Criterio De Estabilildad Nyquist

SISTEMAS DE CONTROL II Criterio de Estabilidad de Nyquist

Criterio de Estabilidad de Nyquist R(s)

G(s)

C(s)

H(s) La función de transferencia de lazo cerrado es:

C ( s) G(s) = R( s) 1 + G ( s) H ( s)



Para un sistema estable las raices de la ecuación característica 1+G(s)H(s) = 0, deben estar en el semiplano izquierdo del plano “s”.



La función de transferencia en lazo abierto es G(s)H(s).

Criterio de Estabilidad de Nyquist 

El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia en lazo abierto G(jω)H(j ω) con el número de ceros y polos de 1+ G(s)H(s) que se encuentran en el semiplano derecho del plano “s”.



Se basa en un teorema de la teoría de la variable compleja.

Criterio de Estabilidad de Nyquist  Supondremos que la función de

transferenci en lazo abierto G(s)H(s) se



representa como un cociente de polinomios en “s”. Para un sistema que puede materializarse, el grado del polinomio del denominador de la función de transferencia en lazo cerrado debe ser mayor o igual que el del polinomio del numerador. Por lo tanto lim G ( ss)→H∞ ( s) = 0 o igual una constante para cualquier sistema que pueda materializarse.

Criterio de Estabilidad de Nyquist Si 

F ( s) = 1 + G (s) H ( s) = 0

Para una trayectoria cerrada continua determinada en el plano “s” que no pasa por ningún punto singular, le corresponde una curva cerrada en el plano F(s), donde la dirección y el número de encierros del origen del plano F(s) para la curva cerrada esta relacionado con la estabilidad del sistema.

Criterio de Estabilidad de Nyquist 6 ( s + 1)( s + 2) ( s + 1,5 + j 2,4)( s + 1,5 − j 2,4) 6 F (s) = 1 + G( s) H ( s) = 1 + = ( s + 1)( s + 2) ( s + 1)( s + 2) Por ejemplo G ( s ) H ( s ) =

 

Es analítica en todas las partes del plano “s” excepto en sus puntos singulares. A cada punto en “s” le corresponde un punto en el plano F(s). Por ejemplo si s = 1 + j 2 entonces F ( s ) = 1,115 + j 0,577

Criterio de Estabilidad de Nyquist Teorema del Mapeo

Criterio de Estabilidad de Nyquist Teorema del Mapeo

Criterio de Estabilidad de Nyquist Teorema del Mapeo     

Suponga que F(s) es el cociente de dos polinomios en “s”. N=Z-P N encierros del origen del plano F(s) en sentido horario. Z nro de ceros. P nro de polos.

Criterio de Estabilidad de Nyquist Aplicación del teorema del mapeo al análisis de la estabilidad de los sistemas en lazo cerrado 

Se considera el contorno cerrado en el plano “s” que encierra todo el semiplano derecho, formado por el eje j ω completo y una trayectoria simicircular de radio infinito conocida como “Trayectoria de Nyquist” (sentido horario) Plano “s”

jω Inf R=

σ Trayectoria de Nyquist

Criterio de Estabilidad de Nyquist Aplicación del teorema del mapeo al análisis de la estabilidad de los sistemas en lazo cerrado  





Es necesario que el contorno cerrado no pase por ningún cero ni polo de 1+G(s)H(s). Debido a la condición lim G(s) H (s) = CONSTANTE solo se considera una parte del contorno: el eje jω, quedando 1+G(jω)H(jω). La estabilidad del sistema en lazo cerrado se averigua examinando los encierros de -1+j0 mediante el lugar geométrico de G(jω)H(jω). La gráfica de G(jω)H(jω) es simétrica respecto al eje real de G(-jω)H(-jω). s →∞

Criterio de Estabilidad de Nyquist Análisis de estabilidad  Si la trayectoria de Nyquist en el plano “s”

encierra Z ceros y P polos de 1+G(s)H(s) y no atraviesa polos ni ceros de 1+G(s)H(s) cuando un punto representativo “s” se desplaza en sentido horario a lo largo de la trayectoria de Nyquist, entonces la trayectoria correspondiente en el plano G(s)H(s) rodea al punto -1+j0, N=ZP veces en sentido horario. (Valores negativos de N implican rodeos antihorarios).

Criterio de Estabilidad de Nyquist Análisis de estabilidad 

Al examinar la estabilidad de los sitemas de control lineales utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist, se pueden presentar tres posibilidades:

3.

No hay rodeo del punto -1+j0. Esto implica que el sistema es estable si no hay polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; en caso contrario, el sistema es inestable.

5.

Hay un rodeo en el sentido antihorario o rodeos del punto -1+j0. En este caso el sistema es estable si la cantidad de rodeos antihorarios es la misma que la cantidad de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; en caso contrario el sistema es inestable.

7.

Hay un rodeo o rodeos del punto -1+j0 en sentido horario. En este caso, el sistema es inestable.

Criterio de Estabilidad de Nyquist  Ejercicio. Considere un sistema de lazo

cerrado cuya función de transferencia de lazo abierto está dada por: K G ( s) H (s) = (T1s + 1)(T2 s + 1) K = 5, T1 = 3, T2 = 8

 Examine la estabilidad del sistema.

Criterio de Estabilidad de Nyquist  

Solución: Considerando el diagrama polar de G(jω)H(jω) y como G(s)H(s) no tiene ningún polo en el semiplano derecho del plano s, y el punto -1+j0 no está rodeado por el lugar de G(jω)H(jω), este sistema es estable para cualquier valor positivo de K, T1, y T2.