Creep Thesis

分类号

密级

UDC

硕士学位论文 混凝土徐变计算及桥梁施工 过程仿真分析

学位申请人： 苏砺锋 学 科 专 业 ： 水利水电工程 指 导 教 师 ： 王乘教授

论文答辩日期

学位授予日期

答辩委员会主席

评阅人

A Thesis Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master of Engineering

the Calculation of Concrete Creep and the Simulation Analysis of Bridge Construction

Candidate : Su, lifeng Major

: Hydro-Power Engineering

Supervisor : Prof. Wang Cheng

Huazhong University of Science and Technology Wuhan, Hubei 430074, P. R. China April, 2004

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

学位论文作者签名： 苏砺锋 日期：

2004 年 4 月 27 日

学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密□，在_____年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密□。 （请在以上方框内打“√” ）

学位论文作者签名： 苏砺锋

指导教师签名：王乘

日期：2004 年 4 月 27 日

日期：2004 年 4 月 27 日

摘要 由于混凝土自身的材料特性，在长期荷载作用下，当构件发生弹性变形时，随着 时间的推移，会产生比弹性变形更大的徐变变形。徐变不仅会带来变形，还会导致结 构内力重分配，引起预应力损失，特别是在桥梁等大型、复杂的结构中，徐变产生的 后果更为严重。徐变影响的计算已成为桥梁结构设计和施工中不可忽视的内容。 然而，混凝土的徐变及其对桥梁结构性能影响的预计和控制，是十分复杂又难以 获得精确答案的问题。影响混凝土徐变的因素既有内部因素又有外部因素。要准确的 把握徐变对结构的影响，必须全面的考虑这些因素。本文利用有限单元法，综合考虑 混凝土的材料特性、施工过程与施工方法，对桥梁结构中的混凝土徐变进行了分析。 以大型有限元软件 ANSYS 为平台，通过 ANSYS 的二次开发，实现混凝土徐变与桥梁 施工过程的仿真分析。以 ANSYS 现有的功能，无法计算混凝土的徐变，需要按照金 属蠕变的计算方法来考虑混凝土徐变。首先针对国内桥梁设计所采用的《公路钢筋混 凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》与《铁路桥涵设计规范》 （本文简称《公桥规》与 《铁桥规》）中徐变系数的不同定义，对徐变系数进行参数化拟合，然后利用 FORTRAN 语言编写有限元计算程序。通过 ANSYS 的接口 UPFs，调用 FORTRAN 程序进行混凝 土徐变计算。利用 ANSYS 中的梁单元支持复合材料截面的特性，在满足变形协调的 条件下，模拟钢筋混凝土结构或者钢——混凝土组合结构，实现由徐变产生内力重分 配的计算。通过 UPFs 读入施工控制信息，利用 ANSYS 的高级编程语言 APDL 编写 宏命令，根据施工信息控制计算流程和单元生死，从而实现桥梁施工过程的仿真。通 过比较分析，计算结果与实际结果基本吻合。利用施工仿真分析，能够作为设计和施 工的主要依据，提供非常直观的可视化结果，在桥梁结构工程中具有实际意义。

关键词： 徐变， 复合材料截面， 桥梁施工， 仿真， ANSYS 二次开发

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Abstract Creep is one of the material properties of concrete by which it continues deforming over considerable lengths of time at constant stress or load. A concrete structure under short-time loading results in elastic deformation. If the load were maintained, the deformation would increase to several times its elastic value. Creep not only brings on deformation, but also redistribution of stress and loss of prestress. The influence of creep on bridge structures is especially severe. The calculation of creep has become necessary in bridge designing and construction. However, creep of concrete and its influence on bridge structures are hard to predict and control. The calculation is very complicated and the results are not accurate. There are lots of factors that affect the nature of creep, including internal factors and external factors. These factors must be considered comprehensively in designing and construction. Taking into account the material properties of concrete, the process and the method of construction, this paper introduces using finite element method (FEM) to solve this problem. Based on the second-development of the FEM software — — ANSYS, this paper focuses on the calculation of concrete creep and the simulation of bridge construction in ANSYS. By its original functions, creep of concrete could not be solved. According to the different definitions of creep coefficient in different construction codes, a program to solve creep of concrete is written by FORTRAN language. By means of UPFs，ANSYS can use this program to solve creep problems. Composite cross section with multiple materials can be analyzed in ANSYS, so it’s convenient to take this advantage to calculate the redistribution of stress in reinforced concrete structures or steel-concrete composite structures under the condition of compatible deformation. Construction information can be read and saved in ANSYS by UPFs, and macro commands written by APDL can control the calculation flow, the element birth and death, thereby simulating the bridge construction. The calculation results agree with the practical results. Simulation analysis provides accurate and visible - II -

results that can be referred to in practical designing and construction, so it’s valuable in bridge structure engineering.

Key words： Creep， Multiple-material Cross Section， Bridge Construction， Simulation Second-development of ANSYS

- III -

目录

摘要・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・Ⅰ Abstract・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・Ⅱ 1 绪论 （1） 1.1 研究背景及意义・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ （3） 1.2 国内外近况・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・ 1.3 研究内容和技术手段・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（4）

2 混凝土徐变的理论与求解 ・ 2.1 徐变计算理论・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（7）

（8） 2.2 徐变系数・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・ 2.3 徐变的应力应变关系・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（9） ・ 11） 2.4 徐变的有限单元分析法・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（

3 徐变的仿真分析 ・ 3.1 混凝土徐变与金属蠕变・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（16） ・ 3.2 在 ANSYS 中实现混凝土徐变计算・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（18） ・ 3.3 计算示例与分析・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（31）

4 钢材与混凝土的协调变形 （37） 4.1 考虑钢材作用的计算方法・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ （38） 4.2 有限元模型・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

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4.3 计算示例与分析・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（40） ・ 5 施工过程仿真 ・ 5.1 桥梁施工的方法及内容・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（43） ・ 5.2 桥梁施工仿真计算程序・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（45） ・ 5.3 计算示例与分析・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（46） ・ 6 全文总结及展望・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（53） ・ 致谢・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（54）

（55） 参考文献・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・ 59） 附录 攻读学位期间发表的论文・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（

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1 绪论 1.1 研究背景及意义 混凝土是当今世界上应用最为广泛的工程材料之一。随着各种建筑结构的形状和 工况复杂性日益增加，混凝土结构的变形及其后果也日益严重，这就要求人们更全面 深入的研究混凝土的各种变形特性。徐变是混凝土的重要特性之一。所谓徐变是指在 单轴应力作用下，沿应力方向的应变将随时间不断增加的现象，如图 1-1。

图 1-1、混凝土徐变的应变——时间曲线

通常混凝土的徐变变形大于其弹性变形，在不变的长期荷载下，混凝土结构的徐 变变形值可达到瞬时变形值的 1.0～6.0 倍[1]。对于静定结构，徐变会导致很大的变形 从而引起结构内部裂缝的形成和扩展，甚至使结构遭受破坏；对于超静定结构，徐变 不但会引起变形，还会产生徐变次内力；在钢筋混凝土或预应力混凝土中，随时间变 化的徐变，由于受到内部钢筋的约束会导致内力的重分配并引起预应力损失；分阶段 施工的混凝土结构由于徐变的不同而导致内力的变化；连续梁、刚架、斜拉桥、拱桥 等在施工过程中发生结构体系转换时，前期继承下来的应力状态所产生的应力增量受 到后期结构的约束，而导致支座反力和结构内力的变化[2]。总之，徐变对混凝土结构 的影响是非常大的。因此，在分析长期荷载作用下结构的应力、应变、变形等问题时， 必须考虑徐变的作用和影响。世界上各个国家根据自己的情况，针对徐变提出了相应 的规范。如 1982 年美国 ACI209 委员会报告所建议的 ACI 规范；1984 年的英国标准 BS5400；1990 年欧洲混凝土委员会提出的 CEB-FIP 标准规范；以及 Bazant 与 Panula 提出的 B-P 和 B-P2 标准[3]。其中以 CEB-FIP 规范的计算模型应用较为广泛，计算也

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较为准确。在我国现行的《公桥规》中即采用了这种计算模型。但是，由于影响混凝 土徐变的因素很多而又很复杂，要准确的预计混凝土的徐变，并把握其对结构性能的 影响是很困难的。特别是在施工现场，影响混凝土徐变的诸如水泥品种、粗细骨料含 量、水泥含量、水灰比、环境的温度和相对湿度、构件的尺寸、各种添加剂等因素具 有很大的随机性，甚至一些人为的因素如振捣不密实等也影响到混凝土徐变的发生。 设计中应当全面考虑这些因素，才能使结构在各种荷载和非荷载条件下能够长期保持 良好的可靠性和适用性。然而，如何充分的考虑各种随机因素的影响，使徐变的预计 值更符合实际情况，如何在施工中根据现场的实际情况做调整计算，以便确定产生徐 变的主要因素，继而正确考虑徐变的影响，一直困扰着工程界。现阶段，为了方便工 程设计人员的工作，各国通常采用近似简化方法来考虑徐变的影响：德国将长期荷载 乘一个大于 1 的系数来考虑徐变的不利影响；日本采用降低容许应力的方法来考虑徐 变的影响；原苏联对于静定结构，认为徐变不影响构件的极限承载力；在中国，根据 规范给出考虑徐变影响的强度折减系数。这些方法虽然简化了设计工作，但都无法得 到能够真实反映实际情况的结果[4]。 近年来，随着我国经济建设的进一步加快，交通事业得到了飞速发展。但是由于 桥梁结构的特殊性和重要性，由混凝土徐变所产生的次内力和变形对桥梁结构的影响 较一般的混凝土结构更为重要。由于目前对徐变的计算方法较为复杂，不适合在实际 设计中使用，在一定程度上制约了桥梁工程的发展。随着高性能计算机和工具软件的 逐渐普及，使得对桥梁施工过程进行比较精确的多次重分析及可视化处理成为可能， 对桥梁施工仿真徐变分析和监控技术的研究日益受到重视。如何运用高性能计算机精 确计算混凝土徐变，并对桥梁施工过程进行可视化仿真模拟，已成为工程界迫切需要 解决的问题之一。使用施工过程仿真徐变分析具有以下优点：（1）能预先知道施工过 程中可能出现的控制设计的最不利状态；（2）成桥状态与施工过程直接相关，只有通 过考虑施工过程来分析竣工后的整体结构，计算结果才能保证正确和完整；（3）徐变 与施工方法、施工时间是互相影响的，只有同时考虑才能得出正确的结果；（4）通过 对不同施工方案的对比分析有助于确定最优施工方案，达到理想状态； （5）为了对施 工进行科学管理，提高质量和保证安全，必须对施工全过程进行监控，使桥梁的线型

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和应力逼近预定目标； （6）能够做到施工前就对各施工阶段的结构状态了然在胸； （7） 提前进行的仿真分析结果就是指导施工和监控的主要依据，实际监测数据又能验证和 改进计算方法；（8）对大跨度、新型和复杂的桥梁或其它结构，利用施工仿真分析和 监控的能力和手段，能明显提高设计和施工的质量和效率[5]。综上所述，桥梁施工仿 真徐变分析技术是桥梁设计施工最强有力的工具，具有以往任何工程软件没有的优势， 对加速我国交通事业的发展具有重大意义，能够带来巨大的经济效益和社会效应。目 前常用的仿真分析软件大部分为通用软件，在某些专业领域有所欠缺，比如不具备直 接求解桥梁问题的能力。这些不足和欠缺势必会阻碍桥梁仿真分析的发展，因此，实 现通用仿真软件在桥梁工程中的二次开发与应用是十分迫切的。 本文正是基于上述观点，采用有限单元法解决混凝土的徐变计算和桥梁施工过程 的仿真模拟。由于开发桥梁结构有限元分析程序不仅需要投入大量的人力、物力，而 且开发周期长，程序代码的重用率低、不易维护，无法满足桥梁工程技术快速发展的 要求。针对这些问题，本文采用通用有限元分析软件 ANSYS 提供的二次开发技术进 行桥梁问题求解。这样既能利用 ANSYS 强大的有限元求解器及其丰富的单元和材料 库，省去了大量的代码编写工作；又能根据客户不同的要求，解决专业性很强的问题， 同时可以方便的升级换代，扩展新的功能，为今后 ANSYS 在桥梁工程中的广泛应用 奠定了良好的基础，同时也为今后研制和开发大型桥梁分析软件提供了一条新的途径。

1.2 国内外近况 混凝土徐变现象被认识和重视始于 20 世纪初，而对它的系统研究则始于 20 世纪 30 年代，其应用于实际结构则更晚。直到 20 世纪 40 年代后期，多数设计人员认为混 凝土徐变只是一个单纯的属于材料科学范围的学术问题。经过研究试验资料的积累与 几十年的实践经验，人们对徐变的认识和对徐变对结构影响分析方法的研究，已经得 到了很大的发展。早在 20 世纪 30 年代，F.Dischinger 提出了由混凝土徐变所导致的 混凝土与钢筋截面应力重分布与结构内力重分配计算的微分方程解。这种方法对于多 层钢筋的配筋构件和多次超静定结构的计算十分复杂，而且与实际出入较大。1967 年， H.Trost 教授引入了当时被他称为松弛参数（1972 年 Z.P.Bazant 改为老化系数）的概 -3-

念，提出了由徐变导致的应力与应变之间关系的代数方程表达式，使内力重分配计算 从微分方程解法转变为代数方程的解法，不仅简化了计算，而且提高了精度。1972 年 Z.P.Bazant 对 H.Trost 的公式进行了严密的证明，并将它推广应用到变化的弹性模量 与无限界的徐变系数。Trost-Bazant 将按龄期调整的有效模量法与有限单元法相结合， 使得混凝土结构的徐变计算能够采用更逼近实际的有限单元、逐步计算法。在 Trost-Bazant 理论的基础上，W.H.Dilger 教授在 1982 年提出的“徐变换算截面性质法”， 使得构件内部配筋影响的计算获得很大简化[6]。 我国混凝土结构设计中考虑徐变的影响，始于 20 世纪 50 年代。在 20 世纪 60 年 代，对混凝土徐变性能进行了较系统的试验研究，提出了数学计算模式。超静定结构 徐变分析的国内文献，以 1964 年劳远昌教授的专著与张忠岳研究员等的试验报告为最 早，但应用于实际结构则在 20 世纪 70 年代中期以后。近 20 年来，我国在混凝土结构 的徐变效应分析方面，也取得了丰硕的研究成果，超静定结构的发展与部分预应力理 论的应用更促使徐变影响的计算成为结构设计所不可缺少的内容[7]。 尽管对于徐变的理论研究已经相对成熟，但是，如前所述，大量影响混凝土徐变 的因素都具有强烈的随机性，因此，要准确的预计混凝土的徐变，并把握其对结构性 能的影响是很困难的。目前国内外学者对混凝土徐变性能的研究主要采用现场试验与 理论研究相结合的方法。

1.3 研究内容和技术手段 1.3.1 研究内容 本文的主要研究内容有：混凝土的徐变计算，考虑钢骨架作用的内力重分配计算， 桥梁施工过程仿真以及它们在 ANSYS 中的实现。对于混凝土徐变，根据《公桥规》 和《铁桥规》中对徐变系数和徐变计算方法的不同规定，分别进行参数化拟合。采用 有限单元法，建立混凝土徐变的本构方程和刚度矩阵，编写 FORTRAN 程序进行求解。 由于徐变是与时间有关的，而且徐变率也是与时间有关的，因此在有限元程序中需要 考虑时间的影响。对于钢筋混凝土结构及钢——混凝土组合结构，采用平截面假定，

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利用钢材与混凝土的变形协调条件，计算钢材、混凝土在受压，受弯等荷载情况下的 应力——应变关系以及整个构件的变形，内力重分配情况。对于桥梁施工过程的仿真， 可按以下五个步骤进行：（1）根据不同的施工阶段，杀死或激活相应的单元；（2）安 装或拆除施工中的临时支座；（3）将外荷载与预应力施加到有限元模型上；（4）进行 瞬时弹性计算；（5）按照施工步长进行徐变计算；（6）根据徐变变形，计算预应力损 失，重新调整预应力。循环进行（1）到（6）步，直到成桥。要在 ANSYS 中实现上 述功能，必须利用 ANSYS 的接口技术，通过二次开发，建立一套完整的程序系统， 调用外部子程序进行徐变计算，并读入施工信息文件，转换为相应的控制命令流，实 现施工过程仿真。整个系统既要使用户操作方便，又要保证得到正确的结果。 1.3.2 技术手段 有限单元法是利用电子计算机的一种数值分析方法。它在工程技术领域中的应用 十分广泛。几乎所有的弹塑性结构静力学和动力学问题都可以用它求得满意的数值结 果。虽然这一方法起源于结构分析，但是由于它所依据的理论的普遍性，已经被推广 应用于其他领域中的许多场问题。有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为 一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联 结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模型化几何形状复杂的 求解域。利用有限单元法求解，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着单元尺寸 的缩小，解的近似程度不断得到改进，最终近似解将收敛于精确解[8]。近年来，随着 计算机及软件技术的飞速发展，基于数值方法的有限元分析技术也越来越广泛的应用 与科研与工程分析。有限元分析软件的功能也越来越强大。ANSYS 是目前世界上最通 用的有限元分析软件之一。它融热、电、磁、流体、结构、声学分析于一体。由于 ANSYS 的通用性特点，使其专业针对性不强。但是 ANSYS 程序的开放结构，使得用户可以 利用 ANSYS 内部提供的二次开发工具，对其进行二次开发，满足用户不同的需要。 ANSYS 的二次开发环境由以下几个模块构成[8]： 1、ANSYS 参数设计语言（APDL） APDL（ANSYS Parametric Design Language）是一种非常类似于 FORTRAN77 的

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参数化设计语言，用户可以用它执行一般任务，甚至可以按照命令建立自己的模型。 其核心内容为宏、参数、循环命令和条件语句。其中，程序设计语言部分与其它编程 语言一样，具有参数、数组表达式、函数、流程控制（循环与分支） 、宏以及用户子程 序等。用户可以利用程序设计语言将 ANSYS 命令组织起来，编写出参数化的用户程 序，从而实现有限元分析的全过程，即建立参数化的有限元模型、参数化的网格划分 与控制、参数化的材料定义、参数化的荷载和边界条件定义、参数化的分析控制和求 解以及参数化的后处理。 2、ANSYS 用户界面设计语言（UIDL） UIDL（User Interface Design Language）主要帮助用户实现 ANSYS 图形用户界面 （GUI）的用户化，以使用户开发的程序融入 ANSYS 环境。通过把 UIDL 命令流写入 控制文件，来建立自定义的菜单、对话框和在线帮助。通过用户界面设计语言（UIDL）， 用户可以在扩充 ANSYS 功能的同时建立起对应的图形驱动界面，如在主菜单的某位 置增加菜单项，设计对应的对话框、拾取对话框，实现参数的输入和其它程序运行的 控制，同时提供相应的联机帮助，使操作者能方便地获取系统帮助。 3、ANSYS 用户可编程特性（UPFs） ANSYS 程序允许用户连接自己的 FORTRAN 程序和子过程。通过连接自己的 FORTRAN 程序，用户生成了一个针对用户特点的 ANSYS 程序版本。UPFs（User Programmable Features）可以实现从简单的单元输出功能到很复杂的用户优化算法。一 个典型的 UPF 包括下列步骤： （1）在 FORTRAN77 中编制用户程序； （2）编译并将用 户程序连接到 ANSYS 程序中； （3）验证自己做的改动是否影响其他 ANSYS 标准功能 的使用；（4）使用用户认为可以满足要求的过程检验用户子程序。 本文利用有限元方法求解混凝土徐变，对桥梁施工过程进行仿真分析。通过对程 序计算结果与实际结果的比较，证明了程序的正确性与实用性。

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2 混凝土徐变的理论与求解 2.1 徐变计算理论 大量试验结果表明，当应力小于混凝土强度的 50% 时，徐变应变与所施加的应力 具有线性关系。按照这一应力应变关系，对于混凝土徐变，国内外学者建立了六种计 算理论。这些理论都服从鲍尔兹曼（L.Boltzman）迭加原理——在时间 t 变应力作用下 的总应变 ε (t ) 为每一应力增量 ∆σ (τ ) 引起应变的总和。

1、有效模量法 有效模量法是一种近似计算方法，该理论将徐变归入弹性变形，将徐变问题化为 相当的弹性问题来处理。当荷载不变时，假设应力与总应变成正比。

2、老化理论 老化理论又称徐变率法，它假定徐变速率与加载龄期无关，因此该理论计算徐变 只需一条徐变曲线。

3、弹性徐变理论 弹性徐变理论又称迭加法，该理论以变形与应力之间成线性关系的假设为基础， 应力变化时的徐变总变形可按相应应力增量引起的徐变变形总和来计算，这就是迭加 原理。

4、弹性老化理论 弹性老化理论又称流动率法，它的徐变函数由弹性变形、迟后弹性变形——可恢 复变形和流动变形——不可恢复变形三部分组成。该理论假定不同加载龄期在任意时 间内的流动速率是相同的。

5、继效流动理论 继效流动理论把徐变分为可恢复徐变和不可恢复流动变形两部分，假定流动变形 速率与加载龄期有关。

6、龄期调整有效模量法 所谓龄期调整有效模量法就是用老化系数来考虑混凝土老化对最终徐变值的影

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响。 以上六种徐变理论相比较，有效模量法低估了徐变，老化理论高估了徐变，而迭 加法的计算曲线略低于实测曲线。当应力递增时，有效模量法高估了徐变，老化理论 低估了徐变，而迭加法的计算曲线略高于实测曲线。流动率法比徐变率法有了显著的 改进，它能较好地描述早龄期的混凝土在卸载状态下徐变部分可恢复的性质，但对老 混凝土徐变规律的描述不能令人满意，低估了老混凝土的徐变。继效流动理论计算比 较繁复，但精度高，特别是应力衰减问题，所得到的结果令人满意。龄期调整有效模 量法计算简单，可查图表[9]。

2.2 徐变系数 混凝土的徐变，通常采用徐变系数 ϕ (t ,τ ) 来描述。如令在时刻 τ 开始作用于混凝土 的单轴向常应力 σ (τ ) 至时刻 t 所产生的徐变应变为 ε c (t ,τ ) ，徐变系数的定义可表示为：

ε c (t ,τ ) =

σ (τ ) E28

ϕ (t ,τ )

（2-1）

采用这种定义的是 CEB-FIP 标准规范（1990 年版）及英国标准 BS5400 第四部分 （1984 年版）。 徐变系数的另一种定义可表示为：

ε c (t ,τ ) =

σ (τ ) E

ϕ (t ,τ )

（2-2）

这一定义是由美国 ACI209 委员会报告所建议的（1982 年版）。 目前国际上徐变系数的数学表达式有很多种，其中一类将徐变系数表达为一系列 系数的乘积，每一个系数表示一个影响徐变值的重要因素；另一类则将徐变系数表达 为若干个性质互异的分项系数之和。在我国《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设 计规范》与《铁路桥涵设计规范》中，对徐变系数的定义也是不一样的。 《公桥规》采 用的是欧洲标准规范 CEB-FIP（1978 年版）中建议的徐变系数表达式，即将徐变系数 表达为若干分量之和； 《铁桥规》中徐变系数采用的是以老化理论为基础的指数形式表 达式。

-8-

1、《公桥规》中的徐变系数[10]：

ϕ (t ,τ ) = β a (τ ) + 0.4 * β d (t − τ ) + ϕ f (t ,τ )

（2-3）

式中： β a (τ ) ——加载后最初几天产生的不可恢复的变形系数；

β d (t − τ ) ——可恢复的弹性变形系数，或称徐弹系数； ϕ f (t ,τ ) ——不可恢复的流变系数，或称徐塑系数。 2、《铁桥规》中的徐变系数[11]：

ϕ (t ,τ ) = ϕ (∞,0)e − βτ (1 − e − β (t −τ ) )

（2-4）

式中： t ， τ ——分别表示计算龄期和加载龄期；

ϕ (∞,0) ——从 t = 0 → ∞ 的徐变系数； β ——徐变速率。 指数函数表达式也称 Dischinger 法，假定不同加载龄期的徐变系数——龄期曲线， 可以由通过原点的徐变系数——龄期曲线的垂直平移而得，即：

ϕ (t ,τ ) = ϕ (t , t 0 ) − ϕ (τ , t 0 )

（2-5）

不管是哪种徐变系数表达式，都反映出混凝土徐变的一个共同特征，即：混凝土 徐变随着加载持续时间的增加而单调地增加，但增加的速度随时间的增加而递减。

2.3 徐变的应力应变关系方程 2.3.1 线性叠加原理 如前说述，当混凝土应力小于强度的 50% 时，徐变应变可以认为与所施加的应力 具有线性关系，超过这一应力，将导致非线性关系。通常在工作应力下，混凝土的应 力小于其强度的 50% ，混凝土的弹性应变和徐变应变都与应力呈线性关系。因此，只 要总应力不超过混凝土强度的 50% 左右，分批施加应力所产生的应变可以采用叠加原 理。根据叠加原理，对于在时刻 τ 0 施加初应力 σ (τ 0 ) ，又在不同的时刻 τ i (i = 1,2 ⋅ ⋅ ⋅ n) 分 阶段施加应力增量 ∆σ (τ i ) 的混凝土，其在以后任何时刻 t 的总应变可以表达为[12]：

-9-

n ∆σ (τ i ) σ (τ 0 ) (1 + ϕ (t ,τ i )) (1 + ϕ (t ,τ )) + ∑ E (τ 0 ) i =1 E (τ i )

ε (t ,τ 0 ) =

（2-6）

对后加应力为连续变化的应力，则可写出描述叠加原理的积分表达式：

ε (t ,τ 0 ) =

t ∂σ (τ ) 1 + ϕ (t ,τ ) σ (τ 0 ) • dτ (1 + ϕ (t ,τ )) + ∫ τ ∂τ E (τ ) E (τ 0 )

（2-7）

0

对积分部分进行分部积分，并注意到 ϕ (t , t ) = 0.0 ，即：

ε (t ,τ ) =

σ (t ) E (t )

−∫

t

τ0

σ (τ ) dϕ (t ,τ ) • dτ E (τ ) dτ

（2-8）

2.3.2 应力——应变关系的微分方程表达式 将不同的徐变系数表达式代入上式，可推导出应力、应变关系的微分方程表达式 [13]

：

dε 1 dσ (t ) σ (t ) dϕ (t ,τ ) = + dt E (t ) dt E (t ) dt

（2-9）

有些徐变系数表达式不能得出常微分方程，故不能利用微分方程求解。正因为如 此，微分方程表达式被 20 世纪 60 年代出现的代数方程表达式逐渐取代。 2.3.3 应力——应变关系的代数方程表达式

1967 年，Trost 教授从混凝土应力——应变的线性关系和叠加原理出发，引入了老 化系数（松弛系数）的概念，并假定混凝土弹性模量为常数，可推导出在不变荷载下， 由徐变导致的应变增量与应力增量之间关系的代数方程表达式[13]： ∆σ (t ,τ ) (1 + χ (t ,τ )ϕ (t ,τ )) E E σ (τ ) ∆σ (t ,τ ) ε (t ,τ ) = (1 + ϕ (t ,τ )) + (1 + χ (t ,τ )ϕ (t ,τ )) E E ∆ε (t ,τ ) =

σ (τ )

ϕ (t ,τ ) +

式中： ∆ε (t ,τ ) ——从开始加载的时刻 τ 至时刻 t 的时间内的应变增量； ∆σ (t ,τ ) ——在上述时间内的应力增量；

E ——混凝土弹性模量（假定为常数）；

ϕ (t ,τ ) ——从 τ 至 t 时间内徐变系数； - 10 -

（2-10） （2-11）

χ (t ,τ ) ——老化系数。 老化系数 χ (t ,τ ) 可按下式计算：

∆σ (τ i ) Kτ i τ i =τ ∆σ (t ,τ ) Kτ t

χ (t ,τ ) = ∑

（2-12）

式中： ∆σ (t ,τ ) ——在 τ 至 t 的全部时间内由徐变导致的应力变化；

∆σ (τ i ) ——在任一中间时刻 τ i 的微量时间内，由徐变导致的应力变化； K τ i 、 Kτ ——表示加载龄期对徐变系数终极值的影响系数。 老化系数可理解为：在开始加载以后所发生的应力变化所产生的徐变，由于混凝 土的老化而逐渐衰减的一种衰减系数，其值小于 1。它主要反映了后期加载时混凝土 老化的性质。

Eϕ (t ,τ ) =

E (τ ) 1 + χ (t ,τ )ϕ (t ,τ )

（2-13）

其中， Eϕ (t ,τ ) 被定义为按龄期调整的混凝土有效模量。

2.4 徐变的有限单元分析法 徐变对结构内力和构件截面应力影响的分析方法主要有三种：微分方程求解法、 代数方程求解法、有限单元逐步分析法。利用微分方程求解，受徐变系数表达式的限 制，且只能得出粗略的计算结果，与实际情况偏差较大。该法对递增应力的徐变估计 过低，对递减应力的徐变估计又过高。其次，微分方程对预应力结构和超静定结构的 求解过程十分复杂，不适合在实际工程中使用。用代数方程代替微分方程求解，虽然 在徐变系数表达式的选择上可以不受限制，计算过程得到了简化，计算结果的精度也 得到了提高，但是，对于复杂结构的求解仍然很不方便[14-15]。由于篇幅所限，这里不 在对这两种方法一一赘述。对于结构形式、施工过程复杂的桥梁结构，通常宜采用有 限单元逐步分析法。下面进行详细介绍： 不论用 Dischinger 法或者 Trost-Bazant 法，由徐变产生的应力增量和应变增量的关 用较精确的形式表达为[16-25]： 系都可以用统一的形式表达，以下将考虑 Trost-Bazant 法，

- 11 -

∆σ (t i , t i −1 ) [1 + χ (ti , t i −1 )ϕ (t i , t i −1 )] E (t i −1 )

∆ε (t i , t i −1 ) = i −1

∆σ (t j )

j =1

E (t j )

+∑

（2-14）

[ϕ (t i , t j ) − ϕ (t i −1 , t j )]

式中： ∆ε (t i , t i −1 ) ——在 t i −1 至 t i 的时间内由徐变产生的应变增量；

∆σ (t i , t i −1 ) ——在 t i −1 至 t i 的时间内由徐变产生的应力增量； E (t i ) —— t i 时刻混凝土的弹性模量；

χ (t i , t i −1 ) ——在 t i −1 至 t i 的时间内的老化系数； ϕ (t i , t i −1 ) ——在 t i −1 至 t i 的时间内的徐变系数。 上式考虑了混凝土弹性模量随时间的变化，还考虑了初应力和初应变形成的历史。 同理，可写出截面曲率增量与弯矩增量的关系： ∆ψ (t i , t i −1 ) = i −1

∆M (t j )

j =1

E (t j ) I

+∑

令：

Eϕ (t i , ti −1 ) =

η (ti , t i −1 ) =

∆M (t i , t i −1 ) [(1 + χ (t i , t i −1 ) ⋅ ϕ (t i , t i −1 ))] E (t i −1 ) I

（2-15）

[ϕ (t i , t j ) − ϕ (t i −1 , t j )]

E (t i −1 ) 1 + χ (t i , t i −1 ) ⋅ ϕ (t i , t i −1 )

Eϕ (t i , t i −1 ) E (t j )

(ϕ (t i , t j ) − ϕ (t i −1 , t j ))

（2-16）

（2-17）

代入式（2-14），以 ∆σ (t i , t i −1 ) 为通过形心点的应力增量，则轴力增量可表示为：

∆N (t i , t i −1 ) = A ⋅ Eϕ (t i , t i −1 )[∆ε (t i , t i −1 ) i −1

η (t i , t j )

j =1

Eϕ (t i , t i −1 )

−∑

∆σ (t j )]

（2-18）

式中： A ——混凝土截面面积。 同样，将 Eϕ (t i , t i −1 ) ， η (ti , ti −1 ) 代入式（2-15），表示为弯矩增量形式：

∆M (t i , t i −1 ) = I ⋅ Eϕ (t i , t i −1 )[∆ψ (t i , t i −1 ) i −1

η (t i , t j )

j =1

Eϕ (t i , t i −1 )

−∑

∆M (t j )]

- 12 -

（2-19）

由以上公式可知，如用按龄期调整的有效模量 Eϕ (t i , t i −1 ) 代替混凝土的弹性模量

E ，则在第 t i − t i −1 个时间内，因徐变产生的应力或内力增量与应变增量之间具有线性 关系，因而可以利用解弹性结构的方法来求解混凝土结构的徐变问题。在采用刚度法 时，只需将刚度矩阵中的 E 用 Eϕ (t i , t i −1 ) 代替即可。 根据有限单元法形成荷载矩阵的原理，如对结构中任一平面梁单元施加约束，使 在第 t i − t i −1 个时间内节点变位增量保持为 0，则从式(2-18)、式(2-19)可得节点约束（或 锁定）产生的轴向力增量与节点弯矩增量： i −1

∆N (t i , t i −1 ) = −∑η (t i , t j )∆N (t j )

（2-20）

j =1

i −1

∆M (t i , t i −1 ) = −∑η (t i , t j )∆M (t j )

（2-21）

j =1

根据式（2-20）、 （2-21），可形成单元徐变荷载矩阵，利用有限单元法求解混凝土 的徐变。具体的计算方法如下：

1、结构单元和计算时间的划分： 将计算时间从施工开始到竣工后徐变完成，划分为若干阶段，每一阶段划分为若 干时间间隔。以施工阶段的起始时间、结构体系转换的时间、添加或拆除支座的时刻、 加载或卸载的时刻，作为各阶段与时间间隔的分界点。将各阶段的已成结构划分成若 干个梁单元，使每个单元的混凝土具有均一的徐变特性，整个结构理想化为节点，通 过节点力相互联结的单元集合体。

2、在静定结构阶段，徐变只产生变形增量而不产生内力增量，即徐变次内力为 0。 这时取老化系数等于 1。

3、在体系结构转换后，第 i 个时间间隔的计算步骤： （1）确定各单元的初始节点力，包括上一个时间间隔终了的节点力与本时间间隔 开始时新加荷载移置于各节点的等效节点荷载； （2）确定各单元的初始节点位移； （3）在第 i 个时间间隔开始时，锁定已完成结构的所有单元的节点，按照式（2-20） 、 （2-21）求出各节点锁定力 {∆F }e ，将这些锁定力或节点力增量写成各单元节点力增量 F

- 13 -

的列矩阵的形式； （4）在第 i 个时间间隔终了时，即时刻 t i ，解除所有节点的锁定，对各单元施以 反锁定节点力 {∆F }e = −{∆F }e ； R

F

（5）用各单元的按龄期调整的有效模量 Eϕ (t i , t i −1 ) ，建立按各单元局部坐标系计 算的单元的徐变换算刚度矩阵 [ K ϕ ]e ：

[K ]

ϕ e

= Eϕ (t i , t i −1 ) ⋅

A   A 0 0 − 0 0   L L  12 I 6 I 12 I 6 I    0 − 0 L3 L2 L3 L2   6I 4I 6I 2I   0 0 − 2 2  L  L L L   A A 0 0 0 0  − L   L I I 12 6 12 I 6I   0 − − 2 0 − 2  L3 L L3 L   6I 2I 6I 4I  0 − 2   0 L L  L2 L 

（2-22）

（6）建立按各单元局部坐标计算的平衡方程

{∆F }eR

[ ] ⋅ {∆δ }

= Kϕ

（2-23）

e

e

（7）通过坐标转换，将各单元节点力增量列矩阵 {∆F }e 组集成按结构总坐标系计 R

算的节点荷载列矩阵 {∆Q}，将各单元的刚度矩阵 [ K ϕ ]e 组集成结构的徐变换算刚度矩 阵 [ Kϕ ] ； （8）建立按总坐标系计算的结构平衡方程：

{∆Q} = [ Kϕ ]{∆δ }

（2-24）

解式（2-24）得到按照结构总坐标系计算的，在第 i 个时间间隔内的全部节点的位 移增量 {∆δ }； （9）通过坐标转换，将 {∆δ }转换成按单元局部坐标计算的各单元的节点位移增 量 {∆δ }e ； '

（10）将各单元的节点位移增量 {∆δ }e 代回单元平衡方程式（2-23），解得 {∆F }e ， '

- 14 -

'

单元第 i 个时间间隔内产生的实际的节点力增量 {∆F }e ，可按下式计算：

{∆F }e = {∆F }eF + {∆F }'e

（2-25）

（11）按照上述步骤，求出结构全部单元在第 i 个时间间隔内，由徐变产生的节点 力增量与节点位移增量。以上述增量分别加到该时间间隔开始时有关的节点力与节点 位移上，即可得出该时间间隔终了时各单元的节点力和节点位移的状态。据此，即可 进入下一时间间隔的计算。 从徐变开始循环上述步骤，直到任一时间终了，即可求得结构各个时间段的节点 力与位移状态。

- 15 -

3 徐变的仿真分析 在 ANSYS 中的徐变分析主要以金属蠕变为主，没有专门针对混凝土的徐变计算。 为了实现混凝土徐变在 ANSYS 中的计算，需要按金属蠕变原理来考虑混凝土徐变。 从微观原子学说来说，金属蠕变、混凝土徐变都与粘塑性材料基本相似。两者虽然机 理不同，但是存在一定的相似性。

3.1 混凝土徐变与金属蠕变 3.1.1 金属蠕变原理 许多金属材料，在温度不变、荷载不变的条件下，试件的变形也会随着时间的增 长而缓慢增大，这一现象称为金属的蠕变现象。蠕变的应变——时间关系曲线见图 3-1。 蠕变情况： σ = 常数＝σ 0

图 3-1. 金属蠕变的应变——时间关系曲线

当试件的变形在恒温下保持不变（即试件变形受到限制时），可以发现试件的应力 随着时间增加而减少的现象，称为应力松弛，简称松弛。 假设试件在拉伸荷载作用下的初始应力小于屈服极限，试件的总变形 δ 0 在整个试 验过程中保持为常数，即

ε = ε e + ε c = 常数＝ε 0＝δ 0

（3-1）

式中 ε 0 、 ε e 各表示初始变形的弹性变形。随着加载时间的增加，蠕变变形逐渐增

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