Crecimiento - Modelo De Solow+ Progreso Tecnico.pdf

El modelo de Solow Crecimiento Econ´omico. Curso A. Coremberg FCE-UBA. Centro de Estudios de la Productividad

19 de septiembre de 2017

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Antecedentes y motivaciones

Modelo ”Harrod Domar” Coeficientes fijos Filo de la navaja

Teor´ıa neocl´asica

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Supuestos

Supuestos Tiempo continuo Econom´ıa cerrada, sin sector Gobierno en la que se produce un u´nico bien Los agentes ahorran una proporci´on constante y ex´ogena de sus ingresos S = sY 0 < s < 1 La fuerza laboral es una proporci´on constante de la poblaci´on, que crece a tasa constante n L(t) = L(0)e nt No hay depreciaci´on (δ = 0) K˙ (t) = I (t) Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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Supuestos

Supuestos: Funci´on de producci´on I Hay un u´nico bien que se produce en condiciones de competencia perfecta bajo los siguientes supuestos Y = F (K , L) funci´on continua y diferenciable hasta orden 2 FK =

∂F (.) ∂F (.) > 0 ; FL = >0 ∂K ∂L

∂ 2 F (.) ∂ 2 F (.) < 0 ; F = <0 LL ∂K 2 ∂L2 F (K , L) es linealmente homog´enea FKK =

F (λK , λL) = λ1 F (K , L) ∀λ ≥ 0 Condiciones de Inada l´ım FK = ∞; l´ım FK = 0

K →0

K →∞

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Supuestos

Funci´on de producci´on II Tomando el supuesto de hogeneidad lineal   K L 1 F , = F (K , L) L L L Definimos k ≡

K L

,y≡

Y L

, f (k) ≡ F (k, 1). De manera que y = f (k)

con fk > 0 fkk < 0

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Supuestos

Funci´on de producci´on III

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Supuestos

Mercados competitivos: Optimizaci´on de las firmas Se suponen muchas firmas iguales en un marco de competencia perfecta La firma toma como dados los precios de los factores Se presenta el problema en t´erminos de las variables agregadas Planteando el ejercicio de la firma representativa m´ax

{L(t);K (t)}

F [K (t), L(t)] − w (t)L(t) − R(t)K (t)

De las CPO: FK = R(t) FL = w (t) Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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Supuestos

Optimizaci´on de las firmas II Aprovechando el supuesto de homogeneidad, apelamos al Teorema de Euler: Theorem Teorema de Euler Sea F : Rn → R, F (x1 , x2 , ..., xn ), una funci´on homog´enea de grado φ : n X ∂F (.) i=1

∂xi

xi = φF (.)

Aplicado a la funci´on de producci´on: Fk K + FL L = 1.Y RK + wL = Y En el equilibrio las firmas no obtienen beneficios. Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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Supuestos

Funci´on de producci´on: precios factoriales gr´aficamente Podemos expresar la ecuaci´on de pagos factoriales en t´erminos per c´apita (por trabajador, diviviendo por L: y = Rk + w

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El Modelo

Presentaci´on del modelo I Partimos de Y = C + I S =Y −C =I sY = I divimos por L I L K˙ sf (k) = L K Partiendo de´on k = L , tomamos log y derivamos respecto a t: sf (k) =

(1)

ln k = ln(K ) − ln(L) 1˙ 1 1 k = K˙ − L˙ k K L Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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El Modelo

Presentaci´on del modelo II Recordando que k =

K L

y

L˙ L

= n: K˙ L k˙ + n = K K ˙ + nK K˙ = kL

Reemplazando en (1): sf (k) =

˙ + nK kL L

Ecuaci´on fundamental de Solow k˙ = sf (k) − nk Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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Presentaci´on gr´afica del modelo

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El Modelo

Din´amica Si k0 < k ∗ =⇒ sf (k0 ) > nk0 ⇔ k˙ > 0 Si k1 > k ∗ =⇒ sf (k1 ) < nk1 ⇔ k˙ < 0 Si k = k ∗ =⇒ sf (k ∗ ) = nk ∗ ⇔ k˙ = 0

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El Modelo

Propiedades de la din´amica I

Propiedad El sistema es estable: independientemente del valor inicial de k, el modelo converge hacia k ∗ Llamamos a este punto, k ∗ , estado estacionario(EE)

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El Modelo

Comportamiento de las variables en el EE I Sabemos que en el EE k = k ∗ de manera que: sf (k ∗ ) = nk ∗ ⇔ k˙ = 0 De manera que en el EE, el capital por trabajador no crece en el tiempo. Recordando que k = KL , tomando ln y derivando en t: kˆ = Kˆ − Lˆ En el EE, kˆ = 0 y hab´ıamos supuesto Lˆ = n, de manera que: KˆEE = n

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El Modelo

Comportamiento de las variables en el EE II Para analizar la din´amica de y en el tiempo, derivamos respecto de t: d y (k(t)) dy dk = y˙ = = fk k˙ dt dk dt En el EE sabemos que k˙ = 0, por lo que y˙ = 0. Por definici´on y = yL , de manera que: yˆ = Yˆ − Lˆ En el EE: YˆEE = n Propiedad En el largo plazo Yˆ = Kˆ = Lˆ = n, dado por la tasa natural. Es independiente del ahorro! Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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El Modelo

Cobb Douglas Hasta ahora no hemos especificado una forma funcional para F (K , L). La Cobb Douglas cumple con todos los supuestos del modelo: Y = F (K , L) = K α L1−α con 0 < α < 1 Expresada por trabajador: Y K α L1−α K α L1−α = = α 1−α L L L L y = f (k) = k α

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El Modelo

Cobb Douglas: caracterizaci´on del EE sf (k ∗ ) = nk ∗ sk ∗α = nk ∗ n k ∗α−1 = s s k ∗1−α = n 1  s  1−α ∗ k = n α  s  1−α ∗ ∗ ∗α y = f (k ) = k = n Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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Regla de Oro

Regla de Oro I

Hasta ahora nos hemos referido al EE como un equilibrio al que la econom´ıa tiende indefectiblemente ¿Es acaso o´ptimo este EE ? El modelo no contempla una funci´on de utilidad individual ni de bienestar social pero podemos pensar la optimalidad en t´erminos del consumo per c´apita en este modelo simple el consumo per c´apita es la diferencia entre el producto (y ) y el ahorro (sy ).

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Regla de Oro

Regla de Oro II ¿Cu´al es la tasa de ahorro que nos lleva a la maximizaci´on del consumo de EE? c ∗ = f (k ∗ ) − sf (k ∗ ) Recordando que en EE sf (k ∗ ) = nk ∗ : c ∗ = f (k ∗ ) − nk ∗ Se puede observar del an´analisis gr´afico del EE o directamente desde la derivaci´on matem´atica del EE con la Cobb Douglas que k ∗ depende de s y otros par´ametros del modelo k ∗ = k ∗ (s, n, α) Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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Regla de Oro

Regla de Oro III

m´ax f (k ∗ (s, n, α)) − nk ∗ (s, n, α) s

CPO f 0 (k ∗ )

∂k ∗ ∂k ∗ −n =0 ∂s ∂s

f 0 (koro ) = n En t´erminos geom´etricos, el ´optimo requiere que el EE se alcance en el punto en el que la pendiente de la funci´on de producci´on se iguala a la de la recta de depreciaci´on o break even investment

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Regla de Oro

Regla de Oro IV

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Hechos estilizados de Kaldor

El modelo de Solow y los HE de Kaldor I La distribuci´ on entre factores es relativamente constante en el tiempo Bajo la Cobb Douglas en competencia perfecta: ∂F (.) = R = αK α−1 L1−α ∂K RK = αK α L1−α RK K α L1−α =α Y Y RK =α Y An´alogamente puede probarse que wL = 1 − α. Los ponderadores de Y la Cobb Douglas son constantes y representan la distribuci´on funcional del ingreso. Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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Hechos estilizados de Kaldor

El modelo de Solow y los HE de Kaldor II

El ratio capital/producto se mantiene constante Sabemos que en el EE sy = nk, de manera que: s K = n Y Esto quiere decir que el modelo tiende a un EE en el que el ratio K/Y es igual a la raz´on de dos constantes ex´ogenas, i.e. el ratio K/Y es constante en el largo plazo.

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Hechos estilizados de Kaldor

El modelo de Solow y los HE de Kaldor III

La tasa de ganancia R es constante R=

∂F (.) = αK α−1 L1−α ∂K R = αk α−1

El par´ametro α es constante mientras que k es constante en el EE, de manera que en el largo plazo R es constante.

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Hechos estilizados de Kaldor

El modelo de Solow y los HE de Kaldor IV

El producto per c´ apita es creciente en el tiempo Arribamos al EE en el punto en que k˙ = 0 y al ser el producto per c´apita una funci´on que depende exclusivamente del capital por trabajador, tambi´en se mantiene constante en el EE. Este HE de Kaldor no se est´a cumpliendo en el modelo tal cual lo hemos planteado Para sortear este problema, incluiremos el concepto de Progreso Tecnol´ogico

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Progreso T´ ecnico

Progreso T´ecnico I Definition Progreso tecnol´ ogico. Decimos que ocurre progreso tecnol´ogico cuando pueden producirse m´as bienes empleando las mismas cantidades de factores Gr´aficamente es un desplazamiento de la funci´on de producci´on

(A1 > A0 ) Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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Progreso T´ ecnico

Progreso T´ecnico II Formalmente, se representa el progreso t´ecnico como si aumentase los factores productivos Y = F (A(t)K , B(t)L) A(t)K : capital eficiente/eficaz/efectivo B(t)L: trabajo eficiente/eficaz/efectivo

˙ Si A(t) > 0 y B(t) = 1: el cambio t´ecnico aumenta la eficiencia del capital ˙ Si B(t) > 0 y A(t) = 1: el cambio t´ecnico aumenta la eficiencia del trabajo ˙ ˙ Si A(t) = B(t) > 0: el cambio t´ecnico aumenta la eficiencia del capital y del trabajo Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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Progreso T´ ecnico

Progreso T´ecnico III: Clasificaci´on de Hicks (i)

Siendo t el momento posterior a 0 (luego de que ocurre el cambio tecnol´ogico): F 0 (t)

F 0 (0)

F 0 (t)

F 0 (0)

F 0 (t)

F 0 (0)

Si FK0 (t) > FK0 (0) para un valor dado de k: el progreso es L L ahorrador de trabajo Si FK0 (t) < FK0 (0) para un valor dado de k: el progreso es L L ahorrador de capital Si FK0 (t) = FK0 (0) para un valor dado de k: el progreso es neutral L L en el sentido de Hicks

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Progreso T´ ecnico

Progreso T´ecnico III: Clasificaci´on de Hicks (ii) En mercados competitivos sabemos que FK0 = R y FL0 = w Definimos Π = RK como la relaci´on de participaciones relativas wL de cada factor en el producto Como la relaci´on K /L es la misma para comparar momentos en el criterio de Hicks, podemos redefinir las clasificaciones en funci´on de la evoluci´on de Π en el tiempo: Si Π˙ > 0 para un valor dado de k: el progreso es ahorrador de trabajo Si Π˙ < 0 para un valor dado de k: el progreso es ahorrador de capital Si Π˙ = 0 para un valor dado de k: el progreso es neutral en el sentido de Hicks

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Progreso T´ ecnico

Progreso T´ecnico IV: Clasificaci´on de Hicks (iii) Neutralidad a la Hicks:

Intuici´on: para mantener la distribuci´on funcional del ingreso, dado un nivel de k, los precios relativos deben mantenerse constantes. Propiedad El progreso neutral a la Hicks es equivalente al aumentador de eficiencia de capital y trabajo: Y = F (A(t)K , A(t)L) = A(t)F (K , L) Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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Progreso T´ ecnico

Progreso T´ecnico V: Clasificaci´on de Hicks (iv) Problemas con el criterio de Hicks Poco u´til para el largo plazo pensar en t´erminos de un k dado Acontecido el progreso t´ecnico , el desplazamiento de la funci´on de producci´on desplaza el EE

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Progreso T´ ecnico

El criterio de Harrod

Si Π˙ > 0 para un valor dado de trabajo Si Π˙ < 0 para un valor dado de capital Si Π˙ = 0 para un valor dado de sentido de Hicks

Y : K

el progreso es ahorrador de

Y : K

el progreso es ahorrador de

Y : K

el progreso es neutral en el

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Progreso T´ ecnico

El criterio de Harrod: Neutralidad I

Neutralidad de Harrod: La pendiente del rayo que parte del origen es la relaci´on producto-capital v1 , igual para ambos y adem´as la pendiente es la misma. Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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El criterio de Harrod: Neutralidad II El rayo que parte del origen es una recta con pendiente constante e igual a ky (es decir v1 ), de manera que la relaci´on YK es la misma en k ∗ y k ∗∗ (puntos de comparaci´on para criterio de Harrod) La neutralidad pide que Π˙ = 0. Puede ser pensado como r0 K0 r1 K1 = Y0 Y1 Como la relaci´on K /Y se mantiene, KY00 = KY11 . Entonces para la neutralidad se requiere adicionalmente r0 = r1 (reflejado en que las pendientes de las rectas tangentes son iguales)

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El criterio de Harrod: Neutralidad IV

Propiedad El progreso t´ecnico neutral a la Harrod es equivalente al aumentador de la eficiencia del trabajo: Y = F (K , A(t)L) Proposici´on Para que sea posible el crecimiento sostenido, en un modelo simple de crecimiento t´ecnico, ´este debe ser neutral en el sentido de Harrod (debe aumentar la eficiencia del trabajo)

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El progreso t´ecnico y el crecimiento I Partimos de una forma general de la funci´on de producci´on Y = F (K , L, A) Aplicando ln y derivando respecto a t: Y˙ F 0 K˙ F 0 L˙ F 0 A˙ = K + L + A Y Y Y Y En cada t´ermino del lado derecho, multiplicamos y divimos por el factor correspondiente: Y˙ F 0 K K˙ F 0 L L˙ FA0 A A˙ = K + L + Y Y K Y L Y A Los t´erminos

FK0 K Y

y

FL0 L Y

representan αK y αL respectivamente

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El progreso t´ecnico y el crecimiento II De esta manera el crecimiento del producto queda expresada como una suma ponderada de los crecimientos de los factores productivos: Yˆ = αK Kˆ + αL Lˆ + g αK Kˆ : contribuci´on del capital al crecimiento de producto αL Lˆ : contribuci´on del trabajo al crecimiento de producto F0 A ˙

g = YA AA : contribuci´on de la tecnolog´ıa al crecimiento de producto Bajo competencia perfecta αK +αL = 1, de manera que Yˆ = αK Kˆ + (1 − αK )Lˆ + g Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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El progreso t´ecnico y el crecimiento III ˆ +g Yˆ − Lˆ = αK (Kˆ − L) El crecimiento sostenido implica que las variables crezcan a una tasa constante (puede ser 0). Podemos reexpresar la tasa de crecimiento del capital: I S sY K˙ = = = Kˆ = K K K K Al ser la propensi´on al ahorro una constante, la relaci´on YK debe ser constante para que Kˆ tambi´en lo sea. esto implica que Yˆ − Lˆ = Kˆ − Lˆ o, lo que es lo mismo, yˆ = kˆ Dado un progreso t´ecnico ex´ogeno, la participaci´on del capital no puede variar para que se mantenga yˆ = kˆ Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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El modelo de Solow y el progreso neutral Propiedad La tecnolog´ıa Cobb Douglas es consistente con el progreso neutral a la Hicks y neutral a la Harrod Introducimos el progreso t´ecnico en el modelo de Solow Y = F (K , AL) Decimos que la tecnolog´ıa crece a la tasa ex´ogena m: A(t) = A(0)e mt Siguiendo los mismos pasos que en el modelo base, llegamos a una reformulaci´on de la ecuaci´on fundamental ˜ − (n + m)k˜ k˜˙ = sf (k) Crecimiento Econ´ omico. Curso A. Coremberg (FCE-UBA. El Centro modelo de de Estudios Solow de la Productividad) 19 de septiembre de 2017

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