DOT, CA3DOT. En el enésimo paso, el tiempo es

(17)

El lado derecho del conjunto de ecuaciones diferenciales son

las

funciones

f ( y, u , t )

discutidas

Tabla 2. Parámetros y condiciones iniciales k1

0.61/s

CA2

0.2 Kg mol/m3 3

k2

0.31/s

CA3

0.1 Kg mol/m

k3

0.31 /s

F0

140 m3/s

T0 CA0 CB0 CB1 CB2

0.01 3

2 Kg mol/m

F1

130 m /s

F2

120 m3/s

F3

110 m /s

3

V1

1100 m3

3

V2

3

1000 m

3

V3

900 m3

1.6 Kg mol/m 1.8 Kg mol/m

CB3

1.9 Kg mol/m

CA1

0.4 Kg mol/m3

1

τ

( CA2 DOT )n =

3

3

0.01 Kg mol/m

( CA1DOT )n =

( CA3DOT )n =

3

((C ) − (C ) ) − k (C )

1

τ 1

τ

A0 n

A1 n

A1 n

((C ) − (C ) ) − k (C ) A1 n

A2 n

(18)

A2 n

((C ) − (C ) ) − k (C ) A2 n

A3 n

A3 n

Para pasar al siguiente paso, se utiliza la integración de Euler con un tamaño de paso T0

Note que los valores de los flujos fueron seleccionados con la finalidad de que el flujo de entrada al tanque sea superior al flujo de salida con el objetivo de que cada tanque incremente su valor de volumen inicial.

( C A1 )n +1 = ( C A1 )n + T0 ( CA1DOT )n ( C A2 )n +1 = ( C A2 )n + T0 ( CA2 DOT )n ( C A3 )n +1 = ( C A3 )n + T0 ( CA3DOT )n

(19)

Las ecuaciones que describen el comportamiento del producto B se expresan de la siguiente forma

3.3 Método de Euler El método utilizado para simular el sistema CSTR isotérmico es la aproximación de Euler. Considere la siguiente ecuación diferencial,

y ' = f ( y, u, t ),

y ( 0 ) = y0

(15)

donde y representa la salida del sistema a controlar, u la acción de control, y t, el tiempo. Los valores de y(t) en el tiempo discreto t = nTo , serán llamados yn, donde To es el periodo de muestreo, y n={0,1,2,3,...}. Luego, cuando se desea calcular el valor de yn+1conociendo previamente el valor de yn, la ecuación (15) deberá integrarse sobre el intervalo de tiempo nTo ≤ t ≤ (n +1)To como se muestra a continuación,

( CB1DOT )n = ( CB 2 DOT )n = ( CB3DOT )n =

1

τ 1

τ 1

τ

((C ) − (C ) ) + k (C ) B0 n

B1 n

A1 n

((C ) − (C ) ) + k (C ) B1 n

B2 n

A2 n

(20)

((C ) − (C ) ) − k (C ) B2 n

B3 n

A3 n

con su respectiva integración de Euler descrita de la siguiente forma

( CB1 )n +1 = ( CB1 )n + T0 ( CB1DOT )n ( CB 2 )n+1 = ( CB 2 )n + T0 ( CB 2 DOT )n ( CB3 )n +1 = ( CB3 )n + T0 ( CB3DOT )n

( CB 2 DOT )n = (21)

( CB3DOT )n =

1

(V2 )n

F1 ( CB1 )n −

1

(V2 )n

F1 ( CB 2 )n + k2 ( C A2 )n

1 1 F2 ( CB 2 ) n − F (C ) + k (C ) (V3 )n (V3 )n 2 B 3 n 3 A3 n

(24) 3.3.2 Sistema CSTR a volumen variable El lado derecho del conjunto de ecuaciones diferenciales (14)

son

las

funciones

f ( y, u , t )

discutidas

anteriormente. Se llamarán a estas derivadas CA1DOT, CA2DOT, CA3DOT, V1DOT, V2DOT, V3DOT. En el enésimo paso, el tiempo es

(VIDOT )n = ( F0 )n − ( F1 )n

con su respectiva integración de Euler descrita de la siguiente forma

( CB1 )n +1 = ( CB1 )n + T0 ( CB1DOT )n ( CB 2 )n+1 = ( CB 2 )n + T0 ( CB 2 DOT )n ( CB3 )n +1 = ( CB3 )n + T0 ( CB3DOT )n

(25)

5. RESULTADOS

( CA1DOT )n =

1 1 F0C A0 − F (C ) − k (C ) V V ( 1 )n ( 1 )n 0 A1 n 1 A1 n

(V 2 DOT )n = ( F1 )n − ( F2 )n ( CA2 DOT )n

(22) 1 1 = F (C ) − F (C ) − k (C ) (V2 )n 1 A1 n (V2 )n 1 A2 n 2 A2 n

4.1 Sistema CSTR a volumen constante La figura 2 describe el diagrama de bloques del sistema CSTR isotérmico en lazo abierto. La función de transferencia que relaciona la entrada del sistema que es la concentración inicial del reactante A, y la salida que es la concentración del reactante A en el tanque 3 está dada por la ecuación (17)

(V 3DOT )n = ( F2 )n − ( F3 )n ( CA3DOT )n =

1 1 F2 ( C A 2 ) n − F (C ) − k (C ) (V3 )n (V3 )n 3 A3 n 3 A3 n

Para pasar al siguiente paso, se utiliza la integración de Euler con un tamaño de paso T0

( C A1 )n +1 = ( C A1 )n + T0 ( CA1DOT )n ( C A 2 )n +1 = ( C A2 )n + T0 ( CA2 DOT )n ( C A3 )n +1 = ( C A3 )n + T0 ( CA3DOT )n

(V1 )n +1 = (V1 )n + T0 (V 1DOT )n (V2 )n+1 = (V2 )n + T0 (V 2 DOT )n (V3 )n +1 = (V3 )n + T0 (V 3DOT )n

(23)

Las ecuaciones que describen el comportamiento del producto B se expresan de la siguiente forma

( CB1DOT )n =

1 1 F0C B 0 − F (C ) + k (C ) (V1 )n (V1 )n 0 B1 n 1 A1 n

Fig. 2 Proceso de tres tanques CSTR isotérmicos en lazo abierto

1 C A3 ( s ) τ3 G (s) = = 3 C A0 ( s )  1  s + + K   τ 

(26)

De la ecuación (26), podemos apreciar que la planta posee un polo negativo real de multiplicidad 3 que nos permite predecir la respuesta del sistema. Puesto que la parte real del polo es menor o igual que cero para cada valor propio, el sistema se dice ser estable. [4] La Fig. 3 presenta la evolución de la concentración del reactante A en el tiempo. Note que las concentraciones del componente A en cada reactor decaen exponencialmente. Además, se puede apreciar que la concentración del reactante A del tanque 3 se consume más rápido que el resto de tanques. Las tres concentraciones tienden a un valor ideal de cero en el cual todo el reactante A se ha consumido totalmente.

Concentración del reactante A vs. tiempo

Volumen vs. tiempo 2400

Tanque 1 Tanque 2 Tanque 3

0.35 0.3

2000

0.25 0.2 0.15

1800 1600 1400

0.1

1200

0.05

1000

0

Tanque 1 Tanque 2 Tanque 3

2200

Volumen [m3]

Concentración [Kg.mol de A/m3]

0.4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

800

1

0

0.2

0.4

0.6

Tiempo [Horas]

Fig. 3 Concentración del reactante A vs tiempo en un CSTR de volumen constante.

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Fig. 5 Volumen del tanque vs tiempo en un CSTR a volumen variable

La Fig. 4 presenta la evolución de la concentración del producto B en el tiempo. Note que las concentraciones de la componente B en cada reactor crecen exponencialmente. Además, se puede apreciar que la concentración del producto B del tanque 3 se produce más rápido que en el resto de tanques. El estado estable de la concentración del producto B tiende a la concentración inicial del reactante A. Concentración del producto B vs. tiempo 2.1 Tanque 1 Tanque 2 Tanque 3

2.05 2

En la Fig. 6, se puede apreciar el comportamiento del reactante A en cada tanque del sistema. Note que las concentraciones del componente A en cada reactor decaen exponencialmente como fue apreciado en el modelo CSTR de volumen constante. Además, se puede apreciar que la concentración del reactante A del tanque 2 se consume más rápido que el resto de tanques. La concentración del reactante A en el taque 1 se consume pero no totalmente. Ésto genera un remanente de reactante A en el tanque 3 que se encuentra alrededor de 0.05 Kg mol/m3. Concentración del reactante A vs. tiempo 0.4 Tanque 1 Tanque 2 Tanque 3

1.95 1.9 1.85 1.8 1.75 1.7 1.65 1.6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo [Horas]

Fig. 4 Concentración del producto B vs tiempo

Concentración [Kg.mol de A/m3]

Concentración [Kg.mol de B/m3]

0.8

Tiempo [Horas]

0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tiempo [Horas]

4.2 Sistema CSTR a volumen variable El comportamiento del volumen en cada tanque creció en el tiempo, ya que el flujo de entrada a cada tanque superaba al flujo de salida. Ésto puede ser apreciado en la Fig. 5. Como primera impresión de la conducta de estos tres estados, permite suponer la necesidad de incorporar un control en las válvulas y de nivel de los tanques por medio de los flujos de entrada y salida.

Fig. 6 Concentración del reactante A vs tiempo en un CSTR a volumen variable La Fig. 7 presenta la evolución de la concentración del producto B en el tiempo. Note que las concentraciones de la componente B en cada reactor crecen exponencialmente. Además, se puede apreciar que la concentración del producto B del tanque 3 se produce más rápido que en el resto de tanques. El estado estable de la concentración del producto B tiende a la concentración inicial del reactante A. La concentración del producto B en el tanque 2 tiende a la suma de de la concentración inicial de B más la de A. La concentración del producto B en el tanque 1 tiende al promedio de las concentraciones iniciales de B y A.

de los flujos a la entrada y salida de cada tanque produce pequeñas oscilaciones en el crecimiento del volumen; sin embargo, la tendencia de crecimiento del volumen permanece invariable.

Concentración del producto B vs. tiempo Tanque 1 Tanque 2 Tanque 3

1.95 1.9

Volumen vs. tiempo 2400

1.85

Tanque 1 Tanque 2 Tanque 3

2200 1.8 2000 1.75

Volumen [m3]

Concentración [Kg.mol de B/m3]

2

1.7 1.65 1.6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

1800 1600 1400 1200

Tiempo [Horas]

1000

Fig. 7 Concentración del producto B vs tiempo en un CSTR a volumen variable

800

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tiempo [Horas]

Cuando se manipula los flujos de entrada y salida de los tanques utilizando funciones oscilatorias de distintas frecuencias descrita por las ecuaciones (22) y graficadas en la Fig. 8 como se muestra a continuación  πt  F0 ( t ) = 140 + sin    4   πt  F1 ( t ) = 130 + sin    6 

 πt  F2 ( t ) = 120 + sin    8   πt  F3 ( t ) = 110 + sin    10 

(22)

Flujo vs. tiempo 145 F0 F1 F2 F3

Flujo [m3/s]

135

Concentración del reactante A vs. tiempo 0.4

130 125 120 115 110 105

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

En la Fig. 10, se puede apreciar el comportamiento del reactante A en cada tanque del sistema. Note que las concentraciones del componente A en cada reactor decaen exponencialmente como fue apreciado en Fig. 3 y Fig. 6. Además, se puede apreciar que la concentración del reactante A del tanque 3 se consume más rápido que el resto de tanques. La concentración del reactante A en el taque 1 se consume pero no alcanza a hacerlo totalmente. Ésto genera un remanente de reactante A que se encuentra alrededor 0.05 Kg mol/m3. El comportamiento oscilatorio de los flujos de entrada y de salida de cada tanque no se filtró de manera significativa en el modelamiento de la concentración del reactante A.

2

Tiempo [Horas]

Fig. 8 Flujos a la entrada y salida de cada tanque del sistema CSTR a volumen variable. Se observa un comportamiento bastante inusual del sistema. El volumen en cada tanque creció en el tiempo, ya que el flujo de entrada a cada tanque superaba al flujo de salida en diferentes rangos de frecuencia. Ésto puede ser apreciado en la Fig. 9. Note que la disposición oscilatoria

Concentración [Kg.mol de A/m3]

140

Fig. 9 Volumen del tanque vs tiempo en un CSTR a volumen variable con flujos oscilactorios

Tanque 1 Tanque 2 Tanque 3

0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tiempo [Horas]

Fig. 10 Concentración del reactante A vs tiempo en un CSTR a volumen variable con flujos oscilatorios La Fig. 11 presenta la evolución de la concentración del producto B en el tiempo. Note que las concentraciones de

la componente B en cada reactor crecen exponencialmente, manteniendo el mismo comportamiento en estado estable descrito en la Fig. 7. El comportamiento oscilatorio de los flujos de entrada y de salida de cada tanque no se filtró en el modelamiento de la concentración del producto de manera significativa. Concentración del producto B vs. tiempo Concentración [Kg.mol de B/m3]

2 Tanque 1 Tanque 2 Tanque 3

1.95

presente en los tanques es significativo. No obstante, el comportamiento oscilatorio de los flujos de entrada y de salida de cada tanque no se filtró en el modelamiento de la concentración de manera significativa. Las concentraciones del componente A en cada reactor decaen exponencialmente como fue esperado a partir del modelo. De la misma forma, la concentración del producto B se produce con crecimiento exponencial y tiende a la concentración inicial del reactante A. BIBLIOGRAFÍA

1.9 1.85 1.8 1.75 1.7 1.65 1.6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tiempo [Horas]

Fig. 11 Concentración del producto B vs tiempo en un CSTR a volumen variable con flujos oscilatorios 5. CONCLUSIONES El modelo matemático proviene del balance de materia y de componente dentro del reactor CSTR del cual resulta el conjunto de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. En el CSTR a volumen constante, este conjunto de ecuaciones nos permite determinar la función de transferencia de la planta en lazo abierto. Los polos reales negativos de la función de transferencia nos permite predecir que el comportamiento de la planta será asintóticamente estable. Un simple método de iteración fue necesario para resolver el estado estable. El método de Euler permitió determinar el comportamiento del reactante A y del producto B en el tiempo. Se pudo observar a través de la simulación que el reactante A se consume decayendo exponencialmente; mientras que el producto B se produce creciendo exponencialmente. En el volumen CSTR a volumen variable, El comportamiento del volumen en cada tanque creció en el tiempo. Esto permite suponer la necesidad de incorporar un control en las válvulas y de nivel de los tanques por medio de los flujos de entrada y salida. Las concentraciones del componente A en cada reactor decaen exponencialmente como fue apreciado en el modelo CSTR de volumen constante, mientras que la concentración del producto B se produce con crecimiento exponencial y tiende a la concentración inicial del reactante A. La manipulación de los flujos de entrada y de salida de los tanques utilizando funciones oscilatorias, genera que el volumen crezca con unas pequeñas oscilaciones; sin embargo, la tendencia de crecimiento del volumen permanece invariable debido a la cantidad de volumen

Ramírez, Alvaro y Issa Katime. “Diseño de Reactores de Polimerización” en http://www.ehu.es/reviberpol/pdf/DIC%2005/ramirez. pdf. (14 sep. 08) Luyben, William. Process Modelling, Simulation and Control for Chemical Engineers. Ed. McGrawHill: United States, 1999. Quintero, O, Scaglia, G., Amicarelli, A. & di Sciascio, F. Control basado en métodos numéricos para la obtención de un biocombustible. XXI° Congreso Argentino de Control Automático AADECA, Bs. As., Argentina. Basar, T., S. Meyn & R. Perkins. Control System Theory and Design, University of Illinois at UrbanaChampaign. Luyben, William y Michael Luyben. Essentials of Process Control. Ed. McGrawHill: United States, 1997. Scaglia, G., Mut, V., Quintero O., & di Sciascio, F. (2006). Controller design based on algebraic methods: application to mobile robots. In Spanish. XII Congreso latinoamericano Control Automatico, CLCA, Brasil.